Villamosságtan 01
A Coulomb-törvény :
F 12
Q1Q2 r 2 4 0 r r 1
ahol,
Q = coulomb = 1C 0
= a vákuum permittivitása (dielektromos álladója) 1 9 k 9 10 4 0
F elektromos térerősség : E Q ponttöltés tere :
E r
1
Q r 2 4 0 r r
Az elektrosztatika I. alaptörvénye :
E E d A A
E d A E d A cos Ed A Gauss tétele :
Q
E d A zárt felületre
0
A ponttöltés tere (levezetés)
d A Er Er dA cos(Erd A) Térerősség Q
r
cos0 1
Zárt felületre
E r
E dA E dA E dA r
Gömb sugara: r
dA
E r E r
r
r
Q Q 4r Er 2
0
E r
1 4 0
0
Q 2 r
Az elektrosztatika II alaptörvénye :
W F d r Q E d r Q E d r l
l
E dr 0
Zárt görbe vonal menti integráltja
l
Konzervatív erőtér (örvénymentes) : A munkavégzés csak a kezdő és a végponttól függ.
E r gradU r r
W U r E d r Q r0 Elektromos potenciál
Az egységnyi munka : r0 -ból r -be viszünk egy ponttöltést.
U 1V
1J 1C
r0
Ponttöltés potenciálja:
U
U
r
r
r0
Q 4 0
Q 4 0
r
Q
1 r Ur 2 dr 4 0 r r r
dr Q 1 1 2 r 4 0 r r0
r0
1 r
Eklvipotenciális felület : a felület minden pontja közt, a potenciálkülönbség nulla. Feszültség = Potenciálkülönbség
Elektromos dipólus : P
U p
-Q
Ql cos 2 4 0 r Dipólusmomentum vektor
P Q l
+Q
l Töltéssűrűség :
Q Q A A
C 2 m
Kapacitás : Kondenzátor
+
Q C U
_
_
+ +
_
Gömbkondenzátor kapacitása :
4 0 C 1 1 R1 R2 Síkkondenzátor kapacitása :
1C 1F 1V
C
farad
0 A d C1
Kondenzátorok párhuzamos kapcsolása :
Ce C1 C2 Kondenzátorok soros kapcsolása :
1 1 1 1 C e C1 C2 C3
C2 C1
C2
C3
Töltéseloszlás kondenzátorokon :
+Q
-Q +Q
-Q
+Q
-Q
Végtelen síklap és ezen a lapon a töltéseloszlás homogén dA
b
Er
+ + + + + + + + + +
Er
r
Térerősség
l
r dA
b r
E r
E d A E r dA E r dA E r l b
Q 0
E r d A cos90 0 0
Tehát, az alsó, felső és oldalsó lapokra a fluxus nulla.
2 E r l b E r
2 E r l b
l b
0
2 0 l b
0
Qlap
Síkkondenzátor kapacitása :
2
0
2
0
A térerő, itt mindenhol nulla
+ + + + + + + + +
d 2
0
_ - _ _ _ 2 0 _ _ _ _ _
A térerő, itt mindenhol:
2 2 0 0
2
0
+Q
-Q d
Q A A
E
Q A 0
Q C U Q C U
Q d U E d A 0 A 0 Q C d U
A kondenzátor energiája :
1 Q2 1 1 W QU CU 2 2 C 2 2 Q C U
Energiasűrűség : egységnyi térfogatra jutó energia 2 W 1 0 E V 2
Elektrosztatika anyagi közegben :
C rC0
r
r
Dielektromos állandó (relatív pemittivitás)
Dielektromos polarizáció : -
+ +- +-
D 0 E P
+- ++- +E
Eltolási vektor
dP P dV Polarizációs vektor
A Coulomb törvény módosulása :
Q1 Q F12 2 4 0 r r 1
Sík kondenzátor módosult kapacitása :
Csík
A 0 r d
Az elektrosztatika alaptörvényei dielektrikumokban :
D d A Q
D 0 r E
A
dr=0 / 0
l
r
1 0 r E 2
2
1 ED 2
Magnetosztatika : a nyugvó elektromos töltés nem lép kölcsönhatásba a nyugvó mágneses töltéssel. mágneses póluserősség :
É,D
mágneses Coulomb törvény :
F12
1
40
mágneses térerőség :
m1 m2 r 2 r r
ahol,
0
a vákuum mágneses permeabilitása
0 4 107 m 1 weber Wb
F H m
A magnetosztatika alaptörvényei: I.
H d A 0
(csak mágneses dipólusok vannak monopólus nincs)
A
II.
H dr 0 l
A sztatikus mágneses tér, forrásmentes, konzervatív erőtér.
Magnetosztatika anyagi közegben :
F
1
40 r
m1 m2 r 2 r r
ahol,
r
relatív mágneses permeabilitás
mágneses indukció vektor :
B 0 r H
B 1tesla 1T
Mágneses polarizáció típusai :
Diamágneses anyagok:
r 1
(pl.: réz, ólom, víz)
r 1 (pl.:alumínium, platina, oxigén) Ferromágneses anyagok: r 1 (pl.: vas, kobalt) Paramágneses anyagok:
Curie pont: az a hőmérséklet, ahol a ferromágneses anyagok elvesztik a mágneses képességüket.
Stacionárius ( egyen )-áramok :
dQ I dt
C I 1amper 1A s
I J n dA j d A A
A
A áramsűrűsség : j 2 m
Ohm törvénye :
U R I
R 1ohm 1
l R A fajlagos ellenállás (anyagra jellemző)
Elektromos vezető képesség :
1 G R
G 1siemens 1S
A hőmérséklet hatása az ellenállásra :
R R0 1 t hőmérséklet koefficiens Joule törvény : a munka :
W Q U
W a teljesítmény : P U I t
P 1watt 1W
U2 P RI2 R
Elektromos hálózatok :
I
Kirhoff törvényei : I. (csomóponti törv.) : n
II. (hurok törv.) :
i
0 n
U I R 0 i 1
bi
i 1
A gerjesztési törvény (Ampere-féle) :
H dr I
A zárt görbén átfolyó áramok összege
l
vonal menti integráltja egyenes, végtelen hosszú vezető mágneses tere: (Biot-Savart-féle törvény Stacioner áram mágneses tere)
I H 2 R
i
i
szolenoid mágneses tere: ( hosszú egyenes tekercs )
nI H l
Végtelen hosszú egyenes vezető mágneses tere ( levezetés ) :
n = tekercs menetszáma
l = a tekercs hossza
I0
H dr I Hr
H dA 0
r
Hr H r
H d r cos( H , d r )
H dr I 0
H 2r I 0
I0 H 2r
B H 0 r H
I0 B 0 r 2r
Szolenoid mágneses tere :
A
I
l
Mágneses tér hatása az áramra (Lorentz-erő)
F I lB
F Q E Q v B
drótra töltésre
:
Faraday-féle indukciótörvény
:
BdA A
d Ui dt
Lenz-törvény (Indukált áram iránya)
Váltakozó áram : U
t
A
B0
t
B0 cos B0 cos t A B0 cos t d Ui A B0 sin t U max sin t dt
Az effektív érték:
U t U0 sin t
2 T U
U U 0 sin t I R R
U0
I I 0 sin t
T
t
U2 P U I RI2 R U U eff
Ut t t+dt
T
t
dQ
U 2t R
dt
T
U eff U2 0 dt T R R 0
T
U eff
1 2 U t dt T 0
T
2 U eff
1 U 02 sin 2 t dt T 0
A sinus feszültség effektív értéke (levezetés) :
cos 2 cos2 sin 2 1 sin 2 sin 2 1 2sin 2 1 cos 2 t 0 U sin t dt U 0 2 dt
T
T
2 0
2
2 0
T T T T 1 cos 2 t sin 2 t 2 2 1 U 0 dt dt U 0 t 2 2 2 4 0 0 0 0 T 2
U
2 eff
1T 2 1 2 U0 U0 T 2 2
U0 U eff 2
Teljesítmény illesztés :
U0 I R Rb
Rb R
U0 Uk I R R R Rb
I 2
R Uk
U0 Pk U K I R R Rb 2
2
U0 U0 R Rb R Rb 2 Rb R
U 02
R Rb Pk
2
U 02 Rb 2 4 Rb
4RRb R Rb Rb
R
2
0 R Rb 4 RRb R 2 2 RRb Rb2 4 RRb 2
R 2 2 RRb Rb2 0 R Rb
2
tehát, ha R = Rb-vel akkor a P maximális értékét éri el.
A transzformátor :
Ut Umax sin t U0 sin t
n2
2 T
A
l
n1
It
n1I B l
B A 0 r
n1 I t l
A
d n1 A dI U2 n2 0 r dt l dt L12
U 2 L12
dI t dt Kölcsönös induktivitási együttható
d n12 A dI U1 n1 0 r dt l dt L Öngerjesztési feszültség
dI U1 L dt
L – önindukciós együttható L = 1 henry = 1H
n1 A dI n2 0 r U2 n2 l dt 2 n1 A dI U1 n1 0 r l dt
n2 U 2 n1 U 1
Maxwell egyenletek :
I.
D d A Q
d II. E d r dt III.
Q E d A E
H d A
Bd A
d H d r I dt
d IV. B d r I dt
a, B H 0 r H
b, D E 0 r E D E
Izotróp rendszerre
Izotróp: az anyag minden irányban egyformán viselkedik
0 4 10
7
Vs Am
0 8,854 10 0
1 4 k
12
As Vm
k 9 109
Az eltolási áram ( levezetése ) :
H dr I B dr I I 0 r
B
Gauss tételéből
A dt
dQ I dt I
'
AdE dt
dQ
dQ A dE
d dt
d B d r I dt vv
Eltolási áram
Az elektromágneses hullámok terjedési sebessége : ds
E
K
B
l v
dA d B ds l E l dt dt d E ds l B l 0 0 dt
E B v M.2.
0 0 E v=B M.4.
M.2.
E B v=0 0 E v 2
M.4.
1
0 0
v
az elektromágneses hullámok terjedési sebessége vákuumban
1
v
4 107 8,854 1012
3 108
m s
A törésmutató levezetése :
C C
1
E 1
r r
r 1
1 r r 0 r
Cvák
C
1
n
r
r
Cvák
Poynting-vektor
ED H B 1 1 2 dE B 0 E 2 2 2 20 dV
S EH
E B 1
Poynting-vektor
E
B
S
Kvázistacionárius hálózatok :
U
C
R
L
Q U Ui I R C dI Q U L I R dt C dI Q L RI U dt C
dQ I dt
d 2Q dQ Q L 2 R U dt dt C
d 2x dx m 2 C Dx F dt dt R Q Q Q U L LC
Q 2 Q Q 2 0
Qt Ae t sin t 02 2
R 2L ha,
0
1 LC
Csillapított rezgőmozgás :
R
2 T
1 LC
Rezgőkör saját frekvenciája
1 LC
T 2 LC Thomson képlet
Váltakozó áramú hálózatok : t
R
L
C
dI 1 L RI I dt U t dt C0 U 0 sin t
U
^
U t U 0 cos t j sin t U 0e jωt ^
^
t
^ 1 ^ L I R I I dt U C0
U 0 cos t
( Komplex generátor feszültség ) ( j = i ,immaginárius egység)
megoldás :
^
^
^
I I 0 e j t ^
Lj I 0 e
jωt
^
I j I 0 e ^
R I0 e
jωt
t
j t
,
^
^
1 ^ jωt I 0 I dt j I 0 e j
1 ^ jωt ^ I0 e U j
^
1 ^ I jt R U jt ^
I
^
^
U
U
^ 1 j t R Z j t
Impedancia ( váltakozó áramú ellenállás)
komplex impedancia
^
Z Z
1 R L C 2
2
Az RLC kör legkisebb ellenállása :
X L L
Induktív reaktancia és Kapacitív reaktncia
1 XC C ^
Z Z e
j
X L XC tg R
^
^
I t
1 L C R
U 0 e jωt U 0 j ωt ^ e j Z Z e Z
ha ,
U
Ut U0 sin t ^
I t jm I t
U0 sin t Z
Rezonancia : RLC kör ellenállása minimális
Z min R X L X C R
I max
1 L C
Thomson képlet
2
2
1 LC
RLC kör : R
L
C
^
XR R ^
X L L j ^
XC
U
^
^
^
^
1 j C j C
1 Z X R X L X C R L j j C
1
Párhuzamos RLC körök eredő impedanciája :
R1
L1
C1
^
Z1
R2
L2
C2
^
Z2 U
1 ^
1
Ze
R1 jL1
1
1
1
^ ^ Ze Z1 Z 2 ^
j C1
1 R2 jL2
j C2
