A működő avagy kinematikai szögekhez

A működő – avagy kinematikai – szögekhez A szerszámok síkbeli, a szerszám fő forgácsolóélére merőleges metszetben értett α , β, γ, δ jellemző szögei: a statikus ( nyugalmi ) szögértékek – ld.: [ 1 ] ! –, melyek egy feltételezett mozgásirányon alapulnak. Az 1. ábra esetében a szerszámtest haladó mozgásának v sebességét tételezzük fel, a 2. ábránál pedig a szerszámtest forgó mozgásának v kerületi sebességét vesszük a szögmeghatározás alapjául.

1. ábra Forrása: [ 2 ]

2. ábra Forrása: [ 3 ]

A két ábra közös vonása, hogy az α ( és δ ) szögek egyik szára a szerszám valamely élpontjában a v sebességgel párhuzamos, ill. egybeeső, azzal ellentétes irányítású félegyenes. A továbbiakban a forgó főmozgású szerszámok egy fontos esetében, az egyszerűbb maró-, ill. gyaluszerszámok esetében vizsgáljuk meg az összetett forgácsoló mozgás során fellépő kinematikai – avagy látszólagos – jellemző szögek kialakulásának és meghatározásának módját. Ezek a szögek már nem a feltételezett, hanem a tényleges mozgásirány ismeretében határozandók meg. Ez azért lényeges tudnivaló, mert a szerszám valójában a mozgó – avagy működő – szögeket „érzékeli”, melyek alakulása fontos a forgácsoló technológia szakszerű, sikeres kivitelezése céljából. Tudjuk például, hogy az α hátszög megléte a hátlapnak a munkadarabon való súrlódását, ezáltal a káros hőfejlődés fellépését és az anyagok nemkívánatos „hőkezelésének” kialakulását akadályozza meg. Ha a szerszám gyári, azaz statikus hátszöge a forgácsoló mozgás során lényegesen lecsökkenhet, akkor ez a szerszám és a munkadarab károsodásához vezethet. Ez már elegendő ok arra, hogy a jelenséget alaposabban is megvizsgáljuk.

2

A geometriai viszonyokat a 3. ábra szemlélteti.

vf = v + e

3. ábra A 3. ábra egyik fő mondanivalója, hogy a jellemző kinematikai szögek viszonyítási alapja már nem a v élkörsebesség, hanem a vf forgácsolási sebesség hatásvonala. Az ábra szerint:

1    ; 1    , ahol α1: a kinematikai hátszög; γ1 : a kinematikai homlokszög; η : a hatásirány- szög – ld.: [ 3 ]! Most határozzuk meg η - t! Az ábra jelöléseivel:

(1) (2)

3

QT ; TP1

(3)

QT  e  sin ;

(4)

tg  majd

továbbá

TP1  v  e  cos ;

(5)

ezután ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ) - tel:

tg 

e  sin  , v  e  cos 

(6)

vagy kissé átalakítva:

e  sin  v tg  . e 1   cos  v

(7)

Innen:

 e    sin   .   arctg  v e 1   cos     v

(8)

Folytatva: ( 1 ) és ( 8 ) - cal:

 e    sin    1    arctg  v e 1   cos   ;   v

(9)

majd ( 2 ) és ( 8 ) - cal:

 e    sin   . 1    arctg  v 1  e  cos     v

( 10 )

Még adjuk meg a φ változó érték - tartományát! A 3. ábra alapján:

cos  max  innen:

R H H 2H  1  1 , R R D

( 11 )

4

 2H   max  arccos 1 .  D 

( 12 )

Most már felírhatjuk, hogy

 2H  0     max  arccos 1  .  D 

( 13 )

Most határozzuk meg a forgácsolási sebesség nagyságát is! A 3. ábra szerint, Pitagorász - tétellel:

v f2   v  e  cos    e  sin   ; 2

2

( 14 )

átalakítások után:

v 2f  v 2  2  e  v  cos   e 2 .

( 15 )

( 15 ) - ből kiemeléssel:

2    e e v  v  1  2   cos      ;  v  v   2 f

2

( 16 )

végül gyökvonás után:

 e 2 e vf  v  1  2   cos     .  v  v

( 17 )

Most nézzük meg, hogyan alakulnak képleteink abban az esetben, ha

e  1! v

( 18)

Ekkor ( 8 ) - ból:

e    arctg   sin ;  v 

( 19 )

felhasználva, hogy | x | << 1 esetén fennáll az arctg x ≈ x összefüggés – ld. pl.: [ 4 ] – , kapjuk, hogy

e    sin . v

( 20)

Nézzük, mekkora lesz ηmax! A ( 20 ) képletből:

e  max   sin  max . v

( 21 )

Ehhez fejezzük ki sinφmax - ot, ( 11 ) segítségével is!

 2H   1  1   ;  D  2

sin  max  1  cos  max 2

rendezve:

( 22 )

5

sin  max

2   H  H 2  2H  2H     1  1  2       4       ,  D  D     D  D  

( 23 )

vagyis

sin  max  2 

H  H   1  . D  D 

( 24 )

Most vegyük még figyelembe, hogy a szokásos gyakorlati esetekben fennáll, hogy

H  1, D

( 25 )

így ( 24 ) és ( 25 ) - tel:

H . D

sin  max  2 

( 26 )

Most ( 21 ) és ( 26 ) - tal:

e H max  2   . v D

( 27 )

Ne feledjük, hogy a ( 27 ) szerint kiszámolt szög még radiánban van, ezért átszámoljuk fokra:



 max

180 180 e H  max   2   .   v D

( 28 )

Most ( 1 ) és ( 28 ) - cal:

1,min    

 max

180 e H    2   ;  v D

( 29 )

( 20 ) - ból is láthatóan:

min  0, ha  =0,

( 30 )

így ( 1 ) és ( 29 ) - cel:

1,max   , ha  =0.

( 31 ) A ( 29 ) képlet akár ellenőrzésre, ill. a paraméterek tervezésére is használható lehet; pl.: egy

1,min  1meg

( 32 ) alakú követelmény támasztásával, ahol α1 : egy megkövetelt , legalsó hátszög - érték, amely a technológia igényei szerint adandó meg. A fentiekhez hasonlóan, ( 2 ), ( 28 ) és ( 30 ) - cal: meg

1,max    

 max

180 e H    2   ;  v D

( 33 )

6

1,min    0  .

( 34 )

Most nézzük a metszőszögek alakulását! Meghatározás szerint:

    ,

( 35 )

továbbá a 3. ábra szerint is

1  1   .

( 36 )

Ezután ( 1 ), ( 35 ), ( 36 ) - tal:

1  (  )    (  )      .

( 37 )

Majd ( 37 ) és ( 30 ) alapján:

1,max     min    0  ;

( 38 )

hasonlóan ( 37 ) és ( 29 ) szerint:

1,min   

 max

180 e H    2   .  v D

( 39 )

Egy

1,min  1meg

(40) alakú korlátozással képleteink ellenőrzésre, ill. tervezésre is alkalmasak lehetnek. Most térjünk rá a forgácsolósebesség nagyságát megadó képlet taglalására! ( 18 ) fennállása esetén írható, hogy

 e     0;  v  2

( 41 )

ezután ( 17 ) és ( 41 ) - gyel:

e v f  v  1  2  cos  ; v most alkalmazzuk az | x | << 1 esetén fennálló

( 42 )

1 1  x  1   x összefüggést 2

– ld. pl.: [ 4 ] – ( 42 ) - re:

  e v f  v  1   cos   v  e  cos .   v

( 43 )

A szélső értékek, ( 43 ) szerint:

v f ,max  v  e,

( 44 )

 2H  v f ,min  v  e  cos  max  v  e  1  .  D 

( 45 )

Vegyük észre, hogy a ( 44 ) összefüggés pontos, ahogyan az pl. ( 15 ) - ből is kiolvasható. Érdekes lehet a jellemző szögek és a forgácsolósebesség nagyságának változása.

7

A jellemző kinematikai szögek nagyságának változása:

1  1,max 1,min    ( max )  max ;

( 46 )

1  1,max  1,min  (   max )    max ;

( 47 )

1  1,max 1,min    ( max )  max ,

( 48 )

azaz ( 46 ), ( 47 ), ( 48 ) és ( 28 ) szerint:

1  1  1  

 max



 max

180 180 e H  max   2   . ( 49 )   v D

A forgácsolósebesség nagyságának változása:

v f  vf ,max  v f ,min  (v  e)  (v  e  cos  max )  e  (1  cos  max ); ( 50 ) most ( 50 ) és ( 11 ) - gyel:

  2H    e  2H . vf  e  1  1    D  D

( 51 )

Figyelembe véve ( 25 ) - öt is, ( 51 ) alapján írhatjuk, hogy

vf  e.

( 52 )

Az alábbiakban két mintapéldát számolunk végig, valóság - közeli adatokkal. 1. Példa A keményfát forgácsoló, keményfém lapkás marószerszám élkörátmérője 140 mm, fordulatszáma 3500 1 / min, hátszöge 15°, élszöge 55°. A munkadarab előtolási sebessége 12 m / min nagyságú, a fogásmélység 2,0 mm. Határozzuk meg a szerszám ~ élkör - sebességének nagyságát; ~ forgácsolósebességének, ~ kinematikai jellemző szögeinek legnagyobb és legkisebb értékét, ezek eltérését! Megoldás Adott: D = 140 mm; n = 3500 1 / min; e = 12 m / min; H = 2 mm; α = 15°; β = 55°.

Keresett: v; vf,min; vf,max; Δv;  α1,min; α1, max; γ1,min; γ1,max ; δ1,min; δ1,max ;  max .

8

a.) A szerszám élkör - sebességének nagysága:

v  D  n  0,14 m 

3500  25,656 m / s ; 60 s

v  25,656 m / s . b.) A forgácsolósebesség legnagyobb értéke:

12m  60s  25, 656 m / s  0, 2 m / s  25,856 m / s ; vf ,max  v  e  25, 656 m / s 

vf ,max  25,856 m / s . c.) A forgácsolósebesség legkisebb értéke:

2H 2  2 mm  1  1  0,0286  0,9714; D 140 mm 2H   0, 0286; D

cos  max  1

1  cos  max

v f ,min  v  e  cos  max  25, 656 m / s  0, 2 m / s  0,9714  25,850 m / s; v f ,min  25,850 m / s . d.) A b.) és c.) eredmények eltérése:

v f  e 

2H  0, 2m / s  0, 0286  0, 00572 m / s  0, 006 m / s ; D

v f  0, 006 m / s . e.) A kinematikai hátszög legnagyobb értéke:

1,max    15 ; 1,max  15. f.) A kinematikai hátszög legkisebb értéke:

180 e H 360 0, 2 m / s 2 mm   2       0,1068  0,11 ;  v D  25,656 m / s 140 mm 1,min   max  15  0,11  14,89 ;  max

9

1,min  14,89. g.) A kinematikai homlokszög legkisebb értéke:

1,min    90      90  15  55   20 ; 1,min  20.

h.) A kinematikai homlokszög legnagyobb értéke:

1,max     max  20  0,11  20,11 ; 1,max  20,11. i.) A kinematikai metszőszög legnagyobb értéke:

1,max        15  55  70 ; 1,max  70. j.) A kinematikai metszőszög legkisebb értéke:

1,min    max  70  0,11  69,89 ;

1,min  69,89. k.) A jellemző szögek mozgásbeli változásának nagysága:

1  1  1  max  0,11.

2. Példa Az 1. példa adatai alapján vizsgáljuk meg, hogy milyen feltételek mellett érné el a kinematikai és a statikus hátszögek közti eltérés a ξα = 1 % - os értéket! Megoldás Definiáljuk a ξα szögeltérési százalékot!

1  1 max   100  100   100,    ahol felhasználtuk ( 49 ) - et is. Részletezve:

(a)

10

360 100 H  e           1.   D  v 

(b)

Most az e / v arányt keressük, a többi adat változatlan értékét feltételezve. Behelyettesítve az ismert adatokat:

360 100 2 mm  e       1 , 15  140 mm  v 

(c)

azaz

e 91,309     1 ,  v 

(d)

vagy

 e     1 .  v  91,3 2

(e)

Minthogy a 1. példában  e     1 ,  v  128,3 1 ezért az e / v arányt az

(f)

 e  1    v 2 128,3 91,3    1, 4  e  1 91,3    v  128,3 1

(g)

szorzóval növelt értékre kellene emelni, hogy a 2. példában előírt feltétel teljesüljön, vagyis hogy a statikus és a kinematikai hátszögek közti eltérés elérje az 1 % - ot.

Megjegyzések: M1. Az 1. példa adatai esetén a forgácsolósebesség és a jellemző szögek mozgásbeli változása jelentéktelen, gyakorlatilag elhanyagolható. Ez ( 18 ) fennállása miatt van így. Minthogy a faipari gyakorlatban ez a jellemző helyzet, a tan - és szakkönyvek nem is foglalkoznak az ettől eltérő esetekkel. Ez azt a véleményt szülheti, hogy az eltérő esetek csak elméletileg lehetnek érdekesek. Gondoljuk végig! M2. Itt csak az ellenirányú forgácsolás esetével foglalkoztunk. Fontos, hogy az Olvasó megválaszolja a következő „találós” kérdést! Hogyan lehet szó a 3. ábra szerinti esetben ellenirányú forgácsolásról, miközben az e előtolási sebesség és a v élsebesség - vektorok egyállásúak, az élkör legmélyebb pontjában?

11

Felhasznált irodalom: [ 1 ] Bali János: Forgácsolás Tankönyvkiadó, Budapest, 1988 [ 2 ] Lugosi Armand: Faipari szerszámok és gépek kézikönyve Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987 [ 3 ] Lugosi Armand ( szerk. ): Faipari kézikönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976 [ 4 ] I. N. Bronstejn – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963

Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2008. 04. 16.