Villamosságtan
A Coulomb-törvény :
F 12
1 Q1Q2 r = ⋅ 2 ⋅ 4πε 0 r r
ahol,
[Q ]
= coulomb = 1C
ε0
= a vákuum permittivitása (dielektromos álladója) 1 9 {k } = = 9 ⋅ 10 4π ε 0
F elektromos térerősség : E = Q
ponttöltés tere : E ( r )
1 Q r = ⋅ 2⋅ 4πε 0 r r
Az elektrosztatika I. alaptörvénye :
ΨE = ∫ E ⋅d A A
(
E ⋅ d A = E ⋅ d A ⋅ cos Ed A Gauss tétele :
Q ∫ E ⋅ d A =
ε0
zárt felületre
)
A ponttöltés tere (levezetés)
d A⋅ E( r) = E( r ) ⋅ dA⋅ cos(E( r) d A) Térerősség Q
Gömb sugara: r
r
Zárt felületre
E (r)
dA
cos0 = 1
E (r)
∫ E(r) dA = ∫ E(r)dA = E(r) ∫ dA = ΣQ Q = 4r π ⋅ E( r) = = 2
ε0
E (r ) =
1 4π ε 0
ε0
⋅
Q r2
Az elektrosztatika II alaptörvénye :
W = ∫ F ⋅ d r = ∫ Q ⋅ E ⋅ d r = Q∫ E ⋅ d r l
∫
l
E ⋅dr = 0
Zárt görbe vonal menti integráltja
l
Konzervatív erőtér (örvénymentes) : A munkavégzés csak a kezdő és a végponttól függ.
E( r ) = − gradU ( r ) r
W U r = − ∫ E ⋅ d r = () Q r0 Elektromos potenciál
Az egységnyi munka : r 0 -ból r -be viszünk egy ponttöltést.
1J [U ] = 1V = 1C
Ponttöltés potenciálja:
U
(r )
=
Q 4π ε 0
r0
∫ r
U
() r
=
r0
∫ r
Q 1 r ⋅ 2 ⋅ dr 4πε 0 r r
dr Q 1 1 = − 2 r 4π ε 0 r r0
r0 = ∞
Q
1 U r = ⋅ ( ) 4πε r 0 Ekvipotenciális felület : a felület minden pontja közt, a potenciálkülönbség nulla. Feszültség = Potenciálkülönbség
Elektromos dipólus :
Ql cos α U( p) = ⋅ 2 4πε 0 r Dipólusmomentum P = Q⋅l vektor
P
-Q
α l
+Q
Töltéssűrűség :
σ
Q ∆Q = = A ∆A
C [σ ] = 2 m
Kapacitás : Kondenzátor
+
Q = C ⋅U
_ _
+ +
_
Gömbkondenzátor kapacitása :
4πε 0 C = 1 1 − R1 R 2
1C = 1F 1V
Síkkondenzátor kapacitása :
C=
farad
ε0 A d C1
Kondenzátorok párhuzamos kapcsolása :
C e = C1 + C 2 Kondenzátorok soros kapcsolása :
1 1 1 1 = + + C e C1 C2 C3
C2 C1
C2
C3
Töltéseloszlás kondenzátorokon :
+Q
-Q +Q
-Q
+Q
-Q
Végtelen síklap és ezen a lapon a töltéseloszlás homogén dA
E (r)
+ + + + + + + + + +
E( r)
r
b
Térerősség
l
r dA
b r
E( r )
Ψ = ∫ E ⋅ d A = ∫ E( r) dA = E( r) ∫ dA = = E( r) ⋅ l ⋅ b =
ΣQ
ε0
E( r) ⋅ dA⋅ cos90 =0 0
Tehát, az alsó, felső és oldalsó lapokra a fluxus nulla.
Ψ = 2 ⋅ E(r ) ⋅ l ⋅ b = E(r )
Ψ = 2 ⋅ E( r ) ⋅ l ⋅ b
l ⋅ b ⋅σ
ε0
σ = 2ε 0 l ⋅ b ⋅σ
ε0
= Qlap
Síkkondenzátor kapacitása :
σ 2ε
0
σ 2ε
0
A térerő, itt mindenhol nulla
+σ + + + + + + + +
d σ 2ε
0
_ -σ _ _ σ _ 2ε 0 _ _ _ _ _
A térerő, itt mindenhol:
σ σ ⋅2 = 2ε 0 ε0
σ 2ε
0
+Q
-Q d
Q σ= A
Q = C ⋅U Q C = U
U = E ⋅d =
Q⋅d A ⋅ε0
A
Q E= A⋅ε0
A ⋅ε0 Q = =C d U
A kondenzátor energiája :
1 Q2 1 1 W= = QU = CU 2 2 C 2 2 Q C= U
Energiasűrűség : egységnyi térfogatra jutó energia
2 W 1 ω = = ε0 E V 2
Elektrosztatika anyagi közegben :
C = εrC0
εr
ε
r
Dielektromos állandó (relatív pemittivitás)
Dielektromos polarizáció : -
+ +- +-
D = ε0 E + P
+- ++- +E
Eltolási vektor
dP P= dV Polarizációs vektor
A Coulomb törvény módosulása :
Q1 ⋅ Q F12 = ⋅ 2 4πε 0 ε r r 1
Sík kondenzátor módosult kapacitása :
C sík
Aε 0 ε r = d
Az elektrosztatika alaptörvényei dielektrikumokban :
∫ D ⋅ d A = ΣQ
D = ε 0ε r E
A
∫ l
E d r= 0
1 ω = ε 0ε r E 2
2
1 = E⋅D 2
Magnetosztatika : a nyugvó elektromos töltés nem lép kölcsönhatásba a nyugvó mágneses töltéssel.
É,D
mágneses póluserősség :
mágneses Coulomb törvény :
F12 =
1
4πµ 0
mágneses térerőség :
⋅
m1 ⋅ m 2 r ⋅ 2 r r
ahol,
µ0
a vákuum mágneses permeabilitása
{µ 0 } = 4 π ⋅ 1 0 − 7 [ m ] = 1 weber = Wb
F H= m
A magnetosztatika alaptörvényei: I.
∫ H ⋅ d A = 0
(csak mágneses dipólusok vannak monopólus nincs)
A
II.
∫ H ⋅ d r = 0 l
A sztatikus mágneses tér, forrásmentes, konzervatív erőtér.
Magnetosztatika anyagi közegben :
F =
1
4πµ 0 µ r
⋅
m1 ⋅ m 2 r ⋅ 2 r r
ahol,
µr
relatív mágneses permeabilitás
mágneses indukció vektor :
B = µ0 µ r H
[ B ] = 1tesla
= 1T
Mágneses polarizáció típusai : Diamágneses anyagok:
µr < 1
Paramágneses anyagok: Ferromágneses anyagok:
µr > 1
(pl.: réz, ólom, víz)
(pl.:alumínium, platina, oxigén)
µ r >> 1
(pl.: vas, kobalt)
Curie pont: az a hőmérséklet, ahol a ferromágneses anyagok elvesztik a mágneses képességüket.
Stacionárius ( egyen )-áramok :
dQ C I= [ I ] = 1amper = 1A = dt s I = ∫ J ⋅ n ⋅ dA = ∫ j ⋅ d A A
A
A áramsűrűsség : [ j ] = 2 m
Ohm törvénye :
U = R⋅I
[ R ] = 1ohm = 1Ω
l R=ρ A fajlagos ellenállás (anyagra jellemző)
Elektromos vezető képesség :
1 G= R
[G ] = 1siemens = 1S
A hőmérséklet hatása az ellenállásra :
R = R0 (1+α ⋅∆t ) hőmérséklet koefficiens Joule törvény : a munka :
W = Q ⋅U
a teljesítmény :
P=
[ P ] = 1watt = 1W
W =U ⋅ I t
U2 P= = R⋅I2 R
Elektromos hálózatok : Kirchhoff törvényei :
∑I
I. (csomóponti törv.) :
i
n
II. (hurok törv.) :
=0 n
∑U + ∑ I R = 0 i =1
bi
i =1
A gerjesztési törvény (Ampere-féle) :
∫ H ⋅ dr = ∑I
A zárt görbén átfolyó áramok összege
l
vonal menti integráltja egyenes, végtelen hosszú vezető mágneses tere: (Biot-Savrt-féle törvény Stacioner áram mágneses tere)
H=
I 2π R
i
i
Végtelen hosszú egyenes vezető mágneses tere ( levezetés ) : I0
∫ H ⋅ dr = ∑ I H( r) r
H( r)
∫ H ⋅ dA=/ 0
H( r )
H ∫ dr = I 0
H 2 rπ = I 0
I0 H= 2rπ
H ⋅ d r ⋅ cos( H , d r )
B = µH = µ0µr H
I0 B = µ0 µr 2rπ
Szolenoid mágneses tere :
A
I
l
szolenoid mágneses tere: ( hosszú egyenes tekercs )
nI H= l
n = tekercs menetszáma l = a tekercs hossza
Mágneses tér hatása az áramra (Lorentz-erő)
(
F = I ⋅ l×B
)
( )
F = Q⋅ E + Q⋅ v× B
drótra töltésre
:
Faraday-féle indukciótörvény
:
Φ= ∫ B⋅dA A
dΦ Ui = − dt
Lenz-törvény (Indukált áram iránya)
Váltakozó áram : U
t
ω A
B0 α
α =ω ⋅t
B0 ⋅ cos α = B0 ⋅ cos ω t Φ = A ⋅ B0 ⋅ cos ω t dΦ Ui = − = A ⋅ B0 ⋅ ω ⋅ sin ω t = U max ⋅ sin ω t dt
Az effektív érték:
U ( t ) = U 0 ⋅ sin ω t
ω =
2π T U
U U 0 ⋅ sin ω t I= = R R
U0
I = I 0 ⋅ sin ω t
T
t
U2 P =U ⋅I = = R⋅I2 R U U eff
U(t) t t+dt
T
t
dQ =
2 (t )
U
R
⋅ dt
T
∫
Q =
0
U (t ) 2 R
⋅ dt =
U eff 2 R
⋅T
T
U eff
1 2 = U ( t ) ⋅ dt ∫ T 0
T
2 U eff
1 = ∫ U 02 sin 2 ω t ⋅ dt T 0
A sinus feszültség effektív értéke (levezetés) :
cos 2α = cos2 α − sin2 α = 1− sin2 α − sin2 α = 1− 2sin2 α 1 − cos 2ω t ∫0 U ⋅ sin ω t ⋅ dt = U ∫0 2 ⋅ dt =
T
T
2 0
2
2 0
T T T T 1 cos 2ω t sin 2ω t 2 2 1 U 0 ∫ ⋅ dt + ∫ ⋅ dt = U 0 t − 2 2 2 4 ω 0 0 0 0 ∅ T 2
U
2 eff
1 T 2 1 2 = U0 = U0 T 2 2
U0 Ueff = 2
Teljesítmény illesztés :
U0 I= R + Rb
Rb R
U0 Uk = I ⋅ R = ⋅R R + Rb
I
R Uk
R
Pk
Rb
R
2
U0 Pk = U K ⋅ I = ⋅R R + Rb 2
2
U0 U0 ⋅R ≤ ⋅ Rb R + Rb 2 Rb
U 02
( R + Rb )
2
U 02 ≤ ⋅ Rb 2 4 Rb
4RRb ≤ ( R + Rb )
2
0 ≤ ( R + Rb ) − 4 RRb = R 2 + 2 RRb + Rb2 − 4 RRb = 2
= R 2 − 2 RRb + Rb2 0 ≤ ( R − Rb )
2
tehát, ha R = Rb-vel akkor a P maximális értékét éri el.
A transzformátor :
U ( t ) = U max sin ω t = U 0 sin ω t
n2
2π ω= T
A
l
n1
I(t)
n1 I B=µ l
Φ = B ⋅ A = µ0µr
n1 I (t ) l
A
dΦ n1 A dI U2 = = n2 µ 0 µ r ⋅ dt l dt L12
U2 = L12 ⋅
dI(t ) dt Kölcsönös induktivitási együttható
dΦ n12 A dI U1 = n1 = µ0 µr ⋅ dt l dt L Öngerjesztési feszültség
dI U1 = −L dt
L – önindukciós együttható L = 1 henry = 1H
n1 A dI n2 µ 0 µ r ⋅ U2 n2 l dt = = 2 n1 A dI U1 n1 µ0 µr ⋅ l dt
n2 U2 = n1 U1
Maxwell egyenletek :
I.
∫ D ⋅ d A = ∑Q
−d Φ II. ∫ E ⋅ dr = dt III. ∫ B⋅d A = ∅ dΨ IV. ∫ B ⋅ dr = µ I + µε dt a, B = µ ⋅ H = µ0 µr H b, D = ε ⋅ E = ε 0ε r E
∑Q ∫ E⋅ dA = E ∫ H⋅dA=∅ dΨ ∫ H⋅dr = I +ε dt
Izotróp rendszerre
Izotróp: az anyag minden irányban egyformán viselkedik
µ 0 = 4π ⋅ 10
ε0
−7
= 8, 854 ⋅ 10
ε0 =
1 4π k
Vs Am − 12
As Vm
{k } = 9 ⋅ 10 9
Az eltolási áram ( levezetése ) :
∫ H ⋅ dr = I ∫ B⋅ dr = I µ0µr = µI B
Gauss tételéből
A ⋅ dt =
dQ I= dt I
'
ε AdE = dt
dQ
→ dQ = ε A ⋅ dE
=ε
dΨ dt
ε
dΨ ∫ B ⋅ d r = µ I + µε dt
Eltolási áram
Az elektromágneses hullámok terjedési sebessége : ds
E
B
K l v
dA d Φ − B ⋅ ds ⋅ l −E ⋅l = = dt dt dΨ E ⋅ ds ⋅ l B ⋅ l = µ 0ε 0 dt
E = B⋅ v M.2.
µ0 ⋅ε0 ⋅ E ⋅ v=B M.4.
M.2.
E = B ⋅ v= µ 0 ⋅ ε 0 ⋅ E ⋅ v 2
M.4.
1
µ 0ε 0 v=
=v
az elektromágneses hullámok terjedési sebessége vákuumban
1 4π ⋅ 10 − 7 ⋅ 8, 854 ⋅ 10 − 12
≈ 3 ⋅ 10 8
m s
A törésmutató levezetése :
c= c=
1
µε 1
=
µ rε r
µr ≈ 1
1 µ r ε r ⋅ µ 0ε r ⋅ c vák
C =
1
n=
εr
εr
⋅ C vák
Poynting-vektor
ED H B 1 1 2 dE ω= + B = = ε0 E + 2 2 2 2µ0 dV
( µ
1 S = E×H = E×B
)
Poynting-vektor
E
B
S
Kvázistacionárius hálózatok :
U
C
R
L
Q U + Ui = I ⋅ R + C dI Q U −L = I ⋅R+ dt C dI Q L + R⋅I + =U dt C
dQ I = dt
d 2Q dQ Q L 2 + R + =U dt dt C
d 2x dx +c + Dx = F m 2 dt dt R i Q Q+ Q+ =U =∅ L LC i i
i i
i
Q+ 2β Q+ ω Q = ∅ 2 0
Q(t ) = Ae− β t sin (ω t + α ) ω = ω 02 − β 2
R β= 2L ha,
β < ω0
1 ω= LC
Csillapított rezgőmozgás :
R =∅ ⇒ β =∅ ω=
2π = T
1 LC
Rezgőkör saját frekvenciája
1 LC
T = 2π LC Thomson képlet
Váltakozó áramú hálózatok : t
R
L
C
dI 1 L + RI + ∫ I ⋅ dt = U ( t ) dt C 0 U 0 sin ωt
U
^
U ( t ) = U 0 cos ω t + j sin ω t = U 0 e jωt i
^
^
t
^ 1 ^ L I + R I + ∫ I ⋅ dt = U C0
U 0 cos ωt
( Komplex generátor feszültség ) ( j = i ,imaginárius egység)
megoldás :
^
i
^
^
I = I 0 e jω t ^
Ljω I 0 e
jωt
^
I = jω I 0 e ^
+ R I0 e
jωt
t
jω t
,
^
^
1 ^ jωt I ∫0 I ⋅ dt = jω I 0 e = jω
1 ^ jωt ^ + I0 e =U jω
^
1 ^ I jω t + R + =U jω t ^
I=
^
^
U
U
= ^ 1 jω t + R + Z jω t
Impedancia ( váltakozó áramú ellenállás)
komplex impedancia
^
Z =Z =
1 R + Lω − C ω 2
2
Az RLC kör legkisebb ellenállása :
X L = Lω
Induktív reaktancia és Kapacitív reaktancia
1 = Cω
XC ^
Z = Z ⋅e
jϕ
XL − XC tg ϕ = R
^
^
I (t )
1 Lω ⋅ Cω = R
U 0 ⋅ e jωt U 0 j( ω t − ϕ ) = ^ = = e jϕ Z Z ⋅e Z
ha ,
U
U ( t ) = U 0 sin ω t ^
I ( t ) = jm I ( t )
U0 = sin (ω t − ϕ ) Z
Rezonancia : RLC kör ellenállása minimális
Z min = R + ( X L − X C ) = R
I max
1 = Lω Cω
Thomson képlet
2
2
1 LC
⇒ ω=
RLC kör : R
L
C
^
X
R
= R
L
= Lω j
^
X ^
XC
U
^
^
^
^
1 = = − j Cω j Cω
1 Z = X R + X L + X C = R + Lω j − j Cω
1
Párhuzamos RLC körök eredő impedanciája :
R1
L1
C1
^
Z1
R2
L2
C2
^
Z2 U
1 ^
=
1
Ze
R1 + jL1ω −
1
1
1
= ^ + ^ Ze Z1 Z 2 ^
j C 1ω
+
1 R 2 + jL 2ω −
j C 2ω
