A. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear. B. Materi : 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2. Determinan

(Oleh: Winita Sulandari, M.Si)

A. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear B. Materi

: 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2. Determinan

C. Indikator

:

1. Mendefinisikan persamaan linear dan sistem persamaan linear 2. Mengenal berbagai bentuk matriks dan operasi dalam matriks 3. Menyajikan sistem persamaan linear dalam bentuk matriks dan menyelesaikannya dengan operasi baris elementer 4. Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan 5. Menentukan invers matriks menggunakan operasi baris elemanter 6. Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode invers matriks 7. Menentukan determinan dari suatu matriks 8. Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan aturan Cramer.

[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks]

Semester ganjil 2011/2012

BAB 1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIK A. Pengantar Dalam bidang kimia, sistem persamaan linear dibutuhkan untuk menyelesaikan perhitungan terkait dengan prinsip kesetimbangan kimia. Sebagai contohnya, pada proses penyampuran toluene C7H8 dan nitric acid HNO3 yang menghasilkan trinitrotoluene C7H5O6N3. Berdasarkan persamaan kimia

𝑥𝐶7 𝐻8 + 𝑦𝐻𝑁𝑂3 ↔ 𝑧𝐶7 𝐻5 𝑂6 𝑁3 + 𝑤𝐻2 𝑂 diperoleh beberapa persamaan linear untuk untuk untuk untuk

unsur unsur unsur unsur

: : : :

C H N O

7𝑥 = 7𝑧 8𝑥 + 𝑦 = 5𝑧 + 2𝑤 𝑦 = 3𝑧 3𝑦 = 6𝑧 + 𝑤

Keempat persamaan di atas di sebut dengan persamaan linear karena setiap variabelnya mempunyai pangkat satu, dan bukan merupakan fungsi trigonometri, logaritma maupun eksponensial. Himpunan dari beberapa persamaan linear yang jumlahnya berhingga disebut dengan sistem persamaan linear. Secara umum suatu sistem sebarang dari m persamaan linear dengan n variabel (faktor yang tidak diketahui) dapat ditulis sebagai a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2









am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm Dengan a11, a12, …, a1n, …, amn dan b1, b2, …,bn merupakan konstanta, sedangkan x1, x2, …, xn merupakan variabel yang dicari. Dalam bab ini, kita akan melihat bahwa untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear di atas, seluruh informasi yang dibutuhkan untuk memperoleh penyelesaiannya terangkum dalam matriks

 a 11 a  21    a m1

a 12 a 22  a m2

Jurusan Kimia FMIPA UNS

 a 1n b1   a 2n b 2       a mn b m  hal 2



Dan penyelesaiannya dapat diperoleh dengan melakukan operasi yang sesuai terhadap matriks ini. Metode yang digunakan adalah 1. metode matriks yang diperbesar 2. metode eliminasi Gauss 3. metode invers matriks 4. aturan Cramer Sebelum membahas lebih lanjut mengenai metode matriks yang diperbesar, eliminasi Gauss dan invers matriks, terlebih dahulu kita bahas mengenai matriks. Untuk metode keempat akan dibahas pada bab berikutnya, yaitu pada pembahasan determinan. B. Matriks Matriks adalah suatu kumpulan data yang disusun menurut baris dan kolom dan dituliskan di dalam tanda kurung [

]. Bilangan-bilangan dalam matriks disebut dengan

entri/unsur. Berikut adalah contoh matriks

 a 11 a A   21    a m1

a 12 a 22  a m2

 a 1n   a 2n      a mn 

Matriks A adalah matriks berukuran m x n, m menunjukkan banyaknya baris dan n menunjukkan banyaknya kolom. Matriks A dapat juga dinotasikan dengan [aij]mxn atau [aij]. Entri yang terletak pada baris i dan kolom j

pada matriks A dinyatakan sebagai aij.

Transpose dari matriks A dinyatakan dengan dengan AT didefinisikan sebagai matriks n x m yang didapatkan dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A; sehingga kolom pertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari A, dan seterusnya, sehingga diperoleh

 a 11 a A T   12    a 1n

a 21  a m1  a 22  a m2      a 2n  a mn 

Suatu matriks A dengan jumlah baris n dan jumlah kolom n disebut matriks bujursangkar ordo n dan entri a11, a22, …, ann disebut sebagai diagonal utama. Jika A adalah sebuah matriks bujursangkar maka trace dari A, yang dinyatakan sebagai tr(A), didefinisikan sebagai jumlah entri-entri pada diagonal utama A.


hal 3



Terdapat beberapa operasi dalam matriks, yaitu 1. Penjumlahan Matriks jumlahan dari dua matriks A + B (A dan B mempunyai ukuran sama) adalah matriks dengan entri-entrinya merupakan jumlahan dari entri-entri A dengan entrientri yang bersesuaian pada B. 2. Pengurangan (selisih) Selisih A – B (A dan B berukuran sama) adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri pada A dengan entri-entri yang bersesuaian pada B. 3. Perkalian a.

Jika A adalah matriks mx r dan B adalah matriks r x n maka hasilkali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri pada baris i dan kolom j dari AB, pisahkanlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut dan kemudian jumlahkan hasil yang diperoleh. Contoh 1:

1 1 2 9    A3 x 4 = 2 4  3 1 dan B4 x 1 =   3 6  5 0 8   AB = 17    25

1  2    2   1 

diperoleh dari 2.1 + 4.2 + (-3).(-2) + 0.1

b. Jika A adalah matriks sebarang dan c adalah scalar sebarang, maka hasilkalinya cA adalah matriks yang diperoleh dari perkalian setiap entri pada matriks A dengan bilangan c. Matriks cA disebut sebagai kelipatan skalar dari A. Notasi : Jika A = [aij] maka (cA)ij = c(A)ij = caij. 4. Perkalian blok Jika A dan B dipartisi menjadi sejumlah submatriks misalnya

 A 11 A 21

A= 

A 12  A 22 

dan

 B11 B12   B 21 B 22 

B= 

maka AB dapat dinyatakan sebagai


hal 4


 A 11B11  A 12 B 21 A 21B11  A 22 B 21

AB = 


A 11B12  A 12 B 22  A 21B12  A 22 B 22 

dengan syarat ukuran-ukuran submatriks A dan B sedemikian rupa sehingga operasioperasi yang disebutkan dapat dilakukan. Metode perkalian matriks yang dipartisi ini disebut sebagai perkalian blok.

C. Bentuk Matriks Dari Suatu Sistem Linear Perkalian matriks memiliki aplikasi penting dalam sistem persamaan linear. Perhatikan sistem yang terdiri dari m persamaan linear dengan n faktor yang tidak diketahui berikut ini. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2









am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm Karena dua matriks adalah setara jika dan hanya jika entri-entri yang bersesuaian adalah setara, maka kita dapat menukar m persamaan dalam sistem ini dengan persamaan matriks tunggal

 a 11x 1  a 12 x 2  ...  a 1n x n   b 1   a x  a x  ...  a x   b  22 2 2n n   21 1  2           a m1 x 1  a m2 x 2  ...  a mn x mn  b m  Matriks m x 1 pada ruas kiri persamaan dapat ditulis sebagai hasilkali, sehingga kita memperoleh

 a 11 a  21    a m1

a 12 a 22  a m2

 a 1n   x 1   b 1   a 2n   x 2   b 2               a mn   x n  b m 

Jika kita menyebut matriks-matriks di atas masing-masing sebagai A, x dan b, maka sistem asli yang terdiri dari m dari persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui telah digantikan dengan persamaan matriks tunggal berikut ini. Ax = b Matriks A pada persamaan ini disebut matriks koefisien dari sistem tersebut. Matriks yang diperbesar dari sistem tersebut diperoleh dengan menggabungkan b ke A sebagai kolom terakhir, sehingga bentuk matriks yang diperbesar menjadi


hal 5

[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks]  a 11  a 21 [A|b] =     a m1


a 12 a 22  a m2

 a 1n  a 2n   a mn

b1   b2     b m 

1. Metode Matriks Yang Diperbesar Suatu sistem persamaan linear yang terdiri dari m persamaan linear dengan n faktor yang tidak diketahui dapat dipersingkat dengan hanya menuliskan deretan bilanganbilangan dalam jajaran empat persegi panjang:

 a 11 a  21    a m1

a 12 a 22  a m2

 a 1n b 1   a 2n b 2       a mn b m 

Ini disebut matriks yang diperbesar dari sistem tersebut. Contoh 2: Matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan x1 + x2 + 2x3 = 9 2x1 + 4x2 - 3x3 = 1 3x1 + 6x2 - 5x3 = 0 adalah

1 1 2 9  2 4  3 1   3 6  5 0 Ketika menyusun suatu matriks yang diperbesar, faktor-faktor yang tidak diketahui harus ditulis dengan urutan yang sama untuk setiap persamaan dan konstanta harus berada pada bagian paling kanan. Metode dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah dengan menggantikan sistem yang ada dengan suatu sistem baru yang memiliki himpunan solusi yang sama tapi penyelesaiannya lebih mudah. Sistem baru ini biasanya diperoleh dengan melalui beberapa langkah dengan cara menerapkan tiga jenis tipe operasi berikut untuk mengeliminasi faktor-faktor yang tidak diketahui secara sistematis. 1. mengalikan persamaan dengan konstanta tak nol 2. menukarkan posisi dua persamaan 3. menambahkan kelipatan satu persamaan ke persamaan lainnya.


hal 6



Contoh 3. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan melakukan operasi terhadap persamaan dalam sistem. x1 + x2 + 2x3 = 9 2x1 + 4x2 - 3x3 = 1 3x1 + 6x2 - 5x3 = 0 Langkah-langkah yang diambil untuk menyelesaikan persamaan di atas adalah 1. tambahkan -2 kali persamaan petama ke persamaan kedua untuk memperoleh x1 + x2 + 2x3 = 9 2x2 - 7x3 = -17 3x1 + 6x2 - 5x3 = 0 2. tambahkan -3 kali persamaan pertama ke persamaan ketiga untuk memperoleh x1 + x2 + 2x3 = 9 2x2 - 7x3 = -17 3x2 - 11x3 = -27 3. kalikan persamaan kedua dengan ½ untuk memperoleh x1 + x2 + 2x3 = 9 x2 – 7/2x3 = -17/2 3x2 - 11x3 = -27 4. tambahkan -3 kali persamaan kedua ke persamaan ketiga untuk memperoleh x1 + x2 + 2x3 = 9 x2 – 7/2x3 = -17/2 - 1/2x3 = -3/2 5. kalikan persamaan ketiga dengan -2 untuk memperoleh x1 + x2 + 2x3 = 9 x2 – 7/2x3 = -17/2 x3 = 3 6. tambahkan -1 kali persamaan kedua ke persamaan pertama untuk memperoleh x1 + 11/2x3 = 35/2 x2 – 7/2x3 = -17/2 x3 = 3 7. tambahkan -11/2 kali persamaan ketiga ke persamaan pertama dan 7/2 kali persamaan ketiga ke persamaan kedua untuk memperoleh x1

=1 x2

=2 x3 = 3


hal 7



jadi diperoleh penyelesaian x1 = 1, x2 = 2, dan x3 = 3. Selanjutnya akan kita bandingkan langkah-langkah di atas dengan menggunakan operasi baris elementer. Karena baris-baris (urutan horizontal) dari matriks yang

diperbesar bersesuaian dengan persamaan-persamaan dalam sistem yang berkaitan, operasi-operasi dalam persamaan di atas ini dengan operasi-operasi berikut pada baris-baris matriks yang diperbesar. 1. mengalikan baris dengan konstanta taknol 2. menukarkan posisi dua baris 3. menambahkan kelipatan satu baris ke baris lainnya. Inilah yang disebut dengan operasi baris elementer. Contoh 4.

Menyelesaikan sistem yang sama dengan contoh sebelumnya dengan

melakukan operasi terhadap baris pada matriks yang diperbesar. Sistem persamaan linear terlebih dahulu disajikan dalam matriks yang diperbesar, yaitu

1 1 2 9  2 4  3 1   3 6  5 0 Langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan sistem di atas adalah 1. tambahkan -2 kali baris pertama ke baris kedua untuk memperoleh

9  1 1 2 0 2  7  17   3 6  5 0  2. tambahkan -3 kali baris pertama ke baris ketiga untuk memperoleh

9  1 1 2 0 2  7  17    0 3  11  27 3. kalikan baris kedua dengan ½ untuk memperoleh

2 9  1 1 0 1  7 / 2  17 / 2   0 3  11  27  4. tambahkan -3 kali baris kedua ke baris ketiga untuk memperoleh


hal 8



2 9  1 1 0 1  7 / 2  17 / 2   0 0  1 / 2  3 / 2  5. kalikan baris ketiga dengan -2 untuk memperoleh

2 9  1 1 0 1  7 / 2  17 / 2   0 0 1 3  6. tambahkan -1 kali baris kedua ke baris pertama untuk memperoleh

1 0 11 / 2 35 / 2  0 1  7 / 2  17 / 2   0 0 1 3  7. tambahkan -11/2 kali baris ketiga ke baris pertama dan 7/2 kali baris ketiga ke baris kedua untuk memperoleh

1 0 0 1  0 1 0 2    0 0 1 3 jadi diperoleh penyelesaian x1 = 1, x2 = 2, dan x3 = 3.

D. Metode Eliminasi Gauss Metode eliminasi Gauss adalah suatu prosedur yang didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar dari suatu sistem menjadi matriks yang diperbesar lain yang cukup sederhana sehingga penyelesaian sistem dapat diperoleh hanya dengan melakukan inspeksi terhadap sistem tersebut. Pada contoh 4 suatu sistem linear dengan faktor-faktor yang tidak diketahui x1, x2, dan x3 menggunakan reduksi matriks yang diperbesar sehingga diperoleh

1 0 0 1  0 1 0 2    0 0 1 3 Atau dengan kata lain diperoleh penyelesaian x1 = 1, x2 = 2, dan x3 = 3. Ini merupakan contoh matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi. Sifat-sifat dari matriks ini adalah 1. Jika satu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan 1 ini disebut 1 utama. 2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.


hal 9



3. jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi. 4. setiap kolom yang memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat-tempat lainnya. Matriks yang memiliki tiga sifat pertama di atas merupakan matriks dalam bentuk eselon baris. Jadi matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi sudah pasti merupakan matriks dalam bentuk eselon baris, tetapi tidak sebaliknya. Contoh 5. Misalkan suatu matriks yang diperbesar dari suatu sistem persamaan linear telah direduksi melalui operasi baris menjadi bentuk eselon baris tereduksi berikut ini. Selesaikan sistem tersebut.

1 0 0 4  1   a. 0 1 0 2 6   0 0 1 3 2 

1 0 0 0   b. 0 1 2 0   0 0 0 1

Penyelesaian. a. sistem persamaan yang bersesuaian adalah a + 4d = -1 b + 2d = 6 c + 3d = 2 karena a, b, c bersesuaian dengan 1 utama pada matriks yang diperbesar maka ketiganya disebut sebagai variabel utama. Variabel-variabel yang bukan utama (dalam hal ini d) disebut sebagai variabel bebas. Dengan menyelesaikan variabelvariabel utama dalam bentuk variabel bebas akan diperoleh a = -1 – 4d b = 6 – 2d c = 2 - 3d dari bentuk persamaan-persamaan ini terlihat bahwa dapat kita tetapkan nilai sebarang untuk variabel bebas d, misalnya t, yang selanjutnya akan menentukan nilai variabel-variabel utama a, b, dan c. Jadi akan terdapat takterhingga banyaknya penyelesaian dengan penyelesaian umumnya dinyatakan dalam rumus-rumus a = -1 - 4t,

b = 6 – 2t,

c = 2 – 3t,

dan

d = t.

b. persamaan terakhir dalam sistem persamaan yang bersesuaian adalah 0a + 0b + 0c = 1 Karena persamaan ini tidak dapat dipenuhi, maka sistem ini tidak memiliki solusi.


hal 10



METODE ELIMINASI. Berikut adalah prosedur eliminasi tahap demi tahap yang dapat digunakan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi. Untuk memberi gambaran supaya mudah dipahami kita ambil sebuah contoh, yaitu

0 0  2 0 7 12  2 4  10 6 12 28   2 4  5 6  5  1 Langkah 1. Perhatikan kolom paling kiri yang tidak seluruhnya terdiri dari nol.

0 0  2 0 7 12  2 4  10 6 12 28   2 4  5 6  5  1 Langkah 2. Jika perlu, pertukarkan baris paling atas dengan baris lain untuk menempatkan entri taknol pada puncak kolom yang kita peroleh pada langkah 1.

2 4  10 6 12 28 0 0  2 0 7 12    2 4  5 6  5  1

B1  B2

Langkah 3. Jika entri yang kini berada pada puncak kolom yang kita peroleh pada langkah 1 adalah a, kalikan baris pertama dengan 1/a sehingga terbentuk 1 utama.

1 2  5 3 6 14  0 0  2 0 7 12    2 4  5 6  5  1

½ B1

Langkah 4. Tambahkan kelipatan yang sesuai dari baris paling atas ke baris-baris di bawahnya sehingga semua entri di bawah 1 utama menjadi nol.

14  1 2  5 3 6 0 0  2 0 7 12   0 0 5 0  17  29

B3 – 2 B1

Langkah 5. Sekarang tutuplah baris atas dari matriks dan mulailah lagi dengan langkah 1 pada submatriks yang tersisa. Lanjutkan langkah ini hingga seluruh matriks berada dalam bentuk eselon baris.

14  1 2  5 3 6 0 0  2 0 7 12   0 0 5 0  17  29

Tutup baris paling atas

kolom taknol paling kiri dalam submatriks


hal 11



6 14  1 2  5 3 0 0 1 0  7 / 2  6    0 0 5 0  17  29

-1/2 b1

6 14  1 2  5 3 0 0 1 0  7 / 2  6    0 0 0 0 1 / 2 1 

b2 – 5 b1

6 14  1 2  5 3 0 0 1 0  7 / 2  6    0 0 0 0 1 / 2 1 

baris paling atas submatriks ditutup

kolom taknol paling kiri dalam submatriks baru

6 14  1 2  5 3 0 0 1 0  7 / 2  6    0 0 0 0 1 2 

2b

Keseluruhan matriks kini berada dalam bentuk eselon baris. Untuk memperoleh bentuk eselon baris tereduksi kita membutuhkan langkah tambahan berikut. Langkah 6. Mulai dengan baris taknol terakhir dan bergerak ke atas, tambahkan kelipatan yang sesuai dari tiap baris di atasnya untuk memperoleh nol di atas 1 utama.

1 2  5 3 6 14 0 0 1 0 0 1    0 0 0 0 1 2 

B2 + 7/2 B3

1 2  5 3 0 2 0 0 1 0 0 1    0 0 0 0 1 2

B1 - 6 B3

1 2 0 3 0 7 0 0 1 0 0 1    0 0 0 0 1 2

B1 + 5 B2

Matriks terakhir di atas berada dalam bentuk eselon baris tereduksi. Langkah 1 – Langkah 5 menghasilkan matriks dalam bentuk eselon baris , prosedur ini disebut dengan ELIMINASI GAUSS. Sedangkan prosedur sampai Langkah 6 menghasilkan bentuk eselon baris tereduksi, disebut dengan ELIMINASI GAUSS-JORDAN. Contoh 6. Selesaikan dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan x1 + 3x2 – 3x3

+ 2x5

=0

2x1 + 6x2 – 5x3 - 2x4 + 4x5 – 3x6 = -1


hal 12



5x3 + 10x4 2x1 + 6x2

+ 15x6 = 5

+ 8x4 + 4x5 + 18x6 = 0

Penyelesaian. Matriks yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah

1 2  0  2

-1B2

3 2 0 2 0 0 6  5  2 4  3  1 0 5 10 0 15 5   6 0 8 4 18 6  3 2 0 1

1 0  0  0

0 0

1 0 B3  B4  0  0 1 0 B2 – 3B3  0  0

5 4

0 1 10 0 15 5  8 0 18 6 0 2

2 0

0 3

B4 – 2B1

1 0  0  0

B3 - 5B2 B4 – 4B2

3  2 0 2 0 0 0 1 2 0 3 1 1/6 B3 0 0 0 0 6 2  0 0 0 0 0 0

1 0  0  0

3 2 0 2 0 0 1 2 0 0 0 0

0 0

3 2 0 2 0 0 0  1  2 0  3  1 0 5 10 0 15 5   0 4 8 0 18 6 

1 0  0  0

B2 - 2B1

0  0  B1 + 2B2 0 0 1 1 / 3  0 0 0 0 

3  2 0 2 0 0 0 1 2 0 3 1 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 6 2

3 2 0 2 0 0 1 2 0 3 0 0

1 0  0  0

0 0

0  1  0 0 1 1 / 3  0 0 0 0 

0  0  0 0 0 0 1 1 / 3  0 0 0 0 0 0  3 0 4 2 0 0 1 2 0 0

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah x1 + 3x2

+ 4x4 + 2x5 x3 + 2x4

=0 =0 x6 = 1/3

Dengan menyelesaikan variabel utama kita peroleh x1 = -3x2 - 4x4 - 2x5 x3 = -2x4 x6 = 1/3 Jika kita menetapkan r, s, dan t masing-masing untuk variabel-variabel bebas x2, x4, dan x5 maka penyelesaian umumnya dinyatakan dalam rumus-rumus x1 = -3r - 4s – 2t,

x2 = r,

x3 = -2s,

x4 = s,

x5 = t,

dan

x6 = 1/3

SUBSTITUSI BALIK. Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear kadang-kadang lebih dipilih penggunaan eliminasi Gauss untuk mengubah matriks yang diperbesar menjadi bentuk eselon baris tanpa menyelesaikannya dengan tuntas hingga didapatkan bentuk


hal 13



eselon baris tereduksi. Jika langkah ini dipilih, selanjutnya sistem persamaan yang bersesuaian dapat diselesaikan dengan metode yang disebut substitusi balik. Contoh 7. Bentuk eselon baris dari matrik yang diperbesar pada contoh 6 adalah

1 0  0  0

3 2 0 2 0 0 1 2 0 3 0 0

0 0

0  1  0 0 1 1 / 3  0 0 0 0 

Untuk menyelesaikan sistem persamaan yang bersesuaian x1 + 3x2 - 2x3 +

2x5

x3 + 2x4

=0

+ 3x6 = 1 x6 = 1/3

langkah-langkah yang dilakukan adalah Langkah 1. Selesaikan persamaan-persamaan untuk variabel utama x1 = -3x2 + 2x3 - 2x5 x3 = 1 - 2x4 - 3x6 x6 = 1/3 Langkah 2. Mulai dari persamaan paling bawah dan bergerak ke atas, berturut-turut lakukan substitusi setiap persamaan ke dalam persamaan atasnya. Substitusi x6 = 1/3 ke persamaan kedua menghasilkan x1 = -3x2 + 2x3 - 2x5 x3 = - 2x4 x6 = 1/3 Substitusi x3 = -2x4 ke persamaan pertama menghasilkan x1 = -3x2 - 4x4 - 2x5 x3 = - 2x4 x6 = 1/3 Langkah 3. Tetapkan nilai-nilai sebarang untuk variabel-variabel bebas jika ada. Jika kita menetapkan r, s, dan t masing-masing untuk variabel-variabel bebas x2, x4, dan x5 maka penyelesaian umumnya dinyatakan dalam rumus-rumus x1 = -3r - 4s – 2t,

x2 = r,

x3 = -2s,

x4 = s,

x5 = t,

dan

x6 = 1/3

Ini sesuai dengan penyelesaian pada contoh 6.


hal 14



E. Metode Invers Matriks Jika A adalah matriks bujursangkar, dan jika terdapat matriks B yang ukurannya sama sedemikian rupa sehingga AB = BA = I, maka A disebut dapat dibalik (mempunyai invers) dan B disebut invers dari A. Jika matriks B tidak dapat didefinisikan, maka A dinyatakan sebagai matriks singular.

1 4 0    Contoh matrik singular : 2 5 0 .   3 6 0 Sifat-sifat invers: 1. Jika B dan C kedua-duanya adalah invers dari matriks A, maka B = C.

a b   dapat dibalik jika ad – bc 0, dan inversnya dapat dihitung c d 

2. Matriks A = 

sesuai dengan rumus

 d  1  d - b A-1 = =  ad - bc   c ad - bc - c a    ad - bc

b  ad - bc  a   ad - bc 

3. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dengan ukuran yang sama, maka AB dapat dibalik dan (AB)-1 = B-1A-1. METODE MENENTUKAN A-1. Untuk mencari invers dari matriks A yang dapat dibalik, kita harus mencari suatu urutan operasi baris elementer yang mereduksi A menjadi identitas dan melakukan urutan operasi yang sama terhadap I untuk memperoleh A-1. Contoh 8. Tentukan invers dari

1 2 3 2 5 3   1 0 8 Penyelesaian. Matriks A direduksi menjadi matriks identitas melalui operasi-operasi baris dan secara simultan melakukan operasi yang sama terhadap I untuk memperoleh A-1. Caranya adalah matriks dengan bentuk [A|I] Matriks A (sisi kiri) direduksi menjadi I dengan menggunakan operasi-operasi baris sehingga diperoleh [I|A-1]


hal 15



Penghitungan yang dilakukan adalah sebagai berikut.

1 2 3 1 0 0     2 5 3 0 1 0 1 0 8 0 0 1 1 2 3 1 0 0   0 1  3  2 1 0  0  2 5  1 0 1

B2 – 2B1 dan B3 – B1

1 2 3 1 0 0   0 1  3  2 1 0  0 0  1  5 2 1

B3 + 2B2

1 2 3 1 0 0   0 0 1  3  2 1 0 0 1 5  2  1

-B3

1 2 0  14 6 3   0 1 0 13  5  3 0 0 1 5  2  1

B2 + 3B3 dan B1 – 3B3

1 0 0  40 16 9    0 1 0 13  5  3 0 0 1 5  2  1

B1 – 2B2

Jadi

 40 16 9    A-1 = 13  5  3    5  2  1 Suatu matriks A yang tidak dapat dibalik , tidak dapat direduksi menjadi matriks I melalui operasi baris elementer. Dengan kata lain bentuk eselon baris tereduksi dari A memiliki paling tidak satu baris bilangan nol. Jadi jika terdapat satu baris bilangan nol saja pada sisi kiri maka dapat disimpulkan bahwa matriks tersebut tidak dapat dibalik dan perhitungan dapat dihentikan Contoh 9. Dapatkan invers matriks

1 6 4   A = 2 4 1    1 2 5  Jurusan Kimia FMIPA UNS

hal 16



Penyelesaian.

 1 6 4 1 0 0    2 4  1 0 1 0  1 2 5 0 0 1 1 6 4 1 0 0   0  8  9  2 1 0  0 8 9 1 0 1

B2 – 2B1 dan B3 + B1

1 6 4 1 0 0   0  8  9  2 1 0  0 0 0  1 1 1

B3 + B2

Karena terdapat satu baris bilangan nol pada sisi kiri maka A tidak dapat dibalik (A tidak mempunyai invers).

Penyelesaian Sistem Linear Dengan Inversi Matriks. Jika A adalah suatu matriks n x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks b,

n x 1,

sistem persamaan Ax = b memiliki tepat satu solusi, yaitu x = A-1b. Contoh 10. Tentukan penyelesaian sistem linear berikut dengan menggunakan A-1. x1 + 2x2 + 3x3 = 5 2x1 + 5x2 + 3x3 = 3 x1

+ 8x3 = 17

Penyelesaian. Dalam bentuk matriks sistem di atas dapat ditulis sebagai Ax = b di mana

1 2 3   A= 2 5 3   1 0 8

 x1    x = x2    x 3 

5   b= 3   17 

Berdasarkan Contoh 8, invers dari matrik A adalah

 40 16 9    A = 13  5  3    5  2  1 -1

Dengan demikian penyelesaian dari sistem ini adalah

 40 16 9   5  1       x = A b = 13  5  3 3 =  1       5  2   2  1 17  -1

atau x1 = 1, x2 = -1 dan x3 = 2.


hal 17



CATATAN : Ingat bahwa metode pada contoh di atas hanya berlaku pada sistem yang memiliki persamaan sebanyak faktor yang tidak diketahui dan matriks koefiennya dapat dibalik. Referensi: 1. Anton, H. and C. Rorres, 2005, Elementary Linear Algebra, 9 th ed, John Wiley & Sons, Inc. 2. http://en.wikibooks.org/wiki/Linear_Algebra/Solving_Linear_Sistems


hal 18

A. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear. B. Materi : 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2. Determinan

Recommend Documents