1
PENGARUH VARIASI PANJANG GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK TERHADAP MODE TM PADA PANDU GELOMBANG PERSEGI
Nisa’ Cahyani1, Arif Hidayat2, Hari Wisodo3 1
Mahasiswa Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Malang Dosen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Malang 3 Dosen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Malang Alamat e-mail :
[email protected] 2
Abstrak Pengkajian masalah pengaruh variasi panjang gelombang elektromagnetik terhadap mode TM pada pandu gelombang persegi telah berhasil dilakukan secar analitik dan numerik. Dilakukan normalisasi terhadap persamaan gelombang mode TM pada pandu gelombang persegi. Diskretisasi persamaan gelombang dilakukan menggunakan metode beda hingga skema beda terpusat. Bilangan gelombang cut-off yang mempengaruhi panjang gelombang elektromagnetik dihitung menggunakan metode Newton-Raphson termodifikasi. Kata kunci : mode TM, metode Newton-Raphson
1. PENDAHULUAN
2. SISTEM FISIS
Penelitian tentang mode gelombang pada pandu gelombang persegi secara analitik telah banyak dilakukan sebelumnya. Perambatan gelombang elektromagnetik dan penjabaran masing-masing komponen axial gelombang elektromagnetik telah diteliti oleh Permatasari (2005). Implementasi gelombang elektromagnetik dalam pandu gelombang persegi dari kristal fotonik telah diteliti oleh Yuliza (2011). Penelitian tentang pandu gelombang persegi secara numerik juga telah banyak dilakukan sebelumnya. Mode gelombang dalam pandu gelombang persegi 3D telah dihitung secara numerik oleh Wu (2009). Tetapi, penelitian tersebut hanya berhasil untuk mode tertentu saja. Bilangan gelombang dalam pandu gelombang persegi dua dimensi telah dihitung dengan menggunakan metode beda hingga (Mimaroglu. 1999). Namun penelitian tersebut belum sepenuhnya berhasil Penelitian ini mengkaji tentang mode gelombangTransverse Magnetic (TM) pada pandu gelombang persegi secara numerik.Metode numerik yang digunakan mengacu pada metode yang digunakan Mimaroglu (1999). Perbedaannya terletak pada formulasi diskretnya. Hal ini dilakukan dengan harapan untuk memperoleh hasil yang lebih baik.
Ditinjau suatu pandu gelombang persegi dengan luas penampang terletak di bidang x dan y seperti yang disajikan pada Gambar 1.
Gambar 1. Pandu Gelombang Persegi
Gambar 1 menunjukkan pandu gelombang persegi yang terletak di titik x = 0 dan x = a serta y = 0 dan y = b. Titik-titik inilah yang disebut dengan syarat batas. Persamaan yang sesuai dengan keadaan fisis Gambar 1 adalah persamaan gelombang yang berbentuk ……...............................(1)
2
dengan merupakan fungsi gelombang dan merupakan bilangan gelombang. Penelitian ini membahas tentang mode TM sehingga yang ditinjau hanya . Hal ini dikarenakan mode TM mempunyai vektor medan magnet yang tegak lurus dengan arah rambatnya sehingga nilai dari medan magnet sama dengan nol. Mensubtitusikan ke persamaan (1) diperoleh,
Dalam penelitian ini menggunakan syarat batas Dirichlet dimana maka . Syarat batas ini ditinjau berdasarkan Gambar 2.
……………….(2)
+
Selanjutnya, untuk memperoleh solusi umum dari persamaan (2) adalah dengan cara melakukan separasi variabel. Adapun solusi dari persamaan (2) adalah sin
.......................(3) Gambar 2. Grid Komputasi yang Ditinjau
Persamaan (3) adalah solusi umum dari mode TM pada pandu gelombang persegi sesuai dengan Gambar 1. Persamaan (2) dipengaruhi oleh besarnya bilangan gelombang. Nilai bilangan gelombang (k ) hanya berlaku apabila besar dari bilangan gelombang cut off-nya harus memenuhi
Berdasarkan Gambar 2, warna biru menunjukkan titik batas dan warna merah menunjukkan titik interior.Titik interior dan titik batas dihitung dengan menggunakan persamaan (5) sehingga diperoleh Titik interior,
…………………..(4) bilangan gelombang cut-off pada persamaan (3) berbanding terbalik dengan besarnya panjang gelombang elektromagnetik.
Titik batas, dengan j = 2, … dengan j = 2, … dengan i = 2, … dengan i = 2, …
. .
.
3. DISKRETISASI Persamaan (2) diselesaikan melalui pendekatan numerik dengan menggunakan metode beda hingga skema terpusat. Maka persamaan (2) menjadi
. .
4. METODE NEWTON-RAPHSON TERMODIFIKASI
……………………………(5) Berdasarkan persamaan (5) asumsikan =h, dan diperoleh,
=
…………………..(6)
Metode Newton Raphson termodifikasi ini dilakukan untuk memperoleh bilangan gelombang sesuai dengan persamaan (4). Hal ini bertujuan untuk menghasilkan ragam gelombang yang sesuai dengan panjang gelombang elektromagnetik yang dihasilkan. Formulasinya adalah ……………..(7)
3
dimana adalah faktor akselerasi, 1< <2. adalah persamaan (6). Metode ini menggunakan metode iterasi untuk memperoleh nilai bilangan gelombang yang sesuai. Arti dari metode iterasi pada penelitian ini adalah menghitung bilangan gelombang k secara berulang dengan memasukkan ke dalam persamaan (7) lebih dari 3-4 kali. Proses ini akan diulangi lagi dengan nilai k terus di update sampai nilai dari mendekati dan didapatkan nilai . Apabila sudah didapatkan hasil yang diinginkan proses iterasi ini akan berhenti. Setelah proses iterasi berhenti, selanjutnya adalah menghitung nilai k yang telah didapatkan dari prose iterasi. Nilai k dihitung dengan menggunakan formula Raleigh. =
. . 5. PROGRAM DAN HASIL Program untuk mengimplementasikan bentuk diskret persamaan gelombang mode TM pada pandu gelombang persegi yang ditulis dalam MATLAB 7.10. List program ditulis pada lampiran 1. Dalam penelitian ini terdapat dua jenis hasil yaitu secara analitik dan secara numerik. Secara analitik dalam 2D,
…....................................(8)
Bentuk diskret persamaan (8) adalah
………………...(9) Sama halnya dengan metode beda hingga setelah diperoleh bentuk diskret adalah meninjau Gambar 2 da menentukan titik batas dan titik interior. Berdasarkan Gambar 2 warna biru menunjukkan titik batas dan warna merah menunjukkan titik interior. Titik batas dan titik interior dihitung dengan menggunakan persamaan (10). Formulasinya adalah
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Titik interior,
(g) Titik batas, Gambar 3. Intensitas Gelombang (a) dengan j = 2, … dengan j = 2, … dengan i = 2, … dengan i = 2, … .
. .
(b) (d) (g)
dan dan
(c) (e)
dan (f)
4
Berdasarkan Gambar 3 terdapat 15 variasi mode TM. Apabila meninjau Gambar 3 terdapat perbedaan ragam gelombang yang dihasilkan. Perbedaan ragam gelombang ini sesuai dengan persamaan (4) . Hubungannya dengan panjang gelombang elektromagnetik bahwa panjang gelombang berbanding terbalik dengan bilangan gelombang. Sehingga berdasarkan gambar 3 terlihat semakin kecil panjang gelombang elektromagnetiknya maka semakin banyak ragam gelombang yang dihasilkan. Semakin besar panjang gelombang elektromagnetik maka tidak ada pola yang terbentuk. Hal ini disebabkan tidak adanya gelombang elektromagnetik y anga dapat ditangkap oleh pandu gelombang persegi.
Secara numerik dalam 2D,
Gambar 4. Intensitas Gelombang Untuk Berbagai Mode TM
LAMPIRAN 1 : LIST PROGRAM Analitik % Penentuan Mode TM pada pandu gelombang persegi Nxplus1=1000; Nyplus1=1000; n=input('masukkan nilai n '); m=input('masukkan nilai m '); for i=1:Nxplus1 for j=1:Nyplus1 G(i,j)=(sin(n*pi*h*(j)/y) *sin(m*pi*h*(i)/x)).^2; end end
= =
yy=(1:Nxplus1); xx=(1:Nyplus1); figure(1) mesh(xx,yy,G) pause figure(2) pcolor(xx,yy,G) shading interp hold on contour(xx,yy,G) pause Numerik
Gambar 4 menunjukkan mode TM untuk 15 variasi, ,
6. KESIMPULAN Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa semakin besar panjang gelombang elektromagnetik maka tidak ada pola gelombang yang terbentuk. Semakin kecil panjang gelombang elektromagnetik maka semakin banyak ragam gelombang yang terbentuk.
% Penentuan Mode TM pada pandu gelombang persegi Nxplus1=1000; Nyplus1=1000; w=1.5; E=ones(Nxplus1,Nyplus1);B=ones (Nxplus1,Nyplus1);I=zeros(Nxpl us1,Nyplus1);P=zeros(Nxplus1,N yplus1); h=0.001 y=Nxplus1*h x=Nyplus1*h k=1;f=0;p=1; c=4-h^2*k^2; while p>0.01 & f<10000 for i=1:Nxplus1 for j=1:Nyplus1 if i==1 & j==1; E(i,j)=(E(i,j+1)+E(i+1,j) )/c; elseif i==1 & j~=Nyplus1 & j~=1;
5
E(i,j)=(E(i,j1)+E(i,j+1)+E(i+1,j))/c; elseif i==1 & j==Nyplus1; E(i,j)=(E(i,j-1)+E(i+1,j))/c; elseif j==1 & i~=Nxplus1 & i~=1; E(i,j)=(E(i1,j)+E(i+1,j)+E(i,j+1))/c; elseif i==Nxplus1 & j==1; E(i,j)=(E(i-1,j)+E(i,j+1))/c; elseif i==Nxplus1 & j~=1 & j~=Nyplus1; E(i,j)=(E(i,j-1)+E(i,j+1)+E(i1,j))/c; elseif i==Nxplus1 & j==Nyplus1; E(i,j)=(E(i,j-1)+E(i-1,j))/c; elseif j==Nyplus1 & i~=1 & i~=Nxplus1; E(i,j)=(E(i,j-1)+E(i1,j)+E(i+1,j))/c; else E(i,j)=(E(i,j-1)+E(i,j+1)+E(i1,j)+E(i+1,j))/c; end end end % Metode Newton-Raphson E=(1-w)*B+w*E; B=E; for i=1:Nxplus1 for j=1:Nyplus1 if i==1 & j==1; I(i,j)=E(i,j)*(E(i,j+1)+E(i+1, j)-4*E(i,j)); elseif i==1 & j~=Nyplus1 & j~=1; I(i,j)=E(i,j)*(E(i,j1)+E(i,j+1)+E(i+1,j)4*E(i,j)); elseif i==1 & j==Nyplus1; I(i,j)=E(i,j)*(E(i,j1)+E(i+1,j)-4*E(i,j)); elseif j==1 & i~=Nxplus1 & i~=1; I(i,j)=E(i,j)*(E(i1,j)+E(i+1,j)+E(i,j+1)4*E(i,j)); elseif i==Nxplus1 & j==1; I(i,j)=E(i,j)*(E(i1,j)+E(i,j+1)-4*E(i,j)); elseif i==Nxplus1 & j~=1 & j~=Nyplus1; I(i,j)=E(i,j)*(E(i,j1)+E(i,j+1)+E(i-1,j)4*E(i,j)); elseif i==Nxplus1 & j==Nyplus1;
I(i,j)=E(i,j)*(E(i,j-1)+E(i1,j)-4*E(i,j)); elseif j==Nyplus1 & i~=1 & i~=Nxplus1; I(i,j)=E(i,j)*(E(i,j-1)+E(i1,j)+E(i+1,j)-4*E(i,j)); else I(i,j)=E(i,j)*(E(i,j1)+E(i,j+1)+E(i-1,j)+E(i+1,j)4*E(i,j)); end P(i,j)=E(i,j)*E(i,j); end end f=f+1; c=4(sum(sum(I)))/(sum(sum(P))); t=sqrt(4-c)/h; p=abs((t-k)/t); k=t; end n=input('masukkan nilai n = '); m=input('masukkan nilai m = '); for i=1:Nxplus1 for j=1:Nyplus1 G(i,j)=(sin(n*pi*h*(j)/y)*sin( m*pi*h*(i)/x)).^2; %D(i,j)=abs(E(Nxplus1+1i,Nyplus1+1-j)-G(i,j)); E(i,j)=E(Nxplus1+1i,Nyplus1+1-j); end end figure(1); imagesc(E) colormap(gray) title('Solusi numerik mode TM') pause yy=(1:Nxplus1); xx=(1:Nyplus1); figure(2) mesh(xx,yy,G) pause figure(3) pcolor(xx,yy,G) shading interp hold on contour(xx,yy,G) pause figure(4)
6
mesh(xx,yy,E) pause %figure(5) %mesh(xx,yy,D) %pause figure(6) subplot(2,2,1), mesh(xx,yy,G) title('Solusi analitik mode TM') subplot(2,2,2), mesh(xx,yy,E) title('Solusi numerik mode TM') %subplot(2,2,3), mesh(xx,yy,D) %title('Perbedaan Analitik dan Numerik mode TM')
PUSTAKA [1]
Yuliza, Elfi. 2011. Tugas metodologi Penelitian Analisis Numerik Untuk Menentukan Modus pandu Gelombang Ridge Dari Device Fotonik. Bandung : Prodi Fisika FMIPA ITB .
[2] Permatasari, Liana. 2005. Simulasi Ragam Gelombang Elektromagnetik Pada Pandu Gelombang Persegi. Malang : Prodi Fisika FMIPA UM. [3] Wu, X.L. 2009. Waveguide Simulation Using The High-Order Symplectic Finite-Difference Time-Domain Scheme. China : Anhui University. [4]
Mimaroglu, Selim. 1999. Finding Wavenumber In A Rectanguler Waveguide By Finite Difference Methods. Hacettepe University.
[5] Jordan.1976.Electromagnetic Waves and Radiating Systems. Prentice-Hall Of India Private Limited: New Delhi.
