1
Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról Korábban már több egyszerűbb tető - alak geometriáját leírtuk. Most egy kicsit nehezebb feladat megoldását tűzzük ki célul magunk elé. A címben jelzett kétszeres aszimmetriát úgy értjük, hogy a kétszeres szimmetriával bíró alaprajzú – téglalap ereszkörvonal ~ rajzú – tető síkjai mind eltérő hajlásúak lehetnek. A feladat: a jellemző hosszak, szögek, felszín és térfogat megadása, képletekkel. A tetőre adott: a , b ; α1 , α2 , β1 , β2 . Először rajzoljuk meg a nézeti képeket – ld.: 1. ábra!
1. ábra Ezen az ereszvonalakat kék, az ereszsíkból kiemelkedő többi vonalat pirossal rajzoltuk meg. Itt feltüntettünk néhány hossz - és szög - adatot is, melyekre a számítások, illetve az alkalmazások során szükségünk lehet. Például: ~ a C kontycsúcsba becsatlakozó konty - szarufa ( ha van ilyen ) tengelyvonala a függőlegessel δ1 nagyságú szöget zár be; ~ a nyereg - rész szarufáinak tengelyvonalai a taréjnál γ szöget zárnak be egymással.
2
Az 1. ábra síkbeli viszonyai alapján közvetlenül felírhatjuk az alábbi összefüggéseket: (1) (2) (3) Az ereszsarkoknál berajzolt szögekre fennállnak az alábbiak: (4) (5) (6) (7) Részletezve egy darabig: (8) (9) A nézeti képek alapján írhatjuk, hogy ( 10 ) ( 11 ) ( 12 ) ( 13 ) Most ( 10 ) és ( 11 ) szerint: ( 14 ) Felhasználva, hogy az 1. ábra szerint ( 15 ) ( 14 ) és ( 15 ) - tel: innen: ( 16 )
Majd ( 14 ) és ( 16 ) - tal: ( 17 )
3
Ezután ( 14 ) és ( 16 ) szerint: ( 18 )
Most ( 12 ), ( 13 ) és ( 18 ) - cal: ( 19 )
( 20 )
A taréj t hossza az 1. ábra szerint: ( 21 ) majd ( 19 ), ( 20 ) és ( 21 ) - gyel: .
( 22 )
Majd ( 8 ), ( 10 ) és ( 12 ) szerint: ( 23 ) Hasonlóan ( 9 ), ( 11 ), ( 12 ) - vel: ( 24 ) Ismét az 1. ábra felülnézeti képével: ( 25 ) majd ( 23 ), ( 24 ) és ( 25 ) szerint: ( 26 ) A teljesen hasonlóan nyerhető további képletek levezetését – pl. ψ2 ~ ét – nem részletez zük. A térbeli helyzetet a 2. ábrán szemléltetjük.
4
2. ábra Ez alapján: ( 27 ) ( 28 ) Továbbá: ( 29 ) Hasonlóan: ( 30 ) Ugyanígy: ( 31 ) Hasonlóan: ( 32 )
5
Majd az ABC háromszögből: ( 33 ) Másképpen eljárva: ( 34 ) ( 35 ) Most ( 33 ), ( 34 ) és ( 35 ) - tel: ( 36 ) Majd ( 27 ), ( 28 ), ( 29 ) és ( 30 ) - ból: ( 37 ) és ( 38 ) Az élszarufák h hosszára például írhatjuk, hogy: tehát: ( 39 )
A tető felszínét úgy határozzuk meg, hogy összegezzük a két háromszög és a két trapéz alakú tetősíkidom területét. Képlettel: ( 40 ) Részletezve: ( 41 ) ( 42 ) Most ( 40 ), ( 41 ) és ( 42 ) - vel: ( 43 )
6
Figyelembe véve, hogy ( 44 ) a ( 43 ) és ( 44 ) képletekkel kapjuk, hogy ( 45 ) Most a ( 10 ), ( 11 ), ( 12 ), ( 13 ) és ( 45 ) képletek szerint: innen: ( 46 ) Majd ( 18 ), ( 22 ) és ( 46 ) - tal:
átalakítva:
( 47 ) A ( 47 ) képlettel számíthatjuk ki a tető felszínét. Két speciális eset: S1.)
(*)
Ekkor ( 47 ) és ( * ) - gal:
tehát
( 48 ) S2.) Most ( 48 ) és (** ) - gal:
( ** ) tehát:
7
( 49 ) Ez egy jól ismert eredmény. Most rátérünk a tető térfogatának, pontosabban az ereszsík és a tetősíkok közbezárt térfogatának meghatározására. Ehhez tekintsük a 3. ábrát is!
3. ábra Eszerint a teljes tetőtérfogatot úgy is meghatározhatjuk, hogy a b magasságú hasáb térfo gatából levonjuk a b1 és b2 magasságú tetraéderek ( háromoldalú / négylapú gúlák ) térfo gatát. Képlettel: ( 50 ) Részletezve: ( 51 ) ( 52 ) Most ( 50 ), ( 51 ) és ( 52 ) - vel: tehát:
8
( 53 ) Majd ( 18 ), ( 22 ) és ( 53 ) szerint:
tehát:
( 54 )
Az ( 54 ) képlettel számíthatjuk ki a tető közbezárt térfogatát. Két speciális eset: S1.) Ekkor ( 54 ) és ( * ) - gal:
(*) ( 55 )
S2.) Ekkor ( 55 ) és ( ** ) - gal:
( ** ) ( 56 )
Most ott tartunk, hogy a fontosabb összefüggések többségét felírtuk, a tető adott paramé terei függvényében. Megeshet, hogy ezeken felül még másokra is szükség lehet; azokat a fentiek segítségével állíthatjuk elő. Esetleg más módon. Lássunk erre is egy példát – [ 1 ]! Ehhez tekintsük a 4. ábrát is!
4. ábra – forrása: [ 1 ]
9
Ezt a hivatkozott könyv „Szög merőleges vetülete” c. fejezetében találhatjuk. Eszerint az ABC ferde síkú háromszög C csúcsánál lévő φ szöge ψ merőleges vetületé nek nagyságát kívánjuk meghatározni, számítással. Ehhez az ismert tételt használjuk fel, miszerint ( 57 ) itt ω a ferde sík és a vízszintes sík hajlásszöge. A 4. ábra és ( 57 ) alapján eljárva: innen: mivel ezekkel: Átrendezve: ( 58 ) Az ( 58 ) képlet megfelelője a 2. ábra jelöléseivel, például: ( 59 ) Látjuk, hogy nem biztos, hogy jobban járunk ezzel a képlet - alakkal, mint a fentiekkel. Igaz, ez ízlés dolga is. A részletek kifejtését most már az Olvasóra bízzuk. Megjegyzések: M1. Az aszimmetrikus nyeregtető esetét már megtárgyaltuk egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Az aszimmetrikus nyeregtető alapösszefüggéseiről. M2. A szimmetrikus kontytető esetét is megtárgyaltuk már egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: A szimmetrikus kontytető adatai közötti összefüggésekről. M3. Megeshet, hogy ugyanazon eredmények a különböző dolgozatainkban más alakban jelennek meg. Ez normális. M4. Mielőtt nekilátnánk a képletek alkalmazásának, győződjünk meg róla, hogy a tényleges geometriai helyzet egyezik - e az itteni ábrák szerintivel! Ezzel kapcsolatban lásd egy korábbi dolgozatunkat is, melynek címe: A kontyolt nyeregtető - alak változása, a tetőhajlás függvényében!
10
M5. Egy további fontos és érdekes speciális eset az alábbi. S3.) Ez a téglalap alapú gúla ( sátor / torony ) alakú tető esete – 5. ábra.
( *** )
5. ábra Ekkor a felszínt és a térfogatot úgy számítjuk, hogy visszatérünk a ( 46 ) és az ( 53 ) képletekhez, melyekben érvényesítjük ( *** ) - ot. Kiírva: ( 60 ) ( 61 ) Ebben az esetben ~ ( 10 ) és ( 11 ) szerint fennáll, hogy ( 62 ) ~ ( *** ) miatt és ( 12 ), ( 13 ) szerint is fennáll, hogy ( 63 ) Most ( 62 ) és ( 63 ) - ból: ( 64 )
11
( 64 ) szerint írhatjuk, hogy ( 65 ) a ( 65 ) kapcsolat azt fejezi ki, hogy a 6 darab bemenő adat közül már csak 5 darab független, hiszen köztük fennáll a ( *** ) feltétel. A felírható sok képlet - alak közül mi itt az alábbiakat választjuk. Most ( 60 ) és ( 64 ) - gyel: tovább alakítva:
( 66 ) most m - nek ( 64 ) szerinti egyik alakját felhasználva:
tovább alakítva kapunk egy lehetséges képlet - alakot: ( 67 )
Specializációk: S 3 / 1.) Most ( 67 ) és ( **** ) szerint:
( **** )
tehát:
( 68 ) S 3 / 2.) Most ( 68 ) és ( ***** ) szerint:
( ***** )
12
tehát: ( 69 ) ismert eredmény adódik. Ezután foglalkozzunk a térfogat - számító képletekkel! Most ( 61 ), ( 62 ), ( 63 ) - mal: ( 70 ) egy másik alakban ( 62 ) és ( 70 ) szerint: tehát:
( 71 )
Specializációk: S 3 / 1.) Most ( 71 ) és ( **** ) szerint:
( **** ) tehát:
( 72 ) S 3 / 2.) Most (72) és ( ***** ) szerint:
( ***** ) ( 73 )
M6. A számítások során felhasznált, ismertnek tekintett alapképletek – például: a gúla térfogat - képlete – megtalálhatóak a matematikai kézikönyvekben; lásd pl.: [ 2 ], [ 3 ]! Ezeket érdemes időnként átismételni, akár a levezetésüket is.
13
M7. Az itt közölt képletek egyesek számára szörnyűnek tűnhetnek. Ne feledjük, hogy az volt a célunk, hogy a keresett mennyiségeket közvetlenül az adottakkal, ne pedig közbenső mennyiségekkel fejezzük ki. Például a ( 61 ) képlet igen egyszerű, a belőle előálló ( 71 ) már nem annyira. M8. A tetőépítési gyakorlat számára a hossz -, a szög - és a felszín - számító képletek a fontosabbak. A térfogatszámító összefüggések a belsőépítészeti, épületgépészeti, hőtech nikai feladatok megoldásával foglalkozó szakemberek számára lehetnek hasznosak. Meglehet, hogy „saját” szakmájuk irodalmában ők sem találják meg gyorsan a szükséges képleteket. Ez a helyzet a magyar ács szakmai irodalommal is, ami szinte nem is létezik.
Irodalom: [ 1 ] – Ja. P. Ponarin: Elementarnaja geometrija , Tom 2. Moszkva, Izdatyelsztvo MCNMO, 2006. [ 2 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv több kiadásban, Műszaki Könyvkiadó, Budapest [ 3 ] – Reiman István: Matematika Typotex, Budapest, 2011.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2015. 03. 15.
