Bab III Respon Sinusoidal Sinyal sinusiodal digunakan sebagai input uji terhadap kinerja sistem, misal untuk mengetahui respon frekuensi, distorsi harmonik dan distorsi intermodulasi. 3.1. Bentuk Amplituda-fasa untuk Sinyal Sinusoidal Sinyal sinusoidal x(t) dapat dinyatakan dalam bentuk amplituda-fasa : x(t) = A cos(ωt + θ) A = Amplituda puncak ω = frekuensi sudut θ = fasa awal 3.2. Bentuk Eksponensial Sinyal sinusoidal dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial x(t) = Xejωt + X*e-jωt dengan X = amplituda kompleks X* = Konjugat dari X Menggunakan identitas Euler : cos α = ½ ejα + ½ e-jα diperoleh X = ½ Aejθ dengan A = 2|X| θ = ∠X Contoh : Sinyal sinusoidal : x(t) = 10 cos(ωt - π/4) V Nyatakanlah dalam bentuk eksponensial Jawab : x(t) = 5e-jπ/4ejωt + 5ejπ/4e-jωt V Contoh : Sinyal sinusoidal x(t) dinyatakan dalam bentuk eksponensial x(t) = Xejωt + X*e-jωt dengan X = 4ej3π/4 mA. Nyatakan dalam bentuk Amplituda fasa Jawab : x(t) = 8 cos(ωt+3π/4) mA
37
Latihan : 1. Nyatakan sinyal-sinyal berikut dalam bentuk amplituda fasa (a) x(t) = 10 – 5 cos(ωt - π/2) mA (b) x(t) = -20 + 10 sin ωt V
38
(c) (d) (e) (f)
x(t) = 3cosωt + 4 sinωt mV x(t) = 5e-jωt + 5ejωt V x(t) = 2 + (1+j)e-jωt + (1-j)ejωt mA x(t) = jej(ωt - π/3) – je-j(ωt - π/3) mV
(g) x( t ) =
10e jωt 10e − jωt + − 5 mA 1− j 1+ j
2. Nyatakan sinyal-sinyal berikut dalam bentuk eksponensial (a) (b) (c) (d) (e)
x(t) = 10 + 5 cos(ωt - π/4) V x(t) = 20 + 10 cosω1t + 5 cos(ω2t - π/2) V x(t) = -20 + 10 sinωt mA x(t) = 10 – 3cosωt + 3sinωt V x(t) = 5 + 10cosω1t + 10cos(ω1t - π/4) – 10sin(ω2t + π/4) V
3.3. Fungsi Transfer untuk Sistem Linier Output untuk sistem linier : ∞
y( t ) = ∫ h(η)x( t − η)dη −∞
Untuk input x(t) = Xejωt maka outputnya : ∞
y( t ) = X ∫ h(η)e jω( t −η )dη −∞
∞
= Xe jωt ∫ h(η)e − jωηdη −∞
= Xe jωtH( jω) dengan ∞
H( jω) = ∫ h(η)e − jωηdη = Fungsi Transfer −∞
Fungsi Transfer nilainya berubah sesuai dengan frekuensi dari sinyal input Output dapat juga dituliskan : y(t) = Yejωt dengan Y = H(jω)X = Amplituda kompleks output Contoh : Respon impulse suatu sistem linier :
h( t ) =
k −t / τ e u( t ) τ
dengan τ = 1 ms dan k = 103 V/A. Carilah output y(t) untuk input x(t) = 10cos(ω0t + π/4) mA dengan ω0 = 2 krad/s Jawab : Amplituda puncak : A = 10 mA Fasa awal : θ = π/4 rad Amplituda kompleks input : X = ½ Aejθ = 5ejπ/4 mA = 0,005ejπ/4 A
39
Fungsi Transfer sistem : ∞
∞
H( jω) = ∫ h(η)e
− jωη
dη =
k
∫τe
−π / τ
u(η)e − jωηdη
−∞
−∞
η= ∞
∞
k k e −(1+ jωτ )η / τ = ∫ e −(1+ jωt )η / τ dη = − τ τ (1 + jωτ) / τ η= 0 0 =
k 1 + jωτ
Amplituda Kompleks Output :
Y = H( jω0 )X = = =
(
103 0,005e jπ / 4 1 + jω0 τ
)( ) (
10 3 0,005e jπ / 4 1 + j 2 x103 10 −3
(
)
)
5e jπ/4 = 5e − j0,32 V j1,11 5e
Amplituda puncak output :
B = 2Y = 2 5 V Fasa awal : ϕ = ∠Y = -0,32 rad Output dinyatakan dalam bentuk Amplituda-fasa :
y( t ) = 2 5 cos(ω0 t − 0,32 )
dengan ω0 = 2krad/s Latihan Carilah fungsi transfer untuk sistem yang memiliki respon impuls berikut :
1 (a) h(t) = δ(t) - e − t / τu( t ) τ
(b) h(t) =
t −t / τ e u( t ) τ2 1 1 (d) h(t) = e − t / τ1 + e − t / τ 2 u( t ) τ2 τ1
1 (c ) h(t) = e − t / τ (sin ωt )u( t ) τ 1 t (e) h(t) = r τ τ t ( g) h(t) = ω0r sin ω0 t τ
t ( f ) h(t) = ω0r cos ω0 t τ (h) h(t) = 4δ( t ) + 3δ( t − t 0 ) + 2δ( t − 2t 0 )
3.4. Gain dan Phase Shift (pergeseran fasa) Telah diperlihatkan bahwa output sistem linier stasioner stabil untuk input x(t) = A cos(ω0t + θ) adalah y(t) = |H(jω0)|Acos[ω0t + θ + ∠H(jω0)] dengan H(jω) = fungsi transfer sistem Kita nyatakan gain dengan Γ(ω) dan pergeseran fasa dengan φ(ω)
40
Γ(ω) = |H(jω)| φ(ω) = ∠H(jω) sehingga y(t) = Γ(ω0)Acos[ω0 + θ + φ(ω0)] Contoh : Fungsi Transfer untuk suatu sistem linier stasioner adalah
H( jω) =
K (1 + jω / ω2 ) (1 + jω / ω1 )(1 + jω / ω3 )
dengan K = 100 V/V, ω1 = 1 krad/s, ω2 = 2 krad/s dan ω3 = 3 krad/s Carilah output y(t) untuk input x(t) = 5cos(ω0t - π/3) dengan ω0 = 1 krad/s Jawab : Gain : Γ(ω) = |H(jω)|
= =
K(1 + jω / ω2 ) (1 + jω / ω1 )(1 + jω / ω3 K 1 + j ω / ω2 1 + jω / ω1 1 + jω / ω3
K 1 + (ω / ω2 )
2
=
1 + (ω / ω1 )
1 + (ω / ω3 )
2
2
Untuk ω = ω0 = 1 krad/s
Γ(ω0 ) =
1 100 1 + 2 1+1
2
2
1 1+ 3
2
= 75 V/V
Pergeseran fasa :
ω ω ω φ(ω) = ∠H( jω) = ∠K + ∠1 + j − ∠1 + j − ∠1 + j ω3 ω1 ω2 ω / ω2 −1 ω / ω1 −1 ω / ω3 = 0 + tan −1 − tan − tan 1 1 1 Untuk ω = ω0
0,5 1 0,3 φ(ω0 ) = tan −1 − tan −1 − tan −1 1 1 1 = 0,46 - 0,79 - 0,32 = -0,65 rad Jadi outputnya : y(t) = Γ(ω0)Acos[ω0t + θ + φ(ω)] = (75)(5)cos[ω0t + (-π/3) – 0,65 = 375 cos(ω0t –1,7) V 3.5. Sinyal Konstan (DC = Direct Current)
41
Sinyal konstan (DC) dinyatakan dalam bentuk x(t) = x0. Sinyal konstan ini dapat dianggap sebagai sinyal sinuisoida yang memiliki frekuensi ω = 0. Bentuk Amplituda-fasa untuk sinyal DC: x0 = A cosθ A = |x0 |
0 x 0 ≥ 0 θ = ∠x 0 = π x 0 < 0 Bentuk eksponensial untuk sinyal DC: X = Aejθ dengan A = |X| θ = ∠X Outputnya : y(t) = H(0) x0 H(0) = DC gain Contoh : Tentukan output dari contoh sebelumnya untuk input x(t) = x0 = -5 mV Jawab :
H(0) =
K (1 + j0 ) = K = 100 V/V (1 + j0)(1 + j0)
y(t) = H(0) x0 = 100(-0,005) = -500 mV
3.6. Sistem Dinyatakan sebagai Persamaan Differensial Fungsi Transfer sistem linier stasioner yang stabil, output dan inputnya dihubungkan dengan persamaan differensial :
dn y dn−1y dm x dm−1x a ... a y b b + + + = + + .... + b0 x m − − m n 0 1 1 dt n dt n−1 dt m dt m−1 Karena output untuk input x(t) = Xejωt adalah y(t) = H(jω)Xejωt maka dengan mensubstitusikan ke persamaan di atas diperoleh :
[(jω)
n
atau
+ a n−1 ( jω)
n −1
]
b m ( jω) + b m −1 ( jω)
m −1
m
H( jω) =
( jω)
n
[
]
+ .... + a 0 H( jω)Xe jωt = b m ( jω) + ... + b 0 Xe jωt
+ a n−1 ( jω)
n −1
m
+ ... + b 0
+ .... + a 0
Contoh : Input x(t) dan output y(t) dari suatu sistem dihubungkan dengan persamaan differensial sebagai berikut :
d3 y d2 y dy dx a + + a1 +a0 y = b1 + b0 x 2 3 2 dt dt dt dt
42
dengan a0 = b0 = 24 x 109 a1 = 26 x 106 a2 = 9 x 103 b1 = 24 x 106 Carilah output untuk input
π x( t ) = 20 cos ωo t − 2 dengan ω0 = 5 krad/s Jawab : Fungsi transfer sistem :
H( jω) =
( j ω)
b1 ( jω) + b 0
+ a 2 ( jω) + a1 ( jω) + a 0 jωb1 + b 0 = j a1ω − ω3 + a 0 − a 2 ω2 3
(
2
)
Untuk ω = ω0 = 5 krad/s
(
)
j(5000 ) 24 x10 6 + 24 x109 3 2 j 26 x10 6 (5000 ) − (5000 ) + 24 x10 9 − 9 x103 (5000 ) 24 + j120 = = 0,61e − j1,75 A/A - 201 + j5
H( jω0 ) =
[(
)
]
(
)
Dari bentuk polar H(jω0) ini diketahui Γ(ω0) = 0,61 φ(ω0) = -1,75
π y( t ) = 0,61(0,02) cos ω0 t − − 1,75 2 = 12,2 cos(ω0 t − 3,31) Latihan : Tentukan output dari sistem yang dinyatakan dengan persamaan differensial di bawah ini untuk input : x(t) = 5 + 5cosω0t V dengan ω0 = 1 rad/s
dy dx + 5ω0 y = dt dt dy dx (b) + 5ω0 y = 10 + 2ω 0 x dt dt d2 y dy d2 x dx 2 2 (c ) 2 + 3ω0 + 2ω0 y = 5 2 + 20ω0 + 15ω0 x dt dt dt dt 2 dy dy dx 2 (d) 2 + 3ω0 + 2ω0 y = ω0 dt dt dt (a )
43
( e)
d3 y d2 y d3 x 2 dy 3 y + 3 ω + 3 ω + 2 ω = 10 0 0 0 dt 3 dt 2 dt dt 3
Superposisi Superposisi digunakan untuk memperoleh output sistem linier stasioner yang inputnya terdiri dari beberapa komponen sinusoidal Contoh : Carilah output dari sistem yang memiliki fungsi transfer :
H( jω) =
10 1 + jωτ
dengan τ = 1 ms untuk input :
π x( t ) = 5 + 4 cos ω0 t + 3 cos 2ω0 t − ; dengan ω0 = 1 krad / s 2 Jawab : Gain dan pergeseran fasa sistem
Γ(ω) =
10 1 + (ωτ)
2
φ(ω) = ∠10 − ∠1 + jωτ ωτ = 0 - tan -1 1 Output untuk komponen DC xo = 5 y0 = H(0)x0 = (10)(5) = 50 Output untuk x1(t) = 4 cosωt y1(t) = Γ(ω0) 4cos[ω0t + φ(ω0)] = 28,3 cos(ω0t - π/4) Output untuk x2(t) = 3 cos(2ω0t - π/2) adalah
π y 2 ( t ) = Γ(2ω0 )3 cos 2ω0 t − + φ(2ω0 ) 2 = 13,4 cos(2ω0 t − 2,68) dengan superposisi y(t) = y0 + y1(t) + y2(t)
π = 50 + 28,3 cos ω0 t − + 13,4 cos(2ω0 t − 2,68) 4 Latihan : Carilah output untuk sistem yang memiliki fungsi transfer berikut untuk input
(a ) H(jω) =
100 1 + 4j(ω/ω0 )
π x( t ) = 5 + 4 cos ω0 t + 3 cos 2ω0 − V 2 1 - 10j( ω/ω0 ) (b) H(jω) = mA/V V/V 1 + 5j(ω/ω0 )
44
(c ) H(jω) =
j( ω/ω0 ) V/V 2 − 100ω + jωω0 + 100ω0
(d) H(jω) =
j( ω/ω0 ) V/V 1 + j(ω / ω0 )
(e) H(jω) =
2 mA/V [1 + j(ω / ω0 )][2 + j(ω / ω0 )]
( f ) H(jω) =
5 V/V 0,5 + j(ω / ω0 )
2
(g) H(jω) = 5e − jπω / ω0 mA/V 3.7. Reduksi Diagram Blok Fungsi Transfer dapat dinyatakan dengan diagram blok sebagai berikut :
X
H(jω)
Y
Y = H(jω)X
1 H1(jω) X
⇔
Y
X
Y H1(jω)+H2(jω)
∑
H2(jω)
2 Y
X H1(jω)
⇔
H2(jω)
X
Y H1(jω)H2(jω)
3 X
Y ∑
H1(jω)
±
X
⇔
H2(jω)
45
H1 ( jω) 1 + H1 ( jω)H2 ( jω)
Y
4 W X
Y ∑
W
⇔
X
H(jω)
W
W
X
Y H(jω)
⇔
H(jω) Y
1 H( jω)
X
Y
∑
∑
X H(jω)
H(jω)
1 H( jω)
5
X
∑
H(jω)
⇔
X
Y
H(jω)
Y
H(jω) Y X H(jω)
⇔
Y
46
X
Y
X H(jω)
Y
Contoh : Carilah Fungsi Transfer dengan mereduksi diagram blok berikut :
H1(jω) ∑
X
H2(jω)
∑
H3(jω)
∑
H2(jω)H3(jω)
Y
H4(jω) Jawab :
H1(jω)/H2(jω)
X
∑
Y
H4(jω)
H1(jω)/H2(jω)
X
∑
∑
H2(jω)H3(jω)
H4(jω) H2 ( jω)H3 ( jω) 1 + H2 ( jω)H3 ( jω)H4 ( jω)
X 1+H1(jω)/H2(jω)
47
Y
Y
