HISTORIE ROVNIC Historie matematiky n´am poskytuje velk´e mnoˇzstv´ı zaj´ımav´ ych u ´loh, kter´e dnes ˇreˇs´ıme pomoc´ı rovnic. Tento text ch´apejme hlavnˇe jako sb´ırku takov´ ychto u ´loh, kter´e m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pˇri v´ yuce matematiky na z´ akladn´ı nebo stˇredn´ı ˇskole k motivaci ˇz´ak˚ u, k oˇziven´ı v´ yuky nebo prostˇe k procviˇcen´ı uˇciva o rovnic´ıch. V textu se omez´ıme na u ´lohy vedouc´ı na line´arn´ı a kvadratick´e rovnice a jejich soustavy. Nejsou zde zaˇrazeny u ´lohy na diofantovsk´e rovnice, ty jsou sice zaj´ımav´e, ale nejsou bˇeˇznou souˇc´ast´ı v´ yuky matematiky ani na stˇredn´ıch ˇskol´ach. Mus´ıme si uvˇedomit, ˇze v minulosti byly u ´lohy o rovnic´ıch ˇreˇseny ˇcasto u ´plnˇe jin´ ymi postupy neˇz dnes, nˇekde tyto postupy naznaˇc´ıme. D´ale si mus´ıme uvˇedomit, ˇze se v minulosti bud’ uˇz´ıvala zcela jin´a matematick´a symbolika, obvykle tˇeˇzkop´adnˇejˇs´ı neˇz dnes, nebo se kromˇe symbol˚ u pro ˇc´ısla neuˇz´ıvala ˇz´ adn´a symbolika, takˇze se veˇsker´e u ´vahy pˇri ˇreˇsen´ı rovnic ˇcasto zapisovaly slovnˇe. ´ MATEMATICE 1. ROVNICE VE STAROEGYPTSKE Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ım zdrojem naˇsich poznatk˚ u o matematice ve star´em Egyptˇe jsou dva dochovan´e ˇcistˇe matematick´e papyry. Prvn´ım z nich je Rhind˚ uv papyrus, nˇekdy se tak´e naz´ yv´a Lond´ ynsk´ y nebo Ahmos˚ uv papyrus. Je to sb´ırka 87 u ´loh s n´avody a ˇreˇsen´ımi, dochovan´ y opis tohoto papyru poch´az´ı zˇrejmˇe z 16. stolet´ı pˇr. n. l. Druh´ ym z nich je Moskevsk´ y papyrus, kter´ y obsahuje 25 u ´loh a poch´az´ı patrnˇe ze 17. stolet´ı pˇr. n. l. V tˇechto dvou papyrech se objevuj´ı u ´lohy, kter´e m˚ uˇzeme ˇreˇsit line´arn´ımi rovnicemi. Jsou to vˇetˇsinou u ´lohy ˇ sen´ı tˇechto u poˇzaduj´ıc´ı urˇcit nezn´am´e mnoˇzstv´ı, kter´e splˇ nuje nˇejak´e dan´e podm´ınky. Reˇ ´loh lze povaˇzovat za poˇc´atky algebry. V papyrech jsou obvykle ˇreˇseny metodou chybn´eho pˇredpokladu nebo pˇr´ım´ ym dˇelen´ım. V Rhindovˇe papyru nal´ez´ame napˇr´ıklad u ´lohu: Hromada a jej´ı ˇctvrtina d´ avaj´ı dohromady 15. V naˇs´ı symbolice m˚ uˇzeme tuto u ´lohu zapsat jednoduchou line´arn´ı rovnic´ı 1 x + x = 15. 4 ˇ sitel nejprve pˇredpokl´ad´a, ˇze hledan´e mnoˇzstv´ı V papyru je u ´loha ˇreˇsena metodou chybn´eho pˇredpokladu. Reˇ je rovno ˇctyˇrem, protoˇze jednu ˇctvrtinu ze ˇctyˇr vypoˇc´ıt´a snadno. Dosazen´ım ˇc´ısla 4 za x do lev´e strany rovnice dostane ˇc´ıslo 5, na prav´e stranˇe rovnice je ovˇsem ˇc´ıslo 15, to je ˇc´ıslo tˇrikr´at vˇetˇs´ı neˇz 5. Tud´ıˇz mus´ı chybn´ y pˇredpoklad 4 n´asobit tˇremi. Potom z´ısk´a x = 12. Rhind˚ uv papyrus obsahuje dalˇs´ı tˇri podobn´e u ´lohy, kter´e m˚ uˇzeme zapsat line´arn´ımi rovnicemi: x + 17 x = 19, kde x = 16 21 18 , x + 21 x = 16, kde x = 10 32 , x + 15 x = 21, kde x = 17 21 . Metodou pˇr´ım´eho dˇelen´ı je v Rhindovˇe papyru ˇreˇsena u ´loha, kterou m˚ uˇzeme zapsat rovnic´ı 2 1 ( + ) · x = 10. 3 10 1 1 a dostane x = 13 23 . Stejnou metodou jsou ˇreˇseny Zde ˇreˇsitel v´ ysledek z´ısk´a tak, ˇze ˇc´ıslo 10 dˇel´ı ˇc´ıslem 23 + 10 tak´e dalˇs´ı u ´lohy Rhindova papyru, kter´e bychom my zapsali rovnicemi:
1
x + ( 23 +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 + 7 ) · x = 33, kde x = 14 4 56 97 194 388 679 776 , 1 1 1 x + ( 31 + 14 ) · x = 2, kde x = 1 16 12 114 228 , 1 1 1 x + ( 23 + 12 + 17 ) · x = 37, kde x = 16 56 679 776 , 1 x + ( 21 + 14 ) · x = 10, kde x = 5 21 17 14 , 1 3x + 31 x = 1, kde x = 51 10 , 1 1 1 3x + ( 31 + 15 ) · x = 1, kde x = 14 53 106 212 , 1 , 3x + ( 31 + 13 · 13 + 91 ) · x = 1, kde x = 41 32 1 1 1 1 1 3x + 7 x = 1, kde x = 6 11 22 66 .
V Rhindovˇe papyru se vyskytuje tak´e jedna obt´ıˇznˇejˇs´ı u ´loha, kter´a vede na rovnici 1 2 2 (x + x) − · (x + x) = 10. 3 3 3 I kdyˇz je papyrus na tomto m´ıstˇe poˇskozen´ y, zd´a se, ˇze poˇct´aˇr upravil levou stranu rovnice a z´ıskal odkud x = 9.
10 9 ·x
= 10,
Dalˇs´ı papyry obsahuj´ı jeˇstˇe nˇekolik podobn´ ych u ´loh vedouc´ıch na jednoduch´e line´arn´ı rovnice. V dochovan´ ych papyrech se nikde neobjevuj´ı u ´lohy, kter´e by vedly na u ´plnou kvadratickou rovnici. Pouze se v nich objevuj´ı dvˇe u ´lohy vedouc´ı na ryze kvadratickou rovnici. Jsou to u ´lohy, kter´e bychom dnes zapsali takto: x2 + y 2 = 100, y = ( 21 + 14 ) · x, kde x = 8, y = 6, 10x · ( 21 + 14 ) · x = 120, kde x = 4. ´ MEZOPOTAMII ´ 2. ROVNICE VE STARE
Jiˇz v 18. stolet´ı pˇr. n. l. se v Mezopot´amii ˇreˇsily u ´lohy, kter´e dnes ˇreˇs´ıme pomoc´ı line´arn´ıch rovnic a jejich soustav. V t´e dobˇe t´emˇeˇr u ´plnˇe chybˇela matematick´a symbolika a m´ısto algebraick´e terminologie se vˇetˇsinou pouˇz´ıvala geometrick´a terminologie, protoˇze p˚ uvod vˇetˇsiny u ´loh je geometrick´ y. Nezn´am´e veliˇciny byly oznaˇcov´any jako d´elka, ˇs´ıˇrka, v´yˇska nebo hloubka, souˇcin dvou nezn´am´ ych jako plocha, obsah nebo ˇctverec d´elky nebo ˇctverec ˇs´ıˇrky, souˇcin tˇr´ı nezn´am´ ych byl obvykle oznaˇcov´an jako objem. I pˇres geometrick´ y p˚ uvod u ´loh nen´ı dodrˇzov´an princip homogenity a v u ´loh´ach se ˇcasto sˇc´ıtaj´ı d´elky, ˇs´ıˇrky, obsahy, objemy a bezrozmˇern´e konstanty. Algoritmus ˇreˇsen´ı nelze u ˇrady u ´loh urˇcit, protoˇze tabulky obsahuj´ı jen zad´ an´ı ´ a nˇekdy v´ ysledek. Ulohy byly patrnˇe ˇreˇseny postupnou eliminac´ı nezn´am´ ych, substituc´ı nebo metodou chybn´eho pˇredpokladu. V Mezopot´amii se uˇz´ıvala k z´apisu ˇc´ısel ˇsedes´atkov´a poziˇcn´ı soustava. Dneˇsn´ı z´aznam mezopot´ amsk´ ych ˇc´ısel v t´eto soustavˇe uˇz´ıv´a konvence, kdy jsou jednotliv´e ˇr´ady od sebe oddˇeleny ˇc´arkou a cel´a ˇc´ast ˇc´ısla je od ˇsedes´atinn´ ych zlomk˚ u oddˇelena stˇredn´ıkem. Napˇr´ıklad z´apis (1, 2, 3; 4, 5) oznaˇcuje ˇc´ıslo 1 · 602 + 2 · 60 + 4 + 6052 . 3 + 60
2
Jedna z kl´ınopisn´ ych tabulek obsahuje u ´lohu: Nalezl jsem k´ amen, ale nezn´ am jeho hmotnost. Pot´e, co jsem pˇridal mina. Jak´ a byla p˚ uvodn´ı hmotnost kamene? (viz [2], str. 258)
1 7
a jeˇstˇe
1 11
toho vˇseho, je to (1)
Vezmeme-li v u ´vahu, ˇze 1 mina se rovnala 60 gin, pak m˚ uˇzeme u ´lohu v naˇs´ı symbolice zapsat rovnic´ı 1 1 1 · (x + x) = 60. (x + x) + 7 11 7 ˇ sen´ım je x = 48 1 = (48; 7, 30) gin. Reˇ 8 Stejn´a tabulka obsahuje dalˇs´ı u ´lohy, kter´e m˚ uˇzeme vyj´adˇrit v dneˇsn´ı symbolice rovnicemi: 1 13 1 (x − 71 x) + 11 (6x + 2) + 31 · (8x + 3) + 13 ·
(x − 71 x) −
· (x − 17 x) = 60, kde x = 75 56 , · (x − 17 x) −
1 13
· [(x − 17 x) +
1 11
· (x − 71 x)] = 60, kde x = 69 37 72 ,
1 1 7 · 24 · (6x + 2) = 60, kde x = 4 3 , 1 1 13 · 21 · (8x + 3) = 60, kde x = 4 2 .
Na soustavu line´arn´ıch rovnic vede napˇr´ıklad u ´loha, kterou lze formulovat takto: M´ame dvˇe pole. Z ploˇsn´e jednotky bur prvn´ıho pole se sklid´ı 4 gur obil´ı, z ploˇsn´e jednotky bur druh´eho pole se sklid´ı 3 gur obil´ı. Sklizeˇ n z prvn´ıho pole pˇrevyˇsuje sklizeˇ n z druh´eho pole o (8, 20) = 500 s´ıla. Souˇcet ploch obou pol´ı je (30, 0) = 1800 sar. Jak´e jsou v´ ymˇery obou pol´ı? Plat´ı 1 bur = 1800 sar a 1 gur = 300 s´ıla. Oznaˇc´ıme-li v´ ymˇery pol´ı x, y, pak m˚ uˇzeme tuto u ´lohu vyj´adˇrit soustavou line´arn´ıch rovnic 2 1 x − y = 500, 3 2 x + y = 1800. V´ ymˇery pol´ı jsou 1200 a 600 sar. V kl´ınopisn´e tabulce je u ´loha ˇreˇsena metodou chybn´eho pˇredpokladu, kdy se uvaˇzuje stejn´a v´ ymˇera obou pol´ı, tj. 900 sar. Obdobn´a je u ´loha: Souˇcet v´ymˇer dvou pol´ı d´ av´ a 30 ˇctvereˇcn´ych jednotek. Z nich sklidili (18, 20) mˇeˇric zrna. Urˇcete v´ymˇeru pole, kdyˇz v´ıte, ˇze ze 30 ˇctvereˇcn´ych jednotek prvn´ıho pole skl´ızej´ı (20, 0) mˇeˇric zrna a ze 30 ˇctvereˇcn´ych jednotek druh´eho pole skl´ızej´ı (15, 0) mˇeˇric zrna. (viz [5], str. 28) Oznaˇc´ıme-li v´ ymˇery pol´ı x, y, pak m˚ uˇzeme tuto u ´lohu vyj´adˇrit soustavou line´arn´ıch rovnic 40x + 30y = 1100, x + y = 30. V´ ymˇery pol´ı jsou 20 a 10 ˇctvereˇcn´ ych jednotek. V matematice star´e Mezopot´amie se objevuj´ı tak´e u ´lohy vedouc´ı na u ´pln´e kvadratick´e rovnice nebo ˇcastˇeji na soustavu line´arn´ı a kvadratick´e rovnice. Mezopot´amˇst´ı matematici se nedopracovali k obecn´emu ˇreˇsen´ı kvadratick´e rovnice ax2 + bx + c = 0, a 6= 0, kter´e by odpov´ıdalo dnes vˇseobecnˇe uˇz´ıvan´emu vzorci. To bylo d´ ano t´ım, ˇze koˇrenem rovnice mohla b´ yt jen kladn´a ˇc´ısla. Z tohoto omezen´ı vyplynulo, ˇze rozpracovali ˇreˇsen´ı jen nˇekter´ ych typ˚ u kvadratick´ ych rovnic, kde byla zaruˇcena existence kladn´eho koˇrene. Rovnˇeˇz nedospˇeli k poznatku, ˇze kvadratick´a rovnice m˚ uˇze m´ıt dva koˇreny. 3
ˇ sili n´asleduj´ıc´ı typy kvadratick´ Reˇ ych rovnic: x2 + q = px, x2 = px + q, x2 + px = q, ax2 + bx = c, kde p, q, a, b, c > 0. Kromˇe toho ˇreˇsili tak´e u ´lohy, kter´e vedou na nˇekter´e speci´aln´ı pˇr´ıpady rovnic tˇret´ıho a ˇctvrt´eho stupnˇe. ´ ˇ 3. ROVNICE V MATEMATICE STAREHO RECKA Po objevu nesoumˇeˇritelnosti a vzhledem ke geometrick´emu charakteru ˇreck´e matematiky se rovnice ˇreˇsily ˇ geometricky pomoc´ı tzv. ˇreck´e geometrick´e algebry. T´ımto zp˚ usobem Rekov´ e ˇreˇsili rovnice n´asleduj´ıc´ıch typ˚ u: ax = b2 , ax = bc, x2 = ab, ax − x2 = b2 , b <
a , 2
ax + x2 = b2 , x2 − ax = b2 , kde vˇzdy a, b, c > 0. Nebudeme ˇreck´e metody jejich ˇreˇsen´ı nyn´ı rozeb´ırat. D˚ uleˇzit´ ym ˇreck´ ym pˇr´ıspˇevkem k ˇreˇsen´ı rovnic je spis Aritmetika, jehoˇz autorem je v´ yznamn´ y ˇreck´ y matematik Diofantos. Tento spis poch´az´ı ze 3. stolet´ı n. l. Diofantos v tomto spise poprv´e v historii zav´ ad´ı algebraickou symboliku. Pˇredevˇs´ım zav´ad´ı poprv´e v historii matematiky symbol pro nezn´amou, kter´ y mˇel pˇribliˇznˇe podobu S 0 . D´ale zavedl speci´aln´ı symboly pro mocniny nezn´am´e aˇz do ˇsest´e mocniny a symbol pro operaci odˇc´ıt´an´ı. Tak´e zde formuloval n´asleduj´ıc´ı pravidla pro ˇreˇsen´ı rovnic: 1) stejn´e odeˇc´ıst od stejn´eho tak, aby na kaˇzd´e stranˇe rovnice z˚ ustal jen jeden ˇclen jist´eho stupnˇe, 2) pˇriˇc´ıst z´aporn´e ˇcleny k obˇema stran´am rovnice tak, aby na obou stran´ach rovnice z˚ ustaly jen kladn´e ˇcleny. Z urˇcit´ ych rovnic se zab´ yval hlavnˇe ˇreˇsen´ım line´arn´ıch a kvadratick´ ych rovnic a jejich soustav. Velkou ˇc´ ast sv´eho spisu vˇenoval ˇreˇsen´ı neurˇcit´ ych rovnic, kter´e se tak´e po nˇem naz´ yvaj´ı diofantovsk´e rovnice. Metrodoros Metrodoros ˇzil patrnˇe ve 4. stol. n. l. (nˇekter´e prameny kladou jeho ˇzivot do 6. stolet´ı). Je oznaˇcov´ an za autora sb´ırky epigram˚ u Anthologia Palatina, kter´a obsahovala 46 matematick´ ych u ´loh, kter´e vedou na line´ arn´ı rovnice nebo jejich soustavy. Uvedeme nˇekter´e z tˇechto u ´loh.
4
Pythagore vzneˇsen´y, helik´ onsk´ych m´ uz potomku, na mou odpovˇez ot´ azku, kolik vˇern´ych ˇz´ ak˚ u m´ aˇs ve sv´em domˇe, kde jako borci na z´ avodiˇsti usiluj´ı o prvenstv´ı? R´ ad pov´ım Polykrate. Vid´ıˇs, ˇze polovina ˇz´ ak˚ u pˇestuje matematiku, a zat´ım ˇctvrtina na vˇeˇcnou pˇr´ırodu sv´e zkoum´ an´ı obrac´ı. Sedmina nedˇel´ a nic, jen mlˇcen´ı zachov´ av´ a, jen sv´e duˇse oˇciˇst’uje, v´ıˇs, opakov´ an´ım uˇciva. A pˇridej k nim tˇri ˇzeny, kter´e nevst´ avaj´ı tak brzy, mezi nimi nejv´yznamnˇejˇs´ı je m´ a milovan´ a Teano. Hle, a to jsou vˇsichni, kter´e vedu cestou moudrosti a snad i m´ uz pierijsk´ych jim zjedn´ am l´ asku boˇz´ı. (viz [5], str. 75) ´ Oznaˇc´ıme x poˇcet ˇz´ak˚ u. Uloha vede na rovnici 1 1 1 x + x + x + 3 = x, 2 4 7 ze kter´e dostaneme, ˇze ˇz´ak˚ u bylo 28. Kdyˇz Kyprida spatˇrila, ˇze Er´ os pl´ aˇce, zeptala se ho: Co tˇe tak roztesknilo, mohu to vˇedˇet? ˇ jsem z Helik´ Sel onu a nesl jsem mnoho jablek, ˇr´ık´ a Er´ os, ale potom mne n´ ahle pˇrepadly M´ uzy a zmocnily se sladk´e n˚ uˇse. Dvan´ actinu v mˇziku popadla Euterp´e, Klei´ o si oddˇelila pˇetinu, Thaleia osminu. Dvac´ at´y d´ıl pro sebe zabrala Malpomen´e a ˇctvrtinu Terpsichor´e. Sedminu uchv´ atila a jak pˇrelud zmizela Erat´ o. Tˇricet plod˚ u si vzala Polymnia. Sto dvacet se jich dostalo Ur´ anii a tˇri sta Kalliop´e. A tak se vrac´ım dom˚ u s pr´ azdn´yma rukama, zbylo mi jen p˚ ul stovky jablek. (viz [5], str. 76) ´ Oznaˇcme x poˇcet jablek. Uloha vede na rovnici 1 1 1 1 1 1 x + x + x + x + x + x + 30 + 120 + 300 = x − 50, 12 5 8 20 4 7 z n´ıˇz dostaneme, ˇze Er´os mˇel p˚ uvodnˇe 3360 jablek. Ukovej mi korunu a sm´ıchej dohromady zlato s mˇed´ı, vezmi k tomu tak´e jeˇstˇe c´ın a nam´ ahavˇe pˇripraven´e ˇzelezo. At’ to v´ aˇz´ı ˇsedes´ at min. Zlato a mˇed’ at’ v´ aˇz´ı dvˇe tˇretiny celku, zlata s c´ınem at’ jsou naopak tˇri ˇctvrtiny, ale zlato a ˇzelezo dohromady at’ v´ aˇz´ı tˇri pˇetiny. Nuˇze nyn´ı mi pˇresnˇe ˇrekni, kolik zlata mus´ıˇs vz´ıt a mˇedi, abys dos´ ahl on´e smˇesi, jakou v´ ahu c´ınu a jakou koneˇcnˇe ˇzeleza, abys ukoval korunu pˇresnˇe ze ˇsedes´ ati min. (viz [6], str. 46) ´ Oznaˇcme a, b, c, d po ˇradˇe hmotnosti zlata, mˇedi, c´ınu a ˇzeleza. Uloha vede k soustavˇe rovnic a + b + c + d = 60 a + b = 40 a + c = 45 a + d = 36 ze kter´e dostaneme, ˇze k ukov´an´ı koruny se pouˇzilo 30,5 miny zlata, 9,5 miny mˇedi, 14,5 miny c´ınu a 5,5 miny ˇzeleza. Vezmi si pˇetinu dˇedictv´ı, m˚ uj synu, ale tobˇe, ´ o manˇzelko, bude dvan´ actina pod´ılem. Pak synov´e zemˇrel´eho d´ıtˇete, ˇctyˇri do poˇctu, oba bratˇri, matka, kaˇzd´y at’ si z m´ych penˇez odebere jeden´ actinu. Dvan´ act talent˚ u maj´ı mil´ı bratranci obdrˇzet a drah´y pˇr´ıtel Eubolos at’ si vezme pˇet. Svobodu a n´ ahradu at’ obdrˇz´ı vˇern´e sluˇzebnictvo, mzdu za vykonan´e sluˇzby; d´ av´ am jim toto: pˇet a dvacet min at’ dˇed´ı Onesimos, ty, m˚ uj Daosi, m˚ uˇzeˇs se potˇeˇsit z dvaceti, pades´ at at’ obdrˇz´ı Syros, deset Synete, Tibios osm, Synetos, syn Syros˚ uv, bude m´ıt sedm jako pod´ıl. 5
Tˇricet talent˚ u pak vezmˇete na ozdoben´ı hrobu a t´ım obˇetujte bohu podsvˇet´ı; dva at’ jsou na hranici, j´ıdlo a pl´ atno, a dva at’ jsou na ozdoben´ı tˇela. (1 talent = 60 min) (viz [6], str. 50) ´ Oznaˇcme x hodnotu cel´eho dˇedictv´ı v talentech. Uloha vede na rovnici 1 1 1 1 x + x + 7 · x + 12 + 5 + · (25 + 20 + 50 + 10 + 8 + 7) + 30 + 2 + 2 = x, 5 12 11 60 ze kter´e dostaneme, ˇze cel´e dˇedictv´ı obn´aˇselo 660 talent˚ u. Tˇeˇzce naloˇzena v´ınem ˇsla oslice s mezkem. A oslice st´enala velice silnˇe pod t´ıˇz´ı n´ akladu. Jej´ı spoleˇcn´ık to vidˇel a ˇrekl vzdychaj´ıc´ımu zv´ıˇreti: Matko, proˇcpak naˇr´ık´ aˇs jako plaˇc´ıc´ı holˇciˇcka? Kdybys mi dala jednu libru, nesl bych dvakr´ at tolik, jako ty neseˇs; kdyˇz mi jednu vezmeˇs, poneseme oba stejnˇe. Vypoˇc´ıtej mi, ´ o matematiku, kolik kaˇzd´y nesl. (viz [6], str. 58) ´ Oznaˇcme x poˇcet liber, kter´e nesl mezek a y poˇcet liber, kter´e nesla oslice. Uloha vede k soustavˇe rovnic 2(y − 1) = x + 1 x − 1 = y + 1, z n´ıˇz dostaneme, ˇze mezek nesl 7 liber a oslice 5 liber. Jsou ˇctyˇri font´ any. Prvn´ı napln´ı n´ adrˇz za den, druh´ a za dva, tˇret´ı za tˇri a ˇctvrt´ a za ˇctyˇri dny. Jakpak dlouho to trv´ a, jsou-li vˇsechny otevˇren´e? (viz [6], str. 52) Odpovˇed’ je
12 25
dne.
Pohled’, jak stoj´ı tu bronzov´y Kyklop Polyf´emos. Jak dovednˇe mu kov´ aˇr zhotovil oko a u ´sta a ruku, ukryv mu do nich trubky. Vˇeru vypad´ a ten obr u ´plnˇe jako by z nˇej lilo! Jeˇstˇe ted’ mu proud´ı z u ´st pramen. Trubky jsou takto uspoˇr´ adan´e: n´ adrˇz se napln´ı trubkou v ruce, kdyˇz tˇri dny teˇce, jeden staˇc´ı oku, dvˇe pˇetiny staˇc´ı u ´st˚ um. Kdo m˚ uˇze ˇr´ıci ˇcas, kter´y potˇrebuj´ı ve tˇrech? (viz [6], str. 52) Odpovˇed’ je
6 23
dne.
ˇ´ ´ MATEMATICE 4. ROVNICE V C INSKE Nejstarˇs´ım dochovan´ ym ˇc´ınsk´ ym matematick´ ym pojedn´an´ım je spis Matematika v dev´ıti knih´ ach, kter´ y vznikl patrnˇe v prvn´ıch stalet´ıch naˇseho letopoˇctu. Obsahuje 246 u ´loh a jejich ˇreˇsen´ı, mezi nimi jsou i u ´lohy vedouc´ı na line´arn´ı a kvadratick´e rovnice a jejich soustavy. Uved’me nˇekter´e z nich. Pˇr´ıkladem u ´lohy, kterou dnes ˇreˇs´ıme jednou line´arn´ı rovnic´ı je n´asleduj´ıc´ı u ´loha: Vodn´ı n´ adrˇz m´ a pˇet pˇr´ıvodn´ıch struh. Jestliˇze otevˇreme jen prvn´ı z nich, n´ adrˇz se napln´ı za tˇretinu dne, kdyˇz jen druhou, napln´ı se za den, kdyˇz jen tˇret´ı - za dva a p˚ ul dne, kdyˇz jen ˇctvrtou - za tˇri dny, kdyˇz jen p´ atou - za pˇet dn´ı. Za kolik dn´ı se n´ adrˇz napln´ı, kdyˇz otevˇreme vˇsechny pˇr´ıvodn´ı strouhy? (viz [5], str. 93-94) Oznaˇc´ıme-li x hledan´ y ˇcasov´ yu ´sek, pak tato u ´loha vede k ˇreˇsen´ı rovnice (3 + 1 + jej´ımˇz koˇrenem je x = 15 . 74
2 5
+
1 3
+ 15 ) · x = 1,
D´ale uved’me tˇri u ´lohy, kter´e dnes ˇreˇs´ıme soustavou dvou line´arn´ıch rovnic o dvou nezn´am´ ych. Ve spise Matematika v dev´ıti knih´ ach jsou ˇreˇseny metodou dvou faleˇsn´ ych pˇredpoklad˚ u. 6
Nˇekolik lid´ı spoleˇcnˇe kupuje berana. Kdyˇz kaˇzd´y pˇrispˇeje pˇeti pen´ızi, bude chybˇet 45 pen´ız˚ u do ceny berana. Kdyˇz kaˇzd´y pˇrispˇeje sedmi pen´ızi, budou chybˇet tˇri pen´ıze. Kolik je lid´ı a jakou cenu m´ a beran? (viz [5], str. 93) Oznaˇc´ıme-li x poˇcet lid´ı a y cenu berana, pak u ´loha vede k ˇreˇsen´ı soustavy 5x + 45 = y 7x + 3 = y, z n´ıˇz dostaneme, ˇze lid´ı bylo 21 a beran st´al 150 pen´ız˚ u. Urˇcete poˇcet kupuj´ıc´ıch a cenu kupovan´eho pˇredmˇetu. Jestliˇze kaˇzd´y kupuj´ıc´ı zaplat´ı 9 pen´ız˚ u, bude pˇreb´yvat 11 pen´ız˚ u, jestliˇze kaˇzd´y zaplat´ı 6 pen´ız˚ u, pak se nedostane 16 pen´ız˚ u. (viz [3], str. 34) Oznaˇc´ıme-li x poˇcet lid´ı a y cenu pˇredmˇetu, pak u ´loha vede k ˇreˇsen´ı soustavy 9x − 11 = y 6x + 16 = y, z n´ıˇz dostaneme, ˇze lid´ı bylo 9 a pˇredmˇet st´al 70 pen´ız˚ u. V´ aha dev´ıti zlat´ych prut˚ u se rovn´ a v´ aze jeden´ acti stˇr´ıbrn´ych prut˚ u. Pˇri z´ amˇenˇe zlat´eho a stˇr´ıbrn´eho prutu bude zlato lehˇc´ı o 13 lang. Urˇcete v´ ahu zlat´eho a stˇr´ıbrn´eho prutu. (viz [3], str. 38-39) Oznaˇcme x v´ahu zlat´eho prutu a y v´ahu stˇr´ıbrn´eho prutu, pak u ´loha vede k ˇreˇsen´ı soustavy 9x = 11y 8x + y + 13 = 10y + x, odkud x = 35 34 , y = 29 41 . Ve spise Matematika v dev´ıti knih´ ach se objevuj´ı tak´e u ´lohy vedouc´ı k ˇreˇsen´ı soustav line´arn´ıch rovnic o tˇrech aˇz pˇeti nezn´am´ ych. Velice zaj´ımav´a je skuteˇcnost, ˇze takov´e u ´lohy jsou v tomto spise ˇreˇseny pomoc´ı matic. Uvedeme na uk´azku tˇri z tˇechto u ´loh. Ze tˇr´ı snop˚ u dobr´e u ´rody, dvou snop˚ u pr˚ umˇern´e u ´rody a jednoho snopu ˇspatn´e u ´rody z´ıskali 39 mˇer zrna. Ze dvou snop˚ u dobr´e u ´rody, tˇr´ı snop˚ u pr˚ umˇern´e u ´rody a jednoho snopu ˇspatn´e u ´rody dostali 34 mˇer zrna. Z jednoho snopu dobr´e u ´rody, dvou snop˚ u pr˚ umˇern´e u ´rody a tˇr´ı snop˚ u ˇspatn´e u ´rody z´ıskali 26 mˇer zrna. Kolik mˇer zrna dostali z kaˇzd´eho snopu dobr´e, pr˚ umˇern´e a ˇspatn´e u ´rody? (viz [3], str. 41) Oznaˇcme x, y, z po ˇradˇe hledan´e veliˇciny, pak dostaneme soustavu rovnic 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 ze kter´e dostaneme, x = 9 14 , y = 4 14 , z = 2 43 .
7
Dvˇema snop˚ um z dobr´e u ´rody, tˇrem snop˚ um z pr˚ umˇern´e u ´rody a ˇctyˇrem snop˚ um ze ˇspatn´e u ´rody se do 1 tou (mˇeˇrice) nedost´ av´ a v uveden´em poˇrad´ı 1 snop z pr˚ umˇern´e u ´rody, 1 snop ze ˇspatn´e u ´rody a 1 snop z dobr´e u ´rody. Pt´ ame se kolik (zrn´ı) z´ısk´ ame z kaˇzd´eho snopu z dobr´e, pr˚ umˇern´e a ˇspatn´e u ´rody? (viz [3], str. 45) ´ Uloha vede k soustavˇe 2x = 1 − y 3y = 1 − z 4z = 1 − x ze kter´e dostaneme, x =
9 25 ,
y=
7 25 ,
z=
4 25 .
Pˇri prodeji 2 buvol˚ u, 5 ovc´ı a koupi 13 vepˇr˚ u z˚ ustalo 1000 ˇcchien, pˇri prodeji 3 buvol˚ u a 3 vepˇr˚ u staˇcily pen´ıze pˇresnˇe na koupi 9 ovc´ı a pˇri prodeji 6 ovc´ı a 8 vepˇr˚ u koupili 5 buvol˚ u a nedostalo se 600 ˇcchien. Urˇcete cenu buvola, ovce a vepˇre. (viz [3], str. 46) Oznaˇcme x cenu buvola, y cenu ovce, z cenu vepˇre, pak dostaneme soustavu rovnic 2x + 5y − 13z = 1000 3x − 9y + 3z = 0 −5x + 6y + 8z = −600 ze kter´e dostaneme, x = 1200, y = 500, z = 300. Ve spise Matematika v dev´ıti knih´ ach se objevuj´ı tak´e u ´lohy vedouc´ı na kvadratick´e rovnice. Vˇetˇsinou maj´ı p˚ uvod v geometrii, v nˇekter´ ych se pouˇz´ıv´a Pythagorova vˇeta a jsou ˇreˇseny doplnˇen´ım na ˇctverec. Vˇzdy maj´ı jedin´e kladn´e ˇreˇsen´ı, o existenci druh´eho koˇrene kvadratick´e rovnice se spis nezmiˇ nuje. Uvedeme si dvˇe z tˇechto u ´loh: Urˇcete strany obd´eln´ıka, je-li jejich rozd´ıl 6,8 a u ´hlopˇr´ıˇcka je 10. (viz [3], str. 55) ´ Uloha vede k soustavˇe x − y = 6, 8 p x2 + y 2 = 10. Strany obd´eln´ıka jsou 2,8 a 9,6. Uprostˇred kaˇzd´e strany mˇesta ˇctvercov´eho p˚ udorysu je br´ ana. Ve vzd´ alenosti 20 pu na sever od severn´ı br´ any stoj´ı sloup. Jestliˇze se vzd´ al´ıme od jiˇzn´ı br´ any o 14 pu na jih a zaboˇc´ıme o 1775 pu na z´ apad, dostaneme se na m´ısto, z nˇehoˇz sloup zaˇc´ın´ a b´yt vidˇet. Jak´ a je d´elka strany ˇctverce? (viz [3], str. 57) Je-li x d´elka strany ˇctverce, pak z podobnosti troj´ uheln´ık˚ u dostaneme rovnici 34 + x 20 = x, 1775 2 z n´ıˇz dostaneme kvadratickou rovnici x2 + 34x − 71000 = 0. Strana ˇctverce je 250 pu. 8
´ MATEMATICE 5. ROVNICE V INDICKE Nˇekolik zaj´ımav´ ych u ´loh, kter´e se ˇreˇs´ı pomoc´ı rovnic, se dochovalo v d´ılech indick´eho matematika, kter´ y se jmenoval Bh´askara II. (1114 - 1178). Uvedeme nˇekter´e z nich. ˇ Ze svazku ˇcist´ych lotos˚ u byly jedna tˇretina, pˇetina, resp. ˇsestina postupnˇe obˇetov´ any boh˚ um Sivovi, ˇ Viˇsnovi ˇci S´ urjovi a ˇctvrtina byla obˇetov´ ana Bhavanimu. Zb´yvaj´ıc´ıch ˇsest bylo darov´ ano vysoce v´ aˇzen´emu hodnost´ aˇri. Rychle mi ˇrekni, kolik bylo lotos˚ u? (viz [3], str. 125) Oznaˇc´ıme poˇcet lotos˚ u x, pak danou u ´lohu m˚ uˇzeme ˇreˇsit rovnic´ı x x x x + + + + 6 = x, 3 5 6 4 odkud dostaneme x = 120. Bh´askara tuto u ´lohu ˇreˇs´ı metodou faleˇsn´eho pˇredpokladu, kdy za poˇcet lotos˚ u vol´ı ˇc´ıslo 60, coˇz je nejmenˇs´ı spoleˇcn´ y n´asobek jmenovatel˚ u 3, 4, 5, 6. Po dosazen´ı tohoto ˇc´ısla do zad´ an´ı zb´ yvaj´ı tˇri lotosy a ne 6, jak je poˇzadov´ano v textu u ´lohy, proto je ˇreˇsen´ım ˇc´ıslo 63 · 60 = 120. V dalˇs´ı u ´loze se m´a urˇcit majetek tˇr´ı lid´ı, jestliˇze souˇcet majetk˚ u prvn´ıho a druh´eho je 13, druh´eho a tˇret´ıho 14, prvn´ıho a tˇret´ıho 15. (viz [3], str. 125) Oznaˇcme x, y, z po ˇradˇe majetky tˇr´ı osob, pak u ´lohu m˚ uˇzeme ˇreˇsit soustavou rovnic x + y = 13 y + z = 14 x + z = 15 ze kter´e dostaneme, x = 7, y = 6, z = 8. Jinde se m´a urˇcit majetek dvou osob, jestliˇze v´ıme, ˇze kdyby prvn´ı osoba dostala od druh´e 100, byla by dvakr´at bohatˇs´ı neˇz druh´a, a jestliˇze by druh´a dostala od prvn´ı 10, byla by ˇsestkr´at bohatˇs´ı neˇz prvn´ı. (viz [3], str. 135) ´ Uloha vede k soustavˇe x + 100 = 2(y − 100) y + 10 = 6(x − 10), odkud x = 40, y = 170. ˇ St´ ado opic bav´ıc´ıch se v h´ aji se rozdˇelilo na dvˇe ˇc´ asti. Ctverec osminy jejich poˇctu se bavil sk´ ak´ an´ım ve vˇetv´ıch. Dvan´ act opic v´ıtalo radostn´ym kˇrikem tich´y rozbˇresk dne. Kolik opic je celkem? (viz [3], str. 141) Oznaˇc´ıme-li x poˇcet opic, vede u ´loha k rovnici x ( )2 + 12 = x, 8 odkud dostaneme dvˇe hodnoty x, a to 48 a 16, obˇe vyhovuj´ı zad´an´ı. Jedna pˇetina st´ ada opic bez tˇr´ı opic umocnˇen´ a na druhou se schov´ av´ a v jeskyni a je vidˇet jednu zbylou opici, kter´ a vylezla na strom. (viz [3], str. 141-142) ´ Uloha vede k rovnici (
x − 3)2 + 1 = x. 5 9
kter´a m´a dva koˇreny, a to 50 a 5, ale Bh´askara uvaˇzuje jen koˇren 50, protoˇze pro x = 5 je ˇc´ıslo z´ aporn´e, coˇz podle nˇej nevyhovuje zad´an´ı.
x 5
−3
Dalˇs´ı u ´lohy o rovnic´ıch se objevuj´ı ve spisech indick´eho matematika, jehoˇz jm´eno bylo Mah´av´ıra a kter´ y ˇzil v 9. stolet´ı n. l. 1 hejna se nach´ az´ı na mangovn´ıkov´em stromˇe, dvojmoc Urˇcete poˇcet p´ av˚ u, v´ıme-li, ˇze dvojmoc 16 sed´ı jeˇstˇe se 14 p´ avy na tamalov´em stromˇe. (viz [3], str. 140)
1 9
zbytku
´ Uloha vede k rovnici
1 2 1 15 x) + ( · x)2 + 14 = x, 16 9 16 kter´a m´a dva koˇreny. Zad´an´ı u ´lohy vyhovuje jen prvn´ı z nich, to je x = 48. Druh´ y koˇren nen´ı celoˇc´ıseln´ y. (
Bˇehem souboje kohout˚ u se jeden z div´ ak˚ u dohodl s jejich majiteli. Prvn´ımu ˇrekl: ”Kdyˇz zv´ıtˇez´ı tv˚ uj kohout, d´ aˇs mi svou v´yhru, kdyˇz prohrajeˇs, zaplat´ım ti dvˇe tˇretiny moˇzn´e v´yhry.” Druh´emu soupeˇri ˇrekl: ”Kdyˇz zv´ıtˇez´ı tv˚ uj kohout, d´ aˇs mi svou v´yhru, kdyˇz prohrajeˇs, zaplat´ım ti tˇri ˇctvrtiny moˇzn´e v´yhry.” V obou pˇr´ıpadech z´ısk´ a div´ ak 12 pen´ız˚ u. Jakou v´yhru hohl z´ıskat kaˇzd´y majitel kohouta? (viz [5], str. 84) Oznaˇcme x, y v´ yhry obou majitel˚ u kohout˚ u, pak dostaneme soustavu 3 x − y = 12 4 2 y − x = 12 3 odkud x = 42, y = 40. Plody gran´ atov´ych jablek, manga a obyˇcejn´ych jablek se prod´ avaj´ı po ˇradˇe: 3 kusy za 2 pen´ıze, 5 kus˚ u za 3 pen´ıze, 7 kus˚ u za 5 pen´ız˚ u. Jak lze za 76 pen´ız˚ u koupit takov´y poˇcet plod˚ u, ˇze je v nˇem tˇrikr´ at v´ıce plod˚ u manga neˇz obyˇcejn´ych jablek a ˇsestkr´ at v´ıce gran´ atov´ych jablek neˇz obyˇcejn´ych jablek? (viz [5], str. 84) Poˇcty plod˚ u gran´atov´ ych jablek, manga a obyˇcejn´ ych jablek oznaˇcme po ˇradˇe x, y, z a sestav´ıme soustavu rovnic 2 3 5 x + y + z = 76, y = 3z, x = 6z. 3 5 7 Hledan´e poˇcty jsou 70 gran´atov´ ych jablek, 35 kus˚ u manga a 11 23 obyˇcejn´ ych jablek. Zde n´as jistˇe zaraz´ı necel´ y poˇcet kus˚ u obyˇcejn´ ych jablek. ˇ ˇ E ´ EVROPE ˇ 6. ROVNICE VE STREDOV EK ˇ V 7. stolet´ı ˇzil arm´ensk´ y matematik Anania Sirakaci. V jeho spisech se objevuj´ı i n´asleduj´ıc´ı u ´lohy, kter´e se ˇreˇs´ı rovnicemi. Jeden kupec projel tˇremi mˇesty. V prvn´ım mˇestˇe utratil polovinu a tˇretinu majetku, ve druh´em polovinu a tˇretinu toho, co mu zbylo, ve tˇret´ım polovinu a tˇretinu toho, co jeˇstˇe mˇel. Kdyˇz se vr´ atil dom˚ u, zb´yvalo mu 11 groˇs˚ u. Kolik groˇs˚ u celkem mˇel na poˇc´ atku? (viz [5], str. 195)
10
Oznaˇc´ıme x poˇcet groˇs˚ u, kter´e mˇel kupec na poˇc´atku, pak v prvn´ım mˇestˇe utratil celkem ( 12 + 31 )x = 56 x 5 5 1 x a zbylo mu x − 56 x − 36 x = 36 x. Ve a zbylo mu x6 . Ve druh´em mˇestˇe utratil ( 12 + 31 ) · 16 x = 56 · 16 x = 36 5 1 5 tˇret´ım mˇestˇe utratil 6 · 36 x = 216 x. Dostaneme pak rovnici 5 5 5 x+ x+ x + 11 = x, 6 36 216 odkud x = 2376. V At´en´ ach byl vodojem s tˇremi rourami. Prvn´ı mohla naplnit vodojem za hodinu, druh´ a za dvˇe hodiny, tˇret´ı za tˇri hodiny. Za jakou ˇc´ ast hodiny mohly naplnit vodojem vˇsechny tˇri roury spoleˇcnˇe? (viz [5], str. 196) Vˇsechny tˇri roury napln´ı vodojem za
6 11
hodiny.
´ D´ale uvedeme nˇekolik u ´loh ze sb´ırky Ulohy k bystˇren´ı mlad´ık˚ u. Tato sb´ırka pravdˇepodobnˇe vznikla na dvoˇre Karla Velik´eho, kter´ y panoval v letech 768 - 814. Za autora sb´ırky je povaˇzov´an anglosask´ y mnich Alkuin z Yorku (asi 735 - 804). Tato sb´ırka obsahuje tak´e vˇseobecnˇe zn´amou u ´lohu o pˇrevozn´ıkovi, kter´ y m´ a pˇres ˇreku pˇrepravit vlka, kozu a zel´ı. My z t´eto sb´ırky uvedeme u ´lohy, kter´e vedou na line´arn´ı rovnici o jedn´e nezn´am´e. Nˇejak´y muˇz proch´ azej´ıc´ı se po cestˇe vidˇel jin´e lidi jdouc´ı proti nˇemu a ˇrekl jim: Chtˇel jsem, aby v´ as bylo b´yvalo jeˇstˇe jednou tolik, kolik v´ as je, a polovina z poloviny (onoho dvojn´asobku), a opˇet polovina poloviny (z poloviny onoho dvojn´asobku), pak by v´ as bylo b´yvalo i se mnousto. At’ ˇrekne, kdo chce, kolik jich bylo, kter´e muˇz vidˇel. (viz [6], str. 28) ´ Uloha vede na rovnici 2x +
1 1 1 1 1 · · 2x + · · · 2x + 1 = 100, 2 2 2 2 2
odkud x = 36. Dva muˇzi proch´ azej´ıc´ı po cestˇe vidˇeli ˇc´ apy a ˇr´ıkali si mezi sebou: Kolik jich je? Kdyˇz se o jejich poˇctu poradili, ˇrekli: Kdyby jich bylo jeˇstˇe jednou tolik a jeˇstˇe potˇret´ı tolik a polovina tˇretiny (onoho trojn´ asobku), po pˇrid´ an´ı dvou by jich bylo sto. At’ ˇrekne, kdo m˚ uˇze, kolik jich bylo, kter´e pocestn´ı pozorovali. (viz [6], str. 28) ´ Uloha vede na rovnici 3x +
1 1 · · 3x + 2 = 100, 2 3
odkud x = 28. Nˇejak´y muˇz potkal ˇz´ aky a ˇrekl jim: ”Kolik v´ as je ve ˇskole?” Jeden z nich mu odpovˇedˇel ˇrka: ”Nechci ti ˇ to ˇr´ıci. Ty n´ as spoˇc´ıtej dvakr´ at, vyn´ asob tˇremi, pak rozdˇel na ˇctyˇri ˇc´ asti. Ctvrtina poˇctu, kdyˇz pˇrid´ aˇs mˇe sam´eho, napln´ı ˇc´ıslo sto.” At’ ˇrekne, kdo m˚ uˇze, kolik jich bylo, kter´e muˇz potkal na proch´ azce. (viz [6], str. 29) ´ Uloha vede na rovnici 2x · 3 ·
1 + 1 = 100, 4
odkud x = 66.
11
ˇ na V´ yznamn´ ym matematikem evropsk´eho stˇredovˇeku byl Leonardo Pis´ansk´ y zvan´ y Fibonacci. Zil pˇrelomu 12. a 13. stolet´ı. Mezi jeho d´ıla patˇr´ı tak´e spis Liber abaci (Kniha o abaku), v nˇem se vyskytuje velk´e mnoˇzstv´ı u ´loh vedouc´ıch na line´arn´ı a kvadratick´e rovnice a jejich soustavy. Uvedeme z nich tˇri jednoduˇsˇs´ı u ´lohy. Lev seˇzere ovci za ˇctyˇri hodiny, leopard za pˇet hodin a medvˇed za ˇsest hodin. Za jak dlouho ji seˇzerou spoleˇcnˇe? (viz [1], str. 283) Z rovnice ( 14 +
11 5 6)
23 · x = 1 dostaneme ˇcas x = 1 37 hodiny.
D´ a-li prvn´ı druh´emu den´ ar, budou m´ıt stejnˇe. D´ a-li druh´y prvn´ımu den´ ar, bude m´ıt prvn´ı desetkr´ at tolik. (viz [1], str. 283) ´ Uloha vede na soustavu rovnic x − 1 = y + 1, x + 1 = 10(y − 1), odkud x = 3 49 , y = 1 49 . Jestliˇze jeden ˇclovˇek dostane od druh´eho 7 den´ ar˚ u, bude m´ıt pˇetkr´ at v´ıce neˇz druh´y. Jestliˇze druh´y ˇclovˇek dostane od prvn´ıho 5 den´ ar˚ u, bude m´ıt sedmkr´ at v´ıce neˇz prvn´ı. Kolik maj´ı nyn´ı? (viz [1], str. 284) ´ Uloha vede na soustavu rovnic x + 7 = 5(y − 7), 7(x − 5) = y + 5, 2 odkud x = 7 17 , y = 9 14 17 .
Pouˇ zit´ a a doporuˇ cen´ a literatura: [1] Beˇcv´aˇr, J. a kol.: Matematika ve stˇredovˇek´e Evropˇe, edice Dˇejiny matematiky, 19. svazek, Prometheus, Praha 2001. [2] Beˇcv´aˇr, J., Beˇcv´aˇrov´a, M., Vymazalov´a, H.: Matematika ve starovˇeku. Egypt a Mezopot´ amie, edice Dˇejiny matematiky, 23. svazek, Prometheus, Praha 2003. [3] Juˇskeviˇc, A. P.: Dˇejiny matematiky ve stˇredovˇeku, Academia, Praha 1978. [4] Kolman, A.: Dˇejiny matematiky ve starovˇeku, Academia, Praha 1969. [5] Konforoviˇc, A. G.: V´yznamn´e matematick´e u ´lohy, SPN, Praha 1989. [6] Maˇc´ak, K.: Tˇri stˇredovˇek´e sb´ırky matematick´ych u ´loh, edice Dˇejiny matematiky, 15. svazek, Prometheus, Praha 2001.
12
