Dinamikus módszerek alkalmazása a geometriaoktatás különbözõ területein Árki Tamás SzTE JGYTFK Matematikai Tanszék Ebben a cikkben a dinamikus geometriai rendszerek tipikus szolgáltatásainak módszertani szempontból történõ bemutatására vállalkoztunk. Igyekszünk rávilágítani, hogy az általános iskolától a felsõoktatásig a geometriaoktatás mely területein, milyen célokkal használhatók dinamikus módszerek. Mindezt számos konkrét példán keresztül mutatjuk be. Az elsõ geometriai szerkesztõprogram a francia fejlesztésû Cabri1 (1987), amelyet számos más társa követett, ezek közül a legismertebb a Cinderella 2 , amely német fejlesztésû program. A szerkesztõprogramok sorában egy magyar fejlesztésû is található; ez a program az Euklides 3 . Az Euklides (és általában a többi szerkesztõprogram is) shareware termék, így csak bizonyos korlátozásokkal mûködik, amelyeket egy regisztrációs kód vásárlásával feloldhatunk. A program korábbi verziói ingyenesek, de természetesen kisebb tudásúak is egyben. Ebben a cikkben szereplõ példákhoz tartozó mintaszerkesztések az Euklides programmal készültek. Az Internetrõl letölthetõ az úgynevezett Euklides Olvasó program, amely ingyenes, viszont szerkeszteni és menteni nem lehet vele, csak a kész szerkesztések megnyitását támogatja. Dinamikus geometriai rendszerek jellemzõi Az alábbiakban összefoglaljuk a dinamikus szerkesztõprogramok jellemzõ szolgáltatásait, amelyek nem kötõdnek egyetlen programhoz sem. Természetesen az ismertetésre kerülõ szolgáltatások közel sem jellemeznek teljes egészében egyetlen programot sem. Interaktivitás A geometriai szerkesztõprogramokban a szerkesztések pontokra épülnek fel. A programok kétféle pontot különböztetnek meg; bázispontokat, melyeket a síkon bárhol felvehetünk, valamint származtatott pontokat, melyek szerkesztések útján keletkeznek, így helyzetüket a korábban már felvett bázispontok, esetleg közvetlenül más származtatott pontok határozzák meg. Az interaktivitás azt jelenti, hogy a bázispontok a síkon szabadon megfoghatók, arrébb vihetõk, a megszerkesztett ábra úgy változik, hogy az objektumok közti logikai kapcsolat megmarad. Az interaktivitás segítségével már akár általános iskolás csoportokban is lehetõség nyílik a háromszögek és egyéb síkidomok nevezetes pontjainak, vonalainak és köreinek közvetlen, tapasztalásokon alapuló tanulmányozására. Itt számos példát említhetnénk; a háromszög súlyvonalait, nevezetes köreinek középpontját, az Euler-egyenest, vagy akár a Simsonegyeneseket. A dinamikus rendszerek az interaktivitás révén jó szolgálatot tesznek a felfedeztetésen alapuló geometriaoktatás ügye érdekében. Lehetõség nyílik arra, hogy a diákok maguk fedezzenek fel „új tételeket”, fogalmazzanak meg sejtéseket. Vizsgáljuk meg példaként egy háromszög Lemoine-pontját! A mellékelt mintaszerkesztésben megszerkesztettük az ABC háromszög súlyvonalait, valamint belsõ szögfelezõit, majd tükröztük a súlyvonalak tartó félegyenesét az ugyanabból a csúcsból kiinduló szögfelezõre. Így három félegyenest kaptunk, melyekrõl jól látható, hogy egy pontban metszik egymást (1. ábra). Errõl a diákok papíron is könnyen meggyõzõdhetnek, de minden esetben csak egy konkrét háromszögre. Ha valamelyik háromszögcsúcsot odébb visszük, akkor a „papírgeometriában” az egész szerkesztést újra el kell végezni. A dinamikus 1
http://www.cabri.net/index-e.html http://www.cinderella.de/en/ 3 http://www.euklides.hu/ 2
1
geometriában a bázispontok mozgathatók, a szerkesztett objektumok követik az alappontok változását. Ez lehetõvé teszi diákjaink számára az összefüggések könnyebb megértését, majd általános érvényû sejtések megfogalmazását. Természetesen a tanulókkal fontos tisztázni, hogy a szerkesztõprogramok segítségével minden esetben csak sejtéseket fogalmazhatunk meg. Ezeket a sejtéseket matematikai precizitással igazolni kell. Így a szerkesztõprogramok lehetõséget nyújtanak a bizonyítás iránti igény kialakítására is. A
fb
FC
fc
FB
sa L
B
FA s'a
C
fa
1. ábra Az interaktivitás egy másik lehetséges alkalmazási területe a szerkesztési feladatok diszkussziójának tanítása. Az interaktivitás segítségével gyorsan változtathatók a bemenõ adatok, a szerkesztõprogramok azonnal követik a változásokat. Így azonnal látható, hogy az aktuális adatfelvétel mellett a feladatnak hány megoldása van. Az ilyen típusú, „interaktív diszkusszió” fõleg általános iskolás csoportokban lehet hatékony, hiszen a diákok közvetlenül láthatják, hogy egy-egy szerkesztés végrehajthatósága és eredménye függ a bemenõ adatok megválasztásától. Még egy alkalmazási területet említünk, ami pusztán az interaktív tulajdonságot használja ki. Ez a terület a geometriai transzformációk kapcsolatrendszerének oktatása. Az interaktivitást ebben az esetben szemléltetésre, az összefüggések megértetése használhatjuk. A mellékelt mintaszerkesztésekben két metszõ, illetve két párhuzamos egyenesre vonatkozó tengelyes tükrözés szorzatát vizsgálhatjuk meg. Amennyiben a diákok már tudják, hogy két metszõ egyenesre vonatkozó tükrözés egymás utáni elvégzése egy forgatással helyettesíthetõ, akkor is gyakran gondot szokott okozni annak megértetése, hogy a forgatások is felbonthatók két egyenesre vonatkozó tükrözés szorzatára, amelyek közül az egyik szabadon választható, és ezáltal a másik már egyértelmûen me ghatározott. Ebben a szerkesztésben ennek helyességét szemléltetjük. Nyomvonal megjelenítés Lényege abban áll, hogy egy megszerkesztett ábrában egy bázispontot végigfuttatunk egy objektumon –mely lehet egy szakasz, félegyenes, egyenes, kör, vagy más kúpszelet –, s eközben egy, a futó bázisponttól valamilyen módon függõ, származtatott pont nyomvonalát megjelenítjük.
2
A nyomvonal megjelenítés funkciójának legfontosabb alkalmazási területe a mértani hely meghatározását igénylõ feladatok megoldása. A Sulinet Matematika 1 rovatában nemrég indítottunk egy cikksorozatot, amellyel nem titkolt célunk az, hogy konkrét feladatsorokon keresztül mutassuk meg a kollégáknak, hogy az oktatás mely területein, és milyen módon alkalmazhatók dinamikus geometriai szerkesztõk. Mindegyik cikkben néhány feladatot és azok megoldását adjuk közre. A feladatok megoldásához tartozik egy letölthetõ Euklidesszerkesztés is, amit a kollégák így ki is próbálhatnak. E cikksorozat elsõ darabja 2 mértani hely meghatározását igénylõ feladatokat dolgozott fel. Ennek egyik feladata a következõ. Adott egy kör, valamint egy rajta kívül fekvõ pont. Mi azon körök középpontjainak mértani helye, amelyek átmennek az adott ponton, valamint érintik az adott kört? A feladat megoldását a következõ mintaszerkesztés tartalmazza. Adott tehát a P pont, valamint az O középpontú k kör. Tegyük fel, hogy a szerkesztendõ kör k-t az F’ pontban érinti. Az F’ pont az F bázispontból vetítés útján keletkezett; így a k kör kerületén bármely pont „elõállítható”. A keresett kör középpontja illeszkedik az PF’ szakasz szakaszfelezõ merõlegesére, valamint az OF’ egyenesre, így könnyen szerkeszthetõ. A Q pontok mértani helye megjeleníthetõ, ha az F bázispontot „futtatjuk” a k körön. A 2. ábra alapján sejthetjük, hogy a kapott mértani hely egy hiperbola, melynek fókuszpontjai O és P. Használjuk ki az interaktivitást, és mozgassuk a P pontot! A szerkesztés minden esetben helyes marad, sõt a P pont akár a k kör belsõ pontja is lehet. Ebben az esetben a Q pontok egy ellipszisre (3. ábra) illeszkednek, mely ellipszis fókuszpontjai továbbra is O és P. A diákok a sejtés megfogalmazása után már könnyen elvégezhetik a bizonyítást. A szerkesztés azt is mutatja, hogy a mértani helyként kapott kúpszelet egy pontjához hogyan kell megszerkeszteni a feltételeknek eleget tevõ érintõkört. A fenti példa alapján láthatjuk, hogy a dinamikus geometriai szerkesztõk nemcsak megértés-sejtés folyamatát segítik, hanem támogatják a feladat továbbgondolását is.
O
O
P
Q
F
F'
F
F'
Q P
2. ábra 3. ábra A nyomvonal megjelenítés egy másik alkalmazási területe lehet a geometriai transzformációk fogalmának kialakítása, mélyítése, dinamikus eszközökkel való vizsgálata. Itt elsõsorban az inverzióra és a tengelyes affinitásra gondolunk. Példaként nézzük a következõ, fõiskolások számára kitûzött feladatot! Adott egy ellipszis két fókuszpontja, valamint egy kerületi pontja. Szerkesszünk az ellipszis köré rombuszt, amelynek egyik oldala az adott ellipszispontban érinti az ellipszist! A feladat egy lehetséges megoldása során elõbb az ellipszis tengelyeit, majd a nagytengely Thalesz-körét szerkesztjük meg. Ennek a körnek egy alkalmasan megválasztott merõleges affinitásban épp az ellipszis a képe, ily módon a körérintõk ellipszisérintõkbe mennek át. Megszerkesztetjük ezután az ellipszis kerületén lévõ pont affin õsét, majd az abban vont 1 2
http://www.sulinet.hu/tart/alkat/am http://www.sulinet.hu/tart/cikk/am/0/11723/1
3
körérintõt. A szerkesztett érintõ affin képe a keresett rombusz egyik oldalegyenese, a többi oldalegyenest tükrözésekkel kaphatjuk. A feladat fent vázolt megoldását a hallgatóknak el kell tudni készíteniük, de a megoldást nem tudják „ellenõrizni”, hiszen az ellipszist nem tudják megszerkeszteni, és ezért a feladat számukra semmi izgalmat nem rejteget. A dinamikus geometria szerkesztõk alkalmazásával azonban ezen lehet segíteni; a kör kerületén futó S pont S’ affin képének nyomvonalaként megjeleníthetõ az ellipszis (4. ábra). Tapasztalataink szerint a kúpszeletekkel kapcsolatos szerkesztési feladatok megoldásában komoly motivációs eszközt jelent a nyomvonal megjelenítés funkciója. S0
e'
k S
P0 P
S'
F1
O
F2 e
4. ábra Animáció A geometriai szerkesztõprogramok leglátványosabb, és ebbõl következõen a diákok számára a leginkább motiváló funkciója. Az animáció lényege abban áll, hogy egy bázispontot futtatunk valamilyen alakzaton (mely lehet szakasz, félegyenes, egyenes, vagy kör), miközben egymás után minden egyes fázisban megjelenik az aktuális szerkesztésnek megfelelõ ábra. Általában lehetõség van a fázisok számának beállítására, valamint a fázisok egyidejû megjelenítésére. Módszertani szempontból az animáció alkalmazásának célja kettõs. Egyrészt látványosságával motivációs eszközként alkalmazhatjuk, másrészt a tanulók számára új fogalmak szemléltetésére, bevezetésére használhatjuk. Az alábbiakban erre mutatunk néhány példát. A mellékelt szerkesztésben egy háromszög Simson-egyeneseit vizsgáljuk. A Simsonegyeneseket úgy kapjuk, hogy a háromszög körülírt körének egy pontját merõlegesen vetítjük a háromszög oldalegyeneseire. Megmutatható, hogy a kapott vetületi pontok minden esetben egy egyenesre illeszkednek. Ezt az egyenest a háromszög egy Simson-egyenesének nevezzük. Érdemes megvizsgálni a kapott szerkesztést az animáció eszközeivel! Futtassuk ehhez az S pontot a háromszög körülírt körén. A program egymás után megjeleníti az S pont egyes fázisaihoz tartozó szerkesztést. A fázisok egyidejû mutatásával igen látványos ábrát kapunk (5. ábra). Az eredményként kibontakozó burkoló görbe egy hipociklois, amit úgy kapunk, hogy egy, a háromszög Feuerbach-körének sugarával megegyezõ sugarú kört belülrõl végiggörgetünk egy háromszor akkora sugarú körön, miközben egy rögzített pontjának nyomvonalát vizsgáljuk. A szerkesztés alapján könnyebb út mutatkozik a burkoló görbe fogalmának bevezetésére. A Simson-egyenesek burkoló görbéje alatt olyan görbét értünk, amelynek bármely pontjában húzott érintõje megegyezik a háromszög egy alkalmasan választott Simson-egyenesével.
4
5. ábra Fõiskolánkon a különbözõ típusú körsorok fogalmának kialakításához, valamint azok szemléltetéséhez is dinamikus szerkesztõprogramot használunk. Hallgatóink az animáció eszközeivel állítják elõ két adott kört merõlegesen metszõ körök seregét. Az alábbi ábrák ilyen körsorokat mutatnak (rendre elliptikus, parabolikus, hiperbolikus körsort).
6. ábra
7. ábra
8. ábra
A szerkesztés visszajátszása Az elkészített szerkesztést bármikor újra lejátszhatjuk, ezáltal lehetõség nyílik az ábrát keletkezésének minden egyes fázisában alaposan szemügyre venni. Módszertani elõnyeit abban látjuk, hogy eközben lehetõség van a tanult anyag átismétlésére, valamint az esetleges szerkesztési hibák felderítésére. Mindemellett legnagyobb elõnyét a szerkesztési feladatok diszkussziójának tanításakor vehetjük. Ennek illusztrálására tekintsük példaként a következõ, igen egyszerû feladatot. „Szerkesszünk” parabolát két pontja és vezéregyenese ismeretében! A feladat szö vegében szereplõ szerkesztést természetesen úgy értjük, hogy a dinamikus geometriai szerkesztõprogram beépített funkciója segítségével „rajzoljuk meg” a parabola ívét. Ehhez elegendõ megadni a parabola fókuszpontját és vezéregyenesét. A fókuszpont szerkesztése könnyen elvégezhetõ, ha figyelembe vesszük, hogy a két adott pont (mint középpont) körül rajzolt, a vezéregyenest érintõ körök tartalmazzák a parabola fókuszpontját. Ha a kész szerkesztést levetítjük még egyszer, akkor minden egyes lépésnél könnyen eldönthetõ, hogy az aktuális lépés egyértelmûen végrehajtható-e. A diákok így minden 5
részletszerkesztésnél láthatják, hogy a feladatnak az aktuális lépésig hány megoldása lehetséges, így könnyebben érthetõvé válik számukra a diszkusszió. Ezzel röviden összefoglaltuk a dinamikus geometriai rendszerek tipikus jellemzõit. Természetesen további szolgáltatások állnak a felhasználó rendelkezésére, de úgy gondoljuk, hogy módszertani szempontból a fent említettek a legfontosabbak. További alkalmazási területek Végül néhány további alkalmazási lehetõséget villantunk fel. A problémamegoldó készség fejlesztése szempontjából nagyon hasznosnak tartjuk a „modellváltást” igénylõ feladatokat. Ilyen feladatokkal például akkor találkozhatunk, amikor koordinátageometriai problémát fogalmazunk át dinamikus geometriai nyelvre. Az alábbi feladatot a KÖMAL B jelû gyakorlatai között tûzték ki. (KÖMAL B3616) A derékszögû koordinátarendszer (1;1) pontján átmenõ e, valamint a (-1;1) pontján átmenõ f egyenesekrõl tudjuk, hogy meredekségük különbsége 2. Határozzuk meg, az e és f egyenesek metszéspontjának mértani helyét! A feladat egy egyszerû koordinátageometriai gyakorlópélda, ám ennél érdekesebbé tehetõ, ha diákjainknak kitûzzük a keresett ponthalmaz valamely dinamikus szerkesztõ által történõ megjelenítését. Ehhez a diákoknak szükséges végiggondolniuk a meredekség geometriai tartalmát, valamint annak megjelenítési lehetõségét a választott dinamikus szerkesztõben. Ezzel szemben, ha a pusztán koordinátageometriai megoldást választják, úgy a geometriai tartalom lényegében rejtve marad. A feladat megoldásához tartozó mintaszerkesztésben az S pontot kell futtatni a g egyenesen, miközben az M pont nyomvonalát kell megjeleníteni (9. ábra).
A
g
e
P
S
B
M f
9. ábra Legvégül néhány fõiskolai alkalmazást sorolunk fel. Hallgatóink a hatodik félévben találkoznak dinamikus szerkesztõprogramokkal. A félév során megismerkednek a geometriai szerkesztõk funkcióival, valamint az Euklides használatával. Nem titkolt szándékunk, hogy a program használatát illetõen módszertani ismeretekkel is felvértezzük õket. A fent már vázolt témakörökön túl, dinamikus módszerek alkalmazásával (is) tárgyaljuk az Apollonius feladatok megoldását, ezáltal lehetõség nyílik az inverzió alaposabb tanulmányozására. Emellett az Euklides program segítségével szemléltetjük a körsorokat, valamint ezekkel kapcsolatos feladatok megoldását. A program támogatja kúpszeletek használatát is, és ez lehetõvé teszi a kúpszeletekkel kapcsolatos ismeretek (például ellipszis konjugált
6
átmérõpárjainak szemléltetése), valamint projektív geometriai feladatok tanításában történõ alkalmazását. A cikk zárásaként egy ilyen feladatot mutatunk be. Adott egy hiperbola négy pontja, valamint egyik aszimptotájának iránya. Szerkesszük meg az aszimptotákat! „Rajzoljuk meg” a hiperbolát! A csatolt mintaszerkesztésben az Adatok fólián látható a hiperbola négy pontja, valamint egyik aszimptotájának i iránya. Az aszimptota szerkesztéséhez a Pascal-egyenes szerkesztésén keresztül vezethet út. Az adott négy ponthoz hozzávesszük a hiperbola végtelen távoli pontját (5=6 pontok), ami által a Pascal-egyenes szerkeszthetõ, hiszen az tartalmazza az (1;2) és (4;5), valamint a (6;1) és (3;4) egyenesek metszéspontját. A Pascal-egyenesbõl a (2;3) egyenes metszi ki az i iránnyal megadott aszimptota egy pontját, ily módon az aszimptota is szerkeszthetõ. A hiperbola másik aszimptotájának szerkesztéséhez (Aszimptoták fólia) azt a tételt használtuk ki, mely szerint a hiperbola szelõjének a hiperbolapontok és az aszimptoták által határolt szakaszai egyenlõk. A két aszimptota ismeretében megszerkesztettük az egyik hiperbolapont tükörképét a hiperbola középpontjára vonatkozóan, majd a „Kúpszelet 5 pontra” utasítás segítségével megrajzoltuk a hiperbolát. Árki Tamás arki@jgytf. u-szeged.hu SZTE JGYTFK Matematikai Tanszék 6720 Szeged Boldogasszony sugárút. 6.
7
