Aanvullingen bij Hoofdstuk 6
We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen.
Stelling 6.4’. Zij A : V → W een lineaire afbeelding tussen eindigdimensionale vectorruimten. Zij A de matrix van A ten opzichte van basissen E van V en F van W , en anderzijds 0 A de matrix van A ten opzichte van basissen E 0 van V en F 0 van W . Zij tenslotte P de matrix van basisverandering van E naar E 0 en Q de matrix van basisverandering van F naar F 0 . Dan is A0 = Q−1 AP . Bewijs. Oefening. ¤
6.5 Isomorfisme van vectorruimten
We vermelden eerst een elementair resultaat over de samenstelling van (algemene) lineaire afbeeldingen. Herinner u dat de samenstelling van twee ‘speciale lineaire afbeeldingen’ uit Hoofdstuk 4 opnieuw een dergelijke afbeelding is. Dit geldt ook in het algemeen. Stelling 6.7. De samenstelling van twee lineaire afbeeldingen is opnieuw een lineaire afbeelding. Bewijs. Zij A : U → V en B : V → W lineaire afbeeldingen. We moeten aantonen dat B ◦ A : U → W ook lineair is, dus dat (a) (B ◦ A)(u1 + u2 ) = (B ◦ A)(u1 ) + (B ◦ A)(u2 ) voor alle u1 , u2 ∈ U , en ¡ ¢ (b) (B ◦ A)(λu) = λ (B ◦ A)(u) voor alle u ∈ U en alle λ ∈ R. We geven de tussenstappen voor (a) en laten (b) als (eenvoudige) oefening. We gebruiken gewoon de definitie van samenstelling van afbeeldingen en het feit dat A en B lineair zijn; ga zelf na wat je precies gebruikt bij elke gelijkheid : ¡ ¢ ¡ ¢ (B ◦ A)(u1 + u2 ) = B A(u1 + u2 ) = B A(u1 ) + A(u2 ) ¡ ¢ ¡ ¢ = B A(u1 ) + B A(u2 ) = (B ◦ A)(u1 ) + (B ◦ A)(u2 ) . ¤ 1
We willen nu een begrip invoeren dat zegt dat twee vectorruimten ‘eigenlijk dezelfde’ zijn, maar dat de elementen ervan in zekere zin gewoon anders genoteerd worden. Een flauw voorbeeld van dergelijke twee vectorruimten is R[X] en R[Y ], waarbij we de onbepaalde in de veeltermen in het eerste geval met X, en in het tweede geval met Y noteren. Een minder flauw voorbeeld bestaat uit Rq×p , de vectorruimte van de (q×p)-matrices, en Rqp , de vectorruimte van de qp-tallen. Bij de eerste worden de ‘co¨ordinaten’ in rechthoekvorm geschreven, en bij de tweede in ´e´en lange rij. Zo identificeren we bijvoorbeeld R2×3 met R6 via µ ¶ a1 a2 a3 7→ (a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 ) . b1 b2 b3 Pas op; we kunnen beide beschouwen als ‘eigenlijk dezelfde’ vectorruimte omdat som en scalaire vermenigvuldiging in Rq×p OVEREENKOMEN met som en scalaire vermenigvuldiging in Rqp na identificatie van (q × p)-matrices met qp-tallen. We voeren nu de geschikte exacte definitie in voor zo’n identificatie. Definitie 6.2. Zij V en W vectorruimten. Een functie A : V → W is een isomorfisme als (1) A een bijectie is, en (2) A een lineaire afbeelding is. We zeggen dat V en W isomorf zijn als er een isomorfisme bestaat van V naar W ; we noteren dit met V ∼ = W. Merk op dat deze laatste definitie en notatie suggereert dat isomorf zijn een symmetrisch begrip is; dus dat V isomorf is met W als en slechts als W isomorf is met V . Dit is inderdaad zo en volgt uit het eerste deel van volgend resultaat. Stelling 6.8. (1) Als A : V → W een isomorfisme is, dan is A−1 : W → V ook een isomorfisme. (2) De samenstelling van twee isomorfismen is opnieuw een isomorfisme. Bewijs. (1) Omdat A een bijectie is bestaat A−1 en is deze ook een bijectie. We moeten dan nog aantonen dat A−1 lineair is. (a) Neem w1 en w2 in W . We moeten bewijzen dat A−1 (w1 + w2 ) = A−1 (w1 ) + A−1 (w2 ) . Zij v1 en v2 de unieke elementen van V waarvoor A(v1 ) = w1 en A(v2 ) = w2 , of, equivalent hiermee, waarvoor A−1 (w1 ) = v1 en A−1 (w2 ) = v2 . Dan is ¡ ¢ ¡ ¢ A−1 (w1 + w2 ) = A−1 A(v1 ) + A(v2 ) = A−1 A(v1 + v2 ) = (A−1 ◦ A)(v1 + v2 ) = v1 + v2 = A−1 (w1 ) + A−1 (w2 ) . 2
(Waar gebruiken we de lineariteit van A ?) (b) Bewijs zelf voor w ∈ W en λ ∈ R dat A−1 (λw) = λA−1 (w). (2) Oefening. ¤ Voorbeeld 6.10. R[X]≤d ∼ = Rd+1 via het isomorfisme A : R[X]≤d → Rd+1 : a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + ad X d 7→ (a0 , a1 , a2 , . . . , ad ) . Voorbeeld 6.11. Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en e = {e1 , . . . , en } een basis van V . Dan is V ∼ = Rn via de co¨ordinatenafbeelding Ce : V → Rn , die een vector v in V afbeeldt op zijn co¨ ordinaten (x1 , . . . , xn ) ten opzichte van e. Dit voorbeeld is enorm belangrijk. Je hebt dit bijvoorbeeld impliciet al gebruikt telkens je een punt in het vlak of in de ruimte identificeert met zijn co¨ordinaten in R2 of R3 . Misschien heb je intussen ook al begrepen dat er, op isomorfisme na, nogal weinig vectorruimten zijn van een vaste dimensie n. We werken dit nu uit; eerst een eenvoudig voorbereidend resultaat. Stelling 6.9. Zij A : V → W een isomorfisme en e1 , . . . , en een basis van V . Dan is A(e1 ), . . . , A(en ) een basis van W . Bewijs. PnWe tonen aan dat er voor elke w ∈ W unieke λ1 , . . . , λn ∈ R bestaan zodat Omdat e1 , . . . , en een basis is van V bestaan er unieke λ1 , . . . , λn ∈ w = i=1 λi A(ei ). P n −1 R zodat A (w) = i=1 λi ei , dus zodat n n X X −1 w = A(A (w)) = A( λ i ei ) = λi A(ei ) . ¤ i=1
i=1
Stelling 6.10. Zij V en W eindigdimensionale vectorruimten. (1) dim V = n ⇔ V ∼ = Rn , (2) V ∼ = W ⇔ dim V = dim W . Bewijs. (1) ”⇒” Via de keuze van een basis in V ; zie Voorbeeld 6.11. ”⇐” Uit Stelling 6.9. (2) ”⇒” Opnieuw uit Stelling 6.9. ”⇐” Zij dim V = dim W = n. Dan zijn wegens (1) zowel V als W isomorf met Rn , en is dus ook V isomorf met W (wegens Stelling 6.8(2)). ¤ We besluiten dus: er bestaat, op isomorfisme na, juist ´e´en vectorruimte van dimensie n. 3
Voorbeeld 6.12. Rp×q ∼ = Rq×p ∼ = Rpq ∼ = R[X]≤pq−1 ∼ = R[Y ]≤pq−1 . Vraag. Zij V de deelruimte van R∞ die bestaat uit alle rijen met slechts eindig veel elementen verschillend van 0. Met welke gekende vectorruimte is V isomorf ?
6.6 De vectorruimte van de lineaire afbeeldingen
Je kan willekeurige afbeeldingen van een verzameling V naar R optellen en scalair vermenigvuldigen met een re¨eel getal; en met die twee bewerkingen vormen deze afbeeldingen de vectorruimte RV . (Dit is Voorbeeld 2.6.) Als V zelf een vectorruimte is, kunnen we de deelruimte van RV beschouwen, die bestaat uit alle lineaire afbeeldingen van V naar R. (Ga na dat deze deelverzameling wel degelijk een deelruimte is !) Een klassieke notatie voor deze deelruimte is Hom(V, R). Meer algemeen vormen alle lineaire afbeeldingen tussen willekeurige vectorruimten V en W zelf een vectorruimte. We formuleren dit nu nauwkeurig. Definitie 6.3. Zij V en W vectorruimten. (1) Zij A : V → W en B : V → W lineaire afbeeldingen. De lineaire afbeelding A + B : V → W is gedefinieerd door (A + B)(v) := A(v) + B(v)
voor elke v ∈ V.
(2) Zij A : V → W een lineaire afbeelding en λ ∈ R. De lineaire afbeelding λ · A : V → W is gedefinieerd door ¡ ¢ (λ · A)(v) := λ · A(v)
voor elke v ∈ V.
We moeten natuurlijk nagaan dat deze A+B en λ·A wel degelijk lineaire afbeeldingen zijn van V naar W . Stelling 6.11. Zij V en W vectorruimten. (1) In Definitie 6.3 zijn A + B en λ · A lineaire afbeeldingen. (2) De verzameling van alle lineaire afbeeldingen van V naar W vormt een vectorruimte voor de som en het scalair product van Definitie 6.3. We noteren deze vectorruimte als Hom(V, W ). Bewijs. Oefening. ¤ 4
Stelling 6.12. Zij U , V en W vectorruimten. Zij A en A0 lineaire afbeeldingen van U naar V , en B en B 0 lineaire afbeeldingen van V naar W . Dan is (1) B ◦ (A + A0 ) = (B ◦ A) + (B ◦ A0 ) , (2) (B + B 0 ) ◦ A = (B ◦ A) + (B0 ◦ A) , (3) (λ · B) ◦ A = λ · (B ◦ A) = B ◦ (λ · A)
Bewijs. Eenvoudige oefening. Alles ‘rolt uit de definities’.
5
voor alle λ ∈ R .
¤
