Érvényes: 2009-től ALGEBRA tantárgyból a felvételi vizsga tematikája SZTE, Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskola http://www.math.u-szeged.hu/phd/ Lineáris algebra. Lineáris transzformációk és mátrixok. Bázistranszformációk. Bilineáris függvények, kvadratikus alakok négyzetösszeggé való transzformálása. Euklideszi tér, önadjungált, szimmetrikus, unitér és ortogonális transzformációk. Sajátérték, sajátvektor, karakterisztikus polinom. Csoportok. Permutációcsoportok, feloldható csoportok. Sylow-tételek. Szabad csoport, Abelcsoportok alaptétele. Gyűrűk. Ideálelmélet, Noether-gyűrűk, Dedekind-féle gyűrűk, Wedderburn-Artin-féle struktúratétel. Testek. Testbővítések, véges testek. Galois-csoport, Galois-elmélet főtétele és alkalmazása. Univerzális algebra. Varietás, szabad algebra. Birkhoff tétele. Hálók. Moduláris hálók és disztributiv hálók jellemzése részhálókkal, Boole-algebrák. Ajánlott irodalom Bálintné Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok, Tankönyvkiadó, 1985. Burris, S. and Sankappanavar, H.P.: Bevezetés az univerzális algebrába, Tankönyvkiadó, 1988. Csákány Béla: Algebra, Tankönyvkiadó, 1973. Fried Ervin: Általános algebra, Tankönyvkiadó, 1981. Fried Ervin: Klasszikus és lineáris algebra, Tankönyvkiadó, 1977. Freud Róbert: Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 1998. Fuchs László: Algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993. Kérchy László: Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe, Polygon, Szeged, 1997. Kiss Emil: Bevezetés az algebrába, Typotex, 2007. Schmidt Tamás: Algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993.
Érvényes: 2009-től ANALÍZIS tantárgyból a felvételi vizsga tematikája SZTE, Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskola http://www.math.u-szeged.hu/phd/ Függvények folytonossága. Összefüggő, illetve kompakt halmazon értelmezett folytonos függvények tulajdonságai. Függvények határértéke. Függvénysorok, hatványsorok, a WeierstrassStone tétel. Normált terek. Függvények differenciálása. Középérték-tételek, Taylor tétele. Monotonitás, szélsőérték, konvexitás, inflexió vizsgálata a differenciálszámítás eszközeivel. Az implicit függvények tétele, az inverz függvény tétel. Többszöri differenciálhatóságra vonatkozó Young-tétel. Riemann-integrál, Darboux tétele. Középértéktételek. A Newton-Leibnitz formula. A Jordan-mérték. Integráltranszformációk. Improprius integrál. A többváltozós kvadratura probléma. Stieltjes- és vonalintegrál. Elemi komplex függvények. Komplex pályamenti integrál. A Cauchy-féle integráltétel és következményei. Morera tétele, Taylor- és Laurent-sorfejtés. Izolált szinguláris helyek osztályozása. Analitikus függvények zéróhelyei, polinomok faktorizációja. A parciális törtekre bontás tétele. Residuum-tétel és alkalmazásai. A mérték fogalma és alapvető tulajdonságai. Mérhető tér, mértéktér. Mérhető függvények és sorozataik. A mérhetőség és folytonosság kapcsolata. A Lebesgue-integrál, Lebesgue tételei, Beppo Levi tétele, Fatou-lemma. Az integrál abszolút folytonossága. Monoton és korlátos változású függvények. Abszolút folytonos függvények, a Newton-Leibnitz formula. Lp-terek. Riesz-Fischer-tétel. Hilbert-tér lineáris operátorai. Banach-Steinhaus-tétel, Hahn-Banach-tétel. Szorzatmérték, Fubini tétele. A Riemann- és a Lebesgue-integrál összehasonlítása. A valószínűség matematikai fogalma, és tulajdonságai. Feltételes valószínűség, események függetlensége. Valószínűségi változók, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény. Valószínűségi változók függetlensége. Várható érték, szórás. Legfontosabb valószínűségi eloszlások. Nagy számok törvényei. Centrális határeloszlástételek. Approximációelmélet elemei. Klasszikus Fourier-sorok. Fourier-sorok pontonkénti konvergenciája. Összegzési eljárások. Ortogonális sorok, ortogonális polinomok. Teljes ortogonális rendszer léte az L-ben. Fourier-transzformáció. Közönséges differenciálegyenletek: A kezdetiérték-probléma megoldásának létezése, egyértelműsége, folytathatósága; peremérték-probléma. Lineáris rendszerek. Stabilitáselmélet. Másodrendű parciális differenciálegyenletek: Klasszikus és általánosított Cauchy-feladat hiperbolikus és parabolikus egyenletekre. Klasszikus és általánosított peremérték-problémák elliptikus egyenletekre. Fourier-módszer. Ajánlott irodalom Császár Ákos, Valós analízis I-II, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983. Alexandrov, P.Sz., Bevezetés a halmazok és függvények általános elméletébe, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1952. Diendonné, J., Grundzüge der modernen Analysis, 1,2,3,4,516, WEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1972-1979. Duncan, J., Bevezetés a komplex függvénytanba, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974. Natanszon, I.P., Konstruktív függvénytan, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1952. Rudin, V., A matematikai ana1ízis alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1978. Szőkefalvi-Nagy Béla, Komplex függvénytan, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966
Szőkefalvi-Nagy Béla, Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972. Arnold, V.I., Közönséges differenciálegyenletek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987. Codington, E.A., Levinson, N., Theory of ordinary differential equations. McGraw-Hill, New York, 1955. Mihlin, S.G., Integrálegyenletek, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1953. Petrovszkij, I.G., Előadások a parciális differenciálegyenletekről, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1955. Pontrjagin, L.Sz., Közönséges differenciálegyenletek, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1972. Simon, L., Baderko, E.A., Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983. Tyihonov, A.N., Szamarszkij, A.A., A matematikai fizika differenciálegyenletei, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1956. Vlagyimirov, V.Sz., Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe, Műszaki Kiadó, Budapest, 1979. Gantmacher: Matrix Theory I.
Érvényes: 2015-től KOMBINATORIKA ÉS SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY tantárgyból a felvételi vizsga tematikája SZTE, Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskola http://www.math.u-szeged.hu/phd/ Összeszámlálási problémák: Részhalmazokra, permutációkra vonatkozó alap összeszámlálási problémák. Fibonacci-számok, Catalan-számok. Generátorfüggvény módszer. Szita és alkalmazásai. Gráfelméleti összeszámlálási problémák: fák összeszámlálása, Cayley tétele, Kirchoff tétele. Gráfelmélet: Összefüggőség: Komponensek, fák. Gráfok magasabb összefüggősége, Menger tételei, folyamok. Párosítások gráfokban: Kőnig-tétel, Tutte-tétel, Edmonds-algoritmus. Euler-vonal, Hamilton-kör gráfokban. Gráfok kromatikus száma. A kromatikus szám és girth kapcsolata. Extremális gráfelmélet alapjai, Turán-tétel, az extremális gráfelmélet néhány alkalmazása. Síkgráfok, jellemzéseik, dualitás. Metszési lemma és követkeményei. Ramsey-elmélet. Ramsey-tétel és néhány alkalmazása. Ramsey-számok. Moore-gráfok. Halmazrendszerek: Extremális halmazrendszerek, Sperner-rendszerek, Erdős-Ko-Radó-tétel. Erdős-Radó-tétel. 2-színezhető halmazrendszerek. Szimmetrikus halmazrendszerek. Véges projektív síkok. Hadamard-mátrixok. Blokkrendszerek. Módszerek: A véletlen módszer alkalmazásai a kombinatorikában. A lineáris algebrai módszer alkalmazásai a kombinatorikában. Kiszámíthatóság elmélete es algoritmusok bonyolultsága: Turing-gépek és változataik. A Turing gépek ekvivalenciája az egyéb számítási modellekkel. Church tézise. Rekurzív és rekurzívan felsorolható nyelvek. Eldönthetetlen problémák. Algoritmusok idő- és tárigénye. Idő és tárkorlátos Turing gépek. Bonyolultsági osztályok. Alapvető összefüggések az idő- és tárbonyolultsági osztályok között. A P és NP osztályok. NPteljes problémák. A PSPACE osztály. Az L és NL osztályok. Optimalizálás: Lineáris programozási feladat és kapcsolata a konvex poliéderekkel. Szimplex algoritmus. Dualitás. Egészértékű programozás. Nemlineáris programozás. Ajánlott irodalom [1] Hajnal Péter: Összeszámlálási problémák, Polygon Jegyzettár, Polygon, Szeged, 1997. [2] Hajnal Péter: Gráfelmélet, Polygon Jegyzettár, Polygon, Szeged, 1997. [3] Hajnal Péter: Halmazrendszerek, Polygon Jegyzettár, Polygon, Szeged, 1997. [4] B. Bollobás: Combinatorics. Set systems, hypergraphs, families of vectors and combinatorial probability, Cambridge Univ. Press, Cambridge; 1986. [5] C. H. Papadimitriou: Számítási bonyolultság, Novadat, Győr, 1999. [6] Imreh B., Imreh Cs., Kombinatorikus optimalizálás, Novodat, Győr, 2005. [7] D. Forst, D. Hoffmann: Optimization, theory and practice. Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology, Springer, New York, 2010.
Érvényes: 2015-től GEOMETRIA tantárgyból a felvételi vizsga tematikája SZTE, Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskola http://www.math.u-szeged.hu/phd/ A felvételi szóbeli része a jelentkező MSC-dolgozatához illetve az általa doktori tanulmányokra megjelölt témához igazodva az alábbi témakörök egyikén belüli általános motivációs beszélgetés. Geometriák: Axiomatikus felépítés szerepe; Euklideszi geometria és izometriacsoportjai; Valós projektív sík és tér; Hiperbolikus és gömbi geometria; Projektív modellek; Alakzatok egyenletei, másodrendű görbék. Kettősviszony, harmonikus pontnégyes, perspektivitás, projektivitások és alaptételük. Differenciálgeometria: Térgörbék, felületek, differenciálható sokaságok; Érintő tér és -nyaláb, vektormezők, Lie-derivált, kovariáns deriválás, Christoffel-szimbólumok, torzió; Geodetikusok; Riemann-görbület, Riemann-metrika, görbék és geodetikusok, szorzatgörbület, konstansgörbületű terek; Tenzormezők és differenciálformák, Stokes tétele. Konvex és diszkrét geometria: Konvex halmaz, konvex burok, Helly tétel; Konvex halmaz által indukált norma, támaszfüggvény; Hausdorff-távolság; Konvex poliéderek, approximáció; Konvex testek térfogata, felszíne, folytonosság; Poliéderek geometriája, Euler tétel; Pontrendszerek, egyenesrendszerek, síkrendszerek kombinatorikus geometriája; Rácspontok, rácsegyenesek, rácssokszögek. Integrálgeometria: Sűrűség és mérték pont- és egyeneshalmazokon, pontpárok és egyenespárok halmazain; Elemi integrálformulák hosszra, területre, szögekre; Konvex halmazok radiális és támaszfüggvényének integráljai, Sylvester-probléma véletlen pontnégyesek konvex burkáról; Differenciálformák euklidészi tereken, a kockadobási probléma. Térfogat, terület- és izoperimetrikus tétel. Algebrai geometria: Test feletti affin és projektív geometria. Kódelméleti alkalmazások, Algebrai síkgörbék. Transzformációcsoportok, generátorok, egyszerűség. Homogén koordináták. Kollineációk. Tájékoztató irodalom: [l] H. S. M.Coxeter: A geometriák alapjai. [2] M. Berger: Geometry I-II. [3] Kurusa Árpád: Bevezetés a geometriába. [4] Kurusa Árpád: Nem euklidészi geometriák. [5] G. Horváth Ákos, Lángi Zsolt: Kombinatorikus geometria. [6] Szabó László, Kombinatorikus geometria és geometriai algoritmusok. [7] Szabó László, Konvex geometria. [8] Szőkefalvi-Nagy Gyula, Gehér László és Nagy Péter: Differenciálgeometria [9] Kurusa Árpád: Bevezetés a differenciálgeometriába
