[email protected]
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Parabola A.
Pengertian Parabola Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik pada geometri dimensi 2 yang memiliki jarak yang sama terhadap satu titik tertentu dan garis tertentu. Selanjutnya titik tertentu tersebut dinamakan fokus, sedangkan garis tertentu dinamakan garis direktris. P F SP = PF Garis l Garis d DE
: : = : : :
d
titik puncak parabola titik fokus p sumbu parabola garis direktris Latus Rectum
Q(x1, y1)
R T
Untuk sembarang titik Q pada elips berlaku hubungan : QR = QF
S
D
P
Menentukan panjang Latus Rectum
F
l
E
DT = FS = DF = 2p Maka DE = 2.DF = 4p panjang Latus Rectum (LR) = 4p
B.
Persamaan Parabola 1.
Jika pusat parabola O(0, 0) dan terbuka ke kanan pada gambar di samping : QR = QF 2
QR = FT QT x1 + p =
2
d
y Q(x1, y1)
R
x1 p2 y12
kedua ruas dikuadratkan x12 + 2px + p2 = (x1 — p)2 + y12 x12 + 2px + p2 = p2 — 2px1 + p2 + y12 4px = y12 y12 = 4px
S
O
F
T
x
apabila x1 dan y1 dijalankan berlaku y2 = 4px dengan analogi, 2.
Jika pusat parabola O(0, 0) dan terbuka ke kiri y2 = —4px
Irisan Kerucut |Parabola
1
[email protected]
3.
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Jika pusat parabola O(0, 0) dan terbuka ke atas x2 = 4py
4.
Jika pusat parabola O(0, 0) dan terbuka ke bawah x2 = —4py
5.
Jika pusat parabola P(, ) dan terbuka ke kanan (y — )2 = 4p(x — )
6.
Jika pusat parabola P(, ) dan terbuka ke kiri (y — )2 = —4p(x — )
7.
Jika pusat parabola P(, ) dan terbuka ke atas (x — )2 = 4p(y — )
8.
Jika pusat parabola P(, ) dan terbuka ke bawah (x — )2 = —4p(x — )
Irisan Kerucut |Parabola
2
[email protected]
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Latihan #1 1. Tentukan persamaan parabola, persamaan garis direktiris, dan panjang lactus rectum jika diketahui titik puncak dan fokusnya : a. P(1, 4) dan F(6, 4) i. P(6, 3) dan F(6, 6) P(1, 8) dan F(1, 2)
b. P(2, 5) dan F(3, 5)
j.
c. P(6, 1) dan F(10, 1)
k. P(3, 5) dan F(3, 7)
d. P(5, 0) dan F(2, 0)
l.
e. P(3, 2) dan F(1, 2)
m. P(7, 2) dan F(7, 0)
f.
n. P(4, 6) dan F(4, 1)
P(4, 5) dan F(10, 5)
P(4, 1) dan F(4, 1)
g. P(1, 7) dan F(0, 7)
o. P(8, 1) dan F(8, 2)
h. P(2, 6) dan F(5, 6)
p. P(10, 2) dan F(10, 10)
2. Tentukan koordinat puncak, fokus, dan persamaan direktris dari parabola berikut : a. y2 20x 6y + 49 = 0 i. x2 + 4x 8y + 44 = 0 b. y2 12x + 2y + 61 = 0
j.
c. y2 4x 8y + 8 = 0
k. x2 2x 16y 111 = 0
d. y2 16x + 128 = 0
l.
e. y2 + 8x 14y + 17 = 0
m. x2 2x + 20y 119 = 0
f.
3.
y2 + 24x 6y + 33 = 0
x2 12x 20y + 36 = 0 x2 6x 4y 7 = 0
n. x2 8x + 8y + 24 = 0
g. y2 + 12x + 4y 56 = 0
o. x2 + 6x + 28y + 65 = 0
h. y2 + 16x + 14y + 65 = 0
p. x2 + 20y 160 = 0
Tentukan persamaan parabola jika diketahui : a. Puncak (1, 0); sumbu parabola y = 0; melalui titik (10, 12) b. Puncak (3, 2); sumbu parabola y = 2; melalui titik (23, 22) c. Puncak (6, 3); sumbu parabola y = 3; melalui titik (12, 15) d. Puncak (6, 1); sumbu parabola y = 1; melalui titik (9, 7) e. Puncak (1, 1); sumbu parabola y = 1; melalui titik (3, 7) f. Puncak (4, 8); sumbu parabola y = 8; melalui titik (4, 8) g. Puncak (9, 3); sumbu parabola y = 3; melalui titik (6, 3) h. Puncak (0, 5); sumbu parabola y = 5; melalui titik (5, 5) i. Puncak (4, 7); sumbu parabola x = 4; melalui titik (2, 8) j. Puncak (3, 4); sumbu parabola x = 3; melalui titik (7, 6) k. Puncak (8, 1); sumbu parabola x = 8; melalui titik (18, 4) l. Puncak (7, 2); sumbu parabola x = 7; melalui titik (1, 5) m. Puncak (8, 10); sumbu parabola x = 8; melalui titik (4, 8) n. Puncak (7, 6); sumbu parabola x = 7; melalui titik (4, 11) o. Puncak (10, 1); sumbu parabola x = 10; melalui titik (10, 19) p. Puncak (2, 2); sumbu parabola x = 2; melalui titik (6, 6)
Irisan Kerucut |Parabola
3
[email protected]
C.
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Persamaan garis singgung parabola jika diketahui gradien garis singgung m 1.
Jika pusat parabola O(0, 0) dan terbuka ke kanan
y
y = mx + k
persamaan garis singgung y = mx + k .... (i) persamaan parabola y2 = 4px .... (ii) dari persamaan (i) dan (ii) y2 = 4px (mx + k)2 = 4px 2 2 m x + 2kmx + k2 = 4px 2 2 m x + 2kmx — 4px + k2 = 0 m2x2 + (2km — 4p)x + k2 = 0
O
F
x
syarat menyinggung jika diskriminan (D) = 0 (2km — 4p)2 — 4m2k2 = 0 2 2 4k m — 16kmp + 16p2 — 4k2m2 = 0 16kmp = 16p2 p k = .... (iii) m dari persamaan (i) dan (iii) y = mx +
p m
dengan analogi, 2.
Jika pusat parabola O(0, 0) dan terbuka ke kiri y = mx —
3.
p m
Jika pusat parabola O(0, 0) dan terbuka ke atas persamaan garis singgung y = mx + k .... (i) persamaan parabola x2 = 4py .... (ii)
y = mx + k y
dari persamaan (i) dan (ii) x2 = 4py x2 = 4p(mx + k) x2 = 4pmx + 4pk 2 x — 4pmx — 4pk = 0 syarat menyinggung jika diskriminan (D) = 0 (—4pm)2 + 4pk = 0 16p2m2 + 16pk = 0 pk = —p2m2 k = —pm2 .... (iii)
F
x O
dari persamaan (i) dan (iii) y = mx + k y = mx — pm2 dengan analogi, Irisan Kerucut |Parabola
4
[email protected]
4.
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Jika pusat parabola O(0, 0) dan terbuka ke bawah y = mx + pm2
5.
Jika pusat parabola P(, ) dan terbuka ke kanan y — = m(x — ) +
6.
Jika pusat parabola P(, ) dan terbuka ke kiri y — = m(x — ) —
7.
p m
p m
Jika pusat parabola P(, ) dan terbuka ke atas y — = m(x — ) — pm2
8.
Jika pusat parabola P(, ) dan terbuka ke bawah y — = m(x — ) + pm2
Irisan Kerucut |Parabola
5
[email protected]
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Latihan #2 1. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola dengan gradien m, jika diketahui: a. y2 — 16x — 6y + 41 = 0; m = 2 k. y2 + 4x — 2y — 19 = 0; m = 4 2 b. y — 8x — 8y + 24 = 0; m = 3 l. y2 + 12x — 6y — 39 = 0; m = —1 2 c. y — 12x — 4y — 56 = 0; m = —1 m. y2 + 20x — 4y + 44 = 0; m = —2 d. y2 — 20x — 14y + 9 = 0; m = 5 n. y2 + 8x — 10y + 49 = 0; m = 5 2 e. y — 8x + 6y + 57 = 0; m = —4 o. y2 + 28x + 16y — 160 = 0; m = 3 f.
y2 — 16x + 4y + 68 = 0; m =
3 5
g. y2 — 28x + 10y — 3 = 0; m =
p. y2 + 24x + 6y — 159 = 0; m = 4 5
q. y2 + 16x + 12y + 100 = 0; m =
h. y2 — 32x + 4y — 220 = 0; m = 2 5 12
i.
y2 — 8x + 48 = 0; m =
j.
y2 — 16x + 4y + 4 = 0; m =
2 3
1 3 4 5
r.
y2 + 4x + 6y + 45 = 0; m = 7
s.
y2 + 20x — 160 = 0; m =
t.
y2 + 8x + 8y + 16 = 0; m = 12 5
2 5
2. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola dengan gradien m, jika diketahui: a. x2 — 4x — 4y + 16 = 0; m = 5 k. x2 — 10x + 16y + 9 = 0; m = 1 2 b. x — 2x — 12y + 49 = 0; m = 4 l. x2 — 8x + 8y — 8 = 0; m = 7 c. x2 + 10x — 20y + 65 = 0; m = —3 m. x2 + 4x + 12y — 20 = 0; m = 9 2 d. x + 4x — 8y + 60 = 0; m = 6 n. x2 + 6x + 20y — 91= 0; m = —2 2 e. x — 12x — 28y — 48 = 0; m = —2 o. x2 — 16x + 8y +128 = 0; m = 4 f. x2 — 8x — 24y — 32 = 0; m = —7 p. x2 — 14x + 16y + 97 = 0; m = —3 5 g. x2 + 2x — 16y — 79 = 0; m = 13
h. x2 + 14x — 4y + 41 = 0; m =
4 5
i.
x2 — 12x — 20y + 36 = 0; m =
j.
x2 — 8y — 16 = 0; m =
3 4
2 5
8 q. x2 + 8x + 28y + 184 = 0; m = 17
r.
x2 + 18x + 32y + 177 = 0; m =
s.
x2 — 16x + 8y + 64 = 0; m =
t.
x2 + 16y + 64 = 0; m =
9 41 1 5
3 4
3. Tentukan persamaan garis singgung pada elips : a. y2 — 8x — 2y + 65 = 0 dan sejajar dengan garis 2x + 3y = 6 b. y2 + 8x — 8y + 40 = 0 dan tegak lurus dengan garis x — 2y = 9 c. x2 — 4x — 16y + 116 = 0 dan sejajar dengan garis 3x = 1 — 6y d. x2 + 14x — 32y + 145 = 0 dan tegak lurus dengan garis 5y = 3x + 6
Irisan Kerucut |Parabola
6
[email protected]
D.
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Persamaan garis singgung parabola jika diketahui titik singgungnya Q(x1, y1) 1.
Jika pusat parabola O(0, 0) dan terbuka ke kanan
p persamaan garis singgung l; y = mx + .... (i) m kedua ruas dikali m my = m2x + p 2 m x — my + p = 0 garis l melalui Q(x1, y1) x1m2 — y1m + p = 0
y
O
l
F
x
menentukan m m1,2 =
y1
y1 2 4px 1 2 x1
.... (ii)
titik Q berada pada parabola y2 = 4px y12 = 4px1 .... (iii) dari persamaan (ii) dan (iii) m1,2 = m1,2 =
y 1 4px 4px 1 2 x1
y1 2 x1
.... (iv)
dari persamaan (i) dan (iv) y = mx +
p m
p y y = 2 x1 x y 1 1
2 x1
kedua ruas dikali y1 y
2
y1y = 2 x1 x 2px1 1 4px
y1y = 2 x 1 x 2px1 1 y1y = 2px + 2px1 y1y = 2p(x + x1) y1y = 4p. 21 x x1 dengan analogi, 2.
Jika pusat parabola O(0, 0) dan terbuka ke kiri y1y = —4p. 21 x x1
Irisan Kerucut |Parabola
7
[email protected]
3.
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Jika pusat parabola O(0, 0) dan terbuka ke atas x1x = 4p. 21 y y1
4.
Jika pusat parabola O(0, 0) dan terbuka ke bawah x1x = —4p. 21 y y1
5.
Jika pusat parabola P(, ) dan terbuka ke kanan (y1 — )(y — ) = 4p. 21 {(x — ) +(x1 — )}
6.
Jika pusat parabola P(, ) dan terbuka ke kiri (y1 — )(y — ) = —4p. 21 {(x — ) +(x1 — )}
7.
Jika pusat parabola P(, ) dan terbuka ke atas (x1 — )(x — ) = 4p. 21 {(y — ) +(y1 — )}
8.
Jika pusat parabola P(, ) dan terbuka ke bawah (x1 — )(x — ) = 4p. 21 {(y — ) +(y1 — )}
Irisan Kerucut |Parabola
8
[email protected]
http://www.smk2pekalongan.sch.id
Latihan #3 1. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola di titik Q, jika diketahui: a. y2 16x 4y + 36 = 0 dan Q(3, 2) k. x2 12x 12y + 48 = 0 dan Q(0, 4) b.
y2 20x 10y 15 = 0 dan Q(3, 15)
l.
x2 + 16x 32y + 224 = 0 dan Q(8, 13)
c.
y2 24x + 14y + 97 = 0 dan Q(8, 5)
m. x2 14x 36y 203 = 0 dan Q(13, 6)
d.
y2 16x + 4y 60 = 0 dan Q(3, 2)
n.
x2 + 12x 28y + 8 = 0 dan Q(20, 6)
e.
y2 32x + 288 = 0 dan Q(11, 8)
o.
x2 4x 12y + 4 = 0 dan Q(4, 3)
f.
y2 + 28x 8y 124 = 0 dan Q(2, 18)
p.
x2 4x + 32y 348 = 0 dan Q(6, 9)
g.
y2 + 16x 16y 96 = 0 dan Q(3, 4)
q.
x2 + 16x 28y + 120 = 0 dan Q(6, 5)
h.
y2 + 20x + 10y + 5 = 0 dan Q(4, 5)
r.
x2 8x 32y 176 = 0 dan Q(4, 8)
i.
y2 + 20x + 4y + 164 = 0 dan Q(13, 8)
s.
x2 + 10x 24y 95 = 0 dan Q(6, 10)
j.
y2 + 8x + 40 = 0 dan Q(7, 4)
t.
x2 + 4x 32y + 4 = 0 dan Q(6, 2)
2. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik pada parabola jika diketahui : a. y2 8x 2y + 33 = 0 jika ordinat = 5 b. y2 12x 4y 32 = 0 jika ordinat = 4 c. y2 8x + 4y + 28 = 0 jika ordinat = 2 d. y2 + 12x 14y + 13 = 0 jika ordinat = 13 e. y2 + 8x 2y + 57 = 0 jika ordinat = 3 f. y2 + 32x + 8y 272 = 0 jika ordinat = 4 g. x2 4x 24y + 220 = 0 jika absis = 0 h. x2 + 16x 32y + 224 = 0 jika absis = 24 i. x2 8x 24y 224 = 0 jika absis = 16 j. x2 20x 20y + 180 = 0 jika absis = 20 k. x2 + 18x 16y + 177 = 0 jika absis = 25 l. x2 20x 8y + 76 = 0 jika absis = 2
Irisan Kerucut |Parabola
9
