1
Egy kinematikai feladat Valami geometriai dologról ötlött eszembe az alábbi feladat – 1. ábra.
1. ábra Adott az a és b egyenes, melyek α szöget zárnak be egymással. A b egyenesre ráfektetünk egy d hosszúságú merev rudat, úgy, hogy egyik vége a két egyenes A0 metszéspontjára illeszkedik. Ezután a rudat mozgásba hozzuk: A végpontja az a egyenesen, B végpontja a b egyenesen halad, amíg tud. Írjuk le a rúd mozgását! Az 1. ábrán feltüntettük a rúd végpontjainak sA és sB elmozdulását, vA és vB sebességét, valamint φ szögelfordulását és ω szögsebességét is. Az 1. ábra alapján közvetlenül felírhatók az alábbi összefüggések. (1) innen pedig: (2) A szögsebesség kifejezése ( 1 ) idő szerinti differenciálásával: (3) mivel (4)
2
így ( 3 ) és ( 4 ) szerint: innen pedig: (5) Felhasználva, hogy itt (6) ( 5 ) és ( 6 ) - tal: (7) Most ( 1 ) és ( 7 ) szerint: tehát:
(8)
A ( 2 ) és ( 8 ) képletek adják a rúd szögelfordulásának és szögsebességének kifejezését az sA elmozdulás függvényében. Ismét az 1. ábra alapján írhatjuk, hogy innen: (9) Most ( 1 ), ( 6 ) és ( 9 ) - cel: ( 10 )
A vA sebesség vA skalárja ( 9 ) idő szerinti differenciálásával: ( 11 ) majd ( 1 ), ( 4 ) és ( 11 ) - gyel:
3
( 12 ) ezután ( 8 ) és ( 12 ) - vel:
tehát: ( 13 )
A ( 10 ) és ( 13 ) képletek a B rúdvégpont elmozdulását és sebességének skalárját adják meg az sA elmozdulás függvényében.
Megjegyzések: M1. A vB mennyiség kiszámítása közvetlenül ( 10 ) idő szerinti differenciálásával így alakul:
mint ( 13 ) - nál.
4
M2. E feladat lehetőséget ad egy érdekes és fontos tétel bemutatására is. Az 1. ábra alapján: innen: ( 14 ) Ezt az idő szerint differenciálva: ( 15 ) ezután ( 5 ) és ( 15 ) - tel: tehát:
( 16 ) Utóbbit átrendezve: ( 17 ) Szavakban: a síkmozgást végző egyenes merev rúd pontjai sebességeinek tengelyirányú ( rúdirányú ) komponensei egymással egyenlő ( ) nagyságúak – v.ö.: [ 1 ]. Ezt szemlélteti a 2. ábra is.
2. ábra A mondottak szerint az 1. ábrán vB nyila a rajzolttal ellentétesre választandó!
5
A C pont a rúd pillanatnyi forgáspontja, momentán centruma. A rúd egyes pontjai sebes ségének nagysága az ettől mért távolsággal arányos mennyiségek: ( 18 ) M3. Az A pont vA sebességének vA nagyságát tetszőlegesen felvehetjük; pl.: ( 19 ) Ekkor – ha t = 0 - nál sA = 0 – : ( 20 ) A mozgás során is az AB = d kapcsolat fennáll. Azután a rúd megáll, hiszen nyújthatatlan. Minthogy a négyzetgyökös mennyiségeinkre kirótt feltétel, hogy a gyökjel alatt nem negatív szám állhat csak, így kell, hogy ( 21 ) Megemlítjük, hogy a ( 16 ) - ból is következően: ( 22 ) A mozgás T időtartama ( 20 ) és ( 21 ) szerint: ( 23 ) M4. Írjuk át a ( 13 ) képletet egy másik alakba, ( 1 ) és ( 2 ) - vel is!
tehát: ( 24 ) Ezt más képletekkel is megtehetjük – ld. alább! M5. Egy számpéldán mutatjuk be képleteink működését. Adatok: α = 45° , d = 1 m , vA = 0,1 m / s . A szögelfordulás függvénye ( 2 ) - vel és ( A ) - val:
(A)
6
( S1 ) Az ( S1 ) függvényt a 3. ábra mutatja.
3. ábra A B rúdvégi elmozdulás függvénye ( 2 ) és ( 9 ) szerint: .
( 25 )
Most ( 25 ) és ( A ) - val: ( S2 ) Az ( S2 ) függvényt az 4. ábra mutatja.
7
4. ábra A rúd szögsebességének függvénye ( 2 ) és ( 5 ) - tel: ( 26 )
Majd ( 26 ) és ( A ) - val: . Az ( S3 ) függvényt a 5. ábra mutatja.
( S3 )
8
5. ábra A B rúdvégi sebesség függvénye ( 24 ) és ( A ) - val:
( S4 ) Az ( S4 ) függvényt a 6. ábra mutatja. Némiképpen meglepő fejlemény, hogy a B rúdvég a mozgás vége felé már nem balról jobbra, hanem jobbról balra mozog, vagyis vB előjelet váltott menet közben. Megemlítjük, hogy ( 2 ) és ( 16 ) szerint: ( 27 )
Most ( 27 ) és ( A ) - val: ( S5 ) Az ( S5 ) függvényt a 7. ábra mutatja.
9
6. ábra
7. ábra
10
Látjuk, hogy a 6. és a 7. ábra megegyezik, vagyis vB kétféle függvénye ugyanazt adja. A két különbözőnek látszó függvény azonos átalakításokkal egy alakra hozható. Most rakjuk össze magunkban a mozgás folyamatát, grafikonjainkat is segítségül hívva! Ehhez tekintsük a 8. ábrát is!
8. ábra Itt az 1 másodpercenként adódó rúd - helyzeteket tüntettük fel. A teljes mozgás időtartama ( 23 ) szerint: ( S6 ) M6. Amíg a vA sebesség nagyságáról, addig a vB sebesség skaláris értékéről beszéltünk. Láttuk, hogy vA nem vált előjelet, tehát nagysága – vektorának abszolút értéke – és skalárja megegyezik.
11
M7. A 8. ábra készítéséhez felhasználtuk a B végponti x - koordináta időfüggvényét is, ami – az 1. ábráról leolvashatóan – a ( 19 ) szerinti esetben az alábbi: ( 28 ) M8. Most határozzuk meg a momentán centrum pályáját is! Ehhez térjünk vissza a 2. ábrához! Vegyünk fel egy A0 kezdőpontú, a b egyenessel egy beeső x - tengelyű A0 x y derékszögű koordináta - rendszert! A C momentán centrum koordinátáira közvetlenül írhatjuk, hogy ( 29 ) ( 30 ) ( 29 ) és ( 30 ) négyzetösszegének képzésével: ( 31 ) Eszerint a C momentán centrum egy A0 középpontú, R = d / sinα sugarú köríven mozog. Az ( A ) adatokkal készült a 9. ábra.
9. ábra
12
M9. [ 1 ] - ben megvizsgálják az α = 90° speciális esetet. Itt megemlítik, hogy eredmé nyeik abban az esetben is érvényesek, amikor az A és B pontok egyenes pályája nem derékszögben hajlik egymáshoz. Az eredmények között vannak az alábbiak is: ~ az álló pólusgörbe kör, melynek sugara – itteni jelöléseinkkel – d, középpontja pedig az a és b egyenesek metszéspontja; ~ a mozgó pólusgörbe is kör, melynek sugara R = d / 2, középpontja pedig az AB szakasz felezőpontjában van. Mi a 9. ábrán az álló pólusgörbét rajzoltuk meg. Ezen gördül le belülről az r = d / ( 2 sinα ) sugarú mozgó pólusgörbe, a merev rúd mozgása során. M10. A 10. ábrán egy másik felvétellel éltünk: α = 26,6°. Azt is láthatjuk, hogy a mozgás kezdetén ( piros kör ), a mozgás folyamán ( lila és sárga kör ), valamint a mozgás végén ( bordó kör ) hol helyezkedik el a mozgó póluskör a ( kék ) álló póluskörön. A mozgó rúd A2B2 helyzetében: vA2 = d ω2 , vB2 = 0 .
10. ábra M11. A mozgó póluskör néhány adatának meghatározása a 11. ábra szerint is lehetséges.
13
11. ábra A szögek megjelölésénél felhasználtuk az ugyanazon köríven nyugvó kerületi és közép ponti szögek között fennálló kapcsolatot is. A 11. ábráról leolvashatók az ( 32 ) ( 33 ) ( 34 ) összefüggések, ahol felhasználtuk az ( 5 ), ( 29 ) és ( 30 ) képleteket is. Továbbá a pólusvándorlás sebességére ( 5 ) és ( 31 ) - gyel írhatjuk, hogy ( 35 ) M12. A 9. és 11. ábrákat összehasonlítva látható, hogy a C momentán centrum mozgása az általánosabb esetben is egy negyed kör íve mentén történik, a C0 kezdő és a C1 végpontok között. M13. Javasoljuk az érdeklődő Olvasónak az α = 90° speciális eset önálló feldolgozását! M14. A fentiek alapján feladatunkat így is megfogalmazhatjuk: ~ adott: α , d , sA , illetve vA ; ~ keresett: φ , ω , sB , vB , T, R , r , u.
14
M15. Látjuk, hogy az egymással α szöget bezáró a és b egyeneseken mozgó A és B vég pontú, d = AB hosszúságú merev rúd mozgása leírható úgy is, hogy egy R = d / sinα sugarú körív belsejében csúszás nélkül legördül egy r = R / 2 sugarú kör, melynek d hosz szúságú húrja a merev egyenes rúd tengelye. Ekkor az A és B pontok egyenesbevezetése valósul meg. Az így megoldott egyenesbevezetési problémát Cardano problémájának, a mondott pólusgörbéket pedig kardánköröknek is nevezik – [ 1 ] . M16. Hosszas keresés után találtam rá az itteni, α ≠ 90° esetére vonatkozó feladat megoldására az általam elért szakirodalomban – [ 2 ]. Hasonló részfeladat feladását és egyes részmegoldások közlését találtam meg [ 3 ] - ban. Mindezeket az után, hogy lénye gében végeztem ezzel a dolgozattal. Az ebből kimaradt, fontosnak vélt kérdések megbe szélésére várhatóan egy kiegészítésben kerül sor.
Irodalom: [ 1 ] – Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966., 79 - 82. o. [ 2 ] – Karl Wolf: Lehrbuch der Technischen Mechanik starrer Systeme Verlag von Julius Springer, Wien, 1931., 205 - 206. o. [ 3 ] – Lawrence E. Goodman ~ William H. Warner: Dynamics Dover Publication Inc., Mineola, New York, 2001., 272 - 273. o.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2016. 03. 27.
