ANALISIS KOPLING MEDAN ELEKTROMAGNETIK ANTARA DEFEK TITIK DAN PANDU GELOMBANG PADA KRISTAL FOTONIK 2D

Seminar Nasional Fisika 2012 ISSN 2088-4176 Pusat Penelitian Fisika-LIPI Serpong, 4-5 Juli 2012 _______________________________________________________________________________________

ANALISIS KOPLING MEDAN ELEKTROMAGNETIK ANTARA DEFEK TITIK DAN PANDU GELOMBANG PADA KRISTAL FOTONIK 2D Candra Kurniawan1) dan Hendradi Hardhienata2) 1)

Pusat Penelitian Fisika LIPI Gd. 440, PUSPIPTEK, Serpong, Tangerang Selatan 15314 Telp : (021) 7560570, Fax : (021) 7560554 2) Departemen Fisika, FMIPA, Institut Pertanian Bogor Gd. Wing S, FMIPA, Kampus IPB Darmaga, Bogor 16680 Telp/Fax : (0251) 8625728 E-mail : [email protected] ABSTRAK Kristal fotonik adalah material dielektrik yang terdiri atas susunan material yang memiliki permitivitas berbeda secara periodik, sehingga dapat mencegah perambatan gelombang elektromagnetik (EM) dengan frekuensi dan arah tertentu, yang dinamakan photonic bandgap (PBG). Metode tensor green dapat digunakan untuk menghitung kuat medan listrik/magnet total pada perambatan gelombang EM dalam suatu kristal fotonik 2D. Jika struktur Kristal fotonik dimodifikasi dengan mengambil satu baris silinder (rod) dalam kristal fotonik maka akan didapatkan sebuah pandu gelombang. Dengan mamberikan struktur dua defek berimpit di sekitar pandu gelombang dengan parameter-parameter kristal tertentu maka terjadi kopling antara pandu gelombang dan defek tersebut. Kopling yang terjadi menandakan pengalihan sebagian atau keseluruhan medan EM yang dirambatkan tergantung pada besarnya frekuensi gelombang EM yang merambat dalam kristal fotonik tersebut. Dengan menggunakan simulasi program MATLAB maka dapat ditunjukkan visualisasi penghitungan kuat medan listrik total pada kristal fotonik 2D. Berdasarkan analisis grafik daya medan maksimum pada defek terlihat bahwa frekuensi efektif kopling maksimum berada di pertengahan interval frekuensi bandgap. Kata kunci : Kristal fotonik, photonic bandgap, pandu gelombang, defek, kopling. ABSTRACT Photonic crystal is a dielectric material which consists of arrangement material that has a different permittivity periodically, so it can totally reflected the propagation of electromagnetic waves (EM) with a specific frequency interval and direction, called photonic bandgap (PBG). Green tensor method can be used to calculate the total electric/magnetic field strength on EM wave propagation in a 2D photonic crystal. If the structure of photonic crystals modified by taking a single row cylindrical (rod), we will get a photonic crystal waveguide. By giving two defects structure in waveguides coincides with certain crystal parameters then coupling occurs between the waveguides and the defect. The coupling phenomena indicates that the transfer of part or all of the EM field which propagated depends on the magnitude of the frequency of EM waves propagated in the photonic crystal. By using MATLAB simulation program it can be used to visualize the total electric field strength in 2D photonic crystals. Based on the analysis of the accumulative power field in the defect, it shows that the frequency of maximum coupling is effective in mid-bandgap frequency interval. Keyword : Photonic Crystals, Photonic Bandgap, Waveguide, Defect, Coupling.

____________________________________________________________________________________ Analisis Kopling Medan Elektromagnetik Antara Defek Titik dan Pandu Gelombang Pada Kristal Fotonik 2D Candra Kurniawan, dkk.


PENDAHULUAN Kristal fotonik adalah material dielektrik yang terdiri atas susunan material yang memiliki permitivitas berbeda secara periodik, sehingga dapat mencegah perambatan gelombang elektromagnetik (EM) dengan frekuensi dan arah tertentu, yang dinamakan photonic bandgap (PBG). Dasar teoretis mengenai kristal fotonik dikembangkan pertama kali oleh E. Yablonovic dan S. John pada tahun 1987 [1,2]. Sebagai hasilnya dijelaskan bahwa banyak fenomena yang terjadi pada semikonduktor terjadi pula pada bahan kristal fotonik. Jika interval frekuensi dan sudut datang berbeda-beda, maka cahaya akan dipantulkan seluruhnya oleh kristal fotonik sehingga diketahui sifat-sifat fotonik bandgap secara lengkap. Suatu sifat yang penting pada kristal fotonik dapat diperoleh jika terdapat cacat (defek) pada struktur kristal fotonik [3,4]. Dengan adanya variasi pada struktur defek maka dapat dihasilkan modifikasi pada frekuensi bandpass. Sedangkan jika struktur kristal fotonik dimodifikasi dengan mengambil satu baris silinder (rod) dalam kristal fotonik maka didapatkan sebuah pandu gelombang (waveguide) yang menjadi sebuah kanal bagi perambatan gelombang EM. Dengan variasi struktur cacat di sekitar pandu gelombang maka diharapkan akan terjadi pengalihan sebagian atau keseluruhan (kopling) dari medan elektromagnetik (EM) yang dirambatkan pada kristal fotonik tersebut. Pada penelitian ini dilakukan simulasi perambatan gelombang EM TM pada kristal fotonik 2D dengan dua defek berimpit di sekitar pandu gelombang menggunakan metode tensor Green sehingga dapat dianalisis karakter medan EM pada masing-masing model defek tersebut. Tujuan penelitian ini adalah untuk menganalisis karakteristik kopling gelombang EM pada kristal fotonik 2D dengan dua defek berimpit di sekitar sebuah pandu gelombang dan menganalisis frekuensifrekuensi efektif dan daya medan listrik maksimum dalam defek tersebut. DASAR TEORI Kristal Fotonik 2D Sederhana Kristal fotonik 2D tersusun periodik pada dua sumbu aksisnya, dan homogen sepanjang sumbu ketiga. Kristal fotonik 2D terdiri atas susunan kolom-kolom dielektrik seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1. Pada kristal fotonik 2D frekuensi bandgap terdapat pada bidang x-y. Di dalam gap ini, tidak ada medan transmitasnsi yang terjadi, dan cahaya yang menumbuknya akan dipantulkan seluruhnya. Kristal fotonik 2D dapat memantulkan cahaya yang datang dari arah manapun pada bidang sehingga tidak ada cahaya yang dapat ditransmisikan di dalamnya. Jika kz = 0, maka cahaya merambat pada bidang x-y. Gelombang EM yang datang pada kristal fotonik 2D dapat diklasifikasikan modus perambatannya dengan menjadi dua polarisasi ____________________________________________________________________________________ Analisis Kopling Medan Elektromagnetik Antara Defek Titik dan Pandu Gelombang Pada Kristal Fotonik 2D Candra Kurniawan, dkk.


yang berbeda. Modus transverse electric (TE) memiliki arah medan magnet H yang tegak lurus terhadap sumbu-z,

dan medan listrik E yang sejajar dengan bidang,

Modus transverse magnetic (TM) bersifat sebaliknya, yaitu

dan

. [5].

Gambar 1. Kristal fotonik 2D yang terdiri atas kolom-kolom dielektrik dengan jari-jari r dan konstanta dielektrik εr. Material ini homogen pada sumbu z. Ilustrasi perambatan gelombang EM pada sebuah sistem silinder 2D ditunjukkan pada Gambar 2 [6]. Tampak bahwa medan EM merambat kearah silinder dengan sudut tertentu θi dan terbagi atas dua modus perambatan. Dalam kasus ini polariasi-p menunjukkan modus perambatan transverse electric (TE), sedangkan polarisasi-s menunjukkan modus transverse magnetic (TM).

Gambar 2. Ilustrasi Perambatan Gelombang EM pada Sebuah Silinder Dielektrik. Tensor Green pada Medium Homogen 2D Tensor Green 2D adalah distribusi medan pada bidang pengamatan dengan asumsi z = konstan sehingga fungsi Green skalar 2D dapat dibentuk dari bentuk 3D nya dengan menjumlahkan seluruh titik sumber yang terletak pada garis sepanjang sumbu-z atau hasil integrasi dari sebuah sumber garis.   g B2D ( r , r ' ) 



ik z B    dz' g 3D (r, r ' )e z

 g B2D ( r , r ' ) 



 dz'







exp[ik B  2  ( z  z ' ) 2 ] 4  2  ( z  z ' ) 2

i H 0 (k a , a) exp[ik z z ] 4   G B (,  ' )

Pada kasus polarisasi TM, tensor Green

eik z z

(1)

disederhanakan menjadi fungsi Green

skalar dengan z = 0, ____________________________________________________________________________________ Analisis Kopling Medan Elektromagnetik Antara Defek Titik dan Pandu Gelombang Pada Kristal Fotonik 2D Candra Kurniawan, dkk.

Seminar Nasional Fisika 2012 ISSN 2088-4176 Pusat Penelitian Fisika-LIPI Serpong, 4-5 Juli 2012 _______________________________________________________________________________________   G B (,  ' )

B = Gzz

(2)

Karena gelombang datang pada bidang x – y, kemudian

k  kB

dan k z  0 , sehingga,

 i G B zz  H 0 (k  ,  ) 4

(3)

Total Medan Listrik Persamaan vektor gelombang EM dapat ditulis sebagai persamaan inhomogen,              E (r)  k02 BE(r)  k02  (r ) E (r )

(4)

Total medan dapat dihitung dengan bantuan penurunan persamaan vektor fungsi Green, (5)     G(r, r' ) - k02 G(r, r' )  I (r - r' )    Karena solusi dari total medan E (r ) juga mengandung solusi dari medan sumber awal E 0 atau komponen homogen dan komponen inhomogen, dengan melakukan analogi fungsi Green  

maka total medan E (r ) akan berbentuk [6],           E (r )  E 0 (r )   dr ' G B (r , r ' )  k02  (r ' ) E (r ' ) V

(6)

dengan V adalah volume hamburan total. 



Untuk memecahkan kesulitan pada kasus r  r ' , sifat singularitas dari tensor Green harus dipecahkan menjadi bentuk yang lebih sederhana. Modifikasi dari persamaan (8) menjadi bentuk persamaan lipmann-Schwinger,     E (r )  E 0 (r )  lim



V 0 V V

  (r )        dr ' G B (r , r ' )  k02  (r ' ) E (r ' )  L  E (r )

B

(7)

Integral dalam persamaan tersebut mengeksklusi singularitas dengan konsekuensinya 

adalah penambahan komponen dyadic L yang bergantung dengan batas volume eksklusi V . Komponen dari

 Li

yang menghubungkan sumber dyadic pada batang silinder 2D dalam kasus ini 

[7], pada kasus modus TM maka nilai L adalah nol

Lzz  0.

METODOLOGI Diskretisasi Persamaan Lippman-Schwinger Dengan pendekatan lippman-Schwinger, persamaan (7) dapat diselesaikan secara numerik dengan memanfaatkan bentuk diskritnya. Dalam melakukan pendekatan tersebut maka dibuat sejumlah N kotak-kotak kecil. Masing-masing kotak memiliki volume yang konstan Vi , sehingga dapat dituliskan bentuk diskrit dari persamaan tersebut adalah [7], ____________________________________________________________________________________ Analisis Kopling Medan Elektromagnetik Antara Defek Titik dan Pandu Gelombang Pada Kristal Fotonik 2D Candra Kurniawan, dkk.


  Ei  E i0  

N

B

G

j 1, j 1

ij

       k 02  j E jV j  M  k 02  i Ei  L  i Ei



dengan Ei = E (ri ) adalah medan terdiskretisasi dan terdiskretisasi. Besar nilai komponen

V 0

kasus

gelombang

TM,

adalah selisih konstanta dielektrik

dapat dihitung dengan,  M i  lim

pada

(8)

B

maka

Mi

 B   (ri , r )

dr ' G

(9)

Vi  V

adalah

M zz 

i  4

,

dengan



  1  

 R eff

k z2  ,  k B2 

dan

2i 

   i H1 (k  , Rieff )  2  . k    k

Penghitungan Total Medan TM dengan Persamaan Lippman-Schwinger terdiskretisasi Persamaan Lippman-Schwinger menunjukkan bahwa nilai

dan

sebenarnya memiliki

bentuk yang sama dan dihubungkan melalui persamaan, (10) Sehingga persamaan Lippman-Schwinger berubah menjadi, 



 ij  E j  E 0  ( i

N

B

G

j 1, j 1

ij

     k02  jV j   ij  ( M  k02  i  L  i ))  E j

B

(11)

maka dapat didefinisikan sebuah matriks baru yang berbentuk, Tij 

N

B

G

j 1, j 1

ij

    k02  jV j   ij  ( M  k02  i  L  i )

B

(12)

sehingga substitusi persamaan Lippman-Schwinger menjadi,   1 E j  I ij  Tij   E i0

(13)

dengan δij = Iij yang merupakan sebuah matriks identitas berordo i x j. Maka medan total

 Ej

dapat

dihitung dengan persamaan tersebut dengan menggunakan proses pemrograman numerik. Pada penelitian ini simulasi kristal fotonik 2D menggunakan MATLAB R2008a/R2008b. Bandgap pada Kristal Fotonik 2D Pada penelitian ini perbandingan jarak antar kisi (a) dan jari-jari silinder (r) yang digunakan adalah sebesar r = 0,2a. Zona Brillouin untuk parameter tersebut diketahui untuk mendapatkan interval frekuensi bandgap seperti ditunjukkan pada Gambar 4 [5]. Terlihat bahwa untuk modus perambatan medan EM TM memiliki interval frekuensi bandgap antara ωa/2πc = 0,33



– 0,44. Pada penelitian ini dipilih variasi frekuensi dari ωa/2πc = 0,36 – 0,39 untuk mendapatkan karakteristik kopling optimum yang terjadi pada defek.

Gambar 4. Photonic bandgap pada Kristal fotonik 2D dengan parameter kisi . HASIL DAN PEMBAHASAN Pandu Gelombang Kristal Fotonik 2D Dalam penelitian ini sebuah kanal pandu gelombang dibuat dengan mengambil baris keempat dalam susunan kristal fotonik 2D berukuran 6 x 6. Dengan memilih salah satu frekuensi yang berada dalam bandgap maka didapatkan suatu bentuk pandu gelombang yang dapat mentransmisikan gelombang EM sepanjang kanal yang dibuat. Pandu gelombang dalam kristal fotonik 2D ditunjukkan dalam Gambar 5 dengan parameter jarak antar kisi r = 0,2a, permitivitas silinder

dan frekuensi sebesar ωa/2πc = 0,38.

Pada Gambar 5 dapat dilihat bahwa gelombang EM yang dirambatkan dalam kristal fotonik sesuai prediksi dan ditransmisikan melalui kanal. Dapat dilihat juga bahwa medan listrik total (E) yang merambat hanya berada pada kanal saja sedangkan pada daerah silinder di sekitar kanal besarnya medan listriknya mendekati nol.

Gambar 5. Perambatan gelombang EM TM dalam sebuah pandu gelombang kristal fotonik 2D.



Kopling Medan EM pada Kristal Fotonik 2D dengan Dua Defek Berimpit Secara teoretis maupun eksperimental telah banyak dibuktikan bahwa kedua jenis defek tersebut memberikan manfaat dan kerugian tersendiri jika terdapat dalam susunan kristal fotonik 2D [8,9]. Dalam kasus penelitian ini kristal fotonik 2D diberikan dua defek titik yang berimpit disekitar pandu gelombang. Defek yang diberikan pada kristal fotonik 2D dilakukan dengan mengambil dua buah silinder yang berada pada baris keempat sehingga pada posisinya hanya terdapat medium saja berupa udara dengan permitivitas

seperti ditunjukkan pada Gambar 6.

a.

b.

c.

d.

Gambar 6. Simulasi kopling medan EM TM pada Kristal fotonik 2D dengan variasi frekuensi (ωa/2πc), a) 0,36, b) 0,37, c) 0,38, dan d) 0,39. Dari Gambar 6(a) dengan frekuensi gelombang ωa/2πc = 0,36 terlihat bahwa terjadi kopling medan listrik yang terakumulasi dengan amplitudo pada defek antara 0,2 - 4,6 N/C dan pada kanal amplitudo maksimum adalah 6,5. Dari Gambar 6(b) terlihat bahwa pada frekuensi ωa/2πc = 0,37 terjadi kopling medan EM pada defek dan memiliki amplitudo dengan nilai yang berkisar dari 1,0 hingga 9,0 sedangkan amplitudo maksimum yang terjadi pada kanal adalah 6,1. Gambar 6(c) ditunjukkan bahwa terdapat kopling medan EM pada frekuensi sebesar ωa/2πc = 0,38 menghasilkan Amplitudo dengan nilai yang berkisar antara 0,5 hingga 10,6 sedangkan pada kanal nilai amplitudo maksimum yang dihasilkan adalah sebesar 8,2. Pada Gambar 6(d) dengan ωa/2πc = 0,39 terlihat bahwa kopling medan EM pada defek memiliki amplitudo yang berkisar antara 0,05 hingga 2,23, sedangkan amplitudo maksimum pada kanal bernilai 3,4. Hal ini menunjukkan bahwa telah terjadi penurunan kembali tingkat kopling pada frekuensi ini dibandingkan frekuensi lainnya. ____________________________________________________________________________________ Analisis Kopling Medan Elektromagnetik Antara Defek Titik dan Pandu Gelombang Pada Kristal Fotonik 2D Candra Kurniawan, dkk.


Penghitungan Daya Medan EM dalam Defek Berdasarkan beberapa model kristal fotonik 2D dengan dua defek titik yang berimpit dan variasi frekuensi gelombang datang maka telah didapatkan terjadinya perubahan amplitudo yang terjadi pada peristiwa kopling medan EM antara defek dan pandu gelombang. Maka dapat dihitung juga besarnya daya medan listrik total pada defek dan dibandingkan antara beberapa variasi frekuensi di sekitar bandgap. Energi medan listrik pada perambatan gelombang EM dapat dihitung dengan persamaan,   P    Ei  Ei dAi

(14)

A

yang menyatakan jumlah keseluruhan kuadrat medan dalam luas area defek (A). Sehingga Luas area dapat dianggap sebagai kuadrat jarak antar kisi kristal fotonik (A = a2). Energi medan listrik pada area cacat ditunjukkan pada gambar,

Gambar 8. Daya medan listrik total dalam defek pada Kristal fotonik 2D dengan dua defek titik berimpit. Dari Gambar 8 terlihat bahwa besarnya daya medan listrik total pada defek memiliki suatu nilai maksimum. Frekuensi yang menghasilkan energi tertinggi berada pada saat ωa/2πc = 0,38 yang merupakan frekuensi efektif saat terjadi kopling pada daerah defek. Berdasarkan Gambar 8 tersebut terlihat bahwa besarnya daya medan listrik pada defek meningkat sebanding dengan peningkatan frekuensi medan EM yang merambat pada pandu gelombang, namun pada peningkatan frekuensi diatas ωa/2πc = 0,38 terjadi penurunan daya medan kopling pada defek. Berdasasrkan perhitungan titik interval bandgap didapatkan nilai frekuensi (ωa/2πc) sebesar (0,44 – 0,33)/2 = 0,385. Hal ini memperkuat hasil analisis daya medan EM TM pada defek, bahwa frekuensi efektif terjadinya kopling terjadi berada pada titik tengah dari frekuensi bandgap tersebut. Berdasarkan pekerjaan sebelumnya [7], jika lokasi defek dipindahkan lebih jauh dari pandu gelombang dengan jarak 3 kali jarak antar kisi maka frekuensi efektif yang berlaku pada model tersebut akan sama namun hasil energi medan total akan berkurang sebanding dengan pertambahan jarak antara defek dan kanal. ____________________________________________________________________________________ Analisis Kopling Medan Elektromagnetik Antara Defek Titik dan Pandu Gelombang Pada Kristal Fotonik 2D Candra Kurniawan, dkk.


KESIMPULAN Metode tensor green dapat digunakan untuk menghitung kuat medan listrik total dalam suatu krital fotonik 2D. Dalam penelitian ini diberikan perlakuan pada kristal fotonik 2D dengan adanya sebuah pandu gelombang dan dua buah defek titik yang berimpit. Berdasarkan hasil simulasi dapat disimpulkan bahwa pada kristal fotonik 2D tersebut telah terjadi kopling antara kanal dengan defek titik berimpit. Besarnya amplitudo dari medan listrik dalam defek bergantung pada frekuensi gelombang datang pada kristal fotonik 2D. Peristiwa kopling tersebut menyebabkan besar kuat medan listrik yang merambat dalam kanal akan terpecah saat terjadi kopling dengan sebagian medan tersebut ditransmisikan keluar dari struktur kristal fotonik 2D. Melalui analisis interval bandgap dan daya medan pada defek terlihat bahwa frekuensi efektif yang menghasilkan daya maksimum kopling berada di pertengahan interval frekuensi bandgap. DAFTAR PUSTAKA 1. Yablonovitch, E. “Inhibited Spontaneous Emission in Solid State Physics and Electronics.” Phys. Rev. Lett. Vol. 58, No. 20 (1987): 2059 – 2062. 2. Yablonovitch, E and T. J. Gmitter. “ Photonic Band Structure: The Face – Centered – Cubic Case.” Phys. Rev. Lett. Vol. 63, No. 18 (1989): 1950 – 1953. 3. Tayeb, G. and D. Maystre. “Rigorous theoretical study of finite – size two – dimensional photonic crystals doped by microcavities.” J. Opt. Soc. Am. A. Vol. 14, No. 12 (December 1997): 3323 – 3332. 4. Guillermo A. C., D. M. Herna´ndez, and V. P. Minkovich. “Demonstration of an All-Fiber Band-Rejection Filter Based on a Tapered Photonic Crystal Fiber.” Appl. Phys. Express 5 022502 (2012): 1 – 3. 5. Joannopoulos JD, Meade RD, Winn JN. Photonic Crystals : Molding the Flow of Light, 2nd ed. New Jersey : Princeton University Press, 2008. 6. Martin, Olivier J. F. and Nicolas B. Piller. “Electromagnetic scattering in polarizable backgrounds.” Phys. Rev. E. Volume 58, No. 3 (1998): 3909 – 3915. 7. Hardhienata, H. Thesis : Study of Electromagnetic Wave Propagation in 2D Photonic Crystals with Defect Using Green’s Tensor Method. Bandung : Program Study of Physics ITB, 2008. 8. Shanhui Fan, et. al. “Channel drop filters in photonic crystals.” Optics Express, Vol. 3, No. 1 (1998): 4 – 11. 9. Hongliang Ren, et. al. “Photonic crystal channel drop filter with a wavelength-selective reflection micro-cavity.” Optics Express, Vol. 14, No. 6 (2006): 2446 – 2458. ____________________________________________________________________________________ Analisis Kopling Medan Elektromagnetik Antara Defek Titik dan Pandu Gelombang Pada Kristal Fotonik 2D Candra Kurniawan, dkk.

ANALISIS KOPLING MEDAN ELEKTROMAGNETIK ANTARA DEFEK TITIK DAN PANDU GELOMBANG PADA KRISTAL FOTONIK 2D

Recommend Documents