3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE

3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE Az előzőekben, időben állandó és nyugalomban lévő töltések elektromos terét vizsgáltuk, most egyenletes sebességgel mozgó töltések, a vezetőben folyó áram keltette elektromos és mágneses teret vizsgáljuk. 3.1. Az áramlási tér forrásmennyisége, az elektromos áram Ha két ellentétes elektróda között a teret szigetelőanyag tölti ki, akkor a töltések nem modulnak el, ha azonban a két elektródát összekötjük egy vezetővel, akkor megindul a töltések áramlása, vagyis áram folyik. Az áram iránya megállapodásszerűen a pozitív töltések áramlási iránya. Sokszor az áram fogalmát a töltések mozgásától függetlenül is értelmezzük. Ha egy ∆a felületen ∆t idő alatt ∆Q töltés áramlik át, (3.1. ábra), akkor a felület árama a következőképpen határozható meg,

∆Q dQ(t ) = , dt ∆t → 0 ∆t

I = lim

[I ] = 1A .

Az áram mértékegysége a nemzetközi SI mértékegység rendszerben az amper, 1A = 1C s .

3.1. ábra. Az áram fogalmának értelmezése

3.2. ábra. Az áram jelenléte erőhatással mutatható ki

Egy vezetőben az áram jelenlétét az áramjárta vezetők között fellépő erőhatás alapján lehet érzékelni (3.2. ábra), r I I 1 F =µ 1 2 , 2π d As H = 1,2566 ⋅ 10 − 6 a Vm m vákuum permeabilitása és µ r a relatív permeabilitás, levegőre µ r = 1 . Két áramjárta vezető között ha azokban az áramirány megegyezik vonzóerő, ha ellenkező taszító erő lép fel (3.2. ábra).

ahol µ = µ 0 µ r anyagállandó, a permeabilitás, ahol µ 0 = 4π ⋅ 10 − 7

3. Fejezet, Stacionárius áram elektromos tere

69

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

3.1.1. Árammodellek

A stacionárius elektromos tér tárgyalása során különböző áram modelleket alkalmazunk. (i) Az áramsűrűség. Ha az a keresztmetszetű vezeték ∆a elemi felületén ∆I erősségű áram folyik át, akkor a keresztmetszeten átfolyó áramsűrűség a ponttá zsugorított felületelemen átlépő áram értéke lesz (3.3. ábra)

r ∆I J n (r ) = lim , ∆a → 0 ∆a

[J ] = 1

A m2

,

(3.1)

r r ahol az áramsűrűség mértékegysége az A/m 2 . Egy a felületen átfolyó I árama a dI = J ⋅ da elemi áramok összegével, vagyis az a felületre vett integráljával határozható meg r r r I = ∫ J (r ) ⋅ da . a

3.3. ábra. Az áramsűrűség értelmezése

3.4. ábra. A felületi áramsűrűség értelmezése

3.5. ábra. A vonalszerű áram értelmezése

(ii) A felületi áramsűrűség. Ha az áram olyan felületen folyik át, amelynek egyik mérete r r elhanyagolhatóan kicsi, akkor az áram eloszlását a K (r ) felületi áramsűrűséggel r modellezzük, (3.4. ábra). Az n vektor az áramsűrűség és a vonaldarab által meghatározott síkban a vonaldarabra merőleges r r ∆I A , [K n ] = 1 . K n = K ⋅ n = lim m ∆l → 0 ∆l Ekkor a felületen átfolyó áram a felületi áramsűrűségnek a vonaldarabra vett integrálja r r r I = ∫ K (r ) ⋅ n dl l

(iii) A vonalszerű áram. Szokásos még a kis keresztmetszetű áramvezetőn átfolyó áramot vonalszerű áramként modellezni (3.5. ábra). Valamely felületen átfolyó összes áram az egyes árammodellekből származó áramok összege N r r r r r I = ∫ J (r ) da + ∫ K (r ) ⋅ n dl + ∑ I k . a

l

k =1

r (iv) Töltéshordozók árama. A v sebességgel mozgó töltések is áramot hoznak létre. A ∆a r r felületen ∆t idő alatt átáramló töltés a ∆v = ∆a ⋅ v ∆t térfogatú hasábban helyezkedik el, (3.6. ábra) ahonnan az áramsűrűségnek a felületre merőleges komponense a

70

A. Iványi, Fizika-I

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Jn =

ρ∆a ⋅ vn ∆t 1 ∆I ∆Q ∆t ρ∆v 1 = = = = ρ vn , ∆a ∆a ∆t ∆a ∆t ∆a

és így az áramsűrűség vektora r r J = ρv .

(3.2) r Az egyes töltéshordozók sebessége általában nem egyforma, ekkor a v sebesség r átlagsebességet jelent. Ha a ρ (+ ) pozitív töltések sebessége v (+ ) és a ρ (− ) negatív töltések r v (− ) sebességgel áramlanak, akkor r r r J = ρ (+ )v (+ ) + ρ (− )v (− ) .

3.6. ábra. A töltéshordozók árama

3.7. ábra. Stacionárius térben zárt felület árama nulla

3.2. A stacionárius áramlási tér gerjesztettsége és intenzitása 3.2.1. A stacionárius elektromos tér gerjesztettsége

Az áramsűrűségre vonatkozó törvényszerűségeket a töltésmegmaradás elve alapján állapíthatjuk meg. Ha a töltések állandó sebességgel áramlanak, akkor valamely zárt felülettel határolt térrészbe ugyanannyi töltés lép be, mint amennyi kilép (3.7. ábra), azaz az áramsűrűség vonalak zártak. Ez azt jelenti, hogy bármely időpillanatban a térrészt határoló zárt felület árama, azaz az áramsűrűségnek a zárt felületre vett összege, integrálja nulla r r (3.3) ∫ J ⋅ da = 0. a

Ha a felületen csak I k , k = 1,2,L, n vonalszerű áram lép be ill. ki, akkor a töltésmegmaradás elve alapján (minthogy a töltés anyagi részecskék jellemzője, így az anyagmegmaradás elvét is reprezentálja) a felületi integrál helyett, a vonalszerű áramok összege nullát eredményez n

∑ Ik = 0 ,

k =1

(3.4)

azaz a felületbe belépő és onnan kilépő áramok algebrai összege nulla. A fenti összefüggés a villamos hálózatok számításának egyik alaptörvénye, a Kichhoff csomóponti törvény. Ezek szerint a hálózatszámítás Kichhoff csomóponti törvénye a töltés, ill. anyag megmaradási törvény villamos hálózatokra általánosított alakja. 3.2.2. A stacionárius áramlási tér intenzitása

A vezető belsejében a töltések mozgatásához erőre van szükség. A töltésre ható erőt továbbra is az elektromos térerősséggel fejezhetjük ki


71

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

r r F =QE.

Időben állandó áramlás esetén, a vezető elsejében a töltésnek egy zárt görbe mentén való elmozdítása továbbra is nulla munkavégzést jelent, azaz az elektrosztatikához hasonlóan az elektromos térerősségnek egy zárt görbére vett integrálja nulla r r ∫ E ⋅ dl = 0 . l

A fenti összefüggés szerint két pont között fellépő feszültség ugyancsak független az integrálási úttól, csak a végpontok helyzetétől függ, és azok potenciáljainak különbségével adható meg Br r U AB = ∫ E ⋅ dl = Φ A − Φ B . A

Valamely pont potenciálja továbbra is az önkényesen megválasztott '0' referencia ponthoz képesti potenciális munkavégzéssel arányos 0

r

r

Φ A = ∫ E ⋅ dl . A

3.3. Vezető anyag elektromos térben

(i) Az anyagok fajlagos vezetőképességének modellje. Ha egy e elektront egy vezető r közegbe helyezünk, ahol E elektromos tér van jelen, az elektron r r ve = µ e E

drifft sebességgel mozog (3.8. ábra), ahol µ e az elektron mozgékonysága. Figyelembe véve, hogy a töltések mozgása elektromos áramsűrűséget eredményez, r r r r J = ρ ve = ρµ e E = σE r az áramsűrűség arányos lesz az E külső elektromos térrel és a vezető közegre jellemző σ = ρµ e fajlagos vezetőképességével, ahonnan a differenciális Ohm törvény egyszerűsített alakjához jutunk r r A V S J = σE , [σ ] = 1 =1 . (3.5) m m2 m r (ii) Az ellenállás. Egy vezető anyag dl hosszúságú szakaszán mérhető dU feszültségesés kifejezhető a vezető szakaszon folyó árammal r r r J r I dl dl dU = E ⋅ dl = dl = =I = I dR , aσ σ σa ahonnan a vezető szakasz elemi hosszának ellenállása

dR =

dl dl =ρ , σa a

[ρ ] = 1 Ω mm m

2

,

72


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ahol ρ = 1 σ az anyag fajlagos ellenállása (3.9. ábra). Homogén közeg és állandó keresztmetszet esetén az l hosszúságú vezető ellenállása az elemi szakaszok ellenállásainak összege, integrálja

dl l =ρ , a lσ a

R=∫

[R] = 1 Ω .

(3.6)

3.8. ábra. Az áramsűrűség értelmezése

3.9. ábra. A felületi áramsűrűség értelmezése

3.10. ábra. A vonalszerű áram értelmezése

Ha valamely R ellenállású vezetőn I áram folyik át, akkor a vezetőn az Ohm törvény szerint feszültség lép fel, U = RI , I = GU , G = 1 R ,

(3.7)

ahol G az anyag vezetése, az ellenállás reciproka. (iii) A fajlagos ellenállás hőmérséklet függése. A vezető anyagok ellenállása erősen függ a hőmérséklettől, ui. a hőmérséklet változásával megváltozik a vezető anyag mérete, a vezető hossza és keresztmetszete. Közönséges, ϑ0 szoba hőmérsékleten és nem nagyon nagy intervallumban a legtöbb fém fajlagos ellenállás megváltozása arányos a hőmérséklet változással

ρ (ϑ ) − ρ (ϑ0 ) = α (ϑ − ϑ0 ) , ρ (ϑ0 ) ahonnan valamely vezető anyag ϑ hőmérsékleten a fajlagos ellenállása a következő módón határozható meg

ρ (ϑ ) = ρ (ϑ0 )(1 + α (ϑ − ϑ0 )),

[α ] = 1

1 Co

,

ahol ρ (ϑ0 ) az anyag fajlagos vezetőképessége valamely referencia hőmérsékleten, általában szoba hőmérsékletet szoktak tekinteni ϑ0 = 20 C o , α az ellenállás hőfok tényezője ϑ0 hőfokon (3.10. ábra). Ezzel kis hőmérsékleti ingadozás esetén a ϑ0 hőmérsékleten R0 ellenállású vezeték ellenállása a fajlagos vezetőképességgel arányosan változik R(ϑ ) = R0 [1 + α 0 (ϑ − ϑ0 )], R0 = R(ϑ0 ) . Ha azonban a hőmérséklet intervallum nagy, akkor a vezető anyagok hőmérséklet függését Taylor sorral szokás közelíteni,

(

)

ρ (ϑ ) = ρ (ϑ0 ) 1 + α (ϑ − ϑ0 ) + β (ϑ − ϑ0 )2 + γ (ϑ − ϑ0 )3 + L ,

[α ] = 1 C o


73

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

(

ahol β , γ további hőmérséklet tényezők, ( [β ] = 1 C o

)2 , [γ ] = ( 1 Co )3 ).

3.4. Analógia a statikus és a stacionárius tér között

A stacionárius áramlási tér az elektromágneses tér általánosabb modelljét adja, mivel ekkor a töltések mozgását, állandó sebességgel való áramlását is figyelembe vesszük. Míg az elektrosztatikus térben csak ideális fémek (végtelen jó fajlagos vezetőképességgel) és szigetelők szerint osztályoztuk az anyagokat, az áramlási térben a szigetelő anyagok nem ideálisak, véges fajlagos vezetőképességgel rendelkeznek. Az elektróda felületeket azonban mindkét térmodellnél ideálisnak tekintjük. Az áramlási térben a legtöbbször a feladat a közeg ellenállásának meghatározása, míg a statikus elektromos térben az elektróda elrendezés kapacitásának meghatározása az elsődleges feladat. A két tér, a statikus és a stacionárius elektromos tér egyenleteinek hasonlósága a térszámítási feladatok analógiájához vezet (3.11. ábra)

3.11. ábra. analógis a statikus és a stacionárius elektromos tér között

Analógia mutatható ki az elektrosztatika eltolási vektora és az áramlási tér áramsűrűség vektora között, ui. r r r r r r ∫ D ⋅ da = Q, ∫ J ⋅ da = I , D ↔ J , a

a

elektrosztatikus térben az elektródát körülvevő zárt felületre az eltolási vektor (összege) integrálja a térfogatban lévő össztöltést adja, míg a stacionárius térben az áramsűrűségnek egy zárt felületre vett integrálja a kilépő áramokat eredményezi. Mindkét térben a potenciál az elektromos térerősség integrálja, azaz két pont között a feszültség mindét térben a pontok potenciál különbségével határozható meg. 0

r r ∫ E ⋅ dl = Φ A , U AB = Φ A − Φ B .

A

Az anyagjellemzők analógiája is megállapítható a statikus elektromos térben az eltolási vektor és a térerősség kapcsolata, valamint a stacionárius áramlási térben az áramsűrűség és az elektromos térerősség kapcsolata alapján r r r r D = ε E, J = σ E, ε ↔ σ . A fenti összefüggések alapján megállapítható, hogy két elektróda C kapacitása és G vezetése között, homogén közeg esetén szoros kapcsolat van, ui. r r C ε r r 1 r r 1 I Q 1 r r 1 = . C = = ∫ D ⋅ da = ε ∫ E ⋅ da , G = = ∫ J ⋅ da = σ ∫ E ⋅ da , G σ U Ua U a U Ua U a

74


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

A kapott eredmények lehetőséget adnak arra, hogy pl. elektrolitikus kismintával modellezzünk elektródarendszereket és a mért vezetések ismeretében, meghatásozzuk a kapacitások értékeit. Hasonlóan elektródák közötti kapacitások ismeretében az elektródák közötti ellenállás, mint a vezetések reciprok értéke meghatározható. 3.5. Folytonossági feltételek két közeg határfelületén

r r Két vezető közeg határfelületén az E elektromos térerősség és a J áramsűrűség vektorok viselkedését elemezve a következőket kapjuk. r 3.5.1. Az E elektromos térerősség viselkedése közeghatáron Tekintsük két σ 1 , és σ 2 vezetőképességű közegek határfelületének kis környezetét, ahol az r r egyik közegben az elektromos térerősség E1 , a másikban E2 . Bontsuk fel az elektromos térerősségeket mindkét térrészen a felülettel párhuzamos és merőleges komponensekre (3.12. ábra). Vegyünk fel a két térrészen áthaladó olyan téglalap alakú zárt görbét, amelynek a d magassága mindenhatáron túl csökken, d → 0 , azaz a két oldala rásimul a határfelület két r r oldalára. Írjuk fel az elektromos tér örvénymentességére vonatkozó ∫ E ⋅ dl = 0 összefüggést l

és értékeljük ki azt a fenti zárt görbére − E1τ l + E2τ l = 0 , az elektromos térerősség vektorok tangenciális komponenseinek folytonosságára vonatkozó feltételhez jutunk E1τ = E2τ .

(3.8)

r r Figyelembe véve az áramsűrűség és az elektromos térerősség közötti J = σE kapcsolatot, a fenti feltétel az áramsűrűség vektor tangenciális komponensei a két közeg vezetőképességeinek arányában ugrik a közeghatáron J1τ σ = 1. J 2τ σ 2 r 3.5.2. A J áramsűrűség vektor viselkedése közeghatáron

r Bontsuk fel a σ 1 vezetőképességű közegben a J1 áramsűrűséget, valamint a σ 2 r vezetőképességű közegben a J 2 áramsűrűséget a két közeget elválasztó határfelületre merőleges és a határfelülettel párhuzamos, tangenciális komponensekre. Vegyünk fel egy hengerfelületet a két közeg határfelületén úgy (3.13. ábra), hogy a henger m magassága minden taráron túl tartson a nullához, m → 0 , ekkor a hengerfelület alap és fedőlapja a r r határfelület két oldalához simul. Értékeljük ki a ∫ J ⋅ da = 0 töltésmegmaradás elvét a a

hengerfelületre, − J1n a + J 2n a = 0 . A kapott eredmény alapján azt kapjuk, hogy az áramsűrűség vektorok normális komponensei folytonosan mennek át a határfelületen J1n = J 2n .

(3.9)


75

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

r r Figyelembe véve az áramsűrűség és az elektromos térerősség közötti J = σE kapcsolatot, az elektromos térerősség vektorok normális komponensei a vezető közegek fajlagos vezetőképességeinek reciprok arányával ugrik

E1n E2n = σ 2 σ 1 .

3.12. ábra. Az elektromos térerősség közeghatáron

3.13. ábra. Az áramsűrűség közeghatáron

3.5.3. Vezető közegek töréstörvénye

Két vezető közeg határán az elektromos térerősség vektorok tangenciális és az áramsűrűség vektorok normális komponenseinek folytonossága alapján a közeghatáron a térjellemző vektorokra vonatkozó töréstörvények meghatározhatók (3.14. ábra). Így, pl. az elektromos térerősség vektoroknak a felületi normálistól való α1 ,α 2 elhajlási szögeinek tangensei arányára a következő adódóik

tgα1 E1τ E2n E2n J 2n σ 1 σ 1 = = = = . tgα 2 E1n E2τ E1n σ 2 J1n σ 2

3.14. ábra. A törési szögek vezető közegekben

3.15. ábra. A lépésfeszültség értelmezése

3.5.4. Következmények

Tekintsünk egy ideális fémből készült elektródát, amely σ fajlagos vezetőképességű közegbe van ágyazva, amelyet felülről egy sík határol. A sík felett ideálisnak tekinthető szigetelőanyag van (3.15. ábra). (Így modellezhető pl. a földbe süllyesztett földelő elektróda. Az ideális szigetelőanyag a levegő.) Minthogy a föld feletti ideális szigetelőréteg vezetőképessége nulla, σ 1 = 0 , ugyanakkor a föld vezetőképessége véges σ 2 ≠ 0 , a törési törvény alapján

σ 2 tgα1 = σ 1tgα 2 , minthogy tgα 2 → ∞ , így α 2 = 90 o azaz a kettes közegből nem lép ki áramvonal, hanem a felület mentén, azzal párhuzamosan folyik. Ekkor a vezető közeg (föld)

76


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

felületén két pont között feszültségkülönbség lép fel, amelyet lépésfeszültségként szokás megnevezni. 3.6. A beiktatott térerősség és a differenciális Ohm törvény 3.6.1. A beiktatott térerősség

A vezetéken folyó áram létrehozásához egy U s forrásfeszültségű feszültségforrást iktatunk be az R ellenállásból álló hálózatba (3.16. ábra). Ha az áram a P1 pontból a P2 pont felé folyik az R ellenálláson, akkor azon U = RI feszültséget hoz létre. Minthogy az áramlási térben két pont között fellépő feszültség csak a pontok helyzetétől függ, így a feszültségforrás P1 , P2 pontja között fellépő U s forrásfeszültség megegyezik az ellenállás U feszültségével U =Us .

Ilyen feszültségforrás, pl. az akkumulátor, amely kémiai energiát alakít át villamos energiává. A feszültségforrás belsejében a töltéseket egy nem villamos (elektrosztatikus) eredetű, r r r beiktatott erő, Fb = QEb , ill. az azt Eb reprezentáló beiktatott térerősség választja szét, amelyet figyelembe véve a két pont közötti feszültség a térerősségekkel felírva a következő összefüggéshez jutunk P2

P2 r r r r r r P2 r r E = − E ⋅ = ⋅ = − ⋅ E d l E d l E d l , ∫ ∫ ∫ b b

P1

P1

P1

(l R )

(l s )

(l s )

ahonnan azt kapjuk, hogy a feszültségforrás belsejében a töltéseket szétválasztó, nem r villamos eredetű Eb beiktatott térerősség éppen a töltések mozgásával létrehozott térerősséggel ellentétes irányú.

3.16. ábra. A beiktatott térerősség értelmezése

3.17. ábra. A differenciális Ohm törvény értelmezése

3.6.2. A differenciális Ohm törvény

Ha feltételezzük, hogy a feszültségforrás nem ideális, hanem belső veszteséggel rendelkezik, akkor az így kapott feszültséggenerátor veszteségét egy vele sorba kapcsolt Rb ellenállással modellezhetjük (3.17. ábra). Ekkor az energiaegyensúlyra felírt egyenlet alapján, az R ellenálláson fellépő U feszültséget a feszültséggenerátornak az Rb ellenálláson fellépő Rb I feszültséggel csökkentett U s forrásfeszültsége tartja egyensúlyban, U = U s − Rb I .


77

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Az áramkör egyes elemein fellépő feszültségeket a térerősségekkel kifejezve, valamint az integrálási határokat megcserélve r P2 r r P2 r r P1 r r P2 r r P2 J r ⋅ dl , ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl = − ∫ Eb ⋅ dl + ∫ P1

P1

(l R )

(l s )

P2

(l Rb )

P1

(l s )

a differenciális Ohm törvényhez jutunk r r r J = σ E + Eb .

(

)

P1

(l Rb )

σ

(3.10)

Az energia egyensúlyi egyenleteket általánosítva e villamos hálózatok Kirchhoff feszültség törvényéhez jutunk. Minthogy egy zárt görbére az elektromos térerősség integrálja nulla feltétel ekvivalens a stacionárius térben az egyes forrásokon betáplált és az ellenállásokon felvett feszültségek összegével, n

∑U k = 0

k =1

(3.11)

azaz a villamos hálózatok Kirchhoff feszültség törvénye az energia megmaradási törvény kiterjesztése villamos hálózatok analízisére. 3.6.3. Az áramforrás

A töltések egyenletes áramlását nemcsak a töltéseket szétválasztó feszültségforrással, hanem töltéseket egyenletesen kibocsátó áramforrással is lehet biztosítani, (3.18. ábra). Ilyen r r áramforrás, pl. a fotocella, amely fény energiát alakít át villamos energiává, J = J b . Ezzel a r differenciális Ohm törvény kiegészíthető, ahol a vezetőben folyó konduktív áram és a v sebességgel mozgó töltések által létrehozott konvektív áram által modellezett áramsűrűség a következő alakban adható meg r r r r r J = σE + σEb + J b + ρv .

3.18. ábra. A feszültségforrás és az áramforrás

3.19. ábra. A teljesítménysűrűség értelmezése

3.6.4. Az áramvezető teljesítménye

(i) A teljesítmény. Ha a vezető két pontja között a feszültség U , akkor a t idő alatt átáramló Q = I t töltés Wt = UI t

78


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

munkát végez. A rendszer P = W t teljesítménye ekkor az R ellenálláson hővé váló teljesítmény, amely a Joule törvény szerint P = UI = RI 2 = GU 2 ,

[P ] = 1 W .

(3.12)

(ii) A teljesítménysűrűség. Tekintsük az áramvezető kis térfogatát, amelyet áramvonalak és r r ekvipotenciális felületek határolnak (3.19. ábra). Az elemi dv = da ⋅ dl térfogat teljesítménye r r r r r r dP = UI = E ⋅ dl J ⋅ da = E ⋅ J dv , r r ahonnan az elemi térfogat teljesítménysűrűsége, a J = σ E + Eb differenciális Ohm törvény felhasználásával a következő alakú r2 r r r r dP r r r ⎛ J r ⎞ J = J ⋅ E = J ⎜⎜ − Eb ⎟⎟ = − J ⋅ Eb , p(r ) = dv ⎝σ ⎠ σ r2 ahol J σ a vezető anyagban a teljesítmény sűrűség, míg a feszültségforrás belsejében a r r rendszerbe betáplált teljesítménysűrűség J ⋅ Eb . Ezzel valamely v térfogat teljesítménye egyrészt az ellenálláson hővé váló teljesítmény, másrészt a feszültségforrás által a rendszerbe betáplált teljesítmény r2 J r r r P = ∫ p(r )dv = ∫ dv − ∫ J ⋅ Eb dv .

(

v

)(

v

)

σ

(

)

v

3.7. Ellenőrző kérdések

[1] [2] [3] [4] [5]

Foglalja össze az elektromos áramra és az árammodellekre vonatkozó ismereteket, Ismertesse a stacionárius áramlási tér gerjesztettségére és intenzitására vonatkozó összefüggéseket, Foglalja össze a statikus és stacionárius elektromos tér közötti analógiára vonatkozó összefüggéseket, Ismertesse a beiktatott térerősséget és a differenciális Ohm törvényt, Ismertesse a Joule hő fogalmát.

3.8. Gyakorló feladatok 3.8.1. Feladat

Koaxiális kábel belső sugara r1 = 0,8mm, külső sugara r2 = 2,5mm, a vezetők közötti szigetelésének vezetőképessége σ = 10 −9 S/m . Mekkora az l = 2 m hosszúságú szakasz szivárgási árama és szivárgási ellenállása az ér és a köpeny között, ha az elektródákra kapcsolt feszültség U = 2 kV . Határozzuk meg a koaxiális kábel szigetelőjében hővé váló teljesítményt. Megoldás Ha az l hosszúságú hengerpaláston I áram folyik át, (3.20. ábra), akkor egy r sugarú hengerfelületen az áramsűrűség és az elektromos térerősség a következő


79

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

J (r ) =

I 2π r l

, E (r ) =

J

σ

=

I . 2π rσ l

A belső ér és a köpeny között fellépő feszöltség r2

U = ∫ E dr = r1

I

r2

1 I r dr = ln 2 = IRsz , 2πσ l r r 2πσ l r1 1 ∫

ahonnan a koaxiális kábel szivárgási ellenállása

Rsz =

1

r ln 2 = 9,0673 ⋅107 Ω = 90,673 M Ω . 2πσ l r1

A kábel belső vezetéke, az ere és a külső köpeny között a feszültség hatására folyó áram

I=

2 ⋅103 U = 2,2057 ⋅10-5 A = 22,057mA . = Rsz 9,0673 ⋅107

Az elektrosztatika és az áramlási tér analógiája alapján,

C ε = , minthogy a koaxiális kábel G σ

2πεl , a szivárgási ellenállás reciproka, a koaxiális kábel első ere és a külső ln r2 r1 köpeny közötti átvezetés

kapacitása C =

G=

C

ε

σ=

2πσ l 1 = . ln r2 r1 Rsz

A szivárgási ellenálláson hővé váló teljesítmény

(

)(

)

2 2πσ l 2 U = 9,0673 ⋅10 7 2,2057 ⋅10 - 5 = 0,0441W = 44,1mW . ln r2 r1 r2 Alkalmazzuk a teljesítménysűrűség p = J σ összefüggését. Figyelembe véve, hogy az P = Rsz I 2 = GU 2 =

előírt feszültséggel az áramsűrűség

J=

Uσ 1 1 I r ln 2 , → J = , U= , 2πσ l r 2πσ l r1 ln r2 r1 r I

a koaxiális kábel belső ere és a külső köpenye közötti teljesítmény r2 r2 J 1 U 2σ 2 1 2πσ l ln r2 r1 , 2rπ l dr = U 2 P=∫ dv = ∫ 2 r r r2 2r r σ σ ln ln v r1 2 1 2 1 ahonnan a hővé váló teljesítményre az előző eredményt kapjuk

P =U2

2πσl . ln r2 r1

80


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

3.20. ábra. A szivárgási ellenállás számítása

3.21. ábra. A vezető közegbe helyezett fém elektróda

3.8.2. Feladat

Egy végtelen kiterjedésű vezető közegben egy r0 sugarú gömb alakú ideális fém elektródát helyezünk el, amelyhez szigetelt vezetőn I áramot vezetünk (3.21. ábra). Határozza meg a térerősség és a potenciál eloszlását a közegben. Határozza meg a földelt gömb szivárgási ellenállását. Megoldás (i) Az r0 sugarú gömb elektróda középpontjától r távolságban a gömbfelületen átfolyó áramsűrűség és elektromos térerősség

J (r ) =

I 4π

r2

= σE , E (r ) =

I

. 4πσ r 2

A nulla potenciálú referencia pontot a végtelenben véve fel, az ideális fémgömbön kívül az r sugarú gömbfelületen a potenciál változása ∞ I 1 Φ (r ) = ∫ E dr = . 4πσ r r Az r0 sugarú gömb szivárgási ellenállása az I U = Φ (r0 ) − Φ (∞ ) = = IRsz 4πσ r0 feszültség ismeretében 1 Rsz = . 4πσ r0 C ε = (ii) Ellenőrzésképpen, minthogy a magában álló gömb kapacitása C = 4πε r0 , a G σ 1 = 4πσ r0 , az előző eredményre vezet. analógia felhasználásával G = Rsz 3.8.3. Feladat

Egy síkkondenzátorban a keresztirányban rétegezett szigetelőanyag veszteséges (3.22. ábra). Határozza meg a rákapcsolható maximális feszültséget, ha 1.porcelán ε 1r = 5,5 E1kr = 350 kV/cm σ 1 = 10 −11 S m d1 = 1cm 2.traszf.olaj ε 2 r = 2,2 E 2 kr = 300 kV/cm σ 2 = 10 − 9 S m d 2 = 0,6cm


81

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

3.22. ábra. A rétegezett síkkondenzátor

Megoldás. Elektrosztatikus szempontból a kisebb töltéssűrűséget eredményező réteg határozza meg a kritikus térerősség értékét, minthogy ε1r ε 0 E1kr > ε 2r ε 0 E2kr , így a 2. réteg kritikus térerőssége a maximális a 2. rétegben E2 max = E2kr = 350 kV/cm . Ekkor az eltolási vektorok normális komponenseinek folytonosságára vonatkozó feltételből az 1. rétegben fellépő E ε maximális térerősség E1 max = 2 max 2r = 140 kV/cm , amely kisebb, mint az 1. réteg

ε 1r

kritikus térerőssége. A rétegezett kondenzátorra kapcsolható feszültség az egyes rétegere jutó feszültségek összege, azaz U max = E1 max d1 + E 2 max d 2 = 140 ⋅ 1 + 350 ⋅ 0,6 = 350 kV . Ha azonban az egyes rétegek vezetőképességeit vesszük figyelembe, akkor az áramsűrűség vektorok normális komponenseinek folytonosságára vonatkozó feltételből eredően az a réteg határozza meg a kritikus térerősséget amelyben kisebb lesz az áramsűrűség vektor normális komponense, σ 1E1kr < σ 2 E2kr . Minthogy a jelen esetben az 1. rétegben kisebb az áramsűrűség, így az 1. réteg kritikus térerőssége határozza meg a maximális értéket, E1 max = E1kr = 350 kV/cm . Ekkor az áramsűrűség vektorok normális komponenseinek folytonosságából a 2. rétegben lesz a maximális elektromos térerősség kisebb, mint a kritikus σ E 10 −11350 érték E 2 max = 1 max 1 = = 3,5 kV/cm . A két rétegben folyó áramok hatására a σ2 10 − 9 rétegezett kondenzátorra kapcsolható maximális feszültség az egyes rétegek feszültségeinek összege U max = E1 max d1 + E2 max d 2 = 3,5 ⋅1 + 350 ⋅ 0,6 = 213,5 kV . Minthogy a kétféle méretezésből a másodi esetben kapunk kisebb feszültséget, ezért a veszteséges szigetelőanyaggal rétegezett kondenzátorra U max = 213,5 kV feszültség kapcsolható. 3.8.4. Feladat A fajlagos ellenállás hőfokfüggése ρ (ϑ ) = ρ 0 [1 + α 0 (ϑ − ϑ0 )] . A formula alkalmazásakor a ρ 0 fajlagos ellenállás és az α 0 hőfok tényező ugyanarra a hőmérsékletre vonatkozik. Előfordul azonban, hogy a ρ 0 (ϑ0 ) fajlagos ellenállás mérési eredményből ismert, a α1 (ϑ1 ) hőfoktényező azonban táblázatból ismert. Ekkor az α1 (ϑ1 ) hőfok tényezővel mindkét érték kifejezhető

82


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ρ (ϑ ) = [1 + α1 (ϑ1 )(ϑ − ϑ1 )], ρ 0 = [1 + α1 (ϑ1 )(ϑ0 − ϑ1 )] , ahonnan a két egyenletet osztva a kívánt kapcsolat az ± α1ϑ0 , nulla értékkel való bővítés után meghatározható 1 + α1 (ϑ − ϑ1 ) 1 + α1 (ϑ0 − ϑ1 ) + α1 (ϑ − ϑ0 ) ρ = = . ρ 0 1 + α1 (ϑ0 − ϑ1 ) 1 + α1 (ϑ0 − ϑ1 )

Némi rendezés után ⎡

ρ = ρ 0 ⎢1 + ⎣

⎤ α1 (ϑ − ϑ0 )⎥ 1 + α1 (ϑ0 − ϑ1 ) ⎦

a kapott összefüggés úgy is felfogható, mint az α hőfoktényező a következő módon függ a hőmérséklettő

α0 =

α1 . 1 + α1 (ϑ0 − ϑ1 )

A fentiek alapján az ellenállás hőmérséklet függése felhasználható a hőmérséklet villamos úton való mérésére. 3.8.5. Feladat

Az ellenállás erőfüggése pedig felhasználható erő, ill. nyomás villamos úton való mérésére. Tekintsünk egy l hosszúságú, d átmérőjű vékony villamos vezetéket, amelynek ellenállása l l R=ρ =ρ . 2 a d π 4 Ha a szálra F húzóerő hat , akkor benne σ = F a mechanikai feszültség lép fel. Ennek hatására hossza ∆l , átmérője ∆d értékkel megváltozik. Rugalmas megváltozást feltételezve Hooke törvény szerint ∆l 1 1 F , = σ = l E E a

∆d µ µ F , =− σ =− d E E a

ahol E a közeg rugalmassági modulusa, és µ = 0,2 ~ 0,5 a közegre jellemző Poisson szám. Ezzel az ellenállás relatív megváltozása F ∆R ∆d ∆ρ F ⎡ 4 ⎤ ∆ρ ∆l = ∆(ln R ) = ∆ ⎢ln + ln ρ + ln l − 2 ln d ⎥ = + −2 = + + 2µ . R ρ ρ Ea l d Ea ⎣ π ⎦ A fajlagos ellenállás erőfüggése nem ismeretes, a mérések szerint azonban nem jelentékeny. Ennek megfelelően nem követünk el nagy hibát, ha a megnyúlással arányosnak tekintjük, ∆ρ ρ = k F Ea . Ezzel ∆R gF = , g = k + 1 + 2µ R Ea alakban adható meg az ellenállás erőfüggése. Ha feltételezzük, hogy k = 0 , akkor g = 1 + 2µ = 1,4 ~ 2 . A mérések szerint g = 2,0 ~ 2,6 . Pl. konstantán huzalra E = 1,7 ⋅ 10 5 kN mm 2 ,

µ − 0,33

és

g = 2,5 .

Ha

a

vezeték

átmérője


83

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

d = 30 µm = 30 ⋅ 10 -3 mm , azaz a keresztmetszete a = 0,7 ⋅ 10 −3 mm 2 , akkor F = 100 N erő

hatására ( σ = 143 kN mm 2 feszültség) hatására az ellenállás megváltozása ∆R gF 2,5 ⋅ 0,1 = = = 2,1 ⋅ 10 − 3 = 0,21% . − 5 3 R Ea 1,7 ⋅ 10 ⋅ 0,7 ⋅ 10 Az ilyen kis ellenállás változások csak Wheatstone híd segítségével mérhetők.

3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE

Recommend Documents