BAB 2 : DETERMINAN PERMUTASI Kita sudah cukup mengenal fungsi-fungsi sinus, fungsi kuadrat, juga fungsi konstant yang memetakan suatu bilangan riil ke bilangan riil. Pada bagian ini akan dipelajari mengenai suatu fungsi yang memetakan suatu matriks ke bilangan riil yang disebut dengan fungsi determinan. Untuk itu sebelumnya akan dibahas tentang konsep permutasi yang menjadi dasar perhitungan determinan. Definisi Permutasi (i) Suatu permutasi himpunan bilangan bilat {1,2,3,……,n} merupakan suatu penyusuan bilangan-bilangan bulat tersebut dalam sutu urutan tertentu tanpa penghilangan (Omission) ataupun perulangan (repetition). (ii) Barisan bilangan-bilangan (j1, j2, j3, …….jn) dimana berlaku ji≠jk untuk i≠k (i=1,2,3………,n dan k=1, 2, 3, …………m) serta ji adalah salah satu bilangan asli (1,2,3, ……..,n). Contoh : 1. Terdapat 6 permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3} yaitu (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Suatu metode yang sistematis untuk menampilkan semua permutasi adalah dengan pohon permutasi. 1
2
3
2
3
1
3
1
2
3
2
3
1
2
1
2. Tentukan banyaknya permutasi dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, 4} Catatan Apabila kita mempunyai n buah bilangan asli 1, 2, 3, ……, n maka banyaknya permutasi yang dapat kita bentuk ada n!. misal n=3, maka banyaknya permutasi = 3! = 3*2*1 = 6. jadi ada 6 buah permutasi (seperti tampak pada contoh 1).
Definisi Inversi Permutasi (i) Yang dimaksud inversi pada suatu permutasi (j1, j2, …….,jn) ialah adanya jk<ji (jk mendahului ji) padahal ji<jk (i dan k=1, 2, …..n). (ii) Suatu inversi dikatakan terjadi di dalam permutasi ((j1, j2, …….,jn) apabila ditemukan bilangan bulat yang lebih besar berada di depan bilangan yang lebih kecil dalam urutan permutasi tersebut.
(iii) Sebuah permutasi dikatakan genap jika jumlah total inversi yang terjadi genap dan dikatakan ganjil jika jumlah total inversi yang terjadi ganjil. (iv) Jika sebuah permutasi adalah permutasi genap maka tanda (sign) dari permutasi tersebut adalah (+) dan jika suatu permutasi adalah permutasi ganjil maka tanda dari permutasi tersebut adalah (-). Contoh : 1. Misalkan ada permutasi (2,1,4,3), berapa banyaknya inversi pada permutasi tersebut? Penyelesaian Misalkan
2 1 4 3 j2 j3 j4 j1 Terlihat bahwa : j1=2 mendahului j2=1, padahal 1<2 j3=4 mendahului j4=3, padahal 3<4 Total inversi adalah 2 dan termasuk inversi genap. 2. Diketahui permutasi permutasi tersebut!.
(4,3,1,2).
Tentukan
banyaknya
inversi
Penyelesaian Misalkan
4 3 1 2 j1 j2 j3 j4 Terlihat bahwa : j1=4 mendahului j2=3, padahal 3<4 j1=4 mendahului j3=1, padahal 1<4 j1=4 mendahului j4=2, padahal 2<4 j2=3 mendahului j3=1, padahal 1<3 j2=3 mendahului j4=2, padahal 2<3 Total inversi adalah 5 dan termasuk permutasi ganjil.
3. Tentukan inversi dari permutasi (1,2,3,4)!. Penyelesaian Karena urutannya sudah benar (terurut dari nilai terkecil ke nilai terbesar) maka total inversinya adalah 0 dan termasuk permutasi genap.
DETERMINAN Konsep inversi permutasi yang sudah dijabarkan diatas akan digunakan untuk menghitung determinan dari suatu matriks. Sekarang pandang matriks bujursangkar A berorde (berukuran) n
A=
a11
a12 ……….a1n
a21
a22 ……….a2n
an1
an2 ….……ann
Definisi Determinan Determinan dari matriks bujursangkar A berorde n adalah jumlah dari semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matriks tersebut. Determinan dari suatu matriks A dituliskan det(A) atau |A| = ∑ σ (j1, j2, …….,jn). a1j1, a2j2,……amjn Contoh : A=
a11
a12
a21
a22
Maka n=2, terdapat 2! = 2*1=2 Hasil kalinya sebagai berikut : 1. a11 a22 permutasi (1,2), banyaknya inversi=0 (permutasi genap). Maka σ (1,2)= +1 jadi +a11 a22 . 2. a21 a12 permutasi (2,1), banyaknya inversi=1 (permutasi ganjil). Maka σ (2,1)= -1 jadi -a21 a12 3. Maka det(A)=|A|=+a11 a22 -a21 a12
NILAI DETERMINAN Nilai atau harga suatu determinan dapat diperoleh dengan berbagai cara antara lain : Langsung dengan aturan SARRUS (inversi permutasi) Metode ekspansi dengan MINOR dan KOFAKTOR. A. METODE SARRUS Metode Sarrus pada dasrnya menggunakan inversi permutasi, tetapi metode ini hanya berlaku untuk menghitung nilai atau harga determinan yang berorde sampai dengan 3. sedangkan untuk determinan matriks berorde lebih dari 3 digunakan metode ekspansi. Misalkan diketahui matriks berorde 3
A=
a11
a12 a13
a21
a22 a23
a31
a32 a33
n=3 berarti hasil kalinya 3!=3.2.1=6, yaitu a11a22 a33, permutasi (1,2,3). Banyaknya inversi=0 a12a23 a31 permutasi (2,3,1). Banyaknya inversi=2 a13a21 a32 permutasi (3,1,2). Banyaknya inversi=2 a13a22 a31 permutasi (3,2,1). Banyaknya inversi=3 a11a23 a32 permutasi (1,3,2). Banyaknya inversi=1 a12a21 a33 permutasi (2,3,1). Banyaknya inversi=1 Untuk lebih mudahnya dapat digambarkan
(+) (+) (+) (-) (-) (-)
a11
a12 a13
a11
a12
a21
a22 a23
a21
a22
a31
a32 a33
a31
a32
(-)
= a11a22 a33 +a12a23 a31+a13a21a32-a13a22a31 -a11a23 a32 -a12a21 a33
(+)
Contoh : 1 1. Diketahui matriks A = 4
2
3
1
5
3
2
4
hitunglah |A|
Penyelesaian
A=
1
2
3
1
2
4
1
5
4
1
4
3
2
3
2
= 1.1.4+2.5.3+3.4.2-3.1.3-1.5.2-2.4.4 = 4+30+24-9-10-32 =7 2. Hitunglah |A| jika A=
0
6
0
8
6
8
3
2
2
Penyelesaian
A=
0
6
0
0
6
8
6
8
8
6
3
2
2
3
2
= 0.6.2+6.8.3+0.3.2-0.6.3-0.8.2-6.3.2 = 0+144+0-0-0-96 = 48
B. METODE EKSPANSI MINOR dan KOFAKTOR Andaikan ada sebuah determinan dengan orde ke-n maka yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-I dan kolom ke-j.
D=
a11
a12 a13
a14
a21
a22 a23
a24
a31
a32 a33
a34
a41
a42 a43
a44
Maka MINOR unsur a33 adalah minor baris ke-3 kolom ke-2
M32=
a11
a13
a14
a21
a23
a24
a41
a43
a44
Sedangkan yang dimaksud dengan determinan aij adalah Cij = (-1)i+j Mij.
KOFAKTOR
Maka KOFAKTOR unsur a32 = C32 = (-1)3+2
suatu
unsur
M32
Contoh : A=
2
3
4
5
6
7
8
9
1
Minor a32 =M32 =
2
4
5
7
= 2.7-4.5 = 14-20 = -6
Kofaktor a32 = C32 = (-1)3+2.(-6) = 6 Untuk mencari harga suatu determinan dengan orde ke-n (n>2) yang pad ahakekatnya melukiskan polinomial homogen dengan orde ke-n dapat dilakukan dengan ekspansi menurut ekspansi baris atau kolom. Menurut Teorema LAPLACE “Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemenelemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya”. Dengan kata lain n
|A|= ∑ aijcij = ai1ci1+ai2ci2+…………..+ aincin , dengan i sembarang. Disebut j=1
uraian baris ke-i (Ekspansi Baris). n
|A|= ∑ aijcij = a1jc1j+a2jc2j+…………..+ anjcnj , dengan j sembarang. Disebut j=1 uraian kolom ke-i (Ekspansi Kolom). Contoh : Hitung determinan matriks A=
1
2
3
2
3
4
1
5
7
dengan minor dan kofaktor
Misalkan minor dan kofaktornya dicari dengan melakukan ekspansi kolom ke-1 dari matriks A. Maka minor a11=M11=
Minor a21=M21=
Minor a31=M31=
3
4
5
7
2
3
5
7
2
3
3
4
= 3.7-4.5=1
= 2.7-3.5=-1
= 2.4-3.3=-1
Mencari kofaktor dengan rumus Cij = (-1)i+j Mij. Kofaktor a11 = C11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2.1 = 1 Kofaktor a21 = C21 = (-1)2+1 M21 = (-1)3.(-1) = 1 Kofaktor a31 = C31 = (-1)3+1 M31 = (-1)4.(-1) =-1 n
Maka |A|= ∑ aijcij = a11C11+ a21 C21+ a31 C31 = 1.1+2.1+1.(-1)=1 j=1
Catatan Dalam pemilihan kolom atau baris mana yang diekspansi , tidak menjadi persoalan karena hasilnya akan sama saja.
SIFAT-SIFAT DETERMINAN Diberikan beberapa sifat penting dalam determinan 1. Apabila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom = 0, maka harga determinan = 0. Contoh : A=
0
0
4
5
=0.5-0.4=0-0=0
2. Harga determinan tidak berubah apabila semua baris diubah menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris. Dengan kata lain |A|=|A|T . Contoh : A =
AT=
2
1
5
7
2
5
1
7
maka |A|=2.7-1.5=9
maka |A|=2.7-5.1=9
3. Pertukaran tempat antara baris dengan baris atau kolom dengan kolom pada suatu determinan akan mengubah tanda determinan. Contoh : A=
1
2
3
4
maka |A|=1.4-2.3=-2
Jika baris 1 ditukar dengan baris 2 menjadi A=
3
4
1
2
maka |A|=3.2-4.1=2
Jika kolom 1 ditukar dengan kolom 2 menjadi A=
2
1
4
3
maka |A|=2.3-4.1=2
4. Apabila suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik, maha harga determinan itu = 0. Contoh : B=
1
2
0
1
2
0
3
-1
1
maka |A|= 0
5. Apabila semua unsur pada sembarang baris atau kolom dikalikan dengan sebuah faktor (yang bukan 0), maka harga determinannya dikalikan dengan faktor tersebut. 1
2
3
4
Contoh : A=
maka |A|=1.4-2.3=-2
Misalkan baris 1 dikalikan dengan 2 maka 1*2
A1=
2*2
2
4
3
4
= 3
= 2.4-4.3=-4
4
Terlihat bahwa | A1|=2|A| Misalkan kolom 1 dikalikan dengan 3 maka 1 *3
A2=
2
3
2
9
4
= 3*3
4
= 3.4-2.9=-6
Terlihat bahwa | A2|=3|A| 6. Tanpa mengubah harga determinan, semua unsur sembarang pada baris atau kolom dapat dikalikan dengan sebuah faktor (bukan 0) dan menambahkannya pada atau mengurangi dari sembarang baris atau kolom yang lain. 1
2
3
4
1
2
Contoh : A=
maka |A|=1.4-2.3=-2
A=
3
H12(3) A1=
4
H1+3.H2
10
14
3
4
maka |A1|=-2
Terlihat bahwa |A1|=|A| 7. Bila A dan B bujursangkar maka |A.B|=|A|.|B|. Buktikan! 8. Jika suatu matriks merupakan matriks segitiga atas atau segitiga bawah, maka hasil determinanya merupakan hasil kali dari elemenelemen yang terletak pada diagonal utamanya.
Contoh : A=
B=
2
1
3
0
4
1
0
0
1
2
0
0
1
3
0
4
1
2
maka |A|=2.4.1=8
maka |B|=2.3.2=12
SOAL LATIHAN 1. Carilah banyaknya inversi pada permutasi-permutasi a. (4,1,2,3), (4,3,2,1), (1,3,2,4) b. (5,3,2,1,4), (1,3,5,4,2), (2,3,5,4,1) 2. Hitunglah determinan matriks 2
-2
3
a.
-
-√ 2
b. 1
3
c. 1
4
2
2√ 2
3. Carilah determinan dari matriks-matriks berikut t-2
t-5
2
a.
7
b. -4
-1
t-1
t+3
4. Carilah determinan dari matriks-matriks menggunakan metode sarrus.
a.
2
1
1
0
5
-2
1
-3
4
b.
3
-2
-4
2
5
-1
0
6
1
c.
berikut
2
-4
1
1
-2
3
5
1
-1
dengan
5. Carilah determinan dari matriks-matriks berikut dengan metode ekspansi.
a.
5
4
2
1
2
1
3
2
2
3
1
-2
3
0
1
-2
-5
-7
-3
9
1
-1
4
3
1
-2
-1
4
2
2
-1
1
b.
