2. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR

2. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR A nyugvó töltések időben állandó elektromos teret keltenek, amelyet statikus elektromos térnek, az elektromágneses térmodellt elektrosztatikus térnek nevezzük. Az elektrosztatikus tér jelenlétét a töltésekre gyakorolt hatásán, a Coulomb erőn keresztül lehet kimutatni. Az elektromos teret forrásennyiségekkel és térjellemzőkkel lehet jellemezni.

2.1. Az elektrosztatikus tér forrásmennyiségei 2.1.1. Az elektromos töltés Az elektromágneses tér forrása az anyag elemi részecskéit jellemző elektromos töltés, amely az elektron e = 1,6 ⋅10−19 C töltésének egész számú többszöröseként, kvantáltan fordul elő, ahol 1 C =1 coulomb az elektromos töltés mértékegysége. Minthogy a töltés az egyes anyagi részecskék egyik jellemző mennyisége, az anyagmegmaradás törvénye egyben a töltésmegmaradás törvényét is magában foglalja. Ez azt jelenti, hogy habár az elektromos töltés térbeli eloszlása változhat a pozitív és a negatív töltések összege, mindig nulla marad. A töltés mértékegysége, az 1 coulomb nagyon nagy egység, ezért kisebb egységeit alkalmazzuk, úgy, mint milli-coulomb ( 1C = 103 mC ), mikro-coulomb ( 1C = 106 µC ), nano-coulomb ( 1C = 109 nC ) és piko-coulomb ( 1C = 1012 pC ), azaz 1C = 103 mC = 106 µC = 109 nC = 1012 pC .

(2.1)

A töltés mértékegységét az SI (System International) Nemzetközi Mértékegység rendszerben az áram mértékegységére vezetik vissza, azaz 1 C = 1 As . Az elektromágneses tér analízisénél nem atomi szintű vizsgálatokra kerül sor, ugyanis egy piko-coulomb töltés létrehozásához

2. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR

N=

17

10−12 C ≈ 6,25 ⋅106 1,6 ⋅10 −19

számú elektron szükséges, ezért a mérnöki gyakorlatban az elektromágneses tér összefüggései statisztikus törvényekkel írhatók le. Az elektromos töltések jelenlétét az egymásra kifejtett erőhatáson keresztül lehet kimutatni. Két pontszerűnek tekinthető, Q1 és Q2 elektromos töltésű test között fellépő erő a tapasztalati Coulomb törvénnyel fejezhető ki (2.1 ábra). A Coulomb törvény szerint az erőhatás nagysága, amely a Q1 és Q2 töltésű, a két töltés közötti r12 távolsághoz képest kis méretű töltött test között fellép, arányos a két töltés szorzatával és fordítottan arányos a két töltés közötti r12 távolság négyzetével és a teret kitöltő homogén, izotrop közeg ε anyagjellemzőjével r 1 Q1 Q2 F = . 2 4πε r12

2.1. ábra. A Coulomb törvény értelmezése

Az erő iránya a két töltést összekötő egyenes irányába esik. Azonos előjelű töltések taszítják egymást, míg ellenkező előjelű töltések egymásra vonzóerőt gyakorolnak (2.2 ábra).

2.2. ábra. Az elektromos töltés értelmezése az erőhatás alapján

A fenti kifejezésben ε az anyag permittivitása, dielektromos állandója, amely a vákuum ε 0 permittivitásának és a közegre jellemző ε r relatív permittivitásának a szorzata

18


ε = ε0 εr , ahol

ε0 =

10−9 As ≈ 8,86 ⋅10 −12 F m , 4π 9 Vm

(2.2)

míg ε r , a relatív permittivitás dimenzió nélküli szám. A levegő relatív permittivitása közel egy, ε r ≈ 1 .

2.1.2. Töltésmodellek Egy adott térrészen a töltés különböző eloszlású lehet. (i) Pontszerű töltés. Egy kisméretű test Q töltése pontszerűnek tekinthető, amely az

elektrosztatikában időben állandó Q = Q0 , míg általában időben változó Q = Q(t ) mennyiség lehet.

(ii) Térfogati töltéssűrűség. Ha a Q(t ) töltés egy térfogatban oszlik el, akkor a r töltéseloszlás ρ (r , t ) térfogati töltéssűrűséggel modellezhető. Feltéve, hogy az elemi r ∆v térfogatban ∆Q töltés helyezkedik el (2.3 ábra), a ρ (r , t ) térfogati töltéssűrűségnek a pontszerűvé zsugorított elemi térfogat töltését tekintjük, mértékegysége C m3 , r

ρ (r , t ) = lim

∆Q

∆v → 0 ∆v

,

[ρ ] = 1

C . m3

(2.3)

2.3. ábra. A térfogati töltéssűrűség értelmezése

r A ρ (r , t ) térfogati töltéssűrűség ismeretében a v térfogat Q(t ) töltése meghatározható


19

r Q(t ) = ∫ ρ (r , t ) dv . v

(iii) Felületi töltéssűrűség. Ha a térfogat h magassága elhanyagolható az a felületéhez képest, akkor a térfogatban elhelyezkedő Q(t ) töltéseket felületi töltéssűrűséggel modellezzük. Amennyiben az a felület ∆a elemén ∆Q töltés r helyezkedik el (2.4 ábra), a σ (r , t ) felületi töltéssűrűség a felület egy pontjára vonatkoztatott töltésmennyiség, mértékegysége C m 2 , r

σ (r , t ) = lim

∆Q

∆a → 0 ∆a

,

[σ ] = 1

C . m2

(2.4)

2.4. ábra. A felületi töltéssűrűség értelmezése

A felületi töltéssűrűség ismeretében a felület össztöltése meghatározható r Q(t ) = ∫ σ (r , t ) da . a

(iv) Vonalmenti töltéssűrűség. Ha azonban a térfogat keresztmetszete hanyagolható el a térfogat hosszához képest, akkor a térfogatban lévő töltéseloszlás vonalmenti töltéssűrűséggel modellezhető. Feltéve, hogy a kis keresztmetszetű térfogat hossza r mentén, a ∆l szakaszon ∆Q töltés helyezkedik el (2.5 ábra), a q(r , t ) vonalmenti töltéssűrűség a kis keresztmetszetű térfogat hossza mentén adja meg a töltéseloszlást, mértékegysége C m , r ∆Q q(r , t ) = lim , ∆l → 0 ∆l

[q] = 1 C . m

2.5. ábra. A vonalmenti töltéssűrűség értelmezése

(2.5)

20


A vonalmenti töltéssűrűség ismeretében a kis keresztmetszetű térfogat l hossza mentén az összes töltés a következőképpen határozható meg r Q(t ) = ∫ q(r , t ) dl . l

(v) Összefoglalva, valamely a felülettel határolt v térfogat összes töltése r (2.6 ábra) a térfogatban helyet foglaló ρ (r , t ) térfogati töltéssűrűség, a térfogatot r határoló határfelületen elhelyezkedő σ (r , t ) felületi töltéssűrűség, a térfogat belsejében r az l hosszúságú szakasz q(r , t ) vonalmenti töltéseloszlása, valamint a térfogatban lévő Q(t ) pontszerű töltések figyelembevételével a következő r r r Q(t ) = ∫ ρ (r , t ) dv + ∫ σ (r , t ) da + ∫ q(r , t ) dl + ∑ Qi (t ) . v

a

l

i

2.6. ábra. Valamely térfogat összes töltése

2.2. A statikus elektromos tér intenzitása r r

2.2.1. Az elektromos térerőség vektor, E (r ) A nyugvó töltések keltette elektrosztatikus tér jelenlétét a geometriai tér valamely pontjában elhelyezett egységnyi Q próbatöltésre ható r r F =QE

erőhatáson keresztül érzékelhetjük (2.7 ábra). Azaz az elektrosztatikus térben a tér r intenzitását az egységnyi töltésre ható erővel, az E elektromos térerősség vektorral adjuk meg


r r F E= , Q

r [ F] [E ] = = 1 V .

[Q]

m

21

(2.6)

2.7. ábra. A nyugvó töltések elektromos tere és a próbatöltés

Az elektromos térerősség mértékegységét a nemzetközi SI mértékegység rendszerben az erő 1N = 1VAs/m és a töltés 1C = 1As mértékegységeinek figyelembevételével kapjuk. r Ha egy Q pontszerű töltéstől r távolságban lévő P pontban egy Q p = 1 C töltésű próbatestet helyezünk el (2.8 ábra), akkor a Coulomb törvény felhasználásával a P pontban fellépő elektromos térerősség a következő r QQ p 1 r E= er 4πε rr 2

Q p =1

=

Q 1 r er . 4πε rr 2

2.8. ábra. A pontszerű töltés által keltett térerősség

Az elektromos erőteret erővonalakkal lehet szemléltetni (2.9 ábra). Az elektromos erővonalak érintői az elektromos térerősség vektor irányába mutatnak, az erővonalak sűrűsége pedig a térerősség nagyságával, azaz a térerősségre merőleges egységnyi felületen áthaladó erővonalak számával arányos.

2.9. ábra. Az elektromos térerősség szemléltetése

Ha az elektromos teret több Q1, Q2 ,L, QN töltés hozza létre, akkor az erők szuperpozíciója alapján a tér valamely pontjában az elektromos térerősség az egyes

22


r r r töltések által keltett E1, E 2 , L , E N elektromos térerősség vektorok vektori összegével határozható meg N r r r r r E = E1 + E 2 + L + E N = ∑ E k . k =1

2.2.2. Az elektromos feszültség és a potenciál Az elektromos tér az elektromos töltésre erőhatást gyakorol. Ha a töltés az erő hatására elmozdul, az elektromos tér munkát végez. r Ha egy Q töltésű tömegpont az E elektromos térben a P1 pontból a P2 pontba r egy l útvonalon mozdul el (2.10 ábra), akkor a munkavégzés a töltésre ható erőhatás alapján P2 r r P2 r r r r W12 = ∫ F dl = ∫ QE dl = Q ∫ E dl = Q U12 , P1

P1

l

ahol U12 a P1 , P2 pontok között fellépő feszültség. Ha a munkavégzés pozitív, akkor a tér végez munkát az elmozdulás során, azaz a töltés potenciális energiája csökken, ha viszont a munkavégzés negatív, akkor az elmozdulás külső munkavégzés árán lehetséges, azaz a töltés potenciális energiája növekszik.

2.10. ábra. A Q töltésű tömegpontnak a P1 pontból a P2 pontba való elmozdulása

r A fentiek alapján a P1 , P2 pontok közötti feszültség arányos az E elektromos r térben az egységnyi töltésnek a pontok közötti l útvonalon való elmozdulásához szükséges munkával P2 r r r r U12 = ∫ Ε dl = ∫ E dl , P1

l

[U12 ] = 1V .

A feszültség mértékegysége az 1 V = 1 volt .

(2.7)


23

r Ha a Q töltésű tömegpont a P1 pontból az l1 útvonalon mozdul el a P2 pontba, r majd a P1 pontból az l 2 útvonalon jut el a P2 pontba, akkor ugyanakkora a munkavégzés (2.11 ábra), és vegyük figyelembe, hogy az integrálási határok felcserélése az integrál előjelének megváltozását eredményezi P2 r r P2 r r P1 r r ∫ E dl1 = ∫ E dl 2 = − ∫ E dl 2 . P1 P1 P2

(l1 )

(l2 )

(l2 )

2.11. ábra. A Q töltésű tömegpontnak a P1 - P2 - P1 zárt útvonalon való elmozdulása

Egy oldalra rendezve, az elmozdulás a P1 pontból a P2 pontba, majd vissza a P1 r pontba történik, azaz az E elektromos térerősségnek egy zárt görbe menti integrálja nulla r r ∫ E dl = 0 .

(2.8)

l

Ez az eredmény azt jelenti, hogy az elektrosztatikus tér cirkuláció mentes, örvény mentes, azaz a két pont közötti feszültség nem függ az integrálás útjától, kizárólag a P1 , P2 pontok helyzete határozza meg. r Ha a térben az r0 koordinátájú P0 pontot nulla energiaszintű pontnak, referencia r pontnak tekintjük, akkor a Q töltésű tömegpontnak az r koordinátájú P pontból a P0 pontig való elmozdulása (2.12 ábra) során végzett munka arányos a P pont r Φ (r ) = Φ (P ) potenciáljával, minthogy a P0 pont potenciálja nulla Φ 0 = Φ (P0 ) = 0 , P0 r r W12 = Q ∫ E dl = QΦ (P ) , P

r ahonnan a tér valamely r koordinátájú P pontjának elektromos skalár potenciálja az elektromos térerősségnek a P ponttól a P0 referenciapontig való integrálásával adható r meg, feltéve, hogy a P0 referenciapont potenciálja nulla, Φ (r0 ) = Φ (P0 ) = 0

24


P0 r r

r

Φ (r ) = Φ (P ) = ∫ E dl .

(2.9)

P

2.12. ábra. A P pont potenciálja

A potenciál egysége megegyezik a feszültség egységével. A zéruspotenciálú helyet praktikus szempontok szerint szokás felvenni. A 2.13 ábra alapján, ha az egyes pontok potenciáljai P0 r r

P0 r r

P1

P2

Φ1 = ∫ E dl , Φ 2 = ∫ E dl ,

2.13 ábra. A potenciál és a feszültség kapcsolata

a P1 , P2 ponttok közötti feszültség kifejezhető a P1 és a P2 pontok potenciáljainak különbségével, ha ismételten figyelembe vesszük, hogy az integrálási határok felcserélése előjel váltást eredményez P2 r r P0 r r P2 r r P0 r r P0 r r U12 = ∫ E dl = ∫ E dl + ∫ E dl = ∫ E dl − ∫ E dl = Φ1 − Φ 2 . P1

P1

P0

P1

(2.10)

P2

2.3. A statikus elektromos tér gerjesztettsége Az előzőekben a töltések által létrehozott elektromos teret adottnak tekintettük. Most vizsgáljuk meg, milyen kapcsolat van a töltés és az általa gerjesztett elektromos tér között. A kérdésre választ a tapasztalati eredmények adnak.


25

2.3.1. Az elektrosztatika Gauss tétele A kísérleti eredmények általánosításával azt kapjuk, hogy homogén közegben egy zárt felületen átmenő erővonalak száma arányos a felület által bezárt töltéssel (2.14 ábra) r r Q ∫ E da = ,

a

ε

r r r ahol az elemi felület da = n da a felülettel határolt térfogatból kifelé mutató n felületi normálissal és a felület da mérőszámával adható meg.

2.14. ábra. A Gauss tétel értelmezése

Ha feltételezzük, hogy a közeg ε perittivitása függ a geometriai pozíciótól, ill. az elektromos térerősség értékétől, a fenti kifejezés a következő összefüggésre vezet r r ∫ εE da = Q .

a

A teret kitöltő anyag jelenlétének figyelembevételére a As V As [Dr ] = [ε ] [Er ] = 1 Vm =1 m m2

r r D = ε E,

(2.11)

r összefüggéssel vezessük be az D eltolási vektort. Az eltolási vektor mértékegysége megegyezik a felületi töltéssűrűség mértékegységével. Az eltolási vektor bevezetésével r az elektrosztatika Gauss tétele a következő alakban adható meg, feltéve, hogy a zárt a felülettel határolt v térfogatban Q = ∫ ρ dv töltés helyezkedik el v

r r ∫ D da = ∫ ρ dv .

a

(2.12)

v

A fenti összefüggés azt fejezi ki, hogy a közegtől függetlenül a Q elektromos töltéssel r a D eltolási vektor van közvetlen kapcsolatban. Az elektrosztatika Gauss tétele alapján

26


megállapítható, hogy az elektromos tér forrása az elektromos töltés. Az eltolási vektor szintén erővonalakkal ábrázolható, amelyek a pozitív töltésből indulnak és a negatív töltésen végződnek (1.15 ábra).

2.15. ábra. Az elektromos tér forrása a töltés

r r Egy a felületen átmenő D eltolási vektorok számát (2.16 ábra) Ψ D elektromos fluxusként is szokás emlegetni r r

r r

Ψ D = ∫ D da , Q = ∫ D da , [Ψ D ] = 1 As , a

a

r amely valójában az a felületen elhelyezkedő Q töltést reprezentálja.

r 2.16. ábra. Az a felület összes töltése, elektromos fluxusa

2.4. Egyszerű töltéselrendezések tere és potenciálja 2.4.1. Pontszerű töltés tere és potenciálja Tekintsük a 2.17 ábrán látható pontszerűnek tekinthető Q töltést és vizsgáljuk meg a töltés keltette elektromos térerősség és potenciál változását a töltéstől vett távolság függvényében. Minthogy a pontszerű töltés környezetében nincs kitüntetett irány, a kialakuló elektromos teret gömbszimmetrikusnak tekinthetjük. Vegyük körül a pontszerű töltést egy olyan r sugarú gömbfelülettel, amely középpontjában helyezkedik el a Q pontszerű töltés.


27

2.17. ábra. A pontszerű töltés körül gömbszimmetrikus az elektromos tér

Alkalmazzuk az elektrosztatika Gauss tételét az r sugarú gömbfelületre és vegyük figyelembe, hogy az eltolási vektor is sugárirányú, azaz párhuzamos a gömbfelület felületi normálisával. Minthogy a pontszerű töltéstől azonos távolságban az eltolási vektor abszolút értéke állandó, azaz a Gauss tétel integrálja alól kiemelhető r r ∫ D da = ∫ D da = D ∫ da = D 4πr 2 = Q ,

a

a

a

ahonnan az eltolási vektornak a töltéstől vett távolságtól való függése meghatározható D(r ) =

Q 1 , 4π r 2

míg az elektromos térerősség a töltéstől vett távolság négyzetével csökken, azaz az elektromos térerősség kifejezésére a következő adódik (1.18.a ábra) E (r ) =

Q 1 . 4πε r 2

(2.13)

A potenciál meghatározásához vegyük fel a nullapotenciálú referencia pontot a r0 sugarú gömbfelületen. Az r sugarú gömbfelület bármely pontjában a potenciál a térerősség integrálásával előállítható r0 r r

r0

r

r

r0

r

Q 1 Q ⎡1⎤ 0 . dr = 2 4πε ⎢⎣ r ⎥⎦ r r 4πε r

Φ (r ) = ∫ E dl = ∫ E dr = ∫

Vegyük figyelembe, hogy az elektromos térerősség sugárirányú, továbbá azt, hogy az 1 r 2 integráljának primitív függvénye −1 r , így a potenciál kifejezésére a pontszerű töltéstől r távolságra a következő adódik

28


Φ (r ) =

Q ⎡1 1 ⎤ ⎢ − ⎥. 4πε ⎣ r r0 ⎦

Az egyszerűség kedvéért vegyük fel a referencia pontot, a nullapotenciálú helyet a végtelenben, ( r0 → ∞ ), ekkor a potenciál a töltéstől vett távolsággal csökken, azaz a potenciál kifejezésére a következő adódik (2.18.b ábra)

Φ (r ) =

Q 1 . 4πε r

(2.14)

a)

b)

2.18. ábra. A pontszerű töltés a) térerősségének és b) potenciáljának helyfüggése

2.4.2. A vonalmenti töltéssűrűség tere és potenciálja Tekintsük a 2.19 ábrán látható végtelen hosszú vonalszerűnek tekinthető töltéselrendezést, amely vonalmenti töltéssűrűsége q . Vizsgáljuk meg, hogyan változik az elektromos térerősség és a potenciál a vonalmenti töltéssűrűség tengelyétől vett távolság függvényében.

2.19. ábra. A vonalszerű töltés körül hengerszimmetrikus az elektromos tér

A vonalmenti töltéssűrűség hengerszimmetrikus teret hoz létre, amely valamely hengerfelületen azonos értéket vesz fel. Alkalmazzuk az elektrosztatika Gauss tételét egy r sugarú hengerfelület l hosszúságú szakaszára. Vegyük figyelembe, hogy az eltolási vektor a hengerfelület palástjára merőleges és a henger palástja mentén állandó,


29

továbbá vegyük figyelembe, hogy az l hosszúságú hengerfelületen belül Q = ql töltés helyezkedik el r r ∫ D da = ∫ D da = D ∫ da = D 2rπl = ql ,

a

a

a

ahonnan az eltolási vektornak a vonalmenti töltéssűrűségtől vett távolságtól való függésére a következő adódik D(r ) =

q , 2 rπ

míg az elektromos térerősség a sugár függvényében csökken (2.20.a ábra) E (r ) =

q 1 . 2πε r

(2.15)

Az r sugarú hengerfelület potenciál eloszlásának meghatározásához vegyük fel a zérus potenciálú referencia pontot az r0 sugarú hengerfelületen (2.19 ábra). Az elektromos térerősség integrálásával, figyelembe véve, hogy a térerősség sugárirányú, továbbá, hogy az 1 r függvény integráljának primitív függvénye ln r , a potenciál kifejezésére a következő adódik (1.20.b ábra) r0 r r

r0

r

r

r0

q 1 q [ln r ] rr0 = q ln⎛⎜ r0 ⎞⎟ . dr = 2 2 2πε ⎝ r ⎠ πε πε r r

Φ (r ) = ∫ E dl = ∫ E dr = ∫

a)

b)

2.20. ábra. A vonalmenti töltéssűrűség elektromos tere és potenciálja a sugár függvényében

Gyakorlati szempontok miatt a nullapotenciálú hengerfelületet egységnyi távolságban ( r0 = 1 ) szokás felvenni, ekkor a potenciál eloszlása a töltéstől vett távolság függvényében a következő lesz

30


Φ (r ) =

⎛1⎞ ln⎜ ⎟ . 2πε ⎝ r ⎠

q

(2.16)

2.5. Elektromos tér anyag jelenlétében 2.5.1. Vezetők, szigetelők Az anyagok elektrosztatikus térben való viselkedésük alapján vezetőkre és szigetelőkre oszthatók. (i) A vezető anyagok elsősorban fémek. Az ideális vezetőkben a szabad elektronok akadálymentesen elmozdulhatnak és kompenzálhatják egymást. Az ideális fémek belsejében a szabad elektronok elmozdulása nem igényel munkavégzést, dW = 0 . Ha r egy ideális fém elektródát, amely össztöltése nulla, egy Ek külső elektromos térbe helyezünk, akkor a vezetőben lévő töltések átrendeződnek és töltésmegoszlás jön létre. A felületen nem kompenzált töltések lesznek. Ezt influencia jelenségnek hívjuk. A r felületen elhelyezkedő, a töltésmegoszlásból származó töltések, Eb elektromos térerősséget hoznak létre az ideális fém belsejében. Ha az ideális fém belsejében az r r Ek − Eb eredő térerősség nem nulla, akkor további töltésátrendeződés jön létre mindaddig, amíg az elektrosztatikus egyensúly ki nem alakul, azaz az ideális fém r r belsejében az eredő elektrosztatikus térerősség nulla lesz Ek − Eb = 0 (2.21 ábra)

2.21. ábra. Töltésmegoszlás a töltetlen ideális fém felületen és dipólus modellje

A töltésmegoszlásból származó, az ideális fémfelületen megjelenő töltések elektromos dipólussal modellezhetők (2.21 ábra). Az elektromos dipólus két pontszerű r töltésből, a −Q negatív töltésből és tőle l távolságra elhelyezkedő +Q pozitív töltésből áll. A dipólus a r r p = Ql ,

[ pr ] = 1 Cm ,

(2.17)

r dipólus nyomatékkal jellemezhető. Az l vektor, megállapodás szerint, a negatív töltésből a pozitív töltéshez húzott vektort jelenti.


31

Az ideális fém felületén az elektrosztatikus influenciából származó töltések a külső r teret módosítani fogják, amely az E k külső elektromos tér és a felületi töltéseloszlást helyettesítő dipólus terének szuperpozíciójával állítható elő. (ii) Ideális fémek esetén a töltéseloszlás egyensúlya következtében a fém felületen az elektromos térerősségnek csak normális irányú komponense léphet fel, r r Eideális fém felületen = En . r Az elektromos térerősségnek a felülettel párhuzamos komponense nulla, Eτ = 0 . Ekkor az ideális fém felület két pontja között az elektromos térerősség integrálja nulla, azaz a két pont közötti potenciál különbség nulla, ami azt jelenti, hogy az ideális fém felület ekvipotenciális felület (2.22 ábra). Meg kell azonban jegyezni, hogy mivel az ideális fém belsejében a térerősség nulla, a fém elektróda bármely pontjának a potenciálja megegyezik a fém felület potenciáljával, ez azt jelenti, hogy elektrosztatikus térben egy ideális fém elektróda minden pontja azonos potenciálú.

2.22. ábra. Elektromos térerősség az ideális fém felületen

r (iii) A σ felületi töltéssűrűség és a felületen fellépő D eltolási vektor normális r komponense közötti kapcsolat megadható, ha a vezető felületének da darabját tartalmazó d magasságú hasábra (2.23 ábra) felírjuk az elektrosztatika Gauss tételét, r r ∫ D da = Q .

a

2.23. ábra. A felületi töltéssűrűség és az eltolási vektor kapcsolata

32


Minthogy az ideális fém belsejében az elektromos térerősség és így az eltolási vektor r értéke is nulla, továbbá, minthogy a da felület felületi töltéssűrűsége σ , így a hasáb töltése σ da , azaz Dn da = σ da ,

ahonnan, feltételezve, hogy a d magasság mindenhatáron túl csökken, d → 0 , így a vezető felületén az eltolási vektor (amelynek csak normális komponense van) abszolút értéke megegyezik a felületi töltéssűrűség értékével Dn = σ .

(2.18)

2.5.2. A kapacitás, kondenzátorok Szigetelőanyagban elhelyezett két vezető, elektróda, amelynek össztöltése nulla, kondenzátort képez (2.24.a ábra). Ha az egyik vezetőn +Q , a másikon −Q töltés van, a két elektróda között elektromos tér alakul ki, és közöttük U feszültség lép fel (2.24.b ábra).

a)

b)

c)

2.24. ábra. Két elektróda kapacitásának értelmezése és a kondenzátor hálózati modellje

Minthogy az elektróda töltése és az elektródák között fellépő feszültség is arányos az elektromos térerősséggel, a kettő hányadosa az elektróda elrendezés kapacitása


C=

Q . U

33

(2.19)

Az elektróda +Q töltése kifejezhető a Gauss tétellel, az elektródák közötti feszültség r pedig kiszámítható az elektromos térerősségnek a két elektródát összekötő l görbe menti integráljával, ahonnan a kapott kifejezés alapján a kapacitás csak az elrendezés geometriai méreteitől és a szigetelőanyag permittivitásától függ r r r r ∫ D da ∫ εE da Q C = = a r r = a r r = εK . U ∫ E dl ∫ E dl l

l

A kondenzátor szimbolikus rajza is a 2.24.c árán látható. A kapacitás egysége a farad, [C ] = 1 F = 1 C V . A gyakorlatban előforduló esetekben a 1 F = 106 µF = 109 nF = 1012 pF egységek szokásosak. (i) A síkkondenzátor. A síkkondenzátor két, egymással párhuzamos síkfelületű elektródából áll (2.25 ábra).

2.25. ábra. Elektromos tér a síkkondenzátor lemezei között

Az elektródák d távolsága elhanyagolható a párhuzamos felületek lineáris méretéhez képest. Az egyik elektródán +Q , a másikon −Q töltés helyezkedik el. A két elektróda közötti, ε permittivitású közegben az elektromos térerősség állandónak, az elektróda felületekre merőlegesnek, a külső térrészen pedig a szórás elhanyagolása esetén kicsinek, zérusnak tekinthető. A +Q töltésű felületre felírva az elektrosztatika Gauss tételét r r r r Q = ∫ D da = ∫ εE da = ∫ εE da =εE a , a

a

a

vagyis az elektromos térerősség a síkkondenzátor lemezei között állandó, értéke

34


E=

Q

εa

.

Válasszuk a negatív töltésű elektródát nullapotenciálúnak, akkor a potenciálfüggvény a két lemez között a távololsággal lineárisan nő 0

Φ (x ) = ∫ − E dx = − x

Q (− x ) = Q x = E x . εa εa

A két elektróda közötti U potenciáljával, U = Φ (x = d ) = E d =

Q

εa

feszültség megegyezik a pozitív töltésű elektróda

d,

ahonnan a síkkondenzátor kapacitása arányos a lemezek felületével és a lemezek közötti teret kitöltő szigetelőanyag permittivitásával, fordítottan arányos a lemezek távolságával C=

Q a =ε . U d

A síkkondenzátor lemezei közötti térrészen az elektromos térerősséget és a potenciálfüggvényt az elektródák közötti feszültséggel kifejezve a kapott összefüggéseket a 2.26 ábrán vázoltuk E=

U U , Φ (x ) = x . d d

2.26. ábra. Az elektromos térerősség és a potenciál változása a síkkondenzátor lemezei között

(ii) A gömbkondenzátor. Két koncentrikus fémgömb gömbkondenzátort alkot (2.27 ábra). A belső elektróda felületen elhelyezkedő Q töltést a gömb középpontjában elhelyezett pontszerű töltéssel modellezzük, hiszen a pontszerű töltés ekvipotenciális felületei gömbök. A Φ = áll felületeket fém elektródával helyettesítve az elektromos tér szerkezete nem változik meg.


35

2.27. ábra. A gömbkondenzátor

Figyelembe véve, hogy a belső elektróda töltése Q és az elektródák közötti térrészen a szigetelőanyag dieleketromos állandója, permittivitása ε , akkor a Gauss tételt alkalmazva az elektródák közötti r sugarú gömbfelületre, a sugárirányú elektromos térerősség a következő E (r ) =

Q 1 , r1 ≤ r ≤ r2 , 4πε r 2

a potenciál változása pedig a két elektróda között a következő lesz

Φ (r ) =

Q 1 , r1 ≤ r ≤ r2 . 4πε r

Ha az elektródák közé U különbségével megadható U=

Q 4πε

feszültséget kapcsolunk, az elektródák potenciál-

⎛1 1 ⎞ ⎜ − ⎟. ⎜r r ⎟ ⎝ 1 2⎠

Az elektródák közé kapcsolt feszültség ismeretében a belső elektróda töltése meghatározható Q =U

4πε ⎛1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ r1 r2 ⎠

.

Ezzel az elektródák közötti potenciál eloszlás és a térerősség változása megadható

Φ (r ) =

U

1

1 − 1 r r1 r2

, E (r ) =

U

1

1 − 1 r2 r1 r2

, r1 ≤ r ≤ r2

.

36


Az elektródák közötti térrészen a térerősség változását és a potenciál-eloszlást a 2.28 ábrán szemléltetjük.

2.28. ábra. A térerősség és a potenciál változása a gömbkondenzátor belsejében

A kondenzátor kapacitása a jól ismert összefüggésből a gömbkondenzátor sugaraival és a szigetelőanyag permittivitásával a következő alakban adható meg C=

Q 4πε = . 1 1 U − r1 r2

(iii) A hengerkondenzátor. Két koaxiális körhenger felületű, l hosszúságú elektróda-pár hengerkondenzátort alkot (2.29 ábra). A belső elektróda töltését a tengelyében elhelyezett q vonalmenti töltéssűrűséggel modellezzük, minthogy a vonalmenti töltéssűrűség elektromos terében az ekvipotenciális felületei koncentrikus hengerek, és az elektródafelületek ekvipotenciális felületek maradnak.

2.29. ábra. A hengerkondenzátor, mint a végtelen hosszú koaxiális vezető hengerek l hosszúságú szakasza

Az elektromos térerősség a vonalszerű töltés elektromos terével adható meg az elektródák tengelyétől r távolságban E (r ) =

q 1 , r1 ≤ r ≤ r2 . 2πε r


37

A külső elektróda potenciálját nullának tekintve, Φ (r2 ) = 0 , az elektródák között a potenciál eloszlás a következő

Φ (r ) =

q

r ln 2 , Φ (r2 ) = 0 . 2πε r

Az elektródák közötti térrészen a térerősség és a potenciál eloszlását a 2.30 ábrán vázoltuk.

2.30. ábra. A térerősség és a potenciál eloszlása a hengerkondenzátor elektródái között

Az elektródák közötti feszültség a belső elektróda potenciáljával egyezik meg, ha a külső elektródán vesszük fel a referencia potenciálú helyet U = Φ (r1 ) − Φ (r2 ) =

q r ln 2 , Φ (r2 ) = 0 . 2πε r1

Az elektródákra kapcsolt feszültség ismeretében az elektródák közti a potenciál eloszlás és az elektromos térerősség változása megadható

Φ (r ) =

U r U 1 ln 2 , E (r ) = , r1 ≤ r ≤ r2 . ln (r2 r1 ) r ln(r2 r1 ) r

A kondenzátor kapacitása arányos a hengerkondenzátor hosszával és a hengeres elektródák közötti szigetelőanyag permittivitásával, fordítottan arányos a külső és a belső elektróda arányának logaritmusával C=

ql 2πε l . = U ln (r2 r1 )

38


(iv) Kondenzátorok soros és párhuzamos kapcsolása. A 2.31 ábrán látható n darab kondenzátort sorba kapcsoltuk. Ha az összekapcsolt elektródarendszer két végpontja közé U feszültséget kapcsolunk, akkor két végpont között ±Q töltés jelenik meg.

2.31. ábra. Sorba kapcsolt kondenzátorok és helyettesítésük az eredőjükkel

Minthogy az egyes kondenzátorok fegyverzetein az össztöltés nulla, ez csak úgy lehetséges, hogy az egyes kondenzátorok fegyverzetein ±Q töltés influálódik. Az egyes kondenzátorok töltése és kapacitása ismeretében azok feszültsége U k = Q Ck , k = 1,2, L , n . A két végpont közötti feszültség az egyes kondenzátorok feszültségeinek összege, n

n Q

k =1

k =1 Ck

U = ∑U k = ∑

n

Q 1 = , C C s k =1 k

=Q ∑

így a sorosan kapcsolt kondenzátorok helyettesíthetők egyetlen Cs kapacitású kondenzátorral, ahol a helyettesítő kondenzátor kapacitása n 1 1 = ∑ . Cs k =1 Ck

(2.20)

Speciálisan két kondenzátor esetén az eredő kapacitás és az egyes kondenzátorokon fellépő feszültségek a következő alakban adhatók meg C + C2 C1C 2 1 1 1 = + = 1 , Cs = , C s C1 C 2 C1C 2 C1 + C 2 , C1 C2 U. U, U2 = U1 = C1 + C 2 C1 + C 2

A 2.32 ábrán látható n darab kondenzátort párhuzamosan kapcsoltuk. Ha az összekapcsolt elektródarendszer két végpontja közé U feszültséget kapcsolunk, akkor a k − adik kondenzátor töltése a közös feszültséggel Qk = CkU , k = 1,2, L , n .


39

2.32. ábra. Párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok és helyettesítésük az eredőjükkel

A kondenzátorok össztöltése az egyes kondenzátorok töltésének összege n

n

n

k =1

k =1

k =1

Q = ∑ Qk = ∑ CkU = U ∑ Ck = UC p ,

így a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok helyettesíthetők egyetlen C p kapacitású kondenzátorral, ahol a helyettesítő kondenzátor kapacitása n

C p = ∑ Ck .

(2.21)

k =1

2.5.3. Elektróda rendszerek ön és részkapacitása Elektróda rendszereknek olyan elrendezéseket tekintünk, amelyek össztöltése nulla, és a rendszer elektromos terét a rendszeren kívüli töltések nem befolyásolják. Tekintsük a 2.33.a árán látható n ( n = 2 ) elektródából és a nullapotenciálú elektródából (föld) álló elrendezést.

a)

b)

2.33. ábra. Két elektróda és a föld elektróda töltései és potenciáljai

40


n

Az egyes elektródák töltése Q1, Q2, L, Qn , a föld elektróda töltése pedig Q0 = − ∑ Qk . k =1

Az elektródák potenciálja Φ1,Φ 2 , L,Φ n . Minthogy a k − adik elektródán a j − edik elektróda töltése pkj Q j potenciált hoz létre (ahol pk , j az elrendezés geometriájától és a szigetelőanyag tulajdonságaitól függő állandó), a szuperpozíció elve alapján az elektródák potenciáljának kialakításában az összes töltés részt vesz, azaz az egyes elektródák potenciáljai arányosak a töltések hatásainak összegével, n

Φ k = ∑ pkj Q j , j =1

pkj = p jk , k = 1,2,L, n .

Valamennyi elektróda töltését figyelembe véve az elektródák potenciáljai

Φ 1 = p11Q1 + p12 Q2 + L + p1n Qn , Φ 2 = p 21Q1 + p 22 Q 2 + L + p 2n Q n , ..............................................

Φ n = p n1Q1 + p n 2 Q2 + L + p nn Q n . A fenti egyenletrendszerből a töltések kifejezhetők a potenciálokkal, ahol c jk állandó, n

Q j = ∑ c jk Φ k , c jk = c kj , k =1

j = 1,2, L , n .

Ezzel az egyes elektródák töltései a következők lesznek Q1 = c11Φ 1 + c12Φ 2 + L + c1nΦ n , Q2 = c 21Φ 1 + c 22Φ 2 + L + c 2nΦ n , ............................................ Qn = c n1Φ 1 + c n 2Φ 2 + L + c nnΦ n .

Alakítsuk át a fenti egyenletrendszert úgy, hogy a potenciálok helyett azok különbségei, az elektródák közötti feszültségek szerepeljenek. Pl. adjunk hozzá az első egyenlethez nullát a következő alakban m (c12Φ 1 + c13Φ 1 + L + c1nΦ 1 ) = 0 ,


41

ekkor az első egyenlet a következő lesz Q1 = c11Φ 1 + c12 (Φ 2 − Φ 1 + Φ 1 ) + L + c1n (Φ n − Φ 1 + Φ 1 )

= (c11 + c12 + L + c1n )Φ 1 − c12 (Φ 1 − Φ 2 ) − L − c1n (Φ 1 − Φ n ),

hasonlóan eljárva a többi egyenlettel és bevezetve a következő jelöléseket C10 = c11 + c12 + L c1n , C12 = −c12 , C1n = −c1n ,

az elektródák töltése és potenciálja közötti kapcsolat a következő alakban adható meg Q1 = C10Φ 1 + C12 (Φ 1 − Φ 2 ) + L + C1n (Φ 1 − Φ n ), Q2 = C 21 (Φ 2 − Φ 1 ) + C 20Φ 2 + L + C 2n (Φ 2 − Φ n ), ......................................................................... Qn = C n1 (Φ n − Φ 1 ) + C n 2 (Φ n − Φ 2 ) L + C n0Φ n ,

ahol a C10 , C20 , L , Cn0 , és a Ckj = C jk ,

j , k ≠ 0 , mennyiségek a részkapacitások. A

Ck 0 , k = 1,2,L, n az egyes elektródák és a referencia elektróda, a föld közötti részkapacitás, míg a Ckj = C jk , j, k ≠ 0 az egyes elektródák közötti részkapacitás. A

Φ k − Φ j , k = 1,2,L, n,

j = 0,1,2,L, n mennyiség az k − adik és a j − edik elektróda

közötti feszültség, figyelembe véve, hogy a föld elektróda Φ 0 = 0 potenciálja nulla. Két elektróda és a föld esetén a részkapacitások figyelembevételével az elektródák közötti Q1 = C10Φ 1 + C12 (Φ 1 − Φ 2 ), Q2 = C 21 (Φ 2 − Φ 1 ) + C 20Φ 2 .

(2.22)

kapcsolat értelmezését a 2.33.b ábrán rajzoltuk fel. (i) Illusztrációs példa. Két elektródából és a földből álló rendszer részkapacitásai C10 = 0,2 µF, C20 = 0,1 µF, C12 = 2 µF (2.34.a ábra). Az elektródákra feszültséget kapcsolunk, mégpedig az 1. elektróda és a föld közé 4 kV -ot, a 2. elektróda és a föld közé −2 kV -ot (2.34.b ábra). Ezután az 1. elektródát a generátorról leválasztjuk, a 2. elektródát földeljük (2.34.c ábra). Határozzuk meg ekkor az 1. elektróda potenciálját. A 2.34.b ábra szerint az elektródák közé kapcsolt feszültség megegyezik az elektródák potenciáljával, Φ1 = 4 kV , Φ 2 = −2 kV . Ekkor az elektródák töltése

42


Q1 = C10Φ1 + C12 (Φ1 − Φ 2 ) = 12,8 mC , Q2 = C21(Φ 2 − Φ1 ) + C20Φ 2 = −12,2 mC .

Mivel az 1. elektródát a generátorról leválasztjuk, a töltése nem változik, Q1'1 = Q1 , az elektróda Φ1' potenciálja pedig a Q1' = (C10 + C12 )Φ1' összefüggés felhasználásával ( Φ 2' = 0 ) Φ1' = Q1' C10 + C12 = 5,5455 kV.

a)

b)

c)

2.34. ábra. Két elektróda és a föld potenciál viszonyai

2.5.4. Szigetelők, dielektrikumok A szigetelőanyagok anyagjellemzőjét az ε permittivitással adjuk meg, amely az r elektromos tér gerjesztettségét reprezentáló D eltolási vektor és az elektromos tér r r r intenzitását jellemző E elektromos térerősség között teremt kapcsolatot D = εE , ahol ε = ε 0ε r kifejezésében ε r a relatív permittivitás és ε 0 a szabad térre jellemző állandó. Vizsgáljuk meg egy kicsit közelebbről a permittivitás fogalmát. (i) Ha az anyag mikroszkopikus vizsgálatával élünk, akkor az atommag pozitív töltése és a körülötte keringő elektron külső elektromos tér hiányában kiegyensúlyozott állapotot mutat (2.35.a ábra). Külső elektromos tér jelenlétében azonban az elektron már nem gömb felületen, hanem ellipszoid alakú felületen kering az atommag körül, amely az ellipszoid egyik gyújtópontjában helyezkedik el (2.35.b ábra). Az így kialakult töltésmegosztás egy


43

r r r p =Ql =α E elektromos nyomatékkal jellemzett dipólussal modellezhető, ahol a töltésmegosztás r mértéke függ a külső E elektromos térerősségtől, és egy α kölcsönhatási együtthatótól (2.35.c ábra).

a)

b)

c)

d)

2.35. ábra. A dielektrikumok mikroszkopikus és makroszkopikus modellje

(ii) A mérnöki gyakorlatban azonban makroszkopikus leírást alkalmazunk. Ekkor r feltételezzük, hogy a 2.35.d ábra dv térfogatában N számú, pi , i = 1,2,L, N dipólus nyomatékú dipólus helyezkedik el. Ha feltételezzük, hogy az egyes dipólusok dipólus r r r r r nyomatékai közel azonosak, pi ≈ p j , pi = α i E ≈ αE , i, j = 1,2,L, N , akkor az egységnyi térfogatban elhelyezkedő dipólusok dipólus nyomatékát, a dipólus nyomatéksűrűséget az elektromos polarizáció vektorral adjuk meg r r r r N pi 1 Nr N P = lim ≅ α E = ε 0κE , ∑ pi ≅ dv dv dv →0 dv i =1

(2.23)

ahol az egységnyi térfogatban elhelyezkedő dipólusok számát az nd = N dv dipólus r r sűrűséggel jellemezhetjük. Figyelembe véve a dipólus nyomaték és a külső tér pi ≈ αE kapcsolatát, a polarizáció vektorát az κ dielektromos szuszceptabilitással fejezhetjük ki r r P = ε 0κE , κ > 0 . r A fenti összefüggést figyelembe véve a D eltolási vektor egyrészt a szabad tér r elektromos teréből, másrészt a szigetelőanyag jelenlétét reprezentáló P polarizációs vektorból tevődik össze. A dielektromos szuszceptabilitást alkalmazva, r r r r r D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + κ )E = ε 0ε r E ,

a relatív permeabilitás a szuszceptabilitással kifejezhető

(2.24)

44


εr = 1+ κ , ahonnan a relatív dielektromos állandóra egynél nagyobb mennyiséget kapunk. (iii) A szigetelőanyagok a dielektromos állandó szempontjából nem-poláros, poláros és ferroelektromos anyagok szerint osztályozhatók. A nem-poláros anyagokban a dipólus nyomatékok külső tér hiányában egyensúlyban vannak, kifelé nulla polarizáció mutatnak, külső elektromos tér hatására azonban a dipólus nyomatékok a tér irányába rendeződnek és az anyag polarizációt mutat (2.36.a ábra). A poláros anyagokban a dipólus nyomatékok kölcsönhatása erős, külső tér nélkül is polarizációt mutatnak (2.36.b ábra). Ha a dipólus nyomatékok közötti kölcsönhatás nagyon intenzív, azaz egyes elemi térfogatokban a dipólus nyomatékok kölcsönhatása nagyon erős, akkor növekvő és csökkenő, alternáló, külső tér hatására a polarizáció energiaveszteséggel és késleltetve jelenik meg. Az ilyen anyagokat ferroelektromos anyagoknak nevezzük (2.36.c ábra).

a)

b)

c)

2.36. ábra. Nem-poláros, poláros és ferroelektromos anyagok polarizációja

2.5.5. Folytonossági feltételek Két különböző, ε1 és ε 2 dielektromos állandójú homogén és izotrop közeg közös r r határfelületén lévő pontban az egyes közegekben fellépő E1 ≠ E 2 elektromos r r térerősség vektorok és a D1 ≠ D2 eltolási vektorok nem lesznek egyenlők, ki kell r r r r elégíteniők az elektromos tér ∫ E ⋅ dl = 0 , örvénymentességére és ∫ D ⋅ da = Q l

a

forrásosságára vonatkozó feltételeket. r (i) Az E elektromos térerősség közeghatáron való viselkedésének vizsgálatához tekintsük a 2.3.7 ábrán látható elrendezést.


a)

45

b)

2.37. ábra. Az elektromos térerősség és az eltolási vektor viselkedése közeghatáron

r r Bontsuk fel az 1. közeg és a 2. közeg E1, E 2 elektromos térerősség vektorait a közegeket elválasztó felülettel párhuzamos és arra merőleges komponensekre (2.37.a ábra). Vegyünk fel egy kis méretű zárt görbét (téglalapot) a két közeg határfelületén, úgy, hogy a téglalap d magassága minden határon túl tartson nullához, azaz a téglalap l hossza mindkét oldalról simuljon rá a határfelületre. Alkalmazzuk az r r összefüggést elektromos tér örvénymentességére vonatkozó ∫ E ⋅ dl = 0 l

− E1τ l + E2τ l = 0 , ahonnan az elektromos komponenseinek folytonosságára kapunk előírást,

térerősség

E1τ = E2τ .

vektor

tangenciális

(2.25)

r r Az E = D ε összefüggésből pedig D1τ D2τ = ε1 ε 2 ,

az eltolási vektor tangenciális komponensei a permittivitások arányában ugrásszerűen változnak. r (ii) A D eltolási vektoroknak a közeghatáron való viselkedésének vizsgálatához r r bontsuk fel az 1. közeg D1 és a 2. közeg D2 eltolási vektorait a felülettel párhuzamos és a felületre merőleges komponensekre, 2.37.b ábra. Vegyünk fel egy hengerfelületet a két közeg határfelületén, úgy, hogy a henger m magassága minden határon túl csökkenjen, azaz a hengerfelület alap és fedőlapja a határfelület két oldalához simuljon. r r Értékeljük ki az elektromos tér forrásosságára vonatkozó ∫ D ⋅ da = Q Gauss tételt a a

hengerfelületre, és vegyük figyelembe, hogy a térfogatban elhelyezkedő töltés éppen a σ felületi töltéssűrűséggel adható meg, határfelületen felhalmozott − D1n a + D2n a = σ a . A kapott eredmény alapján

46


D2n − D1n = σ ,

a két közeg eltolási vektorának normális komponense a határfelületen felhalmozott σ töltéssűrűséggel ugrik. Ha azonban a határfelületen a felületi töltéssűrűség nulla, σ = 0 , r akkor a D eltolási vektorok normális komponensei folytonosan mennek át a határfelületen D1n = D2n .

(2.26)

r r A D = εE összefüggést felhasználva az elektromos térerősség normális komponensei a szigetelőanyag permittivitásainak reciprok arányával ugrik E1n E2n = ε 2 ε1 .

(iii) Két szigetelő közeg határán az elektromos tér térjellemzőire vonatkozó folytonossági feltételek alapján az elektromos térerősségre ill. az eltolási vektorra vonatkozó töréstörvények egyszerűen előállíthatók (2.38.a ábra).

2.38. ábra. Az elektromos térerősségre és az eltolási vektorra vonatkozó töréstörvények

Figyelembe véve két dielektrikum határán az elektromos tér tangenciális komponensének folytonosságát, E1τ = E2τ és normális komponensének a permittivitások arányával való kapcsolatát, ε 2 E2n = ε1E1n az elektromos térerősség vektoroknak a felületi normálistól való elhajlását reprezentáló α1 , ill. α 2 szögek tangenseinek arányára a következő adódik

tgα1 E1τ E2n E2n D2n ε1 ε = = = = 1, tgα 2 E1n E2τ E1n ε 2 D1n ε 2 azaz a nagyobb permittivitású közegben az elektromos térerősség a felületi normálistól jobban elhajlik.


47

Hasonló eredményre jutunk, ha a vizsgálatokat az eltolási vektorra fogalmazzuk meg (2.38.b ábra)

tgα1 D1τ D2n ε1E1τ ε = = = 1. tgα 2 D1n D2τ ε 2 E2τ ε 2

2.5.6. Kereszt-, és hosszirányú rétegezés (i) A folytonossági feltételek alapján tárgyalható a rétegezett dielektrikummal kitöltött kondenzátorok elektromos tere. Tekintsük a 2.39 ábrán látható síkkondenzátort, amelyben kétféle dielektrikum foglal helyet, elválasztó síkjuk az elektródákkal párhuzamos (keresztirányban rétegezett síkkondenzátor).

2.39. ábra. Keresztirányban rétegezett síkkondenzátor, az eltolási vektor és a térerősség

Ha az elektródákra U feszültséget kapcsolunk, ezzel az elektródákra ±Q töltést viszünk. A Gauss tételt alkalmazva mindkét rétegben ugyanakkora lesz az eltolási vektor nagysága (2.40.a ábra)

σ=

Q = D1 = D2 = ε1E1 = ε 2 E2 . a

a)

b)

c)

d)

2.40. ábra. A keresztirányban rétegezett síkkondenzátorban az eltolási vektor, a térerőssége, a potenciál változása és kapacitásának modellje

Az egyik térerősség kifejezhető a másikkal

48


ε E2 = 1 E1 . ε2

Az elektródák közötti feszültség ε U = E1d1 + E2d 2 = E1(d1 + 1 d 2 ) , ε 2

és ezzel az elektromos térerősség az egyes rétegekben a következő (2.40.b ábra) E1 =

ε U U U , E2 = 1 = . ε1 ε ε 2 d +d ε2 d + 1 d d1 + d 2 1 2 1 2 ε2 ε2 ε1

A potenciál az elektródák között lineárisan változik, (2.40.c ábra) ⎧⎪ E1x,

Φ (x ) = ⎨

0 < x < d1,

⎪⎩ E1d1 + E2 (x − d1 ), d1 < x < d1 + d 2 .

Az elektródák töltése kifejezhető a feszültséggel Q = E1ε1a =

ε1a U = CU , d1 + d 2ε1 ε 2

C=

a , d1 ε1 + d 2 ε 2

1 1 1 = + , C C1 C2

ahonnan a kondenzátor kapacitása az egyes rétegek kapacitásainak soros eredőjeként értelmezhető (2.40.d ábra). A térerősség az ε1E1 = ε 2 E2 összefüggés szerint abban a rétegben nagyobb, amelyikben az ε dielektromos állandó kisebb. Ezért nem feltétlenül a kisebb átütési térerősségű réteg szabja meg a kritikus feszültséget, hanem az a réteg, amelyben ε Ekr felületi töltéssűrűség kisebb. Tételezzük fel, hogy ε1 > ε 2 , de ε1E1kr < ε 2 E2kr , ekkor az elektródákra kapcsolható maximális feszültség

ε U kr = (d1 + 2 d 2 ) E2kr . ε1

(ii) Ha azonban a 2.41.a ábrán látható síkkondenzátor lemezei között elhelyezkedő kétféle dielektrikum elválasztó síkja az elektródákra merőleges akkor a síkkondenzátor hosszirányban rétegezett. Az elektródákra kapcsolt U feszültség hatására az egyes rétegekben azonos nagyságú elektromos térerősség ébred (2.41.b ábra és 2.41.e ábra),


E = E1 = E2 =

49

U . d

a)

b)

d)

e)

c)

f)

2.41. ábra. A hosszirányban rétegezett síkkondenzátor, az elektromos térerősség és az eltolási vektor

Ennek megfelelően az egyes rétegekben az eltolási vektorok nagysága és az elektródaszakaszok felületi töltésűrűsége különböző lesz (2.41. ábra és 2.41.f ábra)

σ1 = D1 = ε1E1 = ε1

U U , σ 2 = D2 = ε 2 E2 = ε 2 . d d

A hosszirányban rétegezett kondenzátor kapacitása az egyes rétegek kapacitásainak párhuzamos eredőjeként értelmezhető (2.42 ábra),

2.42. ábra. Hosszirányban rétegezett síkkondenzátor modellje

minthogy az elektródák ±Q töltése az egyes felületszakaszokra jutó töltések összege

50


Q = σ1a1 + σ 2a2 =

U (ε1a1 + ε 2a2 ) = CU , C = ε1a1 + ε 2a2 = C1 + C2 . d d d

2.6. Energiaviszonyok az elektromos térben 2.6.1. Töltésre ható erő, munkavégzés Az elektromos tér jelenlétében a kis méretű Q töltésre r r F = QE

(2.27)

r erő hat, ahol E az elektromos térerősség. Ha a töltés elektromos térben a P1 pontból a

P2 pontba mozdul el, akkor a tér a töltésen P2 r r P2 r r W12 = ∫ F ⋅ dl = Q ∫ E ⋅ dl = QU12 P1

P1

munkát végez, ahol U12 a két pont közötti feszültség (2.43 ábra). Ha figyelembe vesszük, hogy statikus elektromos térben a feszültség kifejezhető a pontok Φ1,Φ 2 potenciáljaival, U12 = Φ1 − Φ 2 , akkor a végzett munka W = QΦ1 − QΦ 2 .

2.43. ábra. A Q töltés elmozdításával végzett munka

A kapott eredményt úgy foghatjuk fel, hogy a töltésnek a P1 pontban W1 = QΦ1 , a P2 pontban W2 = QΦ 2 energiája van, és a munka az energiák különbségével egyenlő.


51

A fenti meggondolás általánosításával azt mondhatjuk, hogy ha egy pontban a többi töltés által létrehozott potenciál Φ , akkor egy kis méretű Q töltés potenciális energiája a pontban W = QΦ .

(2.28)

Ez úgy értelmezhető, hogy ha a töltés a P pontból a nullapotenciálú P0 referencia pontba kerül, akkor a tér éppen W = QΦ munkát végez. Ha ez a munka negatív, akkor a tér ellenében kell munkát végezni.

2.6.2. Töltött elektródarendszer energiája Tekintsük a 2.44 ábrán látható elektródarendszert. Tételezzük fel, hogy a rendszer nulla energiaállapotú, azaz tekintsük az elektródákat töltetlenek. Kapcsoljunk most minden elektróda és a föld közé egy áramforrást, amellyel az elektródákat Q1, Q2 ,L, Qn töltéssel töltjük fel, miközben potenciáljuk Φ1,Φ 2 ,L,Φ n lesz. A k − adik elektróda pillanatnyi teljesítménye pk = Φ k ik = Φ k

dqk , k = 1,2, L , n , dt

a rendszer összteljesítménye n

p = ∑ Φk k =1

dqk . dt

2.44. ábra. Töltés felvitel az elektróda rendszerre

A t1,t2 időpillanatok között a végzett munka, a rendszer energiája

52


t2

t2 n

t1

t1 k =1

W = ∫ p dt = ∫ ∑ Φ k

n Qk dqk dt = ∑ ∫ Φ k dqk , dt k =1 0

ahol qk (t1 ) = 0 , és qk (t2 ) = Qk az elektródák végső töltése. Változtassuk az áramforrások áramát úgy, hogy az elektródák töltése lineárisan változzon (2.45 ábra), ekkor a rendszer energiája W=

1 n ∑ QkΦ k . 2 k =1

(2.29)

2.45. ábra. Az elektróda töltésének időbeli változása

2.6.3. Elektróda rendszer energiája és a kapacitások kapcsolata Az elektródarendszerek energiáját célszerű kifejezni a kapacitásokkal. (i) Először tekintsünk két elektródából és földből álló olyan rendszert, amelyben a referencia elektróda (föld) potenciálja és töltése is nulla, azaz n = 2 , és Q1 = Q , Q2 = −Q (2.46 ábra).

2.46. ábra. Két elektróda energiájának értelmezése

Ekkor figyelembe véve, hogy az elektródák potenciáljainak különbsége éppen a feszültség Φ1 − Φ 2 = U ,


W=

53

1 (Q1Φ1 + Q2Φ 2 ) = 1 Q(Φ1 − Φ 2 ) = 1 QU . 2 2 2

Az elektródák Q = CU kapacitását felhasználva a kondenzátor energiája W=

1 1 1 Q2 QU = CU 2 = . 2 2 2 C

(2.30)

(ii) Ha azonban két elektróda esetén a referencia elektróda (föld) töltése nem nulla, (2.47 ábra),

2.47. ábra. Elektróda rendszerek energiájának értelmezése

akkor az elektródarendszer energiája W=

1 2 1 ∑ QkΦ k = (Q1Φ1 + Q1Φ 2 ) 2 k =1 2

a részkapacitásokra vonatkozó összefüggéseket alkalmazva Q1 = C10Φ1 + C12 (Φ1 − Φ 2 ) , Q2 = C20Φ1 + C21(Φ 2 − Φ1 ) ,

a rendszer energiája a következő adódik W=

1 [Φ1(C10Φ1 + C12 (Φ1 − Φ 2 )) + Φ1(C20Φ1 + C12 (Φ 2 − Φ1 ))] . 2

54


2.6.4. Az elektromos tér energiasűrűsége Az elektromos tér energiája kifejezhető a térjellemzőkkel is. Tekintsük a 2.48. ábrán látható két elektródából álló elrendezést, ahol a két elektróda közötti teret homogén, izotrop szigetelőanyag tölti ki.

2.48. ábra. Elektromos tér energiasűrűségének értelmezése

A korábbiak szerint az elrendezés energiája W = QU 2 . Az elektróda töltése és r r r r feszültsége kifejezhető az eltolási vektorral és a térerősséggel Q = ∫ D ⋅ da , U = ∫ E ⋅ dl a

l

r r továbbá figyelembe véve, hogy da ⋅ dl = dv a szigetelőanyag térfogatát jelenti, így W=

r r 1 r r r r 1 ⎛⎜ r r ⎞⎟ ⎛⎜ r r ⎞⎟ 1 D ⋅ da ∫ E ⋅ dl = ∫ ∫ D ⋅ E dl ⋅ da = ∫ D ⋅ E dv , ∫ ⎟⎜ ⎟ 2 2 ⎜⎝ a 2v al ⎠ ⎝l ⎠

(

)(

)

(

)

ahonnan az elektromágneses tér egységnyi térfogatának energiasűrűsége r2 1 r r 1 D 1 r2 W = ∫ w dv, w = D ⋅ E = = εE , 2 2 ε 2 v

[w] = 1 Ws3 . m

(2.31)

2.6.5. Elektromos erőhatás és a virtuális munka elve Az elektromos térben fellépő erőhatással már foglalkoztunk. A jelen esetben általánosabban kívánjuk megfogalmazni a probléma megoldását. Az elektromos tér energia egyensúlya esetében a rendszerbe betáplált energia egyrészt megnöveli a tér r belső energiáját, másrészt munkavégzésre, az elektródának egy ds úton való elmozdítására fordítódik r r dW gen = dWbelső + F ⋅ ds .


55

(i) Tekintsük először azt az esetet, amikor az elektródák töltése nem változik az elmozdulás során. Ekkor a betáplált külső energia nem változik meg, dWgen = 0 , a munkavégzés a tér belső energiájának a rovására történik, amely az elektródák potenciáljainak megváltozását eredményezi. Az energiaegyensúly alapján, minthogy r r dWbelső + F ⋅ ds = 0 , az erőnek az ds elmozdulás irányába eső vetülete az Fs = −

dWbelső , Q = áll , ds

(2.32)

összefüggéssel számítható. (ii) Ha azonban az elektródák potenciálját tartjuk állandónak, akkor az elektromos tér belső energiája nem változik az elektróda elmozdulás során, dWbelső = 0 . Ekkor azonban a munkavégzéshez, az elektróda elmozdításához szükséges energiát a külső r r energiaforrásból kell fedezni dW gen = F ⋅ ds , ahonnan az erőnek az elmozdulás irányába eső vetülete Fs =

dWgen ds

, U = áll .

(2.33)

(iii) A fenti kétféle meggondolás ugyanazt az erőhatást eredményezi valamely elektróda elrendezés esetében. Tekintsünk két elektródájából álló, C kapacitású kondenzátort, ahol az elektródák töltése ±Q , az elektródák közötti feszültség pedig U . Ekkor az elrendezés energiája kifejezhető a kapacitással W = CU 2 2 = Q 2 2C . Ha az elektródák potenciálját tartjuk állandónak, U = áll , akkor U = áll,

Fs =

dW d ⎛1 dC ⎞ 1 . = ⎜ U 2C ⎟ = U 2 ds ds ⎝ 2 ds ⎠ 2

Ha azonban az elektródák töltését tartjuk állandónak, Q = áll , akkor Q = áll, Fs = −

dW 1 d ⎛ 1 ⎞ 1 Q 2 dC 1 2 dC , = U = − Q2 ⎜ ⎟ = ds 2 ds ⎝ C ⎠ 2 C 2 ds 2 ds

amely megoldás megegyezik az előzőekben kapott eredménnyel.

56


2.7. Ellenőrző kérdések • • • • • • • • • • • •

Hogyan mutatható ki az elektromos töltés jelenléte, ismertesse a töltésmodelleket; Ismertesse az elektromos térerősség fogalmát; Adja meg statikus elektromos térben a feszültség és a potenciál fogalmát és kapcsolatát; Ismertesse az elektrosztatika Gauss tételét; Ismertesse a töltésmegoszlás jelenségét; Ismertesse a kapacitás fogalmát. Hogyan terjeszthető ki a kapacitás fogalma kettőnél több elektróda esetére; Ismertesse a dielektromos polarizáció jelenségét és vezesse be az elektromos polarizáció vektorát; Ismertesse két szigetelőanyag határfelületén az elektromos tér folytonosságára vonatkozó összefüggéseket; Ismertesse a kondenzátor energiájának kifejezését; Ismertesse az elektródarendszer töltése és energiája közötti kapcsolatot; Adja meg az elektromos tér energiasűrűségét a térjellemzőkkel; Hogyan határozható meg az erőhatás a virtuális munka elve alapján.

2.8. Gyakorló feladatok 2.8.1. Feladat Egy r0 = 10 cm sugarú gömbfelületen σ = 12 pC/m 2 nagyságú felületi töltéssűrűség helyezkedik el egyenletes eloszlásban. Határozza meg, mekkora a gömb töltése.

Megoldás Q = σ ⋅ 4r02π = 12 ⋅10 −12 4π ⋅ 0,12 = 1,5080 ⋅10 -12 C = 1,5080 pC .

2.8.2. Feladat Egy l = 1,6 m hosszú, r0 = 0,42 mm sugarú rúdon Q = 32 nC töltés helyezkedik el. Határozza meg a rúd egységnyi hosszúságú szakaszán a töltéssűrűséget.

Megoldás q = Q l = 32 ⋅10 −9 1,6 = 20 ⋅10 −9 C = 20 nC .


57

2.8.3. Feladat 2

Egy r=20 cm sugarú tárcsa egyik felületén egyenletes eloszlásban σ=3 mC/m felületi töltéssűrűség helyezkedik el. Határozza meg a tárcsa felületén lévő össztöltést. Megoldás Q = r 2πσ = 0,22π 3 ⋅10−3 = 3,7699⋅10-4 C = 0,37699 mC .

2.8.4. Feladat Egy r=15 cm sugarú gömb belsejében ρ =6 mC/m3 térfogati töltéssűrűség helyezkedik el egyenletes eloszlásban. Határozza meg a gömb össztöltést. Megoldás Q = ρ 4r 3π / 3 = 4 / 3 ⋅ 0,153π 6 ⋅10 −3 = 8,4823 ⋅10-5 C = 84,823 µC ,

2.8.5. Feladat Határozza meg, mekkora az a Q pontszerű töltés, amely a tőle r1 = 1,2 cm és r2 = 2,4 cm távolságra lévő pontok között U12 = 10 kV feszültséget hoz létre levegőben. Megoldás U12 = Φ P1 − Φ P 2 =

Q ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟, 4πε 0 ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠ −9

10 ⋅1034π 10 U12 4πε 0 4π 9 = = 2,6667 ⋅10-8 C = 26,667 nC . Q= ⎞ ⎛1 1⎞ ⎛ 1 1 − ⎟ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎜⎜ − 2 2,4 ⋅10− 2 ⎟⎠ ⎝ r1 r2 ⎠ ⎝ 1,2 ⋅10

58


2.8.6. Feladat Határozza meg, mekkora Φ potenciált hoz létre a Q = 2 µC nagyságú pontszerű töltés, a tőle r1 = 25 cm távolságra lévő pontban, ha a nullapotenciálú helyet a töltéstől r2 = 50 cm távolságban definiáljuk. A szigetelőanyag relatív permittivitása ε r = 2 . Megoldás

Φ (r1 ) =

2 ⋅10−6 ⎛ 1 1 ⎞ Q ⎛1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ = − ⎜ ⎟ = 4500 V = 4,500 kV . 4πε ⎝ r1 r2 ⎠ 4π 10−9 2 ⎜⎝ 0,25 0,5 ⎟⎠ 4π 9

2.8.7. Feladat Határozza meg, mekkora annak a q vonalszerű töltésnek a nagysága, amely tőle r1 = 35 cm távolságban Φ1 = 38 kV nagyságú potenciált hoz létre az r2 = 60 cm távolságra elhelyezett referencia ponthoz képest. A szigetelőanyag relatív permittivitása ε r = 3,4 . Megoldás

Φ1 =

q

r ln 2 , 2πε r1 −9

38 ⋅1032π 10 3,4 4π 9 q= = = 1,3317 ⋅10-5 C/m = 13,317 µC/m . 60 r2 ln ln 35 r1

Φ1 2πε

2.8.8 Feladat Határozza meg a q = 2 µC/m nagyságú vonalszerű töltéstől r1 = 15 cm és r2 = 45 cm távolságban lévő pontok között levegőben fellépő U12 feszültséget. Megoldás

U12 = Φ P1 − Φ P 2 =

2 ⋅ 10 −6 45 r ln 2 = ln = 3,9550 ⋅ 10 4 V = 39,550 kV . − 9 2πε r1 2π 10 15 4π 9 q


59

2.8.9. Feladat Határozza meg a Q = 3 µC nagyságú töltéstől r1 = 25 cm távolságban az E1 elektromos térerősség értékét, ha a szigetelőanyag levegő. Megoldás E1 =

1 3,6 ⋅10−6 1 = = 518400 V/m = 5,184 kV/cm . 4πε 0 r12 4π 10−9 0,252 4π 9 Q

2.8.10. Feladat Határozza meg a q = 4 µC/m nagyságú vonalszerű töltéstől r1 = 5 cm távolságban az E1 elektromos térerősség értékét, ha a teret kitöltő szigetelőanyag levegő. Megoldás E1 =

1 4 ⋅10−6 1 = = 1440000 V/m = 14,4 kV/cm . 2πε 0 r1 2π 10−9 0,05 4π 9 q

2.8.11. Feladat Határozza meg, mekkora az a Q pontszerű töltés, amely tőle r1 = 24 cm távolságban E1 = 5 kV/cm elektromos térerősséget hoz létre az ε r = 2,4 relatív permittivitású szigetelőanyagban. Megoldás E1 =

Q 4πε 0ε r

1 , r12 −9

Q = E1 4πε 0ε r r12 = 5 ⋅105 ⋅ 4π 10 2,4 ⋅ 0,242 = 7,68 ⋅10-6 C = 7,68 µC 4π 9 .

60


2.8.12. Feladat Határozza meg, hogy az ε r = 3,2 relatív permittivitású szigetelőanyagban mekkora q vonalszerű töltés hoz létre tőle r1 = 18 cm távolságban E1 = 32 kV/cm elektromos térerősséget. Megoldás E1 =

q

1 , 2πε 0ε r r1 −9

q = E1 2πε 0ε r r1 = 32 ⋅105 ⋅ 2π 10 3,2 ⋅ 0,18 = 1,0240 ⋅10-4 C = 102,40 µC . 4π 9

2.8.13. Feladat Határozza meg, mekkora U12 feszültséget hoz létre az ε r = 3 relatív permittivitású közegben az a q vonalszerű töltés a tőle r1 = 12 cm és r2 = 18 cm távolságban lévő pontok között, amely az r1 távolságban lévő pontban E1 = 23 kV/cm nagyságú elektromos térerősséget kelt. Megoldás E1 =

q 1 q r q , U12 = = E1r1 , ln 2 , 2πε r1 2πε r1 2πε

U12 =

r 0,18 r = 1,1191 ⋅105 V = 111,91 kV . ln 2 = E1 ⋅ r1 ln 2 = 23 ⋅105 ⋅ 0,12 ln r1 0,12 2πε r1 q

2.8.14. Feladat Határozza meg, mekkora U12 feszültséget kelt az ε r = 1,6 relatív permittivitású közegben az a q vonalszerű töltés a tőle r1 = 18 cm és r2 = 24 cm távolságban lévő pontok között, amely az r2 távolságban lévő pontban E2 = 18 kV/cm nagyságú elektromos térerősséget hoz létre.


61

Megoldás E2 =

q 1 , = E2r2 , 2πε r2 2πε q

U12 =

r 0,24 q r = 1,2428 ⋅105 V = 124,28 kV . ln 2 = E2 ⋅ r2 ln 2 = 18 ⋅105 ⋅ 0,24 ln r1 0,18 2πε r1

2.8.15. Feladat Határozza meg, mekkora E1 elektromos térerősséget hoz létre a tőle r1 = 15 cm távolságban lévő pontban az a Q pontszerű töltés, amely a r1 és r2 = 42 cm távolságban lévő pontok között U12 = 12 kV feszültséget generál. Megoldás U12 =

U Q ⎛1 1⎞ Q ⎜ − ⎟, = 12 , 4πε ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠ 4πε 1 − 1 r1 r2

E1 =

=

Q 1 U12 = 4πε r 2 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ r1 r2 ⎠

1 = r12

12 ⋅ 105

1 = 1,2444 ⋅ 107 V/m = 124,44 kV/cm. ⎛ 1 − 1 ⎞ 0,152 ⎜ 0,15 0,42 ⎟ ⎠ ⎝

2.8.16. Feladat Határozza meg, mekkora E1 elektromos térerősséget hoz létre az a q vonalszerű töltés a tőle r1 = 24 cm távolságra lévő pontban, amely az r1 és r2 = 16 cm távolságra lévő pontok között U12 = 26 kV feszsültséget állít elő. Megoldás

U12 =

q U r = 12 ln 1 , , 2πε r2 2πε ln r1 q

r2

62


E1 =

q 1 U12 1 26 ⋅103 1 = = = 2,6718 ⋅105 = 2,6718 kV/cm . 2πε r1 ln r1 r1 ln 0,24 0,24 r2 0,16

2.8.17. Feladat Határozza meg, mekkora Φ potenciált hoz létre a 2.49 ábrán látható két pontszerű töltés a P1 pontban, ha az ε r = 3 relatív permittivitású szigetelőanyagban a nulla potenciálú helyet a P2 pontban rögzítettük, és Q = 4 µC , d = 24 cm .

2.49. ábra. A pontszerű töltések elrendezése

Megoldás

Φ1 = Φ1(Q ) + Φ1(− 2Q ) = =

⎛1 1 2 ⎜ − − + 4πε d ⎝ 2 5 1 Q

Q 4πε

1 ⎞ 2Q ⎛ 1 − ⎜ ⎟− d d ⎠ 4πε 2 5 ⎝

1 ⎞ ⎛1 ⎜ − ⎟= d d⎠ 2 ⎝

2⎞ 4 ⋅ 10 − 6 ⎛ 5 − 2 − 20 + 10 ⎞ ⎟= ⎜ ⎟= 2 ⎠ 4π 10 − 9 3 ⋅ 0,24 ⎝ 10 ⎠ 4π 9

= −315000 V = −315,000 kV.

2.8.18. Feladat Határozza meg, mekkora E elektromos térerősséget hoz létre az előző példában vázolt két pontszerű töltés a P1 pontban. Megoldás E1 = E1(Q ) + E1 (− 2Q ) =

Q 4πε

⎛ 1 Q 2 ⎞⎟ ⎜ + = ⎜ (2d )2 d 2 ⎟ 4πε d 2 ⎝ ⎠

⎛1 ⎞ ⎜ + 2⎟ , ⎝4 ⎠


E1 =

4 ⋅ 10 −6

9

−9 4π 10 3 ⋅ (0,24 )2 4 4π 9

63

= 468750 V/m = 4,68750 kV/cm.

2.8.19. Feladat Határozza meg, mekkora Φ potenciált hoz létre a 2.50 ábrán látható két vonalszerű töltés a P1 pontban, ha az ε r = 2 relatív permittivitású szigetelőanyagban a nulla potenciálú helyet a P2 pontban rögzítettük, és q = 5 µC m , d = 18 cm .

2.50. ábra. A vonalszerű töltések elrendezése

Megoldás

Φ1 = Φ1 (2q ) + Φ1 (− q ) = =−

q 2πε

ln 5 = −

2q 2d 5d q ln − ln = 2πε 2d 2πε d

5 ⋅ 10 − 6 −9

2π 10 2 4π 9

ln 5 = − 8,0472 ⋅ 103 V = − 8,0472 kV.

2.8.20. Feladat Határozza meg, mekkora E elektromos térerősséget hoz létre az előző példában vázolt két vonalszerű töltés a P2 pontban. Megoldás

E2 = E2 (2q ) − E2 (− q ) = =

5 ⋅ 10 − 6

4

−9 2π 10 2 ⋅ 0,18 5 4π 9

2q 1 q 1 q − = 2πε 2d 2πε 5d 2πεd

⎛2 1⎞ ⎜ − ⎟= ⎝ 2 5⎠

= 200000V/m = 2,0000 kV/cm.

64


2.8.21. Feladat Határozza meg, mekkora Φ potenciált hoz létre a 2.51 ábrán látható két pontszerű töltés a P1 pontban, ha az ε r = 4 relatív permittivitású szigetelőanyagban a nulla potenciálú helyet a P2 pontban rögzítettük, és Q = 2 µC és d = 32 cm .

2.51. ábra. A töltéselrendezés és a pontok helyzete

Megoldás

Φ1 = Φ1 (3Q ) + Φ1 (− Q ) = =

3Q ⎛ 1 1 ⎞ Q ⎛ 1 1 ⎞ − − ⎜ ⎟− ⎜ ⎟= 4πε ⎝ 2d 3d ⎠ 4πε ⎝ 3d 2d ⎠

2 ⋅ 10 − 6 1 Q ⎛1 1⎞ 4 = 2,3438 ⋅ 103 V = 2,3438 kV. ⎜ − ⎟4 = −9 10 4πεd ⎝ 2 3 ⎠ 4π 4 ⋅ 0,32 6 4π 9

2.8.22. Feladat Határozza meg, mekkora E elektromos térerősséget hoz létre az előző példában vázolt két pontszerű a P1 pontban. Megoldás E1 = E1(3Q ) − E1(Q ) = =

2 ⋅ 10 − 6 4π

10 − 9 4π 9

Q 4πε

⎛ 3 1 ⎞⎟ Q ⎜ − = ⎜ (2d )2 (4d )2 ⎟ 4πεd 2 ⎝ ⎠

⎛3 1 ⎞ ⎜ − ⎟= ⎝ 4 16 ⎠

11 = 3,0212 ⋅ 10 4 V/m = 0,30212 kV/cm. 2 16 4 ⋅ (0,32 )


65

2.8.23. Feladat Határozza meg, mekkora Φ potenciált hoz létre a 2.52 ábrán látható két vonalszerű töltés a P1 pontban, ha az ε r = 3 relatív permittivitású szigetelőanyagban a nulla potenciálú helyet a P2 pontban rögzítettük, és q = 5 µC m , d = 18 cm .

2.52. ábra. A vonalszerű töltések és a pontok helyzete

Megoldás

Φ1 = Φ1 (q ) + Φ1 (− 2q ) = =

5 ⋅ 10 − 6 −9

2π 10 3 4π 9

q q 6d 2q 2d (ln 2 − 2 ln 2) = ln − ln = d 2πε 3d 2πε 2πε

(− ln 2) = − 2,0794 ⋅ 10 4 V = −20,794 kV.

2.8.24. Feladat Határozza meg, mekkora E elektromos térerősséget hoz létre az előző példában vázolt két vonalszerű töltés a P1 pontban. Megoldás E1 = E1 (q ) + E1 (− 2q ) = =

5 ⋅ 10 − 6

7

−9 2π 10 3 ⋅ 0,18 3 4π 9

q 1 q ⎛1 2q 1 ⎞ + = ⎜ + 2⎟ = 2πε 3d 2πε d 2πεd ⎝ 3 ⎠

= 2,1605 ⋅ 10 6 V/m = 21,605 kV/cm.

66


2.8.25. Feladat Határozza meg mekkora feszültséget hoz létre az ε r = 2 relatív permittivitású szigetelőanyagban a 2.53 ábrán látható két pontszerű töltés a P1 és a P2 pontok között, ha Q = 3 µC és d = 20 cm .

2.53. ábra. A pontszerű töltések és a pontok helyzete

Megoldás U12 = Φ1 − Φ 2 = =

1 ⎛ Q 2Q ⎞ − ⎜ ⎟− 4πε 0ε r ⎝ 2d 6d ⎠ 4πε 0ε r 1

⎛ Q 2Q ⎞ ⎟= ⎜ − ⎝ d 3d ⎠

2⎞ 3 ⋅10 − 6 ⎛1 2 ⎛ 1⎞ ⎜ − ⎟ = −1,1250 ⋅10 4 V = 11,250 kV. ⎜ − −1 + ⎟ = 4πε 0ε r d ⎝ 2 6 3 ⎠ 4π 10 − 9 2 ⋅ 0,2 ⎝ 6 ⎠ 4π 9 Q

2.8.24. Feladat Határozza meg mekkora feszültséget hoz létre az ε r = 3 relatív permittivitású szigetelőanyagban a 2.54 ábrán látható két vonalszerű töltés a P1 és a P2 pontok között, ha q = 2 µC/m és d = 24 cm .

2.54. ábra. A töltések és a pontok helyzete


67


q 2πε 0ε r

ln

2d 2q d ln − = 2πε 0ε r 4d d

1⎞ 2 ⋅ 10 − 6 ⎛ 1⎞ ⎛ ⎜ ln 2 − 2 ln ⎟ = ⎜ ln 2 − 2 ln ⎟ = 4,1589 ⋅ 10 4 V = 41,589 kV. − 9 2πε 0ε r ⎝ 4 ⎠ 2π 10 3 ⎝ 4⎠ 4π 9 q

2.8.27. Feladat Határozza meg mekkora feszültséget hoz létre az ε r = 4 relatív permittivitású szigetelőanyagban a 2.55 ábrán látható két pontszerű töltés a P1 és a P2 pontok között, ha Q = 5 µC és d = 15 cm .

2.55. ábra. A pontszerű töltések és a pontok helyzete


1 ⎛Q 1 ⎛ Q Q⎞ Q⎞ − − ⎟= ⎜ ⎟− ⎜ 4πε ⎝ 6d 3d ⎠ 4πε ⎝ 2d d ⎠

5 ⋅ 10 − 6 Q ⎛1 1 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎜ − − + 1⎟ = ⎜ ⎟ = 25000 V = 25,000 kV. 4πεd ⎝ 6 3 2 ⎠ 4π 10 − 9 4 ⋅ 0,15 ⎝ 3 ⎠ 4π 9

2.8.28. Feladat Határozza meg mekkora feszültséget hoz létre az ε r = 1,5 relatív permittivitású szigetelőanyagban a 2.56 ábrán látható két vonalszerű töltés a P1 és a P2 pontok között, ha q = 3 µC/m és d = 12 cm .

68


2.56. ábra. A vonalszerű töltések és a pontok helyzete


3 ⋅ 10 − 6 2π

10 − 9 4π 9

1,5

ln

q q q 5d 2d 5 − = ln ln ln = 2πε 2d 2πε 2πε 4 d

5 = 8,0332 ⋅ 103 V = 8,0332 kV. 4

2.8.29. Feladat Határozza meg, mekkora annak a légszigetelésű síkkondenzátornak a kapacitása, amelynek a = 12 cm 2 felületű lemezei d = 3,2 cm távolságban helyezkednek el.

Megoldás C = ε0

a 10−9 12 ⋅10−4 = = 3,3157 ⋅10-13 F = 0,33157 pF . d 4π 9 3,2 ⋅10− 2

2.8.30. Feladat Egy C = 3,6 nF kapacitású síkkondenzátor egyik lemezén Q = 3 µC nagyságú töltés helyezkedik el. Határozza meg, mekkora a lemezek között fellépő feszültség. Megoldás U=

Q 3 ⋅10−6 = 833,3333 V . = C 3,6 ⋅10−9


69

2.8.31. Feladat Határozza meg, mekkora annak a kondenzátornak a kapacitása, amelyre U = 15 kV feszültséget kapcsolva a lemezekre Q = ±24 µC töltést viszünk fel. Megoldás C=

Q 24 ⋅10 −6 = = 1,6 ⋅10 -9 F = 1,6 nF . U 15 ⋅103

2.8.32. Feladat Határozza meg, mekkora töltést viszünk annak a C = 12 µF kapacitású síkkondenzátor lemezeire, amelyet U = 16 kV feszültségre kapcsolunk. Megoldás Q = CU = 12 ⋅10−6 ⋅16 ⋅103 = 192 ⋅10-3 C = 0,192 µC .

2.8.33. Feladat Határozza meg, mekkorára változik annak a síkkondenzátornak a kapacitása, amely lemezeinek távolságát kétszeresére növeljük. Megoldás C1 = ε

a a , C2 = ε , C2 C1 = 1 / 2 . d d /2

2.8.34. Feladat Határozza meg, mekkorára változik annak a kondenzátornak a töltése, amelynek a feszültségét felére csökkentjük. Megoldás Q1 = CU1 , Q2 = CU 2 , U 2 = U1 / 2 , Q2 = Q1 / 2 .

70


2.8.35. Feladat Határozza meg, mekkorára változik annak a síkkondenzátornak a töltése, amelynek ugyanakkora feszültség mellett a lemezeinek távolságát felére csökkentjük. Megoldás Q1 = C1U = ε

a a U , Q2 = ε U = 2Q1 . d d /2

2.8.36. Feladat Határozza meg, mekkorára változik annak a síkkondenzátornak a feszültsége, amelynek ugyanakkora töltés mellett a lemezeinek távolságát kétszeresére növeljük. Megoldás U1 =

Q d Q 2d = Q , U2 = =Q = 2U1 . C1 εa εa C1

2.8.37. Feladat Határozza meg a légszigetelésű síkkondenzátornak d = 1,2 cm távolságra lévő lemezei között az elektromos térerősség értékét, ha a lemezekre U = 12 kV feszültséget kapcsolunk. Megoldás E =U /d =

12 ⋅103 = 105 V/m = 1 kV/cm . 0,12

2.8.38. Feladat Két elektródából és a földből álló rendszer részkapacitásai C10 = 2 µF , C12 = 15 µF , C 20 = 3 µF . Határozza meg, mekkora lesz az elektródák Q1 , ill. Q2 töltése, ha az 1. elektróda és a föld közé U1 = 12 kV , a 2. elektróda és a föld közé U 2 = −6 kV feszültséget kapcsolunk.


71

Megoldás Q1 = C10Φ1 + C12 (Φ1 − Φ 2 ) = = 2 ⋅10 −612 ⋅103 + 15 ⋅10 −6 (12 + 6 ) ⋅103 = 0,294 ⋅10-6 C = 0,294 µC, Q2 = C 20Φ1 + C12 (Φ 2 − Φ1 ) = = −3 ⋅ 10 − 6 6 ⋅ 10 3 + 15 ⋅ 10 − 6 (− 6 − 12 ) ⋅ 10 3 = −0,288 ⋅ 10 -6 C = −0,288 µC.

2.8.39. Feladat Két elektródából és a földből álló rendszer részkapacitásai C10 = 2 µF , C12 = 12 µF , C 20 = 5 µF . Az egyik elektróda és a föld közé U1 = 10 kV , a másik elektróda és a föld közé U 2 = 6 kV feszültséget kapcsolunk. Határozza meg az elektródák töltését. Megoldás Q1 = C10Φ1 + C12 (Φ1 − Φ 2 ) = = 2 ⋅10 −610 ⋅103 + 12 ⋅10 −6 (10 − 6 ) ⋅103 = 0,068 ⋅10 -6 C = 0,068 µC, Q2 = C20Φ 2 + C12 (Φ 2 − Φ1 ) = = 5 ⋅ 10 − 66 ⋅ 103 + 12 ⋅ 10 − 6 (6 − 10 ) ⋅ 103 = −0,018 ⋅ 10 -6 C = −0,018 µC.

2.8.40. Feladat Két ε1r = 2 és ε 2r = 3,6 relatív permittivitású közeg közös határfelületén az 1. közegben az elektromos térerősség vektor normális komponense E1n = 4,3 kV/cm . Mekkora lesz a 2. közegben az elektromos térerősség vektor E2n normális komponense. Megoldás 2 ⋅ε0 ε D1n = D2n , → E2n = E1n 1 = 4,3 = 2,3889 kV/cm . ε2 3,6 ⋅ ε 0

72


2.8.41. Feladat Két ε1r = 2,2 és ε 2r = 3,6 relatív permittivitású közeg közös határfelületén az 1. közegben az eltolási vektor tangenciális komponense D1t = 4,3 µAs/cm . Mekkora lesz a 2. közegben az eltolási vektor D2t tangenciális komponense. Megoldás 3,6 ⋅ ε 0 ε E1t = E2t , → D2t = D1t 2 = 4,3 = 7,0364 kV/cm . 2,2 ⋅ ε 0 ε1

2.8.42. Feladat Határozza meg, mekkora elektromos energiát tárol a C = 3 µF kapacitású kondenzátor ha Q = ±3 µC töltést viszünk a lemezekre. Megoldás W=

(

)2

1 Q 2 3 ⋅10−6 = = 1,5000 ⋅10-6 Ws = 1,5 µWs . 2 C 2 ⋅ 3 ⋅10−6

2.8.43. Feladat Határozza meg, mekkora elektromos energiát tárol az a kondenzátor, amely elektródái U = 12 kV feszültség hatására Q = ±3,2 µC töltéssel töltődik fel. Megoldás W=

1 1 QU = 3,2 ⋅10−6 ⋅12 ⋅103 = 0,0192 Ws = 19,2 mWs . 2 2

2.8.44. Feladat Határozza meg, mekkora F erő hat azon q = 3 µC/m vonalszerű töltés l = 1,2 m hosszúságú szakaszára, amelyet E = 12 kV/cm nagyságú elektromos térbe helyezünk.


73

Megoldás F = QE = q ⋅ l ⋅ E = 3 ⋅10 −6 ⋅1,2 ⋅12 ⋅105 = 0,0045 N = 4,5 mN .

2.8.45. Feladat Határozza meg, mekkora erővel hat a Q = 3,5 µC nagyságú pontszerű töltés a tőle r = 18 cm távolságra elhelyezett Q0 = 15 µC nagyságú próbatöltésre. Megoldás F = Q0 E = Q0

3,5 ⋅10−6 1 Q 1 = 15 ⋅10−6 = 2,6250 N . −9 0,18 4πε r 4π 10 4π 9

2.8.46. Feladat Határozza meg, mekkora az az E elektromos tér, amely F = 0,2 N erőhatást gyakorol a Q = 2,4 µC nagyságú töltésre. Megoldás E=

F 0,2 = = 8,3333 ⋅104 = 0,83333 kV/cm . Q 2,4 ⋅10−6

2.8.47. Feladat Határozza meg, mekkora az a Q pontszerű töltés, amelyre E = 2 kV/cm nagyságú elektromos térben F = 30 mN nagyságú erő hat. Megoldás Q=

F 30 ⋅10−3 = = 1,5000 ⋅10-7 C = 150 nC . E 2 ⋅105

74


2.8.48. Feladat Határozza meg, mekkora az a q vonalszerű töltés, amelynek l = 1,2 m hosszúságú szakaszára az E = 12 kV/cm nagyságú elektromos térben F = 30 mN nagyságú erő hat. Megoldás

q=

Q F 30 ⋅10 −3 = = = 2,0833 ⋅10-8 C/m = 20,833 nC/m . l l ⋅ E 1,2 ⋅12 ⋅105

2.8.49. Feladat Határozza meg, mekkora erő hat a 2.57 ábrán látható elrendezésben a 2Q nagyságú töltésre, ha Q = 3,2 µC és d = 24 cm .

EQ

E − 3Q

2.57. ábra. Az elektromos térerősség komponensek

Megoldás

(

)

F2Q = 2Q ⋅ EQ − E−3Q = 2Q

=2

(3,2 ⋅10−6 )2

1 ⎛⎜ Q 3Q ⎞⎟ − = 4πε ⎜⎝ (2d )2 (5d )2 ⎟⎠

⎛1 3 ⎞ ⎜ − ⎟ = 0,6720 N. 25 ⎠

−9 4π 10 0,24 2 ⎝ 4 4π 9

2.8.50. Feladat Határozza meg, mekkora erő hat a 2.58 ábrán látható elrendezésben a q vonalszerű töltés 1,5 m hosszú szakaszára, ha q = 4,2 µC/m és d = 16 cm .


75

E − 2q E 2q

2.58. ábra. A térerősség komponensek

Megoldás

(

)

Fq = q ⋅ l E2q + E− 2q = q ⋅ l =

2⎞ q ⎛ 2 2 ⎞ q 2l ⎛ ⎜ + ⎟= ⎜2 + ⎟ = 2πε ⎝ d 3d ⎠ 2πεd ⎝ 3⎠

(4,2 ⋅10−6 )21,5 8 = 7,9380 N. −9 2π 10 0,16 3 4π 9

2.8.51. Feladat Határozza meg, mekkorára kell választani a Q0 töltést ahhoz, hogy a 2.59 ábrán látható töltéselrendezésben a 2Q töltésre ne hasson erő, ha Q = 16 µC és d = 32 cm .

2.59. ábra. A töltéselrendezés

Megoldás

(

)

F2Q = 2Q ⋅ E−Q − EQ0 = 0,

Q 1 Q 1 25 = 0 , Q0 = Q = 100µC . 2 2 4πε (2d ) 4πε (5d ) 4

76


2.8.52. Feladat Határozza meg, mekkora munkavégzés szükséges ahhoz, hogy a Q = 2 µC nagyságú pontszerű töltést a Φ1 = 10 kV potenciálú helyről a Φ 2 = 3 kV potenciálú helyre mozdítsuk el. Megoldás W = QU = Q(Φ1 − Φ 2 ) = 2 ⋅10 −6 (10 − 3) ⋅103 = 0,0140 Ws = 14,0 mWs .

2.8.53. Feladat Határozza meg, hányszorosára változik a C = 12 µF kapacitású kondenzátorban a tárolt elektromos energia, ha a kondenzátorra kapcsolt feszültséget U1 = 10 kV -ról U 2 = 21 kV -ra növeljük. Megoldás W1 =

1 1 CU12 , W2 = CU 2 2 , W2 / W1 = U 22 / U12 = 212 102 = 4,41 . 2 2

2.8.54. Feladat Határozza meg, hányszorosára változik a C = 16 µF kapacitású kondenzátorban a tárolt elektromos energia, ha a kondenzátorra kapcsolt feszültséget U1 = 2 kV -ról U 2 = 8 kV -ra csökkentjük. Megoldás W2 / W1 = U 22 / U12 = 82 22 = 0,1322 .

2.8.55. Feladat Határozza meg, hányszorosára változik a C = 6 µF kapacitású kondenzátorban a tárolt elektromos energia, ha a kondenzátor töltését felére csökkentjük.


77

Megoldás W1 =

1 Q2 1 (Q 2)2 , W2 = , W2 / W1 = (Q / 2)2 Q 2 = 1 / 4 . 2 C 2 C

2.8.56. Feladat Határozza meg, hányszorosára változik a síkkondenzátor energiája, ha állandó feszültség mellett a lemezek távolságát felére csökkentjük. Megoldás W1 =

1 1 εa 2 1 1 εa 2 C1U 2 = U , W2 = C2U 2 = U , W2 W1 = 2 . 2 2 d 2 2 d /2

2.8.57. Feladat Határozza meg, mekkora elektromos energiasűrűséget tárol az ε r = 2,8 relatív permittivitású szigetelőanyag egységnyi térfogata E = 16 kV/cm elektromos térerősség esetén. Megoldás 1 1 10 −9 2 w = εE 2 = 2,8 ⋅ 16 ⋅105 = 11,3177 Ws/m 3 . 2 2 4π 9

(

)

2. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR

Recommend Documents