61

TERAPAN TURUNAN

Departemen Matematika FMIPA IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

1 / 61

Topik Bahasan 1

Nilai Maksimum dan Minimum

2

Teorema Nilai Rataan (TNR)

3

Turunan dan Bentuk Gra…k Kemonotonan Fungsi Kecekungan Fungsi

4

Asimtot

5

Sketsa Kurva

6

Masalah Pengoptimuman


Kalkulus I

Bogor, 2012

2 / 61


Beberapa Aplikasi Turunan

Ukuran kaleng yang meminimumkan biaya produksi Formasi, lokasi, dan warna pelangi Percepatan maksimum pesawat angkasa ulang-alik Sudut optimal pencabangan pembuluh darah yang meminimumkan energi dari jantung


Kalkulus I

Bogor, 2012

3 / 61


Nilai Ekstrim Fungsi


Kalkulus I

Bogor, 2012

4 / 61


Nilai Maksimum dan Minimum De…nisi (Maksimum Mutlak, Minimum Mutlak) Misalkan fungsi f terde…nisi pada daerah asal Df . f memiliki maksimum mutlak (global) di c 2 Df jika f (c)

f (x)

untuk setiap x 2 Df

f (c) disebut nilai maksimum f pada Df . f memiliki minimum mutlak di c 2 Df jika f (c)

f (x)

untuk setiap x 2 Df

f (c) disebut nilai minimum f pada Df . Nilai maksimum/minimum f disebut nilai ekstrim (mutlak) f . (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

5 / 61


Ilustrasi Nilai Ekstrim


Kalkulus I

Bogor, 2012

6 / 61


Contoh (Ekstrim Mutlak) 1

f (x) = jxj memiliki nilai minimum mutlak f (0) = 0 karena f (0) = 0 f (x) , x 2 Df .

2

f (x) = cos x memiliki nilai maksimum mutlak cos (2nπ ) = 1 untuk bilangan bulat n karena f (2nπ ) = 1 f (x) , x 2 Df . Nilai minimum mutlaknya adalah 1.

3

f (x) = x3 tidak memiliki ekstrim mutlak.


Kalkulus I

Bogor, 2012

7 / 61



Kalkulus I

Bogor, 2012

8 / 61


Syarat Cukup Nilai Ekstrim

Teorema (Nilai Ekstrim) Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b] , maka f mencapai nilai minimum mutlak dan nilai maksimum mutlak pada [a, b] . Jika f kontinu pada [a, b] , maka f memiliki minimum mutlak dan maksimum mutlak. Jika f tidak kontinu pada [a, b] , maka tidak ada kesimpulan apakah f memiliki minimum mutlak atau maksimum mutlak.


Kalkulus I

Bogor, 2012

9 / 61


Ilustrasi Nilai Ekstrim pada Fungsi yang Kontinu


Kalkulus I

Bogor, 2012

10 / 61


Maksimum, Minimum Lokal

De…nisi (Maksimum Lokal, Minimum Lokal) Fungsi f mempunyai nilai maksimum lokal (maksimum relatif) di c 2 Df jika terdapat interval terbuka (a, b) yang memuat c sehingga f (c) f (x) untuk setiap x 2 (a, b) \ Df . Fungsi f mempunyai nilai minimum lokal (minimum relatif) di c 2 Df jika terdapat interval terbuka (a, b) yang memuat c sehingga f (c) f (x) untuk setiap x 2 (a, b) \ Df .

Nilai maksimum/nilai minimum lokal f disebut nilai ekstrim lokal f .


Kalkulus I

Bogor, 2012

11 / 61


Ilustrasi Ekstrim Lokal


Kalkulus I

Bogor, 2012

12 / 61


Contoh (Ekstrim Lokal) 1

f (x) = jxj memiliki nilai minimum lokal f (0) = 0 karena pada interval buka I yang memuat 0, f (0) f (x) , x 2 I.

2

f (x) = cos x memiliki nilai maksimum lokal cos (2nπ ) = 1 untuk bilangan bulat n karena pada interval terbuka I yang memuat 2nπ, f (2nπ ) f (x) , x 2 I. Nilai minimum lokalnya adalah cos((2n + 1) π ) = 1.

3

f (x) = x3 tidak memiliki ekstrim lokal.


Kalkulus I

Bogor, 2012

13 / 61


Bilangan Kritis

De…nisi (Bilangan Kritis) Titik c 2 Df sehingga f 0 (c) = 0 disebut titik stasioner.

Titik c 2 Df sehingga f 0 (c) tidak ada disebut titik singular.

Titik c 2 Df yang termasuk salah satu dari titik ujung, titik stasioner, dan titik singular disebut bilangan (titik) kritis fungsi f .


Kalkulus I

Bogor, 2012

14 / 61


Contoh Tentukan bilangan kritis fungsi f berikut p 1 f (x) = x (1 x) . 8 > < x2 , 1 x<0 . 2 f (x) = > : x2 2x , 0 x 2


Kalkulus I

Bogor, 2012

15 / 61


Soal (Bilangan Kritis) Bila ada, tentukan bilangan-bilangan kritis fungsi-fungsi berikut: 1

f (x) = 2x3 + 3x2 + 6x + 1

2

g (x) = j2x

3 4 5

(jawab: tidak ada bil. kritis)

(x = 5/2) x h (x) = (x = 2) p 3 2 f (x) = x x (x = 0, 1/2, 1) g (θ ) = θ + sin (θ ) (θ = (2n + 1) π, n : bil. bulat) x1/3

5j

2/3


Kalkulus I

Bogor, 2012

16 / 61


Teorema (Teorema Fermat) Jika f (c) merupakan nilai ekstrim lokal, maka c adalah bilangan kritis f . Teorema Fermat menyatakan bahwa syarat perlu agar f (c) merupakan nilai ekstrim lokal adalah c merupakan bilangan kritis dari fungsi f . Untuk memperoleh nilai ekstrim lokal f (c), terlebih dahulu tentukan bilangan kritis c karena jika c bukan bilangan kritis, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal. Perhatikan bahwa jika c bilangan kritis, belum tentu f (c) merupakan nilai ekstrim lokal. Berdasarkan de…nisi, ekstrim lokal terjadi pada titik ujung, titik stasioner, atau titik singular.


Kalkulus I

Bogor, 2012

17 / 61


Contoh 1

2

3

f (x) = x2 ) f (0) nilai minimum lokal, f 0 (x) = 2x ) f 0 (0) = 0 ) 0 adalah bilangan kritis.

f (x) = jxj ) f (0) nilai minimum lokal, f 0 (0) tidak ada ) 0 adalah bilangan kritis. f (x) = x3 ) f 0 (0) = 0 ) 0 adalah bilangan kritis, tetapi f (0) bukanlah ekstrim lokal.


Kalkulus I

Bogor, 2012

18 / 61


Di mana Ekstrim Mutlak Terjadi?


Kalkulus I

Bogor, 2012

19 / 61


Menentukan Ekstrim Mutlak Metode Selang Tutup

Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b] . Nilai maksimum/minimum mutlak fungsi f dapat ditentukan dengan cara: Tetapkan bilangan-bilangan kritis f pada [a, b] (titik ujung, titik stasioner, titik singular) Evaluasi f pada setiap bilangan kritis. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum mutlak, nilai terkecil merupakan nilai minimum mutlak fungsi f .


Kalkulus I

Bogor, 2012

20 / 61


Soal (Ekstrim Mutlak) Tentukan nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak fungsi f pada selang yang diberikan. 1

2

3

4

f (x) = x3 3x + 1, [0, 3] (jawab: f (1) = 1 min, f (3) = 19 maks) x f (x) = , [1, 2] (f (1) = 1/2 min, f (2) = 2/3 maks) x+1 8 > > > 1 2x ; 2 x< 1 > > < f (x) = x2 ; 1 x 1 > > > > > : x ; 1<x 3

(f ( 2) = f (3) = 3 maks, f (0) = 0 min) f (x) = sin x + cos x, [0, π/3] p f (0) = 1 min, f (π/4) = 2 maks


Kalkulus I

Bogor, 2012

21 / 61


Identi…kasi Nilai Ekstrim Soal (Identi…kasi Nilai Ekstrim) Berdasarkan gra…k fungsi f berikut, tentukanlah: i) titik ujung, ii) titik stasioner, iii) titik singular, iv) nilai maksimum/minimum mutlak, v) nilai maksimum/minimum lokal.


Kalkulus I

Bogor, 2012

22 / 61


Teorema (Teorema Nilai Rataan) Misalkan fungsi f memenuhi hipotesis berikut: i) kontinu pada interval tertutup [a, b] , ii) terturunkan pada interval terbuka (a, b) , maka ada sedikitnya satu bilangan c 2 (a, b) sehingga f 0 (c) =


f (b) b

Kalkulus I

f (a) a

(1)

Bogor, 2012

23 / 61


Contoh (TNR) Periksa apakah TNR dapat diterapkan untuk fungsi f (x) = x3 + x 1 pada selang [0, 2] . Jika ya, tentukan nilai c yang dimaksud pada (1).


Kalkulus I

Bogor, 2012

24 / 61


Soal (Teorema Nilai Rataan 1) 1

Diberikan f (x) = x1/3 . Tunjukkan bahwa fungsi f memenuhi hipotesis TNR pada interval p [0, 1], kemudian tentukan nilai c yang dimaksud pada (1). jawab: c =

2

3

4 5

3 9

p Diketahui fungsi f dengan f (x) = jxj. Periksa apakah fungsi f memenuhi hipotesis TNR pada interval i) [0, 4], ii) [ 1, 4]. Jika memenuhi, tentukan nilai c yang dimaksud pada (1). Badrun berangkat dari Jakarta ke Cikampek melalui jalan tol berjarak 156 km selama 1.5 jam dengan mengendarai mobil tanpa berhenti. Sampai di gerbang tol Badrun ditangkap polisi karena kecepatan mobilnya melebihi kecepatan yang diizinkan di jalan tol (maksimum 100 km/jam). Gunakan TNR untuk menunjukkan bahwa kecepatan mobil Badrun pernah melebihi 100 km/jam. Jika f (0) = 5 dan f 0 (x) 3 untuk x 2 [0, 2] , seberapa kecilkah nilai f (2) yang mungkin? (jawab: 11) Perlihatkan bahwa bila f (x) = px2 + qx + r, p 6= 0, maka ada bilangan c 2 [a, b] dari TNR yang selalu merupakan titik tengah dari interval [a, b].


Kalkulus I

Bogor, 2012

25 / 61

Turunan dan Bentuk Gra…k

Kemonotonan Fungsi

Fungsi Naik dan Turun De…nisi Andaikan f terde…nisi pada interval I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). f naik pada I, x1 < x2 ) f (x1 ) < f (x2 ) , 8x1 , x2 2 I

f turun pada I, x1 < x2 ) f (x1 ) > f (x2 ) , 8x1 , x2 2 I


Kalkulus I

Bogor, 2012

26 / 61


Kemonotonan Fungsi

Turunan I dan Fungsi Naik/Turun Teorema (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun) Andaikan f kontinu pada interval I dan terturunkan pada setiap titik-dalam dari I. Jika f 0 (x) > 0 untuk setiap x titik-dalam I, maka f naik pada I. Jika f 0 (x) < 0 untuk setiap x titik-dalam I, maka f turun pada I.


Kalkulus I

Bogor, 2012

27 / 61


Kemonotonan Fungsi

Soal (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun) 1

Tentukan interval-interval di mana f naik/turun bagi fungsi: i) f (x) = x3 ii) f (x) = x2/3 iii) f (x) = x1/3 (x 4)

2

Gunakan Teorema Nilai Rataan untuk membuktikan teorema tentang turunan I dan fungsi naik/turun.


Kalkulus I

Bogor, 2012

28 / 61


Kemonotonan Fungsi

Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal

Teorema (Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal) Misalkan c adalah bilangan kritis fungsi kontinu f , dan f terturunkan pada setiap titik pada interval yang memuat c, kecuali mungkin di c. Bergerak melewati c dari kiri ke kanan: 1

2

3

Jika f 0 berubah tanda dari negatif ke positif, maka f (c) merupakan nilai minimum lokal. Jika f 0 berubah tanda dari positif ke negatif, maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal. Jika f 0 tidak berubah tanda, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal.


Kalkulus I

Bogor, 2012

29 / 61


Kemonotonan Fungsi

Ilustrasi Geometris Ekstrim Lokal dgn Uji Turunan I


Kalkulus I

Bogor, 2012

30 / 61


Kemonotonan Fungsi

Contoh Gunakan uji turunan I untuk menentukan ekstrim lokal fungsi f dengan f (x) = x1/3 (x 4) .


Kalkulus I

Bogor, 2012

31 / 61


Kemonotonan Fungsi

Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal

Teorema (Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal) Andaikan fungsi f 00 kontinu pada interval terbuka yang memuat c. 1

2

3

Jika f 0 (c) = 0 dan f 00 (c) > 0, maka f (c) merupakan nilai minimum lokal. Jika f 0 (c) = 0 dan f 00 (c) < 0, maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal. Jika f 0 (c) = 0 dan f 00 (c) = 0, uji turunan II gagal. Fungsi f mungkin memiliki ekstrim lokal, mungkin tidak.


Kalkulus I

Bogor, 2012

32 / 61


Kemonotonan Fungsi

Ilustrasi Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal


Kalkulus I

Bogor, 2012

33 / 61


Kecekungan Fungsi

Ilustrasi Kecekungan Fungsi


Kalkulus I

Bogor, 2012

34 / 61


Kecekungan Fungsi

Kecekungan Fungsi

De…nisi (Kecekungan) Fungsi f dikatakan cekung ke atas pada interval I jika gra…k f terletak di atas garis singgung pada interval I, cekung ke bawah pada interval I jika gra…k f terletak di bawah garis singgung pada interval I. Cara lain melihat kecekungan: cekung ke atas pada interval terbuka I jika f 0 naik pada I, cekung ke bawah pada interval terbuka I jika f 0 turun pada I.


Kalkulus I

Bogor, 2012

35 / 61


Kecekungan Fungsi

Uji Turunan II Bagi Kecekungan

Teorema (Uji Turunan II bagi Kecekungan) Misalkan fungsi f memiliki turunan kedua pada interval terbuka I. Jika f 00 (x) > 0 untuk setiap x 2 I, maka f 0 naik pada I dan f cekung ke atas pada I, Jika f 00 (x) < 0 untuk setiap x 2 I, maka f 0 turun pada I dan f cekung ke bawah pada I. De…nisi (Titik Belok) Titik P (c, f (c)) disebut titik belok jika f kontinu di x = c, dan f mengalami perubahan kecekungan di P.


Kalkulus I

Bogor, 2012

36 / 61


Kecekungan Fungsi

Teorema (Titik Belok) Jika titik (c, f (c)) merupakan titik belok, maka f 00 (c) = 0 ataukah f 00 (c) tidak ada

Menentukan Titik Belok Untuk menentukan titik belok pada kurva y = f (x), hitung f 00 (x) , cari bilangan c sehingga f 00 (c) = 0 atau f 00 (c) tidak ada, selidiki perubahan tanda f 00 (x) di c. Titik (c, f (c)) merupakan titik belok jika dan hanya jika terjadi perubahan tanda f 00 (x) di c.


Kalkulus I

Bogor, 2012

37 / 61


Kecekungan Fungsi

Contoh 1

2

3

4

Diberikan fungsi f dengan f (x) = x4 4x3 + 10. Tentukan: i) interval fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii) kecekungan, iv) titik belok fungsi f . Perlihatkan bahwa jika f (x) = x4 , maka f 00 (0) = 0, tetapi (0, 0) bukan titik belok dari gra…k f . Perlihatkan bahwa fungsi g dengan g (x) = x jxj mempunyai titik belok pada (0, 0) tetapi g00 (0) tidak ada. Andaikan fungsi f dan g keduanya cekung ke atas pada R. Berikan syarat bagi f , agar fungsi komposit h (x) = f (g (x)) cekung ke atas.


Kalkulus I

Bogor, 2012

38 / 61


Kecekungan Fungsi

Soal Jika ada, tentukan: i) interval fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii) kecekungan, iv) titik belok fungsi f , 1)3

1

f (x) = (x

2

f (x) = x1/3 + 1

3

f (x) = x/ (1 + x)2


Kalkulus I

Bogor, 2012

39 / 61


Kecekungan Fungsi

Pengaruh Turunan terhadap Bentuk Gra…k


Kalkulus I

Bogor, 2012

40 / 61


Kecekungan Fungsi

Soal Berdasarkan gra…k f 0 berikut, tentukanlah 1

interval f naik/turun dan ekstrim lokal,

2

interval f cekung ke atas/bawah dan titik belok.


Kalkulus I

Bogor, 2012

41 / 61


Kecekungan Fungsi

Nilai Ekstrim vs Bilangan Kritis vs Titik Belok

Untuk fungsi f dengan y = f (x) : Nilai ekstrim (mutlak/lokal) f : f (a) !ordinat y Bilangan kritis f : x = b ! absis x

Titik belok f : (c, f (c)) ! koordinat (x, y)


Kalkulus I

Bogor, 2012

42 / 61

Asimtot

Jenis Asimtot

1

Asimtot tegak

2

Asimtot datar

3

Asimtot miring


Kalkulus I

Bogor, 2012

43 / 61

Asimtot

De…nisi (Asimtot Tegak) Garis x = a disebut asimtot tegak bagi kurva y = f (x) jika lim f (x) =

x!a


Kalkulus I

∞

(2)

Bogor, 2012

44 / 61

Asimtot

De…nisi (Asimtot Datar) Garis y = L disebut asimtot datar bagi kurva y = f (x) jika (3)

lim f (x) = L

x! ∞


Kalkulus I

Bogor, 2012

45 / 61

Asimtot

De…nisi (Asimtot Miring) Garis y = mx + b disebut asimtot miring bagi kurva y = f (x) jika lim [f (x)

x! ∞


(4)

(mx + b)] = 0

Kalkulus I

Bogor, 2012

46 / 61

Asimtot

Teorema Misalkan r > 0 adalah bilangan rasional, maka 1 =0 ∞ xr

(5)

lim

x!

asalkan xr terde…nisi.


Kalkulus I

Bogor, 2012

47 / 61

Asimtot

Penentuan Asimtot Fungsi Rasional

Diberikan fungsi rasional r (x) =

p1 ( x ) cn xn + cn 1 xn 1 + = p2 ( x ) km xm + km 1 xm 1 +

+ c0 + k0

1

Garis x = a dengan p2 (a) = 0 dan p1 (a) 6= 0 merupakan asimtot tegak.

2

Kasus n < m ) garis y = 0 (sumbu-x) merupakan asimtot datar.

3 4

Kasus n = m ) garis y = cn /km merupakan asimtot datar.

Kasus n = m + 1 ) r (x) = (mx + b) + sisa. Garis y = mx + b merupakan asimtot miring.


Kalkulus I

Bogor, 2012

48 / 61

Asimtot

Soal (Asimtot) Tentukan asimtot (tegak, datar, atau miring) bagi fungsi-fungsi (1 3) berikut: 2x + 3 1 f (x) = x 1 2x3 x 2 f (x) = x2 x 6 p 4x2 1 3 f (x) = x 2 4 Carilah rumus bagi fungsi f yang memiliki asimtot tegak x = 1 dan x = 2, serta asimtot datar y = 3.


Kalkulus I

Bogor, 2012

49 / 61

Sketsa Kurva

Sketsa Kurva

Langkah-langkah sketsa kurva fungsi y = f (x) 1

Identi…kasi daerah asal Df , titik potong sumbu, serta kesimetrian fungsi.

2

Identi…kasi asimtot fungsi.

3

Tentukan f 0 (x) !

Identi…kasi bilangan kritis. Identi…kasi interval fungsi naik/turun, ekstrim lokal.

4

Tentukan f 00 (x) !

Identi…kasi interval kecekungan fungsi, titik belok.

5

Gambar sketsa gra…k f .


Kalkulus I

Bogor, 2012

50 / 61

Sketsa Kurva

Contoh Lakukan analisis sketsa gra…k fungsi, lalu gambarkan gra…k fungsi f (x + 1)2 dengan f (x) = . 1 + x2


Kalkulus I

Bogor, 2012

51 / 61

Sketsa Kurva

Soal (Sketsa Gra…k Fungsi 1) Lakukan tahapan-tahapan membuat sketsa gra…k, lalu gambarkan gra…k fungsi-fungsi berikut: 1 2

3

4 5 6 7

3x2 + 5, f 0 (x) = 3x (x 2) , f 00 (x) = 6 (x 1) 4 (x 1) 00 4 (x + 2) f (x) = x1/3 (x 4) , f 0 (x) = , f (x) = 2 5 3x 3 9x 3 3 2 12x 2x 1 6x x , f 0 (x) = f (x) = 2 , f 00 (x) = 2 3 x 4 ( x3 + 1 ) (x3 + 1) 3 2 12x 2x3 1 x 1 0 6x 00 (x) = f (x) = 3 , f (x) = , f 2 3 x +1 ( x3 + 1 ) (x3 + 1) xy = x2 + x + 1 x 1 x+1 2x2 + 3x + 1 00 (x) = f (x) = p , f 0 (x) = , f 3 5 x2 + 1 (x2 + 1) 2 (x2 + 1) 2 f (x) = sin x x f (x) = x3


Kalkulus I

Bogor, 2012

52 / 61

Sketsa Kurva

Soal (Sketsa Gra…k Fungsi 2) Sketsa gra…k fungsi g dengan sifat-sifat sebagai berikut: i) g kontinu pada R f0g ii) g00 (x) > 0 untuk x 2 R f0g iii) g ( 2) = g (2) = 3 iv) lim g (x) = 2, lim [g (x) x] = 0 x! ∞

x! ∞

v) lim g (x) = lim g (x) = ∞ x ! 0+

x!0


Kalkulus I

Bogor, 2012

53 / 61

Sketsa Kurva

Soal (Terapan Asimtot dan Sketsa Gra…k) Sebuah tangki berisi 5 000 liter air murni. Air asin yang mengandung 30 gram garam tiap liter air dipompakan ke dalam tangki pada laju 25 liter / menit. (a) Tunjukkan bahwa konsentrasi garam setelah t menit adalah 30t (gram / liter). C (t) = t + 200 (b) Buat sketsa gra…k fungsi konsentrasi garam. (c) Tentukan konsentrasi garam dalam jangka waktu yang panjang (t ! ∞ ) .


Kalkulus I

Bogor, 2012

54 / 61



Membahas terapan turunan untuk menentukan solusi pemaksimuman atau peminimuman suatu permasalahan. Langkah-langkah pemecahan masalah: pahami permasalahan, formulasikan masalah yang yang akan dimaksimumkan/diminimumkan ke dalam bentuk fungsi, tentukan lokasi fungsi tersebut mencapai maksimum/minimum mutlak.


Kalkulus I

Bogor, 2012

55 / 61


Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak Dalam hal fungsi f hanya memiliki satu nilai ekstrim lokal f (c) , dengan Uji Turunan I dapat disimpulkan bahwa f (c) juga merupakan nilai ekstrim mutlak. Teorema berikut sangat bermanfaat dalam menyelesaikan masalah pengoptimuman. Teorema Andaikan c adalah bilangan kritis dari fungsi kontinu f yang terde…nisi pada suatu interval. 1

2

Jika f 0 (x) > 0 untuk setiap x < c dan f 0 (x) < 0 untuk setiap x > c, maka f (c) adalah nilai maksimum mutlak f . Jika f 0 (x) < 0 untuk setiap x < c dan f 0 (x) > 0 untuk setiap x > c, maka f (c) adalah nilai minimum mutlak f .


Kalkulus I

Bogor, 2012

56 / 61


Ilustrasi Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak/Lokal


Kalkulus I

Bogor, 2012

57 / 61


Soal (Disain Kotak Terbuka)

Jawab: x = tinggi = 2 cm, alas 8 (Departemen Matematika FMIPA IPB)

8 cm2 .

Kalkulus I

Bogor, 2012

58 / 61


Soal (Disain Kaleng Minuman)

Jawab: h = 2r (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

59 / 61


Soal (Pembangunan Jalan Tol) Pemerintah propinsi "Suka Makmur" merencanakan membangun jalan tol yang menghubungkan dua kota A dan B yang dipisahkan oleh daerah berawa. Jika biaya pembangunan jalan tol 1 milyar/km sepanjang daerah rawa, dan setengahnya pada lahan kering (OB), tentukan lokasi jalan tol di antara O-B yang meminimumkan biaya. (satuan jarak: km).

p Jawab: C = 5/ 3 km dari O. (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

60 / 61


Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB) Versi: 2012 (sejak 2009) Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDF LATEX)


Kalkulus I

Bogor, 2012

61 / 61

61

Recommend Documents