Breuken op de dubbele getallenlijn' A. Treffers Vakgroep OW & OCIVakgroep Onderwijskunde, RU Utrecht 1 Inleiding In de jaren zeventig introduceerde Streefland breuken via eerlijk verdelen. Tafelschikkingen stonden model voor gelijkwaardigeverdelingen met als opbrengst gelijkwaardige breuken. In de jaren tachtig werd daarvoor een passende notatiewijze bedacht: @ drie pizza's (op de tafel) voor vier personen (om de tafel) 4 voor het resultaat van de verdeling Een verbinding tussen verhoudingen en breuken via eerlijk verdelen, leidend naar gelijkwaardige breuken, die op hun beurt weer de grondslag voor de basisbewerkingen met breuken vormen. Voor het vergelijken van breuken en vervolgens voor het bepalen van het verschil bleek deze benaderingswijze goed te voldoen. Dat wil zeggen: hij paste goed binnen de genoemde context van het eerlijk verdelen. Zo kan bijvoorbeeld de vraag 'wat is meer of ;?' via gelijkwaardige tafelschikkingen als volgt worden opgelost:
5
9 9 ... 9 . 9
Aan a1 deze tafels evenveel pizza:
5 fi
Aan a1 deze tafels evenveel pizza: Het verschil is dus - = De metonymische verbinding van verhoudingssituatie en breuk + f voldoet vooral ook het stuk-voor-stuk verdelen duidelijk wordt dat = $ + ;eerst &n pizza veromdat vanuit delen onder drie personen, en dan nog e n . En daarmee werd a1 direct &n van de problemen die kinderen met breuken blijken te hebben goeddeels ondervangen, namelijk de misvatting van breuksymbolen met teller groter dan &n.
A, 5
2
A.
4
5
Maar nu de grenzen van de modelsituatie 'pizza verdelen'. Ten eerste het optellen. Dit kan in de betreffende context niet goed op een natuurlijke wijze worden geduid. Of erger nog: zelfs geheel verkeerd gebeuren via het optellen van verhoudingsgetallen, eenvoudigweg door de tafels tegen elkaar te schuiven. Maar goed, met enige moeite zou men &n en ander nog we1 kunnen opvangen. Bijvoorbeeld door nadrukkelijk van 66x1tafelschikking uit te gaan: ' + $ ' wil zeggen 'eerst kreeg je pizza en later nog f pizza, hoe zag de verdelingssituatie emit?' en als die gevonden is dan de breuk-uitkomst noteren. Of men zou aftrekken op een meer formele wijze als grondslag voor het optellen kunnen kieZen, dus bijvoorbeeld 1, + $ via ? - $ = $ .
3
4
Maar bij vermenigvuldigen wordt de zingeving binnen deze context nog lastiger - ik zal dat nu niet verder illusrreren maar als puzzel aan de lezer laten. Idem voor delen.
Wat echter zeker zo problematisch is: de genoemde modelsituatie staat nogal ver van toepassingen van breuken die vaak betrekking hebben op meten (onder andere ook het meten van kansen). Dit alles was voor Streefland aanleiding om in de loop van zijn onderzoek het meetaspect van breuken nadrukkelijker in het onderwijs te betrekken. Dat gebeurde door de invoering van een zogenoemde 'bemiddelende grootheid'. Een voorbeeld: aan &n pizza wordt een prijs toegekend, zeg zes gulden, en via die maat wordt dan $ + en $ - $ berekend. $ pizza + $ pizza komt zo op vijf gulden, dat is dus deel van de hele pizza, ergo: + = Idem voor - $ via drie min twee gulden naar Bij vermenigvuldigen wordt x 4 ' ge'interpreteerd als deel van 4 pizza' en volgt de berekening '; deel van Wee gulden is &n gulden is pizza'. Delen kan dan formeel worden benaderd als inverse van vermenigvuldigen zoals eerder aangegeven. Of via een interpretatie als 'hoeveel keer past pizza in pizza' (bij : 5) en ook dan weer met de bemiddelende grootheid van prijs. Hoewel daar direct aan toegevoegd moet worden dat een dergelijke zingeving niet zo makkelijk is. Waarom bij vermenigvuldigen &n pizza nemen die onderverdeeld wordt en bij delen de opgave lezen door beide breuken als pizza's te benoemen? Nu zou men bij het delen natuu~lijkook weer temg kunnen grijpen op het verdelen en op de regels die daar toen zijn ontdekt over gelijkwaardigheid,en via het vermenigvuldigen van teller en noemer met eenzelfde getal de oplossing proberen te vinden. Maar dan lopen de wee modelsituaties 'eerlijk verdelen' en 'passende maatverfijning' we1 wat onduidelijk door elkaar bij de verschillende basisbewerkingen. In de uiteindelijke opzet van Streeflands leergang werd de modelsituatie van het eerlijk verdelen gebruikt bij de introductie van de breukentaal en om de gelijkwaardigheid van breuken te ontdekken, om vemolgens voor het opereren met breuken de modelsituatie van de passende maatverfijning via een bemiddelende grootheid te gebruiken - althans louter methodisch bezien en vanaf wat grotere afstand van het onderwijs ziet de leerlijn er zo uit. Echter dichter bij het onderwijs bekeken blijkt er helemaal niet zo'n duidelijke afschotting te bestaan. Dat komt omdat Streefland van meet af aan voor een didactische benadering kiest waarin kinderen veel ruimte krijgen voor eigen constructies en produkties. Metals gevolg dat bij het verdelen en het beschrijven van verdelingen kinderen al direct de gelegenheid krijgen allerlei relaties op te sporen en te beschrijven. De verdeling bijvoorbeeld geeft dan als resultaat g, of + $, of 1- $. 2 x $, genoteerd in symbolentaal of op vergelijkbare wijze verwoord of gevisualiseerd. Kortom, de weg naar de operaties - naar meerdere operaties - ligt dan al direct open. Via het stimuleren van eigen produkties wordt die route a1 gauw verder verkend:
4
'12
a.
a
'4
4
5
4 2.
i
9
g = 4 + 1 . 32' =31 - 3 ; $ = $ + 1 . 2 = , +6 '$ 3; . . .
En ook omdat van meet af aan een grote verscheidenheid aan toepassingen wordt aangeboden - en zelf bedacht! - is die scheiding tusseh het aanbrengen van breukbegrip enerzijds, en het opereren met breuken anderzijds niet zo duidelijk als een methodische schets van de leergang suggereert. Anders gezegd: juist ook bij zo'n complex begrip als breuk is het dienstig de algemene onderwijsgangen de individuele leerstructuur duidelijk van elkaar te onderscheiden. Dit gezegd hebbende moet daaraan echter direct worden toegevoegd dat de globale onderwijsgang toch voor een belangrijke deel de individuele leerstructuur van de leerlingen bepaalt. Talrijk onderzoek wijst erop dat de methode ('de onderwijsweg') er toe doet! Om die reden, en natuurlijk ook omwille van de overzichtelijkheid, zal ik me in het volgende tot een globale schets van enkele leergangvarianten van breuken bepalen (in de bovengenoemde zin van 'algemene onderwijsgang') op basis van dezelfde didactische principes als in het genoemde onderzoek van Streefland gebeurt - dus (1) met het verschaffen van een concrete oriEnteringsbasis, (2) het aanbieden van modelsituaties en passende schematiseringen en symbolen, (3) het laten maken van eigen produkties (onder meer) om het reflecteren op het
eigen leren te stimuleren, (4) interactief onderwijs te geven, en (5) leergangen te laten verstrengelen. Dit alles laat ik bij de volgende schets van enkele leergangvarianten dus verder onbesproken. Maar bij het zich indenken hoe de individuele leerwegen zullen k u ~ e vn e r b pen en welke leerstructuur wordt ontwikkeld, is het uiteraard we1 van belang deze didactische principes van het achterliggende onderwijs in gedachten te houden. Zo mooi rechtlijnig als direct wordt beschreven zal het leren niet verlopen, maar een globale richting wordt er we1 mee aangegeven - en dat is ook precies de taak van een onderwijsontwikkelaar. 2 Gebruik van letters, benoemde breuken We hebben bij het introduceren van de bemiddelende grootheid wellicht niet de logische consequentie getrokken van het benoemen van breuken en het noteren van die benoemde breuken met letters. (Ik zeg hier maar 'we' - zeker ook als het om gesignaleerde tekorten gaat - omdat ik in de jaren tachtig nauw bij het ontwikkelingsonderzoek van Streefland over breuken betrokken ben geweest en de (nog) niet benutte kansen mede voor mijn rekening wens te nemen - maar dit tussen haakjes.) Eind september 1990 zag ik in een flits welke voordelen benoeming en letternotatie bij breuken zouden kunnen hebben. Ik som ze op: 1. Benoemde breuken zijn concreter (net zoals benoemde getallen in het aanvankelijk rekenonderwijs concreter zijn dan onbenoemde; kinderen kunnen al betrekkelijk snel met benoemde getallen opereren (zeg vanaf vier jaar) maar met pure getallen pas veel later (zeg vanaf zes jaar) $ p bijvmbeeld is $ deel van een pizza, maar $ op zichzelf gesteld is louter een getal met een ondoorzichtige naam (een hoofdtelwoord verbonden met een rangtelwoord 'twee-derde'). Om $ p te bepalen kan van iets concreets worden uitgegaan, bijvoorbeeld van een pizza, waarvan p de afkorting is. Of natuurlijker nog: men kan er natuurlijke maten bij betrekken, zoals m voor meter, u voor uur, d voor dag, I voor leeftijd, t voor tijd, a voor aantal enzovoort. 2. Het vinden van een passende maat bij het werken met een bemiddelende grootheid wordt vergemakkelijkt. Sterker nog: er is eigenlijk geen sprake meer van een bemiddelende grootheid, want het gaat juist om de grootheden zelf, ze worden benoemd en genoteerd. We1 wordt d a m een passende en goede tussenmaat bedacht om het opereren met breuken te vergemakkelijken en onder controle te houden - waarover direct meer. 3. Het onderscheid tussen optellen en aftrekken enerzijds,en vermenigvuldigen en delen anderzijds wordt nu duidelijk zichtbaar: $m+$m Z1 m - $ m deel van
4
j m; 4 x
m (later)
1
Zm:$~ffm:$m Het feit of een breuk al dan niet als operator fungeert, komt in de onbenoemde vormen niet tot uitdrukking, maar met letters juist wel. En dat is voor een goed begrip van de uit te voeren bewerking van eminent belang. Bij natuurlijke getallen is dat in feite ook zo en dat blijkt overduidelijk als kinderen de opdracht krijgen om '2 + 3' en '2 x 3' met blokjes uit te beelden. Dat gaat bij '2 + 3' probleemloos, laten we zeggen via '241+ 3b = 5b', maar bij '2 x 3' lukt dat absoluut niet. Het gaat immers niet om '2bx 3b' maar om '2 x 3b', dus die 2, de operator, heeft een andere status dan de 3. (Het vormen van paren in een cartesisch produkt is hier uiteraard niet aan de orde.) En bij breuken is dat niet anders: x $ m. Dat dit bij het rekenen in het algemeen niet tot grote problemen leidt, komt door de verwoording 'twee keer drie' welke precies die handeling uitlokt waarvoor de operator is ingevoerd. Maar bij breuken levert die verbinding van 'deel van'; en van 'keer' meer moeilijkheden op, althans aanvankelijk - ook daarop kom ik straks terug. In het volgende zullen de drie genoemde voordelen nog duidelijker zichtbaar worden.
d
3 Gebruik van de dubbele getallenlijn
Bij verhoudingen kan de (lege) dubbele getallenlijn een belangrijke denk- en rekenfunctie vervullen, voorafgaande aan het werken met de verhoudingstabel en met machientjes. Ook bij breuken, die immers eveneens een verhoudingsrelatie kunnen uitdrukken, is die (lege) dubbele getallenlijn inzetbaar bij het vergelijken en bij de basisoperaties. I 1
m+
3m
f m
1m
I
I
I
(5)
(10)
(4)
3 m=?
12
I
I
Zet m op, bepaal ongeveer m en $ m. Of: zet m op, bepaal een passende onderverdelingvan m (lo), bereken respectievelijk men $ m in 'ondermaten', en plaats dan 4 m en 3 m op de bovenzijde. We krijgen dan de volgende berekening:
i
6
Men kan desgewenst hier ook lezen: 5 dm + 4 dm = 9 dm = m. (Ik ga ervan uit dat a1 eerder ter sprake is geweest en is ingeoefend dat die (1) in dit geval dm of m is - maar op dergelijke voorwaarden ga ik straks in, en ook op de opbouw naar complexiteit, schematiseringen verkorting.)
Of desgewenst: 5 dm - 4 dm = 1 dm = m. In feite gaat het vergelijken van breuken en het vaststellen van (on-)gelijkwaardigheid ervan hieraan nog vooraf. Dit gebewt op vergelijkbare wijze via 'ondermaten'. En de opgave deel van $ m' gaat zo:
'4
(3)
(6)
(10)
Eerst een goede ondermaat voor m aanbieden of laten kiezen (lo), en dan de operatie in twee delen uitvoeren en ten slotte noteren:
4
6
Of deelvan6dmis3dmis m. De verhoudingsdeling m : m of de verdelingsdeling m : kunnen op het formele niveau via het inverse-schema worden berekend:
3 i
3 1
Met name kan de verdelingsdeling in toepassingssituatiesop deze wijze inzichtelijk worden gemaakt, doordat dit daar ook precies past in de context van ? x = $ m of $ x ? = $ m een soort stipsom die verwijst naar vermenigvuldigen. De verhoudingsdeling daarentegen kan in contextsituaties we1 makkelijker worden voorge steld en via gelijkwaardige verhoudingen worden opgelost. Een voorbeeld: m : $ m.
1
1
Hoeveel keer past
$ m in 1m? Zoek weer een passende ondermaat - dat is (10).
-
0f:5dm:6dm= I,. Als de maat wordt veranderd blijft de verhouding hetzelfde. Vandaar dat het antwoord Controle via vermenigvuldigen:
2 is!
::
m
4m
ez 5
x2 m 5
-, x $ m= $ m.Klopt. 5
Kortom, er zijn twee mogelijke ingangen voor de (verhoudings-)deling:een meer contextuele en een meer formele. Op een gegeven moment en op een bepaald niveau kan de meer formele benadering zonder bezwaar worden gehanteerd, omdat de vakmatige ondergrond dan voldoende concreet is om op verder te werken. 4 De globale opbouw Allereerst moeten de leerlingen de breukentaal leren - dus voor u, &n uur).
$ u, $ u, q
u leren bepalen (lees
Daarbij kan aan de onderkant de 'ondermaat' van een kwartier als ori&ntatiepuntverschijnen. Verschillende manieren om een breuk te beschrijven worden onderzochr u = l u - lu = 3 x l u = l , + l u + L u = I u + 1 4
4
4
4
4
2
4 " '
Men kan dit uitbreiden naar breuken met in de noemer 5, 10.3 en zo verder, in verbinding met maten die passen. Het ongeveer plaatsen van breuken - stambreuken, echte breuken en gemengde breuken - op de dubbele getallenlijn en dan van de onderkant af controleren of de plaats ongeveer klopt is van groot belang. Bij dit alles gaan we er dan a1 vanuit &t de leerlingen 'delen' van getallen kunnen bepalen, bijvoorbeeld de helft van twaalf, en driekwart van twaalf, enzovoort - wat in het algemeen niet zoveel problemen oplevert (als ze tenminste en dergelijke kunnen duiden).
Daarna, maar daarvan niet scherp gescheiden, volgt het vergelijken, en het optellen en afwekken van benoemde breuken - eerst met natuurlijke grootheden, dan met letters die duiden op prijzen en hoeveelheden die kunnen vari&renen 'passend' onderverdeeld k u ~ e nworden. Eerst wordt die onderverdeling direct onder de letter gegeven, maar later moeten de leerlingen zelf een geschikte maat kiezen waarmee goed (lees: met natuurlijke getallen) kan worden gewerkt. Zoals gezegd dienen van meet af aan ook gemengde breuken in de beschouwing te worden bewokken, bijvoorbeeld 2$ m + 1 m en 2$ m - 1; m en ook in moeilijker gevallen, welke overigens vrij eenvoudig zijn terug te brengen tot het werken met echte breuken, of bijna echte breuken; in ons voorbeeld tot m + f m en tot 1 m - m, dus alles dicht in de buurt bij 1 m, waar desgewenst een geschikte ondermaat moet worden gekozen. 'Desgewenst' zeg ik nadrukkelijk, want bij en zullen vele leerlingen de overstap naar de onderzijde van de getallenlijn a1 gauw niet meer maken. In die gevallen kunnen ze &n al op het formele niveau opereren, wat ook in de eigen produkties tot uitdrukking komt.
i 4
4
i
a
Bij het vermenigvuldigen doet zich het bijzondere geval voor dat op een gegeven moment de deel-van-taal en de zoveel-keer-taal met elkaar verbonden dienen te worden. Welnu, daarmee kan al heel snel worden begonnen, omdat in opgaven als '2: keer u' (of 21, x u) de keer u' als het ware met die twee keer handeling wordt meegesleept.
'4
a
(i
En die $ keer x) blijkt dezelfde handeling uit te lokken als ' deel van ...' . Hetzelfde doet zich voor bij '2; keer $ u' bijvoorbeeld: eerst twee keer $ nemen, en dan nog keer $.
'a
Bij het berekenen van deel van $ u' hebben de leerlingen overigens a1 vlug door dat een ondermaat van '3 x 4' makkelijk werkt.
En nog later dat de uitkomst eenvoudig bepaald kan worden door tellers en noemers te vermenigvuldigen (en daarna de breuk zonodig te vereenvoudigen). In het onderwijs moet echter niet op een snelle algoritmisering worden aangestuurd, want dan loopt men gevaar dat de leerlingen blind met cijfers gaan manipuleren en binnen de kortste keren allerlei procedures door elkaar gaan haspelen. Heel iets anders is het echter indien kinderen voortgang boeken in het inzichtelijk opereren op het formele niveau en daar allerlei verkortingen gaan aanbrengen vanuit een concrete oriEnteringsbasis. Dat is immers precies wat we willen, namelijk verticaal mathematiseren vanuit concrete modelsituaties met benoemde breuken. En dan is het ook het juiste ogenblik om opgaven als 24 x 1$ automatisch via x = = te berekenen. Daarnaast moeten toepassingen steeds in het oog worden gehouden, die overigens in principe niet verschillen van de toepassingen van de basisoperaties met natuurlijke getallen (afgezien van de kansrekening die in Nederland niet op het basisschoolprogramma staat).
3 35
5 Andere modellen en rnodelsituaties Naast de dubbele getallenlijn zijn er uiteraard nog andere modellen die bruikbaar zijn voor het leren opereren met breuken: rechthoeken, cirkels, suoken, grafieken, machientjes en zo
meer. Deze zijn echter in onze optiek alle ondergeschiktaan het moedermodel van de dubbele getallenlijn. Maar dat betekent niet dat ze van weinig belang zouden zijn - zeker niet. Zo is het rechthoeksmodel van grote betekenis voor toepassingen die iets met oppervlakte van doen hebben, de cirkel is zeer geschikt als grafische voorstelling (sectordiagram) van verdelingen, en ook stroken en grafieken hebben hun betekenis. Machientjes (en de daarmee verbonden pijldiagrammen) hebben zin bij het pure rekenen en later in het kader van functies en grafie ken. En m zijn er nog stroomdiagrammen bij statistiek die breuken representeren en nog meer. Laten we ons bij de korte bespreking tot &n model als voorbeeld beperken, namelijk tot het veel gebruikte rechthoeksmodel. In hoeverre is dit model bruikbaar voor het optellen en aftrekken van breuken? Voorbeeld: $ a + $ a = ...e n $ a - $ a = ... Verdeel de rechthoek a in horizontale en verticale delen die corresponderen met de (noemers van) breuken. De moeilijkheden worden a1 direct duidelijk (fig.1).
figuur 1
Op zich zijn de delen makkelijk te markeren, maar ze moeten bij het optellen uit elkaar wor-
-
den gehaald, ze mogen elkaar niet overlappen dus hebben we een tweede rechthoek nodig. Beter mu het zijn om van meet af aan de breuken uit twee rechthoeken te nemen, maar clan is de noodzaak van een onderverdeling in vijftienden weer niet zo evident. Bij het aftrekken vinden we voor een deel dezelfde problemen. Kortom, voor optellen en aftrekken lijkt het rechthoeksmodel niet zo geschikt. Het wordt daarvoor ook niet veel gebruikt. Het rechthoeksmodel wordt voomamelijk ingezet bij het vermenigvuldigen van breuken. Op het eerste gezicht lijkt het daartoe ook heel geschikt. ' $ deel van a' gaat als volgt (fig.2).
2
5
deel van
4a
figuur 2
Het blijkt echter dat leerlingen m'n verdeling uitermate moeilijk met vermenigvuldigen identificeren, zeker ook als het om toepassingen gaat. Ook het meeslepen van de breuk in een gemengd getal bij een opgave als '23 x $ ' gaat hier moeilijk. Niettemin is het rechthoeksmodel van belang, maar meer in de sfeer van de toepassingen dan bij de start van vermenigvuldigen van breuken, naar mijn idee. De verbinding met het model van de dubbele getallenlijn kan worden gelegd door aan de reep (de rechthoek) een bepaalde prijs toe te kennen en die bij het
':
bepalen van bijvoorbeeld deel van $ a' als 'ondermaat' in de berekening mee te nemen. Bij het delen gaat dat op dezelfde manier. Zonder prijstoekenning of een verdeling in stukjes kan een deling als r : r' met het rechthoeksmodel moeilijk worden verduidelijkt. Gelet op dit alles, en in aanmerking nemende dat ook veel toepassingen meer een lineaire aard clan een 0ppe~lZiktekarakter bezitten, blijkt het rechthoeksmodel dus als moeder-model een beperkte betekenis te hebben: het is te weinig universeel zowel voor het pure opereren met breuken als in toepassingsituaties. Ook de andere modellen die eerder werden genoemd hebben die beperking. Maar dat wil niet zeggen dat ze op een geigend moment geen belangrijke functie kunnen vervullen, zeker niet. Maar we1 dat ze niet als belangrijke 'modellen van' kunnen fungeren die later algemene 'modellen voor' breukrekenen worden.
'5
6 Pizza's verdelen
Welke plaats zouden we nu aan het pizza-verdelen willen toekennen? Eerder gaf ik a1 aan dat de metonynische overstap van verhoudingen op breuken belangrijk kan zijn voor de correcte interpretatie van de symbolen van breuken.
9
als tafelschikking (lees 'drie pizza's op tafel v a n acht penonen eromheen') leidt tot de verdeling van { pizza per persogn, en tot het inzicht dat p = p + p + p. Later kan dit bijdragen tot het inzicht dat m verkregen kan worden door van 1 m vervolgens deel te nemen of door 3 m in acht gelijke delen te verdelen. Voor een volledig begrip van breuken is dat van belang en het is zeker niet vanzelfsprekend voor de leerlingen, zo blijkt uit tal van ondenoek. Daarnaast biedt de pizza-verdeling een goede mogelijkheid om gelijkwaardigebreuken te introduceren en van daaruit breuken te vergelijken. Het is echter de vraag welke ingang men bij breuken het beste kan kiezen, eerst die van de meetgetallen of eerst die van de verdelingen van objecten. Meetgetallen in de vorm van halven en kwarten zijn de kinderen a1 vanaf groep vier of groep vijf bekend, dus ligt het voor de hand om bij die kennis aan te sluiten. Maar al spoedig zal ook de verdeelsituatie erbij betrokken kunnen worden, want ook het eerlijk verdelen en opdelen verschijnt a1 vroeg in de basisschool. a n en ander kan worden verbonden door gebruik te maken van dropveters, bijvoorbeeld drie dropveters met z'n vieren of met z'n vijven te delen, zoals Streefland doet. Het antwoord op de gestelde vraag luidt dus dat beide benaderingen a1 betrekkelijk vroeg in de leergang een plaats dienen te krijgen. Alleen kan bij het opereren met breuken het werken met meetgetallen en benoemde getallen, als delen van een eenheid via een bemiddelende grootheid, duidelijk aan gewicht winnen. A1 met a1 kunnen twee leergangvarianten worden onderscheiden: 1. Een benadering waarin het eerlijk verdelen als instap vooropgesteld wordt. 2. Een benadering waarin het meten voorop staat. Zojuist werd gesteld dat de pizza-verdeelsituatie belangrijk kan zijn voor begrip van f zijnde + + of 3 x Er is echter nog e q andere mogelijkheid om de kinderen de breukentaal te leren verstaan. Deze is in de jaren zeventig door Wijdeveld ontwikkeld en beproefd. En hij lijkt uitstekend op de dubbele getallenlijn en bij benoemde breuken te passen.
i
4.
i
9
p wordt dan als volgt verwoord en genoteerd op de dubbele getallenlijn: verdeel p in acht stukken 8 ; 8 noteren met een streepje erboven; - neem er daarvan drie. Noteer die 3 boven de 8 .Resultaat p. De noemer geeft de verdeling in gelijke stukken am, en de teller telt hoeveel je ervan neemt. -
p
Misschien is deze notatiewijze aan de onderzijde te preferen boven de eerder aangegeven schrijfwijze met haakjes, omdat de verbinding met de breuknotatie duidelijker is. Het lijkt zeer de moeite waard deze aanpak in dit kader nog eens grondig uit te werken. Ze zou dan naast de verdelingsbenaderingdienst kunnen doen, zeker indien men de voorkeur aan een instap van meten zou geven. En ze zou geleidelijk ontwikkeld moeten worden: eerst met nadruk op de noemer, de verdeling met streepnotatie als ondermaat, en vervolgens op de teller, het aantal stukjes. 7 Relatie met verhoudingen, procenten en decimale breuken De hechte samenhang tussen verhoudingen en procenten enerzijds en (decimale) breuken anderzijds, blijkt uit het feit dat voor al deze gebieden de dubbele getallenlijn als moeder-model kan fungeren. Wat het overigens ook makkelijk maakt om van de ene aanpak op de andere over te stappen. De tweezijdigheid van de dubbele getallenlijn brengt het verhoudingsaspect duidelijk tot uitdrukking:
15
omwentelingen
?
Een wiel legt in vijf omwentelingen vier meter af, dus in tien omwentelingen acht meter, enzovoort. Via de dubbele getallenlijn kan de vraag worden beantwoord hoeveel omwentelingen het wiel heeft gemaakt indien 36 meter is afgelegd. En de vraag 'hoeveel meter na CCn omwenteling' voert naar breuken, in dit geval $ meter. De wijze waarop 'in het groot' wordt gewerkt op de dubbele getallenlijn bij de introductie van verhoujdingen is dezelfde als die met breuken 'in het klein'.
Een verdeling aan de onderkant in honderd delen bindt vervolgens gewone breuken aan decimale breuken en aan procenten. Vergelijken van breuken kan op deze wijze via gelijkwaardige breuken (een geschikte ondermaat) of decimale breuken (een ondermaat van een macht van tien) of procenten (een ondermaat van honderd). Maar procent-opgaven kunnen vaak ook heel geschikt via verhoudingen worden opgelost. Een vraag als 'drie van de twintig, hoeveel procent is dat?', kan op twee manieren worden beantwoord:
Procenten benaderd via verhoudingen of via breuken. Soms is de ene weg eenvoudiger te begaan, soms de andere. De verhoudingsgetallen representeren gelijkwaardige breuken - dat is dan weer de eenheid die achter beide benaderingen met de dubbele getallenlijn steekt. Dan nog enkele opmerkingen over de wenselijkheid van gewone breuken tegenover decimale breuken en omgekeerd. Decimale breuken hebben het voordeel ten opzichte van streep-breuken dat ze:
praktischer zijn in het leven van alledag, waar veelal met decimale getallen wordt gewerkt; - een natuurlijke uitbreiding vormen van het decimale systeem waarin de natuurlijke getallen worden geschreven; - en de rekenwijzen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen die op dezelfde wijze worden uitgevoerd als met natuurlijke getallen (zij het dat met name bij vermenigvuldigen en delen problemen opueden bij het plaatsen van de komma!). Omgekeerd hebben echte breuken de volgende voordelen in vergelijking met kommagetallen: - bepaalde breuken ...) zijn in de streep-notatieeenvoudiger te vauen dan in de komma-notatie; - wat mede tot gevolg heeft &t met name bij het vermenigvuldigen en delen bepaalde betrekkingen en uitkomsten van bewerkingen veel inzichtelijker met streep-breuken zijn te leren; - vermenigvuldigingen en delingen zijn met gewone breuken vaak niet alleen exacter uit te voeren, maar ook eenvoudiger. Welke zijn nu belangrijker, de gewone of de decimale breuken? Voor bepaalde categoridn !eerlingen geldt vooral dat het praktische argument ten voordele van de decimale breuken doorslaggevend zal zijn - de bezwaren die aan berekeningen ermee kunnen kleven worden opgevangen via een intensief gebruik van de rekenmachine. Voor andere leerlingen daarentegen zijn de voordelen van het werken met gewone breuken vanuit het vaksysteem beschouwd niet gering. Hetgeen pleit voor het onderwijzen van zowel gewone als decimale breuken voor deze categorie. Voor leerlingen in het basisonderwijs lijkt in ieder geval, naast de behandeling van de decimale breuken, ook het werken met eenvoudige gewone breuken gewenst, al was het alleen maar om de weg naar een meer omvattende behandeling van breuken open te houden. Zeker ook het bepalen van delen van benoemde grootheden en gegeven hoeveelheden is naar mijn mening in de basisschool noodzakelijk, hetgeen tevens de weg wij maakt om met gewone breuken en decirnale breuken op de dubbele getallenlijn te gaan opereren. -
(4, i,4,
8 Toepassingen
Toepassingen van gewone breuken in het leven van alledag zijn tamelijk beperkt; we schreven daarover al eerder. Decimale breuken hebben wat dat aangaat een veel grotere reikwijdte, zeker in verbinding met procentrekening wat grote praktische waarde heeft. Breuken ontstaan onder meer via verdelen, meten en vergelijken van grootheden en aantallen. Beschrijving via $ , vindt vaak plaats. Toepassingen van breuken binnen het vaksysteem zijn talrijk. Bij het uitputtend verdelen of opdelen ontstaan breuken, in de waarschijnlijkheidsrekeningfunctioneren ze, bij berekeningen via formules spelen ze een rol, bij het oplossen van vergelijkingen, bij grafieken, in de algebra duiken ze op kortom wiskundig bezien is de uitbreiding van de natuurlijke en gehele getallen naar de rationele getallen ( Q+) een natuurlijk proces.
a
4,
-
9 Niveaus in het leerproces Empiristisch georienteerd reken-wiskundeonderwijs loopt het risico om steeds maar weer van een concrete in casu empirische basis te willen beginnen. Realistisch reken-wiskundeonderwijs daarentegen werkt met verschuivende, opklimmende concretiseringsniveaus. Breuken kunnen daarvan een model-voorbeeld zijn. Eerst wordt met benoemde breuken gewerkt en bieden natuurlijke onderverdelingen of maatverfijningen mogelijkheden om het werken met breuken via het rekenen met natuurlijke getallen te benaderen - &t is dan de concrete onderlaag van nu die vroeger nog abstract was. Veel later zijn de breuken pure, onbenoemde getallen en is de 'omweg' via de natuurlijke getallen niet meer noodzakelijk, net zo min als de visuele ondersteuning van de dubbele getallenlijn. De leerlingen werken dan met
procedures binnen het rekensysteem, hoewel als het goed is, het terugkeren naar deze concrete onderlaag mogelijk blijft, wat zowel voor het pure rekenen als voor het maken van toepassingen van groot belang is. De dubbele getallenlijn is in een bepaald opzicht van voorbijgaande betekenis, maar in een ander opzicht dus van blijvend belang. In het voorgaande is herhaaldelijk gewezen op het feit dat delen min of meer formeel via vermenigvuldigen kan worden ingevoerd met het basisschema:
Het heeft onze voorkeur het delen van breuken via de verhoudingsdeling op de dubbele getallenlijn inzichtelijk te maken, maar dan daarna snel op de inverse relatie met vermenigvuldigen te wijzen. Leerlingen die al toe zijn aan het werken op het formele niveau kunnen daar dan verder, terwijl anderen nog het contact met de meer concrete benadering kunnen onderhouden. Een moeder-model als dat van de dubbele getallenlijn maakt het mogelijk dat kinderen dezelfde opgaven op een verschillend niveau opvatten en oplossen. Enerzijds dicht bij het informele, contextgebonden rekenen, anderzijds in de buurt van het formele, vakrnatige opereren. De enorme variatie in oplossingsniveaus wordt bepaald door: - het al dan niet benoemen van breuken; - het al dan niet geven (of kiezen) van een 'bemiddelende' onderverdeling; - het al dan niet rekenen met een bemiddelende grootheid; - het al dan niet noteren van de uitkomst van bewerkingen met gewone breuken in breukentaal (of juist in de 'ondemaat' van natuurlijke getallen); - het a1 dan niet vinden en expliciteren van de regels voor standaardprocedures; - het min of meer verkorten en schematiseren van berekeningen met breuken; - het min of meer kunnen toepassen van de bewerkingen met breuken in contextsituaties; - het min of meer kunnen leggen van verbindingen tussen gewone breuken, decimale breuken, verhoudingen en procenten. Indien de didactiek de eerdergenoemde vijf onderwijsprincipes respecteert, kunnen kinderen niet alleen steun ondervinden van de concrete onderlaag en, van modelsituaties en modellen, maar zijn ze ook in staat van elkaar te leren via interactief onderwijs dat aanzet tot reflectie op het eigen leren.
10 Het specifieke van de geschetste leergangvarianten: Streefland, Freudenthal, Whitney, Hilton en Padberg De geschetste leergangvarianten sluiten aan bij het werk van Streefland uit de jaren tachtig waarin (1) breuken en verhoudingen worden gekoppeld, en (2) de relatie met meten wordt gelegd via een bemiddelende grootheid (ook we1 beminnelijke grootheid genoemd). Nieuwe accenten in het hier geschetste zijn: 1. Het benoemen van breuken en het noteren van de benoemde breuken met leuers. 2. Het werken op de dubbele getallenlijn en het daarmee corresponderende rekenen in een dubbel schema. 3. Het grotere accent dat op het werken met natuurlijke meetgetallen wordt gelegd. 4. Het voortbouwen op een eventueel meer formele benadering bij het delen.
Met deze nieuwe accenten is het echter, zoals gezegd, ook mogelijk een leergangvariant te kiezen waarin de nadruk in het begin meer op het meten komt te liggen. Naast de E-variant (eerlijk verdelen als ingang) staat de M-variant (meten als ingang). Uiteraard is ook een tweesporige E M-variant mogelijk. In alle varianten zal het vergelijken van breuken en het bepalen van de (on-)gelijkwaardigheid ervan mede het fundament van de leergangen dienen te vormen, zoals aangegeven door Streefland. De wijze waarop e n en ander gebeuren kan, zal echter varieren bij de verschillende varianten. Het didactisch-fenomenologischekader van breuken werd in de jaren zeventig door Freudenthal geschetst. Hij maakte gebruik van de dubbele getallenlijn bij verhoudingen (mede als ingang voor breuken), maar niet van de lege dubbele getallenlijn. En hanteerde die ook niet voor het rekenen met breuken met behulp van een bemiddelende grootheid. Ook gebruikte hij geen letteraanduiding, hoewel hij zich in de jaren zeventig in de voetsporen van Davydov juist we1 gecharmeerd toonde van het gebruik van letters in het rekenondewijs op de basisschool. Voor zover bekend heeft Whitney geen uitgebreide beschouwingen aan breuken gewijd. Maar wat hij daarover schreef in een (ongepubliceerd) manuscript ligt in dezelfde lijn als de hier geschetste variant, met een grote nadruk op de getallenlijn. Echter ook weer zonder letteraanduiding. We1 gebmikt hij natuurlijke maatverfijningen via de 'omweg' van natuurlijke getallen om het opereren met breuken mogelijk te maken. Hij legt de nadruk op de meet-ingang. Hilton kiest ook voor zelfgekozen, passende en handige ondewerdelingen voor het werken met een bemiddelende grootheid - echter zonder letters en zonder lege dubbele getallenlijn met bijbehorend notatieschema. Hij benadrukt de ingang van de kansrekening en het meten. Padberg ten slotte geeft een ovenicht van verschillende benaderingswijzen plus een berg aan onderzoeksgegevens. Ook de quasi-kardinale benadering, zoals hij het werken met een bemiddelende grootheid noemt, krijgt bij hem mime aandacht en waardering, zonder overigens expliciet de mogelijkheid van een algemeen gebruik van letters aan te bevelen, en zonder ook de dubbele getallenlijn als moeder-model aan te merken. Samengevat: de geschetste varianten liggen in de lijn van wat andere onderzoekers met een sterk vakdidactische orientering hebben ontwikkeld en kunnen in een bepaald opzicht als een voortzetting daarvan worden beschouwd. Er zal echter nadere ontwikkeling en onderzoek nodig zijn om de eventuele winst van de ene of andere variant ten opzichte van de bestaande leergangen te kunnen aantonen. Daarbij zal naar mijn mening zeker van de zorgvuldig uitgewerkte didactischeprincipes van Streeflandsondenoek moeten worden uitgegaan - zoals het stimuleren van eigen notatie-wijzen, eigen produkties, vergelijken van verschillende oplossingen, werken met conflictsituaties...Een voorbeeld van dit laatste: 'Dedikke Umberto wil vermageren en snijdt daarom zijn pizza vandaag in vier stukken in plaats van acht. zoals vroeger.' ...
Moraal: niet alleen de aantallen, maar ook de maateenheden tellen - hbt basisinzicht voor breuken en voor het werken met benoemde breuken op de dubbele getallenlijn. Literatuur Freudenthal, H.: Didactische fenomenologie van wiskundige structuren, OW & OC.Utrecht 1984. Hilton, P. and J. Pedersen: Fear no more, Addison Wesley, Menlo Park 1983. Streefland, L.: Realistisch breukenondetwijs, OW & OC.Utrecht 1988. Padberg, F.: Didakiik der Bruchrechnung, Wissenschaftsverlag, Mannheim 1989. Whitney, H.: Some decision making in marhematics education, Princeton 1988 (manuscript). Wijdeveld. E.: Bart en breuken, IOWO. Uuecht 1976 (manuscript).
* Met dank aan L. Streefland, M. van Reeuwijk en K. Gravemeijer voor hun commentaar op een eerdere versie van dit artikel.
