4.2. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Sebenarnya pengertian vektor pada bidang diamensi dua sama halnya pengertian vektor dalam ruang dimensi tiga, jika vektor pada bisang mempunyai dua komponen, maka vektor dalam ruang mempunyai tiga komponen. Yaitu ;
u u1 , u2 , u3 u1i u2 j u3k Dimana i, j , k merupakan vektor satuan atau vektor basis pada arah ketiga sumbu, atau i vektor satuan searah sumbu- x , j vektor satuan searah sumbu- y dan
k vektor satuan searah dengan sumbu-
z Panjang vektor
u ditunjukan oleh u yang merupakan rumus jarak
yaitu :
u u12 u 22 u32 secara koordinat dimensi tiga digambarkan seperti Gambar 4.12
Z
u k
j
i Y X Gambar 4.12. Vektor dalam Ruang Diamensi Tiga Jika diketahui dua vektor
u u1 , u2 , u3 dan v v1 , v2 , v3 maka
yang disebut Hasil Kali Titik didefinisikan sebagai berikut :
Geometri dalam Ruang, Vektor
147
u v u1v1 u2 v2 u3v3 u v u v Cos Contoh 4.13 : Tentukan
sudut
ABC
C 5,3,2 dan Gamarkan
jika
A 1,2,3 ,
B 2,4,6
dan
Penyelesaian 4.13 : Jika digamabar sebagai berikut :
A 1,2,3 B 2,4,6
. C 5,3,2
Misalkan vektor
u adalah vektor yang titik asalnya di titik B dan titik
ujungnya di titik A atau vektor BA dan vektor
v adalah vektor yang
titik asalnya di titik B dan titik ujungnya di titik C atau vektor BC , maka vektor u dan v dapat ditentukan sebagai berikut.
.
BA u (1 2), (2 4), (3 (6)) 1,6,9
.
BC v (5 2), (3 4), (2 (6)) 3,7,8
Cos
uv uv
Geometri dalam Ruang, Vektor
148
Cos
(1)
(1)(3) (6)(7) (9)(8) 2
(6) 2 9 2
3
2
(7) 2 8 2
3 42 72
Cos
1 36 81
Cos
111
118 122
Cos
111 10,86311,045
Cos
111 0,925 119,9818
9 49 64
22,310 4.2.1. Sudut dan Kosinus Arah Jika diketahui suatu vektor yaitu vektor u , sudut yang tak nol antara vektor u dengan vektor satuan yang searah dengan sumbu koordinat yaitu i , j dan k disebut sudut-sudut arah vektor u , jika sudutsudut tersebut dilambangkan dengan , dan , jika vektor
u
u u1i u 2 j u3 k , maka sudut-sudut itu dinyatakan sebagai Cos , Cos dan Cos dimana secara rumus dinyatakan
sebagai
diberikan :
Cos
u ui 1 ui u
Cos
u uj 2 u j u
Cos
u uk 3 uk u
Berlaku juga
Cos 2 Cos 2 Cos 2 1 seperti Gambar 4.13
Geometri dalam Ruang, Vektor
149
Z
u k
j
i
Y
X
Gambar 4.13. Sudut-Sudut Arah Vektor
Contoh 4.14 : Diketahui vektor u 2i 3 j 4k tentukan sudut-sudut arah untuk vektor u
Penyelesaian 4.14 : Diketahui vektor u 2i 3 j 4k , maka
u 2 2 32 4 2 4 9 16 29
Cos Cos Cos
2 29 3 29 4 29
Geometri dalam Ruang, Vektor
150
4.2.2. Bidang Dibentuk Oleh Vektor Untuk melukiskan sebuah bidang ada beberapa cara, salah satunya dengan menggunakan bahasa vektor atau dengan menggunakan bantuan vektor, misalkan nol dan
n A, B, C adalah sebuah vektor yang tak
P1 x1 , y1 , z1 adalah titik tetap, jika koordinat Px, y, z yang
memenuhi persamaan
P1 P n 0 adalah sebuah bidang yang melalui
P1 dan tegak lurus n , seperti pada Gambar 4.14 n A, B, C
P1P x x1 , y y1 , z z1
P1 x1 , y1 , z1
Px, y, z Bidang
Gambar 4.14. Bidang Melalui titik P1
karena vektor
n A, B, C
tegak lurus dengan vektor
P1 P atau
P1 P n 0 atau :
x x1 , y y1 , z z1 A, B, C 0
Ax x1 B y y1 Cz z1 0
Sehingga secara umum jika diketahui sebuah vektor yang tegak lurus pada sebuah bidang di titik persamaan bidang dapat ditentukan yaitu :
n A, B, C
P1 x1 , y1 , z1 , maka
Ax x1 B y y1 C z z1 0 Geometri dalam Ruang, Vektor
151
Contoh 4.15 : Tentukan persamaan bidang yang melalui titik lurus dengan vektor
P2,4,3 dan tegak
n 4,3,6
Penyelesaian 4.15 :
P2,4,3 sehingga didapat nilai x1 2 , y1 4 , dan z1 3 serta vektor n 4,3,6 sehingga didapat nilai A 4 , B 3 , dan C 6 , karena rumus untuk menentukan persamaan bidang adalah Ax x1 B y y1 C z z1 0 , maka : Ax x1 B y y1 C z z1 0 4x 2 3 y 4 6z 3 0 4 x 8 3 y 12 6 z 18 0 4 x 3 y 6 z 38 Diketahui titik
Contoh 4.16 : Tentukan persamaan bidang yang melalui titik
P 4,2,3 dan tegak
lurus dengan vektor n 2i 6 j 4k
Penyelesaian 4.16 :
P 4,2,3 sehingga didapat nilai x1 4 , y1 2 , dan z1 3 serta vektor n 2i 6 j 4k sehingga didapat nilai A 2 , B 6 , dan C 4 , karena rumus untuk menentukan persamaan bidang adalah Ax x1 B y y1 C z z1 0 , maka : Ax x1 B y y1 C z z1 0 2x 4 6 y 2 4z 3 0 2 x 8 6 y 12 4 z 12 0 2 x 6 y 4 z 16 Diketahui titik
Geometri dalam Ruang, Vektor
152
4.2.3. Jarak Titik Ke Bidang
Px0 , y0 , z 0 dan sebuah bidang yang mempunyai persamaan Ax By Cz D , maka jika L menyatakan Jika diberikan suatu titik
suatu jarak dari titik tertentu ke suatu bidang, maka dinyatakan dengan rumus :
L
jarak itu
Ax0 By0 Cz0 D A2 B 2 C 2
Pandang sebuah bidang seperti Gambar 4.15
n A, B, C
x0 , y0 , z0
L m
x1 , y1 , z1 Gambar 4.15. Jarak Titik ke Bidang Misalkan titik
x1 , y1 , z1
terletak pada bidang datar, andaikan
m x0 x1 , y0 y1 , z 0 z1 adalah vektor dari titik titik x0 , y 0 , z 0 .
x1 , y1 , z1
ke
n A, B, C adalah vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang diberikan, maka bilangan L adalah proyeksi vektor m pada n , maka diperoleh :
L m cos
L
mn n
Ax0 x1 B y 0 y1 C z 0 z1 A2 B 2 C 2
Geometri dalam Ruang, Vektor
153
L
L
L
Ax 0 Ax1 By 0 By1 Cz 0 Cz1 A2 B 2 C 2 Ax 0 By 0 Cz 0 Ax1 By1 Cz1
A2 B 2 C 2 Ax 0 By 0 Cz 0 D
karena titik
A2 B 2 C 2 bidang, maka Ax1 By1 Cz1 D
x1 , y1 , z1
terletak pada
Contoh 4.17 : Tentukan jarak titik
P 4,2,3 ke bidang 3x 4 y 5z 9
Penyelesaian 4.17 :
A 3 , B 4 , C 5 , dan D 9 , dari titik P 4,2,3 diketahui nilai x1 4 , y1 2 , dan z1 3 , maka jarak titik P 4,2,3 ke bidang 3x 4 y 5z 9 adalah : Ax 0 By 0 Cz 0 D L A2 B 2 C 2 (3)(4) (4)(2) (5)(3) 9 L 3 2 (4) 2 5 2 Dari bidang datar 3x 4 y 5z 9 diketahui nilai
L
L
12 8 15 9 9 16 25 41 50
Geometri dalam Ruang, Vektor
154
4.2.4. Dua Bidang Sejajar Diketahui ada dua buah bidang yang masing-masing mempunyai persamaan A1 x B1 y C1 z D1 dan A2 x B2 y C2 z D2 kedua bidang dikatakan sejajar jika : A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 dan D1 D2 , Catatan : Suatu
Pa, b, c dikatakan terletak pada A1 x B1 y C1 z D1 jika A1 a B1 b C1 c D1 Pa, b, c dikatakan terletak pada Suatu titik A2 x B2 y C2 z D2 jika A2 a B2 b C2 c D2 titik
bidang bidang
Contoh 4.18 :
3x 4 y 2 z 8 , tentukan sebuah bidang yang melalui titik P2,2,2 dan sejajar dengan bidang 3x 4 y 2 z 8 Diketahui
sebuah
bidang
dengan
persamaan
Penyelesaian 4.18 :
3x 4 y 2 z 8 , maka bidang 3x 4 y 2 z 8 bidang adalah
Diketahui bidang dengan persamaan yang
sejajar
dengan
3x 4 y 2 z D2 , karena bidang yang sejajar dengan bidang 3x 4 y 2 z 8 melalui titik P2,2,2 , maka diperoleh nilai D2 yaitu 3x 4 y 2 z D2 32 42 22 D2 6 8 4 D2 D2 10 Sehingga
persamaan
bidang
yang
sejajar
dengan
bidang
3x 4 y 2 z 8 dan melalui titik P2,2,2 adalah 3x 4 y 2 z 10
Geometri dalam Ruang, Vektor
155
Contoh 4.19 : Diketahui dua bidang sejajar yaitu bidang I : bidang II : itu
5x 3 y 4 z 12 , dan
5x 3 y 4 z 4 , berapa jarak kedua bidang yang sejajar
Penyelesaian 4.19 : Jika kita ilustrasikan dengan gambar, sebagai berikut :
Bid I : 5x 3 y 4 z 12
L
Pa, b, c Bid II : 5x 3 y 4 z 4 Untuk menentukan jarak kedua bidang itu atau L , maka kita harus menentukan sebuah titik P a, b, c yang terletak pada bidang II, caranya adalah : 5x 3 y 4 z 4 jika kita beri nilai x 1 dan y 1 , maka diperoleh : 5 1 3 1 4z 4
5 3 4z 4 8 4z 4 4 z 4 z 1 Sehingga diperoleh titik yang terletak pada bidang
5x 3 y 4 z 4
yaitu P 1,1,1 , dan untuk mengetahui jarak kedua bidang kita gunakan jarak sebuah titik ke bidang, dalam hal ini kita tentukan jaraka titik P 1,1,1 ke bidang I yaitu 5x 3 y 4 z 12 dengan
menggunakan rumus :
L
Geometri dalam Ruang, Vektor
Ax 0 By 0 Cz 0 D A2 B 2 C 2 156
L
L
L
L
L
Ax 0 By 0 Cz 0 D A2 B 2 C 2 51 31 41 12
5 2 3 2 4
2
5 3 4 12 25 9 16 8 50 8 50
Sehingga diperoleh jarak bidang I :
5x 3 y 4 z 4 adalah
5x 3 y 4 z 12 ke bidang II :
8 50
4.2.5. Dua Bidang Tegak Lurus Jika diketahui dua bidang yaitu bidang I bidang II A2 x B2 y C2 z lurus seperti Gambar 4.16
A1 x B1 y C1 z D1 dan
D2 , dua bidang tersebut dikatakan tegak
m A2 , B2 , C2
A1 x B1 y C1 z D1
n A1 , B1 , C1
A2 x B2 y C2 z D2 Gambar 4.16 : Bidang Saling Tegak Lurus Geometri dalam Ruang, Vektor
157
n A1 , B1 , C1
Dari Gambar 4.16 dapat diketahui, bahwa vektor adalah vektor yang tegak lurus bidang I sedangkan vektor
m A2 , B2 , C2
A1 x B1 y C1 z D1 ,
adalah vektor yang tegak lurus
A2 x B2 y C2 z D2 , bidang I dikatakan tegak lurus n A1 , B1 , C1 II jika vektor tegak lurus vektor
bidang II bidang
m A2 , B2 , C2 , dua buah vektor m A2 , B2 , C2
dikatakan
tegak
n A1 , B1 , C1 lurus
jika
dan
nm 0
vektor atau
A1 A2 B1 B2 C1C2 0
Contoh 4.20 : Diketahui dua buah bidang yaitu bidang I dengan persamaan 2 x 3 y 2 z 7 dan bidang II dengan persamaan x 2 y 2 z 9 apakah kedua bidang tersebut tegak lurus ?
Penyelesaian 4.20 : Diketahui bidang I 2 x 3 y 2 z 7 maka vektor yang tegak lurus bidang I adalah
n 2,3,2 , bidang II x 2 y 2 z 9 maka vektor
m 1,2,2 , dua bidang tersebut dikatakan saling tegak lurus jika n m 0 , maka : nm 0 A1 A2 B1 B2 C1C2 0 21 3 2 22 0 264 0 00 Karena n m 0 artinya vektor n 2,3,2 saling tegak lurus dengan yang tegak lurus bidang II adalah
m 1,2,2 , akibatnya bidang I 2 x 3 y 2 z 7 tegak lurus bidang II x 2 y 2 z 9 vektor
Geometri dalam Ruang, Vektor
158
Contoh 4.20 : Diketahui dua buah bidang yaitu bidang I dengan persamaan 3x 4 y z 9 dan bidang II dengan persamaan 2 x by 2 z 12 tentukan nilai
b agar kedua bidang itu tegak lurus
Penyelesaian 4.20 : Diketahui bidang I 3x 4 y z 9 maka vektor yang tegak lurus bidang I adalah
n 3,4,1 dan bidang II 2 x by 2 z 12 maka
vektor yang tegak lurus bidang II adalah
m 2, b,2 , agar kedua
bidang itu tegak lurus, maka haruslah kedua vektor
n 3,4,1 dan
m 2, b,2 juga harus tegak lurus, vektor n 3,4,1 tegak lurus
m 2, b,2 jika n m 0 nm 0 A1 A2 B1 B2 C1C2 0 3 2 4b 12 0 6 4b 2 0 4 4b 0 4b 4 b 1 Sehingga agar bidang I 3x 4 y z 9 tegak lurus bidang II 2 x by 2 z 12 , maka nilai b 1 vektor
Geometri dalam Ruang, Vektor
159
4.2.6. Soal-Soal Latihan A.
Untuk tiap pasangan titik sketsa ruas garis berarah dalam bentuk ai bj ck
P dan P2 dibawah ini, berikan
1
P1 P2 dan kemudian tulis vektornya
P1 1,2,3 dan P2 4,5,1 2. P1 1,3,3 dan P2 2,4,1 3. P1 0,2,0 dan P2 1,1,1 4. P1 2,1,3 dan P2 4,0,2 1.
B.
Tentukan sudut antara vektor
m dan vektor n di bawah ini 1. m 4,3,2 dan n 1,2,5 2.
m 2,4,1 dan n 2,2,3
m 1,3,3 dan n 1,2,1 4. m 2i 3 j 5k dan n i j k 3.
C.
Tentukan Persamaan Bidang yang melalui titik P dan tegak lurus vektor n
P1,1,5 dan n 2i 2 j 3k 2. P2,1,3 dan n 3i 2 j k 3. P1,1,1 dan n i 4 j 2k 4. P3,1,5 dan n 2i 3 j 2k 1.
D.
Tentukan Persamaan Bidang yang Melalui titik P dan Sejajar dengan bidang Ax By Cz D
P1,1,1 dan bidang 2 x 4 y 2 z 3 2. P 1,2,3 dan bidang 2 x 4 y z 6 3. P 4,1,2 dan bidang 2 x 3 y 4 z 0 1.
E.
Tentukan Jarak Titik P ke Bidang Ax By Cz D
P1,1,2 dan bidang x 3 y z 7 2. P2,6,3 dan bidang 3x 2 y z 9 1.
F.
Tentukan Jarak Bidang-Bidang Sejajar Berikut 1. 3x 2 y z 9 dan bidang 6 x 4 y 2 z 19 2. 5x 3 y 2 z 5 dan bidang 5x 3 y 2 z 7
Geometri dalam Ruang, Vektor
160
4.3. Hasil Kali Silang (Cross Product) Sudah kita ketahui bahwa hasilkali titik dari dua buah vektor
u u1 , u 2 , u3 dan vektor v v1 , v2 , v3 adalah sebuah scalar yaitu melalui rumus :
u v u1v1 u2 v2 u3v3 Lain halnya dengan hasilkali silang (cross product) yang menghasilkan sebuah vektor, jika diketahui dua buah vektor
v v1 , v2 , v3
u u1 , u 2 , u3
dan
maka yang disebut hasil kali silang dirumuskan
sebagai berikut :
uxv u 2 v3 u 3 v2 , u 3 v1 u1v3 , u1v2 u 2 v1 Untuk memperlancar pembahasan hasilkali silang, kita ingat kembali cara menghitung Determinan, misalnya : 1. Determinan 2x2 Misal diketahui determinan A dengan orde 2x2 yaitu :
A
a b ad bc c d
2. Determinan 3x3 Misalkan diketahui determinan A dengan orde 3x3 yaitu :
a1 A b1 c1
a2 b2 c2
a1 a1 b1 c1
a1
b2 c2
a3 b3 c3
a2 b2 c2
a3 a1 b3 a2 b1 c3 c1
a2 b2 c2
a3 a1 b3 a3 b1 c3 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
b3 b b b b a 2 1 3 a3 1 2 c3 c1 c3 c1 c2
Geometri dalam Ruang, Vektor
161
Sehingga jika kita identikan dimana
u u1 , u 2 , u3 dan
v v1 , v2 , v3 maka : i uxv u1 v1
j u2 v2
k u u3 2 v2 v3
u3 u u3 u u2 i 1 j 1 k v3 v1 v3 v1 v2
u 2 v3 u3 v2 i u1v3 u3 v1 j u1v2 u 2 v1 k u 2 v3 u3 v2 i u3 v1 u1v3 j u1v2 u 2 v1 k
uxv u2v3 u3v2 , u3v1 u1v3 , u1v2 u2v1 Jika kita menukar uxv menjadi vxu maka komponen vektor u menempati baris ke tiga dan komponen vektor v menempati baris ke dua, yaitu :
i vxu v1 u1
j v2 u2
k v v3 2 u2 u3
v3 v v3 v v2 i 1 j 1 k u3 u1 u 3 u1 u 2
v2 u3 v3u 2 i v1u3 v3u1 j v1u 2 v2 u1 k v2 u3 v3u 2 i v3u1 v1u3 j v1u 2 v2 u1 k
vxu v2 u3 v3u 2 , v3u1 v1u3 , v1u 2 v2 u1
Contoh 4.21 : Misalkan
u 1,2,1 dan v 2,4,1 tentukan u v dan v u
Penyelesaian 4.21 :
i j k u v 1 2 1 2 4 1
Geometri dalam Ruang, Vektor
162
2 1 1 1 1 2 i j k 4 1 2 1 2 4
(2)(1) (4)(1)i (1)(1) (2)(1) j (1)(4) (2)(2)k 2 4i 1 2 j 4 4k
u v 2i j 0k
i j k vu 2 4 1 1 2 1
4 1 2 1 2 4 i j k 2 1 1 1 1 2
(4)(1) (2)(1)i (2)(1) (1)(1) j (2)(2) (1)(4)k 4 2i 2 1 j 4 4k
v u 2i j 0k
4.3.1. Tafsiran Geometri u x v Arti dari hasil kali silang juga perlu digambarkan secara geometri untuk memperjelas. Teorema A : Andaikan u dan v vektor-vektor dalam ruang dimensi tiga dan sudut antara mereka, maka : 1.
u uxv 0 v uxv berarti uxv tegak lurus terhadap u
dan v 2. u, v dan uxv membentuk suatu system tangan kanan rangkap tiga 3.
uxv u v sin
Geometri dalam Ruang, Vektor
163
Bukti : Misalkan diketahui dua buah vektor yaitu
v v1 , v2 , v3
u u1 , u 2 , u3
dan
maka sesuai dengan rumus hasilkali silang didapat
uxv u2v3 u3v2 , u3v1 u1v3 , u1v2 u2v1 , sehingga diperoleh : u
uxv
u1 u 2 v3 u3 v2 u 2 u3 v1 u1v3 u3 u1v2 u 2 v1 u1u 2 v3 u1u3 v2 u 2 u3 v1 u 2 u1v3 u3u1v2 u3u 2 v1 u1u2 v3 u2u1v3 u1u3v2 u3u1v2 u2 u3v1 u3u2 v1 u1u 2 v3 u1u 2 v3 u1u3 v2 u1u3 v2 u 2 u3 v1 u 2 u3 v1
u uxv 0 Artinya vektor
uxv tegak lurus terhadap vektor u
Teorema B : Dua vektor u dan v dalam ruang dimensi tiga adalah sejajar jika dan hanya jika u x v = 0 Penerapan dari hasil kali silang kedua vector salah satunya adalah untuk menentukan persamaan bidang yang melalui tiga titik yang tidak segaris. Misalkan diketahui tiga titik yaitu
Aa1 , a2 , a3 , Bb1 , b2 , b3 dan
C c1 , c2 , c3 , dari ketiga titik tersebut dapat diketahui dua buah
vektor
yaitu
vektor
AB b1 a1 , b2 a2 , b3 a3
dan
vektor
AC c1 a1 , c2 a2 , c3 a3 . Aa1 , a2 , a3 dan tegak lurus bidang yang memuat titik Aa1 , a2 , a3 ,
Vektor AB AC pi qj rk adalah vektor yang melalui titik
Bb1 , b2 , b3 dan C c1 , c2 , c3 , maka bidang yang memuat tiga titik Aa1 , a2 , a3 , Bb1 , b2 , b3 dan C c1 , c2 , c3 mempunyai persamaan : px a1 q y a2 r z a3 0
Geometri dalam Ruang, Vektor
164
Contoh 4.22 : Tentukan persamaan bidang yang melalui tiga titik
P2 4,1,2 dan titik P3 2,3,0
P1 1,2,3 , titik
Penyelesaian 4.22 : Misalkan
vector
menentukan vector
u P2 P1 dan
v P2 P3 sehingga
kita
dapat
u dan vector v yaitu :
u P2 P1 1 4, 2 1, 3 (2) 3,3,5
u P2 P1 3i 3 j 5k
v P2 P3 2 4, 3 1), 0 (2) 6,4,2
v P2 P3 6i 4 j 2k Diperoleh :
i j k uxv 3 3 5 6 4 2 3 5 3 5 3 3 i j k 4 2 6 2 6 4 (3)(2) (4)(5)i (3)(2) (6)(5) j (3)(4) (6)(3)k 6 20i 6 30 j 12 18k 14i 24 j 6k
Sehingga bidang yang melalui titik
14i 24 j 6k mempunyai persamaan : Ax x1 B y y1 Cz z1 0 14x 4 24 y 1 6z 2 0 14 x 56 24 y 24 6 z 12 0 14 x 24 y 6 z 56 24 12 0 14 x 24 y 6 z 44 Geometri dalam Ruang, Vektor
P2 4,1,2 dengan normal
165
P1 1,2,3 karena juga terletak pada bidang dengan normal 14i 24 j 6k
Atau dapat juga ditentukan dengan mengambil titik titik P1 mempunyai persamaan :
Ax x1 B y y1 Cz z1 0 14x 1 24 y 2 6z 3 0 14 x 14 24 y 48 6 z 18 0 14 x 24 y 6 z 14 48 18 0 14 x 24 y 6 z 44 Contoh 4.23 :
Perlihatkan bahwa luas jajaran genjang yang dibentuk oleh vector u
dan v sebagai sisi berdampingan adalah
u.x.v
Penyelesaian 4.23 : Jika kita gambarkan secara geometri, maka sebagai berikut :
u
u Sin
v Karena luas jajaran genjang itu adalah Luas alas.x.tinggi dimana
alas. v dan tinggi . u Sin sehingga Luas jajaran genjang itu adalah :
L v u Sin dan karena u.x.v u v Sin , maka terbukti bahwa luas jajaran genjang di atas adalah
Geometri dalam Ruang, Vektor
L u.x.v
166
Contoh 4.24 : Sebuah jajaran genjang yang dibentuk dari dua buah vektor u 3i 2 j k dan vektor v 4i 2 j 3k adalah
Penyelesaian 4.24 : Diketahui vektor u 3i 2 j k dan v 4i 2 j 3k , maka
uv
i j k 1 uv 3 2 4 2 3 2 1 3 1 3 2 i j k 2 3 4 3 4 2 u v 6 2i 9 4 j 6 8k u v 4i 13 j 14k
uv
Luas jajaran genjang adalah
L uv
L 4 2 13 14 2
L 16 169 196
L 381
L uv
2
Geometri dalam Ruang, Vektor
167
4.3.2. Soal-Soal Latihan A.
Dikebrikan u 3i 2 j 2k , v i 4 j 3k dan
w 2i j 4k tentukan : 1. uxv 2. ux(v w) 3. u (vxw) 4. ux(vxw) B.
Tentukan vector satuan yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh tiga titik yaitu : 1. A 1,2,0 , B 5,1,3 dan C 4,0,2 2.
C.
A0,1,5 , B2,2,2 dan C 3,4,1
Tentukan Luas Jajaran Genjang yang dibentuk dari vector A dan B sebagai dua sisi yang berdampingan 1. A 2i j 4k dan B 4i 2 j 5k 2. A 2i 5 j 2k dan B 3i 3 j 6k
D.
Tentukan Luas segitiga yang dibentuk dari tiga titik A, B dan C yaitu : 1. A 3,2,1 , B 2,4,6 dan C 1,2,7 2.
E.
A 1,2,1 , B0,3,0 dan C 4,5,6
Tentukan persamaan bidang yang melalui tiga titik A, B dan C yaitu 1. A 2,5,6 , B 1,1,2 dan C 4,0,6 2.
A 1,2,3 , B4,2,1 dan C 5,1,6
Geometri dalam Ruang, Vektor
168