Bodnár József Az axiómák haszna A görög örökség és egy modern igény Manapság a matematikát el sem képzelhetjük axiómák nélkül. Aki megismerkedőben van egy-egy új matematikai területtel, az eleinte mással sem találkozik, mint definíciókkal, axiómákkal és könnyű, viszont annál unalmasabb tételekkel. Ezt az ismerkedési fázist sokkal vonzóbbá tudja tenni, ha már ismerünk néhány olyan kérdést vagy problémát, melynek megoldására a szóban forgó elméletet kitalálták. A formalizálás ugyanis nem öncélú játék a jelekkel. A bonyolult fogalmak, az érthetetlen definíciók és a megfoghatatlan jelentésű axiómák ugyanis határozott célokat szolgálnak. Az absztrakcióval egyrészt azt nyerjük, hogy tételeink több dologra is érvényesek lesznek: mindenre, amire teljesülnek az axiómák. Ez esetleg azzal a meglepő következménnyel is járhat, hogy újonnan fölmerülő problémák már kész válaszra találnak régi elméleteinkben. Másrészt a szigorú formalizmus a tévedésektől is óv minket: megakadályozza, hogy nyilvánvalónak látszó dolgokat általánosan igaznak tekintsünk olyankor, amikor vannak alóluk kivételek, és ezzel hibás eredményekhez jussunk. Az axiomatizálás igénye, mint oly sok fontos modern kori igény, az ókori görögöknél merült föl először. Az i. e. 300 körül tevékenykedő Euklidész vilá ghírű műve, az Elemek, a geometria precíz felépítését tűzte ki célul. Évszázadokon keresztül a matematikai szigor mintapéldájaként tartották számon. Nézzünk belőle néhány idézetet. A „definíciók” között találjuk a következőket: - Pont az, aminek nincs része. - A vonal szélesség nélküli hosszúság. - A vonal végei pontok. - Egyenes vonal az, amelyik a rajta levő pontokhoz viszonyítva egyenlően fekszik. - A síkszög két olyan egysíkbeli vonal egymáshoz való hajlása, amelyek metszik egymást, és nem fekszenek egy egyenesen. - Párhuzamosak azok az egyenesek, amelyek ugyanabban a síkban vannak és mindkét oldalt végtelenül meghosszabbítva egyiken sem találkoznak. Majd következnek a „posztulátumok“, köztük:
- Követeltessék meg, hogy minden pontból minden ponthoz legye n egyenes húzható. - És hogy véges egyenes vonal egyenesben folytatólag meghosszabbítható legyen. - És hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végte lenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak. Végül néhány „axióma“: - Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők. - Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, az összegek egyenlők. - Ha egyenlőkből egyenlőket veszünk el, a maradékok egyenlők. Mai fogalmainkkal a fenti megnevezések közül az axiómát és a posztulátumot nyugodtan azonosíthatjuk (de észrevehetjük, hogy az eredeti szövegkörnyezetben az egyik inkább geometriai, a másik inkább általános igazságot kíván rögzíteni). Ezek ismertetése után Euklidész tételek bizonyításába kezd. Tulajdonképpen a kor geometriai tudásának átfogó összefoglalása ez a mű, és minden állítást matematikai bizonyítás támaszt alá. Az axiomatizálás ebben a formában valószínűleg a matematikai bizonyítások elterjedése miatt született meg. Ekkor már megvolt az igény a szigorú bizonyításokra, arra, hogy minden matematikai állítást logikus lépések sorával indokoljanak. A logikus lépések sorának azonban valahol véget kell érnie: ezek a bizonyításra nem szoruló „nyilvánvaló“ állítások az axiómák. (Mint látható, Euklidésznél ezek a végállomást jelentő állítások inkább a posztulátumok, az axiómák pedig a „logikus“ bizonyítási lépések létjogosultságát rögzítik.) Euklidész minde n bizonnyal úgy gondolkodott, hogy a geometria megalapozásához vezető út a következő: tudom, hogy én most pontokról, vonalakról, egyenesekről akarok beszélni. Először tehát megpróbálom leírni, mik ezek. Majd keresek olyan állításokat, melyek ezekre az objektumokra nyilvánvalóan igazak, és elegendőek ahhoz, hogy logikus lépések sorával minden tétel levezethető legyen belőlük. A mai eljárás egy picivel más, de ez a kis eltérés óriási nézőpontbeli különbésget takar. Nézzük meg az (euklideszi) geometria modern axiomatikus felépítését, melyet David Hilber hozott létre. A következőképpen kezdődik: Alapfogalmak: pont, egyenes, sík, illeszkedni, között, egybevágó. Ezután axiómák öt csoportja jön: illeszkedési, rendezési, egybevágósági, folytonossági, párhuzamossági. Összesen húsz axióma van. Miért volt erre szükség? Talán Euklidész rendszere nem volt elég jó? Bizony nem volt elég jó, mégpedig azért, mert a tételek bizonításához sok olyan észrevételt is felhasznált, amit
nem rögzített az axiómák között. Ezek az észrevételek szemléletesen nyilvánvalók, de az axiomatizálással éppen az a célunk, hogy minden ilyen „nyilvánvaló“ dolgot egyszer s mindenkorra rögzítsünk. És vajon miért szerepelnek Hilbertnél „definíciók“ helyett „alapfogalmak“? És tulajdonképpen mik ezek? Euklidész legalább megpróbálja elmagyarázni a felhasznált fogalmakat. Hilbertnél egy szó sem esik arról, mi az a „pont“ és mi az az „egyenes“. Illetve, dehogynem! Az axiómák másról sem szólnak, csak az alapfogalmakról! Nem azt akarjuk ugyanis homályos körülírással megmondani, mit képzelünk el mi, amikor kimondjuk azt a szót, hogy „egyenes“, hanem azt, hogy ennek a fogalomnak, legyen az bármi is, milyen tulajdonságokkal kell rendelkeznie, ha a geometria nevű tudomány tételeit szeretnénk rá alkalmazni. Végül szóljunk arról is, mi az az apró szemléletbeli különbség az axiomatizálásban. Mai fejjel így gondolkodunk: vannak bizonyos objektumok, melyeket a hétköznapi életben pontoknak és egyeneseknek neveznek, és melyekről mindenkinek van valamilyen intuitív képe. Ezeknek a vizsgálata az élet különböző területein (tervezés, mérnöki tudományok, fizika, stb.) hasznosnak bizonyult. Megpróbálok ezért olyan állításokat összegyűjteni, melyekből minden, ezekről az objektumokól szóló tétel levezethető. Senkinek nem akarom elmagyarázni, „mik“ azok a pontok és az egyenesek, egyrészt mert nem vagyok erre képes, másrészt mert mindenki másnak is van valmilyen elképze lése róluk, és alkalmazásaink szempontjából teljesen mindegy, konkrétan kinek mik az elképzelései. Egyetlen dolgot kivéve: minden elképzelésnek teljesítenie kell az alapfogalmakról az axiómákban állítottakat, és ezt mindenki külön-külön le tudja ellenőrizni a maga elképzelésén. Ha teljesíti, akkor rendelkezésére áll az összes bizonyított tételem, ugyanis ezeknek a bizonyításához az axiómákban rögzített állításokon kívül semmi mást nem használtam, így azoknak igazaknak kell lenniük objektumok minden olyan rendszerére, melyek az axiómáimat teljesítik. Modern tudomány egy régi fejtörőből A XVIII. század matematikusóriása, Leonhard Euler 1782-ben a következő kérdéssel foglalkozott: Ki lehet-e tölteni egy 6x6-os táblázatot úgy, hogy minden mezőjébe egy-egy betűt és egy-egy számot írunk az A, B, C, D, E, F betűk és az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számok közül, minden sorban és minden oszlopban minden betű és minden szám pontosan egyszer szerepel és a 6 x 6 = 36 lehetséges betű-szám pár közül mind a 36 előfordul a táblázat 36 mezőjében? Lelkes Sudoku-fejtőknek a kérdés talán túl egyszerűnek tűnhet. Mindenesetre meglepő, hogy Euler a feladatot nem tudta megoldani. Nem talált ilyen elrendezést, de azt sem tudta bebizonyítani, hogy biztosan nincs ilyen.
Euler eredetileg latin és görög betűket használt betűk és számok helyett. Innen ered a latin négyzet kifejezés. n x n –es latin négyzetnek hívunk egy n sorból és n oszlopból álló táblázatot, ha úgy van kitöltve az 1, 2, 3, …, n – 1, n számokkal, hogy minden sorban és minden oszlopban minden szám pontosan egyszer fordul elő. Két n x n-es latin négyzetet egymásra merőlegesnek (ortogonálisnak) nevezünk, ha „egymásra helyezve“ őket, az egymás alatti számok alkotta n2 darab számpár között az összes lehetséges, összesen n2 darab számpár mindegyike előfordul (és így mindegyik pontosan egyszer). Az 1. ábrán láthatunk két, egymásra ortogonális 4 x 4 –es latin négyzetet.
1. ábra: Két, egymásra merőleges 4 x 4 –es latin négyzet Euler tehát tulajdonképpen ilyen elrendezést keresett 6 x 6 –os négyzetekkel. Mivel nem talált ilyet, azt sejtette, hogy nem is létezik ilyen, sőt, szerinte nemcsak 6-ra, hanem 10-re, 14re, 18-ra, és semmilyen, néggyel osztva kettő maradékot adó n számra nem létezik két n x n es egymásra ortogonális latin négyzet. Igaza is volt meg nem is: tényleg nem létezik két 6 x 6 –os egymásra ortogonális latin négyzet, de ezt csak 1901-ben (!) tudta bebizonyítani egy Gaston Tarry nevű, tulajdonképpen amatőr matematikus. Euler általánosítása viszont már nem igaz, mert létezik például két 10 x 10 –es egymásra merőleges latin négyzet, amint ez a 2. ábrán látható. A példa E. T. Parkertől származik 1959-ből, tehát ez is viszonylag modern eredmény. Bármennyire is egyszerűnek
tűnik ilyen viszonylag kis számkonstrukciók keresése, még a legmodernebb számítógépekkel is igen nehéz feladat, mert a lehetséges kombinációk száma már kis méreteknél is nagyon nagy. Máig nem tudjuk például, létezik-e három olyan 10 x 10 –es latin négyzet, melyek közül bármely kettő egymásra merőleges.
2. ábra: Két ortogonális 10x10-es latin négyzet 1960 óta pedig azt is tudjuk, hogy Eulernek nagy pechje volt, hogy éppen a 6 x 6 –os esetet akarta megoldani, ugyanis éppen csak hatra és kettőre nincsenek merőleges latin négyzet párok. Euler sejtése tehát a 6-os számot leszámítva „nagyon nem igaz“. Két ortogonális latin négyzetet tehát majdnem mindig lehet találni. Mint azt már a 10 x 10 -es esetnél megjegyeztük, nehéz problémákra bukkanhatunk, ha több olyan latin négyzetet keresünk, melyek közül bármely kettő ortogonális egymásra. Vajon különböző n méretekre hány egymásra páronként ortogonális n x n -es latin négyzet adható meg? Nos, egészen biztosan nem több, mint n – 1. Ezt igen egyszerűen beláthatjuk: tekintsünk két, egymásra ortogonális latin négyzetet. Az elsőnek a bal fölső eleme legyen mondjuk 1-es, a második bal fölső eleme pedig 2-es. Egymásra helyezve a két négyzetet tehát megvan az (1, 2) pár. Az első négyzet második sorában is van egy 1-es valahányadik oszlopban (de nem az elsőben), illetve a második négyzet második sorában is van egy 2-es valahányadik oszlopban (de nem az elsőben). Mivel nem keletkezhet még egy (1, 2) pár, ezért a két oszlopsorszám különböző. A fentiek egy egymásra páronként ortogonális latin négyzet család bármely két tagjára elmondhatók (1-es és 2-es helyett természetesen mindig a két, bal fölső sarokban lévő számmal, melyek persze meg is egyezhetnek). Igaz tehát az, hogy az első sor első elemének második sorban való előfordulása oszlopának sorszáma minden négyzetnél különböző. Tehát
legfeljebb annyi négyzet lehet, ahány oszlop szóba jön: n – 1, mivel az első oszlopban nem fordulhat elő még egyszer a bal fölső elem. Mivel csak az első két sort használtuk a bizonyításban, fölmerülhet a gyanú, hogy ez túl gyenge becslés. Valójában viszont végtelen sok n-re elérhető az n - 1. Hogy pontosan melyekre, máig megoldatlan és igen mély kérdés. Nézzük meg azonban, mi történik, ha valamely n-re létezik n - 1 darab, páronként merőleges latin négyzet. A 3. ábrán középen látható három merőleges 4 x 4 –es négyzet.
3. ábra: Páronként ortogonális négyzetek Térjünk vissza a geometria axiómáihoz. Az euklideszi geometria modern axiómái között szerepelnek a következők: - Bármely két ponthoz egyértelműen létezik olyan egyenes, melyre mindkét pont illeszkedik. (Azaz két ponton át egy egyenes húzható.) - Egy e egyeneshez és egy rá nem illeszkedő P ponthoz létezik pontosan egy egyenes, mely illeszkedik a P pontra és nincs olyan pont, mely rá is és e-re is illeszkedne. (Azaz adott ponton át egyértelműen létezik egy adott egyenest nem metsző egyenes – vagyis párhuzamos.) Mindkét állítás a szemlélet alapján nyilvánvaló. Az axiómák modern tárgyalásával kapcsolatban megjegyeztük, hogy a „pont“, „egyenes“, „illeszkedés“ fogalmakat ne m magyarázzuk, és az elméletünk minden olyan rendszerre alkalmazható, mely az axiómákat teljesíti. A 3. ábra két szélső négyzete természetesen nem latin négyzet, de a többi négyzet „latinsága“ éppen az erre a két négyzetre való ortogonalitást jelenti. Nézzünk egy „üres“ 4x4– es négyzetet. Nevezzük „pontoknak“ a négyzet mezőit, „egyeneseknek“ pedig az olyan, négy mezőből álló halmazokat, melyekhez van olyan négyzet a 3. ábrán, hogy azt ráhelyezve az üres táblázatra a halmaz mind a négy mezőjében ugyanaz a szám áll. Nyilván akkor fogjuk mondani, hogy egy „pont“ illeszkedik egy „egyenesre“, ha az illető mező eleme a négy mezőből álló halmaznak. Ellenőrizhető, hogy a 3. ábra négyzeteire teljesül a fenti két axióma. Minden egyes négyzet négy egyenest jelöl ki, és ezek az egyenesek párhuzamosak (nincs közös pontjuk).
Vegyünk két különböző négyzetet, és két különböző számot. Helyezzük egymásra a két négyzetet, ekkor pontosan egy olyan mező lesz, melyen az első négyzetből az első kiválasztott szám, a második négyzetből pedig a második kiválasztott szám szerepel. Azaz két nem párhuzamos egyenes pontosan egy pontban metszi egymást. Válasszunk ki két különböző mezőt. Akkor az öt darab négyzet között pontosan egy olyan lesz, amiben ugyanazok a számok állnak a kiválasztott pozíciókon. Azaz két pontnak egyértelműen létezik összekötő egyenese. Ez az első axióma. Válasszunk ki egy négyzetet és egy számot, mondjuk az 1-eset, majd egy mezőt, melyen nem 1-es áll, hanem például 2-es. Ekkor az 1-esek által alkotott egyenessel párhuzamos egyenes éppen a 2-esek által alkotott egyenes lesz ugyanebben a négyzetben, és a két bekezdéssel előbbi megjegyzés szerint más megfelelő párhuzamos nincsen. Azaz teljesül a második axióma. Tulajdonképpen azt csináltuk, hogy egy 16 elemű halmaz elemeit kineveztük pontokank, bizonyos négyelemű részhalmazait kineveztük egyeneseknek, az illeszkedés fogalmának pedig a tartalmazást feleltettük meg. Erre a rendszerre két geometriai axióma teljesült. Az ilyen rendszereket (melyekre még néhány, triviális eseteket kizáró axióma teljesül) véges geometriáknak nevezik. A témakör sok alapvető tételének kapcsán találkozhatunk Raj Chandra Bose és Ronald Aylmer Fisher nevével. Talán meglepő, hogy mindketten statisztikusok voltak. Vajon mi köze a véges halmazrendszereknek a statisztikához? Nos, a különféle statisztikai próbák optimális tervezéséhez van köze. Tegyük föl, hogy meg szeretnénk vizsgálni, milyen tényezők befolyásolják a termést a mezőgazdaságban. Van mondjuk négyféle talajtípusunk, négyféle műtrágyánk, négyféle permetünk, négyféle öntözőszerünk és négyféle éghajlaton vizsgálódunk. Szertnénk megállapítani, melyik tényezőből melyiknek van a legjobb hatása. Statisztikai módszerekkel ez lehetséges, ha olyan próbákat tudunk szervezni, hogy minden tényezőből mindegyik féle előforduljon minden más tényezőből mindegyik félével a próbák során. Tehát például legyen olyan próba, ahol a 2-es műtrágyát és a 4-es permetet alkalmaztuk egyszerre, és így tovább. A 4x4x4x4x4 = 1024 próba helyett most 16 elég. Van öt tényezőnk, ennek feleljenek meg sorban a 3. ábra négyzetei. A 16 próba a négyzetek 16 mezője lesz. Az első próba például a bal fölső elemeknek felel meg: ebben a próbában az 1-es talajtípuson a 4-es műtrágyát, a 4-es permetet, a 4-es öntözőszert használjuk az 1-es éghajlaton. Az ortogonalitás miatt igaz lesz, hogy bármely két tényezőből bármelyik kettő féle egyszerre megvalósult valamelyik próba során.
Az olyan véges geometriákat, amiben vannak párhuzamosok, affin geometriáknak nevezik. Vannak úgynevezett projektív geometriák is, ahol nincsenek párhuzamosok: a második axióma az, hogy bármely két egyenesnek pontosan egy metszéspontja van. A szokásos térgeometriánkat is módosíthatjuk úgy, hogy ez teljesüljön. Biztosan sokan ismerik azt a kijelentést, hogy a párhuzamosok a végtelenben találkoznak, és ezek a végtelen távoli metszéspontok egy végtelen távoli egyenesen vannak. Akinek mindez túl mesterkéltnek tűnik, az vessen egy pillantást Albrecht Dürer egy metszetének részletére a 4. ábrán. Néhány vonal meghosszabbításával láthatóvá válik két párhuzamos egyenespár, két végtelen távoli pont és a végtelen távoli egyenes (a „látóhatár“).
4. ábra: A párhuzamosok a végtelen távoli egyenesen találkkoznak A geometriát bizonyos értelemben algebraként is felfoghatjuk, gondoljunk például a koordinátageometriára. A sík pontjainak (x, y) számpárokat feleltethetünk meg, az egyenesek pedig Y = AX + C, illetve X = C alakú egyenleteknek felelnek majd meg. Akkor mondjuk, hogy egy pont illeszkedik egy egyenesre, ha koordinátái az adott egyenletet kielégítik. Ez a megfeleltetés tulajdonképpen azon múlik, hogy az egyenletekkel a valós számok körében számolunk, és a valós számok egy testnek nevezett algebrai struktúrát alkotnak. (Ez valami olyasmit jelent, hogy tudunk összeadni, kivonni, szorozni és minden nem nulla elemmel osztani.) Végtelen sok valós szám van, ezért ez a test egy végtelen test. Vannak véges testek is: olyan véges halmazok, melyeknek elemein műveleteket definiálhatunk úgy, hogy azok is kielégítsék mindazokat a tulajdonságokat, melyeket a valós számok testénél az egyenletekkel való számolásokkor kihasználtunk – azaz a testaxiómákat. Ezen múlik az is, hogy ha az egyenleteket most véges testek elemeiről szóló összefüggéseknek tekintjük, és valós számpárok helyett a véges test elemeiből álló párokat tekintünk, akkor megint olyan struktúrát kapunk, mely kielégíti a két geometriai axiómánkat. Megint véges geometriát kapunk, de belátható, hogy minden így kapott véges geometria latin négyzetek segítségével is
megkapható. Hogy pontosan milyen esetekben van a testből kapott geometriáktól különböző véges geometia, máig megoldatlan kérdés. De a véges testeknek és geometriáknak számos gyakorlati alkalmazása van. Az említett statisztikai példa a varianciaanalízis nevű területről származik, de ezen kívül alkalmazhatók a kriptográfiában, a kódelméletben, a hírközlésben. Mindezzel azt szerettük volna érzékeltetni, hogy tekinthető a matematika fo rmulákkal való játszadozásnak is, de ez a játszadozás semmiképpen nem öncélú és haszontalan. A legérthetetlenebb elméletet is valamilyen szükség hozta létre: meg akartunk érteni bizonyos dolgokat. Az axiómák rögzítik, milyenek ezek a megérteni kívánt dolgok. És ha az elmélet felépült, akkor azzal nemcsak az eredetileg kitűzött problémákat oldhatjuk meg, hanem azokat is, melyek hasonló dolgokkal kapcsolatban csak a jövőben fognak felmerülni.
Bibliográfia: Devlin, Keith: Matematika: a láthatatlan megjelenítése, Műszaki Kiadó, Typotex Kiadó, Budapest, 2001 Kálmán Attila: Nemeuklideszi geometriák elemei, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2003 Inte rnetes források: Hraskó András (szerk.): Új matematikai mozaik http://www.hik.hu/tankonyvtar/site/books/b124/index.html Letöltve 2008. november 4-én.
