1
Egy geometriai szélsőérték - feladat A feladat: Szerkesztendő egy olyan legnagyobb területű háromszög, melynek egyik csúcsa az a és b féltengelyeivel adott ellipszis tetszőlegesen felvett pontja. Keresendő a háromszög másik két csúcsa, melyek szintén a görbén vannak. A megoldás: Ezt a feladatot számítással és szerkesztéssel is megoldjuk. Mivel a szerkesztéshez kiindu lásként kell egy tételt ismerni, ezért először ezt a tételt ( is ) igazoljuk a számítással. 1. megoldás: számítással Kiindulunk abból a tényből, hogy egy P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ), P3( x3 , y3 ) csúcspontokkal bíró háromszög területét megadó képlet az alábbi – [ 1 ] – : (1) Ez a képlet akkor ad a területre pozitív értéket, ha a csúcsok körüljárási iránya az óramu tató járásával ellenkező. Most az ellipszis paraméteres egyenletrendszerével a csúcspontok koordinátái: (2/1) (2/2) (2/3) Majd a ( 2 ) kifejezéseket ( 1 ) - be helyettesítve: – – – (3) átalakításokkal:
2
egy ismert trigonometriai azonosságot alkalmazva: (4) A háromszög területének ott van szélsőértéke, ahol f - nek, így a szélsőérték szükséges feltételei, minthogy a P1 pont koordinátái rögzített állandók: (5) Most ( 4 ) és ( 5 / 1 ) - gyel: azaz: ( 6 / 1) Majd ( 4 ) és ( 5 / 2 ) - vel: azaz: (6/2) Ezután a ( 6 ) egyenletekből: (7) Tekintettel a cos - függvény azon tulajdonságára, miszerint (8) így ( 7 ) és ( 8 ) - cal azt kapjuk, hogy (9) tekintettel arra a tényre, hogy háromszögről van szó: ( 10 ) Most ( 9 ) és ( 10 ) - zel a megoldás: ( 11 / 1 ) ( 11 / 2 ) Az a = 6 cm , b = 4 cm , t1 = 45° adatokkal készült az 1. ábra. Az, hogy a szélsőérték maximum, a szemlélet alapján közvetlenül belátható; ugyanis a minimális terület éppen zérus nagyságú, ami akkor állhat elő, ha a háromszög két vagy három csúcsa egybeesik, vagyis a háromszög elfajuló. Ezzel tovább nem kell foglalkoznunk.
3
1. ábra Az 1. ábrán feltüntettük a kiindulási szabályos ( zöld ) háromszöget, melynek affin képe a keresett ( piros ) háromszög. Az ellipszisbe írható maximális területű háromszög T* terü lete ( 3 ) szerint: ( 12 ) Majd ( 4 ) és ( 11 ) - gyel:
tehát: ( 13 ) Most ( 12 ) és ( 13 ) - mal: ( 14 )
Az 1. ábra piros háromszögének területe ezzel: (a)
4
2. megoldás: szerkesztéssel Valójában már ezt is elvégeztük az 1. ábrán, hiszen a P0,2 P2 és a P0,3 P3 szerkesz tések ugyanúgy történnek, mint a bemutatott P0,1 P1 , azaz a kétkörös ellipszis ~ szer kesztési előírás szerint, amit pedig a ( 2 ) egyenletek formuláznak meg. Megjegyzések: M1. A ( 14 ) eredmény még így is belátható: ~ az a sugarú körbe írható szabályos háromszög területe – egyszerű számítás után – : (b) ~ az ellipszis a kör képe egy olyan síkon, amely a kör síkjával (c) szöget zár be; ~ így azon tétel szerint, hogy egy T területű síkidom merőleges vetületének a területe: – ld. pl. [ 2 ]! – , az ellipszisbe írt háromszög területe és a körbe írt háromszög területe között fennáll, hogy: (d) így ( b ), ( c ) és ( d ) - vel: (e) ( 14 ) - gyel egyezően. M2. ( 3 ) és ( 4 ) - gyel az ellipszisbe írható háromszög terület - függvénye: ( 15 ) Ez éppen zérus, ha Ekkor a háromszög három csúcsa egybeesik, a három szög elfajult. De a terület akkor is zérus, ha csak két csúcs esik egybe, pl.: ekkor ( 15 ) - tel: (f)
5
Ezek a speciális esetek benne vannak a ( 6 / 1) (6/2) szélsőérték - feltételi egyenletekben is; hiszen ( 6 ) - tal: teljesül, ha ; teljesül, ha
(A) (B)
Az A és B speciális eseteket a 2. ábra szemlélteti.
A eset
B eset
2. ábra M3. A geometriából ismerős lehet a ( b ) eredmény. [ 3 ] - ban ez olvasható: egy adott körbe írt háromszögek közül a szabályos háromszög területe a legnagyobb. Ott ezt a tételt – és a ( b ) képlet megfelelőjét – az ittenitől eltérő úton igazolták. Ez az a tétel, amiről a bevezetőben szó volt, mint a szerkesztéses megoldás előfeltétele. Ezt itt a ( 11 ) képletek írják le. M4. Az 1. ábra tanulmányozása egyéb szerkesztési megoldásra is rávezetheti a figyelmes Olvasót. M5. Az eddigiek alapján belátható, hogy végtelen sok, maximális ( egyenlő területű ), de nem egybevágó háromszög írható az ellipszisbe.
6
Ehhez gondoljuk csak meg, hogy egy – pl. az 1. ábrán megrajzolt – legnagyobb területű ellipszis egy tetszőlegesen elhelyezett – tehát tetszőleges t1 paraméterű – szabályos há romszög merőleges vetületeként állt elő. M6. E sorok olvastán azt gondolhatja valaki, hogy „De hiszen ez nyilvánvaló!” . Ez esetben javasolható, hogy oldja meg egyedül, elsőre, tévesztés nélkül. Lehet, hogy át fogja értékelni addigi véleményét. Tévedni emberi dolog… M7. Ezen írás létrejöttét olyan valaki ( NETUDDKI ) mozdította elő, aki kerüli a nyilvá nosságot. Köszönöm Neki e feladatot – amivel e sorok írója még sosem találkozott – , valamint a javító és segítő észrevételeket.
Források: [ 1 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963. [ 2 ] – Hajós György: Bevezetés a geometriába 6. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1979. [ 3 ] – Reiman István: A geometria és határterületei Gondolat, Budapest, 1986.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2016. augusztus 10.
