5.2.9
Vzdálenost bodu od roviny
Předpoklady: 5208 Opakování z minulé hodiny (definice vzdálenosti bodu od přímky): Je dána přímka p a bod A. Vzdáleností bodu A od přímky p rozumíme vzdálenost bodu A od bodu P, který je patou kolmice vedené v rovině Ap k přímce p z bodu A. Máme A bod a rovinu ρ , vzdálenost bodu A od roviny ρ opět potřebujeme převést na vzdálenost dvou bodů. Jaký bod máme v rovině ρ najít? Podobně jako u vzdálenosti bodu od přímky půjde o kolmý průmět bodu A do roviny ρ . Př. 1:
Zformuluj definici vzdálenosti bodu od roviny analogickou definici vzdálenosti bodu od přímky.
Je dána rovina ρ a bod A. Vzdáleností bodu A od roviny ρ rozumíme vzdálenost bodu A od bodu P, který je patou kolmice vedené z bodu A k rovině ρ . Takto definovaná vzdálenost bodu od roviny je nejkratší vzdáleností mezi bodem A a libovolným bodem roviny ρ . Př. 2:
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = a = 4 cm , SV = v = 5cm . Urči: a) vzdálenost bodu V od roviny ABC, b) vzdálenost bodu B od roviny S AB SCDV , c) vzdálenost bodu S BC od roviny ADV .
a) vzdálenost bodu V od roviny ABC V
Z obrázku je vidět, že kolmým průmětem bodu V do roviny ABC je střed podstavy S ⇒ vzdálenost bodu V od roviny ABC je tedy rovna v = 5cm .
v D
C S
A B b) vzdálenost bodu B od roviny S AB SCDV
1
V
Přímka AB je kolmá k rovině S AB SCDV , kolmým průmětem bodu B do roviny S AB SCDV je tedy bod S AB ⇒ vzdálenost
D
SCD
bodu B od roviny S AB SCDV je rovna a = 2 cm . 2
C
A
B SAB c) vzdálenost bodu S BC od roviny ADV V
Kolmý průmět bodu S BC (označíme si ho P) do roviny ADV bude určitě ležet v rovině S AD S BCV (je kolmá na rovinu ADV a prochází bodem S BC ). Nakreslíme si trojúhelník S AD S BCV .
V P C D SAD A
SBC
v
B
P a SBC S Vypočteme délku strany S BCV z pravoúhlého trojúhelníku S BCVS . 2 V a 2 + 4v 2 2 2 2 a S BCV = SS BC + SV = + v 2 = 4 2 SAD
v
S BCV =
a 2 + 4v 2 4
S BCV =
a 2 + 4v 2 2
SBC a 2 Doplníme do obrázku trojúhelníku S AD S BCV . S
2
V
a2 + 4v 2 2
a2 + 4v 2 2 v P a S
SAD
SBC
Možností jak určit úsečku PS BC je více, nejjednodušší vychází ze vzorce pro obsah trojúhelníka: av bv cv S= a = b = c. 2 2 2 Jednu dvojici strana-výška tvoří úsečky S AD S BC a SV (obě známe), druhou úsečky S ADV a PS BC (druhou chceme určit) ⇒ S S SV S V PS BC av S = a = AD BC = BC 2 2 2 S AD S BC SV = S BCV PS BC
PS BC =
Dosadíme: PS BC =
Př. 3:
2av a + 4v 2
2
=
2⋅ 4⋅5 4 2 + 4 ⋅ 52
S AD S BC SV S BCV
av
=
a 2 + 4v 2 2
=
2av a 2 + 4v 2
cm = 3, 71cm .
Je dána standardní krychle ABCDEFGH a = 4 cm . Urči vzdálenost bodu E od roviny AFH.
H
G S
E
Hledáme kolmý průmět bodu E do roviny AFH. Víme z předchozích příkladů, že přímka EC je kolmá k rovině AFH a hledaným průmětem bude její průsečík s rovinou AFH. Předchozí informaci pro vyřešení příkladu nepotřebujeme, stačí si uvědomit, že krychle je souměrná podle roviny ACEG a kolmice na E i kolmý průmět musí ležet v této rovině (jinak by průměty byly dva a to není možné).
F P D
C
A B Nakreslíme si obdélník ACGE. E
a
A
a 2 2
Dopočteme délku úsečky AS:
S
a 2 AS = ES + EA = a + 2 2 3 2 AS = a 2 + a 2 = a 2 4 2 3 AS = a . 2
G
2
P
a 2 Doplníme obrázek:
C
3
2
2
2
2
E
a 2 2
S
a 2 ES 2 2 a 3 EP = AE =a 2 =a = =a AS 3 3 2 3 3 a 2
P
a
a
3 2 C
A Dosadíme: EP = a
Př. 4:
G
Využijeme podobnost trojúhelníků ASE a AEP . ES EP = AS AE
3 3 =4 cm = 2,31cm 3 3
Zformuluj kritérium pro rovnoběžnost přímky s rovinou pomocí vzdálenosti bodu od roviny.
Přímka p je rovnoběžná s rovinou ρ , jestliže lze na přímce p najít dva různé body ležící v témže poloprostoru ohraničeném rovinou ρ , které mají od roviny ρ stejnou vzdálenost.
Př. 5:
Zformuluj kritérium pro rovnoběžnost dvou rovin pomocí vzdálenosti bodu od roviny.
Dvě roviny ρ a σ jsou rovnoběžné, jestliže lze v rovině σ najít tři různé body, které neleží v přímce, ale leží ve stejném poloprostoru s hraniční rovinou ρ a které mají od roviny ρ stejnou vzdálenost.
Př. 6:
Je dán pravidelný šestiboký jehlan ABCDEFV, AB = a = 4 cm , SV = v = 6 cm . Urči vzdálenost bodu F od roviny ABV.
V
Potřebujeme najít kolmý průmět bodu F do roviny ABV ⇒ problém pata kolmice z bodu F leží mimo jehlan ⇒ hledáme jiný bod se stejnou vzdáleností, jehož pata leží na hranici jehlanu. Přímka CF je rovnoběžná s přímkou AB ⇒ je rovnoběžná s rovinou ABV ⇒ vzdálenost všech bodu této přímky od roviny ABV je stejná jako vzdálenost bodu A.
F A SAB
E
S
SDE D
Kolmice z bodu S na rovinu ABV leží v rovině S AB S DE ⇒ vzdálenost bodu S od roviny ABV určíme pomocí trojúhelníku S AB S DEV .
C B Nakreslíme si trojúhelník S AB S DEV .
4
V
Délku úsečky S AB S určíme z obrázku podstavy: E D
v
S
F a SAB
a a
x
C a
SDE
S
A
SAB a B
Vzdálenost S AB S je také výškou v rovnostranném trojúhelníku se stranou a.
4a 2 − a 2 3a 2 a 3 a x = a − = = = . 4 4 2 2 Vzdálenost S ABV je přeponou pravoúhlého trojúhelníku S AB SV : 2
2
2
2
3 4v 2 + 3a 2 4v 2 + 3a 2 S ABV = v + x = v + a = = . 2 4 2 Doplníme obrázek: V Využijeme podobnost trojúhelníků S AB SV a 2
2
2
S AB SP . 2
4v + 3a 2
2
SV S ABV
v P SAB
PS S AB S
3 v⋅a 3 2 PS = SV =v = S ABV 4v 2 + 3a 2 4v 2 + 3a 2 2 S AB S
d a 3 2
SDE
S
Dosadíme: PS =
Př. 7:
=
v⋅a 3 4v + 3a 2
2
Petáková: strana 93/cvičení 24 strana 93/cvičení 25 strana 93/cvičení 26 strana 93/cvičení 27
=
6⋅4 3 4 ⋅ 62 + 3 ⋅ 42
a
cm = 3cm .
c) f) b) c) c)
Shrnutí: Vzdálenost bodu od roviny určujeme opět pomocí kolmého průmětu.
5
