Definisi : Determinan dari matrik bujursangkar A berorde n adalah jumlah semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matrik. Dituliskan : det(A) atau A ( j1r j2r ......jn ).a1 j1r a 2 j2r ......a m jn Permutasi himpunan integer {1, 2, 3, …, n}: Susunan elemen-elemen integer ini dengan urutan tertentu; tidak ada integer yang dihapus dan tidak ada integer yang diulang (j1, j2, j3, …, jn) Inversi dalam permutasi (j1, j2, j3, …, jn) terjadi jika integer yang lebih besar mendahului integer yang lebih kecil.
Dalam sebuah matrik A (n x n) yang disebut hasil kali elementer
a1 j a2 j a3j ……………anj 1
2
3
n
Catatan: indeks baris : selalu urut 1, 2, 3, …, n
indeks kolom: urutan permutasi j1, j2, j3, …, jn Hasil kali elementer bertanda Jika (j1, j2, j3, …, jn) merupakan inversi • genap, maka hasil kali elementer adalah positif • gasal, maka hasil kali elementer adalah negatif
Contoh: A (3 x 3); jumlah semua hasil kali elementer bertanda adalah jumlah dari semua (6) elemen berikut ini: + a11a22a33 (inversi = 0)
– a11a23a32 (inversi = 1)
+ a12a23a31 (inversi = 2)
– a12a21a33 (inversi = 1)
+ a13a21a32 (inversi = 2)
– a13a22a31 (inversi = 3)
Bandingkan dengan cara perhitungan “non-formal”nya:
A=
a11
a12
a13
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a21
a22
a23
a31
a32
a33
a31
a32
a33
SIFAT-SIFAT DETERMINAN : 1. Bila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom = 0, maka determinan = 0 0 0 Contoh : A A 0x5 0x4 0 4 5
2. Nilai determinan tidak berubah apabila semua baris di ubah menjadi kolom atau semua kolom diubah T menjadi baris. Dengan kata lain : A A Contoh : 2 1 A , maka A 2x7 5x1 9 5 7
2 5 T A , maka A 2x7 1x5 9 1 7 T
3. Pertukaran baris dengan baris atau kolom dengan kolom pada suatu determinan akan mengubah tanda nilai determinan. 1 2 Contoh : A , maka A 1x4 3x2 2 3 4 Jika baris 1 ditukar menjadi baris 2, maka : 3 4 A , maka A 3x2 1x4 2 1 2
Jika kolom 1 ditukar menjadi kolom 2, maka : 2 A 4
1 , maka A 2x3 4x1 2 3
4. Apabila suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik, maka nilai determinan = 0. Contoh : 1 2 0 A 1 2 0 , maka A 0 3 -1 1
1 1 2 A 1 1 5 , maka A 0 3 3 1
5. Jika semua elemen pada sembarang baris atau kolom dikalikan dengan faktor p (bukan nol), maka nilai determinan dikalikan faktor p. Contoh : 1 2 A , maka A 1x4 3x2 2 3 4
Jika baris 1 dikalikan dengan 2, maka : 2 4 A1 , maka A1 2x4 3x4 4 3 4
A1 2 A
Jika kolom 1 dikalikan dengan 3, maka : 3 2 A2 , maka A 2 3x4 9x2 6 9 4
A2 3 A
6. Nilai determinan tidak berubah ketika semua elemen pada baris atau kolom dikalikan dengan faktor p (bukan nol) dan ditambahkan atau dikurangkan pada baris atau kolom yang lain. Contoh : 1 2 A , maka A 1x4 3x2 2 3 4 1 2 A 3 4
A1 A
b12(3)
10 14 A1 A1 2 3 4
7. Bila A dan B matrik bujur sangkar, maka AB A . B Contoh : 7 2 A A 5 8 3 1 4 B B 10 3 2
A . B 50
7 2 1 4 13 32 A.B A.B 50 8 3 3 2 17 38
A.B A . B terbukti
8. Determinan suatu matrik segitiga atas atau segitiga bawah merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya. Contoh : 2 1 3 A 0 4 1 maka A 2x4x1 8 0 0 1 2 0 0 B 1 3 0 maka B 2x3x2 12 4 1 2
Secara umum: untuk A(3 x 3)
A=
a11
a12
a13
a11
a12
a13
0
a22
a23
0
a22
a23
0
0
a33
0
0
a33
diagonal utama
+ a11a22a33
0
– a11a23a32
+ a12a23a31
– a12a21a33
+ a13a21a32
– a13a22a31
Cara menghitung determinan : Nilai determinan matrik dapat diperoleh berdasarkan : 1. Definisi determinan 2. Sifat-sifat determinan 3. Ekspansi minor dan kofaktor 4. Kombinasi cara 2 dan 3
1. MELALUI DEFINISI DETERMINAN Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari elemen matrik sedemikian yang berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian hasilnya dijumlahkan.
a11 a12 A= a a 21 22
Det(A) = a11 a22 – a12 a21
Bagaimana menentukan tanda + dan – tiap suku ?
Definisi determinan didasarkan pada inversi permutasi yang dikenal sebagai metode Sarrus. Metode ini hanya berlaku untuk menghitung nilai determinan yang berorde hingga 3, sedangkan untuk yang berorde lebih dari 3 digunakan metode ekspansi. Urutan natural (asli) : 1 2 3 4 5 6 . . . A= -
a11 a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
|A| = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 +
+ a12 a23 a31 – a12 a21 a33 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31
Produk yang berasal dari baris dan kolom yang berbeda : a11 a22 a33
Indeks kolom 1 2 3, sudah urut. Tidak ada transposisi.
a11 a23 a32
Indeks kolom 1 3 2, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3
a12 a23 a31
Indeks kolom 2 3 1, belum urut. Dua kali pindah. 1 3 2 dan 1 2 3
a12 a21 a33
Indeks kolom 2 1 3, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3
a13 a21 a32
Indeks kolom 3 1 2, belum urut. Dua kali pindah. 2 1 3 dan 1 2 3
a13 a22 a31
Indeks kolom 3 2 1, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3
Perhatikan : Indeks baris sudah dalam urutan natural, indeks kolom belum. Tanda + atau – ditentukan banyaknya langkah (transposisi) yang membawa indeks kolom ke urutan natural. Jika genap (+) positip, jika ganjil (-) negatip; atau tandanya adalah (-1)t, dengan t banyaknya transposisi.
2. Dengan bantuan sifat determinan, membantu memudahkan menghitung nilai determinan.
2 1 3 0 0 0 =0 7 6 5
2 2 0 6
5
0 =0
7 8 0
Matrik persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, det.nya nol (0).
7
3 = 26 4 2
7 4 = 26 3 2
Determinan dari matrik dan transposenya adalah sama
7 5 = 31 2 3
2 3 =– 7 5
31
Baris pertama ditukar baris kedua Determinan suatu matrik yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matrik tersebut berubah tanda dari determinan semula.
7 2 =0 7 2
1 1
1
2
2
3
3 0 3
=0
1 2 1 1 1 2 1 0 = 0 1 0 1 0 1
1
1
1
Determinan dari suatu matrik persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama, nilainya sama dengan 0 (nol).
2 1 3 4
=5
2 1 21 28
=7
2 1 21 28 2 1 3 4
= 35
Baris kedua dikalikan dengan 7
Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom) dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A
Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyai faktor yang sama, maka determinan tersebut dapat difaktorkan.
3 2 4 9 6 12 1 2 1 = 3 1 2 1 1 1 2 1 1 2
2 1 1 3 8 1 = 4 3 2 1 1 3 2 1 12 2 2
4
1
1 2 1 1 1 4 2 2 1 6 1 3 1
2
1
=0
kolom ke-dua kelipatan kolom ke-empat, |A| = 0
1
Determinan dari suatu matrik persegi yang salah satu barisnya (kolomnya) merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain , nilainya sama dengan 0 (nol).
8 9
5 6
53 9
4 1 5 = 6 9
53 5 4
5 5 = 6 5
4 3 + 6 9
5 3 + 6 4
1 6
5 6
Determinan dari matrik persegi A = (aij) berdimensi n yang baris ke -i (kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku yang kedua.
2 3 = 11 1 4 3 1 = 11 1 4
OBE : b1 – b2
2 9 = 11 1 1
OBE : k2 + 3k1
Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris (kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain. Sifat ini sering dipakai untuk menyederhanakan baris (kolom), sebelum menghitung nilai determinan.
3 7
0 0
2
1 3 = (3)(-1)(5) = - 15 0 5
3 0 0 0 0 2 0 0 1
1 4 0
0
0
= (-3)(-2)(4)(1) = 24
3 1
Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemen-elemen diagonalnya.
Gunakan sifat determinan untuk menghitung : 1 2 2 3 5 4 2
1
Petunjuk : Gunakan OBE untuk mereduksi matriks menjadi matrik segitiga sehingga nilai determinan adalah hasil kali diagonal utama
1
Jawab : 1 2 2 3 5 4 2
1
1
1 2 2
1 2
2
1 2 b3 – 2 b1 2 1 1
0 1
2
0
3
b2 + 3b1 0
1 2 2 0
1 2
0
0
3
= (1)(-1)(3) = - 3
3
b3 + 3 b2
3. Dengan ekspansi minor dan kofaktor : Minor dan Kofaktor A berdimensi n, determinan dari submatrik yang berdimensi (n-1) disebut minor. Mrs : minor dari submatrik dengan menghilangkan baris ke r kolom ke s. a11
a12 a13
A = a21 a22 a23 a31 a32 a33
a22 M11 = a32 M32 =
a23 = a22 a33 – a23 a32 a33
a11 a13
a21 a23
= a11a23 – a13a21
Kofaktor Kofaktor yang berhubungan dengan minor Mrs adalah : Crs = (-1)r+s Mrs. A=
2 1 1 1 3 4 2 1 1
3 4 C11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2 1 1 C12 =
(-1)1+2
M12 =
(-1)3
= 1 (7) = 7
1 4 = (-1) (9) = -9 2 1
C23 = - M23 = 0 C31 = M31 = 7
C32 = - M32 = - 9 C33 = M33 = 5
1 3 =5 2 1 1 1 =0 C21 = (-1)3 M21 = - M21 = 1 1
C13 = (-1)4 M13 = M13 =
C22 = M22 = 0
Hitung (a) adjoint dari matrik A, (b) determinan matrik A
1 2 3 A = 2 1 1 1 0 2 Jawab : C11 = M11 = 2
C21 = -M21 = 4
C31 = M31 = -1
C12 = -M12 = - 5
C22 = M22 = -1
C32 = -M32 = 7
C13 = M13 = - 1
C23 = -M23 = -2
C33 = M33 = 5
C11 T (a) adj(A) = K = C21 C 31 C11 = C12 C 13
C12 C22 C32
C21 C22 C23
C13 C23 C33
T
C31 2 4 1 C32 = 5 1 7 1 2 5 C33
(b) Det(A) = a11 C11 + a12 C12 + a13 c13 = (1)(2) + (-2)(-5) + (3)(-1) = 9
Adj(A) A = ? 9 0 0 1 2 3 2 4 1 1 0 0 = |A| I 0 9 0 = 9 0 1 0 2 1 1 5 1 7 = 0 0 9 0 0 1 1 0 2 1 2 5
Sifat : 1. A adj(A) = adj(A) A = det(A) I 2. adj(AB) = adj(B) adj(A)
Teorema LAPLACE Nilai determinan matrik sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sebarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Ekspansi baris ke-i : n
A a ijcij a i1ci1 a i2 ci2 ....... a in cin , dengan i sembarang j=1
Ekspansi kolom ke-j : n
A a ijcij a1jc1j a 2jc2j ....... a njcnj , dengan j sembarang j=1
A=
a11 a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
Ekspansi melalui baris pertama : Det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 Atau ekspansi melalui baris ketiga : Det(A) = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33 Atau ekspansi melalui kolom ke dua : Det(A) = a12C12 + a22C22 + a32C32 Dan sebagainya.
Hitung determinan, dengan ekspansi kofaktor: 1 2 1 B = 3 1 1 1 1 4
Jawab : Dilakukan ekspansi melalui baris kedua : Det(B) = b21 C21 + b22 C22 + b23 C23 C21 = - M21 = -
2 1 1 4
=9
C22 = M22 = 3 C23 = - M23 = - 3 Det(B) = (3)(9) + (1)(3) + (-1) (-3)= 33
Atau dikerjakan dengan ekspansi melalui kolom ketiga : Det(B) = b13 C13 + b23 C23 + b33 C33
C13 = M13 = 2 C23 = - M23 = - 3
C33 = M33 = 7 Det(B) = (1)(2) + (-1)(-3) + (4)(7)= 33
Hitung determinan dari : E =
2 1 3 1 1 1 5 4 2
Dikerjakan dengan ekspansi melalui baris ke dua : |E| =
2
1
3
1
1
1
5
4
2
K2 + K1
2
3
5
1
1
0
0
2
5
9
7
2
3
3
1
0
5
9
K3 – K1
|E| = e21 C21 + e22 C22 + e23 C23 |E| = e21 C21 + 0 + 0
|E| = (1) (-24) = - 24
C21 = - M21 = - {(3)(-7) – (-5)(9)} = - 24
Berapakah determinan dari F =
1 3 2 0 4 5 1 1 2
Dipilih ekspansi melalui kolom pertama : 1
|F| = 0 1
3
2
4
5
1
2
B3 + B1
1
3
2
0
4
5
0
2
4
Det(F) = f11 C11 = (1) (6) = 6
Berapakah determinan dari G =
1 1 3 2 1 4 2 3 1 2 1 1 3 2 0 1
Dipilih ekspansi melalui kolom ke tiga : 2 2 Det(G) = 1 3
1 3 2 2
1 3 1 4 B2 + B1 1 1 0
2 0 1
1
1 4 2
3 2
0 Det(G) = g13 C13 = g13 M13 = (-1) 3
4 3
1 3 B3+B1 0 7 1 1 0
7 4
3 2 1
1
2 0 3
1 3 0 7 0 4
1 4 3
3 2
B3 – B2 (-1)
0
1
0
4
7
3
3
4
0 5 5
Det(G) = (-1) g21 C21 = (-1) g21 (- M21) = g21 M21 = (3) {(4)(-5) – (7)(-5)} Det(G) = (3) (15) = 45.
review: 1. Menghitung det(A) dengan matrik A (2x2) atau (3x3) cukup mudah.
2. Menghitung det(A) dengan matrik A (nxn) untuk semua n 2 secara umum dilakukan dengan menjumlahkan semua hasil kali elementer bertanda dari matrik A.
Cara lain untuk menghitung det(A), dengan A(nxn), adalah : Menggunakan Reduksi Baris (OBE). 1. Matriks A diubah menjadi matrik segi-3 atas (segi-3 bawah), matrik segi-3 ini disebut A’.
2. Det(A) = det(A’) = hasil kali semua elemen diagonal utama matrik A’.
Aplikasi : Aplikasi matrik dan determinan diterapkan pada masalah pengiriman kode rahasia. Pada umumnya, pesan dengan kode rahasia dikirimkan melalui penyusunan bilangan bulat untuk menggantikan setiap alfabet yang ada Contoh pesan : BISA
Kode rahasianya : 2, 9, 3, 1
Masalahnya, pesan rahasia tersebut masih dapat diketahui dengan mudah. Oleh karena itu dibutuhkan sebuah matrik lain untuk mentransformasi kode sehingga mempersulit rahasia tersebut untuk dipecahkan.
Misalkan matrik transformasinya : 1 3 P 1 4 Kode rahasia dalam notasi matrik :
2 Q 9
3 1
1 3 2 Maka : PQ 1 4 9
3 29 6 1 38 7
Dengan demikian, kode pesan rahasia yang terkirim adalah : 29, 38, 6, 7. Agar pesan rahasia dapat dibaca, maka sipenerima harus mengalikan P-1 dengan PQ
4 -3 4 -3 1 P (1x4 1x3) -1 1 -1 1 -1
4 -3 29 6 2 P (PQ) -1 1 38 7 9 -1
3 1
Hasil akhir sama dengan kode awal. Pesan terpecahkan
Soal latihan : 1. Carilah banyaknya inversi pada permutasi-permutasi berikut : a. (4, 1, 2, 3), (4, 3, 2, 1), (1, 3, 2, 4) b. (5, 3, 2, 1, 4), (1, 3, 5, 4, 2), (2, 3, 5, 4, 1) 2. Carilah determinan dari matrik berikut :
t-2 2 a. -4 t-1
t-5 7 b. -1 t 3
3. Carilah determinan dengan metode Sarrus dari matrik berikut ini : 2 1 1 3 -2 -4 a. 0 5 -2 b. 2 5 -1 1 -3 4 0 6 1 4. Carilah determinan dengan metode ekspansi dari matrik berikut ini : 5 2 a. -5 1
4 2 1 3 1 -2 -7 -3 9 -2 -1 4
2 3 b. 1 2
1 3 2 0 1 -2 -1 4 3 2 -1 1
5. Suatu kode pesan ditransformasikan ke bentuk matrik :
2 4 P 4 3 Kode yang terkirim adalah 26, 47, 110 dan 115. Apakah bunyi pesan itu?
