Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN NONLINIERDENGAN MENGGUNAKAN METODE HOMOTOPY Bukti Ginting Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Andalas , Padang Email:
[email protected] Abstrak. Pada makalah ini, penulis akan mengkaji suatu cara untuk mendapatkan solusi sistem persamaan nonlinier dengan terlebih dahulu mendifinisikan suatu bentuk fungsi , - dikatakan fungsi homotopy yang memenuhi sifat ( ( )) kekontinuan dan differensiabel. Selanjutnya, dengan defferensiasi fungsi homotopy akan ( ( )), menampilkan suatu bentuk sistem persamaan differensial, ( ) , ( ( )), -dengan syarat awal ( )dan ( ( )) adalah matrik Jacobian nonsingular. Kemudian dengan menggunakan metode Runge Kutta orde empat diselesaikan sistem persamaan differensial sehingga solusi yang diperoleh merupakan solusi sistem persamaan nonlinier. Kata kunci: Sistem nonlinier, Fungsi homotopy, Sistem persamaan differensisl, Matrik Jacobian, Rung- Kutta orde empat.
PENDAHULUAN Proses untuk menentukan solusi suatu sistem persamaan nonlinier secara numerik sering digunakan metode Newton, metode Quasi-Newton dan metode Steepest Descent. Pada makalah ini dikaji tentang konsep-konsep metode homotopy kontinu untuk mentransformasikan suatu sistem persamaan nonlinier kedalam bentuk sistem persamaan differensial. Secara umum konsep dasar yang diterapkan untuk menentukan solusi suatu sistem persamaan nonlinier secara numerik, dapat dikatakan merupakan konsep kontinuitas dan differensiabelitas suatu fungsi.Bentuk umum suatu sistem persamaan nonlinier dinyatakan sebagai, ( ) ( ) ( ) ( ) untuk setiap fungsi , i = 1, 2 , . . . , n dinyatakan sebagai suatu pemetaan vektor ( ) dari suaturuang π±
ke . Suatu sistem persamaan nonlinier dengan n persamaan dan nvariabel tidak diketahui direpresentasikan fungsi π
oleh suatu pemetaan dari ke yaitu, ) ( ) π
( ( ( ) ( )) dimana adalah fungsi-fungsi koordinat π
dan jika variabel dinyatakan sebagai vektor maka sistem persamaan nonlinier ditampilkan sebagai π
(π±) = 0. Sebelum membicarakan metode penyelesaian suatu sistem persamaan nonlinier terlebih dahulu dinyatakan sifatsifat kekontinuan dan differensiabel fungsi dari ke dan dari ke . Misalkan, fungsi didifinisikan pada himpunan dengan pemetaan dari ke sehingga limit fungsi pada adalah yaitu ( ) , jika untuk setiap ada ( ) memenuhi π± dan 0 β dimana nilai ditentukan oleh nilai norm tetapi nilai limit yaitu tidak bergantung pada nilai norm. Andaikan bahwa nilai ( )
Semirata 2013 FMIPA Unila |83
Bukti Ginting: Dengan Menggunakan Metode Homotopy
ada yaitu ( ) maka dikatakan fungsi kontinu pada . Jika fungsi kontinu untuk setiap maka dikatakan fungsi kontinu pada himpunan sehingga fungsi dari ke dikatakan kontinu pada ( ) Selanjutnya dinotasikan oleh untuk menyatakan fungsi-fungsi koordinat kontinu dari ke dilakukan dengan penerapan konsep yang sama seperti menyatakan fungsi-fungsi koordinat kontinu dari ke . Misalkan π
fungsidari ke ) ( ) ( ) dipresentasikanoleh,π
( ( ( )) dengan limit fungsi π
dari ke yaitu π
( ) ( ) jika dan hanya jika ( ) . Andaikan nilai π
( ) ada yaitu π
( ) maka fungsi π
dikatakan kontinu pada Jika nilai π
( ) ada untuk setiap maka dapat dikatakan bahwa fungsi π
kontinu pada himpunan sehingga fungsi π
kontinu dari METODE PENELITIAN Kajian dilakukan pada makalah ini, pertama sekali menetapkan suatu fungsi homotopy yang memenuhi konsep-konsep kontinuitas dan differensiabelitas. Fungsi homotopy mentransformasikan sistem persamaan nonlinier kedalam bentuk sistem persamaan differensial dinyatakan dalam teorema berikut: Teorema (Homotopy Convergence) Misalkan π
(π±) defferensiabel kontinu untuk setiap π± . Andaikan (π±) matrik Jacobian nonsingular untuk semua π± dan ada suatu konstanta M dimana (π±) β untuk semua π± . Maka untuk suatu π±( ) ada suatu fungsi tunggal π±( ) memenuhi ( , π±( )) = 0, untuk setiap , denganπ±( )differensiabel kontinu yaituπ± ( ) , (π±( )) - π
(π±( )), untuk 84| Semirata 2013 FMIPA Unila
setiap0 .Selanjutnya solusi sistem persamaan differensial ditentukan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat. HASIL DAN PEMBAHASAN Suatu sistem persamaan nonlinier dinyatakan dalam bentuk,π
(π±) = 0, dimana π± π± adalah solusi tidak diketahui, diasumsikan sebagai parameter yaitu 0 Dengan asumsi tersebut ada dua problema yaitu; Pertama, π±(0) dengan =0 memenuhi π
(π± ) = 0 adalah syarat awal berati solusi diketahui. Kedua π±(1) π± dengan =1 adalah solusi tidak diketahui yang akan ditentukan sehingga memenuhi π
(π± ) = 0. Berdasarkan problema, maka didefinisikan suatu fungsi yaitu, , dimana, ( , π±)= π
(π±)
( π
(π±)
)[π
(π±) π
(π±( ))] ( ) π
(π±( ))
dan dikatakan solusi jika memenuhi persamaan ( , π±) = 0.Jika disubstitusi untuk = 0 maka persamaan ( , π±) = π
(π±) π
(π±( )) dan solusi fungsi dinyatakan oleh π±( )diketahui sebagaisyarat awal. Jika disubstitusi untuk = 1 maka persamaan ( , π±) = π
(π±) dan solusi fungsi dinyatakanoleh π±(1) = π± tidak diketahui. Maka dikatakan fungsihomotopy diantara ( , π±) = π
(π±) β π
(π±( )) ( , π±) = π
(π±)
Selanjutnya akan ditunjukan bahwa fungsi homotopy ( ,π±)=0 kontinu, melalui proses solusi diketahui π±( )dari ( , π±)=0 hingga solusi tidak diketahui π±(1) = π± dari ( , π±) untuk memperoleh solusi persamaan π
(π±) .Pertama diasumsikan bahwa fungsi π±( )merupakan solusi tunggal persamaan ( , π±( )) = 0, untuk 0 . Himpunan *π±( ) | + menyatakan suatu kurva dalam dari π±( )hingga π±(1) = π± dengan sebagai parameter. Sepanjang kurva
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
fungsi π±( ) dinyatakan oleh barisan * ( )+ dalam himpunan * ( ) ( ) ( ) +, . Sehingga kurva fungsi π±( )adalah kontinu untuk setiap , - maka dapat dikatakan fungsi ( , π±( ))=0 juga kontinu. Oleh karena π±( )dan ( , π±( )) kontinu dan jika fungsi π±( )dan ( , π±( )) differensiabel terhadap maka ( π±( )) ( π±( )) π±( )
π±( ))
(
π±( )
,
(
π±( ))
(
π±( ))
π±( ))
(
-
π±( ) )
(
adalah suatu sistem persamaan differensial dengan syarat awal π±( ). Oleh karena, ( , π±( )) ) π
(π±( )) π
(π±( )) ( dan deferensiasi ( , π±( )) terhadap π± adalah
(π±( ))
(π±( ))
(π±( ))
(π±( ))
(π±( ))
(π±( ))
(π±( ))
(π±( )) (π±( )) (π±( )) [ ] dimana (π±( )) matrik Jacobian dapat dituliskan dalam bentukπ± ( ) nonsingular dan diferensiasi ( , π±( )) , (π±( )) - π
(π±( )), untuk 0 ( π±( ) ) dengan syarat awal adalah terhadap adalah )atau secara umum dapat dituliskan π±( π
(π±( )),sehingga sistem persamaan dalam bentuk differensial
[
( (
) )
(
)
]
(
)
[
( ( )) ( ( ))
]
( ( )) dimana (
)
(
)
(
)
Selanjutnya, digunakan metode RungeKutta orde empat untuk menentukan solusi dari sistem persamaan differensial. Pertama, ditetapkan integer ( ) dan interval [0,1] dipartisimenjadi subinterval dengan titik-titik
. Misalkan pendekatan ( ) untuk setiap dan dengan syarat awal = ( ), = ( ), ..., = ( ). Andaikan, , sudah ditentukan maka terhadap
Semirata 2013 FMIPA Unila |85
Bukti Ginting: Dengan Menggunakan Metode Homotopy
dapat
(
diperoleh (
),
(
)
(
)
(
) . Jika digunakan notasi vektor dapat
untuk setiap = 1,2, ... , n dan ditulis dalam bentuk [
],
[
atau
],
[
(
)
(
)
[ ( [ (
π
( ( )
( )
[
0
.
/1 F ( x (0)),
0
.
/1 F ( x (0)),
[
)
]
(
=[
(
] dan
=*
+
)]
)] )] π
( π±( )),
)] F ( x (0)),
Sehingga, penyelesaian sistem persamaan differensial ditentukan oleh (
)dimana
(
)
(
)
( ) ( )merupakansolusi yaitu approksimasi terhadap π± yang tidak diketahui. Sebagai contoh, misalkan sistem persamaan nonlinier
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 0, ( ) +20 + =0 ditransformasikan kesistem persamaan Kedua, ditetapkan syarat awal differensial.Pertama, dari sistem x(0)=( ) sehingga F(x(0)) = persamaan nonlinier ditentukan matrik ( ). Ketiga, Jacobian ( ) substitusikan pada persamaan ( ) ( ) , ( ( )) - π
( ( ))sehingga sistem ( ) ( ) + J( ) = * persamaan nonlinier dalam bentuk sistem persamaan differensial ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + [ * ( )+ * ] ( ) diselesaikan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat. Pertama tentukan dengan N=4 dan h=0,25 yaitu, ,
( ( ))-
F(x(0))
86| Semirata 2013 FMIPA Unila
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
= 0.25 [
]
*
+
(
) ,
-
(
(
) ]
=0.25[ =(
[
]
) ,
(
)- (
)
=( k4 = , ( = (
))
(
) )
Sehingga diperoleh solusi persamaan differensial , x( ) = ) =( ( ) x( ) = ( ) x( ) = x( )= x(1)= (0.4999999954, 0.126782 ) yang merupakan penyelesaian sistem nonlinier kebentuk sistem persamaan persamaan nonlinier dalam bentuk differensial. Kedua, solusi approksimasi approksimasi x =( Μ Μ Μ ) yaitu yang diperoleh dengan menggunakan Μ metode Runge-Kutta orde empat hampir x [ Μ] [ ] sama dengan solusi sebenarnya dengan Μ faktor kesalahan relatif sangat kecil. sedangkan solusi sebenarnya π± ( ) adalah DAFTAR PUSTAKA π± [ ] [ ] Allgower,E. and Georg K. 1990. Numerical Continuation Methods: an sehingga dapat dikatakan bahwa nilai introduction, Springer-Verlag, New approksimasi hampir sama nilai York. sebenarnya atau kesalahan sebenarnya sangat kecil yaitu π± Ascher, U. M. , R. M. M. Mattheij, and R. π±dimana Μ B. Russell, 1988. Numerical Solution of Boundary Value Problems for Μ Ordinary Differential Equations, Prentice-Hall, EnglewoodCliffs, NJ. Μ (
)
KESIMPULAN Berdasarkan kajian yang telah dilakukan pada fungsi homotopy kontinu dan differensiabel dapat disimpulkan; Pertama, fungsi homotopy mentransformasikan sistem persamaan
Hoffman, Joe D. 2001. Numerical Methods for Engineers and Scientists, Second EditionRevised and Expanded, by Marcel Dekker. Inc. New York. MacCamy,R. C. & Mizel, V. J. 1969. Linear Analysis and Differensial Equations, TheMacmillan Company, Printed in the United States of America.
Semirata 2013 FMIPA Unila |87
