1.1. GARIS BILANGAN = 2 2 = 4 = 3 P 1 B P 2-2

Bab I : Titik dan Garis |

1

1.1. GARIS BILANGAN Jika pada suatu garis g terdapat titik tetap O, lengkap dengan tanda-tanda serta satuannya maka tiap titik lain pada garis itu ditentukan oleh sebuah bilangan saja. Sebaliknya tiap bilangan merupakan sebuah titik yang tertentu pada garis bilangan itu, maka garis itu disebut sumbu atau garis bilangan. Keterangan : -

0 (nol) titik asal = titik pangkal

-

Tiap titik pada garis bilangan mewakili bilangan tertentu dihitung dari titik 0 (nol)

-

Panjang antara dua titik dinyatakan dengan |selisih absis-absisnya|

Contoh 1 : Tentukan panjang P1 B ,

P1 -2

-1

0

P1 P2 , dan BP1 , yang dinyatakan oleh garis bilangan !

B

P2

1

2

Penyelesaian :

P1 B  1   2  = 1 2 =3

P1 P2  2   2 = 22 =4

BP1   2 1 = 3 =3

By : Turmudi

E-mail : [email protected]

blog: www.toermoedy.wordpress.com

2 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

1.2. KOORDINAT TITIK Keterangan : - Garis mendatar disebut sumbu X  Y = 0

P2

- Garis vertikal disebut sumbu Y  X = 0 - Sumbu X berpotongan dengan sumbu Y di titik P1

O(0,0). - Titik O(0,0) disebut titik asal = titik pangkal. -

Untuk menentukan titik letak, titik persamaan ditarik dari PP1 tegak lurus sumbu X, dan PP2 tegak lurus sumbu Y, sehingga panjang titik P ditentukan dari panjang OP1 dan OP2

-

Panjang OP1 , disebut absis titik P Panjang OP2 , disebut ordinat titik P, Titik P( OP1 , OP2 ) = P (x,y) disebut koordinat titik.

1.3. JARAK DUA TITIK PADA GARIS BILANGAN Lihat segitiga ABC

Sb. Y

AC = A' B ' = X B  X C B(xB,yB)

BC = BB'  B' C  Y B X A

A(xA,y)

y

Jarak AB  ....?

C

xB - xA y

Sb. X A

x

B’

x

Penyelesaian : Menurut geometri (dalil Pythogoras), Segitiga ABC siku-siku di C 2

2

AB  AC  BC

2

AB  AC 2  BC 2

d AB  AB 

 X B  X A 2  YBY A 2


Contoh 2 : a)

Tentukan jarak antara A (2,1) dan B (5,4)! Penyelesaian:

AB 

 X B  X A 2  YBYA 2

=

5  12  4  12

=

99

=

18

=3 2 Jadi jarak antara A (2,1) dan B (5,4) adalah 3 2 b) Lukislah segitiga ABC dengan koordinat titik A (2,1) , B (5,3) dan C (5,7), hitung luas segitiga itu!. Penyelesaian: Sb. Y

luas segitiga ABC = (APCQ) – (L.APB + L.AQC) Q

=3 6 

C

 12 .3.2.  12 .3.6

= 18  3  9 = 6 satuan luas B

P

A

Sb. X

c) Diberikan jajaran genjang ABCD dengan A (-1,2), B (-1,5) dan D (-4,7). Tentukanlah : (i)

Koordinat titik C !

(ii) Gambar jajaran genjang ABCD tersebut ! (iii) Luas jajaran genjang tersebut !

Penyelesaian:

 1  1 0       5   2   3

(i) AB  

By : Turmudi



3


 0  3

karena ABCD jajaran genjang maka AB  DC    berarti koordinat titik C dapat diperoleh dengan jalan : 0  AB    3 

D (-4,3)   C  4  0,3  3 C  4,6  (ii) Gambar jajaran genjang ABCD adalah sebagai berikut; Sb. Y C (-4,6) B (-1,5)

D (-4,3) A (-1,2)

0

Sb. X

(iii) luas jajaran genjang ABCD = alas  tinggi = AB  t =3 3 = 9 satuan luas Contoh 3: Diketahui trapesium sama kaki ABCD. A (-1,2), B (-6,3), Dan C (-4,3) Tentukan: a.

Koordinat titik C!

b.

Luas trapesium ABCD !

B C

Penyelesaian:

  3  1

a. A (-1,2)  D (-4,3) = 

D A

3   1

B (-1,6)   C (-4,5) b. Luas Trapesium =

1 2

 tinggi ( AB + DC)

=4+3 = 9 Satuan Luas


5

1.4. KOORDINAT TITIK TENGAH









Diketahui : A x1 , y1 dan B x2 , y 2 titik T di tengah AB sehingga

AA1 // TT1 // BB1 Sb. Y

Maka menurut trapesium ABB’A’ : B(x2,y2)

TT 1 

1 2

AA  BB  1

1

T

yt = y2

 y1 , y2 

Analog  xt =

A(x1,y1) y1 B1

T1

x1 A1

1 2

Sb. X

T

1 2

x1 , x2 

 12 x1  x2  , 12  y1  y 2 

x2

1.5. KOORDINAT TITIK SEMBARANG DIANTARA DUA TITIK Sb. Y

Diketahui titik A  x1 , y1  dan B  x 2 , y 2  serta titik T B(x2,y2) T

terletak pada AB, dengan perbandingan m : n

n

 AA' // TT ' // BB' //

m

AT : TB  A'B'  m : n

A(x1,y1)

m A’ 0 Lihat  ABB’

P n T’

tarik garis dari A

B’

Sb. X B’

TP : BB'  AT : AB TP : Y2  M : m  n 

m  n TP  my2 TP 

y2  m ..........................(1) mn

Perhatikan  AA’B’

PT ' : AA'  B' T ' : B' A' PT ' : y1  n : (m  n)

PT ' 

By : Turmudi

y1  n ...................(2) mn E-mail : [email protected]



TT '  PT '

Persamaan (1) + (2)

yt 

y 2  m y1  n  mn mn

yt 

n  y1  m  y 2 mn

Analog : xt 

n  x1  m  x2 mn

 n  x1  m  x2 n  y1  m  y 2   Koordinat titik sembarang  ,  mn mn  

1.6. KOORDINAT TITIK BERAT Diketahui : Segitiga ABC

Sb. Y

C (x3,y3) F D

A(x1,y1)

y3

 12 x1  x2 , 12  y 2  y1 

D

 12 x2  x3 , 12  y3  y 2 

F

 12 x1  x3 , 12  y1  y3 

Z E

y1 y2

B (x2,y2) Sb. X

0

E

Menurut geometri, AZ : ZD = 2 : 1

x1 x2 x3

xz 

1. x A  2. x D mn

xz 

x1  2. 12  x 2  x3  2 1

xz 

x1  1. x 2  x3  3

xz 

x1  x 2  x3 3

Analog : y z 

y1  y 2  y3 3

 x  x  x y  y2  y3   Koordinat titik berat  1 2 3 , 1  3 3  


7

1.7. Luas Segitiga Sb. Y

Diketahui : segitiga ABC. dengan A  x1 , y1  , B  x2 , y 2  , C  x3 , y3  . C (x3,y3)

Ditanya : luas segitiga ABC = …? Penyelesaian:

y3

A(x1,y1)

Luas trapesium AA’C’C

B (x2,y2)

y1 y2

Sb. X A’

x1 x3

 

1 2 1 2

A' C ' AA'  CC  x3  x1    y1  y3 

B’

C’

x2

2 L. trapesium AA’C’C  x3 y1  x3 y 3  x1 y1  x1 y3 …………………………...... (1)



2 L. trapesium CC’B’B = C ' B '  CC '  BB' =  x2 , y 3  .



 x3 , y 2 

= x 2 y 3  x2 y 2  x3 y 3  x3 y 2 ……………………….. (2) Persamaan (1) + (2) 2 L. AA’B’’BC’  x3 y1  x3 y 3  x1 y1  x1 y3 + ( x2 y3  x2 y2  x3 y3  x3 y2 )

 x3 y1  x3 y 3  x1 y1  x1 y3 + x 2 y 3  x2 y 2  x3 y 3  x3 y 2 = x 2 y 2  x2 y 3  x3 y1  x1 y1  x1 y3  x3 y 2 ………………. (3) 2 L. trapesium. AA’B’B = (AA’ + BB’) . (A’B’) =  y1  y 2  x 2  x1  = x 2 y1  x1 y1  x 2 y 2  x1 y 2 ……….……..………... (4) 2 L. segitiga ABC  3  4 

 x 2 y 2  x 2 y3  x3 y1  x1 y1  x1 y 3  x3 y 2 - ( x 2 y1  x1 y1  x 2 y 2  x1 y 2 )  x2 y2  x2 y3  x3 y1  x1 y1  x1 y3  x3 y2  x2 y1  x1 y1  x2 y2  x1 y2  x1 y2 + x2 y3 + x3 y1  x1 y3  x3 y2  x2 y1 2 luas segitiga ABC = ( x1 y 2  x 2 y 3  x3 y1 )  ( x3 y 2  x 2 y1  x1 y 3 )

By : Turmudi




Untuk segitiga ABC setelah didapat hasil diatas baru dibagi dua. Untuk mempermudah kita menghapal rumus dapat dipegunakan dengan sarrus.

(-) x1

y1 1

x1

y1

x2

y2 1

x2

y2

x3

y3 1

x3

y3

(+) 2 luas segitiga ABC = ( x1 y 2  x2 y3  x3 y1 )  ( x3 y 2  x 2 y1  x1 y 3 ) Contoh 4: 1. Dari segitiga ABC. A (0,0), B (5,0), C (3,4) a.

Tentukan koordinat titik tengah sisi bc

b.

Jika titik T terletak pada BC dengan pebandingan BT: TC, 3 : 2 maka tentukanlah T.

c.

Tentukanlah koordinat titik berat segitiga ABC.

d.

Hitunglah luas segitiga tersebut

Penyelesaian: Diketahui :A (0,0), B (5,0), C (3,4) a.

Titik tengah sisi BC

 12 xB  xC , 12  y B  yC   12 5  3, 12 4  0

 12 8 12 4 4,2

 Titik tengah sisi BC adalah (4,2)

b. Koordinat titik T

yT 

n. y B  m. yC mn

xT 

n. x B  m.xC mn



2.0  3.4 23



2.5  3.3 5



12 5



19 5

 19 12   Koordinat titik T  ,  5 5

1.1. GARIS BILANGAN = 2 2 = 4 = 3 P 1 B P 2-2

Recommend Documents