Analisis Ajeg dari Sinusoidal

Karakteristik Sinusoid

Tanggapan Paksaan

Exponensial

Analisis Ajeg dari Sinusoidal Slide-08 Ir. Agus Arif, MT

Semester Gasal 2016/2017

1 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Materi Kuliah 1

Karakteristik Sinusoid Bentuk Umum Pergeseran Fase Sinus ↔ Kosinus

2

Tanggapan Paksaan thdp Sinusoid Tanggapan Ajeg Tanggapan Rangkaian RL

3

Fungsi Pemaksa Exponensial Sinusoid dan Exponensial Sumber Real dan Imajiner Sumber Komplex Alternatif Aljabar 2 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Bentuk Umum Sinusoid Tegangan yg berubah scr sinusoidal: v (t) = Vm sin ωt Vm : amplitudo dr gelombang sinus ωt : argumen dr fungsi sinus ω : frekuensi radian atau frekuensi sudut fungsi berulang (periodik) stp 2π radian → periode = 2π radian

3 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Periode dan Frekuensi Dlm lingkup waktu, gelombang sinus yg berperiode T sekon akan merambat 1/T siklus pd stp detik → frekuensi-nya = 1/T hertz (Hz atau s−1 ) 1 f = T Krn pd satu siklus: ωT = 2π maka ω = 2πf

4 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Pergeseran Fase Bentuk umum yg lebih lengkap v (t) = Vm sin(ωt + θ) θ : sudut fase = besar sudut dr penggeseran gelombang sinus asli ke sebelah kiri atau ke waktu yg lebih awal Vm sin(ωt + θ) memimpin (leading) Vm sin ωt sebanyak θ rad Vm sin ωt terlambat dr (lagging) Vm sin(ωt + θ) sejauh θ rad

5 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Leading dan Lagging Di antara 2 sinusoid, leading dan lagging → tidak sefase (out of phase) dgn sudut fase yg sama → sefase (in phase) Dlm teknik listrik, sudut fase dinyatakan dgn satuan derajat (θ ≤ 180◦ ), shg alih-alih π v = 100 sin 2π 1000t − 6

biasanya ditulis v = 100 sin(2π 1000t − 30◦ ) Perbandingan fase dua sinusoid seharusnya setelah 1 keduanya ditulis sbg gelombang sinus atau kosinus 2 keduanya ditulis dgn amplitudo yg positif 3 keduanya memiliki frekuensi yg sama 6 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Sinus ↔ Kosinus Camkanlah: − sin ωt = sin(ωt ± 180◦ ) − cos ωt = cos(ωt ± 180◦ ) ∓ sin ωt = cos(ωt ± 90◦ ) ± cos ωt = sin(ωt ± 90◦ ) Contoh: v1 =Vm1 cos(5t + 10◦ ) =Vm1 sin(5t + 90◦ + 10◦ ) =Vm1 sin(5t + 100◦ ) memimpin v2 =Vm2 sin(5t − 30◦ ) sebanyak 130◦ atau v1 tertinggal dari v2 sebesar 230◦ v1 = Vm1 sin(5t − 260◦ ) 7 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Tanggapan Ajeg Tanggapan keadaan-ajeg = tanggapan paksaan (forced response): tanggapan paksaan dicapai ktk tanggapan alamiah (natural response) tlh lenyap tanggapan alamiah terjadi hanya sebentar → diabaikan fungsi pemaksa bersifat dc → tanggapan ajeg menuju nilai yg tetap fungsi pemaksa sinusoidal → tanggapan ajeg dpt berubah-ubah thdp waktu Rangkaian RL dgn fungsi pemaksa berupa sinusoid:

8 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Tanggapan Rangkaian RL [1] Penerapan KVL menghasilkan tanggapan ajeg dr rangkaian RL: L

di + R i = Vm cos ωt dt

Bilamana derivatif = 0 → arus berbentuk i ∝ cos ωt Bilamana arus = 0 → derivatif sebanding dgn cos ωt yg berarti i ∝ sin ωt Alhasil, bentuk umum dr tanggapan paksaan dianggap: i(t) = I1 cos ωt + I2 sin ωt dgn I1 dan I2 gayut pd Vm , R, L dan ω Penyulihan anggapan tsb ke dlm persamaan diferensial: L (−I1 ω sin ωt + I2 ω cos ωt) + R (I1 cos ωt + I2 sin ωt) = Vm cos ωt 9 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Tanggapan Rangkaian RL [2] Pengelompokkan suku-suku yg sama: (−L I1 ω + R I2 ) sin ωt + (L I2 ω + R I1 − Vm ) cos ωt = 0 Persamaan ini harus berlaku benar utk semua nilai t shg −ωL I1 + R I2 = 0

dan ωL I2 + R I1 − Vm = 0

Solusi scr serempak bagi I1 dan I2 : I1 =

R2

R Vm + ω 2 L2

dan I2 =

ωL Vm + ω 2 L2

R2

Dgn demikian, tanggapan ajeg dr rangkaian RL: i(t) =

R Vm ωL Vm cos ωt + 2 sin ωt R 2 + ω 2 L2 R + ω 2 L2 10 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Cara yg Lebih Ringkas Penjabaran yg lebih ringkas dpt diperoleh dgn menganggap bentuk umum tanggapan berupa fungsi sinus atau kosinus saja, spt i(t) = A cos(ωt − θ) Bentuk tanggapan ini disamakan dgn bentuk sebelumnya R Vm ωL Vm cos ωt+ 2 sin ωt 2 2 +ω L R + ω 2 L2 Pengumpulan suku-suku yg sama dan penerapan beberapa kiat aljabar menghasilkan: A cos θ cos ωt+A sin θ sin ωt =

Vm R 2 + ω 2 L2 Dgn demikian, bentuk alternatif dr tanggapan paksaan sinusoidal: θ = tan−1

ωL R

R2

dan A = √

Vm ωL cos ωt − tan−1 i(t) = √ 2 2 2 R R +ω L

11 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Contoh ]1 [1] Tentukan arus iL pd rangkaian di sebelah kiri jikalau semua gejala transien telah lenyap

Jawab: Agar mnjd rangkaian RL yg baku harus ditentukan ekivalen Thévenin spt rangkaian di sebelah kanan Tegangan Thévenin: VT = Voc =

100 (10 cos 103 t) = 8 cos 103 t V 25 + 100 12 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Contoh ]1 [2] Resistans Thévenin ditentukan dgn melenyapkan semua sumber independen dan mencari resistans ekivalen dr semua resistor: 25 × 100 = 20 Ω RT = 25 k 100 = 25 + 100 Kini, rangkaian semula berubah mnjd rangkaian RL yg baku:

Dgn menerapkan rumus tanggapan paksaan sinusoidal diperoleh: 8 30 3 −1 iL = q cos 10 t − tan 20 202 + (103 × 30 × 10−3 )2 = 222 cos(103 t − 56.3◦ ) mA 13 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Contoh ]1 [3] Bentuk gelombang tegangan Thévenin dan arus induktor:

14 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Sinusoid dan Exponensial Cara lainnya utk menentukan tanggapan paksaan sinusoidal adl dgn memanfaatkan hubungan yg ada di antara sinusoid dan exponensial yakni bilangan komplex → identitas Euler: √ e jθ = cos θ + j sin θ dgn j = −1 Jk derivatif kosinus = (negatif) sinus, mk derivatif exponensial = versi terskala dr exponensial yg sama Penambahan sumber imajiner menimbulkan sumber komplex dlm rangkaian namun menghasilkan proses analisis yg lebih sederhana Superposisi menjamin bhw sumber imajiner → tanggapan imajiner, dan sumber real → tanggapan real

Oleh krn itu, kedua besaran (real & imajiner) dpt kapan sj dipisah dgn mengambil bagian real dr stp tegangan atau arus yg komplex, yakni dgn operator real Re{} 15 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Sumber Real Sumber tegangan sinusoidal real terhubung pd rangkaian linear (spt N yg tersusun oleh komponen2 pasif sj) akan menghasilkan tanggapan-ajeg arus yg bersifat sinusoidal real juga dgn frekuensi yg sama (namun sudut fase yg berbeda)

Jk kini rujukan waktu (t = 0) digeser shg fungsi pemaksa mnjd Vm cos(ωt + θ − 90◦ ) = Vm sin(ωt + θ) dan dikenakan pd rangkaian N yg sama mk tanggapannya mnjd Im cos(ωt + φ − 90◦ ) = Im sin(ωt + φ) Berikutnya, pd rangkaian N akan diterapkan sumber imajiner 16 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Sumber Imajiner Sumber tegangan sinusoidal imajiner dpt dibuat dgn mengalikan operator imajiner j: j Vm sin(ωt + θ) Krn perkalian dgn konstanta tdk mengubah hubungan yg linear mk tanggapan arus thdp sumber sinusoidal imajiner adl j Im sin(ωt + φ)

Berikutnya, teorema superposisi memungkinkan utk membentuk fungsi pemaksa komplex = jumlah dr fungsi pemaksa real dan fungsi pemaksa imajiner 17 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Sumber Komplex Jumlah fungsi pemaksa yg real dan imajiner: Vm cos(ωt + θ) + j Vm sin(ωt + θ) seharusnya menghasilkan tanggapan komplex: Im cos(ωt + φ) + j Im sin(ωt + φ) Sumber dan tanggapan komplex ditulis dgn identitas Euler: Vm e j(ωt+θ) → Im e j(ωt+φ)

Sumber real → sumber komplex → respon komplex → respon real krn persamaan integrodiferensial mnjd persamaan aljabar 18 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Alternatif Aljabar utk Pers Diferensial [1] Rangkaian RL:

Sumber real terpasang → tanggapan real, namun Vm cos ωt = Re{Vm cos ωt + j Vm sin ωt} = Re{Vm e j(ωt) } Sumber komplex akan menghasilkan tanggapan komplex: Vm e j(ωt) → Im e j(ωt+φ) Dgn menerapkan KVL dpt dijabarkan persamaan diferensial: di Ri + L = vs dt 19 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Alternatif Aljabar utk Pers Diferensial [2] Penyulihan tegangan & arus komplex menghasilkan pers aljabar: R Im e j(ωt+φ) + jωL Im e j(ωt+φ) = Vm e j(ωt) Pembagian dgn faktor-bersama e jωt menghasilkan: R Im e jφ + jωL Im e jφ = Vm

atau

Im e jφ (R + jωL) = Vm

sehingga Im e jφ =

Vm R + jωL

Jk sisi kanan dinyatakan dlm bentuk exponensial mk diperoleh Im e jφ = √

Vm −1 e j[− tan (ωL/R)] R 2 + ω 2 L2 20 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Alternatif Aljabar utk Pers Diferensial [3] Dgn demikian, komponen2 dr arus tanggapan komplex: Vm Im = √ 2 R + ω 2 L2

−1

dan φ = − tan

ωL R

Utk mendapatkan tanggapan yg real, kedua sisi persamaan arus tanggapan komplex dikalikan dgn e jωt Vm −1 e j[− tan (ωL/R)] e jωt 2 2 2 R +ω L Vm −1 =√ e j[ωt−tan (ωL/R)] 2 2 2 R +ω L

Im e jφ e jωt = √ Im e j[ωt+φ]

Pengambilan bagian real dari persamaan terakhir menghasilkan arus tanggapan real: Vm ωL i(t) = Im cos(ωt + φ) = √ cos ωt − tan−1 2 2 2 R R +ω L

21 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Contoh ]2 [1] Utk rangkaian RC di sebelah kiri, sulihkan sumber komplex yg tepat dan gunakan sumber ini utk menentukan tegangan kapasitor yg ajeg

Jawab: Sumber tegangan real 3 cos 5t V dpt digantikan oleh sumber tegangan komplex 3 e j5t V dan rangkaian berubah mnjd yg di sebelah kanan Dgn menerapkan KVL, persamaan diferensial dpt diperoleh dvC 2 + vC 2 = 0 −3 e j5t + 1 iC 2 + vC 2 = 0 → −3 e j5t + 2 dt 22 / 23


Tanggapan Paksaan

Exponensial

Contoh ]2 [2] Dianggap tanggapan ajeg memiliki bentuk yg sama seperti sumber: vC 2 = Vm e j5t Penyulihan tanggapan ini ke dlm persamaan diferensial menghasilkan: j10Vm e j5t + Vm e j5t = 3 e j5t Pelenyapan eksponensil e j5t menghasilkan: 3 3 10 =√ Vm = ∠ − tan−1 2 1 + j10 1 1 + 10

V

Alhasil, tegangan kapasitor dlm keadaan-ajeg adalah ◦

vC = Re{vC 2 } = Re{298.5 e −j84.3 e j5t mV} = 298.5 cos(5t − 84.3◦ ) mV 23 / 23

Analisis Ajeg dari Sinusoidal

Recommend Documents