A parabola és az egyenes, a parabola és kör kölcsönös helyzete

566

V

A parabola

4050. Legyen a keresett kör középpontja O. Az O pont koordinátái: (x; y). Ekkor felírhatjuk a következô egyenletet: (x - 3)2 + (y - 2)2 = x 2 , mert a kör sugara x > 0. Innen rendezéssel: J J3 N 3N (y - 2)2 = 6 KK x - OO. A mértani hely olyan parabola, amelynek tengelypontja a C KK ; 2OO pont, 2 2 L P L P a tengelye párhuzamos az x tengellyel, fókuszának koordinátái: F(3; 2) pont, a paramétere p = 3 . A parabola minden pontja hozzátartozik a mértani helyhez. 2 J bN b2 K O . A csúcspont koordinátái: 4051. Az adott egyenletet átalakíthatjuk. y = K x - O + 1 2 4 L P Jb b2 NO b b2 C K ;1 . Innen x = , y = 1 . Kiküszöbölve a b paramétert y = 1 - x 2 . A csúcsK2 4 4 O 2 L P pontok b-tôl függôen végigfutnak az y = 1 - x 2 egyenletû parabolán, amelynek minden pontja megfelel. 2 J a+ 1N O + 2a - 2, ahol a ! R. Innen leolvas4052. Az adott egyenlet átalakítható. y = 4 KK x 2 O L P a+1 , y = 2a - 2. Kiküszöbölve az a paramétert hatjuk a tengelypont koordinátáit: x = 2 a = 2x - 1, y = 4x - 4. A mértani hely egyenes. Az egyenes minden pontja lehet egy-egy paraJa+1 N a+1 , akkor y = 2a - 2. A C KK ; 2a - 2OO az adott egyenletû bola csúcsa. Ugyanis, ha x = 2 2 L P parabolák csúcsa. 4053. Helyezzük el az ABC háromszöget az ábrán látható módon koordináta-rendszerben. Ekkor (1) y 2 = c2 - b2 , (2) b2 = (x - a)2 + y 2 , (3) c2 = x 2 + y 2 . (1) egyenletbôl következik, hogy c > b és legyen a > 0. A felírt egyenletekbôl követke4053. J aN zik, hogy y 2 = 2a KK x - OO, amely egyenlet szerint az A csúcs 2 L P mértani helye parabola. A paramétere p = a, a tengelypontJa N Ja N ja T KK ; 0OO, a fókusza F (a; 0). Az KK ; 0OO pont nem tartozik 2 2 L P L P a mértani helyhez, mert akkor az a csúcs a BC oldalon van, tehát nem keletkezik háromszög.

A parabola és az egyenes, a parabola és kör kölcsönös helyzete J

2N

4054. a) Két közös pont van: P1 (6; 6), P2 KK- 2; OO. b) P (6; - 4), c) P1 (1; 2), P2 (9; - 6). 3 L P 4055. M 1 (6; 3), M 2 (1; 8). 4056. M 1 (4; 4), M 2 (1; - 2). 4057. M 1 (3; 0), M 2 (7, 5; 3). 4058. M 1 (1; 0), M 2 (10; 6).

A parabola és az egyenes, a parabola és kör kölcsönös helyzete

567

4059. Az y = tx2 - x + 1 csak akkor parabola egyenlete, ha t ! 0. Ekkor minden t ! R \ {0}-ra van megoldás, van közös pont, mert a tx 2 - x + 1 = 2tx - 1 egyenlet diszkriminánsa: 1 1 D = (2t - 1)2 $ 0. Ha t = , akkor egy közös pont van. M(2; 1). Ha t ! , akkor 2 2 J1 N 1 M 1 (2; 4t - 1), M 2 KK ; 1OO. Ha t = , akkor M 1 = M 2 , az egyenes a parabola érintôje. t 2 L P 4060. Minden m-re csak egy közös pont van, mert a diszkrimináns 0. Az egyenes érinti a paJ 1 - 2m 1 - 4m N O pontban. ; rabolát az M KK 2 4 O L P 4061. A p = x 2 - 4x + 4 egyenlet gyökei: a = 2 + p , b = 2 - p , ahol p > 0. a4 + b4 = 712, ha p = 10, ekkor a = 2 + 10 , b = 2 - 10 .

4062. A húr végpontjainak koordinátái: P1 (9; 18), P2 (4; 12). A húr hossza 61 egység. 4063. A húr hossza

5 145

egység. 4 4064. A húr hossza 522 egység. 4065. Nyilván k ! 0. A parabola egyenletét az adott pontok rendre kielégítik. Tehát c=k ak + b - 1 = 0 (1) ak 2 + bk + k = 2k 4 . Egyszerûsítve k ! 0 -val . (1) és (2) egyenletek(2) 4ak + 2b + 1 = 02 2 4ak + 2bk + k = 0 3 5 , b = . Az a, b, c értékeit behelyettesítve az y = ax 2 + bx + c egyenletbe, bôl a = 2k 2 3 2 5 y =x + x + k. A k értékét úgy kell meghatározni, hogy a parabola áthaladjon a 2k 2 3 5 Q (- 1; 0) ponton. Ez pontosan akkor teljesül, ha (3) 0 = - + k. Oldjuk meg a (3)-as 2k 2 1 1 5 1 egyenletet: k1 = 3, k2 = - . Ha k = 3, akkor a = - , b = , c = 3, ha k = - , akkor 2 2 2 2 5 1 a = 3, b = , c = - . 2 2 J 9N 3 9 x + . A húr végpont4066. A fókusz koordinátái: F KK 0; OO, az egyenes egyenlete: y = 4 3 4 L P J J N N K 9 3 27 O K 3 3 3O ; , P= ; O. A húr hossza: 12 egység. jainak koordinátái: P1 = K 4 OO 2 KK 2 4O K 2 L L P P 3 x. Ezen egyene4067. A tengelyponton átmenô egyenesek egyenletei: y = 3 x, y = 3 1 sek az y = x 2 egyenletû parabolát a tengelyponttól különbözô P1 (6 3 ; 18) és P2 (- 2 3 ; 2) 6 pontokban metszik. A P1 P2 egyenes egyenlete: 2x - y 3 = - 6 3 . Az egyenes az x tengelyt a Q1 (- 3 3 ; 0), az y tengelyt a Q2 (0; 6) pontban metszi.

V

568

A parabola

4068. A fókusz koordinátái: F (0; 2), a fókuszon átmenô egyenes egyenlete: y = mx + 2, amely az adott parabolát a P1 (4m + 4 m2 + 1 ; 4m2 + 4m m2 + 1 + 2) és a

V

P2 (4m - 4 m2 + 1 ; 4m2 - 4m m2 + 1 + 2) pontokban metszi. 1 P1 P2 = 10 = (8 m2 + 1 )2 + (8m m2 + 1 )2 . Innen m = ! . 2 Két megoldás van: x - 2y + 4 = 0, vagy x + 2y - 4 = 0. 4069. Számítsuk ki az AB szakasz felezômerôleges egyenesének a parabolával közös pontjait. Megoldás: P1 (0; 0), P2 (6; 12). 4070. M 1 (0; 0), M 2 (4; 4). 4071. A húr végpontjai: M 1 (x1 ; y1 ), M 2 (x2 ; y2 ). Ekkor x1 + x2 = 10 és y1 + y2 = 4. Másrészt 2 (1) x1 = 20y1 M 1 és M 2 parabolapontok, ezért . (2) és (1) különbsége: (x2 - x1 ) (x2 + x1 ) = (2) x22 = 20y2 4 y2 - y1 1 = 20 (y2 - y1 ). De x2 + x1 = 10, tehát = , (x2 ! x1 ), ami a keresett húr meredeksége. x2 - x1 2 A húr egyenesének (az (5; 2) koordinátájú ponton átmenô szelô) egyenlete: x - 2y - 1 = 0. 4072. Az elôzô példa megoldásának gondolatmenetét követve, a keresett szelô egyenlete: 2x - y + 4 = 0. 4073. Az origón áthaladó egyik oldal egyenesének egyenlete: y = 3 x. Ez az egyenes a parabolát a (0; 0), (4 3 ; 12) koordinátájú pontokban metszi. A szabályos háromszög csúcsainak koordinátái: A(0; 0), B (4 3 ; 12), C (- 4 3 ; 12). 4074. Mivel az y tengely az egyik magasság, azért az ABC háromszög csúcsainak koordinátái: J J J 1 N 1 N 1 N A (0; 0), B KK x1 ; x12OO, C KK- x1 ; x12OO, x1> 0. A magasságpont M(0; 2). Ekkor AB KK x1 ; x12OO, 8 8 8 L P L P L P J 1 2N CM KK x1 ; 2 - x1 OO és AB $ CM = 0, x1 = 4 5 . 8 L P 5 5 x, y = x, y = 10. Az oldalak egyenletei: y = 2 2 4075. Legyen A(0; 0). Az AB oldal egyenesének egyenlete: y = x 3 . A B és a C csúcsok koordinátái: B (2p 3 ; 6p), C (- 2p 3 ; 6p).

4076. A húrok paraméteres egyenlete: y = mx + b, ahol m adott, b változó. Ekkor 3x 2 - mx - 4 - b = 0. A húrok végpontjai: M 1 (x1 ; y1 ), M 2 (x2 ; y2 ). x1 és x2 a másodfokú m m , a húrok felezôpontjai az x = egyenlet gyökei: x1 + x2 = egyenletû egyenesnek a parabo3 6 2 la belsejébe esô pontjai: Ha m = 4, akkor x = . 3 J 1 N x 2OO. 4077. P1 P2 P3 háromszög csúcsainak koordinátái: P1 (- 10; 10), P2 (15; 22, 5), P3 KK x; 10 L P A P1 P2 P3 háromszög területe: J J 1 N 1 1 1 2N 31 = x (22, 5 - 10) + 15 KK10 x OO - 10 KK x 2 - 22, 5OO . Rendezés után 4 2 10 10 L P L P


| - x 2 + 5x + 75 | = 25. Ha

5 - 5 13

# x#

2 5 - 5 13

5 + 5 13 2

569

, akkor - x 2 + 5x + 75 = 25. Innen

5 + 5 13 P3 (- 5; 2, 5), P3l(10; 10). Ha x < , akkor vagy x > 2 2 R R 2V 2V S 5 + 5 17 1 J 5 + 5 17 N W S 5 - 5 17 1 J 5 - 5 17 N W K OW K OW S ; ; P3ll S OO W és P3lll S OO W. A kapott x értékek S 2 10 KK 2 2 10 KK 2 S S W L P L PW T T X X kielégítik az x-re vonatkozó követelményeket! Így négy megoldás van. 4078. A PTA derékszögû háromszög csúcsainak koordinátái P (x ; x 2 ), T (x ; 0), A (4; 0), (4 - x) x 2 x x = 2 (4 - x) $ $ . Alkalmazhatjuk ahol 0 < x < 4. A PTA háromszög területe: t = 2 2 2 x > 0. a számtani és a mértani közép közötti egyenlôtlenséget, mert 4 - x > 0, 2 x x 4 - x+ + J 4 N3 x x x x 128 2 2 $ # , (4 - x) $ # KK OO . A terület legnagyobb értéke 3 (4 - x) 2 2 3 2 2 3 27 L P J 8 64 N x 8 O. és pontosan akkor, ha 4 - x = , x = . A keresett P pont koordinátái: P KK ; 2 3 3 9 O L P 4079. A C csúcs koordinátái (2,5; 2). A BC egyenes irányszöge 45, a BC egyenes egyenlete y = x - 0, 5 y = x - 0, 5. A B csúcs koordinátái kielégítik az 4 egyenletrendszert. A négyy = x 2 - 5x + 8, 25 zet keresett csúcsai: B(3,5; 3), D(1,5; 3), A(2,5; 4). J 7 N 4080. A parabola fókusza F KK- ; - 2OO, ez a rombusz B csúcsa. Az A csúcs a B csúcs2 L P _ 2 J b 7N K x + O + (y + 2)2 = 25 b K b 2O P tól 5 egység távolságra van és rajta van a parabolán. L `. 2 J 7N 9b y = KK x + OO - b 2 4b L P a J N 19 + 7 5 O K ; O. A rombusz K középpontja a Az egyenletrendszerbôl az A csúcs koordinátái: K2 2O K L P J 7 5N K O parabola tengelyén van, a koordinátái K K- ; O, az AC átló hossza 19 egység, a BD átló 2 2 L P 9 19 területegység. hossza 2BK = 9 egység. A rombusz területe: t = 2 4081. Az AB szakasz, mint átmérô fölé rajzolt Thalész-kör egyenlete: (x - 4)2 + (y - 1)2 = 4. Ez a kör az (y - 1)2 = x - 2 parabolát az A(2; 1) pontban érinti, a P1 (5; 1 - 3 ) és a P2 (5; 1 + 3 ) pontokban metszi. P1 = P2 = 90. Az AP1 BP2 négyszög területe 4 3 területegység.

V

570 4083.

V

A parabola

4082. Legyen a parabola egyenlete y 2 = 2px. A csúcson átmenô egy-

1 x, (m ! 0). másra merôleges egyenesek egyenletei: y = mx és y =m J 2p 2p N O és Q (2pm2 ; - 2pm). A PQ húr a paA húrok végpontjai P KK 2 ; mO m L P rabola csúcsából derékszögben látszik. A PQ egyenes egyenlete: mx + (m2 - 1) y = 2pm. Legyen y = 0, akkor x = 2p. A húrok egyenesei a (2p; 0) ponton haladnak át az m ! R \ {0} értékétôl függetlenül. 4083. a) p ! 1. A parabola pontosan akkor érinti az x tengelyt, ha a (p - 1) x 2 - 2px + 4 = 0 egyenletnek egy gyöke van (a két gyök 2 azonos). D = (2p - 4) = 0, p = 2. Ekkor A(- 2; 0). b) Alakítsuk át az egyenletet: 2 J p N p2 K O y = (p - 1) K x + + 4 . A parabola csúcsa (tengelypontja) az y tengelyen van, p- 1O p-1 L P p = 0. Ekkor p = 0, B (0; 4). Ábrázoljuk a p = 2, illetve a p = 0 értékeknek megfeleha p-1 lô parabolákat (4083. ábra). c) Mindkét parabola normál parabola. Az F(-1; 2) pontra valóban szimmetrikusak. d) Az A és a B pont. J 1 2 1 J a NN K x - OO. A megoldás az x es y = 4084. Oldjuk meg az egyenletrendszert: KK y = 4a m K m OO L PP L 2a 2 (mx - 2a) = 0 egyenlethez vezet. Innen x = , vagyis valóban egy közös pont van. m 2a . b) Oldjuk meg az egyenletrendszert. Egy megoldás van: x = m 1 2 x és a p (y + y1 ) = x1 x egyenletekbôl álló egyenletrendszert, 4085. Oldjuk meg az y = 2p 1 2 x . Ekkor az (x - x1 )2 = 0 egyenlethez jutunk. x = x1 , y = y1 , tefigyelembe véve, hogy y1 = 2p 1 hát valóban egy közös pont van, és az egyenes nem párhuzamos a parabola tengelyével. Az adott pontokban az érintôk egyenletei: 2x - 4y = 1, x - y = 1, 6x + 4y + 9 = 0. y1 y - x1 . Helyettesítsük az y 2 = 2px egyenletben az x 4086. Az egyenes egyenletébôl x = p Jy y N 1 - x1OO, innen y 2 - 2y1 y + 2px1 = 0. Mivel (x1 ; y1 ) a parabola pontja, azért helyére: y 2 = 2p KK p L P 2px1 = y12 . Így y = y1 , x = x1 . Tehát a parabolának egy közös pontja van az egyenessel, az egyenes nem párhuzamos az x tengellyel, az yy1 = p (x + x1 ) érintô egyenlete. Ha x1 = 0, akkor 1 2 y1 = 0. Az érintô egyenlete x = 0. Megjegyzés: Az y 2 = 2px egyenletû parabola az y = x 2p egyenletû parabolának az y = x egyenletû egyenesre vonatkozó tükörképe. Tükrözzük az 1 2 y= x egyenletû parabola p (y + y1 ) = xx1 érintôjét az y = x egyenletû egyenesre. Ekkor 2p p (x + x1 ) = yy1 , mert a P (x1 ; y1 ) pont tükörképe: P l(y1 ; x1 ) (x " y, y " x, x1 " y1 , y1 " x1 ).


571

Az 1, 2, 3 abszcisszájú pontokban az érintôk egyenletei rendre: 2x ! y 2 + 2 = 0, x ! y + 2 = 0, 2x ! y 6 + 6 = 0. 4087. a) Vizsgáljuk az y 2 = 2px egyenletû parabolát. A P (x1 ; y1 ) pontbeli érintô egyenlete yy1 = p (x + x1 ), a fókuszon átmenô és az érintôre merôleges egyenes egyenlete: J y N p 1 y1 x + py = y1 . Ez az egyenes az y tengelyt a Q KK 0; OO 2 2 L P pontban metszi. A Q pont rajta van az érintôn, mert Jp N y12 = px1 igaz egyenlôség. b) Tükrözzük az F KK ; 0OO pon2 2 L P J p N J y N y1 1O K O K . tot a Q K 0; O pontra. A T tükörkép koordinátái: K- ; y1O. c) A Q pont ordinátája: 2 2 2 L P L P d) Az yy1 = p (x + x1 ) egyenletbôl, ha y = 0, akkor x = - x1 . P*(- x1 ; 0). Ha a parabola egyenJx N 1 2 1 x és az érintési pont P (x1 ; y1 ), akkor az érintô az x tengelyt az M KK ; 0OO pontlete y = 2p 2 L P ban metszi. PM merôleges az érintôre, az F pontnak az érintôre vonatkozó tükörképe J pN Q KK x1 ; - OO, rajta van a vezéregyenesen. Az érintô az y tengelyt a (0; - y1 ) pontban metszi. 2 L P 4088. A 4087. ábra szerint a PTF háromszög egyenlô szárú háromszög, mert PQ = FT és a Q pont felezi az alapot. PT = PF , az érintô felezi az FPT szöget. A P pontban az e érintôre állított merôleges felezi az F*PF szöget. _ F * P xi . Ebbôl következik a feladat állítása. J3 N J1 N 4089. Az érintési pontok koordinátái: P1 KK ; 2OO , P2(3; 6), P3 KK ; -3OO . Az érintôk egyenletei: 3 4 L P L P J N J N 1 3 e1 : 2y = 6 KK x + OO , e2 : 6y = 6 ^ x + 3h , e3 : -3y = 6 KK x + OO . Az érintôk által meghatározott há3 4 L P L P J 1 N J 1 3 3N K O K romszög csúcspontjai: A1(1; 4), A2 K- ; - O, A3 K- ; - OO. A P1 P2 P3 háromszög területe: 2 2 2 2 L P L P 15 15 t= területegység. Az A1 A2 A3 háromszög területe t1 = területegység. t : t1 = 2 : 1 . 2 4 4090. Az egyenes akkor érinti a parabolát, ha m + 2 = 0 , m = -2 . Az érintôre a P(0; 0) érin1 5 5 tési pontban emelt merôleges egyenlete: y = x . A húr hossza: d = egység. 2 4 4091. Mivel a P(2; 2) pont rajta van a parabolán, azért 2b + c = -2 . Az y = x egyenletû egyenes érinti a parabolát, ha az x 2 + (b - 1) x + c = 0 egyenlet diszkriminánsa 0. b = -3 , c = 4 . J a2 N J 2N O , B K b ; b O . A gyújtópont F(0; 4), a vezéregyenes egyenlete y = -4 . 4092. Legyen A KK a; K 16 O 16 O L L P P a+b ab x + y =. F illeszkedik az AB egyenesre, akkor Az AB egyenes egyenlete: 16 16

4087.

V

572

A parabola

_ a2 b 8 16 b ab = -64 . Az A és a B pontbeli érintôk egyenletei: `. (1)-(2) érintôk metbx b2 b (2) - y= b 8 16 a J N a+b ab a+b Y ; -4OO , tehát , y= . De mivel ab = -64 , azért M KK széspontja (a - b = 0) : x = 2 16 16 L P M valóban a vezéregyenesre illeszkedik. 4093. Az y = mx egyenes pontosan akkor érinti a parabolát, ha az x 2 - (8 + m) x + 16 = 0 egyenlet diszkriminánsa 0. Ekkor m1 = 0 , m2 = -16 . Az érintési pontok P1(4; 0), P2(-4; 64). 1 x, 4094. Az origón átmenô, és egymásra merôleges érintôk egyenletei: y = mx, y = m 2 Y 0 . Az y = mx egyenes akkor és csakis akkor érintô, ha az y = ax + bx + c3 egyenletahol m = y = mx 1 x rendszerhez tartozó diszkrimináns 0. D1 = (b - m)2 - 4ac = 0 . Hasonlóképpen az y = m 2 2 J J 1N 1N érintôre D2 = KK b + OO - 4ac = 0 . Mindkét feltétel egyszerre teljesül, ha (b - m)2 = KK b + OO . m m L P L P J N 1 1 Y 0OO . (b - m)2 - 4ac = 0 + b2 - 2bm + m2 - 4ac = 0 . Innen az $ KK m + = Innen 2b = m m m L P J 1N 2 ax + bx + c = 0 egyenlet diszkriminánsa: b2 - 4ac = 2bm - m2 , b2 - 4ac = m KK m - OO - m2 , m L P b2 - 4ac = -1 . 4095. y = 6x - 13 . 4096. b = -6 , E(3; 0) (Az y = 2x + 6 egyenes valóban érintô, mert nem párhuzamos a parabola tengelyével és a parabolával egy közös pontja van). 4097. A parabola egyenlete y = a (x - u)2 alakú. Az érintô egyenlete y = 4x - 16 . Az érintô az x tengelyt a Q(4; 0) pontban metszi. Ebbôl adódik, hogy a csúcspont T(3; 0). (4087. feladat). y = (x - 3)2 . 4098. Az A pontbeli érintô egyenlete: 8x + y = 25 . A csúcsérintô egyenlete: y = 1 . Az érintô a csúcsérintôt a P(3; 1) pontban metszi. A 4087. feladatra hivatkozva a tengelypont T(2; 1). A parabola egyenlete: y = a (x - 2)2 + 1 . Mivel az A(4; -7) illeszkedik a parabolára, y = -2 (x - 2)2 + 1 . 4099. Az AB egyenessel párhuzamos érintô érintési pontja adja azt a C pontot, amelyre az J 1 63 N O. ABC háromszög területe a legkisebb. A C csúcs koordinátái: C KK ; 4 16 O L P 4100. Az y = 2x + b egyenletû egyenes érinti az y = x 2 parabolát, ha b = 1. Az y = 2x - 1 egyenes érinti az y = - (x - 1)2 parabolát is a (0; -1) pontban, d = 0 . 4101. A P (x1 ; y1 ) pontbeli érintô egyenlete yy1 = p (x + x1 ) , az érintôre a P pontban emelt Y 0) . A vemerôleges egyenes egyenlete y1 x + py = x1 y1 + py1 . Ha y = 0 , akkor x = x1 + py , (y1 = tület x - x1 = p = állandó. 4102. A 2x - y = 3 egyenletû egyenessel párhuzamos egyenessereg egyenlete 2x - y = b alakú. Ezek közül olyan egyenes érinti az y = x 2 parabolát, amelynek egy közös pontja van a pa(1)

V

ax

- y=


573

rabolával. b = 1 . A 2x - y = 1 egyik pontja például a P(0; -1) pont. A P pont a 2x - y - 3 = 0 2 5 egyenestôl d = egység távolságra van. Ennyi a két párhuzamos egyenes távolsága is. 5 Jx N 1 Y 0. 4103. A P (x1 ; y1 ) pontbeli érintô az x tengelyt a Q KK ; 0OO pontban metszi, feltéve, ha x1 = 2 L P 3x1 y1 4x1 , y= . Innen x1 = és y1 = 2y . De A PQ szakasz felezôpontjának koordinátái: x = 4 2 3 8 8 y12 = x12 , tehát y = x 2 . A mértani hely az y = x 2 egyenletû parabola, kivéve a (0; 0) pontot. 9 9 4104. Tegyük fel, hogy az adott egyenes P(a; a) pontjából húzható két egymásra merôleges egyenes az y = x 2 parabolához. A P ponton átmenô egyenes egyenlete y = mx + a - ma. Válasszuk meg az m-et úgy, hogy ez az egyenes a parabola érintôje legyen. Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy az x 2 = mx + a - ma egyenlet diszkriminánsa 0 legyen, és követeljük, 1 hogy m1 m2 = -1 legyen. De m1 m2 = 4a, tehát 4a = -1 , a = - . A keresett P pont koordiná4 J 1 1N tái: KK- ; - OO . Vegyük észre, hogy a P pont a parabola vezéregyenesére illeszkedik. 4 4 L P 3 4105. Az adott egyenessel párhuzamos y = 2x + b egyenletû egyenesek közül az y = 2x + 4 J1 7N egyenes érinti a parabolát a P KK ; OO pontban. A P pont az y = 2x - 2 egyenestôl 2 4 L P 11 5 d= egység távolságra van. 20 4106. A P (x1 ; y1 ) pontbeli yy1 = p (x + x1 ) parabolaérintô az x tengelyt a Q _- x1 ; 0i pontban metszi. Szabályos háromszög akkor jöhet létre, ha y1> 0 esetben a PQ egyenes az x tengellyel J N2 y1 3 K2 3 O = x1O = 8x1 & x1 = 6 . A keresett pont koordinátái: 30-os szöget alkot. ; K 2x1 3 K 3 O L P Q(-6; 0). A szabályos háromszög csúcsainak koordinátái: (-6; 0), b0 ; 2 3 l , b0 ; -2 3 l . J N 8 3O K4 4107. P1 b12 ; 8 3 l és a P2 K ; . Az érintôk merôlegesek egymásra. 3 OO K3 L P J N y1 4108. A normális az x tengelyt az _ x1 + p ; 0i , az y tengelyt a KK 0 ; _ x1 + piO O pontban metszi. p L P 4109. A P (x1 ; y1 ) ponthoz tartozó érintô az x tengelyt az A _- x1 ; 0i pontban, a normális a B _ x1 + p ; 0i pontban metszi. Az APB egyenlô szárú háromszög alapjának középpontja a Jp N - x1 + x1 + p p P1 _ x1 ; 0i pont. Így x1 = = . Az érintési pont koordinátái: P KK ; ! pOO . 2 2 2 L P Jp N Jp N 4110. A keresett kör áthalad a P1 KK ; pOO és a P2 KK ; - pOO pontokon, a középpontjának ko2 2 L P L P p . A P1 ponthoz tartozó ordinátái: K(u; 0). A P1 pontbeli parabolaérintô egyenlete: y = x + 2

V

574

J 3p N ; 0OO . . A normális átmegy a kör középpontján, ezért K KK 2 2 L P J N2 3 p O + y 2 = 2p2 . A kör sugara: KP1 = r = p2 + p2 , a keresett kör egyenlete: KK x 2 O L P 4111. Az egyenes érinti a parabolát, ha nem párhuzamos a tengellyel, és egy közös pontjuk _ y = mx - 2b 1 van. Oldjuk meg az egyenletrendszert. Egy közös pont csak akkor van, ha a diszky = x2 ` b 4 a rimináns 0. D = 16m2 - 32 & m = ! 2 . normális egyenlete: y = - x +

V

A parabola 3p

Két érintô létezik. Az egyenleteik: y = 2 x - 2 és y = - 2 x - 2 . 1 4112. m = . 2 1 1 4113. Két közös pont van, ha b >- , egy közös pont, ha b = , nincs közös pont, ha 4 4 1 b <- . 4 4114. b = 1. 4115. Az adott egyenessel párhuzamos parabolaérintô egyenlete y = x + b . A b paramétert _ y = - x + bb 1 egyenletrendszernek egy megoldása legyen. úgy kell megválasztani, hogy az y = x2 ` b 8 a D = 0 , 64 + 32b = 0 , b = -2 . 4116. y = x + 2 . 4117. Az adott egyenesre merôleges egyenessereg egyenlete y = 2x + b . b = -16 . Az érintô egyenlete y = 2x - 16 . 4118. a) y = 3x + 1 ; b) Az adott egyenes iránytangense -2, a rá merôleges érintô iránytan1 1 . Az érintô egyenlete: y = x + 6 . c) Az adott egyenes iránytangense m1 = 2 . Az gense 2 2 m1 - m2 2 - m2 = 1 . Két eset lehetséges. , érintô iránytangense m2. Ekkor tg 45 = 1 + m1 m2 1 + 2m2 1 1 2 - m2 2 - m2 = 1 , innen m2 = , vagy = -1 , innen m2 = -3 . Ha m2 = , akkor az érintô 3 3 1 + 2m2 1 + 2m2 egyenlete: x - 3y + 27 = 0 , ha m2 = -3 , akkor az érintô egyenlete. 3x + y + 1 = 0 . 4119. A 3x + 4y + 46 = 0 egyenletû egyenessel párhuzamos parabolaérintô egyenlete: 3x + 4y + 36 = 0 . A két párhuzamos egyenes távolsága adja meg a két ponthalmaz (egyenes és - 36 + 46 = 2. parabola) távolságát. d = 5 Y 0. 4120. a) p = 1 ; b) p = 2,5; c) Ha a = 0, akkor nincs megoldás. Legyen a = 2ac2 Y 0 és c = Y 0 , akkor p = 2 , ha b = 0 és c = Y 0 vagy b = Y 0 és Ha b = c = 0, akkor p ! R , ha b = b c = 0 , akkor nincs megoldás.

575


4121. A P pont koordinátái: P (x1 ; y1 ) , ekkor a Q pont koordinátái: Q _- x1 ; 0i . Pitagorasz té-

telét alkalmazva _2x1i + y12 = 24 2 . Mivel y12 = 28x1 , ezért egyszerûsítés után: x12 + 7x1 - 144 = 0 . 2

Mivel x1> 0 , azért az egyenletnek csak a pozitív gyöke felel meg. x1 = 9 . Ekkor y1 = ! 6 7 . Két érintôt kapunk. 7 x - 3y + 9 7 = 0 és 7 x + 3y + 9 7 = 0 . J8 N 7 1 7 4122. P1 KK ; 2OO , P2(14; 7). Az érintôk egyenletei: y = x + 1 és y = x + . Innen 7 8 4 2 L P 7 1 7 1 8 4 m1 = , m2 = és tg ~ = , ~ = 27,1 . 8 4 7 1 1+ $ 8 4 J8 N 4123. Az A KK ; 0OO és a B(14; 0) pontok a parabola belsô tartományába esnek F(0,875; 0). 7 L P J8 N Ezekre a pontokra nincs megoldás. Az A KK ; 2OO és a B(14; 7) pontok rajta vannak a parabolán. 7 L P 7 1 14 7 1 20 ; m1 = , m2 = . tg ~ = , ~ = 27,1 . Az érintôk egyenletei: y = x + 1 és y = x + 8 4 4 8 4 39 J 9N Az érintôk metszéspontja: M KK 4 ; OO . 2 L P 4124. A fókuszon átmenô m = 3 iránytangensû egyenes egyenlete: y = 3 x - 3 3 . Ez az egyenes a parabolát a P1 b1; 2 3 l és a P2 b9 ; 6 3 l pontokban metszi. A P1 és a P2 pontokban a parabola érintôinek egyenlete: 3x + 3y + 3 = 0 és 3x - 3y + 9 = 0 , ~ = 60 .

4125. Az y = x + b egyenletû egyenes érinti az y = x 2 + 1 egyenletû parabolát, ha b = y 2 = x - 1 egyenletû parabolát, ha b = sek távolsága:

3 3 4

3 4

. Az y = x +

3 4

és az y = x -

3 4

3 4

, az

egyenletû egyene-

.

4126. a) Oldjuk meg az

(1) (2)

y = x2 + x 4 egyenletrendszert. y - 8y + 12x = 0 2

(3) ` x 2 + xj - 8 ` x 2 + xj + 12x = 0 . Rendezve a (3)-as egyenletet: x ` x 3 + 2x 2 - 7x + 4j = 0 , 2

(4) x _ x - 1i` x 2 + 3x - 4j = 0 . (4) egyenletbôl: x1 = 0 , x2 = 1 , x3 = -4 . A parabolák közös pontjainak koordinátái: P1(0; 0), P2(1; 2), P3(-4; 12). J J N N 5 + 1O 5 +1 5 - 1O K 5 -1 K ;; b) P1(2; 2), P2(-1; -1), P3 K OO , P4 KKOO ; 2 2 2 2 K L L P P J J N N 5 1 3 5 5 + 1 3 + 5 K K O O ; ; c) P1(0; 0), P2(1; 1), P3 K OO , P4 KKOO ; 2 2 2 2 K L L P P d) P1(0; 0), P2(1; 1), P3(2; 4); e) P1(0; 0), P2(1; 1), P3(2; 4), P4(-3; 9).

V

576

A parabola

4127. a) Mivel y = x 2 , azért x 4 = 2x ; P1(0; 0), P2 b3 2 ;

4 l . b), c) Nincs közös pont. J N p 2 O K p . d) P K ; ! 2 OO K4 L P 4128. A parabolák egyenletei: y 2 = 8x és y 2 = -8x + 16 . P1 b1; 2 2 l , P2 b1; -2 2 l .

4129. Az adott parabola egyenlete: y 2 = 10x . Innen

V

p

3

5

, a vezéregyenes egyenlete J N J 5 N 5 5 x = - . A másik parabola tengelypontja: T KK ; 0OO , a fókusza F KK- ; 0OO , a paramétere 2 2 2 L P L P J N J N 5 5 5 6 K O p = 10 , egyenlete y 2 = -20 KK x - OO . A közös pontok: P K ; ! . 2 3 OO K3 L P L P 4130. A P(9; 2) ponton átmenô egyenessereg paraméteres egyenlete y - 2 = m (x - 9) , y = mx - 9m + 2 , ahol m ! R . Az m értékét úgy kell meghatározni, hogy y = mx - 9m + 2 az 3 egyenletrendszernek pontosan egy megoldása legyen. Az egyenlet36y = x 2 2 1 rendszerhez tartozó diszkrimináns: D = 36 2 m2 - 4 $ 36 (9m - 2) = 0 , ha m1 = , m2 = . Az 3 3 érintô egyenlete: 2x - 3y - 12 = 0 , vagy x - 3y - 3 = 0 . 4131. A(2; -4) pontban az érintô egyenlete: x + y + 2 = 0 , a (12,5; -10) pontban az érintô egyenlete: 2x + 5y + 25 = 0 . 4132. a) P (4 ; ! 3) ; b) (2 ; ! 6) . 4133. F(4; 0). Az y 2 = 16x , (x - 4)2 + y 2 = 169 egyenletrendszerbôl P1 (9 ; 12) , P2 (9 ; -12) . 2 J9 N J J 73 N2 9 9N 4134. F KK ; 0OO . Az y 2 = x , KK x - OO + y 2 = KK OO egyenletrendszerbôl P (8 ; ! 6) . A ten8 2 8 8 L P L P L P gelypont T(0; 0). TP = 10 egység. 4135. Az x 2 + y 2 = 9 , y = ax 2 - 5 egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van, ha 1 1 1 a1 = , a2 = . A parabola egyenlete: y = x 2 - 5 ; a2 értéke nem felel meg. 2 18 2 4136. Az y 2 = 2px , (x - 11)2 + y 2 = 40 egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van, ha p = 20 , vagy 2. A feladatnak a p = 2 felel meg. y 2 = 4x , E (9 ; ! 6) . 4137. A parabola az x tengelyt az A(-5; 0) és a B(5; 0) pontokban metszi. A keresett kör egyenlete: x 2 + (y - v)2 = 132 . Mivel a kör átmegy az A és a B pontokon, azért 25 + v2 = 169 , v = -12 ( v = 12 nem felel meg.) A kör és a parabola közös pontjai A(-5; 0), C(-12; -17), D(12; -17), B(5; 0). Az ABCD négyszög trapéz, a területe: t = 289 területegység. 2

=

2

4138. A parabola és a kör közös pontjainak koordinátái: A(0; 0), B b 3 ; 3l , C b- 3 ; 3l . Az ABC háromszög területe: t =

2 3 $3

= 3 3 területegység. 2 4139. Az y = -2x egyenletû egyenes és az y = x 2 + 2x egyenletû parabola közös pontjai K1(0; 0), K2(-4; 8). Két megoldás van: K1(0; 0), K 1 P = r1 = 13 , x 2 + y 2 = 13 . K2(-4; 2). K 2 P = r2 = 37 , (x + 4)2 + (y - 8)2 = 37 .

577


4140. A parabola egyenlete: y + 3 == (x - 1)2 . Az

y + 3 = (x - 1)2 4 egyenlet(x + 2) + (y - 1)2 = 25 2

rendszerbôl: (1) x 4 - 4x 3 - x 2 + 16x - 12 =0. x = 1 gyöke az (1)-es egyenletnek, ezért (x - 1) $ P (x) = 0 alakban írható. x 4 - x 3 - 3x 3 + 3x 2 - 4x 2 + 4x + 12x - 12 = 0 . Innen (x - 1) x 3 - (x - 1) $ 3x 2 - (x - 1) 4x + 12 (x - 1) = 0 . (2) (x - 1)( x 3 - 3x 2 - 4x + 12) = 0 . Hasonló meggondolással a (2)-es egyenlet is továbbalakítható. (x - 1)( x - 2)( x 2 - x - 6) = 0 . A parabolának és a körnek négy közös pontja van. P1(-2; 6), P2(1; -3), P3(2; -2), P4(3; 1). 1 4141. A kör egyenlete (x + 2)2 + (y - 3)2 = 25 . A parabola paramétere p = , tengelypontja 2 T(-2; -10), az egyenlete y + 10 = (x + 2)2 . A kör és egyenes közös pontjai (1; -1), (-5; -1), (2; 6), (-6; 6). A közös pontok trapézt feszítenek ki. A területe: 49 területegység. 4142. A parabola P (x1 ; y1 ) pontbeli érintôjének egyenlete: x1 x = (y + y1 ) , az érintô normálx1 x - 3y - 3y1 = 0 . A parabola érintôje érinti az x 2 + y 2 = 16 egyenletû kört, ha egyenlete: x12 + 9 x1 $ 0 - 3 $ 0 - 3y1 x12 + x12 =

= 4 . Innen 9y12 = 16 (x12 + 9) . De x12 = 6y1 , tehát 3y12 - 32y1 - 48 = 0 . Mivel

9

6y1> 0 , azért y1 = 12 és x1 = ! 6 2 . Két közös érintô létezik, az egyenleteik:

y = ! 2 2 x - 12 .

4143. A parabola és a kör metszéspontjai: P1b2 ; 2 3 l , P2 b2 ; -2 3 l . A P1 pontban az érintôk egyenletei: 2x + 2 3 y = 16 ; 2 3 y = 3 (x + 2). A hajlásszög 70,9. 4144. A P (3p; 0) pont körül rajzolt r sugarú körnél az r-et úgy kell megválasztani, hogy az y 2 = 2px 4 egyenletrendszernek x-re egyetlen gyöke legyen. (x - 3p)2 + y 2 = r 2 x 2 - 4px + 9p2 - r 2 = 0

&

D = 16p2 - 4 `9p2 - r 2j = 0

& r 2 = 5p2 .

Ekkor x = 2p . A három-

szög Q, R csúcsainak koordinátái Q(2p; 2p), R(2p; -2p). A PQR háromszög területe: t = 2p2 .

4145. A téglalap parabolára illeszkedô csúcsainak koordinátái: b x ; ! 2px l , ahol 0 < x < a. A téglalap területe: T = 2 (a - x) 2px . Innen

T2

= 2x (a - x)( a - x) . Ha

T2

maximális, ak4p 4p kor T is maximális. A három pozitív tényezô összege állandó (2a). Ezért a mértani és a számtani közepekre vonatkozó egyenlôtlenség szerint a szorzatuk akkor maximális, ha a tényezôk a 4a 2ap . egyenlôk. 2x = a - x , ha x = . A maximális terület: Tmax= 3 3 3

V

A parabola és az egyenes, a parabola és kör kölcsönös helyzete

Recommend Documents