BAB V TEOREMA RANGKAIAN

92 Rangkaian Listrik

BAB V TEOREMA RANGKAIAN Pada bab ini akan dibahas penyelesaian persoalan yang muncul pada Rangkaian Listrik dengan menggunakan suatu teorema tertentu. Dengan pengertian bahwa suatu persoalan Rangkaian Listrik bukan tidak dapat dipecahkan dengan hukum-hukum dasar atau konsep dasar ataupun dengan bantuan suatu analisis tertentu yang dibahas pada bab sebelumnya, tetapi pada bab ini dibahas bahwa penggunaan teorema tertentu dalam menyelesaikan persoalan yang muncul pada Rangkaian Listrik dapat dilakukan dengan menggunakan suatu teorema tertentu. Bahwa nantinya pada implementasi penggunaan teorema tertentu akan diperlukan suatu bantuan konsep dasar ataupun analisis rangkaian. Ada beberapa teorema yang dibahas pada bab ini , yaitu : 1. Teorema Superposisi 2. Teorema Substitusi 3. Teorema Thevenin 4. Teorema Norton 5. Teorema Millman 6. Teorema Transfer Daya Maksimum Teorema Superposisi Pada teorema ini hanya berlaku untuk rangkaian yang bersifat linier, dimana rangkaian linier adalah suatu rangkaian dimana persamaan yang muncul akan memenuhi jika y = kx, dimana k = konstanta dan x = variabel. Dalam setiap rangkaian linier dengan beberapa buah sumber tegangan/ sumber arus dapat dihitung dengan cara : Menjumlah aljabarkan tegangan/ arus yang disebabkan tiap sumber independent/ bebas yang bekerja sendiri, dengan semua sumber tegangan/ arus independent/ bebas lainnya diganti dengan tahanan dalamnya. Pengertian dari teorema diatas bahwa jika terdapat n buah sumber bebas maka dengan teorema superposisi samadengan n buah keadaan rangkaian yang dianalisis, dimana nantinya n buah keadaan tersebut akan dijumlahkan. Jika terdapat beberapa buah sumber tak bebas maka tetap saja teorema superposisi menghitung untuk n buah keadaan dari n buah sumber yang bebasnya. Rangkaian linier tentu tidak terlepas dari gabungan rangkaian yang mempunyai sumber independent atau sumber bebas, sumber dependent / sumber tak bebas linier (sumber dependent arus/ tegangan sebanding dengan pangkat satu dari tegangan/ arus lain, atau sebanding dengan jumlah pangkat satu besaran-besaran tersebut) dan elemen resistor ( R ), induktor ( L ), dan kapasitor ( C ).

Mohamad Ramdhani Sekolah Tinggi Teknologi Telkom


Contoh latihan : 1. Berapakah arus i dengan teorema superposisi ?

Jawaban : Pada saat sumber tegangan aktif/bekerja maka sumber arus tidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit) :

20 = 1⋅ A 10 + 10 Pada saat sumber arus aktif/bekerja maka sumber tegangan tidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit) : maka : i1 =

10 .1 = −0,5 ⋅ A 10 + 10 sehingga :

i2 = −

i = i1 + i2 = 1 − 0,5 = 0,5 A


94 Rangkaian Listrik 2. Tentukan nilai i dengan superposisi !

Jawaban : Pada saat sumber Vs = 17V aktif/bekerja maka sumber tegangan 6 V diganti dengan tahanan dalamnnya yaitu nol atau rangkaian short circuit, dan sumber arus 2 A diganti dengan tahanan dalamnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit :

3Ω // 0Ω → R p1 = 0Ω 2 x2 = 1Ω 2+2 1 17 VR p 2 = x17 = V 1+ 3 4 − VR p 2 17 sehingga : i1 = =− A 2 8 2Ω // 2Ω → R p 2 =

Pada saat sumber Vs = 6V aktif/bekerja maka sumber tegangan 17 V diganti dengan tahanan dalamnnya yaitu nol atau rangkaian short circuit, dan sumber arus 2 A diganti dengan tahanan dalamnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit :



3x2 6 = Ω 3+ 2 5 6 16 Rs = R p1 + 2Ω = + 2 = Ω 5 5 16 x3 48 Rs // 3Ω → R p 2 = 5 = Ω 16 + 3 31 5 6 6 31 i2 = = = A R p 2 48 8 31 3Ω // 2Ω → R p1 =

Pada saat sumber Is = 2A aktif/bekerja maka sumber tegangan 17 V diganti dengan tahanan dalamnnya yaitu nol atau rangkaian short circuit, dan sumber tegangan 6 V diganti dengan tahanan dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit :

3x2 6 = Ω 3+ 2 5 = 0Ω

3Ω // 2Ω → R p1 = 3Ω // 0Ω → R p 2

2 5 x2 = A 6 4 2+ 5 sehingga : i = i1 + i2 + i3

i3 =

i=

− 17 31 5 24 + + = = 3A 8 8 4 8



3. Tentukan nilai i dengan superposisi !

Jawaban : Pada rangkaian ini terdapat sumber tak bebasnya, maka tetap dalam perhitungan dengan teorema superposisi membuat analisis untuk n buah keadaan sumber bebas, pada soal diatas terdapat dua buah sumber bebas, maka dengan superposisi terdapat dua buah keadaan yang harus dianalisis. Pada saat sumber Is = 8A aktif/bekerja maka sumber arus 4A diganti dengan tahanan dalamnnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit :

3 x(3i1 − 8) 3+ 2 3 i1 = x(3i1 − 8) 5 i1 =

5i1 = 9i1 − 24 → i1 =

24 = 6A 4

Pada saat sumber Is = 4A aktif/bekerja maka sumber arus 8A diganti dengan tahanan dalamnnya yaitu tak hingga atau rangkaian open circuit :



3 x(3i 2 + 4) 3+ 2 3 i2 = x(3i2 + 4) 5 i2 =

− 12 = −3 A 4 sehingga : i = i1 + i2 = 6 − 3 = 3 A

5i2 = 9i2 + 12 → i1 =

Teorema Substitusi Pada teorema ini berlaku bahwa : Suatu komponen atau elemen pasif yang dilalui oleh sebuah arus yang mengalir (sebesar i) maka pada komponen pasif tersebut dapat digantikan dengan sumber tegangan Vs yang mempunyai nilai yang sama saat arus tersebut melalui komponen pasif tersebut. Jika pada komponen pasifnya adalah sebuah resistor sebesar R, maka sumber tegangan penggantinya bernilai Vs = i.R dengan tahanan dalam dari sumber tegangan tersebut samadengan nol.

Contoh latihan :



2.2 + 1 = 1⋅ Ω 2+2 2 it = = 1 ⋅ A 2 2 .1 = 0,5 ⋅ A → i1 = 0,5 ⋅ A i2 = 2+2 Rt =

dengan teorema substitusi : Resistor 1 Ω yang dilalui arus i2 sebesar 0,5 A, jika diganti dengan Vs = 1.i2 = 0,5 V, akan menghasilkan arus i1 yang sama pada saat sebelum dan sesudah diganti dengan sumber tegangan.

Dengan analisis mesh : Loop i1 : ' ' ' − 2 + i1 + 2(i1 − i2 ) = 0 '

'

3i1 − 2i2 = 2 loop i2 : ' ' ' 0,5 + i2 + 2(i2 − i1 ) = 0 '

'

− 2i1 + 3i2 = −0,5 dengan metoda Cramer :  3 − 2  i1 '   2    '  =    − 2 3  i2   − 0,5  2 −2 − 0,5 3 6 −1 ' i1 = = = 1⋅ A 3 −2 9−4 −2 3 3 2 − 2 − 0,5 − 1,5 + 4 ' i2 = = = 0,5 ⋅ A 3 −2 9−4 −2 3 '

'

sehingga : i1 = i1 − i2 = 1 − 0,5 = 0,5 ⋅ A



Teorema Thevenin Pada teorema ini berlaku bahwa :

Suatu rangkaian listrik dapat disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu buah sumber tegangan yang dihubungserikan dengan sebuah tahanan ekivelennya pada dua terminal yang diamati. Tujuan sebenarnya dari teorema ini adalah untuk menyederhanakan analisis rangkaian, yaitu membuat rangkaian pengganti yang berupa sumber tegangan yang dihubungkan seri dengan suatu resistansi ekivalennya.

Pada gambar diatas, dengan terorema substitusi kita dapat melihat rangkaian sirkit B dapat diganti dengan sumber tegangan yang bernilai sama saat arus melewati sirkit B pada dua terminal yang kita amati yaitu terminal a-b. Setelah kita dapatkan rangkaian substitusinya, maka dengan menggunakan teorema superposisi didapatkan bahwa : 1. Ketika sumber tegangan V aktif/bekerja maka rangkaian pada sirkit linier A tidak aktif (semua sumber bebasnya mati diganti tahanan dalamnya), sehingga didapatkan nilai resistansi ekivelnnya.

2. Ketika sirkit linier A aktif/bekerja maka pada sumber tegangan bebas diganti dengan tahanan dalamnya yaitu nol atau rangkaian short circuit.



Dengan menggabungkan kedua keadaan tadi (teorema superposisi) maka didapatkan : i = i1 + isc V + i sc KK (1) Rth Pada saat terminal a-b di open circuit (OC), maka i yang mengalir samadengan nol (i = 0), sehingga : i=−

i=−

V + i sc Rth

0=−

Voc + isc Rth

Voc = isc .Rth KK (2) Dari persamaan (1) dan (2) , didapatkan : R V V 1 i=− + i sc = − + i sc th = (−V + i sc .Rth ) Rth Rth Rth Rth i.Rth = −V + Voc V = Voc − i.Rth Cara memperoleh resistansi penggantinya (Rth) adalah dengan mematikan atau menon aktifkan semua sumber bebas pada rangkaian linier A (untuk sumber tegangan tahanan dalamnya = 0 atau rangkaian short circuit dan untuk sumber arus tahanan dalamnya = ∞ atau rangkaian open circuit). Jika pada rangkaian tersebut terdapat sumber dependent atau sumber tak bebasnya, maka untuk memperoleh resistansi penggantinya, terlebih dahulu kita mencari arus hubung singkat (isc), sehingga nilai resistansi penggantinya (Rth) didapatkan dari nilai tegangan pada kedua terminal tersebut yang di-open circuit dibagi dengan arus pada kedua terminal tersebut yang di- short circuit . Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Thevenin : 1. Cari dan tentukan titik terminal a-b dimana parameter yang ditanyakan. 2. Lepaskan komponen pada titik a-b tersebut, open circuit kan pada terminal a-b kemudian hitung nilai tegangan dititik a-b tersebut (Vab = Vth). 3. Jika semua sumbernya adalah sumber bebas, maka tentukan nilai tahanan diukur pada titik a-b tersebut saat semua sumber di non aktifkan dengan cara diganti



dengan tahanan dalamnya (untuk sumber tegangan bebas diganti rangkaian short circuit dan untuk sumber arus bebas diganti dengan rangkaian open circuit) (Rab = Rth). 4. Jika terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari nilai tahanan pengganti V Theveninnya didapatkan dengan cara Rth = th . I sc 5. Untuk mencari Isc pada terminal titik a-b tersebut dihubungsingkatkan dan dicari arus yang mengalir pada titik tersebut (Iab = Isc). 6. Gambarkan kembali rangkaian pengganti Theveninnya, kemudian pasangkan kembali komponen yang tadi dilepas dan hitung parameter yang ditanyakan.

Contoh latihan : untuk sumber bebas/ independent 1. Tentukan nilai arus i dengan teorema Thevenin !

Jawaban : Tentukan titik a-b pada R dimana parameter i yang ditanyakan, hitung tegangan dititik a-b pada saat terbuka :

Vab = Voc = −5 + 4.6 = −5 + 24 = 19V



Mencari Rth ketika semua sumber bebasnya tidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya) dilihat dari titik a-b :

Rth = 4Ω Rangkaian pengganti Thevenin :

sehingga : i=

19 A 8

2. Tentukan nilai arus i dengan teorema Thevenin !

Jawaban : Tentukan titik a-b pada R dimana parameter i yang ditanyakan, hitung tegangan dititik a-b pada saat terbuka :



dengan analisis node :

Tinjau node voltage v1 : v1 v1 − 12 + −3= 0 6 12 2v1 + v1 − 12 − 36 = 0 3v1 = 48 → v1 =

48 = 16V 3

sehingga : Vab = Voc = 4.3 + v1 = 12 + 16 = 28V Mencari Rth ketika semua sumber bebasnya tidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya) dilihat dari titik a-b :

Rth =

6x12 + 4 = 4 + 4 = 8Ω 6 + 12



Rangkaian pengganti Thevenin :

sehingga : i=

28 28 = = 2A 8 + 6 14

3. Tentukan besarnya tegangan dititik a-b dengan teorema Thevenin !

Jawaban : Cari Vab pada saat titik a-b terbuka :

Vab = Voc = Vax + V xb 24 x 24 = 12V 24 + 24 48 V xb = x 24 = 16V 48 + 24 sehingga : Vab = Voc = −12 + 16 = 4V Mencari Rth ketika semua sumber bebasnya tidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya) dilihat dari titik a-b : V xa =



24 x 24 48 x 24 + = 12 + 16 = 28Ω 24 + 24 48 + 24 Rangkaian pengganti Thevenin : Rth =

sehingga : Vab = −4 + 28.2 = −4 + 56 = 52V Contoh latihan : untuk sumber tak bebas/ dependent

1. Tentukan nilai V dengan teorema Thevenin !

Jawaban : Mencari Vab dimana tegangan di R=3Ω, dimana rangkaian tersebut terbuka :



Vab = Voc = −2i1 − 1.i1 + 12 = −3i1 + 12 dim ana : i = −6 A Voc = (−3x − 6) + 12 = 18 + 12 = 30V Karena terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari Rth tidak bisa langsung dengan mematikan semua sumbernya, sehingga harus dicari nilai Isc :

i sc = i 2 + 6 Σv = 0 − 12 + 1.i2 + 2i2 = 0 12 = 4A 3 sehingga : i sc = i2 + 6 = 4 + 6 = 10 A

3i2 = 12 → i2 =

Voc 30 = = 3Ω i sc 10 Rangkaian pengganti Thevenin : maka : Rth =

V =

3 x30 = 15V 3+3

2. Tentukan nilai i dengan teorema Thevenin !



Jawaban : Cari Vab saat titik a-b terbuka :

Vab = Voc = +12 − 3.6 = 12 − 18 = −6V Karena terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari Rth tidak bisa langsung dengan mematikan semua sumbernya, sehingga harus dicari nilai Isc :

Σv = 0 2i sc + 3(i sc + 6) − 12 = 0 −6 A 5 V −6 sehingga : Rth = oc = = 5Ω −6 i sc 5 Rangkaian pengganti Thevenin : 5i sc + 6 = 0 → i sc =

i=

−6 = −1A 6



3. Tentukan nilai V dengan teorema Thevenin !

Jawaban : Mencari Vab :

3V V1 + V1 = 1 4 2 perhatikan..node..c : V1 V1 = +2 2 4 V1 = 2 → V1 = 8V 4 3V 3.8 sehingga : Voc = 1 = = 12V 2 2 Karena terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari Rth tidak bisa langsung dengan mematikan semua sumbernya, sehingga harus dicari nilai Isc : Vab = Voc = 2



Substitusikan persamaan (1) dan (2) : 4i i V i sc = 2 − 2 = 2 − sc = 2 − sc 4 3.4 3 4i sc 6 = 2 → i sc = A 3 4 Voc 12 sehingga : Rth = = = 8Ω 6 i sc 4 Rangkaian pengganti Thevenin :

V =

4 x12 = 4V 4+8



Teorema Norton Pada teorema ini berlaku bahwa : Suatu rangkaian listrik dapat disederhanakan dengan hanya terdiri dari satu buah sumber arus yang dihubungparalelkan dengan sebuah tahanan ekivelennya pada dua terminal yang diamati. Tujuan untuk menyederhanakan analisis rangkaian, yaitu dengan membuat rangkaian pengganti yang berupa sumber arus yang diparalel dengan suatu tahanan ekivalennya.

i=−

V +i sc RN

Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Norton : 1. Cari dan tentukan titik terminal a-b dimana parameter yang ditanyakan. 2. Lepaskan komponen pada titik a-b tersebut, short circuit kan pada terminal a-b kemudian hitung nilai arus dititik a-b tersebut (Iab = Isc = IN). 3. Jika semua sumbernya adalah sumber bebas, maka tentukan nilai tahanan diukur pada titik a-b tersebut saat semua sumber di non aktifkan dengan cara diganti dengan tahanan dalamnya (untuk sumber tegangan bebas diganti rangkaian short circuit dan untuk sumber arus bebas diganti dengan rangkaian open circuit) (Rab = RN = Rth). 4. Jika terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari nilai tahanan pengganti V Nortonnya didapatkan dengan cara R N = oc . IN 5. Untuk mencari Voc pada terminal titik a-b tersebut dibuka dan dicari tegangan pada titik tersebut (Vab = Voc). 6. Gambarkan kembali rangkaian pengganti Nortonnya, kemudian pasangkan kembali komponen yang tadi dilepas dan hitung parameter yang ditanyakan.



Contoh latihan : untuk sumber bebas/ independent 1. Tentukan nilai arus i dengan teorema Norton !

Jawaban : Tentukan titik a-b pada R dimana parameter i yang ditanyakan, hitung isc = iN saat R = 4Ω dilepas :

Analisis mesh : - Tinjau loop I1 : I 1 = 6 A................................(1) - Tinjau loop I3 : Σv = 0 − 5 + 8( I 3 − I 2 ) = 0 8( I 3 − I 2 ) = 5 substitusikan.. pers.(2) : 3I 8( 2 − I 2 ) = 5 2 5 4I 2 = 5 → I 2 = A 4 sehingga : i sc = i N = I 1 − I 2 = 6 −

5 19 = A 4 4



Mencari Rth ketika semua sumber bebasnya tidak aktif (diganti dengan tahanan dalamnya) dilihat dari titik a-b :

R N = 4Ω Rangkaian pengganti Norton :

i=

4 4 19 19 iN = . = A 4+4 8 4 8

2. Tentukan nilai v dengan teorema Norton !

Jawaban : Mencari isc :



20.12 15 = Ω 20 + 12 2 15 Rp 2 18 = 54 V V1 = x18 = 15 + 5 5 Rp + 5 2 V 27 i sc = i N = 1 = A 20 50 Mencari RN dititik a-b : 20Ω // 12Ω → R p =

5.12 60 = Ω 5 + 12 17 60 400 R N = R p + 20Ω = + 20 = Ω 17 17 Rangkaian pengganti Norton : 5Ω // 12Ω → R p =

R N // 40Ω → R p =

400 400

17

x 40

=

400 Ω 27

17 + 40 27 400 sehingga : v = i N xR p = x = 8V 50 27

3. Tentukan nilai i dengan teorema Norton !

Jawaban :



Mencari isc :

24 x6 = 2 A 48 + 24 24 I 12 Ω = x6 = 4 A 24 + 12 sehingga : i sc = i N = I 12 Ω − I 48Ω = 4 − 2 = 2 A Mencari RN : I 48Ω =

Rs1 = 24Ω + 48Ω = 72Ω Rs 2 = 24Ω + 12Ω = 36Ω Rs1 .Rs 2 72.36 = = 24Ω Rs1 + Rs 2 72 + 36 Rangkaian pengganti Norton : RN =

24 = 1A 24 sehingga : i = i N + i1 = 2 + 1 = 3 A

i1 =



Contoh latihan : untuk sumber tak bebas/ dependent

1. Tentukan nilai i dengan teorema Norton !


v1 = 3V Σv = 0 − 4v1 + 6i sc = 0 − 4.3 + 6i sc = 0 12 = 2A 6 sehingga : i sc = 2 A Mencari RN, harus mencari Voc : i sc =

v1 = 3V 12 12 x 4v1 = x12 = 8V 18 12 + 6 Voc 8 sehingga : R N = = = 4Ω i sc 2 Rangkaian pengganti Norton : Vab = Voc =



4 x 2 A = 1A 4+4 2. Tentukan nilai i dengan teorema Norton ! i=


Σv = 0 2isc + 3(i sc + 6) − 12 = 0 −6 A 5 Cari RN dengan mencari Vab saat titik a-b terbuka : 5i sc + 6 = 0 → i sc =

Vab = Voc = +12 − 3.6 = 12 − 18 = −6V Voc −6 = = 5Ω −6 i sc 5 Rangkaian pengganti Norton : sehingga : R N =



i=

5 −6 x = −1A 5 +1 5

3. Tentukan tegangan V dengan teorema Norton !


Σv = 0 i1 =0 2 5i1 12 = 6 → i1 = A 5 2 i1 12 1 sehingga : i sc = 2 = 10 = A 6 6 5 Mencari Vab : − 6 + 2i1 +



Vab = Voc =

i2 2

Σv = 0 i2 =0 2 5i2 12 A = 6 → i2 = 2 5 i 6 sehingga : Voc = 2 = V 2 5 6 V maka : R N = oc = 5 = 6Ω 1 i sc 5 Rangkaian pengganti Norton : − 6 + 2i2 +

2.6 = 2+6 1 sehingga : V = R p x A = 5

2Ω // 6Ω → R p =

3 Ω 2 3 1 3 x = V 2 5 10



Teorema Millman Teorema ini seringkali disebut juga sebagai teorema transformasi sumber, baik dari sumber tegangan yang dihubungserikan dengan resistansi ke sumber arus yang dihubungparalelkan dengan resistansi yang sama atau sebaliknya. Teorema ini berguna untuk menyederhanakan rangkaian dengan multi sumber tegangan atau multi sumber arus menjadi satu sumber pengganti.

Langkah-langkah : - Ubah semua sumber tegangan ke sumber arus

-

Jumlahkan semua sumber arus paralel dan tahanan paralel

it =

V1 V2 V3 + + R1 R2 R3

1 1 1 1 = + + Rt R1 R2 R3 -

Konversikan hasil akhir sumber arus ke sumber tegangan

Vek = it .Rt Rek = Rt



Contoh latihan :

1. Tentukan nilai V dengan transformasi sumber !

Jawaban : Tinjau transformasi sumber di titik a-b :

Σv = 0 − 16 + 8i + 12i + 36 = 0 − 20 = −1A 20 sehingga : V = −ix8Ω = −(−1) x8 = 8V

20i + 20 = 0 → i =



2. Tentukan ia dengan transformasi sumber !

Jawaban : Tinjau sumber arus 8A dan 4A ,sehingga dihasilkan sumber arus (8-4)=4 A :

Tinjau sumber arus 4A dan 3ia A ,sehingga dihasilkan sumber arus (3ia -4) A :

3 3 x(3ia − 4) = x(3ia − 4) 3+ 2 5 5ia = 9ia − 12

ia =

5ia − 9ia = −12 − 4ia = −12 → ia =

− 12 = 3A −4

3. Tentukan tegangan V dengan transformasi sumber !



Jawaban : Tinjau sumber arus 3A :

Tinjau sumber arus 9A :

Σv = 0 − 72 + 8i + 16i + 12i + 36 = 0 36 − 36 + 36i = 0 → i = = 1A 36 sehingga : V = +72 − 8i = 72 − 8.1 = 64V



Teorema Transfer Daya Maksimum Teorema ini menyatakan bahwa : Transfer daya maksimum terjadi jika nilai resistansi beban samadengan nilai resistansi sumber, baik dipasang seri dengan sumber tegangan ataupun dipasang paralel dengan sumber arus. Hal ini dapat dibuktikan dengan penurunan rumus sebagai berikut :

PL = V L .i = i.RL .i = i 2 .R L dim ana : i=

Vg Rg + RL

sehingga : Vg PL = ( ) 2 .R L R g + RL dengan asumsi Vg dan Rg tetap, dan PL merupakan fungsi RL, maka untuk mencari nilai maksimum PL adalah : 2 Vg Vg 2 ) 2 .RL = .RL = V g ( R g + RL ) − 2 RL PL = ( R g + RL ( R g + RL ) 2

[

dPL 2 = V g ( R g + RL ) − 2 − 2( R g + RL ) −3 RL dRL

]

  2 RL 1 2 0 = Vg  − 2 3 ( R g + RL )   ( R g + RL )  R g − RL  2 0 = Vg  3  ( R g + RL )  sehingga : RL = R g Teorema transfer daya maksimum adalah daya maksimum yang dikirimkan ketika beban RL samadengan beban intern sumber Rg. 2 Vg Maka didapatkan daya maksimumnya : PLmax = 4Rg



Transformasi Resistansi Star – Delta (Υ−∆) Jika sekumpulan resistansi yang membentuk hubungan tertentu saat dianalisis ternyata bukan merupakan hubungan seri ataupun hubungan paralel yang telah kita pelajari sebelumnya, maka jika rangkaian resistansi tersebut membentuk hubungan star atau bintang atau rangkaian tipe T, ataupun membentuk hubungan delta atau segitiga atau rangkaian tipe Π, maka diperlukan transformasi baik dari star ke delta ataupun sebaliknya.

Tinjau rangkaian Star (Υ) : Tinjau node D dengan analisis node dimana node C sebagai ground. VD − V A VD − VB VD + + =0 R1 R3 R2 VD (

V V 1 1 1 + + )= A + B R1 R3 R2 R1 R3

VD (

R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 V V )= A + B R1 R2 R3 R1 R3

VD =

R2 R3 R1 R2 VA + VB R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R2 R3 + R1 R2 + R1 R3

⇒ i1 = i1 =

R2 + R3 R2 VA − V B LLL (1) R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R2 R3 + R1 R2 + R1 R3

⇒ i2 = i2 =

R2 R3 V A − VD V A VD V A 1 R1 R2 = − = − ( VA + VB ) R1 R1 R1 R1 R1 R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R2 R3 + R1 R2 + R1 R3

R2 R3 VB − VD VB VD VB R1 R2 1 = − = − VA + VB ) ( R3 R3 R3 R3 R3 R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R2 R3 + R1 R2 + R1 R3

R1 R2 + R1 R3 R1 R2 VA − V B LLL (2) R3 ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 ) R3 ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 )



Tinjau rangkaian Delta (∆) Tinjau node A dengan analisis node dimana node C sebagai ground : V A − VB V A + = i1 RA RB (

1 1 1 )V A − V B = i1 + R A RB RA

Bandingkan dengan persamaan (1) pada rangkaian Star (Υ) : R2 + R3 R2 VA − VB = i1 R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 (

1 1 1 + )VA − VB = i1 RA RB RA

sehingga : 1 R2 ⇒ = RA R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R2 R2 + R3 1 1 ⇒ + = R A RB R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 RA =

R2 + R3 1 1 − = RB R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R A R2 + R3 R2 1 = − RB R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R3 1 = RB R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R3 Tinjau node B : VB − V A VB + = i2 RA RC RB =

−

1 1 1 VA + ( + )VB = i2 RA R A RC



Bandingkan dengan persamaan (2) pada rangkaian Star (Υ) : R1 R2 + R1 R3 R1 R2 VA − VB = i2 R3 ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 ) R3 ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 ) −

1 1 1 )VB = i2 VA + ( + RA RA RC

sehingga : R1 R2 1 1 ⇒ + =− RA RC R3 ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 ) R1 R2 1 1 =− − RC R3 ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 ) RA R1 R2 + R1 R3 R1 R2 1 . =− + RC R3 ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 ) R3 ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 ) R1 1 = RC ( R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 ) RC =

R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R1

Perumusannya : Transformasi Star (Υ) ke Delta (∆) :

RA =

R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R2

RB =

R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R3

RC =

R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 R1



Transformasi Delta (∆) ke Star (Υ):

R1 =

R A RB R A + RB + RC

R2 =

RB RC R A + R B + RC

R3 =

R A RC R A + R B + RC



Soal – soal :


2. Tentukan nilai V dengan teorema Norton !


4. Tentukan nilai ia dengan Norton !



5. Tentukan R agar terjadi transfer daya maksimum !

6. Tentukan tegangan V dengna superposisi :

7. Tentukan arus i dengan superposisi :





10. Tentukan arus i dengan superposisi

11. Tentukan tegangan V dengan superposisi :







16. Tentukan i dengan superposisi :



17. Tentukan i dengan superposisi :

18. Tentukan Vx dengan superposisi :

19. Tentukan I1 dengan superposisi :

20. Tentukan V dengan superposisi :



21. Tentukan arus i degan Thevenin :

22. Tentukan arus i dengan Thevenin :

23. Tentukan tegangan V dengan Thevevnin :

24. Tentukan tegangan V dengan Thevenin pada rangkaian berikut :



25. Tentukan arus i dengan Thevenin pada rangkaian berikut :

26. Tentukan tegangan V dengan Thevenin :

27. Tentukan tegangan V dengan Thevenin pada rangkaian berikut :

28. Tentukan i dengan Thevenin :




30. Tentukan V dengan Thevenin :

31. Tentukan V1 dengan Thevenin :

32. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin dititik a-b :



33. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin :





















48. Tentukan Vx dengan Thevenin :




50. Tentukan Vx dengan Thevenin :


52. Tentukan nilai i dengan Norton :



53. Tentukan i dengan Norton :

54. Tentukan i dengan Norton :

55. Tentukan nilai R pada rangkaian berikut agar terjadi transfer daya maksimum :

56. Tentukan R agar terjadi transfer daya maksimum di R :



57. Tentukan nilai R agar terjadi transfer daya maksimum :


BAB V TEOREMA RANGKAIAN

Recommend Documents