Bevezet´ es
P´ımsz´amok
N´eh´any defin´ıci´o.
A pr´ımsz´amok eloszl´asa, avagy az els˝o 50 milli´o pr´ımsz´am.
1 2
Klukovits Lajos
analitikus f¨ uggv´eny eg´esz z´er´ ohelyei, ahol R∞ Γ(s) = x s−1 e −x dx, x > 0.
TTIK Bolyai Int´ ezet
2014. ´aprilis 8.
0 3
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
A klasszikus sz´amelm´eleti”. p ∈ N pr´ım, ha a|p ⇒ a = ±1, ±p. ” Az analitikus”. Az ” sin πΓ(s) s 1− sin πs
2014. ´ aprilis 8.
1 / 41
Az algebrai”. A v´eges testek karakterisztik´ai. ”
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Bevezet´ es
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
2 / 41
Bevezet´ es
K´et tulajdons´aguk, amelyet mindenki elfogad.
K´et tulajdons´aguk, amelyet mindenki elfogad.
Az els˝o. Igen egyszer˝ uen (is) defini´alhat´ ok, az eg´esz sz´amok ´ep´ıt˝ ok¨ ovei”, de a ” legszab´alytalanabbul viselked˝ o matematikai objektumok egyike. ´ fordulnak el˝o a term´eszetes sz´amok k¨ Ugy oz¨ ott, mint pipacsok a ” b´ uzamez˝oben”. Olyannak mutatkoznak, mint amelyekre egyetlen t¨ orv´enyszer˝ us´eg sem vonatkozik. Nincs haszn´alhat´ o becsl´es arra, hogy egy pr´ımsz´am ut´an mikor j¨on a k¨ovetkez˝o.
A m´asodik. Mindezek ellen´ere van n´eh´any olyan t¨ orv´enyszer˝ us´eg, amelynek szinte katon´as rendben tesznek eleget.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
3 / 41
Az els˝o meg´allap´ıt´as melletti ´ervek. A pr´ımek sz´ama n´eh´any 100 hossz´ us´ag´ u intervallumban: intervallum pr´ımek sz´ama 2 − 100 25 9.999.900 − 10.000.000 9 10.000.000 − 10.000.100 2 Tudjuk, hogy az [n, 2n] intervallumban van pr´ım, de ez nagy n-re igen hossz´ u. √ Egy valamivel jobb becsl´es, miszerint az [n, n + n] intervallumban is van pr´ım, csak sejt´es.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
4 / 41
Pr´ım rekorderek.
Pr´ım rekorderek.
Ikerpr´ımek.
Sophie Germain pr´ımek.
Defin´ıci´ o. Ha valamely p r´ımre p + 2 is pr´ım, akkor a (p, p + 2) p´art ikerpr´ımeknek nevezz¨ uk.
Defin´ıci´ o. A p p´aratlan pr´ım Sophie Germain pr´ım, ha 2p − 1 szint´en pr´ım.
P´eld´aul, (3, 5), (11, 13), (41, 43), . . . Term´eszetes az a k´erd´es, hogy van-e v´egtelen sok ilyen p´ar.
A Fermat sejt´es vizsg´alatakor mer¨ ultak f¨ ol: A sejt´es igaz n > 2-re, ha n oszthat´ o valamely Sophie Germain pr´ımmel.
A v´alasz nem ismert, azt sejtik, hogy v´egtelen sokan vannak.
Sz´amuk a mai napig ismeretlen.
A ma ismert 5 legnagyobb p´ar: sorsz´am a pr´ımp´ar 1. 3.756.801.695.685 · 2666.669 ± 1 2. 65.514.648.355 · 2333.333 ± 1 3. 2.003.663.613 · 2195.000 ± 1 4. 194.772.106.074.315 · 2171.960 ± 1 5. 100.314.512.544.015 · 2171.960 ± 1
A ma ismert 5 legnagyobb Sophie Germain pr´ım: sorsz´am Sophie Germain pr´ım jegyek 1. 183.027 · 2265.440 − 1 79.911 2. 658.621.027.630.345 · 2253.824 − 1 76.424 3. 620.366.307.356.565 · 2253.824 − 1 76.424 4. 607.095 · 2176.311 − 1 53.081 5. 48.047.305.725 · 2172.403 − 1 51.910
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
jegyek 200.700 100.355 58.711 51.780 51.780
´evsz´am 2011 2009 2007 2007 2006
2014. ´ aprilis 8.
5 / 41
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Pr´ım rekorderek.
2014. ´ aprilis 8.
6 / 41
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Rekord pr´ımek.
M´eg egy tulajdons´ag, ami nem a szab´alyos eloszl´ast mutatja.
a pr´ım jegyek ´evsz´am megj. 1. 257.885.161 − 1 17.425.170 2013 48. Mersenne 2. 243,112.609 − 1 12.978.189 2008 47. Mersenne 3. 242.643.801 − 1 12.837.064 2009 46. Mersenne 4. 237.156.667 − 1 11.185.272 2008 45. Mersenne 5. 232.582.657 − 1 9.808.358 2006 44. Mersenne 6. 230.402.457 − 1 9.152.052 2005 43. Mersenne 7. 225.964.591 − 1 7.816.230 2005 42. Mersenne 8. 224.036.583 − 1 7.235.733 2004 41. Mersenne 9. 220.996.011 − 1 6.320.430 2003 40. Mersenne 10. 213.466.917 − 1 4.053.946 2001 39. Mersenne 11. 19.249 · 213.018.586 + 1 3.918.990 2007 ´ Erdekes, hogy a legnagyobb ismert nem-Mersenne pr´ım csak a 10. a list´an. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
´evsz´am 2010 2009 2009 2007 2007
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
7 / 41
H´ezagok. Egyszer˝ uen igazolhat´ o, hogy a pr´ımek sorozat´aban ak´armekkora h´ezag is lehet. Ugyanis, tetsz˝ oleges n ∈ N eset´en, a A jel¨ oli az n-n´el nem nagyobb pr´ımsz´amok szorzat´at, akkor az A + 2, A + 3, A + 4, . . . , A + (n + 1) eg´eszek mindegyike ¨osszetett. De eml´ıtett¨ uk, hogy l´eteznek u ´n. ikerpr´ımek, amelyek sz´ama nem ismert, ´es az ezekt˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o h´ezagok” hossza sem n˝ o monoton. ” Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
8 / 41
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
A szab´alyszer˝u” viselked´es. ”
π(x)
Egy alapvet˝o fontoss´ag´u f¨uggv´eny. Defin´ıci´ o. π : R+ → N0 , π(x) = k pontosan akkor, ha az x-n´el nem nagyobb pr´ımek sz´ama k.
C´el Ezen π(x) f¨ uggv´eny viselked´es´et ´es k¨ ozel´ıt´eseit fogjuk vizsg´alni. Tekints¨ uk el˝ osz¨or a grafikonj´at el˝osz¨or a [0, 100], majd a [0, 50.000] intervallumon.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
9 / 41
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
10 / 41
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
π(x)
π(x) Az ut´ obbi g¨ orbe alakja arra b´ator´ıt, hogy valamilyen formul´at, legal´abb valamif´ele emp´ırikusat keress¨ unk e f¨ uggv´eny k¨ ozel´ıt´es´ere. A XIX. sz´azad fordul´ oja k¨ or¨ ul a 15 ´eves Gauss a π(x) f¨ uggv´enyt vizsg´alva k¨ ovetkez˝ o t´abl´azatot alkotta meg.
Gauss.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
11 / 41
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
12 / 41
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Pr´ımsz´amok
A π(x) els˝o k¨ozel´ıt´ese. Bizony´ıt´as hi´any´aban csak emp´ırikus ´erveket adott, meghat´arozta az osszes pr´ımsz´amot 3 · 106 -ig, ´es ¨ ¨ osszehasonl´ıtotta a k´et f¨ uggv´enyt.
Gauss ´eszrev´etele: a jobb oldali oszlopban a sz´amok k¨ ul¨ onbs´ege k¨ ozel´ıt˝ oleg 2, 3 ≈ log 10, 10 hatv´anyaink´ent az x/π(x) h´anyados ennyivel n˝ o, ´ıgy sejt´ese szerint π(x) aszimptotikusan egyenl˝o x/ log x-szel, azaz lim
x→∞ Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
π(x) x log x
= 1.
Sz´ amelm. t¨ ort.
Els˝ o l´at´asra meglep˝ o lehet a k´et g¨ orbe t´avolod´asa”. ” 2014. ´ aprilis 8.
13 / 41
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Tov´abbi becsl´esek.
Ut´ obbi ´eszrev´etel¨ unk azt szuger´alhatn´a, hogy tal´an nem is igaz a sejt´es, hiszen a k´et f¨ uggv´eny elt´er´ese szemmel l´athat´ oan n˝ o. Ez azonban csak l´atsz´ olag van ´ıgy: att´ol, hogy a k´et f¨ uggv´eny elt´er´ese minden hat´aron t´ ul n˝ o, h´anyadosuk m´eg tarthat 1-hez.
Finom´ıt´as.
14 / 41
amib˝ ol
Az el˝obbi ´eszrev´etel az´ert f¨ olveti, hogy nincs-e jobb emp´ırikus formula π(x)-re, mint x/ log x. 2014. ´ aprilis 8.
A t´abl´azatot tov´abb elemezve ´eszrevehetj¨ uk, hogy x ≈ log x − 1 π(x)
Gauss sejt´es´et csak 1896-ban igazolta egym´ast´ ol f¨ uggetlen¨ ul Hadamard ´es de la Vall´ee Poussin. Az´ ota a Nagy Pr´ımsz´amt´etel” ” n´even szok´as eml´ıteni.
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Gauss sejt´ese.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
15 / 41
π(x) ≈
x log x − 1
´ıgy v´elelmezhet˝ o, hogy s˝ ur˝ ubb beoszt´ast v´eve m´eg jobb k¨ ozel´ıt´es kaphat´ o. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
16 / 41
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Tov´abbi becsl´esek.
Gauss.
´ Ujabb finom´ıt´as: Legendre 1808-ban Legendre egy jobb emp´ırikus formul´at tett k¨ ozz´e π(x) ≈
V´elhet˝ oen m´eg jobb k¨ ozel´ıt´est ad, legal´abbis analitikusan jobban haszn´alhat´ o, az u ´n. logaritmikus integr´al”: ”
x . log x − 1, 08366
Zx
Gauss.
Li(x) =
Tov´abb elemezve az emp´ırikus adatokat Gauss u ´gy tal´alta, hogy egy el´eg nagy y ∈ R sz´am k¨ozel´eben a pr´ımek el˝ ofordul´as´anak relat´ıv gyakoris´aga j´o k¨ozel´ıt´essel 1/ log y ,
2
Alapos sz´amol´assal ez jogos´ıthat´ o, a k´et f¨ uggv´eny elt´er´ese korl´atos.
amib˝ol k¨ovetkez˝oen egy nagy x ∈ R sz´amn´al nem nagyobb pr´ımek sz´am´at j´ol k¨ozel´ıti az al´abbi u ´n. logaritmikus ¨ osszeg: Ls(x) =
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
dt . log t
Ls(n) − 1, 5 < Li(n) < Ls(n),
1 1 1 + + ... + . log 2 log 3 log[x] Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
17 / 41
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
18 / 41
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Gauss.
XIX. sz´azad.
A k´et g¨orbe. A sz´azad k¨ ozep´en Riemann — r´eszben elm´eleti meggondol´asokkal — tov´abb jav´ıtotta a becsl´eseket. Azt sejtette: annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy egy nagy n ∈ N sz´am pr´ım legyen m´eg k¨ ozelebb lehet 1/ log n-hez, ha nemcsak a pr´ımeket vessz¨ uk figyelembe, hanem a pr´ımhatv´anyokat is. Pontosabban, a pr´ımn´egyzeteket f´el pr´ımnek, valamely pr´ımsz´am k¨ ob´et egyharmad pr´ımnek, ´es ´ıgy tov´abb, tekinthetj¨ uk. Ez a logaritmikus integr´al al´abbi k¨ ozel´ıt´es´ehez vezet 1 √ 1√ π(n) + π( n) + 3 n + . . . ≈ Li(n), 2 3 amib˝ ol π(n), vagy π(x) megkaphat´ o. A k´et f¨ uggv´eny grafikonja l´athat´ oan (a rajz pontoss´ag´an bel¨ ul) gyakorlatilag megegyezik a [0, 50.000] intervallumon. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
19 / 41
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
20 / 41
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Riemann f¨uggv´enye.
Riemann f¨uggv´enye.
√ √ √ π(x) ≈ Li(x) + a2 Li( x) + a3 Li( 3 x) + . . . + ak π( k x) + . . . | {z }
¨ Osszehasonl´ ıt´as. x 100.000.000 200.000.000 400.000.000 600.000.000 800.000.000 1.000.000.000
R(x)
ahol 1 k , ak = − k1 , 0,
ha k p´aros sok k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pr´ım szorzata, ha k p´aratlan sok k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pr´ım szorzata, k¨ ul¨onben.
π(x) 5.761.455 11.078.937 21.336.326 31.324.703 41.146.179 50.864.534
R(x) 5.761.552 11.079.090 21.336.185 31.324.622 41.146.248 50.847.455
π(x) − R(x) −97 −153 141 81 −69 79
Az el˝ ojel gyakran v´altozik, amit a k¨ ovetkez˝ o ´abra is mutat. Ezen R(x), az u ´n. Riemann-f´ele k¨ ozel´ıt˝ o f¨ uggv´eny, az eddigiekn´el jobb k¨ ozel´ıt´est ad, p´eld´aul Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
21 / 41
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
22 / 41
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Riemann f¨uggv´enye.
Riemann f¨uggv´enye. Az R(x) f¨ uggv´eny j´ os´ag´at” a k¨ ovetkez˝ o t´abl´azat is mutatja. ”
¨ Osszehasonl´ ıt´as.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
23 / 41
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
24 / 41
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Riemann f¨uggv´enye.
π(x)
Az R(x) f¨ uggv´eny a logaritmusf¨ uggv´eny eg´esz f¨ uggv´enye: R(x) = 1 +
∞ X n=1
ahol ζ(n) =
∞ P k=1
1 kn ,
Egy kis o¨sszegz´es 1.
1 (log x)n , nζ(n + 1) n!
Eml´ekeztet¨ unk: Gauss ´es Legendre emp´ırikus meggontol´asokkal, m´ıg Riemann elm´eleti meggondol´asok r´ev´en jutott k¨ ozel´ıt˝ o formul´aj´ahoz, f¨ uggv´eny´ehez. A pr´ımsz´amt´etel bizony´ıt´asa egyik¨ uknek sem siker¨ ult.
az u ´n. Riemann-f´ele zeta-f¨ uggv´eny.
Gauss emp´ırikus meggondol´asa — miszerint egy az n-nel egyez˝ o nagys´agrend˝ u eg´esz pr´ım volt´anak val´ osz´ın˝ us´ege k¨ ozel´ıt˝ oleg 1/ log n — alapj´an k¨ ovetkeztethet¨ unk arra, hogy
A m´ ult sz´azad 20-as ´eveiben az indus Ramanujan megadta a Riemann-f´ele k¨ozel´ıt˝o f¨ uggv´eny integr´alel˝ o´all´ıt´as´at: Z∞ R(x) =
(log x)t tΓ(t + 1)ζ(t + 1)
egy n k¨ or¨ uli a hossz´ us´ag´ u intervallumban k¨ ozel´ıt˝ oleg a/ log n sz´am´ u pr´ım van,
dt,
legal´abbis akkor, ha n az a-hoz k´epest elegend˝ oen nagy, de az intervellum is elegend˝ oen hossz´ u” ahhoz, hogy a statisztikai ” k¨ ovetkeztet´esek plauzibilisek legyenek.
0
ahol Γ(t) =
R∞
x t−1 e −x dx, az u ´n. gamma-f¨ uggv´eny.
0 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
25 / 41
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
26 / 41
2014. ´ aprilis 8.
28 / 41
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
π(x)
Pr´ımsz´amok, ikerpr´ımek.
Egy kis o¨sszegz´es 2. Hasonl´oan kaphat´o az a k¨ ovetkeztet´es is, hogy nagy n k¨ ozel´eben v´eletlenszer˝ uen kiv´alasztott k´et sz´am mindegyike pr´ım legyen k¨ozel´ıt˝oleg 1/ log2 n. Ennek alapj´an arra is gondolhatunk, hogy egy n k¨ or¨ uli a hossz´ us´ag´ u intervallumban k¨ozel´ıt˝oleg a/ log2 n sz´am´ u ikerpr´ım van. S˝ot, egy tov´abbi heurisztikus gondolatmenettel az is megkaphat´o, hogy ezek sz´ama k¨ozel´ıt˝oleg c
a , log2 n
ahol c ≈ 1, 3203236 . . . konstans. Az el˝obbieknek a val´os´aggal val´ o szembes´ıt´es´et a k¨ ovetkez˝ o t´abl´azat mutatja. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
27 / 41
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
A becsl´esek ¨osszehasonl´ıt´asa.
A becsl´esek ¨osszehasonl´ıt´asa.
Elemz´es. 1
2 3
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
29 / 41
Kis x-ekre, ha x ≤ 106 , a Legendre-f´ele empirikus formula jobb a Gauss-f´ele Li(x) logaritmikus integr´aln´al. Az ut´ obbi azonban x ≥ 5 · 106 -t´ ol egy´ertelm˝ uen jobb. A Riemann-f´ele k¨ ozel´ıt´es mindkett˝ on´el jobb, de az R(x) − π(x) ´ert´ekek oszcill´aci´ oja egyre n˝ o, de csak lassan. x ≤ 109 -ig nem n˝ o n´eh´any 100 f¨ ol´e.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
30 / 41
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
A becsl´esek ¨osszehasonl´ıt´asa.
A becsl´esek ¨osszehasonl´ıt´asa.
Vizsg´aljuk meg az Li(x) − π(x) k¨ ul¨ onbs´eg-f¨ uggv´enyt.
1
107 -ig
pozit´ıv, ´es az ´abra sugallata szerint egyre n˝ o, azaz Li f¨ ols˝o becsl´est ad mindig. Ezt t´amaszthatn´a al´a az is, hogy R(x) < Li(x).
∃x0 ∈ R, 2
Az u ´jabb vizsg´alatok ellentmondanak e v´eleked´esnek.
El´eg nagy x-re — amikor m´ar nagyra n˝ o az R(x) − π(x) k¨ ul¨ onbs´eg — az Li(x) m´ar nem f¨ ol¨ ulr˝ ol k¨ ozel´ıti π(x)-et, azaz
3
π(x0 ) > Li(x0 ).
Ilyen x0 l´etez´es´et Littlewood igazolta. Skewes megmutatta, hogy ha igaz a Riemann hipot´ezis, akkor a legkisebb ilyen x0 -ra 1034
x0 < 1010 4
Skewes: a Riemann hipot´ezis n´elk¨ ul a f¨ ols˝ o korl´at 10964
x0 < 1010 5
,
A jelenleg ismert legjobb becsl´es 1, 65 · 101165
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
31 / 41
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
32 / 41
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Pr´ımsz´amok
Pr´ımsz´amok
N´eh´any tiszt´an dedukt´ıven nyert eredm´eny.
A legut´obbi alapj´an.
1
Euklid´esz IX. 21. T´etel. Pr´ımsz´amok b´armely sokas´ag´an´al van t¨ obb.
2
Euler (XVIII. sz.): A pr´ımsz´amok reciprokaib´ ol ´all´ o sor divergens, m´ıg pl. ∞ X 1 π2 = . 2 n 6 n=1
3
π(1018 ) ≈ 50 · 1018 , ´es becs¨ ulj¨ uk meg mennyi lehet ennyi pr´ımsz´am reciprok´anak ¨ osszege: X 1 ≈ p 18
p<10
log log(1018 ) + c + ε(1018 )
Mertens (XIX. sz. v´ege)
≈ log(41, 446.531.673.892) + 0, 261198
X1 = log log x + c + ε(x), p p<x
≈ 3, 985.902.203.314 < 4 Ugyanis ε(1018 ) ≈ 0 Mivel π(109 ) ≈ 50 · 106 , hasonl´ o sz´amol´assal az els˝o 50 milli´ o pr´ımsz´am reciprok´anak ¨ osszege k¨ ozel´ıt˝ oleg csak 3, 3.
ahol lim ε(x) = 0 (konvergencia gyors”), c ≈ 0, 261498. x→∞ ”
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
33 / 41
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
34 / 41
2014. ´ aprilis 8.
36 / 41
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Tov´abbi becsl´esek.
Tov´abbi becsl´esek.
Csebisev (1850) 1 √ 1√ π(x) + π( x) + 3 x + . . . 2 3 X = Li(x) − Li(x % ),
L´etezik olyan a, b ∈ R konstans, hogy el´eg nagy x ∈ R-re a·
x x < π(x) < b · log x log x
%
P´eld´aul, a = 0, 89 ´es b = 1, 11 ilyen.
ahol a % v´egigfutja a ζ f¨ uggv´eny z´er´ ohelyeit.
Ez az els˝o komoly l´ep´es a pr´ımsz´amt´etel fel´e. π(x) = R(x) −
A ζ f¨uggv´eny haszn´alat´aval.
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
R(x % ),
%
Tov´abbi formul´ak kaphat´ok π(x)-re a Riemann-f´ele zeta- f¨ uggv´eny z´er´ohelyeinek f¨olhaszn´al´as´aval.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
X
ahol a % v´egigfutja a ζ f¨ uggv´eny z´er´ ohelyeit.
35 / 41
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
A pr´ımsz´ amok eloszl´ asa.
Kieg´ esz´ıt´ es
Pr´ımsz´amok
Riemann-hipot´ezis 1. A klasszikus” zeta-f¨uggv´eny. ” Euler 1740:
A Riemann-hipot´ezisre t´amaszkodva z´ar´asul megadunk k´et becsl´est a Gauss-f´ele k¨ozel´ıt˝o f¨ uggv´enyre. Az els˝ or˝ ol tudjuk, hogy ekvivalens a hipot´ezissel, m´ıg a m´asodik csak sejt´es.
| Li(x) − π(x)| <
√
ζ(s) =
∞ X 1 ns
(1)
n=1
Ha s ∈ R, akkor a defini´al´ o sor konvergens minden s > 1-re, ´es divergens minden m´as esetben. Euler t´etele. Ha P jel¨ oli az ¨ osszes pr´ımsz´amok halmaz´at, akkor
x log x,
Tetsz˝oleges 0 < c < 1 konstansra
ζ(s) =
Y p∈P
| Li(x) − π(x)| < x c
1 . 1 − ps
A XIX. sz´azadban Riemann ´es m´asok igazolt´ak, hogy az el˝ obbi sor, ill. v´egtelen szorzat akkor is konvergens, ha s olyan komplex sz´am amelynek val´ os r´esze nagyobb 1-n´el. Ett˝ ol kezdve eml´ıtik e f¨ uggv´enyt Riemann-f´ele zeta-f¨ uggv´enynek. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
37 / 41
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Kieg´ esz´ıt´ es
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
38 / 41
Kieg´ esz´ıt´ es
Riemann-hipot´ezis 2.
Riemann-hipot´ezis 3.
A f¨uggv´eny kiterjeszt´ese. Igazolt´ak, hogy ha s > 1, ill. <(s) > 1, akkor az (1)-ben defini´alt ζ f¨ uggv´enyre teljes¨ ul az
2 1− s 2
ζ(s) =
∞ X (−1)n+1 n=1
(2)
ns
A f¨uggv´eny tov´abbi kiterjeszt´ese. A kiterjesztett ζ f¨ uggv´eny a 0 < <(z) < 1 s´avban azonban a πs ζ(s) = 2s π s−1 sin Γ(1 − s)ζ(1 − s) 2
(3)
f¨ uggv´enyegyenlet.
egyenletet is kiel´eg´ıti, s ez
(2) jobb oldala azonban nemcsak <(s) > 1-re hanem minden olyan s ∈ C-re konvergens, amelyre <(s) > 0.
lehet˝ ov´e teszi analitikus kiterjeszt´es´et a teljes komplex s´ıkra, kiv´eve — az eddigieken k´ıv¨ ul — az s = 0 esetet.
Ez lehet˝ov´e teszi a ζ f¨ uggv´eny kiterjeszt´es´et a {s ∈ C : <(s) > 0} halmazra, kiv´eve az 2πin s =1+ log 2
(3)-b´ ol azonnal ad´ odik, hogy ζ(2k) = 0 minden k < 0-ra. Ezen eg´eszek a ζ f¨ uggv´eny trivi´alis z´er´ ohelyei.
´ert´ekeket, ahol n > 0 eg´esz. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
39 / 41
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
40 / 41
Kieg´ esz´ıt´ es
Riemann-hipot´ezis 4.
A hipot´ezis. Riemann sejt´ese szerint a nem-val´ os z´er´ ohelyek mindegyik´enek val´ os r´esze 12 . Ezen sejt´est szok´as Riemann-hipot´ ezisk´ ent eml´ıteni. Jelenleg t¨obb, mint 6 milli´ o komplex z´er´ ohely ismert, ´es mindegyik¨ uk val´os r´esze 12 .
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz´ amelm. t¨ ort.
2014. ´ aprilis 8.
41 / 41
