BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang Pertemuan 3. 1. PELUANG 1.6 Peluang Bersyarat Peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut peluang bersyarat dan dinyatakan dengan P (B|A) Pandanglah kejadian B mendapatkan suatu kuadrat murni bila sebuah dadu dilantunkan. Jadi B = {1, 4}. Dadu dibuat sedemikian rupa sehingga bilangan genap dua kali lebih besar dari peluang munculnya bilangan ganjil. Jadi P (B) = 39 = 13 . Sekarang misalkan diketahui bahwa lantunan dadu menghasilkan bilangan lebih besar dari 3. Jadi ruang sampel yang dihadapi telah mengecil menjadi A = {4, 5, 6}. Maka B|A = {4} P (B|A) = 25 , atau P (B|A) =
2 5
=
2 9 5 9
=
P (A∩B) P (A)
Defenisi 1.5 Peluang bersyarat B bila A diketahui, dinyatakan dengan P (B|A), ditentukan oleh P (B|A) =
P (A∩B) P (A) ,
bila P (A) > 0.
Kejadian Bebas Defenisi 1.5 Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika P (B|A) = P (B) dan P (A|B) = P (A). Jika tidak demikian A dan B tak bebas. 1.7 Aturan perkalian Teorema 1.10 Bila kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan, maka P (A ∩ B) = P (A)P (B|A) Contoh 1.15 Misalkan kita mempunyai kotak berisi 20 sekering, lima diantaranya cacat. Bila dua sekering dikeluarkan dari kotak satu demi satu secara acak (tam,pa memgembalikan yang pertama kedalam kotak), berpakah peluang kedua sekering itu cacat ? Jawab Misalakan A kejadian bahwa sekering pertama cacat dan B kejadian bahwa 1
yang kedua cacat. Tafsirkan A ∩ B sebagai kejadian bahwa A terjadi dan kemudian B terjadi setelah A terjadi. 4 1 5 4 . 19 = 14 . 19 = 19 Jadi P (A ∩ B) = P (A)P (B|A) = 20 Contoh 1.16 Suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam, dann kantong kedua berisi 3 bola merah dan 5 bola hitam. satu bola diambil dari kantong pertama dan dimasukkan tampa melihatnya ke kantong kedua. Berapa peluangnya sekarang mengambil bola hitam dari kantong kedua ?. Teorema 1.11 dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika P (A ∩ B) = P (A)P (B) Contoh 1.17 Dua dadu dilantukan dua kali. Berapa peluangnya mendapat jumlah 7 dan 11 dalam dua kali lantunan?. Teorema 1.12 Bila dalam suatu percobaan, kejadian A1 , A2 , ...., Ak dapat terjadi, maka P (A1 ∩ A2 ... ∩ Ak ) = P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |(A1 ∩ A2 )...P (Ak |A1 ∩ A2 ... ∩ AK ) Bila kejadian A1 , A2 , ...., Ak bebas, maka P (A1 ∩ A2 ... ∩ Ak ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 )...P (Ak ) Tugas 2c 1.6 dan 1.7 No. 3, 5, 6, 14, 19 1. Sampel acak 200 orang dewasa dikelompokkan menurut jenis kelamin dan pendidikan Pendidikan
Pria
wanita
SD
38
45
SM
28
50
PT
22
17
Bila seorang diambil secara acak dari kelompok ini, cari peluangnya dia seorang a. pria, bila diketahui pendidikannya SM; b. yang tidak berpendidikan PT, bila diketahui dia wanita. 2. Dari 100 mahasiswa diketahui, 42 ikut kuliah matematika, 68 ikut kuliah psikologi, 54 ikut kuliah sejarah, 22 ikut kuliah matematika dan sejarah, 2
25 ikut kuliah matematika dan psikologi, 10 ikut ketiga kuliah, dan 8 tidak ikut satu pun dari ketiganya. Bila seorang mahasiswa dipilih secara acak, cari peluangnya bahwa a. seseorang yang ikut psikologi mengambil ketiga kuliah b. seseorang yang tidak ikut psikologi mengikuti sejarah dan matematika 3. Dua dadu dilantunkan. bila diketahui bahwa satu dadu memunculkan 4, berapkah peluang bahwa a. yang kedua muncul 5? b. jumlah keduanya lebih besar dari 7? 4. Suatu kantong berisi 4 bola putih dan 3 bola hitam, sedangkan kantong kedua berisi 3 bola putih dan 5 bola hitam. satu bola diambil dari kantong kedua tampa melihatnya dan dimasukkan ke kantong pertama. Berapakah sekarang peluang mengambil sebuah bola dari kantong pertama bewarna putih? 5. Satu tas berisi 2 botol (kecil) aspirin dan 3 botol obat masuk angin. Tas kedua berisi 3 botol aspirin, 2 botol obat masuk angin dan 1 botol obat rematik. Bila 1 botol diambil secara acak dari setiap tas, cari peluangnya bahwa a. kedua botol berisi obat masuk angin b. tidak ada botol yang berisi obat masuk angin c. kedua botol berisi obat yang berlainan 1.8 Aturan Bayes Diperhatikan peluang bersyarat berikut, misalkan ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang telah tamat SMA disuatu kota kecil. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan berikut Bekerja
Tak Bekerja
Jumlah
Lelaki
460
40
500
Wanita
140
260
400
Jumlah
600
300
900
Misalkan ada keterangan tambahan bahwa dari 36 dari satatus yang bekerja dan 12 dari yang menganggur adalah anggota koperasi. Misalkan kejadian A adalah kejadian bahwa yang terpilih adalah anggota koperasi. Dapat dibuat diagram venn
3
A : orang yang terpilih dalam status anggota koperasi E : orang yang tepilih dalam status bekerja Jadi : A = (E ∩ A) ∪ (E 0 ∩ A) Kita bisa menghitung ; 2 36 3 P (E) = 600 900 = 3 , P (A|E) = 600 = 50 , dan 1 12 1 0 P (E 0 ) = 300 900 = 3 , P (A|E ) = 300 = 25 P (A)
=P [(E ∩ A) ∪ (E 0 ∩ A)] =P (E ∩ A) + P (E 0 ∩ A) =P (E)P (A|E) + P (E)P (A|E 0 ) 3 = 23 50 + 4 = 75
1 1 3 25
Teorema 1.13 Misalkan kejadian B1 , B2 , ..., Bk merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel T dengan P (Bi ) 6= 0 untuk i = 1, 2, ..., k, maka untuk setiap kejadian A anggota T Pk Pk P (A) = i=1 P (Bi ∩ A) = i=1 P (Bi )P (A|Bi ) Contoh 1.18 Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang pak Ali terpilih 0,3, peluang pak Badu terpilih 0,5, sedangkan peluang pak Cokro 0,2. Kalau pak Ali terpilih maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0,8. Bila pak Badu atau pak Cokro yang terpilih maka peluang kenaikan iuran masing-masing 0,1 dan 0,4. Berapa peluang iuran akan naik ? Jawab A : orang yang terpilih manaikkan iuran B1 : pak Ali yang terpilih B1 : pak Badu yang terpilih B3 : pak Cokro yang terpilih
4
P (A)
= = = =
P (B1 )P (A|B1 ) + P (B2 )P (A|B2 ) + P (B3 )P (A|B3 ) 0,3.0,8+0,5.0,1+0,2.0,4 0,24+0,05+0,08 0,37
Teorema 1.14 ( Aturan Bayes ).Misalkan kejadian B1 , B2 , ..., Bk merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel T dengan P (Bi ) 6= 0 untuk i = 1, 2, ..., k. Misalkan A suatu kejadian sembarang dalam T dengan P (A) 6= 0 maka r ∩A) = P (Br |A) = P (B P (A) untuk r = 1, 2, ..., k
P (B )P (A|Br ) Pk r i=1 P (Bi ∩A)
=
P (Br )P (A|Br ) Pk i=1 P (Bi )P (A|Bi )
Contoh 1.19 Pada contoh 1.18, bila seorang merencanakan untuk jadi anggota koperasi tersebut tapi menundanya beberapa minggu dan kemudian mengetahui bahwa iuran telah naik, berapakah pak Cokro terpilih jadi ketua ? Jawab )P (A|B3 ) P (B3 |A) = P3P (BP3(B )P (A|B ) i=1
= = = = =
i
i
P (B3 )P (A|B3 ) P (B1 )P (A|B1 )+P (B2 )P (A|B2 )+P (B3 )P (A|B3 ) 0,2.0,4 0,3.0,8+0,5.0,1+0,2.0,4 0,08 0,24+0,05 0,08 0,37 8 37
Tugas 3 1.8 No. 2,4 Soal Ulangan No. 2, 8, 12 1. Polisi merencanakan memantau batas kecepatan dengan menggunakan perangkap radar di 4 tempat yang berlainan di suatu kota. radar di setiap tempat T1 , T2 , T3 , dan T4 dipasang 40%, 30%, 20%, dan 30% dari waktu sehari dan bila seseorang yang ngebut ke kantor berpeluang masingmasing 0,2, 0,1, 0,5, dan 0,2 melalui tiap tempat, berapa peluang dia akan kena tilang ?. 2. bila di soal 2 orang tersebut kena tilang dalam perjalanan ke kantor, berapa peluang dia melewati perangkap radar di tempat T2 3. Seorang ahli alergi mengemukakan bahwa 50% dari penderita yang dia uji alergi terhadap sejenis rumput. Berapa peluangnya bahwa a. tepat dari 3 penderita yang akan datang berobat alergi terhadap rumput ? 5
b. tidak ada dari ke 4 penderita berikut yang alergi terhadap rumput?. 4. Dari kelompok yang terdiri atas 4 pria dan 5 wanita, berapa banyak panitia yang beranggotakan 3 orang dapat dibuat a. tampa pembatasan b. dengan 1 pria dan 2 wanita? c. dengan 2 pria dan 1 wanita bila pria tertentu harus termasuk dalam panitia?. 5. Sebuah kotak berisi 6 bola hitam dan 4 bola hijau. tiga bola diambil secara berturutan, tiap bola dikembalikan ke kotak sebelum bola berikutnya diambil. berapakah peluang bahwa a. ketiga bola bewarna sama b. tiap warna terwakili? 2. PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSI PELUANG 2.1 Pengertian Peubah Acak Defenisi 2.1 Peubah acak ialah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel Contoh 2.1 Tiga orang petani ; pak Ali, Badu , dan Cokro menitipan pecinya di pagi hari pada seorang anak. Sore harinya si anak mengembalikan peci tersebut secara acak pada ketiga petani. Bila pak Ali, Badu, dan Cokro dalam urutan seperti itu menerima peci dari si anak maka tuliskanlah titik sampel untuk semua urutan yang mungkin mendapatkan peci tersebut dan kemudian cari nilai c dari peubah acak C yang menyatakan jumlah urutan yang cocok. Jawab Ruang Sampel
c
ABC ACB BAC BCA CAB CBA
3 1 1 0 0 1
2.2 Distribusi peluang diskret Bila kejadian pada contoh 2.1 diberi bobot sama maka peluang bahwa tidak ada petani yang menerima topinya yang benar, yaitu peluang bahwa C mendapat nilai 0 adalah 1/3. Kemungkinan nilai c dari C dan peluangnya, diberikan oleh
6
c
0
1
3
P (C = c)
1 3
1 2
1 6
Defenisi 2.2 Himpunan pasangan terurut (x, f (x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskret X bila, untuk setiap kemungkinan hasil X 1. P f (x) ≥ 0 2. x f (x) = 1 3. P 0 (X = x) = f (x) Contoh 2.2 Suatu pengiriman 8 komputer pc yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer ini secara acak, cari distribusi peluang banyaknya yang cacat. Contoh 2.3 Bila 50 persen mobil yang dijual oleh suatu agen bermesin diesel, cari rumus distribusi peluang banyaknya mobil bermesin diesel bagi ke-4 mobil berikutnya yang dijual agen tersebut. Defenisi 2.3 Distribusi kumulatif F (x) suatu peubah acak diskret X dengan distribusi peluang f (x) dinyatakan P F (x) = P (X ≤ x) = t≤x f (t) untuk −∞ < x < ∞ Contoh 2.4 Hitunglah distribusi kumulatif peubah acak X dalam contoh 2.3. Dengan menggunakan F (x), perlihatkan bahwa f (2) = 2/8 2.3 Distribusi peluang kontinu Defenisi 2.4 Fungsi f (x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X, yang didefenisikan di atas himpunan semua bialgan real R, bila 1. f (x) ≥ 0 untuk semua x ∈ R R∞ 2. −∞ f (x)dx = 1 Rb 3. P (a < x < b) = a f (x)dx. Contoh 2.5 Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam o C, pada percobaan laboratorium yang dikontrol merupakan peubah acak X yang mempunyai fungsi padat peluang x2
,−1<x<2
3 f (x) = {0,untukxlainnya
7
a. Tunjukkan bahwa syarat 2 defenisi 2.4 dipenuhi, b. hitunglah P (0 < x ≤ 2) Tugas 3b 2.1, 2.2, dan 2.3 No. 2,6,7,17,21
8
