Gerak pada ruang Bila suatu titk zat bergerak, maka titik zat akan membuat lintasan dalam ruang geometri. Lintasan ini merupakan garis atau umumnya merupakan perpotongan dua bidang dalam ruang. Pada koordinat. Kartesius bentuk lintasan dapat dinyatakan sebagai :
Apabila lintasan itu dinyatakan dengan satuan s, maka persamaan di atas dapat juga ditulis menjadi : Kedudukan titik zat itu di sepanjang lintasan S dapat juga dinyatakan dengan vektor kedudukan r :
Pada sistem koordinat lainnya lintasan s ataupun vektor kedudukan r merupakan fungsi dari koordinat sistem yang bersangkutan. Dalam kinematika lintasan pun merupakan fungsi dari waktu seperti persamaan di atas, kedudukan titik zat sepanjang lintasan merupakan fungsi dari waktu, t.
Kecepatan dalam ruang Titik zat bergerak berurti bahwa kedudukan titik zat itu berubah menurut waktu. Selarna suatu waktu tertentu, misalkan dt, perubahan kedudukan titik zat itu mernbuat lintasan, misalkan sepanjang ds. Lintasan persatuan waktu didefinisikan sebagai kecepatan gerak titik zat v, sehingga :
Diferensiasi ke waktu bagi besaran dalam mekanika sering juga dinyatakan dengan titik, seperti
Lintasan adalah besaran vektor dan kecepatan juga merupakan besaran vektor. Vektor kecepatan ini dapat dilukis dalam sistem koordinat dan garis yang menghuhungi ujung vektor kecepatan ini disebut juga hodograf Pada sistem koordinat, kita dapat menguraikan vektor kecepatan ini ke dalam komponen koordinatnya dan, oleh sebab itu, kita dapat pula mencari hubungan komponen kecepatan di antara sistem koordinat itu.
Koordinat Karetesian Dari koordinat
komponen kecepatan dapat ditentukan sebagai :
dan vektor kecepatan
berbentuk :
pada
Pada gambar di atas sebelah kiri kecepatan pada lintasan dipindahkan ke titik asal 0, sehingga diperoleh gambar sebelah kanan, yang merupakan hodograf dari suatu gerak dalam suatu bidang datar. Lengkungan yang merupakan sambungan ujung vektor kecepatan adalah lengkungan kecepatan.
Koordinat Kutub Dengan koordinat r dan j, lintasan pada suatu bidang datar, merupakan : sedangkan persamaan geraknya, analog dengan , adalah :
Komponen kecepatan pada arah r dan masing-masing adalah dan . Penguraian selanjutnya dari komponen ke dalam arah r dan memberikan :
kecepatan masing-masing pada arah r dan kecepatan sudut gerak itu
Masukkan :
ke dalam
dan
memberikan
Penggunaan sistem koordinat kutub dengan mengambil sudut sebagai salah satu koordinat, memberikan pengertian kecepatan sudut seperti pada dan . Oleh karena itu, kecepatan pada disebut juga kecepatan linier. Dari hubungan s dan kedua kecepatan ini.
diperoleh
hubungan
di antara
Kecepatan v pada sistem koordinat kutub, diperoleh :
Koordinat Silindris Seperti pada sistem koordinat kutub, pada sistem koordinat silinder, komponen kecepatan menjadi :
dan kecepatan
v menjadi :
Koordinat Bola Komponen kecepatan masing-rnasing dapat diuraikan ke dalam komponen koordinat bola. Pada gambar di bawah, komponen diuraikan pada koordinat memberikan harga . Penguraian
dan
selanjutnya memberikan :
Dengan
dapat dinyatakan
dengan
:
Percepatan pada Koordinat Kartesius Dalam suatu gerak titik zat, kecepatan dapat berubah-ubah, sehingga terjadilah percepatan atau perlambatan. Perlambatan dapat juga dianggap sebagai percepatan yang mempunyai harga negatif, sehingga dengan mempergunakan percepatan, perubahan pada gerak sudah dapat ditentukan. Pada hodograf dalam gambar di bawah, perubahan v dari satu ke lain saat dapat ditentukan dengan suatu vektor pada lengkungan kecepatan. Bila perubahan kecepatan dv ditempuh dalam waktu dt, maka percepatan ditentukan sebagai
Atau
Pada sistem koordinat vektor kecepatan dapat diuraikan ke dalam komponen dan dari hubungan koordinat, hubungan komponen percepatan pada sistem koordinat yang berlainan dapat ditentukan.
Vektor percepatan a selanjutnya merupakan
Gerak Relatif Perhatikan partikel A dan partikel B yang bergerak sepanjang sepanjang lintasan semabarang seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini. Posisi absolut tiap partikel dan diukur dari titik asal kerangka acuan X, Y, Z yang sama O. Titik asal kerangka acuan kedua X’, Y’, Z’ terletak pada partikel A yang bergerak lurus relatif terhadap O. Posisi relatif “B terhadap A” dinyatakan oleh vektor posisi relatif .
Kecepatan Relatif Persamaan kecepatan diperoleh dengan mengambil turunan terhadap waktu dari : Persamaan di atas menjadi :
Disini
dan
menyatakan kecepatan
absolut B dan A yang diukur dari kerangka acuan tetap O. Sedangkan relatif diamati (diukur) dari A.
adalah kecepatan B jika
Percepatan Relatif Persamaan percepatan diperoleh dengan mengambil turunan waktu dari persamaan kecepatan. Disini
adalah percepatan B diukur dari A.
Contoh : Dua partikel A dan B bergerak lurus, kecepatannya terhadap titik O masing-masing diperlihatkan seperti gambar di bawah ini. Tentukan kecepatan B bila dilihat dari A dan sebaliknya.
Maka besar
