Proposition Logic. (Logika Proposisional) Bimo Sunarfri Hantono

Proposition Logic (Logika Proposisional) Bimo Sunarfri Hantono [email protected]

Proposition (pernyataan) Merupakan komponen penyusun logika dasar yang dilambangkan dengan huruf kecil (p, q, r, ...) yang memiliki nilai kebenaran (True atau False). Diwakili oleh kalimat deklaratif. Lawan kalimat deklaratif = Kalimat Terbuka Untuk mengkombinasikan dua atau lebih proposisi diperlukan “connective (penghubung)”.

Syntactics Rule (Aturan Sintaktik) Adalah aturan yang diperlukan untuk mengkombinasikan antara propositions dan propositional connectives untuk menghasilkan sentences (kalimat logika).

Propositions + Propositional Connectives -> Sentences Propositional connective yang digunakan adalah : Not (~), and ( ), or ( ), if – then - (->), If – then - else, dan if and only if (<->)

Interpretasi

Adalah pemberian nilai kebenaran (true atau false) pada setiap symbol proposisi dari suatu kalimat logika.

Semantic Rule (Aturan Semantik) Adalah suatu aturan yang digunakan untuk menentukan “truth value” dari suatu sentence, yaitu : 1. Negation Rule (Aturan NOT) 2. Conjunction Rule (Aturan AND) 3. Disjunction Rule (Aturan OR) 4. Implication Rule (Aturan IF-THEN) 5. Equivalence Rule (Aturan IF -AND ONLY IF -) 6. Conditional Rule (Aturan IF–THEN-ELSE)

Semantic Rule (Aturan Semantik) Negation Rule (Aturan NOT) p

not p

true

false

false

true

Semantic Rule (Aturan Semantik) Conjunction Rule (Aturan AND) p

q

p and q

true

true

true

true

false

false

false

true

false

false

false

false

Semantic Rule (Aturan Semantik) Disjunction Rule (Aturan OR) p

q

p or q

true

true

true

true

false

true

false

true

true

false

false

false

Sifat-sifat aljabar logika untuk konjungsi dan disjungsi Hukum Idempoten p or p = p p and p = p Hukum Komutatif p or q = q or p p and q = q and p Hukum Assosiatif (p or q) or r = p or (q or r) (p and q) and r = p or (q or r)

Sifat-sifat aljabar logika untuk konjungsi dan disjungsi Hukum Distributif p or (q and r) = (p or q) and (p or r) p and (q or r) = (p and q) or (p and r) Hukum Identitas p or false = p p and true = p p or true = true p and false = false

Sifat-sifat aljabar logika untuk konjungsi dan disjungsi Hukum Komplemen p or not p = true p and not p = false not (not p) = p Hukum De Morgan negasi dari konjungsi dan disjungsi not (p or q) = not p and not q not (p and q) = not p or not q

Semantic Rule (Aturan Semantik) Implication Rule (Aturan IF-THEN) Implikasi bernilai “salah” bila anteseden benar dan konsekuen salah.

p

q

if p then q

true

true

true

true

false

false

false

true

true

false

false

true

Semantic Rule (Aturan Semantik) Implication Rule (Aturan IF-THEN) Jika (p->q) adalah implikasi, maka : (q->p) adalah konvers (not p->not q) adalah invers (not q->not p) adalah kontraposisi Jika (p->q) bernilai benar, maka: belum tentu (q -> p), (not p -> not q), (not q -> not p) bernilai benar.

Semantic Rule (Aturan Semantik) Equivalence Rule (Aturan IF -AND ONLY IF -) Biimplikasi bernilai “benar”, jika penyusun proposisi bernilai sama

p

q

p if and only if q

true

true

true

true

false

false

false

true

false

false

false

true

Semantic Rule (Aturan Semantik) Conditional Rule (Aturan IF–THEN-ELSE) Jika p bernilai benar maka q berlaku; Jika p bernilai salah maka r berlaku

p true true true true false false false false

q true true false false true true false false

r true false true false true false true false

if p then q else r true true false false true false true false

Latihan 1.

2.

Tentukan nilai kebenaran (truth value) dari sentence berikut, dengan menggunakan truth table : a.

F: (f and g) if and only if (g and g)

b.

G: if (if p then q) then q

c.

H: ((p or q) and not r) if and only if (if p then r) and (if q then r)

Jika diberikan suatu nilai (interpretasi) True untuk p dan s dan False untuk q dan r, maka tentukanlah nilai kebenaran untuk kalimat berikut: a.

((if p then q) and (if q then p) if and only if (q or not p)

b.

(p and (if r then s)) if and only if ((if r then s) and p)

Properties of Sentence Valid. Suatu sentence f disebut valid, jika untuk setiap interpretation I for f, maka f true. Contoh: a. (f and g) if and only if (g and f) b. f or not f c. (p and (if r then s)) if only if ((if r then s) and p) d. (p or q) or not (p or q) e. (if p then not q) if and only if not (p and q)

Properties of Sentence Satisfiable. Suatu sentence f disebut satisfiable, jika untuk suatu interpretation I for f, maka f true. Contoh: a. If (if p then q) then q b. (if p then q) or (r and s) c. (if p then q) or r

Properties of Sentence Kontradiksi. Suatu sentence f disebut kontradiksi, jika untuk setiap interpretation I for f, maka f false. Contoh: a. p and not p b. ((p or q) and not r) if and only if ((if p then r) and (if q then r)

Quantifier Sentence Pernyataan yang memuat ekspresi kuantitas obyek yang terlibat Misalnya: semua, ada, beberapa, tidak semua, dll Ada dua macam, kuantor: 1. Universal Quantifier (for all…) 2. Existential Quantifier (for some…)

Quantifier Sentence Universal Quantifier (for all…) Mempunyai makna umum dan menyeluruh Notasi:

, dibaca semua, seluruh, setiap

Penulisan:

x

S -> p(x); Semua x dalam semesta s mempunyai sifat p

Contoh: 1.

Semua orang yang hidup pasti mati

2.

Setiap mahasiswa pasti pandai

3.

Seluruh mahasiswa ganteng-ganteng dan cantik-cantik

Quantifier Sentence Existential Quantifier (for some…) Mempunyai makna khusus atau sebagian Notasi:

, dibaca terdapat, ada, beberapa

Penulisan:

y

S -> q(y); Terdapat y dalam semesta s mempunyai sifat q

Contoh: 1.

Ada siswa di kelas ini yang ngantuk

2.

Beberapa mahasiswa yang mendapat nilai A mata kuliah Logika dan Algoritma

Ingkaran Pernyataan Berkuantor ( x) p(x) = ( y) p(y) ( y) q(y) = ( x) q(x) Contoh: p : Semua mahasiswa harus pandai ~p : Ada mahasiswa yang tidak pandai q : Ada pejabat yang korupsi ~p : Semua pejabat tidak korupsi

Pembuatan Kesimpulan Berdasarkan Implikasi Modus Ponens p -> q p q Contoh: Jika seseorang itu adalah mahasiswa maka ia pasti pandai Dian Sastro adalah seorang mahasiswa Dian Sastro pasti pandai

Pembuatan Kesimpulan Berdasarkan Implikasi Modus Tellens p -> q ~q ~p Contoh: Jika Inul adalah mahasiswi yang baik maka ia pasti tidak nyotek di ujian Inul nyontek dalam ujian Inul bukan mahasiswi yang baik

Pembuatan Kesimpulan Berdasarkan Implikasi Prinsip Syllogisme p -> q q -> r p -> r Contoh: Jika ia rajin maka ia pasti pandai Jika ia pandai maka ia pasti sukses Jika ia rajin maka ia pasti sukses

Latihan 1.

Buktikan bahwa sentence berikut memiliki sifat “valid” (p and (if r then s)) if and only if ((if r then s) and p)

2.

Jika diberikan interpretasi p, q, dan r berturut turut adalah True, False, dan True. Tentukan truth value dari sentence berikut:

3.

a.

If ((if q then not p) or not q) then (p if and only if q) else not r

b.

If (if p then (if q then r)) then (if (if p then q) else (if p then r))

Jika diberikan dua implikasi seperti berikut: If (p or q) or not (p or q) then ((f and g) if and only if (g and f) If ((f and g) if and only if (g and f) then ( p and not p)

Tentukan kesimpulannya dengan menggunakan prinsip Syllogisme, serta berikan truth value-nya dengan menggunakan truth table.