Voorbereidende opgaven – Stoomcursus Tips: • • • •
Maak de volgende opgaven het liefst voorin in één van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, werk hem dan uit tot waar je kunt en ga verder met de volgende vraag. Je mag een rekenmachine gebruiken voor som 2 en 4. Opgave 4 is alleen bedoeld voor leerlingen van de Examencursus. Als je deelneemt aan de Stoomcursus, hoef je die opgave niet te maken.
Rekenregels voor vereenvoudigen
b
6 + 4 ⋅ 3x ≠ 6 + 12x = 6 + (4 ⋅ 3) x
c
= x2 + 6x + 9 3( x + 2) − 1(2 − x ) = 3x + 6 − 2 + x
= 4x + 4
2
ac = a b x 3 = 3 x2 a ⋅ b = a ⋅ b 36 x = 6 x a a 36 6 = = b x x b
Log in GR: a
log ( b ) =
log ( b ) log ( a )
Vermenigvuldigen: Vb: Vb:
teller ⋅ teller noemer ⋅ noemer
⋅ 52 = 206 3⋅ 52 = 13 ⋅ 52 = 56 3 4
Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Vb:
3 2
x
= 3 ⋅ 2x = 13 ⋅ 2x = 32x
Optellen / aftrekken: noemers gelijk maken. Vb:
3 4
8 23 + 52 = 43⋅⋅55 + 52⋅⋅44 = 15 20 + 20 = 20
2
log ( x ) =
log ( x ) log ( 2 )
Overige rekenregels log: zie formulekaart CE 1.6 Machten
1.5 Breuken
1.2 Haakjes
= x 2 + 3x + 3x + 9
b a x 2 36 = 2 36 = 6 a = c ↔ b = log(c) 2 = 8 ↔ x = log(8)
a =2a
1. eerst ( ) 2. daarna ^ en √ 3. daarna * en ÷ 4. daarna + en Let op:
( x + 3)2 = ( x + 3) ⋅ ( x + 3)
1.4 Exponenten & logaritmen
1.3 Wortels
1.1 Rekenvolgorde
a b ⋅ a c = ab+c
x 2 ⋅ x3 = x5
ab ac
= a b −c
x2 x3
= x −1
1 ac
= a−c
x −4 =
1 x4
(ab )c = ab⋅c
( x2 )3 = x6
(a ⋅ b)c = ac ⋅ bc
(2x)3 = 23 ⋅ x3 = 8x3
( ba )
( 2x )3 =
c
=
ac bc
23 x3
=
8 x3
Voorbereidende opgaven – Stoomcursus
1
Vereenvoudig Maak bij onderstaande opgaven gebruik van de bovenstaande rekenregels voor vereenvoudigen. a.
Laat zien dat 4 + 16 23 + 2 te vereenvoudigen is tot 8.
b.
Vereenvoudig 7 − 3 ⋅ 4 x + 2 zo ver mogelijk.
c.
Vereenvoudig 7 − 3 ⋅ 4 x + 2 zo ver mogelijk.
d.
Laat zien dat
e.
Vereenvoudig
x4 zo ver mogelijk. x2
f.
Laat zien dat
72 ⋅ 2 te vereenvoudigen is tot 12.
g.
Laat zien dat
1 1+ x . + 1 te vereenvoudigen is tot x x
(
)
2 3 13 . + te vereenvoudigen is tot 7 9 21
Voorbereidende opgaven – Stoomcursus
De grafische rekenmachine De grafische rekenmachine wordt niet centraal behandeld tijdens de cursus, maar behoort wel tot de examenstof. De afgelopen jaren mag je je GR steeds vaker gebruiken op het centraal examen. Om deze redenen volgt hieronder de voor het examen relevante informatie en tips over de GR. Neem deze informatie door en maak de afsluitende opgave. Mocht je hier nog vragen over hebben, dan kun je die uiteraard tijdens de examencursus stellen. Invoeren Op het examen kun je functies krijgen die er behoorlijk lastig uit zien. Zo kunnen er functies met breuken voorkomen of functies met exponenten. Als je deze lastigere functies in je GR wilt invoeren moet je er goed op letten dat je zelf op de juiste plaatsen extra haakjes zet. Zet extra haakjes om:
• teller • noemer • grondtal
als ze uit meerdere delen bestaan. • exponent 3
Bijvoorbeeld: K = 5 ⋅ 4 t + 2
+8
wordt ingevoerd als K = 5*4^(3/(t+2)+8).
Window kiezen
Het is erg belangrijk om ervoor te zorgen dat je op het eindexamen het juiste window kiest. Je kunt zomaar wat kiezen en daarna aanpassen, maar dit kost erg veel tijd en tijd is kostbaar op het examen! Daarom hebben we de volgende tip voor het kiezen van je window (zowel de x-as als de y-as): Kies de window op basis van logische waarden uit de tekst.
Bijvoorbeeld: Een x-variabele gaat over het gewicht van een mens. Het is dan niet logisch om Xmin=-1000 en Xmax=3000000 te kiezen. Een logischer window is Xmin=0 en Xmax=150. Er zijn gevallen waarbij het erg lastig is om te bepalen wat logische waarden zijn. Denk bijvoorbeeld aan de dichtheid van een bepaalde scheikundige stof. Voor dit soort gevallen is er een paniekoptie die je kunt gebruiken wanneer je echt geen idee hebt. Paniekoptie: x-as: kies Xmin=0 en Xmax=20 y-as: gebruik ZoomFit (TI) of Zoom → Auto (Casio)
Voorbereidende opgaven – Stoomcursus
GR-opties
Op het eindexamen heb je maar 2 opties van je GR nodig. •
intersect, bij het snijpunt van twee grafieken:
•
maximum/minimum, bij de top van een grafiek (TI: Denk aan Left Bound en Right Bound!):
Notatie
Op het eindexamen blijken vaak veel punten verloren te gaan doordat leerlingen onvolledig zijn in het opschrijven van de handelingen die ze met de GR hebben uitgevoerd. Schrijf op je eindexamen altijd de volgende onderdelen op als je je GR gebruikt: 1. 2.
Y1 = … Y2 = … Window:
3.
Schets
Xmin = … Xmax = …
Ymin = … Ymax = …
y1 y2
4. 5.
GR-optie (Bijvoorbeeld: intersect geeft x = …) Conclusie
Voorbereidende opgaven – Stoomcursus
Handige tips
•
Log invoeren
log(b) log(a )
a
log(b) =
3
log(5) bereken je dus als volgt:
•
Uitkomst met E- omzetten naar kommagetal
Typ Ans+1 in in het rekenscherm. Let op: noteer je antwoord wel als 0,.... !
•
Laatste berekening terughalen
TI: [2nd] [Enter]
•
Casio: pijltje naar boven van navigatietoets
Het opslaan van een antwoord
TI: [sto→] Kies via [alpha] een letter. Gebruik letter in plaats van getal.
Casio: [→] Kies via [alpha] een letter. Gebruik letter in plaats van getal.
•
Invoegen in een berekening
TI: [2nd] [del]
Casio: [shift] [del]
Voorbereidende opgaven – Stoomcursus
•
Van een kommagetal naar een breuk
TI: [math] → Frac → [Enter]
2
Casio: [a b/c ]
Epidemie 2
3
Een epidemie onder koeien in Brabant verloopt volgens de formule: N = 4t – ¼ t . Hierbij is N het dagelijks aantal gemelde nieuwe ziektegevallen en t de tijd in weken sinds het begin van de epidemie. a.
Plot de grafiek van N en schets de grafiek op je blaadje. Welk venster heb je gekozen?
b.
Voor welke twee waarden van t is het aantal nieuwe ziektegevallen gelijk aan honderd?
c.
Geef de maximale waarde van N. In welke week is dat?
d.
Hoe lang duurt het voor er geen nieuwe ziektegevallen bij komen?
Voorbereidende opgaven – Stoomcursus
Lineaire formule opstellen Stappenplan
Voorbeeld Voetballers verdienen veel geld, maar naarmate ze ouder worden krijgen ze minder betaald. Het kan zomaar gebeuren dat een professional die in 2012 nog 20000 euro per maand verdiende in 2017 maar 5000 euro per maand krijgt. Stel de formule op van de rechte lijn die hierbij hoort. Neem het maandelijkse loon als yvariabele en de tijd in jaren als xvariabele.
1) Zoek twee punten uit de grafiek / tabel / tekst / andere formule
1) (2012 ; 20 000) en (2017 ; 5000)
2) Schrijf op: y = ax + b
2)
3) Bereken a met
3) a berekenen:
a=
Δy y A − yB = Δx xA − xB
4) Bereken b door één van de twee punten uit stap 1 in te vullen.
y = ax + b 20000 − 5000 15000 = = −3000 2012 − 2017 −5 Dus: y = −3000 x + b a=
4) Vul in (2017; 5000)
5000 = −3000 ⋅ 2017 + b 5000 = −60510000 + b 6056000 = b
5) Conclusie: geef dus de uiteindelijke formule
3
5) Dus: y = −3000 x + 6056000
Lineaire formule
Gegeven is dat een rechte lijn door de punten (-7,7) en (3,-13) loopt. a.
Toon aan dat de formule van de lijn door deze punten te schrijven is als y = −2 x − 7.
Gebruik voor het beantwoorden van de volgende vragen de formule y = −2 x − 7. b.
Wat is de uitkomst voor x = 6?
c.
Voor welke x is de formule gelijk aan 9?
d.
Een lijn die evenwijdig loopt aan de eerder genoemde lijn gaat door het punt (5, 20). Stel de formule op van deze lijn.
Voorbereidende opgaven – Stoomcursus
Bijlage examenstof statistiek Voor je examen moet je een aantal statistische begrippen en figuren kennen, of rekenen met procenten. Je hebt dit allemaal al een keer geleerd, maar misschien is het wat weggezakt. Daarom hebben we hier alles over statistiek op een rijtje gezet. Allereerst, wat is statistiek eigenlijk precies? Op je examen betekent statistiek dat je gemeten gegevens moet verwerken. Dit kan met behulp van begrippen (bijvoorbeeld gemiddelde, mediaan, etc.) of grafische vormen (histogram, boxplot, etc.). Daarvoor moet je soms rekenen met procenten. Daarom leggen we dat eerst uit. Daarna staan de begrippen die je voor je eindexamen moet kennen. Aan de linkerkant staat de definitie, aan de rechterkant staat een voorbeeld. Procenten Rekenen met procenten kan op heel veel manieren. Een percentage berekenen doe je misschien wel automatisch goed. Wat lastiger wordt, is als je op je examen de andere kant op moet rekenen, dus als je een waarde moet uitrekenen aan de hand van een percentage. Voor al deze berekeningen met procenten is het handig om een kruistabel te gebruiken. In een kruistabel vul je alle gegevens in. De gevraagde waarde bereken je door de bekende gegevens schuin tegenover elkaar te vermenigvuldigen, en te delen door het laatste gegeven. Hieronder twee voorbeelden: Voorbeeld 1: Een kledingstuk is afgeprijsd van 89 euro naar 69 euro. Hoeveel % korting is dat? € 89,€ 69,Antwoord: (100%·69) / 89 = 77,5%, dus 22,5% korting 100% ? Voorbeeld 2: Het bedrag van 69 euro is inclusief 19% BTW. Wat is het bedrag zonder BTW? Antwoord: (100%·69) / 119% = 57,98 euro ? € 69,100%
119%
Berekenen met de GR De GR kan handig zijn voor het berekenen van het gemiddelde en standaardafwijking. Je kunt een frequentietabel als volgt invoeren in de GR:
Invoeren van frequentietabel: TI 83: stat → edit → waarden invoeren in L1, frequenties invoeren in L2 Casio: menu → stat → waarden invoeren in L1, frequenties invoeren in L2 Uitrekenen: TI 83: stat → calc → 1-var-stats L1,L2 (de L1 en L2 vind je met 2nd 1 en met 2nd 2) Casio: menu → stat → calc → 1-var stat Je rekenmachine geeft nu een rijtje met getallen weer. Hieruit kun je bijvoorbeeld het gemiddelde ( x ) en standaardafwijking ( σ x ) halen. Verder kun je er de mediaan, Q1 en Q3 vinden. De waarde voor Sx is niet de standaardafwijking; Sx heb je nooit nodig. Lukt het invoeren op de GR niet bij jou, vraag ons dan tijdens de cursus even wat er mis is. Er zijn talloze instellingen in je GR, die bij een enkeling verkeerd staan. Alle opdrachten hieronder kun je maken zonder gebruik van het stat-menu in de GR. In principe kan je GR ook grafische vormen (boxplotten en diagrammen) maken. Dit raden we je echter sterk af! Het gebeurt namelijk erg vaak dat er iemand deze grafische vormen vergeet uit te zetten, en dan kun je geen gewone grafieken meer maken. Bovendien is het tekenen van deze grafische vormen gemakkelijk te doen zonder GR.
Voorbereidende opgaven – Stoomcursus
Begrippen Definitie begrippen: • Frequentie
= hoe vaak een waarde voorkomt
frequentie aantal metingen De relatieve frequentie mag in breuken of procenten worden gegeven.
• Relatieve frequentie
=
• Cumulatieve frequentie = frequenties tot dan toe opgeteld • Relatieve cumulatieve frequentie = cumulatieve frequentie aantal metingen • Modus
= waarde met de hoogste frequentie
• Mediaan
= middelste waarde, mits op volgorde
• Q1
= 1e kwartiel, middelste waarde van eerste helft
• Q3
= 3e kwartiel, middelste waarde van laatste helft
• Gemiddelde: o Uit een reeks:
alle waarden opgeteld aantal metingen
o Uit een frequentietabel: 1e waarde×1e frequentie + 2e waarde×2e frequentie, etc. alle frequenties opgeteld • Standaardafwijking = spreidingsmaat, berekenen met GR
Voorbeeld: Mijn cijfers voor wiskundeproefwerken waren: 6, 8, 4, 6, 9, 7, 6, 8, 2, 10, 7, 4. In een frequentietabel wordt dat: Waarde 2 4 6 7 8 Frequentie Relatieve frequentie Cumulatiev e frequentie
1
2
3
2
2
9
10
1
1
1 2 3 2 2 1 12 12 12 12 12 12 1
3
6
8
1 12
10 11
12
Relatieve 1 3 6 8 10 11 cumulatieve 12 12 12 12 12 12 frequentie
1
De modus is hier 6 Op volgorde: 2, 4, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10. Dus de mediaan zit tussen de 6 en 7 → 6,5 De eerste helft is: 2, 4, 4, 6, 6, 6. Dus Q1 zit tussen de 4 en 6
→ 5
De laatste helft is: 7, 7, 8, 8, 9, 10. Dus Q3 zit tussen de twee 8-en
→ 8
Uit de reeks: 6+8+4+6+.....+4 = 6,42 12 Uit de frequentietabel: 2×1+4×2+......+10×1 gemiddelde = = 6,42 12
gemiddelde =
Grafische vormen Van een aantal grafische vormen moet je getallen kunnen aflezen, maar ook zelf kunnen tekenen op je examen. Deze grafische vormen worden hieronder uitgelegd. Frequentiepolygoon Dit is een grafiek met • op de horizontale as de waarden • op de verticale as de bijbehorende frequentie • rechte lijnen tussen de punten • als de waarden in een frequentietabel zijn verdeeld in klassen (zie bv. vraag 2), gebruik dan de klassenmiddens op de x-as • de modus is hier goed te zien: de waarde met de hoogste frequentie
Voorbereidende opgaven – Stoomcursus
Cumulatieve frequentiepolygoon Dit is een grafiek met: • op de horizontale as de waarden • op de verticale as de bijbehorende cumulatieve frequentie • rechte lijnen tussen de punten
• als de waarden in een frequentietabel zijn verdeeld in klassen, gebruik dan de klasseneindes op de x-as • deze grafiek kan niet dalend zijn en eindigt bij het totaal aantal metingen Histogram Dit is een grafische vorm met: • staven • op de horizontale as de waarden • de hoogte van de staven geeft de frequentie aan • als de waarden in een frequentietabel zijn verdeeld in klassen, dan is de breedte van de staven gelijk aan de breedte van de klassen. Een staafdiagram lijkt op een histogram. Bij een histogram mogen de waarden ook kommagetallen zijn, bij een staafdiagram niet. Boxplot Een boxplot geeft de laagste waarde, Q1, mediaan, Q3 en de hoogste waarde weer. Een boxplot ziet er als volgt uit: Laagste waarde
Q1
Mediaan
Q3
Hoogste waarde
De getallen behorend bij de laagste waarde, Q1, mediaan, Q3 en de hoogste waarde moet je onder de boxplot aangeven. Je kunt met behulp van een boxplot bekijken hoe de gegevens verspreid zijn. In elk deel tussen twee verticale strepen liggen 25% van de metingen. In dit voorbeeld kun je dus zien dat 25% van de cijfers tussen de 2 (laagste waarde) en 5 (Q1) ligt. Op dezelfde manier kun je uit deze boxplot snel zien dat 50% van mijn wiskundecijfers hoger was dan een 6,5. Heb je nog vragen over statistiek, dan kun je ons tijdens de cursus altijd aanschieten.
Voorbereidende opgaven – Stoomcursus
4
Blikseminslagen (Maak deze opgave niet als je deelneemt aan de 5 vwo Stoomcursus.) Neem de bijlage over de examenstof statistiek door voordat je deze opgave gaat maken.
Het aantal blikseminslagen per week in Nederland was gedurende het eerste kwartaal van 2008: 4, 7, 2, 8, 3, 7, 8, 10, 12, 6, 3, 10, 8, 7, 8, 10 a.
Zet het aantal blikseminslagen in een frequentietabel, een relatieve frequentietabel en een cumulatieve relatieve frequentietabel.
b.
Wat is het gemiddelde, de modus en de mediaan van het aantal blikseminslagen?
c.
Maak een boxplot van het aantal blikseminslagen.
