BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang Pertemuan 6. 3. HARAPAN MATEMATIK 3.2 Variansi dan kovariansi Keragaman suatu peubah acak X diperoleh dengan mengambil g(X) = (X−µ)2 . Rataan ini disebut dengan variansi peubah acak X atau variansi distribusi peluang X dan dinyatakan dengan V ar(X) atau lambang σx2 atau σ 2 . Defenisi 3.3 Misalkan peubah X peubah acak dengan distrubusi peluang f (x) dan rataan µ. Variansi X adalah σ 2 = E[(X − µ)2 ] = Σx (x − µ)2 f (x) bila X diskret, dan σ 2 = E[(X − µ)2 ] =
R∞ −∞
(x − µ)2 f (x)dx
bila X kontinu. Akar positip variansi, σ disebut simpangan baku X Contoh 3.7 Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya mobil yang digunakan untuk keperluan dinas kantor pada setiap hari kerja. Distribusi peluang untuk kantor A x
1
2
3
f (x)
0,3
0,4
0,3
dan untuk kantor B x
0
1
2
3
4
f (x)
0,2
0,1
0,3
0,3
0,1
Tunjukkan bahwa variansi distribusi peluang kantor B lebih besar dari pada variansi kantor A. Teorema 3.2 Variansi peubah acak X adalah σ 2 = E(X 2 ) − µ2 Contoh 3.8 Permintaan mingguan coca cola, dalam ribuan liter, pada suatu jaringan pemasaran daerah, merupakan peubah acak kontinu X dengan fungsi padat peluang 2(x−1),1<x<2
f (x) = {0,xlainnya
1
Cari rataan dan variansi X. Defenisi 3.4 Misalkan X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f (x, y). Kovariansi X dan Y adalah σXY = E[(X − µX )(Y − µY ) = Σx Σy (x − µx )(y − µy )f (x, y) bila X dan Y diskret, dan R∞ R∞ σXY = E[(X − µX )(Y − µY )] = −∞ −∞ (x − µx )(y − µy )f (x, y) bila X dan Y kontinu Teorema 3.3 Kovariansi dua peubah acak X dan Y dengan rataan, masing-masing, µX dan µY diberikan oleh σXY = E(XY ) − µX µY Contoh 3.9 Banyaknya isi balpoint biru X dan banyaknya yang merah Y , bila 2 isi balpoin dipilih secara acak dari suatu kotak tertentu, telah diberikan contoh 3.6 dengan distribusi peluang gabungan berikut f (x, )
x=0
x=1
x=2
Jumlah baris
y=0
3 28
9 28
3 28
15 28
y=1
3 14
3 14
y=2
1 28
Junlah lajur
5 14
3 7 1 28
15 28
3 28
1
Cari kovariansi X dan Y . Tugas 6 3.2 Nomor 2,3,4,11 1. Misalkan X peubah acak dengan distribusi peluang sebagai berikut : x
-2
3
5
f (x)
0,3
0,2
0,5
Hitunglah rataan dan simpangan baku X 2. Peubah acak X, menyatakan banyaknya serpihan coklat pada sebuah kue,
2
mempunyai distribusi peluang berikut : x
2
3
4
5
6
f (x)
0,01
0,25
0,4
0,3
0,04
Gunakan teorema 3.2 untuk mencari variansi X. 3. Misalkan 0,1,2, dan 3 seringnya mati listrik suatu daerah dalam sebulan dengan peluang, masing-masing, 0,4, 0,3, 0,2, dan 0,1. Cari rataan dan variansi peubah acak X yang menyatakan banyaknya mati listrik pada daerah itu. 4. Lamanya, dalam menit, suatu pesawat terbang menunggu tanda boleh tinggal landas di suatu bandar udara merupakan peubah acak Y = 3x − 2, bila X mempunyai fungsi padat 1 −x/4
e
4 f (x) = {0,xlain
Carilah rataan dan variansi peubah acak Y 3.3 Rataan dan variansi dari kobinasi linear peubah acak Teorema 3.4 Bila a dan b tetapan, maka E(aX + b) = aE(X) + b Bukti Menurut defenisi nilai harapan, R∞ R∞ R∞ E(aX + b) = −∞ (ax + b)f (x)dx = a −∞ xf (x)dx + b −∞ f (x)dx = aE(X) + b Akibat 1 Bila diambil a = 0 maka E(b) = b Akibat 2 Bila diambil b = 0 maka E(aX) = aE(X) Contoh 3.10 Dengan menggunakan teorema kerjakan kembali contoh 3.4 Teorema 3.5 Jumlah nilai harapan atau selisih sua atau lebih fungsi suatu peubah acak X sama dengan jumlah atau selisih nilai harapan tersebut, yaitu E[g(X) ± h(X)] = E[g(X)] ± E[h(X)] Contoh 3.11 Pembelian mingguan teh botol, dalam ribuan liter, dari suatu agen daerah berbentuk suatu peubah acak kontinu g(X) = X 2 + X − 2, bila X mempunyaui fungsi padat 2(x−1),1<x,2
f (x){0,xlain
Cari nilai harapan g(X) = X 2 + X − 2 3
Teorema 3.6 E[g(X, Y ) ± h(X, Y )] = E[g(X, Y )] ± E[h(X, Y )] Teorema 3.7 Misalkan X dan Y dua peubah acak yang bebas. Maka E(XY ) = E(X)E(Y ) Contoh 3.12 Misalkan X dan Y peubah acak bebas dengan distribusi gabungan x(1+3y 2 )
,0<x<2,0
4 f (x) = {0,xlain Periksa apakah E(XY ) = E(X)E(Y ) sepertin teorema 3.7 dipenuhi.
Teorema 3.8 Bila a dan B tetapan, maka σaX+b = a2 σx2 = a2 σ 2 Teorema 3.9 Bila X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f (x, y), maka 2 2 σaX+bY = a2 σX + b2 σY2 + 2abσXY Contoh 3.13 2 = 2, σY2 = 4, dan kovariansi Bila X dan Y peubah acak dengan variansi σX σXY = −2, carilah variansi peubah acak Z = 3X − 4Y + 8 3.4 teorema Chebyshev Teorema 3.10 Peluang setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rataan adalah paling sedikit 1 − k12 , yaitu P (µ − kσ < X < µ + kσ) ≥ 1 − k12 Contoh 3.14 Suatu peubah acak X mempunyai rataan µ = 8, variansi σ 2 = 94, sedangkan peluang distribusinya tidak diketahui. Hitunglah a. P (−4 < X < 20), dan b. P (|X − 8| ≥ 6). Tugas 6b 3.3 dan 3.4 Nomor 3,5,10,14,16 1. Misalkan bahwa suatu restoran membeli 5 botol susu murni dari penyalur 1,2 ribu rupiah per botol dan menjualnya 1,65 ribu rupiah per botol. setelah tanggal kadaluarsa, susu yang tak terjual dibuang dan restoran menerima kredit dari penyalur sebanyak 34 dari harga beli. Bila distribusi peluang peubah acak X, banyaknya botol susu yang terjual dari ke 5 yang dibeli adalah sebagai berikut
4
x
0
1
2
3
4
5
f (x)
1 15
2 15
2 15
3 15
4 15
3 15
2. Misalkan X peubah acak dengan distribusi peluang berikut x
-3
6
9
f (x)
1 6
1 2
1 3
Hitunglah E(X) dan E(X 2 ) dan kemudian, dengan menggunakan sifat nilai harapan, hitunglah E[(2X + 1)2 ]. 3. Misalkan X menyatakan bilangan yang muncul bila sebuah dadu merah dilantunkan dan Y bilangan yang muncul bila sebuah dadu hijau dilantunkan. Hitunglah a. E(X + Y ) b. E(X − Y ) c. E(XY ) 2 = 5 dan σY2 = 3, 4. Bila X dan Y dua peubah acak bebas dengan variansi σX hitunglah variansi peubah acak Z = −2X + 4Y − 3
5. Suatu peubah acak X mempunyai rataan µ = 10 dan variansi σ 2 = 9, sedangkan distribusi peluangnya tidak diketahui. Dengan menggunakan teorema Chebysev hitunglah a. P (6 < X, 18); b. P (3 < X < 21). Soal Ulangan Nomor 7 1. Misalkan diketahui bahwa unsur X sejenis kompresor, dalam jam, mempunyai fungsi padat 1
e−x900 ,x>0
900 f (x) = {0,xlain
a. Cari rataan umur kompresor b. Cari E(X 2 ) c. Cari variansi dan simpangan baku peubah acak X 4. BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG DISKRET 4.1 Pendahuluan 4.2 Distribusi seragam diskret 4.3 Distribusi binomial dan multinomial Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal. Pandang suatu kelompok usaha yang berupaya pengambilan tiga bahan secara 5
acak dari suatu hasil pabrik, diperiksa, dan kemudian yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat. Bahan yang cacat akan disebut sukses. Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak X dengan bilangan bulat dari 0 sampai 3. Kedelapan hasil yang mungkin ( C = cacat, T = tak cacat ) dan nilai X adalah Hasil TTT TCT TTC CTT TCC CTC CCT CCC
x 0 1 1 1 2 2 2 3
Karena bahan tersebut dipilih secara bebas dari hasil proses yang dianggap menghasilkan 25% = 14 bahan yang cacat, maka P (T CT ) = P (T )P (C)P (T ) = ( 34 )( 14 ) 34 ) =
9 64
distribusi peluang X adalah x
0
1
2
3
f (x)
27 64
27 64
9 64
1 64
Distribusi peluang peubah acak diskret X ini disebut distribusi binomial dan dinyatakan dengan B(x; n, p) n, banyaknya usaha p, peluang sukses P (X = 1) = f (1) = b(1; 3, 14 ) = P (X = 2) = f (2) = b(2; 3, 14 ) =
27 64 9 64
Distribusi binomial Suatu usaha bernoulli dapat menghasilakan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1 − p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas, ialah n b(x; n, p) = px q n−x , x = 0, 1, 2, 3, ..., n x Contoh 4.1 Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang 3/4. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak. Contoh 4.2 Peluang untuk seorang penderita penyakit darah yang jarang adalah 0,4. Bila diketahui ada 15 orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapkah peluangnya 1. paling sedikit 10 akan sembuh, 6
2. antara 3 samapi 8 yang sembuh, 3. tepat 5 yang sembuh ?. Teorema 4.1 Distribusi binomial b(x; n, p) mempunyai rataan dan variansi µ = np dan σ 2 = npq Contoh 4.3 Hitung rataan dan variansi peubah acak binomial di contoh 4.1, dan gunakan teorema Chebyshev untuk menafsirkan selang µ ± 2σ Tugas 6c 4.1, 4.2, dan 4.3 Nomor 1, 5, 9, 22 Pengampuh : Afrizal,S.Pd,M.PMat Sumber : Ilmu peluang dan statistika untuk insinyur dan ilmuwan, R E Walpole
7
