BALASSAGYARMATI BALASSI BÁLINT GIMNÁZIUM MATEMATIKA HELYI TANTERV 2016

BALASSAGYARMATI BALASSI BÁLINT GIMNÁZIUM

MATEMATIKA HELYI TANTERV 2016

Balassagyarmati Balassi Bálint Gimnázium

Matematika helyi tanterv 2016

Tartalom Óraszámok ............................................................................................................................................... 2 Célok ........................................................................................................................................................ 3 Ismeretek ellenőrzésének formái és módja ............................................................................................ 3 5.-8. évfolyam .......................................................................................................................................... 4 5.évfolyam ............................................................................................................................................... 4 6.évfolyam ............................................................................................................................................. 12 7.évfolyam ............................................................................................................................................. 20 8.évfolyam ............................................................................................................................................. 30 9.-12. évfolyam ...................................................................................................................................... 39 9.évfolyam ............................................................................................................................................. 39 10.évfolyam ........................................................................................................................................... 50 11.évfolyam ........................................................................................................................................... 60 12.évfolyam ........................................................................................................................................... 71

1



Óraszámok Nyolc évfolyamos képzés 2013 szeptemberében illetve 2014 szeptemberében induló osztályok (matematika-fizika emelt óraszámú képzés) Heti óraszám Éves óraszám

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

5 180

5 180

5 180

5 180

4 144

4 144

6 216

6 192

2015 szeptemberében illetve azt követően induló osztályok (emelt óraszámú idegen nyelvi képzés)

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Heti óraszám

4

4

4

4

4

4

Éves óraszám

144

144

144

144

144

144

11.

12.

4 emelt szinten 6 144 (216)


Négy évfolyamos képzés 9.

10.

Heti óraszám

4

4

Éves óraszám

144

144

11. 4 emelt szinten 6 144 (216)

12. 4 emelt szinten 6 128 (192)

Arany János Tehetséggondozó Program Előkészítő évf.

9.

10.

Heti óraszám

4

4

4

Éves óraszám

144

144

144

11.

12.



A 2014/2015-ös tanévben 9. évfolyamtól felmenő rendszerben bevezettük a nívócsoportos oktatást valamennyi képzési formánkat érintően. Ennek a célja a hatékonyság növelése, mind a tehetséggondozás, mind a hátránykompenzáció területén. A tanulókat tudásszint mérő és kompetencia mérő feladatlapok segítségével soroljuk 4 illetve 5 csoportba, az évfolyam létszámától függően. A nívócsoportokban az azonos általános (helyi tantervben szereplő) követelményrendszernek megfelelő oktatáson túl az adott csoport nívójától függően vagy a tehetséggondozás és versenyfelkészítés vagy a hátránykompenzáció és gyakoroltatás kap nagyobb hangsúlyt. A csoportok közötti átjárhatóságot 9. évfolyamon félévkor és évvégén, 10. évfolyamon félévkor biztosítjuk. 11. évfolyamtól az emelt szintű illetve a középszintű oktatást választó diákokat elkülönítve, de továbbra is nívócsoportokban oktatjuk.

2



Célok 

A tanulók ki tudják választani és alkalmazni tudják a természeti és társadalmi jelenségekhez illeszkedő modelleket, gondolkodásmódokat, módszereket



Megmutatni a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét.



Fejleszteni a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét.



A tanulók hatékonyan tudják használni a megszerzett kompetenciákat az élet különböző területein.



A tanulóknak rendelkezzenek azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat.



A tanulók rendszeresen oldjanak meg önállóan feladatokat, aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban.



A feladatmegoldáson keresztül a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára. Alakuljon ki bennük az önellenőrzés igénye, a sajátjukétól eltérő szemlélet tisztelete.



A tanulók szemléletének, gondolkodásmódjának fejlesztése.

Ismeretek ellenőrzésének formái és módja A tanulók életkori sajátosságait figyelembe véve a számonkérésnek az alábbi formáit használjuk: 

rendszeres házi feladat ellenőrzés, építve a tanulók növekvő önállóságára



feladatmegoldás táblánál



elmélet, elméletre épülő feladatok, kisebb tananyag egységek számonkérése írásban (elégséges 50%-tól, jeles 90%-tól)



évente a heti óraszámnak megfelelő számú témazáró dolgozat egy vagy több témából a témakörök nagyságát és évfolyamot figyelembe véve (elégséges 25-30%-tól, jeles 80-85 %-tól)



Félévenként heti óraszámnál legalább egy jeggyel több jegy alapján osztályozunk, a témazáró dolgozatok jegye duplán számít

3



5.-8. évfolyam 5.évfolyam Éves óraszám 1.Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika 2.Számelmélet, algebra Természetes számok Egész számok Törtek, tizedes törtek, racionális számok 3.Geometria Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok Kerület, terület, felszín, térfogat 4. Statisztika, valószínűség Ismétlés, hiánypótlás, számonkérés

Tematikai egység/ Fejlesztési cél

144 óra 3 21 16 32 17 25 5 25

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika

Órakeret 3 óra

Adott tulajdonságú elemek halmazba rendezése. Halmazba tartozó elemek közös tulajdonságainak felismerése, megnevezése. Annak eldöntése, hogy egy elem beletartozik-e egy adott halmazba. A változás értelmezése egyszerű matematikai tartalmú szövegben. Több, Előzetes tudás kevesebb, ugyanannyi fogalma. Állítások igazságtartalmának eldöntése. Kommunikáció fejlesztése. Néhány elem sorba rendezése, az összes eset megtalálása (próbálgatással). Elemek halmazba rendezése több szempont szerint – hétköznapi életből vett példák, illetve matematikai tulajdonságok alapján. A halmazba A tematikai egység tartozó és a halmazba nem tartozó elemek vizsgálata – halmaz, nevelési-fejlesztési alaphalmaz, komplementer halmaz, részhalmaz. Két halmaz uniójának és céljai metszetének meghatározása. Adatok elhelyezése halmazábrában. Állítások megfogalmazása, igazságtartalmának eldöntése. Néhány elem sorba rendezése, kiválasztása – módszeres próbálgatással. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Halmazok megadása, részhalmaz, komplementer halmaz, halmazok Informatika: uniója, metszete. könyvtárszerkezet a Adott tulajdonság alapján elemeket csoportba foglalunk: számítógépen. példák a mindennapi életből és a számhalmazok területéről. Technika, életvitel és Halmazok megadása elemek felsorolásával. gyakorlat: tárgyak Halmazábra használata. 4



Halmazműveletek elvégzése véges halmazokon. kiválasztása, pl. Sorba rendezések. Kiválasztások. öltözködés, kirándulás. Elemek sorba rendezése. Elemek kiválasztása adott szempont szerint. Próbálkozzunk „logikusan” – legyen stratégiánk. Kulcsfogalmak/ Halmaz, számhalmaz, elem, részhalmaz, komplementer halmaz, unió, fogalmak metszet.


Számelmélet, algebra Órakeret Természetes számok 21 óra Számok írása, olvasása (10 000-es számkör). Helyi érték, alaki érték, valódi érték. Számok helye a számegyenesen. Természetes számok nagyság szerinti összehasonlítása. Matematikai jelek: +, –, •, :, =, <, >, Előzetes tudás ( ) ismerete, használata. A matematika különböző területein az ésszerű becslés és a kerekítés alkalmazása. Műveletek ellenőrzése. Fejben számolás százas számkörben. A tízes számrendszer fogalmának elmélyítése. Elemek csoportosítása A tematikai egység más számrendszerben is. A számegyenes használata, alkalmas egység nevelési-fejlesztési megválasztása. A műveletek biztos elvégzésének erősítése – fejben és céljai írásban. Műveleti tulajdonságok felismerése, alkalmazása. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A tízes számrendszer. A számokról tanultak ismétlése, a számfogalom fejlesztése milliós számkörben. Helyi érték, alaki érték ismerete, számok kiolvasása. A számok helyesírásának ismerete. Matematikatörténet: a számírás kialakulása, római számok. Kapcsolat a kombinatorikával (számok kirakása), mindennapi élettel (pénzegységek, mértékegységek átváltása). A számegyenes. Számok elhelyezése számegyenesen. Megfelelő beosztás választása. (Analógia: az országút és a kilométerkövek.) Számok összehasonlítása. Kerekítés, becslés. A kerekítés szabályainak ismerete. Összeadás, kivonás, szorzás, osztás. Magyar nyelv és Műveletek elvégzése fejben és írásban. irodalom: szövegértés. A tanulók tudják a gyakorlati feladatokban felismerni, hogy melyik művelet alkalmazására van szükség. Műveletek ellenőrzése. Az 1 és a 0 a szorzásban és az osztásban. Műveletek tulajdonságai, zárójelek használata, műveletek sorrendje. Műveleti sorrend, ha a kifejezés nem tartalmaz zárójelet. Tagok, tényezők felcserélhetőek, csoportosíthatóak. 5



Zárójelek szerepének felismerése. Szorzás, osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel. Alkalmazzunk mértékegységek átváltása során. Számrendszerek. Informatika: 2-es Nem csak 10-esével csoportosíthatunk. számrendszer. Matematikatörténet: 12-es, 60-as számrendszer. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Számrendszer, helyi érték, alaki érték, számegyenes, összeadandó, összeg, Kulcsfogalmak/ tag, kisebbítendő, kivonandó, különbség, szorzandó, szorzó, szorzat, fogalmak tényező, osztandó, osztó, hányados, maradék, matematikai jel: +, –, • , : , = , < , > , ().

Tematikai egység/ Számelmélet, algebra Órakeret Fejlesztési cél Egész számok 16 óra Előzetes tudás Negatív számok a mindennapi életben – hőmérséklet, adósság. A tematikai egység Ellentétes mennyiségek fogalmának mélyítése. Mennyiségi jellemzők nevelési-fejlesztési kifejezése negatív számokkal. Műveletvégzés az egész számok halmazán. céljai Műveleti tulajdonságok, zárójelek használata az egész számok halmazán. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A negatív szám. Földrajz: hőmérséklet, Számkörbővítés: Miért van szükségünk egész számokra? időjárás jelentés Ellentétes mennyiségek ismerete felfedezése az életünkben. tengerszint feletti Egy szám ellentettje, abszolút értéke. magasság. Nagyobb, kisebb fogalma az egész számok körében. Történelem, Egész számok a számegyenesen. társadalmi és A számegyenest segédeszközként használjuk a fogalmak állampolgári megértésére, a szükséges absztrakció érdekében. ismeretek: időszámítás Pénzügyi ismeretek: megtakarítás és adósság. – i.e. A derékszögű koordináta-rendszer. Természetismeret: Első jelzőszám, második jelzőszám. helymeghatározás, A jelzőszámok nem cserélhetőek fel. térképek. I., II., III., IV. síknegyed tudatosítása. Példák: színházjegy, sakk, táblázatok, grafikonok. Egész számok összeadása, kivonása. Informatika: gyakorlás A műveletek elvégzése előtt becsüljük meg a várható számítógépes eredményt! Mi lesz az előjele az eredménynek? szoftverrel. A kivonás átírható összeadásra, többtagú kifejezések összevonása Zárójelek használata, műveleti sorrend. Mikor hagyhatunk el előjelet, műveleti jelet, zárójelet? Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Negatív szám, előjel, ellentett, abszolút érték, koordináta-rendszer. fogalmak

6


Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás


2. Számelmélet, algebra Órakeret Törtek, tizedes törtek, racionális számok 32 óra Törtek a mindennapi életben: 2, 3, 4, 10, 100 nevezőjű törtek megnevezése, lejegyzése szöveggel, előállítása hajtogatással, nyírással, rajzzal, színezéssel.

A tematikai egység A törtek jelentésének megalapozása, elmélyítése. Törtek többféle nevelési-fejlesztési alakjának ismerete. Műveletvégzés a törtszámok körében. céljai Kapcsolódási pontok Ismeretek/fejlesztési követelmények A törtek értelmezése – számláló, nevező, törtvonal. Ének-zene: hangjegyek Törtek kétféle értelmezése – felismerés szöveges értékének és a környezetben. törtszámoknak a Törtek egyszerűsítése, bővítése. kapcsolata. Közönséges tört, vegyes tört. Az egyszerűsítés és a bővítés tudatos alkalmazása. Informatika: gyakorlás Törtek ábrázolása a számegyenesen. számítógépes Törtek összehasonlítása. szoftverrel. Egyenlő nevezőjű, egyenlő számlálójú törtek esetében. Törtek összeadása, kivonása. Közös nevező keresése. Törtek szorzása természetes számmal. Törtek osztása természetes számmal. Számolási készség fejlesztése. Az ellenőrzés igénye, a becslés képességének fejlesztése. Műveleti tulajdonságok, zárójelek. Az adott feladatban felismerjük a szabályt – szabálykövetés. A tizedes törtek értelmezése, használata. Tizedes törtek jelentése, kiolvasása, leírása. Helyiérték-táblázat használata. Mértékegységek kifejezése tizedes törtekkel: dm, cl, mm… Tizedes törtek a számegyenesen. Tizedes törtek leolvasása a számegyenesről. Tizedes törtek elhelyezése a számegyenesen. Mérés a milliméter beosztású vonalzóval, mérőszalaggal. Tizedes törtek egyszerűsítése, bővítése. A tizedes tört végére nullákat írhatunk, illetve a szám végén lévő nullákat elhagyhatjuk. Tizedes törtek összehasonlítása. Számegyenest használva és a szám írott alakja alapján összehasonlítunk. Matematikai jelek használata (<,>, =). Tizedes törtek kerekítése. Tizedes törtek összeadása, kivonása. Tizedes törtek szorzása, osztása egész számmal. A műveletek elvégzése fejben kisebb számokon. A műveletek eredményének előzetes becslése, írásbeli elvégzése. 7



A műveletek ellenőrzése. Tizedes törtek szorzása, osztása 10-zel, 100-zal, 1000-rel… Alkalmazás a mértékegységekkel való számolásban: kerület, terület, űrtartalom, átváltások. Pénzügyi ismeretek: valuták átváltása. Tizedes törtek szorzása, osztása természetes számmal. Az átlag kiszámítása. Statisztikai adatok gyűjtése, elemzése. Hány tizedes jegyre számoljunk átlagot? Tört alakban írt szám tizedes tört alakja. Mérés, mértékegységek. Hosszúság, tömeg, idő mérése, mértékegységek. Mérések elvégzése csoportmunkában, együttműködés a társakkal. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Tört, számláló, nevező, közös nevező, reciprok, tizedes tört, véges és végtelen szakaszos tizedes tört, racionális szám, vesszős tört, mértékegység. fogalmak


Geometria Órakeret Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok 17 óra Pont, egyenes, görbe vonalak szemléletes fogalma. Párhuzamos és metsző egyenesek. Háromszög, négyzet, téglalap, sokszög felismerése, jellemzőik, előállításuk másolással, hajtogatással, nyírással. Körvonal és Előzetes tudás körlap. Kocka, téglatest, gömb felismerése a mindennapi életben. A távolság fogalma. Körvonal, körlap. Párhuzamos és merőleges egyenesek rajzolása. Térelemek fogalmának elmélyítése – környezetünk tárgyainak vizsgálata. A tematikai egység Távolság szemléletes fogalma, meghatározása. Körző, vonalzó, szögmérő nevelési-fejlesztési használata, szerkesztés. Esztétikai érzék fejlesztése. Sokszögek belső és céljai külső szögeinek mérése, szögek összegének meghatározása. Néhány távolsággal jellemzett ponthalmaz megismerése. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Pont, egyenes, sík, félegyenes, szakasz. Síkidom, sokszög, oldal, átló, konvexitás. A környezetünkben lévő tárgyakon ismerjük fel a vizsgált geometriai fogalmakat. Test, csúcs, él, lap. Testek építése, szemléltetése. Merőleges egyenesek. Technika, életvitel és Párhuzamos egyenesek. gyakorlat: közlekedés: Merőleges és párhuzamos egyenesek szerkesztése vonalzóval. forgalmi Vízszintező, mérőón. csomópontok. Kitérő egyenesek. Ponthalmazok távolsága. Két pont, pont és egyenes távolsága. 8



Távolsággal jellemzett ponthalmazok: – adott térelemtől adott távolságra lévő pontok halmaza – síkban és térben: ponttól, egyenestől, síktól, félegyenestől, szakasztól adott távolságra lévő pontok halmaza; – két térelemtől egyenlő távol lévő pontok halmaza – síkban és térben: két ponttól, két párhuzamos egyenestől, két metsző egyenestől egyenlő távol lévő pontok halmaza. Két ponthalmaz közös része. Geometriai szerkesztés. A ceruza, vonalzó, körző használata. Díszítőminták szerkesztése körzővel, vonalzóval. Matematikatörténet: Eukleidész – Elemek. A szög, csúcs, szár, szögtartomány. Szögek fajtái. A szög jelölése, betűzése. Görög betűk. Nullszög, hegyesszög, derékszög, tompaszög, egyenesszög, homorúszög, teljesszög, forgásszög. Konvex és konkáv szögek. Szögmérés szögmérővel. Fok, szögperc, szögmásodperc. Sokszögek. Kör. Sugár, átmérő, húr, szelő, érintő. Díszítőminták szerkesztése körzővel. Gömb.

Informatika: geometriai szerkesztőprogram használata.

Természetismeret: földgömb. Testnevelés és sport: labdák. Vizuális kultúra: kupolák.

Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Pont, egyenes, szakasz, félegyenes, sík, síkidom, sokszög, test, csúcs, él, lap, Kulcsfogalmak/ merőleges, párhuzamos, szög, kör, gömb, szakaszfelező merőleges, fogalmak szögfelező, körülírt kör, beírt kör.


Geometria Órakeret Kerület, terület, felszín, térfogat 25 óra Hosszúság mérése (egyszerű gyakorlati példák). Négyzet, téglalap kerülete - mérés, számítás, mértékegységek. Négyzet, téglalap Előzetes tudás területének mérése különféle egységekkel, területlefedéssel. A test és a síkidom közötti különbség megértése. Kocka, téglatest, felismerése, létrehozása, jellemzői. Gömb felismerése. Hosszúság mérésének gyakorlása – mérőeszközök használata, becslés. A A tematikai egység kerület meghatározása méréssel és számolással. Számolási készség nevelési-fejlesztési fejlesztése. Mértékegységek használata, átváltása. A térszemlélet céljai fejlesztése: testek hálója, a felszín és a térfogat meghatározása. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A kerület mérése, mértékegységei. 9



A téglalap, a négyzet, kerülete. Adott alakzatok kerületének meghatározása méréssel, számolással. Méterrúd, mérőszalag használata. A terület mérése, mértékegységei. A téglalap, négyzet, területe. Adott alakzatok területének meghatározása – az adott egységgel összehasonlítunk, közelítünk, számolunk. Mérőeszközök használata. A téglatest hálója, felszíne. A térfogat, űrtartalom mérése. Mértékegységek. A téglatest térfogata.

Technika, életvitel és gyakorlat: tapétázás, csempézés. Művészetek: díszítőminták periodikus ismétlése. Technika, életvitel és gyakorlat: üvegek, üdítős dobozok térfogata.

Testek építése, ábrázolása. Építőjátékok. Térszemlélet fejlesztése. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Kerület, terület, térfogat, testháló. fogalmak


Órakeret 5 óra Adatgyűjtés, adatok lejegyzése, diagram leolvasása. Valószínűségi Előzetes tudás játékok, kísérletek, megfigyelések – biztos, lehetetlen, lehet, de nem biztos állítások. A tematikai egység Adatok gyűjtése, értelmezése, jellemzése. Átlag kiszámítása. nevelési-fejlesztési Valószínűségi játékokon és kísérleteken keresztül a valószínűség céljai fogalmának alapozása. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Adatok ábrázolása. Természetismeret: Adatok gyűjtése, elemzése. népesség alakulása, Oszlopdiagram, vonaldiagram, kördiagram elemzése. összetétele. Csoportmunka. Technika, életvitel és Átlag. gyakorlat: lázmérés, Mit fejez ki az átlag? lázgörbe. Kulcsfogalmak/ Adat, grafikon, átlag, biztos esemény, lehetetlen esemény. fogalmak Statisztika, valószínűség

10



Gondolkodási és megismerési módszerek  Halmazok megadása adott tulajdonság alapján.  Részhalmaz alkotása.  Két véges halmaz uniója, metszete.  A halmazokról tanultak alkalmazása más témakörökben: pl. számelmélet, geometria.  Elemek kiválasztása adott szempont szerint.  Elemek sorba rendezése különféle módszerekkel. Számelmélet és algebra  A természetes számok halmaza, a tízes számrendszer ismerete, számok írása olvasása, összehasonlítása.  Műveletek elvégzése, ellenőrzés, műveleti sorrend ismerete, zárójelek alkalmazása.  Egész számok, negatív számok ismerete, ellentett, abszolút érték meghatározása.  Törtszámok, fogalma, tizedes tört, törtekkel végzett műveletek  Számegyenes használata, koordináta-rendszer ismerete. A fejlesztés várt  Számrendszerek ismerete, összeadás és kivonás nem tízes alapú eredményei az számrendszerben. ötödik évfolyam  Mérés a gyakorlatban, mértékegységek (hosszúság, terület, űrtartalom, végén tömeg, idő), becslés, mérőeszközök használata. Geometria  Térelemek felismerése környezetünk tárgyain, pont, vonal, egyenes; félegyenes, szakasz, sík, szögtartomány.  Szerkesztések elvégzése, körző, vonalzó használata. Szakasz másolása, szakaszfelezés, merőleges és párhuzamos egyenesek szerkesztése.  Szögmérés.  Sokszögek, kör.  Kerület és terület mérése, mértékegységei.  Testek felszíne, térfogata.  Távolsággal jellemzett ponthalmazok. Statisztika, valószínűség  Egyszerű diagramok készítése, értelmezése, táblázatok olvasása.  Néhány szám számtani közepének kiszámítása.  Valószínűségi játékok és kísérletek az adatok tervszerű gyűjtése, rendezése.

11



6.évfolyam Éves óraszám 1.Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika 2.Számelmélet, algebra Egész számok Törtek, tizedes törtek, racionális számok Oszthatóság Arányos következtetések, egyenletek, egyenlőtlenségek 3.Sorozatok, függvények 4.Geometria Tengelyes tükrözés 5. Statisztika, valószínűség Ismétlés, hiánypótlás, számonkérés


Előzetes tudás

144 óra 5 8 23 16 35 5 23 6 23

Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, Órakeret kombinatorika 5 óra Adott tulajdonságú elemek halmazba rendezése. Halmazba tartozó elemek közös tulajdonságainak felismerése, megnevezése. Annak eldöntése, hogy egy elem beletartozik-e egy adott halmazba. A változás értelmezése egyszerű matematikai tartalmú szövegben. Több, kevesebb, ugyanannyi fogalma. Állítások igazságtartalmának eldöntése. Kommunikáció fejlesztése. Néhány elem sorba rendezése, az összes eset megtalálása (próbálgatással).

A tematikai egység Állítások megfogalmazása, igazságtartalmának eldöntése. nevelési-fejlesztési Néhány elem sorba rendezése, kiválasztása – módszeres próbálgatással. céljai Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Logikai állítások. Igaz, hamis állítás. És; vagy, minden, van olyan kifejezések értő használata. Állítások megfogalmazása a hétköznapi életből és a matematika területéről. Definíciók megértése, alkalmazása. Állítások igazságtartalmának eldöntése. Tanuljunk érvelni! Sorba rendezések, Kiválasztások. Elemek sorba rendezése, kiválasztása adott szempont szerint. Próbálkozzunk „logikusan” – legyen stratégiánk. A felfedezett módszerek, ötletek alkalmazása összetettebb feladatokban. Kulcsfogalmak/ IGAZ, HAMIS, ÉS , VAGY, minden, van olyan. fogalmak 12



Előzetes tudás


Számelmélet, algebra Órakeret Egész számok 8 óra Természetes számok körében biztos műveletvégzés. A számegyenes használata, alkalmas egység megválasztása. Műveleti tulajdonságok felismerése, alkalmazása. Negatív szám, ellentett, abszolútérték fogalmának ismerete, biztos használata. Egész számok összeadása, kivonása. Hatványozás fogalmának kialakítása, jelölések használata

A tematikai egység Műveletvégzés az egész számok halmazán. Műveleti tulajdonságok, nevelési-fejlesztési zárójelek használata az egész számok halmazán. céljai Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A negatív szám. (ismétlés) Egész számok a számegyenesen. (ismétlés) Egész számok összeadása, kivonása. (ismétlés) Egész számok szorzása, osztása. Mi lesz az előjele az eredménynek? Zárójelek használata, műveleti sorrend. Mikor hagyhatunk el előjelet, műveleti jelet, zárójelet? Hatványozás. A hatvány jelölése: alap, kitevő, hatványérték. Hatványok értékének kiszámítása. Számok, szorzatok felírása hatványalakban. Számok helyi értékes felírása hatványjelölés használatával. Ismerkedés a hatványozás azonosságaival. Számoljunk 2, 3, 5, 10 hatványaival – „fedezzük fel” a hatványozás azonosságait. Számrendszerek.

Informatika: gyakorlás számítógépes szoftverrel.

Informatika: 2-es számrendszer.

Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Negatív szám, előjel, ellentett, abszolút érték, koordináta-rendszer. fogalmak Hatvány, alap, kitevő.


Számelmélet, algebra Órakeret Törtek, tizedes törtek, racionális számok 23óra Törtek értelmezése. Törtek többféle alakjának ismerete. Műveletvégzés a törtszámok körében.

A tematikai egység nevelési-fejlesztési Tört számokkal való műveletvégzés elmélyítése. céljai Ismeretek/fejlesztési követelmények Negatív törtek. Törtek összeadása, kivonása. (ismétlés) Törtek szorzása, osztása természetes számmal. (ismétlés) 13

Kapcsolódási pontok



Törtek szorzása, osztása egész számmal. A reciprok fogalma. Törtek szorzása, osztása törtszámmal. Számolási készség fejlesztése. Az ellenőrzés igénye, a becslés képességének fejlesztése. Műveleti tulajdonságok, zárójelek. Az adott feladatban felismerjük a szabályt – szabálykövetés. Tizedes törtek összevonása. (ismétlés) Természetismeret; Tizedes törtek szorzása, osztása egész számmal. technika, életvitel és A műveletek elvégzése fejben kisebb számokon. gyakorlat; történelem, A műveletek eredményének előzetes becslése, írásbeli társadalmi és elvégzése. állampolgári Számolás negatív tizedes törtekkel is. ismeretek: statisztikai A műveletek ellenőrzése. adatok. Szorzás tizedes törttel. Osztás tizedes törttel. Pénzügyi ismeretek: valuták átváltása. Az átlag kiszámítása. Statisztikai adatok gyűjtése, elemzése. Hány tizedes jegyre számoljunk átlagot? Racionális számok Véges, végtelen szakaszos tizedes törtek előállítása osztással Két egész szám hányadosaként felírható számok. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Reciprok, tizedes tört, véges és végtelen szakaszos tizedes tört, racionális fogalmak szám.

Tematikai egység/ Számelmélet, algebra Órakeret Fejlesztési cél Oszthatóság 16 óra Előzetes tudás Osztás, osztó, maradékos osztás. A tematikai egység Az osztó, többszörös fogalmának elmélyítése. Számolási készség nevelési-fejlesztési fejlesztése. A prímszám, összetett szám, a közös osztó, közös többszörös céljai fogalma. A prímtényezős felbontás ismerete. Kapcsolódási pontok Ismeretek/fejlesztési követelmények Maradékos osztás. Természetismeret; Osztás fejben és írásban. vizuális kultúra: Maradékokkal végzett műveletek. periodikusan Osztó, többszörös. ismétlődő jelenségek, Osztók meghatározása, osztópárok, valódi osztók. minták. Halmazok: osztók, többszörösök halmaza – halmazábra. Statisztika: táblázat, grafikon az osztók számáról. Oszthatósági szabályok. 2-vel, 4-gyel, 8-cal, 5-tel, 25-tel, 125-tel, 10-zel, 100-zal való oszthatóság eldöntése a szám végződése alapján. 3-mal, 9-cel való oszthatóság a számjegyek összege alapján. 14



Prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás. A hatványok használata a prímtényezős felbontásban. Ikerprímek. Matematikatörténet: Eratoszthenész szitája. Közös osztók, legnagyobb közös osztó. Közös többszörös, legkisebb közös többszörös. Sok feladaton keresztül tapasztalatot szerzünk az osztók, közös osztók, többszörösök, közös többszörösök meghatározására. A tanultakat alkalmazzuk törtek egyszerűsítésére, bővítésére. Háromszögszámok, négyszögszámok. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Osztó, maradék, többszörös, prímszám, összetett szám, prímtényezős fogalmak felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös.


Számelmélet, algebra Órakeret Arányos következtetések, egyenletek, egyenlőtlenségek 35 óra Egyszerű szöveges feladatok megoldása: a szöveg értelmezése, adatok kigyűjtése, megoldási terv készítése, becslés, ellenőrzés, az eredmény Előzetes tudás realitásának vizsgálata. Jelek, szimbólumok használata összefüggések leírására, az ismeretlen szimbólum kiszámítása. Az arány fogalma, arányos következtetések. Egyenes és fordított arányosság felismerése. Törtrész, százalékérték meghatározása. A tematikai egység Betűk használata összefüggések leírására. Egyszerű egyenletek, nevelési-fejlesztési egyenlőtlenségek megoldása: próbálgatás, következtetés, lebontogatás, céljai mérlegelv – ismerkedés a megoldási módszerekkel. Szövegértés fejlesztése – szöveges feladatok. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Két szám aránya. Technika, életvitel és Az arány fogalma – mindennapi életből vett példákon gyakorlat: vásárlás. keresztül. Természetismeret: Arányos osztás. megtett út, táblázatok, Szöveges feladatok mennyiségek adott arányban való grafikonok. felosztására. Hon- és népismeret; Egyenes arányosság. természetismeret: Fordított arányosság. Térképéről Statisztika: táblázatok, grafikonok elemzése arányosság méretarányos szempontjából. távolságok meghatározása.

15



Törtrész. Technika, életvitel és A tört rész kiszámítása következtetéssel és törtek gyakorlat: használatával. áremelkedés, Az egész rész meghatározása. árengedmény. Százalék. Százalékérték, százalékalap, százalékláb. Százalékszámítás arányos következtetéssel és tizedes törtek használatával. Több lépést igénylő százalékszámítási feladatok. Százalékszámítás számológéppel. Egyenlet, azonosság, egyenlőtlenség. Magyar nyelv és Az összefüggések megértése. irodalom: Szövegértés, Alaphalmaz felismerése. a nyelv logikai Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek elemeinek helyes megoldása próbálgatással, lebontogatással, következtetéssel, használata. A kapott mérlegelvvel. eredmény értékelése. A megoldást ábrázolhatjuk számegyenesen. Szöveges feladatok. Adatok meghatározása, terv készítése, becslés, egyenlet, megoldás, válasz, ellenőrzés. Az ismeretlen mennyiségre kezdetben jelet majd betűt használhatunk. A megoldást segíthetjük ábrával, táblázattal. Egyenlethez, egyenlőtlenséghez készítsünk szöveges feladatot. Az önellenőrzés igényének felkeltése, a képesség fejlesztése. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Arány, arányos osztás, egyenes arányosság, fordított arányosság, tört rész, fogalmak százalék, egyenlet, azonosság, egyenlőtlenség.


Előzetes tudás

Órakeret 5 óra Szabályfelismerés, szabálykövetés. Növekvő és csökkenő számsorozatok. Összefüggések keresése az egyszerű sorozatok elemei között. A szabály megfogalmazása egyszerű formában, a hiányzó elemek pótlása. Tapasztalati adatok lejegyzése, táblázatba rendezése. Táblázat adatainak értelmezése. Sorozatok, függvények

A tematikai egység Sorozat megadása szabállyal. A koordináta-rendszer biztonságos nevelési-fejlesztési használata. Függvényszemlélet előkészítése. céljai Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Sorozatok. Technika, életvitel és Egyszerű sorozatok folytatása adott szabály szerint. gyakorlat: Sorozatok készítése. osztálynévsor. Algoritmusok játékokon keresztül – szabályjátékok. Testnevelés és sport: Matematikatörténet: Gauss. tornasor. 16



Koordináta-rendszer, grafikonok. Egyenes arányosság grafikonja. Egyszerű grafikonok értelmezése. Egyszerű kapcsolatok ábrázolása derékszögű koordinátarendszerben. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Sorozat, egyenes arányosság, grafikon. fogalmak


Geometria Órakeret Tengelyes tükrözés 23 óra Tükrös alakzatok és tengelyes szimmetria előállítása hajtogatással, Előzetes tudás nyírással, rajzzal, színezéssel. A tematikai egység Szimmetria felismerése a természetben, építészetben, művészetben. A nevelési-fejlesztési tengelyes tükrözés végrehajtása, tulajdonságai. Szerkesztési feladatok. céljai Alakzatok csoportosítása tengelyes szimmetria szempontjából. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Fedezzük fel a szimmetriát! Vizuális kultúra; A síktükör képalkotása. (Visszapillantó-tükör.) természetismeret: Szimmetrikus alakzatok környezetünkben. szimmetria a A tengelyes tükrözés. természetben, Rajzoljunk szimmetrikus ábrákat. képzőművészetben, Hajtogassunk szimmetrikus alakzatokat. építészetben. Építsünk szimmetrikus alakzatokat. A tükörkép szerkesztése. Tükrözés körzővel, vonalzóval. Tükrözés koordináta-rendszerben. A tengelyes tükrözés tulajdonságai. Pont, egyenes, szög, háromszög, kör képe, irányításváltás. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok. Kör. Tengelyesen szimmetrikus háromszögek: Egyenlő szárú és egyenlő oldalú háromszögek, tulajdonságaik. Szerkesztési feladatok az egyenlő szárú háromszög tulajdonságai alapján. Tengelyesen szimmetrikus négyszögek. A deltoid, rombusz, húrtrapéz, téglalap, négyzet. Halmazok: a kapcsolatok szemléltetése halmazábrával. Szabályos sokszögek. Tengelyesen szimmetrikus háromszögek, négyszögek területe. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Tengelyes tükrözés, szimmetria, egyenlő szárú háromszög, egyenlő oldalú fogalmak háromszög, deltoid, rombusz, húrtrapéz, szabályos sokszög.

17




Órakeret 6 óra Adatgyűjtés, adatok lejegyzése, diagram leolvasása. Valószínűségi Előzetes tudás játékok, kísérletek, megfigyelések – biztos, lehetetlen, lehet, de nem biztos állítások. A tematikai egység Adatok gyűjtése, értelmezése, jellemzése. Átlag kiszámítása. nevelési-fejlesztési Valószínűségi játékokon és kísérleteken keresztül a valószínűség céljai fogalmának alapozása. Kapcsolódási pontok Ismeretek/fejlesztési követelmények Adatok ábrázolása. Természetismeret: Adatok gyűjtése, elemzése. népesség alakulása, Oszlopdiagram, vonaldiagram, kördiagram elemzése. összetétele. Valószínűségi játékok, kísérletek. Biztos esemény, lehetetlen esemény. Kinek nagyobb az esélye? Kulcsfogalmak/ Adat, grafikon, átlag, biztos esemény, lehetetlen esemény. fogalmak Statisztika, valószínűség

Gondolkodási és megismerési módszerek  Állítások megfogalmazása a hétköznapi életből és a matematika területéről, állítások igazságtartalmának eldöntése.  Elemek kiválasztása adott szempont szerint.  Elemek sorba rendezése különféle módszerekkel.

A fejlesztés várt eredményei a 6. évfolyam végén

Számelmélet és algebra  Műveletek elvégzése, ellenőrzés, műveleti sorrend ismerete, zárójelek alkalmazása.  Egész számok, negatív számok ismerete, ellentett, abszolút érték meghatározása.  Törtszámok, racionális számok, reciprok fogalmának ismerete, tizedes tört, törtekkel végzett műveletek elvégzése.  Számegyenes használata, koordináta-rendszer ismerete.  Számrendszerek ismerete, összeadás és kivonás nem tízes alapú számrendszerben.  Mérés a gyakorlatban, mértékegységek (hosszúság, terület, űrtartalom, tömeg, idő), becslés, mérőeszközök használata.  Osztó, oszthatósági szabályok, közös osztó, többszörös, közös többszörös, prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás.  A mindennapi életben felmerülő arányossági feladatok megoldása következtetéssel, egyenes arányosság, fordított arányosság.  A százalék fogalmának megismerése, egyszerű számítási feladatok.  Egyszerű egyenletek, egyenlőtlenségek használata.  Szöveges feladatok megoldása. Sorozatok, függvények  Egyszerű sorozatok folytatása adott szabály szerint. 18



 Egyszerű grafikonok értelmezése. Geometria  Szerkesztések elvégzése, körző, vonalzó használata. Szakasz másolása, szög másolása, szakaszfelezés, szögfelezés, merőleges és párhuzamos egyenesek szerkesztése.  Háromszögek, négyszögek, sokszögek, kör.  Távolsággal jellemzett ponthalmazok.  Tengelyes tükrözés, tengelyes szimmetria. Statisztika, valószínűség  Egyszerű diagramok készítése, értelmezése, táblázatok olvasása.  Néhány szám számtani közepének kiszámítása.  Valószínűségi játékok és kísérletek az adatok tervszerű gyűjtése, rendezése.

19



7.évfolyam 2013-ban és 2014-ben kezdő évfolyamokon 180 óra; 2015-től kezdő évfolyamokon 144 óra Éves óraszám 1.Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika 2.Számelmélet, algebra Racionális számok, oszthatóság

180 óra 144 óra 12

10

15

13

Algebrai kifejezések Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek 3.Sorozatok, függvények 4.Geometria Geometriai transzformációk Síkgeometria Térgeometria 5. Statisztika, valószínűség

15

14

23 16

13 12

18 24 15 10

16 17 10 6

Ismétlés, hiánypótlás, számonkérés

32

33


Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok

Órakeret 12 (10) óra Halmaz megadása, részhalmaz, egyesítés, metszet, halmazábra. Logikai állítások - igaz, hamis állítások. Néhány elem sorba rendezése, kiválasztása.

A tematikai egység A halmazszemlélet fejlesztése, halmazműveletek alkalmazása. nevelési-fejlesztési Kombinatorikus gondolkodás fejlesztése, tapasztalatszerzés. céljai Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A halmazokról tanultak ismétlése. Két halmaz különbsége. Intervallum. Csoportosítás, válogatás különböző szempontok szerint. Számhalmazok és ponthalmazok használata, a halmazműveletek alkalmazása Matematikatörténet: Cantor – ismeretek gyűjtése könyvtárból, internetről. Sorba rendezési feladatok. Kiválasztási feladatok. Szemléltetés gráfokkal.

20



A korábban megismert módszerek, stratégiák alkalmazása: szisztematikus próbálkozás, esetek rendszerezése gráffal is. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Alaphalmaz, részhalmaz, üres halmaz, unió, metszet, különbség, fogalmak komplementer halmaz, intervallum, gráf.

Órakeret 15 (13) óra Számhalmazok: természetes, egész, racionális – négy alapművelet elvégzése ezeken a halmazokon. Számegyenes használata. Műveleti tulajdonságok, zárójelek használata. A hatvány fogalma, azonosságok alkalmazása egyszerű esetekben. Előzetes tudás Osztó, többszörös felismerése, meghatározása. Oszthatósági szabályok. Prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás. Közös osztók, közös többszörösök felismerése, alkalmazásuk törtekkel végzett műveletekben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. A A tematikai egység mennyiségi jellemzők kifejezése számokkal, a számok értelmezése a nevelési-fejlesztési valóság mennyiségeivel. Számolás hatványokkal A korábban megismert fogalmak rendszerező ismétlése, elmélyítése. céljai Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Számelmélet, algebra Racionális számok, oszthatóság

Periodikus jelenségek megfigyelése. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös magadása hatványok segítségével.

Ismeretek/fejlesztési követelmények Műveletek racionális számokkal (ismétlés). A negatív szám és a racionális szám fogalmának elmélyítése. Összevonás gyakorlása a racionális számok halmazában; az ellentett és az abszolút érték. Szorzás és osztás gyakorlása a racionális számok halmazában; előjelszabály, a 0 és az 1 szerepe, a reciprok. A zárójelek használata, műveletek sorrendje. A tizedes törtek, műveletek tizedes törtekkel. Műveletek tulajdonságainak felismerése és alkalmazása. A hatványozás (ismétlés). A hatvány jelölése: alap, kitevő, hatványérték. Hatványozás azonosságai (ismétlés, elmélyítés). Számoljunk 2, 3, 5, 10 hatványaival. Azonos alapú hatványok szorzata, hányadosa. Szorzat, hányados hatványozása. Hatvány hatványozása. A 0 és negatív egész kitevőjű hatvány. Számok normálalakja. Nagy és kis számok írása. Osztó, többszörös. Oszthatósági szabályok. Ismételjük a korábbi években tanultakat. 21

Kapcsolódási pontok Fizika; kémia: számítási feladatok zsebszámológéppel is.

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz: a tér, az anyagmennyiség, az idő mértéke normálalakban.



Számoljunk a maradékokkal. A 11-gyel való oszthatóság szabálya. Összetett oszthatósági szabályok: pl. 6-tal, 12-vel. Halmazok: osztók, többszörösök halmaza – halmazábra. Statisztika: táblázat, grafikon az osztók számáról. Prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás. Fizika; kémia: aráA prímtényezős felbontást hatványok segítségével adjuk meg. nyossági számítások Osztók, többszörösök prímtényezős felbontása. felhasználása feladatOsztók száma. megoldásokban. Relatív prímszámok. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. A legnagyobb közös osztót, a legkisebb közös többszöröst a prímtényezős felbontás alapján határozzuk meg. Felhasználás törtek egyszerűsítése, törtek bővítése során Számelméleti alapú játékok. Matematikatörténet: Mersenne, Euler, Fermat munkássága. Érdekességek a prímszámok köréből (végtelen sok prímszám van, ikerprímsejtés, barátságos számok fogalma és története). Tökéletes szám. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Racionális szám, hatvány, alap, kitevő, arány, százalék. Osztó, maradék, Kulcsfogalmak/ többszörös, prímszám, összetett szám, legnagyobb közös osztó, legkisebb fogalmak közös többszörös, relatív prím, számrendszer.


Órakeret 15 (14) óra Jelek, szimbólumok és betűk használata a beszédben és a matematikai szövegekben található összefüggések leírására. Számelmélet, algebra Algebrai kifejezések

A tematikai egység Szövegértés fejlesztése, betűk, képletek használata. A műveleti nevelési-fejlesztési tulajdonságok alkalmazása algebrai kifejezésekre. céljai Kapcsolódási pontok Ismeretek/fejlesztési követelmények Algebrai kifejezések: változó, együttható. Fizika; kémia: Helyettesítési érték. törvények Algebrai egész- és törtkifejezések. megfogalmazása Összefüggések leírása algebrai kifejezésekkel – példák a képletek segítségével. hétköznapi életből és a matematika területéről. Képletek értelmezése. Egynemű, különnemű algebrai kifejezések. Egynemű kifejezések összevonása. Változók, együtthatók felismerése. Matematikatörténet: az algebra kezdetei, az arab matematika. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Változó, együttható, helyettesítési érték, egynemű kifejezés, összevonás. fogalmak 22



Órakeret 23 (13) óra Egyszerű, egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. A Előzetes tudás megoldás ábrázolása számegyenesen. A módszerek alkalmazása egyszerű szöveges feladatokban. A problémák megfogalmazása a matematika nyelvén. Az alaphalmaz A tematikai egység figyelembe vétele. Algebrai átalakítások használata a megoldás során. nevelési-fejlesztési Ábra, rajz, táblázat alkalmazása az összefüggések szemléltetésére. Az céljai ellenőrzés és becslés igénye - önellenőrzés fejlesztése. Kapcsolódási pontok Ismeretek/fejlesztési követelmények Egyismeretlenes, elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek algebrai Magyar nyelv és megoldása. irodalom: Szövegértés, Azonosság. a nyelv logikai Azonos egyenlőtlenség. elemeinek helyes Törtegyütthatós egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. használata. A kapott Koordináta-rendszer: Egyenletmegoldás grafikonon. eredmény értékelése. Szöveges feladatok. Fizika: kinematikai, Számok, mennyiségek közötti összefüggések felírása dinamikai feladatok. egyenlettel. Számok, mennyiségek közötti összefüggések felírása Kémia: oldatok egyenlőtlenséggel. készítése. A megoldás folyamata: adatok lejegyzése, megoldási terv, becslés, ellenőrzés. A feladat megértése, elemzése, a lényeg meglátása. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Egyenlet, változó, egyenlőtlenség, azonosság, mérlegelv. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Számelmélet, algebra Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek

23



Órakeret Függvények, sorozatok 16 (12) óra Egyszerű sorozatok folytatása adott szabály szerint. Egyszerű grafikonok Előzetes tudás értelmezése, egyszerű kapcsolatok ábrázolása derékszögű koordinátarendszerben. Egyenesen arányos, fordítottan arányos mennyiségek. Függvények megadása, jellemzése. A mindennapi életből vett A tematikai egység kapcsolatok leírása függvényekkel. Néhány függvénytípus megfigyelése, nevelési-fejlesztési használata. Függvények ábrázolása értéktáblázat használatával, a céljai függvény jellemzői alapján, egyszerű függvénytranszformációk segítségével. Kapcsolódási pontok Ismeretek/fejlesztési követelmények Hozzárendelés megadása. Fizika: út-idő grafikon, Táblázat, grafikon használata. sebesség-idő grafikon. Változatos példák egyértelmű, többértelmű hozzárendelésekre. A reláció fogalma. Függvények értelmezése. Az alapfogalmak felismerése, alkalmazása gyakorlati problémákban. Az egyenes arányosság és grafikonja. Fizika; kémia: Lineáris függvény: egyenesen arányos mennyiségek.  elsőfokú függvény,  nulladfokú függvény. A lineáris függvény meredeksége. Modellek alkotása: lineáris kapcsolatok felfedeztetése. Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Matematikatörténet: René Descartes. A sorozat mint függvény. Sorozatok készítése, vizsgálata. A számtani sorozat. A számtani sorozat megadása az első taggal és a differenciával. A számtani közép. Kulcsfogalmak/ Függvény, értelmezési tartomány, értékkészlet, egyenes arányosság, fogalmak sorozat, számtani sorozat, számtani közép. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

24



Órakeret 18 (16) óra Tengelyes tükrözés. tengelyesen szimmetrikus alakzatok, háromszögek, Előzetes tudás négyszögek, szabályos sokszögek, kör. Szimmetrikus ábrák rajzolása szerkesztése, szimmetrikus alakzatok építése. A tematikai egység Geometriai transzformációk megadása és elvégzése változatos nevelési-fejlesztési szabállyal. A transzformációk tulajdonságainak felismerése. céljai Egybevágóság felismerése környezetünkben, esztétikai érzék fejlesztése. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Pont-pont függvények. Informatika: Egybevágósági transzformációk. szerkesztőprogram Tengelyes tükrözés (ismétlés). használata. Középpontos tükrözés. Forgatás. Geometriai transzformációk változatos szabályokkal. A transzformációk elvégzése körzővel, vonalzóval. A transzformációk tulajdonságainak felismerése: távolságtartás, szögtartás, alakzat és képének irányítása. Geometriai szerkesztőprogram használata – tanári demonstráció, tanulói használat is (lehetőség szerint). Eltolás. Fizika: elmozdulás, Alakzatok képének szerkesztése. sebesség. A vektor. A vektor – irányított szakasz. Ellentett vektor, nullvektor. Vektorok összeadása, kivonása, számmal való szorzása. Vektorok felbontása összetevőkre. Párhuzamos szárú szögek: egyállású szögek, társszögek, mellékszögek. Fordított állású szögek: csúcsszögek, váltószögek. Merőleges szárú szögek A szögpárok felismerése. A háromszögek egybevágóságának alapesetei. Egybevágóságon alapuló számítási, szerkesztési feladatok. Matematikatörténet: Eukleidész. Szimmetrikus alakzatok. Vizuális kultúra: Szimmetrián alapuló játékok. díszítőminták, Paralelogramma tulajdonságai. építészet. Paralelogramma szerkesztése. Hon- és népismeret: Halmazok: szimmetrikus alakzatok, sokszögek csoportosítása, népművészeti halmazábra készítése. alkotások. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Geometria Geometriai transzformációk

Geometriai transzformáció, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, Kulcsfogalmak/ forgatás, eltolás, vektor, egyállású szög, váltószög, csúcsszög, fogalmak egybevágóság. 25



Órakeret 24 (17) óra Térelemek, illeszkedésük, szögük. A háromszög belső és külső szögeinek összege. Háromszög-egyenlőtlenség. Sokszögek, csúcs oldal, átlók, belső Előzetes tudás és külső szögek. Geometriai szerkesztés, körző, vonalzó, szögmérő használata. Kerület, terület. Négyszögek tulajdonságai, csoportosításuk különböző szempontok A tematikai egység alapján. Az igény felkeltése az állítások megsejtésére, nevelési-fejlesztési megfogalmazására, bizonyítására. Számítási feladatok elvégzése a céljai geometria területéről – a lépések átgondolása, megtervezése. Kör és részeinek vizsgálata. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Geometria Síkgeometria

Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai, körei. Oldalfelező merőlegesek – a háromszög köré írható kör (ismétlés). Szögfelezők – a háromszög beírható köre (ismétlés). Magasságok – magasságpont. Súlyvonalak – súlypont. Középvonalak. Négyszögek nevezetes vonalai. Paralelogramma magassága, középvonala. Trapéz magassága, középvonala. Sokszögek. Belső és külső szögek összege. Átlók száma. Szabályos sokszögek. Szerkesztési feladatok. Háromszögek, négyszögek. A megoldhatóság feltételének, a megoldások számának vizsgálata – diszkusszió. Mérés. Mértékegységek. Hosszúság, terület, idő, űrtartalom mérése. Mértékegységek átváltásának gyakorlása. Mértékegységek története. Sokszögek kerülete, területe. A paralelogramma, rombusz, háromszög, trapéz, deltoid kerülete, területe. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből.

Informatika: geometriai szerkesztőprogram használata.

Kulcsfogalmak/ Szögfelező, oldalfelező merőleges, magasságvonal, súlyvonal, középvonal, fogalmak Pitagorasz-tétel, Thalész-tétel, kör, kerület, terület, mértékegység.

26



Órakeret 15 (10) óra Térelemek, kölcsönös helyzetük. Testek építése szemléltetése, csúcs, él, Előzetes tudás lap, átló fogalma. Testek felismerése a környezetünkben. Téglatest felszíne, térfogata. A tematikai egység A korábbi fogalmak rendszerező ismétlése, elmélyítése. A térszemlélet nevelési-fejlesztési fejlesztése: egyenes hasáb, leírása, jellemzőinek mérése, felszín, céljai térfogat. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Sokszöglapokkal határolt testek. Környezetünk tárgyainak megfigyelése.. Felszín, térfogat. Vizuális kultúra: Kockákból, téglatestekből összerakott testek felszíne, térfogata. építészeti formák. Egyenes hasáb, hálója, felszíne, térfogata. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Alaplap, oldalél, lapátló, testátló, hasáb, henger, gúla, kúp, gömb, felszín, fogalmak térfogat. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Geometria Térgeometria

Tematikai egység/ Órakeret Statisztika, valószínűség Fejlesztési cél 10 (6) óra Előzetes tudás Adatok gyűjtése. Grafikonok elemzése. Átlag. Valószínűségi játékok. A tematikai egység A tanult fogalmak, módszerek rendszerező ismétlése. A gyakoriság, nevelési-fejlesztési relatív gyakoriság fogalma, a valószínűség meghatározása egyszerű céljai esetekben – a valószínűség fogalmának mélyítése. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Adatok gyűjtése elemzése, becslés. Informatika: Táblázat használata. táblázatkezelő Pontdiagram, vonaldiagram, oszlopdiagram, kördiagram. program használata. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Mire lehet következtetni a relatív gyakoriságból? Valószínűség. Informatika: véletlen Valószínűségi kísérletek elvégzése, elemzése. jelenségek Játékok elemzése. szimulációja. Kulcsfogalmak/ Táblázat, diagram, gyakoriság, relatív gyakoriság, medián, módusz, átlag, fogalmak valószínűség.

27



Gondolkodási és megismerési módszerek  Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete; számhalmazok ismerete.  Leszámlálási és kiválasztási feladatok megoldása, a megoldás gondolatmenetének rögzítése szóban, írásban. Számelmélet, algebra  Az egész számok és a racionális számok fogalma, racionális számok tizedes tört alakja. Alapműveletek helyes sorrendű elvégzése.  Műveletek egész kitevőjű hatványokkal, a hatványozás azonosságainak használata feladatmegoldásban. Számolás normálalakkal.  Egyenes és fordított arányosság felismerése és alkalmazása matematikai és hétköznapi feladatokban. A mindennapjainkhoz kapcsolódó százalékszámítási feladatok megoldása.  Az oszthatósággal kapcsolatos definíciók ismerete, oszthatósági problémák vizsgálata. A prímtényezős felbontás ismerete és használata. A fejlesztés várt  Számrendszerek fogalma, használata, műveletek végzése nem tízes eredményei a alapú számrendszerben. 7.évfolyam végén  Algebrai egész kifejezések használata, műveletek algebrai egész kifejezésekkel.  Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek, megoldási módszerei. Szöveges feladatok – szövegértés, összefüggések lefordítása a matematika nyelvére. Függvények, az analízis elemei  A függvény megadása, a szereplő halmazok ismerete (értelmezési tartomány, értékkészlet).  A lineáris függvény ismerete (tulajdonságok, grafikon).  Sorozatok folytatása adott szabály szerint. Sorozatok néhány jellemzőjének vizsgálata.  A számtani sorozat felismerése, a sorozatra vonatkozó összefüggések használata feladatmegoldás során. Geometria  Háromszögek szögei és oldalai közötti összefüggések ismerete és alkalmazása. Négyszögek belső és külső szögeire vonatkozó összefüggések ismerete. 28



 Háromszögek nevezetes vonalainak, pontjainak, köreinek meghatározása, megszerkesztése.  Háromszögek, négyszögek szerkesztése, a szerkesztések lépéseinek leírása, a szerkesztési lépések elvégzése, a megoldhatóság vizsgálata, a megoldások számának elemzése.  Egybevágósági transzformációk és tulajdonságainak ismerete. Egybevágó alakzatok.  A négyszögek több szempont szerinti összehasonlítása, csoportosítása, tulajdonságainak ismerete (oldalak párhuzamossága, egyenlősége, szimmetria). Négyszögek nevezetes vonalai – paralelogramma, trapéz magassága, középvonala.  A vektor fogalmának és a vektorokkal végzett műveleteknek az ismerete: vektorok összeadása, kivonása, vektor szorzása valós számmal; vektor felbontása.  Kerület, terület, felszín és térfogat szemléletes fogalmának kialakulása, meghatározása méréssel, számolással. Mértékegységek ismerete.  Egyenes hasábok felismerése, jellemzése, felszíne és térfogata. Mértékegységek ismerete. Térszemlélet fejlesztése. Valószínűség, statisztika  Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása.  Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése.  A véletlen jelenségek tudatos megfigyelése, tapasztalatok levonása, ezek alapján a valószínűségi szemlélet fejlődése.

29



8.évfolyam 2013-ban, 2014-ben kezdő évfolyamokon 180 óra, 2015-től kezdő évfolyamokon 144 óra Éves óraszám 1.Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika 2.Számelmélet, algebra Racionális számok Algebrai kifejezések Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek 3.Sorozatok, függvények 4.Geometria Geometriai transzformációk Síkgeometria Térgeometria 5. Statisztika, valószínűség Ismétlés, hiánypótlás, számonkérés

180 óra 144 óra 13

12

8 21

8 16

20

14

25

22

16 12 24 12

12 6 16 6

29

32

Órakeret 13 (12) óra Halmaz megadása, részhalmaz, egyesítés, metszet, halmazábra. Logikai Előzetes tudás állítások. Néhány elem sorba rendezése, kiválasztása. A tematikai egység A hétköznapi beszédben használt logikai elemek felismerése, helyes nevelési-fejlesztési használata. Szövegértés, gondolataink lefordítása a matematika céljai nyelvére. Kombinatorikus gondolkodás fejlesztése, tapasztalatszerzés. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika

Logikai állítások és azok tagadása, megfordításuk. Ha … akkor, akkor és csak akkor. Van olyan, létezik… Állítás és tagadás a hétköznapi szóhasználatban. Definíció, tétel kimondása. A bizonyítás igénye és módszerei a matematikában. A skatulyaelv. Ismerkedés a módszerrel egyszerű feladatokon keresztül. Logikai szita. Ismerkedés a módszerrel két halmaz, tulajdonság esetében. Sorba rendezési feladatok. Kiválasztási feladatok. Hatványok használata az eredmény leírására Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Skatulyaelv, logikai szita. fogalmak 30

Magyar nyelv és irodalom: A lényeges és lényegtelen megkülönböztetése. Az érvelés kultúrája a csoportmunkában. Szóban és írásban pontos fogalmazás.




Számelmélet, algebra Órakeret Racionális számok 8 (8) óra Számhalmazok: természetes, egész, racionális – négy alapművelet elvégzése ezeken a halmazokon. Számegyenes használata. Műveleti Előzetes tudás tulajdonságok, zárójelek használata. A hatvány fogalma, azonosságok alkalmazása egyszerű esetekben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. A A tematikai egység mennyiségi jellemzők kifejezése számokkal, a számok értelmezése a nevelési-fejlesztési valóság mennyiségeivel. Számolás hatványokkal. A négyzetgyök céljai használata. A számfogalom elmélyítése: a számegyenes – a valós számok. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A hatványozás (ismétlés). Fizika; kémia; biológiaHatványozás azonosságai (ismétlés, elmélyítés). egészségtan; földrajz: A 0 és negatív egész kitevőjű hatvány. a tér, az Számok normálalakja. anyagmennyiség, az Nagy és kis számok írása. idő mértéke normálalakban. Számológép használata. Hatványérték kiszámítása. Normálalak a számológépen. Számok egész része, tört része. Kerekítés, pontosság. Szemléltetés számegyenesen. A mennyiségek nagyságrendjének becslése, megadása adott pontossággal. Számok négyzete, négyzetgyöke. Négyzetgyök meghatározása számológéppel. A négyzetgyökvonás azonosságai Négyzetgyökös kifejezések egyszerűbb alakra hozása - könnyű feladatokban. Geometria: Pitagorasz tétele, 2 szerkesztése. Racionális számok tizedes tört alakja. Létezik nem racionális szám. Vannak végtelen nem szakaszos tizedes törtek. A 2 , a π irracionális. Valós számok, számegyenes. A számegyenesen nem csak racionális szám van – csak a szemlélet alakítása. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Racionális szám, hatvány, alap, kitevő, normálalak, négyzetgyök, valós fogalmak szám.

31



Órakeret 21 (16) óra Jelek, szimbólumok és betűk használata a beszédben és a matematikai Előzetes tudás szövegekben található összefüggések leírására. A tematikai egység Szövegértés fejlesztése, betűk, képletek használata. A műveleti nevelési-fejlesztési tulajdonságok alkalmazása algebrai kifejezésekre. Néhány nevezetes azonosság ismerete, használata. céljai Kapcsolódási pontok Ismeretek/fejlesztési követelmények Algebrai kifejezések: változó, együttható. (Ismétlés) Helyettesítési érték. (Ismétlés) Egynemű kifejezések összevonása. (Ismétlés) Műveletek többtagú algebrai kifejezésekkel. Többtagú kifejezés szorzása többtagú kifejezésekkel - zárójelfelbontás, előjelszabályok. Többtagú kifejezés szorzattá alakítása kiemeléssel. Többtagú kifejezés osztása egytagú kifejezéssel. Nevezetes azonosságok: (a + b)2; (a - b)2; (a + b)(a - b). Geometria: azonosságok szemléltetése területtel. Azonosságok alkalmazása mindkét irányban. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Számelmélet, algebra Algebrai kifejezések

Kulcsfogalmak/ Változó, együttható, helyettesítési érték, egynemű kifejezés, összevonás, fogalmak zárójelfelbontás, kiemelés.

Órakeret 20 (14) óra Egyszerű, egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. A Előzetes tudás megoldás ábrázolása számegyenesen. A módszerek alkalmazása egyszerű szöveges feladatokban. A problémák megfogalmazása a matematika nyelvén. Az alaphalmaz A tematikai egység figyelembe vétele. Algebrai átalakítások használata a megoldás során. nevelési-fejlesztési Ábra, rajz, táblázat alkalmazása az összefüggések szemléltetésére. Az céljai ellenőrzés és becslés igénye - önellenőrzés fejlesztése. Kapcsolódási pontok Ismeretek/fejlesztési követelmények Egyismeretlenes, elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek algebrai megoldása. (ismétlés) Szöveges feladatok. Fizika: kinematikai, Típusfeladatok egyszerű példákkal: dinamikai feladatok.  számok helyi értékével kapcsolatos feladatok; Kémia: oldatok  geometriai számításokkal kapcsolatos feladatok; készítése.  fizikai számításokkal kapcsolatos feladatok;  százalékszámítási feladatok;  keverési feladatok;  együttes munkavégzéssel kapcsolatos feladatok; Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Számelmélet, algebra Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek

32



 pénzügyi ismeretek: áremelkedés, árengedmény, kamat. Néhány nem elsőfokú egyenlet. Szorzattá alakítás. Egyszerű másodfokú egyenlet megoldása teljes négyzetté kiegészítéssel. Egyszerű diophantoszi egyenletek megoldása. Egyenletmegoldás és oszthatóság vizsgálatának összekapcsolása. Elsőfokú egyenletrendszerek. Egyszerű egyenletrendszereket oldunk meg: behelyettesítő módszer. Egyszerű szöveges feladatok megoldása egyenletrendszerrel. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Egyenlet, változó, egyenlőtlenség, azonosság, mérlegelv. Diophantoszi fogalmak egyenlet. Egyenletrendszer.

Órakeret 25 (22) óra Egyszerű sorozatok folytatása adott szabály szerint. Egyszerű grafikonok értelmezése, egyszerű kapcsolatok ábrázolása derékszögű koordinátaElőzetes tudás rendszerben. Egyenesen arányos, fordítottan arányos mennyiségek. Számtani sorozatok felismerése, általános tagja. Függvények megadása, jellemzése. Néhány függvénytípus megfigyelése, A tematikai egység használata. Függvények ábrázolása értéktáblázat használatával, a nevelési-fejlesztési függvény jellemzői alapján, egyszerű függvénytranszformációk céljai segítségével. Kapcsolódási pontok Ismeretek/fejlesztési követelmények Függvények értelmezése. Fizika: út-idő grafikon, Függvényvizsgálat. sebesség-idő grafikon.  Értelmezési tartomány.  Értékkészlet.  Zérushely.  Monotonitás, szélsőérték. Lineáris függvény (ismétlés) a Fizika: Boyle– Fordított arányosság: Mariotte-törvény. x Informatika: Néhány nem lineáris függvény: x2; x ; x. számítógépes szoftver használata függvények ábrázolására. Függvénytranszformációk: Fizika: a megfigyelés f(x)+c; f(x+c), -f(x), c∙f(x). kezdőpontja (a Függvénytranszformációk több lépésben. viszonyítási rendszer) változásának hatása a Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Függvények, sorozatok

33



jelenséget leíró függvényre. Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Matematikatörténet: René Descartes. A számtani sorozat. A számtani sorozat első n tagjának összege. A mértani sorozat. A mértani sorozat megadása az első taggal és a hányadossal. A mértani közép. Függvény, értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, Kulcsfogalmak/ egyenes arányosság, fordított arányosság, függvénytranszformáció, fogalmak sorozat, számtani sorozat, számtani közép, mértani sorozat, mértani közép.



Órakeret 16 (12) óra

Tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás, elforgatás. Egybevágóság. A tematikai egység Geometriai transzformációk megadása és elvégzése változatos nevelési-fejlesztési szabállyal. A transzformációk tulajdonságainak felismerése. Hasonlóság céljai felismerése környezetünkben, esztétikai érzék fejlesztése. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Középpontos hasonlóság. Földrajz: térképek. Középpontos nagyítás, kicsinyítés elvégzése. Vizuális kultúra; A középpontos hasonlóság tulajdonságainak felismerése: technika, életvitel és aránytartás, szögtartás, alakzat és képének irányítása. gyakorlat: tervrajzok. Fizika: tükrök, lencsék nagyítása. Hasonlóság. Hasonlóság segítségével megoldható számítási, szerkesztési feladatok. Háromszögek hasonlósága. A háromszögek hasonlóságának alapesetei. Hasonló síkidomok területének, hasonló testek térfogatának aránya. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Előzetes tudás

Kulcsfogalmak/ Geometriai transzformáció, középpontos hasonlóság. fogalmak

34




Geometria Órakeret Síkgeometria 12 (6) óra Térelemek, illeszkedésük, szögük. A háromszög belső és külső szögeinek összege. Háromszög-egyenlőtlenség. Háromszögek nevezetes vonalai, Előzetes tudás körei. Sokszögek, csúcs oldal, átlók, belső és külső szögek. Geometriai szerkesztés, körző, vonalzó, szögmérő használata. Kerület, terület. A tematikai egység Az igény felkeltése az állítások megsejtésére, megfogalmazására, nevelési-fejlesztési bizonyítására. Számítási feladatok elvégzése a geometria területéről – a céljai lépések átgondolása, megtervezése. Kör és részeinek vizsgálata. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Pitagorasz tétele. A tétel bizonyítása. A tétel megfordításának kimondása. Számítási és egyszerű bizonyítási feladatok. Thalész tétele. A tétel és megfordítása. A kör érintői. Matematikai logika: állítás és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel. Matematikatörténet: A görög matematika. Pitagorasz és Thalész. A kör és részei. (ismétlés) Vizuális kultúra: a kör A kör kerülete, területe. (ismétlés) mint díszítő elem. A kerület közelítése méréssel. A terület közelítése átdarabolással. Körív hossza. Körcikk területe. Arányossági következtetések. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Szögfelező, oldalfelező merőleges, magasságvonal, súlyvonal, középvonal, fogalmak Pitagorasz-tétel, Thalész-tétel, kör, kerület, terület, mértékegység.

Órakeret 24 (16) óra Térelemek, kölcsönös helyzetük. Testek építése szemléltetése, csúcs, él, Előzetes tudás lap, átló fogalma. Testek felismerése a környezetünkben. Téglatest felszíne, térfogata. Hasáb felszíne térfogata. A tematikai egység A korábbi fogalmak rendszerező ismétlése, elmélyítése. A térszemlélet nevelési-fejlesztési fejlesztése: henger, tetraéder, gúla, kúp, gömb leírása, jellemzőinek céljai mérése, felszín, térfogat. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Egyenes hasáb – alaplap, oldallap, alapél, oldalél, magasság, lapátló, testátló. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Geometria Térgeometria

35



Szabályos testek. Építőkészletek használata. Egyenes henger hálója, felszíne, térfogata. Gúla hálója, felszíne, térfogata. Tetraéder. A kúp. Kúp származtatása, alaplapalkotó, palást. Egyenes körkúp felszíne, térfogata. Képlet ismerete pontos levezetés nélkül. A gömb. A gömb felszíne, térfogata. Képlet ismerete pontos levezetés nélkül. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből.

Vizuális kultúra: építészeti formák.

Kulcsfogalmak/ Alaplap, oldalél, lapátló, testátló, hasáb, henger, gúla, kúp, gömb, felszín, fogalmak térfogat.

Tematikai egység/ Órakeret Statisztika, valószínűség Fejlesztési cél 12 (6) óra Előzetes tudás Adatok gyűjtése. Grafikonok elemzése. Átlag. Valószínűségi játékok. A tematikai egység A tanult fogalmak, módszerek rendszerező ismétlése. A gyakoriság, nevelési-fejlesztési relatív gyakoriság fogalma, a valószínűség meghatározása egyszerű céljai esetekben – a valószínűség fogalmának mélyítése. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Adatok gyűjtése elemzése. Pontdiagram, vonaldiagram, oszlopdiagram, kördiagram. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Medián, módusz. A közvélemény-kutatások. Valószínűség. Informatika: véletlen A valószínűség kiszámítása egyszerűbb esetekben – a jelenségek valószínűség klasszikus modellje. számítógépes Biztos esemény, lehetetlen esemény. szimulációja. Galton-deszka. Kulcsfogalmak/ Táblázat, diagram, gyakoriság, relatív gyakoriság, medián, módusz, átlag, fogalmak valószínűség.

36



Gondolkodási és megismerési módszerek  A nyelv logikai elemeinek tudatos szerepeltetése a feladatok megoldása során. Állítások igazságtartalmának eldöntése, tagadása, megfordítása  Leszámlálási és kiválasztási feladatok megoldása, a megoldás gondolatmenetének rögzítése szóban, írásban. Számelmélet, algebra  Műveletek egész kitevőjű hatványokkal, a hatványozás azonosságainak használata feladatmegoldásban. Számolás normálalakkal.  A négyzetgyök fogalma, számolás egyszerű négyzetgyökös kifejezésekkel.  Számrendszerek fogalma, használata, műveletek végzése nem tízes alapú számrendszerben.  Algebrai egész kifejezések használata, műveletek algebrai egész kifejezésekkel. Néhány nevezetes azonosság ismerete, használata.  Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek, megoldási A fejlesztés várt módszerei. Szöveges feladatok – szövegértés, összefüggések eredményei a lefordítása a matematika nyelvére. Egyszerű egyenletrendszer 8.évfolyam végén megoldása.  Számológép használata Függvények, az analízis elemei  A függvény megadása, a szereplő halmazok ismerete (értelmezési tartomány, értékkészlet); valós függvény alaptulajdonságainak ismerete. (zérushely, szélsőérték, monotonitás).  A lineáris függvény, az abszolútérték függvény, a másodfokú függvény, a fordított arányosság függvényének ismerete (tulajdonságok, grafikon).  Többlépéses függvénytranszformációk végrehajtása.  Sorozatok folytatása adott szabály szerint. Sorozatok néhány jellemzőjének vizsgálata.  A számtani és mértani sorozat felismerése, a sorozatra vonatkozó összefüggések használata feladatmegoldás során. Geometria  Középpontos hasonlóság felismerése, tulajdonságainak ismerete. Hasonló alakzatok. 37



 A Pitagorasz-tétel és Thalész-tétel egyszerű alkalmazásai.  Egyenes hasábok valamint a forgáshenger felismerése, jellemzése, felszíne és térfogata. Mértékegységek ismerete. A forgáskúp, a gömb felismerése, felszíne, térfogata. Térszemlélet fejlesztése. Valószínűség, statisztika  Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása.  Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése.  Adathalmaz móduszának, mediánjának, átlagának meghatározása.  A véletlen jelenségek tudatos megfigyelése, tapasztalatok levonása, ezek alapján a valószínűségi szemlélet fejlődése.

38



9.-12. évfolyam 9.évfolyam Éves óraszám Bemeneti mérések 1.Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika Halmazok, ponthalmazok 2.Számelmélet, algebra Valós számok Algebrai kifejezések Oszthatóság Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek 3.Sorozatok, függvények 4.Geometria Sokszögek Geometriai transzformációk 5. Statisztika, valószínűség Visszamérés Ismétlés, hiánypótlás, számonkérés


Előzetes tudás

144 óra 3

10 6 15 6 21 14 17 17 5 1 29

Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok Halmazok, ponthalmazok

Órakeret 10 óra

Csoportosítás különböző szempontok alapján. Halmazműveletek véges halmazokon. Halmazábra. Számhalmazok, ponthalmazok.

A tematikai egység A halmaz fogalmának ismerete, alkalmazása problémamegoldásra, nevelési-fejlesztési matematikai modellek alkotására. Több szempont alkalmazása – megosztott figyelem fejlesztése. Definíciók, jelölések használata – az céljai emlékezet fejlesztése. Ismeretek/fejlesztési követelmények Halmazokkal kapcsolatos ismeretek: alaphalmaz, üres halmaz, részhalmaz, halmazok egyenlősége, n elemű halmaz részhalmazainak a száma. Halmazok számossága. Véges és végtelen halmazok, megszámlálható, nem megszámlálható halmazok.

39

Kapcsolódási pontok Informatika: könyvtárszerkezet a számítógépen. Magyar nyelv és irodalom: mondatok,



Ismételjük és elmélyítjük a korábbi ismereteket. Matematikai modellt alkalmazunk a valóságra. Jelölések használata. Matematikatörténet: Georg Cantor.

szavak, hangok rendszerezése.

Halmazműveletek. Unióképzés, metszetképzés, különbségképzés, szimmetrikus differencia, komplementer halmaz. Az unióképzés és a metszetképzés kommutatív és asszociatív. A fogalmak ismétlése, alkalmazása több halmazra, végtelen elemszámú halmazokra is. Definíciók megfogalmazása, megértése. Halmazok felbontása diszjunkt halmazok uniójára. Halmazok Descartes-szorzata. Nevezetes ponthalmazok (ismétlés, elmélyítés): adott térelemtől adott távolságra lévő pontok halmaza – síkban és térben két térelemtől egyenlő távol lévő pontok halmaza – síkban és térben Vegyes feladatok ponthalmazok és halmazműveletek alkalmazására szerkesztéssel is. Több feltétel teljesülése egyszerre. Az euklideszi szerkesztés fogalma, szerkesztések nevezetes ponthalmazok használatával. Matematikatörténet: Eukleidész. A parabola, ellipszis, hiperbola – mint nevezetes ponthalmazok.

Informatika: adatbáziskezelés, adatállományok, adatok szűrése különböző szempontok szerint. Biológia-egészségtan: rendszertan.

Informatika: geometriai szerkesztőprogram.

Ponthalmazok a koordinátasíkon. Koordinátákkal megadott feltételek. Halmazműveletek alkalmazása. Matematikatörténet: René Descartes. Véges és végtelen halmaz, unió, metszet, különbség, szimmetrikus differencia, Kulcsfogalmak/ komplementer halmaz, Descartes-féle szorzat, euklideszi szerkesztés, parabola, fogalmak ellipszis, hiperbola.


Előzetes tudás

Számelmélet, algebra Valós számok

Órakeret 6 óra

Természetes számok, egész számok, racionális számok halmaza. Műveletek elvégzése a racionális számok halmazán fejben, írásban, számológéppel. Műveletek sorrendje, zárójelek használata. Hatványozás. A négyzetgyök fogalma, alkalmazása

A tematikai egység A számkörbővítés elveinek megértése, a valós számok halmazának ismerete. nevelési-fejlesztési Gondolkodás, ismeretek rendszerezésének fejlesztése. Absztrakciós készség fejlesztése. Számológép használata. céljai Ismeretek/fejlesztési követelmények Számhalmazok:

Kapcsolódási pontok Biológia-egészségtan; fizika; kémia: a tér, az

40



természetes számok, egész számok, racionális számok, irracionális számok, valós számok. A racionális számok halmazán végzett műveletek biztonságos elvégzése – ismétlés, gyakorlás. Műveleti tulajdonságok alkalmazása: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás. A hatványozás, a hatványozás azonosságai – ismétlés feladatokon keresztül. Számok tizedes tört alakja. Véges, végtelen szakaszos, végtelen nem szakaszos tizedes törtek. Számok normálalakja. Számolás normálalakban felírt számokkal. Normálalak a számológépen. A valós számok és a számegyenes kapcsolata. A racionális számok halmaza nem elegendő a számegyenes pontjainak jelölésére. Négyzetgyök. A négyzetgyökvonás azonosságai (ismétlés, elmélyítés).

idő, az anyagmennyiség nagy és kis méreteinek megadása normálalakkal.

Az indirekt bizonyítás, a 2 irracionális. Bevitel a gyökjel alá. Kiemelés a gyökjel alól. Nevező gyöktelenítése. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből.

Kulcsfogalmak/ Valós szám, normálalak, négyzetgyök fogalmak


Számelmélet, algebra Algebrai kifejezések használata

Órakeret 15 óra

2 2 2 Összefüggések leírása algebrai kifejezésekkel, (a  b) , a  b , helyettesítési érték, zárójelfelbontás.

A tematikai egység Algebrai kifejezések biztonságos használata, célszerű átalakítási módok nevelési-fejlesztési megtalálása, elvégzése. Direkt bizonyítási módszer alkalmazása. Ismeretek céljai tudatos memorizálása, az emlékezet fejlesztése. Ismeretek/fejlesztési követelmények Algebrai kifejezések. Egész kifejezések, polinomok, törtkifejezések. Racionális és nem racionális kifejezések. A kifejezés értelmezési tartománya. Helyettesítési érték. Műveleti tulajdonságok. Kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás. Hatványozás, a hatványozás azonosságai. 41

Kapcsolódási pontok Fizika; kémia: mennyiségek kiszámítása képlet alapján, képletek átrendezése.



Ismétlés, gyakorlás feladatokon keresztül. Nevezetes azonosságok: (a  b) ; (a  b  c) ; a  b ; Képleteket memorizálunk. Célszerű alkalmazás módjának megtalálása. Kapcsolat a geometriával: azonosságok „rajzos” igazolása. Azonos átalakítások. Polinomok összeadása, kivonása. Polinomok szorzása, hatványozása. Kiemelés. Szorzattá alakítás. Algebrai törtekkel végzett műveletek. Algebrai törtek összeadása, kivonása, szorzása, osztása. Egyszerűsítés. Bővítés. Kifejezések legnagyobb közös osztója, legkisebb közös többszöröse, használat az algebrai törtekkel végzett műveletek elvégzésénél Matematikatörténet: algebra – Al-Hvarizmi. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. 2

2

2

2

Kulcsfogalmak/ Algebrai kifejezés, polinom, algebrai tört, azonosság. fogalmak


Számelmélet, algebra Oszthatóság

Órakeret 6 óra

Osztó, többszörös, prímszám, prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Számrendszerek.

A tematikai egység A korábbi években szerzett ismeretek elmélyítése, bővítése. Algebrai nevelési-fejlesztési azonosságok, teljes indukció alkalmazása oszthatósági problémák megoldásában. céljai Ismeretek/fejlesztési követelmények Osztó, többszörös, oszthatóság, maradékos osztás, oszthatósági szabályok. Ismételjük a korábbi ismereteket. Számolunk a maradékokkal. Algebrai azonosságok alkalmazása oszthatósági feladatokban: kiemelés, szorzattá alakítás, nevezetes azonosságok. A teljes indukció módszerének alkalmazása. Prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás. A számelmélet alaptétele. Végtelen sok prímszám van. Osztók számának meghatározása a prímtényezős felbontásból. Az osztók összege, tökéletes számok. Ikerprímek. Matematikatörténet: Eukleidész, Eratosztenész, Euler, Fermat.

42




Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Ismételjük és gyakoroljuk a korábbi ismereteket Euklideszi algoritmus. Számrendszerek. Számok felírása különböző alapú számrendszerekben (ismétlés). Műveletvégzés különböző alapú számrendszerekben. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből.

Kulcsfogalmak/ Osztó, többszörös, prím, prímtényezős felbontás, a számelmélet alaptétele, fogalmak legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Euklideszi algoritmus.


Számelmélet, algebra Egyenlet, egyenlőtlenség, egyenletrendszer

Órakeret 21 óra

Egyismeretlenes, elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Alaphalmaz vizsgálata, ellenőrzés. Azonosság. Szöveges feladatok – matematikai modell alkotása. Elsőfokú egyenletrendszerek megoldása. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldása különböző A tematikai egység módszerekkel. Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a nevelési-fejlesztési modell hatókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; az ellenőrzés fontosságának belátása. A problémához illő számítási mód céljai kiválasztása, eredmény kerekítése a problémának megfelelően. Számológép használata.

Előzetes tudás

Ismeretek/fejlesztési követelmények Elsőfokú egyenletek. (ismétlés) Egyenletek algebrai megoldása: Elsőfokú egyenlettel megoldható szöveges feladatok. A korábban tanult módszerek elmélyítése: számok helyi értékével kapcsolatos feladatok, geometriai számításokkal kapcsolatos feladatok, fizikai számításokkal kapcsolatos feladatok, százalékszámítási feladatok, keverési feladatok, együttes munkavégzéssel kapcsolatos feladatok. Törtes egyenletek. Mikor lesz egy tört értéke nulla? Abszolútértéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek. Esetszétválasztás – a kifejezés felírása abszolútértékjel nélkül. Elsőfokú egyenletrendszerek (ismétlés, bővítés). Egyenletrendszerek grafikus megoldása. Behelyettesítő módszer. Egyenlő együtthatók módszere. Új ismeretlen bevezetése. Egyenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok. A már megismert módszerek – szöveges feladattípusok több ismeretlen esetén is. 43

Kapcsolódási pontok Fizika: kinematika, dinamika. Kémia: oldatok összetétele.

Fizika: a mérés hibája. Informatika: számítógépes program használata.



Törekvés minél kevesebb, alkalmasan megválasztott ismeretlen bevezetésére. A kapott eredmény értelmezése, valóságtartalmának vizsgálata, ellenőrzés a szöveg alapján. Egyenlőtlenségek. Egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Egyenlőtlenségek algebrai megoldása. Mérlegelv alkalmazása egyenlőtlenségek esetében. Többtényezős szorzat előjelének vizsgálata. Törtes egyenlőtlenségek. Mikor lesz egy tört értéke pozitív, negatív. Egyenlőtlenség szorzása negatív számmal, kifejezéssel. Egyismeretlenes egyenlőtlenségrendszer. Számegyenes használata a részeredmények összevetésében. Diophantoszi egyenletek (ismétlés, bővítés). Egyenletmegoldási módszerek és oszthatósági szabályok alkalmazása. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből.

Kulcsfogalmak/ Elsőfokú egyenlet, egyenlőtlenség, értelmezési tartomány, azonosság. Ekvivalens fogalmak átalakítás, hamis gyök Egyenletrendszer. Diophantoszi egyenlet.


Függvények

Órakeret 14 óra

Előzetes tudás

Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben. Lineáris függvények, fordított arányosság függvénye, abszolútérték-függvény, másodfokú függvény, egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény ismerete.

A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai

Függvénytranszformációk algebrai és geometriai megjelenítése. Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvénymodell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. Számítógép bevonása a függvények ábrázolásába, vizsgálatába.

Ismeretek/fejlesztési követelmények Függvény fogalma. Rendszerező ismétlés. Értelmezési tartomány, értékkészlet. A függvény megadási módjai, ábrázolása, jellemzése. Új fogalmak: periodicitás, paritás, korlátosság. Egyenes arányosság. Elsőfokú függvények, lineáris függvények. Rendszerező ismétlés. Lineáris kapcsolatok felfedezése a hétköznapokban. Abszolútérték-függvény. Másodfokú függvények. Teljes négyzetté kiegészítés. 44

Kapcsolódási pontok Informatika: függvényábrázolás, grafikonkészítés számítógépes program segítségével. Fizika; kémia: egyenesen arányos mennyiségek.

Fizika; kémia: fordítottan arányos mennyiségek.



Függvénytranszformációk. Informatika: Kapcsolat a geometriai transzformációkkal. számítógépes A tanult függvények többlépéses transzformációi az alábbiak összetételével: programok.

f ( x)  c; f ( x  c); c  f ( x); f ( x) ; f (c  x)

. Függvények jellemzése a transzformációk figyelembevételével. Függvénytranszformációk számítógépes program segítségével. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből.

Kulcsfogalmak/ Függvény, értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, monotonitás, fogalmak szélsőérték, paritás, konvexitás. Függvénygrafikon, függvénytranszformáció.


Geometria Sokszögek

Órakeret 17 óra

Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága. Háromszögek, négyszögek, sokszögek tulajdonságai. Speciális háromszögek, négyszögek elnevezése, felismerése, Előzetes tudás tulajdonságaik. Háromszögek szerkesztése alapadatokból. Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. A Pitagorasz-tétel és a Thalész-tétel ismerete. A geometriai szemlélet, látásmód fejlesztése. A korábbi fogalmakat ismétlése, elmélyítése, alkalmazásuk nehezebb feladatokban. A definíciók és tételek A tematikai egység pontos ismerete. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése. Összetett nevelési-fejlesztési számítási probléma lebontása, számítási terv készítése (megfelelő részlet kiválasztása, a részletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós probléma céljai geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Számológép, számítógép használata.

Ismeretek/fejlesztési követelmények


Geometriai alapfogalmak. Térelemek, kölcsönös helyzetük, távolságuk, szögük. Alapszerkesztések. Korábbi ismeretek rendszerezése, bővítése. Axióma, tétel. Matematikatörténet: Bolyai János. Háromszögek. Korábbi ismeretek felelevenítése, alkalmazása számítási feladatokban. Háromszög-egyenlőtlenség. Összefüggések a háromszög szögei között – belső szögek, külső szögek. Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között. A háromszögek nevezetes vonalai és körei (ismétlés, a pontos bizonyítások Informatika: geometriai megadása, ismeretek bővítése). szerkesztő program A háromszög oldalfelező merőlegesei, a háromszög köré írt köre. használata. A háromszög magasságvonalai. A háromszög szögfelező egyenesei, a háromszög beírt köre, hozzáírt körei. A háromszög középvonalai. 45



A háromszög súlyvonalai. Euler-egyenes. Feuerbach-kör. Geometriai szerkesztő program használata, Euler-egyenes, Feuerbach-kör bemutatása grafikus programmal. Négyszögek, sokszögek, szabályos sokszögek. A korábbi ismeretek rendszerezése: belső és külső szögek összege; átlók száma; a négyszögek osztályozása, speciális négyszögek és tulajdonságaik. Pitagorasz tétele és a tétel megfordítása (pontos bizonyítás megadása). Számítási feladatok síkban és térben. A tételt és megfordítását alkalmazzuk bizonyítási feladatokban.

Fizika: vektor felbontása merőleges összetevőkre.

n szerkesztése. Matematikatörténet: Pitagorasz. Thalész tétele és a tétel megfordítása (pontos bizonyítás megadása). Szerkesztési és bizonyítási feladatok. Körérintő szerkesztése. Matematikatörténet: Thalész. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből.

Kulcsfogalmak/ Térelem, axióma, sokszög, Pitagorasz-tétel, Thalész-tétel. fogalmak



Órakeret 17 óra

Geometriai transzformációk, a szimmetria felismerése a környezetünkben, alkalmazásuk egyszerű feladatokban. A geometriai transzformációk ismerete, alkalmazása problémamegoldásban.

A tematikai egység Szimmetria szerepének felismerése a matematikában, a valóságban. nevelési-fejlesztési Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján. Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, céljai az eredmények összevetése a valósággal. Számológép, számítógép használata.

Ismeretek/fejlesztési követelmények Geometriai transzformáció fogalma. Egybevágósági transzformációk rendszerező ismétlése. Tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, forgatás, eltolás, A geometriai transzformációk tulajdonságai:  fixpont, fixegyenes, fixsík,  szögtartás, távolságtartás, irányítástartás,  szimmetrikus és nem szimmetrikus transzformáció. Geometriai transzformációk szorzata. Egybevágósági transzformációk előállítása tengelyes tükrözések szorzataként. Csúsztatva tükrözés. Forgatások szorzata. Az egybevágóság fogalma. 46

Kapcsolódási pontok Informatika: geometriai szerkesztőprogram használata.



Egybevágó alakzatok felismerése. Alakzatok egybevágósága. Szükséges és elégséges feltételek. A háromszögek egybevágóságának alapesetei. Szimmetrikus alakzatok. Vizuális kultúra: A szimmetrián alapuló tulajdonságok felismerése: szögek, szakaszok képzőművészet, egyenlősége. művészettörténet. Szerkesztési, számítási és bizonyítási feladatok. Az egybevágóság, a szimmetria felismerése, hatékony alkalmazása Vázlatkészítés, elemzés, szerkesztés, diszkusszió A paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala. A középpontos tükrözés alkalmazása. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből.

Kulcsfogalmak/ Geometriai transzformáció, egybevágósági transzformáció, szimmetrikus alakzat, fogalmak számtani és mértani közép.


Statisztika, valószínűség

Órakeret 5 óra

Adatok elemzése, átlag, táblázatok, grafikonok használata, gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség egyszerű fogalma. Százalékszámítás. Ismeretek rendszerezése. Tapasztalatszerzés újabb kísérletekkel, a kísérletek

A tematikai egység kiértékelése, következtetések. Táblázat értelmezése, készítése. Diagram nevelési-fejlesztési készítése, olvasása. Számítógép használata az adatok rendezésében, értékelésében, ábrázolásában. A valószínűség és a relatív gyakoriság kapcsolata céljai – a valószínűségi gondolkodás fejlesztése.

Ismeretek/fejlesztési követelmények Statisztikai adatok gyűjtése, elemzése és ábrázolása. Adatok rendezése, osztályokba sorolása, táblázatba rendezése, ábrázolása. Következtetések levonása. Számológép használata. Diagramok típusai, célszerű használat. Vonaldiagram, oszlopdiagram, kördiagram. Adathalmazok jellemzői: terjedelem, gyakoriság, relatív gyakoriság, átlag, medián, módusz, szórás.

Véletlen jelenségek megfigyelése. Kockadobások, pénzérme… Megfigyelések végzése csoportmunkában. Esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, komplementer esemény. Egyszerűbb események valószínűsége. Események összege, szorzata. 47

Kapcsolódási pontok Földrajz: időjárási, éghajlati és gazdasági statisztikák. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: történelmi, társadalmi témák vizuális ábrázolása (táblázat, diagram). Informatika: adatkezelés, adatfeldolgozás, információmegjelenítés. Informatika: véletlen jelenségek számítógépes szimulációja.



Klasszikus valószínűségi modell. A valószínűség meghatározása kombinatorikus eszközökkel.

Kulcsfogalmak/ Gyakoriság, relatív gyakoriság, terjedelem, átlag, medián, módusz, szórás. Események összege, szorzata. Klasszikus valószínűségi modell. fogalmak

Gondolkodási és megismerési módszerek  Halmazműveletek alkalmazása számhalmazokra, ponthalmazokra.  Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. Számelmélet, algebra

A fejlesztés várt eredményei a 9. évfolyam végén

 Racionális és irracionális számok, a valós számok halmazának szemléletes fogalma, véges és végtelen tizedes törtek, számegyenes.  Számok normálalakja, normálalakkal végzett műveletek.  Biztos műveletvégzés, műveletek sorrendje, zárójelek használata.  Oszthatóság, a számelmélet alaptétele, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös.  Algebrai kifejezésekkel végzett műveletek, azonosságok alkalmazása.  A gyökvonás fogalmának ismerete, a gyökvonás azonosságainak alkalmazása.  Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldási módszerei. Szöveges feladatok.  Törtes egyenletek, egyenlőtlenségek megoldási módszerei.  Számrendszerek, műveletvégzés és oszthatósági kérdések nem tízes alapú számrendszerekben.  A számológép használata. Függvények, az analízis elemei  A függvény fogalmának mélyülése. Új függvényjellemzők ismerete: korlátosság, periodicitás  Függvénytranszformációk elvégzése. A függvénytranszformációk és a geometriai transzformációk kapcsolata.  Mindennapjainkhoz, más tantárgyakhoz kapcsolódó folyamatok elemzése a megfelelő függvény grafikonja alapján. Geometria  Térelemek ismerete, távolság és szög fogalma, mérése.  Axióma és tétel fogalma.

48



 Geometriai transzformációk. Egybevágósági transzformációk ismerete, alkalmazása szerkesztési és bizonyítási feladatokban. Egybevágó alakzatok tulajdonságai.  Háromszögek, négyszögek, sokszögek szögei, nevezetes vonalai, körei. Az ismeretek alkalmazása számítási, szerkesztési és bizonyítási feladatokban.  A Pitagorasz-tétel és Thalész-tétel alkalmazásai. Valószínűség, statisztika  Statisztikai adatok elemzése: adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása.  Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése; adathalmaz móduszának, mediánjának, átlagának, szórásának meghatározása.  Véletlen esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, véletlen kísérlet, esély/valószínűség fogalmak ismerete, használata. A műveletek elvégzése az eseménytérben. A valószínűség klasszikus modelljének alkalmazása.

49



10.évfolyam Éves óraszám 1.Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika Matematikai logika Kombinatorika, gráfok 2.Számelmélet, algebra Valós számok Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek 3. Függvények 4.Geometria Geometriai transzformációk Kör, kerületi és középponti szögek

144 óra

3 3 12

21 14 20 15

5. Trigonometria 6. Valószínűségszámítás, statisztika Ismétlés, hiánypótlás, számonkérés, kompetenciafejlesztés

15 7 35

Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, Órakeret kombinatorika, gráfok 3 óra Matematikai logika Állítások megfogalmazása a hétköznapi életből. Matematikai állítások Előzetes tudás vizsgálata. Igaz és hamis állítások. Állítás tagadása. A hétköznapi életben használt logikai következtetések és a matematikai A tematikai egység logikában használt kifejezések összevetése. A hétköznapi, nem nevelési-fejlesztési tudományos szövegekben található matematikai információk céljai felfedezése, rendszerezése a célnak megfelelően. Matematikai állítások helyes megfogalmazása. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Matematikai tartalmú szöveg értelmezése. Tétel kimondása, bizonyítása. Direkt, indirekt bizonyítás. Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel. Állítások megsejtése, bizonyítás vagy cáfolat megadása. Logikai műveletek: NEM, ÉS, VAGY, „minden”, „van olyan”, „ha…akkor”, „akkor és csak akkor”. A köznapi szóhasználat és a matematikai kifejezés kapcsolatának megértése Matematikai és más jellegű érvelésekben a logikai műveletek felfedezése, alkalmazása. 50

Magyar nyelv és irodalom: Érvelés és vita, ellenpélda szerepe. Mások gondolataival való vitába szállás



Logikai műveletek és halmazműveletek kapcsolata.

kultúrája, a vitapartnerünk szempontjainak figyelembe vétele. Fizika: logikai áramkörök.

Skatulyaelv. Logikai szita. Egy-egy tipikus problémára modellalkotás. Kulcsfogalmak/ Logikai művelet: NEM, ÉS, VAGY; ha…akkor; akkor és csak akkor, szükséges fogalmak és elégséges feltétel. Skatulyaelv, logikai szita. Sejtés, bizonyítás.

Gondolkodási módszerek, halmazok, Órakeret matematikai logika, kombinatorika, gráfok 3 óra Kombinatorika, gráfok Elemek sorba rendezése, adott szempont szerinti kiválasztása, gráf Előzetes tudás használata egyszerű leszámolási feladatokban A tematikai egység A kombinatorikai problémák észrevétele a hétköznapi életben, modellek nevelési-fejlesztési alkalmazása. A rendszerező képesség, a figyelem fejlesztése. A gráfok céljai használata segédeszközként a gondolkodásban. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Tematikai egység/ Fejlesztési cél

A szorzási és összeadási szabály. Mi a feltétele annak, hogy az esetek számát összeszorozzuk vagy összeadjuk? Sorba rendezés. Kiválasztás. A szöveg matematikai nyelvre fordítása, matematikai modell készítése. Kombinatorikai problémák felfedezése a mindennapokban. n n!, nk   – elsődleges a módszer, nem a képlet. k  Gráfok: csúcs, él, fokszám. Gráfok alkalmazása feladatmegoldásban. Gondolatmenet megjelenítése gráffal. A fokok és az élek száma közötti összefüggés. Összefüggő gráfok. Fák, a fák éleinek a száma.

Kémia: molekulák szerkezete. Informatika: számítógépes hálózatok felépítés. Földrajz: térképek, úthálózat. Kulcsfogalmak/ Szorzási szabály, összeadási szabály, faktoriális, gráf, csúcs, él, fokszám, fogalmak összefüggő gráf, fa.

51




Számelmélet, algebra Valós számok

Órakeret 12 óra

Természetes számok, egész számok, racionális számok halmaza. Műveletek elvégzése a racionális számok halmazán fejben, írásban, Előzetes tudás számológéppel. Műveletek sorrendje, zárójelek használata. Hatványozás. A négyzetgyök fogalma, alkalmazása A tematikai egység A számkörbővítés elveinek megértése, a valós számok halmazának nevelési-fejlesztési ismerete. Gondolkodás, ismeretek rendszerezésének fejlesztése. céljai Absztrakciós készség fejlesztése. Számológép használata. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Az n-edik gyök fogalma. A gyökvonás azonosságai. Páros és páratlan gyökkitevő. Bevitel a gyökjel alá. Kiemelés a gyökjel alól. Nevező gyöktelenítése. Gyökös kifejezések felírása egyetlen gyökjellel. Számológép használata: yx; ; x y , normálalak. Racionális és irracionális kifejezések értékének kiszámítása számológéppel. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ fogalmak

n-edik gyök.


Számelmélet, algebra Órakeret Algebrai kifejezések használata 15 óra 2 2 2 Összefüggések leírása algebrai kifejezésekkel, (a  b) , a  b , Előzetes tudás helyettesítési érték, zárójelfelbontás. A tematikai egység Algebrai kifejezések biztonságos használata, célszerű átalakítási módok nevelési-fejlesztési megtalálása, elvégzése. Direkt bizonyítási módszer alkalmazása. céljai Ismeretek tudatos memorizálása, az emlékezet fejlesztése. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Algebrai kifejezések. Hatványozás, a hatványozás azonosságai. Ismétlés, gyakorlás feladatokon keresztül. Nevezetes azonosságok: (a  b)n – binomiális tétel, Pascal-háromszög, binomiális együttható. a n  bn ; a n  bn (ha n páratlan). Képleteket memorizálunk. 52



Célszerű alkalmazás módjának megtalálása. Számtani és mértani közép, a köztük lévő egyenlőtlenség. Harmonikus közép. Négyzetes közép. Nevezetes közepek összehasonlítása. A bizonyítás két szám esetében, de a tételek kimondása n számra. Szélsőérték-feladatok. Nevezetes közepek használatával. Függvénytulajdonságok alapján: pl. másodfokú függvények vizsgálatával. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Algebrai kifejezés, polinom, algebrai tört, azonosság. fogalmak Harmonikus közép, mértani közép, számtani közép, négyzetes közép.


Számelmélet, algebra Órakeret Egyenlet, egyenlőtlenség, egyenletrendszer 21 óra Egyismeretlenes, elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Előzetes tudás egyenletrendszerek megoldása. Alaphalmaz vizsgálata, ellenőrzés. Azonosság. Szöveges feladatok – matematikai modell alkotása Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldása. Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a A tematikai egység modell hatókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a nevelési-fejlesztési valósággal; az ellenőrzés fontosságának belátása. A problémához illő céljai számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a problémának megfelelően. Számológép használata. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek. Grafikus megoldás. Teljes négyzetté kiegészítés (ismétlés). Egyenletmegoldás szorzattá alakítással. Algoritmus keresése a megoldásra. A másodfokú egyenlet megoldóképlete. A megoldóképlet készségszintű alkalmazása. A másodfokú egyenlet diszkriminánsa. Diszkusszió. Gyöktényezős alak, Viete-formulák. Másodfokúra visszavezethető egyenletek. Új ismeretlen bevezetése. Matematikatörténet: magasabb fokú egyenletek megoldhatósága. Másodfokú egyenlettel megoldható szöveges feladatok. Modellalkotás, megoldási módszerek. Szövegben történő ellenőrzés. Másodfokú függvények vizsgálata. Teljes négyzetté alakítás használata. 53

Fizika: egyenletesen gyorsuló mozgás leírása.



Szélsőérték-feladatok. Informatika: Másodfokú függvény vizsgálatával. számítógépes program Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség használata. felhasználásával. Másodfokú egyenlőtlenségek. A megoldás megadása másodfokú függvény vizsgálatával, grafikon használatával. Másodfokú egyenletrendszer. Fizika: ütközések. Másodfokú egyenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok. Emlékezés korábban megismert módszerekre, alkalmazás az adott környezetben. Magasabb fokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldása. Szorzattá alakítással. Új ismeretlen bevezetésével. Szimmetrikus egyenletek megoldása. Négyzetgyökös egyenletek, gyökös egyenletek. Ekvivalens és nem ekvivalens egyenlet-megoldási lépések. Hamisgyök, gyökvesztés. Négyzetgyökös egyenlőtlenségek, gyökös egyenlőtlenségek. Odafigyelés az átalakítások ekvivalenciájára. Paraméteres egyenletek. Első és másodfokú egyenletek. A paraméter milyen értéke esetén végezhető el egy-egy lépés? Diophantoszi egyenletek (ismétlés, bővítés). Egyenletmegoldási módszerek és oszthatósági szabályok alkalmazása. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Másodfokú egyenlet, egyenlőtlenség, megoldóképlet, diszkrimináns. Kulcsfogalmak/ Egyenletrendszer. Gyökös egyenlet, egyenlőtlenség, paraméteres egyenlet, fogalmak diophantoszi egyenlet.


Órakeret 14 óra Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben. Lineáris függvények, Előzetes tudás fordított arányosság függvénye, abszolútérték-függvény, másodfokú függvény, egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény ismerete. Függvénytranszformációk algebrai és geometriai megjelenítése. A tematikai egység Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában nevelési-fejlesztési (függvénymodell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat céljai szempontjainak kialakítása. Számítógép bevonása a függvények ábrázolásába, vizsgálatába. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Másodfokú függvények. Fizika; kémia: Teljes négyzetté kiegészítés. fordítottan arányos Függvények

54



Hatványfüggvények. Gyökfüggvények. A függvénygrafikonok elkészítése és használata a függvény jellemzésére. Inverzfüggvény. Fordított arányosság, elsőfokú törtfüggvény. Egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény. Függvénytranszformációk. Kapcsolat a geometriai transzformációkkal. A tanult függvények többlépéses transzformációi az alábbiak összetételével: f ( x)  c; f ( x  c); c  f ( x); f ( x) ; f (c  x) .

mennyiségek.

Informatika: számítógépes programok.

Függvények jellemzése a transzformációk figyelembevételével. Függvénytranszformációk számítógépes program segítségével. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Függvény, értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, monotonitás, Kulcsfogalmak/ szélsőérték, paritás, konvexitás. Függvénygrafikon, fogalmak függvénytranszformáció.


Geometria Órakeret Geometriai transzformációk 20 óra Geometriai transzformációk, a szimmetria felismerése a Előzetes tudás környezetünkben, alkalmazásuk egyszerű feladatokban. A geometriai transzformációk ismerete, alkalmazása problémamegoldásban. Szimmetria szerepének felismerése a A tematikai egység matematikában, a valóságban. Tájékozódás valóságos viszonyokról nevelési-fejlesztési térkép és egyéb vázlatok alapján. Valós probléma geometriai céljai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Számológép, számítógép használata. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A vektor fogalma, szabadvektor, helyvektor. Fizika: Nullvektor, ellentettvektor. vektormennyiségek - e Vektorműveletek és tulajdonságaik: rő, sebesség, gyorsulás, térerősség.  összeadás,  kivonás,  számmal való szorzás. Analógia a számhalmazokon végzett műveletekkel. Vektorok felbontása adott irányú összetevőkre, a felbontás egyértelműsége. Vektorok koordinátái. A párhuzamos szelők tétele. A tétel bizonyítása racionális arány esetében. Szakasz arányos osztása. A párhuzamos szelők tételének megfordítása. A tétel megfordítása csak speciális esetben igaz. 55



A párhuzamos szelőszakaszok tétele. Számítási és bizonyítási feladatok a tételek alkalmazására. A középpontos hasonlóság fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai. Aránytartó transzformáció. Szerkesztési, számítási, bizonyítási feladatok.

Földrajz: térképek. Vizuális kultúra: tervrajzok. Fizika: optikai eszközök nagyítása. Fizika: hasonló háromszögek alkalmazása – lejtőmozgás, geometriai optika.

Hasonló alakzatok. A háromszögek hasonlóságának alapesetei. A sokszögek hasonlósága. Testek hasonlósága. A hasonló síkidomok területének aránya. A hasonló testek felszínének és térfogatának aránya. Arányossági tételek háromszögekben. Vizuális kultúra: Szögfelező tétel, magasságtétel, befogótétel. festészet, építészet. A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség geometriai bizonyítása. Mértani közép szerkesztése. Egyszerű szélsőérték-feladatok. Aranymetszés. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Geometriai transzformáció, hasonlósági transzformáció, hasonló alakzat, fogalmak számtani és mértani közép.


Geometria Órakeret Kör, kerületi és középponti szögek 15 óra Kör, a kör érintője. Thalész-tétel, hasonlóság. Négyszögekre vonatkozó Előzetes tudás ismeretek. A tematikai egység Változatos feladatokban a geometriai ismeretek alkalmazása, a nevelési-fejlesztési geometriai szemléletmód fejlesztése. Szerkesztések végzése, ezek céljai követése számítógépes szerkesztőprogrammal is. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Kör, körív, körcikk. Vizuális kultúra: A kör érintője, két kör közös érintői. festészet, építészet. Rendszerező ismétlés. Érintőnégyszög. Érintőnégyszögek tétele és megfordítása. Kerületi és középponti szögek tétele. Informatika: Azonos íven nyugvó kerületi és középponti szögek kapcsolata. geometriai Azonos íven nyugvó kerületi szögek egyenlők – kerületi szögek szerkesztőprogram tétele. használata. Adott szöghöz és szakaszhoz tartozó látószögkörívek, szerkesztésük. Szerkesztési és bizonyítási feladatok a tétel alkalmazására. Húrnégyszög. 56



Húrnégyszögek tétele és megfordítása. Szerkesztési és bizonyítási feladatok a tétel alkalmazására. Körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tétele. Bizonyítási feladatok. Pontnak körre vonatkozó hatványa. Hatványvonal. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Érintőnégyszög. Középponti szög, kerületi szög, látószögkörív. Húrnégyszög, fogalmak pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal.


Trigonometria

Órakeret 15 óra

Hasonlóság alkalmazása számolási feladatokban, vektorok koordinátáinak használata. A tematikai egység Síkbeli és térbeli ábra készítése a valós geometriai problémáról. nevelési-fejlesztési Számítási feladatok, a megoldáshoz alkalmas szögfüggvény megtalálása. céljai Számológép, számítógép használata. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Távolságok, magasságok meghatározása arányokkal. Fizika: lejtőn mozgó A valóság kicsinyített ábrájáról szögeket és szakaszokat testre ható erők határozunk meg méréssel és számolással. kiszámítása. A hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciója. Szögfüggvény értékének meghatározása számológéppel. Szög meghatározása a szögfüggvény ismeretében számológéppel. Számítási feladatok szögfüggvények használatával síkban és térben. Nevezetes szögek szögfüggvényei: 30°; 60°; 45°. Összefüggések egy hegyesszög szögfüggvényei között. Pótszögek szögfüggvényei. Trigonometrikus összefüggések bizonyítása. A szög ívmértéke. Fizika: szögsebesség, A radián mint mértékegység. szöggyorsulás, Átváltás fok és radián között. fázisszög. A szögfüggvények általános értelmezése. Fizika: harmonikus Forgásszög, egységvektor, vektorkoordináták – sin, cos, tg, ctg. rezgőmozgás, A szögfüggvények előjele a különböző síknegyedekben. hullámmozgás leírása. Szögfüggvények közötti összefüggések. Trigonometrikus összefüggések bizonyítása. Informatika: A trigonometrikus függvények. grafikonok elkészítése A szögfüggvények értelmezési tartománya, értékkészlete, számítógépes zérushelyek, szélsőérték, periódus, monotonitás. programmal. Függvénytranszformáció, függvényvizsgálat. Trigonometrikus egyenletek. A megoldáshoz a szögfüggvény definícióját használjuk. Előzetes tudás

57



A trigonometrikus egyenletnek végtelen sok megoldása van. Végtelen sok megoldás ellenőrzése. Trigonometrikus egyenlőtlenségek. Egységkör, illetve trigonometrikus függvény grafikonjának felhasználása. A periódus figyelembevétele a megoldás megadásában Geometriai alkalmazások. Háromszög területe – két oldal és a közbezárt szög felhasználásával. A háromszög oldalának kifejezése a szemben lévő szöggel és a körülírt kör sugarával. Négyszög területe – két átló és a közbezárt szög felhasználásával. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Szögfüggvény, ívmérték, trigonometrikus függvény, trigonometrikus fogalmak egyenlet, trigonometrikus egyenlőtlenség, periódus.

Gondolkodási és megismerési módszerek  Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése; bizonyítás gondolatmenetének követése.  Bizonyítási módszerek ismerete, a logikai szita, a skatulyaelv, a teljes indukció alkalmazása feladatmegoldás során.  Szorzási és összeadási szabály alkalmazása kombinatorikai feladatokban. Gráfok használata gondolatmenet szemléltetésére. Számelmélet, algebra  Algebrai kifejezésekkel végzett műveletek, azonosságok alkalmazása. Binomiális tétel, Pascal háromszög ismerete.  A gyökvonás fogalmának ismerete, a gyökvonás azonosságainak alkalmazása. A fejlesztés várt eredményei a 10.  Első és másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek évfolyam végén megoldási módszerei. Szöveges feladatok.  Törtes egyenletek, egyenlőtlenségek megoldási módszerei.  Gyökös egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása.  Másodfokúra vezető szélsőérték-problémák megoldása teljes négyzetté alakítással.  Trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása a szögfüggvények definíciója alapján.  Számtani közép, mértani közép, harmonikus közép, négyzetes közép ismerete, a köztük lévő egyenlőtlenség alkalmazása szélsőértékfeladatokban.  A számológép használata. Függvények, az analízis elemei

58



 A függvény fogalmának mélyülése. Új függvényjellemzők ismerete: korlátosság, periodicitás  A hatványfüggvény,gyökfüggvény, trigonometrikus alapfüggvények ábrázolása, jellemzése.  Függvénytranszformációk elvégzése. A függvénytranszformációk és a geometriai transzformációk kapcsolata.  Mindennapjainkhoz, más tantárgyakhoz kapcsolódó folyamatok elemzése a megfelelő függvény grafikonja alapján. Geometria  Axióma és tétel fogalma.  A kör és részeinek ismerete.  Körrel kapcsolatos tételek alkalmazása (kerületi és középponti szögek tétele, húrnégyszögek és érintőnégyszögek tételei).  Geometriai transzformációk. Egybevágósági és hasonlósági transzformációk ismerete, alkalmazása szerkesztési és bizonyítási feladatokban. Egybevágó alakzatok, hasonló alakzatok tulajdonságai.  Vektor fogalmának, vektorműveleteknek az ismerete. Vektorfelbontás, vektorkoordináták meghatározása adott bázisrendszerben.  Hegyesszögek, forgásszögek szögfüggvényeinek értelmezése, számolás szögfüggvényekkel. Szögfüggvények közötti összefüggések ismerete. Számológép, számítógép használata.

59



11.évfolyam (A csak emelt szinten megjelenő tananyagot dőlt stílussal jelöljük) Éves óraszám 1.Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok 2.Számelmélet, algebra Hatvány, gyök, logaritmus 3.Trigonometria 4.Geometria Koordinátageometria 5. Függvények, sorozatok Függvények Sorozatok Differenciálszámítás 6. Valószínűségszámítás, statisztika Ismétlés, hiánypótlás, számonkérés


Közép szint 144 óra

Emelt szint 216 óra

8

20

22 28

35 30

35

38

15

5 30 25 5 28

5 27

Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok

Órakeret 8 óra E: 20 óra

Matematikai állítások elemzése, igaz és hamis állítások. Logikai műveletek: NEM, ÉS, VAGY. Skatulyaelv, logikai szita. Sorba rendezési és Előzetes tudás kiválasztási feladatok, gráf használata feladatmegoldásban. Gráf, csúcs, él, fokszám. A tematikai egység Korábban megismert fogalmak ismétlése, elmélyítése. Kombinatorikai és nevelési-fejlesztési gráfelméleti módszerek alkalmazása a matematika különböző területein, céljai felfedezésük a hétköznapi problémákban. Kapcsolódási pontok Ismeretek/fejlesztési követelmények Permutáció – ismétlés nélkül és ismétléssel. Biológia-egészségtan: Variáció – ismétlés nélkül és ismétléssel. genetika. Kombináció – ismétlés nélkül és ismétléssel. Vegyes kombinatorikai feladatokon keresztül ismételünk, mélyítjük a feladatmegoldási rutinunkat. Rendszerezzük a témához tartozó elméleti ismereteket. n Jelek használata: n! ,   . k  Binomiális tétel. Binomiális együtthatók, tulajdonságaik. Pascal-háromszög. Matematikatörténet: Blaise Pascal, Erdős Pál. Gráfelméleti alapfogalmak: Csúcs, él, fokszám. 60



Fokszámra vonatkozó összefüggések. Többszörös él, hurokél. Gráfok alkalmazása leszámolás feladatokban – rendszerező ismétlés. Egyszerű gráf: Teljes gráf, komplementer gráf, részgráf. Összefüggő gráf. Út, vonal, séta, kör. Euler-vonal Fagráfok. Kombinatorika gyakorlati alkalmazásai Matematikatörténet: Euler. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Permutáció, variáció, kombináció. Binomiális tétel, binomiális együttható, Kulcsfogalmak/ Pascal-háromszög. Egyszerű gráf, teljes gráf, összefüggő gráf, séta, vonal, fogalmak út, kör, fa.

Órakeret 22 óra E: 35 óra Hatványozás egész kitevővel, hatványozás azonosságai, n-edik gyök, Előzetes tudás gyökvonás azonosságai. Valós számok halmaza. A matematika belső fejlődésének felismerése, új fogalmak alkotása: a A tematikai egység racionális kitevő értelmezése, az irracionális kitevőjű hatvány nevelési-fejlesztési szemléletes fogalmának kialakítása. Tájékozódás a világ mennyiségi céljai viszonyaiban: exponenciálisan, logaritmikusan változó mennyiségek. Más tudományágakban a matematika alkalmazásának felfedezése. Kapcsolódási pontok Ismeretek/fejlesztési követelmények Az egész kitevőjű hatványok, a hatványozás azonosságainak Technika, életvitel és ismétlése. gyakorlat: Számológép használata hatványok értékének kiszámítására, kamatszámítás, normálalak használatára. hitelfelvétel, törlesztőAzonos átalakítások, a célszerű módszer, lépés megválasztása. részlet-számítás. A gyökvonásról tanultak ismétlése. A hatványfogalom kiterjesztése - törtkitevőjű hatványok. Fizika: radioaktivitás. A hatványozás eddigi azonosságai érvényben maradnak – permanenciaelv. Exponenciális függvény – a hatványfogalom kiterjesztése irracionális kitevőre. Az exponenciális függvény ábrázolása, vizsgálata - irracionális kitevőjű hatvány (szemléletes alapon) ex függvény. Exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek. Földrajz: globális problémák (pl. Megoldás a definíció és az azonosságok alkalmazásával. Exponenciális egyenletre vezető valós problémák megoldása. demográfiai mutatók, a Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Számelmélet, algebra Hatvány, gyök, logaritmus

Föld eltartó képessége és az élelmezési válság,

61



betegségek, világjárványok, túltermelés és túlfogyasztás).

Számolás 10 hatványaival, 2 hatványaival. A logaritmus fogalma. Logaritmus értékének meghatározása a definíció alapján és számológéppel. A természetes alapú logaritmus – ln x. A logaritmus azonosságai. Szorzat, hányados, hatvány logaritmusa. Áttérés más alapú logaritmusra. A logaritmus azonosságainak alkalmazása kifejezések számértékének meghatározására, kifejezések átalakítására. Matematikatörténet: a logaritmus fogalmának kialakulása, változása; logaritmustáblázat. A logaritmusfüggvény. A logaritmusfüggvény ábrázolása, vizsgálata. Adott alaphoz tarozó exponenciális és logaritmusfüggvény kapcsolata. Az inverz függvény fogalma. Inverz függvénypárok keresése és ábrázolása korábban tanult függvények körében. Logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek. Megoldás a definíció és az azonosságok alkalmazásával. Értelmezési tartomány vizsgálata. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből.

Technika, életvitel és gyakorlat: zajszennyezés. Kémia: pH-számítás.

Fizika: régészeti leletek – kormeghatározás.

Racionális kitevőjű hatvány, irracionális kitevőjű hatvány. Exponenciális Kulcsfogalmak/ növekedés, csökkenés. Logaritmus. Exponenciális függvény és egyenlet, fogalmak logaritmusos függvény és egyenlet.

Órakeret Trigonometria 28 óra E: 30 óra Vektorokkal végzett műveletek. Hegyesszögek szögfüggvényei, a szögfüggvények általános értelmezése, szögmérés fokban és radiánban, Előzetes tudás szögfüggvények közötti egyszerű összefüggések, trigonometrikus függvények. A geometriai látásmód fejlesztése. A művelet fogalmának bővítése két újszerű művelettel, a skaláris szorzással és a vektoriális szorzással. A tematikai egység Algebrai és a geometriai módszerek közös alkalmazása számítási, nevelési-fejlesztési bizonyítási feladatokban. A tanultak felfedezése más céljai tudományterületeken is. A függvényszemlélet alkalmazása az egyenletmegoldás során, végtelen sok megoldás keresése. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A vektorokról tanultak rendszerező ismétlése:  a vektor fogalma, Tematikai egység/ Fejlesztési cél

62



 vektorműveletek,  vektorfelbontás. A vektorok koordinátáival végzett műveletek és tulajdonságaik. A vektor 90°-os elforgatottjának koordinátái. Szögfüggvényekről tanultak ismétlése. Trigonometrikus függvények. Összefüggések a szögfüggvények között. Két vektor skaláris szorzata. Jelölések. A skaláris szorzat tulajdonságai. A skaláris szorzás alkalmazása számítási és bizonyítási feladatokban. Merőleges vektorok skaláris szorzata. Szükséges és elégséges feltétel. Két vektor skaláris szorzatának kifejezése a vektorkoordináták segítségével. Két vektor vektoriális szorzata. Jelölések. A vektoriális szorzás tulajdonságai. Ez a művelet nem kommutatív! Párhuzamos vektorok vektoriális szorzata. Szükséges és elégséges feltétel. A terület kifejezése vektoriális szorzattal. Területvektor. A háromszög területének kifejezése két oldal és a közbezárt szög segítségével. Szinusztétel. Koszinusztétel. A tételek pontos kimondása, bizonyítása. Kapcsolat a Pitagorasz-tétellel. Ábra és terv készítése számítási feladathoz. Szög távolság, terület meghatározása gyakorlati problémákban is. A tételek alkalmazása bizonyítási feladatokban. Számológép használata. Addíciós tételek:  két szög összegének és különbségének szögfüggvényei,  egy szög kétszeresének szögfüggvényei,  félszögek szögfüggvényei,  két szög összegének és különbségének szorzattá alakítása. A trigonometrikus azonosságok megértése, használata, az alkalmas összefüggés megtalálása. Függvénytáblázat alkalmazása feladatok megoldásában. Trigonometrikus azonosságok, egyenletek és egyenlőtlenségek. Egységkör illetve trigonometrikus függvény grafikonjának felhasználása az egyenlet, egyenlőtlenség megoldásához. Az összes megoldás megkeresése. 63

Informatika: számítógépes program használata. Fizika: munka, elektromosságtan.

Fizika: forgatónyomaték, Lorentz-erő.

Technika, életvitel és gyakorlat: alakzatok adatainak meghatározása. Földrajz: távolságok, szögek kiszámítása – terepmérési feladatok. GPS: helymeghatározás. Fizika: két rezgés összetételének leírása.

Fizika: rezgőmozgás, adott kitéréshez, sebességhez, gyorsuláshoz tartozó



Időtől függő periodikus jelenségek vizsgálata.

időpillanatok meghatározása.

Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből Kulcsfogalmak/ Skaláris szorzat, vektoriális szorzat. Szinusztétel. koszinusztétel. Addíciós fogalmak tétel, trigonometrikus azonosság, egyenlet, egyenlőtlenség.


Geometria Koordinátageometria


Koordinátarendszer, vektorok, vektorműveletek megadása koordinátákkal. Ponthalmazok koordináta-rendszerben. Függvények Előzetes tudás ábrázolása. Elsőfokú, másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldása A tematikai egység Elemi geometriai ismeretek megközelítése új eszközzel. Geometriai nevelési-fejlesztési problémák megoldása algebrai eszközökkel. Analógia keresése a síkbeli céljai és a térbeli problémák között. Számítógép használata. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A Descartes-féle koordinátarendszer – síkban és térben. Informatika: A helyvektor és a szabadvektor, vektorműveletek. számítógépes program Rendszerező ismétlés. használata. Vektor abszolút értékének kiszámítása. Két pont távolságának kiszámítása. A Pitagorasz-tétel alkalmazása. Két vektor hajlásszöge. Skaláris szorzat használata. Szakasz osztópontjának koordinátái. Fizika: alakzatok A háromszög súlypontjának koordinátái. tömegközéppontja. A tetraéder súlypontjának koordinátái. Elemi geometriai ismereteket alkalmazunk, vektorokat használunk, koordinátákat számolunk. Az egyenes helyzetét jellemző adatok: irányvektor, normálvektor, Fizika: mérések irányszög, iránytangens. értékelése. A különböző jellemzők közötti kapcsolat értése, használata. Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének a feltétele. Az egyenes egyenlete: Informatika: számítógépes program  normálvektoros egyenlet, használata.  az egyenes paraméteres egyenlete,  irányvektoros egyenlet,  iránytényezős egyenlet. Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. Kétismeretlenes lineáris egyenlet. A feladathoz alkalmas egyenlettípus kiválasztása. Két egyenes metszéspontja. Egyenletrendszerek megoldási módszereit alkalmazzuk.

64



Pont és egyenes távolsága, két párhuzamos egyenes távolsága. Az egyenes Hesse-féle normálalakja. Két egyenes szöge. Skaláris szorzat használata. Két egyenes szögfelezőinek egyenlete. A kör egyenlete. Kör egyenletének felírása a középpont és a sugár ismeretében. Kétismeretlenes másodfokú egyenletről annak eldöntése, hogy kör egyenlete-e. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör érintőjének egyenlete. Két kör közös pontjainak meghatározása. Másodfokú, kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása. A diszkrimináns vizsgálata, diszkusszió. A parabola mint ponthalmaz. Fókuszpont, vezéregyenes. A parabola euklideszi értelemben nem szerkeszthető meg. Néhány elemi geometriai tulajdonság. A parabola mint kúpszelet. A parabola tengelyponti egyenlete. Különböző helyzetű parabolák egyenlete, a tengely iránya, a parabola állása. A parabola és a másodfokú függvény Teljes négyzetté kiegészítés. A parabola és az egyenes kölcsönös helyzete. A diszkrimináns vizsgálata, diszkusszió. A parabolák hasonlósága. Az ellipszis mint ponthalmaz. Fókuszpont, nagytengely, kistengely, vezérsugár. Az ellipszis euklideszi értelemben nem szerkeszthető meg. Az ellipszis mint a kör affin képe. Néhány elemi geometriai tulajdonság. Az ellipszis mint kúpszelet. A henger síkmetszetei. Az ellipszis középponti egyenlete. A hiperbola mint ponthalmaz. Fókuszpont, valós tengely, képzetes tengely, vezérsugár, aszimptota. A hiperbola euklideszi értelemben nem szerkeszthető meg. Néhány elemi geometriai tulajdonság. A hiperbola mint kúpszelet. A hiperbola középponti egyenlete. A hiperbola és a fordított arány függvénye. Ponthalmazok a koordinátasíkon. Egyenlőséggel, egyenlőtlenséggel megadott feltételek. Lineáris programozás. Pénzügyi ismeretek: optimalizálási feladatok. 65

Földrajz: távolságok, szögek kiszámítása.

Informatika: számítógépes program használata.

Fizika: geometriai optika, fényszóró, visszapillantó tükör, parabolaantenna.

Informatika: számítógépes program használata. Fizika; földrajz: Keplertörvények.




Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Vektor, irányvektor, normálvektor, iránytényező. Egyenes, kör, parabola, fogalmak ellipszis, hiperbola egyenlete. Kúpszelet.


Függvények


Függvények megadása, értelmezési tartomány, értékkészlet. Függvények jellemzése: zérushely, korlátosság, szélsőérték, monotonitás, paritás, periodicitás. Az exponenciális és logaritmusfüggvény megismerése A tematikai egység Függvénytranszformációk alkalmazása exponenciális és nevelési-fejlesztési logaritmusfüggvényre. Trigonometrikus függvényekről tanultak céljai elmélyítése. Kapcsolódási pontok Ismeretek/fejlesztési követelmények Exponenciális és logaritmusfüggvény Informatika: A függvénygrafikonok elkészítése és használata a függvény számítógépes program jellemzésére. használata. Adott alaphoz tarozó exponenciális és logaritmusfüggvény kapcsolata. Az inverz függvény fogalma. Inverz függvénypárok keresése és ábrázolása korábban tanult függvények körében. Függvények jellemzése a transzformációk figyelembevételével. Függvénytranszformációk számítógépes program segítségével. Trigonometrikus függvények Informatika: A függvénygrafikonok használata egyenletek és számítógépes program használata. egyenlőtlenségek megoldására Előzetes tudás

Kulcsfogalmak/ exponenciális függvény, logaritmus függvény, inverz függvény fogalmak

Tematikai egység/ Függvények Órakeret Fejlesztési cél Sorozatok E: 30 óra Előzetes tudás Számtani sorozat, mértani sorozat fogalma, egyszerű alapösszefüggések A hétköznapi életben, matematikai problémában a sorozattal leírható A tematikai egység mennyiségek észrevétele. Sorozatok megadási módszereinek nevelési-fejlesztési alkalmazása. Összefüggések, képletek hatékony alkalmazása. A végtelen céljai matematikai fogalmának használata. A határérték fogalmának kialakítása szemléletes megközelítésből indulva. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A sorozat fogalma, megadása, ábrázolása. Informatika: Korábbi ismeretek rendszerező ismétlése. algoritmusok. A teljes indukció módszerének ismétlése. 66



Sorozat megadása rekurzióval – Fibonacci-sorozat. Matematikatörténet: Fibonacci. Számtani sorozat. A számtani sorozat n-edik tagja. A számtani sorozat első n tagjának összege. A számtani közép. Számítási feladatok a számtani sorozat felismerésére, az összefüggések alkalmazására. Szöveges faladatok gyakorlati alkalmazásokkal. Matematikatörténet: Gauss. Mértani sorozat. Biológia-egészségtan; A mértani sorozat n-edik tagja. kémia; fizika; földrajz; A mértani sorozat első n tagjának összege. történelem, társadalmi A mértani közép. és állampolgári Számítási feladatok a mértani sorozat felismerésére, az ismeretek: összefüggések alkalmazására. exponenciális Szöveges feladatok gyakorlati alkalmazásokkal. folyamatok. Gyakorlati alkalmazások – kamatszámítás. Földrajz: világgazdaság Pénzügyi alapfogalmak – kamatos kamat, törlesztőrészlet, hitel, THM, – hitel – adósság – gyűjtőjáradék. eladósodás. Korlátos és monoton sorozatok. Informatika: Sorozatok konvergenciája – véges és végtelen határérték. programozás – a Szemléletes megközelítés után, a fogalmak megértése után sorozat sok tagjának adjuk meg a definíciókat. kiszámítása – a Konvergens sorozatok tulajdonságai. határérték, a Konvergens sorozatnak egy határértéke van. küszöbindex Minden konvergens sorozat korlátos. megsejtése. Műveletek konvergens sorozatokkal. Összeg, szorzat, hányados. Monoton és korlátos sorozatok. Rendőrelv. Néhány nevezetes sorozat határértéke: 1 q n , (1  ) n , n a . n A végtelen mértani sor. A racionális számok és a végtelen szakaszos tizedes törtek. Végtelen szakaszos tizedes törtek megadása közönséges törttel. Valós számok közelítése racionális számokkal. A kör kerülete, a π közelítése. Matematikatörténet: a π története. Kulcsfogalmak/ Sorozat, számtani sorozat, mértani sorozat, kamatos kamat. fogalmak Korlátos, monoton, konvergens sorozat. Végtelen mértani sor.

67




Függvények Órakeret Függvényanalízis I. - Differenciálszámítás E: 25 óra Függvények megadása, értelmezési tartomány, értékkészlet. Függvények Előzetes tudás jellemzése: zérushely, korlátosság, szélsőérték, monotonitás, paritás, periodicitás. Sorozatok határértéke. Megismerkedés a függvények vizsgálatának új módszerével. A függvény A tematikai egység folytonossága és határértéke fogalmának megalapozása. A nevelési-fejlesztési differenciálszámítás módszereinek használata a függvények lokális és céljai globális tulajdonságainak vizsgálatára. A matematikán kívüli területeken – fizika, közgazdaságtan – is alkalmazások keresése. Kapcsolódási pontok Ismeretek/fejlesztési követelmények Informatika: A valós számok halmazán értelmezett függvények jellemzése. számítógépes szoftver Korábbi ismeretek rendszerező ismétlése. alkalmazása függvények grafikonjának megrajzolására. A függvények folytonossága. Példák folytonos és nem folytonos függvényekre. A folytonosság definíciói. Műveletek folytonos függvényekkel: f f g , f g , f g , , f g. g Intervallumon folytonos függvények. Korlátos és zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai. Függvény határértéke. Informatika: a Példák a geometria és a fizika területéről. határérték A határérték definíciói, jelölés. számítógépes Véges és végtelen helyen vett határérték. becslése. Véges és végtelen határérték. A sorozatok és a függvények határértékének kapcsolata. Fizika: felhasználás sin 1 x, illetve tg x Az függvény végtelenben vett határértéke. közelítésére kis szög x esetében. Alkalmazás racionális törtfüggvények végtelenben vett határértékének meghatározására. sin x A függvény vizsgálata, az x = 0 helyen vett határértéke. x Bevezető feladatok a differenciálhányados fogalmának előkészítésére. Fizika: Az út-idő A függvénygörbe érintőjének iránytangense. függvény és a A pillanatnyi sebesség meghatározása. pillanatnyi sebesség kapcsolata. A fluxus és az indukált feszültség kapcsolata. Biológia-egészségtan: 68



populáció növekedésének átlagos sebessége. Fizika: harmonikus rezgőmozgás kitérése, sebessége, gyorsulása – ezek kapcsolata.

A differenciálhatóság fogalma. A szemléletes megközelítésre alapozva a pontos definíció. A különbségi hányados függvény, a differenciálhányados (derivált), a deriváltfüggvény. Példák nem differenciálható függvényekre is. Kapcsolat a differenciálható és a folytonos függvények között. Alapfüggvények deriváltja: Konstans függvény, xn Műveletek differenciálható függvényekkel. Függvény konstansszorosának deriváltja, összeg-, szorzat-, hányados-, összetett függvény deriváltja. Trigonometrikus függvények deriváltja. Exponenciális és logaritmus függvény deriváltja. Magasabb rendű deriváltak. Matematikatörténet: Fermat, Leibniz, Newton, Cauchy, Weierstrass. A függvény tulajdonságai és a derivált kapcsolata.  Lokális növekedés, fogyás – intervallumon monoton függvény.  Szélsőérték – lokális szélsőérték, abszolút szélsőérték.  Szükséges és elégséges feltételek pontos megfogalmazása, alkalmazása. Konvexitás vizsgálata deriválással. A konvexitás definíciója. Inflexiós pont. A második derivált és a konvexitás kapcsolata. Függvényvizsgálat elemi eszközökkel és differenciálszámítással. A differenciálszámítással nyert módszerek alkalmazása és ezzel párhuzamosan az elemi eszközök felelevenítése: pl. másodfokú függvény vizsgálata, sin x függvény vizsgálata, nevezetes közepek alkalmazása. Intervallumon értelmezett függvény szélsőértéke. A deriváltak zérushelyeinek és az intervallum végpontjainak vizsgálata. Szélsőérték-feladatok. Fizika: Fermat-elv, Snellius-Descartes  Változó, változók bevezetése. törvény.  A probléma visszavezetése az összefüggéseket felhasználva egyváltozós függvény vizsgálatára.  Differenciálszámítás alkalmazásával az adott értelmezési tartományon belül az abszolút szélsőérték helyének és értékének meghatározása.  Pénzügyi ismeretek: profit maximalizálása, költség minimalizálása. Függvény folytonossága, határértéke. Különbségi hányados függvény, Kulcsfogalmak/ derivált, deriváltfüggvény, magasabb rendű derivált. Monotonitás, lokális fogalmak szélsőérték, abszolút szélsőérték. Konvex, konkáv függvény. 69



Gondolkodási és megismerési módszerek  A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása.  A szöveghez illő matematikai modell elkészítése.  A gráfok eszköz jellegű használata probléma megoldásában. Számelmélet, algebra  A kiterjesztett gyök-, és hatványfogalom ismerete.  A logaritmus fogalmának ismerete.  A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben probléma megoldása céljából.  Exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldása, ellenőrzése.  Trigonometrikus egyenletek megoldása, az azonosságok alkalmazása, az összes gyök megtalálása.  A számológép biztos használata.

A fejlesztés várt eredményei a 11.évfolyam végén

Függvények, az analízis elemei  Exponenciális-, logaritmus- és a trigonometrikus függvények értelmezése, ábrázolása, jellemzése.  Függvénytranszformációk.  Exponenciális folyamatok matematikai modellje.  A számtani és a mértani sorozat. (Emelt szinten)  Pénzügyi alapfogalmak ismerete, pénzügyi számítások megértése, reprodukálása, kamatos kamatszámítás elvégzése. (Emelt szinten)  Sorozatok vizsgálata monotonitás, korlátosság, határérték szempontjából. (Emelt szinten)  A függvények vizsgálata, jellemzése elemi eszközökkel és differenciálszámítás használatával (Emelt szinten) Geometria  Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták.  Két vektor skaláris szorzata, vektoriális szorzata.  Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében, szinusztétel, koszinusztétel alkalmazása.  Valós problémákhoz geometriai modell alkotása.  A geometriai és algebrai ismeretek közötti kapcsolódás elemeinek ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör és egyenes egyenlete, geometriai feladatok algebrai megoldása.  Térbeli viszonyok, testek felismerése, geometriai modell készítése.  Hosszúság, szög, kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása. 

70



12.évfolyam (A csak emelt szinten megjelenő tananyagot dőlt stílussal jelöljük) Éves óraszám 1.Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika 2.Geometria Térgeometria, felszín, térfogat 3. Függvények Sorozatok Integrálszámítás 3.Statisztika, valószínűség 5.Rendszerező összefoglalás Ismétlés, hiánypótlás, számonkérés


Közép szint 128 óra

Emelt szint 192 óra

8

12

22

28

14 10 50

30 20 80

24

22

Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika


Matematikai állítások elemzése, igaz és hamis állítások. Logikai műveletek: NEM, ÉS, VAGY. Skatulyaelv, logikai szita. Sorba rendezési és Előzetes tudás kiválasztási feladatok, gráf használata feladatmegoldásban. Gráf, csúcs, él, fokszám. A tematikai egység Korábban megismert fogalmak ismétlése, elmélyítése. Kombinatorikai és nevelési-fejlesztési gráfelméleti módszerek alkalmazása a matematika különböző területein, céljai felfedezésük a hétköznapi problémákban. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Logikai műveletek: negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció, Fizika: elektromos ekvivalencia, igazságtáblázat. áramkörök tervezése. Rendszerező ismétlés feladatokon keresztül. A köznapi szóhasználat és a matematikai szóhasználat összevetése. Logikai és halmazelméleti műveletek kapcsolata. Eseményalgebra. Matematikatörténet: Varga Tamás, Pólya György, George Boole. Bizonyítási módszerek. Direkt bizonyítás, indirekt bizonyítás, logikai szitaformula, skatulya elv, teljes indukció. Sejtés és igazolása. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből. Kulcsfogalmak/ Permutáció, variáció, kombináció. Binomiális tétel, binomiális együttható, fogalmak Pascal-háromszög. Egyszerű gráf, teljes gráf, összefüggő gráf, út, kör, fa.

71



Tematikai egység/ Függvények Órakeret Fejlesztési cél Sorozatok 14 óra Előzetes tudás Számtani sorozat, mértani sorozat fogalma, egyszerű alapösszefüggések A tematikai egység A hétköznapi életben, matematikai problémában a sorozattal leírható nevelési-fejlesztési mennyiségek észrevétele. Sorozatok megadási módszereinek céljai alkalmazása. Összefüggések, képletek hatékony alkalmazása. Kapcsolódási pontok Ismeretek/fejlesztési követelmények A sorozat fogalma, megadása, ábrázolása. Informatika: Sorozat megadása rekurzióval – Fibonacci-sorozat. algoritmusok. Matematikatörténet: Fibonacci. Számtani sorozat. A számtani sorozat n-edik tagja. A számtani sorozat első n tagjának összege. A számtani közép. Számítási feladatok a számtani sorozat felismerésére, az összefüggések alkalmazására. Szöveges faladatok gyakorlati alkalmazásokkal. Matematikatörténet: Gauss. Mértani sorozat. Biológia-egészségtan; A mértani sorozat n-edik tagja. kémia; fizika; földrajz; A mértani sorozat első n tagjának összege. történelem, társadalmi A mértani közép. és állampolgári Számítási feladatok a mértani sorozat felismerésére, az ismeretek: összefüggések alkalmazására. exponenciális Szöveges feladatok gyakorlati alkalmazásokkal. folyamatok. Gyakorlati alkalmazások – kamatszámítás. Földrajz: világgazdaság Pénzügyi alapfogalmak – kamatos kamat, törlesztőrészlet, hitel, THM, – hitel – adósság – gyűjtőjáradék. eladósodás. Sorozat, számtani sorozat, mértani sorozat, kamatos kamat. Kulcsfogalmak/ fogalmak

Órakeret 20 óra E: 28 óra Térelemek illeszkedése, távolsága, szöge. Térbeli testek jellemzői: csúcs, Előzetes tudás lap, átló, felszín, térfogat. A tematikai egység A korábban kísérletezéssel, méréssel, szemlélet alapján megszerzett nevelési-fejlesztési ismeretek mélyítése, elméleti hátterének megteremtése. A térszemlélet, céljai az esztétikai érzék fejlesztése. Kapcsolódási pontok Ismeretek/fejlesztési követelmények Térelemek illeszkedése, szöge, távolság. Korábbi ismeretek rendszerező ismétlése. A fogalmakat modelleken és a környezetünk tárgyain észrevesszük. Modellezőkészletek használata. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Geometria Térgeometria, felszín, térfogat

72



Síkidomok kerülete, területe. Korábbi ismeretek rendszerező ismétlése – sokszögek, kör. Az ismert területképletek bizonyításának pontosítása. Testek, szabályos testek. Térbeli modellek használata, készítése. Ábrakészítés térbeli testekről. Poliéderek – Euler tétele. Szabályos testek. A térfogatszámítás alapelvei. Mérőszám és mértékegység. A Cavalieri-elv. Egyenes hasáb felszíne, térfogata. Forgáshenger felszíne, térfogata. Ferde hasáb térfogata. Az összefüggések alkalmazása változatos térgeometriai feladatokban, gyakorlati alkalmazások. A gúla felszíne és térfogata. A kúp felszíne, térfogata. A közelítés módszere. Csonkagúla, csonkakúp. A csonkagúla, csonkakúp térfogata és felszíne. A hasonlóság alkalmazása. Poliéderek térfogata. A gömb térfogata és felszíne. A Cavalieri-elv alkalmazása. Az integrálszámítás alkalmazása. A gömbbel kapcsolatos térgeometriai problémák, beírt gömb, körülírt gömb, gömbbe írt testek. Matematikatörténet: Cavalieri. Összetett feladatok, versenyfeladatok a témakörből.


Informatika: számítógépes program használata

Vizuális kultúra: építészet.

Kulcsfogalmak/ Felszín, térfogat, hengerszerű test, kúpszerű test, csonkagúla, csonkakúp, fogalmak gömb. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Függvények Órakeret Függvényanalízis II. - Integrálszámítás E: 30 óra Függvények megadása, értelmezési tartomány, értékkészlet. Sorozatok. Előzetes tudás Differenciálszámítás. Az integrálszámítás elemeivel ismerkedve bővítjük a közelítés módszerét. A tematikai egység A szemléletes képet és a pontos definíciót közelítjük egymáshoz. A nevelési-fejlesztési Newton–Leibniz-tételt a matematika és a fizika több területén céljai alkalmazzuk. Ismerkedünk olyan példákkal is, amikor csak közelítő eredményt kapunk. Kapcsolódási pontok Ismeretek/fejlesztési követelmények Bevezető feladatok az integrál fogalmához. Függvény grafikonja alatti terület. A megtett út és a sebesség-idő grafikon alatti terület. 73



A munka kiszámítása az erő-út grafikon alatti terület alapján. Alsó és felső közelítő összegek. Az intervallum felosztása, a felosztás finomítása. Közelítés véges összegekkel. A határozott integrál fogalma, jelölése. A szemléletes megközelítésre alapozva jutunk el a pontos definícióig. Példa nem integrálható függvényre is. Negatív függvény határozott integrálja. A határozott integrál és a terület - előjeles terület. Az integrál közelítő kiszámítása. Számítógépes szoftver használata a határozott integrál szemléltetésére. Matematikatörténet: Bernhard Riemann. Korlátos és monoton függvények integrálhatósága. A határozott integrál tulajdonságai: b

f a

a

  f ; b

c

b

c

a

a

b

 f  f  f

A függvény konstans szorosának határozott integrálja, összeg és különbség határozott integrálja,

Informatika: számítógépes szoftver használata.

Fizika: A munka és a mozgási energia. Elektromos feszültség két pont között, a potenciál. Tehetetlenségi nyomaték. Alakzat tömegközéppontja. A hidrosztatikai nyomás és az edény oldalfalára ható erő. Effektív áramerősség.

Az integrál mint a felső határ függvénye. Integrálfüggvény. Folytonos függvény integrálfüggvényének deriváltja. Kapcsolat a differenciálszámítás és az integrálszámítás között. A primitív függvény fogalma, A primitív függvények halmaza – a határozatlan integrál:  hatványfüggvény, polinom függvény,  trigonometrikus függvények,  exponenciális függvény, logaritmusfüggvény. A határozatlan integrál néhány tulajdonsága. A függvény konstans szorosának határozatlan integrálja, összeg és különbség határozatlan integrálja. A Newton–Leibniz-tétel. Az integrálszámítás alkalmazása matematikai és fizikai problémákra. Két függvénygörbe közötti terület meghatározása. Forgástest térfogatának meghatározása. Sorozat határértékének meghatározása. Gyorsulásból sebesség, sebességből út (kitérés). Az integrálás közelítő megadása – numerikus módszerek. Kulcsfogalmak/ Alsó és felső közelítő összeg, határozott integrál. Primitív függvény, fogalmak határozatlan integrál. Newton–Leibniz-tétel. 74



Órakeret 10 óra E: 20 óra Adatok elemzése, gyakoriság, relatív gyakoriság. Táblázatok, grafikonok Előzetes tudás használata. Terjedelem, átlag, medián, módusz, szórás. Klasszikus valószínűségi modell. A valószínűség fogalmának bővítése, mélyítése. A kombinatorikai ismeretek alkalmazása valószínűség meghatározására. Mit jelent a A tematikai egység valószínűség – a nagy számok törvénye. Eseményalgebra, az nevelési-fejlesztési eseményekkel végzett műveletek –a mindennapi szóhasználat és a céljai matematikai megfogalmazás megkülönböztetése. Nevezetes eloszlások felismerése a hétköznapi életben, gyakorlati alkalmazásokban. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Statisztikai mintavétel. Informatika: Mintavétel visszatevéssel, visszatevés nélkül. táblázatkezelő, A minta terjedelme. adatbázis-kezelő Átlag, medián, módusz, szórás. program használata. Garfikonok. A korábbi ismeretek rendszerező ismétlése. Történelem, Közvélemény-kutatás. Statisztikai évkönyv. Minőségtársadalmi és ellenőrzés. állampolgári ismeretek: választások. Véletlen jelenségek megfigyelése. Informatika: véletlen A modell és a valóság kapcsolata. jelenségek Játékok elemzése: igazságos és igazságtalan játék. számítógépes Szerencsejátékok. szimulációja. Matematikatörténet: Pascal, Fermat. Fizika: radioaktiv bomlás. Események – eseménytér – elemi események. Biztos esemény, lehetetlen esemény. Események közötti műveletek – kapcsolat a halmazműveletekkel. A valószínűség mint az eseménytéren értelmezett függvény. Teljes eseményrendszer. Klasszikus valószínűségi modell. A tanult kombinatorikai módszerek használata. A valószínűség becslése, számolása, összevetés a valósággal – „nagy számok törvénye”. Valószínűségi problémák szemléltetése gráffal. P( AB ) Feltételes valószínűség P( A | B )  . P( B ) Független események P( AB )  P( A) P( B) . Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Statisztika, valószínűség

75



Geometriai valószínűség. Az eseménytér mérhető - van hossza, területe, térfogata. Valószínűségi változó. A valószínűségi változó eloszlása. A valószínűségi változó várható értéke, szórása. Speciális valószínűségi változók. Egyenletes eloszlás. Binomiális eloszlás – visszatevéses mintavétel. Hipergeometrikus eloszlás – visszatevés nélküli mintavétel. Matematikatörténet: Pólya György, Rényi Alfréd. Valószínűség, klasszikus valószínűségi modell. Teljes eseményrendszer. Kulcsfogalmak/ Feltételes valószínűség, független esemény. Valószínűségi változó, eloszlás, fogalmak várható érték, szórás. Egyenletes eloszlás, binomiális eloszlás, hipergeometrikus eloszlás.


Rendszerező összefoglalás

Előzetes tudás


A 8 év matematika-tananyaga. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása az egyes témakörökben. A szemléleten alapuló megközelítéstől a pontos matematikai fogalmak felé haladás. A megoldási módszerek tudatosítása, a problémákban alkalmazható közös modellek, számítási-bizonyítási módszerek keresése. A hasonló és az eltérő tulajdonságok vizsgálatával a geometriai A tematikai egység szemlélet, látásmód megerősítése, ezzel az absztrakciós készség nevelési-fejlesztési fejlődésének segítése. A tanult ismeretek alkalmazása gyakorlati céljai problémákra is. A matematikatörténet néhány fejezetének, nagy egyéniségének megismerése során betekintés a matematika épülésének folyamatába. Készülés az érettségi vizsgára korábbi évek feladatsorainak megoldásával is. Felkészítés az egyetemi, főiskolai továbbtanulásra is az igényes matematikai gondolkodás fejlesztésével. Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Gondolkodási módszerek Halmazok. Számhalmazok. A halmazok alkalmazási területeinek áttekintése a matematika különböző ágaiban. A halmazokat használata szemléltetésre, az összefüggések áttekintésére, közös tulajdonságok kiemelésére. A valós számok halmaza fogalmának megerősítése, a számkörbővítés lépéseinek áttekintése. Logikai ismeretek. A matematikai szövegek értelmezésének erősítése. Pontos fogalmazás, a definíciókban, tételekben szereplő feltételek szerepének, jelentésének tudatosítása. A bizonyítások,

76



feladatmegoldások során a logikai műveletek tudatos alkalmazása. Az érvelés módszereinek finomítása a csoportmunkában feldolgozott témák esetében. A matematikában tanult módszerek. Feladatokon, gyakorlati alkalmazásokon keresztül a bizonyítási módszerek rendszerezése: direkt, indirekt bizonyítás, logikai szitaformula, skatulya elv, teljes indukció. Kombinatorika, gráfelmélet. A sorba rendezési és leszámolási feladatok alaptípusainak felismerése – kombinatív készség fejlesztése, gráfok alkalmazása a problémamegoldás során. Számelmélet, algebra Számhalmazok. A valós számok halmazán értelmezett műveletek, műveleti tulajdonságok biztonságos használata. Az eredmények várható értékének megbecslése – hihető-e az eredmény. Számelmélet. Oszthatósági alapfogalmakat ismétlése, a matematika más területein való használatuk áttekintése. Algebrai alapfogalmak, azonosságok. Annak áttekintése, hogy ezek a tulajdonságok hogyan jelennek meg az algebrai kifejezésekkel végzett átalakításokban. A zsebszámológép használata. A különböző típusú zsebszámológépek „tudásának” megismerése. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek. Változatos módszereket alkalmazása, többféle megoldás keresése. (Ajánlott a szöveges feladatok esetében a gyakorlati alkalmazások előtérbe helyezése. A kapcsolat megvilágítása a különböző témakörökhöz tartozó problémák között: pl. másodfokú egyenlet, trigonometrikus egyenlet, exponenciális egyenlet.) Sorozatok, függvények Informatika: Függvények grafikonjai, jellemzésük. számítógépes program A matematikai alkalmazások mellett a használata. természettudományokban, különösen a fizikában alkalmazott függvények. Sorozatok. A számtani és mértani sorozat alkalmazásai mellett a monotonitás és korlátosság ismétlése. A határérték fogalmának mélyítése az ismétlés során is, a szemlélettől az absztrakció felé haladva. Analízis. A differenciálszámítás és integrálszámítás alkalmazásainak ismétlése.

77



Geometria Mérés és mérték. A hosszúság-, a terület-, a térfogatmérés, a szögmérés fontos kérdése, mi a problémához illő egység, milyen pontosan adjuk meg az eredményt. A geometriai szerkesztések. Milyen eszközöket használhatunk, milyen lépéseket használhatunk? Milyen esetben végezhető el a szerkesztés, hány megoldása van a feladatnak? A geometriai transzformációk. A geometriai transzformációk előfordulásainak keresése környezetünkben. A szimmetria és a harmónia észrevétele a művészetekben. A szimmetrián alapuló állítások a geometriai alakzatok között. A háromszögekre vonatkozó ismeretek. Négyszögekre, sokszögekre vonatkozó ismeretek. Körre vonatkozó ismeretek. Az alakzatok tulajdonságait, nevezetes vonalait, köreit áttekintve analógiák keresése. Vektorok, koordinátageometria. A trigonometria és a koordinátageometria együttes alkalmazása. Trigonometria. A szögfüggvények és a hasonlóság kapcsolata szerepének áttekintése a fogalmak megalkotásában. Geometriai alakzatok adatainak meghatározása szögfüggvényekkel, szinusztétellel, koszinusztétellel. Statisztika, valószínűség. Adatsokaságok elemzése. Véletlen jelenségek vizsgálata. Csoportmunka, vélemények megbeszélése, az érvelés módszerének gyakorlása, sejtések megfogalmazása, azok elfogadása vagy elvetése. Tudománytörténeti és matematikai érdekességek, neves matematikusok Néhány matematikatörténeti szemelvény. A matematikatörténet néhány érdekes problémájának áttekintése. Matematikusokról a korábbi években szerzett ismeretekre emlékezés, áttekintés. Pl. nem euklideszi geometria - Bolyai János; nagy Fermat-tétel, számítógépek fejlődése – Neumann János… A matematika néhány filozófiai kérdése. A matematika fejlődésének külső és belső hajtóerői. Néhány megoldatlan és megoldhatatlan probléma. Sain Márton: Nincs királyi út. Rényi Alfréd: Dialógusok a matematikáról. 78

Informatika: táblázatkezelő, adatbázis-kezelő program használata.

Informatika: könyvtárhasználat, internethasználat.



Gondolkodási és megismerési módszerek  Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése.  Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben.  Szövegértés: a szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése problémamegoldás céljából.  A szöveghez illő matematikai modell elkészítése. Függvények, az analízis elemei  Az integrálszámítás használata, gyakorlati alkalmazása A fejlesztés várt Geometria eredményei a 12.  Valós problémákhoz geometriai modell alkotása. évfolyam végén  A geometriai és algebrai ismeretek közötti kapcsolódás elemeinek ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör és egyenes egyenlete, geometriai feladatok algebrai megoldása.  Térbeli viszonyok, testek felismerése, geometriai modell készítése.  Hosszúság, szög, kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása. Valószínűség, statisztika  Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében.  A valószínűség matematikai fogalma, klasszikus kiszámítási módja.  Mintavétel és valószínűség kapcsolata, alkalmazása.  Valószínűségi változó eloszlása, várható értéke.

79

BALASSAGYARMATI BALASSI BÁLINT GIMNÁZIUM MATEMATIKA HELYI TANTERV 2016

Recommend Documents