Helyi tanterv. Matematika évfolyam

Tóparti Gimnázium és Művészeti Szakközépiskola Székesfehérvár

Helyi tanterv Matematika Hat évfolyamos gimnázium

7 - 12. évfolyam

HELYI TANTERVI ÓRASZÁMOK 6 évfolyamos gimnázium Évfolyam:

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Heti óraszám:

3

4

3

3

3

4

Évi óraszám:

108

144

108

108

108

128

3+2

4+2

180

192

Emelt szintű érettségi vizsgára felkészítő csoport(ok) (szabadon választható)

1. BEVEZETÉS Jelen helyi tanterv az 51/2012. (XII.21.) EMMI rendelet: 3. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 7-12. évfolyama számára 4.2.04-es sorszámú matematika kerettanterve alapján készült. Az alapórás csoportoknál a kerettanterv által biztosított 10 %-os szabad mozgástér a megtanított ismeretek elmélyítésére és a gyakorlásra kerül felhasználásra, új tartalmi elemekkel a témák nem bővülnek (kivéve a körök geometriája ezenkívül,) csak bizonyos résztémákra szánt órakeret került megnövelésre, összehangolva a különböző képzési formák tananyagát a közös emeltszintű csoportok indításához

1.1. A matematika tantárgy pedagógiai céljai, feladatai Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika tanulása érzelmi és motivációs vonatkozásokban is formálja, gazdagítja a személyiséget, fejleszti az önálló rendszerezett gondolkodást, és alkalmazásra képes tudást hoz létre. A matematikai gondolkodás fejlesztése segíti a gondolkodás általános kultúrájának kiteljesedését. 1.2. A matematika tantárgy fejlesztési területei és nevelési céljai A matematikatanítás feladata a matematika különböző arculatainak bemutatása. A matematika: kulturális örökség; gondolkodásmód; alkotó tevékenység; a gondolkodás örömének forrása; a mintákban, struktúrákban tapasztalható rend és esztétikum megjelenítője; önálló tudomány; más tudományok segítője; a mindennapi élet része és a szakmák eszköze. A tanulók matematikai gondolkodásának fejlesztése során alapvető cél, hogy mindinkább ki tudják választani és alkalmazni tudják a természeti és társadalmi jelenségekhez illeszkedő modelleket, gondolkodásmódokat (analógiás, heurisztikus, becslésen alapuló, matematikai logikai, axiomatikus, valószínűségi, konstruktív, kreatív stb.), módszereket (aritmetikai, algebrai, geometriai, függvénytani, statisztikai stb.) és leírásokat. A matematikai nevelés sokoldalúan fejleszti a tanulók modellalkotó tevékenységét. Ugyanakkor fontos a modellek érvényességi körének és gyakorlati alkalmazhatóságának eldöntését segítő képességek fejlesztése. Egyaránt lényeges a reproduktív és a problémamegoldó, valamint az alkotó gondolkodásmód megismerése, elsajátítása, miközben nem szorulhat háttérbe az alapvető tevékenységek (pl. mérés, alapszerkesztések), műveletek (pl. aritmetikai, algebrai műveletek, transzformációk) automatizált végzése sem. A tanulás elvezethet a matematika szerepének megértésére a természet- és társadalomtudományokban, a humán kultúra számos ágában. Segít kialakítani a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét. Megmutathatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. A tanulási folyamat során fokozatosan megismertetjük a tanulókkal a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása). Mindezzel fejlesztjük a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. Az új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, az önálló gondolatok megfogalmazását, a felmerült problémák megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a többféle

nézőpont érvényesítését, a komplex problémakezelés képességét is fejleszti. A folyamat végén a tanulók eljutnak az önálló, rendszerezett, logikus gondolkodás bizonyos szintjére. A műveltségi terület a különböző témakörök szerves egymásra épülésével kívánja feltárni a matematika és a matematikai gondolkodás világát. A fogalmak, összefüggések érlelése és a matematikai gondolkodásmód kialakítása egyre emelkedő szintű spirális felépítést indokol – az életkori, egyéni fejlődési és érdeklődési sajátosságoknak, a bonyolódó ismereteknek, a fejlődő absztrakciós képességnek megfelelően. Ez a felépítés egyaránt lehetővé teszi a lassabban haladókkal való foglalkozást és a tehetség kibontakoztatását. 1.3. A matematika tantárgy szerepe a kulcskompetenciák fejlesztésében A matematikai értékek megismerésével és a matematikai tudás birtokában a tanulók hatékonyan tudják használni a megszerzett kompetenciákat az élet különböző területein. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, illetve a választott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban segítheti a mindennapokban, és különösen a média közleményeiben való reális tájékozódásban. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv életkornak megfelelő, pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását írásban és szóban egyaránt. A tanulók rendszeresen oldjanak meg önállóan feladatokat, aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A feladatmegoldáson keresztül a tanuló képessé válhat a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára. Kialakul bennük az önellenőrzés igénye, a sajátunkétól eltérő szemlélet tisztelete. Mindezek érdekében is a tanítás folyamában törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. A matematikatanítás, -tanulás folyamatában egyre nagyobb szerepet kaphat az önálló ismeretszerzés képességnek fejlesztése, az ajánlott, illetve az önállóan megkeresett, nyomtatott és internetes szakirodalom által. A matematika lehetőségekhez igazodva támogatni tudja az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor), internet, oktatóprogramok stb. célszerű felhasználását, ezzel hozzájárul a digitális kompetencia fejlődéséhez. A tananyag egyes részleteinek csoportmunkában való feldolgozása, a feladatmegoldások megbeszélése az együttműködési képesség, a kommunikációs képesség fejlesztésének, a reális önértékelés kialakulásának fontos területei. Ugyancsak nagy gondot kell fordítani a kommunikáció fejlesztésére (szövegértésre, mások szóban és írásban közölt gondolatainak meghallgatására, megértésére, saját gondolatok közlésére), az érveken alapuló vitakészség fejlesztésére. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jártas a problémamegoldásban. A matematikatanításnak kiemelt szerepe van a pénzügyi-gazdasági kompetenciák kialakításában. Életkortól függő szinten, rendszeresen foglakozzunk olyan feladatokkal, amelyekben valamilyen probléma legjobb megoldását keressük. Szánjunk kiemelt szerepet azoknak az optimum-problémáknak, amelyek gazdasági kérdésekkel foglalkoznak, amikor költség, kiadás minimumát; elérhető eredmény, bevétel maximumát keressük. Fokozatosan vezessük be matematikafeladatainkban a pénzügyi fogalmakat: bevétel, kiadás, haszon,

kölcsön, kamat, értékcsökkenés, -növekedés, törlesztés, futamidő stb. Ezek a feladatok erősítik a tanulókban azt a tudatot, hogy matematikából valóban hasznos ismereteket tanulnak, ill. hogy a matematika alkalmazása a mindennapi élet szerves része. Az életkor előrehaladtával egyre több példát mutassunk arra, hogy milyen területeken tud segíteni a matematika. Hívjuk fel a figyelmet arra, hogy milyen matematikai ismerteket alkalmaznak az alapvetően matematikaigényes, illetve a matematikát csak kisebb részben használó szakmák (pl. informatikus, mérnök, közgazdász, pénzügyi szakember, biztosítási szakember, illetve pl. vegyész, grafikus, szociológus stb.), ezzel is segítve a tanulók pályaválasztását. A matematikához való pozitív hozzáállást nagyban segíthetik a matematika tartalmú játékok és a matematikához kapcsolódó érdekes problémák és feladványok. A matematika a kultúrtörténetnek is része. Segítheti a matematikához való pozitív hozzáállást, ha bemutatjuk a tananyag egyes elemeinek a művészetekben való alkalmazását. A motivációs bázis kialakításában komoly segítség lehet a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott, egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok életének, munkásságának megismerése. A NAT néhány matematikus ismeretét előírja minden tanuló számára: Euklidész, Pitagorasz, Descartes, Bolyai Farkas, Bolyai János, Thalész, Euler, Gauss, Pascal, Cantor, Erdős, Neumann. A kerettanterv ezen kívül is sok helyen hívja fel a tananyag matematikatörténeti érdekességeire a figyelmet. Ebből a tanárkollégák csoportjuk jellegének megfelelően szabadon válogathatnak. A matematika oktatása elképzelhetetlen állítások, tételek bizonyítása nélkül. Hogy a tananyagban szereplő tételek beláttatása során milyen elfogadott igazságokból indulunk ki, s mennyire részletezünk egy bizonyítást, nagymértékben függ az állítás súlyától, a csoport befogadó képességétől, a rendelkezésre álló időtől stb. Ami fontos, az a bizonyítás iránti igény felkeltése, a logikai levezetés szükségességének megértetése. Ennek mikéntjét a helyi tantervre támaszkodva mindig a szaktanárnak kell eldöntenie, ezért a tantervben a tételek megnevezése mellett nem szerepel utalás a bizonyításra. A fejlesztési cél elérése szempontjából - egy adott tanulói közösség számára - nem feltétlenül a tantervben szereplő (nevesített) tételek a legalkalmasabbak bizonyítás bemutatására, gyakorlására. Minden életkori szakaszban fontos a differenciálás. Ez nemcsak az egyéni igények figyelembevételét jelenti. Sokszor az alkalmazhatóság vezérli a tananyag és a tárgyalásmód megválasztását, más esetekben a tudományos igényesség szintje szerinti differenciálás szükséges. Egy adott osztály matematikatanítása során a célok, feladatok teljesíthetősége igényli, hogy a tananyag megválasztásában a tanulói érdeklődés és a pályaorientáció is szerepet kapjon. A matematikát alkalmazó pályák felé vonzódó tanulók gondolkodtató, kreativitást igénylő versenyfeladatokkal motiválhatók, a humán területen tovább tanulni szándékozók számára érdekesebb a matematika kultúrtörténeti szerepének kidomborítása, másoknak a középiskolai matematika gyakorlati alkalmazhatósága fontos. A fokozott szaktanári figyelem, az iskolai könyvtár és az elektronikus eszközök használatának lehetősége segíthetik az esélyegyenlőség megvalósulását.

1.4. A pedagógiai szakaszok fejlesztési céljai Fejlesztési célok a 7-8. évfolyamon

Az új iskolatípus lehetőséget nyújt arra, hogy pozitív motivációval hozzásegítsünk minden tanulót a matematikai gondolkodás örömének megismeréséhez. Tizenhárom éves kortól a tanulók mindinkább általánosító elképzelésekben, elvont konstrukciókban gondolkoznak. Elméleteket gyártanak, összefüggéseket keresnek, próbálják értelmezni a világot. Az iskolai

tanítás csak akkor lehet eredményes, ha alkalmazkodik ezekhez a változásokhoz, illetve igyekszik azokat felhasználva fejleszteni a tanulókat. A matematika kiválóan alkalmas arra, hogy a rendszerező képességet és hajlamot fejlessze. Ebben a két évfolyamában mind inkább szükséges matematikai szövegeket értelmezni és alkotni. Segítsük, hogy a tanulók a problémamegoldásaik részeként többféle forrásból legyenek képesek ismereteket szerezni. Ebben a korban a tanításban már meg kell jelennie az elvonatkoztatás és az absztrakciós készség felhasználásának, fejlesztésének. A matematika tanításában itt jelenik meg a konkrét számok betűkkel való helyettesítése, a tapasztalatok általános megfogalmazása. Ezekben az évfolyamokban már komoly hangsúlyt kell helyeznünk arra, hogy a megsejtett összefüggések bizonyításának igénye is kialakuljon. A definíciókat és a tételeket mind inkább meg kell tudni különböztetni, azokat helyesen kimondani, problémamegoldásban mind többször alkalmazni. A mindennapi élet és a matematika (korosztálynak megfelelő) állításainak igaz vagy hamis voltát el kell tudni dönteni. A feladatok megoldása során fokozatosan kialakul az adatok, feltételek adott feladat megoldásához való szükségessége és elégségessége eldöntésének képessége. A tanítás része, hogy a feladatmegoldás előtt mind gyakrabban tervek, vázlatotok készüljenek, majd ezek közül válasszuk ki a legjobbat. Esetenként járjunk be több utat a megoldás során, és ennek alapján gondoljuk végig, hogy létezik-e legjobb út, vagy ennek eldöntése csak bizonyos szempontok rögzítése esetén lehetséges. A feladatmegoldások során lehetőséget kell teremteni arra, hogy esetenként a terveket és a munka szervezését a feladatmegoldás közben a tapasztalatoknak megfelelően módosítani lehessen. Egyes feladatok esetén szükséges általánosabb eljárási módokat, algoritmusokat keresni. A matematika egyes területei más-más módon adnak lehetőséget ebben az életkorban az egyes kompetenciák fejlesztésére. A különböző matematikatanítási módszerek minden tananyagrészben segíthetik a megfelelő önismeret, a helyes énkép kialakítását. A tananyaghoz kapcsolódó matematikatörténeti érdekességek hozzásegítenek az egyetemes kultúra, a magyar tudománytörténet megismeréséhez. A gyakorlati élethez kapcsolódó szöveges feladatok segítik a gazdasági nevelést, a környezettudatos életvitelt, az egészséges életmód kialakítását. A definíciók megtanulása fejleszti a memóriát, a szaknyelv precíz használatára ösztönöz. A geometriai ismeretek elsajátítása közben a tanulók térszemlélete fejlődik, megtanulják az esztétikus, pontos munkavégzést. A halmazszemlélet alakítása és fejlesztése a rendszerező-képességet erősíti. Az érdeklődés specializálódása természetes dolog. Akinél ez a reáltárgyak felé fordul, ott igényes feladatanyaggal, kiegészítő ismeretekkel kell elérni, hogy az ilyen irányú továbbtanuláshoz szükséges alapok kialakuljanak, az érdeklődés fennmaradjon. Akinél a matematika, illetve a reáltárgyak iránti érdeklődés csökken, ott egyrészt sok érdeklődést felkeltő elemmel: matematikatörténeti vonatkozással, játékokkal, érdekes feladatokkal lehet ezt az érdeklődést visszaszerezni, másrészt célszerű sok olyan feladatot beiktatni, amelyek jól mutatják, hogy az életben sokszor előnybe kerülhetnek, jobb döntést hozhatnak azok, akik jól tudják a matematikát. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a tantervi táblázatok tartalmazzák. Fejlesztési célok a 9-10. évfolyamon

A hat évfolyamos gimnázium második szakaszában a szemlélet alapján, a tevékenységeken, felfedeztetéseken keresztül korábban kialakított fogalmak pontos definiálására, az összefüggések felismerésére, modellek készítésére kell helyezni a fő hangsúlyt. Szükséges a matematika alkalmazási területeinek széles körű bemutatása a matematikán belüli problémák megoldásában, illetve más tudományok segítőjeként való közreműködésben. Ezekben az

években erősödik a tanulók önismerete, és megfelelő képességfejlesztéssel és módszertani változatossággal mind több tanulóban kialakulhat a matematika, illetve a természettudomány valamely ága iránti érdeklődés. A megismerés módszerei között továbbra is fontos a gyakorlati tapasztalatszerzés, de az ismertszerzés fő módszere a tapasztalatokból szerzett információk rendszerezése, igazolása, ellenőrzése, és az ezek alapján elsajátított ismeretanyag alkalmazása. Ezeken az évfolyamokon a fogalmak definiálásán, az összefüggések igazolásán, az ismeretek rendszerezésén, kapcsolataik feltárásán és az alkalmazási lehetőségeik megismerésén van a hangsúly. Ezért a tanulóknak meg kell ismerkedniük a tudományos feldolgozás alapvető módszereivel. (Mindenki által elfogadott alapelvek/axiómák, már bizonyított állítások, új sejtések, állítások megfogalmazása és azok igazolása, a fentiek összegzése, a nyitva maradt kérdések felsorolása, a következmények elemzése.) A problémamegoldás megszerettetésének igen fontos eszközei lehetnek a matematikai alapú játékok. A gyerekek szívesen játszanak maradékos osztáson, oszthatósági szabályokon alapuló számjátékokat, és szimmetriákon alapuló geometriai, rajzos játékokat. Nyerni akarnak, ezért természetes módon elemezni kezdik a szabályokat, lehetőségeket. Olyan következtetésekre jutnak, olyan elemzéseket végeznek, amilyeneket hagyományos feladatokkal nem tudnánk elérni. A matematikatanításnak ebben a szakaszában sok érdekes matematikatörténeti vonatkozással lehet közelebb hozni a tanulókhoz a tantárgyat. A témakör egyes elemeihez kapcsolódva mutassuk be néhány matematikus életútját. A geometria egyes területeinek (szimmetriák, aranymetszés) a művészetekben való alkalmazásait megjelenítve világossá tehetjük a tanulók előtt, hogy a matematika a kultúra elválaszthatatlan része. Az ezekre a témákra fordított idő bőven megtérül az ennek következtében növekvő érdeklődés, javuló motiváció miatt. Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jól tud problémákat megoldani. Gazdasági, sport témájú feladatokkal, számos geometriai és algebrai szélsőérték-feladattal lehet gyakorlati kérdésekre optimális megoldásokat keresni. Ez az életkor már alkalmassá teszi a tanulókat az önálló ismeretszerzésre. Legyen követelmény, hogy egyes adatoknak, fogalmaknak, ismereteknek könyvtárban, interneten nézzenek utána. Ez a kutatómunka hozzájárulhat a tanulók digitális kompetenciájának növeléséhez, ugyanúgy, mint a geometriai és egyéb matematikai programok használata is. A számítógép által nyújtott határtalan lehetőségeket képesek legyenek felismerni, és hatékonyan felhasználni. Fontos célkitűzés, hogy a feladatmegoldások közben a számológépet segédeszközként tudják használni. Ebben az életkori szakaszban már elvárható, hogy a tanulók a leírt szöveget pontosan megértsék, a gondolataikat igyekezzenek szabatosan kifejteni. A matematikai gondolkodásmód fejlődésével egyre magabiztosabban képesek véleményt nyilvánítani, érvelni, mások gondolatait megérteni. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a tantervi táblázatok tartalmazzák. Fejlesztési célok a 11-12. évfolyamon

Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos tényezője az elemző és összegző képesség alakítása. Ebben a két évfolyamban áttekintését adjuk a korábbi évek ismereteinek, eljárásainak, problémamegoldó módszereinek, emellett sok, gyakorlati területen széles körben használható tudást is közvetítünk. Olyanokat, amelyekhez kell az előző évek alapozása, amelyek kissé összetettebb problémák megoldását is lehetővé teszik. Az érettségi előtt már elvárható többféle ismeret együttes alkalmazása. A

sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A koordinátageometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. Minden témában nagy hangsúllyal ki kell térnünk a gyakorlati alkalmazásokra, az ismeretek más tantárgyakban való felhasználhatóságára. A statisztikai kimutatások és az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése hozzájárul a vállalkozói kompetencia fejlesztéséhez, a helyes döntések meghozatalához. Gyakran alkalmazhatjuk a digitális technikát az adatok, problémák gyűjtéséhez, a véletlen jelenségek vizsgálatához. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban és mindennapjaink gyakorlatában is elengedhetetlen. A sorozatok, kamatos kamat témakör kiválóan alkalmas a pénzügyi, gazdasági problémákban való jártasság kialakításra. Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációk elkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. A matematikatörténet feldolgozása például alkalmas erre. Ez sokat segíthet abban, hogy a matematikát kevésbé szerető tanulók se tekintsék gondolkodásmódjuktól távol álló területnek a matematikát. Fejlesztési célok még a 11-12. évfolyamon az emeltszintű csoportban

A magasabb óraszámban tanuló diákok nagy részétől elvárható, hogy emelt szintű érettségi vizsgát tegyen, ezért az elsődleges cél a sikeres vizsga letételére való felkészítés. Az ilyen csoportokba járó tanulók zöme feltételezhetően olyan egyetemre, főiskolára fog kerülni, ahol a matematikát mint elméleti és/vagy mint alkalmazott tudományt fogják tanulni. Ezért a logikát fejlesztő feladatok mellett fel kell készíteni olyan ismeretekre is őket, melyek későbbi tanulmányaikat elősegíthetik. Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációk elkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. A fejlesztés eredményeként a kétéves periódus végére elvárható, hogy emelt szinten, a szóbeli vizsgán szabatosan, összefüggően tudják magukat kifejezni. Ezek a célkitűzések csak akkor érhetők el, ha a tanulók külön csoportban vesznek részt a heti 5 tanítási órán. A matematikát szerető, a matematikai problémák iránt érdeklődő tanulók számára érdekes, nehezebb, gondolkodtatóbb feladatok, problémák kitűzésével, a különböző megoldási lehetőségek, diszkussziók megbeszélésével a matematika iránti érdeklődést (esetleg a későbbiekben a matematikussá válást) tudatosan fejlesztjük. Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás szintézisét adja, és egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, valamint a mindennapi élet matematikaigényes elemeivel. A matematikatanulásban kialakult rendszeresség, problémamegoldó készség az élet legkülönbözőbb területein segíthet. Ezt célszerű tudatosítani a tanulókban. A problémamegoldó készségen túl fontos az önálló rendszerezés, lényegkiemelés, történeti áttekintés készségének kialakítása, az alkalmazási lehetőségek megtalálása, a kapcsolatok keresése különböző témakörök között. A sorozatok, kamatos kamat témakör kiválóan alkalmas a pénzügyi, gazdasági problémákban való jártasság kialakításra. A korábbiaknál is nagyobb hangsúlyt kell fektetni a különböző gyakorlati problémák optimumát kereső feladatokra. Ezért az ilyen problémák elemi megoldását külön fejezetként iktatjuk be.

Az analízis témakörben a szemléletesség segíti a problémák átlátását, az egzaktság pedig a felsőfokú képzésre való készülést. Ebben az időszakban áttekintését adjuk a korábbi évek ismereteinek, eljárásainak, problémamegoldó módszereinek, miközben sok, gyakorlati területen széles körben használható tudást is közvetítünk, amelyek kissé összetettebb problémák megoldását is lehetővé teszik. Az érettségi előtt már elvárható a tanulóktól többféle készség és ismeret együttes alkalmazása. Minden témában hangsúlyosan kell kitérnünk a gyakorlati alkalmazásokra, az ismeretek más tantárgyakban való felhasználhatóságára. A rendszerező összefoglalás, túl azon, hogy az eddigi matematikatanulás szintézisét adja, mintaként szolgálhat a későbbiekben is bármely területen végzett összegző munkához. Ilyen csoportoknál viszont figyelemmel kell lenni arra, hogy ez a tanterv épít az alsóbb évfolyamok emelt szintű tanterveinek néhány elemére. Természetesen ezeket az ismereteket célszerű vagy a 11. év elején, vagy a megfelelő témakör tárgyalása előtt áttekinteni. (Ehhez szükség lehet heti egy plusz órára) Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a tantervi táblázatok tartalmazzák.

1.5. A matematika tantárgy tanításának helyi sajátosságai a hat évfolyamos gimnáziumban

A matematika tantárgy tanítása 7-10. évfolyamon osztályonként két csoportban zajlik. Ezen négy év alatt elsajátítják a Pedagógiai Programban megfogalmazott követelményeket. 10. évfolyamban dönthetnek, hogy tanulmányaikat az alapkövetelményeknek megfelelően, vagy emeltszintű érettségire felkészítő csoportban a 3. Az emeltszintű érettségi felkészítő csoport tanterve részben megfogalmazottak szerint folytatják. A csoportok kialakítása évfolyamszinten az igényekhez illeszkedő számban történik az addig meglévő csoportbontások szükség szerinti átrendezésével. Érettségire a csoportválasztás szintjétől függetlenül a törvényben megfogalmazottak szerint jelentkezhetnek. A sikeres emeltszintű érettségihez azonban szükséges a kiegészítő tananyagok elsajátítása, melyre az emelt szintű matematikacsoport tanterve ad lehetőséget.

1.6. témakörök óraszámai (bár a kapcsolatok miatt a témakörök között van átfedés) 7. évfolyam 3

8. évfolyam 4

9. évfolyam 3

10. évfolyam 3

11. évfolyam 3

12. évfolyam 4

7+ foly.

15+ foly.

8+ foly.

12+ foly.

10+ foly.

12+ foly.

2. Számtan, algebra

42

44

37

38

29

3. Függvények, sorozatok

10

22

13

9

15

20

4. Geometria

32

40

35

33

32

34

5. Statisztika, valószín.

7

11

5

6

12

10

Ismétlés, ellenőrzés

10

12

10

10

10

52

Összesen

108

144

108

108

108

128

Témakörök

1. Gondolkodási módszerek

2. TANTÁRGYI TARTALMAK

2.1. A 7. évfolyam tanterve

Évi óraszám: 108óra – heti 3 óra Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok

Órakeret 7 + folyamatos (2)

Összehasonlításhoz, viszonyításhoz szükséges kifejezések értelmezése, használata (pl. egyenlő; kisebb; nagyobb; több; kevesebb; legalább; legfeljebb; nem; és; vagy; minden, van olyan). Állítások igazságának eldöntése. Igaz és hamis állítások megfogalmazása. Definíció megértése és alkalmazása. Konkrét dolgok adott szempont(ok) szerinti rendezése, rendszerezése. Néhány elem kiválasztása, elemek sorba rendezése különféle módszerekkel.

Az önálló gondolkodás igényének kialakítása. Halmazok eszköz jellegű használata, halmazszemlélet fejlesztése. Szóbeli és írásbeli kifejezőkészség fejlesztése, a matematikai szaknyelv pontos használata. Saját gondolatok megértetésére való törekvés (szóbeli érvelés, A tematikai szemléletes indoklás). egység nevelésiRendszerszemlélet, kombinatorikus gondolkodás fejlesztése. fejlesztési céljai Fogalmak egymáshoz való viszonyának, összefüggéseknek a megértése. A rendszerezést segítő eszközök és algoritmusok használatának fejlesztése. A bizonyítás, az érvelés iránti igény felkeltése, a kulturált vitatkozás gyakoroltatása. Ismeretek Halmazba rendezés több szempont alapján a halmazműveletek alkalmazásával. Két véges halmaz uniója, különbsége, metszete. A részhalmaz. Az „és”, „vagy”, „ha”, „akkor”, „nem”, „van olyan”, „minden” „legalább”, legfeljebb” kifejezések használata. Egyszerű („minden”, „van olyan” típusú) állítások igazolása, cáfolata konkrét példák kapcsán. A matematikai bizonyítás előkészítése: sejtések, kísérletezés, módszeres próbálkozás, cáfolás. A gyakorlati élethez és a társtudományokhoz kapcsolódó szöveges feladatok megoldása.

Matematikai játékok. Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása különféle módszerekkel (fadiagram, útdiagram, táblázatok készítése). Sorba rendezés. Néhány elem esetén az összes eset felsorolása.

Fejlesztési követelmények A halmazszemlélet fejlesztése. Lényeges és lényegtelen információk szétválasztása. Rendszerszemlélet fejlesztése.

Kapcsolódási pontok Biológia-egészségtan: élőlények rendszerezése. Földrajz: földrészek országai. Kémia: anyagok csoportosítása.

A matematikai szaknyelv pontos használata. A nyelv logikai elemeinek egyre pontosabb használata. Kulturált érvelés képességének fejlesztése.

Magyar nyelv és irodalom: a lényeges és lényegtelen megkülönböztetése.

A bizonyítási igény felkeltése. Tolerancia, kritikai szemlélet, problémamegoldás. A kulturált vitatkozás elsajátítása. Szövegelemzés, értelmezés, szöveg lefordítása a matematika nyelvére. Ellenőrzés, önellenőrzés iránti igény erősítése. Igényes grafikus és verbális kommunikáció. Aktív részvétel, pozitív attitűd. A kombinatorikus gondolkodás fejlesztése.

Fizika; kémia; biológia, földrajz; életvitel és gyakorlat: számításos feladatok.

Tapasztalatszerzés az összes eset rendszerezett felsorolásában. Kreativitás az összes lehetőség többféle felsorolási módjában.

Kulcsfogalmak/ Halmaz, elem, részhalmaz, unió, metszet. Alaphalmaz. Igaz, hamis, nem, és, vagy, minden, van olyan, biztos, lehetséges, lehetetlen. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Órakeret 42 óra Racionális számkör. Számok írása, olvasása, összehasonlítása, ábrázolása számegyenesen. Műveletek racionális számokkal. Ellentett, abszolút érték, reciprok. Mérés, mértékegységek használata, átváltás egyszerű esetekben. A mindennapi életben felmerülő egyszerű arányossági feladatok megoldása következtetéssel, egyenes arányosság. Alapműveletek racionális számokkal írásban. Előzetes tudás A zárójelek, a műveleti sorrend biztos alkalmazása. Helyes és értelmes kerekítés, az eredmények becslése, a becslés használata ellenőrzésre is. Algebrai kifejezések gyakorlati használata a terület, kerület, felszín és térfogat számítása során. Szöveges feladatok megoldása. A százalékszámítás alapjai. 2, 3, 5, 9, 10, 100-zal való oszthatósági szabály ismerete. Osztó, többszörös közös osztó, közös többszörös fogalma. A matematikai ismeretek és a mindennapi élet történései közötti kapcsolat tudatosítása. Szavakban megfogalmazott helyzet, történés matematizálása; matematikai modellek választása, keresése, készítése, értelmezése adott A tematikai egység szituációkhoz. Konkrét matematikai modellek értelmezése a modellnek nevelési-fejlesztési megfelelő szöveges feladat alkotásával. A szabványos mértékegységekhez tartozó mennyiségek és többszöröseik, céljai törtrészeik képzeletben való felidézése. Az ellenőrzés, önellenőrzés iránti igény, az eredményért való felelősségvállalás erősítése. Ismeretek Racionális számok (véges, végtelen tizedes törtek), példák nem racionális számra (végtelen, nem szakaszos tizedes törtek). A természetes, egész és racionális számok halmazának kapcsolata. Műveletek racionális számkörben írásban és számológéppel. Az eredmény helyes és értelmes kerekítése. Eredmények becslése, ellenőrzése. Matematikatörténet:

2. Számelmélet, algebra

Fejlesztési követelmények A számfogalom mélyítése.

Kapcsolódási pontok

A rendszerező képesség fejlesztése.

Műveletfogalom mélyítése. A zárójel és a műveleti sorrend biztos alkalmazása. Számolási és a becslési készség fejlesztése. Az algoritmikus gondolkodás fejlesztése.

Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz: számításos feladatok.

a számfogalom matematikatörténeti fejlődése (számok írása, Rhind-papirusz). A hatványozás fogalma pozitív egész kitevőre. Műveletek hatványokkal: azonos alapú hatványok szorzása, osztása. Hatványozásnál az alap és a kitevő változásának hatása a hatványértékre. 10 pozitív egész kitevőjű hatványai. Prímszám, összetett szám. Prímtényezős felbontás. Matematikatörténet: érdekességek a prímszámok köréből. Oszthatósági szabályok. Számelméleti alapú játékok. Matematikatörténet: tökéletes számok, barátságos számok. Legnagyobb közös osztó, legkisebb pozitív közös többszörös. Relatív prímek.

A hatvány fogalmának kialakítása, fejlesztése. A definícióalkotás igényének felkeltése. Kémia: az anyagmennyiség mértékegysége (a mól). Földrajz: termelési statisztikai adatok. Számolási készség fejlesztése (fejben és Kémia: számítási írásban). feladatok. A korábban tanult ismeretek és az új ismeretek közötti összefüggések felismerése.

A tanult ismeretek felelevenítése. Oszthatósági szabályok alkalmazása a törtekkel való műveleteknél. A bizonyítási igény felkeltése oszthatósági feladatoknál. Két szám legnagyobb közös osztójának meghatározása prímtényezős felbontás alapján. A legkisebb pozitív közös többszörös meghatározása prímtényezős felbontás alapján. Arány, aránypár, arányos osztás. A következtetési képesség fejlesztése: a Egyenes arányosság, fordított mindennapi élet és a matematika közötti arányosság. gyakorlati kapcsolatok meglátása, a felmerülő arányossági feladatok megoldása során.

Mértékegységek átváltása racionális számkörben.

Gyakorlati mérések, mértékegységátváltások helyes elvégzése. Ciklusonként átélt idő és lineáris időfogalom, időtartam, időpont szavak

Magyar nyelv és irodalom: szövegértés, szövegértelmezés. Fizika; kémia; földrajz: arányossági számítások felhasználása feladatmegoldásokban. Technika, életvitel és gyakorlat: műszaki rajzok értelmezése. Technika, életvitel és gyakorlat: Főzésnél a tömeg, az űrtartalom és az idő mérése.

értő ismerete, használata. Az alap, a százalékérték és a százalékláb fogalmának ismerete, értelmezése, kiszámításuk következtetéssel, a megfelelő összefüggések alkalmazásával. A mindennapjainkhoz köthető százalékszámítási feladatok. Gazdaságossági számítások.

Az algebrai egész kifejezés fogalma. Egytagú, többtagú, egynemű kifejezés fogalma. Helyettesítési érték kiszámítása.

Egyszerű átalakítások: zárójel felbontása, összevonás. Egytagú és többtagú algebrai egész kifejezések szorzása racionális számmal, egytagú egész kifejezéssel. Matematikatörténet: az algebra kezdetei. Elsőfokú egyenletek, elsőfokú egyenlőtlenségek megoldása. Mérlegelv. Alaphalmaz, megoldáshalmaz.

A mindennapi élet és a matematika közötti gyakorlati kapcsolat meglátása a gazdasági élet, a környezetvédelem, a háztartás köréből vett egyszerűbb példákon. Feladatok az árképzés: árleszállítás, áremelés, áfa, betétkamat, hitelkamat, adó, bruttó bér, nettó bér, valamint különböző termékek (pl. élelmiszerek, növényvédő-szerek, oldatok) anyagösszetétele köréből. Szövegértés, szövegalkotás fejlesztése. Becslések és következtetések végzése. Zsebszámológép célszerű használata a számítások egyszerűsítésére, gyorsítására.

Elnevezések, jelölések megértése, rögzítése, definíciókra való emlékezés. Egyszerű szimbólumok megértése és alkalmazása a matematikában. Betűk használata szöveges feladatok általánosításánál. Egyszerű szimbólumok megértése és a matematikában, valamint a többi tantárgyban szükséges egyszerű képletalakítások elvégzése. Algebrai kifejezések egyszerű átalakításának felismerése.

Történelem:évtized, évszázad, évezred.

Magyar nyelv és irodalom: szövegértés, szövegértelmezés. Fizika; kémia: számítási feladatok. Kémia: oldatok tömegszázalékos összetételének kiszámítása.

Fizika: összefüggések megfogalmazása, leírása a matematika nyelvén.

Fizika; kémia; biológia-egészségtan: Képletek átalakítása. A képlet értelme, jelentősége. Helyettesítési érték kiszámítása képlet alapján. Az egyenlő, nem egyenlő fogalmának Fizika; kémia; elmélyítése. Algoritmikus gondolkodás biológia-egészségtan: továbbfejlesztése. A megoldások számításos feladatok. ábrázolása számegyenesen. Pontos munkavégzésre nevelés. Számolási készség fejlesztése. Az ellenőrzés igényének fejlesztés. A matematikából és a Szövegértelmezés, problémamegoldás Magyar nyelv és mindennapi életből vett egyszerű fejlesztése. irodalom: szövegértés,

szöveges feladatok megoldása a A lényeges és lényegtelen szövegértelmezés. tanult matematikai módszerek elkülönítésének, az összefüggések A gondolatmenet használatával. Ellenőrzés. felismerésének fejlesztése. tagolása. Egyszerű matematikai problémát A gondolatmenet tagolása. tartalmazó hosszabb szövegek Az ellenőrzési igény további fejlesztése. feldolgozása. Igényes kommunikáció kialakítása. Feladatok például a Szöveges feladatok megoldása a környezetvédelem, az egészséges környezettudatossággal, az egészséges életmód, a vásárlások, a család életmóddal, a családi élettel, a jövedelmének ésszerű gazdaságossággal kapcsolatban. felhasználása köréből. Racionális szám. Hatvány, alap, kitevő. Százalékalap, százalékláb, százalékérték. Prímszám, összetett szám, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Kulcsfogalmak/ Arány, aránypár, arányos osztás, egyenes és fordított arányosság. fogalmak Változó, együttható, algebrai egész kifejezés, helyettesítési érték, egynemű kifejezés, összevonás, zárójelfelbontás. Egytagú, többtagú kifejezés. Egyenlet, változó, egyenlőtlenség, mérlegelv, ellenőrzés. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Órakeret 10 óra Egyszerű sorozatok folytatása adott szabály szerint, szabályfelismerés Számegyenes, számintervallumok ábrázolása, leolvasása ábráról. Biztos tájékozódás a derékszögű koordináta-rendszerben. Előzetes tudás Egyszerű grafikonok értelmezése. Egyszerű kapcsolatok ábrázolása derékszögű koordináta-rendszerben. Függvényszemlélet fejlesztése. Grafikonok, táblázatok adatainak értelmezése, A tematikai egység elemzése. Digitális technikák felhasználása a feldolgozás során. nevelési-fejlesztési Megoldás a matematikai modellen belül. Matematikai modellek ismerete, céljai alkalmazásának módja, korlátai (sorozatok, függvények, függvényábrázolás). Ismeretek Két halmaz közötti hozzárendelések megjelenítése konkrét esetekben. Függvények és ábrázolásuk a derékszögű koordinátarendszerben. Egyenes arányosság grafikus képe. Lineáris függvények. A lineáris függvény grafikonjának meredeksége,

3. Függvények, az analízis elemei

Fejlesztési követelmények A függvényszemlélet fejlesztése. Időben lejátszódó valós folyamatok elemzése a grafikon alapján.

A mindennapi élet, a tudományok és a matematika közötti kapcsolat fölfedezése konkrét példák alapján. Számolási készség fejlesztése a racionális számkörben.

Kapcsolódási pontok Fizika; biológiaegészségtan; kémia; földrajz: függvényekkel leírható folyamatok. Fizika: út-idő.

ennek jelentése lineáris kapcsolatokban. Lineáris függvény ábrázolása paraméterei alapján. Tengelymetszetek és jelentésük. Egyismeretlenes elsőfokú egyenletek grafikus megoldása. Grafikonok olvasása, értelmezése, készítése: szöveggel vagy matematikai alakban megadott szabály grafikus megjelenítése értéktáblázat segítségével.

Számítógép használata a függvények ábrázolására.

Helyzetfelismerés: a tanult ismeretek alkalmazása új helyzetben. Kapcsolatok észrevétele, megfogalmazása szóban, írásban. Környezettudatosságra nevelés: pl. adatok és grafikonok elemzése a környezet szennyezettségével kapcsolatban.

Földrajz: adatok hőmérsékletre, csapadék mennyiségére. Kémia: adatok vizsgálata a levegő és a víz szennyezettségére vonatkozóan.

Néhány elemével adott sorozathoz szabályok keresése. Hozzárendelés, függvény, lineáris függvény, növekedés, csökkenés, értelmezési Kulcsfogalmak/ tartomány, értékkészlet, tengelymetszetek. fogalmak Számtani sorozat, számtani közép.

Sorozatok vizsgálata.

Tematikai egység/ Fejlesztési cél

4. Geometria

Órakeret 32 óra

Pont, vonal, egyenes, félegyenes, szakasz, sík, szögtartomány. Háromszögek, csoportosításuk. Négyszögek, speciális négyszögek (trapéz, paralelogramma, deltoid). Kör és részei. Adott feltételeknek megfelelő ponthalmazok. Háromszög, négyszög belső és külső szögeinek összegére vonatkozó tapasztalatok. Téglatest tulajdonságai. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok. Egyszerű alakzatok tengelyes tükörképének megszerkesztése. Előzetes tudás Két pont, pont és egyenes távolsága, két egyenes távolsága. Szakaszfelezés, szögfelezés, szögmásolás. Merőleges és párhuzamos egyenesek szerkesztése. Néhány nevezetes szög szerkesztése. Szerkesztési eszközök használata. Koordináta-rendszer megismerése, pont ábrázolása, adott pont koordinátáinak a leolvasása. A téglalap és a deltoid kerületének és területének kiszámítása. A téglatest felszínének és térfogatának a kiszámítása. Rendszerező készség fejlesztése. A tematikai egység A mindennapi élethez kapcsolódó egyszerű geometriai számítások nevelési-fejlesztési elvégzésének fejlesztése. A gyakorlatban előforduló geometriai ismereteket céljai igénylő problémák megoldására való képesség fejlesztése.

Statikus helyzetek, képek, tárgyak megfigyelése. Geometriai transzformációkban megmaradó és változó tulajdonságok megfigyelése. Az esztétikai-, művészeti tudatosság és kifejezőképesség fejlesztése. Képzeletben történő mozgatás: átdarabolás elképzelése, testháló összehajtásának, szétvágásának elképzelése. A pontos munkavégzés igényének fejlesztése. A geometriai problémamegoldás lépéseinek megismertetése (szerkesztésnél: vázlatrajz, adatfelvétel, a szerkesztés menete, szerkesztés, diszkusszió). Ismeretek

Fejlesztési követelmények

Szögpárok (egyállású szögek, váltószögek, kiegészítő szögek, merőleges szárú szögek, pótszögek).

A tanult szögpárok felismerése, megnevezése és ábrákon való bejelölése.

Ponthalmazok:  Adott térelemtől adott távolságra levő pontok a síkban.

Szerkesztések elvégzése. Törekvés a pontos, precíz munkára.




Két térelemtől egyenlő távolságra levő pontok a síkban. Néhány eset vizsgálata térben is. Háromszög-egyenlőtlenség.

Diszkusszió a háromszögek szerkesztésénél. A háromszög és a négyszög belső Tételek megfogalmazása megfigyelés és külső szögeinek összege. alapján. Bizonyítási igény felkeltése. Matematikatörténet: Bolyai Tömör, de pontos szabatos Farkas, Bolyai János. kifejezőkészség fejlesztése. A szaknyelv Érdekességek: gömbi geometria. minél pontosabb használata írásban is. A háromszögek magassága, Számolási készség fejlesztése. Informatika: tantárgyi magasságvonala, Átdarabolás a terület meghatározásához. szimulációs program. magasságpontja. Eredmények becslése. A háromszögek kerületének és területének kiszámítása. Paralelogramma, trapéz, deltoid Törekvés a tömör, de pontos, szabatos Technika, életvitel és rombusz tulajdonságai, kerülete, kommunikációra. A szaknyelv egyre gyakorlat: hétköznapi területe. pontosabb használata írásban is. problémák, területtel Szabályos sokszögek. A terület meghatározása átdarabolással. kapcsolatos számítás. Kör kerülete, területe. A kör kerületének közelítése méréssel. A kör és érintője. Számítógépes animáció használata az Vizuális kultúra: egyes területképletekhez. Pantheon, Colosseum. A tanult síkbeli alakzatok A szerkesztéshez szükséges eszközök Technika, életvitel és (háromszög, trapéz, célszerű használata. Átélt folyamatról gyakorlat: műszaki rajz paralelogramma, deltoid ) készült leírás gondolatmenetének készítése.

szerkesztése. Nevezetes szögek szerkesztése: 15°, 45°, 75°, 105°, 135°. Középpontos tükrözés. A középpontos tükrözés tulajdonságai. A középpontos tükörkép szerkesztése. Középpontosan szimmetrikus alakzatok a síkban. A tanult sokszögek osztályozása szimmetria szerint.

Tengelyes és középpontos szimmetria alkalmazása szerkesztésekben. Párhuzamos szárú szögek.

Az egybevágóság szemléletes fogalma, a háromszögek egybevágóságának esetei. Az egybevágóság jelölése.  Három- és négyszög alapú egyenes hasábok, forgáshenger hálója, tulajdonságai, felszíne, térfogata.

értelmezése (pl. egy szerkesztés leírt lépéseiről a folyamat felidézése). A szaknyelv pontos használata.

Földrajz: szélességi körök és hosszúsági fokok. Pontos, precíz munka elvégzése a Vizuális kultúra: szerkesztés során. A transzformációs művészeti alkotások szemlélet továbbfejlesztése. megfigyelése a tanult transzformációk segítségével. A megfigyelőképesség fejlesztése. Vizuális kultúra; Halmazképző, rendszerező képesség biológia-egészségtan: fejlesztése. középpontosan A matematika kapcsolata a természettel szimmetrikus alakzatok és a művészeti alkotásokkal: művészeti megfigyelése, alkotások vizsgálata Gondolkodás vizsgálata a fejlesztése szimmetrián alapuló műalkotásokban és a játékokon keresztül. természetben. Áttekinthető, pontos szerkesztés Vizuális kultúra: igényének fejlesztése. festmények geometriai alakzatai. A tanult transzformációk tulajdonságainak felismerése, felhasználása a fogalmak kialakításánál. A megfigyelőképesség fejlesztése. Vizuális kultúra: A szaknyelv pontos használata. festmények, művészeti alkotások egybevágó geometriai alakzatai. A halmazszemlélet és a térszemlélet Technika, életvitel és fejlesztése. gyakorlat: modellek készítése, tulajdonságainak vizsgálata. Történelem, társadalmi és állampolgári: történelmi épületek látszati képe és alaprajza közötti összefüggések megfigyelése. Vizuális kultúra: térbeli tárgyak síkbeli megjelenítése.


Testnevelés és sport: távolságok és idő becslése, mérése. Fizika; kémia: mérés, mértékegységek, mértékegységek átváltása. Egyszerű számításos feladatok a A számolási készség, a becslési készség Magyar nyelv és geometria különböző területeiről. és az ellenőrzési igény fejlesztése. irodalom: szövegértés, Zsebszámológép célszerű használata a szövegértelmezés. számítások egyszerűsítésére, gyorsítására. Geometriai transzformáció, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás. Egybevágóság. Kulcsfogalmak/ Középpontos szimmetria, paralelogramma, rombusz. Egyállású szög, váltószög, csúcsszög. fogalmak Belső és külső szög. Háromszög, magasságvonal, magasságpont. Hasáb, henger. Alaplap, alapél, oldallap, oldalél. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

A gyakorlati mérések, mértékegységváltások helyes elvégzésének fejlesztése.

5. Statisztika, valószínűség

Órakeret 7 óra

Egyszerű diagramok készítése, értelmezése, táblázatok olvasása. Néhány szám számtani közepének kiszámítása. Előzetes tudás Valószínűségi játékok és kísérletek az adatok tervszerű gyűjtése, rendezése. A tematikai egység A statisztikai gondolkodás fejlesztése. nevelési-fejlesztési A valószínűségi gondolkodás fejlesztése. Gazdasági nevelés. céljai Ismeretek Adatok gyűjtése, rendszerezése, adatsokaság szemléltetése, grafikonok készítése.

Adathalmazok elemzése (átlag, módusz,) és értelmezése, ábrázolásuk. Számtani közép kiszámítása.

Fejlesztési követelmények Adatsokaságban való eligazodás: táblázatok olvasása, grafikonok készítése, elemzése. Statisztikai szemlélet fejlesztése. Együttműködési készség fejlődése. Gazdasági statisztikai adatok, grafikonok értelmezése, elemzése. Adatsokaságban való eligazodás képességének fejlesztése. Ok-okozati összefüggéseket felismerő képesség fejlesztése. Elemző képesség fejlesztése.

Kapcsolódási pontok Testnevelés és sport: teljesítmények adatainak, mérkőzések eredményeinek táblázatba rendezése. Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: táblázatok és grafikonok adatainak ki- és leolvasása, elemzése, adatok

gyűjtése, táblázatba rendezése. Informatika: statisztikai adatelemzés. Valószínűségi kísérletek. Valószínűség előzetes becslése. Valószínűségi kísérletek, eredmények lejegyzése. Gyakoriság, relatív gyakoriság fogalma.

Valószínűségi szemlélet fejlesztése. Tudatos megfigyelőképesség fejlesztése. A tapasztalatok rögzítése képességének fejlesztése. Tanulói együttműködés fejlesztése. Számítógép használata a tudománytörténeti érdekességek felkutatásához.

Kulcsfogalmak/ Diagram, gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség. fogalmak A továbbhaladás feltételei    – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete; számhalmazok ismerete Egyszerű állítások igazságának eldöntése. Néhány elem esetén az összes eset felsorolása. Jó számolási ismeretek a racionális számkörben. A műveleti sorrendre, zárójelezésre vonatkozó szabályok ismerete, helyes alkalmazása. Műveletek egész kitevőjű hatványokkal, a hatványozás azonosságainak használata egyszerű feladatmegoldásban. A négyzetgyökvonás műveletének használata geometriai feladatoknál Egyenes és fordított arányosság felismerése és alkalmazása egyszerű feladatban Egyszerű százalékszámítási feladatok megoldása. Az oszthatósággal kapcsolatos definíciók ismerete, egyszerű oszthatósági problémák vizsgálata. Elsőfokú, egyismeretlenes egyszerű szerkezetű egyenlet megoldása Egyismeretlenes egyenlőtlenség megoldása. Függvények megadása, a szereplő halmazok ismerete (értelmezési tartomány, értékkészlet); valós függvény alaptulajdonságainak ismerete. A lineáris függvény ismerete (tulajdonságok, grafikon). Sorozatok folytatása adott szabály szerint. Sorozatok néhány jellemzőjének vizsgálata. Az egyenes arányosság grafikonjának felismerése grafikonokról adatokat leolvasása Háromszögek szögei és oldalai közötti összefüggések ismerete és alkalmazása. Négyszögek belső és külső szögeire vonatkozó összefüggések ismerete. Háromszögek magasságának a meghatározása, Egyszerű háromszög szerkesztések lépéseinek elvégzése. Egybevágósági transzformációk felismerése, tulajdonságainak ismerete. Szerkesztések elvégzése (tengelyes és középpontos tükrözés, pont körüli elforgatás, eltolás). Középpontosan szimmetrikus alakzatok tulajdonságainak ismerete és felhasználása geometriai feladatok megoldásánál. A négyszögek több szempont szerinti összehasonlítása, csoportosítása, tulajdonságainak ismerete (oldalak párhuzamossága, egyenlősége, szimmetria). Kerület, terület, felszín és térfogat szemléletes fogalmának kialakulása, a jellemzők kiszámítása (képlet alapján); mértékegységek ismerete; Háromszögek, négyszögek területének kiszámítása. Háromszög és négyszög alapú egyenes hasábok felismerése, jellemzése, felszíne és térfogata.. Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése. Adathalmaz móduszának, átlagának meghatározása, értelmezése.


Évi óraszám: 144 óra – heti 4 óra Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás

A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

Órakeret 15 + folyamatos(3) Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján. A részhalmaz fogalma. Két véges halmaz közös része, egyesítése. Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban. Állítások igazságának eldöntése. Igaz és hamis állítások megfogalmazása. Összehasonlításhoz szükséges kifejezések értelmezése, használata. Definíció megértése és alkalmazása. Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint. Néhány elem sorba rendezése különféle módszerekkel. Az önálló gondolkodás igényének kialakítása. Halmazok eszköz jellegű használata, halmazszemlélet fejlesztése. Szóbeli és írásbeli kifejezőkészség fejlesztése, a matematikai szaknyelv pontos használata. Saját gondolatok megértetésére való törekvés (szóbeli érvelés, szemléletes indoklás). Rendszerszemlélet, kombinatorikus gondolkodás fejlesztése. Fogalmak egymáshoz való viszonyának, összefüggéseknek a megértése. A rendszerezést segítő eszközök és algoritmusok használatának fejlesztése. A bizonyítás, az érvelés iránti igény felkeltése, a kulturált vitatkozás gyakoroltatása. 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok

Ismeretek Halmazba rendezés több szempont alapján a halmazműveletek alkalmazásával. Két véges halmaz uniója, különbsége, metszete. A részhalmaz. Matematikatörténet: Cantor. Az „és”, „vagy”, „ha”, „akkor”, „nem”, „van olyan”, „minden” „legalább”, legfeljebb” kifejezések használata. Egyszerű („minden”, „van olyan” típusú) állítások igazolása, cáfolata konkrét példák kapcsán.

Fejlesztési követelmények A halmazszemlélet fejlesztése.

Az „akkor és csak akkor” használata.

Adott tétel megfordításának megfogalmazása, a megfordítás


Rendszerszemlélet fejlesztése.

A matematikai szaknyelv pontos használata. A nyelv logikai elemeinek egyre pontosabb, tudatos használata. Kulturált érvelés képességének fejlesztése.

Magyar nyelv és irodalom: a lényeges és lényegtelen megkülönböztetése.

Tétel és megfordítása. Matematikatörténet: Eukleidész szerepe a tudományosság kialakításában. Pólya György: A gondolkodás iskolája. A matematikai bizonyítás előkészítése: sejtések, kísérletezés, módszeres próbálkozás, cáfolás. A gyakorlati élethez és a társtudományokhoz kapcsolódó szöveges feladatok megoldása.

értelmezése, igazságtartalmának eldöntése.

A bizonyítási igény felkeltése. Tolerancia, kritikai szemlélet, problémamegoldás. A kulturált vitatkozás elsajátítása. Szövegelemzés, értelmezés, szöveg lefordítása a matematika nyelvére. Ellenőrzés, önellenőrzés iránti igény erősítése. Igényes grafikus és verbális kommunikáció. Egyszerű kombinatorikai A kombinatorikus gondolkodás feladatok megoldása különféle fejlesztése. módszerekkel (fadiagram, Tapasztalatszerzés az összes eset útdiagram, táblázatok készítése). rendszerezett felsorolásában. Sorba rendezés, kiválasztás. Néhány elem esetén az összes eset felsorolása. Permutáció (ismétlés nélküli és Rendszerezés gyakorlása. Szöveg matematika nyelvre fordítása, ismétléses). matematikai modell készítése. Számolás faktoriálissal.

Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz; technika, életvitel és gyakorlat: számításos feladatok.

Véges, végtelen halmaz, intervallum. Alaphalmaz, részhalmaz és komplementer Kulcsfogalmak/ halmaz. Unió, metszet, különbség, „és”, „vagy”, „ha … akkor”, „nem”, „van olyan”, „minden” kifejezések. fogalmak Ismétlés nélküli és ismétléses permutáció. Faktoriális. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

2. Számelmélet, algebra

Órakeret (44 óra)

Racionális számkör. Műveletek racionális számokkal. Pozitív egész kitevőjű hatvány fogalma. Műveletek hatványokkal. Prímszám, prímtényezőkre bontás. Algebrai kifejezések. Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása, mérlegelv. Mérés, mértékegységek használata, átváltás egyszerű esetekben. Előzetes tudás A mindennapi életben felmerülő egyszerű arányossági feladatok megoldása következtetéssel, egyenes arányosság, fordított arányosság, arány, arányos osztás. Szöveges feladatok megoldása. A százalékszámítás alapjai. A tematikai egység A matematikai ismeretek és a mindennapi élet történései közötti kapcsolat nevelési-fejlesztési tudatosítása. Szavakban megfogalmazott helyzet, történés matematizálása;

céljai

matematikai modellek választása, keresése, készítése, értelmezése adott szituációkhoz. Konkrét matematikai modellek értelmezése a modellnek megfelelő szöveges feladat alkotásával. A szabványos mértékegységekhez tartozó mennyiségek és többszöröseik, törtrészeik képzeletben való felidézése. Az ellenőrzés, önellenőrzés iránti igény, az eredményért való felelősségvállalás erősítése.

Ismeretek A hatványozás ról tanultak áttekintése

Fejlesztési követelmények Számolási készség fejlesztése.

Nulla és negatív egész kitevőjű hatvány fogalma, a hatványozás azonosságai.

Permanenciaelv bemutatása konkrét számokkal. A bizonyítási igény. fejlesztése

Számok normálalakja. Számolás normálalakkal írásban és számológép segítségével.

A természettudományokban és a társadalomban előforduló nagy és kis mennyiségekkel történő számolás.

Oszthatósági szabályok rendszerezése. Összetett oszthatósági szabályok. Számelmélet szerepe a kódolásban, titkosításban. Matematikatörténeti és számelméleti érdekességek (pl. végtelen sok prímszám létezik, tökéletes számok, barátságos számok, Eukleidész, Mersenne, Euler, Fermat)

Gondolatmenet követése, egyszerű gondolatmenet megfordítása. Következtetések. Tanulói együttműködésben részvétel.

Számrendszerek. Átváltás tízes számrendszerre más alapú számrendszerből. Matematikatörténet: Neumann János. Matematikatörténet: 12-es, 60-as számrendszer. A négyzetgyök fogalma. Számok négyzete, négyzetgyöke.

A helyi értékes írásmód lényegének megértése.

Négyzetgyök meghatározása számológéppel.

Kapcsolódási pontok Kémia: számítási feladatok.

Fizika; kémia; földrajz; biológia-egészségtan: Tér, idő, nagyságrendek. Méretek és nagyságrendek becslése és számítása az atomok méreteitől az ismert világ méretéig.

Informatika: a kettes számrendszer használata.

Példa irracionális számra (π, 2 ). Arány, aránypár, arányos osztás. A következtetési képesség fejlesztése: a Egyenes arányosság, fordított mindennapi élet és a matematika közötti arányosság. gyakorlati kapcsolatok meglátása, a felmerülő arányossági feladatok megoldása során.


Gyakorlati mérések, mértékegységátváltások helyes elvégzése. Ciklusonként átélt idő és lineáris időfogalom, időtartam, időpont szavak értő ismerete, használata.

A mindennapjainkhoz köthető százalékszámítási feladatok. Gazdaságossági számítások.

Feladatok az árképzés: árleszállítás, áremelés, áfa, betétkamat, hitelkamat, adó, bruttó bér, nettó bér, valamint különböző termékek (pl. élelmiszerek, növényvédő-szerek, oldatok) anyagösszetétele köréből. Szövegértés, szövegalkotás fejlesztése. Becslések és következtetések végzése. Zsebszámológép célszerű használata a számítások egyszerűsítésére, gyorsítására.

Magyar nyelv és irodalom: szövegértés, szövegértelmezés. Fizika; kémia; földrajz: arányossági számítások felhasználása feladatmegoldásokban. Technika, életvitel és gyakorlat: műszaki rajzok értelmezése. Technika, életvitel és gyakorlat: Főzésnél a tömeg, az űrtartalom és az idő mérése. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: évtized, évszázad, évezred. Magyar nyelv és irodalom: szövegértés, szövegértelmezés. Fizika; kémia: számítási feladatok. Kémia: oldatok tömegszázalékos összetételének kiszámítása. Fizika: hatásfok kiszámítása. Fizika; kémia; biológia-egészségtan: Képletek átalakítása. A képlet értelme, jelentősége. Helyettesítési érték kiszámítása képlet alapján.

Egyszerű átalakítások: zárójel felbontása, összevonás. Egytagú és többtagú algebrai egész kifejezések szorzása racionális számmal, egytagú egész kifejezéssel.

Egyszerű szimbólumok megértése és a matematikában, valamint a többi tantárgyban szükséges egyszerű képletalakítások elvégzése. Algebrai kifejezések egyszerű átalakításának felismerése.

Nevezetes azonosságok:

Kreativitás többféle bizonyítási módszer Informatika: tantárgyi

polinom alakja. ahol tetszőleges előjeles tag, szorzat alakja. Szorzattá alakítás kiemeléssel, nevezetes azonosságok alkalmazásával. Teljes négyzetté alakítás. Elsőfokú, illetve elsőfokúra visszavezethető egyenletek, elsőfokú egyenlőtlenségek megoldása. Azonosság. Azonos egyenlőtlenség. Alaphalmaz, megoldáshalmaz.

alkalmazása során. Az algebra és geometria összekapcsolása az azonosságok igazolásánál. Ismeretek tudatos memorizálása.

szimulációs programok használata.

A tanult azonosságok felhasználása.

Az egyenlő, nem egyenlő fogalmának Fizika; kémia; elmélyítése. Algoritmikus gondolkodás biológia-egészségtan: továbbfejlesztése. A megoldások számításos feladatok. ábrázolása számegyenesen. Pontos munkavégzésre nevelés. Számolási készség fejlesztése. Az ellenőrzés igényének fejlesztés.

Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldási módszerei.

Különböző algebrai módszerek alkalmazása ugyanarra a problémára (behelyettesítő módszer, ellentett együtthatók módszere). A matematikából és a Szövegértelmezés, problémamegoldás Magyar nyelv és mindennapi életből vett egyszerű fejlesztése. irodalom: szövegértés, szöveges feladatok megoldása a A lényeges és lényegtelen szövegértelmezés. A tanult matematikai módszerek elkülönítésének, az összefüggések gondolatmenet használatával. Ellenőrzés. felismerésének fejlesztése. tagolása. Egyszerű matematikai problémát A gondolatmenet tagolása. Fizika; kémia; tartalmazó hosszabb szövegek Az ellenőrzési igény további fejlesztése. biológia-egészségtan feldolgozása pl. a családi élettel, Igényes kommunikáció kialakítása. technika, életvitel és környezettudatossággal, az gyakorlat:: szöveges feladatok. egészséges életmóddal, a gazdaságossággal kapcsolatban. Racionális szám. Hatvány, alap, kitevő. Normál alak. Négyzetgyök. Százalékalap, százalékláb, százalékérték. Arány, aránypár, arányos osztás, egyenes és fordított arányosság. Kulcsfogalmak/ Változó, együttható, algebrai egész kifejezés, helyettesítési érték, egynemű fogalmak kifejezés, összevonás, zárójelfelbontás. Szorzattá alakítás kiemelés. Egytagú, többtagú kifejezés. Együttható, változó. Egyismeretlenes egyenlet, egyenlőtlenség, azonosság, mérlegelv, ellenőrzés. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

3. Függvények, az analízis elemei

Órakeret (22 óra)

Egyszerű sorozatok folytatása adott szabály szerint. Biztos tájékozódás a derékszögű koordináta-rendszerben. Függvények és ábrázolásuk derékszögű koordináta-rendszerben. Lineáris függvények.

Grafikonok értelmezése. Függvényszemlélet fejlesztése. Grafikonok, táblázatok adatainak értelmezése, A tematikai egység elemzése. nevelési-fejlesztési Megoldás a matematikai modellen belül. Matematikai modellek ismerete, céljai alkalmazásának módja, korlátai (sorozatok, függvények, függvényábrázolás). Ismeretek Függvények és ábrázolásuk a derékszögű koordinátarendszerben. A függvény jellemzése. (értelmezési tartomány, értékkészlet zérushely, szélsőérték, növekedés, csökkenés. ) Lineáris függvények f(x) =‫׀‬x‫׀‬,az f(x) =‫׀‬x+b‫ ׀‬illetve f(x) =‫׀‬x‫׀‬+c függvény. f(x) = x2, f(x) = x2+c illetve az f(x) = (x+b)2függvény. Függvények jellemzése A fordított arányosság függvénye.

Fejlesztési követelmények A függvényszemlélet fejlesztése. Időben lejátszódó valós folyamatok elemzése a grafikon alapján.

Számolási készség fejlesztése a racionális számkörben. Számítógép használata a függvények ábrázolására.

Kapcsolódási pontok Fizika; biológiaegészségtan; kémia; földrajz: függvényekkel leírható folyamatok Fizika: út-idő; feszültségáramerősség. Informatika: Számítógép használata a függvények ábrázolására.

Fizika: adott távolság esetén a sebesség és az idő, adott tömeg esetén a sűrűség és a térfogat. Kémia, földrajz: adatok vizsgálata:hőmérsékletr e, csapadék mennyiségére, a levegő és a víz szennyezettségére vonatkozóan.

Grafikonok olvasása, Kapcsolatok észrevétele, értelmezése, készítése: szöveggel megfogalmazása szóban, írásban. vagy matematikai alakban Környezettudatosságra nevelés: pl. megadott szabály grafikus adatok és grafikonok elemzése a megjelenítése értéktáblázat környezet szennyezettségével segítségével. kapcsolatban. A sorozat mint speciális Sorozatok néhány jellemzőjének függvény. Egyszerű sorozatok vizsgálata (növekedés, csökkenés). vizsgálata. Számtani sorozat, Gauss-módszer. számtani közép. Matematikatörténet: háromszögszámok, négyzetszámok. Gauss. Hozzárendelés, függvény, lineáris függvény, növekedés, csökkenés, értelmezési Kulcsfogalmak/ tartomány, értékkészlet, zérushely. Abszolútérték-függvény, másodfokú függvény fogalmak Számtani sorozat, számtani közép.


4. Geometria

Órakeret (40 óra)

Pont, vonal, egyenes, félegyenes, szakasz, sík, szögtartomány. Háromszögek, csoportosításuk. Négyszögek, speciális négyszögek (trapéz, paralelogramma, deltoid). Kör és részei. Adott feltételeknek megfelelő ponthalmazok. Háromszög, négyszög belső és külső szögeinek összegére vonatkozó ismeretek. Téglatest tulajdonságai. Tengelyesen és középpontos tükrözés. Nevezetes szögpárok. Háromszögek egybevágóságának esetei. Előzetes tudás Két pont, pont és egyenes távolsága, két egyenes távolsága. Szakaszfelezés, szögfelezés, szögmásolás. Merőleges és párhuzamos egyenesek szerkesztése. Néhány nevezetes szög szerkesztése. Szerkesztési eszközök használata. Koordináta-rendszer megismerése, pont ábrázolása, adott pont koordinátáinak a leolvasása. Háromszögek, speciális négyszögek kerületének és területének kiszámítása. Háromszög, négyszög alapú hasábok, hengerek felszínének és térfogatának a kiszámítása. Rendszerező készség fejlesztése. A mindennapi élethez kapcsolódó egyszerű geometriai számítások elvégzésének fejlesztése. A gyakorlatban előforduló geometriai ismereteket igénylő problémák megoldására való képesség fejlesztése. Statikus helyzetek, képek, tárgyak megfigyelése. Geometriai A tematikai egység transzformációkban megmaradó és változó tulajdonságok megfigyelése. nevelési-fejlesztési Az esztétikai-, művészeti tudatosság és kifejezőképesség fejlesztése. céljai Képzeletben történő mozgatás: átdarabolás elképzelése, testháló összehajtásának, szétvágásának elképzelése. A pontos munkavégzés igényének fejlesztése. A geometriai problémamegoldás lépéseinek megismertetése (szerkesztésnél: vázlatrajz, adatfelvétel, a szerkesztés menete, szerkesztés, diszkusszió). Ismeretek Eltolás, a vektor fogalma.

Fejlesztési követelmények Egyszerű alakzatok eltolt képének megszerkesztése. A megfigyelőképesség fejlesztése. Áttekinthető, pontos szerkesztés igényének fejlesztése.

Vektorok összege, különbsége és szorzása számmal. Vektorok összegének, különbségének és számmal való szorzásának szerkesztése.

A szerkesztési eljárások előnyeinek és hátrányainak felismerése. Műveletek tulajdonságainak vizsgálata szerkesztések elvégzése után.


Fizika: elmozdulás, erő, sebesség.

Vektor felbontása összetevőire. A vektorműveletek tulajdonságai. Pont körüli forgatás tulajdonságai Egyszerű geometriai alakzatok adott és szerkesztési eljárások pont körüli elforgatásának elsajátítása. megszerkesztése. Az egybevágóság szemléletes fogalma, a háromszögek egybevágóságának esetei.

Geometriai állítások igazolása konkrét feladatokban az egybevágóság alapeseteinek felhasználásával.

Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai, körei (magasságvonal, szögfelező, oldalfelező merőleges, középvonal, súlyvonal definíciója, tulajdonságai; magasságpont, súlypont, háromszög köré és beírt kör középpontja, sugara). Három- és négyszög alapú egyenes hasábok, forgáshenger hálója, tulajdonságai, felszíne, térfogata. Ismerkedés a forgáskúppal, gúlával, gömbbel.

Ismeretek mozgósítása, rendszerezése problémamegoldás érdekében.


A gyakorlati mérések, mértékegységváltások helyes elvégzésének fejlesztése.

Földrajz: bolygók tengely körüli forgása, keringés a Nap körül.

Fizika: alakzatok súlypontja. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram).

A halmazszemlélet és a térszemlélet fejlesztése.

A Pitagorasz-tétel alkalmazása geometriai számításokban. Annak felismerése, hogy a matematika az emberiség kultúrájának része. A bizonyítási igény felkeltése. Számítógépes program felhasználása a tétel bizonyításánál. Egyszerű számításos feladatok a A számolási készség, a becslési készség geometria különböző területeiről. és az ellenőrzési igény fejlesztése. Zsebszámológép célszerű használata a számítások egyszerűsítésére, gyorsítására. Kicsinyítés és nagyítás. A megfigyelőképesség fejlesztése: a

Technika, életvitel és gyakorlat: modellek készítése, tulajdonságainak vizsgálata. Vizuális kultúra: térbeli tárgyak síkbeli megjelenítése. Testnevelés és sport: távolságok és idő becslése, mérése. Fizika; kémia: mérés, mértékegységek, mértékegységek átváltása.

Pitagorasz tétele Matematikatörténet: Pitagorasz élete és munkássága. A pitagoraszi számhármasok.

Magyar nyelv és irodalom: szövegértés, szövegértelmezés.

Földrajz: térkép.

Középpontos nagyítás és kicsinyítés szerkesztése konkrét arányokkal. Szakasz arányos osztásának szerkesztése.

Biológia-egészségtan: mikroszkóp. Vizuális kultúra: valós tárgyak arányosan kicsinyített vagy nagyított rajza. Geometriai transzformáció, eltolás. Egybevágóság. Középpontos nagyítás és Kulcsfogalmak/ kicsinyítés. Vektor, vektorműveletek. Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai, körei. Pitagorasz-tétel. fogalmak Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

középpontos nagyítás, kicsinyítés felismerése hétköznapi szituációkban.

5. Statisztika, valószínűség

Órakeret 11 óra

Egyszerű diagramok készítése, értelmezése, táblázatok olvasása. Néhány szám számtani közepének kiszámítása. Módusz, medián. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Előzetes tudás Valószínűségi játékok és kísérletek az adatok tervszerű gyűjtése, rendezése, esélylatolgatás. Biztos, lehetetlen események. A tematikai egység A statisztikai gondolkodás fejlesztése. nevelési-fejlesztési A valószínűségi gondolkodás fejlesztése. Gazdasági nevelés. céljai Fejlesztési követelmények Adatsokaságban való eligazodás: táblázatok olvasása, grafikonok készítése, elemzése. Statisztikai szemlélet fejlesztése. Együttműködési készség fejlődése. Adathalmazok elemzése (átlag, Gazdasági statisztikai adatok, módusz, medián) és értelmezése, grafikonok értelmezése, elemzése. ábrázolásuk. Adatsokaságban való eligazodás képességének fejlesztése. Számtani közép kiszámítása. Ok-okozati összefüggéseket felismerő képesség fejlesztése. Elemző képesség fejlesztése. Ismeretek Adatok gyűjtése, rendszerezése, adatsokaság szemléltetése, grafikonok készítése. Gyakoriság, relatív gyakoriság

Valószínűségi kísérletek. Valószínűség előzetes becslése, szemléletes fogalma.

Valószínűségi szemlélet fejlesztése. Tudatos megfigyelőképesség fejlesztése.

Kapcsolódási pontok Testnevelés és sport: teljesítmények adatainak, mérkőzések eredményeinek táblázatba rendezése. Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: táblázatok és grafikonok adatainak ki- és leolvasása, elemzése, adatok gyűjtése, táblázatba rendezése. Informatika: statisztikai adatelemzés.

Valószínűségi kísérletek, eredmények lejegyzése. Matematikatörténet: érdekességek a valószínűségszámítás fejlődéséről.

A tapasztalatok rögzítése képességének fejlesztése. Tanulói együttműködés fejlesztése. Számítógép használata a tudománytörténeti érdekességek felkutatásához.

Kulcsfogalmak/ Diagram, gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség. fogalmak A továbbhaladás feltételei    – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete; számhalmazok ismerete Egyszerű állítások igazságának eldöntése Egyszerű leszámlálási feladatok megoldása Szisztematikus összeszámlálással az összes lehetőség megadása. Jó számolási ismeretek a racionális számkörben. A műveleti sorrendre, zárójelezésre vonatkozó szabályok ismerete, helyes alkalmazása. Műveletek egész kitevőjű hatványokkal, a hatványozás azonosságainak használata feladatmegoldásban. Normálalak használata a számok egyszerűbb írására, számolás normálalakkal. A négyzetgyökvonás műveletének használata geometriai feladatoknál Egyenes és fordított arányosság felismerése Elsőfokú, egyismeretlenes egyszerű egyenlet, kétismeretlenes egyszerű egyenletrendszer megoldása. Egyismeretlenes egyenlőtlenség megoldása. A lineáris függvény, az abszolútérték-függvény, a másodfokú függvény, a fordított arányosság függvényének ismerete (tulajdonságok, grafikon). Sorozatok folytatása adott szabály szerint. Sorozatok néhány jellemzőjének vizsgálata. Az egyenes arányosság grafikonjának felismerése grafikonokról adatokat leolvasása Háromszögek szögei és oldalai közötti összefüggések ismerete és alkalmazása. Négyszögek belső és külső szögeire vonatkozó összefüggések ismerete. Háromszögek nevezetes vonalainak, pontjainak, köreinek meghatározása, Háromszögszerkesztési lépések elvégzése. Középpontos kicsinyítés és nagyítás elvégzése. A négyszögek több szempont szerinti összehasonlítása, csoportosítása, tulajdonságainak ismerete (oldalak párhuzamossága, egyenlősége, szimmetria). A Pitagorasz-tétel és Thalész-tétel ismerete és alkalmazása. A vektor fogalmának és a vektorokkal végzett műveleteknek az ismerete: vektorok összeadása, kivonása, vektor szorzása valós számmal; Kerület, terület, felszín és térfogat mértékegységek ismerete; (Háromszögek, négyszögek területének kiszámítása. Háromszög és négyszög alapú egyenes hasábok valamint a forgáshenger felismerése, jellemzése, felszíne és térfogata. A forgáskúp, a gömb felismerése.) Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása. Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése. Adathalmaz móduszának, mediánjának, átlagának meghatározása, értelmezése. Valószínűségi kísérletek eredményeinek értelmes lejegyzése, gyakoriságok, relatív gyakoriságok meghatározása felismeri a biztos és a lehetetlen eseményt.

2.3. A fejlesztés várt eredményei a 8. évfolyam végére

Gondolkodási és megismerési módszerek  Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete; számhalmazok ismerete. A tanulók képesek elemeket

halmazba rendezni több szempont alapján.  A nyelv logikai elemeinek tudatos szerepeltetése a feladatok megoldása során. Egyszerű állítások igazságának eldöntése, tagadás.  Gondolatok (állítások, feltételezések, indoklások) világos, érthető szóbeli és írásbeli közlése. Egyre pontosabb szövegértelmezés.  Egyszerű leszámlálási feladatok megoldása, a megoldás gondolatmenetének rögzítése szóban, írásban. Szisztematikus összeszámlálással az összes lehetőség megadása.  Fagráfok használata feladatok megoldásánál.  A bizonyítás iránti igény kialakulása. Számelmélet, algebra – Biztos számolási ismeretek a racionális számkörben. A műveleti sorrendre, zárójelezésre vonatkozó szabályok ismerete, helyes alkalmazása. – Műveletek egész kitevőjű hatványokkal, a hatványozás azonosságainak használata feladatmegoldásban. Normálalak használata a számok egyszerűbb írására, számolás normálalakkal. – A négyzetgyökvonás műveletének használata geometriai feladatoknál – Egyenes és fordított arányosság felismerése és alkalmazása matematikai és hétköznapi feladatokban. A mindennapjainkhoz kapcsolódó százalékszámítási feladatok megoldása. – Az oszthatósággal kapcsolatos definíciók ismerete, egyszerű oszthatósági problémák vizsgálata. – A tanulók célszerűen tudják használni a betűkifejezéseket (algebrai egész kifejezések) és az azokkal tanult műveleteket matematikai, hétköznapi, természettudományi problémák megoldásában (pl. modellalkotás szöveg alapján, egyenletek megoldása, képletek értelmezése). – Elsőfokú, egy-; kétismeretlenes egyenlet, illetve egyenletrendszer megoldási módszereinek ismerete. Szöveges gyakorlati problémák megoldása a megtanult egyenletmegoldási módszerekkel. Egyismeretlenes egyenlőtlenség megoldása. – A tanulók tisztában vannak a százalékszámítás alapfogalmaival, értik a tanult összefüggéseket, tudják alkalmazni ismereteiket a feladatmegoldások során. – A számológép ésszerű használata a számolás megkönnyítésére. Függvények, sorozatok – Függvények megadása, a szereplő halmazok ismerete (értelmezési tartomány, értékkészlet); valós függvény alaptulajdonságainak ismerete. – A lineáris függvény, az abszolútérték-függvény, a másodfokú függvény, a fordított arányosság függvényének ismerete (tulajdonságok, grafikon). – Egylépéses függvénytranszformációk végrehajtása. – Valós folyamatok elemzése a folyamathoz tartozó függvény grafikonja alapján, függvénymodell készítése lineáris kapcsolatokhoz; a meredekség. – Sorozatok folytatása adott szabály szerint. Sorozatok néhány jellemzőjének vizsgálata. – Az egyenes arányosság grafikonjának felismerése, a lineáris kapcsolatokról tanultak alkalmazása természettudományos feladatokban is – Grafikonok elemzése a tanult szempontok szerint, grafikonok készítése, grafikonokról adatokat leolvasása Geometria – A tanuló a geometriai ismeretek segítségével képes jó ábrákat készíteni, pontos szerkesztéseket végezni. – Háromszögek szögei és oldalai közötti összefüggések ismerete és alkalmazása. Négyszögek belső és külső szögeire vonatkozó összefüggések ismerete. – Háromszögek nevezetes vonalainak, pontjainak, köreinek meghatározása, megszerkesztése.

– –

Háromszögszerkesztések lépéseinek leírása, a szerkesztési lépések elvégzése. Egybevágósági transzformációk felismerése, tulajdonságainak ismerete. Szerkesztések elvégzése (tengelyes és középpontos tükrözés, pont körüli elforgatás, eltolás). Középpontos kicsinyítés és nagyítás elvégzése. – Középpontosan szimmetrikus alakzatok tulajdonságainak ismerete és felhasználása geometriai feladatok megoldásánál. – A négyszögek több szempont szerinti összehasonlítása, csoportosítása, tulajdonságainak ismerete (oldalak párhuzamossága, egyenlősége, szimmetria). – A Pitagorasz-tétel és Thalész-tétel ismerete és alkalmazása. – A vektor fogalmának és a vektorokkal végzett műveleteknek az ismerete: vektorok összeadása, kivonása, vektor szorzása valós számmal; vektor felbontása. – Kerület, terület, felszín és térfogat szemléletes fogalmának kialakulása, a jellemzők kiszámítása (képlet alapján); mértékegységek ismerete; valós síkbeli, illetve térbeli probléma geometriai modelljének megalkotása. (Háromszögek, négyszögek területének kiszámítása. Háromszög és négyszög alapú egyenes hasábok valamint a forgáshenger felismerése, jellemzése, felszíne és térfogata. A forgáskúp, a gömb felismerése.) – A tanuló képes térbeli alakzatok axonometrikus képét felvázolni, és ennek segítségével sikeresen old meg problémákat. Valószínűség, statisztika – Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása. – Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése. – Adathalmaz móduszának, mediánjának, átlagának meghatározása, értelmezése. – A véletlen jelenségek tudatos megfigyelése, tapasztalatok levonása, ezek alapján a valószínűségi szemlélet fejlődése. – Valószínűségi kísérletek eredményeinek értelmes lejegyzése, gyakoriságok, relatív gyakoriságok meghatározása – Konkrét feladatok kapcsán a tanuló érti az esély, a valószínűség fogalmát, felismeri a biztos és a lehetetlen eseményt. – Zsebszámológép célszerű használata statisztikai számításokban – A tanulónak van némi rálátása a legnagyobb matematikusok munkásságára, a magyar matematikusok eredményeire. 2.4. A 9. évfolyam tanterve

Évi óraszám: 108óra – heti 3 óra Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás


Órakeret 8 óra +folyamatos Példák halmazokra, geometriai alapfogalmak, alapszerkesztések. Halmazba rendezés több szempont alapján. Gyakorlat szövegek értelmezésében. A matematikai szakkifejezések adott szinthez illeszkedő ismerete. A valós számok halmazának ismerete. Kommunikáció, együttműködés fejlesztése. A matematika épülése elveinek bemutatása. Igaz és hamis állítások megkülönböztetése. Halmazok eszközjellegű használata. Gondolkodás; ismeretek rendszerezési képességének fejlesztése. Önfejlesztés, önellenőrzés segítése, absztrakciós képesség, kombinációs készség fejlesztése. 1. Gondolkodási és megismerési módszerek

Ismeretek Fejlesztési követelmények Halmazokról tanultak áttekintése Megosztott figyelem; két, illetve több Halmazműveletek: unió, metszet, szempont egyidejű követése. különbség. Részhalmaz. Szöveges megfogalmazások matematikai modellre fordítása. Halmazok közötti viszonyok Elnevezések megtanulása, definíciókra megjelenítése. Alaphalmaz és való emlékezés. Annak tudatosítása, komplementer halmaz. hogy alaphalmaz nélkül nincs komplementer halmaz. Halmaz közös elem nélküli halmazokra bontása jelentőségének belátása. Véges és végtelen halmazok. Annak megértése, hogy csak a véges Végtelen számosság szemléletes halmazok elemszáma adható meg fogalma. természetes számmal. Matematikatörténet: Cantor. A megismert számhalmazok: A megismert számhalmazok természetes számok, egész áttekintése. Természetes számok, egész számok, racionális számok. számok, racionális számok elhelyezése A számírás története. halmazábrában, számegyenesen. Valós számok halmaza. Az Annak tudatosítása, hogy az intervallum fogalma, fajtái. intervallum végtelen halmaz. Irracionális szám létezése. Távolsággal megadott Ponthalmazok megadása ábrával. ponthalmazok, adott tulajdonságú Megosztott figyelem; két, illetve több ponthalmazok (kör, gömb, felező szempont egyidejű követése (például merőleges, szögfelező, két feltétellel megadott ponthalmaz). középpárhuzamos). Egyszerű kombinatorikai feladatok: leszámlálás, sorbarendezés, skatulyaelv, gyakorlati problémák. Kombinatorika a mindennapokban. Logikai szita.

Kapcsolódási pontok Magyar nyelv és irodalom: mondatok, szavak, hangok rendszerezése. Biológia-egészségtan: halmazműveletek alkalmazása a rendszertanban. Kémia: anyagok csoportosítása.

Informatika: számábrázolás (problémamegoldás táblázatkezelővel).

Vizuális kultúra: a tér ábrázolása. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Rendszerezés: pontosan egyszeri Informatika: leszámlálás..Megosztott figyelem; két, problémamegoldás illetve több szempont egyidejű táblázatkezelővel. követése. Esetfelsorolások, diszkusszió Technika, életvitel és (pl. van-e ismétlődés). gyakorlat: hétköznapi problémák megoldása a kombinatorika eszközeivel. Magyar nyelv és irodalom: periodicitás, ismétlődés és kombinatorika mint szervezőelv poetizált

A gráffal kapcsolatos alapfogalmak (csúcs, él, fokszám). Egyszerű hálózat szemléltetése.

(Folyamatosan a 9–12. évfolyamon.) Logikai műveletek: „nem”, „és”, „vagy”, „ha…, akkor”.

Szöveges feladatok. (a szöveg alapján a megfelelő matematikai modell megalkotása.)

szövegekben. Gráfok alkalmazása Kémia: molekulák problémamegoldásban. térszerkezete. Számítógépek egy munkahelyen, Informatika: elektromos hálózat a lakásban, település problémamegoldás úthálózata stb. szemléltetése gráffal. informatikai Gondolatmenet megjelenítése gráffal. eszközökkel és módszerekkel, hálózatok. Történelem, pl. családfa. Technika, életvitel és gyakorlat: közlekedés.

Matematikai és más jellegű érvelésekben a logikai műveletek felfedezése, megértése, önálló alkalmazása. A köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések jelentéstartalmának összevetése. A hétköznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendezése a megadott célnak megfelelően. Matematikai tartalmú (nem tudományos jellegű) szöveg értelmezése.

Szöveges feladatok értelmezése, megoldási terv készítése, a feladat megoldása és szöveg alapján történő ellenőrzése. Modellek alkotása a matematikán belül; matematikán kívüli problémák modellezése. Gondolatmenet lejegyzése (megoldási terv). Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése (a szövegben előforduló információk).

Magyar nyelv és irodalom: szövegértés; információk azonosítása és összekapcsolása, a szöveg egységei közötti tartalmi megfelelés felismerése; a szöveg tartalmi elemei közötti kijelentés-érv, ok-okozati viszony felismerése és magyarázata.

Technika, életvitel és gyakorlat: egészséges életmódra és a családi életre nevelés.

A „minden” és a „van olyan” helyes használata. Nyitott mondatok igazsághalmaza, szemléltetés módjai. A matematikai bizonyítás. Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás Matematikatörténet: Euklidesz szerepe a tudományosság kialakításában. Nevezetes sejtések (pl. ikerprím sejtés); hosszan „élt”, de megoldott sejtések (pl. Fermat-sejtés, négyszínsejtés). Állítás és megfordítása. „Akkor és csak akkor” típusú állítások.

Figyelem összpontosítása. Problémamegoldó gondolkodás és szövegfeldolgozás: az indukció és dedukció, a rendszerezés, a következtetés. A „minden” és a „van olyan” helyes használata. Halmazok eszközjellegű használata.

Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás megkülönböztetése. Érvelés, vita. Érvek és ellenérvek. Ellenpélda szerepe. Mások gondolataival való vitába szállás és a kulturált vitatkozás. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont (pl. a saját és a vitapartner szempontjának) egyidejű követése.

Magyar nyelv és irodalom: mások érvelésének összefoglalása és figyelembevétele.

Az „akkor és csak akkor” használata. Feltétel és következmény felismerése a „Ha …, akkor …” típusú állítások esetében. Korábbi, illetve újabb (saját) állítások, tételek jelentésének elemzése. Bizonyítás. Gondolatmenet tagolása. Rendszerezés Etika: a (érvek logikus sorrendje). következtetés, Következtetés megítélése helyessége érvelés, bizonyítás és szerint. A bizonyítás gondolatmenetére, cáfolat szabályainak bizonyítási módszerekre való alkalmazása. emlékezés. Kidolgozott bizonyítás gondolatmenetének követése, megértése. Példák a hétköznapokból helyes és helytelenül megfogalmazott következtetésekre. Unió, metszet, különbség, komplementer halmaz. Gráf csúcsa, éle, csúcs Kulcsfogalmak/ fokszáma. Logikai művelet (NEM, ÉS, VAGY. „Ha .., akkor …”). Feltétel és következmény. Sejtés, bizonyítás, megcáfolás. Ellentmondás. Esetleszámolás, fogalmak faktoriális



Órakeret 37 óra

Számolás racionális számkörben. Prímszám, összetett szám, oszthatósági szabályok. Hatványozás és azonosságai, normálalak. Egyszerű algebrai kifejezések ismerete, zárójelhasználat, műveletek sorrendje, kiemelés, nevezetes Előzetes tudás azonosságok, mértékegység-átváltás, négyzetgyök fogalma. Egyenlet, egyenlet megoldása. Egyenlőtlenség. Egyszerű szöveg alapján elsőfokú egyismeretlenes egyenlet felírása (modell alkotása), megoldása, ellenőrzése. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. Problémakezelés és –megoldás. Algebrai kifejezések biztonságos ismerete, kezelése. Szabályok betartása, tanultak alkalmazása. Elsőfokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldási módszerei, a megoldási módszer önálló kiválasztási képességének kialakítása. A tematikai egység nevelési- Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatókörének fejlesztési céljai vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; ellenőrzés fontossága. A problémához illő számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a tartalomnak megfelelően. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotás adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Számológép használata. Ismeretek Számelmélet elemei. A tanult oszthatósági szabályok. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Relatív prímek. Matematikatörténeti és számelméleti érdekességek: (pl. végtelen sok prímszám létezik, tökéletes számok, barátságos számok, Eukleidész. Mersenne, Euler, Fermat) A hatványozás azonosságai áttekintése pozitív 0 és negatív egész kitevőre. Permanenciaelv. Számok abszolút értéke.

Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A tanult oszthatósági szabályok rendszerezése. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös meghatározása a felbontás segítségével. Egyszerű oszthatósági feladatok, szöveges feladatok megoldása. Gondolatmenet követése, egyszerű gondolatmenet megfordítása. Érvelés.

Korábbi ismeretekre való emlékezés. Fogalmi általánosítás

Egyenértékű definíció (távolsággal adott Fizika: hőmérséklet, definícióval). elektromos töltés, áram, feszültség előjeles értelmezése.

Különböző számrendszerek. A helyiértékes írásmód lényege. Kettes számrendszer. Matematikatörténet: Neumann János. Számok normálalakja.

A különböző számrendszerek egyenértékűségének belátása.

Informatika: kommunikáció ember és gép között, adattárolás egységei.

Az egyes fogalmak (távolság, idő, terület, tömeg, népesség, pénz, adat stb.) mennyiségi jellemzőinek kifejezése számokkal, mennyiségi következtetések. Számolás normálalakkal írásban és számológép segítségével. A természettudományokban és a társadalomban előforduló nagy és kis mennyiségekkel történő számolás

Fizika; kémia; biológia-egészségtan: tér, idő, nagyságrendek – méretek és nagyságrendek becslése és számítása az atomok méreteitől az ismert világ méretéig; szennyezés, környezetvédelem.

Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás. Számolási szabályok, zárójelek használata. (a +b)2, (a +b)3 polinom alakja. szorzat alakja, ahol tetszőleges előjeles tag, Egyszerű feladatok polinomok, illetve algebrai törtek közötti műveletekre. Tanult azonosságok alkalmazása. Algebrai tört értelmezési tartománya. Algebrai kifejezések egyszerűbb alakra hozása. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása különböző módszerekkel (lebontogatás, mérlegelv, szorzattá alakítás, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata, grafikus módszer). ekvivalencia fogalma Egyszerű egyenletek paraméterrel. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása.

Régebbi ismeretek mozgósítása, összeillesztése, felhasználása.

Ismeretek tudatos memorizálása Több szabály egyidejű alkalmazása

Fizika: számítási feladatok megoldása (pl. munkatétel).

Ismeretek felidézése, mozgósítása (pl. szorzattá alakítás, tört egyszerűsítése, bővítése, műveletek törtekkel).

Fizika; kémia; biológia-egészségtan: számítási feladatok.

Régebbi ismeretek mozgósítása, összeillesztése, felhasználása, kiegészítése. Módszerek tudatos kiválasztása és alkalmazása.

Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

Fizika: kinematika, dinamika.

Elsőfokú egyenletre, egyenletrendszerre vezető szöveges számítási feladatok a természettudományokból, a mindennapokból.

Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekből.

Különböző módszerek alkalmazása ugyanarra a problémára (behelyettesítő módszer, egyenlő illetve ellentett együtthatók módszere, grafikus módszer). Szöveges számítási feladatok megoldása a természettudományokból, a mindennapokból (pl. százalékszámítás: megtakarítás, kölcsön, áremelés, árleszállítás, bruttó ár és nettó ár, ÁFA, jövedelemadó, járulékok, élelmiszerek százalékos összetétele). A növekedés és csökkenés kifejezése százalékkal („mihez viszonyítunk?”). Gondolatmenet lejegyzése (megoldási terv). Számológép használata. Az értelmes kerekítés megtalálása. A mindennapokhoz kapcsolódó problémák matematikai modelljének elkészítése (egyenlet, illetve egyenletrendszer felírása); a megoldás ellenőrzése, a gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetséges-e?).

Fizika; kémia; biológia-egészségtan: számítási feladatok. Informatika: problémamegoldás táblázatkezelővel. Földrajz: a pénzvilág működése. Technika, életvitel és gyakorlat: tudatos élelmiszer-választás, becslések, mérések, számítások. Társadalmi, állampolgári és gazdasági ismeretek: a család pénzügyei és gazdálkodása, vállalkozások. Fizika: kinematika, dinamika számolási feladatok Kémia: százalékos keverési feladatok. A képlet értelmének, jelentőségének Fizika; kémia: képletek belátása. Helyettesítési érték kiszámítása értelmezése.. képlet alapján.

Egy és két abszolút értéket Definíciókra való emlékezés. Fizika: a mérés hibája. tartalmazó egyenletek. Hatvány. Normálalak. Egyenlet. Alaphalmaz, értelmezési tartomány. Azonosság. Kulcsfogalmak/ Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú egyenlet. Elsőfokú egyenletrendszer. fogalmak Egyenlőtlenség. Abszolút értéket tartalmazó elsőfokú egyenletek. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

Órakeret 13 óra Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben. Lineáris függvények, fordított arányosság függvénye, abszolútérték-függvény, másodfokú függvény ismerete. 3. Összefüggések, függvények, sorozatok


Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvénymodell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. Függvénytranszformációk algebrai és geometriai megjelenítése.

Ismeretek A függvény fogalmának megadásának és elemi tulajdonságainak rendszerezése. Új függvénytulajdonságok: periodicitás, paritás, korlátosság

Fejlesztési követelmények Ismeretek rendezése, tudatos memorizálása (függvénytani alapfogalmak). Alapfogalmak megértése, konkrét függvények elemzése a grafikonjuk alapján. Időben lejátszódó valós folyamatok elemzése grafikon alapján. Számítógép használata a függvények vizsgálatára.

Az abszolútérték-függvény.

Ismeretek felidézése (függvénytulajdonságok).

az x  a  x  b  c ( a  0 )függvény grafikonja, tulajdonságai. A négyzetgyökfüggvény. Az

Ismeretek felidézése (függvénytulajdonságok).

x  a  x  b  c ( a  0; x  b )függvény grafikonja, tulajdonságai. A fordított arányosság Ismeretek felidézése (függvénytulajdonságok). a függvénye. x  ( ax  0 ) x grafikonja, tulajdonságai.

Függvények alkalmazása.

Egyenlet, egyenletrendszer grafikus megoldása.

Kapcsolódási pontok Fizika; kémia; biológia-egészségtan: időben lejátszódó folyamatok leírása, elemzése. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata, adatkezelés táblázatkezelővel. Informatika: átlagos abszolút eltérés függvénye.

Valós folyamatok függvénymodelljének megalkotása. A folyamat elemzése a függvény vizsgálatával, az eredmény összevetése a valósággal. A modell érvényességének vizsgálata. Számítógép alkalmazása (pl. függvényrajzoló program). Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Egy adott probléma megoldása két különböző módszerrel. Az algebrai és a grafikus módszer

Fizika: ideális gáz, izoterma. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Fizika: kinematika. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.

Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz: számítási

Az x  ax 2  bx  c (a  0) másodfokú függvény ábrázolása és tulajdonságai. Függvénytranszformációk áttekintése az x  a( x  u) 2  v alak segítségével.

összevetése. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Számítógépes program használata. Ismeretek felidézése (algebrai ismeretek és függvénytulajdonságok ismerete). Számítógép használata.

feladatok.

Fizika: egyenletesen gyorsuló mozgás kinematikája. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.

A tanult függvények többlépéses transzformációi: f ( x)  c; f ( x  c); c  f ( x); . f ( x) , f (cx )

Tudatos megfigyelés a változó szempontok és feltételek szerint. Függvénytranszformációk és geometriai transzformációk kapcsolatának bemutatása.

Valós számok részhalmazán értelmezett függvények ábrázolása, vizsgálata.

Az értelmezési tartomány leszűkítése és a függvénytulajdonságok változásának kapcsolata.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.

Biológia-egészségtan: a biológiai rendszerek térbeli és időbeli változásait leíró grafikonok értelmezése. Függvény. Valós függvény. Függvénytulajdonság: értelmezési tartomány, Kulcsfogalmak/ értékkészlet, zérushely, , szélsőértékhely, szélsőérték.fv. menet Alapfüggvény. fogalmak Függvénytranszformáció. Lineáris kapcsolat. Meredekség. Grafikus megoldás. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

4. Geometria

Órakeret 35 óra

Térelemek, illeszkedés. Sokszögek, háromszögek alaptulajdonságai, négyszögek csoportosítása; speciális háromszögek és négyszögek elnevezése, felismerése, alaptulajdonságaik. Alapszerkesztések, háromszög szerkesztése Előzetes tudás alapadatokból. Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. Háromszögek egybevágósága. Kör és gömb, hasábok, hengerek és gúlák felismerése, alaptulajdonságaik. A Pitagorasz-tétel ismerete. Tájékozódás a térben. Számítások síkban és térben. Az egybevágósági transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szimmetria szerepének felismerése a matematikában, a valóságban. A szükséges és az elégséges A tematikai feltétel felismerése. Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb egység nevelésivázlatok alapján. Összetett számítási probléma lebontása, számítási terv fejlesztési céljai készítése (megfelelő részlet kiválasztása, a részletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Korábbi ismeretek

mozgósítása. Számológép, számítógép használata. Ismeretek Geometriai alapfogalmak. Térelemek, távolságok és szögek értelmezése. (Pont távolsága a síktól, két egyenes távolsága, hajlásszöge, egyenes és sík hajlásszöge, két sík hajlásszöge.)



Idealizáló absztrakció: pont, egyenes, sík, síkidomok, testek. Vázlat készítése. Szemléletes rajzok készítése. A feladatban szereplő tárgyak elképzelése, vázlatos rajzok készítése, összevetésük az eredetivel, a modell „jóságának” megítélése, A definíciók és tételek pontos ismerete, Informatika: tantárgyi alkalmazása. szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram).

A háromszög nevezetes vonalai, körei. Oldalfelező merőlegesek, belső szögfelezők, magasságvonalak, súlyvonalak, középvonalak tulajdonságai. Körülírt kör, beírt kör. Matematikatörténet: Euleregyenes, Feuerbach-kör bemutatása (interaktív szerkesztőprogrammal, bizonyítás nélkül). Konvex sokszögek általános Fogalmak alkotása specializálással: tulajdonságai. Átlók száma, belső konvex sokszög, szabályos sokszög. szögek összege. Szabályos sokszög belső szöge. Kör és részei, kör és egyenes. Ív, Fogalmak pontos ismerete. húr, körcikk, körszelet. Szelő, érintő.

A körív hossza. Egyenes Együttváltozó mennyiségek arányosság a középponti szög és a összetartozó adatpárjainak vizsgálata. hozzá tartozó körív hossza között (szemlélet alapján).

A körcikk területe. Egyenes Együttváltozó mennyiségek arányosság a középponti szög és a összetartozó adatpárjainak vizsgálata. hozzá tartozó körcikk területe között (szemlélet alapján). A szög mérése. A szög ívmértéke. Mérés, mérési elvek megismerése. Mértékegység-választás, mérőszám.

Vizuális kultúra: építészeti stílusok.

Informatika: adatok szemléltetése kördiagram segítségével. Fizika: körmozgás sebessége, szögsebessége. Földrajz: távolság a Föld két pontja között.

Fizika: szögsebesség, körmozgás, rezgőmozgás. Földrajz: tájékozódás

a földgömbön; hosszúsági és szélességi körök, helymeghatározás. Thalész tétele, és alkalmazásai. A matematika, mint kulturális örökség. Pitagorasz-tétel alkalmazásai. (Koordináta-geometria előkészítése.) Vektorok összege, két vektor különbsége. Vektor szorzása valós számmal

Ismeretek tudatos memorizálása. Állítás és megfordításának gyakorlása. Ismeretek mozgósítása, rendszerezése problémamegoldás érdekében. Állítás és megfordításának gyakorlása. Műveleti analógiák (összeadás, kivonás).

A tengelyes és a középpontos A megmaradó és a változó tükrözés, az eltolás, a pont körüli tulajdonságok tudatosítása. elforgatás. A transzformációk tulajdonságai. A geometriai vektorfogalom.

Egybevágóság, szimmetria.

Az egybevágóság fogalma. Alakzatok egybevágósága. A háromszögek egybevágóságának alapesetei. Szimmetrikus négyszögek. Négyszögek csoportosítása szimmetriáik szerint. Szabályos sokszögek.

Szimmetria felismerése a matematikában, a művészetekben, a környezetünkben található tárgyakban, részvétel szimmetrián alapuló játékokban.

Fogalmak alkotása specializálással.

Fizika: vektor felbontása merőleges összetevőkre. Fizika: erők összege, két erő különbsége, vektormennyiség változása (pl. sebesség-változás). Newton II. törvénye. Fizika: elmozdulásvektor, forgások. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Földrajz: bolygók tengely körüli forgása, keringés a Nap körül. Vizuális kultúra: kifejezés, képzőművészet; művészettörténeti stíluskorszakok. Biológia-egészségtan: az emberi test síkjai, szimmetriája.

Vizuális kultúra: kifejezés, képzőművészet; művészettörténeti

stíluskorszakok. Egyszerű szerkesztési feladatok. Szerkesztési eljárások gyakorlása. Informatika: tantárgyi Szerkesztési terv készítése, ellenőrzés. szimulációs Megosztott figyelem; két, illetve több programok használata szempont egyidejű követése. Pontos, (geometriai esztétikus munkára nevelés. szerkesztőprogram). Vektorok összege, két vektor Műveleti analógiák (összeadás, Fizika: erők összege, különbsége. Vektor szorzása kivonás). két erő különbsége, valós számmal vektormennyiség változása (pl. sebesség-változás). Newton II. törvénye. Tér, sík, egyenes, pont. Sokszög. Háromszög, négyszög, speciális háromszög, Kulcsfogalmak/ speciális négyszög és alaptulajdonságaik. Nevezetes pontok, egyenesek, körök. Belső szög, külső szög, átló. Kerület, terület. Egybevágó. Szimmetria. Vektor, fogalmak vektorművelet. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

Órakeret 5 óra Valószínűségi kísérletek elvégzése, elemzése. Táblázatok, diagramok olvasása. Százalékszámítás. Diagram, vonaldiagram, oszlopdiagram, kördiagram készítése, olvasása. Táblázat értelmezése, készítése. Számítógép használata az adatok rendezésében, értékelésében, ábrázolásában. 5. Valószínűség, statisztika

Ismeretek Statisztikai adatok és ábrázolásuk (gyakoriság, relatív gyakoriság, eloszlás, kördiagram, oszlopdiagram, vonaldiagram).

Fejlesztési követelmények A tanult ismeretek rendezése, gyakorlása feladatokban Adatok jegyzése, rendezése, ábrázolása. Együttváltozó mennyiségek összetartozó adatpárjainak jegyzése. Diagramok, táblázatok olvasása, készítése. Grafikai szervezők összevetése más formátumú dokumentumokkal, következtetések levonása írott, ábrázolt és számszerű információ összekapcsolásával. Számítógép használata.

Adatsokaságok jellemzői: átlag, medián, módusz, terjedelem.

A statisztikai mutatók nyújtotta információk helyes értelmezése.

Kapcsolódási pontok Informatika: adatkezelés, adatfeldolgozás, információmegjelenít és. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: történelmi, társadalmi témák vizuális ábrázolása (táblázat, diagram). Földrajz: időjárási, éghajlati és gazdasági statisztikák. Informatika: statisztikai

Nagy adathalmaz vizsgálata kevés adatelemzés. statisztikai jellemzővel: előnyök és hátrányok. Kulcsfogalmak/ Adat. Diagram, táblázat. Módusz, medián, átlag., terjedelem, Gyakoriság, relatív gyakoriság. fogalmak

A Továbbhaladás feltételei – – – –

Tájékozott a racionális számkörben. Ismeri a részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége fogalmakat. Ismeri és alkalmazza a hatványozás azonosságait. Ismeri számok és kifejezések abszolút értékének fogalmát, alkalmazza a számok normál alakját. – Biztonsággal használja a másodfokú azonosságokat. – Biztonsággal végzi a négy alapművelet egyszerű algebrai kifejezésekkel. – Nagy biztonsággal old meg egyszerű törtes egyenleteket, kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszereket. – Jól alkalmazza a százalékszámítást gyakorlati feladatokban is. – Ismeri a 3-mal és a 9-cel való oszthatóság feltételét. – Képe számok prímtényezőkre való bontására. a – Tájékozott az alapfüggvények (lineáris, másodfokú, abszolút érték, ) x tulajdonságaiban. – Képes képlettel megadott függvényt értéktáblázat segítségével ábrázolni. – Ismeri a speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságait. – Ismeri a háromszög nevezetes vonalainak, a háromszög beírt és körülírt körének fogalmát és tulajdonságait. – Ismeri a körrel kapcsolatos fogalmakat és az érintő tulajdonságait. – Felhasználja az eltolás és a tükrözés tulajdonságait egyszerű feladatokban. – Képes számsokaság számtani közepének kiszámítására. – Ismeri a módusz és a medián fogalmát. – Alapszinten értelmezi a kördiagram, oszlopdiagram adatait 2.5. A 10. évfolyam tanterve

Évi óraszám: 108 óra – heti 3 óra Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás


1. Gondolkodási és megismerési módszerek

Órakeret 12 óra

Gyakorlat szövegek értelmezésében. A matematikai szakkifejezések adott szinthez illeszkedő ismerete. Sorbarendezés, kiválasztás. Permutáció, faktoriális. Kommunikáció, együttműködés. A matematika épülése elveinek bemutatása. A matematikai tételek, állítások szerkezete. Igaz és hamis állítások megkülönböztetése. Gondolkodás; ismeretek rendszerezési képességének fejlesztése. Önfejlesztés, önellenőrzés segítése, absztrakciós képesség,

kombinációs készség fejlesztése. Ismeretek A matematikai tétel kimondása, bizonyítása



Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás megkülönböztetése. Érvelés, vita. Érvek és ellenérvek. Ellenpélda szerepe. Mások gondolataival való vitába szállás és a kulturált vitatkozás. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont (pl. a saját és a vitapartner szempontjának) egyidejű követése. Az „akkor és csak akkor” használata. Feltétel és következmény felismerése a „Ha …, akkor …” típusú állítások esetében. Korábbi, illetve újabb (saját) állítások, tételek jelentésének elemzése.

Magyar nyelv és irodalom: mások érvelésének összefoglalása és figyelembevétele.

Bizonyítás. Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulya-elv) konkrét példákon keresztül.

Gondolatmenet tagolása. Rendszerezés (érvek logikus sorrendje). Következtetés megítélése helyessége szerint. A bizonyítás gondolatmenetére, bizonyítási módszerekre való emlékezés. Kidolgozott bizonyítás gondolatmenetének követése, megértése. Példák a hétköznapokból helyes és helytelenül megfogalmazott következtetésekre.

Etika: a következtetés, érvelés, bizonyítás és cáfolat szabályainak alkalmazása.

Variáció (ismétlés nélküli és ismétléses). Kombináció (ismétlés nélküli). Binomiális együttható jelentése, kiszámítása.

Szöveg matematikai nyelvre fordítása, Technika, életvitel és kombinatorikus modell készítése, gyakorlat: feladatok a kombinatorikus gondolkodás. családban, Esetfelsorolás, érvelés, a szempontok és munkamegosztás a feltételek állandósága, illetve lehetősége a családon változtatása. belül. A problémához leginkább illő megoldási mód kiválasztása. A szakszerű, szabatos indoklás megkövetelése. Feltétel és következmény. Szükséges feltétel, elegendő feltétel. Sejtés, bizonyítás, megcáfolás. Ellentmondás. Binomiális együttható.

Matematikatörténet: Euklidesz szerepe a tudományosság kialakításában. Nevezetes sejtések (pl. ikerprím sejtés); hosszan „élt”, de megoldott sejtések (pl. Fermat-sejtés, négyszínsejtés). Állítás, tétel és megfordítása. Szükséges feltétel, elegendő feltétel. „Akkor és csak akkor” típusú állítások.

Matematikatörténet: Pascal.

Kulcsfogalmak/fogalmak

Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás


Órakeret 38 óra

Egész kitevőjű hatványozás. Számolás algebrai kifejezésekkel. Egyenlet, egyenlet megoldása. Egyenlőtlenség. Egyszerű szöveg alapján egyenlet felírása (modell alkotása), megoldása, ellenőrzése.

Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. Problémakezelés és –megoldás. Algebrai kifejezések biztonságos ismerete, kezelése. Szabályok betartása, tanultak alkalmazása. Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldási módszerei, a megoldási módszer önálló kiválasztási képességének kialakítása. A tematikai egység nevelési- Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell fejlesztési céljai hatókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; ellenőrzés fontossága. A problémához illő számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a tartalomnak megfelelően. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotás adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Számológép használata. Ismeretek



A négyzetgyök definíciója. A négyzetgyök azonosságai.

A négyzetgyök azonosságainak használata konkrét esetekben. Gyökjel alól kihozatal, nevező gyöktelenítése. Számológép használata.

Fizika: fonálinga lengésideje, rezgésidő számítása.

A másodfokú egyenlet megoldása, a megoldóképlet.

Különböző algebrai módszerek alkalmazása ugyanarra a problémára (szorzattá alakítás, teljes négyzetté kiegészítés). Ismeretek tudatos memorizálása (rendezett másodfokú egyenlet és megoldóképlet összekapcsolódása). A megoldóképlet biztos használata.

Fizika: egyenletesen gyorsuló mozgás kinematikája.

Diszkrimináns fogalma, vizsgálata.

Diszkusszió.

Másodfokú egyenletre vezető gyakorlati problémák, szöveges feladatok.

Matematikai modell (másodfokú egyenlet) megalkotása a szöveg alapján. A megoldás ellenőrzése, gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetségese?).

Gyöktényezős alak. Másodfokú

Algebrai ismeretek alkalmazása.

Fizika; kémia: számítási feladatok.

polinom szorzattá alakítása. Gyökök és együtthatók összefüggései.

Önellenőrzés: egyenlet megoldásának ellenőrzése.

Néhány egyszerű magasabb fokú Annak belátása, hogy vannak a egyenlet megoldása. matematikában megoldhatatlan Matematikatörténet: részletek a problémák. harmad- és ötödfokú egyenlet megoldásának történetéből. Egyszerű másodfokú Egyszerű másodfokú egyenlőtlenség egyenlőtlenségek. megoldása. Másodfokú függvény 2 ax  bx  c  0 (vagy > 0) alakra eszközjellegű használata. visszavezethető egyenlőtlenségek ( a  0 ). Másodfokú egyenletrendszer. A behelyettesítő módszer.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.

Egyszerű másodfokú egyenletrendszer megoldása. A behelyettesítő módszerrel is megoldható feladatok. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

Példák adott alaphalmazon Megosztott figyelem; két, illetve több ekvivalens és nem ekvivalens szempont egyidejű követése. egyenletekre, átalakításokra. Halmazok eszközjellegű használata. Alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz. Hamis gyök, gyökvesztés. Egyszerű paraméteres másodfokú egyenletek. Szélsőérték feladatok megoldása teljes négyzetté alakítással Gyakorlati példa minimum és maximum probléma.megoldására.

Szöveges feladatokban előforduló maximum-minimum helyek és értékek megállapításához szükséges eljárás kidolgozása, megértése.

Fizika: mozgások.

Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között.

Geometria és algebra összekapcsolása az azonosság igazolásánál. Gondolatmenet megfordítása.

.

Négyzetgyökös egyenletek megoldása grafikus és algebrai úton. (Egy-két négyzetre emeléssel megoldható egyenletek.)

Az algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása.

Fizika: egyenletesen gyorsuló mozgás.

Adott alaphalmazon ekvivalens és Diszkussziós igény algebrai nem ekvivalens feladatokban. egyenletmegoldási lépések Az ellenőrzés fontosságának

Fizika: minimum- és maximumproblémák

megismerése. Hamis gyök, gyökvesztés vizsgálata.

bemutatása.

Másodfokú egyenletrendszerek. Másodfokú egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok.

Eljárásokra, módszerekre való emlékezés. A korábban megismert eljárások, módszerek panelként való felhasználása.

Fizika: ütközések.

Egyszerű trigonometrikus egyenletek ( k  f c  x   d ) (sin, cos).

Periodikus jelenségek felismerése a mindennapokban.

Fizika: harmonikus rezgőmozgás.

Kulcsfogalmak/ Másodfokú egyenlet, diszkrimináns. Gyöktényezős alak. Egyenletrendszer. Egyenlőtlenség. Számtani közép, mértani közép. Szélsőérték. fogalmak



3. Összefüggések, függvények, sorozatok

Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben. A tanult függvények ábrázolása, jellemzése. Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvénymodell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. Függvénytranszformációk algebrai és geometriai megjelenítése.

Ismeretek Fejlesztési követelmények Függvények alkalmazása Függvénytulajdonságok tudatos másodfokú és gyökös egyenletek, alkalmazása egyenlőtlenségek megoldására; másodfokú függvényre vezető szélsőérték-feladatok A trigonometrikus alapfüggvények (sinx, cosx) ábrázolása, jellemzése. függvény transzformáció Kulcsfogalmak/ fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

Órakeret 9 óra


Időtől függő periodikus jelenségek megfigyelése.

Fizika: a harmonikus rezgőmozgás, a hullámmozgás, váltakozó áram és feszültség leírása. Grafikus megoldás. sinx, cosx függvény

4. Geometria

Órakeret 33 óra

Térelemek, illeszkedés. Sokszögek, háromszögek alaptulajdonságai,

négyszögek csoportosítása; speciális háromszögek és négyszögek elnevezése, felismerése, alaptulajdonságaik. Alapszerkesztések, háromszög szerkesztése alapadatokból. Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. Háromszögek egybevágósága. Kör és gömb, hasábok, hengerek és gúlák felismerése, alaptulajdonságaik. A Pitagorasz-tétel ismerete. Tájékozódás a térben. Számítások síkban és térben. A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése. Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján. Összetett számítási probléma lebontása, számítási terv A tematikai készítése (megfelelő részlet kiválasztása, a részletszámítások logikus sorrendbe egység nevelésiillesztése). Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a fejlesztési céljai modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. A valóságos tárgyak formájának és a tanult formáknak az összevetése, gyakorlati számítások (henger, hasáb, kúp, gúla, gömb). Korábbi ismeretek mozgósítása. Számológép, számítógép használata. Ismeretek


Kapcsolódási pontok Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram). Vizuális kultúra: építészet.

A körrel kapcsolatos ismeretek bővítése: kerületi és középponti szög fogalma, kerületi szögek tétele; Látószög; látószögkörív mint speciális ponthalmaz (Thalész tételének általánosítása). Húrnégyszögek és érintőnégyszögek definíciója, tételei..

Korábbi ismeretek felelevenítése, új ismeretek beillesztése a korábbi ismeretek rendszerébe.

Középpontos hasonlóság, hasonlóság. Arányos osztás. A hasonlósági transzformáció. Transzformációk szorzatának szerkesztése.

A megmaradó és a változó tulajdonságok tudatosítása.

Hasonló alakzatok.

A megmaradó és a változó tulajdonságok tudatosítása: a megfelelő szakaszok hosszának aránya állandó, a megfelelő szögek egyenlők, a kerület, a terület, a felszín és a térfogat változik.

A háromszögek hasonlóságának alapesetei.

Szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. Ismeretek tudatos memorizálása.

A hasonlóság alkalmazásai. Háromszög súlyvonalai,

Új ismeretek matematikai alkalmazása. Fizika: súlypont, tömegközéppont.

Négyszögek osztályozása, különbözőségek, azonosságok tudatosítása. Szükséges és elégséges feltételek felismerése.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram).

súlypontja, hasonló síkidomok kerületének, területének aránya.

Vizuális kultúra: összetett arányviszonyok érzékeltetése, formarend, az aranymetszés megjelenése a természetben, alkalmazása a művészetekben.

Magasságtétel, befogótétel a derékszögű háromszögben. Két pozitív szám mértani közepe.

Ismeretek tudatos memorizálása, alkalmazása szakaszok hosszának számolásánál, szakaszok szerkesztésénél.

A hasonlóság gyakorlati alkalmazásai. Távolság, szög, terület a tervrajzon, térképen.

Modellek alkotása a matematikán belül; Földrajz: matematikán kívüli problémák térképkészítés, modellezése: geometriai modell. térképolvasás.

Hasonló testek felszínének, térfogatának aránya.

Annak tudatosítása, hogy nem egyformán változik egy test felszíne és térfogata, ha kicsinyítjük vagy nagyítjuk.

Biológia-egészségtan: példák arra, amikor adott térfogathoz nagy felület (pl. fák levelei) tartozik.

Vektorok a koordinátarendszerben. Bázisvektorok, vektorkoordináták.

Elnevezések, jelek és egyéb megállapodások megjegyzése. Emlékezés definíciókra.

Fizika: helymeghatározás, erővektor felbontása összetevőkre.

Szög szinusza, koszinusza, tangense és kotangense Egységkör.Nevezetes hegyesszögek szögfüggvényértékeinek kiszámítása. Forgásszögek szögfüggvényeinek értelmezése és egyszerű alkalmazásai. Szögfüggvények közötti összefüggések. (Pitagoraszi összefüggés egy szög szinusza és koszinusza között. Összefüggés a szög és a mellékszöge szinusza, illetve koszinusza között. A tangens kifejezése a szinusz és a koszinusz hányadosaként.) A Pitagorasz-tétel és a hegyesszög szögfüggvényeinek

Régebbi ismeretek mozgósítása, felhasználása új helyzetben. Időtől függő periodikus jelenségek. Permanencia-elv.

Fizika: a harmonikus rezgőmozgás, a hullámmozgás leírása.

A valós problémák matematikai

Fizika: erővektor

alkalmazása a derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására. Emelkedési szög, depressziószög. Távolságok és szögek számítása gyakorlati feladatokban, síkban és térben.

(geometriai) modelljének megalkotása, felbontása derékszögű a problémák önálló megoldása. A összetevőkre. trigonometrikus azonosságok megértése, használata.

A háromszög területének többféle kiszámítása (oldal és hozzá tartozó magasság, két oldal és a közbezárt szög, három oldal, beírható kör sugara és a félkerület segítségével).

A mennyiség és a mérőszám kapcsolatának megértése, alkalmazása. Az újabb esetekre való alkalmazhatóság felismerése.

Függvénytáblázat alkalmazása feladatok megoldásában. Fizika: grafikonok alatti terület a lendületváltozás, a végzett munka kiszámításakor.

Kerületi szög, középponti szög, látószög. Húrnégyszög. Hasonló. Arány. Kulcsfogalmak/ Vektor, vektorművelet, vektorkoordináták. Szinusz, koszinusz, tangens, fogalmak kotangens. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

5. Valószínűség, statisztika

Órakeret 6 óra

Valószínűségi kísérletek elvégzése, elemzése. Táblázatok, diagramok olvasása. Összeszámlálási alapfeladatok. Százalékszámítás. A valószínűség fogalmának mélyítése: ismeretek rendszerezése, tapasztalatszerzés újabb kísérletekkel, a kísérletek kiértékelése (relatív gyakoriság, eloszlás), következtetések. Táblázat értelmezése, készítése. Számítógép használata az adatok rendezésében, értékelésében, ábrázolásában.

Ismeretek


Valószínűségi kísérletek, az adatok rendszerezése, a valószínűség becslése.

A rendelkezésre álló adatok alapján jóslás a bekövetkezés esélyére.

Eseményekkel végzett műveletek. Példák események összegére, szorzatára, komplementer eseményre, egymást kizáró eseményekre.

A matematika különböző területei közötti kapcsolatok tudatosítása. Halmazműveletek és események közötti műveletek összekapcsolása.


Elemi események. Események előállítása elemi események összegeként. Példák független és nem független eseményekre. Véletlen esemény és

A véletlen esemény szimmetria alapján, Biológia-egészségtan:

bekövetkezésének esélye, valószínűsége. A valószínűség matematikai definíciójának bemutatása példákon keresztül.

logikai úton vagy kísérleti úton megadható, megbecsülhető esélye, valószínűsége. Kísérletek, játékok csoportban.

öröklés, mutáció.

A relatív gyakoriság és a valószínűség kapcsolata.

A véletlen kísérletekből számított relatív gyakoriság és a valószínűség kapcsolata.

Biológia-egészségtan: genetikában az egymástól függő vagy független tulajdonságok öröklődése

A valószínűség szemléletes fogalma, kiszámítása. Klasszikus valószínűségi mező.

Két állítás megítélése abból a szempontból, hogy függetlenek-e.

.

A valószínűség klasszikus modelljének előkészítése egyszerű példákon keresztül.

A modell és a valóság kapcsolata.

Véletlen (valószínűségi) kísérlet. Véletlen esemény, elemi esemény, biztos Kulcsfogalmak/ esemény, lehetetlen esemény, komplementer esemény. Gyakoriság, relatív fogalmak gyakoriság, esély, valószínűség. Továbbhaladás feltételei – – – – – – – – – – – – – –

Különbséget tesz kimondott és bebizonyított összefüggések között. Meg tud oldani egyszerű sorbarendezési és kiválasztási feladatokat konkrét elemszám esetén. Tájékozott a valós számok halmazának felépítésében Biztonsággal alkalmazza a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Ismeri két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalmát. Gyakorlata van másodfokú egyenletre vezető egyszerű szöveges feladatok megoldásában. Alapszinten képes egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldására és a megoldások ellenőrzésére. Pontosan tudja a szögfüggvények definícióját. Érti a hasonlóság szemléletes tartalmát. Felismeri a hasonlóság lehetőségét egyszerű gyakorlati feladatokban. Ismeri a háromszög hasonlósági alapeseteit ismerete, és alkalmazza egyszerű esetekben. Ismeri a háromszög súlyvonalának és súlypontjának fogalmát. Ki tudja számolni hasonló síkidomok területének, hasonló testek térfogatának arányát. Jól alkalmazza a Gyakoriság, relatív gyakoriság, esély, valószínűség fogalmát feladatokban.


Gondolkodási és megismerési módszerek – Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése; bizonyítás gondolatmenetének követése. – Bizonyítási módszerek ismerete, a logikai szita és skatulyaelv alkalmazása feladatmegoldás során. – Kiválasztási és sorbarendezési feladatok megoldása szisztematikus összeszámlálással. A megoldás gondolatmenetének rögzítése írásban – A gráfokról tanult ismereteiket alkalmazása gondolatmenet szemléltetésére, probléma megoldására.

–

Értsék és jól használják a matematika logikában megtanult szakkifejezéseket a hétköznapi életben. Számelmélet, algebra – Biztos műveletvégzés a racionális számkörben. – A gyökvonás fogalmának ismerete, a gyökvonás azonosságainak használata átalakítások során. – Polinom fogalmának ismerete. Algebrai törtkifejezések átalakítása, négyzetgyökös kifejezések értelmezési tartományának meghatározása. – Egyismeretlenes törtes egyenletek, másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldási módszereinek ismerete, alkalmazása. Szöveges és gyakorlati feladatokban a helyes modell megtalálása, a felírt egyenlet, egyenletrendszer megoldása, és a kapott megoldás ellenőrzése. – A másodfokú egyenlet diszkriminánsának vizsgálata. A gyökök és együtthatók közötti összefüggés, a gyöktényezős alak alkalmazása. – Egyszerűsítő eljárások alkalmazása speciális magasabbfokú egyenletek megoldásánál (új ismeretlen bevezetése, szorzattá alakítás). – Másodfokúra vezető szélsőérték-problémák megoldása teljes négyzetté alakítással. – Egy-két négyzetre emeléssel megoldható négyzetgyökös egyenletek megoldása. Az ekvivalens egyenletmegoldási lépés felismerése. A hamis gyök felismerése, a gyökvesztés lehetőségének kizárása. – A grafikus egyenletmegoldási módszer ismerete, és alkalmazása. – Egyszerű trigonometrikus egyenletek [ k  f c  x   d ] megoldása. A megoldások számának vizsgálata. – Az időszak végére elvárható a valós számkör biztos ismerete, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazása – A tanulók képesek a matematikai szöveg értő olvasására, tankönyvek, keresőprogramok célirányos használatára, szövegekből a lényeg kiemelésére Függvények – A függvényfogalom mélyülése új ismeretek során. Új függvényjellemzők ismerete. – A négyzetgyök függvény, trigonometrikus alapfüggvények ( x  sin x; x  cos x; x  tg x ) ábrázolása, jellemzése. Többlépéses függvénytranszformációk elvégzése: f ( x)  c; f ( x  c); c  f ( x); f ( x) ; f (c  x) . – Mindennapjainkhoz, más tantárgyakhoz kapcsolódó folyamatok elemzése a megfelelő függvény grafikonja alapján. – A tanulók tudják az elemi függvényeket ábrázolni koordináta-rendszerben, és a legfontosabb függvénytulajdonságokat meghatározni, nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, és különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. Geometria – Térelemek ismerete, távolság és szög fogalma, mérése. – A kör és részeinek ismerete. – Körrel kapcsolatos tételek alkalmazása (kerületi és középponti szögek tétele, húrnégyszögek és érintőnégyszögek tételei). – A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete. A hasonlósági transzformáció ismerete. A háromszög hasonlósági alapeseteinek ismerete, alkalmazása egyszerű esetekben. A háromszög súlyvonalai, súlypontja. A háromszögekre vonatkozó arányossági tételek alkalmazása. Hasonló síkidomok területének aránya. – Bázisvektorok, bázisrendszer fogalmának ismerete a vektor-koordináták megadásánál. –

Vektor hosszának kiszámítása. Hegyesszögek, forgásszögek szögfüggvényeinek értelmezése, számolás szögfüggvényekkel háromszögben. A szögfüggvények ismeretének felhasználása gyakorlati problémák megoldásánál. Szögfüggvények közötti összefüggések ismerete. – Kerület, terület, felszín és térfogat szemléletes fogalmának kialakítása, a jellemzők kiszámítása képlet alapján: a háromszög területének többféle kiszámítási módjának alkalmazása, sokszögek területe. – A geometriai ismeretek bővülésével, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása után fejlődött a tanulók dinamikus geometriai szemlélete, diszkussziós képessége. – A háromszögekről tanult ismeretek bővülésével a tanulók képesek számítási feladatokat elvégezni, és ezeket gyakorlati problémák megoldásánál alkalmazni. – A szerkesztési feladatok során törekednek az igényes, pontos munkavégzésre. Valószínűség, statisztika – Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának meghatározása. – Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése; adathalmaz móduszának, mediánjának, átlagának értelmezése, meghatározása. – Véletlen esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, véletlen kísérlet, esély/valószínűség fogalmak ismerete, használata. A műveletek elvégzése az eseménytérben. – Nagyszámú véletlen kísérlet kiértékelése, az előzetesen „jósolt” esélyek és a relatív gyakoriságok összevetése. – A valószínűség klasszikus modelljének alkalmazása. – A valószínűség-számítási, statisztikai feladatok megoldása során a diákok rendszerező képessége fejlődjön. A tanulók képesek legyenek adatsokaságot jellemezni, ábrákról adatsokaság jellemzőit leolvasni, – – A szisztematikus esetszámlálással egy adott esemény bekövetkezésének esélyét tudják meghatározni. –


Évi óraszám: 108 óra – heti 3óra Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás



Órakeret 10 óra

Sorbarendezési, leszámlálási problémák megoldása. Gráffal kapcsolatos alapfogalmak. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Mintavétel céljának, értelmének megértése. Gráfokkal kapcsolatos ismeretek alkalmazása, bővítése, konkrét példák alapján gráfokkal kapcsolatos állítások megfogalmazása. A modellhasználati, modellalkotási képesség fejlesztése. Szövegértés, szövegalkotás fejlesztése: állítások megfogalmazása, tagadása, megfordítása.

Ismeretek Vegyes kombinatorikai feladatok, kiválasztási feladatok. A kombinatorika alkalmazása egyszerű geometriai feladatokban. Mintavétel visszatevés nélkül és visszatevéssel. Binomiális együtthatók. Matematikatörténet: Erdős Pál.

Fejlesztési követelmények Modell alkotása valós problémához: kombinatorikai modell. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

Kapcsolódási pontok Földrajz: előrejelzések, tendenciák megfogalmazása Biológia-egészségtan: genetika

Gráfelméleti alapfogalmak, Modell alkotása valós problémához: alkalmazásuk. Fokszám összeg és gráfmodell. Megfelelő, a problémát jól az élek száma közötti tükröző ábra készítése. összefüggés. n pontú fagráf éleinek száma Matematikatörténet: Euler. Mintavétel visszatevéssel, visszatevés nélkül. Kulcsfogalmak/ A tanult gráfelméleti fogalmak: pont, él, út, vonal, kör, egyszerű gráf, teljes gráf, összefüggő gráf, fagráf . Fokszámösszeg és az élek száma közötti fogalmak összefüggés. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás



Órakeret 29 óra

Hatvány fogalma egész kitevőre, hatványozás azonosságai. Négyzetgyök fogalma, azonosságai. Egyenlet, egyenlőtlenség megoldása. Ekvivalens egyenlet fogalma. Ívmérték. Egységkör, forgásszögek szögfüggvényei. Trigonometrikus függvények. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: valós problémák megoldása megfelelő modell választásával. A matematika alkalmazása más tudományokban. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. 6 A matematika épülésének elvei: létező fogalom újraértelmezése, kiterjesztése, a permanencia-elv felhasználása . Függvénytulajdonság alkalmazása egyenlet megoldásánál (pl. szigorú monotonitás).

Ismeretek


n-edik gyök fogalma, azonosságai. A matematika belső fejlődésének A négyzetgyök fogalmának felismerése, új fogalmak alkotása. általánosítása. Hatványozás pozitív alap és racionális kitevő esetén.

Fogalmak módosítása újabb tapasztalatok, ismeretek alapján. A


hatványfogalom célszerű kiterjesztése, permanenciaelv alkalmazása. A racionális kitevőjű hatvány és az Ismeretek mozgósítása. n-edik gyök kapcsolata. Régi és új ismeretek összekapcsolása. Hatványozás azonosságainak alkalmazása. Példák az azonosságok érvényben maradására.

Ismeretek tudatos memorizálása. Ismeretek mozgósítása.

Technika, életvitel és gyakorlat: kamatszámítás, hitelfelvétel, törlesztőrészletszámítás.

A definíciók és a hatványozás azonosságainak közvetlen alkalmazásával megoldható exponenciális egyenletek.

Modellek alkotása (algebrai modell): exponenciális egyenletre vezető valós problémák (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, népesség alakulása, radioaktivitás).

Fizika; kémia: radioaktivitás. Földrajz; biológiaegészségtan: globális problémák – demográfiai mutatók, a Föld eltartó képessége és az élelmezési válság, betegségek, világjárványok, túltermelés és túlfogyasztás.

A logaritmus értelmezése.

Korábbi ismeretek felidézése (hatvány Technika, életvitel és fogalma). gyakorlat: Ismeretek tudatos memorizálása. zajszennyezés. Kémia: pH-számítás. Fizika: Keplertörvények.

Matematikatörténet: a logaritmus fogalmának kialakulása, változása.

Zsebszámológép használata, táblázat használata.

Annak felismerése, hogy a technika fejlődésének alapja a matematikai tudás.

A logaritmus azonosságai.

A hatványozás és a logaritmus kapcsolatának felismerése.

A definíciók és a logaritmus azonosságainak közvetlen alkalmazásával megoldható logaritmusos egyenletek.

Modellek alkotása (algebrai modell): logaritmus alkalmazásával megoldható egyszerű exponenciális egyenletek; ilyen egyenletre vezető valós problémák (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, népesség alakulása, radioaktivitás).


Életvitel és gyakorlat: zajszennyezés. Kémia: pH-számítás. Biológia-egészségtan: érzékelés, az inger és

az érzet. Trigonometrikus egyenletre vezető háromszöggel kapcsolatos valós problémák. A tanult azonosságok alkalmazását igénylő trigonometrikus egyenlet.

Egységkör, illetve trigonometrikus függvény grafikonjának felhasználása az egyenlet megoldásához. Az egyenletek megoldásának megadása a valós számkörben. Az összes megoldás megkeresése. Időtől függő periodikus jelenségek vizsgálata.

Fizika: rezgőmozgás, adott kitéréshez, sebességhez, gyorsuláshoz tartozó időpillanatok meghatározása.

Kulcsfogalmak/ n-edik gyök. Racionális kitevőjű hatvány. Exponenciális növekedés, csökkenés. Logaritmus. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás


Órakeret 15 óra

Függvénytani alapfogalmak. Hatványozás azonosságai. Négyzetgyök. Függvény megadása, tulajdonságai. Hegyesszög szögfüggvényeinek értelmezése.

A folyamatok elemzése a függvényelemzés módszerével. Tájékozódás az A tematikai egység időben: lineáris folyamat, exponenciális folyamat. A matematika és a nevelési-fejlesztési valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően. céljai Ismerethordozók használata. Ismeretek


A trigonometrikus függvények és Időtől függő periodikus transzformációi: f (x )  c , f (x  c) ; jelenségek kezelése. cf (x ) ; f (cx ) .

Tudatos megfigyelés a változó szempontok és feltételek szerint.

Az exponenciális függvények.

Permanenciaelv alkalmazása.

Exponenciális folyamatok a Modellek alkotása (függvény természetben és a társadalomban. modell): a lineáris és az exponenciális növekedés/csökkenés matematikai modelljének összevetése konkrét, valós problémákban (például: népesség,

Kapcsolódási pontok Fizika: periodikus mozgás, hullámmozgás, váltakozó feszültség és áram. Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.

Fizika; kémia: radioaktivitás. Földrajz: a társadalmigazdasági tér szerveződése és folyamatai. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek;

energiafelhasználás, járványok stb.).

földrajz: globális kérdések: - erőforrások kimerülése, fenntarthatóság, demográfiai robbanás a harmadik világban, népességcsökkenés az öregedő Európában.

A logaritmusfüggvények vizsgálata. Logaritmus alapfüggvények grafikonja, jellemzésük. A logaritmusfüggvény mint az exponenciális függvény inverze. Függvénynek és inverzének a grafikonja a koordinátarendszerben.

Fizika; kémia: radioaktivitás.

Kulcsfogalmak/ Szinuszfüggvény, koszinuszfüggvény, tangensfüggvény. Exponenciális függvény, logaritmusfüggvény. Exponenciális folyamat. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél

4. Geometria

Órakeret 32 óra

Előzetes tudás

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hegyesszögek szögfüggvényei. Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú és másodfokú egyenlet, kétismeretlenes egyenletrendszer algebrai megoldása. Alapszerkesztések, egyszerű szerkesztési feladatok körrel, háromszöggel kapcsolatosan. Vektorok, vektorműveletek. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata.


Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: távolságok, szögek kiszámítása a szögfüggvények segítségével. A matematika két területének (geometria és algebra) összekapcsolása: koordináta-geometria. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése, alkalmazása.

Ismeretek



Szinusztétel, koszinusztétel.

Általános eset, különleges eset viszonya (a derékszögű háromszög és a két tétel).

Fizika: vektor felbontása adott állású összetevőkre. Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS.

Két vektor skaláris szorzata. A

A művelet újszerűségének

Fizika: mechanikai munka,

skaláris szorzat tulajdonságai. felfedezése. Két vektor merőlegességének A szükséges és az elégséges szükséges és elégséges feltétele. feltétel felismerése, megkülönböztetése.

mágneses fluxus.

Helyvektor. Emlékezés: jelek, jelölések, Matematikatörténet: megállapodások. a vektor fogalmának fejlődése a fizikai vektorfogalomtól a rendezett szám n-esig.

Fizika: vonatkoztatási rendszer, hely megadása.

Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal. Vektorok és rendezett számpárok közötti megfeleltetés.

A vektor fogalmának bővítése (algebrai vektorfogalom). Sík és tér: a dimenzió szemléletes fogalmának fejlesztése.

Fizika: erők összeadása komponensek segítségével, háromdimenziós képalkotás (hologram).

A helyvektor koordinátái. Szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjának, a háromszög súlypontjának koordinátái.

Képletek értelmezése, alkalmazása.

Fizika: hely megadása.

Két pont távolsága, a szakasz hossza.


A kör egyenlete.

Geometria és algebra összekapcsolása.

Az egyenes különböző megadási módjai. Az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens.

Megosztott figyelem; két, illetve Informatika: ponthalmaz több szempont egyidejű megjelenítése képernyőn követése. (geometriai szerkesztőprogram).

Iránytangens és az egyenes meredeksége.

Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram).

Fizika: út-idő grafikon és a sebesség kapcsolata.

A merőlegesség megfogalmazása skaláris szorzattal.

Geometriai ismeretek felelevenítése, megfogalmazása algebrai alakban.

Az egyenes egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele.

Az egyenest jellemző adatok, a közöttük felfedezhető összefüggések értése, használata.

Két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös

Geometriai probléma megoldása Informatika: ponthalmaz algebrai eszközökkel. Ismeretek megjelenítése képernyőn


helyzete.

mozgósítása, alkalmazása (elsőfokú, illetve másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása).

(geometriai szerkesztőprogram).

A kör adott pontjában húzott érintője.

A geometriai fogalmak megjelenítése algebrai formában. Geometriai ismeretek mozgósítása.


A koordinátageometriai ismeretek alkalmazása egyszerű síkgeometriai feladatok megoldásában.

Geometriai problémák megoldása algebrai eszközökkel. Geometriai problémák számítógépes megjelenítése.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram használata). Fizika: égitestek pályája.

Kulcsfogalmak/ Valós szám szinusza, koszinusza, tangense. Bázisrendszer, helyvektor. Skaláris szorzat. Ponthalmaz egyenlete; kétismeretlenes egyenletnek megfelelő fogalmak ponthalmaz. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás


Órakeret 12 óra

A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A véletlen esemény fogalma, a véletlen kísérlet fogalma. Elemi esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, komplementer esemény. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Esély és valószínűség hétköznapi fogalma. Kombinatorikai ismeretek.

Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Műveletek az események A tematikai egység között. Matematikai elvonatkoztatás: a valószínűség matematikai nevelési-fejlesztési fogalmának fejlesztése. Véletlen mintavétel módszerei jelentőségének céljai megértése. Ismeretek Ismétlés, rendszerezés: eseményekkel végzett műveletek; példák események összegére, szorzatára, komplementer eseményre, egymást kizáró eseményekre; elemi események. Események előállítása elemi események összegeként.



A matematika különböző területei Informatika: folyamatok, közötti kapcsolatok tudatosítása. kapcsolatok leírása logikai Halmazműveletek és események áramkörökkel. közötti műveletek összekapcsolása.

Példák független és nem független eseményekre. A valószínűség klasszikus modellje. Matematikatörténet: Rényi: Levelek a valószínűségről.


Egyszerű valószínűség-számítási Ismeretek mozgósítása, tanult problémák. kombinatorikai módszerek alkalmazása.

Fizika: az űrkutatás hatása mindennapjainkra, a találkozás valószínűsége.

Statisztikai mintavétel. Valószínűségek visszatevéses mintavétel esetén, a binomiális eloszlás. Visszatevés nélküli mintavétel.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (binomiális eloszlás).

Modell alkotása (valószínűségi modell): a mintavételi eljárás lényege.

Kulcsfogalmak/ Valószínűség matematikai fogalma. Klasszikus valószínűség-számítási modell. fogalmak Továbbhaladás feltételei – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Képes egyszerű kombinatorikai feladatok megoldására. Ismeri a gráf szemléletes fogalmát, képes egyszerű alkalmazásokra. Biztonsággal alkalmazza a hatványozás azonosságait egész kitevő esetén. Ismeri a logaritmus fogalmát, jól alkalmazza az azonosságokat egyszerűbb esetekben. Képes megoldani egyszerű exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenleteket. Tájékozott az alapfüggvények grafikonjait és legfontosabb tulajdonságait (értelmezésitartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték) illetően. Ismeri és alkalmazza a vektorműveleteket (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás). Alkalmazza a szinusztételt és a koszinusztételt a háromszög hiányzó adatainak meghatározására. Képes vektorok koordinátáival számolni. Ki tudja számolni szakasz felezőpontjának koordinátáit. Fel tudja írni a kör középponti egyenletét. Ismeri és alkalmazza az egyenes (egy szabadon választott) egyenletét. Meg tudja határozni két egyenes metszéspontjának koordinátáit. Tudja vizsgálni kör és egyenes kölcsönös helyzetét. Képes valószínűségi feladatok megoldására. Ismeri és megfelelően alkalmazza a binomiális elosztást. Ismeri s mértani és számtani sorozat és a mértani sor tulajdonságait. Ismeri a sorozatokkal kapcsolatos jellemző fogalmakat.


Évi óraszám: 128 óra – heti 4 óra Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai


Órakeret 12 óra

Az „és”, „vagy”, „nem”, „ha ..., akkor”, „akkor és csak akkor” szemléletes jelentése. A logikai műveletek megfelelő használata a hétköznapi életben és a matematikában.

Ismeretek Kijelentés fogalma, műveletek kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, negáció, implikáció, ekvivalencia. Logikai műveletek igazságtáblázatai, egyszerű azonosságok.



Az ismeretek rendszerezése: a Fizika: logikai matematika különböző területei közötti áramkörök, kapcsolási kapcsolatok tudatosítása (halmazok – rajzok kijelentések Jelek szerepe, alkotása, használata: célszerű jelölés megválasztásának jelentősége a matematikában.– események).

A logikai műveletek változatos alkalmazásai feladatokban. Kulcsfogalmak/ Logikai művelet. Igazságtáblázat. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás


Hatványozás azonosságai. Logaritmus. Egyenlet, egyenletrendszer megoldási módszerek (elsőfokú, másodfokú, exponenciális és logaritmikus)


Lásd a sorozatoknál és a rendszerező összefoglalásnál



Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

Órakeret 0 óra

Órakeret 20 óra

Függvénytani alapfogalmak. Sorozat vizsgálata; rekurzió, képletek értelmezése. A matematika és a valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. Ismerethordozók használata. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően.

Ismeretek



A számsorozat fogalma. A függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Matematikatörténet: Fibonacci.

Sorozat megadása rekurzióval és képlettel.

Számtani sorozat, az n. tag, az első n tag összege. Matematikatörténet: Gauss.

A sorozat felismerése, a megfelelő képletek használata problémamegoldás során.

Mértani sorozat, az n. tag, az első n tag összege.

A sorozat felismerése, a megfelelő képletek használata problémamegoldás során. A számtani sorozat, mint lineáris függvény és a mértani sorozat , mint exponenciális függvény összehasonlítása.

Fizika; kémia, biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: exponenciális folyamatok vizsgálata.

Kamatoskamat-számítás.

Modellek alkotása: befektetés és hitel; különböző feltételekkel meghirdetett befektetések és hitelek vizsgálata; a hitel költségei, a törlesztés módjai. Az egyéni döntés felelőssége: az eladósodás veszélye. Korábbi ismeretek mozgósítása (pl. százalékszámítás). A szövegbe többszörösen mélyen beágyazott, közvetett módon megfogalmazott információk és kategóriák azonosítása.

Földrajz: a világgazdaság szerveződése és működése, a pénztőke működése, a monetáris világ jellemző folyamatai, hitelezés, adósság, eladósodás. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: a család pénzügyei és gazdálkodása, vállalkozások. Magyar nyelv és irodalom: szövegértés.

Informatika: problémamegoldás informatikai eszközökkel és módszerekkel: algoritmusok megfogalmazása, tervezése.

Kulcsfogalmak/ Számsorozat. Rekurzió. Számtani sorozat, mértani sorozat. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás

4. Geometria

Órakeret 34 óra

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép)

használata. A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

Terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása.


Ismeretek


Síkidomok kerületének és területének számítása. Mértani testek csoportosítása. Hengerszerű testek (hasábok és hengerek) Kúpszerű testek (gúlák és kúpok) Csonka testek (csonka gúla, csonka kúp). Gömb.

Ismeretek alkalmazása.

Földrajz: felszínszámítás.

A problémához illeszkedő vázlatos ábra alkotása; síkmetszet elképzelése, ábrázolása. Fogalomalkotás közös tulajdonság szerint (hengerszerű, kúpszerű testek, poliéderek).

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (térgeometriai szimulációs program).

A tanult testek felszínének, térfogatának kiszámítása. Gyakorlati feladatok. Matematikatörténet: Arkhimédész, Cavalieri

A valós problémákhoz modell alkotása: geometriai modell. Ismeretek megfelelő csoportosítása.

Technika, életvitel és gyakorlat: térfogat- és felszínszámítás.

Hasonló testek felszínének és térfogatának aránya. Középpontosan hasonló testek.

A hasonlósági transzformációk felelevenítése. Annak tudatosítása, hogy nem egyformán változik egy test felszíne és térfogata, ha kicsinyítjük vagy nagyítjuk.


Kémia: kristályok.

Kulcsfogalmak/ Terület, felszín, térfogat. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás


Órakeret 10 óra

A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A valószínűség klasszikus modellje.

A tematikai egység Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Statisztikai mérőszámok. nevelési-fejlesztési Következtetések a statisztikai mutatók alapján. A valószínűség geometriai modellje. céljai

Ismeretek



Egyszerű példák a valószínűség kiszámításának geometriai modelljére.

Modellalkotás; megfelelő valószínűségi modell hétköznapi problémákra, jelenségekre. A statisztikai kimutatások és a valóság: az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése. Közvélemény-kutatás, minőség-ellenőrzés, egyéb gyakorlati alkalmazások elemzése. Számológép/számítógép használata statisztikai mutatók kiszámítására.

Adathalmazok jellemzői: középértékek (átlag, medián, módusz), szóródási mutatók (terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás). Nagy adathalmazok jellemzése statisztikai mutatókkal, osztályba sorolás manipulációs lehetőségek Statisztikai mintavétel, reprezentatív mintavétel.

Matematikai módszerek és eszközök megismerésének igénye.

Földrajz: statisztikai évkönyv. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: választások.

Kulcsfogalmak/ fogalmak

Reprezentatív mintavétel. Szórás.


Rendszerező összefoglalás

Órakeret 52 óra

A középiskolai matematika anyaga.

A matematika épülésének elvei: ismeretek rendszerezése, alkalmazása. A tematikai egység Motiválás. Emlékezés. Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás. nevelési-fejlesztési Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. céljai Hatékony, önálló tanulás kompetenciájának fejlesztése. Fejlesztési követelmények

Ismeretek


Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazok. Ponthalmazok és számhalmazok. Valós számok halmaza és részhalmazai.

A problémának megfelelő szemléltetés kiválasztása (Venn-diagram, számegyenes, koordináta-rendszer).

Állítások logikai értéke. Logikai műveletek.

Szövegértés. A szövegben található információk összegyűjtése, rendszerezése.

Filozófia: logika - a következetes és rendezett

gondolkodás elmélete, a logika kapcsolódása a matematikához és a nyelvészethez. Informatika: Egy bizonyos, nemrég történt esemény információinak begyűjtése több párhuzamos forrásból, ezek összehasonlítása, elemzése, az igazságtartalom keresése, a manipulált információ felfedése. Navigációs eszközök használata: hierarchizált és legördülő menük használata. A halmazelméleti és a logikai ismeretek kapcsolata.

Halmazok eszközjellegű használata.

Definíció és tétel. A tétel Emlékezés a tanult definíciókra és bizonyítása. A tétel megfordítása. tételekre, alkalmazásuk önálló problémamegoldás során. Bizonyítási módszerek.

Direkt és indirekt bizonyítás közötti Filozófia: különbség megértése. Néhány tipikusan szillogizmusok. hibás következtetés bemutatása, elemzése.

Kombinatorika: leszámlálási feladatok. Egyszerű feladatok megoldása gráfokkal.

Sorbarendezési és kiválasztási problémák felismerése. Gondolatmenet szemléltetése gráffal.

Műveletek értelmezése és Absztrakt fogalom és annak konkrét műveleti tulajdonságok. (valós megjelenései: számok halmazán értelmezett műveletek, halmazműveletek, logikai műveletek, műveletek vektorokkal, műveletek vektorral és valós számmal, műveletek eseményekkel.)

Számtan, algebra Gyakorlati számítások.

Kerekítés, közelítő érték, becslés. Számológép használata, értelmes kerekítés.

Számelméleti ismeretek, számrendszerek.

Feladatmegoldó rutin továbbfejlesztése.

Algebrai azonosságok, hatványozás azonosságai, logaritmus azonosságai, trigonometrikus azonosságok.

Az azonosságok szerepének ismerete, használatuk. Matematikai fogalmak fejlődésének bemutatása pl. a hatvány, illetve a szögfüggvények példáján.

Egyenletek és egyenlőtlenségek.

Megoldások az alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz megfelelő kezelésével. Feladatmegoldó rutin továbbfejlesztése

Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Algebrai megoldás, grafikus megoldás. Ekvivalens egyenletek, ekvivalens átalakítások. A megoldások ellenőrzése.

Adott egyenlethez illő megoldási módszer önálló kiválasztása. Az önellenőrzésre való képesség. Önfegyelem fejlesztése: sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás.

Első- és másodfokú egyenlet és egyenlőtlenség. Négyzetgyökös egyenletek. Abszolút értéket tartalmazó egyenletek. Egyszerű exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek.

Tanult egyenlettípusok és egyenlőtlenségtípusok önálló megoldása.

Elsőfokú és egyszerű másodfokú A tanult megoldási módszerek biztos kétismeretlenes egyenletrendszer alkalmazása. megoldása. Egyenletekre, egyenlőtlenségekre Matematikai modell (egyenlet, vezető gyakorlati életből vett és egyenlőtlenség) megalkotása, szöveges feladatok. vizsgálatok a modellben, ellenőrzés.

Technika, életvitel és gyakorlat: alapvető adózási, biztosítási, egészség-, nyugdíj- és társadalombiztosítási, pénzügyi ismeretek.

Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: képletek használata

Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.

Összefüggések, függvények, sorozatok A függvény megadása. A függvények tulajdonságai. (Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás fogalmak)

Emlékezés: a fogalmak pontos felidézése, ismerete. Alkalmazása konkrét feladatokban.

A tanult alapfüggvények ismerete. Az alapfüggvények ábrázolása és tulajdonságai.

Képi emlékezés statikus helyzetekben (grafikonok felidézése).

Függvénytranszformációk: Kapcsolat a matematika két területe között: függvénytranszformációk és f (x )  c , f (x  c) ; cf (x ) ; f (cx ) . Eltolás, nyújtás és összenyomás a geometriai transzformációk. tengelyre merőlegesen. Függvényvizsgálat a tanult szempontok szerint.

Emlékezés, ismeretek mozgósítása.

Függvények segítségével megoldható gyakorlati, szöveges feladatok

Függvények használata valós folyamatok elemzésében. Függvény alkalmazása matematikai modell készítésében.

Számtani sorozat, mértani sorozat, kamatos kamatszámítás.

Felismerés, alkalmazás. Geometria

Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. Távolságok és szögek kiszámítása.

Valós problémában a megfelelő geometriai fogalom felismerése, alkalmazása.

Geometriai transzformációk. Távolságok és szögek vizsgálata a transzformációknál. Egybevágóság, hasonlóság. Szimmetriák.

Szerepük felfedezése művészetekben, játékokban, gyakorlati jelenségekben.

Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. A háromszög nevezetes vonalai, pontjai és körei. Összefüggések a

Állítások, tételek jelentésére való emlékezés. A problémának megfelelő összefüggések felismerése,

Fizika, kémia; biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.

háromszög oldalai, oldalai és alkalmazása. szögei között. A derékszögű háromszög oldalai, Fogalmak és tételek pontos ismerete. oldalai és szögei közötti összefüggések. Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. Négyszögek csoportosítása különböző szempontok szerint. Szimmetrikus négyszögek tulajdonságai.

Állítások, tételek jelentésére való emlékezés.

Körre vonatkozó tételek és alkalmazásuk.

Felismerés, alkalmazás Fogalmak és tételek pontos ismerete.

Számítási feladatok. Szögfüggvények alkalmazása háromszögekben. Forgásszögek. Vektorok, vektorok koordinátái. Bázisrendszer. Vektorok alkalmazásai. Egyenes egyenlete. Kör egyenlete. Két alakzat közös pontja.


Kerületszámítás, területszámítás. A tanult térbeli alakzatok áttekintése. Felszín- és térfogatszámítás.

A tanult ismeretek rendszerezése.

Valószínűség-számítás, statisztika Diagramok. Statisztikai mutatók: Adathalmazok jellemzése önállóan középértékek és szóródási választott mutatók segítségével. A mutatók reprezentatív minta jelentőségének megértése.

Magyar nyelv és irodalom: a tartalom értékelése hihetőség szempontjából; a szöveg hitelességével kapcsolatos tartalmi elemek magyarázata; a kétértelmű, többjelentésű tartalmi elemek feloldása; egy következtetés alapját

jelentő tartalmi elem felismerése; az olvasó előismereteire alapozó figyelemfelhívó jellegű címadás felismerése. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Véletlen esemény valószínűsége. A valószínűség kiszámítása a klasszikus modell alapján. A véletlen törvényszerűségei.

A valószínűség és a statisztika törvényei érvényesülésének felfedezése a termelésben, a pénzügyi folyamatokban, a társadalmi folyamatokban. A szerencsejátékok igazságtalanságának és a játékszenvedély veszélyeinek felismerése.

Technika, életvitel és gyakorlat; biológiaegészségtan: szenvedélybetegségek és rizikófaktor.

Következtetés. Definíció. Tétel. Bizonyítás. Halmaz, alaphalmaz, igazsághalmaz, megoldáshalmaz. Függvény/transzformáció. Értelmezési Kulcsfogalmak/ tartomány. Művelet, műveleti tulajdonság. Egyenlet, azonosság, egyenletrendszer, egyenlőtlenség. Ekvivalencia. Ellenőrzés. Véletlen, fogalmak valószínűség. Adat, statisztikai mutató. Térelem, mennyiségi jellemző (távolság, szög, kerület, terület, felszín, térfogat). Matematikai modell. Továbbhaladás feltételei – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Ismeri és alkalmazza a tanult halmazműveleteket. Képes adott véges halmazok esetén kiszámítani a számosságokat. Tud egyszerű (matematikai) szövegeket értelmezni. Megfelelően alkalmazza az ítélet fogalmát. Egyszerű feladatokban alkalmazza a negáció, konjunkció, diszjunkció műveletét, és ezt össze tudja kapcsolni a halmazműveletekkel. Különbséget tud tenni definíció és tétel között. Használja és alkalmazza feladatokban a szükséges, az elégséges és a szükséges és elégséges feltételt. Tud kombinatorikai feladatokat megoldani. Tud konkrét szituációkat szemléltetni gráfok segítségével. Tud prímtényezős felbontás és a tanult oszthatósági szabályok alkalmazásával egyszerű feladatokat megoldani. Ismeri a való számkör felépítését. Ismeri és használja a hatványozás azonosságait. Ismeri és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát és azonosságait. Tud algebrai kifejezésekkel műveleteket végezni. Felismeri az egyenes és fordított arányosságot, jól alkalmazza a százalékszámítást. Algebrai és grafikus módon is tud első- és másodfokú egyenleteket, egyenlőtlenségeket, valamint elsőfokú egyenletrendszereket megoldani. Képes nagyon egyszerű abszolút értékes, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenleteket megoldani. Tud értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni és adatokat leolvasni a grafikonról. Képes jellemezni grafikonnal megadott függvényeket. Ki tudja számítani számtani, illetve mértani sorozat tagjait és részletösszegeit. Ismeri a sorozatok alapvető jellemzőit Helyesen alkalmazza feladatokban a térelemek távolságára és szögére vonatkozó definíciókat. Felismeri és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit.

– – – – – – – – – – – –

Ismeri a háromszög oldalai és szögei közötti összefüggéseit, a háromszög nevezetes vonalait és pontjait. Képes alkalmazni a Thalész- és a Pitagorasz-tételt. Ismeri a négyszögek fajtáit és tulajdonságait. Helyesen alkalmazza a tanult kerület-, terület-, felszín- és térfogat-számítási képleteket, módszereket feladatokban. Képes háromszögek hiányzó adatainak kiszámítására szögfüggvények, illetve szinusz- és koszinusztétel segítségével. Érti a vektor koordinátáinak fogalmát. Jól tudja különböző adatokból az egyenes és a kör egyenletét felírni. Képes egyenesek metszéspontját kiszámolni. Képes statisztikai adatokat rendezni, grafikonon ábrázolni, adott diagramról információt kiolvasni. Meg tudja határozni konkrét adatsokaság móduszát, mediánját, aritmetikai átlagát. Képes adathalmazokat összehasonlítani statisztikai mutatók segítségével. Feladatokban jól alkalmazza a klasszikus valószínűség-számítási modellt.


Gondolkodási és megismerési módszerek  Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése.  Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben.  Szövegértés: a szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése problémamegoldás céljából.  A szöveghez illő matematikai modell elkészítése.  A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása. Feladatok megoldása rendszerezett összeszámlálással, ill. a tanult ismeretek segítségével  A gráfok eszköz jellegű használata problémamegoldásában. Számtan, algebra  A kiterjesztett hatványfogalom ismerete.  A logaritmus fogalmának ismerete.  A gyökvonás, a hatványozás és a logaritmus azonosságainak célszerű alkalmazása konkrét esetekben  Exponenciális és logaritmusos egyenletek alkotása szöveg alapján, az egyenletek megoldása, önálló ellenőrzése.  A számológép biztos és értelmes használata.  Trigonometrikus egyenletek megoldása, az azonosságok alkalmazása, az összes gyök megtalálása.  A mindennapok gyakorlatában szereplő feladatok megoldása a valós számkörben tanult új műveletek felhasználásával. Összefüggések, függvények, sorozatok  Exponenciális-, logaritmus- és a trigonometrikus függvények értelmezése, ábrázolása, jellemzése.  Függvény-transzformációk végrehajtása.  Exponenciális folyamatok matematikai modellje.  A számtani és a mértani sorozat összefüggéseinek ismerete, gyakorlati alkalmazások.  Pénzügyi alapfogalmak ismerete, pénzügyi számítások megértése, reprodukálása, kamatos kamatszámítás elvégzése.  A hitelfelvétel kockázatai, előnyei, hátrányai.  Az új függvények ismerete és jellemzése során legyen átfogó képük a függvénytulajdonságokról, azok felhasználhatóságáról.

Geometria Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták ismerete, alkalmazása Két vektor skaláris szorzatának ismerete, alkalmazása. Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében, szinusztétel, koszinusztétel alkalmazása.  Valós problémákhoz geometriai modell alkotása.  A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban..  A geometriai és algebrai ismeretek között összekapcsolódás elemeinek ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör és egyenes egyenlete, geometriai feladatok algebrai megoldása.  Térbeli viszonyok, testek felismerése, geometriai modell készítése.  Hosszúság, szög, kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása.  A tanulók alkalmazzák számolási, gyakorlati feladatokban a háromszögekre vonatkozó általános tételeket.   

Valószínűség, statisztika Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében. A valószínűség matematikai fogalmának, klasszikus kiszámítási módjának ismerete, alkalmazása.  Mintavétel és valószínűség kapcsolata, alkalmazása.  A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat tudják értelmezni, kezelni.  Megfelelő kritikával fogadják a statisztikai vizsgálatok eredményeit, lássák a vizsgálatok korlátait, érvényességi körét.  

A fejlesztés várt eredményei összességében:  A matematikai tanulmányok végére a matematika tudás segítségével önállóan tudjanak megoldani matematikai problémákat.  Kombinatív gondolkodásuk fejlődésének eredményeként legyenek képesek többféle módon megoldani matematikai feladatokat.  Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük olyan szintre, hogy az érettségi után a döntési helyzetekben tudjanak reálisan dönteni.  Feladatmegoldásokban rendszeresen használják a számológépet, elektronikus eszközöket.  Tudjanak a síkban, térben tájékozódni, az ilyen témájú feladatok megoldásához célszerű ábrákat készíteni.  A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai szakkifejezéseket, jelöléseket.  A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére.  A helyes érvelésre szoktatással fejlődjön a tanulók kommunikációs készsége.  A középfokú matematikatanulás lezárásakor rendelkezzenek alapvető matematika kultúrtörténeti ismeretekkel, ismerjék a legnagyobb matematikusok felfedezéseit, legyen rálátásuk a magyar matematikusok eredményeire.

3. AZ EMELTSZINTŰ ÉRETTSÉGI FELKÉSZÍTŐ CSOPORT TANTERVE A 11. és a 12. évfolyamon a fenti kerettantervi tananyagok mellé a kerettantervi óraszámhoz képesti 2-2 óranövekménybe a hatályos érettségi vizsgaszabályzatban szereplő emelt szintű tananyagrészek kerültek beépítésre. Az egyes témakörök óraszámai (bár a kapcsolatok miatt a témakörök között van átfedés)

1. Gondolkodási és megismerési módszerek 2. Számtan, algebra 3. Összefüggések, függvények, sorozatok, az analízis elemei 4. Geometria 5. Valószínűség, statisztika Ismétlés, ellenőrzés összesen

óraszámok 5 óra/hét 15 50 40

óraszámok 6 óra/hét 7 70

40 17 18 180 óra

34 15 64 192 óra


Évi óraszám: 180 óra – heti 3+2óra Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás



Órakeret 15 óra

Sorbarendezési, leszámlálási problémák megoldása. Gráffal kapcsolatos alapfogalmak. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, elmélyítése.. Mintavétel céljának, értelmének megértése. Gráfokkal kapcsolatos ismeretek alkalmazása, bővítése, konkrét példák alapján gráfokkal kapcsolatos állítások megfogalmazása. A modellhasználati, modellalkotási képesség fejlesztése. Szövegértés, szövegalkotás fejlesztése: állítások megfogalmazása, tagadása, megfordítása.

Ismeretek Számhalmazok. Számhalmazok bővítésének szükségessége a természetes számoktól a komplex számokig.


Kapcsolódási pontok Filozófia: Gondolati rendszerek felépítése. Bizonyíthatóság.

Algebrai számok, transzcendens számok. Halmazok számossága. Halmazok ekvivalenciája. Végtelen és véges halmazok. Megszámlálható és nem megszámlálható halmazok. Kontinuum-sejtés. Matematikatörténet: Cantor, Hilbert, Gödel. Vegyes kombinatorikai feladatok, kiválasztási feladatok. A kombinatorika alkalmazása egyszerű geometriai feladatokban. Mintavétel visszatevés nélkül és visszatevéssel. Binomiális együtthatók. Binomiális tétel Matematikatörténet: Erdős Pál.

Modell alkotása valós problémához: kombinatorikai modell. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

A binomiális tétel szerepének megmutatása különböző alkalmazásokban.

Földrajz: előrejelzések, tendenciák megfogalmazása

Biológia-egészségtan: genetika

Gráfelméleti alapfogalmak:csúcs, Modell alkotása valós problémához: él, fokszám, egyszerű gráf, gráfmodell. Megfelelő, a problémát jól tükröző ábra készítése. összefüggő gráf, komplementer gráf, fagráf, kör, teljes gráf és alkalmazásuk. Fokszám összeg és az élek száma közötti összefüggés. n pontú fagráf éleinek száma Euler-vonal, Hamilton-kör. Matematikatörténet: Euler. A matematika felépítése. Fogalmak, alapfogalmak, axiómák, tételek, sejtések. Műveletek a matematikában. Műveleti tulajdonságok. Relációk a matematikában és a mindennapi életben. Relációtulajdonságok. Bizonyítási módszerek

A már tanult ismeretekkel a felépítés bemutatása, az ismeretek rendezése.

A teljes indukció lényegének megértése, alkalmazása

Filozófia: Gondolati rendszerek felépítése. Állítások igazolásának szükségessége.

áttekintése. Direkt, indirekt bizonyítás, logikai szita formula, skatulya elv, teljes indukció. Tételek megfordítása. Mintavétel visszatevéssel, visszatevés nélkül. Kulcsfogalmak/ A tanult gráfelméleti fogalmak: pont, él, út, vonal, kör, egyszerű gráf, teljes fogalmak gráf, összefüggő gráf, fagráf . Fokszámösszeg és az élek száma közötti összefüggés. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás



Órakeret 50 óra

Hatvány fogalma egész kitevőre, hatványozás azonosságai. Négyzetgyök fogalma, azonosságai. Egyenlet, egyenlőtlenség megoldása. Ekvivalens egyenlet fogalma. Ívmérték. Egységkör, forgásszögek szögfüggvényei. Trigonometrikus függvények. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: valós problémák megoldása megfelelő modell választásával. A matematika alkalmazása más tudományokban. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. 6 A matematika épülésének elvei: létező fogalom újraértelmezése, kiterjesztése, a permanencia-elv felhasználása . Függvénytulajdonság alkalmazása egyenlet megoldásánál (pl. szigorú monotonitás).

Ismeretek


Két- és háromismeretlenes lineáris Új módszerek megismerése. egyenletrendszerek. A megoldások számának vizsgálata. Kétismeretlenes lineáris paraméteres egyenletrendszer. Másodfokú egyenletrendszerek. Egyenletmegoldás különböző A tanult módszerek együttes alkalmazása összetett feladatoknál. módszerek segítségével (értelmezési tartomány, értékkészlet-vizsgálat, monotonitás …).


Hatványazonosságok igazolása. Az a n  b n , illetve az a 2k 1  b 2k 1 kifejezések szorzattá alakítása. Polinomok osztása. Oszthatósági feladatok.

Azonosságok felhasználása összetett oszthatósági feladatok megoldásában.

Polinomok osztása algoritmusának ismerete. A tanult ismeretek felidézése és alkalmazása új problémamegoldási szituációban.

Nevezetes közepek és közöttük lévő relációk ismerete n elem esetén.

A megismert összefüggések alkalmazása egyenlőtlenségek, szélsőérték-feladatok megoldásában. Számtani és mértani közép közötti összefüggés igazolása két pozitív szám esetén.

n-edik gyök fogalma, azonosságai. A matematika belső fejlődésének felismerése, új fogalmak alkotása. A négyzetgyök fogalmának általánosítása. Hatványozás pozitív alap és racionális kitevő esetén.

Fizika: radioaktivitás Fogalmak módosítása újabb tapasztalatok, ismeretek alapján. A hatványfogalom célszerű kiterjesztése, permanenciaelv alkalmazása.

A racionális kitevőjű hatvány és az Ismeretek mozgósítása. n-edik gyök kapcsolata. Régi és új ismeretek összekapcsolása. Hatványozás azonosságainak alkalmazása. Példák az azonosságok érvényben maradására.

Ismeretek tudatos memorizálása. Ismeretek mozgósítása.

Irracionális szám kétoldali közelítése racionális számokkal.

A hatványfogalom célszerű kiterjesztése, permanenciaelv alkalmazása.

A hatványfogalom kiterjesztése irracionális kitevőre.

Technika, életvitel és gyakorlat: kamatszámítás, hitelfelvétel, törlesztőrészletszámítás.

A definíciók és a hatványozás azonosságainak közvetlen alkalmazásával megoldható exponenciális egyenletek. Exponenciális egyenletre vezető valós problémák megoldása

A logaritmus értelmezése. Matematikatörténet:

Modellek alkotása (algebrai modell): exponenciális egyenletre vezető valós problémák (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, népesség alakulása, radioaktivitás).

Fizika; kémia: radioaktivitás. Földrajz; biológiaegészségtan: globális problémák – demográfiai mutatók, a Föld eltartó képessége és az élelmezési válság, betegségek, világjárványok, túltermelés és túlfogyasztás.

Korábbi ismeretek felidézése (hatvány Technika, életvitel és fogalma). gyakorlat: zajszennyezés. Ismeretek tudatos memorizálása.

a logaritmus fogalmának kialakulása, változása.

Kémia: pH-számítás. Fizika: Keplertörvények.

Zsebszámológép használata, táblázat használata.

Annak felismerése, hogy a technika fejlődésének alapja a matematikai tudás.

A logaritmus azonosságai.

A hatványozás és a logaritmus kapcsolatának felismerése.

(Szorzat, hányados, hatvány logaritmusa, áttérés más alapú logaritmusra) Az értelmezési tartomány változásának vizsgálata az azonosságok kétirányú alkalmazásánál A logaritmus azonosságainak alkalmazása kifejezések számértékének meghatározására, kifejezések átalakítására. A definíciók és a logaritmus azonosságainak közvetlen alkalmazásával megoldható


Modellek alkotása (algebrai modell): Életvitel és gyakorlat: zajszennyezés. logaritmus alkalmazásával megoldható egyszerű exponenciális egyenletek; ilyen egyenletre vezető valós problémák (például: befektetés, Kémia: pH-számítás. hitel, értékcsökkenés, népesség alakulása, radioaktivitás).

logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek. . Matematikatörténet: Napier, Kepler. A logaritmus fogalmának kialakulása, változása. Logaritmustáblázat

Értelmezési tartomány vizsgálatának fokozott szükségessége logaritmusos egyenleteknél

Biológia-egészségtan: érzékelés, az inger és az érzet.

Egyenletek ekvivalenciájával kapcsolatos ismeretek összegzése

Trigonometrikus egyenletre vezető Egységkör, illetve trigonometrikus Fizika: rezgőmozgás, háromszöggel kapcsolatos valós függvény grafikonjának felhasználása adott kitéréshez, problémák. az egyenlet megoldásához. sebességhez, gyorsuláshoz tartozó A tanult azonosságok alkalmazását Az egyenletek megoldásának időpillanatok igénylő trigonometrikus egyenlet. megadása a valós számkörben. meghatározása. Az összes megoldás megkeresése. Időtől függő periodikus jelenségek vizsgálata. Szögfüggvények közötti összefüggések. Addíciós tételek:  két szög összegének és különbségének szögfüggvényei,  egy szög kétszeresének szögfüggvényei,  félszögek szögfüggvényei,  két szög összegének és különbségének szorzattá alakítása. Trigonometrikus kifejezések értékének meghatározása.

A trigonometrikus azonosságok használata, több lehetőség közül a legalkalmasabb összefüggés megtalálása Bizonyítási igény fejlesztése.

Háromszögekre vonatkozó feladatok addíciós tételekkel. Tangenstétel. Trigonometrikus egyenletek. Az összes megoldás megkeresése.

Algebrai és függvénytani ismeretek összekapcsolása

Fizika: rezgőmozgás, adott kitéréshez, sebességhez,

Hamis gyökök elkerülése. Trigonometrikus egyenlőtlenségek.

Egyenlet megoldási módszerek új elemeinek beépítése.

gyorsuláshoz tartozó időpillanatok meghatározása

Grafikus megoldás vagy egységkör alkalmazása. Időtől függő periodikus jelenségek vizsgálata. Trigonometrikus kifejezések szélsőértékének keresése. Kulcsfogalmak/ n-edik gyök. Racionális kitevőjű hatvány. Exponenciális növekedés, csökkenés. Logaritmus. Trigonometrikus azonosság, egyenlet fogalmak


Előzetes tudás


Órakeret 40 óra

Függvénytani alapfogalmak. Hatványozás azonosságai. Négyzetgyök. Függvény megadása, tulajdonságai. Hegyesszög szögfüggvényeinek értelmezése.

A folyamatok elemzése a függvényelemzés módszerével. Tájékozódás az A tematikai egység időben: lineáris folyamat, exponenciális folyamat. A matematika és a nevelési-fejlesztési valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. Alkotás öntevékenyen, céljai saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően. Ismerethordozók használata.

Ismeretek Forgásszög, egységvektor, vektorkoordináták. A szögfüggvények általános értelmezése.

Fejlesztési követelmények Meglévő ismeretk rendezése és kiegészítése Időtől függő periodikus jelenségek kezelése.

A szögfüggvények előjele a Tudatos megfigyelés a változó különböző sík negyedekben. A szempontok és feltételek szerint. trigonometrikus függvények transzformációi: f (x )  c , f (x  c) ; cf (x ) ; f (cx ) . függvényvizsgálat.

Kapcsolódási pontok Fizika: periodikus mozgás, hullámmozgás, váltakozó feszültség és áram. Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.

Hatványfüggvények. Függvényábrázolás, függvényjellemzés, függvénytranszformációk. Az exponenciális függvények.

Permanenciaelv alkalmazása.

Exponenciális folyamatok a Modellek alkotása (függvény természetben és a társadalomban. modell): a lineáris és az exponenciális növekedés/csökkenés matematikai modelljének összevetése konkrét, valós problémákban (például: népesség, energiafelhasználás, járványok stb.).

Fizika; kémia: radioaktivitás. Földrajz: a társadalmigazdasági tér szerveződése és folyamatai. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek; földrajz: globális kérdések: - erőforrások kimerülése, fenntarthatóság, demográfiai robbanás a harmadik világban, népességcsökkenés az öregedő Európában.

A logaritmusfüggvények vizsgálata. Logaritmus alapfüggvények grafikonja, jellemzésük. A logaritmusfüggvény mint az exponenciális függvény inverze. Függvénynek és inverzének a grafikonja a koordinátarendszerben. A sorozat fogalma, megadása, ábrázolása. Sorozat megadása rekurzióval – Fibonacci-sorozat. Rekurzív sorozat n-edik elemének megadása. Matematikatörténet: Fibonacci.

Fizika; kémia: radioaktivitás.

Korábbi ismeretek rendszerező ismétlése

Informatika: algoritmusok.

Számtani sorozat. A számtani sorozat n-edik tagja.

. A sorozat felismerése, a megfelelő képletek használata problémamegoldás során

A számtani sorozat első n tagjának összege.

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: lineáris és exponenciális folyamatok.

Matematikatörténet: Gauss. Mértani sorozat. A számtani sorozat, mint lineáris A mértani sorozat n-edik tagja. és a mértani sorozat, mint A mértani sorozat első n tagjának exponenciális függvény összege. összehasonlítása. Számítási feladatok számtani és a mértani sorozatokra. Véges sorok összegzése. Számtani és mértani sorozatból előállított szorzatok összegzése. Teleszkópos összegek. Matematikatörténet: Fibonacci. Sorozatok konvergenciája. A határérték szemléletes és pontos definíciói. Műveletek konvergens sorozatokkal. Konvergens és divergens sorozatok. Az sorozatok. Konvergens sorozatok tulajdonságai. Torlódási pont. Konvergens sorozatnak egy

Sorozatok tulajdonságainak megállapítása alkalmas tételek felhasználásával. Szükséges és elégséges feltétel felismerés Sorozatok összegének, különbségének, szorzatának, hányadosának konvergenciája és határértéke – bizonyítás, meghatározás.e.

Technika, életvitel és gyakorlat: hitel – adósság – eladósodás

határértéke van. Minden konvergens sorozat korlátos. Monoton és korlátos sorozat konvergens. Konvergens sorozatokra vonatkozó egyenlőtlenségek. Rendőrelv. Végtelen sorok. Végtelenen sor konvergenciája, összege. Végtelen mértani sor. Szakaszos végtelen tizedes tört átváltása. További példák konvergens sorokra. Teleszkópos összegek. Négyzetszámok reciprokainak összege. Példák nem konvergens sorokra. Harmonikus sor. Feltételesen konvergens sorok. Függvények folytonossága az Függvények folytonosságának értelmezési tartomány egy megállapítása a grafikonjuk pontjában, egy intervallumon, segítségével, szemléletesen illetve az értelmezési tartományának minden pontjában Függvények    

véges helyen vett véges; véges helyen vett végtelen; végtelenben vett véges; végtelenben vett végtelen

A függvények határértékének szemléletes fogalma, pontos definíciói. A határérték és a folytonosság kapcsolatának megértése.

határértéke. sin x függvény határértéke a x nulla pontban.

A

Kulcsfogalmak/ Szinuszfüggvény, koszinuszfüggvény, tangensfüggvény. Exponenciális fogalmak függvény, logaritmusfüggvény. Exponenciális folyamat. sorozat, monotonon, korlátos, határérték


4. Geometria

Órakeret 40 óra

Előzetes tudás

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hegyesszögek szögfüggvényei. Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú és másodfokú egyenlet, kétismeretlenes egyenletrendszer algebrai megoldása. Alapszerkesztések, egyszerű szerkesztési feladatok körrel, háromszöggel kapcsolatosan. Vektorok, vektorműveletek. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata.


Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: távolságok, szögek kiszámítása a szögfüggvények segítségével. A matematika két területének (geometria és algebra) összekapcsolása: koordináta-geometria. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése, alkalmazása.

Ismeretek A vektorokról tanultak rendszerező ismétlése: – a vektor fogalma, – vektorműveletek, – vektorfelbontás. A vektorok koordinátáival végzett műveletek és tulajdonságaik. A vektor 90°-os elforgatottjának koordinátái.

Fejlesztési követelmények Rajzolt és tárgyi jelek értelmezése. Ugyanazon probléma többféle megoldási vetületének meglátása. Átkódolás különböző modellek között


Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságai. Két vektor merőlegességének szükséges és elégséges feltétele A skaláris szorzás alkalmazása számítási és bizonyítási feladatokban.

A művelet újszerűségének felfedezése.

Fizika: mechanikai munka, Lorencz erő

A szükséges és az elégséges feltétel felismerése, megkülönböztetése.

Vektorok vektoriális szorzata. Szemléletes kép, bizonyítások nélkül Szinusztétel, koszinusztétel. A tételek pontos kimondása, bizonyítása.

Általános eset, különleges eset viszonya (a derékszögű háromszög és a két tétel).

Fizika: vektor felbontása adott állású összetevőkre.

Emlékezés: jelek, jelölések, megállapodások.

Fizika: vonatkoztatási rendszer, hely megadása.

Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal. Vektorok és rendezett számpárok közötti megfeleltetés.

A vektor fogalmának bővítése (algebrai vektorfogalom). Sík és tér: a dimenzió szemléletes fogalmának fejlesztése.

Fizika: erők összeadása komponensek segítségével, háromdimenziós képalkotás (hologram).

A helyvektor koordinátái.


Fizika: hely megadása.

Kapcsolat a Pitagorasz-tétellel.

Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS.

Szög, távolság, terület meghatározása gyakorlati problémákban is. Helyvektor. Matematikatörténet: a vektor fogalmának fejlődése a fizikai vektorfogalomtól a rendezett szám n-esig.

Szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjának, a háromszög súlypontjának koordinátái. Két pont távolsága, a szakasz hossza.


A kör egyenlete.


Az egyenes különböző megadási módjai. Az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens.

Megosztott figyelem; két, illetve Informatika: ponthalmaz több szempont egyidejű megjelenítése képernyőn követése. (geometriai szerkesztőprogram).

Iránytangens és az egyenes meredeksége.

Függvények és a koordinátageometria kapcsolata

A merőlegesség megfogalmazása skaláris szorzattal.

Geometriai ismeretek felelevenítése, megfogalmazása algebrai alakban.

Az egyenes egyenlete.

Az egyenest jellemző adatok, a közöttük felfedezhető összefüggések értése, használata.


Geometriai probléma megoldása algebrai eszközökkel. Ismeretek mozgósítása, alkalmazása (elsőfokú, illetve másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása).


A geometriai fogalmak megjelenítése algebrai formában. Geometriai ismeretek mozgósítása. Másodfokú, kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása.


Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele. Két egyenes metszéspontja. Két egyenes szöge. (Skaláris szorzat használata.) Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör érintőjének egyenlete. Két kör közös pontjainak meghatározása.


Fizika: út-idő grafikon és a sebesség kapcsolata.

A diszkrimináns vizsgálata, diszkusszió. A parabola tengelyponti egyenlete. A parabola pontjainak

A parabola és a másodfokú függvény.

Fizika: geometriai optika, fényszóró, visszapillantó tükör

tulajdonsága: fókuszpont, vezéregyenes.

(Teljes négyzetté kiegészítés.)

A parabola és az egyenes kölcsönös helyzete. A diszkrimináns vizsgálata, diszkusszió A koordinátageometriai ismeretek alkalmazása egyszerű síkgeometriai feladatok megoldásában.

Geometriai problémák megoldása algebrai eszközökkel. Geometriai problémák számítógépes megjelenítése.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram használata). Fizika: égitestek pályája.

Összetett feladatok megoldása paraméter segítségével vagy a szerkesztés menetének követésével.

Algebrai és geometriai ismeretek mozgósítása

Informatika: több feltétel együttes vizsgálata Lineáris programozási feladat.

Mértani helyek keresése. Apollóniosz-kör. Merőleges affinitással kapott mértani helyek.

kapcsolat halmazműveletek

Ponthalmazok a koordinátasíkon. Egyenlőtlenséggel megadott egyszerű feltételek. Kulcsfogalmak/ Valós szám szinusza, koszinusza, tangense. Bázisrendszer, helyvektor. Skaláris fogalmak szorzat. Ponthalmaz egyenlete; kétismeretlenes egyenletnek megfelelő ponthalmaz.



Órakeret 17 óra

A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A véletlen esemény fogalma, a véletlen kísérlet fogalma. Elemi esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény,

komplementer esemény. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Esély és valószínűség hétköznapi fogalma. Kombinatorikai ismeretek. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Műveletek az események A tematikai egység között. Matematikai elvonatkoztatás: a valószínűség matematikai nevelési-fejlesztési fogalmának fejlesztése. Véletlen mintavétel módszerei jelentőségének céljai megértése.

Ismeretek Ismétlés, rendszerezés: eseményekkel végzett műveletek; példák események összegére, szorzatára, komplementer eseményre, egymást kizáró eseményekre;



A matematika különböző területei Informatika: folyamatok, közötti kapcsolatok tudatosítása. kapcsolatok leírása logikai áramkörökkel. Halmazműveletek és események közötti műveletek összekapcsolása.

elemi események. Események előállítása elemi események összegeként. Példák független és nem független eseményekre. A valószínűség klasszikus modellje.


Matematikatörténet: Rényi: Levelek a valószínűségről. Egyszerű valószínűség-számítási Ismeretek mozgósítása, tanult problémák. kombinatorikai módszerek alkalmazása.

Fizika: az űrkutatás hatása mindennapjainkra, a találkozás valószínűsége.

Statisztikai mintavétel. Valószínűségek visszatevéses mintavétel esetén. Visszatevés nélküli mintavétel. A binomiális és hipergeometrikus eloszlás

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (binomiális eloszlás).

Modell alkotása (valószínűségi modell): a mintavételi eljárás lényege.

Kulcsfogalmak/ Valószínűség matematikai fogalma. Klasszikus valószínűség-számítási modell. fogalmak

Továbbhaladás feltételei – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Képes egyszerű kombinatorikai feladatok megoldására. Ismeri a gráf szemléletes fogalmát, képes egyszerű alkalmazásokra. Biztonsággal alkalmazza a hatványozás azonosságait egész kitevő esetén. Ismeri a logaritmus fogalmát, jól alkalmazza az azonosságokat egyszerűbb esetekben. Képes megoldani egyszerű exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenleteket. Tájékozott az alapfüggvények grafikonjait és legfontosabb tulajdonságait (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték) illetően. Ismeri és alkalmazza a vektorműveleteket (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás). Alkalmazza a szinusztételt és a koszinusztételt a háromszög hiányzó adatainak meghatározására. Képes vektorok koordinátáival számolni. Ki tudja számolni szakasz felezőpontjának koordinátáit. Fel tudja írni a kör középponti egyenletét. Ismeri és alkalmazza az egyenes (egy szabadon választott) egyenletét. Meg tudja határozni két egyenes metszéspontjának koordinátáit. Tudja vizsgálni kör és egyenes kölcsönös helyzetét. Képes valószínűségi feladatok megoldására. Ismeri és megfelelően alkalmazza a binomiális és a hipergeometriai elosztást. Ismeri s mértani és számtani sorozat és a mértani sor tulajdonságait. Ismeri a sorozatokkal kapcsolatos jellemző fogalmakat. Tud sorozat és függvény határértéket meghatározni. Ismeri a függvény folytonosság fogalmát.


Évi óraszám: 192 óra – heti 4+2 óra Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás



Órakeret 7 óra

Az „és”, „vagy”, „nem”, „ha ..., akkor”, „akkor és csak akkor” szemléletes jelentése. A logikai műveletek megfelelő használata a hétköznapi életben és a matematikában.

Ismeretek Kijelentés fogalma, műveletek kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, negáció, implikáció, ekvivalencia. Logikai műveletek igazságtáblázatai, egyszerű azonosságok.



Az ismeretek rendszerezése: a Fizika: logikai matematika különböző területei közötti áramkörök, kapcsolási rajzok kapcsolatok tudatosítása (halmazok – kijelentések Jelek szerepe, alkotása, használata: célszerű jelölés megválasztásának jelentősége a matematikában.– események).

Univerzális és egzisztenciális kvantor.

A kvantorok pontos fogalmának kialakítása, szerepének felismerése pl. analízis témakörben.

A logikai műveletek változatos alkalmazásai feladatokban. Kulcsfogalmak/ Logikai művelet. Igazságtáblázat. fogalmak



Órakeret 0 óra

Hatványozás azonosságai. Logaritmus. Előzetes tudás

Egyenlet, egyenletrendszer megoldási módszerek (elsőfokú,másodfokú, exponenciális és logaritmikus)


Lásd a sorozatoknál és a rendszerező összefoglalásnál

Ismeretek



. Kulcsfogalmak/ fogalmak



3. Függvények, sorozatok, az analízis elemei

Órakeret 70 óra

Függvénytani alapfogalmak. Sorozat vizsgálata; rekurzió, képletek értelmezése. A matematika és a valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. Ismerethordozók használata. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően.

Ismeretek A számsorozat fogalma. A függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza.

Fejlesztési követelmények Sorozat megadása rekurzióval és képlettel.

Matematikatörténet: Fibonacci. Számtani sorozat, az n. tag, az első n tag összege.

Kapcsolódási pontok Informatika: problémamegoldás informatikai eszközökkel és módszerekkel: algoritmusok megfogalmazása, tervezése.

A sorozat felismerése, a megfelelő képletek használata problémamegoldás során.

Matematikatörténet: Gauss. Mértani sorozat, az n. tag, az első n tag összege.

Kamatoskamat-számítás.

A sorozat felismerése, a megfelelő Fizika; kémia, biológiaképletek használata egészségtan; földrajz; problémamegoldás során. történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: exponenciális folyamatok vizsgálata. Modellek alkotása: befektetés és hitel; különböző feltételekkel meghirdetett befektetések és hitelek vizsgálata; a hitel költségei, a törlesztés módjai. Az egyéni döntés felelőssége: az eladósodás veszélye. Korábbi ismeretek mozgósítása (pl. százalékszámítás). A szövegbe többszörösen mélyen beágyazott, közvetett módon megfogalmazott információk és kategóriák azonosítása.

A valós számok halmazán értelmezett függvények jellemzése. Függvény határértéke. A függvények határértékének

Földrajz: a világgazdaság szerveződése és működése, a pénztőke működése, a monetáris világ jellemző folyamatai, hitelezés, adósság, eladósodás. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: a család pénzügyei és gazdálkodása, vállalkozások. Magyar nyelv és irodalom: szövegértés.

Korábbi ismeretek rendszerező Informatika: számítógépes szoftver alkalmazása ismétlése. függvények grafikonjának megrajzolására. Informatika: a határérték számítógépes becslése.

szemléletes fogalma, pontos definíciói. Jelölések. Függvények véges helyen vett véges; véges helyen vett végtelen; végtelenben vett véges; végtelenben vett végtelen határértéke. A sorozatok és a függvények határértékének kapcsolata. sin x A függvény vizsgálata, az x x = 0 helyen vett határértéke. A függvények folytonossága. Példák folytonos és nem folytonos függvényekre. A folytonosság definíciói. Intervallumon folytonos függvények. Korlátos és zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai. (Bizonyítások nélkül, de ellenpéldákkal azokra az esetekre, ha az intervallum nem korlátos, nem zárt, illetve ha a függvény nem folytonos.) Bevezető feladatok a differenciálhányados fogalmának előkészítésére. A függvénygörbe érintőjének iránytangense.

Fizika: felhasználás sin x, illetve tg x közelítésére kis szög esetében

A különbséghányados függvény és Fizika: példák folytonos és határértékének szemléletes diszkrét mennyiségekre. bemutatása az érintő vagy a gyorsuló mozgást végző test pillanatnyi sebességének meghatározása segítségével.

Fizika: az út-idő függvény és a pillanatnyi sebesség kapcsolata. A fluxus és az indukált feszültség kapcsolata.

A pillanatnyi sebesség meghatározása.

A differenciálhatóság fogalma. A különbségi hányados függvény, a differenciálhányados (derivált), a deriváltfüggvény. Kapcsolat a differenciálható és

Biológia-egészségtan: populáció növekedésének átlagos sebessége. .

Fizika: harmonikus rezgőmozgás kitérése, sebessége, gyorsulása – ezek kapcsolata.

a folytonos függvények között Példák nem differenciálható függvényekre is. Alapfüggvények deriváltja: Összeg-, szorzat-, hányados- és Konstans függvény, xn, összetett függvények deriváltja trigonometrikus függvények A felsorolt függvények deriváltja. deriválásának biztos tudása Műveletek differenciálható függvényekkel. Függvény konstansszorosának deriváltja, összeg-, szorzat-, hányados-, összetett függvény deriváltja. Inverz függvény deriváltja. Exponenciális és logaritmusfüggvény deriváltja. (Bizonyítás nélkül.) Magasabbrendű deriváltak. Matematikatörténet: Fermat, Leibniz, Newton, Cauchy, Weierstrass. Érintő egyenletének felírása, A függvény tulajdonságai és a függvénydiszkusszió (függvények derivált kapcsolata. monotonitása, szélsőértéke, konvexitása).  Lokális növekedés, fogyás – intervallumon Gyakorlati szélsőérték-problémák monoton függvény. megoldása.  Szélsőérték – lokális szélsőérték, abszolút szélsőérték. A szükséges és az elégséges feltételek pontos megfogalmazása, alkalmazása. Középértéktételek. Rolle- és Lagrange-tétel. (Szemléletes kép.) Konvexitás vizsgálata deriválással. A konvexitás definíciója. Inflexiós pont.

Fizika: fizikai tartalmú függvények (pl. út-idő, sebesség-idő) deriváltjainak jelentése.

A második derivált és a konvexitás kapcsolata. Függvényvizsgálat differenciálszámítással. Összevetés az elemi módszerekkel. Gyakorlati jellegű szélsőértékfeladatok megoldása..

. A differenciálszámítás és az elemi Fizika: Fermat-elv, módszerek összevetése Snellius-Descartes törvény. Fizikai jellegű szélsőérték-problémák

Bevezető feladatok az integrál fogalmához. Függvény grafikonja alatti terület. A megtett út és a sebesség-idő grafikon alatti terület. A munka kiszámítása az erő-út grafikon alatti terület alapján. Alsó és felső közelítő összegek. A szemléletes megközelítésre Az intervallum felosztása, a alapozva eljutás a pontos felosztás finomítása. definícióig. Közelítés véges összegekkel. A határozott integrál fogalma, jelölése. Példa nem integrálható függvényre is. Negatív függvény határozott integrálja. A határozott integrál és a terület-előjeles terület. Az integrál közelítő kiszámítása. Matematikatörténet: Bernhard Riemann. Az integrálhatóság szükséges és elegendő feltétele. Korlátos és monoton függvények integrálhatósága. A határozott integrál tulajdonságai.

Az integrál mint a felső határ

.

Informatika: számítógépes szoftver használata.

Fizika: A munka és a mozgási energia. Elektromos feszültség két pont között, a potenciál. Tehetetlenségi nyomaték. Alakzat tömegközéppontja. A hidrosztatikai nyomás és az edény oldalfalára ható erő. Effektív áramerősség.

függvénye. Integrálfüggvény. Folytonos függvény integrálfüggvényének deriváltja. Kapcsolat a differenciálszámítás és az integrálszámítás között A primitív függvény fogalma. A primitív függvények halmaza – a határozatlan integrál:  hatványfüggvény, polinomfüggvény,  trigonometrikus függvények,  exponenciális függvény, logaritmusfüggvény. A Newton-Leibniz-tétel. Integrálási módszerek: Integrálás helyettesítéssel. Matematikatörténet: Newton, Leibniz, Euler. Az integrálszámítás alkalmazása matematikai és fizikai problémákra. Két függvénygörbe közötti terület meghatározása. Forgástest térfogatának meghatározása. Henger, kúp, csonkakúp, gömb, gömbszelet térfogata. Az integrálás közelítő módszerei – numerikus módszerek. Néhány egyszerűbb improprius integrál. Néhány hatványsor. (Formális meghatározás integrálással.) Hatványsorok szerepe a matematikában, fizikában, informatikában. Hogyan számolnak az egyszerű számológépek 12 jegy pontossággal?

Fizika: Potenciál, munkavégzés elektromos, illetve gravitációs erőtérben. Váltakozó áram munkája, effektív áram és feszültség. Newton munkássága.

Kulcsfogalmak/ Sorozat, számtani sorozat, mértani sorozat, kamatos kamat, rekurzív sorozat. fogalmak Függvényfolytonosság, -határérték. Különbségi hányados függvény, derivált, deriváltfüggvény, magasabbrendű derivált. Monotonitás, lokális szélsőérték, abszolút szélsőérték. Konvex, konkáv függvény Alsó- és felső közelítő összeg, határozott integrál. Primitív függvény, határozatlan integrál. Newton-Leibniz-tétel.


Előzetes tudás


4. Geometria

Órakeret 34 óra

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata. Terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása.

Ismeretek Síkidomok kerületének és területének számítása. A területszámítás alapelvei. Néhány egyszerűbb alakzat területének levezetése az alapelvekből. Területszámítási módszerek alkalmazása a matematika más témaköreiben. (Pl. geometriai bizonyításokban.) Mértani testek csoportosítása. Hengerszerű testek (hasábok és hengerek) Kúpszerű testek (gúlák és kúpok) Csonka testek



A területszámítás módszereinek áttekintése.

Földrajz: felszínszámítás.

Ismeretek alkalmazása.

A problémához illeszkedő vázlatos ábra alkotása; síkmetszet elképzelése, ábrázolása. Fogalomalkotás közös tulajdonság szerint (hengerszerű, kúpszerű testek, poliéderek).

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (térgeometriai szimulációs program). Kémia: kristályok.

(csonka gúla, csonka kúp). Gömb. Alakzatok felszíne, hálója. Csonkakúp felszíne. Gömb felszínének levezetése (Heurisztikus, nem precíz módszerrel.) A térfogatszámítás alapelvei. Néhány egyszerűbb test térfogatának levezetése az alapelvekből. A térfogatszámítás áttekintése. A térfogatszámítás néhány új eleme. Cavalieri-elv, a gúla térfogata. Csonkagúla térfogata. A tanult testek felszínének, térfogatának kiszámítása. Gyakorlati feladatok. Matematikatörténet: Arkhimédész, Cavalieri

A valós problémákhoz modell alkotása: geometriai modell. Ismeretek megfelelő csoportosítása.

Technika, életvitel és gyakorlat: térfogat- és felszínszámítás.

Hasonló testek felszínének és térfogatának aránya. Középpontosan hasonló testek.

A hasonlósági transzformációk felelevenítése. Annak tudatosítása, hogy nem egyformán változik egy test felszíne és térfogata, ha kicsinyítjük vagy nagyítjuk.


Kulcsfogalmak/ Terület, felszín, térfogat. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás


Órakeret 15 óra

A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A valószínűség klasszikus modellje.

A tematikai egység Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Statisztikai mérőszámok. nevelési-fejlesztési Következtetések a statisztikai mutatók alapján. A valószínűség geometriai modellje. céljai

Ismeretek



Eseményalgebra. Kapcsolat a halmazok és a logika műveleteivel. Matematikatörténet: George Boole. Véletlen jelenségek megfigyelése. Klasszikus valószínűségi modell. Események összegének, szorzatának, komplementerének valószínűsége. Kizáró események, független események valószínűsége. Feltételes valószínűség. Mintavételre vonatkozó valószínűségek megoldása klasszikus modell alapján. Nagy számok törvénye. (Szemléletes tárgyalás képletek nélkül.) Matematikatörténet: Pólya György, Rényi Alfréd. Egyszerű példák a valószínűség kiszámításának geometriai modelljére. Adathalmazok jellemzői: középértékek (átlag, medián, módusz), szóródási mutatók (terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás). Nagy adathalmazok jellemzése statisztikai mutatókkal, osztályba sorolás manipulációs lehetőségek Statisztikai mintavétel, reprezentatív mintavétel.

A modell és a valóság kapcsolata. Szerencsejátékok elemzése.

Informatika: véletlen jelenségek számítógépes szimulációja.

Modellalkotás; megfelelő valószínűségi modell hétköznapi problémákra, jelenségekre. A statisztikai kimutatások és a valóság: az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése. Közvélemény-kutatás, minőség-ellenőrzés, egyéb gyakorlati alkalmazások elemzése. Számológép/számítógép használata statisztikai mutatók kiszámítására.

Matematikai módszerek és eszközök megismerésének igénye.

Földrajz: statisztikai évkönyv.

Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: választások. Kulcsfogalmak/ fogalmak

Reprezentatív mintavétel. Szórás. kizáró esemény, független esemény, feltételes valószínűség


Rendszerező összefoglalás

Órakeret 64 óra

A középiskolai matematika anyaga.

A matematika épülésének elvei: ismeretek rendszerezése, alkalmazása. A tematikai egység Motiválás. Emlékezés. Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás. nevelési-fejlesztési Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. céljai Hatékony, önálló tanulás kompetenciájának fejlesztése. Fejlesztési követelmények

Ismeretek


Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazok. Ponthalmazok és számhalmazok. Valós számok halmaza és részhalmazai.

A problémának megfelelő szemléltetés kiválasztása (Venn-diagram, számegyenes, koordináta-rendszer).

Állítások logikai értéke. Logikai műveletek.

Szövegértés. A szövegben található információk összegyűjtése, rendszerezése.

A halmazelméleti és a logikai ismeretek kapcsolata.

Halmazok eszközjellegű használata.

Filozófia: logika - a következetes és rendezett gondolkodás elmélete, a logika kapcsolódása a matematikához és a nyelvészethez. A manipulált információ felfedése. Informatika:Navigáci ós eszközök használata: hierarchizált és legördülő menük használata.

Definíció és tétel. A tétel Emlékezés a tanult definíciókra és bizonyítása. A tétel megfordítása. tételekre, alkalmazásuk önálló problémamegoldás során. Bizonyítási módszerek.

Direkt és indirekt bizonyítás közötti Filozófia: különbség megértése. Néhány tipikusan szillogizmusok. hibás következtetés bemutatása, elemzése.

Kombinatorika: leszámlálási feladatok. Egyszerű feladatok megoldása gráfokkal.

Sorbarendezési és kiválasztási problémák felismerése. Gondolatmenet szemléltetése gráffal.

Műveletek értelmezése és Absztrakt fogalom és annak konkrét műveleti tulajdonságok. (valós megjelenései: számok halmazán értelmezett műveletek, halmazműveletek, logikai műveletek, műveletek vektorokkal, műveletek vektorral és valós számmal, műveletek eseményekkel.) Számtan, algebra Gyakorlati számítások.

Kerekítés, közelítő érték, becslés. Számológép használata, értelmes kerekítés.

Számelméleti ismeretek, számrendszerek.

Feladatmegoldó rutin továbbfejlesztése.

Algebrai azonosságok, hatványozás azonosságai, logaritmus azonosságai, trigonometrikus azonosságok.

Az azonosságok szerepének ismerete, használatuk. Matematikai fogalmak fejlődésének bemutatása pl. a hatvány, illetve a szögfüggvények példáján.

Egyenletek és egyenlőtlenségek.

Megoldások az alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz megfelelő kezelésével. Feladatmegoldó rutin továbbfejlesztése

Egyenletek és egyenlőtlenségek

Adott egyenlethez illő megoldási

Technika, életvitel és gyakorlat: alapvető adózási, biztosítási, egészség-, nyugdíj- és társadalombiztosítási, pénzügyi ismeretek.

Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: képletek használata

megoldása. Algebrai megoldás, grafikus megoldás. Ekvivalens egyenletek, ekvivalens átalakítások. A megoldások ellenőrzése.

módszer önálló kiválasztása. Az önellenőrzésre való képesség. Önfegyelem fejlesztése: sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás.

Első- és másodfokú egyenlet és egyenlőtlenség. Négyzetgyökös egyenletek. Abszolút értéket tartalmazó egyenletek. Egyszerű exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek.

Tanult egyenlettípusok és egyenlőtlenségtípusok önálló megoldása.

Kétismeretlenes egyenletrendszer A tanult megoldási módszerek biztos megoldása (első- és másodfok, alkalmazása. abszolút értékes, exponenciális, logaritmikus).

Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.

Egyenletekre, egyenlőtlenségekre Matematikai modell (egyenlet, vezető gyakorlati életből vett és egyenlőtlenség) megalkotása, szöveges feladatok. vizsgálatok a modellben, ellenőrzés. Függvények, sorozatok, az analízis elemei A függvény megadása. A függvények tulajdonságai. (Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás fogalmak)

Emlékezés: a fogalmak pontos felidézése, ismerete. Alkalmazása konkrét feladatokban.

A tanult alapfüggvények ismerete. Az alapfüggvények ábrázolása és tulajdonságai.

Képi emlékezés statikus helyzetekben (grafikonok felidézése).

Függvénytranszformációk: f (x )  c , f (x  c) ; cf (x ) ; f (cx ) .

Kapcsolat a matematika két területe között: függvénytranszformációk és geometriai transzformációk.

a  f (bx  c)  d ;

Eltolás, nyújtás és összenyomás a tengelyre merőlegesen. Függvényvizsgálat a tanult szempontok szerint.

Emlékezés, ismeretek mozgósítása.

Függvények segítségével megoldható gyakorlati, szöveges feladatok

Függvények használata valós folyamatok elemzésében. Függvény alkalmazása matematikai modell készítésében.

Fizika, kémia; biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.

Számtani sorozat, mértani sorozat, kamatos kamatszámítás.

Felismerés, alkalmazás. Geometria

Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. Távolságok és szögek kiszámítása.

Valós problémában a megfelelő geometriai fogalom felismerése, alkalmazása.

Geometriai transzformációk. Távolságok és szögek vizsgálata a transzformációknál.

Távolságok és szögek vizsgálata a transzformációknál

Egybevágóság, hasonlóság. Szimmetriák.

Szerepük felfedezése művészetekben, játékokban, gyakorlati jelenségekben.

Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. A háromszög nevezetes vonalai, pontjai és körei. Összefüggések a háromszög oldalai, oldalai és szögei között. A derékszögű háromszög oldalai, oldalai és szögei közötti összefüggések.

Állítások, tételek jelentésére való emlékezés. A problémának megfelelő összefüggések felismerése, alkalmazása.

Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. Négyszögek csoportosítása különböző szempontok szerint. Szimmetrikus négyszögek tulajdonságai.

Állítások, tételek jelentésére való emlékezés.

Körre vonatkozó tételek és alkalmazásuk.

Felismerés, alkalmazás

Számítási feladatok. Szögfüggvények alkalmazása háromszögekben. Forgásszögek. Vektorok, vektorok koordinátái. Bázisrendszer. Vektorok alkalmazásai.

Fogalmak és tételek pontos ismerete.

Fogalmak és tételek pontos ismerete.

Egyenes egyenlete. Kör egyenlete. Parabola egyenlete. Két alakzat közös pontja.


Kerületszámítás, területszámítás. A tanult térbeli alakzatok áttekintése. Felszín- és térfogatszámítás.

A tanult ismeretek rendszerezése.

Valószínűség-számítás, statisztika Diagramok. Statisztikai mutatók: Adathalmazok jellemzése önállóan középértékek és szóródási választott mutatók segítségével. A mutatók reprezentatív minta jelentőségének megértése.

Magyar nyelv és irodalom: a tartalom értékelése hihetőség szempontjából; a szöveg hitelességével kapcsolatos tartalmi elemek magyarázata; a kétértelmű, többjelentésű tartalmi elemek feloldása; egy következtetés alapját jelentő tartalmi elem felismerése; az olvasó előismereteire alapozó figyelemfelhívó jellegű címadás felismerése.

Gyakoriság, relatív gyakoriság. Véletlen esemény valószínűsége. A valószínűség kiszámítása a klasszikus modell alapján. A véletlen törvényszerűségei.

Technika, életvitel és gyakorlat; biológiaegészségtan: szenvedélybetegségek és rizikófaktor.

A valószínűség és a statisztika törvényei érvényesülésének felfedezése a termelésben, a pénzügyi folyamatokban, a társadalmi folyamatokban. A szerencsejátékok igazságtalanságának és a játékszenvedély veszélyeinek felismerése.

Következtetés. Definíció. Tétel. Bizonyítás. Halmaz, alaphalmaz, igazsághalmaz, megoldáshalmaz. Függvény/transzformáció. Értelmezési Kulcsfogalmak/ tartomány. Művelet, műveleti tulajdonság. Egyenlet, azonosság, fogalmak egyenletrendszer, egyenlőtlenség. Ekvivalencia. Ellenőrzés. Véletlen, valószínűség. Adat, statisztikai mutató. Térelem, mennyiségi jellemző (távolság,

szög, kerület, terület, felszín, térfogat). Matematikai modell.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Továbbhaladás feltételei Ismeri és alkalmazza a tanult halmazműveleteket. Képes adott véges halmazok esetén kiszámítani a számosságokat. Tud egyszerű (matematikai) szövegeket értelmezni. Megfelelően alkalmazza az ítélet fogalmát. Egyszerű feladatokban alkalmazza a negáció, konjunkció, diszjunkció műveletét, és ezt össze tudja kapcsolni a halmazműveletekkel. Különbséget tud tenni definíció és tétel között. Használja és alkalmazza feladatokban a szükséges, az elégséges és a szükséges és elégséges feltételt. Tud kombinatorikai feladatokat megoldani. Tud konkrét szituációkat szemléltetni gráfok segítségével. Tud prímtényezős felbontás és a tanult oszthatósági szabályok alkalmazásával egyszerű feladatokat megoldani. Ismeri a való számkör felépítését. Ismeri és használja a hatványozás azonosságait. Ismeri és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát és azonosságait. Tud algebrai kifejezésekkel műveleteket végezni. Felismeri az egyenes és fordított arányosságot, jól alkalmazza a százalékszámítást. Algebrai és grafikus módon is tud első- és másodfokú egyenleteket, egyenlőtlenségeket, valamint elsőfokú egyenletrendszereket megoldani. Képes nagyon egyszerű abszolút értékes, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenleteket megoldani. Tud értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni és adatokat leolvasni a grafikonról. Képes jellemezni grafikonnal megadott függvényeket. Ki tudja számítani számtani, illetve mértani sorozat tagjait és részletösszegeit. Ismeri a sorozatok alapvető jellemzőit, képes konvergens sorozatok határértékét meghatározni. Helyesen alkalmazza feladatokban a térelemek távolságára és szögére vonatkozó definíciókat. Felismeri és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit. Ismeri a háromszög oldalai és szögei közötti összefüggéseit, a háromszög nevezetes vonalait és pontjait. Képes alkalmazni a Thalész- és a Pitagorasz-tételt. Ismeri a négyszögek fajtáit és tulajdonságait. Helyesen alkalmazza a tanult kerület-, terület-, felszín- és térfogat-számítási képleteket, módszereket feladatokban. Képes háromszögek hiányzó adatainak kiszámítására szögfüggvények, illetve szinusz- és koszinusztétel segítségével. Érti a vektor koordinátáinak fogalmát. Jól tudja különböző adatokból az egyenes és a kör egyenletét felírni. Képes egyenesek metszéspontját kiszámolni. Képes statisztikai adatokat rendezni, grafikonon ábrázolni, adott diagramról információt kiolvasni. Meg tudja határozni konkrét adatsokaság móduszát, mediánját, aritmetikai átlagát. Képes adathalmazokat összehasonlítani statisztikai mutatók segítségével. Feladatokban jól alkalmazza a klasszikus és a geometriai valószínűség-számítási modellt.


Gondolkodási és megismerési módszerek – Halmazok számosságával kapcsolatos ismeretek áttekintése. – A kombinatorikai problémák rendszerezése. – Bizonyítási módszerek áttekintése. – A gráfok eszköz jellegű használata probléma megoldásában. Számelmélet, algebra

– – –

A kiterjesztett gyök-, és hatványfogalom ismerete. A logaritmus fogalmának ismerete. A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben, probléma megoldása céljából. – Exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldása, ellenőrzése. – Trigonometrikus egyenletek megoldása, az azonosságok alkalmazása, az összes gyök megtalálása. – Egyenletek ekvivalenciájának áttekintése. – A számológép biztos használata. Függvények, az analízis elemei –

Exponenciális-, logaritmus- és a trigonometrikus függvények értelmezése, ábrázolása, jellemzése. – Függvénytranszformációk. – Exponenciális folyamatok matematikai modellje. – A számtani és a mértani sorozat. Rekurzív sorozatok. – Pénzügyi alapfogalmak ismerete, pénzügyi számítások megértése, reprodukálása, kamatos kamatszámítás elvégzése. – Sorozatok vizsgálata monotonitás, korlátosság, határérték szempontjából. Véges és végtelen sorok összegzése. – A függvények vizsgálata, jellemzése elemi eszközökkel és differenciálszámítás használatával. – Az integrálszámítás használata, gyakorlati alkalmazása. Geometria – – –

Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták. Két vektor skaláris szorzata, vektoriális szorzata. Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében, szinusztétel, koszinusztétel alkalmazása. – A geometriai és algebrai ismeretek közötti kapcsolódás elemeinek ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör, egyenes, parabola egyenlete, geometriai feladatok algebrai megoldása. – Térbeli viszonyok, testek felismerése, geometriai modell készítése. – Távolság, szög, kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása. Valószínűség, statisztika – – –

Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében. A valószínűség matematikai fogalma, klasszikus kiszámítási módja. Mintavétel és valószínűség kapcsolata, alkalmazása.

3. A középszintű érettségi témakörei Az aktuális érettségi vizsgaszabályzat szerinti témakörök és tananyag elemek Elérhető a tantárgy érettségi követelményeinek kijelölésénél a minisztérium honlapján

4. Az osztályozó vizsga követelményei 7-12. évfolyam: félévi: Az aktuális tankönyv fele oldalszámáig bezárt tananyagelemek a pedagógiai programnak megfelelően. évvégi: A pedagógiai programnak megfelelően kijelölt éves tananyag. Emelt csoport: emelt szintű követelményekhez és számonkérési módokhoz igazodva 11. félévi: Az aktuális tankönyv fele oldalszámáig bezárt tananyagelemek a pedagógiai programnak megfelelően+sorozat határértéke tananyagrész évvégi: A pedagógiai programnak megfelelően kijelölt éves tananyag.(sorozat+ függvény határértéke is) 12.félévi: Az aktuális tankönyv fele oldalszámáig bezárt tananyagelemek a pedagógiai programnak megfelelően+differenciálszámítás tananyagrész évvégi: A pedagógiai programnak megfelelően kijelölt éves tananyag.( differenciál és integrálszámítás is)

Helyi tanterv. Matematika évfolyam

Recommend Documents