Váení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, e na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, e ukázka má slouit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø vidìl, jakým zpùsobem je titul zpracován a mohl se také podle tohoto, jako jednoho z parametrù, rozhodnout, zda titul koupí èi ne). Z toho vyplývá, e není dovoleno tuto ukázku jakýmkoliv zpùsobem dále íøit, veøejnì èi neveøejnì napø. umisováním na datová média, na jiné internetové stránky (ani prostøednictvím odkazù) apod. redakce nakladatelství BEN technická literatura
[email protected]
Kapitola 3. Mnohoèleny Základní poèetní operace s mnohoèleny. Rozklad mnohoèlenù vytýkáním spoleèného èinitele nebo pomocí vzorcù. Poèetní operace se zlomky zapsanými písmeny. Øeené pøíklady
Pøíklad 3.1. Vypoètìme
[
]
(
)³ã
[
][
]
a) D - D - ( D + ) - « D + D - D á = D - D - D - - D + D - D =
ì
= D - D + D + - D - D + D = D - D + D + ,
(
)
b) D - «-D - D - D + D - Dá + D + =
ì
[
³ã
]
= D - -D - D + D - D - D + D + =
= D + D + D - D + D + D + D + = = D - D + D + , c) (D + )(D + ) + (D - )(D - ) = D + D + D + + D -
- D - D + = D - D + d) ( [ + \ )( [ - \ ) - ( [ - \ )( [ + \ ) =
(
)
= [ - [\ + [\ - \ - [ + [\ - [\ - \ = = [ - [\ + [\ - \ - [ - [\ + [\ + \ = [\
( f) ( [ \
)
e) [ - [ + [ - [ [ = [ - [ + [ - [ ¹
)
- [ \ + [ \ [ \ = [\ - \ + \[\ ¹
Pøíklad 3.2. Mnohoèleny je moné nìkdy vyjádøit jako souèin jiných mnohoèlenù. Provádíme to vytýkáním spoleèného èinitele pøed závorku nebo pomocí vzorcù, napø. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a b)2 = a2 2ab + b2, Antonín Kamarýt: Opakujeme si matematiku - BEN technická literatura
37
a2 b2 = ( a b )( a + b ). Ukáeme si to na nìkolika pøíkladech: a) 4a2 2ab = 2a(2a b), b) a2b ab2 = ab(a b), c) x3y2 x2y3 + x2y2 = x2y2 (x y + 1), d) 9a2 4b2 = (3a)2 (2b)2 = (3a 2b)(3a + 2b), e) 32a2 2 = 2(16a2 1) = 2(4a 1)(4a + 1), f) 2a5 2a = 2a(a4 1) = 2a(a2 1)(a2 + 1) = 2a(a 1)(a + 1 )(a2 + 1), g) a2 + 2ab + b2 ac bc = (a + b )2 c(a + b ) = (a + b)(a + b c), h) xz yz x2 + 2xy y2 = z(x y) (x2 2xy + y2) = z(x y) (x y)2 = = (x y)[z (x y)] = (x y)(z x + y), i) ac bc ad + bd = c(a b) d(a b) = (a b)(c d), j) a6 + a4 a2 1 = a4(a2 + 1) (a2 + 1) = (a2 + 1)(a4 1) = = (a2 + 1)(a2 + 1)( a2 1) = (a2 + 1)2(a + 1)(a 1). Pøíklad 3.3. Poznatkù z pøedchozího pøíkladu se vyuívá napø. pøi krácení zlomkù. Uvedeme opìt nìkolik pøíkladù. a)
b)
c)
d)
DE + D
E + DE X - Y
X - XY
=
D(E + D) E(E + D)
[
-
=
D b ¹ 0, a ¹ b, E
(X - Y )(X + Y ) = X + Y X(X - Y ) X
D[ + [ - D -
=
u ¹ 0, u ¹ v,
( ) - ( D + ) = ( D + )( [ - ) = D + ( [ - )( [ + ) ( [ - )( [ + ) [ +
[ D +
x ¹ ±1,
+ [\ + \ - ] ( [ + \ ) - ] = = [ + [] + ] - \ ( [ + ] ) - \
[
=
38
=
( [ + \ + ] )( [ + \ - ] ) = [ + \ - ] ( [ + ] + \ )( [ + ] - \ ) [ - \ + ]
y ¹ ± (x + z),
Antonín Kamarýt: Opakujeme si matematiku - BEN technická literatura
e)
[\ + \ - [ - \ ( [ + ) - ( [ + ) = = [\ - [ - \ + \ ( [ - ) - ( [ - )
=
f)
( [ + )( \ - ) = [ + [ ¹ \ ¹ ( [ - )( \ - ) [ -
( D - )( D + ) = ( D - )( D + ) = D - D - = DE + E - D - E( D + ) - ( D + ) ( D + )(E - ) E - a ¹ -2, b ¹ 1.
Pøíklad 3.4. Sluème zlomky: a)
[ - [+ \
-
- [ [+ \
=
[ - - + [ [+ \
=
[ - [+ \
x ¹ -y,
b)
D D D D + = + = + = a ¹ 2, D - - D D - ( - + D) D - D - D -
c)
D - E D + D + E - D + E + = = D + E D D + DE D( D + E) D + E ( D + E) = = D( D + E) D( D + E) D
d)
[ - \ [+ \
= =
-
[ - \ \-[
-
[ [
-\
a ¹ 0, a ¹ b,
=
[ - \ [+ \
+
[ - \ [- \
-
([ - \ )([ - \ ) + ( [ - \ )([ + \ ) - [ = ([ - \ )([ + \ ) ([ - \ )([ + \ ) [
[
=
- [\ - [\ + \ + [ - [\ + [\ - \ - [ = ([ + \ )([ - \ )
([ - \ ) = [ - \ [ ¹ \ - [\ + \ = ([ - \ )([ + \ ) ([ - \ )([ + \ ) [ + \
[
Antonín Kamarýt: Opakujeme si matematiku - BEN technická literatura
39
Pøíklad 3.5. Násobení a dìlení zlomkù. Vypoètìme:
» [ - - [ - [ [ ± » ± ¢ = ² ¢ ª - ² = ½ [ + [ - Õ ½ [ Õ ( [ + )( [ - ) [ -( + [ ) -( [ - ) - - [ - [ = ¢ = ¢ = ( [ + )( [ - ) [ ( [ + )( [ - ) [
a) ª
=
( [ + )( [ - ) = [ ¹ [ ¹ [ ( [ + )( [ - ) [
b) »ª - ±² ¢ »ª + E ±² = E - D ¢ D - E + E = ½ D EÕ ½ D - EÕ DE D-E
=
-( D - E) DE
¢
D = - DE ¹ D ¹ E D-E E
± - [ - - + [ ± » » = ¢ - ² = - ² ¢ ª [ + - [ ½ [ + Õ ½ - [ Õ - [ + [ = ¢ = [ ¹ ±[ ¹ [ + - [
c) ª
d) »ª + D ±² »ª + D ±² = - D + D - D + D = ½ - DÕ ½ - DÕ - D - D
=
- D D ¹ ¢ = - D + D + D
» D ± » D + E - ± ² ª - E ²² ª½ Õ ½ Õ
e) ª
D - E D E -
( D - E)( D + E) ¢ = D - E ¢ = D + E D + E = ( D - E) D ¹ -E
40
Antonín Kamarýt: Opakujeme si matematiku - BEN technická literatura
Zkuenìjí ètenáø mùe poèítat takto: f)
» [ [ ± » [ ± [ + D[ + D D ª + + ² ª + ² = ¢ = ª D D ² ½ D Õ D+ [ D ½ Õ ( [ + D) ¢ D = [ + D D ¹ [ ¹ ±D = [+D D D
E D Pøíklad 3.6. Zjednodume sloený zlomek D E E D +
Øeení:
Sloený zlomek mùeme zjednoduit dvìma zpùsoby: a) Sloený zlomek vyjádøíme jako dìlení èitatele jmenovatelem, tj.
E D = » + E ± » D D E ª½ D ²Õ ª½ E E D D+E DE = ¢ D ( D + E)( D - E) +
E± D + E DE ¢ = ²= DÕ D D - E
=
E DE ¹ D ¹ E D-E
b) Sloený zlomek rozíøíme výrazem ab (nejmení spoleèný násobek jmenovatelù a, b) a dostaneme
E D ¢ DE = DE + E = E( D + E) = E D ¹ EDE ¹ D E DE D - E ( D + E)( D - E) D - E E D
+
Antonín Kamarýt: Opakujeme si matematiku - BEN technická literatura
41
Cvièení 3.1.
Sluète a výsledek uspoøádejte sestupnì a) 5c2 + 3c c2, b) 5h 3h2 + h, c) x3 3x x2 + 4x3 + x, d) 10 2b2 + b2 5 + 5b2 + 3b.
3.2.
Odstraòte závorky a sluète: a) 4x (5x + 3y) 2y, b) (7x 3x2 ) (3x 7x2), c) (4x2 5x3 + x) (x2 + 3x4 x4), d) (3u + 5v 7) (2 3v ) (4 5u).
3.3.
Sluète: a) 1 + 3t {1 + t [1 + 2t (t 3) (1 + 4t)] 1},
(
) [
]
« á b) - Ã[ - [ + ³ - [ - [ + ([ - ) ¬ ã
c) - > [ - ([ + ) + [@ - ^[ - [ - > - [ - ( - [ )@ + ` ,
« ±á » d) [ + \ - à [ + \ - ª½ [ + \ ²Õ ³ ¬ ã 3.4.
Odstraòte závorku: a) b) c) d)
3.5.
Zjednodute: a) b) c) d)
42
4 (x 5), a (x 5), x (x y), 12 (4x + 6y + 9z).
2 (c + 1) + 3(c + 2), 3 (u 2) (5 u), 2p (p2 1) + p2(1 2p), 1 + 3 (1 y) + 2 (4y + 7).
Antonín Kamarýt: Opakujeme si matematiku - BEN technická literatura
3.6.
Zjednodute: a) b) c) d)
3.7.
3x (2x 3y) + 2y(2x 3y) 3(x2 + y2), 3x3 (1 2x +3x2) 3x2(1 2x + 3x2) + 2x(1 2x + 3x2), 6a [5b 3(a 2) 8], 12(a + b) 4[4a + 2b 2(a + b)].
K danému mnohoèlenu napite mnohoèlen opaèný: a) 3a +2b c, c) 4 x2 y2,
3.8.
b) x2 + y2 8xy, d) 7xy x + y.
Zapite pomocí závorek: a) K èíslu x pøiètìte 2y a potom odeètìte rozdíl èísel x, y. b) K souètu èísel u, 2v pøiètìte rozdíl èísel u, v. c) Od rozdílu èísel a, 2b odeètìte souèet èísel a, b. d) Od èísla u odeètìte souèet èísel 2v, x, pak odeètìte rozdíl èísel x, y. e) Rozdíl s menencem 2x y a menitelem 3u + 2v znásobte souètem èísel 2a, 3b. f) Od èísla u odeètìte èíslo d a rozdíl násobte 10. g) Udejte oè je vìtí 3x + 2y ne 2x 5y. h) K polovinì souètu èísel 2u, 3v pøiètìte trojnásobek rozdílu èísel 4x, 3y.
3.9. Zapite pomocí závorek: a) K souètu èísel 3a, 2b pøiètìte dvojnásobek rozdílu èísel 3x, 4y. b) Od souètu èísel 2a, b odeètìte rozdíl èísel x, y zmenený o 7. c) K rozdílu èísel 3a, 4b pøiètìte dvojnásobek èísla x zmenený o 2. d) Od rozdílu èísel 2a, b odeètìte dvojnásobek rozdílu èísel 3x, 2y zvìtený o 4. e) Od èísla 7a odeètìte èíslo 2b a pak odeètìte souèet èísel x, y. f) K rozdílu èísel 2a, 3b zmenenému o 4 pøiètìte dvojnásobek rozdílu èísel x, y zmenený o 3. g) K ètyønásobnému souètu èísel 4a, 2b zmeneného o 14, pøiètìte dvojnásobek rozdílu èísel x, y zvìtený o 6. h) Rozdíl s menencem 2a 4b a menitelem 4u 3v znásobte rozdílem èísel x, y. i) Rozdíl s menencem 3a + 4b a menitelem 2u + 3v zvìtete o èíslo x zmenené o 9. j) O kolik je 3a + 4b vìtí ne rozdíl èísel x, y zmenený o 4. k) O kolik je dvojnásobek souètu èísel 3x, 8a 2b zmenený o 3 vìtí ne trojnásobek rozdílu èísel x, y zvìtený o 9. l) Kolikrát je polovièní souèet èísel 3x y, 2u + 3v vìtí ne tøetina rozdílu èísel 3x + y, 2u + v zvìtená o 12. Antonín Kamarýt: Opakujeme si matematiku - BEN technická literatura
43
