DIPLOMATERV. Porfestő robot kinematikai- és rezgésvizsgálata. Készítette: Tóth Gábor Gx2-MRB

Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Szerszámgépészeti és Mechatronikai Intézet Robert Bosch Mechatronikai Intézeti Tanszék

DIPLOMATERV Porfestő robot kinematikai- és rezgésvizsgálata

Készítette: Tóth Gábor Gx2-MRB 2013

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA

Tartalomjegyzék 1.

Bevezetés ........................................................................................................................ 1

2.

Kawasaki ZX165U robot bemutatása ............................................................................ 3

3.

A robot direkt kinematikai elemzése .............................................................................. 6 3.1.

A robot kinematikai láncának bemutatása ........................................................................ 6

3.2.

A robot Denavit-Hartenberg paraméteres leírása ............................................................. 8

3.2.1.

Koordinátarendszereinek felvétele ............................................................................ 8

3.2.2.

A Denavit-Hartenberg paraméterek értelmezése és értékei ..................................... 9

3.3.

4.

A Denavit-Hartenberg transzformáció ............................................................................. 10

Inverz kinematikai feladat [1] ...................................................................................... 14 4.1.

Az inverz kinematikai feladat szétválasztása.................................................................... 14

4.1.1.

Inverz pozíciós feladat .............................................................................................. 14

4.1.2.

Inverz orientációs feladat ......................................................................................... 18

4.2.

Tényleges csuklókoordináták ........................................................................................... 20

5.

Mozgásciklus szimuláció ............................................................................................. 21

6.

Rezgőrendszerek leírása ............................................................................................... 24 6.1.

Egyszabadságfokú, csillapítatlan, gerjesztett rezgés........................................................ 24

6.2.

Egyszabadságfokú, csillapított, gerjesztett rezgés [5]...................................................... 25

6.2.1.

Rezonancia ............................................................................................................... 28

7.

A rugó méretezése ........................................................................................................ 30

8.

Bemeneti adatok ........................................................................................................... 32 8.1.

A robot paraméterei......................................................................................................... 32

8.2.

A megfogó és a munkadarabok paraméterei ................................................................... 34

8.3.

A robotot terhelő erők és nyomatékok ............................................................................ 36

A rezgőrendszer hangolása........................................................................................... 38

9.

9.1.

A rendszer csillapítás függése .......................................................................................... 38

9.2.

Amplitúdó és erő meghatározása a kiindulási paraméterek alapján ............................... 41

9.3.

Nyomatékok meghatározása ........................................................................................... 43

10.

Az alkalmazandó rugók méretezése ........................................................................ 48

11.

Összefoglalás ........................................................................................................... 49 I


12.

Summary.................................................................................................................. 50

13.

Irodalomjegyzék ...................................................................................................... 51

II


1. Bevezetés A dolgozat egy ipari körülmények között alkalmazott Kawasaki ZX165U típusú robot dinamikai vizsgálatával foglalkozik, mely 2012 decemberében került telepítésre a Ferona kft-nél Miskolcon. A robotot használtan szerezte be a cég a gyártás részleges automatizálásához, telepítésében a Miskolci Egyetem Robert Bosch Mechatronikai Intézeti Tanszék segédkezett. A robot jelenleg egy porfestési technológia megvalósításában működik közre, alkalmazását elsősorban a munkadarabok jelentős tömege, továbbá azok magas hőmérséklete indokolja. A robot feladata a munkadarab megfogása, a festőkádhoz történő mozgatása, a festékporba merítés, majd a többletfesték eltávolítása, végül a festett munkadarab konvejorra akasztása. A dolgozatban először a robot kinematikai elemzése kerül bemutatásra, mely eredményeinek felhasználásával a robot mozgásának szimulációja is megvalósításra kerül. A kinematikai leírás fő célja a Kawasaki ZX165U ipari robot olyan részletes modellezése, amely lehetőséget biztosít később akár kisebb módosítások, akár más feladatok könnyebb implementálására ezen roboton. A dolgozat második részét képző dinamikai elemzés a robot megfogójának vizsgálatával foglalkozik. A többletfesték eltávolítását a munkadarab oldalra billentéskor megvalósított rezgetési ciklussal végzi a robot. A rezgetés egy összetett megfogószerkezettel történik, így biztosítva a felesleges festékpor eltávolítását. A többletfesték kedvezőtlenül befolyásolja a festett felület minőségét, azonban a cég számára nagyobb problémát jelent, hogy a fluidágyba merítés után a robot tovább mozog, így a felesleg előre nem tervezett helyen kerülhet le a munkadarabról. Az emelkedett festékfogyasztáson kívül az üzemben szálló finom szemcséjű festékpor mind a munkások egészségi állapotát, mind a gépek élettartamát ronthatja. A cél a megfogó paramétervizsgálatával egy olyan rezgőrendszer létrehozása, mely megoldja a festék eltávolítását, miközben egyik munkadarabtípusnál sem okoz túlterhelést a robot csuklóiban a rezgetés. Számos irodalom foglalkozik a robotok kinematikájának leírásával pl. [1], [2], és a gerjesztett rezgések leírásával is pl. [3], [4], [5]. A szóban forgó Kawasaki robot kinematikai vizsgálatát és a megfogó rezgéstani modelljét a [6], [7] irodalom tárgyalja. A dolgozat 2. fejezetében röviden bemutatásra kerül a Kawasaki ZX165U típusú robot, kiemelt figyelmet fordítva a munkaterének geometriai adataira, mely a későbbi számításokhoz szükséges. A 3. fejezet a direkt kinematikai vizsgálattal foglalkozik, és a

1

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA kinematikai modell, valamint a Denavit-Hartenberg paraméterek előállítását részletezi, majd magát a Denavit-Hartenberg transzformációt mutatja be. A 4. fejezetben az inverz kinematikai feladat kerül részletezésre. Az 5. fejezet a mozgásciklus szimuláció bemutatását tárgyalja a felépített modell alapján SCILAB szoftverben. A

dolgozat

6.

fejezetében

a

rezgőrendszerek

leírására

alkalmazott

modellek,

differenciálegyenletek és azok megoldásai kerülnek bemutatásra. A 7. fejezet a rugó méretezésének összefüggéseit ismerteti. A 8. fejezetben a Kawasaki ZX165U robot azon paraméterei kerülnek bemutatásra, melyek relevánsak a rendszer megfelelő hangolásához. A diplomaterv 9. fejezetében az adott rezgőrendszer modelljének implementálása, valamint a konkrét számítási eredmények kerülnek bemutatásra SCILAB szoftver segítségével. A 10. fejezet a beépítésre szánt rugó geometriai paramétereinek [5] alapján történő meghatározásával foglalkozik. Végül rövid tartalmi összefoglalás olvasható az elért eredményekről.

2


2. Kawasaki ZX165U robot bemutatása A diplomamunka során vizsgált ipari robot az 1. ábrán látható, hat vezérelhető koordinátával rendelkezik, melyek egyenként egy-egy csuklónak tekinthetők. A csukló egy rotációs (R – Rotation) mozgást biztosító kényszer, mely a maradék öt mozgási szabadságfokot megköti. A láncszerűen egymásra épülő csuklók így egy úgynevezett hatdimenziós ipari robotot alkotnak. Az orientációt biztosító programozható koordináták figyelmen kívül hagyásával történő [8] morfológiai csoportosítás szerint az alapozástól felépülő első három R kényszer a ZX165U ipari robotot RRR típusúnak kategorizálja.

1. ábra: Kawasaki ZX165U ipari robot [9]

3

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA A robot maximális terhelhetősége [10] alapján 165 kg, horizontális irányú maximális kinyúlása 2651 mm, a vertikális irányú pedig 3415 mm. Ismétlési pontossága 0,3 mm, legnagyobb sebessége 2500 mm/s. A robot munkatere, valamint annak geometriai méretei a 2. ábrán láthatók.

2. ábra: A Kawasaki ZX165U munkatere [10] Az egyes csuklók maximális szögelfordulása a robot fizikai felépítésből adódóan nem lehet tetszőleges.

Biztonsági

szempontból

az

egyes

csuklók

által

megvalósítható

mozgástartomány természetesen szoftveresen nagyobb mértékben korlátozott, mellyel elkerülhető a robot önmagába ütközése még nagy dinamikus terhelések esetén is. A robot mind a hat csuklójának (tengely) szögelfordulási tartományát és maximális elfordulási mozgatási sebességét az 1. táblázat tartalmazza.

4

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA Tengely

Mozgástartomány [°]

Maximális sebesség [°/s]

JT1

±180

110

JT2

+75…-60

110

JT3

+250…-120

115

JT4

±360

140

JT5

±130

155

JT6

±360

260

1. táblázat: A tengelyek mozgási és sebességi korlátai [10]

5


3. A robot direkt kinematikai elemzése A fejezetben a dolgozat tárgyát képező robot direkt kinematikai leírásának ismertetésére kerül sor. Kinematikai elemzéskor kizárólag a robot mozgásának leírása történik meg a mozgást kiváltó erők és nyomatékok figyelembevétele nélkül. Az elemzés célja a megfogó pozíciójának és orientációjának meghatározása a csuklók előírt szögelfordulásának függvényében.

3.1.

A robot kinematikai láncának bemutatása

A Kawasaki ZX165U robot kinematikai láncának sematikus vázlata a 3. ábrán látható. Megfigyelhető, hogy a robot felépítéséből adódóan nem írható le evidens módón a szokásos hat csuklós mechanizmussal. Az összetettebb felépítés a JT2 és JT3 csukók közötti négycsuklós mechanizmusból adódik. A cél, hogy a tényleges mechanizmus, olyan módon kerüljön modellezésre, amellyel a kinematika egyszerűbben leírható. JT4 JT3

JT5 JT6

JT2 JT1

3. ábra: A robot mechanizmusának sematikus vázlata Ez a két részre osztható probléma a 4. ábrán kerül szemléltetésre. Az első, hogy a JT2 csuklóban lévő léptetőmotor mozgatásával a JT3 nem a JT2 középpontú köríven mozdul el, hanem egy virtuális csukló (JTV) körül JT2-vel azonos szöggel. A JTV helyének, valamint

távolságának

meghatározása

a

JT3-tól

( RamV )

szükséges

a

modell

egyszerűsítéséhez. A probléma második része, hogy a JT3 után lévő am4 jelű robottag iránya nem, csak pozíciója változik az am1 jelű robottaghoz képest. Azaz a 4. ábrán is látható, hogy a JT2 szögét tetszőlegesen változtatva az am3 tag orientációja nem változik,

6

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA a különböző helyzetekben egymással párhuzamosak maradnak, így az am4 iránya kizárólag a JT3 szögelfordulásától függ. JT5

JT4 am4

am3 JT3 am2’ am2 amV1

JT6

amV JTV

am1

JT2

JT1

4. ábra: A virtuális csukló pozíciója és az am3 helyzete Az 5. ábrán látható végleges modell ezen megfigyelések ismeretében a robot tényleges mechanizmusából kiindulva létrehozható. A JT2 csukló helyett a JTV csukló, a JT3 csukló helyett pedig a JTV* módosított szögelfordulású szerepel a modellben. A JT3* csukló szögelfordulása a JT3 csukló, valamint a JT2 csukló szögelfordulásának különbségéből származik, pozíciója megegyezik a JT3 csukló pozíciójával. JT4 JT3

JT5

JT4 JT6

JT5 JT6

JT3*

JTV

JT2

JT1

JT1

5. ábra: A robot hatcsuklós mechanizmussal leírható modellje

7

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA A JTV pozíciójának, valamint az RamV meghatározásához (3.3) a 2. ábráról leolvasható geometriai méretek felhasználásával történik. A JTV jelölve van az ábrán, azonban a pontos helyét a katalógusadatok nem tartalmazzák, hanem szögfüggvények segítségével kell meghatározni. Megjegyzendő, hogy a robot 4. ábrán az x-z síkban látható, ahol a z tengely a JT1 csukló forgástengelyével esik egybe és a robot talpazatától a robot felé mutat. A z V és az xV változók rendre a JTV z és x tengelytől való távolságát jelölik:

xV  0,288 [m] , zV 

1,225 sin(30)  1,49 sin(15)  0,94062 [m] , sin(30)  sin(15)

R am V 

3.2. A

(3.1) (3.2)

1,49  zV  1,09876 [m] . sin 30

(3.3)

A robot Denavit-Hartenberg paraméteres leírása

megfogó

mozgásának

leírásához

az

egyes

robottagokhoz

tartozó

belső

koordinátarendszerek közötti transzformációt kell matematikailag meghatározni. Az [1] irodalomban kifejtett Denavit-Hartenberg transzformációval a koordinátarendszerek megfelelő felvétele után négy paraméter ( ai , d i ,  i , i ) segítségével lehetővé válik a robot direkt kinematikai leírása két elforgatási és két eltolási transzformációval. 3.2.1. Koordinátarendszereinek felvétele Ahhoz, hogy a Denavit-Hartenberg transzformációval leírható legyen a robot mozgása, a belső koordinátarendszereket néhány kritérium figyelembevételével kell felvenni, melyek az alábbiak: 

z i az i-edik csukló forgástengelye,



x i a z i 1 és a z i tengelyek normáltranszverzálisával egybeeső, a z i tengely felé mutat,



y i kiadódik, mint a jobbsodrású derékszögű koordinátarendszer harmadik tengelye.

A roboton ezen megkötések figyelembevételével felvett belső koordinátarendszereket a 6. ábra mutatja, továbbá szemlélteti  i paraméter értelmezését, azaz az egyes robotcsuklók elfordulásának pozitív irányát is. Megjegyzendő, hogy az egyes koordinátarendszerek 8

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA középpontjai ( Oi ) nem kerültek feltüntetésre az ábrán, azok értelemszerűen a három tengely metszésénél vannak.

6. ábra: Belső koordinátarendszerek és a csuklók szögelfordulásainak értelmezése 3.2.2. A Denavit-Hartenberg paraméterek értelmezése és értékei A leíráshoz szükséges négy paraméter értelmezése a 6. ábrán felvett koordinátarendszerek alapján a következőek: 

a i : x i irányban mért távolság az i-edik koordinátarendszer origójától ( Oi ) az x i és a z i 1 tengelyek metszéspontjáig,



d i : z i 1 irányban mért távolság Oi 1 –től az x i és a z i 1 tengelyek metszéspontjáig,



 i : x i körüli elforgatás szöge, amely z i 1 tengelyt z i tengelybe forgatja,



 i : z i 1 körüli elforgatás szöge, amely xi 1 tengelyt x i tengelybe forgatja (csukló esetén változó paraméter).

A 2. és a 6. ábra, a (3.2) és a (3.3) számítás, valamint a fentebb megnevezett értelmezések figyelembevételével a Kawasaki ZX165U ipari robot modelljének Denavit-Hartenberg paramétereit a 2. táblázat tartalmazza.

9

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA Megjegyzendő, hogy a  3* nem a JT3 csukló tényleges elfordulása, hanem a modellhez tartozó JT3* csukló szögelfordulása, mely a valós JT3 és JT2 csuklók szögelfordulásából meghatározható. Csukló

i

ai [m]

di [m]

JT1

1

0,288

0,94062

JTV

2

1,09876

0

JT3*

3

0

0

JT4

4

0

1,3

JT5

5

0

0

JT6

6

0

0,228

αi [rad]

 2 0

 2



 2

 2 0

θi [rad]

q1 q1 

 2

q2  2 q4 q5 q6

2. táblázat: A Kawasaki ZX165U robot DH paraméterei

3.3.

A Denavit-Hartenberg transzformáció

A DH paraméterekkel négy egymást követő merevtestszerű relatív mozgással lehet leírni a csuklónként kapcsolódó belső koordinátarendszerek közötti transzformációt a következők szerint: 

z i 1 tengely irányában d i értékkel történő eltolás,



z i 1 tengely körüli  i szöggel történő forgás,



x i tengely körüli  i szöggel történő forgás,



x i tengely irányában a i értékkel történő eltolás.

10

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA Az egyes mozgások leírása a H a , H d , H  , H  mátrixokkal történik meg: i

Hd

H

i

i

H

Ha

i

i

0 0  0  0

0 0 0 0  , 1 di   0 1

0 1 0 0

cos  i  sin  i   0   0

 sin  i cos  i 0 0

0 1 0 cos  i  0 sin  i  0 0 1 0  0  0

0 1 0 0

i

i

i

(3.4)

0 0 1 0

0  sin  i cos  i 0

0 ai  0 0  . 1 0  0 1

0 0 , 0  1 0 0 , 0  1

(3.5)

(3.6)

(3.7)

A tényleges transzformációt leíró mátrix az előző négy mátrix adott sorrendben történő összeszorzásával áll elő.

H i 1,i  H d H  H  H a  i

i

i

i

(3.8)

11

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA A H i 1,i mátrix segítségével az i-edik koordinátarendszerben megadott helyvektor az i-1edik koordinátarendszerbeli helyvektora állítható elő:

R i 1  H i 1,i R i .

(3.9)

A megfogóhoz kötött koordinátarendszerben (6. KR) megadott R 6 helyvektornak a robot alapjához kötött koordinátarendszerbeli (0. KR) helyvektora az alábbi összefüggéssel számítható: R0  H H H H H H R6  H R6 01

12

23

34

45

56

06

.

(3.10)

A H 06 helyzetmátrix alakja:

H

06

   h r 06  06      . 0 0 0 1 

(3.11)

Az egyes csuklókhoz tartozó koordinátarendszer transzformációs mátrixok a következőek:   h 01 H 01     0 0

H 12

    cos q1  sin q1  cos( ) sin q1  sin( ) 0,288  cos q1    2 2     r 01   sin q1 cos q1  cos( )  cos q1  sin(  ) 0,288  sin q1   2 2  ,(3.12)       sin( ) cos( ) 0,94017  0 1  0  2 2  0  0 0 1

      cos(q 2  2 )  sin( q 2  2 )  cos 0 sin( q 2  2 )  sin 0 1,1005  cos(q 2  2 )         sin( q 2  ) cos(q 2  )  cos 0  cos(q 2  )  sin 0 1,1005  sin( q 2  )  ,(3.13) 2 2 2 2   0 sin 0 cos 0 0     0 0 0 1  

    cos(q 3   2 )  sin(q 3   2 )  cos( 2 ) sin(q 3   2 )  sin( 2 ) 0  cos(q 3   2 )      sin(q 3   2 ) cos(q 3   2 )  cos( )  cos(q 3   2 )  sin( ) 0  sin(q 3   2 )  H 23   2 2  ,(3.14)     0 sin( ) cos( ) 0   2 2   0 0 0 1

12


H 34

 cos q 4   sin q 4   0   0

H 45

 cos q5   sin q5   0   0

H 56

cos q 6  sin q 6   0   0



 sin q 4  cos( ) 2



cos q 4  cos( ) 2



sin( ) 2 0



 sin q5  cos( ) 2



cos q5  cos( ) 2

 sin( ) 2 0



 0  cos q 4     cos q 4  sin( ) 0  sin q 4  2 ,  cos( ) 1,3   2 0 1  sin q 4  sin( ) 2

(3.15)



 0  cos q5     cos q5  sin( ) 0  sin q5  , 2   cos( ) 0   2 0 1  sin q5  sin( ) 2

 sin q 6  cos 0 sin q 6  sin 0 0  cos q 6  cos q 6  cos 0  cos q 6  sin 0 0  sin q 6  . sin 0 cos 0 0,228   0 0 1 

(3.16)

(3.17)

13


4. Inverz kinematikai feladat [1] A fejezetben ismertetésre kerül a Kawasaki ZX165U típusú robot inverz kinematikai feladatának megoldása. Az inverz kinematikai feladat a megfogóhoz rögzített koordinátarendszer origójának ( O6 ) térbeli pozíciójának és orientációjának, valamint a robot geometriájának ismeretében az egyes csuklók szögelfordulási (  i ) értékeinek meghatározása. Ezek a szögelfordulások bemenő paraméterként szükségesek a pozíció és orientáció biztosításához a csuklókat mozgató szervomotorok vezérlése számára.

4.1.

Az inverz kinematikai feladat szétválasztása

Felépítéséből adódóan a Kawasaki ZX165U inverz kinematikai feladata is két egymástól független részre bontható. Ez minden olyan robotnál lehetséges, ahol az utolsó három – orientációt megvalósító- csukló elfordulási tengelye egy pontban metszi egymást, azaz gömbcsuklót alkotnak. A gömbcsukló középpontjához rögzített koordinátarendszer origójának

( Oc )

pozícióját

a

robot

alapjához

rögzített

o0

középpontú

koordinátarendszerhez képest kizárólag az első három csukló szögelfordulása határozza meg. A megfogó orientációját pedig a gömbcsukló középpontjában metsződő három tengely szögelfordulása. Ezek ismeretében az inverz kinematikai feladat inverz pozíciós, illetve inverz orientációs feladatra választható szét, melyek megoldása egymástól függetlenül elvégezhető. 4.1.1. Inverz pozíciós feladat A gömbcsukló középpontjának értelmezését a kinematikai modellen a 7. ábra szemlélteti. Oc d6 r0c r06

O6

7. ábra: Inverz pozíció szemléltetése 14

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA Az ötödik csukló belső koordinátarendszerének középpontja ( o5 ) a gömbcsukló középpontjához rendelt koordinátarendszer origójával ( oc ), valamint a z5 és z6 tengelyek is egybeesnek. A gömbcsukló helyvektorát ( r 0 c ) az alaphoz képest a megfogó H 06 helyzetmátrixából kiolvasható r 06 oszlopvektorának, valamint az orientációs mátrix

( h 06 ) utolsó oszlopának ( Rz ) segítségével lehet felírni.

(4.1)

Megjegyzendő, hogy amennyiben a következőkben használt változók értékei nem kerülnek feltüntetésre, úgy azokat a 2. táblázatban található Denavit-Hartenberg paraméterként értendőek. A 7. ábra értelmezése alapján a gömbcsukló középpontjának helyvektora ( r 0 c ) a következő alakban állítható elő:

r 0c

 xc   x06  s6 r13      y c   r 06  d 6 R z   y 06  s6 r23  .  z c   z 06  s6 r33 

(4.2)

Az első csukló  1 szögelfordulása az xc és y c ismeretében egyszerűen számítható szögfüggvénnyel:  xc  yc

1  arctan

  . 

(4.3)

Értelemszerű, hogy a többi robottag is  1 szöget zár be az x 0 , y 0 síkon az x 0 tengellyel. A sugárirányú távolságot, valamint a z 0 irányú magasságot a második és harmadik csuklók szögelfordulása határozza meg.

15


*

8. ábra: Csuklószögek értelmezése A 8. ábrán r * -gal jelölt sugárirányú távolság a Pitagorasz-tétel alkalmazásával egyszerűen számítható. r *  xc2  y c2

(4.4)

Az r * sugárirányú távolságból még le kell vonni az am1 robottag azonos irányú hosszát ( a1 ), hogy a második és harmadik robottag által ténylegesen megvalósított

r távolságot

kapjuk

r  r *  a1 .

(4.5)

Hasonlóan kell eljárni a z 0 irány esetén is. Az adott z c koordinátából le kell vonni az am1 robottag azonos irányú hosszát ( d 1 ):

s  z c  d1 .

(4.6)

A 8. ábrán látható O1 ,O2 és Oc pontok által meghatározott háromszögre alkalmazva a koszinusz tételt: 16

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA D  cos  3 

r 2  s 2  a 22  d 42 , 2  a2  d 4

(4.7)

majd egy arkusztangens függvénnyel a harmadik csukló szögelfordulása a (4.8) szerint számítható a D konstans (4.7) szerinti bevezetése után:  1  D2  D 

3  arctan  

 .  

(4.8)

Megjegyzendő, hogy az előálló két megoldás az alsó-, illetve felsőkönyök helyzeteket reprezentálja, amely további részletezésével a dolgozat nem foglalkozik. A második csukló szögelfordulása szintén geometriai úton meghatározható: s r



d 4 sin( 3 )   .  a2  d 4 cos( 3 ) 

 2  arctan   arctan

(4.9)

9. ábra: A második és harmadik csukló geometriai vázlata A 1 , 2 és  3 szögek meghatározásával a gömbcsukló középpontjának előírt pozíciója megvalósítható a JT1, JTV, és JT3* csuklók rendre 1 , 2 és  3 -mal történő elforgatásával. Megjegyzendő, hogy ezek a szögek kizárólag a modellre érvényesek. A szögelfordulások Kawasaki ZX165U-nak megfelelő áttranszformálására az inverz orientáció meghatározása után kerül sor mind a hat vezérelhető tengely esetében.

17

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA 4.1.2. Inverz orientációs feladat Az inverz orientációs feladat az utolsó három csukló  4 , 5 és  6 szögelfordulásának meghatározása, mellyel biztosítható a megfogó orientációja. A h 06 orientációs mátrix alakja:

 r11 r12 r13  h06  R  r21 r22 r23  . r31 r32 r33 

(4.10)

Megjegyzendő, hogy a képletekben és egyenletekben szereplő kifejezések bonyolultsága miatt a fejezetben az alábbi rövidítések kerülnek bevezetésre: si  sin(i ) ,

(4.11)

ci  cos(i ) .

(4.12)

Fontos kiemelni, hogy a létrejövő orientációt nem kizárólag az utolsó három csukló határozza meg. A gömbcsukló tengelyeinek szögelfordulási értéki függnek az első három csuklókoordinátától is. Belátható, hogy a gömbcsukló tengelyeinek vezérlése nélkül is általában több, de véges számú orientáció valósítható meg a programozott pont körül kizárólag az első három koordináta vezérlésével. Az orientációs tengelyek biztosítják az orientációs mátrix megvalósítását azáltal, hogy szögelfordulásuk, mint egy hibajel áll elő az orientációs mátrix és az első három csukló által megvalósított orientáció különbségéből. Az első három csukló által létrehozott orientáció mátrixos alakban:

c1c2 c3  c1 s 2 s3 h 03   s1c2 c3  s1 s 2 s3  c 2 s3

s1 c1c2 s3  c1 s 2 s3   c1 s1c2 s3  s1 s 2 c3  .  0  c 2 c3

(4.13)

A további számításokhoz szükség lesz a márix transzponáltjára is: T

h 03

c1c 2 c3  c1 s 2 s3   s1 c1c 2 s3  c1 s 2 s3

s1c 2 c3  s1 s 2 s3  c1 s1c 2 s3  s1 s 2 c3

c 2 s3  0  .  c 2 c3 

(4.14)

Belátható, hogy a h 06 orientációs mátrix előállítható a már ismert h 03 és a még ismeretlen

h 36 mátrix szorzataként: h 06  h 03 h 36 .

(4.15)

18

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA Az inverz orientáció megoldásához az utolsó három csuklókoordinátát úgy kell megválasztani, hogy a h 36 mátrix az egyenletet kielégítse. Ezek alapján a mátrix a következőképpen számítható:

  x y z  T  h 36  h 36 h 36 h 36   h 03 h 06 .  

(4.16)

Elvégezve a kijelölt műveletet a mátrix oszlopvektorai az alábbiak:

h

x 36

(c1c 2 c3  c1 s 2 s3 )r11  ( s1c 2 c3  s1 s 2 s3 )r21  (c 2 s3 )r31     s1 r11  c1 r21  0  r31  , (c1c 2 s3  c1 s 2 s3 )r11  ( s1c 2 s3  s1 s 2 c3 )r21  (c 2 c3 )r31 

(4.17)

h

y 36

(c1c 2 c3  c1 s 2 s3 )r12  ( s1c 2 c3  s1 s 2 s3 )r22  (c 2 s3 )r32     s1 r12  c1 r22  0  r32  , (c1c 2 s3  c1 s 2 s3 )r12  ( s1c 2 s3  s1 s 2 c3 )r22  (c 2 c3 )r32 

(4.18)

h

z 36

(c1c 2 c3  c1 s 2 s3 )r13  ( s1c 2 c3  s1 s 2 s3 )r23  (c 2 s3 )r33     s1 r13  c1 r23  0  r33  . (c1c 2 s3  c1 s 2 s3 )r13  ( s1c 2 s3  s1 s 2 c3 )r23  (c 2 c3 )r33 

(4.19)

A mátrix elemeit a mátrix értelmezése alapján felírva figyelhető meg a három csuklókoordináta megjelenése:

h 36

c 4 c 5 c 6  s 4 s 6   s 4 c5 c6  c 4 s 6   s5 c6

 c 4 c5 s 6  s 4 c 6  s 4 c5 s 6  c 4 c 6 s5 s6

c 4 s5   o11 o12 o13  s 4 s5   o21 o22 o23  . c5  o31 o32 o33 

(4.20)

Az előző két felírásból az alábbi kilenc egyenlet áll elő:

(c1c2 c3  c1 s2 s3 )r11  (s1c2 c3  s1 s2 s3 )r21  (c2 s3 )r31  c4 c5 c6  s4 s6

,

(c1c2 c3  c1 s2 s3 )r12  (s1c2 c3  s1 s2 s3 )r22  (c2 s3 )r32  c4 c5 s6  s4 c6 (c1c2 c3  c1 s2 s3 )r13  (s1c2 c3  s1 s 2 s3 )r23  (c2 s3 )r33  c4 s5 s1r11  c1r21  s 4 c5 c6  c4 s6

,

(4.22) (4.23)

,

s1r12  c1r22  s 4 c5 s6  c4 c6

s1r13  c1r23  s 4 s5

,

(4.21)

(4.24) ,

(4.25)

,

(c1c2 s3  c1 s2 s3 )r11  (s1c2 s3  s1 s2 c3 )r21  (c2 c3 )r31  s5 c6

(4.26) ,

(4.27)

19


(c1c2 s3  c1 s2 s3 )r12  (s1c2 s3  s1 s2 c3 )r22  (c2 c3 )r32  s5 s6 ,

(4.28)

(c1c2 s3  c1 s2 s3 )r13  (s1c2 s3  s1 s2 c3 )r23  (c2 c3 )r33  c5 .

(4.29)

A  4 , 5 és  6 szögek meghatározásához (4.30-4.32) azonban csak az o13 , o23 , o31 , o32 , o33 egyenletei kerültek felhasználásra:

 4  arctan(

s 4 s5 s1r13  c1r23 )  arctan( ) , (4.30) c 4 s5 (c1c2 c3  c1 s 2 s3 )r13  ( s1c2 c3  s1 s 2 s3 )r23  (c2 s3 )r33 1  c52


c5


)  arctan(

1  ((c1c2 s3  c1 s 2 s3 )r13  ( s1c2 s3  s1 s 2 c3 )r23  (c2 c3 )r33 ) 2 (c1c2 s3  c1 s 2 s3 )r13  ( s1c2 s3  s1 s 2 c3 )r23  (c2 c3 )r33

) , (4.31)

s5 s 6 (c c s  c s s )r  ( s1c2 s3  s1 s 2 c3 )r22  (c 2 c3 )r32 )  arctan( 1 2 3 1 2 3 12 ) . (4.32)  s5 c6 (c1c2 s3  c1 s 2 s3 )r11  ( s1c 2 s3  s1 s 2 c3 )r21  (c2 c3 )r31

Megjegyzendő, hogy a

 4 -re és  6 -ra felírt képletek csak akkor használhatók, ha s5  0 ,

azaz  5 nem egész számú többszöröse

 2

-nek. Ellenkező esetben, csak a két szög összege

tekinthető ismertnek. Az egyiket tetszőlegesen felvéve a másik számítható.

4.2.

Tényleges csuklókoordináták

A 3.1. fejezettől a dolgozat a konstruált modell alapján tárgyalta a csuklók szögelfordulásait. A robot direkt kinematikai elemzése során, már említésre kerültek a valós csuklókoordináták (q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 ) . Az eltérés oka a robot négycsuklós mechanizmusának egyszerűsített leírása miatt adódik. A valós csuklókoordináták és a modell csuklóinak szögelfordulása közötti összefüggések:

q1   1 ,

(4.33)

 , 2

(4.34)

q3   2   3 ,

(4.35)

q4   4 ,

(4.36)

q5   5 ,

(4.37)

q6   6

(4.38)

q2   2 

.

20


5. Mozgásciklus szimuláció Az előző fejezetben felírt inverz kinematikai számítások SCILAB 5.4.1 szoftverben kerültek

implementálásra,

forráskódja

az

1.

számú

mellékletben

található.

A

beprogramozott pálya egy alaphelyzetből való negatív Y irányú kitérést, a munkadarab fevételét, a munkadarab átforgatását, fluidágy felé mozgatását, a festékporba merítését és kivételét, a munkadarab konvejorra akasztását és a robot alaphelyzetbe való visszatérését tartalmazza. A szimuláció programozott pályaja a robot által ténylegesen megvalósított pályával megegyezik. A mozgás a használt programmal szemléltetésre került, a 10. és 11. ábrán ennek hátul és oldalnézete látható. A kék vonal a megfogó pályáját szimbolizálja, míg a magenta színű vonalak a robottagok helyzetét diszkrét pozíciókban. Megjegyzendő, hogy az ábrákon nem látható a JT6 csukló szögének változása, mivel a munkadarab ábrázolására nem, csak a robottagok mozgásának bemutatására lett programozva a szimuláció.

10. ábra: A mozgásszimuláció hátulnézetből

21

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA A programozott pontok x0 y0 z0 koordinátái a 3. táblázat tartalmazza. Név

Koordináta

Név

Koordináta

P1

0,5;0;1

P11

0;1,2;1,2

P2

0,6;-1,2;1,2

P12

0,6;0,3;1,4

P3

0,6;-1,3;1,2

P13

1;0;1,2

P4

0,6;-1,3;1,25

P14

2;0;2,1

P5

0,6;-0,5;1,25

P15

2,1;0;2,1

P6

0,6;0,3;1,4

P16

2,1;0;2,05

P7

0;1,2;1,2

P17

2,1;0;2,03

P8

0;1,55;1,2

P18

1,9;0;2

P9

0;1,55;0,012

P19

0,5;0;1

P10

0;1,55;1,2 3. táblázat: Programozott pontok

A 11. ábrán jól megfigyelhető, ahogyan a festék eltávolítását követően a robot a munkadarabot a konvejorra akasztja.

11. ábra: A mozgásszimuláció oldalnézetből 22

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA A programozott pályához tartozó szögelfordulási értékeket a 12. ábra szemlélteti. Az 1 csuklót a fekete, a kettes csuklót a piros, a hármas csuklót a zöld, a négyes csuklót a kék, az ötös csuklót a cián, a hatos csuklót a magenta szín jelöli.

12. ábra: Szögelfordulások A mozgásciklushoz tartozó csuklónkénti szögelfordulási értékeket a 13. ábra szemlélteti.

13. ábra: Szögsebességek

23


6. Rezgőrendszerek leírása Egy rezgőrendszer dinamikai leírásához első lépésben a rendszer rezgésmodelljét kell létrehozni. A modell felállításához tisztázni kell a rendszer szabadságfokát, ami azon irányok száma melyek mentén a rezgő tömeg elmozdulhat; a rendszerre ható külső erő hatását, azaz hogy szabad vagy gerjesztett-e a rendszer, valamint a csillapítás megjelenését a rendszerben. A dolgozat kizárólag az egyszabadságfokú, gerjesztett rezgőrendszerekkel kapcsolatos mozgásegyenletek ismertetésével foglalkozik, mert a 14. ábrán látható megfogó modellje ily módon írható le.

14. ábra: Megfogószerkezet

6.1.

Egyszabadságfokú, csillapítatlan, gerjesztett rezgés

Első közelítésben a rezgőrendszer egyszabadságfokú, csillapítatlan, gerjesztett rezgésként kerül modellezésre. Ennek oka kézenfekvő, ugyanis a rendszerben nem található külön beépített csillapító elem. A csillapítást elhanyagoló rendszer modelljét a 15. ábra szemlélteti. A 3. ábra alapján az egyszabadságfokú, gerjesztett, csillapítatlan rezgés mozgásegyenlete az alábbi alakban írható fel: m x  k x  Fg 0 cos( t ) ,

(6.1)

24

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA ahol m[kg] a rezgő tömeg, a x [m] az elmozdulás, x [m s ] a sebesség, x[m s 2 ] a gyorsulás, k [ N m] a rugómerevség, Fg 0 [ N ] a gerjesztő erő amplitúdója,  [rad s ] a gerjesztés

körfrekvenciája, és t [s] az idő. f g(t) k m x(t)

15. ábra: Csillapítatlan rezgésmodell A rendszer hangolása a tranziens jelenség után bekövetkező állandósult állapotra történik, melyet a rendszer (6.1) mozgásegyenletének partikuláris megoldása (6.4) jellemez. A mozgásegyenlet megoldása a későbbiek folyamán felhasználásra kerül rezonanciagörbe rajzolásához, ennek előkészítéséhez szükséges az  sajátkörfrekvencia (6.3), valamint az

f 0 statikus kitérés (6.4) bevezetése: k , m



f0 

Fg 0 k

.

(6.2)

(6.3)

A differenciálegyenlet partikuláris megoldása állandósult esetben az új változókkal

x

2 f 0 cos( t )  2 2

(6.4)

alakban áll elő a [4] jegyzet alapján. A megoldás amplitúdóját (6.5), mely értelemszerűen a partikuláris megoldás maximális értéke a következő:

xmax

2  2 f0 .  2

6.2.

(6.5)

Egyszabadságfokú, csillapított, gerjesztett rezgés [5]

Annak ellenére, hogy a nincs beépített csillapítás, a szerkezeti csillapítás r [ Ns m] mindig jelen van, melyet a modellbe is be kell építeni. A szerkezeti csillapítás értéke méréssel 25

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA meghatározható, esetleg empirikus úton a korábbi tapasztalatok alapján felvehető. Az egyszabadságfokú, csillapított, gerjesztett rezgés modelljét a 16. ábra mutatja. k

f g (t)

m x(t) r

16. ábra: Csillapított rezgésmodell A csillapított rezgésmodell alapján felírt mozgásegyenlet: m x  r x  k x  Fg 0 cos( t   ) .

(6.6)

Megjegyezendő, hogy a rezgő mozgások egy komplex forgó vektor megfelelő vetületeként is értelmezhetők. Ezért a további levezetésekhez bevezetésre kerül a z komplex változó:

z  z (t )  x (t )  i y (t ) ,

(6.7)

melynek valós része a keresett x (t ) elmozdulásfüggvény. A mozgásegyenlet komplex alakjának előállításához fel lehet írni a mozgásegyenletet az y(t) változóra is: m y  r y  k y  Fg 0 sin( t   ) .

(6.8)

Az eredeti x (t ) változó (6.6) egyenletet összegezve az y (t ) változó (8) egyenletének i imaginárius egységgel beszorzott alakjával a mozgásegyenlet komplex változóval m z  r z  k z  Fg 0 cos( t   )  i sin( t   )

(6.9)

alakban írható fel. Az Euler-formulát alkalmazva, valamint a gerjesztő erő P0 komplex amplitúdójának bevezetésével:

P0  Fg 0 e i  ,

(6.10)

a komplex differenciálegyenlet (6.11) alakja kapható: m z  r z  k z  P0 e i  t .

(6.11)

A komplex mozgásegyenlet általános megoldása a homogén és a partikuláris megoldás összegeként állítható elő:

26

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA z (t )  zh (t )  z p (t ) .

(6.12)

A csillapítatlan rezgésmodell esetében a mozgásegyenlet általános megoldásának is felírása kerül. A tranziens jelenségek vizsgálata, - bár ennek a dolgozatnak nem témájaszámos esetben fontos lehet. Megjegyzendő, hogy a csillapítatlan eset általános megoldása származtatható a csillapított esetben levezetésre kerülő összefüggésekből. A homogén differenciálegyenlet:

m z  r z  k z  0 ,

(6.13)

amely megoldásának keresése a z h (t )  y h (t )  i xh (t )  A e i  t

(6.14)

alakban történik, ahol A  a  i b komplex állandó. A homogén mozgásegyenlet karakterisztikus egyenlete: m 2  i r   k   0 .

(6.15)

A karakterisztikus egyenlet megoldása a csillapított szabad rendszer körfrekvenciájának (6.17) ismeretében, valamint a (6.2), (6.3) felhasználásával:  1, 2  i    ,

(6.16)

ahol

   2  (  )2 .

(6.17)

A megoldások közül kizárólag az idő monoton növekvésének megfelelő pozitív forgású komplex vektort kell figyelembe venni, így a homogén differenciálegyenlet megoldása a karakterisztikus egyenlet gyökeinek meghatározása után: z h (t )  A e    t e i t .

(6.18)

A mozgásegyenlet partikuláris megoldásának előállításához az inhomogén mozgásegyenlet a következő: m z  r z  k z  P0 e i  t .

(6.19)

A partikuláris megoldás keresése az alábbi alakban történik:

z p (t )  y p (t )  i x p (t )  B e i  t .

(6.20)

A (6.20) partikuláris megoldási alakot és annak deriváltjait rendre behelyettesítve a (6.19) egyenletbe, az inhomogén mozgásegyenlet:

k  i r  i m   z p  P0 e i  t . i  

(6.21)

Bevezetve a rezgőrendszer komplex ellenállását: 27


Z r i m

k i

,

(6.22)

a partikuláris megoldás a (6.23) alakban állítható elő

z p (t ) 

P0 i  t e i Z

(6.23)

A mozgásegyenlet általános megoldásának előállításához a (6.12) alapján a homogén és a partikuláris megoldás összegét kell venni:

z (t )  A e   t e i  t

P0 i  t e . i Z

(6.24)

A gerjesztett, csillapított rezgőrendszer mozgásegyenletének általános megoldásának a homogén és a partikulás része egyben jelöli a rezgés tranziens és állandósult részét. Mivel a rezgetés hosszabb időtartamban történik, ezért a továbbiakban csak a rezgés állandósult esetének vizsgálatára kerül sor

z (t )  z p (t ) 

P0 i  t e  f ei  t . i Z

(6.25)

6.2.1. Rezonancia A rezonanciajelenség során a rezgőrendszerben nagyon nagy amplitúdójú elmozdulás lép fel. A rezonancia a rezgőrendszer sajátkörfrekvenciáján történő gerjesztésnél léphet fel, általában ennek a frekvenciának az elkerülése kívánatos. Természetesen tranziens állapotban sokszor előfordul, hogy a gerjesztési frekvencia felfutása érinti a kritikus intervallumot. Amennyiben elkerülhetetlen a kritikus intervallumon való áthaladás, úgy célszerű a sajátkörfrekvencián minél gyorsabban megtenni, ezzel elkerülve a nagy amplitúdók kialakulásának lehetőségét. Mérnöki szempontból a rezonancia jelenségének szemléltetésére legalkalmasabb eszköz a rezonanciagörbe ábrázolása, mely alap esetben rezgőrendszer maximális kitérést ábrázolja a gerjesztő frekvencia függvényében. A

rezgőrendszer

rezonanciagörbéjének

előállítása

a

komplex

mozgásegyenlet

megoldásának (6.25) alakjából kiindulva kerül bemutatásra. A rezgés amplitúdója állandósult esetben

x max  f 

P0 , i Z

(6.26)

mely jól láthatóan a gerjesztési frekvencia függvénye. 28

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA Az f komplex elmozdulásvektor alakja a (6.2), (6.3), valamint az

x st  f 0 

P0 Fg 0 P0   k k k

(6.27)

statikus terheléskor fellépő komplex elmozdulásvektorral felírva a következő:

f

P0  k   i  r  i   m      





f0  2 2



 2  i 2  

.

(6.28)

Az f komplex elmozdulásvektor abszolút értéke:

f 



f0  2 2





2 2

 4    

,

(6.29)

2

melyet a gerjesztő frekvencia függvényében ábrázolva kapható rezonanciagörbe. Mérnöki gyakorlatban rezonanciagörbe rajzolásakor szokás a statikus kitérésre vonatkoztatott maximális kitérés x max f   x st f0

1

1   

2 2

 4   

(6.30) 2

ábrázolása is a gerjesztés és a csillapítatlan szabad rendszer körfrekvencia-arányának függvényében    .

29


7. A rugó méretezése A várható tervezési szempontok kielégülését biztosító rugómerevség meghatározása után el kell végezni a beépíteni kívánt rugók geometriai számításait. A paraméterek meghatározásakor néhány adat a szerkezet konstrukciójából adódóan korlátozásokkal vehető fel, vagy adottnak tekinthető. A rugó belső átmérőjének minimális (7.1), illetve külső átmérőjének maximális (7.2) értéke nem lehet tetszőleges. Továbbá a rugók nem előfeszített állapotban kerülnek a rendszerbe, ezért a rugó beépítési hossza adottnak tekinthető, mely megegyezik annak terheletlen hosszával (7.3). A rezgő szerkezet négy darab azonos rugóval kerül megtámasztásra az alaplaphoz képest. A rezgetés során az előfeszítettség hiányában kizárólag az elmozdulás irányával azonos oldalon lévő két-két rugó szenved hosszváltozást. A rezgés modelljének (16. ábra) vizsgálatával megválasztott k rugómerevség az egy oldalon lévő rugópárok együttes rugómerevségét jelentik. Mivel párhuzamosan kapcsolt rugók esetén a rugómerevségek

ØD

k 2

rugómerevséget kell biztosítaniuk.

d

összeadódnak, ezért a rugóknak egyenként k1 

Ø Dk Ø Db

17. ábra: Kör keresztmetszetű hengeres nyomó csavarrugó geometriai paraméterei A rugó geometriai számítása során alkalmazott, 17. ábrán látható jelölések: l a rugószál hossza, G az anyag csúsztató rugalmassági modulusa, I p a rugószál keresztmetszetének poláris másodrendű nyomatéka, k1 a rugómerevség, D a rugó középátmérője, Db a rugó

30

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA belső átmérője, Dk a rugó külső átmérője, valamint   20 a rugó menetemelkedési szöge. A konstrukcióból adódó peremfeltételek:

Db  25mm ,

(7.1)

Dk  38 mm ,

(7.2)

L  30 mm .

(7.3)

A rugómerevség és a rugószál keresztmetszetének poláris másodrendű nyomatékának összefüggései alapján:

4Ip G

k1 

,

(7.4)

d4 , Ip  32

(7.5)

D2 l

meghatározható a rugó szálátmérőjének minimális értéke [5] alapján: 8 D 2 l k1 . d G 4

(7.6)

31


8. Bemeneti adatok Ez a fejezet a robot, a megfogó és a munkadarabok azon paramétereit ismerteti, melyek a terhelőnyomaték számításokhoz szükségesek.

8.1.

A robot paraméterei

A robot a 6 csuklós felépítéséből adódóan nem képes erő, csak nyomaték kifejtésére a terhelőerőkkel szemben. A robotra átadódó erő számítása azért szükséges, mert a csuklókban a maximális nyomaték előírt, melyet az adott csuklóban működő motor biztosít. Ez szükséges feltétele annak, hogy a robot képes legyen a programozott pontot adott pozícióban tartani. Ha az adott motor maximális tartónyomatéka nagyobb, mint a terhelőnyomaték, akkor a feladat statikai problémának tekinthető, azaz a feltétel: i i M tart . max  M terheő

(i  1...6)

(8.1)

Az egyes motorok maximális tartónyomatékai a robot katalógusában megtalálhatók, értékeit a 4. táblázat tartalmazza. Annak ellenére, hogy az első három motor tartónyomatékai nem ismertek, mégis feltételezni lehet, hogy nagyobbak, mint a robot végén lévő motorokéi. Tengely

Maximális tartónyomaték [Nm]

JT1

-

JT2

-

JT3

-

JT4

911,4

JT5

911,4

JT6

451

4. táblázat: A szervomotorok megengedett csuklónyomatékai [10] A robot egészére kiterjesztve a poreltávolítás dinamikai hatásának vizsgálatát, szükséges a robot geometriájának ismerete. Ehhez a robot katalógusából származó méretekből kell kiindulni, melyek a 2. ábrán láthatók.

32


x

y

z

JT1

0

0

(0)

JT2

(0)

0,288

0,7

JT3

(0)

1,322

1,312

JT4

0

1,322

(1,312)

JT5

(0)

1,322

0,012

JT6

0

(1,322)

0,012

PP 0 1,55 0,012 5. táblázat: Az egyes csuklókhoz kötött koordinátarendszerek középpontjainak koordinátái a rezgetési helyzetben a globális KR-ben A robot pozíciója a rezgetés során nem változik, a csuklók helye a globális koordináta rendszerben megadott rezgetési pozíció és az orientációs mátrix ismeretében számolható. A 18. ábrán vázolt festési helyzetben a csuklók, valamint a programozott pont koordinátáit az 5. táblázat tartalmazza, ahol a zárójelben elhelyezett koordináták a tengelyirányt jelölik. z

JT2 JT3 JT1 JT4

ypp x

JT5

JT6 y

18. ábra: A robot festési pozíciója a globális KR-ben

33


8.2.

A megfogó és a munkadarabok paraméterei

A 19. ábrán látható a megfogó és a munkadarab tömegközéppontjainak helyzete.

zrm φ mmdb+k

x

mlengő malap

y, yrm

19. ábra: A megfogó részeinek, valamint a munkadarab tömegközéppontjai A mozgórész és a munkadarab tömegközéppontjának x és z koordinátái a kitérés, és a (φ) döntési szög függvényei, míg a megfogó fix részének tömegközéppontja a JT6 tengelyére esik. Tömeg [kg]

x

y

z

malap

8

0

1,55+0,021

0,012

mlengő

25

ll sin(90     )

1,55+0,09

0,012  ll cos(90     )

mmdb+k

~

l sin( )

1,55+0,1125

0,012  l cos( )

6. táblázat: A tömegközéppontok koordinátái a globális KR-ben A

ProE

programmal

megrajzolt

háromdimenziós

modellből

generálható

a

tömegközéppontok relatív pozíciója. A relatív koordináták alapján a (8.2), (8.3) összefüggések segítségével megadható a lengő rész tömegközéppontjának koordinátái a döntés függvényében. A 6. táblázatban szereplő ll a lengő rész tömegközéppontjának távolságát jelöli a 6. csukló tengelyétől, mely Pitagorasz-tétellel meghatározható: ll 

x

  z 2

r ,leng



2

r ,leng

,

(8.2)

x tengellyel bezárt szöge pedig arkusztangens függvénnyel: 34


  atg

xr ,leng z r ,leng

.

(8.3)

A rezgésből adódó reakcióerő hatásvonala y koordinátáját, valamint az xr ,leng és z r ,leng értékeit a 7. táblázat tartalmazza.

xr ,leng

z r ,leng

yreakcio

0,057

0,009

0,041

7. táblázat: További koordináta értékek A festeni kívánt munkadarabok adatait a 8. táblázat tartalmazza, melyből az l munkadarab tömegközéppontjának távolsága szükséges a 6. táblázatban felírt koordinátaértékek meghatározásához.

35

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA Munkadarab típusa

Tömegek (mmdb+k) [kg]

Súlypont távolsága (l) [m]

DN-50

14

0,38

DN-65

17

0,385

DN-80

20

0,39

DN-100

25

0,41

DN-125

34

0,415

DN-150

39

0,42

DN-200

65

0,45

DN-250

91

0,5

8. táblázat: A porfestett munkadarabok adatai

8.3.

A robotot terhelő erők és nyomatékok

A rezgés során elmozduló tömeg a rugón keresztül dinamikus erőhatást fejt ki az robotra, a belső csillapításból származó erőhatástól eltekintünk. Az erő értéke a rezgő tömeg kitérésével egyenesen arányosan változik. A rezgő tömeg kitérés-idő függvényének ismeretében tetszőleges pillanatban meghatározható az rezgő rendszer alaplapjára átadódó erő. Értelemszerű, hogy a rezgési kitérésből adódó alapra ható erőnek a maximális értéke a maximális kitérésnél jelentkezik. Megjegyzendő, hogy alapon a rugókat fixen támasztó alkatrészt (alaplap) kell érteni, mely a robot utolsó tagjához van rögzítve. A robot a felesleges festék eltávolítása alatt az alaplapot adott pozícióban tartja. A rugóállandó és a maximális kitérés segítségével az alaplapra átadódó maximális erő abszolút értéke a következő formulával számolható:

Falapra  k xmax .

(8.4)

Az adott rezgetési ciklus esetén a rezgés iránya azonban nem horizontális. A csőszerelvények furatából való poreltávolítás miatt a munkadarabokat bizonyos szögben meg kell dönteni, miközben a rezgetés történik. Vízszintes hatásvonalnál az alacsony amplitúdó miatt a maradék festékpor nem biztos, hogy elhagyja a furat belsejét. Belátható, hogy minél nagyobb szögben döntött a munkadarab, annál hatékonyabban távolítható el a belső furatból a festékpor. 36

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA A döntés miatt a rezgésből származó robotra ható erőt fel kell bontani komponenseire, hogy a csuklókat terhelő nyomatékok számíthatók legyenek. Ezen felül azt is figyelembe kell venni, hogy a döntés növelésével a munkadarabra ható súlyerő egyre nagyobb erőkaron keresztül fejt ki statikus nyomatékként a 6. csukló tengelyére, melyre ezen felül szuperponálódik a rezgetéssel kapcsolatosan kialakuló tehetetlenségi nyomaték. Megjegyzendő, hogy a megfogószerkezetet két kisebb egységre bontva a nem mozgó rész tömegközéppontja a 6. csukló forgástengelyére esik, azonban a rezgéskor elmozduló rész tömegközéppontja nem. A mozgórész tömegközéppontjának koordinátája a kitéréstől és a döntés nagyságától is függ, azonban a kitérésből adódó eltérés nagyságrendileg kisebb, mint a döntésből származó, ezért az előbbi elhanyagolásra kerül. A 9. táblázatban bemutatásra kerül, hogy mely forrásból származó erő, illetve nyomaték mely robotcsuklót terheli. JT1

JT2

JT3

●

x

JT4

JT5

JT6

●

Rugóerő

Súlyerő

z

●

●

●

malap

●

●

●

mlengő

●

●

●

mmdb+k

●

●

●

Tehetetlenségi nyomaték

● ●

9. táblázat: A robotcsuklók terheléseinek forrása

37


9. A rezgőrendszer hangolása Az 4. fejezetekben felírt összefüggések alapján a rezgőrendszer paramétereinek egymásra gyakorolt hatását szükséges megmutatni. Az esetek többségében SCILAB szoftverben írt program által generált ábrák jelenítik meg a rendszer viselkedését. Az ábrák értelmezése minden esetben szövegesen is megtörténik, továbbá amennyiben szükséges a nem jól látható részek értékei táblázatokba kerülnek.

9.1.

A rendszer csillapítás függése

Mivel a rendszer csillapításának értéke nem áll rendelkezésre, ezért nagyon fontos, hogy annak hatása bemutatásra kerüljön. A csillapítás értéke valószínűsíthetően 1  0,00001 és

 2  0,15 között található, ezért a tartományon belül kijelölt értékekre történik meg a rezgés amplitúdójának ábrázolása. A 20. ábrán látható egy 50 kg-os lengő tömeg melletti, a gerjesztési körfrekvencia ötödére hangolt rugómerevségű rugót tartalmazó rendszer amplitúdó-gerjesztési körfrekvencia függvénye. Az ábrán különböző színnel láthatók az egyes csillapítási értékeknek megfelelő görbék. Az egyes tüskék a 8. táblázatban adott rezgetett tömegeknek megfelelő sajátkörfrekvenciáknál figyelhetők meg.

20. ábra: Rezonanciagörbe különböző munkadarabok és csillapítási értékek esetén

38

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA Látható, hogy a pneumatikus rezgető gerjesztési körfrekvenciáján   179,1 már kis, de nem nulla amplitúdó értékek jellemzik a rezgést. Az amplitúdót az ötödére hangolt rendszerben gyakorlatilag nem befolyásolja a csillapítás nagysága az adott gerjesztési körfrekvencián a rezgetett tömegek nagyságrendjében. A csillapítás adott intervallumbeli teljes függetlenségének bizonyításához az 50 kg-os lengő tömeg mellett felére, harmadára, negyedére és ötödére hangolt rendszerhez tartozó rugómerevségekkel is bemutatásra kerülnek az amplitúdó-gerjesztési körfrekvencia függvények. A 21. ábrán a görbék színe ismét a csillapítás nagyságát jelöli.

21. ábra: Rezonanciagörbe különböző aláhangolások és csillapítások mellett Hasonlóan az előző ábrához, itt is megfigyelhető, hogy a rezgés amplitúdója gyakorlatilag független a rendszer csillapításától. A 22. ábra szemlélteti a rezgető körfrekvenciáján gerjesztett rendszer amplitúdóinak nagyságát adott a különböző sajátkörfrekvenciát biztosító rugók esetén.

39


22. ábra: Amplitúdók értéke a gerjesztési körfrekvencián Az amplitúdók közti eltéréseket a 10. táblázatban olvashatók sajátkörfrekvenciánként a legkisebb és legnagyobb csillapítási értékek között értelmezve. Aláhangoltság Amplitúdó különbség [μm]

α=ω/2

α=ω/3

α=ω/4

α=ω/5

9,12

2,48

1,19

0,71

10. táblázat: Amplitúdó értékek különböző aláhangolásoknál A táblázat értékeiből látható, hogy az eltérés m -es nagyságrendű, gyakorlati szempontból elenyésző különbség. mely az aláhangolás növelésével csökken.

40


9.2.

Amplitúdó és erő meghatározása a kiindulási paraméterek alapján

Az 50 kg-os rezgő tömegből kiindulva az ötödére hangolt sajátkörfrekvenciához tartozó rugómerevség a (2) összefüggés alapján

k  64153,62 [ N m] .

(9.1)

A csillapítás értéke   0,08 -ra kerül felvételre. Ebben az esetben az amplitúdó gerjesztési körfrekvencia függvénye a 23. ábrán látható. Az amplitúdó értéke   179,1 -nél 0,367 mm, az erő 23,55 N.

23. ábra: Rezonanciagörbe   0,08 esetén a tervezési paraméterek mellett A 24. ábrán látható a konkrét munkadarabokhoz tartozó rezonanciagörbék. A pneumatikus rezgető körfrekvenciáján gerjesztett rendszer amplitúdó és maximális reakcióerő értékeit a 11. táblázat tartalmazza. A hangolás a DN-100-as munkadarabnak megfelelő tömeggel történt, amelyhez képest a legkisebb munkadarab esetén 0,109 mm-es, míg a legnagyobb munkadarabnál 0,212 mm-es amplitúdó különbség figyelhető meg.

41

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA Megjegyzendő, hogy terheletlen esetben 0,765 mm-es amplitúdó mellett a legnagyobb 49,13 N reakcióerő lép fel, azonban a robot a munkadarab tehetetlenségéből származó nyomaték ilyenkor nem terheli.

24. ábra: Rezonanciagörbék   0,08 esetén, különböző munkadarabok mellett Munkadarab típusa

Amplitúdó (A) [mm]

Rugóerő amplitúdója (F) [N]

-

0,765

49,13

DN-50

0,476

30,55

DN-65

0,44

28,26

DN-80

0,409

26,29

DN-100

0,367

23,55

DN-125

0,309

19,83

DN-150

0,284

18,23

DN-200

0,2

12,85

DN-250

0,154

9,92

11. táblázat: A munkadarabtípusok adatai

42


9.3.

Nyomatékok meghatározása

A fellépő erők, nyomaték és geometriai méretek meghatározása után az egyes csuklókra ható nyomatékok számításait kell elvégezni. Az erőből fellépő nyomaték esetén ez történhet vektoriális szorzással, vagy erő komponensenkénti skaláris szorzással. Mivel a 9. táblázatban gyakorlatilag bemutatásra került az erők komponensekre bontása, ezért a számítások az utóbbi módszerrel kerültek elvégzésre. A globális koordinátarendszer felvételének és a robot speciális helyzetének köszönhetően így egyszerűen érzékeltethető, mely erőkomponens befolyásolja az egyes csuklók terhelését. A következő hat ábrán az egyes csuklók maximális nyomatékértékei láthatók a döntési szög és a rezgetett munkadarab típusának függvényében. A munkadarab típusai 1-8-ig kerültek a diagramok tengelyeire, ahol az 1-es a DN-50-as munkadarabot, a 8-as a DN-250 munkadarabot szimbolizálja, köztük pedig rendre a 8. táblázat alapján kerültek felvételre a jelölések. Az ábrák előállításához használt program forráskódja a 2. számú mellékletben található. A 25. ábrán látható a JT1 csuklót terhelő nyomaték, mely gyakorlatilag elhanyagolhatónak a robot robosztus felépítéséhez képest a vizsgált esetekben.

25. ábra: A JT1 csuklót terhelő nyomaték

43

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA A 26. ábrán látható a JT2 csukló terhelése. Megfigyelhető, hogy a nyomaték értéke a döntés szögétől csak kis mértékben, a munkadarab méretétől viszont jelentős mértékben függ. A munkadarabra ható súlyerő igen nagy erőkaron jelentkezik a második csuklónál. A súlyerőből származó nyomaték nagyságrendekkel nagyobb mértékben befolyásolja a JT2 nyomatékterhelését, mint a rezgetésből származó z irányú erőkomponens nyomatéka. Megjegyzendő, hogy a második csukló terhelhetősége a robot maximális horizontális kinyúlásakor a maximálisan mozgatható tömeg (165 kg) ismeretében az alábbi nyomatékszámítással megbecsülhető:

M JT 2,max  mmax g (lmax  l JT 2 )  3967 [ Nm] .

(9.2)

A (9.2) alapján belátható, hogy a JT2 csuklónál sem kell túlterheléstől tartani a poreltávolítás során.

26. ábra: A JT2 csuklót terhelő nyomaték A 27. ábra szerint a JT3 csukló terhelése a JT2 csuklóéhoz hasonló, a döntési szögtől és a munkadarab típusától azonosan függ, azonban a kisebb erőkar kisebb nyomatékot okoz.

44


27. ábra: A JT3 csuklót terhelő nyomaték A 28. ábrán látható a JT3 csukló terhelése, mely a JT1 csukló terhelésével jellegében megegyezik. A kisebb erőkarok miatt azonban a JT1-nél kisebb terhelőnyomaték jelentkezik, mely szintén elhanyagolhatónak tekinthető a 4. táblázatban ismertetett maximális terhelhetőséghez képest.

28. ábra: A JT3 csuklót terhelő nyomaték

45

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA Az 5. csukló nyomatékterhelését a 29. ábra mutatja. A döntési szög, valamint a típusfüggése a JT2 és JT3 csuklókkal mutat hasonlóságot. A legnagyobb munkadarab és 90°-os döntési szög esetén sem haladja meg a terhelőnyomaték értéke a csukló terhelhetőségét.

29. ábra: A JT5 csuklót terhelő nyomaték A hatodik csuklón ébredő nyomaték miatt korlátozásokat kell bevezetni. A 30. ábrán látható, hogy a munkadarabok tömegének növekedésével jelentősen megnő a terhelőnyomaték nagy döntési szög mellett. A 4. táblázat szerint a JT6-ra 451 Nm a maximálisan megengedhető nyomaték. A 30. ábra alapján a 12. táblázat tartalmazza a DN200 és DN-250 munkadarabokra vonatkozó információkat. φ [°]

Mt,JT6 [Nm]

63

449,23

64

451,23

28

447,42

29

454,12

DN-200

DN-250 12. táblázat: Döntési szög és nyomatékértékek a JT6 csuklóra

46

PORFESTŐ ROBOT KINEMATIKAI- ÉS REZGÉSVIZSGÁLATA A DN-200 és DN-250 munkadarabok esetében a fenti táblázat alapján a döntési szöget rendre 63°-ban és 28°-ban maximalizálni szükséges. A többi munkadarab esetén nem kell korlátozásokat érvénybe léptetni, tetszőleges döntési szögben végezhető a rezgetés.

30. ábra: A JT6 csuklót terhelő nyomaték A poreltávolítás során a nyomatékszámításokból kiindulva a döntési szöget 60°-ra javasolt beállítani és kizárólag a DN-250 munkadarab festése során visszavenni az 28°-ra.

47


10. Az alkalmazandó rugók méretezése A beépítésre kerülő négy azonos hengeres csavarrugó méretezése 3. fejezetben ismertetett összefüggések és peremfeltételek alapján történik. A (8.1) szerinti rugómerevségből kiindulva az egy rugóra vonatkozó k1 rugómerevség a következő:

k1 

k 64153,62   32076 , 81 [ N m] . 2 2

(10.1)

A rugó közép átmérőjének felvétele a (7.1) és (7.2) konstrukciós követelmények figyelembevételével történt, értéke:

Db  30 [mm] .

(10.2)

A rugószál átmérőjének meghatározásához a menetszám 4-re lett választva, a síkba köszörülés miatt a működő menetek száma azonban 2,5. A (7.6) alapján a rugó minimális szálátmérője:

8  0,03152  0,397  32076,81 d min   4,49 [mm] , 79,3  109  4

(10.3)

ezért a beépítendő rugó szálátmérője a (10.3) felfelé kerekítése alapján: d  4 ,5 [mm] .

(10.4)

A [11] alapján készített rugó műhelyrajza a 3. számú mellékletben található.

48


11. Összefoglalás A diplomaterv egy Kawasaki ZX165U ipari robot vizsgálatával foglalkozott. A kinematikai elemzés során bemutatásra került a robot geometriája, mely segítségével a robot egyszerűsített kinematikai modellje elkészült. A modellt felhasználva a robot direkt és indirekt kinematikai leírása Denavit-Hartenberg paraméterekkel megtörtént. A kinematikai leírást felhasználva a SCILAB 5.4.1 szoftverben a robot mozgásának szimulálására

célprogram

lett

kifejlesztve.

A

program

az

adott

technológia

mozgásszimulációján túl a csuklószögek és szöggyorsulások időfüggvényét is előállítja. A dolgozat második fele a robot megfogójának rezgésvizsgálatát tárgyalta, mely során a rezgőrendszer mozgásegyenletének megoldása került először előállításra. A maximális kitérés alapján rezonanciagörbék segítségével a rezgőrendszer paramétervizsgálata történt meg, mely eredményeként a rezgőrendszerbe beépíteni javasolt rugó rugómerevsége meghatározásra került. Ezután a rezgőrendszer paramétereinek és a robot geometriájának ismeretében a festékeltávolításból adódó terhelőnyomatékok ellenőrzésére került sor. Az ellenőrzéshez szintén SCILAB szoftverben kerültek előállításra az egyes csuklók terhelőnyomatékai a döntési szög és a munkadarab típusának függvényében. Az eredmények kiértékelésével egyes esetben korlátozásokat kellett javasolni a robot túlterhelésének elkerülése érdekében. A diplomamunka végén az előző vizsgálatok és ellenőrzések eredményeinek alapján a robot megfogószerkezetébe beépítésre javasolt hengeres csavarrugók méretezésére került sor.

49


12. Summary The thesis discusses the kinematical and vibration analysis of a Kawasaki ZX165U industrial robot. During the kinematical analysis the geometry of the robot and a simplified kinematical model are presented. With the help of them the Denavit-Hartenberg kinematical description is written in Chapter 3. In Chapter 4 the thesis deals with the inverse kinematics. It shows the analytical solution of the positions of the robot members and joints when only the coded point and its orientation are given. Using the kinematical description a special purpose code has been developed in SCILAB 5.4.1 for the simulation of the robot motion during the powder coating process. The motion of the simulation is almost the same that the real motion of the Kawasaki ZX165U. This program generates the time functions of angle and angular velocity for each robot joint in addition to the motion simulation. The input data of the simulation and the results are in Chapter 5. The second half of this thesis deals with the vibration analysis of the end effector. The equation of motion is given in the 6st Chapter as well as its solution for 1 DOF vibration model. Resonance curves are generated in aware of the amplitude of the displacement at different vibration parameters. Evaluating the results the spring stiffness of the applicable spring is suggested. In Chapter 7 the most important formulae of the spring design are written. The arising forces and the geometry of the robot in the position of the excited vibration are shown in Chapter 8. The torques arising during the dynamical removal of the unnecessary powder are checked knowing the geometry and vibration parameters in Chapter 9. The torque in each joint is represented in the function of the incline angle and workpiece type. Using the results some parameter limitations are proposed for the protection of the robot. Last but not least the spring that ensures the specified parameters has been designed in Chapter 10. The shop drawing of the designed spring is in the 3rd supplement.

50


13. Irodalomjegyzék [1]

Mark W. Spong, Seth Hutchinon, M. Vidyasager: Robot Modeling and Control.

John Wiley & Sons, Inc. USA, 2006. [2]

Dr. Király Béla: Ipari robotok kinematikai és dinamikai elmezése. Miskolci

Egyetemi Kiadó. Miskolc, 1995. [3]

Dr. Király Béla: Dinamika (Kinematika, Kinetika, Rezgéstan). Miskolci Egyetemi

Kiadó. Miskolc, 2006. [4]

NME

Mechanikai

Tanszék

Munkaközössége:

Dinamika

V.

kézirat.

Tankönyvkiadó. Budapest, 1981. [5]

Égert János, Jezsó Károly: Mechanika Rezgéstan. Széchenyi István Egyetem.

Győr, 2006. [6]

Tóth Gábor, Szabó Tamás: Kinematical and Vibration analysis of a Kawasaki

robot. Proceedings of the International Scientific Conference on Advances in Mechanical, ISBN: 978-963-473-623-3. Debrecen, 2013. [7]

Tóth Gábor, Szabó Tamás: Kawasaki robot szimulációja és megfogójának

rezgésvizsgálata. GÉP (ISSN 0016-8572), LXIV: (7), pp 54-57, (2013). [8]

Dr. Csáki Tibor: Robottechnika (előadásvázlat)

[9]

https://encrypted-

tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRdyww90JrW22Ihmx6lVFlXvdx28kGItvKpwyv _lLRd0GbKunPo [10]

Kawasaki ZX165U Datasheet

[11]

http://www.uni-

miskolc.hu/~wwwmach/tantargyaink/002b_geprajz/geprajz_7fa.pdf

(ell.: 2013.12.02.)

(ell.: 2013.12.02.)

51

DIPLOMATERV. Porfestő robot kinematikai- és rezgésvizsgálata. Készítette: Tóth Gábor Gx2-MRB

Recommend Documents