ANALISIS CANTILEVER BEAM DENGAN MENGGUNAKAN METODE SOLUSI NUMERIK
TUGAS KULIAH Disusun sebagai salah satu syarat untuk lulus kuliah MS 4011 Metode Elemen Hingga
Oleh Wisnu Ikbar Wiranto 13111074 Ridho Fidiantowi 13111100
FAKULTAS TEKNIK MESIN DAN DIRGANTARA INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2015
ABSTRAK
Proses analisis sebuah desain dapat dilakukan dengan berbagai cara. Konsep dasar menjadi dasar dari analisis adalah hukum hukum yang telah kita kenal seperti Hukum Newton, metode Integrasi dan lainlain. Proses desain dan analisis dewasa in dipermudah dengan adanya perangkat lunak. Untuk meninjau sebuah beam sederhana, dapat ditinjau dengan berbagai cara. Beam merupakan sebuah struktur batang panjang ramping yang didesain untuk menahan gaya-gaya yang bekerja dalam arah transversal terhadap sumbunya. Dalam tugas ini, jenis beam yang ditinjau adalah cantilever beam, dimana salah satu ujungnya dijepit sehingga tidak memiliki degree of freedom pada ujung jepit. Tugas ini akan membandingkan hasil dari analasis secara teoritik, metode elemen hingga dan solusi numerik menggunakan perangkat lunak ANSYS.
2
DAFTAR ISI BAB I....................................................................................................................................................6 PENDAHULUAN................................................................................................................................6 1.1
Latar Belakang.....................................................................................................................6
1.2
Tujuan...................................................................................................................................7
1.3
Metodologi Penulisan..........................................................................................................7
1.4
Sistematika Penulisan..........................................................................................................7
BAB II..................................................................................................................................................9 STUDI PUSTAKA...............................................................................................................................9 2.1 Degree of Freedom Cantilever Beam........................................................................................9 2.2 Teori Dasar Secara Teoritik......................................................................................................9 2.2.1
Hukum Newton I..........................................................................................................9
2.2.2
Momen........................................................................................................................10
2.2.3
Momen Bending, Gaya Geser dan Torsi...................................................................11
2.2.4
Diagram Benda Bebas dan Momen Lentur..............................................................11
2.2.5
Defleksi dan Rotasi....................................................................................................12
2.3 Teori Dasar Metode Elemen Hingga.......................................................................................15 2.4 Teori Dasar Metode Solusi Numerik dengan Perangkat Lunak ANSYS.............................16 BAB III...............................................................................................................................................19 DATA..................................................................................................................................................19 3.1
Data.....................................................................................................................................19
BAB IV...............................................................................................................................................20 ANALISA...........................................................................................................................................20 4.1 Solusi Secara Teoritik..............................................................................................................20 4.1.1
Gaya Reaksi Pada Tumpuan yang Dijepit...............................................................20
4.1.2
Gaya Dalam pada Cantilever Beam...........................................................................21
4.1.3
Diagram Gaya Geser dan Momen Lentur pada Cantilever Beam..........................22
4.1.4
Defleksi dan Rotasi pada Ujung Bebas.....................................................................23
4.2 Solusi dengan menggunakan metode elemen hingga............................................................24 4.2.1 Pembagian elemen dan nodal pada cantilever beam......................................................24 4.2.2 Menentukan matrix kekakuan global dari tiap-tiap elemen pada cantilever beam....24 4.2.3 Menentukan Defleksi dan Rotasi pada Ujung Bebas Cantilever Beam.........................26 4.2.4 Menentukan Diagram Gaya Lintang dan Momen Lentur Cantilever Beam................27 3
4.2 Solusi dengan menggunakan perangkat lunak ANSYS........................................................29 4.3.1 Menentukan Diagram Gaya Reaksi dan Momen Lentur Cantilever Beam dengan ANSYS........................................................................................................................................29 4.3.2 Menentukan Defleksi dengan ANSYS.............................................................................30 4.3.3 Uji Konvergensi................................................................................................................31 BAB V.................................................................................................................................................32 DISKUSI............................................................................................................................................32 5.1
Perbandingan Hasil Diagram Momen Lentur dan Gaya Geser.....................................32
5.2
Perbandingan Hasil Defleksi dan Rotasi Pada Ujung Bebas..........................................33
BAB VI...............................................................................................................................................34 KESIMPULAN..................................................................................................................................34 DAFTAR PUSTAKA.........................................................................................................................35
DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Degree of freedom Cantilever Beam..................................................................................9 Gambar 2.2 ilustrasi momen pada batang 2 dimensi............................................................................10 Gambar 2.3 Indentifikasi arah momen dengan prinsip tangan kanan...................................................11 Gambar 2.4 Efek pembebanan gaya pada batang.................................................................................11 Gambar 2.5 Diagram benda bebas Cantilever Beam............................................................................11 Gambar 2.6 Gaya-gaya yang bekerja ketika dilakukan pemotongan batang........................................12 Gambar 2.7 Diagram momen bending Cantilever Beam.....................................................................12 Gambar 2.8 Defleksi dan rotasi yang terjadi pada Cantilever Beam....................................................12 Gambar 2.9 Penampang batang...........................................................................................................13 Gambar 2.10 Gaya dalam Cantilever Beam.........................................................................................13 Gambar 2.11 Skema Elemen Beam.....................................................................................................15 Gambar 2.12 Analisis mode dalam Workbench...................................................................................16 Gambar 2.13 Menentukan sifat material yang digunakan....................................................................17 Gambar 2.14 Permodelan geometri benda...........................................................................................17 Gambar 2.15 Permodelan geometri dengan reaksi dan kondisi batas..................................................18 Gambar 3.1 Cantilever Beam................................................................................................................19 Gambar 4.1 Cantilever Beam.................................................................................................................20 Gambar 4.2 Diagram benda bebas Cantilever Beam setelah dipotong .................................................21 Gambar 4.3 Diagram gaya geser............................................................................................................22 Gambar 4.4 Diagram Momen Bending..................................................................................................22 Gambar 4.5 Penampang Inersia Cantilever Beam.................................................................................23 Gambar 4.6 Cantilever Beam.................................................................................................................26 Gambar 4.7 Diagram gaya geser Cantilever Beam...............................................................................28 Gambar 4.8 Diagram momen lentur Cantilever Beam.........................................................................28 Gambar 4.9 Momen Bending pada tumpuan.......................................................................................29 Gambar 4.10 Gaya reaksi pada tumpuan.............................................................................................30 Gambar 4.11 Defleksi pada Cantilever Beam.......................................................................................31 Gambar 4.12 Uji konvergensi...............................................................................................................31 Gambar 5.1 Perbandingan diagram momen ketiga metode................................................................32 Gambar 5.2 Perbandingan diagram gaya geser ketiga metode...............................................................32
5
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Salah satu aspek penting yang dilihat dalam suatu desain struktur adalah kekuatan struktur tersebut. Kekuatan struktur dipengaruhi oleh kekuatan material yang digunakan dan geometri benda. Analisa kekuatan suatu struktur diperlukan untuk menentukan tegangan dan regangan yang terjadi. Dalam sebuah struktur sederhana, kita dapat menghitung tegangan dan regangan yang terjadi dengan analisis teoritik sederhana. Namun untuk sebuah desain yang kompleks, dibutuhkan sebuah metode analisis yang dapat mempermudah. Dewasa ini telah ditemukan sebuah metode baru untuk menganalisis, yaitu metode elemen hingga. Metode elemen hingga/Finite Element Method (FEM) merupakan prosedur numerik untuk memperoleh solusi dari permasalahan yang ditemukan dalam analisa teknik. Metode elemen hingga dapat menyelesaikan berbagai kasus analisa antara lain, vibrasi, perpindahan panas, aliran fluida, statik struktural, elektrikal dan magnetik, dan lain-lain. Penggunaan metode elemen hingga telah dikembangkan dalam penggunaan perangkat lunak komputer sehingga sangat mempermudah proses desain dan analisis. Salah satu bentuk perangkat lunak yang akan digunakan dalam tugas ini adalah ANSYS. Studi kasus yang akan dilakukan pada tugas ini adalah membandingkan analisis Cantilever Beam. Cantilever Beam adalah sebuah batang yang dijepit pada salah satu ujungnya. Cantilever Beam tersebut akan diberi sebuah gaya transversal di salah satu ujung bebasnya. Setelah diberikan sebuah gaya, dilakukan perhitungan terhadap gaya-gaya reaksi dan momen di tumpuan yang dijepit. Pemberian gaya ini akan memberikan defleksi dan rotasi pada batang. Analisis yang dilakukan pada tugas ini adalah membandingkan hasil dari analisis teoritik, hasil dari metode elemen hingga dan hasil secara numerik dengan menggunakan perangkat lunak ANSYS. Secara teoritik, Cantilever Beam akan dianalisis dengan menggunakan prinsip statika struktur sederhana dimana akan terjadi gaya reaksi dan momen bending pada tumpuan yang dijepit. Gaya reaksi dan momen bending tersebut dapat dicari dengan menggunakan teori Hukum Newton I. Defleksi dan rotasi pada ujung bebas dapat dicari dengan metode integrasi. Metode ini dapat dipegunakan pada kasus-kasus pembebanan statik dan sederhana, namun tidak dapat digunakan untuk analisis di kehidupan nyata yang kompleks dan dianalisis secara 3 dimensi. Perhitungan dengan menggunakan metode elemen hingga terbagi dalam beberapa tahap. Tahapan-tahapan tersebut adalah menentukan nodal dan elemen, kemudian ditentukan matriks kekakuan setiap elemennya. Rubah matriks kekauan tiap elemen menjadi matriks kekakuan global dengan direct stiffness method. Setelah didapat matriks kekakuan globalnya,
tentukan lakukan pehitungan gaya-gaya reaksi pada ujung jepit dan defleksi dan rotasi pada ujung bebas. Analisis yang dilakukan secara numerik dilakukan dengan perangkat lunak ANSYS. Dibuat sebuah model Cantilever Beam terlebih dahulu sesuai dengan kondisi-kondisi batasnya. Tentukan bentuk dan jumlah elemen yang akan digunakan untuk analisis dan perhitungkan hasil gaya reaksi, momen bending, defleksi dan rotasi yang terjadi pada Cantilever Beam. Perbandingkan hasil yang terjadi, analisis perbedaan dari setiap metode dan dibuatlah sebuah kesimpulan. Analisis tersebut dilakukan untuk menyatakan apakah Cantilever Beam tersebut aman untuk dipergunakan.
1.2 Tujuan Tujuan dari tugas ini antara lain: 1. Menentukan gaya reaksi dan momen bending yang bekerja pada ujung tumpuan tetap serta defleksi dan rotasi pada ujung bebas secara teoretik, secara metode elemen hingga, dan secara simulasi numerik dengan perangkat lunak ANSYS 2. Membandingkan diagramgaya geser dan momen bending yang bekerja pada ujung tumpuan tetap serta defleksi dan rotasi pada ujung bebas dari perangkat lunak ANSYS dengan hasil secara teoretik dan secara elemen hingga.
1.3 Metodologi Penulisan 1. Studi Literatur Penulis mencari dan menggunakan beberapa literatur yang dapat dipegunakan dalam melakukan perhitungan gaya reaksi, momen bending, defeleksi dan rotasi yang terjadi. Literatur tersebut juga dipergunakan dalam menulis teori dasar yang ditulis dalam tugas ini 2. Diskusi Penulis berdiskusi dengan beberapa pihak terkait metode analisis dan penulisan tugas laporan ini.
1.4 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan laporan ini terbagi dalam beberapa bagian yaitu: BAB I merupakan Pendahuluan yang berisi tentang latar belakang penulisan, tujuan, metodologi penulisan dan sistematika penulisan laporan. BAB II merupakan Studi Pustaka yang berisi tentang dasar teori yang digunakan dalam analisis Cantilever Beam dari berbagai metode analisa. 7
BAB III merupakan Data yang berisi persoalan yang akan dianalisis dalam laporan ini. BAB IV merupakan Analisa yang berisi hasil dari solusi secara teoritik, metode elemen hingga dan solusi numerik. BAB V merupakan Diskusi yang berisi tentang perbandingan hasil dari ketiga metode yang dipergunakan dalam analisis. BAB VI merupakan Kesimpulan yang berisi tentang jawaban dari tujuan penulisan laporan yang terdapat pada pendahuluan.
BAB II STUDI PUSTAKA 2.1 Degree of Freedom Cantilever Beam Degree of Freedom (DOF) merupakan jumlah minimal suatu arah gerak yang dapat menggambarkan kebabasan suatu benda untuk bergerak. Dalam kasus Cantilever Beam, DOF pada nodal tumpuan adalah nol, karena pada tumpuan semua gerakannya dibatasi sedangkan pada ujung yang bebas mampu bergerak translasi x, y, z dan rotasi x, y,z. Namun untuk mempermudah analisis, Cantilever Beam ditinjau pada 2 dimensi bidang xy dan tidak mempehatikan gaya axial sehingga hanya terdapat 2 gerakan pada ujung bebas, yaitu translasi arah y dan rotasi bidang xy. DOF pada Cantilever Beam dapat dilihat pada gambar di bawah ini. y
x
z
Mx
v
Gambar 2.1 Degree of freedom Cantilever Beam
2.2 Teori Dasar Secara Teoritik Dasar teori analisis Cantilever Beam secara teoritik adalah Hukum Newton I. Secara teoritik Cantilever Beam akan dianalisis tanpa memperhitungkan bebannya sendiri. Analisis secara teoritik juga meninjau secara 2 dimensi. Perhitungan gaya reaksi, momen dan gaya geser akan menggunakan Hukum Newton I. Perhitungan defleksi dan rotasi akan menggunakan metode integrasi.
2.2.1 Hukum Newton I Disebutkan dalam Hukum Newton I yaitu “Setiap benda akan memiliki kecepatan yang konstan kecuali ada gaya yang bekerja pada benda yang resultannya tidak nol” . Hal ini menyatakan bahwa sebuah benda tidak akan bergerak apabila resultan gaya yang bekerja dalam benda tersebutsama dengan nol. Secara matematik, Hukum Newton I dapat ditulis sebagai berikut:
∑ F=0 9
dv =0 dt
Dalam studi kasus Cantilever Beam, terdapat pembebanan gaya pada ujung yang bebas, sehingga terdapat gaya-gaya reaksi dan momen pada tumpuan.
2.2.2 Momen Momen adalah sebuah gaya yang cenderung untuk memutar sebuah benda terdapat sebuah sumbu tertentu. Momen merupakan perkalian anatara gaya (F) dengan jarak yang tegak lurus dengan sumbu putar (d). Secara matematik, momen dapat ditulis sebagai berikut: M=F x d
∑ M= ∑ Fd Dimana: M = Momen (Nm) F = Besar gaya yang bekerja (N) d = Jarak tegak lurus (m)
Gambar 2.2 ilustrasi momen pada batang 2 dimensi
Gambar 2.1 merupakan ilustrasi dari momen yang bekerja pada sebuah benda. Arah momen yang dihasilkan disebut dalam arah clockwise dan counter clockwise. Umumnya sesuai dengan perjanjian, arah momen dinyatakan positif apabila berlawanan dengan arah jarum jam. Untuk mempermudah pembayangan arah momen, dapat digunakan prinsip tangan kanan seperti ditunjukkan pada Gambar 2.2.
Gambar 2.3 Indentifikasi arah momen dengan prinsip tangan kanan
2.2.3 Momen Bending, Gaya
Geser dan Torsi
Sebuah batang yang diberikan beban tarik, tekan, batang tersebut dapat menghasilkan gaya geser, bending dan torsi. Efek sebuah gaya yang bekerja pada sebuah batang dapat dilihat pada gambar 2.3 di bawah ini:
Gambar 2.4 Efek pembebanan gaya pada batang
2.2.4 Diagram Benda Bebas dan Momen Lentur Variasi dari gaya gaya yang bekerja pada suatu benda dapat digambar pada sebuah diagram benda bebas. Diagram benda bebas merupakan diagram yang menunjukkan interaksi suatu benda dengan lingkungannya. Gambar di bawah merupakan diagram benda bebas dari sebuah Cantilever Beam yang diberikan gaya transversal pada ujung batang yang bebas.
M
Fy Gambar 2.5 Diagram benda bebas Cantilever Beam
11
Pemberian gaya pada suatu Cantilever Beam akan menghasilkan distribusi momen pada batang tersebut. Apabila kita membelah batang tersebut, terdapat momen dan gaya geser pada dalam batang yang sama-sama menghilangkan Gambar 2.5 menunjukkan gaya-gaya yang dihasilkan ketika batang dipotong:
Gambar 2.6 Gaya-gaya yang bekerja ketika dilakukan pemotongan batang
Untuk sebuah Cantilever Beam sederhana, diagram momen bending yang akan terbentuk akan berbentuk sebagai berikut.
Gambar 2.7 Diagram momen bending Cantilever Beam
2.2.5 Defleksi dan Rotasi Defleksi merupakan pergerakan translasi suatu titik dari titik semula baik dalam arah x y dan z. Defleksi pada suatu batang terjadi akibat adanya resultan gaya yang bekerja pada suatu benda. Nilai defleksi dipengaruhi oleh besarnya gaya yang bekerja, material benda dan geometri dari benda tersebut. Dalam kasus Cantilever Beam, defleksi hanya akan terjadi pada sumbu x dan y. Rotasi adalah perubahan sudut suatu titik dari titik semula baik dalam arah x, y dan z. Rotasi pada suatu batang akan terjadi akibat adanya resultan gaya yang bekerja untuk memutar batang. Nilai rotasi dipengaruhi oleh besarnya gaya yang bekerja, material benda dan geometri dari benda tersebut. Dalam kasus Cantilever Beam, rotasi hanya akan terjadi pada bidang xy.
Gambar 2.8 Defleksi dan rotasi yang terjadi pada Cantilever Beam
Untuk menghitung defleksi (υ)dan rotasi (θ) yang terjadi pada ujung bebas Cantilever Beam, digunakan metode integrasi, rumus yang berlaku: d3 v d2 v dv ( ) EI =V x EI =M ( x ) =θ 3 2 dx dx dx
Dimana: E = Modulus Young (Gpa) υ = defleksi θ = rotasi V (x) = Gaya dalam arah lintang (N) I = Inersia Batang M (x) = Momen Dimana inersia sebuah batang adalah: 1 I = b h3 12 Dimana: b = Lebar batang (m) h = Tinggi batang (m) h
b Gambar 2.9 Penampang batang
Berdasarkan kondisi batas yang terdapat pada Cantilever Beam, pada ujung tumpuan jepit defleksi dan rotasinya bernilai nol. Untuk dapat mencari nilai dari defleksi dan rotasi dari ujung bebas pada Cantilever Beam dilakukan penurunan sebagai berikut: -
Batang dipotong sepanjang x untuk melihat gaya-gaya internalnya Mo P L-x Vo Gambar 2.10 Gaya dalam Cantilever Beam
13
-
Menerapkan persamaan kesetimbangan gaya dan momen
∑ Fy=0 Vo−P=0
Vo=P
∑ Mo=0 Mo(x )−P ( L−x )=0 Mo(x )=P( L−x)
-
Melakukan subsitusi
d2 v EI =Mo ( x ) 2 dx EI
d2 v =P( L−x ) d x2
EI
dv Px =PLx− +C 1 dx 2
EI
d3 v =P d x3
2
EI v =
PL x 2 + C 1 x +C 2 3
Dengan kondisi batas pada tumpuan jepit yaitu x=0, υ=0, dan θ=0. Masukkan kondisi batas ini ke dalam persamaan di atas, sehingga di dapat nilai C1 = 0 dan C2 = 0. Kemudian masukkan nilai L, yaitu jarak yang ingin ditinjau. Sehingga didapat persamaan sebagai berikut:
dv P L2 P L3 =θ= v= dx 2 EI 3 EI
2.3 Teori Dasar Metode Elemen Hingga Untuk melakukan analisis dengan metode elemen hingga, maka Cantilever Beam dibagi menjadi beberapa elemen terlebih dahulu. Dalam tugas ini, Cantilever Beam dibagi dalam 2 elemen. Sehingga terdapat 3 nodal dan 2 elemen. Dalam setiap nodalnya terdapat gaya arah y, defleksi arah y dan momen, seperti ditunjukkan pada gambar 2.11. Setiap elemennya memiliki nilai kekauan, yang kemudian nilai kekauan setiap elemen akan digabungkan menjadi matriks kekakuan global dengan metode direct stiffness method.
Gambar 2.11 Skema Elemen Beam
Persamaan matriks untuk elemen beam adalah: F = K.d
Dimana: f1y = Gaya yang bekerja pada nodal 1 f2y = Gaya yang bekerja pada nodal 2 m1 = Momen lentur yang bekerja pada nodal 1 m2 = Momen lentur yang bekerja pada nodal 2 L = Panjang beam d1y = defleksi yang terjadi pada nodal 1 d2y = defleksi yang terjadi pada nodal 2 ϕ1 = Rotasi yang terjadi pada nodal 1 ϕ2 = Rotasi yang terjadi pada nodal 2 Dimana matriks kekakuan dirumuskan sebagai:
15
Untuk menjumlahkan matriks kekakuan antar elemen digunakan metode direct stiffness method: K = k(1) + k(2) + …
2.4 Teori Dasar Metode Solusi Numerik dengan Perangkat Lunak ANSYS Metode solusi numerik dengan menggunakan perangkat lunak dapat mempermudah sebuah analisis desain. Dengan menggunakan perangkat lunak, kita dapat menganalasis sebuah model yang sangat rumit. Dewasa ini terdapat banyak perangkat lunak desain yang menggunakan metode elemen hingga, diantaranya ANSYS, LISA, Solidworks, SAP2000 dan lain-lain. Tahapan yang perlu dilakukan dalam menganalisis Cantilever Beam dengan perangkat lunak ANSYS adalah sebagai berikut: 1. Menentukan jenis permodelan yang digunakan dalam menu Workbench
Gambar 2.12 Analisis mode dalam
Workbench
Dalam studi kasus ini, metoda analisis yang cocok untuk digunakan adalah Static Structural karena Cantilever Beam menerima pembebanan statik pada ujung yang bebas.
2. Menentukan material yang akan digunakan.
Gambar 2.13 Menentukan sifat material yang digunakan
3. Lakukan benda yang ingin dianalisis.
permodelan geometri
Gambar 2.14 Permodelan geometri benda
17
4. Berikan kondisi batas, dan reaksi-reaksi yang diterima oleh geometri benda tersebut.
Gambar 2.15 Permodelan geometri dengan reaksi dan kondisi batas
5. Lihat Hasil dari proses simulasi
BAB III DATA
l = 50 mm
p = 1000 mm
t = 20 mm
F=
3.1Data Pada studi kasus cantilever beam, digunakan material baja yang mempunyai modulus young (E) sebesar
Gambar 3.1 Cantilever Beam
200 GPa dan mendapat gaya pada ujungnya. Gambar dan dimensi dari cantilever beam yang akan dianalisa adalah sebagai berikut:
19
BAB IV ANALISA 4.1 Solusi Secara Teoritik Untuk menentukan hasil analisis secara teoritik dilakukan analisa pada Cantilever Beam dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
4.1.1 Gaya Reaksi Pada Tumpuan yang Dijepit a
b P = 250 N
Ma
Fa
L = 1000 mm
Gambar 4.1 Cantilever Beam
Gambar 4.1 merupakan diagram benda bebas dari Cantilever Beam. Titik A merupakan titik tumpuan yang dijepit sedangkan titik b merupakan tumpuan yang bebas. Untuk mencari gaya-gaya reaksi, digunakan prinsip kesetimbangan gaya Hukum Newton 1. Dalam persamaan ini ditentukan arah atas adalah positif dan arah bawah adalah negatif. Kesetimbangan gayanya dapat dilihat pada persamaan di bawah:
∑ Fy=0 Fa−250 N=0 Fa=250 N
Sehingga diketahui gaya yang bekerja pada titik tumpuan a adalah 250 N ke arah atas. Untuk mencari momen lentur, digunakan pula prinsip kesetimbangan momen di titik a. Dalam persamaan ini ditentukan arah counter clockwise bernilai positif dan arah clockwise bernilai negatif. Persamaan kesetimbangan momen yang dihasilkan pada titik a:
∑ Ma=0 Ma−250 N .1 m=0
Ma=250 Nm Sehingga diketahui momen lentur yang bekerja pada tumpuan a adalah 250 Nm ke arah counter clockwise.
4.1.2 Gaya Dalam pada Cantilever Beam Untuk mencari gaya-gaya dalam pada Cantilever Beam perlu dilakukan pemotongan batang menjadi 2 bagian. Proses analisis dapat dilakukan dari ujung tetap maupun ujung bebas. Pada proses pemotongan batang akan dihitung gaya geser yang bekerja dan momen lentur yang bekerja pada suatu daerah panjang x. Gambar 4.2 merupakan diagram benda bebas Cantilever Beam setelah dipotong. Mo Ma = 250 Nm
L=x Vo Fa = 250 N 4.2 Diagram Benda Bebas Cantilever Beam Gambar setelah dipotong
Dengan menerapkan persamaan kesetimbangan gaya dan momen akan diperoleh persamaan untuk mencari nilai gaya-gaya dalam yang bekerja pada Cantilever Beam. Persamaan gaya geser dalam Cantilever Beam yang dihasilkan adalah:
∑ Fy=0 −Vo+ 250 N =0 Vo=250 N
Didapat bahwa gaya geser dalam Cantilever Beam akan sama dari titik 0 hingga L=1m. Hal ini disebabkan karena persamaan gaya geser yang didapat tidak dipengaruhi oleh lokasi pemotongan. Persamaan momen lentur Cantilever Beam yang dihasilkan:
∑ Ma=0 Ma−250 N . ( x )−Mo=0 Mo=250−250. L Nm
21
Didapat bahwa persamaan momen lentur dalam Cantilever Beam akan berubah nilainya bergantung dari letak kita meninjau momen lentur. Momen lentur maksimum akan berada ketika L bernilai 0 yaitu di titik a, tumpuan yang di jepit. Sedangkan nilai minimum akan berada ketika L bernilai 1 yaitu di titik b, di ujung yang bebas. Nilai maksimum momen lentur yang didapat adalah 250 Nm, sedangkan nilai minimum momen lentur yang didapat adalah 0 Nm.
4.1.3 Diagram Gaya Geser dan Momen Lentur pada Cantilever Beam Diagram gaya geser dan momen lentur didapat dari persamaan gaya-gaya internal pada Cantilever Beam. Berdasarkan persamaan yang telah didapat pada sub bab sebelumnya, diagram gaya geser dan momen lentur yang dihasilkan adalah:
Gambar 4.3 Diagram gaya geser
Gambar 4.4Diagram momen lentur
23
4.1.4 Defleksi dan Rotasi pada Ujung Bebas Untuk menghitung defleksi dan rotasi pada ujung bebas, digunakan metode integrasi. Metode integrasi tersebut telah menghasilkan persamaan defleksi dan rotasi seperti. Dalam studi pustaka telah dinyatakan rumus rotasi dan defleksi yaitu:
dv P L2 P L3 =θ= v= dx 2 EI 3 EI Dimana: E = Modulus Young (Gpa) υ = defleksi θ = rotasi V (x) = Gaya dalam arah lintang (N) I = Inersia Batang M (x) = Momen Dimana inersia sebuah batang adalah: 1 I = b h3 12 Dimana: b = Lebar batang (m) h = Tinggi batang (m) 20mm
50m Gambar 4.5 Penampang inersia m Cantilever Beam
Nilai dari inersia Cantilever Beam pada studi kasus ini adalah: I=
1 1 b h3= 0,05 ( 0.02 )3=3,33 x 10−8 m4 12 12
Nilai dari defleksi yang terjadi pada ujung bebas Cantilever Beam adalah: υ=
P L3 250.13 = =0,0125 m 3 EI 3 ( 200 x 109 ) (3,33 x 10−8 )
Nilai dari rotasi yang terjadi pada ujung bebas Cantilever Beamadalah:
θ=
P L2 25012 = =0,01877 rad 2 EI 2 ( 200 x 109 ) ( 3,33 x 10−8 )
Sehingga didapat nilai defleksi secara teoritik adalah 0,0125 m ke arah bawah. Nilai rotasi yang terjadi secara teoritik adalah 0,01877 rad ke arah clockwise.
4.2 Solusi dengan menggunakan metode elemen hingga Metode elemen hingga digunakan untuk menganalisis gaya lintang dan momen lentur pada cantilever beam serta defleksi dan rotasi pada ujung bebas dari cantilever beam. berikut adalah langkah-langkah pengerjaan analisa cantilever beam dengan menggunakan metoda eleman hingga :
4.2.1 Pembagian elemen dan nodal pada cantilever beam pembagian elemen dan nodal pada struktur cantilever beam yang dianalisis adalah untuk memperhalus atau memperdetail persebaran parameter yang akan dianalisis ( misal: momen, defleksi). Dalam analisis cantilever beam kali ini dilakukan pembagian elemen sebanyak 2 elemen dan nodal sebanyak 3 nodal, hal ini sesuai dengan instruksi dari soal yang diberikan. Cantilever beam, dibagi menjadi 2 elemen dengan panjang yang sama rata dan 3 nodal dimana masing-masing nodal diletakkan pada ujung tetap, bagian tengah, dan ujung bebas dari cantilever beam. F = 250 N
Gambar 4.6 Cantilever Beam
4.2.2 Menentukan matrix kekakuan global dari tiap-tiap elemen pada cantilever beam Langkah selanjutnya adalah menentukan matriks kekakuan global dari tiap elemen yang tujuan selanjutnya adalah penggunaan rumus : F = K.d untuk mencari diagram daya lintang dan momen lentur, serta defleksi dan rotasi pada ujung bebas. Matriks kekakuan untuk elemen 1 =
25
k(1) =
[
EI 3 L
12 6 L −12 6 L 6 L 4 L2 −6 L 2 L2 −12 −6 L 12 −6 L 6 L 2 L2 −6 L 4 L2 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
]
Matriks kekakuan global untuk elemen 2 yaitu:
k(2) =
[
0 0 EI 0 L3 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 12 6 L −12 6 L 2 2 6 L 4 L −6 L 2 L −12 −6 L 12 −6 L 6 L 2 L2 −6 L 4 L2
]
Matriks kekakuan global, yaitu matriks kekakuan elemen I dan II digabungkan dengan metode direct stiffness method: K = k(1) + k(2)
K=
[
12 6L 6 L 4 L2 EI −12 −6 L L3 6 L 2 L2 0 0 0 0
−12 −6 L 24 0 −12 6L
6L 0 0 2 2L 0 0 0 −12 6 L 8 L2 −6 L 2 L2 −6 L 12 −6 L 2 L2 −6 L 4 L2
]
Dengan data-data sebagai berikut :
Beam Kantilever terbuat dari baja dengan modulus elastisitas ( E = 200GPA ) Inersia = 3.33 x 10-8 m4 Panjang elemen (L) = 0.5 m
Matriks kekakuan global cantilever beam :
[
K=
12 3 −12 3 0 0 3 1 −3 0.5 0 0 9 −8 (200 x 10 )(3.33 x 10 ) −12 −3 24 0 −12 3 3 3 0.5 0 2 −3 0.5 0.5 0 0 −12 −3 12 −3 0 0 3 0.5 −3 1
K=
[
]
639360 159840 −639360 159840 0 0 159840 53280 −159840 26640 0 0 −639360 −159840 1278720 0 −639360 159840 159840 26640 0 106560 −159840 26640 0 0 −639360 −159840 639360 −159840 0 0 159840 26640 −159840 53280
]
4.2.3 Menentukan Defleksi dan Rotasi pada Ujung Bebas Cantilever Beam Untuk menghitung defleksi dan rotasi yang terjadi pada ujung bebas cantilever beam digunakan persamaan matriks: F = K.d
[ ][
][ ]
F1 y d1 y 639360 159840 −639360 159840 0 0 M1 ϕ1 159840 53280 −159840 26640 0 0 F 2 y −639360 −159840 1278720 0 −639360 159840 d2 y = M2 159840 26640 0 106560 −159840 26640 ϕ2 0 0 −639360 −159840 639360 −159840 F3 y d3 y 0 0 159840 26640 −159840 53280 M3 ϕ3
Dengan boundary dan initial condition pada cantilever beam: d1y = ϕ1 = 0 F2y = M2 = M3= 0 Sehingga persamaan matriks diatas berubah menjadi:
27
[ ][
][ ]
1278720 0 −639360 159840 d 2 y 0 ϕ2 0 0 106560 −159840 26640 = −250 −639360 −159840 639360 −159840 d3 y 0 159840 26640 −159840 53280 ϕ3
Dengan menggunakan bantuan perangkat lunak Microsoft excel, untuk mencari nilai dari d2y, ϕ2, d3y, dan ϕ3 dilakukan perhitungan invers dari matriks kekaukan global terlebih dahulu dengan menggunakan perintah MINVERSE dan kemudian dilanjutkan dengan perintah MMULT untuk mengalikan matriks gaya global dengan invers matriks kekakuan global sehingga akan dihasilkan: Invers dari matrik [K] dengan perintah MINVERSE: [K-1] =
Mencari nilai dari defleksi dan rotasi dengan perintah MMULT: [d] = [K-1] [F]
[] [ ] d2 y ϕ2 =¿ d3 y ϕ3
0 0 −250 0
Sehingga didapat nilai dari defleksi dan rotasi pada nodal 2 (titik tengah): d2y= -0.00391016 m ϕ2= -0.014076577 rad Defleksi dan rotasi pada nodal 3 (ujung bebas): d3y= -0.012512513 m ϕ3 = -0.018768769 rad
4.2.4 Menentukan Diagram Gaya Lintang dan Momen Lentur Cantilever Beam Untuk membuat diagram gaya lintang dan momen lentur cantilever beam, dilakukan perhitungan pada gaya reaksi dan momen lentur pada ujung tetap terlebih dahulu. Untuk mencari gaya reaksi dan momen lentur pada ujung tetap, nilai dari defleksi dan rotasi pada nodal 2 dan nodal 3 dimasukkan ke persamaan matriks:
29
[ ][ [ ][
][ ] ][ ]
F1 y d1 y 639360 159840 −639360 159840 0 0 M1 ϕ1 159840 53280 −159840 26640 0 0 F 2 y −639360 −159840 1278720 0 −639360 159840 d2 y : M2 159840 26640 0 106560 −159840 26640 ϕ2 0 0 −639360 −159840 639360 −159840 d3 y F3 y 0 0 159840 26640 −159840 53280 M3 ϕ3
F1 y 639360 159840 −639360 159840 0 0 M1 159840 53280 −159840 26640 0 0 F 2 y −639360 −159840 1278720 0 −639360 159840 = M2 159840 26640 0 106560 −159840 26640 0 0 −639360 −159840 639360 −159840 F3 y 0 0 159840 26640 −159840 53280 M3
0 0 −0.00391016 −0.014076577 −0.012512513 −0.018768769
F1y= (-639360 x -0.00391016) + (159840 x -0.014076577) F1y= 250 N M1= (-159840 x -0.00391016) + (26640 x -0.014076577) M1 = 250 Nm Jadi gaya reaksi yang bekerja pada tumpuan tetap adalah sebesar 250 N dan momen lentur yang bekerja pada tumpuan tetap adalah sebesar 250 Nm. Setelah mendapatkan gaya dan momen reaksi yang bekerja pada tumpuan tetap. Dilakukan pemotongan pada batang untuk mengetahui nilai gaya dalam cantilever beam. Metode pemotongan seperti yang dilakukan pada analisa secara teoretik. Sehingga diagram gaya lintang dan momen lentur yang dihasilkan:
Gambar 4.7 Diagram Gaya Geser Cantilever Beam
Gambar 4.8 Diagram Momen Lentur Cantilever Beam
31
4.2 Solusi dengan menggunakan perangkat lunak ANSYS Sesuai dengan studi pustaka, untuk analisa cantilever beam digunakan analisa statik 3D. Model dari cantilever beam dibuat dengan memasukkan data yang terdapat pada Bab III: Tinggi = t = 20 mm = 0.02 m Lebar = l = 50 mm = 0.05 m Dengan panjang extrude = 1000 mm = 1 m Material structural steel dengan Modulus Elastisitas = E = 200 GPa
4.3.1 Menentukan Diagram Gaya Reaksi dan Momen Lentur Cantilever Beam dengan ANSYS Nilai momen reaksi pada cantilever beam yang didapatkan dari hasil perhitungan di ANSYS yang terjadi pada fixed support adalah 250 Nm dengan arah counterclockwise, sesuai dengan gambar dibawah :
Gambar 4.9 Momen Bending pada tumpuan
Nilai gaya reaksi pada ujung fixed support cantilever beam dari hasil perhitungan di ANSYS adalah 250 N dengan arah orientasi Y positif, seperti pada gambar dibawah:
Gambar 4.10 Gaya Reaksi pada tumpuan
4.3.2 Menentukan Defleksi dengan ANSYS Berikut adalah persebaran nilai deformasi dari cantilever beam yang dianalisis di software ANSYS dari ujung fixed support hingga ujung bebas. Dengan menggunakan metode konvergensi ANSYS dengan allowable change maksimum sebesar 5%, sehingga didapatkan jumlah elemen optimum sebesar 5627 elemen, seperti gambar dibawah :
Gambar 4.11 Defleksi pada Cantilever Beam
33
4.3.3 Uji Konvergensi Gambar 4.12 adalah diagram yang menunjukkan uji konvergensi yang dilakukan pada perangkat lunak ANSYS
Gambar 4.12 Uji Konvergensi
BAB V DISKUSI 5.1Perbandingan Hasil Diagram Momen Lentur dan Gaya Geser Berdasarkan hasil analisa yang telah dijabarkan pada bab IV, untuk membandingkan hasil diagram momen lentur dan gaya geser yang diperoleh, baik secara teoretik, dengan metode elemen hinga, dan dengan solusi secara simulasi numerik dengan menggunakan perangkat lunak ANSYS maka dibuat kurva perbandingan untuk diagram momen lentur dan gaya geser. Kurva perbandingan diagram momen lentur yang dihasilkan adalah sebagai berikut:
Gambar 5.1 Perbandingan diagram momen pada ketiga metode
Untuk membuat kurva perbandingan diagram momen lentur diatas, nilai dari gaya reaksi yang didapat dari masing-masing metode analisa dicari gaya dalamnya sehingga didapat kurva perbandingan seperti diatas. Nilai momen lentur dari masing-masing metode dibuat dalam satu kurva seperti diatas. Berdasarkan kurva diatas, dapat dilihat bahwa tidak ada perbedaan hasil antara solusi yang dihasilkan baik secara teoretik, dengan metode elemen hingga, dan solusi secara numerik dengan menggunakan perangkat lunak ANSYS dihasilkan sebagai berikut:
35
Gambar 5.2 Perbandingan diagram gaya geser pada ketiga metode
Dari kurva perbandingan diatas, tidak terjadi perbedaan antara solusi secara teoretik, dengan metode elemen hingga, dan solusi dengan perangkat lunak ANSYS. Hal ini disebabkan karena gaya geser yang dihasilkan di sepanjang batang nilainya akan selalu sama (berlawanan dengan gaya reaksi yang diberikan).
5.2 Perbandingan Hasil Defleksi dan Rotasi Pada Ujung Bebas Defleksi yang dihasilkan pada ujung bebas yang diperoleh, baik secara teoretik, dengan metode elemen hinga, dan dengan solusi secara simulasi numerik dengan menggunakan perangkat lunak ANSYS dapat dibuat
kurva perbandingan untuk hasil defleksi dan pada ujung bebas.
Sedangkan untuk rotasi hanya dapat dilakukan perbadingan antara hasil yang diperoleh secara teoretik dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode elemen hingga, hal ini disebabkan karena keterbatasan aplikasi pada ANSYS yang menyebabkan tidak bisa dilakukan perhitungan rotasi secara langsung. Perbandingan hasil defleksi yang terjadi di ujung bebas dari cantilever beam adalah sebagai berikut:
Teoretik : 0,0125 m
Metode Elemen Hingga : 0.012512513 m ANSYS : 0,012459 m Perbandingan hasil rotasi yang terjadi di ujung bebas dari cantilever beam adalah sebagai berikut:
Teoretik : 0,01877 rad Metode Elemen Hingga : 0,018768769 rad
BAB VI KESIMPULAN Kesimpulan yang diperoleh melalui analisa pada cantilever beam adalah sebagai berikut: 1. Untuk semua metode analisa, gaya reaksi dan momen bending yang bekerja pada ujung tetap serta defleksi dan rotasi yang terjadi pada ujung bebas adalah sebagai berikut: Gaya Reaksi
Momen Lentur
Defleksi
Rotasi ujung
(pada ujung Reaksi (padaReaksi,ujung bebas bebas Tabel Kesimpulan Gaya Reaksi, Momen Lentur Defleksi Ujung Bebas, dan
Metode
2. Untuk
Teoretik Elemen Hingga ANSYS
tetap) ujung tetap) Rotasi Ujung Bebas 250 N 250 Nm 250 N
250 Nm
250 N
250 Nm
(m) 0,0125 0.012512513
(rad) 0,01877 0,018768769
0,012459
pembuatan diagram momen lentur dan gaya geser, tidak ada perbedaan antara hasil secara teoretik, dengan metode elemen hingga, dan solusi dengan perangkat lunak ANSYS. Defleksi pada teoritik, metode meh dan ANSYS memiliki perbedaan yang amat kecil. Perbedaan antara ANSYS dengan teoritik adalah 0,000041 m dan perbedaan antara elemen hingga dan teoritik adalah 0,00001251 m Sedangkan rotasi pada teoritik dan elemen hingga berbeda 0,00000121 rad sedangkan rotasi pada ANSYS tidak dapat dicari.
37
DAFTAR PUSTAKA Meriam, J. L. dan Kraige, L.G. 2006. Engineering Mechanics Statics. Seventh Edition. John Wiley & Sons: AS.
Logan, Daryl L. 2007. A First Course in Finite Element Method. Fourth Edition. Thomson: Toronto.
Hibbeler, R. C. 2011. Mechanics of Materials. Eighth Edition. Pearson Prentice Hall: AS.
