2. LOGIKA PROPOSISI 2.1. Definisi Logika Proposisi Logika proposisi adalah logika pernyat aan majemuk yang disusun dari pernyataanpernyataan sederhana yang dihubungkan dengan penghubung Boolean (Boolean connectives) Atomic proposition adalah propos ition yang tidak dapat dibagi lagi Kombinasi dari a.p dengan berbagai penghubung membentuk compound proposition (proposition majemuk)
Aplikasi Logika Proposisi Beberapa apl ikasinya dalam ilmu komputer: § Menyatakan kondi si/ syarat pada program § Query untuk basisdata dan § search engine
Definisi Proposisi Sebuah proposisi (p, q, r, …) adalah suatu kalimat (sentence) yang memiliki nilai kebenaran ( truth value) benar (true), dengan notas i T, atau nilai kebenaran salah (false) dengan notas i F tetapi tidak kedua-duanya
Perhatikan !! a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)
6 adalah bilangan genap. x + 3 = 8. Ibukota Provinsi Jawa Barat adal ah Semarang. 12 ≥ 19. Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama. Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir? Kemarin hari hujan. Kehidupan hanya ada di planet Bumi. 1+2 Siapkan kertas ujian sekarang! x + y = y + x untuk seti ap x dan y bilangan riil
2.2. Operator / Penghubung Sebuah operator atau penghubung menggabungkan satu atau lebih ekspresi operand ke dalam ekspresi yang lebih besar. (seperti tanda “+” di ekspresi numerik.) § Operator Uner bekerja pada satu operand (cth, −3); § Operator biner bekerja pada 2 operand (cth 3 ´ 4); § Operator Proposisi atau Boolean bekerja pada proposisi-proposisi atau nilai kebenaran, bukan pada suatu angka
Operator Boolean Umum Nama Resmi
Istilah
Arity
Simbol
Operator Negasi
NOT
Unary
¬
Operator Konjungsi
AND
Binary
Ù
Operator Disjungsi
OR
Binary
Ú
Operator Exclusive-OR
XOR
Binary
Å
Operator Implikasi
IMPLIES Binary (jika-maka) IFF (jikka – Binary jika dan hanya jika)
®
Operator Biimplikasi (Biconditional)
↔
2.2.1. Operator Negasi • Operator negasi uner “¬” (NOT) mengubah suatu proposisi menjadi proposisi lain yang bertolak belakang nilai kebenarannya • Contoh: Jika p = Hari ini hujan maka ¬p = Tidak benar hari ini hujan • Tabel kebenaran untuk NOT: ¬p p T F F T
2.2.2. Operator Konjungsi Operator konjungsi biner “Ù” (AND) menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika konjungs inya Cth: p = Galih naik s epeda q = Ratna naik sepeda pÙq = Galih dan Ratna naik sepeda
ΛND
Tabel Kebenaran Konjungsi p
q
pΛq
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
2.2.3. Operator Disjungsi • Operator biner disjungsi “V” (OR) menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika dis jungsinya Maknanya seperti “dan/atau” dalam bahasa Indonesia
Cth : p = Tommy ingin membeli sepatu q = Tommy ingin membeli baju p V q = Tommy ingin membeli sepatu atau baju
Ú
Tabel Kebenaran Disjungsi p
q
pVq
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
2.2.4.Operator Exclusive Or • Operator biner exclusive-or “Å” (XOR) menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika “exclusive or”-nya • Contoh : p = Saya akan mendapat nilai A di kuliah ini q = Saya akan drop kuliah ini p Å q = Saya akan mendapat nilai A atau saya akan drop kuliah ini (tapi tidak dua-duanya!)
Tabel Kebenaran Exclusive-Or p
q
pÅq
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
Perhatikan bahwa pÅq berarti p benar, atau q benar tapi tidak duadua -duanya benar! benar !
2.2.5. Operator Implikasi • Implikasi p ® q menyatakan bahwa p mengimplikas ikan q. • p disebut antecedent dan q disebut consequent • Jika p benar, maka q benar; tapi jika p tidak benar, maka q bisa benar - bisa tidak benar • Contoh : p = Nilai ujian akhir anda 80 atau lebih q = Anda mendapat nilai A p ® q = “Jika nilai ujian akhir anda 80 atau lebih, maka anda mendapat nilai A”
Implikasi p ® q • • • • • • • •
(a) Jika p, maka q (b) Jika p, q (c) p mengakibat kan q (d) q jika p (e) p hanya jika q (f) p syarat cukup agar q (g) q syarat perlu bagi p (i) q bilamana p
(if p, then q) (if p, q) (p implies q) (q if p) (p only if q) (p is sufficient for q) (q is necessary for p) (q whenever p)
Tabel Kebenaran Implikasi p
q
p®q
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
p ® q salah hanya jika p benar tapi q tidak benar
Converse, Inverse, Contrapositive Beberapa terminologi dalam implikasi p ® q: • Converse-nya adalah: q ® p. • Inverse-nya adalah: ¬p ® ¬q. • Contrapositive-nya adalah: ¬q ® ¬ p. Salah satu dari ketiga terminologi di atas memiliki makna yang sama (memiliki tabel kebenaran yang sama) dengan p ® q. Bisa Anda sebutkan yang mana?
Bagaimana menunj ukkannya? Membuktikan eqivalensi antara p ® q dan contrapositive-nya dengan tabel kebenaran:
p F F T T
q F T F T
Øq T F T F
Øp T T F F
p®q Øq ®Øp T T T T F F T T
2.2.6. Operator Biimplikasi • Operator biimplikasi p « q menyatakan bahwa p benar jika dan hanya jika (ji kka) q benar • Contoh : p = saya selalu menyatakan kebenaran q = ada emas di pulau ini p « q = Jika dan hanya jika saya selalu mengatakan kebenaran maka ada emas di pulau ini
Biimplikasi p ↔ q (a) p jika dan hanya jika q. (p if and only if q) (b) p adalah syarat perlu dan cukup untuk q. (p is necessary and sufficient for q) (c) Jika p maka q, dan sebaliknya. (if p then q, and conversel y) (d) p jikka q (p iff q)
Tabel Kebenaran Biimplikasi p
q
p«q
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
p « q benar jika p dan q memiliki memiliki nilai kebenaran yang sama
Perhatikan !! Nyatakan pernyataan berikut dalam ekspresi logika : “Anda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu jika anda berusi a di bawah 17 tahun kecual i kalau anda sudah meni kah” Misalkan : p : Anda berusia di bawah 17 tahun. q : Anda sudah meni kah. r : Anda dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu. maka pernyataan di atas dapat di tulis sebagai (p Λ ~ q) ® ~ r
2.2.7. Precendence Rules untuk menjaga kebenaran sebuah pernyataan maka setiap operator/ penghubung diberikan aturan yang lebih tinggi V
¬
V
Å
Contoh : ¬p V q ≡ (¬p ) V q p Λ q V r ≡ (p Λ q) V r p ® q V r ≡ p ® (q V r) p ↔ q ® r ≡ p ↔ (q ® r)
®
↔
2.2.8. Left Associate Rules untuk operator/ penghubung yang setara digunakan lef t associate rule dimana operator sebelah kiri punya precedence lebih tinggi
Contoh : p V q V r ≡ (p V q) V r p ® q ® r ≡ (p ® q) ® r
Ringkasan Operator Boolean p
q
¬p
pVq
pΛq
pÅ Åq
T
T
F
T
T
F
T
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
T
F
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
T
p®q p«q
Notasi Alternatif Name:
not and Propositional logic: Ø Ù Boolean algebra: p pq C/C++/Java (wordwise): ! && C/C++/Java (bitwise): ~ & Logic gates:
or Ú + || |
xor implies iff Å ® « Å != If …then == ^
2.3. Tautologi dan Kontradiksi • Tautology adalah proposisi majemuk yang selalu bernilai true tidak peduli apa nilai kebenaran proposisi penyusunnya! Contoh: p Ú Øp • Kontradiksi adalah proposisi majemuk yang selalu bernilai false tidak peduli apapun! Contoh: p Ù Øp
2.4. Ekivalensi Logika Proposisi majemuk p ekivalen dengan proposisi majemuk q, ditulis p Û q, JIKKA proposisi majemuk p«q adalah tautologi. Proposisi majemuk p dan q ekivalen satu sama lain JIKKA p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama pada s emua barisnya di tabel kebenaran
Membuktikan ekivalensi dengan Tabel Kebenaran Contoh. Buktikan pÚq Û Ø(Øp Ù Øq).
p F F T T
q F T F T
pÚq Øp Øq Øp Ù Øq Ø(Øp Ù Øq)
F T T T
T T T F F T F F
T F F F
F T T T
Hukum Ekivalensi - Contoh pÙTÛp pÚFÛp Domination: p Ú T Û T pÙFÛF Idempotent: p Ú p Û p pÙpÛp Commutative: p Ú q Û q Úp pÙqÛqÙp Double negat ion: ØØp Û p
• Identity: • • • •
Hukum Ekivalensi lainnya (p Ú q) Ú r Û p Ú (q Ú r) (p Ù q) Ù r Û p Ù (q Ù r) • Distributif: p Ú (q Ù r) Û (p Ú q) Ù (p Ú r) p Ù (q Ú r) Û (p Ù q) Ú (p Ù r) • De Morgan: Ø(p Ù q) Û Øp Ú Øq Ø(p Ú q) Û Øp Ù Øq • Trivial tautology/contradiction: p Ú Øp Û T p Ù Øp Û F • Associative:
Definisi Operator dengan Ekivalensi Menggunakan ekivalens i, kita dapat mendefinisikan operator dengan operator lainnya • Exclusive or: pÅq Û (p V q) Λ Ø(p Λ q) pÅq Û (p Λ Øq) V (q Λ Øp) • Implikasi: p®q Û Øp V q • Biimplikasi: p«q Û (p®q) Λ (q®p) p«q Û (p Λ q) V (Øp Λ Øq) p«q Û (Øp V q) Λ (p VØq) p«q Û Ø(pÅq)
Membuktikan ekivalensi dengan Symbolic Derivation • Buktikan dengan symbolic derivat ion apakah (p Ù Øq) ® (p Å r) Û Øp Ú q Ú Ør ? (p Ù Øq) ® (p Å r) Û • [Expand definition of ®] Ø(p Ù Øq) Ú (p Å r) • [Defn. of Å] Û Ø(p Ù Øq) Ú ((p Ú r) Ù Ø(p Ù r)) • [DeMorgan’s Law] Û (Øp Ú q) Ú ((p Ú r) Ù Ø(p Ù r)) Û cont.
(Øp Ú q) Ú ((p Ú r) Ù Ø(p Ù r)) Û [Ú commutes] Û (q Ú Øp) Ú ((p Ú r) Ù Ø(p Ù r)) [Ú associative] Û q Ú (Øp Ú ((p Ú r) Ù Ø(p Ù r))) [distrib. Ú over Ù] Û q Ú (((Øp Ú (p Ú r)) Ù (Øp Ú Ø(p Ù r))) [assoc.] Û q Ú (((Øp Ú p) Ú r) Ù (Øp Ú Ø(p Ù r))) [trivial taut.] Û q Ú ((T Ú r) Ù (Øp Ú Ø(p Ù r))) [domination] Û q Ú (T Ù (Øp Ú Ø(p Ù r))) [identity] Û q Ú (Øp Ú Ø(p Ù r)) Û cont.
• • • • • •
q Ú (Øp Ú Ø(p Ù r)) [DeMorgan’s] Û q Ú (Øp Ú (Øp Ú Ør)) [Assoc.] Û q Ú ((Øp Ú Øp) Ú Ør) [Idempotent] Û q Ú (Øp Ú Ør) [Assoc.] Û (q Ú Øp) Ú Ør [Commut.] Û Øp Ú q Ú Ør
2.5. INFERENSI • Misalkan kepada kita diberikan beberapa proposisi. • Kita dapat menari k kesimpulan baru dari deret propos isi tersebut. • Proses penarikan kesimpulan penarikan kesimpulan dari beberapa propos isi disebut inferensi (inference).
2.5.1. Modus Ponen • Kaidah Modus Ponens ditulis dengan cara :
• Modus ponen menyatakan bahwa jika hipotesis p dan dan implikas i p ® q benar, maka konklus i q benar.
2.5.2. Modus Tollen • Kaidah ini didasarkan pada t autologi [~q Λ (p ® q)] ® ~p, • Kaidah ini modus tollens ditulis dengan cara:
2.5.3. Silogisme Hipotetis • Kaidah ini didasarkan pada t autologi [(p ® q) Λ (q ® r)] ® (p ® r). • Kaidah silogisme ditulis dengan cara:
2.5.4. Silogisme Disj ungtif • Kaidah ini didasarkan pada t autologi [(p V q) Λ ~p] ® q . • Kaidah silogisme disjungtif ditulis dengan cara:
Operasi Logika di dalam Komputer • Operasi boolean sering dibutuhkan dalam pemrograman. • Operasi boolean dinyatakan dalam eks presi logika (atau dinamakan juga ekspresi boolean). • Operator boolean yang digunakan adalah AND, OR, XOR, dan NOT. • Ekspresi boolean hanya menghas ilkan salah satu dari dua nilai, true atau false.
• Misalkan : x1, x2, x3, dan x4 adal ah peubah boolean dalam Bahasa Pascal, maka ekspresi boolean di bawah ini adalah valid: x1 and x2 x1 or (not(x2 and x3))
yang bersesuaian dengan eks presi logika x1 Λ x2 x1 V (¬(x2 V x3))
Review : Logika Proposisi • • • • •
Proposisi atomik: p, q, r, … Operator Bool ean: Ø Ù Ú Å ® « Proposisi majemuk: s :º (p Ù Øq) Ú r Ekivalensi: pÙØq Û Ø(p ® q) Membuktikan ekivalensi dengan: – Tabel kebenaran. – Symbolic derivat ions. p Û q Û r …
