7.1 De ofgeleide von gebroken functies ffi
Gegeven zijn de functier .f(r)
p(x): f(x)'
a b
c
x2, g(x):3x
- J en
s(x).
Berekenp'("),
"f'(r)
en
g'(x).
p'(x):7'Q)' zien daÍ p'(*) : f '(.t) '
Onderzoek
Laat
:
of
g'(x). SQ) +
f (x) ' g'(x). Theorie A
De productregel Je kent de volgende regels voor het differentiëren.
f(x): " geeft /'(r) : g f(x): * geeft f'(x): a f(x) : ax" geeft f' (x) : naxn-t voorux : 2,3, 4,... f(x): c' g(x) geeft f'(*): , ' B'@) s(.r) : /(.r) + g(-r) geeft s'(x) : /'(x) + g'@) (somregel) Het product van de functies / en g is de functie p(x) : f(x) ' S@). Om de functiep te differentiëren, gebruik je de productregel voor het differentiëren : p(x): f(.x) ' g(x) geeftp'(r) +"f(r) 's'(.r) r..;;..1i
: f'(x)'c(r)
,..
eerste mool ofgeleide tweede
lnformatiefr het bewiis von de produchegel
Bij het bewijs van de productregel gebruik je p'(x) p(x)
: f(x)'
s(-x) geeft p'@)
:
lim
.f(x +
h)'
:
g(x + h)
:
lim
h)O
lim
.f(x +
h)'
s(x + h)
- .f(x)' g(x + h) + lim
f@) . s@+ h)
- í(*)- e(x)
h-O
f(x+h)-f(x) h
hèO
:
erbii
h
h)O
:
- Í(") 's(x)
f(x + h)' g(x + h) - f(x)' g(x + h) + f(x)' g(x + h) - f(x)' s(x)
h+O
lim
h
h eroí
:
p(x+h)-p(x)
lito
'g(x +
/z)
+ lim /(x) h+O
g(x+h)-g(x) '
.
f'(x) s(x) + f(x) ' g'(x)
In het volgende voorbeeld wordt de afgeleide van de functie
f(x) : (x2 - 4X"' + Z)c + 3) met de productregel berekend. Bij deze functie kun je /' ook berekenen door eerst btj "f(x) de haakjes
weg te werken. Verderop komje echter functies tegen waarbij zo'n herleiding niet mogelijk is. Het gebruik van de productregel is dan noodzakelijk.
In het voorbeeld komt de notatie
vat
82
x2
-
4
bedoeld. Dus [-x2
Hoofdstuk 7
-
L*'- 4)' voor. Hiermee wordt
4]'
- X.
de afgeleide
g8
6uruaàêrlDD[uê]aJIC
reuroo, epre;e6;n I
/ D
. loouJ ralla/ luo)oloq ,1, re;;a7 eple;e61 IDDtJ-r
rotraou/ luo)olêq
i :.
.
'''. ""' t"':,..;
'
ztt :
uelurrul'u
uD.
1
l, . ,l
'ue,rfuqcs
...'
1""""
'uepnoqluo uêuun>l
a1 1ft1a>p1eru
ztr : lll r-to.u- lr1
flon sp ureq elun4 Ie8e.qu?qonb ep ruo
'uezelrrêq 7 e,re8do ur el qeq la8er ezeq 'p6a4u9ponb ep e[4ruqe8 ueue>lêrêq e1 b uerepreleSye ep uro
êrlcunJ ap
sl g + ̀ : (r)u ue I + zx7: (r)r
.s+Í€ :@!:gu ,x7
(r)J I+ serlcun; ep ue,rluer1onb1a11
p6a4ugponbag
I slroaql
@loq{Iruqêc ,((x)u) : (x),b tup uep uooJ (x),u . (x)r - (x),t . (x)u (x\u I1_: tr.)b :r1cun1 ep .r ue.rea-eC
(Í)r
I
',duu,t elnuuo; epJêeD
:
snp '/ue r7 '3 /
'(r)[. (r)rt . @)B . (x)! (x)d senouny ep ue^ lJnpord 1eq sr d erlcun; '
,q8t + q,8t +
43
,t
:
eq
,d qea? q8l
:
q
d
tpp uue le8erlcnpord ep ue^ {rruqe8 ppeq:eq roop uooJ '(x13 . (y1t: (r)/ trqree,r (x)tt. (x)[: (v)d
n s1e ue,tlrrqcs et s1 (r)r7 . (r)3 . (r)/: (x)d a4cung "q EJ U .(v-r*g1:(r).rP ? (" + .x + ,r)(rg - .tJ : 6. )'! ' ,G-,2): (r)3 q (xt+z)ex;-d:@){ E
: ,3'!+s.,!-,13.A j 'i' l' tt Uol 1eq ur le6elpnporO "q .....-.t:::....
I
:
i
.l. 'ueels sef>1eeq èp proo,4^tuu têr.1 ul tee-1 .ri...r,: : 'serlJunJ epua81o,t ep uen'apra1e31e ep le8e.rlcnpo.rd ep taru ueïere8
i i
!l
Ev ptee4aue6 4oo
ft + rxg!1P - zx) + (t + xZ+ r-r)xz : ,lt + rZ+ sxl . (f - rr) + (t + xZ+ rÍ) .,[? - rxl : $),t ,x)(t - ,x) : (.x)t UeeS (€ + rZ +
4pÁot+
3ut4tau1r2
z+J€={x},6
$aa6e
+>rd+sY-
(Y)6 '(E + xZ
+ ,x)(V
-
: (r)/
.x)
'yeSarlcnpord op {rruqog ue,r epraleS;e êp
ue{ereg
ap do laOerpnpotd ap :uêrQlluolo1Jlg
@
1e;ddo op leuu uouolao
)oo enobdo ep ua ploaqroo^ laq +unï ol
ffi
Dus q("r) :
2x2+1 3o
*,
eeeft t
q'(x)
:
(3x
+
n'
5)2
L__-_v-
(3x+5).4x-(2x2 +1).3 (3x
I2x2 + 20x (3x
Cegeven is de
+
+
v:erk ulleett in de teller tle lutokje:; v'e,q
5)
- 6xz - 3 5)2
functie íGl
6x2
+
(3x
--Y:l
opdegrafiekvan/ligtherpuntA
20x
+
-
3
5)'z
.
met
xo:2.
Stel met behulp van de afgeleide de vergeiijking op de raaklijn fr in
A.
Jtr):F: :
-
2x-r
k:y:-g.UOr*U I.8. dusA{2;
Dus
t:
1.8)
84
Hoofdsluk
1 J
-0,64x + 3,08.
7
ak d aw Lt1w.
h*zeL{d'e
(rr+ll-
y
N
ltà.-t\J "
Ít,^)lf -0,64
1,8:-0,64.2+b 1,8: -1,28 + b 3,08
k:
4x2+4-gx2-2x
4
-4-22-2.2+4
f(2):
Luiw Ls
==ffi
-,xrllj--
tco:f'(2)
van
fornttrLe vaw
(litwerking 4x+1 * I "eeeft "f(x) : x-+ (x2+l.y -4-(4x+l).Lt -4x2
>evergeLtlkin0vawt
:à
í À
'
\-
98
6uruaàêrlooluaraj]rc
'í€r ur
{eger8 ep lplïus y ur {êger8 êp uu^ ï uftpper ec,
'sr Jee,r Suuerrraq apua81o,r ep go 8e.,tr eqcsrerqeSp s8uel 4aozrepug '€, lund leq ur su-Í àp ue y lund 1eq ur se-Í êp lpftus ue,r leger8 eq
/
(r)/
erlcuns ep sr ue,reaeg
3Io
=Ë:
'uolund ozep uel ueleurpJooc ep qcsrcrqeSlu uê{eJog 'uftgeer eleluozuoq ueê leru / rre^ 1egur8 ep do uelund eerrrl ulrz rg
.J
r
UI
ut uft14eet ep u€^ do 8up4[1e8re,r ep eprele8gu ep ue,t dlnqeq lêru IelS tund leq ur se-.( ep tpftus rf w^ 4eger8 eq q 'Br ue y ur
J
I ue 7 ueuftppur ep ue^ do selnu;o; ep Se,r eqcsrerqe8p sSuey 1e1g 'g ue y uelund op ur se-Í êp lpftus rÍ uezr >leger8 aq e
l-zx =:
l+x _r:(r)[
(r)/ eqcuq
7 -X L: zx-E
ep sr ua.re8eg
?
z-x
Í+rxz:@)!
(x)4
e
^x 'epre1e8;u ep
:("X
I
-x-c ( u: (Í)3 q
7,
cx -f
6-xg
ue{êreg
tr
9+x- : (")3 q T,+XT , .. : (*)"/ u ,c+Í
p
r-)c7:F)a t
z-x
Z
'JeêrluêrêJJr(l
@
ep do laberluerlonb op :uatQl+ualê1|q 1e;ddo ap laLU ueuelêo )oo uanoodo ep 1un1 a;
tr
ffi
terugblik _ De produchegel Voor het differentiëren van het product van twee functies gebruik je de
productregel:
: fQ) ' s(x) geeft p'(x) : f'(x) . e6) + f(x) ' g'(x). Bij /(x): (x2 * x)(2x2 - x) krijg je f' (r) : [,r2 + x]' . (2*' -x) + (.r2 + x) . l2x2 - x)' - (2x + 1)(2x2 - "r) + (x2 + x)(4x - 1). pQ)
Lf's1'=f"q+f'o'
De quoliëntregel
Voor het differentiëren van het quotiënt van twee functies gebruik je de quotiëntregel:
r(x) n(x)'r'(x)- t(r)'n'(x) a(x\=seeli ..1 a'(r) t \^ t . r{x) ó..,. Ltt^
I t]' lwl
\n(x)),
x2+x Bij [k):2*z I Mjeje
f'(r)
:
*
- (r' + x) . lLr2 (2x') - l) (2x2 - 1). (2x + 1) - (x2 + x) . 4x (2x2
1).
f-r'z
x]'
+
- l) 4x3 + 2x2 - Ltc - 1 -
n"t' - tra"' 2 w
1l'
\2x2
(L*'
-
4x3
-
4x2
l)
l .t
=-2x2*2x-7 QF_IY
--[ i
I
4
--ïi
Vergeliiking von rookliin opstellen De vergelijking van de raaklijn k van de grafiek van /(;r)
: x2+x inhet 2*z _ ,
: I krijgje langs algebraïsche x2+-tr -2x2-2x-l './(x) :;_2 (2x2-l)2 zx--t-, geeft -/'(.-'\t puntA op de grafiek van/met xo
Stel k:
y=axIb
k:y:-5**U y": f(1):2,
met
-2.12-2.1-1 :-5. a:f'(t):,2. 1r_1r, I
dusA(1,
,)J1=
u
-1*to*
'1:b Dus
ft:
Y: -5x+7.
weg als volgt.
zg
6urua)arlDotlualaljrc
.r/ p1e6 pêqa6
ïF.too^ r_uxtt '0
ezeptept8yol
:
r_r. 0:0:,[I]:,[or]
: (x),t gea6 ,r : (x){
r/ uo I ue
-
11
roo^ lpyeS 1oo le8er t1n
oï. I = I :,[r]:,1,r]
"' 'r- 't- 'Z- \- - u teut r,ux . tt : (x),t qee? : (r)l "x em
ue8lpl uep
'xr
roop
d-
em
ue8ueuen
1,a-x ' d- : azx = ,-ox ' d-
r r_ax,d.I-0.ar dx : (r),! geal - I : o-x: (x)! = . !G'\r = ,lox].1-,l1l.ox : d uueerrr 'o_x : (r){ rn^ lrn uee8 e11
'V
'E'Z'1
'u rJeL epJeelrr eleqe8 e,rerle8eu e{Íe roo,r 1pye3 ye8er azep 1ep uezfr,traq nu uue8 e11 'u ue^ uêpJu€.,r\ errerleSeu
ele{ue roo^ 1ple8
{oo
1_ yxxt
: ,[,r] 1o3er ap tep uerze8 êl qeq I I e,reSdo u1 u
opqaoroo^
vouoaql
's-xg-:
,[s_r]
,b-í ,o-
(x)[ uD aplopEDec
"x:
t
lep uue le8e4u?rtonb ep ue,t dlnqeq lêru uoo.1 xZ- ,L_xl 131o,r. u trn lep eol tqcn q
't
l+ll'p
*:
:
u€e 1aaer1uerlonb ap ue't
)ry -r
I
dpqeq le.,,
zx,-z
__7n7
_T^Í
tEzt
uoor
xL * zxl sxZ zxg + €x uxq + uxv ruro^ àp ulJfrqcs
n't
,n b
*
Ef o
zx,xZ
'{nerq ugg qe gluqc5 q
-x
$E zx9
:
o M_n
z-xt
*
EIIE
vx
'lueuodxe e^erle8êu repuoz;luqcg q
_xc .x at?t
o'O
-x
tïT
TM-
'uxv wro^ ep ur ;ftrqc5
sorlfunlslL.l)ouJ uo^ oproloolo
" lfE
oc z'L
Je kunl het voorbeeld en de opgoven ook oefenen mel de
Differentiëren: de ofgeleide von
@
/(r) : r"
Bereken de afgeleide. i-.
x3+l
6
a "x' /(x) : .
ii:
opplel
voor gehele n op de
b s(x): " 5X'
-
Uitwerking 6 a IG\: - : óx r geelt I'G\ : -18-r a:--18 r* ;3+1 x3 I b s("):*g:3f +t?:+*-tlx-2 geeft
ri::
l:l
I r^ -l
g'(r)
is herleid tot één breuk
2 x3 2 x3-2 3xl-3xi 3xr- 3xr
iij
Afsprook Noteer de afgeleide zonder negatieve exponenten.
iir
trIE i :
i
Waardoor lukte het in het voorbeeld om de afgeleiden te berekenen zonder de quotiëntregel te gebruiken? Welke van de volgende functies kun je differentiëren zonder de quotiëntregel te gebruiken? 2x3
í@:;aa
: !
@
a
tr
k(x):x-r4x L -
h(x): +
Bereken de afgeleide.
a f('):F
tr
xI2
x2+4
8@): 1':-
1
b
g(x)
:5 - 3a x'
- x-
JÍ'-
J
Differentieer en herleid de afgeleide tot één breuk.
2xa "f(x): -.--1X',
r) 1
Gegeven zijn de functies ,f(r)
3X-
b g(r):2x1
:
h
"n s@
c
h(x)
--+
Op de grafiek van / ligt het puntÁ met xA : 2. Stel met behulp van de afgeleide de formule op van de raaklijn fr in A. Op de grafiek van g ligt het punt B met x u : 2. Stel langs algebraïsche weg de formule op van de raaklijn / in B. De grafiek van g snijdt de x-as in de punten C en D. Stel met behulp van differentiëren de vergelijkingen op van de raaklijnen m en n rn C en D.
88
b
h1r1: o*+
Hoofdsïuk
7
,x-
ó8
6uruaàailoorluolollrc
7L
Y
" '-2" :
(x)q
YZ
1rf + tXI
+ .x)
:
S ' ,,:
I
I
":
(*)s
1'x (r)1
(")r
1
"G'
-
yx1
: @){ e
'epte1e8;e ep ue>lereg
!È ' x: (")3 q
. L^x:(x\[ -xL \ /' /\
L
rA L:
o
:f *,:
(*)r.t
I
(,){
e
'JêerlueJe.llro
q :
t:
rlit:
'lueuodxe ue>lorqe8 ue elerle8eu repuoz uepreleS;e JeêloN
ryods1Y
,-x tx {,Ê.rxE rÍ . ^o-1. [- :, -r8-.- xl1- : txt,t1 8 I I I r uêê3 z r?*;r r:J.+ i:,/.:vw . . l , È. . rïz :,x . x . ïz : J' ï tirx 1z : @),s ueez ?x : i, ), : * rr: (r)s q Lr-i* ' t : : (x)'l l;ee8 'r ::l : $)l u t-"t ï:; 7<
3un1tauy11
f:{,){
* ',,: (")3 q
. i i'
leep pue6lo^ uao ur el
rena;
la6erazopuDAslnneqleg
"
rêàuuereJJrcl
@"p
Ë
i"ï.#:iïJJiji3kFg#á3ffi53Ë"ï":ï1311ï',."i$ j,........
.....
'Huo^/aïploo^ r-uxtt:(x),1 gaa$ 'x:(x){
ii..ri:i..;
U uB^ u ple8 11e roo^ sJIêz lp1e8 le8er eq 'uetza8 plaeqroo^ uee 11 a,re8do u1 ef qeq ue^rarH'r./ us^ uepre€,{\ ue>lorqe8 roo^
U
,1
: (r) ,{ tgee? ,x : (r)/ ye8er eq uo aaï;erool ar : (x)I uoraga;e6pa6
{oo tp1e3 , _ uxu
I apoaql
i Olr Ji :
e xÍ :,[.r] É1o.t I : ,lcr] . zx . Z trn t€p eol ]qcrl q IIII 'I:,[cÍ] . x=,x. zÍ lrnlepueeuool v "x.7l?1ol : (r)! 1ep uezft,req ele8 e,re8do ezep uI EE Í,
: (r),/ gee8
i, "
-A
UÀ\
,UN &tb=
1r'
'lueuodxe uelorqeS ue e,r.erlu8eu repuoz
r,U
,
-
it
lluqcg
q
tl^.^
vx
-^ t-
-,, lf'ïue^rqceursp;luqc5 *
uU
L
d
EIIO
breuk. @ Oif"t"ntieer en herleid de afgeleide tot éénx*l ;r+1 i a b grx):-rJ-rr i fet= -x
--)
a
pft
c"g"u.n
is de functie
f(.) :
'-,tF
Íz a
h(x\: ^ 2Jx _1
_ De lijn ft raakt de grafiek van / in het punt Á met iÁ - 8' punt met B het De lijn / raakt de grafiek van / in De lijnen k en I snijden elkaar in het punt C. Bereken langs algebraïsche weg de coórdinaten van C'
rr:8'
6E
Etr
-
f(r):
x',8 3x. Gegeven is de Íunctie Stel met behulp van differentiëren de formule op van de raaklijn ft in de oorsProng. b De lijn I met richtingscoëffrciënt 3 raakt de grafiek van /' Stel algebraïsch de vergelijking op van 1'
a
Gegeven is de functie
/(t) :
#
De lijn
/<
figuur
raakt de graÍiek van
/
in
het punt Á met rÁ : 4' De lijn ft snijdt de x-as in het punt B' Bereken exact de oppervlakte van L'OAB.
trtr
Een magneetzweeftrein trekt op. Gedurende de eerste negen seconden is de afgelegde weg s in meters te benaderen door de
formule
s
: lbtft
met / in seconden. Na negen seconden verandefi de snelheid niet meer. a Bereken met behulp van de afgeleide de snelheid op r: 1' b Bereken algebraÏsch na hoeveel seconden de snelheid gelijk is aan
c i:'
t, :t:
.
108 km/uur. Hoeveel meter legt de trein af in de eerste minuut?
7.1
fG):'J"'
:1
e:Jxf . -)o xt7 z-xz zxz _ .rÍl_. .rf :1.11,3 .Jxf . <-az T "_1. '-_J E I E I -Ír- '' ;t-zx rgaa8
t" . x+7x:j't T'. r I*zr : l+rx :g1s ef
'*
. -2r I
sfrrl
:i".
UeeB,.xE .. J elStrrl (r)/ . .. t xÈ ,xe: Jz
"Er
!' :(r)s lqus l+"x :i,"S. ïz : $),{
I
r
: Íx. zxg :*
rxg:1x)1
ue^ ueue{êreq leq l1g salpuryla|.l orv\ uo uarg$ualaglc
ue,n aprelaS;e êp
-x -x -x | :z_x_ | :(r),8 ryaa8lrq . -x z'. :r__!_=t__ l-zx I zx t :1r;3 131qeJ 'r Í+x:I*II zx [+.r T
'tln lsrêe
elleep Í : l*zx
(r)B
ue,t eprelaS;e ep ue^ uaueïàreq 1eq
[g
+ ,Ï) + ,') . ,(r : V),t ÉtDI êf .le8erluerlonb "(I zx-l xz.x-1.il+.x1 ep elryruqe8
ry:
'xl
(r)/
[g
ue,r epreleS;e op rm^ ueue{ereq teq uorr ua.rgl1ue.raglq
selpunl ueïo.tqe6
JÍaïtJ,xz,t:,_xít: .
(r),3
UêeA
e|8fUtt
tf,- : s-xl-:1x;,/ vt
. x : xf . ,Í:
(x)3
,r:
ï
: (x),t gaeí
:
.
,-x:{:g11
gee8
elafirl 'U ue^ z ple8 41e roo.t 1p1e3 1_yxlt
"x
(x13 frq ue
t:(r)! I
"x
[qsnq
: (r)t
le8er eq
(x).[ uor ap;a;a6p eg
5. :l
ï.,
7.3 trE trtr
De kettingregel
Gegeven is de functie Bereken /'(x). Toon aan dat f'(x1
a b
f(x): :2,*'
(x'
-
5x)'.
5x) '
Gegeven zijn de functies g(x)
:
f.r'z
-
(x2
-
5x]'
4x* 5)3
en
4x 1- 5)' 'lr'- 4x + 5l'. Maak tabellen bij de hellingfunctie van g en bij de functie h. Zie de h(x) :31*z
-
GR-schermen hieronder. Wat valt op?
f"l+t1 t'lr'ti Fl+tl: 111Í'
= \ i{r É -+i:,+;t..1''L' Errfl*p i r.r i.'ir 1 l{
1
rï'r
'
'
l.r
È I
3 \ t
f H
-/ !: -lI . I t.
rt
À L-E/,?
T.:bIe Fr-trrc llr= \rl=': He*41:i+3]-J ti lEd". i ri I ' H,t 'Í:? -4li+5 ï383 i 'Jr: 1 Ê i: ?li-4 ]
EH'IM'ffiMFÍïEEi
I
,l-t-1Í :'-
-
ïheorieA De ketlingregel De functies @t 5x)2 en g(x) (x2 4x * 5)3 kun je differentiëren door eerst de haakjes weg te werken of door de productregel toe te passen. Beide manieren leveren veel rekenwerk op. Het differentiëren van deze functies kan sneller door/en I op te splitsen in schokels. We kiezen de schakels zo, dat we iedere schakel afzonderlijk kunnen differentiëren. De functie splitsen we op in y ut met Lt: x2 * 5-r. Dit is een juiste opsplitsing, want substitutie van u x2 5x tn y uz geeft weer de lunctie /(x) (x2 5x)2.
f(i :
:
-
:
/
:
-
En zo splitsen we 8 op
:
-
-
-
in y : uz met
u:
x2
-
4x
I
5.
Een functie die geschreven wordt als een ketting van schakels heet een
ketlingfunctie. De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de schakels. Deze regel voor het differentiëren heet de kettingregel.
In de kettingregel komen de notaties De notatie
dv Oi
betekent dat
Oq
.n fr
uoor. du
jeJ noor r differentieert en dÍ
betekent dat
naar x differentieeÍ.
Dus
dv-du y: u2 geeft dr: 2,
Kettingregel:
en ,i
dy dy drt dr: dr, ' dr
- xt - 5x geeft * :2x -
5.
je
u
8ó
6uruoàajlDD[ua]a$rC
Lt:t
y:2
np
I
ut
,-nÍt:,1,-rf Í. iL
ixl:n wt
:,1
1r.:
@),,'t
',4:ry Áp
r1t . ,n
q
xp)
:1.
nItz
xg'J " : I xg
-
rD
V),3
"l: ,lrtl-_? J /tp
--L
np
- "-
1",
:!it:t
--
ïÊ
t(xL- 14) - :(LtL- zxgtUz
q
"1
zx9).
!-
:(L-
07
rx91.
s no|- : @,!
L-zx9:*"r* r'rr'*n
,*"*n:n#-
"
99
SuDUa,w!n
!-::t
.
,0 +,v):
(*),.t
t
ry
,":t:
(r)s
* ,*:
q
(,){
v
'rêerluere.I]r(J
(Íoj]pi]
ep do lebetbul[oï ap:uel?lluolo#lc
1alddo ep leLu uoueloo )oo êno6do ap uo plaaqroo^ +oq lun)
é
et lu
'G *d@s ,x)z: G xd . : rp np (*),l "z Á. á: -rx:71 lerrJ zn:,( sr .(rg -rr): ("V ftg
snp 'ÍS
*p.ip:ry";il ry";í,': dy np ,(p nV "
rV
rTTOerT Xp l.VOe\T /lVO._t'V XT7 ,?t7O< . tult ' '{y. -+ lull" : --r nV -r nV {y ull" =:r {y urll'- : -(p
'O<-YIV 4oo s1v/ ^^vp A<-XV
'sr lsrnllo8er8u111o{ ep tep uerzur 131o.r
sp
tun>I
et
l[
Differentieer. I
i(x\:J4x-l k(x): (x2 + 3)Jf
a r@): -2(2x + l)4
a
trEE
I
b
s(x) =
6;-T
c
h(x) =
J;, + 4x
3
1
*
Jxz ):2x
3
Bereken de afgeleide.
:
a fU)
4(x3 + 7x
g(x): -
-
i(x):-(4-x)J4-x
2)2
6
k(x):5 rE*o+*'++*t x2+4 f (x): t * 'f Jx' +
@rafr
hO): trF
@
l(x\:-
+
+ zx
f(i : (Lr' - Lr)'. a Schets de graflek van/. b Bereken algebraïsch de.r-coórdinaten van de punten van de grafiek G"g"u"n is de functie
c
waarin de raaklijn horizontaal is. De lijn / raakt de grafiek van/in het puntÁ met
x,
:
6.
Stel algebraïsch de vergelijking op van /.
Geschiedenis: differenliolen De gemiddelde snelheid op een inïervol bii een
formuleis
As
6.
tiid-ofslond-
Neem leArheel klein, don kriig ieeen
benodering von de snelheid op één momenl. Deze benodering is beler noormote À/ kleiner wordt genomen Neem ie de limiet voor At noor nul, don kriig ie
d/q.
ln deze notolie helen ds en dr differentiolen.
Gottfried Wilhelm Leibniz (ló4ó-l7ló) heeft bii de ontwikkeling von de differenlioolrekening de nototie mel de differenliolen ingevoerd. Voor zowel het begrip von de differentioolrekening ols voor het gebruik bii ollerlei loepossingen heeft een nolotie mel differentiolen de voorkeur boven een nototie ols/'(x).
f(i:
tr
Gegeven is de functie Jr? + g - x2 + 5x. grafiek De lijn ft raakt de van in het punt A
met
xo:4.
/
Stel algebraïsch de vergelijking op van ft. Onderzoek met de afgeleide of de grafiek een
horizontale raaklijn heeft voor .r: 3. De lijn / raakt de graflek van / en is evenwijdig met de lijn mi y : 5x - 2. Stel algebraïsch de formule op van /.
figuur
94
Hoofdsluk
7
7.2
f(x) =
Fn
-
x2 + 5x
96
6uruê)arloorluato#c
I+XTI
J
(r)ry
p
I-zx - \xPl
,(1- 1
rg)r:
I
I +xz
ri4
: (r)3 q
+xEfx:$){
e
reelluêreJJr(l
9r
+ rs) _
:
@
u&t = I +ÍE ljrqt:
-rl
Él:gA(a
vz-xv-6+1:8 é_f8l(o + xs) _ (g+x)v-6+Í8 ,(6 +
x+l+xz r+xat
r+xzt x
I +xz
(r),3
-(s+r) - r .ql.!l nl ntz ó'--- rr VTÁP : n nw rlt: g..qA :,t
nl
-o
6 + r8
L'-
ntz lr
IIÁP
I -txZ:n nw r1t
q
:
--
t +xZt
:r
e
Surytauyn
6+Í84 9+x
t
jrzt,:
@)!
u
'JeêquêroJJrc 1;;sn:;eèl;
{!o-r*pÈ ap do ;e6e4uerlonb ap 1o le6erpnpord ap traLu praeutqu:o:aO laOar6urgal ap :uêJQlluoro11!C ie;ddo ep loru uoualoo )oo onoOdo ep ue plêaqloo^ teq lun) af
'ueuur8eq el rolcuJ uel aprele8;e op ue^ ueue{eJeq leq leu 1ene3 u,oz vt tue€zpeer sr leH '8rpou le8er8uple{ ep el qeq ueue>1arêq et I + x1,t rlr-^ epre1e8.1u ep urg
èzop
rr
,l1l:1| ).. *
Lj:ï
. ,t*f
:ue1rruqe8 le8e4cnpord ep uerêrluoroJJlp teq ftq elleour
Ll it
uê
Í
uerotruJ ep ue^ tcnpord 1eq sr
(r)/
Lj:tr:
:(r\,t
ruofte( eq
e4cung
p6a4ug;1onb ap ;o p6e4rnpod ap pur pre€tulquole6 p6ar6u;ga1 a6
I eljoaql '0ol lrp lqcr'I '3rpou
1e3er3ur11e>1
ap u9 leSerlcnpord ep el qeq epreleS;e àp ue^ uêuêïereq ]er1 roo
'Li:ï':
(r)/
eqcuq
ue'ta8eg
eP sr
lrc
EE
: Lx.l6;i.
Gegeven is de functie fA) Stel langs algebraïsche weg de vergelijking op van de lijn ft die de grafiek van / raakt in het punt A met rÁ 8.
:
trtr
Gegeven is de functie
f@
-- '; T+ , vI
/ ligt een punt waar de raaklijn horizontaal is. Bereken exact de coórdinaten van dit punt. De grafiek van / snijdt de y-as in het punt Á. De lijn ft raakt de grafiek van / in A en snijdt de x-as in het punt B. Bereken exact de oppervlakte vat AOAB. Op de graf,ek van
tr
In het voorbeeld is de afgeleide van g(.r) de
quotiënrregel.
::;:xt6:+9
berekend met
ul8x
De afgeleide is echter ook te berekenen met de productregel.
s6):6+ 6) . (8.r + 9) i en krijgt g'(x): l'(&r+9) ?*(x*6) '-](8x+9) '':.8. 4x * 15 a Licht dit toe en herleid .e'(-r) tot(8x+9)JSx+9 b Bereken de afgeleide van f(x) : x*l van opgave 34 met r* Jx' -t 4 de productregel. Je
gebruikt
LI
96
HooÍdsluk
7
'L!:lf ''0 +x)z * I
+r
x+rxt.,(I+x)7, x7- zK- I +x(lx *
zxz
{l-?t'2fi+xtz
(x+rx)Z-i+xZ)Í+x) (r +r) x
-l zxt
x + -xtz ". --------!---t
I+xz
(l +r)
:
"0+x)
I.x+zxt_ ,LJ lr+rrt letu el uerlereq 1rp ue uftqcsro
et4ruqea
::+: '' /
o^",
(r)ï
(r),tt
É[q
et
'le8er8urpe>1 ep
Surualereq ep u1 ,ly1 "*rtl r*ort erpunJ
"o
*n
u"r"ffi:#ït'ï
;e6ar6u;galepua;a6a4ug;pnbeq
--^-
r_tzrl--^-(
.Á_tzÁl L
xE1_zxl xIzxZ+@arx)7
x + -xtz __:_:J ".Í+Y+.xA.l:
l+xz
f"*.'Al
'L-t
. x+x+ r*t .,lrl: l
I
V),Lt
r8t"u1 e1
'1a8er8urye1 ep
1eu el uelereq tlp ue ufrqcsroo,,r.e1, 'le8erlcnpord ep elryruqe8
lt=f
]
luro>1
Suruelereq ep uI
: @)q uet uerêrluêrêJJrp leq [S ;a6ar6uga1 ap ua;a6a.rpnpord aq
:j4,
x +,xfz T
x +,xlz I+XZ
ntZ I
À-
--
'l + rZ: IP u. '!-! :n.p ef sftq nP I ÁP
x+
,xf -l :
(x)-/
[s
'sle{€qcs e>1ft1repuoz;e ep ue,r uapreleS;e
ep uEA sr lcnpord 1eq arlcun;8utne{ ueê ue,t epreleS;e ep lep lSez 1e3er
ezeq
,
.rp.r?p_rp le8er8urye>1 ep ef
:( "" ï
np t{:p (p hg
4ruqe8 setlcun;8u41eà ue^ uêrequeregp teq
'x+zx-n
s1e>pqcs ap ur uaslrlds at
.xl :
do r +
1x;/
arrcung ep sr
r
i
oZ
'er1cun33uq1e>1 uee leêq sleluqos ue,r 3uq1e1 uêe sle lpJo^\ ue^erqJse8 arp erlcunJ ueg
I
;a6ar6uggel eq
ïilq6rue1
7.4 Rookliinen en toppen trEE
Los algebraïsch op. a
s-z{r:z
d
xa-5x2+4:o
b
S+x{x:rc
e
xt
f
5r2 - l0 12 1x'z-41:-ts
- l0 ,,=0 x'-+
5Í2
-
8.t.,/i
+ 12: o
Gegeven is de functie 6x Zrrfr. Zre de grafiekhiemaast De raaklijn van de grafiek van/is in de top Zhorizontaal. Bereken algebraïsch de coórdinaten van 7.
tO
f(x):
-
Theorie A Algebroi'sch berekenen von extreme woorden ln een top van de grafiek van de functie / is de raaklijn horizontaal. Je kunt de x-coórdinaat van de top berekenen door de vergelijking f' (x) : 0 op te lossen.
Uit de grafiek van / volgt of de extreme waarde die bij de top hoort een minimum of een maximum is.
I
wg*sctre-o:
l
het olgebroi'sch berekenen von exlreme woorden
Bereken/'(-r).
2 Los algebraïsch op /'(x): g. 3 Voer de formule van/in op de GR, plot de grafiek en schets Kijk in de grafiek of je met
4
de grafiek. een hoogste of een laagste punt te maken
hebt. Bereken de y-coórdinaten van de toppen en noteer het antwoord in de
vorÍn max. is.f(...)
:
... of min. is.f(...)
:
...
j j
i tnformctiefi ]
crfgeleide
:
0 en top von de grcrfiek
ln het werkschemo stoot bil 3 dot le een schels moet moken von de grofiek. O' nog Dit is nodig, omdot ie no het oplossen von de vergeliiking 'ofgeleide niel weet oÍ je met een minimum of een moximum te moken hebl.
-
Bovendien ziin de beweringen'ofgeleide niet geliik.
: ,' -
:
0' en 'de grofiek heeft een top'
6x2 + 12x 5 wel f' (2): 0. moor de grofiek heefl geen top. De grofiek heeftwel een horizonïole rooklijn in het Zo is bii de functie
punt(2,3).
98
Hoofdsluk 7
f(x)
-
ó6
6urua)orlooUuaiaLuC
'01
'plo^
vf-:x
-
uà
0l
l 'Z- 'Z ul.lz uoluurproor-Í
J] 'plo^ 'plo^ 'plo^ gtl:x \Z-:v \Z:x l
êCl
0l :zx \ v:zx 0t:d ^ V:d o:(or -4ft-a) 0:0i+dll-rd 'd:.r 1e1g 0:0t+zxll-vx
0:002+zxoL-vxs oz + .xg7 + lca :08I - 2f,06 (V+rxtr+or)9:08I-"196 .(z+rx19:@z-zÍol)6
g_r(z+rx)
g
0z
-
l9
I
i
ttz-
-ut r9 -J
zx}l
,n, tauteou
ue;ou
e:\x),{
sluur
- kt)t
.oron
n qr --x
ï-:x
uee6 j eq i
uêe8
nrrc '9rrz-):'a
zl- or
s, x',u
-V
tír:;r:(q
ii..i .plo-r -
i
T,:
ua6urssoldo
.j
(zt .(z+.') zx,I- zx\T,+02- "xg1-
0Z-
0:
zx
0Z: zr0l .xg1 qae? 0Z
-
O:
(z + .x)
xZ. xOI-
. (Z+.x7
-0I-
:
@),{ (x),1
geeS í J;x : 1\I e -8ut>pauyp Í01
'f
/
uue sr
>1111e3
utrp4eer êp u€^ lu?IcuJeocs8urlqcu ep uLrBE,r
uel leger8 ep do uelund êp ue^ uêleurprooc-.r ep lc€xe ueleJeg q 'ïleJeq
1eq gee8 ue
t
ue{ereg
uet' uepleu1y\ eruerlxe ep lcexê
'Z
* zx: (r)/
Í0I
B
errcung ep sr ue,te8eg
-
@
G"g.u"r, is de functie
f(i :;h
a Bereken b Bereken /
van
@
fl*) : *rEL een schets van de grafiek van /. G"g"u"n is de functie
a b c d
tr80
algebraïsch de extreme waarden van/en geefhet bereik. algebraïsch de;r-coórdinaten van de punten op de grafiek waarin de richtingscoëfftciënt van de raaklijn gelijk is aan J.
In figuur 7.5 zie je
Bereken het domein van.f.
Toonaandat
8-3"r
f'@):ffi
Bereken exact de coórdinaten van de top van de grafiek van/en geef het bereik. Op de grafiek van / ligt het punt Á waarin de raaklijn richtingscoëffrciënt I heeft. Bereken algebrai'sch de coórdinaten van Á.
:
Gegeven is de functie 7@) zrJS -- X Z. De graflek van snijdt de y-as in het punt A. Stel algebrarsch de vergelijking op van de raaklijn ft in A. b Bereken exact het maximum van /. c Geef D, en Br. d Het punt B ligt op de grafiek van f . De raaklijn in B is evenwijdig met de lijn lLx. Bereken algebraïsch de coórdinaten van B.
/
-
y:
trtr
Gegevenisdefunctie
f(i :#
De y-coórdinaat van de top is te schrijven als Bereken a, b en c. De lijn ft met rc* I raakt de grafiek van /. Stel algebraïsch de vergelijking van ft op.
: I
u
w o figuur 7.6 f(x)
lnformcrtief: lokole lineoire benoderingen Het puntÁ ligt op de groÍiekvon/en de helling von de groÍiek inA is bekend.
/
De Íunctie is hiermee te benoderen door een lineoire funclie g. Je neeml voor g de functie die bii de rookliin in Á hoort.
Deze lineoire benodering is olleen voor een x in de buurt von xo redeliik nouwkeurig, doorom heet deze benodering de lokqle lineoire benodering
von/voor
x:
x,q.
is g("r) : f@) + f'@o) - @ : Je kunl eenvoudig nogoon dot g(xo) f(*") en g'(xo) : f' (xa). Wil ievoneenfunclie/met f($: l3 en f'(*):0,5 deÍuncliewoordevoor x: 4,1 weten, don gebruik ie de lokole lineoire benodering von/. Deze is g(x) : 13 + 0,5(x - 4). Je kriist f(4,t) - s@,1) : t3 + 0,5(4,1 - 4) : t3,3s.
DeÍormulevoordezelokolelineoirebenodering
Lokole lineoire benoderingen worden gebruikt bii ollerlei iïerotieve methoden. Een
voorbeeld hiervon zie ie in de proklische opdrocht'De methode von Newïon'.
IOO Hoofdsluk
7
*o).
x3+2
Jx
101 6uruaàolloo[uaJaj]rc
'xÍ '€.
:
+ xd + .xï
d
tAIo^ 0 : @1! ]m lep uep uooJ se4cunl ep ulrz ue,te8eg
- : (r)!
'(r)J
ua
E[l
O
'(x)f/ue>1ereg q
(r)Jree4uere;;rq
u
'rxd q ,x -- (r)ol sertrunJ ep uftz ue,te8eg
E
O
'opar€ ur raê)raA ua eLusuool roon looqlsê0oH alououDN ep do praapnlseb epunlsrae)rol [eeq ou!lêA]
'ulrz puualseq roo^ lolu rDop arp uesloold do uarelrod e1 ue ueplp e1 proq e1 tuo s1 1!1;e6ou reoLu loru leq topoz'pue1se61o uhz roo>1;a do 6rpe;1on 11ruqeb ua uron 'orpunJ lop luoleleq 16 ',6r;ran r-uooznnp, edoul.rd 1eq sua6lo^ uêdroMluo uoproM ueOean enrrnerp
,,'6rpou 6urualelloouuorê]llp slD 6utueletsuol lo^ oz rooruêrLl lqoq e1'ue1lu1 leoq op uro apun)s$ op lrrtoï hqrerg 'ueplonn puo)olog ua6ursrnrl ep uD^ lralr)odor ap6rpouaq ep leouJ uê6aM op do e11nrp ualqrDMra^ êl op JDou ïaozrapuo uor puo:6 dO,, :eulpnl 'a6rpunlsraelron uaa uol ua)ol op uD^ uea s1 ueq!yvvrtnoqmneru u! uaOaMsOullnlsluo uoA uodromluo loH 'ueburssrll elueouto0 ep llq Jêo^ro uareelralJellaMopeursprolêq
q lseod eullenl
e6punlsrealran ap :daorcq 1a;.1 'dusplp llp ueïereg 'uelnurru ee,rl red I lêru ltuoouJe ueessud lnnurru red 1ep s.otne pluee 1eq doreun duspln uee re sr eprruoJ ep sueSlon c 'ueressed lnnu[u Jod s.olne elsàêru ep luet eoq qcsrerqeSle uoïaJeg q
uee' erruuuoJur e{re
[ 'I - r roo^ lL
qcsrerqe'r"tÏ"ï:r]tË
"
{l"aro- s. rnn L .,,o o: r uê g J leru uern uI ptll ep t ue ueessed lnnuru red 1up s,o1nu = =0 'p1else8do 07, + * IBtuBe leq N sI uuelH f tgp t06 : N elnuJoJ ap ue8u4eru uu,r puor8 do sreleozrepuo ueqqeq l1eeu 1truqe8 leq do ue8ftq et tqclz *O e11eepe33em ueê uB^ tep s.otne leluee
EIE
'Br u€^ ueleurpJoor êp qcsrerqeSle ueïêJeg y ,t :az ull
'rf
ep ]eur Srpftmue^e sr ue
g lund
1eq ur
/
ue,r.
legur8 ep
:
DIpeJ
'rf ue,r apreu,r eruer1xe ep lcexe
.y
ur
ry
:vx
I uft1
eq
c
uelalog q
laut y tund 1eq
uft11eer ep ue,L do Suqftle8re,r ep 3a.u eqcsrerqeSle s8uel 1e1g u
' t+x^r
' ::l' : x6
(r')/ orlrunl
ap sr
ue,redaD
EE V
ïheorie Kromme doorloppen
Bij het opstellen van
een formule van de kromme waarop alle toppen van de
f liggen, gaje als volgt te werk. Bereken4(x). Gebruik de vergelijkine fi,6): 0 omp uit te drukken in.x. Vul de gevonden p in bij de formule van fr.
grafieken van de functies
. . . a:.;.=
le kunl hel vcorbeelcj cok oefenen mel
d*@
ï]=i
Ce
cpoieï Kramme door loppeir op
I:::::r''
:
Gegeven zijn de functies {,(-r) x3 + px'. Stel een formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafieken van liggen.
f
Uitwerking
fr("): x3 + px2 geeft f)(x):3xz * fi,@ :0 geeft 3x2 + 2px:0 2px:
2px
-3x2
Voor x*0 volgthieruit P : -l)x.
p: - 3x2 . 2x
r: 0 geeft top (0, 0) P: -lrzx geeft y : x3 - llx. x2 : x3-l)x3 :
ofwel
-+x3
Ook het punt (0, 0) ligt op de graflek van y : _ lrxr. Dus de formule van de kromme
@
G"g"u"n zijn de functies
@
G.g"u"n zijn
is y :
f(x) :
- jr3
jx3 + px2 +
5.
Stel een formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafieken van f liggen. de functie
s
fr(t):;h f
De toppen van de grafieken van de functies liggen op twee lijnen. Toon dit aan en geefde vergelijkingen vandeze
lijnen.
A
tr
Cegeven zijn de functie s De functie
x:
f
f ,txt:
#O
heeft een extreme waarde voor
1.
Bereken p en de andere extreme waarde. Toon aan dat alle toppen van de grafieken
vanf opdekromme ):I lO2
1
liggen.
figuur HoofdsÍuk
7
7.7
B
'9 { sr ue88r1 ueddol êlle dorwd eturuor>l op ue^ elmruoJ êp snq "xil - ,xE: '9 x . (*t - r") + zxÍl + rrl_ :{ UeeB (-fl :{ uruey1n,lu1
O
:
g
-
@)fl xd +
'(9r
'xt-zx:d
:
snp
'0:d+xEtzx-
geeS
g:(4fl
'@fI d lrq ua11n,r e1 ur sueSloa;e^ lrp uê Í ut ue)plrup et lm ue,r dpqeq leur d lsree roop el3lu1 euruorï êzêp ue^ elnruoJ êC
,xlï
+
rf,ï- : (r)d/ sencun;
'etutuoq uee do ue33r1 ep ue^ ue{êger8 ep ue,r ueddol eq
uaddolroop auuto.t)
- 'r -) : ((r -)l '1-) ue (2r 'r) :
((r)/ 'r) utz uelundleer eq
l_:x A I:Í 02,_ : zx A l: zx 0: (02 + 'x)(1 -,x) 0:07-zx6l*vx
0:002-zx06l+vxjl 092
+.rgg1 +'rx0l
:
zx06
-
Ost
(97, + r"91 + rÍ)0I : zxo6 - 09i .(9+.t161:(zxgl -09)6 , ,^
.
6 z\e t-zx) ) +=:(')'! or- .ffi lzxor -ïf : o,,, '&
: '$
(,r),1
1up
el4ruqe8
: (x)! uer leger8 eq
zx
tuggcgggocsSurlqcu
ueue{oroq e1 uelundluer ep ue^ uel€urprooc ep ruo
leru ueuft11eur ee^\l Ueeq
9-l
Í0I
pg;rglgors6ugqrp uaaa6a6 laur u!;Hoog
lll: (s1)r'r *n* JsA : \__i 9.0t 9+S : l-n \. s|uFu -
^^ sl'-:
ty'-/r
í.l-
cA-:x n cA:x 11 c:-x 09 : zÍ0I 0:zr0l -0E UêeB 0:$),1 .z(9 + zx) : ,(s + rt) zr0l - 0g zxjz - 0s + zÍot
-
(s
+,x)
: (x),l
xZ.r0I - 0I . (S +.r; ., I * .": (r)/ erlcuq ep ftg Í0I
'tqeq ue{eru el lund els8eel uee go lund elsSooq ueê leru elyo lege-r8 ep ue.r, 3u11lr1e3rea. ep el lepulq 'O stêqcs uee q êl {!H lsole8do lqêq 0 @) @) snp 'sr Inu >1eger8 uêe uel do1 ep ur ulrpper ep uB^ luercu+aocsSurlqcu ep tup el>lmrqe8 ertrunJ ep ue^ uepre€.r eruerlxê uu^ ueue{ereq qcsl3rqa8p lêq ftfl
:
:
,l
,t
/
uaPrDDrv\
aura4xf
7.5 Toppen en sniipunten
g
@
Je kunt de ïheorie en de opgoven ook oeíenen mel de opplet Aontol
oplossingen von de vergeliikingen
/(-r)
In figuur 7.8 zie je de grafiek van "f(")
: -à"t t
3x2
-
5x
en de
lijn
:
p
op du
@
y:4.
f -
De toppen van de grafiek van zijn A(1, -2\) en B(5, 8 j ). De vergelijking + 3xz 5.r:4 heeft drie oplossingen omdat de hjn de grafiek van/drie keer snijdt. Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking
-!"t y:4
i :
- l"t + 3x2 - 5x: l0? - \x3 + 3x2 - 5x: -2à?
:
En de vergelijking
: :
i : : :
i
figuur
i
7.8
i
Theorie A
Aontoloplossingen von de vergeliiking Í(x) : p Hiemaast is de grafiek van /(x) : j-r3 + xz - 3x geschetst. De toppen van de grafiek zijn (-3, 9) en (1, - I J).
: 2 snijdt de grafiek van / in drie punten. Daarom heeft 3x:2 dne oplossingen.
De
lijn
de
vergelijking +Ít + x2 -
y
Y=2
fi.guur 7.9
In figuur 7.10 is de grafiek van - 3x2 - 36.r + 10 getekend.
f(x) :2x3
a
b
Toon aan dat de coórdinaten van de toppen
(*2,54)
en (3, -71) z1jn. De horizontale lijn y -25 snijdt de grafiek van in drie punten. Hieruit volgt dat de vergelijking -25 drie oplossingen heeft. Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking f(x) :25? En de vergelijking /(.r) 75? De vergelijking /(.r) p heeft drie oplossingen voor -71 < p < 54. Licht dit toe. Voor welke waarden van p heeft de vergelijking p één oplossing? Er zijn twee waarden vanp waarvoor de vergelijking f(x): p precies twee oplossingen heeft. Welke waarden van p ziin dat?
:
/
í(x): c
:
:
f(r): o
r04 Hoofdstuk 7
figuur
7.10
9Ol
6urualêrloolluaragrc
'uaroq duu^
^
ue8urssoldo lee^ooq ue{êozrapuo el Un>I ep uee ueufrpleer êp
Z
-
t uê I + : (r)/ Z+.x
epJ?B1t\
e{I3
[q
tuelcgJaocs8u$qclJ lêur >Ieg?rE ue^ 1ager8 ep uel dlnqeq
le4
'd ue,r;e
t fueq d 1 ttz- - I + auqftlefuerr ep uerr ue8urssoydo pluee te11 Z+"x : (x)! 6u;:1!;pfuarr ap uoa ua6upsopo pgroo pg d + xo
I olioaql 77'7
nn8{ da
: t + zr 8uq[1a8re,r "x9
x!
sercerd
t
+xl:!l:{ -x9
iueSurssoldo eup ep geeq d e41en
roo
o q
Eurrf'"t:"ïlJ,ïï:ïlï:fi " '/ uel leger8
ep
ueler ueulr1
ezeq'pue{eleí E-rE:( uo E+*E:{ ueulr1 epue E* : (r)/ erlcung ep ue,r. leger8 ep uïrz 71'2rnn8g u1
@
zx
)(9
@
ep do d
+ rD
: (r)/ Ouqhlebrenap dry5 !
uon ua6urssoldo loluDo loH lolddo ap leuL uoualoo )oo ono6do ep 1un1 e;
lue8urssoldo eup sercerd ueSurssoldo ae.ul sercerd Surssoldo u99 sercard uaSurssoldo uee8
d
'/
ffi
o
. . .
: (*){ 3u11[r1a8re,r ep Ueeqde11e*rroo
q
uer leger8 ep
uel ueddol ep rru^ uêluulprooc ep qcs.prqeSle ue{oreg u ellcunJ ep sr ue.te8eg '9
- 9: it
d
'
: (*){
ug 699-
(x)!
,x:
EE|_tl
4ue8urssoydo uee8 o Surssoldo u99 sercerd r ueSurssoldo eeml sercerd . ue8urssoldo eup sercerd . ue8urssoldo rerl sercerd . Sunlftye8rel ep Ueàq de11e.r rool cxZ oxgL'O: Qt)t
'1s1eqcse8 OOt
êrlcunJ ep
: (r)/ d: (r)/
i,Surssoldo u99 d aue8urssoldo aup ep
+ zxgt
-
-
leger8 êp sl
ue.,r.
II',
rnn8g u1
lEfí
Suplltte8re^ ep Ueeq d e>11errr roon p Sur5fqeSre^ ep Ueeq de4lerrr roon J
agg:
: (r)/
(Íy
Suqftra8rer
8up1[le8rerr ep ryeeq ue8utssoldo leeleog q ue,r uepree,t. erue4xe ep qcsrerqeSle ueïeJeg e
'/
'Ol + xVZ
*
zxt
- ,x- = (x)t orlcunJ ep sr ue,reSeD @
Bereken algebraïsch voor welke p de vergelijkin oplossingen heeft.
t :#:
-2x+
Aanpak Stel vergelijkingen op van de raaklijnen van de grafiek van
met
rc: -2.
Schets de grafiek van
f(*):
p
geen
x2+2 *+t
/
met de raaklijnen. Lees het antwoord af uit de schets.
Uitwerking
x2+2
/(-r):,*, geeft : ("r+l).2*-(x'+2).1 f'(r)
+
1)
_2
t.X_2
(-r
x2+2x-2
2x2+2x-x2-2
---,uí:)-
(x
+ l)2
geeftffi:
f'(x): -2
-2 +2x-2= x2 -2(x + l)2 x2+2x-2: -2(x2+2x+l) x2+2x-2: -2x2-4x-2 3xz * 6x:0 3x(x + 2): g r:0 v x: -2
k,:v: -2x+b I +2 k" tioi: z dus Á(0. z) ] Y: -2x kzi!: -2x+b _2.-2+b ] f(-2): -6 dus B(-2, -6) ) -u: _.e:+*u -lO:
h
ftr:y:-2x*10. x2 +2 : ,+ I -2x * p heeftgeenoplossingen Dus
voor
-10
@
G"g"u"n is de tunctie
í(.):=
De grafiek van / heeft twee raaklijnen met richtingscoëfficiênt - ]. Stel langs algebrarsche weg de formules op van deze raaklijnen. Voorwelkepheeft de vergelijking f@ - \x * geen oplossingen?
a b
lOó
Hoofdsluk
:
7
p
ZOt 0uruêïa.iloorluajal|C
irslêqcse8 lqeq {êuer8 op êf u€^JBe1r\ serlJunJ Jer^ êp u€A {le Ueêq uepJeB,^d erueJlxo lee^eoH q
'uern8g euude ur tl ue tl '" I " I ue.t ueleger8 ep sleqcs B ,xl : (x)d{ sertcunJ ep uftz ue,reSeg lEfóJ 'x9 1 ,xd
eer'rl sercerd xo
sercerd
:
(x)l
baxll:$)t
ee,r,rlsercerd
d:(x)l
a
'1.;aeq ueBurssoldo 3q1l11e3re,r ep , eàle,r\ Joo^ JJuxe ue{areg 'Ueeq ue8urssoldo eertrt 3up1[11e3re,r ep ó eryen Joo^ ]Juxê ue{eJeg 'Ueêq uêSurssoldo 8ur1h1e8rea, ep d e>11em Joo^ lcexe ue{eJêg e4cung ep st ue,te8eg
'S::3fr:
(r)/
[l[9
'geeq uaSurssoldo ueeS O
+
xt
suotsuru d
(r)/
8ur>1ftIe8re,r. ep d e11e,u
: (i)!
8ur1t11e8rer ap b e{IeÀ\ roo^ qcsrerqeSle
--
uoïorofl q
'gaaq Surssoldo u99 '
roo^ qrsr"rqe8p ue>1ereg u
;9Ixt-zx ,l;' ;:
(r)/
epcury ep sr ue.,re8eg
!!f!
'geeq ueSurssoldo aup da
xl = (r)/
sercerd xn
8ur1l11e8rel ep d e11e,r roo^ qcsr€rqe81e ue>1ereg c 'lgeeq Surssoldo u99
: (x)l SunlftTa8re,t '/g;ee8
ep
, e>llo,'y\ roo^ qcsr€Jqe8p
ue 3f ue,t uepJee^\ aluer1xo ep
t:!:
(r)/
x9 g7'1
ue4ereg q
lcuxe ueïeJeg u
encun; ep sr ue.^aaeg
nn8{
6HYl ?
'Z
evp xD -
E
*
>
x9
D
>0
roo^ gaeq ue8urssoldo
zx 3uqt11e3re,l, ep lep êol
1xE: í:tu
Í:
uft1 ep ug
lgrl'I
i/
q
:
.9
:
i i
uea.
{ :7 utrl ep Ueeq uelundfius lee^eoH B >leqer8 ep leru 'Suordsroo ep ur rf uu,l 1eger8 êp DIe€r t7 I :t1 ull êC
I zr: (r)/
'E ___
eqcury ep sr ue,re8eg
: :
!
r
ru: (t)/ 6uqlrle6renep 'Et ë a; tLl/
@"pdo
:
!-l
uon ue6urssoldo lDluoD leH 1e;ddo ap 1eu uouoleo )oo ono6do ap 1un1
6ueSurssoldo (x)t 8ur>1lt1e8re,r êp Uooq d e11e,n roo1 q ee.r,r1 d 4 xerp ueir eINruoJ ep 8e,t'r eqcsrzrqeSle s3ue1 1e1g e
:
'do I
'/ uel 1egur8
ep Dleer 7rp
'y,x - zxg'1: (r)/
:Yct
leur
ry ul11
eq
eqcun; ep sr ue,r.e8eC
@
ïheorieC tlerdegroodsfrrnclies met een poromeier Bij de functies fo(x) = tx3 * pxz * 5x wagen we ons af voor welkep de functie twee extreme waarden heeft. De afgeleide is f|(x) = xz + Zpx * 5. Er zijn twee extreme waarden als de vergelijktng f)(x): 0 twee (verschillende) oplossingen heeft. Hierbij hoort de volgende schets van de grafiek ,* f;.
Er moet dus gelden D > 0. De discriminantis D
D>0
geeft
= (2p)" -
4.
1.5
:
4p2
4p2-20>0 4p2
>
-
20
20
ir> S 'P<-rE
v P> rE waarden "it "-"
Dus de functie heeft iwee
voor p
<
-.,6 u p> ,8.
Je kunt hei voorbeeld ook oefenen met de oppleï Voorbeeld blodziide 108
opd"@.
: -
Gegeven zijn de functies fo@) àx3 + lxz - px + 6. Bereken voor welkep de functie twee extreme waarden heeft.
Uitwerking f,Qc) : - à"' + Lr' - pr+ 6 geeft f;@ : - \x2 + x - p íoheeft twee extremen, dus S(*) :0 heeft twee oplossingen.
D>0
D:12-4.-i
'l
r-zp J'-;;::, p
Dus twee extreme waarden voor
E@
p
1t.
Ziehetvoorbeeld. Hoeveel extreme waarden zijn er voor p: i? Licht toe.
En voor
:
p> t?
@
G"g"u"n zijn de funcries f(x) - 1r3 lL*, -t px * 5 Bereken voor welke p de functie twee extreme waarden heeft.
@
Berekenvoorwelkepdefunctie extreme waarden heeft.
lO8
Hoofdstuk 7
-
fr(*):\x3
+px2
i-3x*
1 geen
óOl
6uruaïêlloorluaia#C
'D ua
duelereg
'l:vx
leur y lund leqwo| uvl leger8 op DIBer b I xg : { :1 ulq eq q LIZ: x Joo^ [uruurxeur uee '; eqcunJ ep Ueêq d e>11arrr roon B seqcunJ ep ufrz ue,te8eD
'rxd +
!\x9:
@f{
b :99b +zt:gl b+v.gt:gt
lP
'9S-:óueg-:dsnq baxgl:{"4
{ (st 'tlvsnp l. 1As - !.t 8-:d zL:d+og
or_
ol
st
-
91
'
:17;8 ./
,':
(')r-l
I d+09
: o+zv.s , tz
l.;eoa ïr.r
:
lv)il
tz:tr*t!:f_z_
d+rxg d ,x9 O trt rfz tn +1txiz:, xdl + ,,r12: @lfl I Ír, : t'd + 1t . ,, -- (")ul tgea?
"xd
SuDFa^41!n
'tr -
'á ue d uelereg vx 1ew y tund teq uros ue,t>1eger8 ep Dleer b + xBI: ( :7 ulq eq @f I serrcunJ ep uftz ue,re8eg
'!lO * lf
691 ophzpogq
plaaqrool
1a1ddo ep
.
,, :
@"pdo
leur ueuolêo ïoo plooqroo^ loq lunï of
ffi
'do {cr : ('41í 3u11ft1e8re,t ep e[ so1 'ue,,e8e8 sr te€urpreoc-Í ep ue^ru€lr\ y tund uae ur lïeer f uerr leger8 ep ï ull ep d ellerrr roo^ ueue{ereq el ruo .nleurorod uee lar! sa$runt !!q uauago.rdu!;pooX o aFoaql
'duelereg q
'E
: 'x
teur y lund leq ur 'E
-
xg
'/
ue,r rleger8 ep
I ,xd 1 ,rt, :
'ueêq uepJee^\ erue4xe
'l : Í
'Z: @il lep eot tqcrT B lïwr 7 : ct leur 7 uft1 aq a
(")ol
sêrtcunJ ep uftz
ue,teSeg
EEIE
f
erlcun; ep d e>11e,Lr loo^ ue{eJeg q 'êpJee,r êruêr1xe eJepue op ue dualereg
ee,Lr1
Joo^ epJBB,r êruaJlxê ueo ueêq OrlJunJ ecl u serlrunJ ep uftz ue,re8eg
'L + xd +
"x
I JT :
(4"1
EEfq
@ G.g"u.n zijn de lunctie s fr(x):T# lijn k: y: ax * 4 raakt de grafiek van foinhet snijpunt van de grafiek met de y-as. Bereken a en p. De lijn I met richtingscoëffrciënt - I raakt de grafiek van f in het De
xa: -1.
puntAmet
Stel algebralsch de vergelijking op van /. De functie heeft een extreme waarde voor x Bereken p en de andere extreme waarde.
f
E@
:
:
2.
1rx3 Gegeven zijn de tuncties íoQ) + px2 3, - p. a Toon aan dat , voor elke p twee extreme waarden heeft. b De functie heeft een extreme waarde voor x 3. Bereken p en de andere extreme waarde. De lijn l: y q raakt de grafiek van /o in het punt B met
f
-
:
f
: -, i
^B
Bereken p en 4.
JÏiFobiEcEa :* 3 Sf *nrtt+lf -3*-a --.íJi !ó*- *rlti nË-tr- ! ii ;l St-*'11.2#-t!.-2 a;64-Y13+3-3x-1 :-'fq- *69-i13-3*
x
$t).rCr3-lrf -3*$l : '.J 400-tfrt.3tf -3r+3 i."
i.
.irr
aêl-f
Í3 -l:d_3f, +,1
JtíhN'lls#o
ooJeeÈr
JHubabtsclsÍ
trE
Gegeven zijn de functie De lijn ft met rco
xa:-l'
:
2L
s fr(x):W raakt de graflek van
Stel algebraïsch de vergelijking op van ft.
llo
Hooídsïuk 7
f
oin het punt A met
:T ri
t
'2tt ,z: { :1 snp '2U : q 131o.4, 1rrueq1 + : ( :1 do 1oo fr1 y lund leg 'q + 1Z-
'(
9 xZ + rxÍl +.ri - : '7: -d snp'Z- :
d + V.
3up1l11a8re.r.
-
t
lg't)y @)r{ +
rundleer leq ryee8 ltC
zp-
uelln^ur V : ox
:
UeeB Z,@1t e1 do ry ue,r
'uellels
: @i{ al1rruqaS uep 't : vr leru y lund teq ur ep uo Z(r)ol uu,r lager8 ep Z- -- rcr leu 7 ul1 ep qeea rclauro.rod uaa laul salpunl [q uatua;qo.rdulgooX
xd a ,xll + ,ïï- :
uêpree.^A erue4xe
'iZ-
O sp
ue8urssoldo eê^\t Ueêq
I
I L
O: @i{
'd+xE+zx-:(x)l! - : (r)t
epreleS;e ep sl 9 - xd + ,x|I + r"i encuq ep ue 'eprele8ge êp uel lueurulJcsrp ep ue,r.;u 13uuq releruured ueê leru erlcun;speerSêpJáp uee ue^ uêpJee,& êruêr1xê pluee làH
lalaurolod uaa laur sapunppoofaplag
l l l l I
'Íe > a> -" f
uee1
\ o
d
arït- :
Z
roo,r, geeq ueSurssoldo
I +rz
aunftleSre,r eplup;e
l
l !
i
el seel rnnSg ep ur ueuftpleet ezap ue^ uêuo{êl leq €N
'16 + ,vrI : Í sr ( 'l) rund 1aq ur uftpleer ep uu,r. íl .g) 3ur{[rre3re,r ep ue f "lt- : { sr (f - rund leq ur / ue.r 1eger8 ep ue,r uftppur ep ue^ 3ur1ft1e8re.t eq 'V:x A g:r ryee8uessoldg 'do ït- : v\,{ 8uqlrle8re.r. ap alsol ue c - ^ : uu,r, ep I+'Z ix;/ 1eger8 : Z -'
\
I
-_t__ I I
\ I \
eluelal'geeq ue8urssoldo uee8 d + xvrl-
l 1
I +xz
3un1ft1a8re.t ep d e>11e,r Joo^ ueue{eJeq êl
^
d a xn
: (x)t 6uqlp6.raa ap uorr ueEulsso;do
'9yd2íL-
uro
;o1uoy
d:
toon geeq ue8urssoldo eup
(x){
3uqftIe8re.r. ep lep gea8 lseeurêrq rnn8g ep lrn uezegv '(Ít- 't) uê (9 'Z-) lstrï er 'l - xg - ,xÍl + ,x : (x)l ue,r 1eger8 ep ue,r, uaddol ep u€^ ueleurpJooc ep lsree alue>1ereq 'lgeeq ue8urssoldo eup d: t - x9 - ,xl1 + ,x 3ur1h1e3re,,l ep d e11em roo^ ueua{oJeq el ruo ep uol ua6upso;do lo1uoy
d
: (x)l 6u;1!p&al
ïilq6nre1
7.6 Diognostische toets Je kunt de diognostische toets ook op de compuïer moken met de :
it.t
@
De ofgeleide von gebroken functies
:
tr
Bereken met de productregel de afgeleide van de volgende functies. Laat in het antwoord de haakjes staan.
a f@):
I
(xz
*
3x)(3
-
b
7x)
s(r) :13x2 +
4)2
Differentieer.
3x-7 a "f(x): ----x'tz ^
2
b S(x):3x- x+4
:
E :
i :
Gegeven is de functie
í(r):#2.
Stel algebrarsch de vergelijkingen op van de raaklijnen ft en / in de snijpunten Á en B van de grafiek van / met de x-as.
:
i7.2 De ofgeleide von mochtsfuncties :
tr
Differentieer en noteer de afgeleide zonder negatieve exponent.
a
tr
2
f(r):F
b
x5
+2
c
s("):-l5-
h(x):
3x
i-
a
Differentieer en noteer de afgeleide zonder negatieve en gebroken exponent.
a f(x): *'+ trF
b
:
:
g("):*''18
r-f,
c h(x):r-i
b
o"r"v"n
! i i
in het puntÁ met -xÁ : 1. De lijn ft snijdt de x-as in het punt B en de ,-ut in het punt C. Bereken exact de oppervlakte van driehoek OBC.
is de functie
f@
5+.
De lijn kraaktde graflek
van/
:Z.S Oe kettingregel
I
n"r"t
"n
de afgeleide. Noteer de afgeleide zonder gebroken en negatieve
exponent.
a f(x) :3(x2 + 4x)4
p
b sft):(x2+\Jx'z+2
c
h(x):#*
nereken de afgeleide. Noteer de afgeleide zonder gebroken en negatieve exponent.
a
I
.f(x) :2x2(x2
*
4x)5
b
: (r3 * ,1J*'-+ Z
c
h(x):
,;
is de tunctie f(*): r,t6 Er zijn twee punten op de grafiek van
c"g"u"n
/
met een horizontale raaklijn. Bereken algebrarsch de coórdinaten van deze punten. Stel algebrarsch de vergelijking op van de lijn ,t die de grafiek van raakt in het punt Á met x, 1 .
:
ll2
e(r)
HooÍdsluk
7
/
3x2
+ 6x
OFTT
tt]
6urua arlDDrluajoljrc
'á ue d ue4ereg
o/ leru y lund 1eq ur ue,l 4egur8 ep Dleer b
.l+x : (rfl í
+tF
'Ueeq uepr€e^\ eruerxo ee.t1
f
+ xl'1-
't:'x : ( :7 ul11 eq
sertrunJ ep uftz ue,reSeg
erlcun; ap d
e11a,u,
? : : :
E
roo^ ueïàreg q
êpJpervr eruerlxe eJepue ep ue
duelereg
'I : r roo^ epJBs.r êtueJlxo uee ueêq erlJunJ eC u 'g + xd + zxZ + JÍ- : (rY{ sêIlrunJ ep ulrz ue,re8eg
tr
:
'geeq uaSurssoldo eup rc (,x)l 3u11lqe3re,r êp t) ue^ uopr€B,tr elle^\ Joo^ qcslprqe8le uê>leJêg
'r+
(r)/ xl-'x:
d+
xÍ : (x)/
3q1lg1e3re.t ep d
' artp d sercerd d
I+Í
eucunl ep sr ue.^e8eg
tr
'geeq Surssoldo ugg suelsunu roo^ qcs.I?rqe81e uelerag
e>11errr
t+az+zx
: (r)/
encuq
ep sr ue,r.e8eg
tr
6ueBurssoldo p 3ur1t11a8rê^ ep Ueêq d ue.n uepree,u eïlê1rr aue8utssoldo ee,tr1 r 8uql11e8re,r êp Ueeq d uu'r uepree.Lr ê{le,l.r
roo
(x){
roo
: (r)/ :
1,8ursso1do u99
sercerd d
: (r)l 8ur1lqe3re,t ep Ueeq d ue,t uepree,t e{lea roo '31ue,r uepreerrr
'E +
eruêIxà ep qcslprqeSle uàïereg
xl * zrl - ,x : (x)t
q
B
ellrunJ eP sr ue.neSeg
i
@
uelundhus ue ueddot 9'Zi qegerS ep
ue,,r.
ueddol e1p doruu,u eruuloDl )':t
I
'V -
,xd
'ua33q ! ue.r. ep uel do elnlruoJ ueê IelS sepcung ep ultz uea.e8eD M
I ,xl_ : (r)f
i i i
i
'f
/
uuee,tr q e
uue sr >1ft1e8 ulrpleer êp ue^ lueltllJeocs8urlqcu ep uu.t lege;8 ep do uelund êp Im^ ualuulpJooc-r êp lJexo uaïereg ue,t uepree.lA otuerxe ep qcsrerqeSp uelereg
lláreq teq;ea8 ue /
|.l*1-:
(.r)/ a[run;
ep sr
ua.,refeg
i : :
E!
uêddol ua uauhl)Dod t'Z:
