Fejezetek a matematika tanításából
A dinamikus geometriai rendszerek használatának egy lehetséges területe
Készítette: Harsányi Sándor V. matematika-informatika szakos hallgató
Porcsalma, 2004. december 12.
Fejezetek a matematika tanításából.
Dinamikus geometriai rendszerek.
A ruletták speciális, elsősorban műszaki alkalmazásaik miatt fontos síkgörbék, vizsgálatuk azonban számos geometriai érdekességet is tartogat számunkra. A ruletták ábrázolását, vizsgálatát jelentősen megkönnyítik a különféle geometriai szerkesztőprogramok. Ebben a cikkben szeretnék bemutatni néhány fontosabb rulettát, valamint rávilágítani azok egy szemléltetési lehetőségére a „Geogebra” dinamikus geometriai program segítségével. Vizsgálódásaim a mozgási geometria témakörébe tartoznak. A téma ugyan nem szerepel a közoktatás tananyagában, módszertani szempontból mégis hasznosnak és érdekesnek tekinthető. A mozgások megjelenítése, ábrázolása általában látványos animációkat eredményez, ezért módszertanilag alkalmas a tanulók érdeklődésének felkeltésére. A mozgások megjelenítéséhez a „Geogebra” program számos lehetőséget kínál. Mindezek tudatos felhasználásához azonban megfelelő rutinnal kell rendelkeznünk a választott geometriai szerkesztőprogram használatában. A rutin megszerzéséhez szükséges ismeretek elsajátításában kívánok segítséget nyújtani úgy, hogy részletesen ismertetem néhány ruletta előállításának technikai lépéseit a „Geogebra” program segítségével a dinamikus geometriai rendszer erre alkalmas eszközeinek szemléltetésével párhuzamosan. Legyenek adottak a g1 és a g2 síkgörbék! Rögzített g1 mellett g2-t úgy mozgassuk el g1 mentén, hogy mozgás közben a két görbe mindig érintkezzen egymással, azaz az érintkezési pontban közös legyen az érintőjük, valamint az érintkezési pont mindkét görbén állandó irányban haladjon! Ekkor, ha g1 bármely két P1 és P2 pontjára és a g2-n nekik megfelelő P1’ és P2’ pontokra teljesül, hogy a P1P2 ív egyenlő hosszú a P1’P2’ ívvel, akkor azt mondjuk, hogy a g2 görbe a g1 görbe mentén csúszás nélkül gördül. Ha g1 és g2 két egymást fedő közös síkban van, g1 síkját rögzítjük, g2-é viszont gördülés közben g2-vel együtt mozog, akkor a mozgó sík minden pontja egy pályagörbét ír le. Ezeket a görbéket nevezzük rulettáknak. A ruletták természetesen a g1 és a g2 görbék megválasztásától függően nagyon sokfélék lehetnek. Én most csak néhány, a gyakorlati alkalmazások szempontjából lényeges görbét szemléltetek. Példáimban g1 és g2 minden esetben kör, illetve egyenes lesz. Ha a g1 görbe egyenes, a g2 pedig kör, akkor gördülés közben g2 síkjának pontjai cikloisokat írnak le. Cikloist ír le pl.: a mozgó kerékpár kerekének egy rögzített pontja is. Erre a rulettára néha a trochoid elnevezést is használjuk. Cikloisív szerkesztése a „Geogebra” program segítségével: A munkalapon vegyünk fel egy – a gördülő kör sugarát definiáló – szakaszt, és egy - a g1 görbét reprezentáló, A és B pontokra illeszkedő – egyenest (1. ábra)!
2
Fejezetek a matematika tanításából.
Dinamikus geometriai rendszerek.
1. ábra.
Ezek után vegyünk fel egy félegyenest és azon egy mozgó pontot (M) az elmozdulás mértékének manuális módosításához (2. ábra)!
2. ábra.
3
Fejezetek a matematika tanításából.
Dinamikus geometriai rendszerek.
Az F1 pont fix objektummá való átdefiniálása, és az F2 pont elrejtése után határozzuk meg a gördülő kör középpontját! Ehhez körözzünk az A pontból a d(F1,M) sugárral, és jelöljük ki a kör, illetve a g1 egyenes metszéspontját (T)! Adott sugarú kör rajzolására a „Circle[középpont, sugár]” parancs input mezőbe való beírásával, és az „ENTER” billentyű leütésével utasíthatjuk a rendszert, ahol a „középpont” és a „sugár” formális paraméterek értékét a megfelelő aktuális paraméterértékekkel kell helyettesítenünk. A létrejött metszéspontban állítsunk merőlegest a g1 egyenesre! A keresett kör középpontja (O) ezen az egyenesen fog elhelyezkedni a metszésponttól (T) d(R1,R2) távolságra (3. ábra).
3. ábra.
A szerkesztés folytatása előtt a továbbiakban nem használt objektumokat az átláthatóság segítésére elrejthetjük! Szerkesszük meg a g 2 görbét reprezentáló O középpontú, d(R1,R2) sugarú kört! Nézzük meg, mi történik akkor, amikor a g2 kör a g1 egyenes mentén csúszás nélkül gördül! A gördülés kezdetén a kör az A pontban érinti a g1 egyenest. Ha a gördülés csúszásmentes, és a kör egy későbbi helyzetében a kezdeti érintési pont (A) aktuális helyzetét P jelöli, akkor szűkségképpen d(A,T) = TP, ahol T jelöli az aktuális érintési pontot, TP pedig a kör megfelelő ívének hosszát. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a kezdeti érintési pont annyit fordul el a körvonalon, amennyit az érintési pont a g1 egyenesen halad. A körvonalon mozgó P pont szerkesztéséhez a „Geogebra” beépített utasításként tartalmazza egy objektum forgatását, ha ismerjük a forgatás centrumát és az elforgatás szögét radiánban megadva. Ezt a szolgáltatást a „Command …” 4
Fejezetek a matematika tanításából.
Dinamikus geometriai rendszerek.
utasításcsoporton belül a Rotate[] utasítással érhetjük el, amelynek formális paraméterezése: Rotate[objektum, szög, centrum] (4. ábra).
4. ábra.
A cikloisív megjelenítéséhez a P pont nyomvonalát kell kirajzoltatni az M pont mozgatása közben (5. ábra).
5. ábra.
5
Fejezetek a matematika tanításából.
Dinamikus geometriai rendszerek.
További cikloisokat is megjeleníthetünk, ha nem kötjük ki, hogy a d(O,P) távolság egyezzen meg a gördülő kör sugarával. Ha a P pont a körrel együtt gördül, de nem illeszkedik annak körvonalára, akkor a mozgás során P hurkolt vagy nyújtott cikloist ír le, attól függően, hogy P a körön kívül, vagy azon belül helyezkedik-e el (6. ábra).
6. ábra.
Legyen most a g1 és a g2 síkgörbe is kör! Ha g2 a g1-et kívülről érintve gördül, akkor g2 síkjának pontjai epicikloist írnak le. Ha a fix g1 kör és a gördülő g2 kör belülről érintkeznek, a létrejövő ruletták a hipocikloisok. Természetesen sokféle epiciklois és hipociklois elképzelhető attól függően, hogy a g1 és a g2 körök sugara hogyan aránylik egymáshoz, illetve a g2 kör síkjának mely pontját tekintjük. Hipocikloisív megjelenítése a „Geogebra” program segítségével: Első lépésként vegyünk fel két szakaszt (r1, r2) a g1 és a g2 körök sugarának definiálására! A körök sugarát a későbbiekben interaktív módon a megfelelő szakaszok végpontjainak mozgatásával módosíthatjuk. Ezek után jelöljük ki a g1 kör középpontját (O1), mint fix objektumot, és szerkesszük meg a kört r1 sugárral (7. ábra)!
6
Fejezetek a matematika tanításából.
Dinamikus geometriai rendszerek.
7. ábra.
Vegyünk fel egy félegyenest és azon egy mozgó pontot (M) az elmozdulás mértékének manuális módosításához (8. ábra)!
8. ábra.
7
Fejezetek a matematika tanításából.
Dinamikus geometriai rendszerek.
Adjuk meg a két kör kezdeti érintési pontját (ábránkon az A-val jelölt pont), majd határozzuk meg az M pont F1-től mért távolságának függvényében az aktuális érintési pontot! Nézzük meg, mi történik akkor, amikor a g2 kör a g1 kör mentén csúszás nélkül gördül! A gördülés kezdetén a g2 kör az A pontban érinti a g1 kört. Azt szeretnénk, ha az M pontnak az F1 ponttól mért d(F1,M) távolsága esetén a g1 és a g2 körök aktuális érintési pontjára az alábbi összefüggés teljesülne: d(F1,M) = AA’, ahol A’ jelöli az aktuális érintési pontot, AA’ pedig a g1 kör megfelelő ívének hosszát. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a kezdeti érintési pont annyit mozdul el a g1 kör körvonalán, amennyit az M pont a félegyenesen halad. Az A’ pont megszerkesztéséhez határozzuk meg az elforgatás szögét, majd forgassuk el a kezdeti érintési pontot az O1 pont körül a megadott szöggel negatív irányban! Használjuk a „Geogebra” korábban ismertetett beépített objektum forgató utasítását (9. ábra)!
9. ábra.
Az aktuális érintési pontból (A’) állítsunk félegyenest a g1 kör középpontján keresztül! A gördülő kör aktuális középpontja erre a félegyenesre fog illeszkedni az érintési ponttól r2 távolságra. Szerkesszük meg a g2 kör aktuális középpontját (O2), majd a g2 kört (10. ábra)!
8
Fejezetek a matematika tanításából.
Dinamikus geometriai rendszerek.
10. ábra.
A szerkesztés folytatása előtt a továbbiakban nem használt objektumokat az átláthatóság érdekében elrejthetjük (11. ábra)!
11. ábra.
9
Fejezetek a matematika tanításából.
Dinamikus geometriai rendszerek.
A ruletták definíciója alapján a hipociklois aktuális P pontja úgy helyezkedik el a g2 körvonalon, hogy a g2 körön mért A’P körív hossza megegyezik a g1 körvonalon mért AA’ körív hosszával. Mivel a g1 és a g2 körök sugarának aránya és az A’P, valamint az AA’ körívekhez tartozó középponti szögek aránya megegyezik, ez lehetőséget biztosít a P pont elforgatáson alapuló szerkesztésére. A P pontot úgy kapjuk meg, hogy A’–t elforgatjuk az O2 pont körül az A’O1A szög r1/r2-szeresével pozitív irányban (12. ábra).
12. ábra.
A hipocikloisív megrajzolásához a P pont megjeleníttetni az M pont mozgatása közben (13. ábra).
10
nyomvonalát
kell
Fejezetek a matematika tanításából.
Dinamikus geometriai rendszerek.
13. ábra.
11
