4/13/2015
REGRESI LINEAR BERGANDA DAN REGRESI (TREND) NONLINEAR
Oleh : Fauzan Amin
Regresi • Dari derajat (pangkat) tiap peubah bebas • Linier (bila pangkatnya 1) • Non-linier (bila pangkatnya bukan 1)
• Dari banyaknya peubah bebas (yang mempengaruhi) • Sederhana (bila hanya ada satu peubah bebas) • Berganda (bila lebih dari satu peubah bebas)
Senin, 13 April 2015` GDL 211 (07.30-10.50)
HUBUNGAN LEBIH DARI DUA VARIABEL REGRESI LINEAR BERGANDA Apabila terdapat lebih dari dua variabel, maka hubungan linear dapat dinyatakan dalam persamaan regresi linear berganda sebagai berikut : Y’= b0 + b1X1 + b2X2 + . . . + bkXk Disini ada satu variabel tidak bebas, yaitu Y’ dan ada k varibel bebas, yaitu X1, . . . , Xk
Kalau persamaan tersebut dipecahkan, kita akan memperoleh nilai b0, b1, b2, . . . , bk. Kemudian dapat dibentuk persamaan regresi linear berganda. Apabila persamaan regresi itu telah diperoleh, barulah kita dapat meramalkan nilai Y dengan syarat kalau nilai X1, X2, . . . ., Xk sebagai variabel bebas sudah diketahui.
Untuk menghitung b0, b1, b2, . . . , bk kita gunakan metode kuadrat terkecil yang menghasilkan persamaan normal sebagai berikut : b0 n + b1 X1 + b2 X2 + . . . + bk Xk = Y b0 X1 + b1 X1 X1 + b2 X1X2 + . . . + bk X1Xk = X1Y b0 X2 + b1 X1 X2 + b2 X2X2 + . . . + bk X2Xk = X2Y . . . . . . . . . . . . . . . b0 Xk + b1 X1 Xk + b2 X2Xk + . . . + bk XkXk = XkY
Misalkan: k =2, maka Y’ = b0 + b1X1 + b2X2, satu variabel tak bebas(Y), dan dua variabel bebas (X1 dan X2), maka b0, b1, dan b2 dihitung dengan terlebih dahulu menentukan persamaan normal: b0 n + b1 X1 + b2 X2 = Y b0 X1 + b1 X1 X1 + b2 X1X2 = X1Y b0 X2 + b1 X1 X2 + b2 X2X2 = X2Y
1
4/13/2015
Menentukan b0,b1,b2
CONTOH
1) Dengan metode substitusi dan eliminasi Selesaikan ketiga persamaan tersebut dengan metode eliminasi dan substitusi sehingga diperoleh b0, b1, dan b2.
• Tentukan nilai persamaan regresinya..
Latihan Soal
2
4/13/2015
Menentukan b0,b1,b2 2) Dengan Matriks Ubah persamaan normal ke dalam persamaan matriks:
n X1 X 2 b0 Y 2 X1 X1 X 1 X 2 b1 X 1Y b X1 X 2 X 22 X 2Y 2 X 2
b
A
b0,b1, dan b2 dapat ditentukan dengan rumus yang menggunakan determinan matriks sebagai berikut :
b0
det A0 det A1 det A2 , b1 , b2 det A det A det A
n A X1 X 2
X1 2 X1 X1X 2
H
X 2 X1 X 2 2 X 2
det(A) = (n) (X1X1) (X2X2) + (X1) (X1X2) (X2) + (X2) (X1) (X1X2) – (X2) (X1X1) (X2) – (X1X2) (X1X2) (n) – (X2X2) (X1) (X1)
3
4/13/2015
Y A0 X 1Y X 2Y
X1 2 X1 X1 X 2
X 2 X1X 2 2 X 2
det(A0) = (Y) (X1X1) (X2X2) + (X1) (X1X2) (X2Y) + (X2) (X1Y) (X1X2) – (X2Y) (X1X1) (X2) – (X1X2) (X1X2) (Y) – (X2X2) (X1Y) (X1)
n A1 X 1 X 2
X 2Y
X2 X1X 2 2 X 2
det(A1) = (n) (X1Y) (X2X2) + (Y) (X1X2) (X2) + (X2) (X1) (X2Y) – (X2) (X1Y) (X2) – (X2Y) (X1X2) (n) – (X2X2) (X1) (Y)
Menentukan b0,b1,b2
n X1 Y A2 X1 X12 X1Y X2 X1X2 X2Y
3) Dengan software statistik seperti excel dan SPSS Dengan cara ini persamaan regresi berganda dapat dengan cepat diperoleh dengan menginput data variabel Y, X1, dan X2 terlebih dahulu lalu dianalisis dengan software tersebut.
det(A2) = (n) (X1X1) (X2Y) + (X1) (X1Y) (X2) + (Y) (X1) (X1X2) – (X2) (X1X1) (Y) – (X1X2) (X1Y) (n) – (X2Y) (X1) (X1)
Korelasi Berganda :
Korelasi X2 dan Y digambarkan dengan rumus berikut :
Apabila kita mempunyai tiga variabel Y, X1, X2, maka korelasi X1 dan Y digambarkan dengan rumus berikut :
ry1
Y X 1Y
ry 2
n X1Y Y X1
n X2Y Y X 2
n Y Y n X2 X2 2
2
2
2
n Y Y n X1 X1 2
2
2
2
4
4/13/2015
Korelasi X1 dan X2 digambarkan dengan rumus berikut :
r12
n X1X 2 X1 X 2
Kalau kita ingin mengetahui kuatnya hubungan antara variabel Y dengan beberapa variabel X lainnya (misalnya antara Y dengan X1 dan X2), maka kita harus menggunakan suatu koefisien korelasi yang disebut koefisien korelasi linear berganda (KKLB) yang rumusnya adalah sebagai berikut :
n X1 X1 n X2 X2 2
2
2
2
KKLB Ry.12
r12y r22y 2r1y r2 y r12 1 r122
DEFINISI : REGRESI NON LINIER
TREND PARABOLA Garis trend pada dasarnya adalah garis regresi di mana variabel bebas X merupakan variabel waktu. Baik garis regresi maupun trend dapat berupa garis lurus maupun tidak lurus. Persamaan garis trend parabola adalah sebagai berikut : Y’ = a + bX + cX2 Keterangan : Y’ = variabel terikat X = variabel bebas a,b,c = konstanta
• Regresi/trend non linier adalah regresi yang variabel-variabelnya ada yang berpangkat. • Bentuk grafik regresi non linier adalah berupa lengkungan. • Bentuk-bentuk regresi non linier antara lain regresi kuadratis atau parabola dan regresi eksponensial.
Persamaan Normal
a n + b X + c X2 = Y a X + b X2 + c X3 = XY a X2 + b X3 + c X4 = X2Y
5
4/13/2015
Xi
Yi
Xi2
Xi4
XiYi
Xi2Yi
Yi
Xi2
Xi3
Xi4
XiYi
Xi2Yi
1
6
1
Xi3 1
1
6
6
Xi
5 35
25
125
625
175
875
1
8
1
1
1
8
8
6 37
36
216
1296
222 1332
1
9
1
1
1
9
9
6 37
36
216
1296
222 1332
2 15
4
8
16
30
60
6 36
36
216
1296
216 1296
2 12
4
8
16
24
48
6 35
36
216
1296
210 1260
2 13
4
8
16
26
52
7 38
49
343
2401
266 1862
2 13
4
8
16
26
52
7 36
49
343
2401
252 1764
3 23
9
27
81
69
207
7 36
49
343
2401
252 1764
3 23
9
27
81
69
207
8 38
64
512
4096
304 2432
3 20
9
27
81
60
180
8 36
64
512
4096
288 2304
3 25
9
27
81
75
225
8 39
64
512
4096
312 2496
4 27
16
64
256
108
432
9 39
81
729
6561
351 3159
4 29
16
64
256
116
464
9 38
81
729
6561
342 3078
4 30
16
64
256
120
480 10 40 100 1000 10000 400 4000
5 30
25 125 625
150
750 10 38 100 1000 10000 380 3800
5 33
25 125 625
165
825 10 42 100 1000 10000 420 4200
5 32
25 125 625
160
800
Persamaan • • • • • • • • •
948 = 33a + 172b + 1.148c 5.833 = 172a + 1.148b + 8.722c 41.759 = 1.148a + 8.722b + 71.456c Setelah dielliminasi diperoleh: a = -1,759 b = 9,497 c = -0,547 Sehingga Y = -1,759 + 9,497X – 0,547X2
TREND EKSPONENSIAL (LOGARITMA) Untuk menentukan nilai a dan b, bentuk persamaan di atas harus ditransformasikan menjadi bentuk persamaan linear dengan menggunakan logaritma. Y' = abX menjadi : log Y’ = log a + (log b).X; log Y’ = Y’0; log a = a0 dan log b = b0. Dengan demikian, Y’0 = a0 + b0X, dimana koefisien a0 dan b0 dapat dicari berdasarkan persamaan normal.
Penyelesaian • • • • • • •
∑Xi = 172 ∑Yi = 948 ∑Xi2 = 1.148 ∑Xi3 = 8.722 ∑Xi4 = 71.456 ∑XiYi = 5.833 ∑Xi2Yi = 41.759
TREND EKSPONENSIAL (LOGARITMA) Y’ = abx dapat diubah menjadi trend semi log: log Y’ = log a + (log b)X • Keterangan : Y = variabel terikat X = variabel bebas a,b = konstanta atau penduga
X 1 log X
TREND EKSPONENSIAL (LOGARITMA)
Y1 log Y
Bentuk Persamaan: n Y’ = abx
b
X Y X Y n X X 1 1
1
1
2
2
1
1
a1 Y1 b X 1 a antilog a1
6
4/13/2015
UTS • Menggunakan kalkulator • Rumus yang tidak perlu dihapal(akan diberikan jika keluar dalam UTS): mencari nilai b, koefisien determinasi, dan korelasi pada regresi linear sederhana, semua persamaan pada pertemuan 7 kecuali trend eksponensial (logaritma)
ALHAMDULILLAHIRABBIL’ALAMIN WASSALAAMU ‘ALAIKUM WARAKHMATULLAAHI WABAROKAATUH
40
7
