MOZGÁSOK KINEMATIKAI LEÍRÁSA

MOZGÁSOK KINEMATIKAI LEÍRÁSA Az anyag természetes állapota a mozgás. Klasszikus mechanika: mozgások leírása •Kinematika: hogyan mozog a test •Dinamika: két részből áll:

•Kinetika: Miért mozog •Sztatika: Miért nem mozog A klasszikus mechanikának alapvető szerepe van: fogalmait, törvényeit a fizika egyéb területein is alkalmazzuk. Alapfogalmak és jelölések 1.Absztrakció: A jelenségek leírásánál egyszerűsítünk.

Példák: •

Anyagi pont: egy testet pontszerűnek tekintünk, ha méretei a vizsgált jelenségben szereplő lényeges távolságokhoz képest elhanyagolhatók. A Föld tömegpontnak számít, ha a Nap körüli keringését vizsgáljuk:

R F  6400km

rFN  150millókm

1

•

Merev test: a mozgás során nem deformálódik.

Azaz: két pontjának távolsága a mozgás során állandó AB szakasz hossza állandó: transzláció:

forgás:

A 0 B0  A' B1

A' B1  A1B1

A mozgás relatív: a mozgó pont helyét mindig egy másik ponthoz képest vizsgáljuk: 2. vonatkoztatási pont Például: a villamoson utazó ember a villamoshoz képest áll, de a házakhoz képest mozog. A vonatkoztatási pont a vonatkoztatási rendszer középpontja: (origo) Helymeghatározás: Megadjuk a mozgó tömegpont helyét a vonatkoztatási ponthoz képest minden időpillanatban az helyvektor az segítségével. r

P

A helyvektor nagysága és iránya a mozgás során változhat. 3. A mozgás matematikai leírása:

Keressük az alábbi függvényt:

r  rt

O

ami megadja, hogy a helyvektor nagysága és iránya hogyan változik az időben.

2

Szükséges fogalmak: •A pálya: A helyvektor végpontja által leírt görbe. Az a görbe, amelyen a test a mozgás során halad.

A test az adott pályán t idő alatt A pontból a B pontba jut. •A megtett út:

s

s

A test által t idő alatt befutott pályarész hossza, skalár mennyiség. •Az elmozdulás:

r

A kezdőpontból a végpontba mutató helyvektor különbsége, vektormennyiség. Görbe vonalú mozgások esetén a megtett út és az elmozdulás vektor nagysága nem egyezik meg: az előbbi a körív az utóbbi pedig a húr. Az elmozdulás vektor a helyvektorok segítségével kifejezve:

   r t  t   r t    r

ív

 s  r

A mozgás kinematikai leírása: hogyan, és milyen gyorsan változtatja a test a helyét, a mozgás hogyan zajlik le az időben: Sebesség, gyorsulás

húr

3

A SEBESSÉG ÁLTALÁNOS BEVEZETÉSE Az egyszerűbb mozgások felől indulva az általános felé ( lehetne fordítva is)

1. Egyenes vonalú egyenletes mozgás – a sebesség definíciója •Megfigyelés: Nyílt pályán mozgó autó, ha a sebességmérője áll. Esőcseppek mozgása •Kísérlet laborban: Mikola cső (buborék mozgása folyadékkal teli csőben)

•Mérés: Az elmozdulás mérése az időfüggvényében Adatvétel egyenlő t időközönként:

Összetartozó s-t adatpárok hely időpillanat

s1 t1

s2 t2

s3 t3

… …

sn

t1  t  t 2

tn 4

•Kiértékelés: s(t) függvény megadása

s-t grafikon, független változó az idő (t)

s(m)

s1 s 2 s  ....  n  állandó t1 t 2 tn

s

s2 s1

s t

t1

egyenes arányosság : az út-idő függvény lineáris: t

t2

st

t(s)

A buborék egyenlő idők alatt egyenlő utakat tesz meg, a mozgás egyenletes, a változás „gyorsasága”állandó.

A sebesség definíciója: „változási gyorsaság”

Az út-idő függvényben az arányossági tényező a sebesség: Egyenletes mozgás esetén a sebesség időben állandó:

s 2  s1 s   áll. t 2  t 1 t

s v t

Dimenziója:

v   m  s

s  v t v  áll 5

Út-idő grafikon:

s(m)

• képe a tengellyel szöget bezáró egyenes, •Az egyenes meredeksége a sebesség számértéke

s  t s(m)

t(s)

v2

Matematika: az egyenes meredeksége más néven az iránytangense, s

v

t

 tg

ahol  az egyenes vízszintes tengellyel bezárt szöge. v1

2

Nagyobb sebesség esetén az út-idő grafikon

1

t

t(s)

meredeksége nagyobb:

v 2  v1

Sebesség-idő grafikon: •Képe az időtengellyel párhuzamos egyenes

•A t idő alatt megtett út a v-t grafikonon a t időtartamhoz tartozó görbe alatti terület

t

s  v t 6

2. Egyenes vonalú, egyenletesen változó mozgás (átlagsebesség, pillanatnyi sebesség, gyorsulás) •Megfigyelés: gyorsítás-lassítás, tárgyak esése •Kísérlet laborban: szabadesés, golyó mozgása lejtőn

•Mérés: Az elmozdulás mérése az idő függvényében Adatvétel egyenlő t időközönként

t 1  t  t 2

Összetartozó s-t adatpárok hely időpillanat

s1

s2

s3

t1

t2

t3

…sn … tn 7

Kiértékelés: s(t) függvény megadása: s-t grafikon, független változó az idő:a függvény képe parabola Az út az időnek másodfokú függvénye: A mozgás nem egyenletes: s 2

A sebesség nem állandó.

s  t2

s  állandó t

Legyen k a másodfokú függvény arányossági tényezője. Az út-idő függvény ezzel kifejezve:

s  kt 2

s1 t

t1

t

Határozzuk meg k értékét!

t2

Írjuk fel a t 1 és t 2 idők alatt megtett utakat:

t1  t  t 2

s1  k  t12



s 2  k  t 22  k  t1  t



2

8

•átlagsebesség (definíció): egy adott időtartam alatt megtett út és az időtartam nagyságának hányadosa:

s v átl  t

s  s 2  s1  k(t1  t )  kt 2

2 1

s k(t1  t ) 2  kt12 k(t12  t 2  2t1t  t12 ) vátl     kt  2kt1 t t t

vátl  kt  2kt

t

t

időpillanat időtartam

Az átlagsebesség függ a mozgás időtartamától: a valódi mozgás jellemzésére csak akkor alkalmas, ha a t időtartamot csökkentjük, Így az átlagsebesség egy adott határértékhez közelít.

•pillanatnyi sebesség Ha t

0, akkor,

vátl

v pill

A matematika nyelvén: (Matematika: limes/határ):

v pill  lim t 0 v átl 9

Mi lesz, ha az időtartam minden határon túl csökken nullára?

vátl  kt  2kt

v pill  lim t 0 v átl  lim t 0

s  2kt t

A t időpillanathoz tartozó pillanatnyi sebesség

0

vpill  2kt

•nem függ az időtartamtól •Egy pontot jellemez •Az idő lineáris függvénye: egyenes arányosság

•Gyorsulás: a sebességváltozás gyorsasága

a

v pill t

 2k

m a   s   m2  s s 

Dimenziója:

Egyenletesen változó mozgás esetén a megtett út az idő négyzetes függvénye, a gyorsulás állandó.

s

Az egyenletesen változó mozgás út-idő függvénye: A kísérleti mérésekből kapott másodfokú egyenlet arányossági tényezője a gyorsulás fele:

s  kt

2

a 2 t 2

k

a 2

10

•sebesség-idő grafikon

m v  s

•A v-t grafikon képe a tengellyel szöget bezáró egyenes

v

•Az egyenes meredeksége a gyorsulás értéke v

 t

t1

t

t2

m v  s

t s 

v  áll  a t

tg  a

a t időpillanathoz tartozó pillanatnyi sebesség:

vt  a  t

vt

s t

t s 

•A mozgás során a t időpillanatig megtett út a v-t grafikon alatti terület számértéke (háromszög):

v t  t at  t a 2 s   t 2 2 2 •Gyorsulás-idő grafikon

m a 2  s 

•A grafikon képe az időtengellyel párhuzamos egyenes

a

•A t idő alatt elért pillanatnyi sebesség értéke a grafikon alatti terület

vt t t s 

11

•Sebesség-idő grafikon nem nulla kezdősebesség esetén: m v  s

A megtett út, a görbe alatti terület

v t  v0  a  t

vt

at

s2 v0

v t  v0  a  t

s1 t

s1  v 0  t

t s 

s2 

a 2 t 2

A t idő alatt megtett összes út:

s  s1  s 2

s  v0  t 

a 2 t 2

A trapéz területe alapján is számolható:

𝑇𝑡 =

𝑎+𝑐 𝑚 𝑣0∙ ∙𝑡+𝑣0 ∙𝑡+𝑎∙𝑡 2 = 2 2

1 2

=𝑣0 ∙ 𝑡 + 𝑡 2 12

3. görbe vonalú mozgások P a megtett út (körív) az elmozdulás vektor (húr)

P’

Elmozdulás vektor: megmutatja, hogy a helyvektor időben hogyan változik:

o

A megtett út nem egyezik meg az elmozdulás vektor abszolút értékével: Az átlagsebesség meghatározása: Az átlagsebesség iránya az elmozdulás vektor irányába mutat.

P

P” P’

o

a húr a P pontbeli érintő irányába megy át, ahogy az ábrán látható.

Az átlagsebesség a pillanatnyi sebességbe „megy át”, a pillanatnyi sebesség az érintő irányába mutat.

Pillanatnyi sebesség:

Az átlagsebesség határértéke, ha

A pillanatnyi sebesség helyvektor idő szerinti első deriváltja, egy idő pillanathoz tartozik. Iránya: az út-idő görbéhez az adott időpillanatban húzható érintő iránya. A differenciál hányados (derivált) általános jelentése:

F(x)

f: függvényérték x: független változó

𝐷𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 (Δ𝑓(𝑥) ) P

elmozdulás esetén a függvény megváltozása:

Δ𝑓𝑥 =𝑓(𝑥+Δ𝑥) -𝑓(𝑥) Az ábrán látható derékszögű háromszögből:

x Differenciálhányados (f’(x): Geometriai jelentés: a húrból érintő lesz (lásd az ábrát).

Egy függvény P pontbeli érintőjének iránytangense a függvény deriváltja abban a pontban. Megmondja, hogy ott a függvény milyen gyorsan változik.

Egyenletes körmozgás Periodikus mozgás: a szögfordulás egyenletesen változik az idővel.

R

A hozzátartozó út (körív): Egyenletes körmozgás esetén:

Egyenletes körmozgás esetén a szögsebesség állandó. 2.Szögelfordulás t idő alatt:

𝜑 = 𝜑0 +𝜔 ∙ 𝑡

3.Keringési idő (T): 1 teljes körbeforduláshoz szükséges idő:

4.Kerületi sebesség bevezetése:

𝑣𝑘 =𝑅 ∙ 𝜔

A kerületi sebesség nagysága állandó, de az iránya megváltozik, mindig a az adott ponthoz húzott érintő irányába mutat.

A sebesség irányának megváltoztatásához gyorsulás kell.

5.Centripetális gyorsulás: a kerületi sebesség irányát változtatja meg. A kerületi sebesség mindig érintő irányú.

A sebesség a P pontban: A sebesség a P’ pontban:

A sebesség irányának megváltoztatásához is gyorsulás kell. Gyorsulás meghatározása a PAD egyenlő szárú háromszögből (ábra): Kis szögek esetén:

Ha

A centripetális gyorsulás meghatározása: nagysága: iránya:

𝑎𝑐𝑝 = v ∙ 𝜔 = 𝑟 ∙ 𝜔2 mindig a kör középpontja felé mutat

A centripetális gyorsulás a kerületi sebesség irányát változtatja meg.

Egyenletesen változó körmozgás A szögelfordulás az idő négyzetével arányos,

Δ𝜑~𝑡 2

a szögsebesség nem állandó, a változása egyenletes.

Δ𝜔 =áll. Δ𝑡

Szöggyorsulás: a szögsebesség idő szerinti változása: :

𝜔𝑡 =𝛽 ∙ 𝑡

Kerületi sebesség: nagysága nem állandó:

𝑣𝑘 =R∙ 𝜔𝑡

a szöggyorsulással kifejezve:

𝑣𝑘 =R𝜔𝑡 = 𝑅 ∙ 𝛽 ∙ 𝑡

Kerületi (tangenciális) gyorsulás: a kerületi sebesség nagyságának idő szerinti változása: Δ𝑣

𝑎𝑡 =𝑙𝑖𝑚Δ𝑡→0 Δ𝑡 =𝑙𝑖𝑚Δ𝑡→0

𝑅Δ𝜔 =𝑅 Δ𝑡

∙𝛽

𝑎𝑡 =𝑅 ∙ 𝛽

A centripetális gyorsulás nagysága változik: 𝑎𝑐𝑝 =𝑣 ∙ 𝜔𝑡 =𝑣 ∙ 𝛽 ∙ 𝑡 Az egyenes vonalú egyenletes mozgás egyenleteihez formailag nagyon hasonlítanak, ha az elmozdulás helyett a szögelfordulást: A sebesség helyett a szögsebességet: 17 A gyorsulás helyett pedig a szöggyorsulást: használjuk.

A Kinematika általános matematikai leírása: Egy függvény P pontbeli érintőjének iránytangense szám szerint a függvény deriváltja abban a pontban.

Jelentése: a függvény változási sebességét adja meg abban a pontban.

r (t ) Elmozdulás-idő függvény esetén: •Sebesség: a helyvektor idő szerinti első deriváltja: •Gyorsulás: a sebességvektor idő szerinti első deriváltja:

v  lim t 0

r dr  v t dt

a  lim t 0

v dv   v  t dt

d v d 2 r 2  és a helyvektor idő szerinti második deriváltja: a   r 2 dt dt Az Példa:

r (t ) helyvektor folytonos, kétszer deriválható függvény kell legyen.

r (t ) 

a 2 t 2

dr a v  2 t  a t dt 2 dv a a dt

Hatványfüggvény deriválási szabálya

f ( x)  a  xn df ( x )  n  a  x n 1 dx

18