61

Matematika I: Turunan

Dadang Amir Hamzah

2015 Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

1 / 61

Outline 1

Garis Singgung

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

3

Aturan Mencari Turunan Turunan Sebagai Operator Linear

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

3


4

Turunan Fungsi Trigonometri

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

3


4


5

Aturan Rantai ( Chain Rule )

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

3


4


5


6

Turunan Orede Tinggi

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

3


4


5


6


7

Turunan Implisit

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

3


4


5


6


7

Turunan Implisit

8

Laju yang berkaitan (Related Rates)

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

3


4


5


6


7

Turunan Implisit

8


9

Referensi Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

2 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

3


4


5


6


7

Turunan Implisit

8


9


Matematika I

Semester I 2015

3 / 61

Garis singgung?

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

4 / 61

Pendekatan dinamis

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

5 / 61

Gradien y = x2

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

6 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

3


4


5


6


7

Turunan Implisit

8


9


Matematika I

Semester I 2015

7 / 61

Definisi turunan Definisi turunan Slope (kemiringan ) kurva y = f (x) di x = c adalah bilangan real m = lim

x→c

f (c + h) − f (c) f (x) − f (c) = lim (jika limit ini ada). h→0 x−c h

Garis singgung kurva di (c, f (c)) adalah garis yang melalui titik (c, f (c)) dengan slope (gradien) m.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

8 / 61

Problem

Problem 1: Tentukan persamaan garis singgung kurva y =

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

1 x

di titik (1, 1)

Semester I 2015

9 / 61

Problem

Problem 1: Tentukan persamaan garis singgung kurva y = Solusi : f (1+h)−f (1) h h→0

lim

= = =

lim

h→0

lim

1 − 11 1+h

di titik (1, 1)

= lim

h

h→0

1−(1+h) 1+h

h −1 = lim h→0 1+h

1 x

1 − 1+h 1+h 1+h

h

−h h→0 h(1+h)

= lim

h→0

−1

Jadi persamaan garisnya adalah y = (−1)(x − 1) + 1 = 2 − x

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

9 / 61

Problem

Problem 1: Tentukan persamaan garis singgung kurva y = Solusi : f (1+h)−f (1) h h→0

lim

= = =

lim

h→0

lim

1 − 11 1+h

di titik (1, 1)

= lim

h

h→0

1−(1+h) 1+h

h −1 lim = h→0 1+h

1 x

1 − 1+h 1+h 1+h

h

−h h→0 h(1+h)

= lim

h→0

−1

Jadi persamaan garisnya adalah y = (−1)(x − 1) + 1 = 2 − x Problem 2: Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 + 1 di (1,2).

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

9 / 61

Laju Sesaat

Definisi Jika sebuah objek bergerak sepanjang sumbu-x dengan fungsi posisi s(t), maka laju sesaat nya pada saat t = c adalah

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

10 / 61

Laju Sesaat Definisi Jika sebuah objek bergerak sepanjang sumbu-x dengan fungsi posisi s(t), maka laju sesaat nya pada saat t = c adalah

Gradien garis singgung dan laju sesaat melatarbelakangi suatu gagasan dasar : yaitu laju perubahan fungsi terhadap perubahan dalam domainnya. Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

10 / 61

Laju sesaat

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

11 / 61

Turunan fungsi

Definisi Turunan dari sebuah fungsi f adalah sebuah fungsi f 0 dengan f (x + h) − f (x) h→0 h

f 0 (x) = lim

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

12 / 61

Turunan fungsi

Definisi Turunan dari sebuah fungsi f adalah sebuah fungsi f 0 dengan f (x + h) − f (x) h→0 h

f 0 (x) = lim

Jika limit ada maka f dikatakan terturunkan/ dapat diturunkan (differentiable) di x.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

12 / 61

Turunan Sepihak Seperti halnya limit sepihak, karena turunan adalah limit yang khusus, maka kita juga dapat membangun konsep turunan sepihak :

Definisi 1

Turunan kiri dari f (x) di c adalah Dx− f (c) = lim

h→0−

f (c + h) − f (c) h

jika limit ini ada. 2

Turunan kanan dari f (x) di c adalah Dx+ f (c) = lim

h→0+

f (c + h) − f (c) h

jika limit ini ada. Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

13 / 61

Turunan Turunan f 0 (c) ada jika dan hanya jika turunan kiri dan turunan kanan f (x) di c sama dan berhingga. f 0 (c) ada ⇐⇒ Dx− f (c) = Dx+ f (c) (< ∞)

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

14 / 61

Nonexistence of Derivatives 1 2

Dx− f (c) 6= Dx+ f (c). Keduanya ada. +∞ = Dx− f (c) 6= Dx+ f (c) = −∞

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

15 / 61

Differentiability implies continuity

f (x) − f (c) x→c x−c

f 0 (c) = lim

h=x−c

=

f (c + h) − f (c) h→0 h lim

Differentiability implies Continuity : Jika suatu kurva y = f (x) mempunyai garis singgung di (c, f (c), maka kurva tersebut tidak akan meloncat atau berosilasi di c.

Teorema Jika f 0 (c) ada, maka f (x) kontinu di x = c.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

16 / 61

Garis singgung 6= Turunan

√ Fungsi f (x) = 3 x mempunyai garis singgung (vertikal) di x = 0 sekalipun f 0 (0) tidak ada. Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

17 / 61

Turunan

Fungsi nilai mutlak, f (x) = |x|, tidak mempunyai turunan di x = 0. lim

h→0+

lim

h→0−

|h|−|0| h |h|−|0| h

= =

lim

h−0 h

lim

−h−0 h

h→0+ h→0−

=1 = −1

Fungsi floor,f (x) = bxc, tidak mempunyai turunan di tiap bilangan bulat lim bn+hc−bnc = lim n−n h h =0 h→0+

lim

h→0−

Dadang Amir Hamzah

bn+hc−bnc h

h→0+

=

Matematika I

lim

h→0−

n−1−n h

=∞

Semester I 2015

18 / 61

Problem

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut : 1

f (x) = x2 + 1

2

f (x) =

3

f (x) =

1 x √

x

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

19 / 61

Notasi Leibniz Perubahan f (x) oleh karena x berubah menjadi x + ∆x adalah ∆y = f (x + ∆x) − f (x) Maka rasio perubahan adalah f (x + ∆x) − f (x) ∆y = ∆x ∆x yang memberikan kemiringan garis secant yang melalui titik (x, f (x)) dan (x + ∆x, f (x + ∆x)). Kemiringan /slope/gradien garis singgung f (x) di x adalah dy ∆y f (x + ∆x) − f (x) = lim = lim = f 0 (x) dx ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

20 / 61

Problem Tentukan manakah grafik fungsi f (x) dan manakah grafik turunannya f 0 (x)

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

21 / 61

Answer

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

22 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

3


4


5


6


7

Turunan Implisit

8


9


Matematika I

Semester I 2015

23 / 61

Aturan Turunan

Menentukan turunan fungsi langsung melalui proses limit dalam definisi f (x + h) − f (x) f 0 (x) = lim h→0 h biasanya tidak mudah dan memerlukan waktu. Maka akan ditentukan cara untuk memudahkannya sehingga proses penentuan menjadi sangat mudah dan cepat.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

24 / 61

Aturan Turunan

1. Turunan fungsi konstan : Jika f (x) = k fungsi konstan, maka f 0 (x) = 0 f (x + h) − f (x) k−k 0 = lim = lim = 0 h→0 h→0 h→0 h h h

f 0 (x) = lim

2. Turunan fungsi identitas: Jika f (x) = x , fungsi identitas, maka f 0 (x) = 1 f (x + h) − f (x) x+h−x h = lim = lim = 1 h→0 h→0 h→0 h h h

f 0 (x) = lim

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

25 / 61

Aturan Turunan

3. Turunan fungsi pangkat: Jika f (x) = xn , maka f 0 (x) = nxn−1

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

26 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

3


4


5


6


7

Turunan Implisit

8


9


Matematika I

Semester I 2015

27 / 61

Turunan Sebagai Operator Linear

Karena turunan bekerja pada fungsi, maka untuk memudahkan diperkenalkan operator Dx : Dx f (x) = f 0 (x) Contoh: Dx k = 0, Dx x=1, Dx xn = nxn−1

Aturan Pangkat

Dx merupakan operator linear: Dx (kf (x)) = kDx f (x) Dx (f (x) + g(x)) = Dx f (x) + Dx g(x)

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

28 / 61

Operator Linear

1. Dx kf (x)

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

29 / 61

Operator Linear 2. Dx (f (x) + g(x))

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

30 / 61

Aturan Perkalian dan Pembagian Aturan Perkalian: Jika u dan v dapat diturunkan, maka (u · v)0 = u0 (x) · v(x) + v 0 (x) · u(x) atau Dx (u · v)(x) = (Dx u(x)) · v(x) + u(x) · Dx v(x) Aturan Pembagian: Jika u dan v dapat diturunkan dan v(x) 6= 0, maka 0 u u0 (x) · v(x) − u(x) · v 0 (x) (x) = v v 2 (x) atau

u (Dx u(x)) · v(x) − u(x) · Dx v(x) Dx (x) = v v 2 (x)

Aturan Pangkat Dx xn = nxn−1 Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

31 / 61

Problems

1

Tentukan Dx f (x) jika a. f (x) = (x2 + 1)(x − 1) b. f (x) = x3 − xx−1 2 +1 c. f (x) =

2

x2 +x+5 x4 −4x+8

Tentukan semua titik pada kurva y = x3 − x2 dimana garis singgungnya mendatar. 100 x5

3

Tentukan semua titik pada y = lurus garis y = x.

4

Radius sebuah semangka tumbuh dengan laju 2cm/minggu. Tebal kulitnya selalu 1/9 radius. Tentukan laju pertumbuhan voume kulit pada minggu ke-5. Asumsikan r(0) = 0.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

dimana garis singgungya tegak

Semester I 2015

32 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

3


4


5


6


7

Turunan Implisit

8


9


Matematika I

Semester I 2015

33 / 61

Dx sin(x) Misalkan f (x) = sin(x) f 0 (x) = = =

f (x+h)−f (x) = lim sin(x+h)−sin(x) h h h→0 sin(x) cos(h)+cos(x) sin(h)−sin(x) lim h h→0 sin(x) cos(h)−sin(x) cos(x) sin(h) lim + h h h→0

lim

h→0

=

lim sin(x)

h→0

cos(h)−1 h

cos(x) sin(h) h

+

lim sin(x) lim cos(h)−1 + lim cos(x) lim sin(h) h h→0 h→0 h→0 h = sin(x) lim cos(h)−1 + cos(x) lim sin(h) h h

=

h→0

h→0

h→0

= sin(x) · 0 + cos(x) · 1 = cos(x).

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

34 / 61


Dengan cara yang sama kita bisa dapatkan Dx cos(x) Dx tan(x) Dx cot(x) Dx sec(x) Dx csc(x)

Dadang Amir Hamzah

= = = = =

− sin(x) sec2 (x) − csc2 (x) sec(x) tan(x) − csc(x) cot(x)

Matematika I

Semester I 2015

35 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

3


4


5


6


7

Turunan Implisit

8


9


Matematika I

Semester I 2015

36 / 61

Chain Rule

Aturan Rantai adalah metode untuk mencari turunan untuk fungsi-fungsi komposisi

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

37 / 61

Chain Rule

Aturan Rantai adalah metode untuk mencari turunan untuk fungsi-fungsi komposisi Contoh: Misal kita ingin mencari turunan fungsi-fungsi berbentuk f (x) = (2x2 + 5x + 6)100 y = sin2 (x3 ) 5 1+x y = cos2 (sin(x2 + x − 2)) g(x) = 1−x 2

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

37 / 61

Chain Rule

Aturan Rantai adalah metode untuk mencari turunan untuk fungsi-fungsi komposisi Contoh: Misal kita ingin mencari turunan fungsi-fungsi berbentuk f (x) = (2x2 + 5x + 6)100 y = sin2 (x3 ) 5 1+x y = cos2 (sin(x2 + x − 2)) g(x) = 1−x 2 Perhatikan bahwa fungsi-fungsi diatas adalah fungsi-fungsi komposisi F (x) = f (x) ◦ g(x) = f (g(x)).

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

37 / 61

Chain Rule

Aturan Rantai adalah metode untuk mencari turunan untuk fungsi-fungsi komposisi Contoh: Misal kita ingin mencari turunan fungsi-fungsi berbentuk f (x) = (2x2 + 5x + 6)100 y = sin2 (x3 ) 5 1+x y = cos2 (sin(x2 + x − 2)) g(x) = 1−x 2 Perhatikan bahwa fungsi-fungsi diatas adalah fungsi-fungsi komposisi F (x) = f (x) ◦ g(x) = f (g(x)). Misal pada f (x) = (2x2 + 5x + 6)100 kita bisa tulis dalam bentuk y = f (u) = u100 dengan u = 2x2 + 5x + 6.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

37 / 61

Chain Rule

Turunan dari fungsi komposisi y = f (u) adalah dy dy du = dx du dx

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

38 / 61

Chain Rule

Turunan dari fungsi komposisi y = f (u) adalah dy dy du = dx du dx Contoh: Tentukan ,

Dadang Amir Hamzah

dy dx

dari y = f (x) = (2x2 + 5x + 6)100 .

Matematika I

Semester I 2015

38 / 61

Chain Rule

Turunan dari fungsi komposisi y = f (u) adalah dy dy du = dx du dx dy dari y = f (x) = (2x2 + 5x + 6)100 . Contoh: Tentukan dx Misal u = 2x2 + 5x + 6,

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

38 / 61

Chain Rule

Turunan dari fungsi komposisi y = f (u) adalah dy dy du = dx du dx dy Contoh: Tentukan dx dari y = f (x) = (2x2 + 5x + 6)100 . Misal u = 2x2 + 5x + 6, Jadi y = f (x) = f (u) = u100

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

38 / 61

Chain Rule

Turunan dari fungsi komposisi y = f (u) adalah dy dy du = dx du dx dy Contoh: Tentukan dx dari y = f (x) = (2x2 + 5x + 6)100 . Misal u = 2x2 + 5x + 6, Jadi y = f (x) = f (u) = u100

dy dy du = = 100u99 (4x + 5), dx du dx

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

38 / 61

Chain Rule Turunan dari fungsi komposisi y = f (u) adalah dy dy du = dx du dx dy dari y = f (x) = (2x2 + 5x + 6)100 . Contoh: Tentukan dx 2 Misal u = 2x + 5x + 6, Jadi y = f (x) = f (u) = u100

dy dy du = = 100u99 (4x + 5), dx du dx atau

Dadang Amir Hamzah

dy = 100(2x2 + 5x + 6)99 (4x + 5) dx

Matematika I

Semester I 2015

38 / 61

Chain Rule

Aturan Rantai (Chain Rule) Jika g fungsi terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di g(x), maka fungsi komposisi F = f ◦ g dengan F (x) = f (g(x)) terdiferensialkan di x dengan F 0 (x) = f 0 (g(x)).g 0 (x) dalam notasi Leibniz, jika y = f (u) dengan u = g(x) adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan maka dy dy du = dx du dx

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

39 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

3


4


5


6


7

Turunan Implisit

8


9


Matematika I

Semester I 2015

40 / 61

Turunan Orde Tinggi

Jika kita menurunkan f maka kita dapatkan fungsi lain f 0 (x) yang dinamakan turunan pertama dari f .

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

41 / 61

Turunan Orde Tinggi

Jika kita menurunkan f maka kita dapatkan fungsi lain f 0 (x) yang dinamakan turunan pertama dari f . Kemudian jika kita turunkan fungsi f 0 (x) maka kita dapatkan fungsi lain f 00 (x) yang dinamakan turunan ke-2 dari f

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

41 / 61

Turunan Orde Tinggi

Jika kita menurunkan f maka kita dapatkan fungsi lain f 0 (x) yang dinamakan turunan pertama dari f . Kemudian jika kita turunkan fungsi f 0 (x) maka kita dapatkan fungsi lain f 00 (x) yang dinamakan turunan ke-2 dari f Apabila proses ini dilanjutkan terus menerus maka kita akan dapatkan turunan ke-3, ke-4, ... , ke-n dari f .

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

41 / 61

Turunan Orde Tinggi Jika kita menurunkan f maka kita dapatkan fungsi lain f 0 (x) yang dinamakan turunan pertama dari f . Kemudian jika kita turunkan fungsi f 0 (x) maka kita dapatkan fungsi lain f 00 (x) yang dinamakan turunan ke-2 dari f Apabila proses ini dilanjutkan terus menerus maka kita akan dapatkan turunan ke-3, ke-4, ... , ke-n dari f . Contoh: Jika f (x) = 2x3 − 4x2 + 7x − 8 maka f 0 (x) f 00 (x) f 000 (x) f (4) (x)

Dadang Amir Hamzah

= = = =

6x2 − 8x + 7 12x − 8 12 0

Matematika I

Semester I 2015

41 / 61

Turunan Orde Tinggi

Di awal sudah diperkenalkan bahwa notasi untuk turunan ( pertama ) dari y = f (x) ada tiga yaitu: f 0 (x) Dx y

dy dx

yang dinamakan dengan notasi ”aksen”, notasi D, dan notasi Leibniz

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

42 / 61

Turunan Orde Tinggi


dy dx

yang dinamakan dengan notasi ”aksen”, notasi D, dan notasi Leibniz Notasi yang sering digunakan untuk menyatakan turunan adalah notasi Leibniz.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

42 / 61

Turunan Orde Tinggi


dy dx

yang dinamakan dengan notasi ”aksen”, notasi D, dan notasi Leibniz Notasi yang sering digunakan untuk menyatakan turunan adalah notasi Leibniz. Notasi Leibniz untuk turunan ke-2, ke-3 dan seterusnya menggunakan fakta bahwa dy d dx d2 y dy 0 00 0 0 = = y = (y ) = dx dx dx2

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

42 / 61

Turunan Orde Tinggi Notasi Turunan y = f (x)

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

43 / 61

Aplikasi dalam bidang Fisika

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

44 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

3


4


5


6


7

Turunan Implisit

8


9


Matematika I

Semester I 2015

45 / 61

Turunan Implisit

Pada bagian sebelumnya kita hanya bisa mencari turunan fungsi-fungsi eksplisit, yaitu fungsi dimana variabel x dan variabel y terpisah. Contoh p y = x3 + 1 atau y = sin(x) atau secara umum y = f (x).

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

46 / 61

Turunan Implisit

Pada bagian sebelumnya kita hanya bisa mencari turunan fungsi-fungsi eksplisit, yaitu fungsi dimana variabel x dan variabel y terpisah. Contoh p y = x3 + 1 atau y = sin(x) atau secara umum y = f (x). Akan tetapi ada fungsi-fungsi yang didefinisikan secara implisit, misalnya x2 + y 2 = 25 atau x3 + y 3 = 6xy

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

46 / 61

Turunan Implisit

Pada persamaan x2 + y 2 = 25 kita masih bisa nyatakan dalamabentuk eksplisit yaitu p p y = 25 − x2 atau y = − 25 − x2

kemudian dicari turunan y 0 .

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

47 / 61

Turunan Implisit Pada persamaan x2 + y 2 = 25 kita masih bisa nyatakan dalamabentuk eksplisit yaitu p p y = 25 − x2 atau y = − 25 − x2

kemudian dicari turunan y 0 .

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

47 / 61

Turunan Implisit Namun pada persamaan x3 + y 3 = 6xy kita sulit untuk mendapatkan bentuk eksplisitnya, Karena kita tidak dapat memisahkan variabel x dan variabel y dalam satu ruas.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

48 / 61

Turunan Implisit Namun pada persamaan x3 + y 3 = 6xy kita sulit untuk mendapatkan bentuk eksplisitnya, Karena kita tidak dapat memisahkan variabel x dan variabel y dalam satu ruas. Persamaan ini dinamakan Folium of Descartes yang grafiknya sebagai berikut

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

48 / 61

Turunan Implisit dy Untuk mencari dx dari fungsi implisit kita tidak perlu mengubah fungsi menjadi bentuk eksplisit.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

49 / 61


Kita cukup menurunkan kedua ruas terhadap variabel x dan menganggap y sebagai fungsi dalam variabel x (y = f (x)).

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

49 / 61


Kita cukup menurunkan kedua ruas terhadap variabel x dan menganggap y sebagai fungsi dalam variabel x (y = f (x)). Sehingga

dy dx

dari x2 + y 2 = 25 adalah x2 + y 2 = 25 2x + 2y

Dadang Amir Hamzah

dy dx

= 0

dy dx

=

Matematika I

−x y

Semester I 2015

49 / 61

Turunan Implisit Hasil yang sama ditunjukkan apabila kita gunakan fungsi eksplisit √ 25 − x2 y =

Dadang Amir Hamzah

dy dx

=

dy dx

= − xy

1 √ −2x 2 25−x2

Matematika I

Semester I 2015

50 / 61

Turunan Implisit

Dengan cara yang sama

Dadang Amir Hamzah

dy dx dari x3 + y 3

x3 + y 3 = 6xy adalah = 6xy

Matematika I

Semester I 2015

50 / 61

Turunan Implisit

dy dx dari x3 + y 3


3x2 + 3y 2

Dadang Amir Hamzah

dy dx

x3 + y 3 = 6xy adalah = 6xy dy = 6y + 6x dx

Matematika I

Semester I 2015

50 / 61

Turunan Implisit


dy dx dari x3 + y 3

3x2 + 3y 2 3y 2

Dadang Amir Hamzah

dy dx

dy dx

dy − 6x dx


= 6y − 3x2

Matematika I

Semester I 2015

50 / 61

Turunan Implisit


dy dx dari x3 + y 3

3x2 + 3y 2 3y 2

dy dx

dy − 6x dx

dy 2 dx (3y Dadang Amir Hamzah

dy dx


= 6y − 3x2

− 6x) = 6y − 3x2 Matematika I

Semester I 2015

50 / 61

Turunan Implisit


dy dx dari x3 + y 3

3x2 + 3y 2 3y 2

dy dx

dy − 6x dx

dy 2 dx (3y Dadang Amir Hamzah

dy dx


= 6y − 3x2

− 6x) = 6y − 3x2 Matematika dy I

6y−3x2

Semester I 2015

50 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

3


4


5


6


7

Turunan Implisit

8


9


Matematika I

Semester I 2015

51 / 61

Related Rates Pada bagian ini akan dibahas mengenai permasalahan sehari-hari, yang dapat diselesaikan dengan turunan.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

52 / 61

Related Rates

Sebagai contoh, apabila kita meniupkan udara kedalam balon, maka volume dan jari-jari balon akan berubah ( bertambah ) dan perubahan keduanya saling berkaitan, yakni volume berubah seiring dengan perubahan jari-jari, atau sebaliknya.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

52 / 61

Related Rates

Permasalahan dalam Laju yang berkaitan adalah menghitung laju perubahan suatu kuantitas yang diakibatkan oleh laju perubahan kuantitas yang lain.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

52 / 61

Related Rates

Langkah pemecahan masalahnya adalah, pertama kita nyatakan hubungan suatu kuantitas dengan kuantitas yang lain, kemudian gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas persamaan.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

52 / 61

Related Rates

Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

53 / 61

Related Rates

Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm. Diketahui :

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

53 / 61

Related Rates

Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm. Diketahui : 3 Laju perubahan volume : dV dt = 100 cm /s Diameter bola (d ): 50cm

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

53 / 61

Related Rates

Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm. Diketahui : 3 Laju perubahan volume : dV dt = 100 cm /s Diameter bola (d ): 50cm Ditanya : Laju perubahan jari-jari bola dr dt ?

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

53 / 61

Related Rates

Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm. Diketahui : 3 Laju perubahan volume : dV dt = 100 cm /s Diameter bola (d ): 50cm Ditanya : Laju perubahan jari-jari bola dr dt ? Jawab : Volume bola adalah 4 V = πr3 3

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

53 / 61

Related Rates Contoh 1: Misal udara dipompa kedalam bola karet sehingga volume nya bertambah dengan laju 100 cm3 /s. Tentukan seberapa cepat perubahan jari-jari bola ketika diameternya 50 cm. Diketahui : 3 Laju perubahan volume : dV dt = 100 cm /s Diameter bola (d ): 50cm Ditanya : Laju perubahan jari-jari bola dr dt ? Jawab : Volume bola adalah 4 V = πr3 3 jadi, dV 4 dr = π 3r2 dt 3 dt Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

53 / 61

Related Rates

Substitusi

dV dt

= 100 dan r = 25, didapat

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

54 / 61

Related Rates

Substitusi

dV dt

= 100 dan r = 25, didapat 100 =

Dadang Amir Hamzah

4 3

π 3 (25)2

Matematika I

dr dt

Semester I 2015

54 / 61

Related Rates

Substitusi

dV dt

= 100 dan r = 25, didapat 100 = dr dt

Dadang Amir Hamzah

=

4 3

π 3 (25)2

dr dt

1 25π

Matematika I

Semester I 2015

54 / 61

Related Rates

Substitusi

dV dt

= 100 dan r = 25, didapat 100 = dr dt

=

4 3

π 3 (25)2

1 25π

Jadi laju perubahan jari-jari bola adalah

Dadang Amir Hamzah

dr dt

Matematika I

1 25π

cm/s.

Semester I 2015

54 / 61

Related Rates Contoh 2: Sebuah tangga sepanjang 10 Ft bersandar pada suatu tembok vertikal. Apabila bagian bawah tangga bergeser menjauhi tembok dengan laju 1 Ft/s, tentukan seberapa cepat bagian atas tangga bergeser ke bawah ketika bagian bawah tangga berada 6 Ft dari dinding.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

55 / 61

Related Rates Contoh 3: Sebuah tangki air berbentuk kerucut terbalik (lihat gambar) mempunyai jari-jari 2 m dan tinggi 4 m. JIka air dipompa masuk kedalam tangki dengan laju 2 m3 /menit, tentukan laju perubahan tinggi air ketika ketinggian air dalam tangki 3 m.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

56 / 61

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

57 / 61

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

58 / 61

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

59 / 61

Outline 1

Garis Singgung

2

Definisi Turunan

3


4


5


6


7

Turunan Implisit

8


9


Matematika I

Semester I 2015

60 / 61

Referensi

[1]

E.J. Purcell, J.W. Brown, S.E. Rigdon Calculus: Ninth Edition,Pearson International Edition, Singapore 2009.

[2]

J. Stewart Calculus: 7th Edition, Brooks Cole, New York 2011.

[3]

Oki Neswan Slide Kuliah Kalkulus IB FMIPA-ITB 2011.

[4]

R. Larson Applied Calculus: For the life and social science, Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company, Boston USA 2009.

Dadang Amir Hamzah

Matematika I

Semester I 2015

61 / 61

61

Recommend Documents