5. OPTIKA A MODERNÍ FYZIKA 5.1. SVĚTLO JAKO ELEKTROMAGNETICKÉ VLNĚNÍ Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát: Světlo je elektromagnetické vlnění o vlnových délkách ve vakuu cca 380–760 nm (viditelných lidským okem). Jak plyne z Maxwellových rovnic, je to vlnění příčné, v němž vektory ⃗ a ⃗ intenzity elektrického a magnetického pole jsou vždy kolmé na směr ⃗ , kterým se vlnění šíří. Vakuem se světlo šíří konstantní rychlostí c = 2,99792458108 ms-1. Rychlost světla ve vakuu je největší mezní rychlostí, kterou se mohou pohybovat hmotné objekty (velikost rychlosti světla ve vakuu nezávisí na žádné jiné fyzikální veličině, je to tzv. univerzální fyzikální konstanta). Platí obecný vztah pro souvislost mezi fázovou rychlostí, vlnovou délkou a frekvencí vlny: . Různé frekvence světla vnímáme jako různé barvy, bílé světlo vzniká jejich složením. Frekvence světla je určena zdrojem světla a nezávisí na prostředí, kterým se světlo šíří. V látkovém optickém prostředí je fázová rychlost světla nižší než ve vakuu a závisí nejen na fyzikálních vlastnostech tohoto prostředí, ale i na frekvenci světla (disperze). Úměrně tomu se zkracuje i vlnová délka vlny. Index lomu n daného prostředí definujeme jako podíl fázové rychlosti monofrekvenční světelné vlny ve vakuu a fázové rychlosti světelné vlny téže ⁄ . Index lomu vzduchu je velmi blízký jedné. frekvence v daném prostředí Vektory ⃗ a ⃗ jsou kolmé i na sebe navzájem a ⃗⃗⃗ ⃗ a ⃗ tvoří pravotočivý systém. Protože i poměr velikostí vektorů elektrické a magnetické intenzity je v daném prostředí stálý, obvykle stačí vlnu reprezentovat jen jedním z těchto dvou vektorů, např. pomocí elektrické intenzity. Rovinnou vlnu postupující ve směru osy lze zapsat např. ⃗( kde
)
(
) ⁄ a
je amplituda elektrické intenzity,
Obr.5.1-1 180
počáteční fáze.
Tato vlna je tzv. lineárně polarizovaná ve směru osy x, protože vektor elektrické intenzity kmitá stále v tomto směru (jako na obrázku 5.1-1). Koncový bod vektoru ⃗ se při pohledu ke zdroji pohybuje po úsečce na ose x. Vlna lineárně polarizovaná ve směru osy y by byla např. ⃗( ) ( ) Vlna s sebou nese energii, která se přenáší ve směru vektoru šíření ⃗ , okamžitou hustotu toku ⃗ ⃗ . Např. pro rovinnou lineárně energie vyjadřuje tzv. Poyntingův vektor polarizovanou vlnu ve vakuu je jeho časová střední hodnota neboli intenzita světla 〈 〉 To udává průměrný výkon přenesený jednotkovou plochou, jíž vlna prochází. Obecněji bývá světlo polarizované elipticky (viz obr. 5.1-2), koncový bod vektoru ⃗ při pohledu ke zdroji opisuje elipsu.
Obr. 5.1-2
Obr. 5.1-3
181
Dalším speciálním případem je polarizace kruhová (obr. 5.1-3), kdy opisuje kružnici. Otáčí-li se vektor ⃗ při pohledu do zdroje ve směru hodinových ručiček, hovoříme o pravotočivé polarizaci, otáčí-li se v opačném směru, jedná se o polarizaci levotočivou. Světlo může být také nepolarizované, pokud se směr kmitání ⃗ náhodně mění. K částečné polarizaci dochází odrazem, přičemž úplně polarizováno je světlo, které dopadá na odraznou plochu pod Brewsterovým úhlem (vůči normále k rozhraní), pro nějž platí ⁄ Odražené světlo je polarizováno tak, že vektor ⃗ kmitá kolmo k rovině dopadu. Při lomu světla nastává polarizace částečná. K polarizaci nebo stáčení polarizační roviny dochází i při průchodu některými optickými prostředími (nerosty, plasty pod mechanickým napětím, cukerný roztok apod.). K cílené polarizaci světla se používají polarizační filtry. Po průchodu ideálním lineárním polarizačním filtrem je světlo zcela lineárně polarizováno v daném směru, přičemž pokud na něj dopadá světlo lineárně polarizované v jiném směru, jeho amplituda a intenzita je dána Malusovým zákonem: neboli , kde je úhel mezi oběma polarizačními směry.
Obr. 5.1-4 PŘÍKLADY: 5.1-1. Jako viditelné spektrum se přibližně udává rozsah frekvencí 400–790 THz. Jaké jsou odpovídající vlnové délky světla ve vakuu a ve skle o indexu lomu přibližně =1,5? Jakou rychlostí se světlo tímto sklem šíří? Řešení: Využijeme vztah mezi fázovou rychlostí, vlnovou délkou a frekvencí vlny: první vlnovou délku máme pro vakuum (a přibližně i vzduch) hodnotu
182
. Odtud pro
a pro druhou
Viditelné světlo má ve vzduchu vlnové délky v rozmezí od 380 nm (fialová) do 750 nm (červená). ⁄ a ve stejném poměru se zkrátí i Ve skle se sníží rychlost šíření světla v poměru ⁄ Rychlost šíření světla sklem tedy bude vlnová délka (frekvence se nemění),
a vlnové délky
Poznámka: Ve skutečnosti se index lomu pro různé vlnové délky světla mírně liší, tomuto efektu se budeme věnovat v následující podkapitole. 5.1-2. Jaká je amplituda vektoru elektrické intenzity lineárně polarizovaného paprsku laserového zaměřovače ve vzduchu, je-li průměr svazku 2 mm a udávaný výkon 2,8 mW? Pro jednoduchost předpokládejte rovnoměrné rozložení toku energie celým průřezem svazku. Řešení: Intenzitu vypočteme podle vztahu
kde rychlost světla ve vzduchu je přibližně c =
3108 ms-1 a permitivita ⁄ je průřez svazku. výkon a Odtud √
. Současně z definice
√
⁄ , kde
je
√
a po dosazení √ Amplituda vektoru elektrické intenzity ve svazku je přibližně
5.1-3. Co vznikne složením dvou lineárně polarizovaných rovinných vln o stejné amplitudě , postupujících ve směru osy , kde
183
⃗ (
)
(
)
⃗ (
)
(
)
Řešení: ⃗ V každém bodě se intenzity obou vln sčítají ⃗ o skládání kolmých kmitů - ve směru osy a ve směru osy (
)
(
)
(
)
⃗
V našem případě se jedná
(
(
)
)
Vyloučením času, umocněním obou rovnic na druhou a jejich následným sečtením dostaneme v obou případech rovnici kružnice . Jedná se tedy o kruhově polarizovanou vlnu (pro kladné znaménko pravotočivou a pro záporné levotočivou). Poznámka: Kruhové polarizace využívají mimo jiné některá 3D kina a 3D televizory. Promítají zdvojený obraz, odlišující se polarizací. Bez brýlí vnímáme oba obrazy současně a místo prostorového vnímání máme spíše dojem rozmazaného snímku. Polarizační brýle pro tento typ projekce však propouštějí ke každému oku buď pouze levotočivě, nebo pouze pravotočivě polarizované světlo, každé oko tak vidí jen obraz, který je mu určen, a vzniká tak prostorový vjem. 5.1-4.* Některá kina či TV technologie pracují s lineárně polarizovaným světlem ve dvou na sebe kolmých směrech, jiná se světlem kruhově polarizovaným. Ukažte, že při použití lineárních polarizačních brýlí u 3D televizoru založeného na kruhové polarizaci nedosáhnete žádného žádoucího efektu. Řešení: Pro jednoznačnost předpokládejme šíření ve směru osy . V předchozí úloze jsme viděli, že kruhově polarizované světlo lze vyjádřit jako součet dvou kolmo na sebe lineárně polarizovaných vln o stejné amplitudě, fázově posunutých o . Vzhledem k symetrii lze tyto dva kolmé směry zvolit v rovině kolmé na směr šíření libovolně. Pro určení intenzity po průchodu polarizátorem zvolíme osu (směr ) do směru jednoho polarizátoru, třeba toho pro levé oko, a osu (směr ) do směru druhého, pro pravé oko. Pro pravotočivou vlnu dostaneme: ⃗(
)
(
)
(
)
podle Malusova zákona projde levým polarizátorem pouze vlna popsaná první částí výrazu, protože úhel mezi rovinou kmitu a směrem polarizátoru je pro ni nulový, prošlá vlna bude ( ) Pro druhou část je popsána rovnicí ⃗ ( ) , takže vůbec neprojde. Pravým polarizátorem projde naopak pouze druhá část, tj. ⃗ (
)
(
)
Pro levotočivou vlnu analogicky dostaneme: ⃗(
)
(
)
(
)
( ) pravým polarizátorem v ose Levým polarizátorem v ose projde ⃗ ( ) projde ⃗ ( ) ( ) Pro obě kruhové polarizace budou lineárně polarizované brýle propouštět k oběma očím stejně, uvidíme „zdvojený“ obraz stejně jako bez brýlí, pouze temnější. 184
5.1-5. Jaká je frekvence světla červeného laserového ukazovátka o vlnové délce 633 nm a zeleného o vlnové délce 532 nm? [474 THz, 564 THz] 5.1-6. Zvýšení kapacity záznamových médií je podmíněno použitím dostatečně krátké vlnové délky světla pro jejich čtení. Jaké jsou vlnové délky záření používaného přehrávači CD, DVD a Blu-ray disků, víte-li, že jejich frekvence jsou 385 THz, 462 THz a 741THz? [780 nm, 650 nm, 405 nm] 5.1-7. Jakou rychlostí se šíří světlo sodíkové výbojky s vlnovou délkou 589,3 nm destilovanou vodou o indexu lomu a 30% cukerným roztokem o indexu lomu 1,381? Jaká je vlnová délka tohoto světla, prochází-li jeho paprsek destilovanou vodou a roztokem? Poznámka: Rozdílného indexu lomu cukerného roztoku v závislosti na jeho koncentraci využívají mimo jiné i potravinářské refraktometry. [
]
5.1-8. Některé laserové měřiče vzdálenosti pracují na principu měření zpoždění paprsku odraženého o zaměřovaný předmět. Jaké časové zpoždění bude mít puls červeného světla o vlnové délce 660 nm, odrazí-li se o 6 m vzdálený objekt zpět do přístroje? Kolikanásobek své vlnové délky urazí? [
,
1,8
]
5.1-9. Co vznikne složením dvou lineárně polarizovaných rovinných vln, postupujících ve směru osy , kde ⃗ ( ) ⃗ ( ) ( ) [Lineárně polarizovaná vlna, skloněná o 45° vůči kladné poloose
( i ]
)
5.1-10. Co vznikne složením dvou lineárně polarizovaných rovinných vln, postupujících ve směru osy , kde ⃗ ( ) ⃗ ( ) ( ) ( [Lineárně polarizovaná vlna, skloněná o 90° vůči předchozímu řešení]
)
5.1-11. Jak se změní amplituda a intenzita lineárně polarizovaného laserového svazku po průchodu vysoce účinným polarizátorem, jehož polarizační rovina je pootočena vůči rovině kmitu dopadajícího svazku o úhel ? [Obě budou nulové]
185
5.1-12. Jak se změní amplituda a intenzita lineárně polarizovaného laserového svazku po průchodu vysoce účinným polarizátorem, jehož polarizační rovina je pootočena vůči rovině kmitu dopadajícího svazku o úhel ? [
⁄√ a
⁄ ]
5.1-13.* Co pozorujeme, pokud při 3D projekci založené na lineárně polarizovaném světle nakloníme hlavu s polarizačními brýlemi na stranu o ? [Podobně jako u příkladu 5.1-4.* zdvojený obraz, s intenzitou poloviční než bez brýlí] 5.1-14. Pod jakým úhlem musí dopadat sluneční paprsky na kaluž na vodorovné silnici, aby odražené světlo bylo lineárně polarizované v horizontálním směru (tento směr blokují nasazené polarizační sluneční brýle, viz obrázek 5.1-4)? Index lomu vody je =1,332. [
]
Obr. 5.1-4
5.2. GEOMETRICKÁ OPTIKA Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát: V geometrické optice nezohledňujeme vlnové vlastnosti světla, v homogenním prostředí předpokládáme jeho přímočaré šíření reprezentované paprskem. Úhel dopadu paprsku na rozhraní dvou prostředí měříme vždy mezi dopadajícím paprskem a normálou k rozhraní. Tyto dva směry určují rovinu dopadu. Dopadající paprsek se částečně odráží a částečně láme do nového prostředí, přičemž odražený i lomený paprsek leží v rovině dopadu. Úhel odrazu a úhel lomu vztahujeme k téže normále k rozhraní. Úhel odrazu
je roven úhlu dopadu
186
Úhel lomu
kde
a
je dán Snellovým zákonem
jsou indexy lomu prvního a druhého prostředí.
< , tj. první prostředí je tzv. opticky řidší než druhé, jedná se o lom ke kolmici, Je-li > , tj. první prostředí je tzv. opticky hustší než druhé, jedná se o lom od ⁄ kolmice, , viz obrázek 5.2-1. V tom případě může pro úhly, pro něž nastat tzv. totální odraz (dopadající paprsek se vůbec nedostává do druhého prostředí a celý ⁄ , se nazývá mezním úhlem. se odráží). Úhel , pro nějž platí Je-li
Obr. 5.2-1 Rozklad světla (disperze) – index lomu světla je mírně závislý také na jeho vlnové délce. Tento jev se nazývá disperze, protože za určitých podmínek může vést k rozkladu světla na jeho jednotlivé barevné složky.
Obr. 5.2-2 Při tzv. normální disperzi je index lomu světla o nižší frekvenci nižší než světla vyšší frekvence, např. paprsek červené barvy se takovým prostředím šíří rychleji než paprsek barvy fialové. Při šikmém dopadu paprsku bílého světla na rozhraní dvou prostředí se nejméně odchyluje červená barva, následně pak žlutá, zelená, modrá, indigo a nejvíce barva fialová (viz obrázek 5.2-2). Typickým příkladem tohoto jevu je duha.
Optické prvky 187
Odrazu a lomu paprsků využívají různé optické prvky. Nejjednodušším je rovinné zrcadlo, pro které platí jednoduchý zákon odrazu. Totéž platí u kulových zrcadel dutých (konkávních), kde odraznou plochu tvoří vnitřní část povrchu, a vypuklých (konvexních), kde odraznou plochu tvoří vnější povrch koule. Jak u zrcadel, tak u čoček budeme uvažovat pouze zobrazení paprsky jdoucími blízko optické osy (v tzv. paraxiálním prostoru). U čoček budeme dále předpokládat zjednodušený model tzv. tenké čočky. Základní pojmy u zrcadel: střed křivosti optické plochy , její poloměr křivosti značíme r; optická osa – osa procházející středem křivosti, protíná zrcadlo v tzv. vrcholu zrcadla. Ohnisko předmětové splývá s obrazovým a leží na optické ose v polovině mezi středem a ⁄ . vrcholem zrcadla, jeho vzdálenost od vrcholu nazýváme ohnisková vzdálenost, Vzdálenost předmětu od vrcholu zrcadla nazýváme předmětovou vzdáleností a značíme , vzdálenost obrazu od vrcholu zrcadla nazýváme obrazovou vzdáleností a značíme . ⁄ . Velikost předmětu značíme , velikost obrazu . Zvětšení Obraz určitého bodu předmětu hledáme jako průsečík jím procházejících význačných paprsků (viz obr. 5.2-3): 1. 2. 3.
paprsek jdoucí středem křivosti se odráží zpět do středu křivosti, paprsek jdoucí ohniskem se odráží rovnoběžně s optickou osou, paprsek jdoucí rovnoběžně s optickou osou se odráží do ohniska.
Obr. 5.2-3 Pokud se tyto paprsky protnou, vzniká skutečný (reálný) obraz (lze zachytit na stínítko). Pokud se neprotnou, prodloužíme je v opačném směru, v jejich průsečíku pak vzniká zdánlivý (virtuální) obraz (nelze zachytit na stínítko, ale může sloužit jako předmět pro další optické zobrazení). Pro výpočty používáme následující znaménkovou konvenci: 1. ohnisková vzdálenost u dutého zrcadla je , u vypuklého 2. předmětová a obrazová vzdálenost jsou kladné, jsou-li před zrcadlem, záporné za zrcadlem,
188
3. předmět předpokládáme vzpřímený a jeho velikost bereme jako kladnou, velikost obrazu je kladná, je-li také vzpřímený, a záporná, je-li převrácený, 4. zvětšení je tedy kladné, je-li obraz vzpřímený (je současně zdánlivý), záporné, je-li převrácený (a reálný). Při dodržení znaménkové konvence platí Gaussova zobrazovací rovnice
Čočky jsou průhledná, stejnorodá tělesa ohraničená dvěma opticky hladkými plochami, na nichž dochází k lomu světla. Rozlišujeme spojky (rovnoběžný svazek paprsků se průchodem čočkou mění na sbíhavý) a rozptylky (rovnoběžný svazek paprsků se průchodem rozptylkou mění na rozbíhavý). Základní pojmy u tenkých čoček: Průsečík hlavní roviny s optickou osou , předmětové ohnisko a obrazové ohnisko leží ve stejné ohniskové vzdálenosti od hlavní roviny čočky, tato vzdálenost je dána tvarem čočky a indexem lomu čočky a okolí. Vzdálenost předmětu od hlavní roviny čočky nazýváme předmětovou vzdáleností a značíme , vzdálenost obrazu od hlavní roviny čočky nazýváme obrazovou vzdáleností a značíme . ⁄ ⁄ . Velikost předmětu značíme , velikost obrazu . Zvětšení Obraz určitého bodu předmětu opět hledáme jako průsečík jím procházejících význačných paprsků (viz obr. 5.2-4 pro příklad spojné čočky, pro rozptylku by byla poloha ohnisek opačná): 1. 2. 3.
paprsek jdoucí průsečíkem hlavní roviny a optické osy prochází přímo, paprsek jdoucí předmětovým ohniskem se odráží rovnoběžně s optickou osou, paprsek jdoucí rovnoběžně s optickou osou se odráží do obrazového ohniska.
Obr. 5.2-4 Pokud se tyto paprsky protnou, vzniká reálný obraz; pokud se neprotnou, prodloužíme je v opačném směru, v průsečíku jejich prodloužení pak vzniká zdánlivý obraz. Pro výpočty opět používáme následující znaménkovou konvenci: 1. ohnisková vzdálenost u spojné čočky je , u rozptylky 2. předmětová vzdálenost jekladná před čočkou (v předmětovém prostoru), záporná za čočkou, obrazová je kladná za čočkou (v obrazovém prostoru), záporná před čočkou. 3. předmět předpokládáme vzpřímený a jeho velikost bereme jako kladnou, velikost obrazu je kladná, je-li také vzpřímený, a záporná, je-li převrácený, 189
4. zvětšení je tedy kladné, je-li obraz vzpřímený (je současně zdánlivý), záporné, je-li převrácený (a reálný). Při dodržení znaménkové konvence opět platí Gaussova zobrazovací rovnice. Optická mohutnost čočky
⁄ (včetně znaménka, používá se např. v oční optice).
Optické soustavy Optické soustavy jsou tvořeny několika optickými prvky. Nejběžněji používanými jsou oko a lupa, případně čočky brýlí, objektiv fotoaparátu či kamery, mikroskop, dalekohled. Oko má čočku proměnné optické mohutnosti (pro zdravé oko od cca 60 dioptrií pro volné po cca 70 dioptrií pro maximálně akomodované oko). Při určování zvětšení přístrojů se porovnávají zorné úhly nezvětšeného objektu a jeho obrazu po zobrazení danou soustavou. U blízkých předmětů se předpokládá jejich poloha pro porovnání v tzv. zrakové konvenční vzdálenosti od oka. Úhlové zvětšení lupy, dalekohledu či mikroskopu γ definujeme pomocí zvětšení zorného úhlu α na úhel α´, tj.
Obr. 5.2-5 Při pozorování lupou je předmět mezi ohniskem a hlavní rovinou spojné čočky, nebo přímo v ohnisku, vzniká tak zdánlivý zvětšený a přímý obraz (jako na obrázku 5.2-5), který následně oko promítá na sítnici.
190
Obr. 5.2-6 Za všechny typy dalekohledů uveďme alespoň typ Keplerův, který byl základní součástí prvních teodolitů a v upravené formě se zde používá dodnes. Sestává ze dvou spojných čoček, přičemž obrazové ohnisko první čočky splývá s předmětovým ohniskem druhé čočky (Keplerův dalekohled při zobrazení velmi vzdáleného předmětu, např. hvězd, je na obrázku 5.2-6). Obraz je při pozorování Keplerovým dalekohledem převrácený. Mikroskop sestává také ze dvou spojných čoček, přičemž obraz předmětu za objektivem vzniká v ohnisku okuláru (případně mezi okulárem a jeho předmětovým ohniskem, ovšem velmi blízko k ohnisku). Okulárem jej pak pozorujeme jako lupou. Optický interval je vzdálenost mezi obrazovým ohniskem objektivu a předmětovým ohniskem okuláru (viz obrázek 5.2-7).
Obr. 5.2-7 PŘÍKLADY: 5.2-1. Jaký úhel spolu budou svírat fialový a červený paprsek z okrajů viditelného spektra po průchodu prvkem tvaru poloviny válce (jako na obrázku 5.2-2), dopadá-li na něj svazek ze vzduchu pod úhlem a materiál je tvořen vysoce disperzním sklem 191
SF5, případně nízko disperzním fluoridem kalcia? Pro SF5 je index lomu při 380 nm: a pro 780 nm: Pro CaF2 je index lomu při 380 nm: a pro 780 nm: Řešení: Index lomu vzduchu je přibližně roven jedné, index lomu optického prvku označme Snellova zákona lomu bude úhel lomu (
Podle
)
Po dosazení pro SF5 dostaneme: (
)
(
)
(
)
(
)
takže rozdíl mezi nimi je
takže rozdíl mezi nimi je
neboli 57,9´, obdobně pro CaF2 dostaneme (
)
(
)
(
)
(
)
neboli 16,8´.
5.2-2. Jak velký obraz vznikne a kde při zobrazení předmětu spojnou čočkou o ohniskové vzdálenosti , je-li předmět umístěn ve vzdálenosti 16 cm před čočkou a měří 0,5 cm? Řešte početně i graficky.
Řešení:
Obr. 5.2-8
Podle zadání je , . Můžeme ponechat tyto jednotky. Grafické řešení je na obrázku 5.2-8. Obraz jsme sestrojili pomocí význačných paprsků. Podle Gaussovy zobrazovací rovnice
Po dosazení (v cm) 192
Zvětšení
Vzniká reálný, převrácený a zvětšený obraz. 5.2-3. Určete zvětšení při zobrazení lupou, je-li její optická mohutnost předmět je umístěn 4 cm před lupou a oko je těsně za lupou. Kde vznikne zdánlivý obraz? Jaké by bylo zvětšení, pokud by předmět byl umístěn přímo v ohnisku? Řešení: ⁄ Ohnisková vzdálenost lupy je . Předmětová vzdálenost Jedná se tedy o podobné uspořádání jako na obrázku 5.2-5, kdy předmět leží mezi spojnou čočkou a jejím ohniskem. Ze zobrazovací rovnice vyjádříme opět
a velikost obrazu
Tento obraz je pozorován ve vzdálenosti takže úhlové zvětšení ve srovnání s pozorováním nezvětšeného předmětu ve zrakové konvenční vzdálenosti bude | |
| | Při umístění předmětu přímo do ohniska bude
(obraz vznikne v nekonečnu) a zvětšení
5.2-4. Určete zvětšení jednoduchého Keplerova dalekohledu při pozorování velmi vzdáleného předmětu, je-li ohnisková vzdálenost objektivu a okuláru . Jaká je jeho minimální celková délka? Řešení: Z obrázku 5.2-6 je zřejmé, že zvětšení Keplerova dalekohledu je za těchto podmínek
Po dosazení (protože se jedná o poměr stejných jednotek, lze ponechat cm): 193
Celková délka aktivní části dalekohledu bude (opět podle obrázku 5.2-6)
Poznámka: Toto zvětšení je obvyklé i u teodolitů, které však bývají doplněny ještě dalšími prvky (např. hranolem), aby při pozorování byl obraz přirozeně vzpřímený. Také mají možnost zaostřování, takže jimi lze pozorovat i objekty vzdálené už od jednotek metrů, nikoli pouze v nekonečnu. 5.2-5. Určete zvětšení mikroskopu, jehož optický interval je , ohnisková vzdálenost objektivu a okuláru . Jak daleko před objektivem musí být umístěn pozorovaný předmět, aby se zobrazil do předmětového ohniska okuláru (zdánlivý obraz po zobrazení okulárem pak vzniká v nekonečnu)? Řešení: Má-li se obraz po průchodu objektivem vytvořit v ohnisku okuláru, musí podle obrázku 5.2-7 platit: . Z Gaussovy zobrazovací rovnice ( ) Po dosazení (
)
(
)
Předmět musí být umístěn 1,06 cm před objektivem. Úhlové zvětšení mikroskopu vyjádříme podobně jako u lupy (příklad 5.2-3)
kde jsme za )
dosadili výsledek z předchozí části. Po dosazení numerických hodnot (
Mikroskop zvětší obraz 100× a bude převrácený. 5.2-6. Blízký bod oka je nejmenší vzdálenost, na jakou ještě oko dokáže zaostřit obraz na sítnici. U zdravého oka v mládí je cca 10 cm, s věkem se od oka vzdaluje. Pokud se zvětší nad zrakovou konvenční vzdálenost, pořizují si lidé brýle „na čtení“. Jaké brýle (kolik dioptrií) je třeba předepsat dalekozrakému člověku, jehož blízký bod je ve vzdálenosti od oka, aby mohl zaostřit text ve zrakové konvenční vzdálenosti? Jaké brýle je třeba předepsat krátkozrakému člověku, který není schopen 194
volným okem zaostřit na nekonečno (normální tzv. vzdálený bod), ale pouze na vzdálenost 2,5 m? Řešení: Dalekozraký člověk potřebuje spojku, která vytvoří k předmětu vzdálenému před okem zdánlivý (vzpřímený) obraz ve vzdálenosti před okem (předpokládáme brýle v zanedbatelné vzdálenosti od oka). Z Gaussovy zobrazovací rovnice dostaneme
Bude tedy potřebovat spojky s optickou mohutností 2 dioptrie. Krátkozraký člověk potřebuje brýle, které promítnou obraz z nekonečna do vzdálenosti, na kterou je schopen zaostřit (musí být opět vzpřímený a tedy zdánlivý), tj. , .
Bude potřebovat rozptylky s optickou mohutností -4 dioptrie. 5.2-7*. Je možno zobrazením samotnou rozptylkou získat reálný obraz předmětu? Je možno získat reálný obraz soustavou rozptylky a spojky, umístěné těsně za ní? Za jakých podmínek? Řešení: Označme předmětovou a obrazovou vzdálenost pro rozptylku , její ohniskovou vzdálenost předmětovou a obrazovou vzdálenost pro případnou spojku , její ohniskovou vzdálenost Jak již jsme si z Gaussovy rovnice
odvodili, platí pro obrazovou a předmětovou vzdálenost vztah
kde , protože předmět předpokládáme v předmětovém prostoru a ohnisková vzdálenost rozptylky je záporná. Je-li je obraz zdánlivý. To ale bude vždy, protože čitatel zlomku je vždy záporný a jmenovatel kladný. Obraz získaný samotnou rozptylkou je tedy vždy zdánlivý (nelze zachytit na stínítku). Tento zdánlivý obraz ale může sloužit jako předmět zobrazovaný spojkou (tou může být i čočka našeho oka). Bude-li spojka těsně za rozptylkou, bude . Pro spojku vzniká reálný obraz, je-li , přičemž
Dosazením
a využitím první rovnice dostaneme postupně
195
dostáváme tedy zobrazovací rovnici pro soustavu rozptylky a spojky, kde platí, že
tj. jejich optické mohutnosti se sčítají. Reálný obraz předmětu lze získat, chová-li se soustava jako spojka, tj. neboli| | . Předmět navíc musí být umístěn ve vzdálenosti před soustavou, neboť pak je výraz
kladný. Poznámka: Podobný výsledek bychom dostali i pro dvojici spojek či složitější systém. Uvažujeme-li tenké čočky velmi blízko za sebou (vzhledem k jejich ohniskovým vzdálenostem), jejich optické mohutnosti se sčítají. Např. okuláry moderních mikroskopů jsou obvykle tvořeny více než jednou čočkou. 5.2-7. Jaká je hloubka rybníka, jeví-li se svislá tyč zapíchnutá do jeho dna a sahající až k jeho hladině při pozorování pod úhlem 45° dlouhá 1,4 metru (viz obrázek 5.2-9)? Index lomu vody je [ ]
Obr. 5.2-9
Obr. 5.2-10 196
5.2-8. Jaká plocha je průhledná pro potápěče, který se dívá nad sebe z hloubky skrz zcela klidnou hladinu jezera (viz obrázek 5.2-10)? Index lomu vody je ⁄( ) [ (ale vidí celý poloprostor nad hladinou)] 5.2-9. Mimořádný lesk diamantu je způsoben jednak vhodným tvarem výbrusu (viz obrázek 5.2-11), ale také jeho vysokým indexem lomu , díky němuž dochází na spodní straně vybroušeného diamantu k totálnímu odrazu pro mnohem širší interval úhlů dopadajícího světla než u stejně řezaného obyčejného skla. Ukažte, že pro paprsek dopadající kolmo na tabuli diamantu nastává při vrcholovém úhlu pavilionu (tzv. ideální výbrus) k totálnímu odrazu na obou spodních ploškách jak pro diamant, tak pro křemenné sklo. Index lomu křemenného skla je . Porovnejte rozsah úhlů dopadu na rovinné rozhraní sklo – vzduch a diamant – vzduch, pro něž nastává na tomto rozhraní totální odraz. [
57°45´, mezní úhel
]
Obr. 5.2-11
Obr. 5.2-12 5.2-10. Totální odraz se využívá také v optických vláknech. Pod jakým úhlem může vstoupit paprsek do vícevidového optického vlákna, tvořeného jádrem o indexu lomu
197
a pláštěm o indexu lomu obrázek 5.2-12)? [
, aby se uvnitř odrážel totálním odrazem (viz
]
5.2-11. Jak vysoké musí být rovinné zrcadlo, aby se v něm člověk výšky 190 cm mohl vidět najednou celý? [95 cm] 5.2-12. Jaké je zvětšení obličeje ve vydutém kosmetickém zrcadle při pozorování ze vzdálenosti 15 cm, mění-li se ve vzdálenosti 0,5 m pozorovaný obraz z přímého na převrácený? [
]
5.2-13. Na silnicích se v nepřehledných zatáčkách používají vypuklá zrcadla (nyní již obvykle spíše parabolická). Jak se zobrazí kulovým zrcadlem automobil ve vzdálenosti 30 m před zrcadlem, je-li poloměr křivosti plochy zrcadla 2 metry? [vznikne zdánlivý, vzpřímený, cca 31× zmenšený obraz 0,96 m za zrcadlem] 5.2-14. Jaká musí být optická mohutnost oka, má-li obraz vzniknout na sítnici 1,8 cm za čočkou a pozorovaný předmět je před okem ve vzdálenosti a) 20 cm, b) 2 m, c) 20 m? Jaký obraz vzniká? reálný, převrácený]
[
5.2-15. Jaká čočka zobrazí předmět ze vzdálenosti [spojka, ]
do vzdálenosti
.?
5.2-16. Jaký okulár musíme použít u mikroskopu, jehož optický interval je a ohnisková vzdálenost objektivu , abychom pozorovali předmět převrácený a 50× zvětšený? [spojku, ] 5.2-17. Jaké je zvětšení Keplerova dalekohledu, je-li ohnisková vzdálenost objektivu a okuláru ? [
]
5.3. FOTOMETRIE Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát: V této podkapitole se budeme zabývat pouze energií přenášenou viditelnou částí elektromagnetického záření – světelnou energií, nikoli celkovou zářivou energií. Seznámíte 198
se zde s pojmy, s jakými se setkáváte např. na obalech různých světelných zdrojů (svítivost, světelný tok, účinnost), případně v normách pro vybavení různých pracovních ploch (intenzita osvětlení). Budete tak schopni porovnat efektivnost různých světelných zdrojů, navrhnout osvětlení pracoviště nebo třeba i domácí kuchyňské linky. Světelný tok je výkon světelného záření přenášený danou plochou (podíl přenesené světelné energie a času :
(jednotkou je lumen; lm, zohledňuje i různou citlivost oka na různé barvy). Svítivost zdroje I je definována jako podíl světelného toku vyzařovaného bodovým zdrojem do určitého prostorového úhlu a tohoto úhlu
(jednotkou je kandela; cd, základní jednotka SI). Prostorový úhel je část prostoru vymezená oblastí směrů z pevného výchozího bodu, numericky je roven ploše, jakou tyto směry vytínají na povrchu koule o poloměru , pro jiný poloměr jej lze vypočítat jako
(jednotkou je steradián; sr). Účinnost světelného zdroje celkového vyzářeného světelného toku a příkonu zdroje P
(jednotkou je lm·W-1; protože
, může být
je definována jako podíl
).
Plošné zdroje světla charakterizujeme veličinou nazvanou jas (jednotkou je nit; nt neboli cd·m-2). Vyjadřuje podíl svítivosti v daném směru a plošky, která se jeví jako její zdroj (skutečná vyzařující plocha je , její normála svírá úhel s daným směrem, viz obrázek 5.31).
Běžné povrchy obvykle vyzařují jako kosinové zářiče: se jejich jas nemění v závislosti na úhlu .
199
(Lambertův zákon). Pak
5.3-1 Osvětlení (intenzita osvětlení) dopadá
je podíl světelného toku a plochy, na kterou tento tok
(jednotkou je lux; lx). PŘÍKLADY: 5.3-1. Bodové LED stropní svítidlo o příkonu vyzařuje tak, že z výšky osvětluje prakticky rovnoměrně pouze kužel o poloměru základny Intenzita osvětlení změřená uprostřed podstavy kužele je Jaká je svítivost a světelná účinnost tohoto zdroje? Řešení: Předpokládáme-li světelný tok úhlem , bude pro něj platit
kde
rovnoměrně rozložený do kužele vymezeného prostorovým
je plocha vrchlíku koule o poloměru
vymezená daným prostorovým úhlem.
Svítivost zdroje uvnitř kužele pak je
Vně kužele dle zadání je svítivost nulová. Pro vyjádření světelné účinnosti zdroje potřebujeme znát jeho celkový světelný tok Nejprve vyjádříme prostorový úhel , do kterého svítidlo vyzařuje. Pro úhel platí
√
√ 200
.
Kužel odpovídá prostorovému úhlu, který lze ve sférických souřadnicích vypočítat prostřednictvím integrálu (viz obrázek 5.3-2) ∫∫
[
∫
]
(
)
Obr. 5.3-2
Obr. 5.3-2 Předpokládáme-li světelný tok rovnoměrně rozložený do celého kužele, bude platit (
)
(
√
)
po dosazení (
√
)
Světelná účinnost zdroje pak je
5.3-2. Významnou roli z hlediska světelného komfortu místnosti hraje i odrazivost povrchů (poměr intenzity odraženého světla k dopadajícímu), zejména stropu a stěn. Pokud do čtverce o ploše 2 m2 na bílou stěnu s odrazivostí 0,7 dopadá světelný tok 400 lm, jaké je osvětlení a jas stěny za předpokladu, že stěna odráží světlo jako kosinový zářič? Řešení: Za předpokladu rovnoměrného rozložení světelného toku uvedenou plochu je její osvětlení : 201
dopadajícího na
Při odrazivosti 0,7 bude celkový odražený světelný tok . Za předpokladu platnosti Lambertova zákona se směrově rozloží do celého poloprostoru tak, že bude platit: Odražený světelný tok tedy bude ⁄
⁄
∫ ∫ Svítivost stěny v kolmém směru pak Jas stěny při pohledu pod úhlem
⁄
∫ ⁄
[
]
⁄
bude (odrážející plocha je totožná s osvětlenou,
)
5.3-3. Jaká je svítivost 60 W žárovky, je-li její světelný tok vyslaný do celého prostoru 720 lm? Jaká je její světelná účinnost? Jakou kompaktní zářivkou ji můžeme nahradit, předpokládáme-li přibližně stejné směrové charakteristiky a světelná účinnost udávaná výrobcem těchto zdrojů je 60 lm·W-1? [
´
]
Obr. 5.3-3
5.3-4. Při pouličním osvětlení se často používají sodíkové výbojky (mají typické nažloutlé světlo), jejichž světelná účinnost dosahuje vysokých hodnot cca 180 lm·W-1 a vyzařují do širokého prostorového úhlu. V současnosti jsou někde nahrazovány LED svítidly, která mají nižší světelnou účinnost kolem cca 80 lm·W-1, ale svítí bíle a jen do mnohem menšího prostorového úhlu. Svítí-li LED svítidlo pouze do kužele o 202
vrcholovém úhlu a sodíková výbojka má (obrázek 5.3-3), porovnejte jejich svítivost v ose kužele při stejném příkonu. Nápověda: pro určení prostorového úhlu můžete použít postup jako v příkladu 5.3-1. ⁄
[
]
5.3-5. Jaký je poměr osvětlení zemského povrchu v Ostravě za jasného dne v hvězdném poledni v den zimního a letního slunovratu, je-li Slunce v nejvyšším bodě v létě nad obzorem a v zimě nad obzorem (viz obrázek 5.3-4)? Mírně větší vzdálenost Země od Slunce v létě a vliv atmosféry zanedbejte. [
⁄
]
Obr. 5.3-4 5.3-6. Do jaké výšky nad stolem je třeba pověsit žárovku o svítivosti 60 cd, aby byl střed stejně osvětlen jako od žárovky se svítivostí 120 cd, visící ve výšce nad stolem? [
]
5.3-7. Jakou minimální svítivost musí mít bodový zdroj, aby jej lidské oko ještě bylo schopno detekovat za tmavé noci na vzdálenost 10 km? Lidské oko registruje nejmenší osvětlení [
]
5.3-8. Svítivost majáku v určitém směru je Jak by jím byla osvětlena loď, stojící kolmo ve směrudopadajících paprsků ve vzdálenosti 2 km? Jaký by byl jas lodi, pokud by difuzně odrážela polovinu dopadajícího světla (jako kosinový zářič, viz příklad 5.32)? [
]
5.4. VLNOVÉ VLASTNOSTI SVĚTLA Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát: Optická dráha je vzdálenost, kterou by světlo urazilo ve vakuu za stejnou dobu, jako urazilo svou dráhu v daném optickém prostředí; jestliže v prostředí o indexu lomu n světlo urazí skutečnou dráhu s, je jeho optická dráha . 203
Interference (skládání) světelného vlnění vzniká za předpokladu jeho časové i prostorové koherence (fázový rozdíl skládaných vln je v uvažovaném bodě prostoru v čase konstantní). To se realizuje rozdělením a následným spojením paprsku z jednoho zdroje. Při interferenci se elektrické a magnetické intenzity skládaných vln sčítají. 1. Je-li rozdíl optických drah , kde je vlnová délka světla a celé číslo, tedy celistvému násobku vlnové délky, sejdou se oba paprsky ve fázi a nastává interferenční maximum (konstruktivní interference, světlý proužek na stínítku). 2.
Je-li rozdíl optických drah
(
)
tj. lichému násobku půlvln, sejdou se
oba paprsky v protifázi a nastává interferenční minimum (destruktivní interference, tmavý proužek na stínítku). V ostatních případech se vlny částečně zeslabují nebo zesilují. Pozor: Při odrazu paprsku na rozhraní s opticky hustším prostředím se jeho fáze mění na opačnou (jako by se optická dráha změnila o ⁄ )! Možností realizace uspořádání pro interferenci světla je mnoho, zde se seznámíme pouze s interferencí na tenké planparalelní a klínové vrstvě, dvojštěrbině a mřížce (zde dochází současně k ohybu světla (difrakci) mimo oblast přístupnou podle geometrické optiky) a jednoduchým interferometrem. PŘÍKLADY: 5.4-1. Na klínovou vrstvu tvořenou sklem o indexu lomu umístěným ve vzduchu dopadá kolmo k povrchu svazek rovnoběžných paprsků o vlnové délce . Jaký úhel svírají stěny klínu, je-li vzdálenost mezi dvěma sousedními světlými (červenými) proužky ?
Obr. 5.4-1 Řešení: Nápověda: Protože hledaný úhel bude velmi malý, lze zanedbat lom paprsků na rozhraních. Interferovat budou paprsek odražený hned na prvním rozhraní s paprskem odraženým až na druhém rozhraní (paprsky vícenásobně odražené mají mnohem menší intenzitu). První paprsek se odráží o prostředí s větším indexem lomu, převrací se tedy fáze, což odpovídá posunu o ⁄
204
Dráha druhého paprsku je delší o dvojnásobnou tloušťku klínu v daném místě (prochází tam a zpět), jeho optická dráha zohledňující index lomu skla je delší o . Odráží se o opticky řidší prostředí, jeho fáze se tedy odrazem nemění. Celkově pro rozdíl optických drah v oblasti n-tého světlého proužku musí platit
Pro
proužek bude (
)
(
)
(
(
)
)
Odečtením obou rovnic dostaneme ( Z obrázku současně plyne, že
(
)
)
, takže (
(
)
)
Odtud vrcholový úhel klínu
(
(
)
)
(Při výpočtu můžeme využít i toho, že pro velmi malé úhly v radiánech.)
̇
vyjádřeno
5.4-2. Jaká je vlnová délka monochromatického světla použitého u Youngova pokusu (obrázek 5.4-2), když na stínítku vzdáleném od štěrbin jsou sousední interferenční maxima od sebe vzdálena o ? Štěrbiny jsou od sebe vzdáleny o a vycházejí z nich koherentní paprsky. Předpokládáme interferenci světla prošlého první a druhou štěrbinou. Rozdíl optických drah je √
(
⁄ )
√
(
⁄ )
Lze jej vyjádřit jako (
⁄ )
(
⁄ )
kde je vzdálenost středu dvojštěrbiny od daného bodu na stínítku a bod vidět při pohledu od dvojštěrbiny. Využili jsme toho, že .
205
̇ úhel, pod nímž je tento
Obr. 5.4-2 Podmínka pro interferenční maximum tedy bude vznikne na stínítku ve vzdálenosti
takže n-té maximum
a vzdálenost sousedních maxim bude
(
)
Odtud (
)
Bylo použito světlo o vlnové délce 600 nm.
5.4-3. Na vrstvu oleje o tloušťce , která je na vodě, dopadá kolmo bílé světlo. Která barva vyhasne a která bude nejsilnějiodražena, je-li rychlost světla v oleji a ve vodě je větší? [
]
206
Obr. 5.4-3 5.4-4. Na mřížku se 100 vrypy na 1 mm dopadá kolmo rovnoběžný svazek koherentního červeného světla o vlnové délce λ = 700 nm. V jaké vzdálenosti od sebe budou první a třetí světlý proužek na stínítku postaveném ve vzdálenosti od mřížky? Nápověda: interferenční maxima vznikají pod stejnými úhly jako u dvojštěrbiny se stejnou vzdáleností štěrbin, jako je vzdálenost sousedních vrypů mřížky. [
]
5.4-5. Mřížky s vysokou hustotou vrypů se používají k rozkladu světla ve spektrometrech. Pod jakými úhly vzniknou první maxima pro jednotlivé čáry rtuťové výbojky o vlnových délkách 436nm (modrá), 546 nm (zelená) a 578nm (žlutý dublet), má-li mřížka 600 vrypů na mm? [
]
5.4-6. Interferometry jsou velmi citlivá měřicí zařízení. Mohou sloužit mimo jiné k měření indexu lomu vzduchu, který se jen velmi málo liší od indexu lomu vakua (1). Předpokládejme, že interferometr na obrázku 5.4-4 je seřízen tak, že obě ramena jsou stejně dlouhá a je-li v obou celách stejné prostředí, po průchodu interferometrem tedy interferují první a druhý paprsek konstruktivně (v praxi se někdy spíše sledují interferenční proužky na malé plošce za interferometrem). Nyní z první cely vyčerpáme vzduch, takže v ní bude vakuum. Pak pomalu vpouštíme vzduch zpět, až se tlak vyrovná s okolím. Na výstupu z interferometru se střídají maxima a minima. Jaký je index lomu vzduchu, jestliže cela je dlouhá a při pozorování ve světle He-Ne laseru o vlnové délce napočítáme při přechodu z vakua k normálnímu tlaku postupně celkem 44 maxim? Nápověda: rozdíl optických drah v trubici s vakuem a vzduchem musí odpovídat uvedenému násobku vlnových délek použitého světla. [
]
207
Obr. 5.4-4
5.5. KVANTOVÉ VLASTNOSTI SVĚTLA Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát: Planckova kvantová hypotéza – byla vyslovena při snaze vysvětlit vlastnosti tepelného záření těles a zní: energie elektromagnetického záření je kvantována, nejmenší kvantum energie , kde je Planckova konstanta a je frekvence. Tato kvanta nazýváme fotony. V kvantové fyzice se energie se často udává v jednotkách elektronvolt (je rovna kinetické energii, jakou získá elektron urychlený napětím jednoho voltu): Uveďme alespoň dva jevy, kde se kvantování světla projevuje. 1. Záření zahřátých těles – pro absolutně černé těleso (těleso, které všechno záření na ně dopadající pohltí a vyzařuje v závislosti pouze na své teplotě jako ideální zářič). Planckova hypotéza vede na Planckův vyzařovací zákon pro spektrální hustotu vyzařování (vztah nemusíte znát zpaměti), viz obrázek 5.5-1:
Zde je Boltzmannova konstanta, je rychlost světla ve vakuu a termodynamická teplota tělesa (v kelvinech). Má dva důležité důsledky: a) Wienův posunovací zákon
je
popisující, jak se posouvá vlnová délka, na níž je vyzařováno maximum energie, s teplotou. Vysvětluje mimo jiné to, proč se barva vysoce zahřátých těles se změnou teploty mění. Toho využívají např. barvové pyrometry pro měření vysokých teplot. b) Stefanův-Boltzmannův zákon pro celkový výkon (i mimo viditelnou oblast) vyzařovaný jednotkovou plochou povrchu tělesa (na obrázku odpovídá ploše pod křivkou) je Stefanova – Boltzmannova konstanta. Umožňuje například vypočítat teplotu Slunce nebo měřit teplotu těles infračerveným teploměrem či jasovým pyrometrem.
208
Reálná tělesa nejsou absolutně černá podle výše uvedené definice, část dopadajícího záření odrážejí, a to spektrálně selektivně, to vnímáme jako jejich různé barvy při běžných teplotách. Jsou-li zahřáta, vyzařují zase méně energie, než by odpovídalo Planckovu vyzařovacímu zákonu, , kde spektrální emisivita Je-li spektrální emisivita stejná pro všechny frekvence, mluvíme prostě o emisivitě a těleso označujeme za šedé (většinou lze tuto aproximaci přijmout pouze v určité oblasti). 2. Fotoelektrický jev – dopadá-li světlo (resp. obecněji elektromagnetické záření) na kovový nebo polovodičový vzorek, může být pohlceno elektrony. Při vnitřním fotoelektrickém jevu elektrony uvnitř polovodiče přecházejí z valenčního do vodivostního pásu, čímž vzroste vodivost materiálu - tento princip využívají fotodiody a solární články; pro jeho detailnější pochopení je však třeba určitý základ z oblasti pevných látek, který přesahuje rámec tohoto učebního textu. Další možností je vnější fotoelektrický jev, pozorovaný zejména u kovů, záření zde uvolňuje elektrony ze vzorku do okolí. Elektrony pro opuštění kovu potřebují překonat určitou potenciálovou bariéru, potřebnou energii označujeme jako výstupní práci . Pro každý kov existuje mezní frekvence záření (pro každý kov), při níž ještě dochází k uvolňování elektronů (pro nižší frekvence jev nenastává). Hustota fotoelektrického proudu je pak úměrná osvětlení a kinetická energie uvolněných elektronů (fotoelektronů) roste lineárně s frekvencí světla. Jev lze vysvětlit jako interakci elektronu s jediným fotonem (a je proto potvrzením Planckovy kvantové hypotézy), zákon zachování energie při fotoefektu popisuje tzv. Einsteinův vztah:
Obr. 5.5-2 PŘÍKLADY: 5.5-1. Platnosti Planckova vyzařovacího zákona využívají i v současnosti čím dál oblíbenější bezdotykové infračervené teploměry. Ty nejběžnější snímají celkovou intenzitu vyzařování v infračervené oblasti v rozpětí typicky cca Nalezněte hodnoty maxima vyzařování černého tělesa pro obvykle měřené teploty cca od -50°C do +250°C. Dále ukažte, že při je pro všechny vlnové délky spektrální hustota vyzařování , tj. křivky na obrázku 5.5-1 se mimo hodnot a neprotínají a uvedený princip měření je tedy skutečně možný. Řešení: Vyjdeme z Wienova posunovacího zákona, kde jen pro lepší názornost převedeme jednotky: 209
po dosazení
Pro obě hodnoty leží maximum vyzařování buď přímo ve snímaném intervalu, nebo blízko něj, pro vyšší teplotu by byl vhodnější interval kratších vlnových délek. Pro odpověď na druhou otázku použijeme přímo Planckův vyzařovací zákon a vyjádříme podmínku pro případný průsečík křivek Dostaneme
odkud je okamžitě zřejmé, že rovnost pro různé teploty nastat nemůže (mimo 0 a skutečně bude vždy .
) a
5.5-2. Na 1 m2 zemského povrchu dopadá 1360 J tepelné energie za 1 s. Jakou povrchovou teplotu má Slunce, pokud pohltivost zemské atmosféry zanedbáme? Poloměr Slunce je
Obr. 5.5-3 , vzdálenost Země od Slunce Řešení: Slunce vyzařuje do celého prostoru podle Stefanova-Boltzmannova zákona výkon
Země leží na myšlené kulové ploše se středem ve Slunci a poloměrem , na níž je tento výkon rovnoměrně rozložen. Povrch této koule je Na 1 m2zemského povrchu tedy dopadá za 1 s energie
210
a povrchová teplota Slunce tedy bude √
(
√
) (
Teplota povrchu Slunce je nejméně v atmosféře).
̇
)
(vzhledem k tomu, že část záření se rozptýlí
5.5-3. Výstupní práci elektronů z kovu a Planckovu konstantu lze měřit tak, že fotonku zapojíme sériově s citlivým ampérmetrem a zdrojem brzdného napětí, působícího proti vylétajícím fotoelektronům. Teče-li při nulovém brzdném napětí obvodem po osvětlení katody fotonky proud, postupným zvyšováním brzdného napětí proud klesá, až zcela ustane. Fotonkou s cesiovou katodou jsme osvětlili téměř monochromatickým zářením o vlnových délkách a (modré a zelené laserové ukazovátko) a zjistili, že proud fotonkou ustane v prvním případě při brzdném napětí , ve druhém pro . Na základě těchto výsledků vypočtěte Planckovu konstantu a vyjádřete výstupní práci pro cesium v elektronvoltech. Řešení: Pro oba světelné zdroje musí platit Einsteinova rovnice fotoefektu, kde navíc uvážíme, že proud ustane pro brzdné napětí, pro něž už fotoelektrony nejsou schopny překonat brzdný potenciál, tj. kde je náboj elektronu. Dále využijeme vztah mezi rychlostí světla, jeho vlnovou délkou a frekvencí Bude
Odečtením obou rovnic vyloučíme zatím neznámou výstupní práci (
)
(
)
( (
a po úpravě dostaneme
) )
Výstupní práci vyjádříme třeba z prvního vztahu (
)
Planckovu konstantu jsme určili .
a výstupní práci Cs fotonky
5.5-4. Oko je velmi citlivý detektor světla - udává se, že je schopno za optimálních podmínek detekovat i dopadající světelný výkon cca přičemž až na sítnici projde jen asi 10% dopadajících fotonů. Kolik fotonů o vlnové délce 500 nm by muselo dopadnout do oka a kolik na sítnici, aby oko registrovalo záblesk trvající 100 ms? [asi 100 fotonů do oka a 10 na sítnici] 211
5.5-5. Kolik energie by v mezihvězdném prostoru ztratil za půl hodiny člověk o povrchové teplotě 35°C, pokud by nebyl dostatečně tepelně izolován skafandrem? Povrch lidského těla je asi 2 m2, záření z okolí neuvažujte. [
]
5.5-6. Bezpečnostní čidla (tzv. čidla pohybu) obvykle nedetekují samotný pohyb, ale spíše změny teploty prozrazující výskyt osob ve střežené oblasti. Na jakou vlnovou délku by mělo být nejcitlivější teplotní bezpečnostní čidlo, předpokládáme-li povrchovou teplotu lidského těla 35 °C? [
]
5.5-7. Jaká je teplota povrchu Slunce, považujeme-li je za absolutně černé těleso a jeho maximum monochromatického vyzařování připadá na vlnovou délku ? [
]
5.5-8. Jaký je příkon elektrického proudu procházejícího wolframovým vláknem klasické žárovky průměru a délky , září-li jako absolutně černé těleso na teplotě ? Ztráty tepelnou vodivostí zanedbejte. [
]
5.5-9. Jaká je největší kinetická energie a rychlost fotoelektronů emitovaných z povrchu stříbrného vzorku ozářeného monochromatickým UV zářením o vlnové délce ? Červená hrana fotoefektu pro tento prvek je nm. [
]
5.5-10. Osamocená niklová koule je osvětlována monochromatickým zářením o vlnové délce Na jaký největší potenciál vůči nekonečnu se tímto světlem může díky fotoefektu nabít, je-li výstupní práce niklu ? [
]
5.6. STAVBA ATOMU A JEHO JÁDRA Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát: Na úrovni mikrosvěta platí poněkud jiné fyzikální zákony, než na jaké jsme zvyklí ze světa běžných měřítek. Chování objektů zde popisuje kvantová mechanika, která je však mimo rámec tohoto učebního textu. Seznámíme se zde tedy pouze s několika nejdůležitějšími skutečnostmi, které mají přímé makroskopické důsledky.
212
Atomy jsou tvořeny jádrem, ve kterém se nacházejí protony a neutrony, a elektronovým obalem. Elektrony nacházející se ve stacionárních stavech v atomu splňují tzv. Bohrovy postuláty 1. Elektrony ve stacionárních stavech v atomu se mohou nacházet pouze na určitých energetických hladinách, v těchto stavech nevyzařují energii. Pro vodík je nejnižší energetická ⁄ , kde hladina a pro další hladiny platí je tzv. hlavní kvantové číslo. 2. Elektrony vyzařují energii pouze při přechodu mezi dvěma stacionárními hladinami, pak platí, že energie vyzářeného fotonu je rovna rozdílu energií těchto hladin . 3. Ve stacionárních stavech mají elektrony současně kvantovaný i moment hybnosti, ten ( ). je určen vedlejším kvantovým číslem Z kvantové teorie dále vyplývá i kvantování průmětu momentu hybnosti do význačného směru, odpovídající magnetické kvantové číslo je , a existence vnitřního magnetického momentu elektronu, charakterizovaného spinem
. Pro atomy s více
elektrony (a systémy s více elektrony obecně) je zásadní Pauliho vylučovací princip, který říká, že v jednom atomu nemohou mít dva elektrony shodná všechna kvantová čísla – důsledkem je postupné obsazování hladin podle energetické výhodnosti a velmi rozdílné chování atomů různých prvků podle toho, jak jsou zaplněny jednotlivé elektronové slupky a podslupky. Jádro atomu je tvořeno nukleony – protony a neutrony. Prvek je určen počtem protonů v jádře (a protože atom je za normálních podmínek elektricky neutrální, i elektronů v obalu), počty neutronů se mohou mírně lišit – prvek má různé izotopy kde je celkový počet nukleonů v jádře (nukleonové číslo). Nukleony v jádře jsou vázány dohromady tzv. vazebnou energií jádra . Ta udává, jakou práci je třeba vykonat, aby jádro bylo rozloženo na jednotlivé nukleony. Protože platí Einsteinův vztah mezi hmotností a energií odpovídá vazebné energii tzv. hmotnostní schodek jádra – ten představuje rozdíl mezi celkovou hmotností jednotlivých nukleonů a skutečnou (experimentálně zjištěnou) hmotností jádra , které je z nich složeno: [(
(
)
)
]
Kde je hmotnost protonu a hmotnost neutronu. Vazebná energie připadající na jeden nukleon se u různých jader liší, největší je u železa – proto lze získávat energii slučováním jader lehkých prvků (jaderná syntéza) nebo štěpením jader prvků těžkých. Některé izotopy jsou přirozeně nestabilní a rozpadají se na izotop jiného prvku, to označujeme jako přirozenou radioaktivitu. Při rozpadu se mohou uvolňovat další částice: 1. 2. 3.
záření - jádra záření - elektrony nebo pozitrony záření - elektromagnetické záření (fotony). 213
U jaderných reakcí platí zákon zachování energie, zákon zachování protonového a nukleonového čísla: ∑ a ∑ Jaderné přeměny nazýváme podle uvolňovaných částic rozpad a rozpad, přičemž záření oba rozpady provází (jako důsledek zákona zachování energie). Při přirozené radioaktivitě je relativní počet rozpadlých radioizotopů za časovou jednotku stálý (jádra nemají „paměť“). Odtud plyne zákon radioaktivní přeměny
kde je počet dosud nerozpadlých jader v čase je počet jader v čase a je rozpadová konstanta. Přirozené radionuklidy charakterizuje poločas přeměny (rozpadu) , je to doba, za kterou se rozpadne právě polovina původního počtu jader. Lze snadno ukázat, že platí . Při průchodu látkovým prostředím je radioaktivní záření pohlcováno, platí
kde je tzv. součinitel zeslabení pro dané záření (záleží i energii částic) a materiál, je tloušťka materiálu, je intenzita dopadajícího záření a je intenzita prošlého záření. Pro různé typy záření lze materiál charakterizovat různou polovrstvou , což je tloušťka materiálu, která intenzitu redukuje na polovinu. Lze ukázat, že platí . Z hlediska ochrany před radioaktivním zářením je důležitá také aktivita radioaktivního zářiče která udává počet rozpadů za časovou jednotku (jednotkou aktivity je becquerel, Bq, který odpovídá jedné přeměně za 1s)
Kromě přirozené radioaktivity existují i jaderné reakce vyvolané uměle, ty se neřídí výše uvedeným rozpadovým zákonem, ale zákony zachování zůstávají v platnosti. PŘÍKLADY: 5.6-1. Určete vlnové délky spektrálních čar vodíku spadajících do viditelného spektra. Řešení: Energie základního stavu atomu vodíku je ⁄ , viz obrázek 5.6-1.
, pro další hladiny platí
Energie fotonů viditelného světla 390–760 nm vypočteme podle Planckova vztahu
214
Energie fotonů viditelného
analogicky dostaneme světla tedy leží v intervalu 〈
〉
Obr. 5.6-1 Nyní se podíváme, mezi jakými hladinami musí přeskočit elektron, aby uvolněná energie padla do tohoto intervalu. Při přeskoku na první hladinu je rozdíl energií nejméně (
)
tato energie odpovídá ultrafialovému záření. Obdobně můžeme vyloučit emisi fotonu viditelného světla při přeskoku na třetí či vyšší hladinu, ty odpovídají infračervené oblasti. Při přeskoku na druhou hladinu ( ) se trefíme do viditelné oblasti pro , další čáry jsou již na hranici UV oblasti. Platí (
)
[
(
)]
Po dosazení [
(
analogicky další čáry
)]
,
.
5.6-2. Pomocí Pauliho vylučovacího principu určete, jaké je nejvyšší atomové číslo prvku, jehož elektrony v základním stavu obsadí pouze hladiny s Řešení: ( ) a k němu přísluší vedlejší kvantové číslo . V každém takto určeném stavu jsou navíc dvě
K hlavnímu kvantovému číslu magnetické kvantové číslo možné orientace spinu
. 215
1. Pro musí být (v chemii se tato podslupka označuje jako 1s) a , na této hladině tedy mohou být pouze 2 elektrony s opačným spinem. 2. Pro může být (podslupka 2s) nebo (podslupka 2p). V podslupce 2s je opět , mohou tu být opět pouze 2 elektrony s opačným spinem. V podslupce 2p může být , celkem zde může být (s uvážením spinu) elektronů. Na první hladině mohou být 2 elektrony, na druhé nejvýše 2+6 elektronů, obě tyto slupky bude mít zaplněny atom s protonovým číslem 10, tedy neon. Poznámka: Dá se obecně ukázat, že na n-té hladině může být celkem
elektronů.
5.6-3. Jaká část atomů thoria se rozpadne za 1 sekundu, je-li poločas rozpadu tohoto prvku τ ? Řešení: Hledáme poměr
v čase
. Vyjdeme ze zákona radioaktivní přeměny
odkud pro poločas rozpadu plyne
po dosazení v obecném čase
hodnota v exponentu je ale tak malá, že ji běžné kalkulátory neodliší od jedničky. Pomůžeme si tedy rozvinutím v řadu:
odkud v našem případě stačí uvažovat první dva členy. Po dosazení (
)
nebo také můžeme vyjádřit, z kolika atomů se jeden rozpadne:
5.6-4. V jaderných elektrárnách se po aktivaci pomalými neutrony štěpí uran v reakci
216
Určete neznámý izotop Řešení: Musí platit zákon zachování protonového a nukleonového čísla, tedy:
V tabulkách k danému protonovému číslu dohledáme prvek, jedná se o baryum 5.6-5. Jaké množství energie se uvolní při reakci z předchozí úlohy, je-li hmotnost neutronu = 1,674 927 10–27 kg a atomové relativní hmotnosti uvedených izotopů uranu barya a kryptonu ? -27 Atomová hmotnostní konstanta u = 1,660 539 10 kg. Řešení: Energii vypočítáme podle Einsteinova vztahu kde představuje rozdíl ve hmotnostech částic do reakce vstupujících (jeden neutron, uran) a z ní vystupujících (baryum, krypton a tři neutrony) ( [(
po úpravě:
)
]
)
,
.
Po dosazení numerických hodnot dostáváme výsledek 2,78 J = 174 eV. 5.6-6. Určete vlnovou délku spektrálních čar, které se mohou objevit při přechodu atomu vodíku z excitovaného stavu, kdy se elektron nachází na třetí kvantové hladině, do základního stavu. [
,
.]
5.6-7. Pomocí Pauliho vylučovacího principu určete, kolik elektronů v jednom atomu může mít současně hlavní kvantové číslo . [
]
5.6-8. V archeologii se k určování stáří organických materiálů používá detekce rozpadů radioaktivního uhlíku . Ten vzniká ve stratosféře z dusíku vlivem kosmického záření a je součástí potravního řetězce všech živých organismů. Po dobu jejich života je jeho hladina v organismu stálá, po smrti už pouze klesá v důsledku přirozeného radioaktivního rozpadu podle vztahu: Poločas tohoto rozpadu je 5730 let. O kolik procent je nižší aktivita stejně velkého vzorku stromu, který odumřel před 2 tisíci lety, ve srovnání se stromem poraženým dnes? [o 21,5%] 217
5.6-9. Po havárii jaderné elektrárny v Černobylu v roce 1986 bylo radioaktivní zamoření detekováno i na našem území. Ze zdravotního hlediska byl rizikový zejména výskyt jódu s poločasem rozpadu 8 dní, cesia s poločasem rozpadu 2 roky, cesia s poločasem rozpadu 30,2 let a stroncia které se ukládá v kostech a má poločas rozpadu 28,8 let. Porovnejte, kolikrát pokleslo zamoření těmito izotopy v důsledku jejich radioaktivního rozpadu za 25 let od havárie. [jod už je (vzhledem k výchozímu počtu jader) dávno zcela rozložen, 1,77×, 1,83×] 5.6-10. Jaký izotop vznikne z [
5793×,
po dvou rozpadech β a jednom rozpadu α?
]
5.6-11. Konečným produktem radioaktivního rozpadu při rozpadu uvolní?
je
Kolik α a β částic se
[6α, 4β] 5.6-12. Aktivita radioaktivního vzorku klesla za hodinu z Jaký je poločas rozpadu materiálu? [
na
]
5.6-13. Hmotnost deuteria
je hmotnost tritia je . Jedním z perspektivních zdrojů energie je jaderná fúze těchto izotopů vodíku, daná vztahem: Je i součástí jaderného řetězce probíhajícího ve Slunci. Kolik energie se jednou takovou reakcí uvolní? –27 kg, –27 kg. Hmotnost neutronu = helia =
[17,6 eV] 5.6-14. Porovnejte vazebnou energii na jeden nukleon u železa , jehož atomová relativní hmotnost je 55,93494, a uranu jehož atomová relativní hmotnost je 238,05079. -27 kg, hmotnost protonu A vá í u = 1,660 = –27 kg, hmotnost neutronu –27 = kg [ž
uran
.]
5.6-15. Nejpronikavější ze tří typů radioaktivního záření je záření . Vypočtěte, jaká by musela být tloušťka vrstvy betonu a olověné desky, aby intenzita 1MeV gama záření poklesla je-li polovrstva betonu 45 mm a olova 9 mm. [cca 45 cm betonu nebo 9 cm olova]
218
