Asuransi Jiwa

Premi Tahunan

611.23.052 Asuransi Jiwa Bab 7: Premi Tahunan Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

611.23.052 Asuransi Jiwa

Premi Tahunan

Premi Tahunan

Premi Tahunan

Pada pembahasan sebelumnya, semua asuransi dikeluarkan dengan premi tunggal. Pada kenyataannya premi tunggal jarang sekali digunakan, biasanya premi dibayar secara berkala, misalnya tiap tahun, enam bulan sekali, ataupun sebulan sekali dan dilakukan pada permulaan selang tiap tahun. Umumnya premi berkala tersebut sama besarnya, walaupun kadang-kadang ada juga yang berubah dari waktu ke waktu.



Premi Tahunan

Premi Tahunan

Misalnya pembayaran premi asuransi jiwa seumur hidup dapat dilakukan tiap permulaan tahun seumur hidup. Asuransi seperti ini sering disebut asuransi biasa (ordinary life insurance). Pembayaran premi mungkin pula terbatas, misalnya selama maksimum 20 tahun; asuransi seperti ini disebut asuransi dengan pembayaran terbatas (limited-payment life). Bila si tertanggung meninggal sebelum jangka waktu 20 tahun maka dia dianggap telah menyelesaikan pembayaran preminya.



Premi Tahunan

Premi Tahunan

Makin sering premi dibayar, untuk besar santunan yang sama, maka makin kecil premi berkalanya. Berikut ini diberikan perubahan besar premi bersih untuk asuransi seumur hidup bagi seseorang berusia 20 tahun (CSO 2,5 %) dengan santunan Rp 1000.



Premi Tahunan

Premi Tahunan

Asuransi berjangka biasanya pembayaran preminya dilakukan selama jangka waktu asuransi. Sedangkan untuk endowmen pembayaran preminya dapat dilakukan dengan tiga cara: selama jangka waktu, terbatas (lebih pendek dari jangka waktu), atau sekaligus (premi tunggal). Simbol untuk cara pembayaran premi mirip dengan simbol asuransinya, yaitu 1

Px adalah premi bersih tahunan untuk Ax , jadi besar santunannya Rp 1.

2

n Px adalah premi bersih tahunan untuk Ax dengan pembayaran premi maksimum n kali.

3

1 Px:n¬ adalah premi bersih tahunan untuk A1x:n¬ .

4

Px:n¬ adalah premi bersih tahunan untuk Ax:n¬ .

5

m Px:n¬

adalah premi bersih tahunan untuk Ax:n¬ dengan pembayaran premi maksimum m kali (m ≤ n). Atina Ahdika, S.Si, M.Si


Premi Tahunan

Premi Tahunan

Dalam pengerjaan, untuk memudahkan, gunakan saja simbol P sebagai premi tahunan. Dalam menghitung premi, gunakan prinsip dasar berikut Prinsip Perhitungan Premi Nilai tunai premi yang akan datang = nilai tunai santunan yang akan datang.



Premi Tahunan

Premi Tahunan

Px : Premi Bersih Tahunan untuk Ax

Nilai Tunai Premi P · lx + v · P · lx+1 + v 2 · P · lx+2 + . . . + v w−x · P · lw vx = P (lx + v · lx+1 + v 2 · lx+2 + . . . + v w−x · lw ) (kalikan x ) v · lx x v · lx + v x+1 · lx+1 + v x+2 · lx+2 + . . . + v w · lw =P v x · lx Dx + Dx+1 + Dx+2 + . . . + Dw =P Dx Nx =P = P · äx Dx Atina Ahdika, S.Si, M.Si


Premi Tahunan

Premi Tahunan

Nilai Tunai Santunan v · dx + v 2 · dx+1 + . . . + v w−x+1 · dw vx ) v x · lx v x+1 · dx + v x+2 · dx+1 + v x+3 · lx+2 + . . . + v w+1 · dw = v x · lx Cx + Cx+1 + Cx+2 + . . . + Cw = Dx Mx = = Ax Dx

= v · dx + v 2 · dx+1 + . . . + v w−x+1 · dw (kalikan

Jadi, Px · äx = Ax



Premi Tahunan

Premi Tahunan

Pemahaman Lain Nilai Tunai Premi P · lx + v · P · lx+1 + v 2 · P · lx+2 + . . . + v w−x · P · lw vx = P (lx + v · lx+1 + v 2 · lx+2 + . . . + v w−x · lw ) (kalikan x ) v · lx x v · lx + v x+1 · lx+1 + v x+2 · lx+2 + . . . + v w · lw =P v x · lx = P (1 + v · px + v 2 · 2 px + . . . + v w−x w−x px )

Jadi, untuk perhitungan nilai tunai premi, besarnya premi dikalikan dengan peluang bertahan hidup di setiap tahunnya.



Premi Tahunan

Premi Tahunan

Nilai Tunai Santunan v · dx + v 2 · dx+1 + . . . + v w−x+1 · dw vx ) v x · lx v x+1 · dx + v x+2 · dx+1 + v x+3 · lx+2 + . . . + v w+1 · dw = v x · lx 2 = v · qx + v · 2 qx + . . . + v w−x+1 · w−x+1 qx


Untuk perhitungan nilai tunai santunan, besarnya santunan dikalikan dengan peluang meninggalnya seseorang di setiap tahunnya.



Premi Tahunan

Premi Tahunan

Contoh 1

Hitunglah premi bersih tahunan untuk asuransi biasa dengan santunan 2 juta rupiah bagi orang berusia 30 tahun.



Premi Tahunan

Premi Tahunan

Penyelesaian

P · l30 + v · P · l31 + v 2 · P · l32 + . . . + v w−30 · P · lw = v · 2 · d30 + v 2 · 2 · d31 + . . . + v w−29 · 2 · dw P (l30 + v · l31 + v 2 · l32 + . . . + v w−30 · lw ) = 2(v · d30 + v 2 · d31 + . . . + v w−29 · dw )

Masing-masing ruas kalikan dengan Atina Ahdika, S.Si, M.Si

1 v 30 ·l30


Premi Tahunan

Premi Tahunan

Diperoleh, C30 + C31 + . . . + Cw D30 + D31 + . . . + Dw =2· P D30 D30 N30 M30 P =2· D30 D30 P · ä30 = 2 · A30 Jadi, P =2·

M30 A30 =2· ä30 N30



Premi Tahunan

n Px :

Premi Tahunan

Premi Bersih Tahunan untuk Ax Pembayaran Maks n

Kali

Nilai Tunai Premi P · lx + v · P · lx+1 + v 2 · P · lx+2 + . . . + v n · P · lx+n vx = P (lx + v · lx+1 + v 2 · lx+2 + . . . + v n · lx+n ) (kalikan x ) v · lx x v · lx + v x+1 · lx+1 + v x+2 · lx+2 + . . . + v x+n · lx+n =P v x · lx Dx + Dx+1 + Dx+2 + . . . + Dx+n =P Dx Nx − Nx+n =P = P · äx:n¬ Dx Atina Ahdika, S.Si, M.Si


Premi Tahunan

Premi Tahunan

Nilai Tunai Santunan v · dx + v 2 · dx+1 + . . . + v w−x+1 · dw vx ) v x · lx v x+1 · dx + v x+2 · dx+1 + v x+3 · lx+2 + . . . + v w+1 · dw = v x · lx Cx + Cx+1 + Cx+2 + . . . + Cw = Dx Mx = = Ax Dx


Jadi, n Px

· äx:n¬ = Ax



Premi Tahunan

1 Px:n¬ :

Premi Tahunan

Premi Bersih Tahunan untuk A1x:n¬

Nilai Tunai Premi P · lx + v · P · lx+1 + v 2 · P · lx+2 + . . . + v n · P · lx+n vx = P (lx + v · lx+1 + v 2 · lx+2 + . . . + v n · lx+n ) (kalikan x ) v · lx x v · lx + v x+1 · lx+1 + v x+2 · lx+2 + . . . + v x+n · lx+n =P v x · lx Dx + Dx+1 + Dx+2 + . . . + Dx+n =P Dx Nx − Nx+n =P = P · äx:n¬ Dx Atina Ahdika, S.Si, M.Si


Premi Tahunan

Premi Tahunan

Nilai Tunai Santunan v · dx + v 2 · dx+1 + . . . + v n · dx+n−1 vx ) · lx v x+1 · dx + v x+2 · dx+1 + v x+3 · lx+2 + . . . + v x+n · dx+n−1 = v x · lx Cx + Cx+1 + Cx+2 + . . . + Cx+n−1 = Dx Mx − Mx+n = = A1x:n¬ Dx = v · dx + v 2 · dx+1 + . . . + v n · dx+n−1 (kalikan

Jadi, 1 Px:n¬ · äx:n¬ = A1x:n¬



vx

Premi Tahunan

Premi Tahunan

Px:n¬ : Premi Bersih Tahunan untuk Ax:n¬

Nilai Tunai Premi P · lx + v · P · lx+1 + v 2 · P · lx+2 + . . . + v n · P · lx+n vx = P (lx + v · lx+1 + v 2 · lx+2 + . . . + v n · lx+n ) (kalikan x ) v · lx x v · lx + v x+1 · lx+1 + v x+2 · lx+2 + . . . + v x+n · lx+n =P v x · lx Dx + Dx+1 + Dx+2 + . . . + Dx+n Nx − Nx+n =P =P Dx Dx = P · äx:n¬ Atina Ahdika, S.Si, M.Si


Premi Tahunan

Premi Tahunan

Nilai Tunai Santunan v · dx + v 2 · dx+1 + . . . + v n · dx+n−1 + v n · lx+n vx ) v x · lx v x+1 · dx + v x+2 · dx+1 + . . . + v x+n · dx+n−1 + v x+n · lx+n v x · lx x+1 x+2 v · dx + v · dx+1 + . . . + v x+n · dx+n−1 v x+n · lx+n + v x · lx v x · lx Cx + Cx+1 + . . . + Cx+n−1 Dx+n + Dx Dx Mx − Mx+n + Dx+n = Ax:n¬ Dx

= v · dx + v 2 · dx+1 + . . . + v n · dx+n−1 + v n · lx+n (× = = = = Jadi, Px:n¬ · äx:n¬ = Ax:n¬ Atina Ahdika, S.Si, M.Si


Premi Tahunan

Premi Tahunan

m Px:n¬ :

Premi Bersih Tahunan untuk Ax:n¬ Maks Pembayaran m Kali (m ≤ n)

Nilai Tunai Premi P · lx + v · P · lx+1 + v 2 · P · lx+2 + . . . + v m · P · lx+m vx = P (lx + v · lx+1 + v 2 · lx+2 + . . . + v m · lx+m ) (kalikan x ) v · lx x v · lx + v x+1 · lx+1 + v x+2 · lx+2 + . . . + v x+m · lx+m =P v x · lx Dx + Dx+1 + Dx+2 + . . . + Dx+m Nx − Nx+m =P =P Dx Dx 611.23.052 Asuransi Jiwa = P · äx:m¬ Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Premi Tahunan

Premi Tahunan

Nilai Tunai Santunan v · dx + v 2 · dx+1 + . . . + v n · dx+n−1 + v n · lx+n vx ) v x · lx v x+1 · dx + v x+2 · dx+1 + . . . + v x+n · dx+n−1 + v x+n · lx+n v x · lx x+1 x+2 v · dx + v · dx+1 + . . . + v x+n · dx+n−1 v x+n · lx+n + v x · lx v x · lx Cx + Cx+1 + . . . + Cx+n−1 Dx+n + Dx Dx Mx − Mx+n + Dx+n = Ax:n¬ Dx

= v · dx + v 2 · dx+1 + . . . + v n · dx+n−1 + v n · lx+n (× = = = = Jadi, m Px:n¬

· äx:m¬ = Ax:n¬



Premi Tahunan

Premi Tahunan

Contoh 2

Hitunglah premi bersih tahunan untuk asuransi endowmen sampai usia 65 tahun bagi orang berusia 30 tahun dengan pembayaran premi 20 kali, besar santunan sejuta rupiah.



Premi Tahunan

Premi Tahunan

Penyelesaian

P · ä30:20¬ = A30:35¬ M30 − M65 + D65 P = N30 − N50



Premi Tahunan

Premi Tahunan

Contoh 3

Bila qx = 0.01 x dan v = 0.9, hitunglah P98 bila santunan yang akan diberikan perusahaan asuransi adalah 1 juta rupiah.



Premi Tahunan

Premi Tahunan

Penyelesaian

q98 = 0.98 −→ p98 = 1 − q98 = 0.02 q99 = 0.99 −→ p99 = 1 − q99 = 0.01 q100 = 1

−→ p99 = 1 − q99 = 0

Jadi, P98 adalah premi bersih tahunan asuransi seumur hidup bagi orang berusia 98 tahun dengan santunan asuransi Rp 1 juta; asuransi tersebut sesungguhnya hanya sampai usia 100 tahun dan premi dibayar paling banyak 3 kali. Atina Ahdika, S.Si, M.Si


Premi Tahunan

Premi Tahunan

Nilai tunai premi = Nilai tunai santunan P + v · P · p98 + v 2 · P · 2 p98 = 1 · v · q98 + 1 · v 2 · 2 q98 + 1 · v 3 · 3 q98 Catatan: 2 p98 adalah peluang orang berusia 98 tahun akan bertahan hidup 2 tahun lagi, ini sama artinya orang berusia 98 tahun dapat bertahan hidup sampai usia 99 tahun kemudian ketika dia berusia 99 tahun mampu bertahan hidup lagi sampai usia 100 tahun, sehingga 2 p98

= p98 · p99

2 q98

adalah peluang orang berusia 98 tahun akan meninggal 2 tahun lagi, ini sama artinya orang berusia 98 tahun akan bertahan hidup sampai usia 99 tahun kemudian setelah dia berusia 99 tahun, dia akan meninggal setahun kemudian yaitu pada usia 100 tahun, sehingga 2 q98 Atina Ahdika, S.Si, M.Si

= p98 · q99 611.23.052 Asuransi Jiwa

Premi Tahunan

Premi Tahunan

3 q98

adalah peluang orang berusia 98 tahun akan meninggal 3 tahun lagi, ini sama artinya orang berusia 98 tahun akan bertahan hidup sampai usia 99 tahun kemudian setelah dia berusia 99 tahun dia akan bertahan hidup 1 tahun lagi sampai usia 100 tahun, setelah berusia 100 tahun dia akan meninggal setahun kemudian yaitu pada usia 101 tahun, sehingga 3 q98

= p98 · p99 · q100

Jadi, 2 p98

= p98 · p99 = (0.02)(0.01) = 0.0002

2 q98

= p98 · q99 = (0.02)(0.99) = 0.0198

3 q98

= p98 · p99 · q100 = (0.02)(0.01)(1) = 0.0002



Premi Tahunan

Premi Tahunan

Sehingga Nilai tunai premi = Nilai tunai santunan P + v · P · p98 + v 2 · P · 2 p98 = 1 · v · q98 + 1 · v 2 · 2 q98 + 1 · v 3 · 3 q98

P (1 + 0.9 · 0.02 + 0.92 · 0.0002) = 0.9 · 0.98 + 0.92 · 0.0198 + 0.93 · 0.000 1.018162 · P = 0.8981838 P = 0.882161974 Jadi, besarnya premi bersih tahunan yang harus dibayarkan orang yang berusia 98 tahun dengan santunan 1 juta rupiah adalah Rp 882.161, 9742.



Premi Tahunan

Premi Tahunan

Contoh 4

Buktikan bahwa a. Cx = v Dx − Dx+1 b. Mx = v Nx − Nx+1 c. Rx = v Sx − Sx+1 d. Ax = v äx − ax



Premi Tahunan

Premi Tahunan

Penyelesaian a. Menurut definisi Cx = v x+1 dx , maka Cx = v x+1 dx = v x+1 (lx − lx+1 ) = v · v x · lx − v x+1 · lx+1 = v Dx − Dx+1

b. Dari poin a, bila dijumlahkan X X X Cx+i = v Dx+i − Dx+1+i i=0

i=0

i=0

Mx = v Nx − Nx+1



Premi Tahunan

Premi Tahunan

c. Dari poin b, bila dijumlahkan X X X Mx+i = v Nx+i − Nx+1+i i=0

i=0

i=0

Rx = v Sx − Sx+1

d. Dari poin b, bila kedua ruas dibagi dengan Dx maka Mx = v Nx − Nx+1 (kedua ruas dibagi dengan Dx ) Mx Nx Nx+1 =v − Dx Dx Dx Ax = v äx − ax



Premi Tahunan

Premi Tahunan

Sampai sekarang kita selalu menganggap bahwa premi tunggal dibayar pada waktu polis asuransi dikeluarkan. Dari segi praktek memang cara ini yang wajar dikerjakan. Akan tetapi dari segi teknik perhitungan sering menguntungkan, dalam arti kata memudahkan perhitungan, bila premi tunggal dapat pula dibayar pada akhir jangka waktu.



Premi Tahunan

Premi Tahunan

Misalkan n kx menyatakan premi tunggal bersih yang dibayarkan pada akhir jangka waktu untuk asuransi berjangka n tahun dengan besar santunan Rp 1, n kx disebut biaya asuransi dalam arti teknis. Sudah kita ketahui bahwa premi tunggal bersih yang dibayarkan pada permulaan jangka waktu untuk asuransi berjangka n tahun adalah A1x:n¬ . Jadi, jika n kx dikenakan faktor diskonto terhadap bunga dan peluang meninggal maka diperoleh A1x:n¬ , atau n kx

· n Ex = A1x:n¬

sehingga A1x:n¬ n Ex Mx − Mx+n = Dx+n Bila n = 1, simbol n tidak ditulis, jadi Mx − Mx+1 Cx kx = = Dx+1 Dx+1 n kx

=



Asuransi Jiwa

Recommend Documents