1.2 Množina komplexních čísel... 10

Obsah ˇ ıseln´ 1 C´ e mnoˇ ziny a re´ aln´ e funkce 1.1 Mnoˇzina reáln´ ych ˇc´ısel . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Mnoˇzina komplexn´ıch ˇc´ısel . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Reálné funkce jedné reálné promˇenné . . . . . . . . 1.3.1 Definice a základn´ı vlastnosti reálné funkce 1.4 Elementárn´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Mocninné funkce . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Exponenciáln´ı a logaritmická funkce . . . . 1.4.3 Goniometrické a cyklometrické funkce . . . 1.4.4 Hyperbolické a hyperbolometrické funkce .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

5 5 10 14 14 16 16 18 20 24

2 Spojitost a limita funkce 2.1 Spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Definice spojitosti . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Operace se spojit´ ymi funkcemi . . . . . 2.1.3 Vlastnosti funkc´ı spojit´ ych na intervalu 2.1.4 Metoda bisekce . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Posloupnosti reáln´ ych ˇc´ısel . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Základn´ı terminologie a symbolika . . . 2.2.2 Limita posloupnosti . . . . . . . . . . . 2.2.3 Vlastnosti limity posloupnosti . . . . . . 2.3 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Limita funkce v bodˇe . . . . . . . . . . 2.3.2 Vlastnosti limity funkce . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

29 29 29 30 31 32 33 33 35 36 39 39 42

3 Diferenci´ aln´ı poˇ cet funkc´ı jedn´ e promˇ enn´ e 3.1 Derivace funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Definice derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Vlastnosti derivace . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Derivace elementárn´ıch funkc´ı . . . . . . . . . . 3.1.4 Derivace vyˇsˇs´ıho ˇrádu; diferenciál funkce . . . . 3.1.5 Vˇety o stˇredn´ı hodnotˇe . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . 3.1.7 Taylor˚ uv polynom . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.8 Derivace funkc´ı zadan´ ych parametricky . . . . 3.2 Vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Monotónnost funkce a derivace . . . . . . . . . 3.2.2 Lokáln´ı a globáln´ı extrémy funkce . . . . . . . 3.2.3 Konvexnost a konkávnost funkce, inflexn´ı body 3.2.4 Asymptoty grafu funkce . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

47 47 47 48 49 54 56 58 62 63 65 65 66 70 72 73

3

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

4 4 Neurˇ cit´ y integr´ al 4.1 Primitivn´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Základn´ı vzorce pro integraci . . . . . . . 4.3 Metoda integrace per partes . . . . . . . . 4.4 Substituˇcn´ı metoda integrován´ı . . . . . . 4.5 Integrace racionáln´ıch funkc´ı . . . . . . . 4.6 Pˇreveden´ı integrandu na racionáln´ı funkci

OBSAH

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

79 . 79 . 81 . 83 . 85 . 90 . 100

5 Riemann˚ uv urˇ cit´ y integr´ al 5.1 Zaveden´ı Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . 5.2 Newtonova-Leibnizova formule . . . . . . . . . . . . 5.3 Integrován´ı metodou per partes . . . . . . . . . . . . 5.4 Integrován´ı substituˇcn´ı metodou . . . . . . . . . . . 5.5 Integrál sudé, liché nebo periodické funkce . . . . . . 5.6 Pouˇzit´ı Riemannova integrálu v geometrii a ve fyzice

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

109 109 116 118 120 122 123

6 Nevlastn´ı Riemann˚ uv integr´ al 127 6.1 Integrál nevlastn´ı vlivem integrandu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2 Integrály nevlastn´ı vlivem mez´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7 Diferenci´ aln´ı rovnice 7.1 Diferenciáln´ı rovnice 1. ˇrádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice 1. ˇrádu . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Homogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice 1. ˇrádu . . 7.2.2 Nehomogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice 1. ˇrádu . 7.3 Lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice n–tého ˇrádu . . . . . . . . . . 7.3.1 Homogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice n–tého ˇrádu 7.3.2 Nehomogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice . . . . . . 7.4 Soustava lineárn´ıch diferenciáln´ıch rovnic 1. ˇrádu . . . . . . 7.4.1 Homogenn´ı soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Nehomogenn´ı soustava . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

135 135 141 141 143 149 150 153 159 159 164

ˇ 8 Rady 167 ˇ ıselná ˇrada a jej´ı vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 8.1 C´ ˇ 8.2 Rady s nezáporn´ ymi ˇcleny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 ˇ 8.3 Rady s libovoln´ ymi ˇcleny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 9 Rejstˇ r´ık

175

Kapitola 1

ˇ ıseln´ C´ e mnoˇ ziny a re´ aln´ e funkce 1.1

Mnoˇ zina re´ aln´ ych ˇ c´ısel

Kl´ıˇcov´ a slova: Racionáln´ı, iracionáln´ı, pˇrirozené, celé, reálné ˇc´ıslo; absolutn´ı hodnota ˇc´ısla; supremum, infimum, maximum, minimum mnoˇziny; interval; plus a m´ınus nekoneˇcno; rozˇs´ıˇrená reálná osa; neomezen´ y interval; okol´ı bodu; levé a pravé okol´ı bodu; prstencové okol´ı bodu; levé a pravé prstencové okol´ı bodu; vnitˇrn´ı, vnˇejˇs´ı, hraniˇcn´ı, hromadn´ y, izolovan´ y bod mnoˇziny; otevˇrená, uzavˇrená, omezená, kompaktn´ı mnoˇzina; vnitˇrek a hranice mnoˇziny Racion´ aln´ı a iracion´ aln´ı ˇ c´ısla Pˇripomeˇ nme nˇekolik pojm˚ u a oznaˇcen´ı, t´ ykaj´ıc´ıch se reáln´ ych ˇc´ısel, jak jsme se s nimi seznámili na stˇredn´ı ˇskole. Mnoˇzinu reáln´ ych ˇc´ısel tvoˇr´ı ˇc´ısla racionáln´ı a iracionáln´ı. p Racion´ aln´ım ˇc´ıslem naz´ yváme kaˇzdé reálné ˇc´ıslo, které lze napsat ve tvaru zlomku q , kde p a q jsou ˇc´ısla celá nesoudˇelná a q 6= 0. Mezi racionáln´ı ˇc´ısla poˇc´ıtáme cel´ a ˇc´ısla, nebot’ se daj´ı napsat jako zlomek se jmenovatelem 1. Mezi ˇc´ısla celá patˇr´ı pˇrirozen´ a ˇc´ısla, tj. ˇc´ısla 1, 2, 3, 4, . . . . Iracion´ aln´ım ˇc´ıslem naz´ yváme kaˇzdé reálné ˇc´ıslo, které nen´ı racionáln´ı. Iracionáln´ı ˇc´ıslo je urˇceno, je-li dán nˇejak´ y postup, podle nˇehoˇz je m˚ uˇzeme um´ıstit mezi dvˇe racionáln´ı ˇc´ısla libovolnˇe málo od sebe odliˇsná. Pro oznaˇcen´ı uveden´ ych ˇc´ıseln´ ych mnoˇzin pouˇz´ıváme následuj´ıc´ı oznaˇcen´ı: R znaˇc´ı mnoˇzinu reáln´ ych ˇc´ısel, Z znaˇc´ı mnoˇzinu cel´ ych ˇc´ısel, N znaˇc´ı mnoˇzinu pˇrirozen´ ych ˇc´ısel. Absolutn´ı hodnota reálného ˇc´ısla je definována pˇredpisem a pro a ≥ 0 ; |a| = (1.1) −a pro a < 0 . Pro kaˇzdá dvˇe ˇc´ısla a, b ∈ R naz´ yváme nezáporné ˇc´ıslo |a − b| (euklidovskou1 ) vzd´ alenost´ı ˇc´ısel a, b. Pˇ r´ıklady 1. Máme naj´ıt vˇsechna celá ˇc´ısla vyhovuj´ıc´ı nerovnosti −3 < 2x + 5 < 7 . ˇ sen´ı: Odeˇcteme-li od vˇsech ˇclen˚ Reˇ u nerovnosti ˇc´ıslo 5 a vydˇel´ıme ˇc´ıslem 2, dostaneme ekvivalentn´ı podm´ınku −4 < x < 1. J´ı vyhovuj´ı celá ˇc´ısla −3, −2, −1, 0. 2. Máme vyjádˇrit racionáln´ı ˇc´ıslo 1, 3 ve tvaru zlomku. ˇ sen´ı: C´ ˇ ıslo 1, 3 m˚ Reˇ uˇzeme zapsat jako nekoneˇcn´ y souˇcet 1, 3 = 1 + 3 · 10−1 + 3 · 10−2 + · · · + 3 · 10−n + · · · . Souˇcet na pravé stranˇe je – aˇz na prvn´ı sˇc´ıtanec – geometrická ˇrada s kvocientem q = 10−1 , takˇze 3·10−1 +3·10−2 +· · ·+3·10−n +· · · = 3·10−1 /(1−10−1 ) = (3/10)·(10/9) = 1/3. Je tedy 1, 3 = 1+1/3 = 4/3. √ 3. Máme dokázat, ˇze pro kaˇzdé prvoˇc´ıslo r > 1 je r iracionáln´ı ˇc´ıslo. √ ˇ sen´ı: Pˇredpokládejme, ˇze ˇc´ıslo r je racionáln´ı, tj., ˇze existuj´ı celá ˇc´ısla p, q taková, ˇze √r = p/q a Reˇ ˇze ˇc´ısla p, q nemaj´ı ˇzádného spoleˇcného dˇelitele. Odtud speciálnˇe plyne, ˇze nemohou b´ yt obˇe ˇc´ısla p, q 1 Euklides z Alexandrie (365?-300? pˇ r. Kr.), jeden z nejvlivnˇ ejˇs´ıch matematik˚ u vˇsech dob, autor tˇrin´ acti knih Z´ aklad˚ u (Stoicheia), pravdˇ epodobnˇ e hned po bibli nejˇ castˇ eji tiˇstˇ en´ e a studovan´ e knihy v dˇ ejin´ ach z´ apadn´ıho svˇ eta; poloˇ zil v nich z´ aklady geometrie, jak se uˇ c´ı i dnes na z´ akladn´ıch a stˇredn´ıch ˇskol´ ach

5

6

ˇ ÍSELNE ´ MNOZINY ˇ ´ E ´ FUNKCE KAPITOLA 1. C A REALN

√ dˇeliteln´ a ˇc´ıslem r. Umocn´ıme obˇe strany rovnosti r = p/q a dostaneme rovnost r = p2 /q 2 , nebo po u ´pravˇe rq 2 = p2 . Z této rovnosti plyne, ˇze ˇc´ıslo p2 , a tedy i ˇc´ıslo p mus´ı b´ yt dˇelitelné ˇc´ıslem r. Pak ovˇsem p2 je dˇelitelné ˇc´ıslem r2 , a tedy i ˇc´ıslo q 2 mus´ı b´ yt dˇelitelné ˇc´ıslem r. To vˇsak znamená, ˇze jak ˇc´ıslo p, tak i ˇc´ıslo √ q je dˇelitelné ˇc´ıslem r, coˇz je spor√s pˇredpokladem nesoudˇelnosti ˇc´ısel p, q. Tedy pˇredpoklad, yt iracionáln´ı. ˇze ˇc´ıslo r je racionáln´ı neplat´ı, takˇze ˇc´ıslo r mus´ı b´ ´ Ulohy

√

1. Která z ˇc´ısel −7, 3/4, 5.2, log2 8, 31/2 , 15, 0, π, 2 4 jsou a) pˇrirozená; b) celá; c) racionáln´ı; d) iracionáln´ı. √ √ √ [ a) log2 8, 15, 2 4 ; b) −7, log2 8, 15, 0, 2 4 ; c) −7, 3/4, 5.2, log2 8, 15, 0, 2 4 ; d) 31/2 , π.] 2. Urˇcete vˇsechna celá ˇc´ısla vyhovuj´ıc´ı nerovnosti −2 < x + 2 < 6 . 3. Vyjádˇrete racionáln´ı ˇc´ıslo 0, 76 ve tvaru zlomku. 4. Pro která ˇc´ısla x, y ∈ R plat´ı nerovnost x − y < x + y? 5. Pro která ˇc´ısla b ∈ R plat´ı nerovnost b > 1 − 2b?

[−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.] [23/30.] [x ∈ R, y > 0.] [b > 1/3.]

6. Pro která ˇc´ısla x, y ∈ R plat´ı nerovnost xy < x/y? [Je-li xy > 0, pak pro |y| < 1, je-li xy < 0, pak pro |y| > 1.] ’ 7. Necht a, b jsou iracionáln´ı ˇc´ısla. Je moˇzné, aby ˇc´ıslo a + b nebo a − b bylo racionáln´ı? Jestli ano, udejte pˇr´ıklad. [Ano, napˇr. pro a = π, b = 1 − π je a + b = 1, pro a = π, b = π − 1 je a − b = 1.] √ 8. Ukaˇzte, ˇze ˇc´ıslo 3 nen´ı racionáln´ı. 9. Máme naj´ıt chybu v následuj´ıc´ı u ´vaze. ’ Necht x, y jsou nenulová reálná ˇc´ısla taková, ˇze x = y . Pak x2 = xy , a tedy také x2 −y 2 = xy −y 2 , neboli (x − y)(x + y) = y(x − y) . Obˇe strany rovnosti vydˇel´ıme ˇc´ıslem x − y a dostaneme rovnost x + y = y . Jelikoˇz je x = y, dostáváme 2y = y a odtud po zkrácen´ı 2 = 1 . [Dˇelili jsme x − y, tedy nulou.] Supremum a infimum mnoˇ ziny Necht’ M je libovolná neprázdná podmnoˇzina mnoˇziny R. Horn´ı mez´ı mnoˇziny M naz´ yváme kaˇzdé ˇc´ıslo h takové, ˇze pro kaˇzdé x ∈ M plat´ı x ≤ h. Má-li mnoˇzina M horn´ı mez, ˇr´ıkáme, ˇze mnoˇzina M je shora omezen´ a. Doln´ı mez´ı mnoˇziny M naz´ yváme kaˇzdé ˇc´ıslo d takové, ˇze pro kaˇzdé x ∈ M plat´ı x ≥ d. Má-li ˇ ıkáme, ˇze mnoˇzina M je omezen´ mnoˇzina M doln´ı mez, ˇr´ıkáme, ˇze mnoˇzina M je zdola omezen´ a. R´ a právˇe tehdy, kdyˇz je zdola i shora omezená. Nejmenˇs´ı horn´ı mez mnoˇziny M naz´ yváme supremem mnoˇziny M a znaˇc´ıme ji sup M . Patˇr´ı-li sup M do mnoˇziny M , naz´ yvá se maximum mnoˇziny M a znaˇc´ı se max M . Nejvˇetˇs´ı doln´ı mez mnoˇziny M naz´ yváme infimem mnoˇziny M a znaˇc´ıme ji inf M . Patˇr´ı-li infimum do mnoˇziny M , naz´ yvá se minimum mnoˇziny M a znaˇc´ı se min M . Vˇ eta o supremu a infimu Pro kaˇzdou shora omezenou neprázdnou mnoˇzinu M ⊂ R existuje právˇe jednou ˇc´ıslo S = sup M ∈ R. Pro kaˇzdou zdola omezenou neprázdnou mnoˇzinu M ⊂ R existuje právˇe jednou ˇc´ıslo s = inf M ∈ R. Pozn´ amka. Uvˇedomte si, ˇze supremum shora omezené neprázdné mnoˇziny nemus´ı existovat v mnoˇzinˇe racionáln´ıch ˇc´ısel. Napˇr´ıklad mnoˇzina M vˇsech racionáln´ıch ˇc´ısel√q, pro která je q 2 < 2, nemá v mnoˇzinˇe racionáln´ıch ˇc´ısel supremum, protoˇze podle pˇr´ıkladu 1.1.3 nen´ı 2 racionáln´ı. Právˇe existence suprema shora omezené neprázdné mnoˇziny je z hlediska matematické nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı rozd´ıl mezi mnoˇzinami racionáln´ıch a reáln´ ych ˇc´ısel. Pˇ r´ıklady 1. Máme naj´ıt supremum, infimum, maximum a minimum mnoˇziny M = {x ∈ R | x = 1/n , n ∈ N}. ˇ sen´ı: Mnoˇzina M je omezená zdola ˇc´ıslem 0 a shora ˇc´ıslem 1. Reˇ Zˇrejmˇe kaˇzd´ y prvek mnoˇziny M je vˇetˇs´ı neˇz nula, a tedy nula je doln´ı mez´ı mnoˇziny M . Ukáˇzeme, ˇze je nejvˇetˇs´ı doln´ı mez´ı. Zvolme jakékoli ˇc´ıslo ε > 0. Pak urˇcitˇe existuje pˇrirozené ˇc´ıslo n takové, ˇze 1/n < ε. Skuteˇcnˇe, staˇc´ı volit n > 1/ε. Je tedy ˇc´ıslo 0 infimem mnoˇziny M . Jelikoˇz toto ˇc´ıslo nepatˇr´ı do mnoˇziny M , nen´ı jej´ım minimem. Mnoˇzina M minimum nemá. Jednoduˇsˇs´ı problém je hledán´ı suprema mnoˇziny M . Jelikoˇz ˇzádn´ y prvek mnoˇziny M nen´ı vˇetˇs´ı neˇz jedna a ˇc´ıslo 1 je prvkem mnoˇziny M , je toto ˇc´ıslo maximem mnoˇziny M , a tedy i jej´ım supremem. 2. Máme naj´ıt supremum, infimum, maximum a minimum mnoˇziny M = {x ∈ R | −2 < x ≤ 3} .

ˇ ´ YCH ´ ˇ ÍSEL 1.1. MNOZINA REALN C

7

ˇ sen´ı: Mnoˇzina M je zdola omezená ˇc´ıslem −2 a shora ˇc´ıslem 3. Odtud plyne, ˇze ˇc´ıslo −2 je jedna z Reˇ jeho doln´ıch mez´ı a ˇc´ıslo 3 je jedna z jeho horn´ıch mez´ı. Jelikoˇz ˇc´ıslo 3 patˇr´ı do mnoˇziny M , je sup M = max M = 3. Analogicky, ˇzádné ˇc´ıslo a > −2 nem˚ uˇze b´ yt doln´ı mez´ı mnoˇziny M , takˇze inf M = −2. Minimum mnoˇziny M neexistuje. Intervaly v R Necht’ a, b ∈ R, a ≤ b. Pak definujeme omezené intervaly v R takto. Uzavˇreným intervalem ha, bi naz´ yváme mnoˇzinu vˇsech reáln´ ych ˇc´ısel x, pro která plat´ı a ≤ x ≤ b. Otevˇreným intervalem (a, b) naz´ yváme mnoˇzinu vˇsech reáln´ ych ˇc´ısel x, pro která plat´ı a < x < b. Polootevˇreným ˇci polouzavˇreným intervalem ha, b), resp. (a, bi naz´ yváme mnoˇzinu vˇsech reáln´ ych ˇc´ısel x, pro která plat´ı a ≤ x < b, resp. a < x ≤ b. Na obr. 1.1 jsou naznaˇceny tˇri omezené intervaly, a to otevˇren´ y interval (a, b), uzavˇren´ y interval hc, di a zleva polootevˇren´ y interval (e, f i.

R a

c

b

e

d

f

Obrázek 1.1: Omezené intervaly na reálné ose R

Pˇ r´ıklady 1. Máme zapsat interval h−3, 5i pomoc´ı nerovnost´ı a absolutn´ı hodnoty. ˇ sen´ı: Interval má délku 8, jeho stˇredem je bod 1. Patˇr´ı tedy do intervalu h−3, 5i vˇsechna reálná ˇc´ısla, Reˇ jejichˇz vzdálenost od jedniˇcky je menˇs´ı nebo rovna 4. Je tedy h−3, 5i = {x ∈ R | |x − 1| ≤ 4} . 2. Máme zapsat doplnˇek intervalu h−3, 5i pomoc´ı nerovnost´ı a absolutn´ı hodnoty. ˇ sen´ı: Podle pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu patˇr´ı do této mnoˇziny vˇsechna reálná ˇc´ısla, jejichˇz vzdálenost od Reˇ jedniˇcky je vˇetˇs´ı neˇz 4. Je tedy R \ h−3, 5i = {x ∈ R | |x − 1| > 4} . ´ Ulohy Zapiˇste interval h3, 9i a jeho doplnˇek v R pomoc´ı nerovnost´ı a absolutn´ı hodnoty. [h3, 9i = {x ∈ R | |x − 6| ≤ 3} , R \ h3, 9i = {x ∈ R | |x − 6| > 3}.] Rozˇ s´ıˇ ren´ a re´ aln´ a osa V celé ˇradˇe u ´vah nevystaˇc´ıme s reáln´ ymi ˇc´ısly z mnoˇziny R. Ukazuje se jako uˇziteˇcné uvaˇzovat kromˇe ˇc´ısel z R jeˇstˇe dvˇe dalˇs´ı ˇc´ısla, +∞, −∞, která budeme naz´ yvat plus nekoneˇcno a m´ınus nekoneˇcno. Mnoˇzinu R∗ = R ∪ {−∞, +∞} budeme naz´ yvat rozˇs´ıˇrenou re´ alnou osou. V této mnoˇzinˇe zavedeme uspoˇrádán´ı −∞ < a < +∞

pro vˇsechna a ∈ R ,

−∞ < +∞ .

(1.2)

Pro jejich absolutn´ı hodnoty plat´ı | − ∞| = | + ∞| = +∞ ≡ ∞ . Dále rozˇs´ıˇr´ıme definice aritmetick´ ych operac´ı v R na operace v R∗ takto: a±∞

=

±∞

+∞ + ∞ = +∞ −∞ − ∞ = −∞ n +∞ a · (+∞) = −∞ n −∞ a · (−∞) = +∞ a = 0 ±∞ n −∞ a = +∞ 0

pro vˇsechna a ∈ R .

pro vˇsechna a ∈ R∗ , a > 0 , pro vˇsechna a ∈ R∗ , a < 0 . pro vˇsechna a ∈ R∗ , a > 0 , pro vˇsechna a ∈ R∗ , a < 0 . pro vˇsechna a ∈ R , pro vˇsechna a ∈ R∗ , a < 0 , pro vˇsechna a ∈ R∗ , a > 0 .

(1.3)


8

0 ±∞ , , ±∞ · 0 . Nedefinovány jsou i mocniny 00 , 1±∞ , 0±∞ , (±∞)0 . 0 ±∞ Je uˇziteˇcné si uvˇedomit, ˇze operace dˇelen´ı nulou a nekoneˇcnem v mnoˇzinˇe R∗ se ponˇekud liˇs´ı od operac´ı a dˇelen´ı dvou koneˇcn´ ych nenulov´ ych ˇc´ısel. V´ıme, ˇze kdyˇz vynásob´ıme rovnost = c pro a, b, c ∈ R , b 6= 0, b a ˇc´ıslem b, dostaneme pravdivou rovnost a = bc. Vynásob´ıme-li vˇsak rovnost = 0 nekoneˇcnem nebo ±∞ a rovnost = ±∞ nulou, dostaneme na obou stranách nedefinované v´ yrazy. 0 ∗ Intervaly v R se definuj´ı analogicky jako jsme je definovali v R. Analogicky se definuj´ı rovnˇeˇz pojmy supremum a infimum mnoˇziny v R∗ . M˚ uˇzeme definovat i neomezené intervaly v R Nedefinováno je ∞ − ∞ ,

(−∞, bi

a v R∗

=

{x ∈ R | x ≤ b} ,

(−∞, b)

=

ha, +∞) =

{x ∈ R | a ≤ x} ,

(a, +∞) =

{x ∈ R | x < b} ,

=

{x ∈ R∗ | x ≤ b} ,

h−∞, b)

= {x ∈ R∗ | x < b} ,

ha, +∞i =

{x ∈ R∗ | a ≤ x} ,

(a, +∞i

= {x ∈ R∗ | a < x} .

h−∞, bi

(1.4)

{x ∈ R | a < x}

(1.5)

Okol´ı bodu a prstencov´ a okol´ı bodu Je dán bod x0 ∈ R a ˇc´ıslo ε > 0. Okol´ım bodu x0 s polomˇerem ε, nebo také ε–okol´ım bodu x0 naz´ yváme mnoˇzinu U(x0 , ε) = {x ∈ R | |x − x0 | < ε} = (x0 − ε, x0 + ε) .

(1.6)

U+ (x0 , ε) = {x ∈ R | x0 ≤ x < x0 + ε} = hx0 , x0 + ε)

(1.7)

naz´ yváme pravým okol´ım bodu x0 . Mnoˇzinu U− (x0 , ε) = {x ∈ R | x0 − ε < x ≤ x0 i = (x0 − ε, x0 i

(1.8)

Mnoˇzinu

naz´ yváme levým okol´ım bodu x0 . Na obr. 1.2 jsou znázornˇena okol´ı U(x0 , ε), U− (y0 , ε), U+ (z0 , ε).

R x0 − ε

x0

x0 + ε

y0 − ε

y0

z0

z0 + ε

Obrázek 1.2: Okol´ı bodu na reálné ose R Prstencovým okol´ım bodu x0 s polomˇerem ε, nebo také prstencovým ε–okol´ım bodu x0 naz´ yváme mnoˇzinu P(x0 , ε) = {x ∈ R | 0 < |x − x0 | < ε} = (x0 − ε, x0 ) ∪ (x0 , x0 + ε) .

(1.9)

P+ (x0 , ε) = {x ∈ R | x0 < x < x0 + ε} = (x0 , x0 + ε)

(1.10)

naz´ yváme pravým prstencovým okol´ım bodu x0 . Mnoˇzinu P− (x0 , ε) = {x ∈ R | x0 − ε < x < x0 } = (x0 − ε, x0 )

(1.11)

Mnoˇzinu

naz´ yváme levým prstencovým okol´ım bodu x0 . Prstencová okol´ı bodu jsou znázornˇena na obr. 1.3.

R x0 − ε

x0

x0 + ε

y0 − ε

y0

z0

z0 + ε

Obrázek 1.3: Prstencová okol´ı bodu na reálné ose R

ˇ ´ YCH ´ ˇ ÍSEL 1.1. MNOZINA REALN C

9 y

y=

1 x

1 1 ε x −3

−2

−1

0

1 ε

2

3

Obrázek 1.4: K ilustraci v´ yznamu prstencov´ ych okol´ı bodu

Okol´ı a prstencov´ a okol´ı bodu +∞, −∞ definujeme jako mnoˇziny U(∞, ε) ≡ P(∞, ε) = P− (∞, ε) = (1/ε, ∞),

(1.12)

U(−∞, −ε) ≡ P(−∞, −ε) = P+ (−∞, −ε) = (−∞, −1/ε).

(1.13)

1 V´ yznam prstencov´ ych okol´ı uvid´ıme napˇr. pˇri vyˇsetˇrován´ı funkce f (x) = , jej´ıˇz graf je na obr. 1.4. Tato x funkce nen´ı definovaná v bodˇe x = 0, ale je definovaná v kaˇzdém prstencovém okol´ı tohoto bodu. Je zˇrejmé, ˇze pravé prstencové okol´ı P+ (0, ε) = (0, ε) se zobrazuje na levé prstencové okol´ı P− (∞, ε) = (1/ε, ∞). Tyto u ´vahy budou hrát d˚ uleˇzitou roli pozdˇeji pˇri vyˇsetˇrován´ı limity této funkce v bodˇe 0. Pˇ r´ıklady 1. Máme zapsat pomoc´ı absolutn´ı hodnoty a nerovnosti okol´ı U(−3, 5) bodu −3 s polomˇerem 5. ˇ sen´ı: Hledané okol´ı je otevˇren´ Reˇ y interval (−8, 2), takˇze U(−3, 5) = {x ∈ R | |x + 3| < 5} . 2. Máme zapsat pomoc´ı absolutn´ı hodnoty a nerovnost´ı prstencové okol´ı P(3, 7) bodu 3 s polomˇerem 7. ˇ sen´ı: Hledané okol´ı je otevˇren´ Reˇ y interval (−4, 10) bez bodu 3, takˇze P(3, 7) = {x ∈ R | 0 < |x − 3| < 7} . 3. Máme zapsat jako interval pravé a levé prstencové okol´ı P+ (0, 6) a P− (0, 6) bodu 0 s polomˇerem 6. ˇ sen´ı: Pravé, resp. levé prstencové okol´ı P+ (0, 6), resp. P− (0, 6) je otevˇren´ Reˇ y interval (0, 6), resp. (−6, 0). ´ Ulohy 1. Zapiˇste pomoc´ı absolutn´ı hodnoty a) U(2, 5) ;

b) U(−1, 3) ; c) U(2, 4) . [a) |x − 2| < 5 ; b) |x + 1| < 3 ;

2. Zapiˇste pomoc´ı absolutn´ı hodnoty a) P(3, 2) ; b) P(−2, 3) ; c) P(5, 4) . [a) 0 < |x − 3| < 2 ; b) 0 < |x + 2| < 3 ; +

c) |x − 2| < 4 .]

c) 0 < |x − 5| < 4 .]

−

3. Zapiˇste pomoc´ı nerovnost´ı a) U(3, 7) , b) U (3, 7) , c) U (3, 7). [a) −7 < x − 3 < 7 ; b) 0 ≤ x − 3 < 7 ;

c) −7 < x − 3 ≤ 0 .]

4. Zapiˇste pomoc´ı nerovnost´ı a) P(3, 7) , b) P+ (3, 7) , c) P− (3, 7). [a) 0 < |x − 3| < 7 ; b) 0 < x − 3 < 7 ;

c) −7 < x − 3 < 0 .]

Klasifikace bod˚ u vzhledem k dan´ e mnoˇ zinˇ e ˇ ıkáme, ˇze bod x0 je Pˇredpokládejme, ˇze je dána mnoˇzina M ⊂ R a bod x0 ∈ R. R´ vnitˇrn´ım bodem mnoˇziny M právˇe tehdy, kdyˇz existuje takové okol´ı U (x0 , ε) bodu x0 , které celé leˇz´ı v mnoˇzinˇe M ; vnˇejˇs´ım bodem mnoˇziny M právˇe tehdy, kdyˇz existuje takové okol´ı U (x0 , ε) bodu x0 , které celé leˇz´ı v doplˇ nku R \ M ; hraniˇcn´ım bodem mnoˇziny M právˇe tehdy, kdyˇz kaˇzdé okol´ı U (x0 , ε) bodu x0 má neprázdn´ y pr˚ unik jak s mnoˇzinou M , tak i s jej´ım doplˇ nkem R \ M ; hromadným bodem mnoˇziny M právˇe tehdy, kdyˇz kaˇzdé prstencové okol´ı P (x0 , ε) bodu x0 má s mnoˇzinou M neprázdn´ y pr˚ unik; izolovaným bodem mnoˇziny M právˇe tehdy, kdyˇz x0 ∈ M a existuje takové prstencové okol´ı P (x0 , ε) bodu x0 , které neobsahuje ˇzádn´ y bod mnoˇziny M .


10

R a

d

b

c

e

Obrázek 1.5: Ilustrace ke klasifikaci bod˚ u

Na obr. 1.5 je mnoˇzina M sjednocen´ım intervalu (a, b) a jednoprvkové mnoˇziny {c}, tj. M = (a, b) ∪ {c} . Pˇr´ıkladem vnitˇrn´ıho bodu této mnoˇziny je napˇr. bod d, ale také kaˇzd´ y jin´ y bod otevˇreného intervalu (a, b). Pˇr´ıkladem vnˇejˇs´ıho bodu je napˇr. bod e. Hraniˇcn´ımi body jsou body a, b, c, z nichˇz body a, b jsou i hromadn´ ymi body této mnoˇziny, zat´ımco bod c je jej´ım izolovan´ ym bodem. Klasifikace mnoˇ zin v R ˇ ıkáme, ˇze mnoˇzina M je Pˇredpokládejme, ˇze je dána mnoˇzina M ⊂ R. R´ otevˇren´ a pr´ avˇe tehdy, kdyˇz kaˇzd´ y jej´ı bod je jej´ım vnitˇrn´ım bodem; uzavˇren´ a právˇe tehdy, kdyˇz obsahuje vˇsechny své hromadné body; omezen´ a právˇe tehdy, kdyˇz je obsaˇzena v nˇejakém okol´ı poˇcátku; kompaktn´ı právˇe tehdy, kdyˇz je omezená a uzavˇrená. Vnitˇrkem mnoˇziny M naz´ yváme mnoˇzinu vˇsech jej´ıch vnitˇrn´ıch bod˚ u. Hranic´ı mnoˇziny M naz´ yváme mnoˇzinu vˇsech jej´ıch hraniˇcn´ıch bod˚ u. Pro oznaˇcen´ı vnitˇrku mnoˇziny M se pouˇz´ıvá obvykle symbol M ◦ .

1.2

Mnoˇ zina komplexn´ıch ˇ c´ısel

Kl´ıˇcov´ a slova: Imaginárn´ı jednotka; komplexn´ı ˇc´ıslo; reálná a imaginárn´ı ˇcást komplexn´ıho ˇc´ısla; komplexnˇe sdruˇzené ˇc´ıslo; Gaussova rovina komplexn´ıch ˇc´ısel; reálná a imaginárn´ı osa; modul a argument komplexn´ıho ˇc´ısla; hlavn´ı hodnota argumentu; komplexn´ı jednotka; kartézsk´ y, goniometrick´ y a exponenciáln´ı tvar komplexn´ıho ˇc´ısla; Euler˚ uv vztah: Moivreova vˇeta; souˇcet, rozd´ıl, souˇcin a pod´ıl komplexn´ıch ˇc´ısel Komplexn´ı ˇ c´ısla Nyn´ı rozˇs´ıˇr´ıme obor reáln´ ych ˇc´ısel R na obor komplexn´ıch ˇc´ısel, kter´ y budeme znaˇcit symbolem C. K tomuto rozˇs´ıˇren´ı vedla p˚ uvodnˇe snaha vytvoˇrit takov´ y obor ˇc´ısel, v nˇemˇz by kaˇzdá algebraická rovnice mˇela ˇreˇsen´ı. Jiˇz ze stˇredn´ı ˇskoly v´ıme, ˇze napˇr. velice jednoduchá algebraická rovnice x2 + 1 = 0 nemá v mnoˇzinˇe R ˇreˇsen´ı. Mnoˇzinu reáln´ ych ˇc´ısel R rozˇs´ıˇr´ıme na mnoˇzinu komplexn´ıch ˇc´ısel C takto. Nejdˇr´ıve pˇridáme k R dalˇs´ı ˇ ıslo i budeme naz´ ˇc´ıslo, které budeme znaˇcit i , takové, ˇze i 2 = −1. C´ yvat imagin´ arn´ı jednotkou. Pak pˇridáme vˇsechna ˇc´ısla tvaru x + i y, kde x, y jsou reálná ˇc´ısla a i je imaginárn´ı jednotka. Takto utvoˇrená ˇ ıslo x naz´ ˇc´ısla budeme naz´ yvat komplexn´ımi ˇc´ısly. C´ yváme re´ alnou ˇc´ ast´ı komplexn´ıho ˇc´ısla z = x + i y a znaˇc´ıme je
i 4k+1 = i ,

i 4k+2 = −1 ,

i 4k+3 = −i ,

k ∈ Z.

(1.14)

Kaˇzdé komplexn´ı ˇc´ıslo z = x + i y je jednoznaˇcnˇe urˇceno uspoˇrádanou dvojic´ı reáln´ ych ˇc´ısel (x, y). Tato dvojice urˇcuje v rovinˇe s kartézskou soustavou souˇradnic právˇe jeden bod, kter´ y má souˇradnice (x, y). M˚ uˇzeme tedy kaˇzdé komplexn´ı ˇc´ıslo chápat jako bod v rovinˇe. Tuto rovinu pak naz´ yváme Gaussovou2 rovinou komplexn´ıch ˇc´ısel. Osa x se naz´ yvá re´ aln´ a osa, osa y imagin´ arn´ı osa. ˇ ıslo C´ p √ |z| = mod z = x2 + y 2 = z · z (1.15) je tzv. absolutn´ı hodnota (modul) komplexn´ıho ˇc´ısla z = x + i y, |z| ∈ h0, ∞). Kaˇzdé komplexn´ı ˇc´ıslo, jehoˇz modul je roven 1, se naz´ yvá komplexn´ı jednotka. 2 Gauss, Carl F. (1777–1855), nˇ emeck´ y matematik a fyzik, ˇreditel astronomick´ e observatoˇre v G¨ ottingen, vypracoval matematick´ y apar´ at pro potˇreby astronomie

ˇ ˇ ÍSEL 1.2. MNOZINA KOMPLEXNÍCH C

11

y = =z a z = x + iy

y |z|

x =
ϕ x

Obrázek 1.6: Zobrazen´ı komplexn´ıho ˇc´ısla v komplexn´ı rovinˇe ´ Uhel ϕ, kter´ y sv´ırá polopˇr´ımka vycházej´ıc´ı z poˇcátku a procházej´ıc´ı bodem z s kladnou reálnou poloosou je tzv. hlavn´ı hodnota argumentu (amplitudy) komplexn´ıho ˇc´ısla z, pˇriˇcemˇz obvykle vol´ıme ϕ ∈ (−π, πi nebo ϕ ∈ h0, 2π). Kaˇzdé ˇc´ıslo ϕ + 2kπ, k ∈ Z, se naz´ yvá argument (amplituda) ˇc´ısla z a obvykle se znaˇc´ı arg z. Pro hlavn´ı hodnotu ϕ argumentu komplexn´ıho ˇc´ısla z se pak pouˇz´ıvá oznaˇcen´ı Arg z. Z´ apis komplexn´ıch ˇ c´ısel Kaˇzdé komplexn´ı ˇc´ıslo z 6= 0 lze zapsat právˇe jedn´ım zp˚ usobem v kaˇzdém z následuj´ıc´ıch tˇr´ı tvar˚ u: z = x + iy

(1.16)

je tzv. kartézský3 (algebraický) tvar komplexn´ıho ˇc´ısla; z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)

(1.17)

je tzv. goniometrický (pol´ arn´ı) tvar komplexn´ıho ˇc´ısla; z = |z|ei ϕ

(1.18)

je tzv. exponenci´ aln´ı tvar komplexn´ıho ˇc´ısla. Z definice komplexn´ıho ˇc´ısla a jeho goniometrického tvaru plynou rovnosti cos ϕ =

x x , =p 2 |z| x + y2

sin ϕ =

y y . =p 2 |z| x + y2

(1.19)

S goniometrick´ ym tvarem komplexn´ıho ˇc´ısla souvis´ı i znám´ y Euler˚ uv4 vztah cos ϕ + i sin ϕ = ei ϕ .

(1.20)

Z nˇej plyne

ei ϕ + e−i ϕ ei ϕ − e−i ϕ ; sin ϕ = . 2 2i Umocn´ıme-li obˇe strany rovnosti (1.20) na ˇc´ıslo n, dostaneme rovnost cos ϕ =

(1.21)

(cos ϕ + i sin ϕ)n = (ei ϕ )n . Nyn´ı vyuˇzijeme rovnost (ei ϕ )n = ei nϕ , která se dokazuje v anal´ yze komplexn´ıch funkc´ı a pouˇzijeme opˇet Euler˚ uv vztah. Dostaneme tak rovnost (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ ,

(1.22)

známou pod názvem Moivreova5 vˇeta.

3 Descartes (Cartesius), Ren´ e (1596-1650), francouzsk´ y renesanˇ cn´ı filosof a matematik, v pr´ aci ”Discours de la methode” (Rozpravy o metodˇ e) popsal metodu, kter´ a pak umoˇ znila napˇr. vyuˇ z´ıt algebru k vytvoˇren´ı analytick´ e geometrie 4 Euler, Leonhard (1707-1783), nejv´ ykonnˇ ejˇs´ı matematik 18. stolet´ı, p˚ usobil v berl´ınsk´ e a petrohradsk´ e akademii, od r. 1766 u ´ plnˇ e slep´ y, v´ yznamn´ ymi objevy pˇrispˇ el ke vˇsem odvˇ etv´ım matematiky t´ e doby 5 de Moivre, Abraham (1669-1754), anglick´ y matematik


12

Pˇ r´ıklad Vyjádˇreme komplexn´ı ˇc´ıslo z = 1 + i v goniometrickém a exponenciáln´ım tvaru. √ √ √ ˇ sen´ı: Podle (1.15) je |z| = 1 + 1 = 2. Pro hodnotu ϕ podle (1.19) mus´ı platit cos ϕ = 1/ 2, Reˇ √ √ sin ϕ = 1/ 2, −π < ϕ ≤ π . Odtud dostáváme ϕ = π/4. Podle √ (1.17) je z = 2(cos π/4 + i sin π/4) goniometrick´ y tvar komplexn´ıho ˇc´ısla z a podle (1.18) je z = 2ei π/4 exponenciáln´ı tvar komplexn´ıho ˇc´ısla z. ´ Ulohy Zapiˇste v goniometrickém a exponenciáln´ım tvaru následuj´ıc´ı komplexn´ı ˇc´ısla. a = 2; 

b = −2 ;

c = 2i ;

a = 2(cos 0 + i sin 0) = 2ei 0 ;

d=

√

  c = 2(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 2ei π/2 ; e = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)) = 2ei π/3 ;

3−i ;

e=1+i

√

3;

f =1−i

√

3.

b = 2(cos π + i sin π) = 2ei π ;



 d = 2(cos(π/6) − i sin(π/6)) = 2e−i π/6 ;  f = 2(cos(π/3) − i sin(π/3)) = 2e−i π/3 .

Poˇ cetn´ı operace s komplexn´ımi ˇ c´ısly Necht’ z = x + i y a w = u + i v jsou dvˇe komplexn´ı ˇc´ısla. Pak jejich souˇcet, resp. rozd´ıl, resp. souˇcin, resp. pod´ıl definujeme vztahy z + w = (x + i y) + (u + i v) = (x + u) + i (y + v) ,

(1.23)

z − w = (x + i y) − (u + i v) = (x − u) + i (y − v) ,

(1.24)

zw = (x + i y)(u + i v) = (xu − yv) + i (xv + yu) ,

(1.25)

z x + iy (x + i y)(u − i v) xu + yv yu − xv = = = 2 +i 2 . w u + iv (u + i v)(u − i v) u + v2 u + v2

(1.26)

resp. resp. resp.

Pˇri násoben´ı komplexn´ıch ˇc´ısel v goniometrickém a exponenciáln´ım tvaru se vynásob´ı moduly a sˇc´ıtaj´ı argumenty. Skuteˇcnˇe, je-li z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z|ei ϕ , w = |w|(cos ψ + i sin ψ) = |w|ei ψ , pak zw

= = =

|z||w|(cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ) = |z||w| (cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i (cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ) = |z||w| cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) = |z||w|ei (ϕ+ψ) .

(1.27)

Pˇri dˇelen´ı komplexn´ıch ˇc´ısel v goniometrickém a exponenciáln´ım tvaru se vydˇel´ı moduly a argumenty se odeˇc´ıtaj´ı. Skuteˇcnˇe, je-li z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z|ei ϕ , w = |w|(cos ψ + i sin ψ) = |w|ei ψ , pak z w

= =

|z|(cos ϕ + i sin ϕ) |z|(cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ − i sin ψ) = = |w|(cos ψ + i sin ψ) |w|(cos ψ + i sin ψ)(cos ψ − i sin ψ) |z| |z| i (ϕ−ψ) (cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ)) = e . |w| |w|

(1.28)

Umocˇ nován´ı komplexn´ıho ˇc´ısla v kartézském tvaru provád´ıme pomoc´ı binomické vˇety. V goniometrickém a exponenciáln´ım tvaru se umocn´ı modul a argument se vynásob´ı mocnitelem. Odmocˇ nován´ı komplexn´ıch ˇc´ısel je ponˇekud komplikovanˇejˇs´ı. V kartézském tvaru lze poˇc´ıtat pouze druhou odmocninu z komplexn´ıho ˇc´ısla. K v´ ypoˇctu obecnˇe n-té odmocniny z komplexn´ıho ˇc´ısla pouˇz´ıv´ ame goniometrického nebo exponenciáln´ıho tvaru. Z Moivreovy vˇety dostáváme p √ ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ n n + i sin , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 , (1.29) z = |z| cos n n (pro pˇrehlednˇejˇs´ı vyˇc´ıslen´ı vol´ıme ϕ = Arg z ∈ h0, 2π)). Pˇ r´ıklady 1. Necht’ z1 = 2 + 3i , z2 = 3 + 4i . Vypoˇctˇeme z1 + z2 , z1 − z2 , z1 z2 , z1 /z2 , |z2 |, z 1 .

ˇ ˇ ÍSEL 1.2. MNOZINA KOMPLEXNÍCH C

13

ˇ sen´ı: Podle (1.23) je z1 + z2 = (2 + 3i ) + (3 + 4i ) = (2 + 3) + (3 + 4)i = 5 + 7i . Reˇ Podle (1.24) je z1 − z2 = (2 + 3i ) − (3 + 4i ) = (2 − 3) + (3 − 4)i = −1 − i . Podle (1.25) je z1 z2 = (2 + 3i )(3 + 4i ) = (2 · 3 − 3 · 4) + (2 · 4 + 3 · 3)i = −6 + 17i . z1 2 + 3i (2 + 3i )(3 − 4i ) 18 + i 18 i Podle (1.26) je = = = = + . z2 3p+ 4i (3 + 4i )(3 −√4i ) 25 25 25 Podle (1.15) je |z2 | = (3 + 4i )(3 − 4i ) = 25 = 5 . Podle definice komplexnˇe sdruˇzeného ˇc´ısla je z 1 = 2 + 3i = 2 − 3i . 2 − 4i 2. Vypoˇctˇeme z = 12i − i 3 + (3 − 5i )(1 − 2i ) + . 1−i ˇ sen´ı: Nejdˇr´ıve provedeme pomocné v´ Reˇ ypoˇcty. Podle (1.14) je i 3 = −i . Podle (1.25) je (3 − 5i )(1 − 2i ) = 2 − 4i 6 −2 −7 − 11i . Koneˇcnˇe, podle (1.26) je = + i = 3 − i . Po dosazen´ı dostáváme z = 12i + i + 1−i 2 2 (−7 − 11i ) + (3 − i ) = −4 + i . 3. Máme naj´ıt vˇsechna ˇreˇsen´ı algebraické rovnice z 6 − 1 = 0. ˇ sen´ı: Uloha, ´ Reˇ naj´ıt vˇsechna ˇreˇsen´ı algebraické rovnice z 6 − 1 = 0, je ekvivalentn´ı s u ´lohou naj´ıt vˇsechny ˇsesté odmocniny z jedniˇcky. Tyto odmocniny budeme poˇc´ıtat podle vzorce (1.29). p √ √ 6 6 1 = 6 1(cos 0 + i sin 0) = 1(cos(2kπ/6) + i sin(2kπ/6)) , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Odtud dostáváme hledané odmocniny cos 0 cos(π/3) cos(2π/3) cos π cos(4π/3) cos(5π/3)

+ + + + + +

i i i i i i

sin 0 sin(π/3) sin(2π/3) sin π sin(4π/3) sin(5π/3)

= 1 √ = 1/2 + i √3/2 = −1/2 + i 3/2 = −1 √ = −1/2 − i √3/2 = 1/2 − i 3/2

pro k pro k pro k pro k pro k pro k

= 0, = 1, = 2, = 3, = 4, = 5.

ˇ sen´ımi dané rovnice jsou tedy komplexn´ı ˇc´ısla Reˇ z1,2 = ±1 ,

z3,4 = 1/2 ± i

√

3/2 ,

√ z5,6 = −1/2 ± i 3/2 .

´ Ulohy 1. Najdˇete ˇc´ısla komplexnˇe sdruˇzená k ˇc´ısl˚ um a = 3 + 2i ; b = 2i ; c = 3 ; d = −3 − 2i . [a = 3 − 2i , b = −2i , c = 3 , d = −3 + 2i .] 2. Najdˇete reálná ˇc´ısla r, s tak, aby komplexn´ı ˇc´ıslo z = r(2 − 3i ) + s(1 + 4i ) bylo a) reálné [r = 4s/3, s libovolné reálné,] b) ryze imaginárn´ı [r = −s/2, s libovolné reálné.] 3. Najdˇete reálná ˇc´ısla x, y tak, aby platila rovnost x(1 − i ) + y(4 + 2i ) = 1 + 3i [x = −5/3, y = 2/3.] 4. Vypoˇctˇete a = (2 + 4i ) + (1 + 2i ) ; b = (2 − 3i ) + (−2 + 3i ) ; c = (−2 − i ) − (−3 − 7i ) . [a = 3 + 6i ; b = 0 ; c = 1 + 6i .] 5. Vypoˇctˇete a = (3 + 2i )i ; b = (2 + 3i )(4 + 5i ) ; c = (2 − i )(2 + i ) . [a = −2 + 3i ; b = −7 + 22i ; c = 5.] 6. Vypoˇctˇete (2 − i )(1 + 2i )(3 − 4i ) [24 − 7i .] 1+i 1−i 2+i ;b= − . [a = 1/2 + i /2 ; b = 2i .] 7. Vypoˇctˇete a = 3−i 1−i 1+i x + iy 8. Zjistˇete, pro která reálná ˇc´ısla x, y plat´ı = 3 + 2i [x = 5, y = −1.] 1−i 9. Vypoˇctˇete následuj´ıc´ı odmocniny komplexn´ıch ˇc´ısel. √ π + 2kπ π + 2kπ + i sin , k = 0, 1. a) −1 cos 2 2 √ π/2 + 2kπ π/2 + 2kπ 3 b) i cos + i sin , k = 0, 1, 2. 3 3 √ π/2 + 2kπ π/2 + 2kπ + i sin , k = 0, 1, 2, 3. c) 4 i cos 4 4


14 d) e) f) g) h)

√ 4 √ 5 √ 3

32

1+i

√ 5

2 + 2i

√ 6 r

i)

8

−16

−729 1+i √ 3+i

1.3

π + 2kπ π + 2kπ 2 cos + i sin , k = 0, 1, 2, 3. 4 4 2kπ 2kπ 2 cos + i sin , k = 0, 1, 2, 3, 4. 5 5 √ π/4 + 2kπ π/4 + 2kπ 6 2 cos + i sin , k = 0, 1, 2. 3 3 √ π/4 + 2kπ π/4 + 2kπ 10 + i sin , k = 0, 1, 2, 3, 4. 8 cos 5 5 π + 2kπ π + 2kπ 3 cos + i sin , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 6 6 π/12 + 2kπ 1 π/12 + 2kπ √ + i sin cos , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 16 8 8 2

Re´ aln´ e funkce jedn´ e re´ aln´ e promˇ enn´ e

Kl´ıˇcov´ a slova: Reálná funkce jedné reálné promˇenné; funkˇcn´ı hodnota, definiˇcn´ı obor, obor hodnot, graf funkce; obraz mnoˇziny; prostá a inverzn´ı funkce; kompozice funkc´ı; rostouc´ı, klesaj´ıc´ı, neklesaj´ıc´ı, nerostouc´ı, monotónn´ı, ryze monotónn´ı, shora omezená, zdola omezená, omezená, neomezená, sudá, lichá, periodická funkce; perioda a primitivn´ı perioda funkce, vektorová funkce, sloˇzená vektorová funkce

1.3.1

Definice a z´ akladn´ı vlastnosti re´ aln´ e funkce

Budeme se zab´ yvat reáln´ ymi funkcemi jedné reálné promˇenné. Taková funkce je zadaná nˇejak´ ym pˇredˇ ıslo y = f (x) naz´ pisem f (x), kter´ ym je kaˇzdému x ∈ R pˇriˇrazeno nejv´ yˇse jedno y = f (x) ∈ R. C´ yv´ ame funkˇcn´ı hodnotou funkce f v bodˇe x . Mnoˇzinu tˇech x ∈ R, kter´ ym je pˇredpisem f (x) pˇriˇrazeno nˇejaké ˇc´ıslo y = f (x) ∈ R, naz´ yváme definiˇcn´ım oborem funkce f a znaˇc´ıme jej Df . Mnoˇzinu vˇsech funkˇcn´ıch hodnot funkce f naz´ yváme oborem hodnot funkce f a znaˇc´ıme jej Hf . Je-li M ⊂ Df , pak mnoˇzinu vˇsech funkˇcn´ıch hodnot f (x) pro x ∈ M naz´ yv´ ame obrazem mnoˇziny M a znaˇc´ıme ji f (M ). Skuteˇcnost, ˇze f je funkce, zapisujeme napˇr. f : Df → R, nebo prostˇe x → f (x). Grafem funkce f naz´ yváme mnoˇzinu graf f = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ Df , y = f (x)}.

(1.30)

ˇ ıkáme, ˇze funkce f : Df → R je prost´ R´ a právˇe tehdy, kdyˇz pro kaˇzdé dva body x1 , x2 ∈ Df , x1 6= x2 , je f (x1 ) 6= f (x2 ). Grafy prost´ ych funkc´ı jsou naˇcrtnuty na obr. 1.7 a), d), f). Na obr. 1.7 b), e), g) jsou grafy funkc´ı, které nejsou prosté. Funkce g se naz´ yvá inverzn´ı funkc´ı k funkci f právˇe tehdy, kdyˇz rovnost y = f (x) je ekvivalentn´ı s rovnost´ı x = g(y). Z této pomˇernˇe volné charakterizace inverzn´ı funkce je vidˇet, ˇze k tomu, aby k dané funkci existovala inverzn´ı funkce je nutné, aby tato daná funkce byla prostá. Na obr. 1.7 c) je graf kvadratické funkce, která zˇrejmˇe prostá nen´ı. Kdyˇz vˇsak jej´ı definiˇcn´ı obor z´ uˇz´ıme na interval h0, ∞), tj. uvaˇzujeme pouze jej´ı pravou vˇetev, pak tato funkce je jiˇz prostá a m˚ uˇzeme k n´ı sestrojit funkci inverzn´ı. Tou je druhá odmocnina, naˇcrtnuta na obr. 1.7 c). Doporuˇcujeme ˇctenáˇri, aby si rozmyslel, proˇc grafy funkc´ı navzájem inverzn´ıch jsou symetrické podle osy prvn´ıho kvadrantu. Pro oznaˇcen´ı funkce inverzn´ı k funkci f se obvykle pouˇz´ıvá symbol f −1 . Plat´ı Df = Hf −1 a Df −1 = Hf . ˇ ıkáme, ˇze funkce h je kompozic´ı funkc´ı f a g (v Necht’ g(y) a f (x) jsou dvˇe funkce takové, ˇze Hf ⊂ Dg . R´ tomto poˇrad´ı) a p´ıˇseme h = g ◦ f právˇe tehdy, kdyˇz h(x) = g(f (x)) pro vˇsechna x ∈ Df . Funkce f se pak naz´ yvá vnitˇrn´ı funkce, funkce g vnˇejˇs´ı funkce sloˇzené funkce h = g ◦ f . Zde si mus´ıme uvˇedomit, ˇze pˇri vytváˇren´ı kompozice dvou funkc´ı mus´ıme nejdˇr´ıve urˇcit definiˇcn´ı obor vnitˇrn´ı funkce f (x) tak, aby byla splnˇena podm´ınka Hf ⊂ Dg . Napˇr. pro g(y) = ln y a f (x) = x3 nesm´ıme brát Df = R, ale Df = (0, ∞). Pak je skuteˇcnˇe Hf ⊂ Dg a sloˇzená funkce h(x) = ln x3 je definovaná pro vˇsechna x ∈ Df = (0, ∞). Necht’ je funkce f definovaná na nˇejakém intervalu I ⊂ Df . Jestliˇze pro vˇsechna x1 ,x2 ∈ I, x1 < x2 , plat´ı f (x1 ) < f (x2 ) , resp. f (x1 ) ≤ f (x2 ) , resp. f (x1 ) > f (x2 ) , resp. f (x1 ) ≥ f (x2 ) ,

(1.31)

pak ˇr´ıkáme, ˇze funkce f je rostouc´ı v intervalu I, resp. neklesaj´ıc´ı v intervalu I, resp. klesaj´ıc´ı v intervalu I, resp. nerostouc´ı v intervalu I (viz obr. 1.7 d) – g)). Má-li funkce f nˇekterou z uveden´ ych vlastnost´ı,

´ E ´ FUNKCE JEDNE ´ REALN ´ E ´ PROMENN ˇ ´ 1.3. REALN E y f (x2 )

y 3

y=x

2

y = x2

2

1 x2

x1 −1

y f (x) = x2

2 f (x1 ) = f (x2 )

1 −2

15

1

1

x1

x 2

−2

x2 −1

−1

1

f −1 (x) =

x 2

−2

−1

1

−1

y=x √ x x

2

−1

f (x1 )

a) funkce je prostá

b) funkce nen´ı prostá

y

c) funkce inverzn´ı

y

f

f (x2 ) = f (x3 )

f (x2 )

f (x1 )

x

f (x1 )

x

x2

x1

f

x2

x1

d) funkce rostouc´ı

x3

e) funkce neklesaj´ıc´ı

y

y

f (x1 )

f (x1 ) f

f f (x2 ) = f (x3 )

f (x2 )

x x1

x2

f) funkce klesaj´ıc´ı

x x1

x2

x3

g) funkce nerostouc´ı

Obrázek 1.7: Ilustrace vlastnost´ı funkc´ı

pak ˇr´ıkáme, ˇze funkce f je monot´ onn´ı v intervalu I. Je-li funkce f rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı v intervalu I, pak ˇr´ıkáme, ˇze je ryze monot´ onn´ı v intervalu I. ˇ ıkáme, ˇze funkce f je shora, resp. zdola omezen´ R´ a na mnoˇzinˇe A ⊂ R právˇe tehdy, kdyˇz existuje reálné ˇ ıkáme, ˇze funkce je omezen´ ˇc´ıslo K, resp. k tak, ˇze f (x) < K, resp. f (x) > k pro vˇsechna x ∈ A. R´ a na mnoˇzinˇe A právˇe tehdy, kdyˇz je omezená zdola i shora, tj. právˇe tehdy, kdyˇz existuje ˇc´ıslo k0 tak, ˇze plat´ı |f (x)| < k0 pro vˇsechna x ∈ A. Funkce, které nejsou omezené, naz´ yváme neomezené. ˇ ıkáme, ˇze funkci f je sud´ R´ a, resp. lich´ a právˇe tehdy, kdyˇz má tyto dvˇe vlastnosti: (i) f (x) má definiˇcn´ı obor symetrick´ y podle poˇcátku, tj. je-li x ∈ Df , pak je také −x ∈ Df . (ii) Pro vˇsechna x ∈ Df je f (−x) = f (x), resp. f (−x) = −f (x). Z vlastnost´ı (i) a (ii) plyne: Graf funkce sudé je symetrick´ y podle osy y (napˇr. graf funkce y = x2 , viz 1.7 b) ), graf funkce liché je symetrick´ y vzhledem k poˇcátku soustavy souˇradnic (napˇr. graf funkce f (x) = x3 , viz 1.7 a) ). ˇ ıkáme, ˇze funkce f je periodick´ R´ a s periodou p (p > 0) právˇe tehdy, kdyˇz má následuj´ıc´ı vlastnost: je-li definována v bodˇe x, je téˇz definována v bodech x + p, x − p a plat´ı f (x) = f (x + p) = f (x − p). Funkce periodická s periodou p je téˇz periodická s periodou kp, k ∈ N. Pokud existuje nejmenˇs´ı z tˇechto period T > 0, naz´ yvá se tato perioda primitivn´ı periodou funkce f .


16

Vektorov´ e funkce Vektorovou funkc´ı jedné re´ alné promˇenné budeme naz´ yvat kaˇzdé zobrazen´ı f z mnoˇziny R do prostoru Rn vˇsech uspoˇrádan´ ych n–tic reáln´ ych ˇc´ısel. Obvykle je takové zobrazen´ı zadáno jako uspoˇrádaná n–tice reáln´ ych funkc´ı reálné promˇenné f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)), x ∈ Df = Df1 ∩ Df2 ∩ · · · ∩ Dfn . Reálné funkce f1 , f2 , . . . , fn naz´ yváme sloˇzkami vektorové funkce f a p´ıˇseme obvykle f = (f1 , f2 , . . . , fn ). Napˇr´ıklad pˇredpisem f (x) = (cos x, x3 , ln x), x ∈ Df = (0, ∞), (1.32) je definována vektorová funkce f : (0, ∞) → R3 . Pro vektorové funkce f = (f1 , f2 , . . . , fn ) a g = (g1 , g2 , . . . , gn ) se stejn´ ym definiˇcn´ım oborem D definujeme jejich souˇcet f + g, rozd´ıl f − g, skalárn´ı souˇcin f • g a skalárn´ı násobek αf funkce f reáln´ ym ˇc´ıslem α definujeme po sloˇzkách f ± g = (f1 ± g1 , f2 ± g2 , . . . , fn ± gn ) , f • g = (f1 · g1 + f2 · g2 + . . . + fn · gn ) , αf = (αf1 , αf2 , . . . , αfn ) . Je-li ϕ : R → R reálná funkce jedné reálné promˇenné a je-li f = (f1 , f2 , . . . , fn ) , vektorová funkce taková, ˇze ϕ(t) ∈ Df pro vˇsechna t ∈ Dϕ , pak definujeme sloˇzenou vektorovou funkci (f ◦ ϕ)(t) = f (ϕ(t)) = (f1 (ϕ(t)), f2 (ϕ(t)), . . . , fn (ϕ(t))) , t ∈ Dϕ .

(1.33)

Napˇr´ıklad, je-li f vektorová funkce dána pˇredpisem (1.32) a funkce x = ϕ(t) = 3t + 4, pak (f ◦ ϕ)(t) = f (ϕ(t)) = (cos(3t + 4), (3t + 4)3 , ln(3t + 4)),

1.4

t ∈ (−4/3, ∞).

Element´ arn´ı funkce

Kl´ıˇcov´ a slova: Konstantn´ı funkce, lineárn´ı funkce, kvadratická funkce, mocninná funkce, exponenciáln´ı funkce, logaritmická funkce, goniometrické funkce, cyklometrické funkce, hyperbolické funkce, hyperbolometrické funkce

1.4.1

Mocninn´ e funkce

ˇ Radu elementárn´ıch funkc´ı známe jiˇz ze stˇredn´ı ˇskoly. Je to napˇr. konstantn´ı funkce f (x) = c, x ∈ Df = R, kde c je nˇejaká konstanta (viz obr. 1.8 a) ), nebo line´ arn´ı funkce f (x) = kx + q, x ∈ Df = R, jej´ıˇz graf je ˇ naˇcrtnut na obr. 1.8 b). Casto budeme pracovat s absolutn´ı hodnotou f (x) = |x|, x ∈ Df = R, jej´ıˇz graf je naˇcrtnut na obr. 1.8 c). Na obr. 1.8 d) a e) jsou naˇcrtnuty grafy kvadratických funkc´ı f (x) = ax2 + bx + c ≡ a(x − r)(x − s),

x ∈ Df = R.

(1.34)

ˇ ısla r a s se naz´ C´ yvaj´ı jejich nulovými body. Pˇr´ıpady, kdy kvadratick´ y polynom má dva r˚ uzné reálné nulové body r a s, resp. jeden dvojnásobn´ y nulov´ y bod, resp. nemá reálné nulové body, jsou ilustrovány na obr. 1.8 d) (i) – (iii) a e) (iv) – (vi). Doporuˇcujeme ˇctenáˇri, aby se pokusil na základˇe pˇr´ısluˇsn´ ych graf˚ u nalézt analytické vyjádˇren´ı odpov´ıdaj´ıc´ıch kvadratick´ ych funkc´ı, zjistit, jak souvis´ı diskriminant pˇr´ısluˇsné kvadratické rovnice s polohou grafu vzhledem k ose x a jak souvis´ı pr˚ ubˇeh funkce se znaménkem koeficientu u kvadratického ˇclenu. Je rovnˇeˇz velice uˇziteˇcné si promyslet, na jak´ ych mnoˇzinách nab´ yvaj´ı tyto funkce kladné, resp. záporné hodnoty a jak se dvˇe r˚ uzná typická chován´ı z obr. 1.8 d) a e) poznaj´ı podle znaménka u kvadratického ˇclenu? Jist´ ym zobecnˇen´ım pˇredchoz´ı funkce je n-t´ a mocnina f (x) = xn ,

n ∈ N,

x ∈ Df = R.

(1.35)

Grafy takov´ ych mocninn´ ych funkc´ı pro n = 2 a n = 3 jsou naˇcrtnuty na obr. 1.8 f). M˚ uˇzeme srovnat jejich pr˚ ubˇehy a rozmyslet si, jak se liˇs´ı pr˚ ubˇeh mocninn´ ych funkc´ı se sud´ ym a s lich´ ym exponentem. Ponˇekud obecnˇejˇs´ı funkce neˇz n-tá mocnina je mocninná funkce s racionáln´ım exponentem n

f (x) = x m ,

m ∈ N, n ∈ Z , n, m nesoudˇelná, n 6= 0, x ∈ Df ,

(1.36)

´ Í FUNKCE 1.4. ELEMENTARN

17

y

y = kx + q q x

y=c

c

x

a) konstantn´ı funkce

(ii)

3

2

2

-1

x

3

y = x2 2 y = x3

x

√

x

x −2

(v)

−1

1

2

−1 3

y=x

f) mocninné funkce

e) kvadratické funkce y

y y = x1/2 . . . 1 . . . . y. = x1/10 . . . x −1

1

f (x) =

ax − b x−c

a

2

x 0

y = x1/3

y=

1

(vi)

−2

y = x2

(iv)

-2

d) kvadratické funkce

x

y

1

(iii)

1

y = |x|

c) absolutn´ı hodnota

y 1

(i) 2

@ @ @ @

b) lineárn´ı funkce

y

1

y

y

c

−1

g) odmocniny

h) lineárn´ı lomená funkce

Obrázek 1.8: Grafy elementárn´ıch funkc´ı

kde

Df Df Df Df

=R pro n > 0 = R \ {0} pro n < 0 = h0, ∞) pro n > 0 = (0, ∞) pro n < 0

a m liché , a m liché , a m sudé , a m sudé .

Mezi funkce s racionáln´ım exponentem patˇr´ı také m-t´ a odmocnina 1 √ f (x) = m x = x m , x ∈ Df = R pro lichá m, x ∈ Df = h0, ∞) pro sudá m.

(1.37)

(1.38)

Graf této funkce pro m = 2, 3 a 10, tj. druhé, tˇret´ı a desáté odmocniny je naˇcrtnut na obr. 1.8 g). Druhá odmocnina, jako funkce inverzn´ı k pravé vˇetvi druhé mocniny, je rovnˇeˇz naˇcrtnuta na obr. 1.8 f). Mocninnou funkc´ı s racionáln´ım exponentem je i funkce f (x) = 1/xn = x−n ,

n ∈ N,

x ∈ Df = R \ {0} .

Grafem takové funkce je hyperbola, naˇcrtnuta pro n = 1 na obr. 1.4. Funkce ax − ac + (ac − b) ac − b ax − b = =a+ , x ∈ Df = R \ {c} , a, b, c ∈ R, f (x) = x−c x−c x−c

(1.39)

(1.40)


18

je zobecnˇen´ım funkce 1/x. Naz´ yvá se line´ arn´ı lomen´ a funkce a jej´ı graf je na obr. 1.8 h). Pˇ r´ıklady √ 1. Máme naj´ıt definiˇcn´ı obor funkce f (x) = x2 + x − 6. ˇ sen´ı: Druhá odmocnina je definovaná pro nezáporná reálná ˇc´ısla, takˇze mus´ı b´ Reˇ yt x2 + x − 6 ≥ 0 . 2 Kvadratická rovnice x + x − 6 = 0 má koˇreny x1 = −3, x2 = 2 a z pr˚ ubˇehu funkce vid´ıme, ˇze nezáporné hodnoty nab´ yvá na intervalech (−∞, −3i a h2, ∞). Je tedy Df = (−∞, −3i ∪ h2, ∞) . √ 2. Máme naj´ıt definiˇcn´ı obor funkce f (x) = −x2 − x + 6. ˇ sen´ı: Postup je podobn´ Reˇ y jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe. Opˇet mus´ı platit −x2 − x + 6 ≥ 0 . Kvadratická 2 rovnice −x − x + 6 = 0 má opˇet koˇreny x1 = −3, x2 = 2, ale koeficient u kvadratického ˇclenu je záporn´ y, takˇze parabola je otevˇrená do −∞ a funkce nab´ yvá nezáporné hodnoty na intervalu h−3, 2i. Je tedy Df = h−3, 2i . 1 3. Máme naj´ıt funkci f −1 (x) inverzn´ı k funkci f (x) = , x 6= 1. 1−x ˇ sen´ı: Funkce f (x) je rostouc´ı v intervalu (−∞, 1) i v intervalu (1, ∞). Inverzn´ı funkci budeme hledat Reˇ na intervalu (−∞, 1). Funkce 1/(1 − x) je na intervalu (−∞, 1) prostá a nab´ yvá tam vˇsech záporn´ ych hodnot. Existuje tedy inverzn´ı funkce f −1 (x), definovaná pro vˇsechna x < 0. Podle definice inverzn´ı funkce je y = f (x) právˇe tehdy, kdyˇz je x = f −1 (y). Mus´ıme proto z pˇredpisu pro funkci y = f (x) vyjádˇrit promˇennou x pomoc´ı funkˇcn´ı hodnoty y. Z rovnosti y = 1/(1 − x) dostaneme tak rovnost x = (y − 1)/y. Tato rovnost udává pˇredpis pro hledanou inverzn´ı funkci, avˇsak v soustavˇe souˇradnic s vymˇenˇen´ ymi souˇradnicov´ ymi osami. (Uvˇedomte si, ˇze oba pˇredpisy popisuj´ı v rovinˇe xy tutéˇz mnoˇzinu, tj. graf funkce f (x) = 1/(1 − x), x 6= 1.) Proto jeˇstˇe vymˇen´ıme oznaˇcen´ı promˇenn´ ych a dostaneme hledanou inverzn´ı funkci pro x < 0. Stejn´ ym postupem na intervalu (1, ∞) bychom dostali stejn´ y pˇredpis pro x > 0. Je tedy x−1 f −1 (x) = , x ∈ Df −1 = (−∞, 0) ∪ (0, ∞). x √ 4. Máme naj´ıt funkci f −1 (x) inverzn´ı k funkci f (x) = 3 x2 + 1, x ≥ 0. ˇ sen´ı: Funkce f (x) je rostouc´ı v celém svém definiˇcn´ım oboru a nab´ Reˇ yvá tam vˇsech reáln´ ych hodnot z intervalu h1, ∞). Existuje tedy inverzn´ı funkce, definovaná pro vˇsechna x ≥ 1. Stejnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe z pˇredpisu pro funkci y = f (x) pvyjádˇr´ıme promˇennou x pomoc´ı funkˇcn´ı hodnoty y. Z rovnosti y = √ 3 2 x + 1 dostaneme tak rovnost x = y 3 − 1, která udává pˇredpis pro hledanou inverzn´ı funkci, avˇsak opˇet v souˇradnicovém systému s vymˇenˇen´ ymi souˇradnicov´ ymi osami. Proto jeˇstˇe vymˇen´ıme oznaˇcen´ı promˇenn´ ych a dostaneme hledanou inverzn´ı funkci p f −1 (x) = x3 − 1, x ∈ Df −1 = h1, ∞) . ´ Ulohy 1. Naleznˇete definiˇcn´ı obor funkce f (x), kde √ 1 1 ; ; b) f (x) = 2x − 1 ; c) f (x) = √ 2x − 4 2x − 1 √ √ x2 d) f (x) = ; e) f (x) = 3x − x3 ; f) f (x) = 2 + x − x2 . 3x − 6

a) f (x) =

"

a) Df = (−∞, 2) ∪ (2, ∞) ;

b) Df = h1/2, ∞) ; c) Df = (1/2, ∞) ; √ √ d) Df = (−∞, 2) ∪ (2, ∞) ; e) Df = (−∞, − 3i ∪ h0, 3i ; f) Df = h−1, 2i.

#

2 2. Naleznˇete funkci inverzn´ı k funkci: a) y = 5x − 1 ; b) y = (1 − x)/(1 + x) , x 6= −1; √ c) y = x − 1 , x ≥ 0. [a) y = (x + 1)/5, x ∈ R ; b) y = (1 − x)/(1 + x) , x 6= −1 ; c) y = x + 1, x ∈ h−1, ∞) .]

1.4.2

Exponenci´ aln´ı a logaritmick´ a funkce

Jiˇz na stˇredn´ı ˇskole jsme se seznámili také s exponenci´ aln´ı funkc´ı f (x) = eax , a ∈ R,

x ∈ Df = R .

(1.41)


19

Jej´ı graf je naˇcrtnut na obr. 1.9 a). Zde ˇc´ıslo e je tzv. Eulerovo ˇc´ıslo. Je to iracionáln´ı ˇc´ıslo, pˇribliˇznˇe . e = 2, 718. Funkce inverzn´ı k exponenciáln´ı funkci f (x) = ex je logaritmick´ a funkce f −1 (x) = ln x,

x ∈ Df −1 = (0, +∞).

(1.42)

Je tedy definovaná vztahem y = ln x právˇe tehdy, kdyˇz x = ey . Tato funkce se naz´ yvá také pˇrirozený logaritmus. Jej´ı graf je naˇcrtnut na obr. 1.9 b). y

y y = ex

y = ln x x 0

1

1

x 0

a) graf exponenciáln´ı funkce

b) graf logaritmické funkce

Obrázek 1.9: Grafy exponenciáln´ı a logaritmické funkce Nahrad´ıme-li v exponenciáln´ı funkci f (x) = ex jej´ı základ e libovoln´ ym kladn´ ym ˇc´ıslem a ∈ (0, 1)∪(1, ∞) , dostaneme funkci f (x) = ax , a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞), x ∈ Df = R, (1.43) kterou naz´ yváme obecn´ a mocnina se z´ akladem a. Funkce k n´ı inverzn´ı je tzv. logaritmick´ a funkce se z´ akladem a f −1 (x) = loga x,

x ∈ Df −1 = (0, +∞),

a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞).

(1.44)

Je definovaná vztahem y = loga x právˇe tehdy, kdyˇz x = ay .

(1.45)

Pro a = 10 mluv´ıme o tzv. dekadickém logaritmu. Pˇ r´ıklady x−5 . − 10x + 24 ˇ sen´ı: Pˇrirozen´ Reˇ y logaritmus je definován pro kladná reálná ˇc´ısla, takˇze mus´ı platit 1. Máme naj´ıt definiˇcn´ı obor funkce f (x) = ln

x2

x−5 > 0, x2 − 10x + 24

x2 − 10x + 24 6= 0.

(1.46)

Kvadratická rovnice x2 − 10x + 24 = 0 má dva koˇreny x1 = 4, x2 = 6. M˚ uˇzeme tedy podm´ınku (1.46) x−5 pˇrepsat na tvar > 0, x 6= 4, x 6= 6 a vyjádˇrit pomoc´ı dvou podm´ınek (x − 5 > (x − 4)(x − 6) 0) ∧ ((x − 4)(x − 6) > 0) nebo (x − 5 < 0) ∧ ((x − 4)(x − 6) < 0) . Snadno se ovˇeˇr´ı, ˇze prvn´ı podm´ınka je splnˇena pro x ∈ (6, ∞) a druhá podm´ınka pro x ∈ (4, 5). Je tedy Df = (4, 5) ∪ (6, ∞). 2. Máme naj´ıt definiˇcn´ı obor funkce f (x) = ln(ln(x2 − x − 5)). ˇ sen´ı: Pˇrirozen´ Reˇ y logaritmus je definován pro kladná reálná ˇc´ısla, takˇze mus´ı b´ yt ln(x2 − x − 5) > 0. To 2 2 vˇsak plat´ı pouze tehdy, kdyˇz je x − x − 5 > 1 . Protoˇze kvadratická rovnice x − x − 6 = 0 má dva koˇreny


20

x1 = −2, x2 = 3, m˚ uˇzeme tuto nerovnost pˇrepsat na tvar (x + 2)(x − 3) > 0 . Snadno se ovˇeˇr´ı, ˇze tato nerovnost je splnˇena pro x ∈ (−∞, −2) ∪ (3, ∞), a tedy Df = (−∞, −2) ∪ (3, ∞). 3. Máme naj´ıt funkci f −1 (x) inverzn´ı k funkci f (x) = ln(3x + 2) − 1, x > −2/3. ˇ sen´ı: Funkce f (x) je kompozice rostouc´ıch funkc´ı, a je tedy rostouc´ı v celém svém definiˇcn´ım oboru. Reˇ Nab´ yvá tam vˇsech reáln´ ych hodnot. Existuje tedy inverzn´ı funkce, která bude definovaná pro vˇsechna x ∈ R. Z pˇredpisu pro funkci y = f (x) mus´ıme vyjádˇrit promˇennou x pomoc´ı funkˇcn´ı hodnoty y. Z rovnosti y = ln(3x + 2) − 1 dostaneme tak rovnost x = (e1+y − 2)/3, která udává pˇredpis pro hledanou inverzn´ı funkci, avˇsak v soustavˇe souˇradnic s vymˇenˇen´ ymi souˇradnicov´ ymi osami. Proto jeˇstˇe vymˇen´ıme oznaˇcen´ı promˇenn´ ych a dostaneme hledanou inverzn´ı funkci f −1 (x) = (e1+x − 2)/3,

x ∈ Df −1 = (−∞, ∞).

´ Ulohy 1. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce f (x), kde √

a) f (x) = ln(x2 − 3x + 2) ;

b) f (x) = ln(x +

c) f (x) = ln(ln 2 − ln(x2 − 5x + 8)) ;

d) f (x) = ln(x2 − 9) ;

5 e) f (x) = 2 + ln(x3 − x) x −9 " a) (−∞, 1) ∪ (2, ∞) ; b) d)

(−∞, −3) ∪ (3, ∞) ;

e)

x2 + 2) ;

s 5x − x2 f) f (x) = ln + ln(x3 − x) . 4 # (−∞, ∞) ; c) (2, 3) ; (−1, 0) ∪ (1, 3) ∪ (3, ∞) ;

f)

(1, 4i.

2. Naleznˇete funkci inverzn´ı k funkci a) y = ex−1 + 2 ; b) y = 10x+1 . [a) y = 1 + ln(x − 2) , x ∈ (2, ∞) ; b) y = log10 (x/10) , x ∈ (0, ∞) .]

1.4.3

Goniometrick´ e a cyklometrick´ e funkce

Goniometrick´ e funkce Funkce f (x) = sin x,

x ∈ Df = R,

(1.47)

je goniometrická funkce sinus. Je to periodická funkce s periodou 2π. Jej´ı graf je na obr. 1.10 a). Funkce sin x má nulové body xk = kπ , k ∈ Z , a plat´ı π sin (2k + 1) = (−1)k , k ∈ Z . (1.48) 2 Funkce f (x) = cos x,

x ∈ Df = R,

(1.49)

je goniometrická funkce kosinus. Je to periodická funkce s periodou 2π. Jej´ı graf je na obr. 1.10 b). π Funkce f (x) = cos x má nulové body xk = (2k + 1) , k ∈ Z , a plat´ı 2 cos(kπ) = (−1)k , k ∈ Z .

(1.50)

Zkuste si sami nakreslit grafy funkc´ı sin 2x , cos 2x , sin(x/2) , cos(x/2) , 2 sin x , 2 cos x a naj´ıt jejich nulové body. Následuj´ıc´ı rovnosti plat´ı pro vˇsechna x a y, nen´ı-li ˇreˇceno bezprostˇrednˇe nˇeco jiného. Plat´ı rovnost sin2 x + cos2 x = 1, (1.51) která se ˇcasto naz´ yvá goniometrick´ a jedniˇcka. Plat´ı souˇctové vzorce sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y,

(1.52)


21

y

y 1

1 −π/2

x π/2

−1

π

3π/2

2π

x −π/2

π/2

−1

a) graf funkce sinus

π

3π/2

2π

b) graf funkce kosinus y

y 2

2

1

1 x

x −

π 2

−1

π 2

3π 2

π

−π

−

π 2

−1

π 2

π

−2

−2

c) graf funkce tangens

d) graf funkce kotangens

Obrázek 1.10: Grafy goniometrick´ ych funkc´ı

cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y,

(1.53)

a odtud pro x = y dostáváme vzorce pro dvojnásobné u ´hly sin 2x = 2 sin x cos x,

(1.54)

cos 2x = cos2 x − sin2 x.

(1.55)

Posledn´ı rovnost m˚ uˇzeme vyjádˇrit pomoc´ı jediné funkce cos 2x = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2 x − 1. Plat´ı Euler˚ uv vztah

ei x = cos x + i sin x,

Odtud dostáváme cos x = Funkce f (x) = tg x =

e−i x = cos x − i sin x.

ei x + e−i x ei x − e−i x , sin x = . 2 2i

sin x , cos x

x ∈ Df =

[

(2k − 1)

k∈Z

π π , (2k + 1) , 2 2

(1.56) (1.57) (1.58) (1.59)

je goniometrická funkce tangens. Je to periodická funkce s periodou π. Jej´ı graf je na obr. 1.10 c). Funkce tg x nab´ yvá nulové hodnoty v bodech xk = kπ , k ∈ Z . Funkce [ cos x , x ∈ Df = (kπ, (k + 1)π), (1.60) f (x) = cotg x = sin x k∈Z

je goniometrická funkce kotangens. Je to periodická funkce s periodou π. Jej´ı graf je na obr. 1.10 d). π Funkce cotg x má nulové body xk = (2k + 1) , k ∈ Z . 2 Nyn´ı uvedeme ˇradu rovnost´ı udávaj´ıc´ıch vztahy mezi jednotliv´ ymi goniometrick´ ymi funkcemi. tg x cotg x = 1,

1 + tg2 x = 1/ cos2 x ,

1 + cotg2 x = 1/ sin2 x ,

(1.61)


22 sin x =

2 sin(x/2) cos(x/2) 2 tg(x/2) = , 1 + tg2 (x/2) sin2 (x/2) + cos2 (x/2)

cos x =

cos2 (x/2) − sin2 (x/2) 1 − tg2 (x/2) = . 2 1 + tg2 (x/2) cos2 (x/2) + sin (x/2) (1.62)

Z rovnosti cos2 x = 1/(1 + tg2 x) plyne 1

cos x = p

1 + tg2 x

,

sin x = p

tg x 1 + tg2 x

π π x∈ − , . 2 2

(1.63)

cotg x cotg y ∓ 1 . cotg y ± cotg x

(1.64)

,

Plat´ı souˇctové vzorce tg(x ± y) =

tg x ± tg y , 1 ∓ tg x tg y

cotg(x ± y) =

Z nich pro x = y plynou vzorce pro dvojnásobn´ yu ´hel tg 2x =

cotg2 x − 1 . 2 cotg x

(1.65)

ei x − e−i x ei x + e−i x , cotg x = i . ei x + e−i x ei x − e−i x

(1.66)

2 tg x , 1 − tg2 x

cotg 2x =

Z rovnost´ı 1.57, 1.59 a 1.60 plyne tg x = −i

Pˇ r´ıklady 1. Máme naj´ıt definiˇcn´ı obor funkce f (x) = ln sin x. ˇ sen´ı: Funkce ln y je definovaná pro y > 0, takˇze mus´ı b´ Reˇ yt y = sin x > 0. Protoˇze funkce sin x má nulové body ve vˇsech celoˇc´ıseln´ ych násobc´ıch ˇc´ısla π a sin x > 0 pro x ∈ ∪k∈Z (2kπ, (2k + 1)π), je definiˇcn´ı obor dané funkce Df = ∪k∈Z (2kπ, (2k + 1)π) . 1 2. Máme naj´ıt definiˇcn´ı obor funkce f (x) = . 1 + cos x ˇ sen´ı: Nejdˇr´ıve hledáme nulové body jmenovatele. Rovnost cos x = −1 plat´ı pro x = (2k + 1)π. Pro Reˇ hledan´ y definiˇcn´ı obor funkce f (x) tedy plat´ı Df = ∪k∈Z ((2k − 1)π, (2k + 1)π) . 1 3. Máme naj´ıt definiˇcn´ı obor funkce f (x) = q . √ cos (x/3) − 3/2 √ ˇ sen´ı: Nejdˇr´ıve najdeme nulové body jmenovatele. Rovnost cos (x/3) − 3/2 = 0 plat´ı pro x/3 = Reˇ √ ±π/6 + 2kπ, a tedy x = ±π/2 + 6kπ. Dále mus´ı platit cos(x/3) − 3/2 > 0. Tato nerovnost plat´ı na intervalech (6kπ − π/2, 6kπ + π/2), k ∈ Z. Je tedy Df = ∪k∈Z (6kπ − π/2, 6kπ + π/2). 4. Máme naj´ıt primitivn´ı periodu T funkce f (x) = sin x + 3 sin 2x + 2 sin 3x. ˇ sen´ı: Funkce sin x má primitivn´ı periodu T1 = 2π, funkce sin 2x má primitivn´ı periodu T2 = π a funkce Reˇ sin 3x má primitivn´ı periodu T3 = 2π/3. Primitivn´ı periodou souˇctu funkc´ı je nejmenˇs´ı spoleˇcn´ y násobek period T1 , T2 , T3 , a tedy ˇc´ıslo T = 2π. ´ Ulohy 1. Naleznˇete definiˇcn´ı obor funkce f (x), kde a) f (x) =

√

sin x ;

b) f (x) =

p

| sin x| ;

c) f (x) = ln | sin x| ;

d) f (x) =

cos2 x + 1 . 5 − ln x

[a) ∪k∈Z h2kπ, (2k + 1)πi ; b) R ; c) ∪k∈Z (kπ, (k + 1)π) ; d) (0, e5 ) ∪ (e5 , ∞).] 2. Naleznˇete primitivn´ı periodu T funkce f (x). a) f (x) = cos 3x ;

b) f (x) = 2 sin 2x ; c) f (x) = 5 cos πx ; d) f (x) = 7 sin(3x + 5) ;

√ √ e) f (x) = cos ((x − 1)/2) ; f) f (x) = tg x ; g) f (x) = tg x ; a) T = 2π/3; b) T = π; c) T = 2; d) T = 2π/3; f)T = π; g) nen´ı periodická; h) T = 2π.

h) f (x) = cos 3x − sin 2x . e) T = 4π;


23

3. Naleznˇete primitivn´ı periodu T funkce f (x). a) f (x) = tg(x/2)+tg(x/3) ; b) f (x) = sin(πx/3)+cos(πx/4) ; c) f (x) = sin(2πx+π/3)+cos(3πx+ π/4) + sin 5πx . [a) T = 6π, b) T = 24; c) T = 2.] Cyklometrick´ e funkce Nyn´ı se budeme vˇenovat funkc´ım inverzn´ım ke goniometrick´ ym funkc´ım. V´ıme vˇsak, ˇze inverzn´ı funkce existuje pouze k prosté funkci a ˇze goniometrické funkce nejsou prosté. Je proto pˇri konstrukci tˇechto inverzn´ıch funkc´ı nutné omezit se vˇzdy na interval, na nˇemˇz je pˇr´ısluˇsná goniometrická funkce prostá. y π 2

y π

π 2

x −1

1

−

x

π 2

−1

a) graf funkce arkussinus

1

b) graf funkce arkuskosinus

y π 2 −2

y π

−1

1

−

2

π 2

x

π 2

x −2

c) graf funkce arkustangens

−1

1

2

d) graf funkce arkuskotangens

Obrázek 1.11: Grafy cyklometrick´ ych funkc´ı Funkce f (x) = arcsin x,

x ∈ Df = h−1, 1i,

(1.67)

se naz´ yvá arkussinus a je to funkce inverzn´ı k funkci sin x na intervalu h−π/2, π/2i. Je tedy definovaná vztahem y = arcsin x právˇe tehdy, kdyˇz x = sin y , y ∈ h−π/2, π/2i . Jej´ı graf je na obr. 1.11 a). Funkce f (x) = arccos x, x ∈ Df = h−1, 1i, (1.68) se naz´ yvá arkuskosinus a je to funkce inverzn´ı k funkci cos x na intervalu h0, πi, takˇze je definovaná vztahem y = arccos x právˇe tehdy, kdyˇz x = cos y , y ∈ h0, πi . Jej´ı graf je na obr. 1.11 b). Funkce f (x) = arctg x, x ∈ Df = R, (1.69) se naz´ yvá arkustangens. Je to funkce inverzn´ı k funkci tg x na intervalu (−π/2, π/2), a je tedy definovaná vztahem y = arctg x právˇe tehdy, kdyˇz x = tg y , y ∈ (−π/2, π/2) . Jej´ı graf je na obr. 1.11 c). Funkce f (x) = arccotg x, x ∈ Df = R, (1.70) se naz´ yvá arkuskotangens. Je to funkce inverzn´ı k funkci cotg x na intervalu (0, π), a je tedy definovaná vztahem y = arccotg x právˇe tehdy, kdyˇz x = cotg y , y ∈ (0, π) . Jej´ı graf je na obr. 1.11 d).


24 Pˇ r´ıklady

1 − 2x . 5 ˇ sen´ı: Definiˇcn´ım oborem funkce arccos x je interval h−1, 1i. Mus´ı tedy b´ Reˇ yt splnˇeny nerovnosti −1 ≤ (1 − 2x)/5 ≤ 1 . Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze tato nerovnost je splnˇena pro x ∈ h−2, 3i, a tedy Df = h−2, 3i . 1+x 2. Máme naj´ıt definiˇcn´ı obor funkce f (x) = ln arcsin . 1−x ˇ sen´ı: Logaritmus je definován pro kladná reálná ˇc´ısla, takˇze mus´ı platit arcsin((1 + x)/(1 − x)) > 0 . Reˇ Definiˇcn´ım oborem funkce arcsin x je interval h−1, 1i a kladné hodnoty nab´ yvá na intervalu (0, 1i. Mus´ı tedy b´ yt splnˇeny nerovnosti 0 < (1+x)/(1−x) ≤ 1 . Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze pro 1−x > 0 jsou obˇe nerovnosti splnˇeny souˇcasnˇe pro x ∈ (−1, 0i, zat´ımco pro 1 − x < 0 nejsou splnˇeny souˇcasnˇe pro ˇzádné x. Je tedy Df = (−1, 0i . √ 3. Máme naj´ıt funkci f −1 (x) inverzn´ı k funkci f (x) = 5 arccos 1 − x2 , x ∈ h0, 1i. ˇ sen´ı: Funkce f (x) je prostá v celém intervalu h0, 1i a zobrazuje jej na interval h0, 5π/2i. Existuje tedy Reˇ inverzn´ı funkce, která bude definovan´ y = f (x) mus´ıme vyjádˇrit x √ a na intervalu h0, 5π/2i. Z pˇredpisu p pomoc´ı y. Z rovnosti y = 5 arccos 1 − x2 dostaneme tak rovnost |x| = 1 − cos2 (y/5) = sin(y/5) . Vzhledem k pˇredpokladu x ∈ h0, 1i a y ∈ h0, 5π/2i m˚ uˇzeme vynechat absolutn´ı hodnoty, takˇze máme rovnost x = sin(y/5). Vymˇen´ıme oznaˇcen´ı promˇenn´ ych a dostaneme 1. Máme naj´ıt definiˇcn´ı obor funkce f (x) = arccos

x f −1 (x) = sin , 5

x ∈ Df −1 = h0, 5π/2i.

4. Máme vypoˇc´ıtat následuj´ıc´ı hodnoty cyklometrick´ ych funkc´ı. √ a) arcsin(− 2/2). √ √ ˇ sen´ı: Podle definice je arcsin(− 2/2) = y právˇe tehdy, kdyˇz sin y = − 2/2, a to plat´ı pro y = −π/4. Reˇ √ b) arctg 3. √ √ ˇ sen´ı: Podle definice je arctg 3 = y právˇe tehdy, kdyˇz tg y = 3, a to plat´ı pro y = π/3. Reˇ c) arccos(−1/2). ˇ sen´ı: Podle definice je arccos(−1/2) = y právˇe tehdy, kdyˇz cos y = −1/2, a to plat´ı pro y = 2π/3. Reˇ d) arccotg 1. ˇ sen´ı: Podle definice je arccotg 1 = y právˇe tehdy, kdyˇz cotg y = 1, a to plat´ı pro y = π/4. Reˇ ´ Ulohy 1. Naleznˇete definiˇcn´ı obor funkce f (x), kde r r √ 1 + 2x 1−x x a) f (x) = arcsin ; b) f (x) = arcsin ; c) f (x) = arccos . 2 1+x 2 [a) h−1/2, 1/2i ; b) h0, 1i ; c) h0, 4i .] √ √ 2. Vypoˇctˇete funkˇcn´ı hodnoty a) arcsin(1/2) ; b) arccos( 3/2) ; c) arctg( 3/3) ; d) arccotg 3 . [a) π/6 ; b) π/6 ; c) π/6 ; d) π/6 .] √

1.4.4

Hyperbolick´ e a hyperbolometrick´ e funkce

Hyperbolick´ e funkce Funkce f (x) = sinh x,

x ∈ Df = R,

(1.71)

se naz´ yvá sinus hyperbolický a je definovaná vztahem sinh x =

ex − e−x . 2

(1.72)

Jej´ı graf je na obr. 1.12 . Funkce f (x) = cosh x,

x ∈ Df = R,

(1.73)


y = cosh x

25

y

y

2

2

1

1 y = tgh x

x −2 y = sinh x

−1

1

y = cotgh x

2

−2

−1

−1

1

x

2

−1

−2

y = cotgh x

−2

Obrázek 1.12: Grafy hyperbolick´ ych funkc´ı

se naz´ yvá kosinus hyperbolický a je definovaná vztahem cosh x =

ex + e−x . 2

(1.74)

Jej´ı graf je na obr. 1.12 . Pro hyperbolické funkce sinh x a cosh x plat´ı následuj´ıc´ı vztahy: cosh2 x − sinh2 x = 1, sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y ,

cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y,

sinh 2x = 2 sinh x cosh x ,

cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x.

(1.75) (1.76) (1.77)

Funkce f (x) = tgh x,

x ∈ Df = R,

(1.78)

se naz´ yvá tangens hyperbolický a je definovaná vztahem tgh x =

ex − e−x sinh x = . ex + e−x cosh x

(1.79)

Jej´ı graf je na obr. 1.12 . Funkce f (x) = cotgh x,

x ∈ Df = R \ {0} ,

(1.80)

se naz´ yvá kotangens hyperbolický a je definovaná vztahem cotgh x =

ex + e−x cosh x = . x −x e −e sinh x

(1.81)

Jej´ı graf je na obr. 1.12 . Hyperbolometrick´ e funkce Funkce f (x) = argsinh x,

x ∈ Df = R,

(1.82)

se naz´ yvá argument sinus hyperbolický. Je to funkce inverzn´ı k funkci f (x) = sinh x, a je tedy definovaná vztahem y = argsinh x právˇe tehdy, kdyˇz x = sinh y . Jej´ı graf je na obr. 1.13. Funkce f (x) = argcosh x, x ∈ Df = h1, ∞), (1.83)


26 y

y

2

2 y = argcotgh x

1

−2 −1 y = argsinh x

1

1

y = argcosh x x 2

y = argtgh x −2

−1

1

x

2

−1

−1 −2

y = argcotgh x

−2

Obrázek 1.13: Grafy hyperbolometrick´ ych funkc´ı

se naz´ yvá argument kosinus hyperbolický. Je to funkce inverzn´ı k funkci f (x) = cosh x na intervalu h0, +∞), a je tedy definovaná vztahem y = argcosh x právˇe tehdy, kdyˇz x = cosh y , y ≥ 0 . Jej´ı graf je na obr. 1.13. Funkce f (x) = argtgh x, x ∈ Df = (−1, 1), (1.84) se naz´ yvá argument tangens hyperbolický. Je to funkce inverzn´ı k funkci f (x) = tgh x, a je tedy definovaná vztahem y = argtgh x právˇe tehdy, kdyˇz x = tgh y . Jej´ı graf je na obr. 1.13. Funkce f (x) = argcotgh x, x ∈ Df = (−∞, −1) ∪ (1, +∞), (1.85) se naz´ yvá argument kotangens hyperbolický. Je to funkce inverzn´ı k funkci f (x) = cotgh x, a je tedy definovaná vztahem y = argcotgh x právˇe tehdy, kdyˇz x = cotgh y . Jej´ı graf je na obr. 1.13. ´ Ulohy na opakov´ an´ı 1. Naleznˇete definiˇcn´ı obor Df funkce f (x). 3 x2 x + ln(x3 − x); b) f (x) = ; c) f (x) = √ ; 2 4−x 1+x x2 − 3x + 2 √ √ √ d) f (x) = sin 2x + sin 3x; e) f (x) = 2 + x − x2 ; f) f (x) = ln(x2 − 4); r r r r x−2 1−x 5x − x2 1 g) f (x) = + ; h) f (x) = ln ; i) f (x) = sin x + ; x+2 1+x 4 2 √ √ √ j) f (x) = ln( x − 4 + 6 − x); k) f (x) = log2 log3 log4 x; l) f (x) = 3x − x3 .   a) (−1, 0) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞) ; b) (−∞, −1) ∪ (−1, ∞) c) (−∞, 1) ∪ (2, ∞) ;     d) ∪ k∈Z (h2kπ, 2kπ + π/3i ∪ h2kπ + 4π/3, 2kπ + 3π/2i) ; e) h−1, 2i ;        f) (−∞, −2) ∪ (2, ∞) ; g) ∅ ; h) h1, 4i ; i) ∪k∈Z h(12k − 1)π/6, (12k + 7)π/6i;    √ √ j) h4, 6i ; k) (4, ∞) ; l) (−∞, − 3i ∪ h0, 3i . a) f (x) =

2. Naˇcrtnˇete graf funkce f (x). a) f (x) = |x + 1| + |x − 1|;

b) f (x) = |x| − x;

d) f (x) = x2 + 2 − |2x + 1|;

e) f (x) = x2 − 2x + 4; f) f (x) = −x2 + 4x − 6;

g) f (x) = 1 −

1−x ; 1+x

h) f (x) =

3x + 2 ; 2x − 3

c) f (x) = |x − 1| − 1;

i) f (x) =

2x − 1 ; 3x + 2

´ Í FUNKCE 1.4. ELEMENTARN x + 1 ; j) f (x) = x − 1 m) f (x) = ln

27 k) f (x) =

√

−x − 2;

1 ; n) f (x) = ln(x − 1); x−1

p) f (x) = e−|x−1| ;

l) f (x) =

√

4 − x2 ;

o) f (x) = 1 + ex−1 ;

q) f (x) = 1 − cos 2x; r) f (x) = | cotg x − 1|.

3. Zjistˇete, zda funkce f (x) je sudá nebo lichá. p p 2 a) f (x) = 3 (1 − x)2 + 3 (1 + x)2 ; b) f (x) = 2−x ; √ d) f (x) = ln(x + 1 + x2 ); e) f (x) = 3x − x3 ; g) f (x) = "

ax − 1 ; a > 0; ax + 1 a) sudá;

c) f (x) = x + x2 ; f) f (x) = sin x − cos x;

ax − 1 sin x , a > 0; i) f (x) = . ax + 1 x # c) ani sudá, ani lichá; d) lichá; e) lichá; h) f (x) = x ·

b) sudá;

f) ani sudá, ani lichá;

g) lichá;

h) sudá;

i) sudá.

4. Ukaˇzte, ˇze plat´ı rovnosti a) argsinh x = ln x + c) argtgh x =

√

1 + x2 , x ∈ R ;

1 1+x ln , |x| < 1 ; 2 1−x

b) argcosh x = ln x + d) argcotgh x =

√

x2 − 1 , x > 1 ;

1 x+1 ln , |x| > 1 . 2 x−1

28


Kapitola 2

Spojitost a limita funkce 2.1

Spojitost funkce

Kl´ıˇcov´ a slova: Funkce spojitá v bodˇe, spojitá na mnoˇzinˇe, spojitá v bodˇe zprava, spojitá v bodˇe zleva

2.1.1

Definice spojitosti

S pojmem spojité zmˇeny se setkáváme v intuitivn´ım smyslu v bˇeˇzné hovorové ˇreˇci. Tato intuitivn´ı pˇredstava spojité zmˇeny jako protikladu zmˇeny, pˇri n´ıˇz docház´ı ke skok˚ um, stoj´ı rovnˇeˇz v pozad´ı definice spojitosti funkce. Volnˇe ˇreˇceno, funkci f (x) budeme povaˇzovat za spojitou, jestliˇze mal´ ym zmˇenám promˇenné x budou odpov´ıdat malé zmˇeny funkˇcn´ıch hodnot f (x). Na obr. 2.1 a) je naˇcrtnut graf funkce, která je v bodˇe x0 spojitá, zat´ımco na obr. b) je znázornˇena situace, kdy funkce nen´ı v bodˇe x0 spojitá, ale má tam skok. y

y f (x0 ) + ε f

f f (x0 ) + ε

f (x) U(f (x0 ), ε)

f (x0 )

U(f (x0 ), ε) f (x0 ) − ε f (x)

x x0

x

f (x0 )

x0 + δ

x x x0

U(x0 , δ)

x0 + δ

U(x0 , δ)

a) spojitost v bodˇe

b) nespojitost v bodˇe

Obrázek 2.1: K definici spojitosti a nespojitosti funkce v bodˇe Definice spojitosti funkce v bodˇ e ˇ ıkáme, ˇze funkce f je spojit´ Je dána funkce f a bod x0 ∈ Df . R´ a v bodˇe x0 právˇe tehdy, kdyˇz ke kaˇzdému okol´ı U(f (x0 ), ε) ≡ (f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε) funkˇcn´ı hodnoty f (x0 ) existuje okol´ı U(x0 , δ) ≡ (x0 − δ, x0 + δ) bodu x0 tak, ˇze kaˇzd´ y bod tohoto okol´ı, v nˇemˇz je funkce f definovaná, se zobraz´ı do okol´ı U(f (x0 ), ε). Formulace pomoc´ı absolutn´ıch hodnot a kvantifik´ ator˚ u (i) Funkce f je spojitá v bodˇe x0 právˇe tehdy, kdyˇz ke kaˇzdému ˇc´ıslu ε > 0 existuje ˇc´ıslo δ > 0 tak, ˇze pro vˇsechna x ∈ Df , pro která je |x − x0 | < δ, je |f (x) − f (x0 )| < ε. 29

30

KAPITOLA 2. SPOJITOST A LIMITA FUNKCE

(ii) Funkce f je spojitá v bodˇe x0 právˇe tehdy, kdyˇz ∀ U(f (x0 ), ε) ∃U(x0 , δ) tak, ˇze (x ∈ U(x0 , δ) ∩ Df ⇒ f (x) ∈ U(f (x0 ), ε)),

(2.1)

nebo pomoc´ı nerovnost´ı ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tak, ˇze (x ∈ Df , x0 − δ < x < x0 + δ ⇒ f (x0 ) − ε < f (x) < f (x0 ) + ε).

(2.2)

Pozn´ amka Následuj´ıc´ı vlastnost spojit´ ych funkc´ı budeme v dalˇs´ıch u ´vahách ˇcasto pouˇz´ıvat. Pro jednoduchost formulace pˇredpokládáme, ˇze funkce je definovaná v nˇejakém celém okol´ı bodu x0 . Je-li funkce f spojit´ a v bodˇe x0 a je-li v bodˇe x0 kladn´ a, resp. z´ aporn´ a, pak je kladn´ a, resp. z´ aporn´ aiv nˇejakém celém okol´ı bodu x0 . D˚ ukaz: Tvrzen´ı dokáˇzeme pro f (x0 ) > 0. K ε = f (x0 )/2 > 0 existuje δ > 0 tak, ˇze pro vˇsechna x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) je 0 < f (x0 )/2 = f (x0 ) − f (x0 )/2 = f (x0 ) − ε < f (x) . Definice spojitosti na mnoˇ zinˇ e ˇ ıkáme, ˇze funkce f je spojit´ R´ a na mnoˇzinˇe M ⊂ Df právˇe tehdy, kdyˇz je spojitá v kaˇzdém bodˇe x0 ∈ M. Spojitost v bodˇ e zprava a zleva Nahrad´ıme-li v definici spojitosti okol´ı U(x0 , δ) prav´ ym, resp. lev´ ym okol´ım U+ (x0 , δ) = hx0 , x0 + δ) , − resp. U (x0 , δ) = hx0 − δ, x0 ) , dostaneme definici spojitosti funkce f v bodˇe x0 zprava, resp. zleva. Na obr. 2.1 b) je naˇcrtnut graf funkce, která v bodˇe x0 je spojitá zprava a nen´ı v nˇem spojitá. Spojitost vektorov´ e funkce ˇ ıkáme, ˇze vektorová funkce f = (f1 , f2 , . . . , fn ) je spojit´ R´ a v bodˇe x0 , resp. spojit´ a na mnoˇzinˇe M právˇe tehdy, kdyˇz kaˇzdá jej´ı sloˇzka je spojitá v bodˇe x0 , resp. na mnoˇzinˇe M.

2.1.2

Operace se spojit´ ymi funkcemi

Jsou-li funkce f , g spojité v bodˇe x0 ∈ Df ∩ Dg , pak také f ± g, f · g, |f | a pro g(x0 ) 6= 0 i f /g jsou spojité funkce v bodˇe x0 . Analogické tvrzen´ı plat´ı pro spojitost na mnoˇzinˇe a spojitost zprava i zleva. D˚ ukaz: Dok´ aˇzeme tvrzen´ı pro spojitost souˇctu. Ze spojitosti funkc´ı f a g plyne, ˇze ke kaˇzdému ε > 0 existuj´ı ˇc´ısla δ1 > 0 a δ2 > 0 tak, ˇze pro x ∈ Df splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku |x − x0 | < δ1 je |f (x) − f (x0 )| < ε/2 a pro x ∈ Dg splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku |x − x0 | < δ2 je |g(x) − g(x0 )| < ε/2. Poloˇzme δ = min{δ1 , δ2 } > 0. Pak pro vˇsechna x ∈ Df ∩ Dg splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku |x − x0 | < δ plat´ı |(f (x) + g(x)) − (f (x0 ) + g(x0 ))| ≤ |f (x) − f (x0 )| + |g(x) − g(x0 )| < ε/2 + ε/2 = ε . To je ovˇsem podm´ınka pro spojitost funkce f + g v bodˇe x0 . Analogicky se dokazuj´ı zb´ yvaj´ıc´ı vlastnosti. Pro souˇcin vyuˇzijeme nerovnosti |f (x) · g(x) − f (x0 ) · g(x0 )| = |f (x) · g(x) − f (x) · g(x0 ) + f (x) · g(x0 ) − (f (x0 ) · g(x0 ))| ≤ |f (x)| · |g(x) − g(x0 )| + |g(x0 )| · |f (x) − f (x0 )|, pro |f | vyuˇzijeme nerovnost ||f (x)| − |f (x0 )|| ≤ |f (x) − f (x0 )| a pro pod´ıl vyuˇzijeme nerovnosti f (x) f (x0 ) |(f (x) · g(x0 ) − f (x0 ) · g(x0 )) − (f (x0 ) · g(x) − f (x0 ) · g(x0 ))| ≤ g(x) − g(x0 ) = |g(x) · g(x0 )| |f (x) − f (x0 )||g(x0 )| + |f (x0 )||g(x) − g(x0 )| . |g(x)||g(x0 )| Pozn´ amka Uvedené vlastnosti spojit´ ych funkc´ı umoˇzn ˇuj´ı dokazovat spojitost funkc´ı, které vznikly ze spojit´ ych funkc´ı pomoc´ı algebraick´ ych operac´ı sˇc´ıtán´ı, odeˇc´ıtán´ı, násoben´ı a dˇelen´ı. Stejnému u ´ˇcelu slouˇz´ı i následuj´ıc´ı tvrzen´ı. ≤

Spojitost sloˇ zen´ e funkce Je-li funkce g spojit´ a v bodˇe x0 , f spojit´ a v bodˇe y0 = g(x0 ), pak také jejich kompozice f ◦ g je spojit´ a v bodˇe x0 . Je-li funkce g spojit´ a na mnoˇzinˇe M, f spojit´ a na mnoˇzinˇe H = g(M), pak funkce f ◦ g je spojit´ a na mnoˇzinˇe M. Volnˇe ˇreˇceno, kompozice spojit´ ych funkc´ı je spojitá funkce. D˚ ukaz: Ke kaˇzdému ε > 0 existuje δ0 > 0 takové, ˇze pro vˇsechna y ∈ Df splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku |y − y0 | < δ0 plat´ı |f (y) − f (y0 )| < ε. K ˇc´ıslu δ0 > 0 existuje δ > 0 takové, ˇze pro vˇsechna x ∈ Dg splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku |x − x0 | < δ plat´ı |g(x) − g(x0 )| < δ0 . Odtud plyne, ˇze pro vˇsechna x ∈ Dg splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku |x − x0 | < δ plat´ı |f (g(x)) − f (g(x0 ))| < ε, coˇz jsme mˇeli dokázat.

2.1. SPOJITOST FUNKCE

2.1.3

31

Vlastnosti funkc´ı spojit´ ych na intervalu

1. Weierstrassova1 vˇ eta Necht’ funkce f (x) je spojit´ a na kompaktn´ım (tj. omezeném a uzavˇreném) intervalu I. Pak funkce f (x) je na intervalu I omezen´ a a nabýv´ a na nˇem svého maxima a minima, tj. v intervalu I existuj´ı body xm a xM takové, ˇze f (xm ) = min{f (x) | x ∈ I},

f (xM ) = max{f (x) | x ∈ I}.

D˚ ukaz: D˚ ukaz provedeme sporem. Pˇredpokládejme, ˇze funkce f nen´ı omezená, tj. ˇze pro ˇzádné k ∈ R neplat´ı |f (x)| ≤ k pro vˇ

sechna x ∈ I = ha, bi. Rozdˇ el´ıme interval I na dvˇe poloviny. Dostaneme tak dva uzavˇrené intervaly a, (a + b)/2 a (a + b)/2, b . V jednom z tˇechto d´ılˇc´ıch interval˚ u nen´ı funkce omezená. Oznaˇcme tento interval I1 . Jestliˇze budeme opakovat tento proces, dostaneme posloupnost do sebe vloˇzen´ ych uzavˇren´ ych interval˚ u In délky 2−n (b − a) takov´ ych, ˇze v nich neplat´ı odhad |f (x)| ≤ k ∞ T pro ˇzádné k ∈ R. Protoˇze jsou intervaly In uzavˇrené, je In = {x0 }, kde x0 ∈ I. Nav´ıc mus´ı b´ yt n=1

|f (x0 )| ≥ k pro kaˇzdé k ∈ R, a tedy funkce f nenab´ yvá v bodˇe x0 koneˇcnou hodnotu, coˇz je ve sporu s pˇredpokladem, ˇze funkce f je v bodˇe x0 spojitá. Funkce f tedy mus´ı b´ yt v intervalu I omezená. Oznaˇcme M = sup{f (x)| x ∈ I} a pˇredpokládejme, ˇze funkce nenab´ yvá tuto hodnotu v ˇzádném bodˇe x ∈ I. Pak mus´ı b´ yt f (x) < M pro vˇsechna x ∈ I, takˇze M −f (x) > 0, a tedy funkce g(x) = 1/(M −f (x)) je spojitá v intervalu I. Podle prvn´ı ˇcásti je pak g(x) omezená, a tedy 0 < g(x) = 1/(M − f (x)) < k pro vˇsechna x ∈ I a nˇejaké k > 0. Z této nerovnosti plyne 0 < 1/k < M − f (x), a tedy f (x) < M − 1/k < M pro vˇsechna x ∈ I, coˇz je ve sporu s pˇredpokladem, ˇze M je supremum funkce f na intervalu I. T´ım je dokázána existence ˇc´ısla xM z tvrzen´ı vˇety. Obdobnˇe se dokáˇze i tvrzen´ı o minimu funkce. 2. Bolzanova2 vˇ eta Necht’ funkce f (x) je spojit´ a na kompaktn´ım intervalu ha, bi a necht’ f (a)f (b) < 0. Pak existuje alespoˇ n jeden bod c ∈ ha, bi tak, ˇze f (c) = 0. D˚ ukaz: Necht’ f (a)f (b) < 0. Poloˇzme x∗ = (a + b)/2. Je-li f (x∗ ) = 0, je vˇeta dokázána. Pokud nen´ı, pak bud’ f (a)f (x∗ ) < 0 nebo f (x∗ )f (b) < 0. Podle toho, která podm´ınka je splnˇena, nahrad´ıme interval ha, bi intervalem ha, x∗ i, nebo hx∗ , bi. Tento postup opakujeme. Dostáváme tak posloupnost do sebe vloˇzen´ ych interval˚ u takov´ ych, ˇze následuj´ıc´ı má vˇzdy poloviˇcn´ı délku. Bud’ po koneˇcném poˇctu krok˚ u dostaneme pˇri p˚ ulen´ı bod c ∈ (a, b), pro kter´ y je f (c) = 0, nebo z´ıskáme posloupnost interval˚ u han , bn i, ∞ T kde f (an )f (bn ) < 0, pro které plat´ı han , bn i = {c}, kde c je hledan´ y bod. Skuteˇcnˇe, délka intervalu n=1

han , bn i nen´ı vˇetˇs´ı neˇz (b − a)/2n , takˇze ke kaˇzdému okol´ı bodu c lze zvolit n tak veliké, ˇze obˇe ˇc´ısla an , bn leˇz´ı v tomto okol´ı. Kdyby bylo f (c) > 0, musely by pak i obˇe funkˇcn´ı hodnoty f (an ) a f (bn ) b´ yt kladné, coˇz je spor. Analogicky pro f (c) < 0. Mus´ı tedy b´ yt f (c) = 0. 3. Darbouxova3 vˇ eta Necht’ funkce f (x) je spojit´ a na kompaktn´ım intervalu ha, bi. Oznaˇcme M = max{f (x)| x ∈ ha, bi} a m = min{f (x)| x ∈ ha, bi}. Pak f (ha, bi) = hm, M i , tj. ke kaˇzdému y0 ∈ hm, M i existuje x0 ∈ ha, bi tak, ˇze f (x0 ) = y0 . Volnˇeji ˇreˇceno, funkce f (x) zobrazuje interval opˇet na interval. D˚ ukaz: Je-li y0 = m nebo y0 = M , plyne tvrzen´ı z Weierstrassovy vˇety. Je-li m < y0 < M , pak podle téˇze vˇety existuj´ı body xm , xM ∈ ha, bi takové, ˇze m = f (xm ) a M = f (xM ). Potom v intervalu hxm , xM i, resp. hxM , xm i je funkce spojitá a plat´ı f (xm ) − y0 = m − y0 < f (x) − y0 < f (xM ) − y0 = M − y0 . Protoˇze je m − y0 < 0 a M − y0 > 0, podle Bolzanovy vˇety existuje bod x0 ∈ hxm , xM i ⊂ ha, bi, resp. x0 ∈ hxM , xm i ⊂ ha, bi takov´ y, ˇze f (x0 ) − y0 = 0, a tedy f (x0 ) = y0 . Pozn´ amka 1. Na obr. 2.2 jsou naˇcrtnuty grafy funkc´ı ilustruj´ıc´ı nˇekterá tvrzen´ı tohoto odstavce a také situace, které vznikaj´ı poruˇsen´ım pˇredpoklad˚ u. Obrázek a) ilustruje tvrzen´ı Weierstrassovy a Darbouxovy vˇety. Na obrázku b) se pˇredpokládá, ˇze interval nen´ı uzavˇren´ y ani v bodˇe a ani v bodˇe b. Infimum funkce f na intervalu (a, b) je oznaˇceno f (a+) a této hodnoty zobrazená funkce nenab´ yvá v ˇzádném bodˇe intervalu (a, b). V levém prstencovém okol´ı bodu b funkce nab´ yvá libovolnˇe velik´ ych hodnot, takˇze neexistuje ani jej´ı maximum. O tˇechto situac´ıch se bude podrobnˇeji pojednávat v souvislosti s pojmem limity funkce. Obrázek c) ukazuje, ˇze nespojitá funkce m˚ uˇze (ale nemus´ı) zobrazovat interval na nˇekolik disjunktn´ıch interval˚ u. 1 Weierstrass, Karl Th. W. (1815-1897), nˇ emeck´ y matematik, profesor na berl´ınsk´ e universitˇ e, dokonˇ cil postupn´ e upˇresˇ nov´ an´ı matematick´ ych postup˚ u v diferenci´ aln´ım a integr´ aln´ım poˇ ctu 2 Bolzano, Bernard (1781-1848), nejvˇ etˇs´ı ˇ cesk´ y matematik 19. stolet´ı, patˇr´ı k zakladatel˚ um diferenci´ aln´ıho poˇ ctu a teorie mnoˇ zin; rovnˇ eˇ z v´ yznamn´ y filosof a teolog, profesor na praˇ zsk´ e universitˇ e 3 Darboux, Gaston J. (1842-1917), profesor na Coll` ege de France, rozv´ıjel diferenci´ aln´ı geometrii a jej´ı aplikace v mechanice

32

KAPITOLA 2. SPOJITOST A LIMITA FUNKCE y

y

y d2

f (xM ) f

f

f (xm )

x a

xM

xm b

a)

f (a+)

x a

f

c2 d1 c1

b

b)

f a

x h

b

c)

Obrázek 2.2: Ilustrace vlastnost´ı funkc´ı spojit´ ych na kompaktn´ım intervalu 4. Spojit´ a funkce f (x) je prost´ a na intervalu I pr´ avˇe tehdy, kdyˇz je na intervalu I ryze monot´ onn´ı. D˚ ukaz: Pˇredpokládejme, ˇze funkce f je prostá a nen´ı ryze monotónn´ı. Potom existuj´ı body x1 , x2 , x3 ∈ I takové, ˇze x1 < x2 < x3 a f (x1 ) < f (x3 ) < f (x2 ). (Pro zb´ yvaj´ıc´ı tˇri moˇznosti se následuj´ıc´ı u ´vaha provád´ı analogicky.) Funkce f je spojitá v intervalu hx1 , x2 i, tud´ıˇz podle Darbouxovy vˇety existuje bod x∗ ∈ (x1 , x2 ) tak, ˇze f (x∗ ) = f (x3 ). Je vˇsak x∗ < x3 a souˇcasnˇe f (x∗ ) = f (x3 ), coˇz je spor s pˇredpokladem, ˇze funkce f je prostá. Tvrzen´ı, ˇze ryze monotónn´ı funkce je prostá, plyne bezprostˇrednˇe z definice rostouc´ıch a klesaj´ıc´ıch funkc´ı. 5. Je-li funkce f (x) ryze monot´ onn´ı na intervalu I a je-li obraz f (I) intervalu I opˇet interval, pak funkce f (x) je spojit´ a na intervalu I. D˚ ukaz: Pro vˇetˇs´ı pˇrehlednost a jednoduˇsˇs´ı zápis budeme pˇredpokládat, ˇze interval I je otevˇren´ y a ˇze funkce f (x) je rostouc´ı. Necht’ je dáno ε > 0. Máme naj´ıt kladné ˇc´ıslo δ tak, aby pro kaˇzdé ˇc´ıslo x ∈ U(x0 , δ) ∩ Df leˇzela jeho funkˇcn´ı hodnota f (x) v okol´ı U(f (x0 ), ε). Podle pˇredpokladu je obraz J = f (I) intervalu I opˇet interval. Vzhledem k tomu, ˇze v definici spojitosti m˚ uˇze b´ yt ε libovolnˇe malé, m˚ uˇzeme pˇredpokládat, ˇze cel´ y interval U(f (x0 ), ε) = (f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε) leˇz´ı v mnoˇzinˇe J . Pak ovˇsem existuj´ı ˇc´ısla a,b v intervalu I taková, ˇze f (a) = f (x0 ) − ε, f (b) = f (x0 ) + ε. Jelikoˇz funkce f (x) je podle pˇredpokladu rostouc´ı, mus´ı platit a < x0 < b. Nyn´ı staˇc´ı volit ˇc´ıslo δ > 0 tak, aby bylo U(x0 , δ) = (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ (a, b). Pozn´ amka 2. Pomoc´ı tohoto tvrzen´ı lze snadno dokázat, ˇze kaˇzd´ a element´ arn´ı funkce je spojit´ a v celém svém definiˇcn´ım oboru. Pro kaˇzdou elementárn´ı funkci f (x) lze kaˇzd´ y kompaktn´ı podinterval M jej´ıho definiˇcn´ıho oboru rozloˇzit na sjednocen´ı koneˇcného poˇctu interval˚ u M = M1 ∪ M2 ∪ . . . ∪ Mk , na nichˇz je funkce ryze monotónn´ı, a tedy spojitá. Pak staˇc´ı dokázat pˇr´ıpadnˇe spojitost funkce f (x) v hraniˇcn´ıch bodech tˇechto interval˚ u, a t´ım je dokázána spojitost funkce na mnoˇzinˇe M . 6. Je-li funkce f (x) na intervalu I spojit´ a a rostouc´ı, resp. klesaj´ıc´ı, pak také inverzn´ı funkce f −1 je na intervalu J = f (I) spojit´ a a rostouc´ı, resp. klesaj´ıc´ı. D˚ ukaz: Provedeme d˚ ukaz pro rostouc´ı funkci f . Z definice rostouc´ı funkce plyne, ˇze pro vˇsechna x1 , x2 ∈ I je x1 < x2 právˇe tehdy, kdyˇz f (x1 ) < f (x2 ). Oznaˇc´ıme-li y1 = f (x1 ) a y2 = f (x2 ), pak lze tuto ekvivalenci pˇrepsat tak, ˇze f −1 (y1 ) < f −1 (y2 ) právˇe tehdy, kdyˇz y1 < y2 . To vˇsak znamená, ˇze funkce f −1 je rostouc´ı v intervalu J = f (I). Protoˇze je funkce f spojitá, zobrazuje interval hx1 , x2 i na interval hy1 , y2 i. Proto jej´ı inverzn´ı funkce f −1 zobrazuje interval hy1 , y2 i na interval hx1 , x2 i. Jak jsme ukázali, je inverzn´ı funkce rostouc´ı, a tedy podle tvrzen´ı 5. spojitá.

2.1.4

Metoda bisekce

Bolzanova vˇeta ˇr´ıká, ˇze kdyˇz funkce f je v intervalu ha, bi spojitá a splˇ nuje podm´ınku f (a)f (b) < 0, pak rovnice f (x) = 0 má v tomto intervalu alespoˇ n jeden koˇren. Metoda d˚ ukazu Bolzanovy vˇety ukazuje postup, jak lze nalézt libovolnˇe pˇresnou aproximaci tohoto koˇrene (nebo jeho pˇresnou hodnotu) pomoc´ı p˚ ulen´ı intervalu. Poloˇzme x∗ = (a + b)/2. Je-li f (x∗ ) = 0, pak x∗ je hledané ˇreˇsen´ı. Je-li f (x∗ ) 6= 0, pak nahrad´ıme interval ha, bi t´ım z interval˚ u ha, x∗ i, hx∗ , bi, pro kter´ y má funkce rozd´ılná znaménka v krajn´ıch bodech. Opakován´ım tohoto postupu z´ıskáme posloupnost interval˚ u han , bn i, kde f (an )f (bn ) < 0 a délka intervalu han , bn i nen´ı vˇetˇs´ı neˇz (b − a)/2n . Tento proces p˚ ulen´ı intervalu provád´ıme tak dlouho, aˇz dosáhneme toho, ˇze délka intervalu han , bn i je menˇs´ı, neˇz poˇzadovaná pˇresnost. Pˇ r´ıklad Máme naj´ıt aproximaci ˇreˇsen´ı rovnice 2 sin x − x = 0 s pˇresnost´ı 10−3 .

´ YCH ´ ˇ ÍSEL 2.2. POSLOUPNOSTI REALN C

33

ˇ sen´ı: Z pr˚ Reˇ ubˇehu funkc´ı sin x a x vid´ıme, ˇze rovnice má tˇri ˇreˇsen´ı a vˇsechna leˇz´ı v intervalu (−π, π). Jedno z tˇech ˇreˇsen´ı je x1 = 0. Jelikoˇz funkce f (x) = 2 sin x − x je spojitá, f (π/2) = 2 − π/2 > 0 , f (π) = −π < 0, jsou na intervalu hπ/2, πi splnˇeny pˇredpoklady Bolzanovy vˇety, a tedy v intervalu (π/2, π) leˇz´ı dalˇs´ı nulov´ y bod funkce f , kter´ y oznaˇc´ıme x2 . Jelikoˇz funkce f je lichá, plat´ı pro zb´ yvaj´ıc´ı tˇret´ı koˇren x3 = −x2 , x3 ∈ (−π, −π/2). Popiˇsme nyn´ı hledán´ı aproximace koˇrene x2 . Jak jsme jiˇz ukázali, m˚ uˇzeme volit a1 = π/2 , b1 = π . Pak . je x∗ = (a1 + b1 )/2 = 3π/4 a f (3π/4) = −0, 941 . Vol´ıme tedy ve druhém kroku a2 = π/2, b2 = 3π/4 . . Nyn´ı je x∗ = (a2 + b2 )/2 = 5π/8 a f (5π/8) = −0, 116 . Klademe proto a3 = π/2, b3 = 5π/8, x∗ = 9π/16 . . Protoˇze je f (9π/16) = 0, 194 > 0, vol´ıme pravou polovinu intervalu, tj. a3 = 9π/16 , b3 = 5π/8 . Takto . . postupujeme dále, aˇz ve 12. kroku dostaneme a12 = 2471π/212 = 1, 895 , b12 = 2472π/212 = 1, 896 . −3 Jelikoˇz je b12 − a12 = 0, 001 = 10 , m˚ uˇzeme povaˇzovat ˇc´ıslo x2 = 1, 8955 za hledanou aproximaci koˇrene zadané rovnice se zadanou pˇresnost´ı. Tˇret´ım koˇrenem je ˇc´ıslo x3 = −1, 8955.

2.2

Posloupnosti re´ aln´ ych ˇ c´ısel

Kl´ıˇcov´ a slova: Posloupnost; n-t´ y ˇclen posloupnosti; aritmetická a geometrická posloupnost; diference; kvocient; osciluj´ıc´ı posloupnost; vybraná posloupnost; vlastn´ı a nevlastn´ı limita posloupnosti; konvergentn´ı a divergentn´ı posloupnost

2.2.1

Z´ akladn´ı terminologie a symbolika

Posloupnost´ı naz´ yváme kaˇzdou funkci definovanou na mnoˇzinˇe N vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel. Pˇr´ıklad grafu posloupnosti, která kaˇzdému pˇrirozenému ˇc´ıslu n ∈ N pˇriˇrazuje ˇc´ıslo 3 − 3/n je na obr. 2.3 a). M´ısto zápisu f (n) pro ˇc´ıslo pˇriˇrazené funkc´ı f pˇrirozenému ˇc´ıslu n se pouˇz´ıvá symbol an . Jelikoˇz definiˇcn´ım oborem posloupnosti je vˇzdy celá mnoˇzina N, nemus´ıme ji dále uvádˇet, a proto pˇri zadáván´ı posloupnosti uvád´ıme pouze pˇredpis pro v´ ypoˇcet jejich hodnot an . Pro zápis posloupnost´ı se pouˇz´ıvaj´ı symboly a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . ,

(an )n=1,2,... ,

(an )

a pod. Napˇr´ıklad posloupnost zadanou pˇredpisem an = (n + 1)/n m˚ uˇzeme zapsat 3 4 n+1 n+1 n+1 1, , , . . . , ,... , , . 2 3 n n n n=1,2,...

(2.3)

(2.4)

ˇ ıslo an se naz´ C´ yvá n-tý ˇclen posloupnosti (an ). Posloupnost (an ) se naz´ yvá osciluj´ıc´ı právˇe tehdy, kdyˇz jej´ı ˇcleny stˇr´ıdaj´ı znaménka, tj. an an+1 < 0 pro vˇsechna n ∈ N. Je-li k1 , k2 , k3 , . . . posloupnost pˇrirozen´ ych ˇc´ısel taková, ˇze k1 < k2 < k3 < . . . , pak posloupnost ak1 , ak2 , ak3 , . . . , akn , . . .

(2.5)

naz´ yváme posloupnost´ı vybranou z posloupnosti (2.3). Jelikoˇz posloupnost (an ) je funkce, je zˇrejmé, co znamená, ˇze posloupnost je rostouc´ı, klesaj´ıc´ı, nerostouc´ı, neklesaj´ıc´ı, monotónn´ı, ryze monotónn´ı, shora, resp. zdola omezená a omezená. Pˇr´ıkladem rostouc´ı posloupnosti shora neomezené je posloupnost (n). Pˇr´ıkladem rostouc´ı, resp. klesaj´ıc´ı omezené posloupnosti je posloupnost an = 3 − 3/n, resp. an = 3/n na obr. 2.3 a), resp. b). Pˇr´ıklady osciluj´ıc´ıch omezen´ ych posloupnost´ı jsou posloupnosti an = (3(−1)n+1 ) nebo an = (−1)n 4/n na obr. 2.3 c) a d). Pˇr´ıkladem osciluj´ıc´ı posloupnosti, která nen´ı ani shora ani zdola omezená, je posloupnost an = (−1)n n. Ze stˇredn´ı ˇskoly známe dva speciáln´ı pˇr´ıklady posloupnost´ı, a to aritmetickou a geometrickou posloupnost. Posloupnost se naz´ yvá aritmetick´ a, resp. geometrick´ a právˇe tehdy, kdyˇz rozd´ıl, resp. pod´ıl kaˇzd´ ych dvou po sobˇe následuj´ıc´ıch ˇclen˚ u je konstantn´ı. Pro aritmetickou posloupnost (an ) plat´ı an+1 = an + d = a1 + nd ,

sn =

n (a1 + an ) pro vˇsechna n = 1, 2, . . . . 2

(2.6)

ˇ ıslo d se naz´ C´ yvá diference aritmetické posloupnosti a sn znaˇc´ı souˇcet jej´ıch prvn´ıch n ˇclen˚ u. Pro geometrickou posloupnost plat´ı an+1 = an q = a1 q n ,

sn = a 1

qn − 1 q−1

pro vˇsechna n = 1, 2, . . . .

(2.7)

34

KAPITOLA 2. SPOJITOST A LIMITA FUNKCE an .. . a4 a3 a2

an

3

3 an = 3 − n

2

•

a1

1 n

• 1

2

3

4

5

6

a2 a3 a4 .. .

7

3

1

5

•

•

an = 3(−1)n+1

4

•

3

•

•

2 1 -1

n 2

3

4

5

6

7

8

9 10

-2 -3

•

2

3

•

•

•

5

6

7

4

n

an

• •

1 -1

4 n

an = (−1)n

2

1

•

b) klesaj´ıc´ı posloupnost

an

4

3 n

• 1

a) rostouc´ı posloupnost 5

an =

2

•

a1

•

•

•

•

•

3

1

2

3 •

4

• 5 •

6

• • 7

• n • 10 9

8

-2 •

•

•

•

•

-4

-3 -4

c) nekonvergentn´ı posloupnost

•

d) konvergentn´ı posloupnost

Obrázek 2.3: Grafy posloupnost´ı ˇ ıslo q se naz´ C´ yvá kvocient geometrické posloupnosti a ˇc´ıslo sn znaˇc´ı opˇet souˇcet jej´ıch prvn´ıch n ˇclen˚ u. ´ Ulohy 1. V aritmetické posloupnosti vypoˇctˇete a) a20 a s20 , jestliˇze a1 = 6 a d = 3. b) a1 , a15 a s15 , jestliˇze a7 = 11 a d = −2.

[a20 = 63, s20 = 690.] [a1 = 23, a15 = −5, s15 = 135.]

c) a1 a d, jestliˇze a13 = 28 a a24 = 94.

[a1 = −44, d = 6.]

d) a1 a a10 , jestliˇze s10 = 820 a d = 6.

[a1 = 55, a10 = 109.]

2. V geometrické posloupnosti vypoˇctˇete a) a6 a s6 , jestliˇze a1 = 4 a q = 2. b) a1 , a10 a s5 , jestliˇze a4 = 12 a q = 3/2.

[a6 = 128, s6 = 252.] [a1 = 32/9, a10 = 2187/16, s5 = 422/9.]

c) a1 a a5 , jestliˇze s5 = 121 a q = 3.

[a1 = 1, a5 = 81.]

3. Najdˇete obecn´ y ˇclen posloupnosti dané rekurentnˇe a napiˇste jejich pˇet prvn´ıch ˇclen˚ u. a) a1 = 2, an+1 = an + 1. b) a1 = 1, an+1 = −an .

[an = n + 1, [an = (−1)

n+1

,

2, 3, 4, 5, 6.]

1, −1, 1, −1, 1.]

4. Najdˇete obecn´ y ˇclen posloupnosti zadané pomoc´ı jejich pˇeti prvn´ıch ˇclen˚ u. a) 0, 1/4, 2/6, 3/8, 4/10, . . . .

[an = (n − 1)/2n.] [an = 1/2n .]

b) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 . . . . c) 1, 0, 3, 0, 5, . . . .

[an =

n (1 + (−1)n+1 ).] 2


2.2.2

35

Limita posloupnosti

ˇ ıkáme, ˇze posloupnost (an ) má (vlastn´ı) limitu a, a ∈ R, právˇe tehdy, kdyˇz ke kaˇzdému ˇc´ıslu ε > 0 R´ existuje n0 ∈ N tak, ˇze pro vˇsechna n ∈ N , n > n0 , plat´ı nerovnost |an − a| < ε. P´ıˇseme pak lim an = a,

n→∞

nebo prostˇe an → a

(2.8)

a ˇr´ıkáme, ˇze posloupnost (an ) konverguje k ˇc´ıslu a. ˇ Rekneme, ˇze posloupnost (an ) má nevlastn´ı limitu ∞, resp. −∞ právˇe tehdy, kdyˇz ke kaˇzdému ˇc´ıslu p existuje n0 tak, ˇze pro vˇsechna n ≥ n0 plat´ı nerovnost an > p, resp. an < p. P´ıˇseme pak lim an = ∞ , resp. lim an = −∞

n→∞

n→∞

(2.9)

a ˇr´ıkáme, ˇze posloupnost an diverguje k ∞, resp. k −∞. Posloupnosti, které maj´ı vlastn´ı limitu, naz´ yváme konvergentn´ımi. Posloupnosti, které bud’ nemaj´ı limitu nebo maj´ı nevlastn´ı limitu naz´ yváme divergentn´ımi. Uvˇedomme si, ˇze ˇc´ıslo a je limitou posloupnosti (an ) právˇe tehdy, kdyˇz ke kaˇzdému okol´ı bodu a existuje takov´ y ˇclen an0 této posloupnosti, ˇze poˇc´ınaje t´ımto ˇclenem vˇsechny dalˇs´ı ˇcleny an jiˇz leˇz´ı v tomto okol´ı. Jin´ ymi slovy, ˇc´ıslo a je limitou posloupnosti (an ) právˇe tehdy, kdyˇz mimo jakékoliv okol´ı bodu a leˇz´ı pouze koneˇcnˇe mnoho ˇclen˚ u posloupnosti (an ). Této charakterizace limity budeme pouˇz´ıvat ˇcasto, zejména v d˚ ukazech. Abychom zjednoduˇsili ˇradu formulac´ı t´ ykaj´ıc´ıch se vlastnost´ı posloupnost´ı, zavedeme si následuj´ıc´ı dohodu: Jestliˇze nˇejakou vlastnost maj´ı aˇz na koneˇcn´ y poˇcet vˇsechny ˇcleny posloupnosti, pak budeme ˇr´ıkat, ˇze tuto vlastnost maj´ı skoro vˇsechny ˇcleny posloupnosti. M˚ uˇzeme tedy ˇr´ıci, ˇze ˇc´ıslo a je limitou posloupnosti (an ) právˇe tehdy, kdyˇz kaˇzdé okol´ı bodu a obsahuje skoro vˇsechny ˇcleny této posloupnosti. Pˇr´ımo z definice limity vid´ıme, ˇze ˇc´ıslo n0 závis´ı na ˇc´ısle ε, tj. n0 = n(ε). Zpravidla kdyˇz zmenˇs´ıme ˇc´ıslo ε, mus´ıme zvˇetˇsit ˇc´ıslo n0 = n(ε). Pˇ r´ıklady 1 (−1)n = lim = 0. n→∞ n n→∞ n ˇ sen´ı: K danému ε > 0 staˇc´ı volit n0 > 1/ε. Pak pro vˇsechna n ≥ n0 je |an − 0| = 1/n < ε . Reˇ n konverguje k ˇc´ıslu 1. 2. Máme ukázat, ˇze posloupnost an = n+1 ˇ sen´ı: Nerovnost |an − 1| = |n/(n + 1) − 1| = 1/(n + 1) < ε plat´ı pro vˇsechna n > 1/ε − 1. Staˇc´ı tedy Reˇ volit n0 > 1/ε − 1. 4n + 1 3. Máme ukázat, ˇze posloupnost an = konverguje k ˇc´ıslu 2. 2n − 1 ˇ sen´ı: Nerovnost |(4n + 1)/(2n − 1) − 2| = |3/(2n − 1)| < ε plat´ı pro vˇsechna n taková, ˇze 3/ε < 2n − 1. Reˇ Staˇc´ı tedy volit n0 > (3 + ε)/(2ε). 4. Máme ukázat, ˇze plat´ı  ∞ pro a > 1 ,    1 pro a = 1 , n lim a = (2.10) 0 pro |a| < 1 , n→∞    neexistuje pro a ≤ −1 .

1. Máme ukázat, ˇze plat´ı lim

ˇ sen´ı: Necht’ a > 1.Pak pro kaˇzdé ε > 0 je an > 1/ε právˇe tehdy, kdyˇz n ln a > − ln ε. Staˇc´ı tedy volit Reˇ n0 > −(ln ε)/(ln a). Pro a = 1 je tvrzen´ı zˇrejmé. Ukáˇzeme, ˇze pro a ∈ (−1, 1) plat´ı an → 0. Pro a = 0 je to zˇrejmé. Pro a ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) je |an − 0| = |a|n < ε pro vˇsechna n > ln ε/ ln |a|. Staˇc´ı tedy volit n0 > ln ε/ ln |a|. Pro a = −1 je to osciluj´ıc´ı posloupnost −1, 1, −1, · · ·, která limitu nemá. Pro a < −1 podle prvn´ı ˇcásti d˚ ukazu plat´ı a2n → +∞ a a2n+1 → −∞, takˇze limita neexistuje. ´ Ulohy

2n3 + n2 n2 + n − 2 = 1 a lim = ∞. 2 n→∞ n + 2 n→∞ n −1 n 2. Z definice nevlastn´ı limity ukaˇzte, ˇze je lim 2 = ∞.

1. Z definice limity ukaˇzte, ˇze je lim

n→∞

36


2.2.3

Vlastnosti limity posloupnosti

(i) Jednoznaˇ cnost limity Kaˇzd´ a posloupnost m´ a nejvýˇse jednu limitu. D˚ ukaz: Pˇredpokládejme, ˇze posloupnost (an ) má dvˇe r˚ uzné limity a 6= b. Pak existuj´ı disjunktn´ı okol´ı bod˚ u a, b a kaˇzdé z tˇechto okol´ı má podle definice limity obsahovat skoro vˇsechny ˇcleny posloupnosti (an ), coˇz nen´ı moˇzné. Tedy náˇs pˇredpoklad vede ke sporu. (ii) Nerovnosti v limitn´ım pˇ rechodu Necht’ existuj´ı limity lim an = a, lim bn = b. n→∞

n→∞

Je-li a < b, pak pro skoro vˇsechna n mus´ı být an < bn . Jestliˇze pro skoro vˇsechna n je an ≤ bn , pak mus´ı být a ≤ b. D˚ ukaz: Je-li a < b, pak existuj´ı disjunktn´ı okol´ı bodu a a bodu b tak, ˇze skoro vˇsechna an , resp. bn leˇz´ı v okol´ı bodu a, resp. b. Mus´ı tedy pro skoro vˇsechna n b´ yt an < bn . T´ım je dokázáno prvn´ı tvrzen´ı. Druhé tvrzen´ı plyne bezprostˇrednˇe z prvn´ıho. Pozn´ amka 1 Ostrá nerovnost mezi ˇcleny konvergentn´ıch posloupnost´ı (an ) a (bn ) nemus´ı vést k ostré nerovnosti mezi jejich limitami. Napˇr. pro posloupnosti an = 1/n a bn = −1/n plat´ı zˇrejmˇe bn < an pro vˇsechna n, a pˇritom obˇe posloupnosti konverguj´ı k nule. (iii) Vˇ eta o sevˇ ren´ı asleduj´ıc´ı tvrzen´ı: Necht’ pro skoro vˇsechna n je an ≤ cn ≤ bn . Pak plat´ı n´ je-li lim an = lim bn = a, pak také lim cn = a. n→∞

n→∞

(2.11)

n→∞

D˚ ukaz: Kaˇzdé okol´ı bodu a obsahuje skoro vˇsechny ˇcleny obou posloupnost´ı (an ) a (bn ). Pak mus´ı ovˇsem obsahovat také skoro vˇsechny ˇcleny posloupnosti (cn ), a tedy a je limitou posloupnosti (cn ). xn ?

3

? •

2

a+ε a a−ε

◦ . . . an

1 ◦

?

• ◦

• ◦

• . . . cn

? . . . bn

? • ◦

? • ◦

? • ◦

? • ◦

4

5

6

7

n 1

2

3

Obrázek 2.4: K ilustraci vˇety o sevˇren´ı (iv) Omezenost konvergentn´ı posloupnosti Kaˇzd´ a konvergentn´ı posloupnost je omezen´ a. ’ D˚ ukaz: Necht an → a ∈ R . Zvolme libovolnˇe ε > 0. Pak skoro vˇsechny ˇcleny posloupnosti (an ) maj´ı od limity a vzdálenost menˇs´ı neˇz ε. Mimo okol´ı (a − ε, a + ε) leˇz´ı pouze koneˇcnˇe mnoho an . Jelikoˇz kaˇzd´ yz nich má od limity a koneˇcnou vzdálenost, mus´ı existovat takové kladné ˇc´ıslo A, ˇze a − A < an < a + A pro vˇsechny ˇcleny posloupnosti (an ). Pozn´ amka 2 Obrácená vˇeta neplat´ı. Omezená posloupnost nemus´ı b´ yt konvergentn´ı. Napˇr. osciluj´ıc´ı posloupnost ((−1)n ) je omezená, ale nen´ı konvergentn´ı. (Proˇc?) (v) Vˇ eta o limitn´ım pˇ rechodu v aritmetick´ ych operac´ıch Jestliˇze lim an = a ∈ R, lim bn = b ∈ R, pak n→∞

n→∞

lim (an ± bn ) = a ± b ,

n→∞

lim (an · bn ) = a · b a je-li b 6= 0,

n→∞

pak také

lim

n→∞

a an = . bn b

(2.12)


37

D˚ ukaz: Tvrzen´ı pro souˇcet plyne z nerovnosti |(an + bn ) − (a + b)| ≤ |an − a| + |bn − b|, pro souˇcin z nerovnosti |(an · bn ) − (a · b)| = |an · bn − an · b + an · b − (a · b)| ≤ |an | · |bn − b| + |bn | · |an − a| a koneˇcnˇe an a |(an · b − a · b) − (a · bn − a · b)| |an − a||b| + ||a||bn − b| pro pod´ıl z nerovnosti − = ≤ . bn b |bn · b| |bn ||b| (vi) Konvergence monot´ onn´ıch posloupnost´ı Kaˇzd´ a posloupnost neklesaj´ıc´ı a shora omezen´ a je konvergentn´ı a m´ a limitu rovnou jej´ımu supremu. Kaˇzd´ a posloupnost nerostouc´ı a zdola omezen´ a je konvergentn´ı a m´ a limitu rovnou jej´ımu infimu. Monot´ onn´ı posloupnost je konvergentn´ı pr´ avˇe tehdy, je-li omezen´ a. D˚ ukaz: Podle definice suprema kaˇzdé okol´ı suprema posloupnosti obsahuje alespoˇ n jeden ˇclen posloupnosti, ˇreknˇeme an1 . Jelikoˇz posloupnost je neklesaj´ıc´ı, leˇz´ı v tomto okol´ı vˇsechny ˇcleny an s n > n1 , a tedy supremum je limitou posloupnosti. D˚ ukaz druhého tvrzen´ı je analogick´ y. D˚ ukaz tˇret´ıho tvrzen´ı. Je-li posloupnost monotónn´ı a omezená, tvrzen´ı plyne z pˇredchoz´ıch dvou tvrzen´ı. Je-li posloupnost monotónn´ı a konvergentn´ı, pak dokazované tvrzen´ı plyne z tvrzen´ı (iv). (vii) Konvergence vybran´ e posloupnosti Kaˇzd´ a posloupnost vybran´ a z konvergentn´ı posloupnosti (an ) s limitou a je konvergentn´ı a m´ a limitu a. D˚ ukaz: Plyne bezprostˇrednˇe z definice (2.5) vybrané posloupnosti. (viii) Posloupnost (an ) konverguje k nule pr´ avˇe tehdy, kdyˇz posloupnost (|an |) konverguje k nule. D˚ ukaz: Zˇrejmˇe an leˇz´ı v daném okol´ı nuly právˇe tehdy, kdyˇz v nˇem leˇz´ı |an |. (ix) Je-li lim |an+1 /an | < 1, pak plat´ı lim an = 0 . n→∞ n→∞ D˚ ukaz: Necht’ lim |an+1 /an | = A < 1 a necht’ q ∈ (A, 1). Pak je |an+1 | ≤ |an |q ≤ |a1 |q n → 0. n→∞

(x) Charakterizace spojitosti funkce pomoc´ı posloupnost´ı Funkce f : Df ⊂ R → R je spojit´ a v bodˇe x0 ∈ Df pr´ avˇe tehdy, kdyˇz pro kaˇzdou posloupnost (xn ) v Df konverguj´ıc´ı k bodu x0 konverguje posloupnost (f (xn )) funkˇcn´ıch hodnot k bodu f (x0 ). D˚ ukaz: Necht’ f je spojitá v bodˇe x0 , necht’ je dána posloupnost (xn ) v Df konverguj´ıc´ı k bodu x0 a necht’ je dáno ˇc´ıslo ε > 0. Pak existuje okol´ı U(x0 , δ) tak, ˇze pro kaˇzdé ˇc´ıslo x ∈ U(x0 , δ) ∩ Df je f (x) ∈ U(f (x0 ), ε). Jelikoˇz xn → x0 , pak pro skoro vˇsechna n je xn ∈ U(x0 , δ), takˇze mus´ı b´ yt f (xn ) ∈ U(f (x0 ), ε), a tedy posloupnost funkˇcn´ıch hodnot f (xn ) konverguje k bodu f (x0 ). Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze z xn → x0 v Df plyne f (xn ) → f (x0 ) a ukaˇzme, ˇze pak funkce f je spojitá v bodˇe x0 . D˚ ukaz provedeme sporem. Pˇredpokládejme, ˇze funkce f nen´ı v bodˇe x0 spojitá. Pak existuje okol´ı U(f (x0 ), ε) takové, ˇze v kaˇzdém okol´ı U(x0 , δ) existuje ˇc´ıslo x ∈ U(x0 , δ) ∩ Df tak, ˇze f (x) 6∈ U(f (x0 ), ε). Nyn´ı staˇc´ı pro kaˇzdé ˇc´ıslo n ∈ N vybrat xn ∈ U(x0 , 1/n) ∩ Df tak, ˇze f (xn ) 6∈ U(f (x0 ), ε). Dostaneme tak posloupnost (xn ) v Df konverguj´ıc´ı k bodu x0 , pro kterou posloupnost funkˇcn´ıch hodnot f (xn ) nekonverguje k bodu f (x0 ), coˇz je spor s naˇs´ım pˇredpokladem. Pˇ r´ıklady 1. Necht’ ak 6= 0 6= br . Máme ukázat, ˇze plat´ı  pro k < r ,   0 ak nk + ak−1 nk−1 + · · ·  ak pro k = r , = lim br n→∞ br nr + br−1 nr−1 + · · ·    ±∞ pro k > r .

(2.13)

ˇ sen´ı: Vyˇsetˇr´ıme zvláˇst’ limitu ˇcitatele a limitu jmenovatele a pak pouˇzijeme vˇetu o limitˇe pod´ılu. Za Reˇ t´ım u ´ˇcelem nejdˇr´ıve cel´ y zlomek zkrát´ıme nr . Ve jmenovateli dostaneme br + br−1 /n + · · · → br 6= 0. Nyn´ı vyˇsetˇr´ıme limitu ˇcitatele takto upraveného zlomku. Pro k < r v ˇcitateli dostáváme ak /nr−k + ak−1 /nr−k+1 + · · · → 0, takˇze limita celého zlomku je nula. Pro k = r v ˇcitateli dostáváme ak + ak−1 /n + · · · → ak , a tedy limita celého zlomku ak /br . Pro k > r v ˇcitateli dostáváme ak nk−r + ak−1 nk−r−1 + · · · = ak nk−r (1 + ak−1 /n + · · · ) → ±∞ v závislosti na znaménku koeficientu ak . Je tedy limita celého zlomku +∞, je-li ak /br > 0 a −∞, je-li ak /br < 0. 2n2 + 1 . 2. Máme naj´ıt limitu posloupnosti an = 2 3n + n

38


ˇ sen´ı: Podle pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu je limita této posloupnosti rovna ˇc´ıslu 2/3. Reˇ 3. Máme ukázat, ˇze posloupnost an =

(2n + 1)4 − (n − 1)4 konverguje a máme naj´ıt jej´ı limitu. (2n + 1)4 + (n − 1)4

ˇ sen´ı: Uprav´ıme zlomek na tvar Reˇ (2n + 1)4 − (n − 1)4 15n4 + · · · (16n4 + · · ·) − (n4 + · · ·) = = , (2n + 1)4 + (n − 1)4 (16n4 + · · ·) + (n4 + · · ·) 17n4 + · · · kde · · · znaˇc´ı souˇcet ˇclen˚ u obsahuj´ıc´ıch mocniny n stupnˇe nejv´ yˇse 3. Podle 1. pˇr´ıkladu je limitou této posloupnosti ˇc´ıslo 15/17. 2 4 2n + 1 4. Máme naj´ıt limitu posloupnosti an = . 3n2 + n ˇ sen´ı: Clen ˇ Reˇ an = (2n2 + 1)/(3n2 + n))4 je souˇcinem 4 ˇclen˚ u posloupnosti z 2. pˇr´ıkladu. Aplikujeme tvrzen´ı o limitˇe souˇcinu a pomoc´ı v´ ysledku pˇr´ıkladu 2 dostáváme limitu (2/3)4 = 16/81. √ 5. Máme ukázat, ˇze lim n a = 1 pro a > 0 . n→∞

ˇ sen´ı: Pro a = 1 tvrzen´ı zˇrejmˇe plat´ı. Reˇ √ Pro a > 1 je n a − 1 < ε právˇe tehdy, kdyˇz (1/n) ln a < ln(1 + ε). Staˇc´ı tedy volit n0 > ln a/ ln(1 + ε). √ √ Pro 0 < a < 1 je | n a − 1| = 1 − n a < ε právˇe tehdy, kdyˇz (1/n) ln a > ln(1 − ε). Na rozd´ıl od pˇredchoz´ı situace je nyn´ı ln a < 0, ln(1−ε) < 0, takˇze pˇri dˇelen´ı obou stran nerovnosti záporn´ ym ˇc´ıslem se nerovnost zmˇen´ı na opaˇcnou a dostaneme opˇet, ˇze staˇc´ı volit n0 > ln a/ ln(1 − ε). √ 6. Máme ukázat, ˇze lim n n = 1 . n→∞ n ˇ sen´ı: Pro kaˇzdé n ∈ N poloˇzme √ Reˇ n = 1 + hn a dokáˇzeme, ˇze posloupnost (hn ) konverguje k nule. √ n Rovnost n = 1 + hn umocn´ıme na n-tou pomoc´ı binomické vˇety a dostaneme n = (1 + hn )n = 1 + nhn + n2 hn 2 + n3 hn 3 + . . . + hn n . Pro n ≥ 2 je hn > 0, a tedy vˇsechny sˇc´ıtance na pravé stranˇe jsou kladné. Nahrad´ıme-li je aˇz na tˇret´ıho nulou, dostaneme nerovnost n > n2 hn 2 , tj. n > (n(n − 1)/2)hn 2 . Odtud jednoduchou u ´pravou plyne nerovnost 0 < hn 2 < 2/(n − 1) . Na tuto nerovnost m˚ uˇzeme nyn´ı pouˇz´ıt vˇetu o sevˇren´ı a dostaneme dokazované tvrzen´ı hn → 0. n 1 7. Máme ukázat, ˇze posloupnost lim 1 + konverguje. n→∞ n ˇ sen´ı: Oznaˇcme bn = (1 + 1/n)n+1 a ukaˇzme, ˇze tato posloupnost je klesaj´ıc´ı, tj. ˇze plat´ı (1 + 1/n)n+1 > Reˇ (1 + 1/(n + 1))n+2 . Tuto nerovnost m˚ uˇzeme pˇrepsat na tvar ((n + 1)/n)n+1 > ((n + 2)/(n + 1))n+2 . Vynásob´ıme obˇe strany zlomkem (n + 1)/n, takˇze ((n + 1)/n)n+2 > ((n + 2)/(n + 1))n+2 (n + 1)/n . Ted’ obˇe strany vydˇel´ıme prvn´ım faktorem souˇcinu na pravé stranˇe ((n + 1)2 /(n(n + 2)))n+2 > 1 + 1/n . Nyn´ı vyuˇzijeme rovnost (n+1)2 = n(n+2)+1 k u ´pravˇe zlomku na levé stranˇe (1+1/(n(n+2)))n+2 > 1+1/n . Dostali jsme tak nerovnost ekvivalentn´ı s dokazovanou nerovnost´ı. Posledn´ı nerovnost dostaneme tak, ˇze umocn´ıme levou stranu pomoc´ı binomického rozvoje a v nˇem vˇsechny ˇcleny aˇz na prvn´ı dva nahrad´ıme nulami. T´ım jsme ukázali, ˇze posloupnost (bn ) je klesaj´ıc´ı. Jelikoˇz je bn > 0 pro vˇsechna n, je tato posloupnost také zdola omezená, a má tedy limitu. Oznaˇcme tuto limitu e. Jelikoˇz je (1 + 1/n)n+1 = (1 + 1/n)n (1 + 1/n), má také posloupnost (1 + 1/n)n stejnou limitu. Touto limitou je tzv. Eulerovo ˇc´ıslo e = 2, 718 281 828 459 045 . . . . n kn k 1 8. Máme ukázat, ˇze pro k ∈ N plat´ı lim 1 + = lim 1 + = ek . n→∞ n→∞ n n ˇ sen´ı: Podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe je ukáˇze, ˇze pro kaˇzdé k ∈ N je posloupnost an = Reˇ n+k 1 + k/n klesaj´ıc´ı a zdola omezená. Tedy existuje jej´ı limita. Z této posloupnosti vybereme pod km+k posloupnost bm = akm = 1 + 1/m . Limita této vybrané posloupnosti je podle pˇredchoz´ıho km+k m k k pˇr´ıkladu lim 1 + 1/m = lim 1 + 1/m · lim 1 + 1/m = ek . Protoˇze existuje limita m→∞ m→∞ m→∞ n posloupnosti an , je lim 1 + k/n = lim bm = ek . n→∞ m→∞ 6n+5 1 konverguje a máme naj´ıt jej´ı limitu. 9. Máme ukázat, ˇze posloupnost an = 1 + 3n

2.3. LIMITA FUNKCE

39

ˇ sen´ı: Uvaˇzujme posloupnost bm = (1 + 1/m)2m+5 . Zˇrejmˇe je b3n = an , a tedy posloupnost (an ) je Reˇ vybraná z posloupnosti (bn ). Plat´ı rovnost (1 + 1/m)2m+5 = (1 + 1/m)2m · (1 + 1/m)5 . Protoˇze prvn´ı faktor má limitu e2 a limita druhého faktoru je 1, je hledaná limita e2 . ´ Ulohy Vypoˇctˇete následuj´ıc´ı limity (pˇredpokládáme a > 0). n4 + 1 ; 3 n→∞ n + 2n2 + 3 3n+7 1 4) lim 1 + ; n→∞ n 3n2 + 1 7) lim 3 ; n→∞ n + 3n − 5 n! ; 10) lim n→∞ (n + 1)! − n! 2n − 1 13) lim n ; n→∞ 2 + 1

n (2n + 1)(3n + 3)(3n − 8) 4 ; 3) lim ; 1 − n→∞ n→∞ n3 − n2 + 1 n

1) lim

2) lim

(n + 1)3 − (n − 1)3 ; n→∞ (n + 1)2 + (n − 1)2 (n + 1)4 − (n − 1)4 8) lim ; n→∞ (n + 1)4 + (n − 1)4 (2n + 1)! + (2n − 1)! 11) lim ; n→∞ (2n + 1)! − (2n − 1)! (−2)n + 3n 14) lim ; n→∞ (−2)n+1 + 3n+1 2 3n2 + 1 17) lim ; n→∞ n2 + 3n − 5 5 4 n +1 20) lim n→∞ 2n5 + 3n −3 3 2n + 5n2 − 1 ; 23) lim ; n→∞ 6n3 + 5n + 1 5) lim

(2n + 1)2 ; n→∞ n2 − n + 1 5n3 cos n 9) lim ; n→∞ 3n − 7 2n+1 + 4n+1 12) lim ; n→∞ 2n + 4n an 15) lim ; n→∞ 1 + an 6) lim

n cos3 n an − a−n ; 18) lim ; n −n n→∞ 3n3 − 7 n→∞ a + a n n 3 1 19) lim 1 + ; ; 21) lim 1 − n→∞ n→∞ n 3n 2n 4n 1 n 22) lim 1 + 24) lim . n→∞ n→∞ n + 1 2n + 3   1) ∞ ; 2) 18 ; 3) e−4 ; 4) e3 ; 5) 3 ; 6) 4 ; 7) 0 ; 8) 0 ; 9) neexistuje ; 10) 0 ; 11) 1 ;    12) 4 ; 13) 1 ; 14) 1/3 ; 15) 0 pro a ∈ (0, 1); 1/2 pro a = 1; 1 pro a > 1 ;    3 16) − 1 pro a ∈ (0, 1); 0 pro a = 1; 1 pro a > 1 ; 17) 9 ; 18) 0 ; 19) e ; 20) 1/16 ;   21) e−1/3 ; 22) e ; 23) 27 ; 24) e−4 .

16) lim

2.3

Limita funkce

Kl´ıˇcov´ a slova: Limita funkce v bodˇe x0 ∈ R a v nevlastn´ım bodˇe; nevlastn´ı limita; limita funkce zprava a zleva; jednostranná limita; limita vektorové funkce; odstranitelná nespojitost funkce; nespojitost 1. druhu a 2. druhu

2.3.1

Limita funkce v bodˇ e

Pojem limity patˇr´ı mezi nejzákladnˇejˇs´ı pojmy matematické anal´ yzy. Existuje v´ıce zp˚ usob˚ u, jak zavést tento pojem. My jej v naˇsem textu zavedeme pomoc´ı pojmu okol´ı, coˇz je tzv. Cauchyova4 definice, a pak jej budeme charakterizovat také pomoc´ı posloupnost´ı. Této charakterizaci se obvykle ˇr´ıká Heineho5 definice. Ilustrace naˇs´ı definice je na obr. 2.5 a). Bˇehem následuj´ıc´ı u ´vahy je uˇziteˇcné sledovat tuto ilustraci, srovnávat ji s ilustrac´ı pojmu spojitosti na obr. 2.1 a uvˇedomit si, v ˇcem se definice pojm˚ u ”spojitost funkce v bodˇe” a ”limita funkce v bodˇe” shoduj´ı a v ˇcem se liˇs´ı. Definice limity funkce v bodˇ e Je dána funkce f , bod x0 ∈ R∗ , kter´ y je hromadn´ ym bodem definiˇcn´ıho oboru Df funkce f a bod a ∈ R∗ . ˇ ıkáme, ˇze funkce f m´ R´ a v bodˇe x0 limitu a právˇe tehdy, kdyˇz ke kaˇzdému okol´ı U(a, ε) ≡ (a − ε, a + ε) bodu a existuje prstencové okol´ı P(x0 , δ) ≡ (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 + δ) bodu x0 takové, ˇze vˇsechna x z tohoto ˇ ık´ prstencového okol´ı, v nichˇz je funkce f definovaná, se zobraz´ı do zadaného ε–okol´ı U(a, ε) bodu a. R´ ame pak, ˇze ˇc´ıslo a je limitou funkce f v bodˇe x0 a p´ıˇseme lim f (x) = a nebo

x→x0

f (x) → a pro x → x0 .

(2.14)

4 Cauchy, Augustin L. (1789-1857), francouzsk´ y matematik, zakladatel souˇ casn´ eho diferenci´ aln´ıho a integr´ aln´ıho poˇ ctu, teorie diferenci´ aln´ıch rovnic a nekoneˇ cn´ ych ˇrad 5 Heine, Eduard H. (1821-1881), nˇ emeck´ y matematik, pracoval v teorii funkc´ı, zavedl pojem stejnomˇ ern´ e spojitosti funkc´ı, upˇresnil pojem limity (souˇ casnˇ e s Weierstrassem)

40

KAPITOLA 2. SPOJITOST A LIMITA FUNKCE y

y

a+ε

a+ε

f

a

f

a = f (x0 +) b = f (x0 −)

a−ε

x x0 − δ

a−ε

x

x0 x0 + δ

x0

a) limita v bodˇe

x0 + δ

b) jednostranné limity

Obrázek 2.5: K ilustraci limity v bodˇe a jednostrann´ ych limit

Je-li a = ±∞, mluv´ıme o nevlastn´ı limitˇe. Je-li x0 = ±∞, mluv´ıme o limitˇe v nevlastn´ım bodˇe. Pouˇzijeme-li v definici limity jednostranná okol´ı P+ (x0 , δ), resp. P− (x0 , δ), dostaneme definice limity funkce f v bodˇe x0 zprava, resp. zleva. Tˇemto limitám ˇr´ıkáme jednostranné limity a p´ıˇseme lim f (x) = a ,

x→x0 +

lim f (x) = a .

x→x0 −

Pro zápis jednostrann´ ych limit pouˇz´ıváme ˇcasto zkrácené oznaˇcen´ı lim f (x) ≡ f (x0 +) ,

x→x0 +

lim f (x) ≡ f (x0 −) .

(2.15)

x→x0 −

Ilustrace jednostrann´ ych limit a = f (x0 +) a b = f (x0 −) je na obr. 2.5 b). Dalˇs´ı ilustrace jednostrann´ ych limit jsou na obrázku 2.6. Charakterizace limity pomoc´ı absolutn´ıch hodnot a kvantifik´ ator˚ u (i) Funkce f má v bodˇe x0 ∈ R limitu a ∈ R právˇe tehdy, kdyˇz ke kaˇzdému ˇc´ıslu ε > 0 existuje ˇc´ıslo δ > 0 tak, ˇze pro vˇsechna x ∈ Df , pro která je 0 < |x − x0 | < δ, je |f (x) − a| < ε. (ii) Funkce f má v bodˇe x0 ∈ R limitu a ∈ R právˇe tehdy, kdyˇz ∀ U(a, ε) ∃ P(x0 , δ) tak, ˇze plat´ı (x ∈ P(x0 , δ) ∩ Df ⇒ f (x) ∈ U(a, ε)) ,

(2.16)

nebo pomoc´ı nerovnost´ı ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tak, ˇze (x ∈ Df , 0 < |x − x0 | < δ ⇒ a − ε < f (x) < a + ε).

(2.17)

Doporuˇcujeme ˇctenáˇri, aby porovnal formulaci (2.16) s formulac´ı (2.1) a formulaci (2.17) s formulac´ı (2.2). Heineho charakterizace limity Necht’ x0 ∈ R∗ je hromadným bodem definiˇcn´ıho oboru Df funkce f (x), necht’ a ∈ R∗ a necht’ (xn ) znaˇc´ı libovolnou posloupnost v Df \ {x0 } konverguj´ıc´ı k bodu x0 . Pak plat´ı n´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı: lim f (x) = a pr´ avˇe tehdy, kdyˇz lim f (xn ) = a pro kaˇzdou takovou posloupnost (xn ).

x→x0

n→∞

(2.18)

D˚ ukaz: Tvrzen´ı, ˇze z lim f (x) = a plyne lim f (xn ) = a je zˇrejmé. Obrácené tvrzen´ı, ˇze z lim f (xn ) = a x→x0

n→∞

n→∞

plyne lim f (x) = a se dá dokázat snadno sporem. Pˇredpokládejme, ˇze existuje posloupnost xn → x0 x→x0

taková, ˇze neplat´ı f (xn ) → a. Pak existuje ε > 0 tak, ˇze pro kaˇzdé k ∈ N existuje xnk ∈ P(x0 , 1/k) takové, ˇze |f (xnk ) − a| ≥ ε. To vˇsak vede ke sporu s pˇredpokladem f (x) → a. Pozn´ amka Z Heineho charakterizace limity a z vlastnost´ı limity posloupnosti plyne, ˇze hodnota limity funkce nezávis´ı na tom, zda je funkce v bodˇe x0 definovaná, pˇr´ıpadnˇe jakou tam má hodnotu. Nav´ıc odtud a z tvrzen´ı 2.2.3.(i) o jednoznaˇcnosti limity posloupnosti plyne, ˇze funkce má v kaˇzdém bodˇe nejv´ yˇse jednu limitu.

2.3. LIMITA FUNKCE

41

Vztah mezi spojitost´ı a limitou Je-li bod x0 ∈ R hromadným bodem definiˇcn´ıho oboru Df funkce f (x), pak plat´ı n´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı: funkce f (x) je v bodˇe x0 spojit´ a pr´ avˇe tehdy, kdyˇz lim f (x) = f (x0 ).

(2.19)

x→x0

D˚ ukaz: Staˇc´ı srovnat definici spojitosti funkce v bodˇe a definici limity funkce v bodˇe. Limita vektorov´ e funkce Necht’ bod x0 je hromadn´ ym bodem definiˇcn´ıho oboru Df vektorové funkce f . Budeme ˇr´ıkat, ˇze vektorov´ a funkce f = (f1 , f2 , . . . , fn ) m´ a v bodˇe x0 limitu lim f (x) právˇe tehdy, kdyˇz kaˇzdá jej´ı sloˇzka má v bodˇe x→x0

x0 limitu a definujeme

lim f (x) =

x→x0

lim f1 (x), lim f2 (x), . . . , lim fn (x) .

x→x0

x→x0

(2.20)

x→x0

Pˇ r´ıklady 1. Máme ukázat, ˇze exponenciáln´ı funkce ex má v bodˇe 0 limitu 1. ˇ sen´ı: Exponenciáln´ı funkce je spojitá v bodˇe 0, takˇze tvrzen´ı plat´ı podle (2.19). Reˇ 2. Máme ukázat, ˇze exponenciáln´ı funkce ex má v nevlastn´ım bodˇe −∞, resp. +∞ limitu 0, resp. nevlastn´ı limitu +∞. ˇ sen´ı: Nejdˇr´ıve ukáˇzeme, ˇze plat´ı lim ex = 0. K danému libovolnˇe malému ε > 0 máme naj´ıt takové Reˇ x→−∞

ˇc´ıslo δ > 0, ˇze pro vˇsechna x < δ je ex < ε. K tomu vˇsak staˇc´ı volit δ < ln ε a vyuˇz´ıt monotónnosti exponenciáln´ı funkce. Je-li totiˇz x < δ < ln ε, je ex < eln ε = ε. Zcela analogicky se ukáˇze, ˇze plat´ı lim ex = ∞. Staˇc´ı obrátit nerovnosti pro okol´ı. x→∞

1 1 3. Máme ukázat, ˇze lim = −∞, lim = ∞. x→a− x − a x→a+ x − a ˇ sen´ı: Dokáˇzeme jen prvn´ı tvrzen´ı. K danému ε > 0 vol´ıme δ = 1/ε. Pak pro kaˇzdé x splˇ Reˇ nuj´ıc´ı podm´ınku 0 < |x − a| = a − x < δ = 1/ε, je |f (x)| = 1/|x − a| = 1/(a − x) > 1/δ = ε. Avˇsak pro x < a je f (x) < 0, takˇze |f (x)| = −f (x) > ε, a tedy f (x) < −ε. Jelikoˇz tato nerovnost plat´ı pro libovolnˇe veliké ˇc´ıslo ε, plyne odtud 1/(x − a) → −∞ pro x → a − . Druhé tvrzen´ı se dokazuje analogicky. 1 1 4. Máme ukázat, ˇze plat´ı lim = 0, lim = 0. x→∞ x x→−∞ x ˇ sen´ı: Pro dané ˇc´ıslo ε > 0 nerovnost |f (x) − 0| = |1/x| < ε plat´ı pro vˇsechna |x| > 1/ε = δ. Reˇ sin x 5. Rovnost (2.25) ˇr´ıká, ˇze lim = 1 (viz obr. 2.6 a) ). Odtud si ˇctenáˇr snadno odvod´ı, ˇze plat´ı rovnosti x→0 x sin x sin x lim = 1, lim = −1 (viz obr. 2.6 b) ). x→0+ |x| x→0− |x| y

y

1

y=

sin x x

1

y=

sin x |x|

x -π

-1

π

1

x -π

-1

-1

π

1 -1

a) graf funkce

sin x x

b) graf funkce

sin x |x|

Obrázek 2.6: Ilustrace jednostrann´ ych limit 6. Máme ukázat, ˇze ke kaˇzdému α ∈ h−1, 1i existuje posloupnost xn → ∞ taková, ˇze lim sin xn = α. n→∞ Analogické tvrzen´ı plat´ı pro funkci cos x. ˇ sen´ı: Pro dané α ∈ h−1, 1i oznaˇcme x0 = arcsin α a poloˇzme xn = x0 + 2nπ . Pak sin xn = sin(x0 + Reˇ 2nπ) = sin x0 = α , takˇze posloupnost (sin xn ) je konstantn´ı posloupnost a má limitu α .

42


Pozn´ amka Z právˇe dokázaného tvrzen´ı plyne, ˇze limity funkc´ı sin x a cos x pro x → ±∞ neexistuj´ı. Stejnˇe se dá ukázat, ˇze ke kaˇzdému α ∈ R existuje posloupnost xn → ∞ taková, ˇze lim tg xn = α a n→∞ analogicky pro funkci cotg x. 1 nemá v bodˇe 0 ani limitu zleva, ani limitu zprava. x D˚ ukaz: Stejnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe se ukáˇze, ˇze ke kaˇzdému α ∈ h−1, 1i existuje posloupnost xn → 0 taková, ˇze lim sin(1/xn ) = α. K tomu staˇc´ı volit xn = 1/(arcsin α + 2nπ).

7. Máme ukázat, ˇze funkce sin

n→∞

8. Máme ukázat, ˇze plat´ı lim e−x sin x = 0. x→∞

ˇ sen´ı: Zˇrejmˇe plat´ı |e−x sin x| ≤ e−x < ε právˇe tehdy, kdyˇz ex > 1/ε , takˇze staˇc´ı volit δ ≥ ln(1/ε). Reˇ sin x 9. Máme ukázat, ˇze plat´ı lim = 0. x→∞ x ˇ sen´ı: Nerovnost | sin x/x| < 1/x < ε plat´ı právˇe tehdy, kdyˇz x > 1/ε . Staˇc´ı tedy volit δ = 1/ε. Reˇ

2.3.2

Vlastnosti limity funkce

1. Vˇ eta o limitn´ım pˇ rechodu v aritmetick´ ych operac´ıch ’ Necht existuj´ı limity lim f (x) = a, lim g(x) = b. Pak plat´ı: x→x0

x→x0

lim (f (x) ± g(x)) = a ± b , lim (f (x) · g(x)) = a · b , je-li b 6= 0, pak také lim

x→x0

x→x0

x→x0

f (x) a = , g(x) b

(2.21)

m´ a-li operace na pravé stranˇe smysl. 2. Vˇ eta o limitˇ e sloˇ zen´ e funkce: (i) Pˇredpokl´ adejme, ˇze je lim g(x) = y0 , lim f (y) = a. Pˇredpokl´ adejme d´ ale, ˇze existuj´ı ˇc´ısla δ1 > 0, x→x0

y→y0

δ2 > 0 tak, ˇze funkce g(x) je definovan´ a v okol´ı P(x0 , δ1 ) a plat´ı g(x) 6= y0 pro vˇsechna x ∈ P(x0 , δ1 ) a funkce f (y) je definovan´ a v okol´ı P(y0 , δ2 ). Pak pro sloˇzenou funkci f (g(x)) plat´ı lim f (g(x)) = lim f (y) = a.

x→x0

(2.22)

y→y0

(ii) Pˇredpokl´ adejme, ˇze funkce g(x) je definovan´ a v nˇejakém okol´ı bodu x0 a ˇze plat´ı lim g(x) = y0 . x→x0

Pˇredpokl´ adejme d´ ale, ˇze funkce f (y) je definovan´ a v nˇejakém okol´ı bodu y0 a ˇze je v tomto bodˇe spojit´ a. Pak pro sloˇzenou funkci f (g(x)) plat´ı rovnost (2.22). D˚ ukaz: Tvrzen´ı 1. plyne podle (2.18) z tvrzen´ı (2.12) o limitn´ım pˇrechodu v aritmetick´ ych operac´ıch pro posloupnosti. D˚ ukaz tvrzen´ı 2. je analogick´ y d˚ ukazu vˇety o spojitosti sloˇzené funkce. Pozn´ amka Pˇri v´ ypoˇctu limity sloˇzené funkce f (g(x)) v pˇr´ıpadˇe, ˇze hodnota g(x) nen´ı v nˇejakém prstencovém okol´ı bodu x0 rovna y0 , nebo vnˇejˇs´ı funkce f (y) je v bodˇe y0 spojitá, vypoˇcteme nejdˇr´ıve limitu vnitˇrn´ı funkce g(x) a pak limitu vnˇejˇs´ı funkce f (y) v bodˇe daném hodnotou limity vnitˇrn´ı funkce. 3. Vˇ eta o sevˇ ren´ı Necht’ existuje ˇc´ıslo δ > 0 tak, ˇze pro vˇsechna x ∈ P(x0 , δ) je f (x) ≤ g(x) ≤ h(x). Pak plat´ı n´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı: je-li lim f (x) = lim h(x) = a, pak také lim g(x) = a. (2.23) x→x0

x→x0

x→x0

D˚ ukaz: Tvrzen´ı plyne podle (2.18) z vˇety o sevˇren´ı (2.11) pro posloupnosti. 4. D˚ usledky vˇ ety o sevˇ ren´ı Necht’ existuje ˇc´ıslo δ > 0 tak, ˇze plat´ı (i) |g(x)| ≤ h(x) pro kaˇzdé x ∈ P(x0 , δ), lim h(x) = 0. Pak také lim g(x) = 0. x→x0

x→x0

(ii) f (x) ≤ g(x) pro kaˇzdé x ∈ P(x0 , δ), lim f (x) = ∞. Pak také lim g(x) = ∞. x→x0

x→x0

(iii) g(x) ≤ h(x) pro kaˇzdé x ∈ P(x0 , δ), lim h(x) = −∞. Pak také lim g(x) = −∞. x→x0 x→x0 5. Jestliˇze existuje lim f (x), pak plat´ı lim |f (x)| = lim f (x) . x→x0

x→x0

x→x0

2.3. LIMITA FUNKCE

43

D˚ ukaz: Tvrzen´ı je bezprostˇrednˇe patrno z definice limity funkce, jakmile ji zap´ıˇseme pomoc´ı absolutn´ıch hodnot. 6. lim f (x) = 0 pr´ avˇe tehdy, kdyˇz lim |f (x)| = 0. x→x0

x→x0

D˚ ukaz: Plat´ı-li f (x) → 0, pak |f (x)| → 0 podle pˇr edchoz´ıho tvrzen´ ı. Obrácenˇe, plat´ı-li |f (x)| → 0, pak f (x) → 0 podle vˇety o sevˇren´ı a nerovnost´ı − f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . 7. Je-li lim f (x) = 0 a existuje-li ˇc´ıslo δ > 0 tak, ˇze |g(x)| < K pro x ∈ P(x0 , δ), pak lim (f (x)g(x)) = 0. x→x0 x→x0 D˚ ukaz: Plyne z vˇety o sevˇren´ı a nerovnost´ı −K f (x) ≤ g(x)f (x) ≤ K f (x) . 8. Necht’ lim f (x) = 0 a necht’ existuje ˇc´ıslo δ > 0 tak, ˇze plat´ı x→x0

1 = ∞. f (x) 1 (ii) f (x) < 0 pro x ∈ P(x0 , δ) ∩ Df . Pak lim = −∞. x→x0 f (x) D˚ ukaz: K danému ε > 0 existuje γ > 0 tak, ˇze pro kaˇzdé x ∈ P(x0 , γ) ∩ Df je |f (x)| < ε. Pak ovˇsem nutnˇe plat´ı 1/|f (x)| > ε a odtud jiˇz plynou obˇe dokazovaná tvrzen´ı.

(i) f (x) > 0 pro x ∈ P(x0 , δ) ∩ Df . Pak lim

x→x0

1 = 0. x→x0 x→x0 f (x) D˚ ukaz: je analogick´ y d˚ ukazu pˇredchoz´ıho tvrzen´ı. 9. Jestliˇze lim |f (x)| = ∞, pak lim

10. Necht’ existuje lim f (x) = a 6= 0. Pak existuje P(x0 , δ) tak, ˇze plat´ı n´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı: x→x0

je-li lim f (x) = a > 0, resp. < 0, pak je f (x) > 0, resp. < 0 pro vˇsechna x ∈ P(x0 , δ). x→x0

(2.24)

D˚ ukaz: Tvrzen´ı dokáˇzeme pro a > 0. K ε = a/2 > 0 existuje δ > 0 tak, ˇze pro vˇsechna x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) je 0 < a/2 = a − a/2 = a − ε < f (x) . 11. Vˇsechna uvedená tvrzen´ı plat´ı po pˇr´ısluˇsn´ ych zˇrejm´ ych modifikac´ıch i pro jednostranné limity. Pˇ r´ıklady Máme vypoˇc´ıtat limitu dané funkce f (x) v daném bodˇe x0 . x3 − 2x − 4 1. f (x) = , x0 = 0 . x2 − 4 ˇ sen´ı: Bod x0 = 0 patˇr´ı do Df a funkce f je v tomto bodˇe spojitá, takˇze m˚ Reˇ uˇzeme pouˇz´ıt rovnost (2.19). Jelikoˇz limita ˇcitatele i jmenovatele je −4, m˚ uˇzeme pouˇz´ıt tvrzen´ı o limitˇe pod´ılu a dostaneme tak lim f (x) = 1 . x→0

x3 − 2x − 4 , x0 = 2 . x2 − 4 ˇ sen´ı: Bod x0 = 2 nepatˇr´ı do Df , ale je jeho hromadn´ Reˇ ym bodem. Jelikoˇz pˇri v´ ypoˇctu limity v bodˇe 2 uvaˇzujeme promˇennou x r˚ uznou od 2, m˚ uˇzeme pˇredpis pro funkci f (x) upravit 2. f (x) =

f (x) =

x3 − 2x − 4 (x − 2)(x2 + 2x + 2) x2 + 2x + 2 = = x2 − 4 (x − 2)(x + 2) x+2

a pak dosadit x = 2. Dostaneme lim f (x) = 5/2 . x→2

7x3 − 5x2 − 4x + 2 , x0 = ∞ . 3. f (x) = 2x3 − 4x − 7 ˇ sen´ı: Bod x0 = ∞ je hromadn´ Reˇ ym bodem Df . Zlomek zkrát´ıme x3 . 5 4 2 7− − 2 + 3 7x3 − 5x2 − 4x + 2 x x x f (x) = = . 7 4 2x3 − 4x − 7 2− 2 − 3 x x Jelikoˇz plat´ı x → ∞, plat´ı také xn → ∞ pro kaˇzdé pˇrirozené n, a tedy 1/xn → 0. Tento poznatek a vˇeta o souˇctu limit nám dovoluje tvrdit, ˇze limita ˇcitatele je 7 a limita jmenovatele je 2. Podle vˇety o pod´ılu limit tedy plat´ı lim f (x) = 7/2 . x→∞

44

KAPITOLA 2. SPOJITOST A LIMITA FUNKCE √

x+9−3 , x0 = 0 . x ˇ sen´ı: Bod x0 = 0 nepatˇr´ı do Df , ale je jeho hromadn´ Reˇ ym bodem. Pˇredpis pro funkci f (x) uprav´ıme 4. f (x) =

√ f (x) =

√ √ x+9−3 ( x + 9 − 3)( x + 9 + 3) x 1 √ = = √ =√ . x x( x + 9 + 3) x( x + 9 + 3) x+9+3

Nyn´ı staˇc´ı dosadit x = 0 a dostaneme lim f (x) = 1/6 . x→0 √ 2 5. f (x) = x( x + 9 − x) , x0 = ∞ . ˇ sen´ı: Bod x0 = ∞ je hromadn´ Reˇ ym bodem Df . Pˇri v´ ypoˇctu limity budeme postupovat podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe. Pˇredpis pro funkci f (x) uprav´ıme √ √ p x( x2 + 9 − x)( x2 + 9 + x) 9 2 √ f (x) = x( x + 9 − x) = =p . 2 x +9+x 1 + 9/x2 + 1 Odtud jiˇz dostáváme lim f (x) = 9/2 . x→∞

6. Máme ukázat, ˇze plat´ı lim

x→0

sin x = 1. x

(2.25)

ˇ sen´ı: Pˇri d˚ Reˇ ukazu této rovnosti budeme vycházet ze vztah˚ u mezi obsahy tˇr´ı geometrick´ ych u ´tvar˚ u znázornˇen´ ych na obr. 2.7. D

1 B

x

tg x

sin x

P

cos x

A

1 C

Obrázek 2.7: K odvozen´ı limity lim

x→0

sin x =1 x

Obsah troj´ uheln´ıka P AB je polovina souˇcinu základny a v´ yˇsky, a tedy (cos x sin x)/2. Podobnˇe ploˇsn´ y obsah troj´ uheln´ıka P CD je (tg x)/2, jelikoˇz délka základny je 1. Koneˇcnˇe, obsah kruhové v´ yseˇce P CB je x/2, protoˇze polomˇer kruhu je jedna. Mezi tˇemito obsahy je vztah (cos x sin x)/2 < x/2 < (tg x)/2 = (sin x)/(2 cos x), kter´ y plat´ı pro vˇsechna x ∈ (0, π/2). Vynásob´ıme vˇsechny ˇcleny faktorem 2/ sin x, z´ıskáme nerovnosti cos x < x/ sin x < 1/ cos x. Odtud pˇrechodem k pˇrevrácen´ ym hodnotám dostáv´ ame cos x < (sin x)/x < 1/ cos x. Jelikoˇz vˇsechny tˇri funkce cos x, (sin x)/x, 1/ cos x jsou sudé, plat´ı tyto nerovnosti nejen v intervalu (0, π/2), ale i pro vˇsechna x ∈ (−π/2, 0). Z rovnosti lim cos x = lim 1/ cos x = 1 a z vˇety o sevˇren´ı plyne dokazovaná rovnost (2.25). 7. Máme ukázat, ˇze plat´ı

x→0

x 1 = e. 1+ x→∞ x lim

ˇ sen´ı: Pˇri d˚ Reˇ ukazu této rovnosti budeme vycházet z pˇr´ıkladu 2.2.3.7. Oznaˇcme x 1 f (x) = 1 + pro x > 1. x

x→0

(2.26)

2.3. LIMITA FUNKCE

45

Máme ukázat, ˇze pro libovolnou posloupnost xn → ∞, xn > 1, plat´ı f (xn ) → e. Zˇrejmˇe ke kaˇzdému pˇrirozenému ˇc´ıslu n existuje pˇrirozené ˇc´ıslo kn takové, ˇze kn ≤ xn ≤ kn + 1, a tedy pro pˇrevrácené hodnoty plat´ı 1 1 1 ≤ ≤ . (2.27) kn + 1 xn kn Jelikoˇz exponenciáln´ı funkce se základem vˇetˇs´ım neˇz 1 je rostouc´ı, dostáváme z nerovnosti (2.27) nerovnost 1+

1 kn + 1

kn ≤

xn kn +1 1 1 = f (xn ) ≤ 1 + 1+ . xn kn

(2.28)

Pro limity posloupnost´ı na levé a pravé stranˇe plat´ı " m m+1 −1 # 1 1 1 lim 1 + = lim · 1+ = e · 1 = e. 1+ x→m x→m m+1 m+1 m+1 Analogicky

" m+1 m 1 # 1 1 1 lim 1 + = lim 1+ · 1+ = e · 1 = e. x→m x→m m m m

Odtud, z nerovnosti (2.28) a z vˇety 2.3.2.1 o sevˇren´ı plyne dokazované tvrzen´ı. 8. Nyn´ı uvedeme bez d˚ ukazu nˇekolik pˇr´ıklad˚ u limit, které budeme pouˇz´ıvat pˇri ˇreˇsen´ı nˇekter´ ych u ´loh. S v´ ypoˇctem tˇechto limit se setkáme pozdˇeji ve 3. kapitole v souvislosti s tzv. l’Hospitalov´ ym pravidlem. Rovnosti e) a f) plat´ı pro kaˇzdé pˇrirozené ˇc´ıslo k ∈ N. ex − 1 = 1; x→0 x ln x = 0; d) lim x→∞ x a) lim

ln(1 + x) = 1; c) lim x ln x = 0; x→0 x x e e) lim k = ∞; f) lim xk e−x = 0. x→∞ x x→∞

b) lim

x→0

(2.29)

Body nespojitosti Je-li bod x0 hromadn´ ym bodem definiˇcn´ıho oboru funkce f (x), pak, jak v´ıme, funkce f (x) je spojitá v bodˇe x0 právˇe tehdy, kdyˇz jej´ı limita v bodˇe x0 se rovná funkˇcn´ı hodnotˇe f (x0 ). Tato vlastnost spojitosti funkce f (x) v hromadn´ ych bodech jej´ıho definiˇcn´ıho oboru nás vede k tomu, ˇze o nespojitosti funkce f (x) mluv´ıme i v bodech, které sice nemus´ı patˇrit do definiˇcn´ıho oboru Df , ale mus´ı b´ yt alespoˇ n jeho hromadn´ ymi body. ˇ ıkáme, ˇze funkce má v bodˇe x0 : Rozeznáváme tˇri druhy bod˚ u nespojitosti. R´ 1. odstranitelnou nespojitost právˇe tehdy, kdyˇz existuj´ı jej´ı vlastn´ı (tj. koneˇcné) jednostranné limity zprava i zleva v bodˇe x0 a jsou stejné. 2. nespojitost 1. druhu právˇe tehdy, kdyˇz existuj´ı jej´ e limity zprava i zleva v bodˇe x0 ı vlastn´ı jednostrann´ a jsou r˚ uzné. V tomto pˇr´ıpadˇe se rozd´ıl ∆ = f x0 + − f x0 − ˇcasto naz´ yvá skokem funkce f v bodˇe x0 . 3. nespojitost 2. druhu právˇe tehdy, kdyˇz alespoˇ n jedna jej´ı jednostranná limita v bodˇe x0 bud’ je nevlastn´ı, nebo neexistuje. Pˇ r´ıklady Typické pˇr´ıklady bod˚ u nespojitosti pˇredstavuj´ı nˇekteré pˇr´ıklady z odst. 2.3.1. Funkce f (x) = (sin x)/x má v bodˇe 0 odstranitelnou nespojitost, jak plyne z pˇr´ıkladu 2.3.1.5 a je vidˇet z obr. 2.6 a). Funkce f (x) = (sin x)/|x| má v bodˇe 0 nespojitost 1. druhu, jak je vidˇet z pˇr´ıkladu 2.3.1.6 a z obr. 2.6 b). Funkce f (x) = 1/(x − 2) má v bodˇe 2 nespojitost 2. druhu, jak ukazuje obr. 1.8 h).

46


Kapitola 3

Diferenci´ aln´ı poˇ cet funkc´ı jedn´ e promˇ enn´ e Kl´ıˇcová slova: Rovnice teˇcny a normály; derivace funkce v bodˇe; jednostranná derivace zprava a zleva; derivace funkce na intervalu; diferenciál; derivace vyˇsˇs´ıho ˇrádu; Taylor˚ uv polynom; Leibnizovo pravidlo; Rolleova, Lagrangeova a Cauchyova vˇeta; l’Hospitalovo pravidlo; derivace funkc´ı zadan´ ych parametricky

3.1

Derivace funkce

3.1.1

Definice derivace

Geometrick´ a a fyzik´ aln´ı motivace pojmu derivace Teˇ cna grafu funkce Je dána funkce f a body x0 6= x1 uvnitˇr definiˇcn´ıho oboru Df . Body (x0 , f (x0 )), (x1 , f (x1 )) je urˇcena pˇr´ımka (viz obr. 3.1), která je seˇcnou grafu funkce f . Ze zˇrejmé rovnosti y − f (x0 ) f (x1 ) − f (x0 ) = x − x0 x1 − x0 dostáváme jednoduchou u ´pravou rovnici této seˇcny y = f (x0 ) +

f (x1 ) − f (x0 ) (x − x0 ) . x1 − x0

(3.1)

Pohybuje-li se bod (x1 , f (x1 )) po grafu funkce f (x) smˇerem k bodu (x0 , f (x0 )), m˚ uˇzeme tento pohyb zachytit matematicky pomoc´ı limitn´ıho pˇrechodu. Existuje-li limita k = lim

x1 →x0

f (x1 ) − f (x0 ) , x1 − x0

pak rovnice y = f (x0 ) + k(x − x0 ) , resp.

y = f (x0 ) −

(3.2) 1 (x − x0 ) k

(3.3)

je rovnic´ı teˇcny, resp. normály grafu funkce f v bodˇe (x0 , f (x0 )). Okamˇ zit´ a rychlost pohybu hmotn´ eho bodu Jestliˇze se hmotn´ y bod pohybuje po ose x a jestliˇze funkce x(t) udává jeho polohu na této ose v okamˇziku t, pak diferenˇcn´ı pod´ıl x(t) − x(t0 ) v= (3.4) t − t0 udává pr˚ umˇernou rychlost tohoto pohybu mezi ˇcasov´ ymi okamˇziky t0 a t. Je-li ˇcasov´ y okamˇzik t0 vnitˇrn´ım bodem definiˇcn´ıho oboru funkce x(t) a existuje-li limita v(t0 ) = lim

t→t0

x(t) − x(t0 ) , t − t0

47

(3.5)

´ Í POCET ˇ ´ PROMENN ˇ ´ KAPITOLA 3. DIFERENCIALN FUNKCÍ JEDNE E

48

f

y f (x1 ) f (x)

f (x0 )

s e e e t e \ n \ \ x0 \ x x1 \ \

x

Obrázek 3.1: k odvozen´ı rovnice teˇcny pak toto ˇc´ıslo pˇredstavuje okamˇzitou rychlost pohybu v okamˇziku t0 . Derivace funkce v bodˇ e Je dána funkce f : Df ⊂ R → R a necht’ x0 je vnitˇrn´ım bodem definiˇcn´ıho oboru Df . Existuje-li limita f 0 (x0 ) = lim

x→x0

f (x0 + h) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) ≡ lim , h→0 x − x0 h

(3.6)

pak ˇc´ıslo f 0 (x0 ) naz´ yváme derivac´ı 1. ˇr´ adu funkce f v bodˇe x0 . Jednostrann´ e derivace Podobnˇe, jako jsme definovali jednostranné limity, m˚ uˇzeme definovat i jednostranné derivace. Necht’ je dána funkce f a bod x0 tak, ˇze pro nˇejaké δ > 0 je hx0 , x0 + δ) ⊂ Df , resp. (x0 − δ, x0 i ⊂ Df . Derivac´ı zprava, resp. zleva funkce f v bodˇe x0 naz´ yváme ˇc´ıslo f (x) − f (x0 ) , resp. x→x0 + x − x0

f 0 (x0 +) = lim

f (x) − f (x0 ) , x→x0 − x − x0

f 0 (x0 −) = lim

(3.7)

jakmile tyto limity existuj´ı. Derivace funkce na intervalu Má-li funkce f derivaci v kaˇzdém bodˇe otevˇreného intervalu (a, b), pak funkci f 0 , která kaˇzdému bodu x ∈ (a, b) pˇriˇrazuje hodnotu derivace f 0 (x), naz´ yváme derivac´ı funkce f na otevˇreném intervalu (a, b). Má-li funkce f derivaci na otevˇreném intervalu (a, b) a má-li obˇe jednostranné derivace f 0 (a+), f 0 (b−), pak funkci f 0 , definovanou pˇredpisem  0   f (a+) pro x = a , 0 f 0 (x) pro x ∈ (a, b) , f (x) = (3.8)   0 f (b−) pro x = b naz´ yváme derivac´ı funkce f na uzavˇreném intervalu ha, bi.

3.1.2

Vlastnosti derivace

Vztah mezi spojitost´ı a derivac´ı M´ a-li funkce f derivaci v bodˇe x0 , pak je v tomto bodˇe spojit´ a. f (x) − f (x0 ) (x − x0 ) plyne D˚ ukaz: Z identity f (x) = f (x0 ) + x − x0 lim f (x) = f (x0 ) + lim

x→x0

x→x0

f (x) − f (x0 ) lim (x − x0 ) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · 0 = f (x0 ), x→x0 x − x0

takˇze podle (2.19) je funkce f (x) v bodˇe x0 spojitá.

3.1. DERIVACE FUNKCE

49

Pozn´ amka Obrácené tvrzen´ı neplat´ı. Funkce f (x) = |x| je v bodˇe 0 spojitá, ale nemá tam derivaci. Operace s derivacemi Maj´ı-li funkce f a g derivace v bodˇe x0 , pak také funkce f ± g a f g maj´ı derivaci v bodˇe x0 a plat´ı (f ± g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) ± g 0 (x0 ) ,

(3.9)

(f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ) .

(3.10)

Je-li nav´ıc g(x0 ) 6= 0, m´ a také funkce f /g derivaci v bodˇe x0 a plat´ı 0 f f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 ) (x0 ) = . g [g(x0 )]2

(3.11)

Stejné vztahy plat´ı pro derivace funkc´ı na intervalu. D˚ ukaz: Dok´ aˇzeme pouze rovnost (3.10). Ostatn´ı tvrzen´ı se dokazuj´ı analogicky a ˇctenáˇr si je m˚ uˇze dokázat sám pomoc´ı rovnost´ı pouˇz´ıvan´ ych v d˚ ukazech spojitosti aritmetick´ ych operac´ı. Dokazované tvrzen´ı plyne limitn´ım pˇrechodem z rovnost´ı f (x0 + h)g(x0 + h) − f (x0 )g(x0 ) (f g)(x0 + h) − (f g)(x0 ) = = h h =

f (x0 + h)g(x0 + h) − f (x0 )g(x0 + h) + f (x0 )g(x0 + h) − f (x0 )g(x0 ) = h f (x0 + h) − f (x0 ) g(x0 + h) − g(x0 ) = g(x0 + h) + f (x0 ) . h h

Derivace sloˇ zen´ e funkce M´ a-li funkce g v bodˇe x0 derivaci a funkce f v bodˇe y0 = g(x0 ) derivaci, pak také sloˇzen´ a funkce h = f ◦ g m´ a v bodˇe x0 derivaci a plat´ı h0 (x0 ) = (f ◦ g)0 (x0 ) = f 0 (g(x0 )) · g 0 (x0 ) ≡ f 0 (y0 ) · g 0 (x0 ) .

(3.12)

D˚ ukaz tohoto tvrzen´ı je ponˇekud komplikovanˇejˇs´ı a nebudeme jej uvádˇet. Derivace inverzn´ı funkce Necht’ funkce x = f (y) je ryze monot´ onn´ı v intervalu J a necht’ m´ a derivaci f 0 (y0 ) 6= 0 v bodˇe y0 ∈ J . −1 Pak také inverzn´ı funkce y = f (x) m´ a derivaci v bodˇe x0 = f (y0 ) ∈ I = f (J ) a plat´ı (f −1 )0 (x0 ) =

1 1 ≡ 0 −1 . f 0 (y0 ) f (f (x0 ))

(3.13)

D˚ ukaz: Dokazované tvrzen´ı plyne limitn´ım pˇrechodem v rovnosti f −1 (x − x0 ) − f −1 (x0 ) = x − x0

3.1.3

1 1 = . x − x0 f (y) − f (y0 ) f −1 (x) − f −1 (x0 ) y − y0

Derivace element´ arn´ıch funkc´ı 1.

(c)0

= 0,

n 0

x ∈ R, n−1

2. 3.

(x ) (ex )0

= nx = ex ,

4.

(ax )0

5.

(ln |x|)0

6.

(loga |x|)0

= ax ln a; 1 ; = x 1 = ; x ln a = cos x; = − sin x;

7. 8.

0

(sin x) (cos x)0

,

f (x) = c je konstantn´ı funkce,

n ∈ N, x ∈ R; x ∈ R;

n ∈ Z , x ∈ R \ {0} ;

x ∈ R, a ∈ (0; ∞); x ∈ R \ {0}; x ∈ R \ {0}; a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞); x ∈ R; x ∈ R;

n ∈ R , x > 0;


50 9. (sinh x)0 10. (cosh x)0 11. (tg x)0 12. (cotg x)0 13. (tgh x)0 14. (cotgh x)0 15. (arcsin x)0 16. (arccos x)0 17. (arctg x)0 18. (arccotg x)0 19. (argsinh x)0 20. (argcosh x)0 21. (argtgh x)0 22. (argcotgh x)0

= cosh x;

x ∈ R;

= sinh x; 1 = ; cos2 x −1 = ; sin2 x 1 = ; cosh2 x −1 = ; sinh2 x 1 = √ ; 1 − x2 −1 = √ ; 1 − x2 1 = ; 1 + x2 −1 = ; 1 + x2 1 = √ ; 2 x +1 1 = √ ; 2 x −1 1 = ; 1 − x2 1 = ; 1 − x2

x ∈ R; π x 6= (2k + 1) , k ∈ Z; 2 x 6= kπ; k ∈ Z; x ∈ R; x ∈ R − {0}; x ∈ (−1, 1); x ∈ (−1, 1); x ∈ R; x ∈ R; x ∈ R; x ∈ (1, ∞); x ∈ (−1, 1); x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞).

D˚ ukaz: Ad 1. Staˇc´ı pˇrej´ıt k limitˇe v rovnosti (f (x + h) − f (x))/h = (c − c)/h = 0. Ad 2. D˚ ukaz tvrzen´ı uvedeme pouze pro n celá. Pro n ∈ N provedeme d˚ ukaz indukc´ı. Pro n = 1 staˇc´ı dosadit do definiˇcn´ıho vztahu pro derivaci a ihned dostaneme x0 = 1. Pˇredpokládejme, ˇze plat´ı (xn−1 )0 = (n − 1)xn−2 . Pak je (xn )0 = (x · xn−1 )0 = x0 xn−1 + x(xn−1 )0 = xn−1 + x · (n − 1)xn−2 = xn−1 + (n − 1)xn−1 = nxn−1 . Nyn´ı dokáˇzeme tvrzen´ı pro n celá záporná. Poloˇz´ıme m = −n a pouˇzijeme vˇetu o derivován´ı pod´ılu. Dostaneme (xn )0 = (1/xm )0 = (−mxm−1 )/(x2m ) = −mx−m−1 = nxn−1 . Ad 3. Vyuˇzije se rovnost (ex+h − ex )/h = ex (eh − 1)/h a vztah a) z (2.29). Ad 4. Vyuˇzije se rovnost ax = ex ln a , tvrzen´ı 3. a vˇeta o derivován´ı sloˇzené funkce. Ad 5. Vyuˇzije se tvrzen´ı 4. a vˇeta o derivován´ı inverzn´ı funkce. Oznaˇc´ıme-li y = ln x, pak x = ey a podle (3.13) plat´ı (ln x)0 = 1/(ey )0 = 1/ey = 1/x . Ad 6. Jelikoˇz y = loga x právˇe tehdy, kdyˇz x = ay = ey ln a , je ln x = y ln a = loga x ln a. Staˇc´ı tedy vyuˇz´ıt rovnost loga x = ln x/ ln a a tvrzen´ı 5. Ad 7. Vyuˇzije se rovnost sin x + h/2 + h/2 − sin x + h/2 − h/2 sin(x + h) − sin x = = h h 2 cos x + h/2 sin h/2 h sin h/2 = = cos x + h 2 h/2 a vztah (2.25) Ad 8. Vyuˇzije se rovnost cos x = sin(x + π/2) a pˇredchoz´ı tvrzen´ı. Ad 9. (sinh x)0 = ((ex − e−x )/2)0 = (ex + e−x )/2 = cosh x. Ad 10. (cosh x)0 = ((ex + e−x )/2)0 = (ex − e−x )/2 = sinh x. Ad 11. Pouˇzijeme vˇetu o derivaci pod´ılu na tg x = sin x/ cos x a vztah (1.51). Ad 12. Staˇc´ı pouˇz´ıt vˇetu o derivaci pod´ılu na cotg x = cos x/ sin x a vztah (1.51).


51

Ad 13. Staˇc´ı pouˇz´ıt vˇetu o derivaci pod´ılu na tgh x = sinh x/ cosh x a vztah (1.75). Ad 14. Staˇc´ı pouˇz´ıt vˇetu o derivaci pod´ılu na cotgh x = cosh x/ sinh x a vztah (1.75). Ad 15. Vyuˇzijeme vˇetu o derivován´ı inverzn´ı funkce. Oznaˇc´ıme-li y = arcsin x, pak x = sin y a podle (3.13) plat´ı 1 1 1 1 =√ . (arcsin x)0 = = =p 2 (sin y)0 cos y 1 − x2 1 − sin y Ad 16. D˚ ukaz je podobn´ y d˚ ukazu pˇredchoz´ıho tvrzen´ı. Ad 17. Vyuˇzijeme vˇetu o derivován´ı inverzn´ı funkce. Oznaˇc´ıme-li y = arctg x, pak x = tg y a podle (3.13) plat´ı 1 1 1 cos2 y 2 (arctg x)0 = = = = cos . y = 2 2 2 (tg y)0 1 + x2 1 + tg y cos y + sin y Ad 18. D˚ ukaz je podobn´ y d˚ ukazu pˇredchoz´ıho tvrzen´ı. Ad 19. Ve zb´ yvaj´ıc´ıch d˚ ukazech vyuˇz´ıváme vˇetu o derivován´ı inverzn´ı funkce. Oznaˇc´ıme-li y = argsinh x, pak x = sinh y a podle (3.13) plat´ı (argsinh x)0 =

1 1 1 1 = =p =√ . 2 2 (sinh y)0 cosh y x +1 sinh y + 1

Ad 20. Oznaˇc´ıme-li y = argcosh x, pak x = cosh y a podle (3.13) plat´ı (argcosh x)0 =

1 1 1 1 =√ = =p . 2 2−1 (cosh y)0 sinh y x cosh y − 1

Ad 21. Oznaˇc´ıme-li y = argtgh x, pak x = tgh y a podle (3.13) plat´ı (argtgh x)0 =

1 1 1 cosh2 y 2 = = = cosh y = . 2 2 2 0 (tgh y) 1 − x2 cosh y − sinh y 1 − tgh y

Ad 22. Oznaˇc´ıme-li y = argcotgh x, pak x = cotgh y a podle (3.13) plat´ı (argcotgh x)0 =

sinh2 y 1 1 1 2 = − sinh y = − =− = . 2 2 2 0 (cotgh y) 1 − x2 cosh y − sinh y cotgh y − 1

Derivace obecn´ e mocniny funkc´ı Je-li h(x) = f (x)g(x) , f (x) > 0, pak derivaci h0 (x) poˇc´ıt´ ame pomoc´ı identity h(x) = f (x)g(x) = eg(x) ln f (x)

(3.14)

jako derivaci sloˇzené funkce. Pˇri derivov´ an´ı této funkce se setkáváme s derivac´ı (ln f (x))0 = f 0 (x)/f (x), která se obvykle naz´ yvá logaritmick´ a derivace. Pˇ r´ıklady 1. Máme naj´ıt derivaci dané funkce f (x). a) f (x) = 3x4 − 2x2 + 7x + 12, x ∈ R. ˇ sen´ı: Podle 3.1.3.2 je f 0 (x) = 12x3 − 4x + 7. Reˇ x4 − 2 b) f (x) = 2 , x ∈ R \ {−2, 2}. 3x − 12 ˇ sen´ı: Podle 3.1.3.2 a vˇety o derivaci pod´ılu funkc´ı je Reˇ f 0 (x) =

4x3 (3x2 − 12) − (x4 − 2)6x 6x5 − 48x3 + 12x = . 2 2 (3x − 12) 9x4 − 72x2 + 144


52

c) f (x) = (x4 − 9x2 + 12)3 , x ∈ R. ˇ sen´ı: Pouˇzijeme vˇetu o derivaci sloˇzené funkce h(g(x)), kde g(x) = x4 −9x2 +12 a h(y) = y 3 . Dostaneme Reˇ tak f 0 (x) = 3(x4 − 9x2 + 12)2 (4x3 − 18x). 2 x d) f (x) = , x ∈ (−1, 1). 1 − x2 ˇ sen´ı: Pomoc´ı vˇet o derivaci sloˇzené funkce a pod´ılu funkc´ı dostaneme Reˇ f 0 (x) = 2 e) f (x) =

√ 3

2 x2 − √ , x

x x0 (1 − x2 ) − x(1 − x2 )0 2x(1 + x2 ) = . 1 − x2 (1 − x2 )2 (1 − x2 )3

x > 0.

ˇ sen´ı: Podle pravidla o derivován´ı obecné mocniny dostáváme Reˇ √ 0 2 2 3 0 2 f (x) = x −√ = (x2/3 − 2x−1/2 )0 = x−1/3 + x−3/2 . 3 x f) f (x) = sin(4x2 + 5) , x ∈ R. ˇ sen´ı: Podle vˇety o derivaci sloˇzené funkce je f 0 (x) = (sin(4x2 +5))0 = cos(4x2 +5)·8x = 8x cos(4x2 +5). Reˇ g) f (x) = (sin(4x2 + 5))3 , x ∈ R. ˇ sen´ı: Podle vˇety o derivaci sloˇzené funkce je f 0 (x) = ((sin(4x2 + 5))3 )0 = 3(sin(4x2 + 5))2 cos(4x2 + Reˇ 5)8x = 24x sin2 (4x2 + 5) cos(4x2 + 5). h) f (x) = sin(4x2 + 5)3 , x ∈ R. ˇ sen´ı: Podle vˇety o derivaci sloˇzené funkce je f 0 (x) = (sin(4x2 + 5)3 )0 = cos(4x2 + 5)3 3(4x2 + 5)2 8x = Reˇ 24x(4x2 + 5)2 cos(4x2 + 5)3 . i) f (x) = ln tg x , x ∈ (0, π/2). ˇ sen´ı: Podle vˇety o derivován´ı sloˇzené funkce plat´ı Reˇ f 0 (x) = (ln tg x)0 =

1 1 1 1 2 (tg x)0 = = = . tg x tg x cos2 x sin x cos x sin 2x

j) f (x) = x2x , x > 0. ˇ sen´ı: Pouˇzijeme nejdˇr´ıve vztah (3.14) a pak vˇety o derivaci sloˇzené funkce a souˇcinu funkc´ı. Dostaneme Reˇ f 0 (x) = (x2x )0 = (e2x ln x )0 = e2x ln x (2x ln x)0 = e2x ln x (2 ln x + 2) = 2x2x (1 + ln x). k) f (x) = (cos x)sin x , x ∈ (−π/2, π/2). ˇ sen´ı: Je f 0 (x) = esin x ln cos x 0 = (cos x)sin x (cos x ln cos x − (sin2 x)/ cos x). Reˇ 1 , x ∈ R. 1 + x2 ˇ sen´ı: Podle vˇety o derivaci sloˇzené funkce je Reˇ l) f (x) = arctg

0

f (x) =

1+

1 1 1 + x2

2

1 1 + x2

0 =

−2x . x4 + 2x2 + 2

2. Máme naj´ıt obˇe jednostranné derivace dané funkce f (x) v bodˇe 0. a) f (x) = |x|, x ∈ R. ˇ Reˇsen´ı: Pro x > 0 je f (x) = x, pro x < 0 je f (x) = −x, takˇze podle (3.7) je f 0 (0+) = 1 a f 0 (0−) = −1. b) f (x) = |x3 |, x ∈ R. ˇ sen´ı: Pro x > 0 je f (x) = x3 , f 0 (x) = 3x2 , takˇze derivaci f 0 (0+) m˚ Reˇ uˇzeme poˇc´ıtat jako limitu f 0 (0+) = 0 2 lim f (x) = lim 3x = 0. x→0+

x→0+

Analogicky pro x < 0 je f (x) = −x3 , f 0 (x) = −3x2 , ale pˇresto dostaneme pro derivaci zleva stejnou hodnotu f 0 (0−) = 0.


53

´ Ulohy 1. Vypoˇc´ıtejte derivaci zadané funkce f (x), kde a) f (x) = (x3 − 2x2 + 1)(2x3 + x2 − x) , x2 − 1 b) f (x) = 2 , x ∈ R. x +1 1 + ln x c) f (x) = , x ∈ (0, ∞). x 2

d) f (x) = 2x ,

x ∈ R.

[12x5 − 15x4 − 12x3 + 12x2 + 2x − 1.] 4x . (x2 + 1)2 ln x − 2 . x [2x

x ∈ R.

e) f (x) = e2x ln x ,

√

g) f (x) = log(x +

x ∈ (0, ∞). 1 + x2 ) ,

h) f (x) = ln(ln(ln x)) , i) f (x) = arcsin

√

x,

x ∈ R.

x ∈ (e, ∞). x ∈ (0, 1).

j) f (x) = arccotg(tg x) ,

x ln 2.]

x ∈ (−π/2, π/2).

[−1.]

ln x

k) f (x) = x , x ∈ (0, ∞). 1 x cos x l) f (x) = ln tg − , 2 2 2 sin2 x m) f (x) = −x cotg x + ln sin x − n) f (x) = x arctg

+1

[2x2x (1 + ln x).] 1 . (x2 + 1) arctg x 1 √ . ln 10 · 1 + x2 1 . x ln x ln(ln x) " # 1 p . 2 x(1 − x)

x ∈ (0, ∞).

f) f (x) = ln arctg x ,

2

ln x−1

[2x x ∈ (0, π). x2 , 2

x−1 1 − ln(x2 + 1) , x+1 2

ln x.] 1 . sin3 x

[x cotg2 x.] x−1 arctg . x+1

x ∈ (0, π). x 6= −1.

2. Najdˇete obˇe jednostranné derivace dané funkce f (x) v bodˇe 0. a) f (x) = e−|x| , √ 3 b) f (x) = x2 ,

x ∈ R.

[f 0 (0−) = 1, f 0 (0+) = −1.]

x ∈ R.

[f 0 (0−) = −∞, f 0 (0+) = ∞.]

3. Naleznˇete rovnice teˇcny ke grafu funkce f (x) v bodˇe a = (a1 , ?), kde h 1 − ln x π i a) f (x) = arccotg , a1 = 1. y =x−1+ . 1 + ln x 4 1 1 b) f (x) = ln , a1 = 1. [y = −x + 1.] x x c) f (x) = (x2 − 1)sin x , a1 = π. [y = −x ln(π 2 − 1) + π ln(π 2 − 1) + 1.] d) f (x) = (cos x)cosh x + 3x, a1 = 0. 4. Naleznˇete rovnice normály ke grafu funkce f (x) v bodˇe a = (a1 , ?), kde cosh x 1 + e2x , a1 = 0. a) f (x) = 1 − x2 b) f (x) = (sin x)2x + x2 , a1 = π/2. c) f (x) = (cos x)cosh x + 3x, a1 = 0. d) f (x) = ln √

x 1 , a1 = . 2 1 − x2 2

e) f (x) = (sin x)x + 3 cos x, a1 = π/2. f) f (x) = (4 − x2 )sin x + 3 cos x, a1 = 0.

[y = 3x + 1.]

1 y = − x + 2. 2 1 3 π2 [y = − x + + .] 2 4 π 1 y = − x + 1. 3 √ 3 3 y =− x+ − ln 3. 8 16 π 1 [y = x + 1 − .] 3 6 1 y=− x + 4. ln 4


54

3.1.4

Derivace vyˇ sˇ s´ıho ˇ r´ adu; diferenci´ al funkce

Derivace funkce n–t´ eho ˇ r´ adu Má-li funkce f 0 derivaci v kaˇzdém bodˇe intervalu I, pak jej´ı derivaci f 00 = (f 0 )0 naz´ yváme druhou derivac´ı funkce f na intervalu I. Je-li n ∈ N , n = 2, 3, · · · , pak n–tou derivaci funkce f na intervalu I definujeme rekursivnˇe vztahem f (n) (x) =

d (n−1) f (x) , dx

x∈I,

(3.15)

pokud tyto derivace na I existuj´ı. P´ıˇseme pak také dn f , dxn

dn f (x) , dxn

dn f (x) dxn

apod.

(3.16)

a mluv´ıme o derivaci n–tého ˇr´ adu na intervalu I. Je-li I = Df , mluv´ıme pak o n–té derivaci funkce f nebo o derivaci n–tého ˇra ´du funkce f . Pro sjednocen´ı symboliky zavád´ıme oznaˇcen´ı f (0) ≡ f . Leibnizovo1 pravidlo Maj´ı-li funkce u, v derivace n–tého ˇrádu, pak plat´ı (uv)(n) =

n X n (k) (n−k) u v . k

(3.17)

k=0

Speciálnˇe (uv)0 = uv 0 + u0 v,

(uv)00 = uv 00 + 2u0 v 0 + u00 v,

(uv)000 = uv 000 + 3u0 v 00 + 3u00 v 0 + u000 v.

Line´ arn´ı aproximace funkce Jak v´ıme, derivace funkce f v bodˇe x0 je definovaná vztahem f 0 (x0 ) = lim

x→x0

0

f (x)−f (x0 ) x−x0

. Pˇredpokládejme,

ˇze existuje derivace f v bodˇe x0 . Pak v nˇejakém okol´ı U(x0 , δ) plat´ı pˇribliˇzn´ y odhad

nebo

. f (x) − f (x0 ) f 0 (x0 ) = , x − x0

(3.18)

. f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) .

(3.19)

Tato rovnost popisuje aproximaci funkˇcn´ıch hodnot funkce f pomoc´ı hodnot lineárn´ı funkce, nebo názornˇeji, aproximaci grafu funkce f v okol´ı bodu (x0 , f (x0 )) pomoc´ı jeho teˇcny v tomto bodˇe, jak je ukáz´ ano na obr. 3.2. y

f (x0 + h) f t 0 y = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) f (x0 ) x x0 x = x0 + h a) aproximace v soustavˇe xy

z = y − f (x0 )

t z = f 0 (x0 ) h h = x − x0 f

b) aproximace v soustavˇe zh

Obrázek 3.2: Ilustrace lineárn´ı aproximace Posuˇ nme v obrázku poˇcátek do bodu (x0 , f (x0 )), oznaˇcme osy h = x − x0 , z = y − f (x0 ). Pak náˇs vztah pro aproximaci m˚ uˇzeme psát ve tvaru . f (x0 + h) = f (x0 ) + f 0 (x0 )h .

(3.20)

1 Leibniz, Gottfried W. (1646-1716), velik´ y nˇ emeck´ y filozof, matematik a fyzik, st´ al u zrodu diferenci´ aln´ıho a integr´ aln´ıho poˇ ctu (souˇ casnˇ e s Newtonem)


55

Definice diferenci´ alu funkce Má-li funkce f v bodˇe x0 derivaci f 0 (x0 ), pak lineárn´ı funkci promˇenné h ∈ R definovanou vztahem df (x0 ; h) = f 0 (x0 )h

(3.21)

naz´ yváme (prvn´ım) diferenci´ alem funkce f v bodˇe x0 . Pozn´ amka Identická funkce y = x má v kaˇzdém bodˇe derivaci 1, takˇze m´ısto dx(x0 ; h) = h p´ıˇseme jen dx. Proto se nˇekdy p´ıˇse df (x0 ; dx) = f 0 (x0 ) dx. T´ım je motivovaná také symbolika pro derivaci f 0 (x0 ) = df sak nutné si uvˇedomit, ˇze zde df a dx nepˇredstavuj´ı diferenciály, ale ˇze formáln´ı dx (x0 ). Je vˇ pod´ıl df je nedˇ e liteln´ y symbol oznaˇcuj´ıc´ı derivaci funkce f podle promˇenné x. dx Má-li funkce f v bodˇe x0 n-tou derivaci f (n) (x0 ), pak mocninnou funkci promˇenné h ∈ R definovanou vztahem dn f (x0 ; h) = f (n) (x0 )hn (3.22) naz´ yváme diferenci´ alem n–tého ˇr´ adu funkce f v bodˇe x0 Pˇ r´ıklady 1. Máme naj´ıt 2. derivaci funkce f (x) = x sin x , x ∈ R. ˇ sen´ı: Podle definice derivace 2. ˇrádu je f 00 (x) = (f 0 (x))0 , takˇze f 00 (x) = ((x sin x)0 )0 = (sin x+x cos x)0 = Reˇ cos x + cos x − x sin x = 2 cos x − x sin x. p √ 2. Máme naj´ıt hodnotu 2. derivaci funkce f (x) = x sin x2 , x ∈ R , v bodech x = π/2 a x = π/2. ˇ sen´ı: Podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe spoˇc´ıtáme 2. derivaci f 00 (x) = (f 0 (x))0 , tj. Reˇ f 00 (x) = ((x sin x2 )0 )0 = (sin x2 + 2x2 cos x2 )0 = 2x cos x2 + 4x cos x2 − 4x3 sin x2 = 6x cos x2 − 4x3 sin x2 . p √ Do takto spoˇc´ıtané 2. derivace dosad´ıme x = π/2, resp. x = π/2 a dostaneme p p p p p √ f 00 ( π/2) = 6 π/2 cos( π/2)2 − 4( π/2)3 sin( π/2)2 = −π 2π , resp.

√ √ √ √ √ √ f 00 ( π/2) = (6 π/2) cos( π/2)2 − 4( π/2)3 sin( π/2)2 = 2π(6 − π)/4.

3. Máme porovnat hodnoty f (x0 + h) a f (x0 ) + f 0 (x0 )h ze vztahu (3.20) pro funkci f (x) = 2x3 − 4 a bod x0 = 2, jestliˇze a) h = 1; b) h = 0,1; c) h = 0,01. ˇ Reˇsen´ı: Ad a) f (x0 + h) = 2(2 + 1)3 − 4 = 50 , f (x0 ) + f 0 (x0 )h = 2 · 23 − 4 + 6 · 22 · 1 = 36. Ad b) f (x0 + h) = 2(2 + 0,1)3 − 4 = 14,522 , f (x0 ) + f 0 (x0 )h = 2 · 23 − 4 + 6 · 22 · 0,1 = 14,4. Ad c) f (x0 + h) = 2(2 + 0,01)3 − 4 = 12,241202 , f (x0 ) + f 0 (x0 )h = 2 · 23 − 4 + 6 · 22 · 0,01 = 12,24. 4. Máme naj´ıt diferenciál df (x0 ; h) a pˇr´ır˚ ustek f (x0 + h) − f (x0 ) funkce f (x) = x3 + 3x2 + 5 v bodˇe x0 = 1 a urˇcit jejich hodnoty pro h = 0,01. ˇ sen´ı: Pro diferenciál df (x0 ; h) plat´ı df (x0 ; h) = f 0 (x0 )h = (3x2 +6x0 )h = (3·12 +6·1)0,01 = 9·0,01 = Reˇ 0 0,09. Pro pˇr´ır˚ ustek f (x0 + h) − f (x0 ) plat´ı f (x0 + h) − f (x0 ) = (x0 + h)3 + 3(x0 + h)2 + 5 − x30 − 3x20 − 5 = 3 1,01 + 3 · 1,012 + 5 − 13 − 3 · 12 − 5 = 0,090601. 5. Máme naj´ıt pˇribliˇznou hodnotu arctg 0,98. ˇ sen´ı: Pouˇzijeme vztah (3.19), v nˇemˇz klademe f (x) = arctg x, x0 = 1, x − x0 = −0,02, f 0 (x) = Reˇ 1/(1 + x2 ). Pak je . arctg 0,98 = arctg 1 + (arctg x)0

x=1

· (−0,02) =

π 1 . + · (−0,02) = 0,784 . 4 1 + 12

6. Máme naj´ıt diferenciál 3. ˇrádu funkce f (x) = x3 ex , v libovolném bodˇe x ∈ R. ˇ sen´ı: Podle definice diferenciálu tˇret´ı ˇrádu je d3 f (x; h) = f (3) (x)h3 , takˇze d3 f (x; h) = (x3 ex )(3) h3 = Reˇ ex (x3 + 9x2 + 18x + 6)h3 .


56

´ Ulohy 1. Naleznˇete 2. derivaci zadané funkce a) f (x) = x2 ex ; b) f (x) = ex cos x ; c) f (x) = cos2 x ; d) f (x) = arcsin x . p [a) ex (x2 + 4x + 2); b) −2ex sin x; c) −2 cos 2x; d) x/ (1 − x2 )3 , x ∈ (−1, 1).] 2. Naleznˇete 3. derivaci funkce a)f (x) = xe−x ; b) f (x) = x2 ln x ; c) f (x) = arctg(x/a) . [a) e−x (3 − x); b) 2/x; c) 2a(3x2 − a2 )/(a2 + x2 )3 .] x 3. Naleznˇete n-tou derivaci funkce a) f (x) = xe ; b) f (x) = sin2 x ; c) f (x) = 1/(1 + x) . [a) ex (x + n); b) 2n−1 sin(2x + (n − 1)π/2); c) (−1)n n!/(1 + x)n+1 .] 4. Pomoc´ı Leibnizova pravidla naleznˇete 20. derivaci funkce f (x) = (x2 + 1) sin x. [x2 sin x − 40x cos x − 379 sin x.] 5. Naleznˇete diferenciál df (x0 ; h) funkce f (x) v bodˇe x0 , kde 2 a) f (x) = (sin x)x + x, x0 = π/2. df ( π2 ; h) = h . cosh x 1 b) f (x) = + e2x , x0 = 0. [ df (0; h) = 2h .] 1 − x2 cosh x 1 + e−3x , x0 = 0. [ df (0; h) = −3h .] c) f (x) = e2 − x2 d) f (x) = (sin x)x + 2x, x0 = π/2. df ( π2 ; h) = 2h . √ 6. Pomoc´ı diferenciálu máme naj´ıt pˇribliˇznou hodnotu a) 21,003 ; b) ln 1,1 ; c) 80. [a) 2,004 ; b) 0,1 ; c) 8,94.] 2 7. Naleznˇete diferenciál 4. ˇrádu funkce f (x) = cos x , v libovolném bodˇe x ∈ R. [(23 cos 2x)h4 .]

3.1.5

Vˇ ety o stˇ redn´ı hodnotˇ e

Rolleova2 vˇ eta Jestliˇze funkce f je spojit´ a v uzavˇreném intervalu ha, bi a m´ a derivaci v kaˇzdém bodˇe otevˇreného intervalu (a, b) a je-li f (a) = f (b), pak existuje alespoˇ n jeden bod ξ ∈ (a, b) takový, ˇze f 0 (ξ) = 0 (viz obr. 3.3 a). y

y f (b)

" " " " " "" " " f " " "" " "" " " " " " " f (a) " x

f f (a) = f (b) a

ξ

b

a) ilustrace Rolleovy vˇety

a

b

b) ilustrace Lagrangeovy vˇety

Obrázek 3.3: Ilustrace vˇet o stˇredn´ı hodnotˇe D˚ ukaz: Je-li funkce f konstantn´ı, je tvrzen´ı zˇrejmé. Nen´ı-li konstantn´ı, pak podle Weierstrassovy vˇety existuje bod ξ ∈ (a, b) tak, ˇze ˇc´ıslo f (ξ) je maximem nebo minimem funkce na intervalu ha, bi. Pˇredpokládejme f (x) − f (x0 ) > 0, mus´ı exisnapˇr., ˇze toto ˇc´ıslo je maximem a ˇze f 0 (x0 ) > 0 . Jelikoˇz je f 0 (x0 ) = lim x→x0 x − x0 f (x) − f (x0 ) tovat prstencové okol´ı P(x0 , δ) takové, ˇze > 0 pro vˇsechna x ∈ P(x0 , δ). Pak je ovˇsem x − x0 f (x) > f (x0 ) pro vˇsechna x ∈ P+ (x0 , δ), coˇz je spor s pˇredpokladem, ˇze f nab´ yvá v bodˇe x0 maximum. Analogicky bychom postupovali v ostatn´ıch pˇr´ıpadech. Lagrangeova3 vˇ eta o pˇ r´ır˚ ustku funkce Je-li funkce f spojit´ a v uzavˇreném intervalu ha, bi a m´ a 2 Rolle, Michel (1652-1719), francouzsk´ y matematik, ˇ clen francouzsk´ e akademie vˇ ed, mˇ el znaˇ cn´ y vliv na rozvoj algebry, zejm´ ena v oblasti rovnic 3 Lagrange, Joseph L. (1736-1813), italsk´ y matematik, p˚ usobil v Tur´ınˇ e, Berl´ınˇ e a Paˇr´ıˇ zi, vˇ enoval se analytick´ e mechanice a teorii funkc´ı


57

derivaci v kaˇzdém bodˇe otevˇreného intervalu (a, b), pak existuje alespoˇ n jeden bod ξ ∈ (a, b) tak, ˇze f (b) − f (a) = f 0 (ξ)(b − a)

(3.23)

(viz obr. 3.3 b) ). D˚ ukaz: Staˇc´ı aplikovat Rolleovu vˇetu na funkci h(x) = (f (x) − f (a))(b − a) − (f (b) − f (a))(x − a). D˚ usledek 1. Necht’ funkce f je spojit´ a v intervalu ha, bi a necht’ v kaˇzdém vnitˇrn´ım bodˇe x intervalu ha, bi 0 m´ a derivaci f (x) = 0. Pak tato funkce je v intervalu ha, bi konstantn´ı. D˚ ukaz: Zvolme bod c ∈ ha, bi. Pak pro kaˇzd´ y bod x ∈ ha, bi podle Lagrangeovy vˇety existuje bod ξ ∈ (a, b) takov´ y, ˇze f (x) − f (c) = f 0 (ξ)(x − c) = 0. Tedy f (x) = f (c) pro kaˇzdé x ∈ ha, bi. D˚ usledek 2. Necht’ funkce f, g jsou spojité v intervalu ha, bi, necht’ v kaˇzdém vnitˇrn´ım bodˇe x intervalu ha, bi maj´ı derivace, necht’ f (a) = g(a) a necht’ f 0 (x) < g 0 (x) pro vˇsechna x ∈ (a, b). Potom je f (x) < g(x) pro vˇsechna x ∈ (a, b). D˚ ukaz: Funkce h(x) = g(x) − f (x) splˇ nuje pˇredpoklady Lagrangeovy vˇety v intervalu ha, xi pro kaˇzdé x ∈ (a, b). Pak podle Lagrangeovy vˇety existuje bod ξ ∈ (a, x) takov´ y, ˇze h(x)−h(a) = h0 (ξ)(x−a). Odtud 0 0 a z pˇredpoklad˚ u f (a) = g(a), f (ξ) < g (ξ) a x −a > 0 plynou vztahy h(x) −h(a) = g(x) −f (x), h0 (ξ) = 0 0 g (ξ) − f (ξ) > 0, takˇze g(x) − f (x) = h(x) − h(a) = h0 (ξ)(x − a) > 0, a tedy g(x) > f (x) pro kaˇzdé x ∈ (a, b). D˚ usledek 3. Necht’ funkce f je spojit´ a v intervalu ha, bi a necht’ v kaˇzdém vnitˇrn´ım bodˇe intervalu ha, bi m´ a derivaci. Je-li f (a) = f (b) = 0, tj. jsou-li body a, b nulovými body funkce f , pak mezi nimi leˇz´ı alespoˇ n jeden nulový bod derivace f 0 . Speci´ alnˇe, m´ a-li funkce f v kaˇzdém bodˇe x ∈ R spojitou derivaci, pak mezi kaˇzdými dvˇema jej´ımi nulovými body leˇz´ı alespoˇ n jeden nulový bod jej´ı derivace. D˚ ukaz: Tvrzen´ı plyne bezprostˇrednˇe z Rolleovy vˇety. Pˇ r´ıklady 1. Máme naj´ıt bod ξ, v nˇemˇz funkce f (x) = arctg x na intervalu h0, 1i splˇ nuje tvrzen´ı Lagrangeovy vˇety. ˇ Reˇsen´ı: Zˇrejmˇe funkce arctg x splˇ nuje pˇredpoklady Lagrangeovy vˇety na intervalu h0, 1i,p takˇze bod ξ existuje a plat´ı pro nˇej f 0 (ξ)(b − a) = 1/(1 + ξ 2 ) = arctg 1 − arctg 0 = π/4 − 0. Odtud ξ = 4/π − 1. 2. Máme ukázat, ˇze na intervalu h−1, 1i plat´ı rovnost arcsin x + arccos x = π/2. ˇ sen´ı: Nejdˇr´ıve ukáˇzeme, ˇze funkce arcsin x + arccos x je konstantn´ı. Jelikoˇz tato funkce splˇ Reˇ nuje pˇredpoklady Lagrangeovy vˇety a plat´ı (arcsin x + arccos x)0 = √

1 1 −√ = 0, 2 1−x 1 − x2

m˚ uˇzeme pouˇz´ıt D˚ usledek 1. Z nˇej plyne, ˇze funkce arcsin x + arccos x je konstantn´ı. Nyn´ı staˇc´ı naj´ıt jej´ı hodnotu v nˇekterém jednom bodˇe, napˇr. v bodˇe x = 0. Tam plat´ı arcsin 0 + arccos 0 = π/2, ˇc´ımˇz je tvrzen´ı dokázáno. Cauchyova vˇ eta Necht’ funkce f, g jsou spojité v uzavˇreném intervalu ha, bi, necht’ maj´ı derivaci v kaˇzdém bodˇe otevˇreného intervalu (a, b) a necht’ g 0 (x) 6= 0 pro vˇsechna x ∈ (a, b). Pak existuje alespoˇ n jeden bod ξ ∈ (a, b) tak, ˇze f (b) − f (a) f 0 (ξ) = 0 . g(b) − g(a) g (ξ) D˚ ukaz: Protoˇze pro kaˇzdé x ∈ (a, b) je g 0 (x) 6= 0, plyne z Rolleovy vˇety, ˇze g(a) 6= g(b). Vˇeta pak plyne bezprostˇrednˇe z Rolleovy vˇety aplikované na funkci h(x) = f (x) −

f (b) − f (a) (g(x) − g(a)). g(b) − g(a)


58

3.1.6

L’Hospitalovo pravidlo

Formulace l’Hospitalova4 pravidla Necht’ a ∈ R∗ a necht’ lim f (x) = lim g(x) = 0, resp. lim |f (x)| = lim |g(x)| = ∞.

x→a

x→a

x→a

(3.24)

x→a

f 0 (x) f (x) , pak existuje také lim a plat´ı x→a g 0 (x) x→a g(x)

Existuje-li lim

f (x) f 0 (x) = lim 0 . x→a g(x) x→a g (x) lim

(3.25)

Analogické tvrzen´ı plat´ı pro jednostranné limity. D˚ ukaz: Pro ˇctenáˇre, kter´ y si chce toto tvrzen´ı dokázat, uvedeme návod. Kv˚ uli jednoduchosti zápisu ho uvedeme pro limity zprava. Z existence limity lim (f 0 (x)/g 0 (x)) plyne existence pravého okol´ı (a, x1 ) bodu a takového, ˇze na intervalu x→a

ha, x1 i jsou splnˇeny pˇredpoklady Cauchyovy vˇety. Je-li splnˇen prvn´ı pˇredpoklad v (3.24), m˚ uˇzeme pˇredpokládat, ˇze f (a) = g(a) = 0. Kdyby funkce v bodˇe a nebyly definovány, tak je tam právˇe tˇemi nulov´ ymi hodnotami limity spojitˇe dodefinujeme. Pak podle Cauchyovy vˇety pro kaˇzdé x ∈ (a, x1 ) existuje bod ξ ∈ (a, x) tak, ˇze f (x) f (x) − f (a) f 0 (ξ) = = 0 . g(x) g(x) − g(a) g (ξ) Odtud jiˇz pomˇernˇe snadno plyne dokazovaná existence limity a rovnost (3.25). Podstatnˇe komplikovanˇejˇs´ı je situace, která nastává, je-li splnˇen druh´ y pˇredpoklad v (3.24). Ted’ nem˚ uˇzeme pracovat s hodnotami funkc´ı v bodˇe a. Avˇsak pro kaˇzdé x ∈ (a, x1 ) m˚ uˇzeme aplikovat Cauchyovu vˇetu na interval hx, x1 i. Podle n´ı existuje bod ξ ∈ (x, x1 ) tak, ˇze f 0 (ξ) f (x) − f (x1 ) = 0 . g(x) − g(x1 ) g (ξ) Odtud f (x) − f (x1 ) = (g(x) − g(x1 ))

f 0 (ξ) g 0 (ξ)

a po vydˇelen´ı obou stran hodnotou g(x) dostaneme rovnost f (x) f (x1 ) g(x1 ) f 0 (ξ) = + 1− . g(x) g(x) g(x) g 0 (ξ) Pomoc´ı této rovnosti lze jiˇz dokázat jak existenci limity, tak i rovnost (3.25). Pˇri d˚ ukazu je nutné vyuˇz´ıt jak skuteˇcnosti, ˇze kdyˇz bod x1 je bl´ızko bodu a, je i ˇc´ıslo ξ bl´ızké ˇc´ıslu a, tak i toho, ˇze lim (f (x1 )/g(x)) = lim (g(x1 )/g(x)) = 0.

x→a

x→a

Pouˇ zit´ı derivac´ı vyˇ sˇ s´ıho ˇ r´ adu Splˇ nuj´ı-li derivace f 0 a g 0 pˇredpoklady tvrzen´ı z pˇredchoz´ıho odstavce, m˚ uˇzeme na pod´ıl derivac´ı opˇet pouˇz´ıt l’Hospitalovo pravidlo a pokraˇcovat tak dlouho, dokdy nedostaneme pod´ıl, o nˇemˇz m˚ uˇzeme tvrdit, ˇze jeho limita neexistuje, anebo dostaneme hledanou limitu. Dalˇ s´ı moˇ znosti pouˇ zit´ı L‘Hospitalova pravidla 0 ∞ Na pˇr´ıpady , resp. lze pˇrevést i dalˇs´ı pˇr´ıpady. 0 ∞ (a) Jestliˇze f → 0, |g| → ∞, pak pro jej´ıch souˇcin plat´ı f g → 0∞, kde souˇcin 0∞ nen´ı definován. f , kde nyn´ı f (x) → 0, 1/g(x) → 0. Naˇsi u ´lohu jsme tak pˇrevedli na Provedeme proto u ´pravu f g = 1/g 4 de l’Hospital, Guillaume F. A. (1661-1704), francouzsk´ y matematik, autor prvn´ı uˇ cebnice diferenci´ aln´ıho a integr´ aln´ıho poˇ ctu (r. 1696)


59

0 v´ ypoˇcet limity typu . Analogicky pro opaˇcnou volbu u ´pravy ˇcitatele a jmenovatele dostaneme zlomek 0 g ∞ → . 1/f ∞ (b) Jestliˇze f → ∞ , g → ∞ , pak pro jej´ıch rozd´ıl plat´ı (f − g) → (∞ − ∞), kde rozd´ıl ∞ − ∞ nen´ı 1 1 1/g − 1/f definován. Provedeme proto u ´pravu f − g = − = , kde nyn´ı 1/g(x) − 1/f (x) → 0, 1/f 1/g (1/g)(1/f ) 0 (1/f (x))(1/g(x)) → 0. Naˇsi u ´lohu jsme tak pˇrevedli na v´ ypoˇcet limity typu . 0 (c) Jestliˇze f → ∞ , g → 0 , pak pro jej´ıch mocninu plat´ı f g → ∞0 , kde mocnina ∞0 nen´ı definovaná. Provedeme proto u ´pravu f g = eg ln f → e∞0 , coˇz je pˇr´ıpad (b). (d) Jestliˇze f → 1 , g → ∞ , pak pro jej´ıch mocninu plat´ı f g → 1∞ , kde mocnina 1∞ nen´ı definovaná. Provedeme proto u ´pravu f g = eg ln f → e∞0 . To je opˇet pˇr´ıpad (b). (e) Jestliˇze f → 0 , g → 0 , pak pro jej´ıch mocninu plat´ı f g → 00 , kde mocnina 00 nen´ı definovaná. Provedeme proto u ´pravu f g = eg ln f → e∞0 . Pˇrevedli jsme i tuto u ´lohu na v´ ypoˇcet limity typy (b). Pozn´ amka V (2.29) jsme uvedli 6 pˇr´ıklad˚ u limit, aniˇz jsme pˇr´ısluˇsná tvrzen´ı dokazovali. Nyn´ı si ukáˇzeme jejich v´ ypoˇcet pomoc´ı l’Hospitalova pravidla. Uvˇedomme si, ˇze tento v´ ypoˇcet je zaloˇzen na znalosti derivac´ı. Pˇri odvozován´ı nˇekter´ ych z tˇechto derivac´ı jsme právˇe poˇc´ıtané limity pouˇz´ıvali. Proto nelze v´ ypoˇcty tˇechto limit pomoc´ı l’Hospitalova pravidla povaˇzovat za d˚ ukazy tvrzen´ı z (2.29) . ex − 1 a) lim = 1. x→0 x ˇ sen´ı: Jde o limitu pod´ılu f (x)/g(x), kde f (x) = ex − 1 → 0 a g(x) = x → 0 pro x → 0. Jelikoˇz je Reˇ f 0 (x) = ex → 1 pro x → 0 a g 0 (x) = 1, limita pod´ılu derivac´ı existuje a je 1. ln(1 + x) b) lim = 1. x→0 x ˇ sen´ı: Jde o limitu pod´ılu f (x)/g(x), kde f (x) = ln(1 + x) → 0 a g(x) = x → 0 pro x → 0. Jelikoˇz je Reˇ f 0 (x) = 1/(1 + x) → 1 pro x → 0 a g 0 (x) = 1, má pod´ıl derivac´ı limitu 1. c) lim x ln x = 0. x→0+

ˇ sen´ı: Máme naj´ıt limitu souˇcinu dvou funkc´ı, z nichˇz jedna má v bodˇe 0 limitu 0 a druhá limitu ∞. Reˇ Tuto u ´lohu pˇrevedeme na limitu pod´ılu f (x)/g(x), kde f (x) = ln x → −∞ a g(x) = 1/x → ∞ pro x → 0+. Jelikoˇz je f 0 (x) = 1/x a g 0 (x) = −1/x2 , plat´ı pro pod´ıl derivac´ı f 0 (x)/g 0 (x) = −x → 0 pro x → 0. ln x d) lim = 0. x→∞ x ˇ sen´ı: Jde o limitu pod´ılu f (x)/g(x), kde f (x) = ln x → ∞ a g(x) = x → ∞ pro x → ∞. Jelikoˇz je Reˇ f 0 (x) = 1/x → 0 pro x → ∞ a g 0 (x) = 1, má pod´ıl derivac´ı limitu 0. ex e) lim k = ∞ pro vˇsechna k ∈ N. x→∞ x ˇ sen´ı: Máme naj´ıt limitu pod´ılu f (x)/g(x), kde f (x) = ex → ∞ a g(x) = xk → ∞ pro x → ∞. Nyn´ı Reˇ je f 0 (x) = ex → ∞ pro x → ∞ a g 0 (x) = kxk−1 . Je-li k = 1, je g 0 (x) = 1 a tvrzen´ı je dokázáno. Je-li k > 1, opakujeme derivován´ı ˇcitatele i jmenovatele k-krát, aˇz dospˇejeme k situaci, kdy g (k) (x) = k!. Pak má pod´ıl k-t´ ych derivac´ı limitu ∞, a tedy lim (ex /xk ) = · · · = lim (ex /k!) = ∞. x→∞

x→∞

sin x = 1 (viz také vztah (2.25) a jeho d˚ ukaz). f) lim x→0 x ˇ sen´ı: Máme naj´ıt limitu pod´ılu f (x)/g(x), kde f (x) = sin x → 0 a g(x) = x → 0 pro x → 0. Jelikoˇz je Reˇ f 0 (x) = cos x → 1 pro x → 0 a g 0 (x) = 1, má pod´ıl derivac´ı limitu 1. Pˇ r´ıklady Pomoc´ı l’Hospitalova pravidla máme naj´ıt následuj´ıc´ı limity. sin x . 1. lim x x→0 e − 1 ˇ sen´ı: Jde o limitu pod´ılu f (x)/g(x), kde f (x) = sin x → 0 a g(x) = ex − 1 → 0 pro x → 0. Jelikoˇz je Reˇ f 0 (x) = cos x → 1 pro x → 0 a g 0 (x) = ex → 1 pro x → 0, má pod´ıl derivac´ı, a tedy i dan´ y pod´ıl limitu 1.


60

x3 . x→0 x − sin x ˇ sen´ı: Jde o limitu pod´ılu f (x)/g(x), kde f (x) = x3 → 0 a g(x) = x − sin x → 0 pro x → 0. Jelikoˇz je Reˇ f 0 (x) = 3x2 → 0 pro x → 0 a g 0 (x) = 1 − cos x → 0 pro x → 0, pouˇzijeme opˇet stejné pravidlo. Tento postup zopakujeme jeˇstˇe jednou. Dostaneme tak 2. lim

x3 3x2 6x 6 = lim = lim = lim = 6. x→0 x − sin x x→0 1 − cos x x→0 sin x x→0 cos x lim

x − cos x . x − sin x ˇ sen´ı: Jde o limitu pod´ılu f (x)/g(x), kde f (x) = x − cos x → ∞ a g(x) = x − sin x → ∞ pro x → ∞. Reˇ Jelikoˇz je f 0 (x) = 1 + sin x a g 0 (x) = 1 − cos x, neexistuje pro x → ∞ ani limita ˇcitatele, ani limita jmenovatele. V tomto pˇr´ıpadˇe nevede l’Hospitalovo pravidlo k c´ıli. Z toho vˇsak neplyne, ˇze hledaná limita neexistuje. Staˇc´ı totiˇz cel´ y zlomek zkrátit x, abychom zjistili, ˇze plat´ı 1 − cos x /x x − cos x lim = lim = 1. x→∞ x − sin x x→∞ 1 − sin x /x 3. lim

x→∞

x2 sin 1/x 4. lim . x→0 sin x ˇ sen´ı: Jde opˇet o limitu pod´ılu f (x)/g(x), kde f (x) = x2 sin(1/x) → 0 a g(x) = sin x → 0 pro x → 0. Reˇ Jelikoˇz je f 0 (x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x) a g 0 (x) = cos x, neexistuje pro x → 0 limita ˇcitatele. V tomto pˇr´ıpadˇe opˇet nevede l’Hospitalovo pravidlo k c´ıli. Hledaná limita vˇsak existuje a m˚ uˇzeme ji spoˇc´ıtat pˇr´ımo. Skuteˇcnˇe plat´ı x2 sin(1/x) x lim = lim lim x sin(1/x) = 1 · 0 = 0. x→0 x→0 sin x x→0 sin x 1 4 5. lim − 2 . x→2 x − 2 x −4 ˇ sen´ı: Pouˇzit´ı vˇety o limitˇe rozd´ılu funkc´ı vede na limitu typu ∞ − ∞. Slouˇc´ıme proto nejdˇr´ıve oba Reˇ zlomky a dostaneme limitu typu 0/0, na kterou jiˇz m˚ uˇzeme pouˇz´ıt l’Hospitalovo pravidlo. Je tedy lim

x→2

x−2 1 1 = lim = . x2 − 4 x→2 2x 4

Pozorn´ y ˇctenáˇr si jistˇe uvˇedomil, ˇze l’Hospitalovo pravidlo jsme zde pouˇz´ıvali zbyteˇcnˇe. Staˇcilo totiˇz prvn´ı zlomek zkrátit dvojˇclenem x−2, abychom dostali limitu funkce spojité v bodˇe 2. Hledanou limitu bychom pak dostali pouh´ ym dosazen´ım do zlomku. 1 1 6. lim − . x→1 ln x x−1 ˇ sen´ı: Pouˇzit´ı vˇety o limitˇe rozd´ılu funkc´ı vede na limitu typu ∞ − ∞. Slouˇc´ıme proto nejdˇr´ıve oba Reˇ zlomky a dostaneme limitu typu 0/0. Na takto z´ıskan´ y pod´ıl pouˇzijeme dvakrát l’Hospitalovo pravidlo. 1 1 x − 1 − ln x 1 − 1/x = lim − = lim = lim x→1 ln x x→1 (x − 1) ln x x→1 ln x + x − 1 /x x−1 = lim

x→1

x−1 1 1 = lim = . x ln x + x − 1 x→1 ln x + 2 2

x 1 ln . x→0+ x

7. lim

x 1 = (− ln x)x = exp(x ln(− ln x)), kde f (x) = − ln x → x ∞ a g(x) = x → 0 pro x → 0+. Jde tedy o limitu typu ∞0 . Exponenciáln´ı funkce je spojitá v bodˇe 0, ln(− ln x) . Dostali jsme limitu typu ∞/∞. Zderivujeme takˇze staˇc´ı naj´ıt limitu lim x ln(− ln x) = lim x→0+ x→0+ 1/x ˇ sen´ı: Jde o limitu mocniny f (x)g(x) = Reˇ

ln


61

ˇcitatele i jmenovatele a po jednoduché u ´pravˇe obdrˇz´ıme lim (−x)/ ln x = 0. Je tedy lim (− ln x)x = x→0+

x→0+

e0 = 1. 8. lim (ex + x)1/x . x→0+

ˇ sen´ı: Jde o limitu mocniny f (x)g(x) = (ex + x)1/x = exp ln(ex + x)/x , kde f (x) = 1/x → ∞ Reˇ a g(x) = ex + x → 1 pro x → 0+. Jde tedy o limitu typu 1∞ . Exponenciáln´ı funkce je spojitá v bodˇe 0, takˇze staˇc´ı naj´ıt limitu lim ln(ex + x)/x, coˇz je limita typu 0/0. Dostali jsme limitu typu x→0+

0/0. Zderivujeme ˇcitatele i jmenovatele a po jednoduché u ´pravˇe obdrˇz´ıme pro limitu pod´ılu derivac´ı lim (ex + 1)/(ex + x) = 2. Je tedy lim (ex + x)1/x = e2 . x→0+

x→0+

9. lim xtg x . x→0+

ˇ sen´ı: Jde o limitu mocniny f (x)g(x) = xtg x = e(tg x) ln x , kde f (x) = x → 0 a g(x) = tg x → 0 Reˇ pro x → 0+. Jde tedy o limitu typu 00 . Exponenciáln´ı funkce je spojitá v bodˇe 0, takˇze staˇc´ı naj´ıt limitu lim (tg x) ln x, coˇz je limita typu 0∞. Souˇcin uprav´ıme na pod´ıl lim (ln x)/ cotg x. Dostali x→0+

x→0+

jsme limitu typu ∞/∞. Zderivujeme dvakrát ˇcitatele i jmenovatele a po jednoduché u ´pravˇe obdrˇz´ıme 2 tg x lim (ln x)/ cotg x = lim (− sin x)/x = lim (−2 sin x cos x) = 0. Je tedy lim x = e0 = 1. x→0+

x→0+

x→0+

x→0+

´ Ulohy Pouˇzit´ım l’Hospitalova pravidla vypoˇctˇete následuj´ıc´ı limity. x4 − 3x + 2 x→1 x2 − 5x + 4 ln(1 − 2x) − sin 3x 4. lim ; x→0 sin 2x − ln(1 + 3x) 1 1 7. lim − : x→0 sin2 x x2 1 1 10. lim − ; x→0 arcsin x sin x x 1 13. lim − ; x→1 x − 1 ln x 1 16. lim + ln x ; x→0+ x 1 1 19. lim − x ; x→0 x e −1

1. lim

22. lim ln x ln(x − 1); x→1+

25. lim (1 + sin2 x)1/ tg x→0

1/ ln x

28. lim (ln 2x) x→∞

2

x

;

;

sin 4x ; x→π sin x 1 − cos x 5. lim ; x→0 2x2 ln cos x 8. lim ; x→0 x tg x − x 11. lim ; x→0 sin x − x2 x − arctg x 14. lim ; x→0 x3 tg2 x 17. lim ; x→0 1 − cos x ln 2x 20. lim √ ; x→∞ x ln sin 2x 23. lim ; x→0+ ln sin x 2. lim

26. lim x2 e−2x ; x→∞

29. lim

x→0+

x2 1 ln ; x→0+ x

√ 3

x ln x;

cos(πx/2) x→1 ln x x − sin x 6. lim ; x→0 x3 ex − 1 9. lim ; x→0 sin x tg x − x 12. lim ; x→0 sin x − x sin2 (x − 2) 15. lim ; x→2 (x2 − 4)2 sin x 18. lim ; x→0 arcsin x ln x 21. lim ; x→0+ ln sin x ln(2 + e3x ) 24. lim ; x→∞ ln(3 + e2x ) 1 27. lim x sin ; x→∞ x 1 30. lim − cotg x) ; x→0+ x 3. lim

tg x 1 ; 33. lim x1/(1−x) ; x→0+ x x→1− 1/x 35. lim ln(x + e) ; 36. lim (1 − x)ln x ; x→0+ x→0+ x 38. lim xsin x ; 39. lim π2 arctg x .

31. lim

32. lim

34. lim (ex + x)1/x ; x→0

37. lim xx ; x→0+

x→∞

x→0+



1. − 1/3 ; 2. − 4 ; 3. − π/2 ; 4. 5 ; 5. 1/4 ; 6. 1/6 ; 7. 1/3 ; 8. 0 ;   9. 1; 10. 0 ; 11. 0 ; 12. − 2 ; 13. 1/2 ; 14. 1/3 ; 15. 1/16 ; 16. + ∞ ;   17. 2 ; 18. 1 ; 19. 1/2 ; 20. 0 ; 21. 1 ; 22. 0 ; 23. 1 ; 24. 3/2 ;    25. e ; 26. 0 ; 27. 1; 28. 1 ; 29. 0 ; 30. 0 ; 31. 1 ; 32. 1 ; 33. 1/e ;

34. e2 ;

35. e1/e ;

36. 1 ;

37. 1 ;

38. 1 ;

39. e−2/π .

       


62

3.1.7

Taylor˚ uv polynom

Taylor˚ uv5 polynom n–t´ eho stupnˇ e funkce f v bodˇ e x0 ’ Necht má funkce f (x) v bodˇe x0 derivace aˇz do ˇrádu n vˇcetnˇe. Taylorovým polynomem n–tého stupnˇe funkce f v bodˇe x0 naz´ yváme polynom Tn f (x0 ; h) = f (x0 ) + f 0 (x0 )h +

1 00 1 (n) f (x0 )h2 + · · · + f (x0 )hn . 2! n!

(3.26)

Pouˇz´ıvá se pro aproximaci funkce f v okol´ı bodu x0 polynomem. Plat´ı totiˇz následuj´ıc´ı Taylorova vˇ eta Necht’ funkce f (x) je definovan´ a v intervalu ha, bi a v intervalu (a, b) m´ a spojité derivace vˇsech ˇr´ ad˚ u. Pak pro kaˇzdé dva body x, x0 ∈ ha, bi existuje bod ξ mezi body x a x0 takový, ˇze plat´ı f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +

1 00 1 (n) f (x0 )(x − x0 )2 + · · · + f (x0 )(x − x0 )n + Rn+1 (x), 2! n!

kde Rn+1 (x) =

1 f (n+1) (ξ)(x − x0 )n+1 . (n + 1)!

(3.27)

(3.28)

Rovnost (3.27) naz´ yváme Taylorovým vzorcem a ˇc´ıslo (3.28) zbytkem v Taylorovˇe vzorci po n–tém ˇclenu. O tomto zbytku ˇr´ıkáme, ˇze je v Lagrangeovˇe tvaru. Pˇ r´ıklady 1. Máme naj´ıt Taylor˚ uv vzorec pro funkci f (x) = ex v bodˇe x = 0. ˇ sen´ı: Podle (3.27) je f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + 1 f 00 (x0 )(x − x0 )2 + · · · + Reˇ Rn+1 (x). Jelikoˇz je f v´ ysledek

(k)

x (k)

(x) = (e )

ex = 1 + x +

x

2!

= e pro kaˇzdé k ∈ N, x ∈ R, a tedy f

x2 xn + ··· + + Rn+1 (x), 2! n!

Rn+1 (x) =

1 (n) (x0 )(x − x0 )n n! f (k)

+ (0) = 1, dostáváme

eξ xn+1 , (n + 1)!

kde bod ξ leˇz´ı mezi body 0 a x. ´ Ulohy 1. Naleznˇete Taylor˚ uv vzorec pro funkci: a) sin x; b) cos x; c) ln(x + 1) v bodˇe x = 0.  2n−1 x5 cos ξ x3 n−1 x + − · · · + (−1) + (−1)n x2n+1 , x ∈ R; a) sin x = x −  3! 5! (2n − 1)! (2n + 1)!   x2 x4 x2n cos ξ  + − · · · + (−1)n + (−1)n+1 x2n+2 , x ∈ R;  b) cos x = 1 −  2! 4! (2n)! (2n + 2)!   x2 x3 xn 1 + − · · · + (−1)n−1 + (−1)n xn+1 , x > −1. c) ln(x + 1) = x − 2 3 n (n + 1)(ξ + 1)n+1

        

Newtonova metoda Pokud má rovnice f (x) = 0 v intervalu ha, bi koˇren, napˇr. pokud je spojitá a f (a) · f (b) < 0, m˚ uˇzeme v pˇr´ıpadˇe, ˇze existuje f 0 , nalézt koˇren efektivnˇejˇs´ı metodou, neˇz je metoda p˚ ulen´ı. Popiˇsme tzv. Newtonovu6 metodu. Necht’ funkce f : ha, bi → R splˇ nuje pˇredpoklady: 1. f je spojitá v intervalu ha, bi; 2. f (a) · f (b) < 0; 3. f 00 je kladná nebo záporná v intervalu (a, b). Jestliˇze zvol´ıme za x1 ten z bod˚ u a ˇci b, ve kterém je f (x1 ) · f 00 (x1 ) > 0, pak posloupnost (xn ), definovaná pˇredpisem f (xn ) , n = 0, 1, 2, . . . (3.29) xn+1 = xn − 0 f (xn ) 5 Taylor,

Brook (1685-1731), anglick´ y matematik, vˇ enoval se teorii funkc´ı a nekoneˇ cn´ ych ˇrad Isaac (1643-1727), anglick´ y matematik a fyzik, stoj´ı u vzniku diferenci´ aln´ıho a integr´ aln´ıho poˇ ctu (souˇ casnˇ es Leibnizem), formulac´ı pohybov´ ych z´ akon˚ u vytvoˇril axiomatick´ y z´ aklad mechaniky 6 Newton,


63

y

y

, ,, , , , , , ξ , , x2 , x3 x1 ,

4 3 4 1

4

f (x) t2

t 3 4 1 ξ t1 x ((((( ( ( ( ( ( x1((((((x4 x3 x2 (((( 3

x

a)

b) Obrázek 3.4: Ilustrace Newtonovy metody

má limitu lim xn = x∗ , x∗ ∈ (a, b) a f (x∗ ) = 0. n→∞

Pozn´ amka Rovnice teˇcny grafu funkce f v bodˇe (xn , f (xn )) je y = f (xn ) + f 0 (xn )(x − xn ). Oznaˇc´ıme-li xn+1 souˇradnici pr˚ useˇc´ıku této teˇcny s osou x, pak je y = 0 = f (xn )+f 0 (xn )(xn+1 −xn ). Odtud dostaneme vztah (3.29). Nyn´ı je zˇrejmé, proˇc se pro Newtonovu metodu pouˇz´ıvá také název metoda teˇcen. Pˇ r´ıklady 1. Urˇcete koˇreny rovnice x3 − 2x2 + 3x − 4 = 0. ˇ sen´ı: Funkce P (x) = x3 − 2x2 + 3x − 4 je spojitá v R. Protoˇze P 0 (x) = 3x2 − 4x + 3 > 0, je funkce Reˇ P rostouc´ı v R. Jelikoˇz lim P (x) = −∞ a lim P (x) = ∞ má rovnice P (x) = 0 jedin´ y koˇren v R. Je x→−∞

x→∞

P (1) = −2 a P (2) = 2, tedy koˇren leˇz´ı v intervalu (1, 2). Dále je P 00 (x) = 6x − 4 a P 00 > 0 pro x ∈ (1, 2), vol´ıme x0 = 2. Postupnˇe ze vzorce xn+1 = xn −

P (xn ) P 0 (xn )

dostaneme x1 = 1.8846, . . . , x4 = 1.6506, x5 = 1.6506, takˇze x5 je vyjádˇren´ı koˇrene s pˇresnost´ı 10−4 . 2. Urˇcete koˇreny rovnice 2x − sinh x = 0. ˇ sen´ı: Funkce f (x) = 2x − sinh x je spojitá a lichá v R. Rovnice má koˇren x = 0. Pokud bude m´ıt Reˇ rovnice koˇren x∗ , x∗ > 0, je −x∗ také koˇren. M˚ uˇzeme se tud´ıˇz omezit na ˇreˇsen´ı v intervalu (0, ∞). Je f (0) = 0 a lim f (x) = −∞. Pro derivaci funkce f dostaneme: x→∞

f 0 (x) = 2 − cosh x. Odtud plyne, ˇze funkce je nejprve rostouc´ı a potom klesaj´ıc´ı. Má tud´ıˇz rovnice jedin´ y kladn´ y koˇren. Dále je f 00 (x) = − sinh x a tedy f 00 < 0 pro x ∈ (0, ∞). Za v´ ychoz´ı bod x0 budeme tud´ıˇz volit ten, kde . . f (x0 ) < 0. Je f (2) = 4 − 12 (e2 − e−2 ) = 0.74 > 0 a f (2.5) = −2.1 < 0. Jestliˇze vol´ıme x0 = 2.5 dostaneme postupnˇe: x1 = 2.2458, . . . , x3 = 2.1773, x4 = 2.1773, coˇz je aproximace koˇrene s pˇresnost´ı 10−4 .

3.1.8

Derivace funkc´ı zadan´ ych parametricky

Jsou dány funkce x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ I, kde funkce ϕ je prostá na intervalu I, takˇze existuje funkce inverzn´ı t = t(x) = ϕ−1 (x). Tyto funkce pˇredstavuj´ı parametrizaci grafu nˇejaké funkce y = f (x), kde f (x) = ψ(ϕ−1 (x)), x ∈ J = ϕ(I). Pˇredpokládejme, ˇze existuj´ı derivace ϕ˙ =

dϕ , dt

dψ ψ˙ = , dt

ϕ(t) ˙ 6= 0 pro t ∈ I.

(3.30)

64


Pak existuje derivace f 0 =

df a plat´ı dx

dψ (t) ψ˙ dψ dϕ−1 y = f (x) = (t) · (x) = dt = (t(x)) , dϕ dt dx ϕ˙ (t) dt 0

0

x∈J,

(3.31)

kde jsme pouˇzili toho, ˇze podle vˇety o derivován´ı inverzn´ı funkce je dϕ−1 dt 1 (x) = (x) = . dϕ dx dx t(x) dt Pro derivaci y 00 pak plat´ı d y 00 = f 00 (x) = dx

ψ˙ (t(x)) ϕ˙

! =

dt ψ¨ϕ˙ − ψ˙ ϕ¨ ψ¨ϕ˙ − ψ˙ ϕ¨ t(x) · = t(x) . [ϕ] ˙2 dx [ϕ] ˙3

(3.32)

Pˇ r´ıklady Máme naj´ıt prvn´ı a druhou derivaci funkce y = f (x), zadané parametrick´ ymi rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ I, kde 1. x = ϕ(t) = a cos t, y = ψ(t) = a sin t, t ∈ h0, π). ˇ sen´ı: Funkce x = ϕ(t) = a cos t, y = ψ(t) = a sin t, t ∈ h0, π), jsou parametrick´ Reˇ ym vyjádˇren´ım grafu √ x funkce y = a2 − x2 . Funkce x = a cos t je prostá na (0, π), inverzn´ı funkce je ϕ−1 (x) = t = arccos , a x ∈ (−a, a). Pro v´ ypoˇcet 1. derivace plat´ı y0 =

˙ cos(t(x)) ψ(t(x)) x/a x =− = −p , = −√ ˙ sin(t(x)) a2 − x2 1 − (x/a)2 (ϕ(t(x)) y 00 = =−

|x| < a.

ψ¨ϕ˙ − ψ˙ ϕ¨ 1 sin2 (t(x)) + cos2 (t(x)) = t(x) = − [ϕ] ˙3 a sin3 (t(x)) 1 a p

1 1−

(x/a)2

3 = √

−a2 a2 − x2

3 ,

|x| < a .

2. x = ϕ(t) = t3 + t + 1, y = ψ(t) = t4 + 2t + 2, t ∈ R. ˇ sen´ı: Funkce x = ϕ(t) = t3 + t + 1, y = ψ(t) = t4 + 2t + 2, t ∈ R, maj´ı na R derivace vˇsech ˇr´ Reˇ ad˚ u. Jelikoˇz je ϕ(t) ˙ = 3t2 + 1 > 0 pro kaˇzdé t ∈ R, je funkce ϕ rostouc´ı a existuje k n´ı inverzn´ı funkce. Podle (3.31) je hledaná derivace y 0 daná parametrick´ ymi rovnicemi x = t3 + t + 1 ,

y0 =

4t3 + 2 , 3t2 + 1

t ∈ R.

Podobnˇe podle (3.32) dostaneme parametrické rovnice druhé derivace x = t3 + t + 1 ,

y 00 =

12(t4 + t2 − t) , (3t2 + 1)3

´ Ulohy 1. Urˇcete rovnici funkce y = f (x), zadané parametrick´ ymi rovnicemi 2 a) x = t − 1, y = 1 + 2t − t , t ∈ (0, 5). b) x = 3 cos t, y = 3 sin t, t ∈ (π, 2π).

t ∈ R.

[y = −x2 + 2 , √ [y = − 9 − x2 ,

x ∈ (−1, 4).] x ∈ (−3, 3).]

2. Vypoˇc´ıtejte prvn´ı a druhou derivaci funkce y = f (x), zadané parametrick´ ymi rovnicemi 3 2 0 2 00 a) x = t + t, y = t + 4t, t ∈ R. [y = (2t + 4)/(3t + 1) , y = (2 − 24t − 6t2 )/((3t2 + 1)3 ) , t ∈ R.] b) x = cos3 t, y = sin3 t, t ∈ (0, π/2). [y 0 = − tg t , y 00 = 1/3(sin t cos4 t) , t ∈ (0, π/2).]

ˇ ROV ˇ ´ Í PRUB ˚ EHU ˇ 3.2. VYSET AN FUNKCE

3.2

65

Vyˇ setˇ rov´ an´ı pr˚ ubˇ ehu funkce

Kl´ıˇcov´ a slova: Lokáln´ı minimum a maximum; lokáln´ı a ostr´ y lokáln´ı extrém; globáln´ı minimum, maximum a extrém; stacionárn´ı bod; konkávn´ı a konvexn´ı funkce; inflexn´ı bod; svislá, vodorovná a ˇsikmá asymptota

3.2.1

Monot´ onnost funkce a derivace

Budeme se nyn´ı vˇenovat otázce, jak z nˇekter´ ych vlastnost´ı derivace funkce lze usuzovat na vlastnosti monotonie této funkce. Budeme proto nyn´ı pˇredpokládat, ˇze funkce f má derivaci v intervalu I = (a, b) a uvedeme ˇradu tvrzen´ı o jej´ım chován´ı na tomto intervalu v závislosti na znaménku derivace. 1. Jestliˇze f 0 (x) > 0 pro vˇsechna x ∈ I, pak funkce f je rostouc´ı v intervalu I. D˚ ukaz: Necht’ x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 . Máme dokázat, ˇze pak f (x1 ) < f (x2 ). Z Lagrangeovy vˇety plyne existence bodu ξ ∈ (x1 , x2 ) takového, ˇze f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (ξ)(x2 − x1 ).

(3.33)

Z pˇredpoklad˚ u x2 > x1 a f 0 (ξ) > 0 plyne, ˇze na pravé stranˇe rovnosti (3.33) je kladné ˇc´ıslo. Plat´ı tedy dokazovaná nerovnost f (x2 ) > f (x1 ). D˚ usledek:Jestliˇze funkce je klesaj´ıc´ı nebo nerostouc´ı v intervalu I a m´ a tam derivaci, pak f 0 (x) ≤ 0. Pozn´ amka Uvˇedomme si, ˇze obrácené tvrzen´ı obecnˇe neplat´ı. Funkce m˚ uˇze b´ yt rostouc´ı v daném intervalu, m´ıt tam vˇsude derivaci a pˇritom tato derivace nemus´ı b´ yt vˇsude kladná. Pˇr´ıkladem takové funkce je napˇr. funkce f (x) = x3 , x ∈ (−1, 1), která je rostouc´ı a v bodˇe 0 má derivaci nulovou. Promyslete si modifikaci této poznámky pro dalˇs´ı tvrzen´ı tohoto odstavce a najdˇete vhodné pˇr´ıklady ilustruj´ıc´ı jednotlivá tvrzen´ı. 2. Jestliˇze f 0 (x) ≥ 0 pro vˇsechna x ∈ I, pak funkce f je neklesaj´ıc´ı v intervalu I. D˚ ukaz je zˇrejmou modifikac´ı d˚ ukazu pˇredchoz´ıho tvrzen´ı. 3. Jestliˇze f 0 (x) < 0 pro vˇsechna x ∈ I, pak funkce f je klesaj´ıc´ı v intervalu I. D˚ ukaz: Necht’ x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 . Máme dokázat, ˇze pak f (x1 ) > f (x2 ). Z Lagrangeovy vˇety plyne existence bodu ξ ∈ (x1 , x2 ) takového, ˇze plat´ı (3.33). Z pˇredpoklad˚ u x2 > x1 a f 0 (ξ) < 0 plyne, ˇze na pravé stranˇe rovnosti (3.33) je záporné ˇc´ıslo, takˇze f (x2 ) < f (x1 ). D˚ usledek:Jestliˇze funkce je rostouc´ı nebo neklesaj´ıc´ı v intervalu I a m´ a tam derivaci, pak f 0 (x) ≥ 0. 4. Jestliˇze f 0 (x) ≤ 0 pro vˇsechna x ∈ I, pak funkce f je nerostouc´ı. D˚ ukaz je modifikac´ı d˚ ukazu pˇredchoz´ıho tvrzen´ı. Pˇ r´ıklady Máme urˇcit intervaly monotonie dané funkce f (x). 1. f (x) = x ln x , x ∈ (0, ∞). ˇ sen´ı: Funkce f (x) = x ln x má definiˇcn´ı obor Df = (0, ∞). Derivaci f 0 (x) = ln x + 1 má v kaˇzdém bodˇe Reˇ svého definiˇcn´ıho oboru. Intervaly monotonie budeme urˇcovat podle znaménka derivace, jak plyne z vˇet odst. 3.2.1. Nejdˇr´ıve najdeme nulové body derivace. Je f 0 (x) = ln x + 1 = 0 právˇe tehdy, kdyˇz ln x = −1, tj. x = e−1 . V intervalu (0, e−1 ) je f 0 (x) < 0, a tedy funkce je zde klesaj´ıc´ı. V intervalu (e−1 , ∞) je f 0 (x) > 0, a tedy funkce je zde rostouc´ı. 2. f (x) = e−|x| , x ∈ (−∞, ∞). ˇ sen´ı: Funkce f (x) = e−|x| má definiˇcn´ı obor Df = (−∞, ∞) a má derivaci v kaˇzdém bodˇe svého Reˇ definiˇcn´ıho oboru kromˇe bodu 0. Plat´ı pro ni ex pro x ∈ (−∞, 0), f 0 (x) = −e−x pro x ∈ (0, ∞). Intervaly monotonie budeme urˇcovat podle znaménka této derivace. Nejdˇr´ıve konstatujeme, ˇze derivace nemá ˇza´dné nulové body, ale v bodˇe 0 je nespojitá. V intervalu (−∞, 0) je f 0 (x) > 0, a tedy funkce je zde rostouc´ı. V intervalu (0, ∞) je f 0 (x) < 0, a tedy funkce je zde klesaj´ıc´ı. 1 3. f (x) = x + + 2 , x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞). x ˇ sen´ı: Je f 0 (x) = 1 − 1/x2 = (x2 − 1)/x2 . Derivace má dva nulové body, a to 1 a −1. V intervalech Reˇ (−∞, −1) a (1, ∞) je f 0 (x) > 0, a tedy funkce je zde rostouc´ı. V intervalech (−1, 0) a (0, 1) je f 0 (x) < 0, a


66

tedy funkce je zde klesaj´ıc´ı. Tyto poznatky zap´ıˇseme do tabulky. V prvn´ı ˇrádce jsou nav´ıc uvedeny limity v krajn´ıch bodech interval˚ u definiˇcn´ıho oboru a funkˇcn´ı hodnoty v nulov´ ych bodech derivace. x f (x) f 0 (x) f (x)

(−∞, −1) −∞ ← + %

−1 0

(−1, 0) → −∞ − &

0 N

(0, 1) ∞← − &

1 4

(1, ∞) →∞ + %

´ Ulohy Urˇcete intervaly monotonie dané funkce f (x). 1. f (x) = x2 − 6x , x ∈ R. 2

2. f (x) = 4x − x , x ∈ R.

[klesaj´ıc´ı v intervalu (−∞, 3), rostouc´ı v intervalu (3, ∞).] [rostouc´ı v intervalu (−∞, 2) , klesaj´ıc´ı v intervalu (2, ∞).]

3. f (x) = x4 − 8x2 + 3 , x ∈ R. [klesaj´ıc´ı v intervalech (−∞, −2) a (0, 2), rostouc´ı v intervalech (−2, 0) a (2, ∞).] x 4. f (x) = , x ∈ R. [klesaj´ıc´ı v intervalech (−∞, −1) a (1, ∞) , rostouc´ı v intervalu (−1, 1).] 1 + x2 1 1 5. f (x) = + , x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, ∞). x 1−x [klesaj´ıc´ı v intervalech (−∞, 0) a (0, 1/2), rostouc´ı v intervalech (1/2, 1) a (1, ∞).] 6. f (x) = x2 e−x , x ∈ R.

3.2.2

[klesaj´ıc´ı v intervalech (−∞, 0) a (2, ∞), rostouc´ı v intervalu (0, 2) .]

Lok´ aln´ı a glob´ aln´ı extr´ emy funkce

Definice lok´ aln´ıch extr´ em˚ u Pˇredpokládejme, ˇze je dána funkce f a bod x0 ∈ Df . Budeme ˇr´ıkat, ˇze funkce f má v bodˇe x0 ostré lok´ aln´ı maximum, resp. neostré lok´ aln´ı maximum, resp. ostré lok´ aln´ı minimum, resp. neostré lok´ aln´ı minimum právˇe tehdy, kdyˇz existuje takové prstencové okol´ı P(x0 ; δ) ⊂ Df , ˇze pro vˇsechna x ∈ P(x0 ; δ) plat´ı f (x) < f (x0 ) , resp. f (x) ≤ f (x0 ) , resp. f (x) > f (x0 ) , resp. f (x) ≥ f (x0 ).

(3.34)

Má-li funkce nˇekterou z uveden´ ych vlastnost´ı, pak ˇr´ıkáme, ˇze funkce má v bodˇe x0 lok´ aln´ı extrém. Mluv´ıme pak o ostrých, resp. neostrých lok´ aln´ıch extrémech. Postaˇ cuj´ıc´ı podm´ınka existence lok´ aln´ıho extr´ emu Existuje-li okol´ı U(x0 , δ) takové, ˇze funkce f je spojitá v bodˇe x0 , nerostouc´ı, resp. neklesaj´ıc´ı v U− (x0 , δ) a neklesaj´ıc´ı, resp. nerostouc´ı v U+ (x0 , δ), pak má v bodˇe x0 lokáln´ı minimum, resp. lokáln´ı maximum. D˚ ukaz: Pˇredpokládejme, ˇze f je v U− (x0 , δ) nerostouc´ı. Funkce f je spojitá v bodˇe x0 , a tedy podle (2.19) je lim f (x) = f (x0 ). Jelikoˇz je f vlevo od x0 nerostouc´ı, je f (x) ≥ f (x0 ) pro vˇsechna x ∈ U− (x0 , δ). x→x0 −

Analogicky se dokáˇze stejná nerovnost pro x ∈ U+ (x0 , δ). Má tedy funkce f v bodˇe x0 lokáln´ı minimum. Pozn´ amka Nahrad´ıme-li v pˇredchoz´ım tvrzen´ı pˇredpoklad ”nerostouc´ı”, resp. ”neklesaj´ıc´ı” ostˇrejˇs´ım pˇredpokladem ”klesaj´ıc´ı”, resp. ”rostouc´ı”, dostaneme podm´ınku pro existenci ostr´ ych lokáln´ıch extrém˚ u. Vyˇ setˇ rov´ an´ı lok´ aln´ıch extr´ em˚ u pomoc´ı derivace 1. M´ a-li funkce f v bodˇe x0 lok´ aln´ı extrém a existuje-li f 0 (x0 ), pak f 0 (x0 ) = 0 . D˚ ukaz: Pˇredpokládejme napˇr., ˇze funkce f má v bodˇe x0 ostré lokáln´ı maximum a ˇze f 0 (x0 ) > 0 . Jelikoˇz je f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) > 0, mus´ı existovat prstencové okol´ı P(x0 , δ) takové, ˇze > 0 pro f 0 (x0 ) = lim x→x0 x − x0 x − x0 + vˇsechna x ∈ P(x0 , δ). Pak je ovˇsem f (x) > f (x0 ) pro vˇsechna x ∈ P (x0 , δ), coˇz je spor s pˇredpokladem, ˇze f má v bodˇe x0 ostré lokáln´ı maximum. Analogicky bychom postupovali v ostatn´ıch pˇr´ıpadech. 2. Bod, v nˇemˇz nab´ yvá derivace funkce nulovou hodnotu, naz´ yváme stacion´ arn´ım bodem funkce. Pozn´ amka Uvˇedomme si, ˇze pˇredpoklad o existenci derivace v bodˇe x0 je podstatn´ y. Napˇr´ıklad funkce f (x) = −|x| , x ∈ (−1, 1), má v bodˇe 0 ostré lokáln´ı maximum, a pˇritom v tomto bodˇe nemá derivaci nulovou. V bodˇe 0 totiˇz tato funkce derivaci v˚ ubec nemá. Na druhou stranu, funkce m˚ uˇze m´ıt v nˇejakém


67

bodˇe nulovou derivaci, ale nemus´ı tam m´ıt extrém. Napˇr´ıklad funkce f (x) = x3 má v bodˇe 0 nulovou derivaci, a pˇritom je na celé reálné ose rostouc´ı. 3. Necht’ funkce f m´ a v nˇejakém okol´ı bodu x0 spojitou druhou derivaci a necht’ f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) 6= 0. Pak funkce f m´ a v bodˇe x0 ostrý lok´ aln´ı extrém, a to ostré lok´ aln´ı minimum v pˇr´ıpadˇe f 00 (x0 ) > 0 a ostré 00 lok´ aln´ı maximum v pˇr´ıpadˇe f (x0 ) < 0. D˚ ukaz: Necht’ je napˇr. f 00 (x0 ) > 0. Pak je f 00 (x) > 0 v nˇejakém okol´ı bodu x0 , a tedy funkce f 0 (x) je v tomto okol´ı rostouc´ı. Jelikoˇz v bodˇe x0 nab´ yvá hodnotu 0, mus´ı b´ yt f 0 (x) < 0 vlevo od x0 a f 0 (x) > 0 vpravo od x0 . To vˇsak znamená, ˇze funkce f (x) je vlevo od x0 klesaj´ıc´ı a vpravo od x0 rostouc´ı. Podle postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky pro existenci lokáln´ıho extrému má tedy v bodˇe x0 ostré lokáln´ı minimum. Podobnˇe se ukáˇze, ˇze kdyˇz f 00 (x0 ) < 0, má funkce f (x) v bodˇe x0 ostré lokáln´ı maximum. Pˇ r´ıklady Máme naj´ıt lokáln´ı extrémy dané funkce f (x). 1. f (x) = x ln x , x ∈ (0, ∞). ˇ sen´ı: V 1. pˇr´ıkladˇe odst. 3.2.1 jsme zjistili, ˇze funkce je v intervalu (0, e−1 ) klesaj´ıc´ı, v intervalu (e−1 , ∞) Reˇ rostouc´ı, takˇze v bodˇe e−1 má ostré lokáln´ı minimum f (e−1 ) = −e−1 . 2. f (x) = e−|x| , x ∈ R. ˇ sen´ı: V 2. pˇr´ıkladˇe odst. 3.2.1 jsme zjistili, ˇze funkce je v intervalu (−∞, 0) rostouc´ı a v intervalu Reˇ (0, ∞) klesaj´ıc´ı. Jelikoˇz je v bodˇe 0 spojitá, mus´ı m´ıt v tomto bodˇe ostré lokáln´ı maximum f (0) = 1. 1 3. f (x) = x + + 2 , x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞). x ˇ sen´ı: Ve 3. pˇr´ıkladˇe odst. 3.2.1 jsme zjistili, ˇze funkce je v intervalech (−∞, −1) a (1, ∞) rostouc´ı, v Reˇ intervalech (−1, 0) a (0, 1) klesaj´ıc´ı, a tedy má v bodˇe −1 ostré lokáln´ı maximum f (−1) = 0 a v bodˇe 1 ostré lokáln´ı minimum f (1) = 4. Uvˇedomme si, ˇze je moˇzné, aby lokáln´ı maximum mˇelo menˇs´ı hodnotu neˇz lokáln´ı minimum. V´ ysledky zaneseme opˇet do tabulky. x f (x) f 0 (x) f (x)

(−∞, −1) −∞ ← + %

−1 0 lok. max

(−1, 0) → −∞ − &

0 N

(0, 1) ∞← − &

1 4 lok. min

(1, ∞) →∞ + %

4. f (x) = x − sin x , x ∈ R. ˇ sen´ı: Funkce f (x) = x − sin x má derivaci f 0 (x) = 1 − cos x. Jelikoˇz je f 0 (x) = 1 − cos x = 0 v bodech Reˇ x = 2kπ , k ∈ Z, má vyˇsetˇrovaná funkce nekoneˇcnˇe mnoho stacionárn´ıch bod˚ u. Pˇresto nemá ˇzádn´ y lokáln´ı extrém, protoˇze f 0 (x) ≥ 0 pro vˇsechna x ∈ R a f 0 (x) = 0 pouze v izolovan´ ych bodech. To znamená, ˇze funkce f (x) je na R rostouc´ı. 5. f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x , x ∈ R. ˇ sen´ı: Funkce f (x) = 2x3 +3x2 −12x má derivaci f 0 (x) = 6x2 +6x−12 a druhou derivaci f 00 (x) = 12x+6. Reˇ V stacionárn´ıch bodech −2 a 1 je f 00 (−2) = −18 a f 00 (1) = 18. Funkce f (x) má tedy v bodˇe −2 ostré lokáln´ı maximum f (−2) = 20 a v bodˇe 1 ostré lokáln´ı minimum f (1) = −7. ´ Ulohy Urˇcete lokáln´ı extrémy následuj´ıc´ıch funkc´ı: 1. f (x) = x2 e−x , x ∈ R. [f (0) = 0 ostré lokáln´ı minimum, f (2) = 4e−2 ostré lokáln´ı maximum.] √ 2. f (x) = arcsin 1 − x2 , x ∈ (−1, 1). [f (0) = π2 ostré lokáln´ı maximum.] 1 + x2 , x ∈ (−1, 1). [f (0) = 0 ostré lokáln´ı minimum.] 1 − x2 f (x) = x ln2 x , x > 0. [f (1) = 0 ostré lokáln´ı minimum, f (e−2 ) = 4e−2 ostré lokáln´ı maximum.] f (x) = 2x + e−x , x ∈ R. [f (− ln 2) = 2 − ln 4 ostré lokáln´ı minimum.] −x f (x) = ln(1 + e ) , x ∈ R. [lokáln´ı extrémy neexistuj´ı.] 1 − x2 f (x) = arccos , x ∈ R. [f (0) = 0 ostré lokáln´ı minimum.] 1 + x2

3. f (x) = ln 4. 5. 6. 7.

68


Glob´ aln´ı extr´ emy Nˇekdy potˇrebujeme naj´ıt nejvˇetˇs´ı a nejmenˇs´ı hodnotu funkce na dané mnoˇzinˇe. Abychom tuto u ´lohu odliˇsili od u ´lohy naj´ıt lokáln´ı extrémy, mluv´ıme o hledán´ı globáln´ıch extrém˚ u. Lokáln´ı extrém funkce v bodˇe x0 byl definován pomoc´ı jisté nerovnosti plat´ıc´ı v nˇejakém okol´ı bodu x0 . Analogicky globáln´ı extrém funkce f na mnoˇzinˇe M ⊂ Df je definován pomoc´ı jisté nerovnosti plat´ıc´ı v kaˇzdém bodˇe mnoˇziny M . Podrobnˇeji, budeme ˇr´ıkat, ˇze funkce f má v bodˇe x0 ∈ M ⊂ Df glob´ aln´ı extrém na mnoˇzinˇe M , a to ostré glob´ aln´ı maximum, resp. neostré glob´ aln´ı maximum, resp. ostré glob´ aln´ı minimum, resp. neostré glob´ aln´ı minimum právˇe tehdy, kdyˇz pro vˇsechna x ∈ M plat´ı f (x) < f (x0 ) , resp. f (x) ≤ f (x0 ) , resp. f (x) > f (x0 ) , resp. f (x) ≥ f (x0 ) . Globáln´ı extrémy nemus´ı existovat, dokonce ani u spojit´ ych nemonotónn´ıch funkc´ı, u nichˇz lokáln´ı extrémy existuj´ı. Napˇr. funkce f (x) = x3 − 3x , x ∈ R, má v bodˇe −1 ostré lokáln´ı maximum a v bodˇe 1 ostré lokáln´ı minimum, ale na R nenab´ yvá ani nejvˇetˇs´ı ani nejmenˇs´ı hodnotu. V roli mnoˇziny M se nejˇcastˇeji vyskytuje kompaktn´ı, tj. uzavˇren´ y a omezen´ y interval ha, bi. Je-li funkce f na intervalu ha, bi spojitá, pak podle Weierstrassovy vˇety 2.1.3.1 nab´ yvá na tomto intervalu svého maxima a minima. To znamená, ˇze za tˇechto podm´ınek globáln´ı extrémy vˇzdy existuj´ı. Lokáln´ı extrémy vˇsak existovat nemus´ı. Zcela triviáln´ım pˇr´ıkladem je funkce f (x) = x , x ∈ h0, 1i. Ta zˇrejmˇe nab´ yvá v bodˇe 0 globáln´ı minimum 0 a v bodˇe 1 globáln´ı maximum 1 a pˇresto ˇzádn´ y lokáln´ı extrém nemá. Funkce m˚ uˇze m´ıt globáln´ı extrém bud’ v krajn´ıch bodech intervalu M , nebo v jeho vnitˇrn´ıch bodech. Ve druhém pˇr´ıpadˇe je vˇsak globáln´ı extrém zároveˇ n i lokáln´ım extrémem. Pak funkce v tomto bodˇe bud’ nemá derivaci, anebo je tam derivace nulová. Tato u ´vaha nám jiˇz hodnˇe napovˇedˇela o postupu pˇri hledán´ı globáln´ıch extrém˚ u. Postup pˇ ri hled´ an´ı glob´ aln´ıch extr´ em˚ u 1. krok: Zjist´ıme, zda mnoˇzina M je sjednocen´ım koneˇcnˇe mnoha kompaktn´ıch interval˚ u a zda funkce f je na tˇechto intervalech spojitá, tedy zda je na této mnoˇzinˇe podle Weierstrassovy vˇety zaruˇcena existence globáln´ıch extrém˚ u. 2. krok: Najdeme vˇsechny body, podezˇrelé z toho, ˇze by v nich mohla funkce f m´ıt globáln´ı extrémy. Jsou to: a) krajn´ı body interval˚ u tvoˇr´ıc´ıch mnoˇzinu M ; b) stacionárn´ı body funkce f leˇz´ıc´ı ve vnitˇrku mnoˇziny M , tj. body, v nichˇz f 0 (x) = 0; c) vnitˇrn´ı body mnoˇziny M , v nichˇz funkce f nemá derivaci. 3. krok: Vypoˇc´ıtáme funkˇcn´ı hodnoty ve vˇsech podezˇrel´ ych bodech. Nejvˇetˇs´ı, resp. nejmenˇs´ı z tˇechto ˇc´ısel je globáln´ı maximum, resp. minimum funkce f na mnoˇzinˇe M . Nen´ı-li mnoˇzina M sjednocen´ım koneˇcnˇe mnoha kompaktn´ıch interval˚ u, nebo nen´ı-li funkce f na mnoˇzinˇe M spojitá, nem˚ uˇzeme pouˇz´ıt Weierstrassovu vˇetu, a tedy nemáme zaruˇcenu existenci globáln´ıch extrém˚ u na mnoˇzinˇe M . V takovém pˇr´ıpadˇe si mus´ıme poradit jinak. Sestroj´ıme napˇr´ıklad graf funkce a extrémy vyˇcteme z grafu. Pˇ r´ıklady Máme naj´ıt globáln´ı extrémy dané funkce f (x). √ √ 1. f (x) = |x3 − 3x| , x ∈ h−2 3, 3i. √ √ ˇ sen´ı: 1. krok: Funkce f je spojitá na kompaktn´ım intervalu h−2 3, 3i, takˇze podle Weierstrassovy Reˇ vˇety má na tomto intervalu globáln´ı maximum i globáln´ı minimum. √ √ 2. krok: Hledáme podezˇrelé body. Jsou to v prvn´ı ˇradˇe krajn´ı body intervalu, tj. body√−2 3 a√ 3. Dále v´ıme, ˇze absolutn´ı hodnota nemá derivaci v bodˇe nula. Funkce f má nulové body − 3, 0 a 3, a tedy v tˇechto bodech nemá funkce f derivaci. Koneˇcnˇe, f 0 (x) = 0 v bodech −1 a 1. 3. krok: Najdeme funkˇcn´ı hodnoty funkce f v podezˇrel´ ych bodech. √ √ √ √ f (−2 3) = 18 3 , f ( 3) = f (− 3) = f (0) = 0 , f (−1) = f (1) = 2 . √ √ Vid´ıme, ˇze funkce f má jak glob´ ln´ı maximum 18 3, které nab´ yvá v bodˇe −2 3, tak i globáln´ı minimum √ a√ 0, které nab´ yvá v bodech − 3, 3 a 0. 2. f (x) = tg x − x , x ∈ h−π/4, π/6i. ˇ sen´ı: 1. krok: Funkce f je spojitá na kompaktn´ım intervalu h−π/4, π/6i, takˇze podle Weierstrassovy Reˇ vˇety má na tomto intervalu globáln´ı maximum i globáln´ı minimum.


69

2. krok: Podezˇrel´ ymi body jsou v prvn´ı ˇradˇe krajn´ı body intervalu, tj. body −π/4 , π/6. Funkce f má v celém intervalu derivaci f 0 (x) = tg2 x a ta nab´ yvá hodnotu nula v bodˇe 0. 3. krok: Najdeme funkˇcn´ı hodnoty funkce f v podezˇrel´ ych bodech. √ f (−π/4) = π/4 − 1 , f (0) = 0 , f (π/6) = (2 3 − π)/6. √ Vid´ıme, ˇze funkce f má jak globáln´ı maximum f (π/6) = (2 3−π)/6, tak i globáln´ı minimum f (−π/4) = π/4 − 1. Uvˇedomme si, ˇze kdybychom hledali globáln´ı extrémy napˇr´ıklad na intervalu h−π/4, π/6), pak by tam funkce globáln´ı maximum nenab´ yvala. ´ Ulohy 1. Pro které ˇc´ıslo x je jeho souˇcet s druhou mocninou minimáln´ı? [x = −1/2, s = −1/4.] 2. Pro které kladné ˇc´ıslo x je jeho souˇcet s pˇrevrácenou hodnotou minimáln´ı? [x = 1, s = 2.] 3. Pro které kladné ˇc´ıslo x je rozd´ıl s jeho druhou mocninou maximáln´ı? [x = 1/2, r = 1/4.] 4. Jaké rozmˇery a obsah má obdéln´ık, kter´ y je vepsan´ y do kruˇznice o polomˇeru R a má maximáln´ı obsah? √ [a = b = R 2; P = 2R2 .] 5. Kter´ y obdéln´ık vepsan´ y do p˚ ulkruhu o polomˇeru R má maximáln´ı obsah a kolik je tento obsah? √ √ [a = R 2; b = 1/2R 2; P = R2 .] 6. Urˇcete rozmˇery kvádru, kter´ y má ˇctvercovou základnu, dan´ y objem V a minimáln´ı povrch S? √ √ 3 [a = b = c = 3 V , S = 6 V 2 .] 7. Jak´ y válec vepsan´ y do koule o polomˇeru R má: a) nejvˇetˇs´ı objem V ; b) nejvˇetˇs´ı povrch S? p # " √ √ 2/3, v = 2R 3/3 q a) V = (4πR3 )/(3 3), r = R q √ √ √ b) S = πR2 (1 + 5), r = R (5 + 5)/10, v = 2R (5 − 5)/10 . 8. Kter´ y válec vepsan´ y do kuˇzele s v´ yˇskou v a polomˇerem podstavy R má nejvˇetˇs´ı objem? [V = (4/27)πvR2 ; r = 2/3R; h = 1/3v.] 2 2 9. Na hyperbole x /2 − y = 1 naleznˇete bod B, kter´ y je nejbl´ıˇze bodu a = (3, 0). √ [a1 = (2, 1), a2 = (2, −1), d = 2.] 10. Naleznˇete globáln´ı maximum M a globáln´ı minimum m funkce f na daném intervalu I. √ a) f (x) = x − x , I = h0, 4i. [M= f (4) = 2 , m= f (1/4) = −1/4.] x+1 b) f (x) = arctg , I = (1, 2i. [M nenab´ yvá, m= f (2) = arctg 3.] x−1 c) f (x) = xe−x , I = (0, ∞). [M= f (1) = e−1 , m nenab´ yvá.] 2 1/x d) f (x) = x e , I = (0, ∞). [M nenab´ yvá, m= f (1/2) = e2 /4.] 2 e) f (x) = ln(16 − x ) , I = h−2, 3i. [M= f (0) = ln 16 , m= f (3) = ln 7.] 1 f) f (x) = ln , I = he−1 , e2 i. [M= f (e2 ) = 2 , m= f (1) = 0.] x 11. Naleznˇete lokáln´ı a globáln´ı extrémy funkce f na dané mnoˇzinˇe I. 1 [globáln´ı ani lokáln´ı extrémy neexistuj´ı.] a) f (x) = 2e1/x sinh , I = (−∞, 0) ∪ (0, ∞). x b) f (x) = x2 e1/x , I = (−∞, 0) ∪ (0, ∞). [globáln´ı extrémy neexistuj´ı; lokáln´ı minimum f (1/2) = e2 /4.] c) f (x) = ln(8 − 2x − x2 ) , I = h−3, 0i. [lokáln´ı i globáln´ı maximum M= f (−1) = ln 9 , globáln´ı minimum m= f (−3) = ln 5.] 2 d) f (x) = ln(e − x2 ) , I = h−1, 2i. [globáln´ı minimum m= f (2) = ln(e2 − 4) , lokáln´ı i globáln´ı maximum M= f (0) = 2.]

70

3.2.3


Konvexnost a konk´ avnost funkce, inflexn´ı body

Definice konvexnosti, konk´ avnosti a inflexn´ıho bodu funkce ˇ ıkáme, ˇze funkce f je konvexn´ı, resp. konk´ Necht’ funkce f má derivaci v bodˇe x0 . R´ avn´ı v bodˇe x0 právˇe tehdy, kdyˇz existuje takové okol´ı U(x0 ; δ) bodu x0 , ˇze graf funkce f pro x ∈ U(x0 ; δ) leˇz´ı nad, resp. pod teˇcnou grafu v bodˇe x0 . ˇ ıkáme, ˇze funkce f je konvexn´ı, resp. konk´ R´ avn´ı v intervalu (a, b) právˇe tehdy, kdyˇz je konvexn´ı, resp. konkávn´ı v kaˇzdém bodˇe intervalu (a, b). ˇ ıkáme, ˇze bod x0 ∈ Df je inflexn´ım bodem funkce f právˇe tehdy, kdyˇz v bodˇe x0 , f (x0 ) existuje teˇcna R´ ke grafu funkce y = f (x) a funkce se v tomto bodˇe mˇen´ı z konvexn´ı na konkávn´ı nebo obrácenˇe. Pozn´ amka Podle definice je funkce f konvexn´ı, resp. konkávn´ı v intervalu (a, b) právˇe tehdy, kdyˇz pro kaˇzd´ y bod x0 ∈ (a, b) leˇz´ı vˇsechny body (x, f (x)), x ∈ (a, b), x 6= x0 , nad teˇcnou, resp. pod teˇcnou grafu funkce f v bodˇe (x0 , f (x0 )). Je-li funkce konvexn´ı ˇci konkávn´ı v intervalu (a, b), pak graf funkce v tomto intervalu leˇz´ı v jedné z polorovin urˇcen´ ych teˇcnou grafu funkce. V inflexn´ım bodˇe graf funkce teˇcnu prot´ıná. Pˇripomeˇ nme, ˇze rovnice teˇcny v bodˇe x0 má tvar y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). Pak podle definice je funkce f konvexn´ı, resp. konkávn´ı v intervalu (a, b) právˇe tehdy, kdyˇz pro vˇsechna x ∈ (a, b), x 6= x0 , je f (x) > f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ), resp. f (x) < f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). Podm´ınky pro konvexnost a konk´ avnost funkce Necht’ funkce f : (a, b) → R m´ a derivaci v intervalu (a, b). Pak plat´ı: (i) Je-li f 0 rostouc´ı v intervalu (a, b), je funkce f konvexn´ı v intervalu (a, b). (ii) Je-li f 0 klesaj´ıc´ı v intervalu (a, b), je funkce f konk´ avn´ı v intervalu (a, b). 0 (iii) M´ a-li funkce f v bodˇe x0 ∈ (a, b) lok´ aln´ı extrém, je x0 inflexn´ım bodem funkce f . D˚ ukaz: Ad (i) Zvolme body a < x1 < x0 < x2 < b a necht’ y(x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) pro vˇsechna x ∈ (a, b), tj. (x, y(x)) je bod na teˇcnˇe grafu funkce f v bodˇe (x0 , f (x0 )). Podle Lagrangeovy vˇety o pˇr´ır˚ ustku funkce z odst. 3.1.5 existuj´ı body x1 < ξ1 < x0 , x0 < ξ2 < x2 takové, ˇze f (x1 ) = f (x0 ) + f 0 (ξ1 )(x1 − x0 ),

f (x2 ) = f (x0 ) + f 0 (ξ2 )(x2 − x0 ).

Odtud y(x1 ) − f (x1 ) = (f 0 (x0 ) − f 0 (ξ1 ))(x1 − x0 ),

y(x2 ) − f (x2 ) = (f 0 (x0 ) − f 0 (ξ2 ))(x2 − x0 ).

Jelikoˇz je f 0 rostouc´ı, plyne odtud f 0 (ξ1 ) < f 0 (x0 ) < f 0 (ξ2 ), a tedy y(x1 ) < f (x1 ) a y(x2 ) < f (x2 ). To znamená, ˇze funkce je konvexn´ı v intervalu (a, b). Podobnˇe se dokáˇze tvrzen´ı (ii). Ad (iii) Má-li funkce f 0 v bodˇe x0 lokáln´ı extrém, pak se v tomto bodˇe mˇen´ı z rostouc´ı na klesaj´ıc´ı, nebo naopak. Tedy funkce f se podle pˇredchoz´ıch tvrzen´ı mˇen´ı z konkávn´ı na konvexn´ı, takˇze x0 je inflexn´ım bodem funkce f . 2. Necht’ funkce f : (a, b) → R m´ a druhou derivaci v intervalu (a, b). Pak plat´ı: 00 (i) Je-li f (x) > 0 pro vˇsechna x ∈ (a, b), pak je funkce f konvexn´ı v intervalu (a, b). (ii) Je-li f 00 (x) < 0 pro vˇsechna (a, b), pak je funkce f konk´ avn´ı v intervalu (a, b). 00 00 (iii) Je-li f (x0 ) = 0 a derivace f mˇen´ı v bodˇe x0 znaménko, pak m´ a funkce f v bodˇe x0 inflexn´ı bod. D˚ ukaz: Je-li f 00 > 0 v intervalu (a, b), je funkce f 0 rostouc´ı v intervalu (a, b), takˇze funkce f je konvexn´ı v intervalu (a, b). Obdobnˇe lze dokázat i druhé tvrzen´ı. K d˚ ukazu tˇret´ıho tvrzen´ı staˇc´ı si uvˇedomit, ˇze kdyˇz funkce f 00 mˇen´ı v bodˇe x0 znaménko, má funkce f 0 v bodˇe x0 lokáln´ı extrém, a tedy f má v tomto bodˇe inflexn´ı bod. Pozn´ amka Doporuˇcujeme ˇctenáˇri, aby si promyslel vˇsechny u ´vahy a tvrzen´ı tohoto odstavce pomoc´ı funkce sin x, x ∈ (0, 2π) a jejich derivac´ı, nebo také pomoc´ı funkc´ı xn pro r˚ uzná n. Taková u ´vaha mu m˚ uˇze rovnˇeˇz pˇribl´ıˇzit následuj´ıc´ı tvrzen´ı. 3.Je-li f (k) (x0 ) = 0 pro 1 < k < n, f (n) (x0 ) 6= 0, pak (i) je-li n liché, m´ a funkce f v bodˇe x0 inflexn´ı bod; (ii) je-li n sudé a f 0 (x0 ) = 0, m´ a funkce f v bodˇe x0 lok´ aln´ı minimum jestliˇze f (n) (x0 ) > 0, nebo lok´ aln´ı maximum jestliˇze f (n) (x0 ) < 0.


71

Pˇ r´ıklady Máme naj´ıt inflexn´ı body dané funkce f (x) a naj´ıt intervaly, v nichˇz je tato funkce konvexn´ı nebo konkávn´ı. 1. f (x) = 12 x4 − 3x2 + 2x + 2 , x ∈ R. ˇ sen´ı: Funkce má spojitou druhou derivaci f 00 (x) = 6x2 − 6 , takˇze m˚ Reˇ uˇzeme pouˇz´ıt tvrzen´ı 2. Zˇrejmˇe je f 00 (x) = 6(x2 − 1) = 0 v bodech x = −1 a x = 1. Dále plat´ı, ˇze f 00 (x) > 0 pro x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) a f 00 (x) < 0 pro x ∈ (−1, 1). Je tedy vyˇsetˇrovaná funkce konvexn´ı v intervalech (−∞, −1) a (1, ∞) a je konkávn´ı v intervalu (−1, 1). Druhá derivace mˇen´ı znaménko v bodech x = −1 a x = 1, takˇze funkce má dva inflexn´ı body, a to x = −1 a x = 1. V´ ysledky m˚ uˇzeme zapsat ve tvaru tabulky. x f (x) f (x) 00

(−∞, −1) + ^

−1 inf. bod

(−1, 1) − _

1 inf. bod

(1, ∞) + ^

√ 2. f (x) = 3 x + 1 , x ∈ R. ˇ sen´ı: Funkce má druhou derivaci f 00 (x) = −2(x + 1)−5/3 /9, která je spojitá v intervalech (−∞, −1) Reˇ a (−1, ∞). Tedy m˚ uˇzeme pouˇz´ıt tvrzen´ı 2. Zˇrejmˇe je f 00 (x) > 0 pro x ∈ (−∞, −1) a f 00 (x) < 0 pro x ∈ (−1, ∞). Proto je vyˇsetˇrovaná funkce konvexn´ı v intervalu (−∞, −1) a konkávn´ı v intervalu (−1, ∞). Protoˇze v bodˇe x = −1 má graf funkce f (x) teˇcnu x = −1 a funkce se v tomto bodˇe mˇen´ı z konvexn´ı na konkávn´ı, má funkce inflexn´ı bod x = −1. |x − 1| 3. f (x) = , x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞). x2 ˇ sen´ı: Pro prvn´ı a druhou derivaci plat´ı Reˇ   6 − 2x x−2     , x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, 1), , x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, 1), 3 00 0 x x4 f (x) = f (x) =    2x − 6 ,  2−x, x ∈ (1, ∞), x ∈ (1, ∞). x3 x4 Druhá derivace je spojitá na intervalech (−∞, 0), (0, 1) a (1, ∞). Dále je f 00 (x) = 0 pro x = 3, f 00 (x) > 0 pro x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (3, ∞) a f 00 (x) < 0 pro x ∈ (1, 3). Je tedy vyˇsetˇrovaná funkce konvexn´ı v intervalech (−∞, 0), (0, 1) a (3, ∞) a je konkávn´ı v intervalu (1, 3). Protoˇze v bodˇe x = 1 neexistuje teˇcna ke grafu funkce f (x) (limita zleva se v tomto bodˇe nerovná limitˇe zprava), nen´ı bod x = 1 inflexn´ım bodem. V bodˇe x = 3 derivace existuje a druhá derivace mˇen´ı znaménko. Proto má funkce inflexn´ı bod x = 3. 2 4. f (x) = xe−x , x ∈ R. ˇ sen´ı: Je f 0 (x) = (1 − 2x2 )e−x2 a f 00 (x) = 2x(2x2 − 3)e−x2 . Odtud f 00 (x) = 0 právˇe tehdy, kdyˇz Reˇ p p p x = 0, p nebo x = ±p 3/2. Je f 00 > 0 v intervalech (− 3/2, 0) ∞) a f 00 < 0 v intervalech p a ( 3/2,p (−∞, − 3/2) p a (0, 3/2).p Funkce je konvexn´ (− 3/2, 0) a ( 3/2, ∞), konkávn´ı v interp ı v intervalech p valech (−∞, − 3/2) a (0, 3/2) a body 3/2, 0 a − 3/2 jsou inflexn´ı body funkce f . 5. f (x) = ln(1 + x3 ) , x ∈ (−1, ∞). 3 √ ˇ sen´ı: Druhá derivace f 00 (x) = 3x(2 − x ) má nulové body 0 a 3 2 a mˇen´ı v tˇechto bodech znaménko. Reˇ 3 2 (1 + x ) √ Jsou to tedy inflexn´ı body funkce f √ . Ze znaménka f 00 plyne, ˇze funkce f je konvexn´ı v intervalu (0, 3 2) a konkávn´ı v intervalech (−1, 0) a ( 3 2, ∞). ´ Ulohy 1. Naleznˇete inflexn´ı body dané funkce f . (a) f (x) = x + sin x , x ∈ R ; (b) f (x) = e1/x , x ∈ R \ {0} ; (c) f (x) = ex (x2 + 1) , x ∈ R. [(a)xk = kπ , k ∈ Z ; (b) x = −1/2 ; (c) x1 = −3 , x2 = −1.] 2. Naleznˇete inflexn´ı body dané funkce f a intervaly, v nichˇz je tato funkce konvexn´ı nebo konkávn´ı. a) f (x) = x5 − 10x2 + x + 3 , x ∈ R. [inflexn´ı bod x = 1 , konvexn´ı v (1, ∞) , konkávn´ı v (−∞, 1) .] b) f (x) = ex + x2 + x4 , x ∈ R. [konvexn´ı v R.] 2 c) f (x) = ln x + 2x , x > 0. [inflexn´ı bod x = 1/2 , konvexn´ı v (1/2, ∞) , konkávn´ı v (0, 1/2) .]


72 d) f (x) =

1 , 1 − x2 √ 3 x

x ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞). [inflexn´ı bod nemá, konvexn´ı v (−1, 1) , konkávn´ı v (−∞, −1) a v (1, ∞).]

e) f (x) = e , x ∈ R. [inflexn´ı body x1 = 0 , x2 = 8, konvexn´ı v (−∞, 0) a v (8, ∞), konkávn´ı v (0, 8) .] 3. Naleznˇete rovnice teˇcen ke grafu funkce f (x) = ln(1 + x2 ) v jej´ıch inflexn´ıch bodech. [y = −x − 1 + ln 2 v bodˇe (−1, ln 2); y = x − 1 + ln 2 v bodˇe (1, ln 2).]

3.2.4

Asymptoty grafu funkce

ˇ ıkáme, ˇze funkce f má v bodˇe x0 svislou (vertik´ R´ aln´ı) asymptotu x = x0 právˇe tehdy, kdyˇz má v tomto bodˇe alespoˇ n jednu nevlastn´ı jednostrannou limitu. ˇ ıkáme, ˇze funkce f má v bodˇe ∞, resp. −∞ vodorovnou (horizont´ R´ aln´ı) asymptotu y = b právˇe tehdy, kdyˇz lim f (x) = b, resp. lim f (x) = b. x→∞

x→−∞

ˇ ıkáme, ˇze funkce f má v bodˇe ∞, resp. −∞ ˇsikmou asymptotu y = kx + q , k, q ∈ R , k 6= 0, právˇe tehdy, R´ kdyˇz lim (f (x) − kx − q) = 0, resp. lim (f (x) − kx − q) = 0. x→∞

x→−∞

M´ a-li funkce f v bodˇe ∞ ˇsikmou asymptotu y = kx + q, pak plat´ı lim

x→∞

f (x) = k, x

lim (f (x) − kx) = q .

x→−∞

(3.35)

D˚ ukaz: Prvn´ı rovnost v (3.35) pro v´ ypoˇcet k plyne ze vztahu lim

x→∞

f (x) − kx − q f (x) q = lim − k − lim = 0. x→∞ x x→∞ x x

Druhá rovnost pro v´ ypoˇcet q plyne pˇr´ımo z definice ˇsikmé asymptoty. Pˇ r´ıklady Máme naj´ıt vˇsechny asymptoty grafu dané funkce f . 2x2 + x + 1 1. f (x) = , x ∈ R. x ˇ sen´ı: Nejdˇr´ıve vyˇsetˇr´ıme chován´ı funkce v okol´ı bodu x = 0, v nˇemˇz funkce nen´ı definovaná. Plat´ı Reˇ f (0−) = −∞ , f (0+) = +∞ . Pˇr´ımka o rovnici x = 0 je tedy svislou asymptotou grafu dané funkce. Dále vypoˇcteme limitu f (x) 2x2 + x + 1 lim = lim =2=k (3.36) x→∞ x x→∞ x2 a limitu 2 2x + x + 1 2x2 + x + 1 − 2x2 lim [f (x) − kx] = lim − 2x = lim = 1 = q. (3.37) x→∞ x→∞ x→∞ x x Jelikoˇz obˇe limity jsou vlastn´ı, má graf dané funkce v bodˇe ∞ ˇsikmou asymptotu o rovnici y = 2x + 1 .

(3.38)

Ze vztah˚ u (3.36) a (3.37) je vidˇet, ˇze pˇr´ımka (3.38) je ˇsikmou asymptotou grafu funkce f také v bodˇe −∞. x 2. f (x) = , x ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞). 1 − x2 ˇ sen´ı: Nejdˇr´ıve vyˇsetˇr´ıme chován´ı funkce v okol´ı bod˚ Reˇ u x = −1 a x = 1, v nichˇz funkce nen´ı definovaná. Plat´ı f (−1−) = f (1−) = ∞ , f (−1+) = f (1+) = −∞ . Pˇr´ımky o rovnic´ıch x = −1 a x = 1 jsou tedy svisl´ ymi asymptotami grafu dané funkce. Dále je lim f (x) = lim f (x) = 0, takˇze funkce má v bodech x→∞

x→−∞

±∞ vodorovnou asymptotu y = 0. 3. f (x) = ln x − 5x , x ∈ (0, ∞). ˇ sen´ı: Nejdˇr´ıve vyˇsetˇr´ıme chován´ı funkce v pravém okol´ı bod˚ Reˇ u x = 0, kter´ y leˇz´ı na hranici definiˇcn´ıho oboru. Plat´ı f (0+) = −∞ , takˇze pˇr´ımka o rovnici x = 0 je svislou asymptotou grafu dané funkce. Dále


73

je lim f (x) = ∞, takˇze by funkce mohla m´ıt v bodˇe ∞ ˇsikmou asymptotu. Budeme tedy hledat limitu x→∞

(3.35), tj. limitu f (x) ln x − 5x ln x = lim = lim − 5 = −5. x→∞ x→∞ x x x Smˇernice k vyˇsla koneˇcná, takˇze hledáme jeˇstˇe hodnotu q, a tedy poˇc´ıtáme limitu lim (f (x) − kx) = lim

x→∞

x→∞

lim (ln x − 5x + 5x) = lim ln x = ∞. Tato limita vyˇsla nevlastn´ı, takˇze funkce ˇsikmou asymptotu nemá.

x→∞

x→∞

x+e 4. f (x) = x ln , x ∈ (−∞, −e) ∪ (0, ∞). ex ˇ sen´ı: Nejdˇr´ıve vyˇsetˇr´ıme chován´ı funkce v okol´ıch bod˚ Reˇ u x = −e a x = 0, které leˇz´ı na hranici definiˇcn´ıho oboru. Je f (−e−) = ∞, takˇze pˇr´ımka o rovnici x = −e je svislou asymptotou grafu dané funkce. Dále je f (0+) = lim x ln x→0+

x+e ln(1/e + y) = lim x ln(1/e + 1/x) = lim = 0. y→∞ x→0+ ex y

Odtud plyne, ˇze funkce v bodˇe x = 0 asymptotu nemá. Koneˇcnˇe v bodech ±∞ je

lim f (x) =

x→±∞

lim x ln(1/e + 1/x) = ∓∞, takˇze by funkce mohla m´ıt v bodech ±∞ ˇsikmou asymptotu. Vyˇsetˇrujeme

x→±∞

tedy limitu lim f (x)/x = lim ln(1/e + 1/x) = −1. Smˇernice k vyˇsla koneˇcná, takˇze hledáme jeˇstˇe x→∞ x→∞ hodnotu q, a tedy poˇc´ıtáme limitu x+e + x = lim x ln 1/x + 1/e + 1 = lim (f (x) − kx) = lim x ln x→∞ x→∞ x→∞ ex = lim

y→0+

ln(y + 1/e) + 1 1 = lim = e. y→0+ y + 1/e y

Rovnˇeˇz tato limita vyˇsla koneˇcná, takˇze graf funkce má v bodˇe ∞ ˇsikmou asymptotu y = −x + e. Snadno se ovˇeˇr´ı, ˇze tato pˇr´ımka je ˇsikmou asymptotou grafu funkce f i v bodˇe −∞. ´ Ulohy Naleznˇete vˇsechny asymptoty grafu dané funkce f . 4x2 , |x| > 1. 1. f (x) = √ x2 − 1 [svislé asymptoty x = 1 a x = −1; ˇsikmé asymptoty y = 4x v bodˇe ∞, y = −4x v bodˇe −∞.] 1−x 2. f (x) = ln , |x| < 1. [svislé asymptoty x = 1 a x = −1.] 1+x 3. f (x) = 2x − arccos(1/x), |x| > 1. [ˇsikmá asymptota y = 2x − π/2 v bodech ±∞.] 2x 4. f (x) = , x 6= 1. [svislá asymptota x = 1; vodorovná asymptota y = 2 v bodech ±∞.] x−1 5. f (x) = xe1/x , x 6= 0. [svislá asymptota x = 0; ˇsikmá asymptota y = x + 1 v bodech ±∞.] x 6. f (x) = e + 2x , x ∈ R. [ˇsikmá asymptota y = 2x v bodˇe −∞.] 7. f (x) = arctg x + 3x , x ∈ R. [ˇsikmé asymptoty y = 3x + π/2 v bodˇe ∞ a y = 3x − π/2 v bodˇe −∞.]

3.2.5

Vyˇ setˇ rov´ an´ı pr˚ ubˇ ehu funkce

Nyn´ı si naˇcrtneme postup pˇri vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce. Tento náˇcrt nelze povaˇzovat za univerzáln´ı nebo závazn´ y pˇredpis, n´ ybrˇz sp´ıˇse za návod, kter´ y má ˇctenáˇri usnadnit orientaci pˇri ˇreˇsen´ı tohoto u ´kolu. Pˇri vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce z´ıskáváme postupnˇe následuj´ıc´ı informace: 1. Urˇc´ıme definiˇcn´ı obor funkce, nen´ı-li s analytick´ ym pˇredpisem pro funkci jiˇz zadán. Je-li to vhodné, uprav´ıme definiˇcn´ı pˇredpis do tvaru vhodnˇejˇs´ıho pro dalˇs´ı v´ ypoˇcet, napˇr. pro snazˇs´ı v´ ypoˇcet derivac´ı. Nalezneme body nespojitosti, nulové body funkce, intervaly, kde je funkce kladná a kde je záporná. 2. Ovˇeˇr´ıme nˇekteré zvláˇstn´ı vlastnosti funkce, napˇr. sudost, lichost, periodiˇcnost, prostota, omezenost. 3. Nalezneme (jednostranné) limity v bodech nespojitosti funkce a v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru. 4. Urˇc´ıme intervaly, v nichˇz je funkce ryze monotonn´ı. 5. Nalezneme vˇsechny stacionárn´ı body a lokáln´ı extrémy funkce.


74

6. Nalezneme intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce a jej´ı inflexn´ı body. 7. Nalezneme vˇsechny asymptoty grafu funkce. 8. Graf funkce sestrojujeme na základˇe takto z´ıskan´ ych informac´ı a pomoc´ı dalˇs´ıch u ´daj˚ u jako jsou napˇr. a) hodnoty funkce v nˇekter´ ych v´ yznaˇcn´ ych bodech (nulové body prvn´ı a druhé derivace dané funkce); b) pr˚ useˇc´ıky grafu funkce s osami souˇradnic; c) teˇcny v inflexn´ıch bodech funkce. Nyn´ı ilustrujeme praktick´ y postup pˇri vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce a pˇri konstrukci grafu funkce na pˇr´ıkladech. Pˇ r´ıklady Máme vyˇsetˇrit pr˚ ubˇehy následuj´ıc´ıch funkc´ı: x3 1. f (x) = . 2(x + 1)2 ˇ sen´ı: Snadno zjist´ıme, ˇze je Df = (−∞, −1) ∪ (−1, ∞) = R \ {−1}. Jelikoˇz neplat´ı ˇzádná z rovnost´ı Reˇ f (−x) = f (x) nebo f (−x) = −f (x) pro vˇsechna x ∈ Df , nen´ı funkce ani sudá, ani lichá. Dále pro ˇzádné ˇ adnou z takov´ c 6= 0 neplat´ı rovnost f (x + c) = f (x) pro vˇsechna x ∈ Df , nen´ı funkce ani periodická. Z´ ych speciáln´ıch vlastnost´ı tedy nebudeme moci pˇri konstrukci grafu vyuˇz´ıt. Bod x = −1 je bodem nespojitosti a pro jednostranné limity funkce v tomto bodˇe plat´ı f (−1+) = f (−1−) = −∞. Pro limity ve zb´ yvaj´ıc´ıch dvou bodech hranice definiˇcn´ıho oboru plat´ı lim f (x) = x→−∞

−∞ , lim f (x) = ∞. Na intervalech (−∞, −1), (−1, ∞) je funkce spojitá. Pro x záporná nab´ yvá x→∞ záporné hodnoty, pro x kladná kladné hodnoty. Graf prot´ıná obˇe souˇradnicové osy v poˇcátku. x2 (x + 3) Derivace f 0 (x) = má dva nulové body x = −3 a x = 0, takˇze funkce má dva stacionárn´ı 2(x + 1)3 body x = −3 a x = 0. Je f (0) = 0 a f (−3) = −27/8. Derivace f 0 (x) je kladná pro x ∈ (−∞, −3) ∪ (−1, 0) ∪ (0, ∞) a záporná pro x ∈ (−3, −1), takˇze funkce je v intervalech (−∞, −3) a (−1, ∞) rostouc´ı, v intervalu(−3, −1) klesaj´ıc´ı. Tedy v bodˇe x = −3 je lokáln´ı maximum f (−3) = −27/8. 3x Druhá derivace f 00 (x) = má jeden nulov´ y bod x = 0. Pro x záporná nab´ yvá záporné hodnoty, (x + 1)4 pro x kladná kladné hodnoty. Funkce f je tedy v intervalech (−∞, −1) a (−1, 0) konkávn´ı a v intervalu (0, ∞) konvexn´ı. Bod x = 0 je inflexn´ım bodem. Z hodnot limit v bodˇe −1 plyne, ˇze pˇr´ımka x = −1 je svislou asymptotou grafu funkce f . Jelikoˇz funkce má v nevlastn´ıch bodech limity ±∞, má smysl pokouˇset se naj´ıt rovnici ˇsikmé asymptoty. Vypoˇcteme nejdˇr´ıve limitu f (x) 1 x2 = lim = =k x→∞ x x→∞ 2(x + 1)2 2 lim

a limitu

lim [f (x) − kx] = lim

x→∞

x→∞

(3.39)

x3 x(x + 1)2 − = −1 = q . 2(x + 1)2 2(x + 1)2

(3.40)

Jelikoˇz obˇe limity jsou vlastn´ı, má graf dané funkce v bodˇe ∞ ˇsikmou asymptotu o rovnici y = x/2 − 1 . Z (3.39) a (3.40) je vidˇet, ˇze pˇr´ımka y = x/2 − 1 je ˇsikmou asymptotou grafu funkce f také v bodˇe −∞. Graf je naˇcrtnut na obr. 3.5 a). ´ Udaje o funkci, z´ıskané bˇehem v´ ypoˇctu, m˚ uˇzeme zanést do tabulky, která m˚ uˇze m´ıt napˇr. takov´ yto tvar. x f (x) f 0 (x) f (x) f 00 (x) f (x) asymp.

(−∞, −3) −∞ ← + % − _ y = x/2 − 1

−3 −27/8 0 lok. max

(−3, −1) → −∞ − & − _

−1 N

x = −1

(−1, 0) −∞ ← + % − _

0 0 0

inf. bod

(0, ∞) →∞ + % + ^ y = x/2 − 1

2. f (x) = x + 1/x + 2 , x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞). ˇ sen´ı: Ve 3. pˇr´ıkladˇe 3.2.1 jsme zjistili, ˇze funkce f (x) = x + 1/x + 2 má derivaci v kaˇzdém bodˇe svého Reˇ definiˇcn´ıho oboru a ˇze tato derivace má dva nulové body, a to 1 a −1. V intervalech (−∞, −1) a (1, ∞) je


75

f 0 (x) > 0, a tedy funkce f (x) je zde rostouc´ı. V intervalech (−1, 0) a (0, 1) je f 0 (x) < 0, takˇze funkce f (x) je zde klesaj´ıc´ı. Odtud plyne, ˇze vyˇsetˇrovaná funkce má v bodˇe −1 ostré lokáln´ı maximum f (−1) = 0 a v bodˇe 1 má ostré lokáln´ı minimum f (1) = 4. Druhá derivace f 00 (x) = 2/x3 je záporná pro x < 0 a kladná pro x > 0. Je tedy vyˇsetˇrovaná funkce konkávn´ı v intervalu (−∞, 0) a konvexn´ı v intervalu (0, ∞). V obou nevlastn´ıch bodech má spoleˇcnou ˇsikmou asymptotu y = x + 2 a v bodˇe 0 má vertikáln´ı asymptotu x = 0. Graf je naˇcrtnut na obr. 3.5 b). V´ ysledky jsou uvedeny v tabulce. x f (x) f 0 (x) f (x) f 00 (x) f (x) asymp.

(−∞, −1) −∞ ← + % − _ y =x+2

−1 0 0 lok. max

-4

0 N

(0, 1) ∞← − & + ^

1 4 0 lok. min

x=0

y 6

y 6

4

4

!! !! ! ! !! x

2

-6

(−1, 0) → −∞ − & − _

-2

2

4

-2 f (x) =

6

(1, ∞) →∞ + % + ^ y =x+2

2 x -6

-4

-2

2 -2

x3 2(x + 1)2

f (x) =

-4

-4

-6

-6

a) k pˇr´ıkladu 1

4

6

x2 + 2x + 1 x

b) k pˇr´ıkladu 2

Obrázek 3.5: Grafy funkc´ı z pˇr´ıklad˚ u1a2 3. f (x) =

x3 . (x − 1)2

ˇ sen´ı: Daná funkce je definovaná v mnoˇzinˇe Df = {x ∈ R | x 6= 1}. V bodˇe x = 1 má funkce nespojitost Reˇ a pro jej´ı limitu plat´ı lim f (x) = ∞. Pˇr´ımka x = 1 je svislou asymptotou grafu funkce. Dále je x→1

lim f (x) = −∞ ,

x→−∞

lim f (x) = +∞ .

x→+∞

Funkce nen´ı omezená; nen´ı ani sudá ani lichá. Nen´ı periodická, nen´ı prostá. Má jedin´ y nulov´ y bod x = 0 (trojnásobn´ y). Kromˇe asymptoty x = 1 má graf funkce jeˇstˇe ˇsikmou asymptotu o rovnici y = x + 2. Existuj´ı totiˇz vlastn´ı limity: x3 f (x) = lim =1=k x→±∞ x · (x − 1)2 x→±∞ x lim

a

lim [f (x) − kx] = lim

x→±∞

x→±∞

x3 x3 − x3 + 2x2 − x − x = lim = 2 = q. 2 x→±∞ (x − 1) (x − 1)2

K dalˇs´ımu vyˇsetˇrován´ı vypoˇcteme prvn´ı a druhou derivaci f 0 (x) = x2

x−3 ; (x − 1)3

f 00 (x) =

6x . (x − 1)4


76

Stacionárn´ı body funkce jsou reálné nulové body rovnice f 0 (x) = x2

x−3 = 0. (x − 1)3

Jsou to body x1 = 0 a x2 = 3. V bodˇe x1 = 0 nemˇen´ı derivace f 0 své znaménko, a proto v nˇem nenastává lokáln´ı extrém. Pˇritom f (0) = 0. V bodˇe x2 = 3 mˇen´ı f 0 své znaménko, a to ze záporného na kladné, a proto má funkce f v tomto bodˇe ostré lokáln´ı minimum f (3) = 27/4. 8

y

7 6 5 4 3 f (x) =

2

x3 (x − 1)2

1 -4 -3 -2 -1

x 1

-1 -2

2

3

4

5

6

-3 -4

Obrázek 3.6: Náˇcrt pr˚ ubˇehu funkce z pˇr´ıkladu 3 Inflexn´ım bodem funkce m˚ uˇze b´ yt reáln´ y koˇren rovnice f 00 (x) =

6x = 0, (x − 1)4

tj. x = 0. Protoˇze f 00 mˇen´ı v tomto bodˇe své znaménko, je bod x = 0 inflexn´ım bodem dané funkce. Jak jsme jiˇz zjistili, je f (0) = f 0 (0) = 0, je tedy osa x teˇcnou grafu funkce v jej´ım inflexn´ım bodˇe. Funkce je rostouc´ı na tˇech intervalech, kde je f 0 (x) > 0 . Jsou to intervaly (−∞, 1) a (3, +∞). Funkce je klesaj´ıc´ı na tˇech intervalech, kde je f 0 (x) < 0 . Je to interval (1, 3). Funkce je konvexn´ı na intervalech, kde je f 00 (x) > 0 , tedy na intervalech (0, 1) a (1, ∞). Funkce je konkávn´ı tam, kde je f 00 (x) < 0 , tedy na intervalu (−∞, 0). Z´ıskané u ´daje zap´ıˇseme do tabulky. x f (x) f 0 (x) f (x) f 00 (x) f (x) asymp.

(−∞, 0) −∞ ← + % − _ y =x+2

0 0 0

inf. bod

(0,1) →∞ + % + ^

1 N N

x=1

(1,3) ∞← − & + ^

3 27/4 0 lok. min

(3, +∞) →∞ + % + ^ y =x+2


77

´ Ulohy Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh následuj´ıc´ıch funkc´ı. x , x ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞); 2. f (x) = x2 e1/x , x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞); −1 x 3. f (x) = , x ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞); 4. f (x) = x ln2 x , x ∈ (0, ∞); ln x 1 − x2 5. f (x) = arccos , x ∈ (−∞, ∞); 6. f (x) = x + e−x , x ∈ (−∞, ∞). 1 + x2

1. f (x) =

Ad 1. f 0 (x) =

x2

−(x2 + 1) , (x2 − 1)2

x f (x) f 0 (x) f (x) f 00 (x) f (x) asymp.

f 00 (x) =

(−∞, −1) 0 ←→ −∞ − & − _ y=0

Ad 2. f 0 (x) = (2x − 1)e1/x , x f (x) f 0 (x) f (x) f 00 (x) f (x) asymp. Ad 3. f 0 (x) =

ln x − 1 , ln2 x

x f (x) f 0 (x) f (x) f 00 (x) f (x) asymp


x ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞).

(−1, 0) ∞← − & + ^

0 0 −1 0 inf. bod

(0, 1) → −∞ − & − _

x = −1

0 N

2 − ln x , x ln3 x

(1, ∞) ∞ ←→ 0 − & + ^ y=0

x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞).

(0, 1/2) ∞← − & + ^

1/2 e2 /4 0 lok. min

x=0

1 N

1 N

x=1

2x2 − 2x + 1 1/x e , x2

(−∞, 0) ∞ ←→ 0 − & + ^ nemá

(0, 1) 0 ←→ −∞ − & − _ nemá

(0, e−2 ) 0← + % − _ nemá

−1 N

f 00 (x) =

f 00 (x) =

Ad 4. f 0 (x) = (ln x + 2) ln x ,

2x(x2 + 3) , (x2 − 1)3

(1/2, ∞) →∞ + % + ^ nemá

x ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞). (1, e) ∞← − & + ^

e e 0 lok. min 1/e

(e, e2 )

e2 e /2 1/4 2

+ % + ^

inf. bod

x = −1

2 f 00 (x) = (ln x + 1) , x e−2 4e−2 0 lok. max −2e2

(e−2 , e−1 ) + − & − _

(e2 , ∞) →∞ + % − _ nemá

x ∈ (0, ∞). e−1 e−1 −1 0 inf. bod

(e−1 , 1) + − & + ^

1 0 0 lok. min 2

(1, ∞) →∞ + % + ^ nemá


78

2x −4|x| , f 00 (x) = , x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞). 2 |x|(1 + x ) (1 + x2 )2 Ad 6. f 0 (x) = 1 − e−x , f 00 (x) = e−x , x ∈ (−∞, ∞).

Ad 5. f 0 (x) =


(−∞, 0) π← − & − _ y=π

0 0 N lok. min

(0, ∞) →π + % − _ y=π


(−∞, 0) ∞← − & + ^ nemá

y

y

0 1 0 lok. min

(0, ∞) →∞ + % + ^ y=x

y

5 3 e 2

4 3

x -1

0

1

2

1

1

-1

x -2

-1

1

1

2

b) Graf z u ´lohy 2

a) Graf z u ´lohy 1 y

π

c) Graf z u ´lohy 3

y

y

π 2

4e−2

2 1

x e−2e−1

d) Graf z u ´lohy 4

x 4

2 e3

x -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x -2

e) Graf z u ´lohy 5 Obrázek 3.7: Grafy funkc´ı z u ´loh 1 aˇz 6

-1

1

2

f) Graf z u ´lohy 6

Kapitola 4

Neurˇ cit´ y integr´ al 4.1

Primitivn´ı funkce

Kl´ıˇcov´ a slova: Primitivn´ı funkce k dané funkci; neurˇcit´ y integrál funkce; integraˇcn´ı znak; integraˇcn´ı promˇenná; integrand; integraˇcn´ı konstanta Derivace a primitivn´ı funkce Pˇripomeˇ nme si, ˇze funkce f je derivac´ı funkce F na intervalu (a, b) právˇe tehdy, kdyˇz plat´ı F 0 (x) = f (x)

pro kaˇzdé x ∈ (a, b).

(4.1)

Funkce F se pak naz´ yvá primitivn´ı funkc´ı k funkci f v intervalu (a, b). Existuj´ı funkce, které nemaj´ı primitivn´ı funkce. Avˇsak vˇetˇsina funkc´ı, s nimiˇz se v bˇeˇzné praxi setkáv´ ame, primitivn´ı funkce má. Pozdˇeji uvid´ıme, ˇze kaˇzd´ a funkce f spojit´ a v intervalu (a, b) m´ a v tomto intervalu primitivn´ı funkci. Je-li funkce F˜ primitivn´ı funkce k funkci f na intervalu (a, b) a je-li c libovolná konstantn´ı funkce definovaná na intervalu (a, b), pak také funkce F (x) = F˜ (x) + c je primitivn´ı funkc´ı k funkci f na intervalu (a, b). Existuje-li tedy jedna primitivn´ı funkce F˜ k funkci f na intervalu (a, b), existuje jich nekoneˇcnˇe mnoho, a to vˇsechny funkce z mnoˇziny {F | F (x) = F˜ (x) + c , x ∈ (a, b) , c ∈ R} .

(4.2)

Naopak jsou-li funkce F a F˜ dvˇe primitivn´ı funkc´ı k funkci f na intervalu (a, b), pak pro kaˇzdé x ∈ (a, b) plat´ı F 0 (x) − F˜ 0 (x) = f (x) − f (x) = 0. Podle D˚ usledku 3.1.5.1 existuje konstanta c ∈ R taková, ˇze pro vˇsechna x ∈ (a, b) plat´ı F (x) − F˜ (x) = c. Tedy vˇsechny primitivn´ı funkce k funkci f na intervalu (a, b) jsou dány vztahem (4.2). Pˇ r´ıklady 2 1. Funkce F (x) = tg x je primitivn´ı funkc´ ı k funkci f (x) = 1/ cos x v kaˇzdém z nekoneˇcnˇe mnoha interval˚ u (a, b) = (2k − 1)π/2, (2k + 1)π/2 , k ∈ Z.

2. Funkce F1 (x) = x2 e3x a F2 (x) = 2 + x2 e3x jsou primitivn´ımi funkcemi k funkci f (x) = e3x (3x2 + 2x) v intervalu (−∞, ∞). 3. Zderivujeme-li funkce F (x) = arcsin x a G(x) = 4−arccos x, zjist´ıme, ˇze obˇe jsou primitivn´ımi funkcemi √ k funkci f (x) = 1/ 1 − x2 v intervalu (−1, 1). Neurˇ cit´ y integr´ al Má-li funkce f nˇejakou primitivn´ı funkci na intervalu (a, b), pak mnoˇzinu vˇsech jejich primitivn´ıch funkc´ı ˇ ıkáme také, ˇze funkce f m´ v (a, b) naz´ yváme neurˇcitým integr´ alem funkce f na intervalu (a, b). R´ a integr´ aRl R R na intervalu (a, b). Pro neurˇcit´ y integrál funkce f pouˇz´ıváme symbol f nebo f (x) dx . Symbol se naz´ yvá integraˇcn´ı znak, funkce f se naz´ yvá integrand. Promˇenná x se naz´ yvá integraˇcn´ı promˇenn´ a. Nezáleˇz´ı na tom, jak´ y symbol pouˇzijeme k oznaˇcen´ı integraˇcn´ı promˇenné. Obsahuje-li integrand v´ıce promˇenn´ ych, pak integraˇcn´ı promˇennou udává symbol dx, kter´ y p´ıˇseme na konci integrálu a kter´ y spolu s integraˇcn´ım znakem pˇredstavuje jakési ”závorky” v zápisu integrálu. 79

80

ˇ Y ´ INTEGRAL ´ KAPITOLA 4. NEURCIT

R Je-li funkce F primitivn´ı k funkci f v intervalu (a, b), pak p´ıˇseme f (x) dx = F (x) + c. Konstanta c se naz´ yvá integraˇcn´ı konstanta. Nezáleˇz´ı na tom, jak´ ym p´ısmenem ji znaˇc´ıme. Chceme-li dostat z integrálu jednu primitivn´ı funkci, je tˇreba pevnˇe zvolit hodnotu integraˇcn´ı konstanty. Aditivita integr´ alu vzhledem k integraˇ cn´ımu oboru 1. M´ a-li funkce f integr´ al v intervalu (a, b) a je-li I otevˇrený podinterval intervalu (a, b), pak funkce f m´ a integr´ al také v intervalu I. 2. M´ a-li funkce f integr´ al v intervalech I1 , I2 , · · · , Im a je-li jejich sjednocen´ı I = I1 ∪I2 ∪· · ·∪Im interval, pak m´ a funkce f integr´ al také v intervalu I. D˚ ukaz: Obˇe tvrzen´ı plynou pˇr´ımo z definice primitivn´ı funkce a z aditivity derivace. Pozn´ amka Tvrzen´ı 2. se pouˇz´ıvá i v pˇr´ıpadech, kdy sjednocen´ı I integraˇcn´ıch obor˚ u In nen´ı interval. Ukáˇzeme si to na pˇr´ıkladˇe. 0 0 Z R diferenciáln´ı poˇctu v´ıme, ˇze (ln x) = 1/x R pro x ∈ (0, ∞) a (ln(−x)) = 1/x pro x ∈ (−∞, 0) . Je tedy 1/x dx = ln x + c v intervalu (0, ∞) a 1/x dx = ln(−x) + c v intervalu (−∞, 0) . Vid´ıme, ˇze funkce ln |x| je primitivn´ı funkc´ı k funkci 1/x jak v intervalu (−∞, 0), tak i v intervalu (0, ∞). Proto p´ıˇseme nˇekdy také Z 1 dx = ln |x| + c v M = (−∞, 0) ∪ (0, ∞). x Je tˇreba si uvˇedomit, ˇze tento zápis nen´ı zcela korektn´ı. Jelikoˇz mnoˇzina M je sjednocen´ım dvou disjunktn´ıch interval˚ u, m˚ uˇzeme integraˇcn´ı konstantu c volit libovolnˇe na kaˇzdém z obou interval˚ u. Takovou primitivn´ı funkc´ı je napˇr. funkce G definovaná pˇredpisy ln |x| + 1 pro x ∈ (−∞, 0), G(x) = ln |x| + 3 pro x ∈ (0, +∞). Linearita integr´ alu 1. Necht’ funkce F , resp. funkce G je primitivn´ı funkce k funkci f , resp. funkci g v intervalu (a, b) a necht’ r je ˇc´ıslo. Pak funkce F + G je primitivn´ı funkce k funkci f + g a funkce rF je primitivn´ı funkce k funkci rf v intervalu (a, b). 2. Necht’ funkce f, g maj´ı neurˇcité integr´ aly v intervalu (a, b) a necht’ r je ˇc´ıslo. Pak také funkce f + g a funkce rf m´ a neurˇcitý integr´ al v intervalu (a, b) a plat´ı R R R R R (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx, rf (x) dx = r f (x) dx. (4.3) 3. Necht’ funkce f1 , f2 , · · · , fm maj´ı neurˇcité integr´ aly v (a, b) a necht’ r1 , r2 , · · · , rm jsou konstanty. Pak také funkce r1 f1 + r2 f2 + · · · + rm fm m´ a integr´ al v intervalu (a, b) a plat´ı R R R R (r1 f1 (x) + r2 f2 (x) + . . . + rn fn (x)) dx = r1 f1 (x) dx + r2 f2 (x) dx + · · · + rn fn (x) dx. (4.4) Struˇcnˇe lze ˇr´ıci, ˇze integrál lineárn´ı kombinace funkc´ı je roven lineárn´ı kombinaci integrál˚ u tˇechto funkc´ı, pokud pˇr´ısluˇsné integrály existuj´ı. Vˇsechna tˇri tvrzen´ı plynou pˇr´ımo z definice primitivn´ı funkce a z linearity derivace a bˇeˇznˇe je pouˇz´ıváme pˇri v´ ypoˇctech integrál˚ u. Máme-li napˇr. integrovat souˇcet nˇekolika funkc´ı, staˇc´ı naj´ıt integrály jednotliv´ ych sˇc´ıtanc˚ u a ty pak seˇc´ıst.

´ Í VZORCE PRO INTEGRACI 4.2. ZAKLADN

4.2

81

Z´ akladn´ı vzorce pro integraci

Ze znám´ ych vzorc˚ u pro derivace elementárn´ıch funkc´ı (nebo jejich triviáln´ıch modifikac´ı) dostáváme pˇr´ımo základn´ı vzorce pro integrován´ı. Tyto vzorce budeme v dalˇs´ım textu neustále pouˇz´ıvat bez zvláˇstn´ıch odkaz˚ u a je nezbytné je znát bezpeˇcnˇe zpamˇeti. Ve vˇsech následuj´ıc´ıch vzorc´ıch znaˇc´ı c libovolnou konstantu. Pˇritom je nutné si uvˇedomit, ˇze v pˇr´ıpadech, kdy obor, na nˇemˇz pˇr´ısluˇsná rovnost plat´ı, je sjednocen´ım nˇekolika disjunktn´ıch interval˚ u, m˚ uˇze integraˇcn´ı konstanta c nab´ yvat na r˚ uzn´ ych intervalech r˚ uzn´ ych hodnot. Z xn dx =

1)

Z 2) Z 3)

5)

x ∈ R \ {0} pro n ∈ Z, n < −1, x > 0 pro n ∈ R, n ∈ / Z. x ∈ R \ {0} .

ex dx = ex + c;

x ∈ R.

ax dx = Z

x ∈ R pro n ∈ Z, n > 0;

dx = ln |x| + c, x

Z 4)

xn+1 + c, n+1

ax + c, ln a

x ∈ R, a > 0, a 6= 1.

sin x dx = − cos x + c,

x ∈ R.

cos x dx = sin x + c,

x ∈ R.

Z 6) Z

1 dx = tg x + c, cos2 x Z 1 8) dx = − cotg x + c, sin2 x Z 1 arcsin x + c, √ dx = 9) − arccos x + c, 1 − x2 Z 1 arctg x + c, 10) dx = − arccotg x + c, 1 + x2 Z 11) cosh x dx = sinh x + c; Z 12) sinh x dx = cosh x + c; Z dx √ 13) = argsinh x + c = 1 + x2 Z dx √ 14) = argcosh x + c = x2 − 1 Z dx = argtgh x + c = 15) 1 − x2 Z dx 16) = argcotgh x + c = 1 − x2 7)

x ∈ ((2k − 1)π/2, (2k + 1)π/2), k ∈ Z. x ∈ (2kπ, (2k + 1)π), k ∈ Z. x ∈ (−1, 1). x ∈ R. x ∈ R. x ∈ R. ln(x + ln(x +

√ √

1 + x2 ) + c, x ∈ R. x2 − 1) + c, x ∈ (1; ∞).

1 1+x ln + c; x ∈ (−1, 1). 2 1−x 1 x+1 ln + c; x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; ∞). 2 x−1

Pˇ r´ıklady na pouˇ zit´ı z´ akladn´ıch vzorc˚ u Vypoˇctˇeme následuj´ıc´ı integrály. R 1. I = (3x2 − 4x + 1) dx. R R R R ˇ sen´ı: Podle vˇety o linearitˇe integrálu dostáváme. I = (3x2 − 4x + 1) dx = 3 x2 dx − 4 x dx + 1 dx Reˇ = 3(x3 /3 + c1 ) − 4(x2 /2 + c2 ) + x + c3 = x3 − 2x2 + x + c , x ∈ R . Z 2 √ x − x+2 2. I = dx. x ˇ sen´ı: V intervalu (0, ∞) vydˇel´ıme ˇcitatele integrandu jmenovatelem a pouˇzijeme základn´ı vzorce. I = Reˇ


82 R

R R R (x − x−1/2√+ 2/x) dx = x dx − x−1/2 dx + 2 1/x dx = (x2 /2 + c1 ) − x1/2 /(1/2) + c2 ) + 2(ln x + c3 ) = x2 /2 − 2 x + 2 ln x + c, x ∈ (0, ∞). R 3. I = (2ex + 3 · 4x ) dx. R R R ˇ sen´ı: Pro vˇsechna x ∈ R je I = (2ex +3·4x ) dx = 2 ex dx+3 4x dx = 2(ex +c1 )+3(4x / ln 4+c2 ) = Reˇ 2ex + 3 · 4x / ln 4 + c. Z π π π 4. I = 2 sin x + dx v intervalu − , . 2 cos x 2 2 R R R ˇ sen´ı: V intervalu (−π/2, π/2) je I = (2 sin x + π/ cos2 x) dx = 2 sin x dx + π (1/ cos2 x) dx = Reˇ −2 cos x + π tg x + c, x ∈ (−π/2, π/2). Pozn´ amka Pˇri integrován´ı funkc´ı typu f (ax + b) pouˇz´ıváme v jistém smyslu vˇetu o derivován´ı sloˇzené funkce. Je-li F primitivn´ı funkce k funkci f , pak (F (ax + b))0 = F 0 (ax + b) · (ax + b)0 = a · F 0 (ax + b) = a · f (ax + b). Odtud plyne R 1 f (ax + b) dx = F (ax + b) + c . (4.5) a R 5. I = e3x dx. R ˇ sen´ı: Podle (4.5) je I = e3x dx = e3x /3 + c, x ∈ R. Reˇ R 6. I = cos(1 − x/2) dx. R ˇ sen´ı: Podle (4.5) je I = cos(1 − x/2) dx = −2 sin(1 − x/2) + c, x ∈ R. Reˇ Z dt 7. I = . t+2 R ˇ sen´ı: Podle (4.5) dostáváme 1/(t + 2) dt = ln |t + 2| + c, t ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, ∞). Reˇ R 8. I = sin(−5t + 3) dt. R ˇ sen´ı: Podle (4.5) dostáváme sin(−5t+3) dt = −(−1/5) cos(−5t+3)+c = cos(−5t+3) /5+c, t ∈ R. Reˇ R 9. I = 8 sin t cos t dt. R R ˇ sen´ı: Vyuˇzijeme znám´ Reˇ y vztah sin 2t = 2 sin t cos t. Plat´ı tedy I = 8 sin t cos t dt = 4 sin 2t dt = −2 cos 2t + c, t ∈ R. R 10. I = 14 cos 4t cos 3t dt. ˇ sen´ı: Vyuˇzijeme vztah 2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a − b) , a, b ∈ R. V naˇsem pˇr´ıpadˇe tedy plat´ı Reˇ R R 2 cos 4t cos 3t = cos(4t + 3t) + cos(4t − 3t) = cos 7t + cos t, a tedy I = 7 cos 7t dt + 7 cos t dt = sin 7t + 7 sin t + c, t ∈ R. R 11. I = cos2 at dt, a 6= 0. R R ˇ sen´ı: Vyuˇzijeme vztah cos2 t = (1 + cos 2t)/2 a dostaneme I = cos2 at dt = (1/2) (1 + cos 2at) dt = Reˇ t/2 + (sin 2at)/(4a) + c, t ∈ R. ´ Ulohy Vypoˇctˇete následuj´ıc´ı integrály. Z Z 3 Z Z √ 1 x +1 2 dx √ dx; 1. 2. dx; 3. x+ dx; 4. ; 2 x x 1 −x 2 x R R R R 5. (2x − 1)3 dx; 6. cos(3x/5 − 1) dx; 7. sinh(1 − 3x) dx; 8. (sin x + cos x)2 dx. 

1.

√

x + c, x > 0;

 3. 2x3/2 /3 + 2 ln x + c, x > 0;  5. (2x − 1)4 /8 + c, x ∈ R; 6. 5 sin(3x/5 − 1) /3 + c, x ∈ R; 

2. x2 /2 − 1/x + c, x 6= 0;

  4. − ln |1 − x| + c, x 6= 1; 7. − cosh(1 − 3x) /3 + c, x ∈ R;

8. x − (cos 2x)/2 + c, x ∈ R.

4.3. METODA INTEGRACE PER PARTES

4.3

83

Metoda integrace per partes

Vˇ eta o integrov´ an´ı per partes Necht’ funkce u a v jsou spojitˇe diferencovatelné v intervalu (a, b). Pak plat´ı R 0 R u (x)v(x) dx = u(x)v(x) − u(x)v 0 (x) dx.

(4.6)

D˚ ukaz: Z vˇety o derivován´ı souˇcinu plyne (uv)0 = u0 v + uv 0 v (a, b), aR proto funkce uv R je0 primitivn´ R 0 ı funkc´ı 0 0 0 0 k funkci u v + uv v (a, b). Z vˇ e ty o linearitˇ e integr´ a lu pak plyne (u v + uv ) = u v + uv , a tedy R 0 R u v + uv 0 = uv + c v intervalu (a, b), coˇz je ekvivalentn´ı s (4.6). Pˇ r´ıklady Máme vypoˇc´ıtat následuj´ıc´ı integrály. R 1. x sin x dx. ˇ sen´ı: Protoˇze je x0 = 1, odstran´ı vhodné pouˇzit´ı vzorce (4.6) faktor x z integrandu. Funkce u(x) = Reˇ − cos x a v(x) = x maj´ı zˇrejmˇe spojité derivace v R, takˇze pˇredpoklady vˇety o integraci per partes jsou splnˇeny. Volbu funkc´ı u a v a jejich derivace budeme bˇehem v´ ypoˇctu zapisovat jako pomocnou u ´vahu mezi dvˇe svislé ˇcáry. 0 Z Z u = sin x, u = − cos x x sin x dx = = (− cos x)x − (− cos x) · 1 dx = v = x, v0 = 1 R = −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + c , x ∈ R. R 2. 8x3 e2x dx. ˇ sen´ı: Integrand je souˇcin funkc´ı, které maj´ı spojité vˇsechny derivace, takˇze m˚ Reˇ uˇzeme pouˇz´ıt metodu per partes tˇrikrát za sebou, abychom odstranili mocninu x3 z integrandu. 0 0 u = 8e2x , u = 4e2x u = 12e2x , u = 6e2x R 3 2x R 2 2x 2x 3 = 8x e dx = = 4e x − 12 x e dx = v = x3 , v 0 = 3x2 v = x2 , v 0 = 2x 0 u = 12e2x , u = 6e2x R 2x R 3 2x 2 2x = 4x3 e2x − 6x2 e2x + 6xe2x − 6 e2x dx = = 4x e − 6x e + 12 xe dx = 0 v = x, v =1 = e2x (4x3 − 6x2 + 6x − 3) + c ,

x ∈ R.

R

3. ln x dx. ˇ sen´ı: Pro x > 0 si m˚ Reˇ uˇzeme pˇredstavit integrand jako souˇcin 1 · ln x, takˇze 0 Z u = 1, u = x R 1 1 · ln x dx = = x ln x − x dx = x ln x − x + c, v = ln x v 0 = 1/x x

x > 0.

Pozn´ amka Dosud jsme metodou per partes pˇr´ımo hledali pˇr´ısluˇsné primitivn´ı funkce. Nˇekdy se ke hledané primitivn´ı funkci dostáváme ”nepˇr´ımo”. Máme-li vypoˇc´ıtat integrál I, pouˇzijeme metodu per partes nˇekolikrát tak, abychom dospˇeli opˇet k témuˇz integrálu I. Dostaneme tak rovnici, z n´ıˇz integrál I vypoˇcteme. R 4. I = ex sin x dx. ˇ sen´ı: Pouˇzijeme metodu per partes dvakrát za sebou. Reˇ 0 0 u = sin x, u = − cos x u = cos x, u = sin x R x R x x = e sin x dx = = −e cos x + e cos x dx = v = ex , v = ex , v 0 = ex v 0 = ex R = −ex cos x + ex sin x − ex sin x dx. Dostali jsme rovnici I = ex (sin x − cos x) − I, a tedy R x e sin x = ex (sin x − cos x)/2 + c,

x ∈ R.

Dosad´ıme-li tento v´ ysledek do prvn´ı rovnosti, dostaneme rovnost R x e cos x = ex (sin x + cos x)/2 + c,

x ∈ R.


84

R√ 5. I = 1 − x2 dx. ˇ sen´ı: V intervalu (−1, 1) pouˇzijeme metodu per partes. Reˇ 0 u = 1, u=x √ R√ R 2 dx √ I= 1 − x2 dx = v = 1 − x2 , v 0 = − √ x . = x 1 − x2 + √x1−x 2 2 1−x 2 2 p x 1−x 1 1 Zˇrejmˇe je √ =− √ −√ = − 1 − x2 + √ , takˇze 2 2 2 1−x 1−x 1−x 1 − x2 p √ √ R√ R I = x 1 − x2 − 1 − x2 dx + (1/ 1 − x2 ) dx = x 1 − x2 − I + arcsin x. √ Pro integr´ ame rovnici I = x 1 − x2 + arcsin x − I, ze které jiˇz snadno vypoˇcteme √ al I opˇet dostáv´ I = (x 1 − x2 + arcsin x)/2 + c, x ∈ (−1, 1). R 6. I4 = sin4 x dx. ˇ sen´ı: Pouˇzijeme metodu per partes a rovnost sin2 x cos2 x = sin2 x(1 − sin2 x) = sin2 x − sin4 x. Reˇ 0 u = sin x, u = − cos x R R 3 = − sin3 cos x + 3 sin2 x cos2 x dx = I4 = sin x sin x dx = 3 2 0 v = sin x, v = 3 sin x cos x R = − sin3 x cos x + 3 (sin2 x − sin4 x) dx = − sin3 x cos x + 3I2 − 3I4 , R kde I2 = sin2 x dx. Odtud dostáváme vztah 1 3 I4 = − sin3 x cos x + I2 . 4 4

(4.7)

Pro integr´ al I2 plat´ı I2 =

R

R sin2 x dx = (1/2) (1 − cos 2x) dx = x/2 − (sin 2x)/4 + c, x ∈ R.

(4.8)

Po dosazen´ı do (4.7) dostáv´ ame 1 I4 = 4

3 3 3 − sin x cos x − sin 2x + x + c, 4 2

x ∈ R.

(4.9)

Pozn´ amka Rovnost 4.7 napov´ıdá, jak lze nˇekdy vyjádˇrit integrál závisl´ y na pˇrirozeném ˇc´ıslu n pomoc´ı analogického integrálu s niˇzˇs´ım n. Dostáváme tzv. rekurentn´ı formule pro výpoˇcet integr´ al˚ u. Opakovan´ ym pouˇzit´ım tˇechto formul´ı lze vˇzdy pˇrevést integrál In na integrál I1 nebo I2 , jejichˇz v´ ypoˇcet zpravidla známe. R R Necht’ In = cosn x dx, Jn = sinn x dx pro n = 1, 2, . . . . Pak pro n ≥ 2 plat´ı In =

1 n−1 1 n−1 cosn−1 x sin x + In−2 , Jn = − sinn−1 x cos x + In−2 . n n n n

(4.10)

D˚ ukaz: Funkce cosn x a sinn x maj´ı spojité derivace, takˇze vˇsechny integrály In i Jn existuj´ı v R a m˚ uˇzeme pouˇz´ıt metodu per partes. 0 Z u = cos x, u = sin x n−1 = In = cos x cos x dx = n−1 0 n−2 v = cos x, v = −(n − 1) cos x sin x R = sin x cosn−1 x + (n − 1) cosn−2 x sin2 x dx = R R = sin x cosn−1 x + (n − 1) cosn−2 x dx − (n − 1) cosn x dx = = sin x cosn−1 x + (n − 1)In−2 − (n − 1)In , odkud jiˇz snadno plyne (4.10). D˚ ukaz pro Jn je analogick´ y. R 6 7. Jako posledn´ı pˇr´ıklad vypoˇcteme integrál I6 = cos x dx. ˇ sen´ı: Pouˇzijeme-li vzorec (4.10) pro n = 6 a n = 4 a rovnosti (4.9) a (4.8), dostaneme Reˇ I6 =

5 1 cos5 x sin x + I4 , 6 6

I4 =

1 3 cos3 x sin x + I2 , 4 4

ˇ Í METODA INTEGROVAN ´ Í 4.4. SUBSTITUCN a tedy I6 =

85

1 5 5 5 cos5 x sin x + cos3 x sin x + sin 2x + x + c, 6 24 32 16

x ∈ R.

´ Ulohy 1. Metodou per partes vypoˇctˇete následuj´ıc´ı integrály. 1. 5.

R R R

x2 ex dx;

2.

x arcsin x dx; x

9. (3x − 1)e dx; R 13. (2 − x2 )ex dx; Z ln x 17. dx; x2                   

6.

R R

x3x dx;

sin(ln x) dx; R 10. (x − 1) sin x dx; R 14. x ln2 x dx; Z ln x 18. dx; x

3.

R R

x2 ln x dx;

4. 2

7. (x + sin x) dx; R 11. (x + 2) cos x dx; R 15. x2 ln x dx; Z p 19. 1 + x2 dx;

8.

R R

arccos x dx;

x arctg x dx; R 2 12. x sin x dx; R 16. x2 e−x dx; Z 20. ln2 x dx.

x3 3x 1. ex (x2 − 2x + 2), x ∈ R; 2. 2 (x ln 3 − 1), x ∈ R; 3. (3 ln x − 1), x > 0; 9 ln 3 √ √ 2 2 4. x arccos x − 1 − x , |x| < 1; 5. (2x − 1) arcsin x + x 1 − x2 /4, |x| < 1; 6. x sin(ln x) − cos(ln x) /2, x > 0; 7. (4x3 − 24x cos x + 24 sin x + 6x − 3 sin 2x)/12, x ∈ R;



        2 x 8. (x arctg x − x + arctg x)/2, x ∈ R; 9. (3x − 4)e , x ∈ R; 10. (1 − x) cos x + sin x, x ∈ R;     11. (x + 2) sin x + cos x, x ∈ R; 12. − x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x, x ∈ R   2 2 x 2 3 13. (2x − x )e , x ∈ R; 14. x (2 ln x − 2 ln x + 1)/4, x > 0; 15. x (3 ln x − 1)/9, x > 0;   2 −x 2  16. − e (x + 2x + 2), x ∈ R; 17. − (ln x + 1)/x, x > 0; 18. (ln x)/2, x > 0;  √ √ 19. x 1 + x2 + ln(x + 1 + x2 ) /2, x ∈ R; 20. x(ln2 x − 2 ln x + 2), x > 0.

2. Vypoˇctˇete integrály I4 a I6 z pˇr´ıklad˚ u 6 a 7 tak, ˇze opakovanˇe pouˇzijete vzorce pro dvojnásobn´ yu ´hel sin2 x = (1 − cos 2x)/2, cos2 x = (1 + cos 2x)/2. 3. Odvod’te rekurentn´ı formule pro integrály R R a) In = sinhn x dx, b) Jn = coshn x dx, n = 3, 4, . . . . n−1 1 n−1 1 In−2 ; Jn = coshn−1 x sinh x + In−2 . In = sinhn−1 x cosh x − n n n n

4.4

Substituˇ cn´ı metoda integrov´ an´ı

Prvn´ı vˇ eta o integrov´ an´ı substituˇ cn´ı metodou Necht’ v intervalu J existuje integr´ al na levé stranˇe rovnosti R R f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt

(4.11)

a rovn´ a se F (x). Necht’ funkce x = ϕ(t) je diferencovateln´ a v intervalu I takov´ em, ˇze ϕ(I) ⊂ J. Pak v intervalu I existuje integr´ al na pravé stranˇe rovnosti (4.11) a rovn´ a se F ϕ(t) . D˚ ukaz: Necht’ F je primitivn´ı funkce k funkci f v intervalu J. Protoˇze funkce ϕ zobrazuje interval I do intervalu J, jsou sloˇzené funkce F (ϕ(t)) a f (ϕ(t)) definované v intervalu I a podle vˇety o derivaci sloˇzené funkce plat´ı d d d F (ϕ(t)) = F (x) ϕ(t) = f (x)ϕ0 (t) = f (ϕ(t))ϕ0 (t), t ∈ I. dt dx dt Odtud ihned plyne (4.11). Pˇri v´ ypoˇctu integrál˚ u pomoc´ı prvn´ı vˇety o substituci hledáme nejdˇr´ıve v integrandu vhodnou funkci x = ϕ(t) a jej´ı diferenciál dx = ϕ0 (t) dt tak, abychom mohli pˇrevést integrál na levé stranˇe rovnosti (4.11) na integrál vpravo. Podaˇr´ı-li se tento krok, ovˇeˇr´ıme, zda jsou splnˇeny pˇredpoklady vˇety. Pak m˚ uˇzeme provést v´ ypoˇcet.


86

Prvn´ı vˇeta o substituci je napˇr. velmi vhodná k v´ ypoˇctu integrál˚ u, jejichˇz integrand je logaritmickou derivac´ı nˇejaké funkce. Skuteˇcnˇe, je-li ϕ(t) 6= 0 v intervalu I a existuje-li spojitá ϕ0 v I, pak plat´ı Z 0 ϕ (t) dt = ln |ϕ(t)| + c, t ∈ I. (4.12) ϕ(t) Nyn´ı ukáˇzeme pouˇzit´ı prvn´ı vˇety o substituci na pˇr´ıkladech. Pˇ r´ıklady Máme vypoˇc´ıtat následuj´ıc´ı integrály. R 1. sin(3t − 2) dt. ˇ sen´ı: Integrand je spojit´ Reˇ y v R, a proto integrál existuje. Pro volbu x = ϕ(t) = 3t R − 2, dx = 3 dt jsou pˇ r edpoklady vˇ e ty zˇ r ejmˇ e splnˇ e ny. M˚ u ˇ z eme tedy pouˇ z ´ ıt vztah (4.11). Dost´ a v´ a me sin(3t − 2) dt = R (1/3) sin x dx = −(1/3) cos(3t − 2) + c, t ∈ R. R 2. sin3/2 t cos t dt v intervalu (−π/2, π/2). ˇ sen´ı: Integrand je spojit´ Reˇ y v intervalu I = (−π/2, π/2), a proto integrál v tomto intervalu existuje. Zvol´ıme x = ϕ(t) = sin t, pak je dx = cos t dt a f (x) = x3/2 . Integrand funkce je na intervalu I spojit´ y, takˇze integrál existuje. Dále funkce ϕ(t) = sin t zobrazuje interval R I na interval J = R (−1, 1) a derivace ϕ0 (t) = cos t je na I nenulová. M˚ uˇzeme tedy pouˇz´ıt vztah (4.11) sin3/2 t cos t dt = x3/2 dx = (2/5)x5/2 + c = (2/5) sin5/2 t + c, t ∈ I. R√ 3. 2t2 − t + 1(4t − 1) dt. ˇ sen´ı: Integrand je spojit´ Reˇ y v R. Vol´ıme x = ϕ(t) = 2t2 − t + 1, dx = ϕ0 (t) dt = (4t − 1) dt, a tedy R√ R√ 2t2 − t + 1(4t − 1) dt = x dx = (2/3)x3/2 = (2/3)(2t2 − t + 1)3/2 + c, t ∈ (−∞, ∞). R 4. t(1 + t2 )5 dt. ˇ sen´ı: Integrand je spojit´ Reˇ y v R, takˇze integrál existuje. Substituci budeme zapisovat bˇehem v´ ypoˇctu mezi dvˇe svislé ˇcáry, jako jsme to dˇelali u metody per partes. Tedy Z Z x = 1 + t2 1 1 6 1 2 5 (1 + t ) t dt = = x5 dx = x +c= (1 + t2 )6 + c, t ∈ R . dx = 2t dt 2 12 12 Z

sin t dt. cos3 t ˇ sen´ı: Integrujeme v nˇekterém z interval˚ Reˇ u Ik = ((2k − 1)π/2, (2k + 1)π/2), v nˇemˇz je cos t 6= 0. Z Z x = tg t , 1 2 dt sin t = tg t + c, t ∈ Ik . dt = tg t = 2 3 2 dx = (1/ cos t) dt 2 cos t cos t

5.

Z

et dt. et + 3 ˇ sen´ı: Reˇ Z x = et + 3 , et dt = dx = et dt, t e +3

6.

Z

Z dx = = ln |x| = ln |et + 3| + c = ln(et + 3) + c, x

t ∈ R.

ln t dt v intervalu I = (0, ∞). t R R ˇ sen´ı: (ln t)/t dt = | x = ln t , dx = (1/t) dt | = x dx = x2 /2 + c = (ln2 t)/2 + c, t ∈ (0, ∞). Reˇ p Z (ln t) 1 + ln2 t dt. 8. t ˇ sen´ı: Reˇ p Z Z Z x = 1 + ln2 t , 1 √ (ln t) 1 + ln2 t 1 p 2 ln t = dt = dt = 1 + ln2 t x dx = dx = 2(ln t)(1/t) dt 2 t 2 t 7.

ˇ Í METODA INTEGROVAN ´ Í 4.4. SUBSTITUCN = Z

87

1 2 3/2 1 (x) + c = (1 + ln2 t)3/2 + c, 23 3

1 + arctg t dt. 1 + t2 ˇ sen´ı: Reˇ Z x = 1 + arctg t , 1 + arctg t dt = dx = 1/(1 + t2 ) dt, 2 1+t

t > 0.

9.

Z 2 = x dx = 1 x2 + c = (arctg t + 1) + c, 2 2

x ∈ R.

Z

dt , a ∈ R, a 6= 0. t2 + a2 ˇ sen´ı: Reˇ Z Z Z x = t/a , 1 1 dt dt 1 = dt = = 2 2 2 2 2 dx = (1/a) dt, t +a a (t/a) + 1 a a (t/a) + 1 Z 1 dx 1 1 t = = arctg x + c = arctg + c, t ∈ R. 2 a x +1 a a a

10.

Je tedy

Z t2

dt 1 t = arctg + c, 2 +a a a

t ∈ R.

=

(4.13)

Tento integrál se ˇcasto vyskytuje, proto je dobré si jej zapamatovat. Z dt 11. . t2 + 3 √ ˇ sen´ı: Podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe uprav´ıme jmenovatele t2 + 3 = 3(t2 /3 + 1) = 3 (t/ 3)2 + 1 , Reˇ √ √ √ √ √ R R takˇze 1/(t2 + 3) dt = (1/ 3) 1/ (t/ 3)2 + 1 · (1/ 3) dt = ( 3/3) arctg(t/ 3) + c, t ∈ R. Z dt . 12. I = 3t2 + 5 R R ˇ sen´ı: Je to integrál typu (4.13). Vytkneme ze jmenovatele 3 a dostáváme 1/(3t2 +5) dt = 1/3 1/ t2 + Reˇ p p √ ( 5/3)2 dt = (1/ 15) arctg(t 3/5) + c, t ∈ R. R 13. sin3 t dt. R ˇ sen´ı: Vyuˇzijeme rovnost sin3 t = sin2 t sin t = (1 − cos2 t) sin t, takˇze sin3 t dt = |x = cos t, dx = Reˇ R − sin t dt| = − (1 − x2 ) dx = −x + x3 /3 + c = − cos t + (cos3 t)/3 + c, t ∈ R. R 14. cos5 3t dt. ˇ sen´ı: Vyuˇzijeme rovnosti cos5 3t = cos4 3t cos 3t = (1 − sin2 3t)2 cos 3t = (1 − 2 sin2 3t + sin4 3t) cos 3t. Reˇ R R R Dostaneme cos5 3t dt = (1 − 2 sin2 3t + sin4 3t) cos 3t dt = |x = sin 3t, dx = 3 cos 3t dt| = (1/3) (1 − 2x2 + x4 ) dx = x/3 − 2x3 /9 + x5 /15 + c = (sin 3t)/3 − 2(sin3 3t)/9 + (sin5 3t)/15 + c, t ∈ R. Druh´ a vˇ eta o integrov´ an´ı substituˇ cn´ı metodou Necht’ v intervalu I existuje integr´ al na levé stranˇe rovnosti R R f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt = f (x) dx .

(4.14)

a rovn´ a se F (t), Necht’ funkce x = ϕ(t) m´ a nenulovou derivaci v kaˇzdém bodˇe intervalu I a necht’ zobrazuje interval I na interval J = ϕ(I). Pak v intervalu J existuje integr´ al na pravé stranˇe rovnosti (4.14) a rovn´ a se F ψ(x) , kde ψ(x) je inverzn´ı funkce k funkci x = ϕ(t). D˚ ukaz: Funkce ϕ je podle pˇredpokladu prostá v intervalu I. Oznaˇcme t = ψ(x) funkci inverzn´ı k funkci ϕ. Tato funkce zobrazuje interval J na interval I. Podle pˇredpokladu existuje funkce G, diferencovatelná v I taková, ˇze G0 (t) = f (ϕ(t))ϕ0 (t), t ∈ I. Oznaˇcme F (x) = G(ψ(x)). Podle vˇety o derivaci sloˇzené funkce existuje v intervalu J derivace F 0 a plat´ı F 0 (x) = G0 (ψ(x))ψ 0 (x) = G0 (t)ψ 0 (x) = f (ϕ(t))ϕ0 (t) · 1/ϕ0 (t) = f (x), x ∈ J. Pozn´ amka M´ısto pˇredpokladu ϕ0 (t) 6= 0 pro vˇsechna t ∈ I staˇc´ı poˇzadovat, aby funkce ϕ byla ryze monotónn´ı a aby bylo ϕ0 (t) = 0 pro nejv´ yˇse koneˇcn´ y poˇcet bod˚ u t ∈ I. Na rozd´ıl od prvn´ı vˇety o substituci, kdy funkci ϕ(t) hledáme v integrandu, mus´ıme nyn´ı tuto funkci ”vymyslet” tak, abychom integrál vpravo pˇrevedli na integrál zdánlivˇe sloˇzitˇejˇs´ı, kter´ y vˇsak jiˇz um´ıme


88

spoˇc´ıtat. Pˇritom integrál v (4.14) vlevo dostaneme z integrálu v (4.14) vpravo, kdyˇz formálnˇe dosad´ıme – tj. substituujeme – za x funkci ϕ(t) a na symbol dx se pˇritom d´ıváme jako na diferenciál x, a tedy za dx prostˇe dosad´ıme ϕ0 (t) dt. Postup opˇet ukáˇzeme na pˇr´ıkladech. Pˇ r´ıklady Máme vypoˇc´ıtat následuj´ıc´ı integrály. Z dx 1. √ dx, x ∈ (−2, 2). 4 − x2 ˇ sen´ı: Integrand je na intervalu J = (−2, 2) spojit´ Reˇ y, takˇze integrál existuje. Substituce x = 2t splˇ nuje pˇredpoklady druhé vˇety o substituci. Je tedy Z Z Z x = 2t 2 dt dx dt = √ √ √ = = = 2 2 dx = 2 dt 4−x 4 − 4t 1 − t2 = arcsin t + c = arcsin

x + c, 2

x ∈ (−2, 2).

R √ 2. 4 1 − x2 dx. ˇ sen´ı: Integrand je spojit´ Reˇ y v intervalu J = (−1, 1), takˇze integrál v tomto intervalu existuje. Abychom odstranili odmocninu v integrandu, vyuˇzijeme identitu cos2 t = 1 − sin2 t. x = sin t zobrazuje (−π/2, π/2) na (−1, 1) R R √ R = 4 cos2 t dt = 2(cos 2t + 1) dt = dx = cos t dt, (sin t)0 = cos t 6= 0 4 1 − x2 dx = √ 1 − x2 = | cos t| = cos t > 0 p p = sin 2t + 2t + c = 2(sin t) 1 − sin2 t + 2t + c = 2x 1 − x2 + 2 arcsin x + c,

x ∈ (−1, 1).

ˇ Cten´ aˇr si snadno ovˇeˇr´ı, ˇze kdybychom pouˇzili substituci x = cos t napˇr. na intervalu (0, π), dostali bychom v´ ysledek √ R √ 4 1 − x2 dx = 2x 1 − x2 − 2 arccos x + c, x ∈ (−1, 1). Proˇc jsou oba v´ ysledky správné? Z 2 x √ 3. dx. 4 − x2 ˇ sen´ı: Integrand je spojit´ Reˇ y v intervalu J = (−2, 2), takˇze integrál zde existuje. Odmocniny ve jmenovateli se zbav´ıme substituc´ı x = 2 sin t. x = 2 sin t zobrazuje (−π/2, π/2) na (−2, 2) Z dx = 2 cos t dt, (2 sin t)0 = 2 cos t 6= 0 R x2 = 4 sin2 t dt = 2t − sin 2t = √ dx = 2 2 2 2 4 − x = 4(1 − sin t) = 4 cos t 4−x √ 4 − x2 = 2| cos t| = 2 cos t, t ∈ (−π/2, π/2) r x 2 p x x x 1 p 2 1− = 2 arcsin − x 4 − x2 + c, x ∈ (−2, 2). = 2t − 2 sin t 1 − sin t = 2 arcsin − 2 2 2 2 2 2 Z √ 2 x −9 4. dx. x ˇ sen´ı: Integrujeme uvnitˇr intervalu (3, ∞), v nˇemˇz je integrand spojit´ Reˇ y. Pouˇzijeme substituci x = 3 cosh t, ke které nás pˇrivád´ı identita cosh2 t − sinh2 t = 1. x = 3 cosh t zobrazuje (0, ∞) na (3, ∞) Z √ 2 Z dx = 3 sinh t dt, (cosh t)0 6= 0 x −9 sinh2 t dx = 2 dt = = 3 2 2 x cosh t x √ − 9 = 9(cosh t − 1) = 9 sinh t x2 − 9 = 3| sinh t| = 3 sinh t z = sinh t zobrazuje (0, ∞) na (0, ∞), dz = cosh t dt = sinh2 t sinh2 t cosh t sinh2 t z2 dt = cosh t dt = dz cosh t dt = 1 + z2 cosh2 t 1 + sinh2 t

=

ˇ Í METODA INTEGROVAN ´ Í 4.4. SUBSTITUCN

89

Z (z 2 + 1) − 1 1 dz = 3 1 − dz = 3z − 3 arctg z = 1 + z2 1 + z2 p p = 3 sinh t − arctg(sinh t) = 3 cosh2 t − 1 − 3 arctg cosh2 t − 1 = r r p x 2 x 2 1p 2 =3 − 1 − 3 arctg − 1 = x2 − 9 − 3 arctg x − 9 + c, x ∈ (3, ∞). 3 3 3 Z

=3

z2 dz = 3 1 + z2

Z

ˇ Cten´ aˇr se snadno pˇresvˇedˇc´ı, ˇze pˇredpoklady vˇety o substituci jsou splnˇeny a ˇze nalezená funkce je ˇreˇsen´ım i v intervalu (−∞, −3). Skuteˇcnˇe, integrand f (x) je funkce lichá, a tedy pro x ∈ (3, ∞) je f (x) = −f (−x). Primitivn´ı funkce F k funkci f na intervalu (3, ∞) je sudá, a tedy pro x ∈ (−∞, −3) je F 0 (x) = F 0 (−x) = −f (−x) = f (x). Je tedy Z √ 2 p 1p 2 x −9 dx = x2 − 9 − 3 arctg x − 9 + c, x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, ∞). x 3 Tent´ yˇz integr´ al vypoˇc´ıtáme jeˇstˇe pomoc´ı substituce x = 3/ cos t pro t ∈ (0, π/2). x = 3/ cos t zobrazuje (0, π/2) na (3, ∞) Z √ 2 x −9 sin t sin2 t 2 dx = dx = 3 dt, x − 9 = 9 x cos2 t cos2 t √ x2 − 9 = 3| tg t| = 3 tg t > 0 Z =3

sin2 t dt = 3 cos2 t

Z

=

p 1 − cos2 t 3 dt = 3 tg t − 3t + c = x2 − 9 − 3 arccos + c, 2 cos t x

x ∈ (3, ∞).

Ovˇeˇrte, ˇze obˇe primitivn´ı funkce se skuteˇcnˇe liˇs´ı pouze o konstantu. ´ Ulohy Substituˇcn´ı metodou vypoˇctˇete následuj´ıc´ı integrály. R R R √ R 1. (x2 + 3x − 1)(2x + 3) dx; 2. sin(3x + 1) dx; 3. x 4 − x2 dx; 4. (2x + 3)2 dx; R R R R 5. (x2 + 4x − 1)4 (x + 2) dx; 6. sin3 x cos x dx; 7. e−2x+3 dx; 8. cos 5x dx; R √ R √ R R 2 9. x2 1 + x3 dx; 10. x 1 − x2 dx; 11. e4x dx; 12. xex dx; Z Z Z Z dx cos x dx x √ 13. dx; ; 14. dx; 15. ; 16. x ln x 1 + sin x 2x − 5 x2 − 4 Z Z Z Z p 2 dx dx x x −1 17. ; 18. ; 19. dx; 20. dx; 2 4 2−x 1+x x sin 3x Z Z x2 x2 21. dx; 22. dx . (x2 + a2 )3/2 (a2 − x2 )3/2   1. (x2 + 3x − 1)2 /2, x ∈ R; 2. − (cos(3x + 1))/3, x ∈ R; 3. − (4 − x2 )3/2 /3. |x| < 2;    4. (2x + 3)3 /6; 5. (x2 + 4x − 1)5 /10, x ∈ R; 6. (sin4 x)/4, x ∈ R; 7. − e−2x+3 /2, x ∈ R;    √ √    8. (sin 5x)/5, x ∈ R; 9. 2 x3 + 1(x3 + 1)/9, x > −1; 10. 1 − x2 (x2 − 1)/3, |x| < 1;      4x x2  11. e /4, x ∈ R; 12. e /2, x ∈ R; 13. ln | ln x|, x > 0; x 6= 1;    √  14. ln |1 + sin x|, x 6= (4k + 3)π/2; 15. (ln |2x − 5|)/2, x 6= 5/2; 16. x2 − 4, |x| > 2;       17. − ln |x − 2|, x 6= 2; 18. − (cotg 3x)/3, x 6= kπ; 19. (arctg x2 )/2, x ∈ R;      √ √ √ x  20. x2 − 1 − arctg x2 − 1, |x| > 1; 21. ln x + x2 + a2 − √  , x ∈ R;   2 2 x +a     x x 22. − arcsin + √ , |x| < a. 2 2 a a −x


90

4.5

Integrace racion´ aln´ıch funkc´ı

Kl´ıˇcov´ a slova: Polynom; normáln´ı tvar polynomu; koeficient polynomu; rovnost polynom˚ u; nulov´ y bod polynomu; koˇren polynomu; násobnost nulového bodu polynomu; koˇrenové ˇcinitele polynomu; rozklad polynomu v souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u; racionáln´ı funkce; ryze a neryze lomená racionáln´ı funkce; parciáln´ı zlomek; rozklad racionáln´ı funkce na parciáln´ı zlomky; neurˇcité koeficienty; substituˇcn´ı, zakr´ yvac´ı, srovnávac´ı metoda v´ ypoˇctu koeficient˚ u rozkladu, metoda neurˇcit´ ych koeficient˚ u Polynomy Kaˇzd´ y polynom stupnˇe n je moˇzno psát právˇe jedn´ım zp˚ usobem v tzv. norm´ aln´ım tvaru, tj. ve tvaru Pn (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ,

an 6= 0 .

(4.15)

ˇ ısla a0 , a1 , . . . , an se naz´ C´ yvaj´ı koeficienty polynomu, pˇresnˇeji ak se naz´ yvá koeficient u k-té mocniny pro k = 0, 1, . . . , n. V dalˇs´ıch u ´vahách se budeme zab´ yvat pouze polynomy s reáln´ ymi koeficienty. Dva polynomy jsou si rovny právˇe tehdy, kdyˇz maj´ı u stejn´ ych mocnin stejné koeficienty. Necht’ P, Q jsou polynomy stupnˇe nejv´ yˇse n a necht’ plat´ı P (x) = Q(x) pro v´ıce neˇz n hodnot x. Pak jsou si polynomy P , Q rovny. ˇ ıkáme, ˇze ˇc´ıslo c je nulovým bodem polynomu (4.15) právˇe tehdy, kdyˇz plat´ı P (c) = a0 +a1 c+. . .+an cn = R´ 0 . Vedle názvu nulov´ y bod polynomu se také pouˇz´ıvá název koˇren polynomu. Polynom s reáln´ ymi koeficienty nemus´ı m´ıt ˇzádn´ y reáln´ y nulov´ y bod. Pˇr´ıkladem takového polynomu je kvadratick´ y polynom P (x) = 1 + x2 , x ∈ R. Avˇsak v mnoˇzinˇe komplexn´ıch ˇc´ısel má dva r˚ uzné koˇreny, a to i a −i . Rozklad polynomu v souˇ cin koˇ renov´ ych ˇ cinitel˚ u Kaˇzd´ y polynom (4.15) stupnˇe n ≥ 0 lze psát právˇe jedn´ım zp˚ usobem (aˇz na poˇrad´ı ˇcinitel˚ u) ve tvaru Pn (x) = an (x − x1 )k1 (x − x2 )k2 . . . (x − xr )kr ,

(4.16)

ˇ ısla xi pro i = 1, 2, . . . , r jsou právˇe vˇsechny koˇreny polynomu Pn . Pˇrirozené kde xi 6= xj pro i 6= j. C´ ˇ ˇc´ıslo ki je n´ asobnost koˇrene xi , i = 1, 2, . . . , r. Plat´ı k1 + k2 + . . . + kr = n. Cinitele v (4.16) se naz´ yvaj´ı koˇrenové ˇcinitele polynomu Pn , souˇcin v (4.16) se naz´ yvá rozklad polynomu Pn v souˇcin koˇrenových ´ ˇcinitel˚ u. Uloha naj´ıt rozklad polynomu v souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u je ekvivalentn´ı s u ´lohou naj´ıt vˇsechny koˇreny polynomu. Existenci nulov´ ych bod˚ u polynomu (4.15) zaruˇcuje tzv. z´ akladn´ı vˇeta algebry, dokázaná Gaussem1 . Tato vˇeta ˇr´ıká, ˇze rovnice Pn (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn = 0 (4.17) má právˇe n obecnˇe komplexn´ıch koˇren˚ u, poˇc´ıtáme-li kaˇzd´ y tolikrát, kolik je jeho násobnost. Vˇeta vˇsak nedává ˇzádn´ y návod, jak ty koˇreny nalézt. Um´ıme obecnˇe naj´ıt ˇreˇsen´ı lineárn´ı a kvadratické rovnice. Pro rovnice 3. a 4. stupnˇe nalezl Cardano2 tzv. Cardanovy vzorce, které se vˇsak k praktickému hledán´ı koˇren˚ u moc nehod´ı. Pro rovnice stupnˇe vyˇsˇs´ıho neˇz 4. Galois3 ukázal, ˇze jejich koˇreny nelze obecnˇe vyjádˇrit pomoc´ı algebraick´ ych operac´ı (vˇcetnˇe odmocˇ nován´ı) z koeficient˚ u dané rovnice (4.17). V nˇekter´ ych speciáln´ıch pˇr´ıpadech vˇsak dovedeme koˇreny naj´ıt i u rovnic vyˇsˇs´ıch stupˇ n˚ u. Takov´ y postup vˇsak vyˇzaduje ˇ vˇzdy jistou zbˇehlost v u ´pravách algebraick´ ych v´ yraz˚ u. Casto nám pom˚ uˇze pˇri hledán´ı koˇrene algebraické rovnice vyˇsˇs´ıho stupnˇe skuteˇcnost, ˇze pokud má polynom u nejvyˇsˇs´ı mocniny koeficient 1, jeho koeficienty jsou celá ˇc´ısla a nˇejak´ y jeho koˇren je celé ˇc´ıslo, pak mus´ı b´ yt tento koˇren dˇelitelem absolutn´ıho ˇclenu tohoto polynomu. Napˇr. absolutn´ı ˇclen rovnice x3 + 3x2 − x − 3 = 0 má celoˇc´ıselné dˇelitele 1, −1, 3, a −3. Pˇr´ım´ ym dosazen´ım snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze rovnici vyhovuj´ı ˇc´ısla x1 = −1, x2 = 1, x3 = 3. U rovnice x3 − 4x2 + 2x + 4 = 0 má absolutn´ı ˇclen celoˇc´ıselné dˇelitele 1, −1, 2, −2, 4 a −4. Rovnici vyhovuje z tˇechto ˇc´ısel pouze x1 = 2. Má-li reáln´ y polynom Pn komplexn´ı koˇren xr = σr + i ωr násobnosti kr , pak také ˇc´ıslo xr = σr − i ωr je koˇrenem polynomu Pn násobnosti kr . Pro pˇr´ısluˇsné koˇrenové ˇcinitele pak plat´ı (x − xr )kr (x − xr )kr = ((x − xr )(x − xr ))kr = (((x − σr ) − i ωr )((x − σr ) + i ωr ))kr = = ((x − σr )2 + ωr2 )kr = (x2 + 2pr x + qr )kr , pr = −σr , qr = σr2 + ωr2 , 1 Gauss, Carl F. (1777–1855), nˇ emeck´ y matematik a fyzik, ˇreditel astronomick´ e observatoˇre v G¨ ottingen, vypracoval matematick´ y apar´ at pro potˇreby astronomie 2 Cardano, Hieronymus (1521–1576), italsk´ y l´ ekaˇr a matematik, pracoval na ˇreˇsen´ı algebraick´ ych rovnic 3 Galois, Evariste (1811–1832), geni´ aln´ı francouzsk´ y matematik, nedostudovan´ y soukrom´ y uˇ citel matematiky, jako dvacetilet´ y vytvoˇril z´ aklady teorie grup, jeden z nejv´ yznamnˇ ejˇs´ıch v´ ysledk˚ u matematiky 19. stolet´ı

´ ÍCH FUNKCÍ 4.5. INTEGRACE RACIONALN

91

kde kvadratick´ y trojˇclen x2 + 2pr x + qr má reálné koeficienty. Kaˇzd´ y reáln´ y polynom (4.15) stupnˇe n lze tedy psát právˇe jedin´ ym zp˚ usobem (aˇz na poˇrad´ı ˇcinitel˚ u) ve tvaru Pn (x) = an (x − x1 )k1 . . . (x − xm )km (x2 + 2p1 x + q1 )l1 . . . (x2 + 2ps x + qs )ls , (4.18) kde x2 + 2pr x + qr , r = 1, 2, . . . ls , jsou kvadratické trojˇcleny, které nemaj´ı reálné koˇreny (tj. jejich diskriminanty p2r − qr jsou záporné). Tyto trojˇcleny naz´ yváme kvadratické koˇrenové ˇcinitele. Plat´ı k1 + . . . + km + 2(l1 + . . . + ls ) = n. Rozklad (4.18) polynomu Pn se naz´ yvá rozklad na re´ alné koˇrenové ˇcinitele a tvoˇr´ı základn´ı aparát integrován´ı racionáln´ıch funkc´ı. Pˇ r´ıklady 1. Máme naj´ıt vˇsechny koˇreny polynomu P (x) = x6 − 4x4 − x2 + 4, urˇcit jejich násobnosti a napsat rozklad polynomu P v souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u. 6 4 2 4 2 ˇ Reˇsen´ı: Zˇrejmˇe x − 4x − x + 4 = x (x − 4) − (x2 − 4) = (x2 − 4)(x4 − 1) = (x2 − 4)(x2 − 1)(x2 + 1) = (x − 2)(x + 2)(x − 1)(x + 1)(x − i )(x + i ). Polynom má 6 r˚ uzn´ ych jednoduch´ ych koˇren˚ u. 2. Máme naj´ıt vˇsechny koˇreny polynomu P , urˇcit jejich násobnosti a napsat rozklad polynomu P v souˇcin reáln´ ych koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u. a) P (x) = x3 + x2 + x + 1. ˇ sen´ı: Zkus´ıme, zda x = 1 nebo x = −1 nen´ı koˇrenem. Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze x = −1 je koˇrenem. Vydˇel´ıme Reˇ polynom P (x) koˇrenov´ ym ˇcinitelem x − (−1) = x + 1 pˇr´ısluˇsn´ ym k tomuto koˇrenu (x3 + x2 + x + 1) : (x + 1) = x2 + 1 . −x3 − x2 x+1 −x − 1 0 Je tedy P (x) = (x + 1)(x2 + 1) . Jelikoˇz polynom x2 + 1 nemá reálné koˇreny, dostali jsme hledan´ y rozklad. b) P (x) = (x3 − 1)(x2 − x + 2). ˇ sen´ı: Rozkladem x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) dostáváme P (x) = (x − 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 2) . Reˇ Protoˇze kvadratické trojˇcleny maj´ı záporné diskriminanty, nelze je rozloˇzit v reálném oboru, takˇze jsme dostali rozklad polynomu P v souˇcin reáln´ ych koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u. c) P (x) = x3 − 4x2 + 2x + 4. ˇ sen´ı: V´ıme, ˇze zadan´ Reˇ y polynom má koˇren x1 = 2. Nyn´ı vydˇel´ıme polynom dvojˇclenem √ √ x−2 a dostaneme hledan´ y rozklad x3 − 4x2 + 2x + 4 = (x2 − 2x − 2)(x − 2) = (x − 1 − 3)(x − 1 + 3)(x − 2). Racion´ aln´ı funkce Necht’ P a Q jsou polynomy. Pak funkci R(x) =

P (x) , Q(x)

(4.19)

která je pod´ılem dvou polynom˚ u a jej´ıˇz definiˇcn´ı obor je mnoˇzina vˇsech reáln´ ych ˇc´ısel r˚ uzn´ ych od nulov´ ych ˇ ıkáme, bod˚ u polynomu Q, naz´ yváme racion´ aln´ı funkc´ı. Oznaˇcme n, resp. m stupeˇ n polynomu P , resp. Q. R´ ˇze racionáln´ı funkce (4.19) je ryze, resp. neryze lomen´ a právˇe tehdy, kdyˇz n < m, resp. n ≥ m. Je-li (4.19) neryze lomená racionáln´ı funkce, pak m˚ uˇzeme vydˇelit polynom P (x) polynomem Q(x) a dostaneme polynomy P1 (x), P2 (x) takové, ˇze stupeˇ n polynomu P1 (x) je n − m a stupeˇ n polynomu P2 (x) je n1 < m a plat´ı P2 (x) P (x) = P1 (x) + R(x) = Q(x) Q(x) pro vˇsechna x taková, ˇze Q(x) 6= 0. K u ´pravˇe neryze lomené racionáln´ı funkce na souˇcet polynomu P1 (x) a ryze lomené racionáln´ı funkce m˚ uˇzeme m´ısto algoritmu dˇelen´ı pouˇz´ıt i jiné metody, napˇr. tzv. Hornerovo4 schéma.

4 Horner,

William G. (1786-1837), anglick´ y matematik


92 Pˇ r´ıklad

x7 − x6 + 4x5 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 jako souˇcet polynomu a x6 + 2x4 + x2 ryze lomené racionáln´ı funkce a urˇcit jej´ı definiˇcn´ı obor. ˇ sen´ı: Dˇel´ıme ˇcitatele jmenovatelem a dostáváme Reˇ

Máme vyjádˇrit racionáln´ı funkci R(x) =

(x7 − x6 + 4x5 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1) : (x6 + 2x4 + x2 ) = x − 1 , −x7 − 2x5 − x3 −x6 + 2x5 + x3 + 2x2 + 2x + 1 +x6 + 2x4 + x2 2x5 + 2x4 + x3 + 3x2 + 2x + 1 a tedy

2x5 + 2x4 + x3 + 3x2 + 2x + 1 . x6 + 2x4 + x2 Urˇceme definiˇcn´ı obor DR funkce R. Je DR = (−∞, ∞) \ {x | x6 + 2x4 + x2 = 0}. Plat´ı x6 + 2x4 + x2 = x2 (x4 + 2x2 + 1) = x2 (x2 + 1)2 . Jmenovatel má jedin´ y reáln´ y koˇren x = 0, takˇze DR = (−∞, 0) ∪ (0, ∞). R(x) = x − 1 +

Rozklad racion´ aln´ı funkce v souˇ cet parci´ aln´ıch zlomk˚ u Následuj´ıc´ı jednoduché racionáln´ı funkce b , x−a

b , (x − a)k

bx + c , x2 + 2px + q

bx + c , (x2 + 2px + q)k

kde a, b, c, p, q jsou reálná ˇc´ısla a k je pˇrirozené ˇc´ıslo, se obvykle naz´ yvaj´ı parci´ aln´ımi zlomky. Prvn´ı tˇri z nich jsme se jiˇz nauˇcili integrovat. Nyn´ı uvedeme vˇetu, která nám ukáˇze, jak je moˇzné postupovat pˇri integrován´ı libovolné ryze lomené racionáln´ı funkce. Pˇritom je nutné m´ıt na zˇreteli skuteˇcnost, ˇze s nar˚ ustán´ım stupˇ n˚ u polynom˚ u ve jmenovateli m˚ uˇze nar˚ ustat ne´ umˇernˇe pracnost v´ ypoˇct˚ u. Vˇ eta o rozkladu racion´ aln´ı lomen´ e funkce na souˇ cet parci´ aln´ıch zlomk˚ u P (x) Necht’ R(x) = je racion´ aln´ı lomen´ a funkce a necht’ jmenovatel Q(x) lze ps´ at ve tvaru souˇcinu Q(x) koˇrenových ˇcinitel˚ u Q(x) = a(x − x1 )k1 · . . . · (x − xr )kr · (x2 + 2p1 x + q1 )l1 · . . . · (x2 + 2ps x + qs )ls , kde x2 +2pi x+qi , i = 1, . . . , s, jsou v re´ alném oboru nerozloˇzitelné kvadratické trojˇcleny, tj. je p2i −qi < 0. Potom danou racion´ aln´ı lomenou funkci R(x) lze vyj´ adˇrit – aˇz na poˇrad´ı sˇc´ıtanc˚ u – pr´ avˇe jedn´ım zp˚ usobem ve tvaru lk ki r X s X X X P (x) Aij Bij x + Cij R(x) = = p(x) + + , (4.20) j 2 Q(x) (x − xi ) (x + 2pi x + qi )j i=1 j=1 i=1 j=1 kde p(x) je polynom, Aij , Bij , Cij jsou re´ alné konstanty; rovnost (4.20) plat´ı pro vˇsechna x ∈ DR , tj. pro vˇsechna re´ aln´ a x r˚ uzn´ a od koˇren˚ u polynomu Q(x) ve jmenovateli. (D˚ ukaz viz napˇr. 5 ). Rozklad (4.20) vycház´ı z rozkladu jmenovatele Q na souˇcin reáln´ ych koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u. Kaˇzdému z tˇechto koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u je pˇriˇrazeno právˇe tolik zlomk˚ u, kolik je jeho násobnost. Koˇrenov´ ym ˇcinitel˚ um typu x − a pˇriˇrazujeme parciáln´ı zlomky typu A/(x − a). Speciálnˇe ki -násobnému koˇrenovému ˇciniteli (x − xi )ki pˇriˇrazujeme (x − xi )ki →

Ai2 Aiki Ai1 + + ... + , 2 x − xi (x − xi ) (x − xi )ki

(4.21)

tedy celkem ki zlomk˚ u. Koˇrenov´ ym ˇcinitel˚ um typu x2 + px + q, kde trojˇclen nen´ı rozloˇziteln´ y na reálné ˇcinitele, pˇriˇrazujeme Bx + C parciáln´ı zlomky typu 2 . Speciálnˇe li -násobnému ˇciniteli (x2 + 2pi x + qi )li pˇriˇrad´ıme x + 2px + q (x2 + 2pi x + qi )li → 5 Jarn´ ık,

Bi1 x + Ci1 Bi2 x + Ci2 Bil x + Cili + 2 + ... + 2 i , x2 + 2pi x + qi (x + 2pi x + qi )2 (x + 2pi x + qi )li

ˇ V.: Integr´ aln´ı poˇ cet I, Praha, NCSAV 1956, str. 107–114

(4.22)


93

celkem li zlomk˚ u. Pˇriˇrad´ıme-li takto parciáln´ı zlomky vˇsem reáln´ ym koˇrenov´ ym ˇcinitel˚ um jmenovatele Q, dostaneme rozklad (4.20). Tento vztah vˇsak udává sp´ıˇse jenom typ rozkladu racionáln´ı funkce R, neˇz rozklad sám. Neˇr´ıká totiˇz nic o hodnotách konstant Aij , Bij , Cij . Vˇsimnˇeme si, ˇze typ rozkladu v˚ ubec nezávis´ı na ˇcitateli P racionáln´ı funkce R. Nyn´ı ukáˇzeme, jak se poˇc´ıtaj´ı koeficienty rozkladu na souˇcet parciáln´ıch zlomk˚ u. Chceme-li urˇcit rozklad ryze lomené racionáln´ı funkce R na souˇcet parciáln´ıch zlomk˚ u, nap´ıˇseme nejprve typ tohoto rozkladu podle (4.20), a pak urˇc´ıme dosud neznámé hodnoty konstant Aij , Bij , Cij . (Tyto konstanty ˇcasto naz´ yváme koeficienty rozkladu nebo neurˇcité koeficienty.) Rovnost (4.20) plat´ı pro vˇsechna x, pro která je definovaná funkce R, tedy pro nekoneˇcnˇe mnoho hodnot x. Vynásob´ıme-li obˇe strany této rovnosti jmenovatelem Q a provedeme pˇr´ısluˇsné u ´pravy (krácen´ı), abychom se zbavili zlomk˚ u, dostaneme vlevo i vpravo polynomy, které se sobˇe rovnaj´ı. Koeficienty polynomu na pravé stranˇe obsahuj´ı neurˇcité koeficienty Aij , Bij , Cij . Dosad´ıme-li za x totéˇz ˇc´ıslo do polynomu na pravé i na levé stranˇe, mus´ıme dostat tutéˇz hodnotu. Pˇritom hodnota polynomu na pravé stranˇe závis´ı na neurˇcit´ ych koeficientech, a tedy dostáváme tak rovnici pro tyto neznámé koeficienty. Dosad´ıme-li dostateˇcn´ y poˇcet r˚ uzn´ ych hodnot za x, dostaneme dostateˇcn´ y poˇcet rovnic pro urˇcen´ı koeficient˚ u Aij , Bij , Cij . Ukazuje se zvláˇst’ v´ yhodné dosazovat nulové body jmenovatele Q. Právˇe popsan´ y zp˚ usob hledán´ı neurˇcit´ ych koeficient˚ u se ˇcasto naz´ yvá dosazovac´ı, nebo také substituˇcn´ı metoda. Dosazovac´ı metoda je obzvláˇst’ vhodná pro hledán´ı koeficient˚ u parciáln´ıch zlomk˚ u pˇr´ısluˇsej´ıc´ıch jednoduch´ ym nulov´ ym bod˚ um jmenovatele. Je-li napˇr. R(x) =

x2 + px + q A B C = + + (x − a)(x − b)(x − c) x−a x−b x−c

(4.23)

a vynásob´ıme-li tuto rovnost dvojˇclenem x − a, dostaneme x2 + px + q B C = A + (x − a) + (x − a) . (x − b)(x − c) x−b x−c

(4.24)

Nyn´ı staˇc´ı dosadit do obou stran x = a. Druh´ y a tˇret´ı ˇclen na pravé stranˇe se anuluj´ı, takˇze na pravé stranˇe zbyde pouze koeficient parciáln´ıho zlomku, odpov´ıdaj´ıc´ıho nulovému bodu x = a. Je tedy koeficient A roven hodnotˇe racionáln´ı funkce (4.23) vynásobené ˇcinitelem x − a v bodˇe x = a. Obvykle se postupuje tak, ˇze pˇri v´ ypoˇctu koeficientu A zakryjeme ve jmenovateli racionáln´ı funkce (4.23) ˇcinitel x − a a do zbytku dosad´ıme za x ˇc´ıslo a. Proto se u této metody bˇeˇznˇe setkáváme i s názvem zakrývac´ı metoda. Nˇekdy, zejména pˇri poˇc´ıtán´ı koeficient˚ u u parciáln´ıch zlomk˚ u pˇr´ısluˇsej´ıc´ıch dvojnásobnému nulovému bodu, je uˇziteˇcné poˇc´ıtat limitu lim xR(x), jak ukáˇzeme na pˇr´ıkladech. x→∞ Je moˇzné postupovat jeˇstˇe jinak. Nap´ıˇseme-li polynomy vlevo i vpravo v normáln´ım tvaru, mus´ı si b´ yt rovny koeficienty u stejn´ ych mocnin vpravo a vlevo. Koeficienty polynomu vpravo pˇritom závisej´ı na koeficientech Aij , Bij , Cij , a tedy srovnán´ım koeficient˚ u obou polynom˚ u dostáváme soustavu rovnic pro tyto koeficienty. Tento zp˚ usob v´ ypoˇctu koeficient˚ u se naz´ yvá srovn´ avac´ı metoda, nebo také metoda neurˇcitých koeficient˚ u. Pˇ r´ıklady Máme rozloˇzit dané racionáln´ı funkce na souˇcet parciáln´ıch zlomk˚ u. x−5 1. R(x) = 2 . x + 2x − 3 ˇ sen´ı: Jmenovatel má koˇreny x1 = 1 , x2 = −3 . Je tedy Q(x) = (x − 1)(x + 3) . Podle 4.20 urˇc´ıme Reˇ hledan´ y typ rozkladu funkce R x−5 A B = + , x 6= 1 , x 6= 3 . (x − 1)(x + 3) x−1 x+3

(4.25)

Nyn´ı ukáˇzeme pouˇzit´ı vˇsech tˇr´ı v´ yˇse popsan´ ych metod urˇcován´ı hodnot koeficient˚ u A a B. Nejdˇr´ıve pouˇzijeme substituˇcn´ı metodou. Vynásob´ıme obˇe strany rovnosti (4.25) jmenovatelem (x−1)(x+ 3) a dostaneme rovnost x − 5 = A(x + 3) + B(x − 1) , x ∈ R . (4.26) Do této rovnosti dosad´ıme x = 1, resp. x = −3 a dostaneme rovnici −4 = 4A , resp. −8 = −4B . Odtud A = −1, B = 2, a tedy 2 −1 + . (4.27) R(x) = x−1 x+3


94

Nyn´ı pouˇzijeme srovnávac´ı metodu. Oba polynomy v (4.26) uprav´ıme na normáln´ı tvar, takˇze máme rovnost dvou polynom˚ u x − 5 = (A + B)x + (3A − B) . Porovnán´ım koeficient˚ u u x1 a u x0 (tj. absolutn´ıch ˇ ˇclen˚ u), dostaneme A + B = 1 , 3A − B = −5 . Reˇsen´ım této jednoduché soustavy rovnic je opˇet A = −1, B = 2, a tedy plat´ı (4.27). Pouˇzijeme-li zakr´ yvac´ı metodu, zjiˇst’ujeme, ˇze hledané hodnoty koeficient˚ u A a B dostáváme z rovnosti (4.25) zpamˇeti témˇeˇr bez jakéhokoli poˇc´ıtán´ı. 8−x . 2. R(x) = 3 x − 3x2 + 4 ˇ sen´ı: Z prvoˇcinitel˚ Reˇ u absolutn´ıho ˇclenu jmenovatele je x1 = 2 koˇrenem jmenovatele. Po dˇelen´ı dostaneme kvadratick´ y polynom x2 − x − 2, kter´ y má dva koˇreny, x2 = 2 , x3 = −1 . Je tedy Q(x) = (x + 1)(x − 2)2 . Podle 4.21 urˇc´ıme hledan´ y typ rozkladu funkce R B C 8−x A + + = , x 6= −1 , x 6= 2 . 2 (x + 1)(x − 2) x + 1 x − 2 (x − 2)2

(4.28)

(i) Koeficienty A, C urˇc´ıme zakr´ yvac´ı metodou. Abychom urˇcili hodnotu koeficientu A, zakryjeme ve jmenovateli zlomku na levé stranˇe dvojˇclen x − 1 a do zbytku zlomku dosad´ıme x = −1. Dostaneme A = 1 . Pro v´ ypoˇcet hodnoty koeficientu C, zakryjeme ve jmenovateli zlomku na levé stranˇe dvojˇclen (x − 2)2 a do zbytku zlomku dosad´ıme x = 2. Dostaneme C = 2 . (ii) Nyn´ı urˇceme koeficient B. Obˇe strany rovnosti (4.28) vynásob´ıme x a poˇc´ıtáme limitu vˇsech ˇclen˚ u takto vzniklé rovnosti pro x → ∞. Jde vesmˇes o limity racionáln´ıch funkc´ı, jejichˇz ˇcitatel má stupeˇ n nejv´ yˇse roven stupni jmenovatele. Limitou tedy bude bud’ ˇc´ıslo 0, je-li stupeˇ n ˇcitatele menˇs´ı neˇz stupeˇ n jmenovatele, nebo pod´ıl koeficient˚ u u stejn´ ych nejvyˇsˇs´ıch mocnin ˇcitatele i jmenovatele. V naˇsem pˇr´ıpadˇe z (4.28) po vynásoben´ı x a dosazen´ı A = 1 , C = 2 dostáváme 8x − x2 x Bx 2x = + + . 2 (x + 1)(x − 2) x + 1 x − 2 (x − 2)2

(4.29)

Odtud limitn´ım pˇrechodem z´ıskáme rovnost 0 = 1+B+0, a tedy B = −1. (Uvˇedomme si, ˇze tento v´ ypoˇcet se dˇelá zpamˇeti, aniˇz pˇr´ısluˇsné rovnosti zapisujeme. Vˇsechny tˇri koeficienty jsme tak urˇcili zpamˇeti pˇr´ımo z rozkladu (4.28). Nalezli jsme tak hledan´ y rozklad 8−x 1 −1 2 = + + . x3 − 3x + 4 x + 1 x − 2 (x − 2)2 −2x3 + 1 . + 2x3 + x2 ˇ sen´ı: Rozloˇz´ıme jmenovatele na souˇcin koˇrenov´ Reˇ ych ˇcinitel˚ u Q(x) = x2 (x2 + 2x + 1) = x2 (x + 1)2 , takˇze

3. R(x) =

x4

−2x3 + 1 A B C D = + 2+ + , x 6= 0 , x 6= −1 . 2 2 x (x + 1) x x x + 1 (x + 1)2

(4.30)

Zakr´ yvac´ı metodou dostáváme ihned B = 1 a D = 3 . Zb´ yvaj´ıc´ı dva koeficienty urˇc´ıme srovnávac´ı metodou. Po vynásoben´ı obou stran rovnosti (4.30) jmenovatelem x2 (x + 1)2 a dosazen´ı B = 1 a D = 3 dostaneme −2x3 + 1 = Ax(x + 1)2 + (x + 1)2 + Cx2 (x + 1) + 3x2 , x ∈ R . (4.31) Aniˇz upravujeme polynom na pravé stranˇe na normáln´ı tvar, porovnáme koeficienty u tˇret´ıch a prvn´ıch mocnin a dostaneme soustavu rovnic A + C = −2 , A + 2 = 0 . Odtud A = −2, C = 0. Je tedy −2 1 3 −2x3 + 1 = + 2+ . 4 3 2 x + 2x + x x x (x + 1)2 x2 − x − 5 . x3 − x2 + 4x − 4 ˇ sen´ı: K rozkladu jmenovatele pouˇzijeme u Reˇ ´pravu Q(x) = x2 (x − 1) + 4(x − 1) = (x − 1)(x2 + 4) . Protoˇze 2 polynom x + 4 nemá reálné koˇreny, dostali jsme rozklad Q v souˇcin reáln´ ych koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u. Podle (4.22) je A Bx + C x2 − x − 5 = + 2 , x 6= 1 . (4.32) (x − 1)(x2 + 4) x−1 x +4 4. R(x) =


95

Zakr´ yvac´ı metodou dostáváme ihned A = −1. Nyn´ı vynásob´ıme obˇe strany rovnosti (4.32) jmenovatelem (x − 1)(x2 + 4) a dosad´ıme A = −1. Dostaneme x2 − x − 5 = −(x2 + 4) + (Bx + C)(x − 1) ,

x ∈ R.

(4.33)

Porovn´ an´ım koeficient˚ u u druh´ ych mocnin obdrˇz´ıme rovnost −1 + B = 1 a porovnán´ım absolutn´ıch ˇclen˚ u dostaneme −4 − C = −5 . Odtud B = 2, C = 1. Dosad´ıme za A, B, C do (4.32) a z´ıskáme hledan´ y rozklad. x2 + 1 . 5. R(x) = 4 x − x3 − x + 1 ˇ sen´ı: Je x4 − x3 − x + 1 = x3 (x − 1) − (x − 1) = (x3 − 1)(x − 1) = (x − 1)2 (x2 + x + 1) . Diskriminant Reˇ trojˇclenu x2 + x + 1 je záporn´ y, a tedy x2 + 1 A B Cx + D = + + 2 , x 6= 1 . (x − 1)2 (x2 + x + 1) x − 1 (x − 1)2 x +x+1

(4.34)

Zakr´ yvac´ı metoda dává ihned B = 2/3. Zb´ yvá naj´ıt tˇri koeficienty A , C a D . Mus´ıme tedy sestavit tˇri lineárnˇe nezávislé rovnice pro tyto tˇri neznámé. Pouˇzit´ı limity lim xR(x) dává rovnici A + C = 0. Dalˇs´ı x→∞

dvˇe rovnice z´ıskáme napˇr. srovnávac´ı metodou z rovnosti x2 +1 = A(x−1)(x2 +x+1)+(2/3)(x2 +x+1)+ (Cx+D)(x−1)2 . Porovnán´ım koeficient˚ u u x0 a x1 dostáváme rovnice 1 = −A+2/3+D , 0 = 2/3+C−2D ˇ sen´ım této soustavy je A = 0, a po zˇrejm´ ych u ´pravách A + C = 0 , −A + D = 1/3 , C − 2D = −2/3 . Reˇ C = 0, D = 1/3. Dosazen´ım do (4.34) obdrˇz´ıme hledan´ y rozklad x2 + 1 2 1 1 1 = + . x4 − x3 − x + 1 3 (x − 1)2 3 x2 + x + 1 ´ Ulohy 1. Rozloˇzte dané polynomy na souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u v reálném oboru.

       

a) 2x2 − 3x − 2;

b)x3 − 4x;

c) 4x3 − x;

d) x4 + 4x2 + 3;

e) x4 − 5x2 + 6;

f) x5 − 5x3 + 4x;

g) x4 − 3x2 + 2;

h) x3 + 5x2 + 8x + 4;

i) x3 − x2 + x − 1;

j) 1 + x3 ;

k) x3 − 1;

l) x3 + x2 + x + 1;

m) x4 + 2x3 + 2x2 ;

n) x4 + 6x2 + 8;

o) 1 + x4 ;

p) x4 − 16.

a) 2(x − 2)(x + 1/2); b) x(x + 2)(x − 2); c) 4x(x − 1/2)(x + 1/2); d) (x2 + 1)(x2 + 3); √ √ √ √ e) (x + 2)(x − 2)(x + 3)(x − 3); f) x(x + 1)(x − 1)(x + 2)(x − 2); √ √ g) (x + 1)(x − 1)(x + 2)(x − 2); h) (x + 1)(x + 2)2 ; i) (x2 + 1)(x − 1); j) (x + 1)(x2 − x + 1); k) (x − 1)(x2 + x + 1); l) (x + 1)(x2 + 1); m) x2 (x2 + 2x + 2); √ √ n) (x2 + 2)(x2 + 4); o) (x2 + 2x + 1)(x2 − 2x + 1); p) (x2 + 4)(x − 2)(x + 2).

       

2. Rozloˇzte racionáln´ı lomené funkce na souˇcet parciáln´ıch zlomk˚ u: x+7 ; 2 x −x−2 1 e) , 1 + x4 a)

        

3x2 − 4x + 3 ; x3 − x2 9x2 − 14x + 1 f) 3 , x − 2x2 + x − 2

b)

x4 + x3 + 2x2 + 1 ; x3 + x2 + x 1 g) 3 , x + 2x − 3

c)

1 ; + 1)(x2 + x) 2x5 − x h) 4 . (x − 1)2

d)

(x2

2 1 3 2 1 1 1 1 x+1 3 − ; b) − 2 + ; c) x + − 2 ; d) − − ; x−2 x+1 x x x−1 x x +x+1 x 2(x + 1) 2(x2 + 1) ! √ √ x+ 2 x− 2 9 36x + 2 1 x+2 1 √ √ − , f) + , g) − , e) √ 5(x − 2) 5x2 + 5 5(x − 1) 5(x2 + x + 3) 2 2 x2 + x 2 + 1 x2 − x 2 + 1 1 6 1 6 1 12x 4x h) + + − − 2 + . 16 x − 1 (x − 1)2 x + 1 (x + 1)2 x + 1 (x2 + 1)2 a)

        


96

V´ ypoˇ cet integr´ al˚ u racion´ aln´ıch funkc´ı Z rozkladu racionáln´ı funkce na parciáln´ı zlomky a z linearity integrálu plyne, ˇze u ´lohu integrovat racionáln´ı funkci m˚ uˇzeme pˇrevést na integrován´ı parciáln´ıch zlomk˚ u. Ty jsme se vˇsak jiˇz v podstatˇe integrovat nauˇcili, takˇze staˇc´ı provést mal´ y souhrn poznatk˚ u. Pro nejjednoduˇsˇs´ı typ parciáln´ıho zlomku plat´ı Z 1 ln(a − x) + c x ∈ (−∞, a), dx = ln |x − a| + c = (4.35) ln(x − a) + c x ∈ (a, ∞). x−a V´ıme rovnˇeˇz, ˇze pro n ∈ N, n > 1, plat´ı Z 1 1 1 dx = + c, (x − a)n 1 − n (x − a)n−1

x ∈ (−∞, a) nebo x ∈ (a, ∞).

Z (4.13) v´ıme také, ˇze pro parciáln´ı zlomek 1/(x2 + a2 ) plat´ı Z dx 1 x = arctg + c , a > 0 , x ∈ R. x2 + a2 a a

(4.36)

(4.37)

Rovnost (4.37) vyuˇzijeme i pˇri integraci parciáln´ıch zlomk˚ u tvaru 1/(x2 + 2px + q), kde p , q ∈ R a jmenovatel nemá reálné nulové body. Pak jej totiˇz m˚ uˇzeme upravit na tvar x2 +2px+q = (x+p)2 +(q−p2 ), 2 kde diskriminant p − q je záporn´ y, a tedy plat´ı q − p2 > 0. Odtud s pomoc´ı rovnosti (4.37) dostáv´ ame Z Z dx dx 1 x+p = =p arctg p + c , x ∈ R. (4.38) 2 2 2 2 x + 2px + q (x + p) + (q − p ) q−p q − p2 Mezi parciáln´ı zlomky patˇr´ı také racionáln´ı funkce tvaru (M x + N )/(x2 + 2px + q), kde M 6= 0. V ˇcitateli je lineárn´ı polynom, ve jmenovateli je kvadratick´ y polynom, jehoˇz derivace je polynom lineárn´ı. Snadnou u ´pravou dosáhneme toho, ˇze v ˇcitateli budeme m´ıt – aˇz na aditivn´ı konstantu – násobek derivace jmenovatele. Oznaˇcme ϕ(x) = x2 + 2px + q. Pak Z Z Z 0 Z Mx + N kϕ0 (x) + A ϕ (x) A dx = dx = k dx + dx. (4.39) x2 + 2px + q ϕ(x) ϕ(x) ϕ(x) Tyto integr´ aly jiˇz um´ıme poˇc´ıtat. Je tedy Z Z Z Mx + N M 2x + 2p dx dx = dx + (N − M p) = 2 2 2 x + 2px + q 2 x + 2px + q x + 2px + q x+p M N − Mp arctg p + c , x ∈ R. = ln(x2 + 2px + q) + p 2 q − p2 q − p2

(4.40)

Pro integraci parciáln´ıho zlomku 1/(x2 + 2px + q)n , p, q ∈ R, n = 2, 3, . . . , vyuˇz´ıváme rekurentn´ı vztah Kn+1 =

x 2n − 1 + Kn , 2na2 (x2 + a2 )n 2na2

kde

Z Kn =

(x2

dx , + a2 )n

n = 1, 2, . . . , x ∈ (−∞, ∞),

(4.41)

a ∈ R, a 6= 0, n ∈ N, x ∈ R.

D˚ ukaz: Pouˇzijeme metodu per partes. Z Kn =

u0 = 1, 1 1 1· 2 dx = v= 2 n , (x + a ) (x2 + a2 )n

u=x v0 = −

2nx (x2 + a2 )n+1

=

Z Z 2 x2 x x + a2 − a2 x + 2n dx = + 2n dx = = 2 (x + a2 )n (x2 + a2 )n+1 (x2 + a2 )n (x2 + a2 )n+1 Z x 1 1 x 2 = 2 + 2n − a dx = 2 + 2nKn − 2na2 Kn+1 . (x + a2 )n (x2 + a2 )n (x2 + a2 )n+1 (x + a2 )n


97

Odtud jiˇz snadno plyne (4.41). Integrand (M x + N )/ (x2 + 2px + q)n upravujeme analogicky jako u v´ ypoˇctu integrálu (4.40). Opˇet oznaˇc´ıme ϕ(x) = x2 + 2px + q a uprav´ıme Z Z Z Z Mx + N kϕ0 (x) + A ϕ0 (x) A dx n dx = k n dx + n . dx = (4.42) x2 + 2px + q ϕ(x) ϕ(x) ϕ(x) Dostali jsme tak dva integrály, které jiˇz um´ıme ˇreˇsit. Pˇ r´ıklady Vypoˇctˇete následuj´ıc´ı integrály. Z dx 1. . 2 − x/2 Z Z dx dx ˇ sen´ı: Reˇ = −2 = −2 ln |x − 4| + c. 2 − x/2 x−4 Z 3 dx . 2. (2x + 1)3 Z Z 3 dx 3 dx 3 1 ˇ sen´ı: Reˇ = =− + c. (2x + 1)3 23 (x + 1/2)3 4 (2x + 1)2 Z dx . 3. 3x2 + 2 Z Z p dx dx 1 ˇ √ Reˇsen´ı: = = 3/2) + c. arctg(x 3x2 + 2 3(x2 + 2/3) 6 Z dx 4. . x2 + 4x + 3 ˇ sen´ı: Je x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3), a tedy rozloˇz´ıme integrand v souˇcet parciáln´ıch zlomk˚ Reˇ u. Jde o jednoduché koˇreny, takˇze napˇr. zakr´ yvac´ı metodou dostáváme ihned 1 1/2 1/2 = − , x 6= −3, x 6= −1; (x + 1)(x + 3) x+1 x+3 Je tedy Z

dx 1 = x2 + 4x + 3 2

Z

1 1 − x+1 x+3

1 dx = (ln |x + 1| − ln |x + 3|) + c = ln 2

s x + 1 x + 3 + c.

Z

dx . − 3x + 6 2 ˇ sen´ı: Jmenovatel má diskriminant D = 9 − 48 < 0, takˇze jej m˚ Reˇ √ uˇzeme upravit na tvar 2x − 3x + 6 = 2(x2 − 3x/2 + 3) = 2 (x − 3/4)2 − 9/16 + 3 = 2 (x − 3/4)2 + ( 39/4)2 . Je tedy Z Z dx 1 dx 1 4 4 3 √ √ √ = = arctg x − +c= 2x2 − 3x + 6 2 2 39 4 (x − 3/4)2 + ( 39/4)2 39

5.

2x2

4x − 3 2 + c. = √ arctg √ 39 39 Z

dt . −t+1 ˇ sen´ı: Kvadratick´ Reˇ y trojˇclen ve jmenovateli integrandu nemá reálné koˇreny, a proto jej lze psát ve tvaru √ 2 2 (t − 1/2) + 3/2 . (Tato u ´prava se obvykle naz´ yvá ”doplnˇen´ı na u ´pln´ y ˇctverec”.) Tak pˇrevedeme integrand integrálu I v podstatˇe na typ (4.13) Z Z 2 2 1 dt dt √ √ √ = = arctg t − + c, t ∈ R. t2 − t + 1 2 (t − 1/2)2 + ( 3/2)2 3 3

6.

t2

Z 7.

3x + 2 dx. 2x2 + 3x + 7


98

ˇ sen´ı: Jmenovatel je stále kladn´ Reˇ y, takˇze integraci pˇrevedeme opˇet na integrál logaritmické derivace a na arkustangens. Je√(2x2 +3x+7)0 = 4x+3 a 2x2 +3x+7 = 2(x2 +3x/2+7/2) = 2((x+3/4)2 −9/16+7/2) = 2((x + 3/4)2 + ( 47/4)2 ). Je tedy Z Z Z 3x + 2 3 4x + 3 1 dx dx = dx − = 2x2 + 3x + 7 4 2x2 + 3x + 7 4 2x2 + 3x + 7 = Z 8.

3 1 4x + 3 ln(2x2 + 3x + 7) − √ arctg √ + c. 4 2 47 47

2 dx . (3x2 + 1)3

ˇ sen´ı: Pouˇzijeme rekurentn´ı formuli (4.41). Reˇ Z Z 2 dx 2 = (3x2 + 1)3 27

x2

dx 2 I3 . √ 3 = 2 27 + (1/ 3)

(4.43)

Z (4.41) dostáváme pro n = 2 I3 =

x 2·2−1 3x 9 I2 = + + I2 ; 2 2 2 2 2 · 2 · (1/3)(x + 1/3) 2 · 2 · (1/3) 4(x + 1/3) 4

(4.44)

pro n = 1. x 2·1−1 3x 3 I2 = + I1 = + 2 · 1 · (1/3)(x2 + 1/3) 2 · 1 · (1/3) 2(x2 + 1/3) 2 =

2(x2

Z x2

dx √ = + (1/ 3)2

√ 3x 3 √ + ( 3) arctg(x 3) + c. + 1/3) 2

Po dosazen´ı do (4.44) a (4.43) dostáváme Z √ 2 dx 2 3x 9 3x 3 √ = + + ( 3) arctg(x 3) +c= (3x2 + 1)3 27 4(x2 + 1/3)2 4 2(x2 + 1/3) 2 √ √ x x 3 = + + arctg(x 3) + c. 2 2 4 (x + 1/3) 4 18 (x2 + 1/3) Z 3x + 2 9. dx. (x2 + x + 1)2 ˇ sen´ı: Vyjádˇr´ıme ˇcitatele pomoc´ı derivace jmenovatele a aditivn´ı konstanty. Je (x2 + x + 1)0 = 2x + 1 Reˇ √ a x2 + x + 1 = (x + 1/2)2 + 3/4 = (x + 1/2)2 + ( 3/2)2 . Nyn´ı vyuˇzijeme vztah (4.42) Z Z Z 3x + 2 3 2x + 1 1 dx 3 1 1 dx = dx + =− + I2 , (4.45) (x2 + x + 1)2 2 (x2 + x + 1)2 2 (x2 + x + 1)2 2 x2 + x + 1 2 kde Z I2 =

dx = 2 (x + x + 1)2

Z

x + 1/2 = z √ 2 = dx = dz (x + 1/2)2 + ( 3/2)2 dx

Z =

dz √ 2 . z 2 + ( 3/2)2

Z (4.41) dostáváme pro n = 1 I2 = =

z 2·1−1 2z 2 + I1 = + 2 2 2 · 1 · (3/4)(z + 3/4) 2 · 1 · (3/4) 3(z + 3/4) 3

Z z2

dz √ = + ( 3/2)2

2 2 2 2x + 1 4 2x + 1 2z + √ arctg √ z + c = + √ arctg √ + c. 3(z 2 + 3/4) 3 3 3(x2 + x + 1) 3 3 3 3

Dosazen´ım do (4.45) dostáváme Z 3x + 2 3 1 2x + 1 2 2x + 1 dx = − 2 + + √ arctg √ + c. (x2 + x + 1)2 2 x + x + 1 6(x2 + x + 1) 3 3 3

´ ÍCH FUNKCÍ 4.5. INTEGRACE RACIONALN Z 10.

99

2x2 + 2x + 13 dx. (x − 2)(x4 + 2x2 + 1)

ˇ sen´ı: Rozloˇz´ıme integrand v souˇcet parciáln´ı zlomk˚ Reˇ u a pak integrujeme. Z Z 2x2 + 2x + 13 1 x+2 3x + 4 dx = − − dx = ln |x − 2| − J2 − J3 , (x − 2)(x4 + 2x2 + 1) x − 2 x2 + 1 (x2 + 1)2 kde

Z

Z 2x dx 1 dx + 2 = ln(x2 + 1) + 2 arctg x + c x2 + 1 x2 + 1 2 Z Z 3x + 4 3 2x dx 3 1 J3 = 2 dx = dx + 4 =− 2 + 4I2 , 2 2 2 2 2 (x + 1) 2 (x + 1) (x + 1) 2x +1

J2 = a

x+2 1 dx = x2 + 1 2

Z

I2 vypoˇcteme podle rekurentn´ı formule (4.41) pro n = 1. Z 1 x 1 dx x I2 = + = + arctg x + c. 2 2 2 2(x + 1) 2 x +1 2(x + 1) 2 Celkem tedy dostáváme Z 2x2 + 2x + 13 1 3 − 4x dx = ln |x − 2| − ln(x2 + 1) − 4 arctg x + + c. (x − 2)(x4 + 2x2 + 1) 2 2(x2 + 1) Z 11. K3 =

(x2

dx . + 9)3

ˇ sen´ı: Podle (4.41) dostáváme pro n = 2 Reˇ K3 =

x 3 x 1 + K2 = + K2 . 2 2 2 2 4 · 9(x + 9) 2·2·9 36(x + 9) 12

(4.46)

x 1 x 1 + K1 = + K1 . 2 2 2 · 1 · 9(x + 9) 2 · 9 18(x + 9) 18

(4.47)

Pro n = 1 z (4.41) dostáváme K2 = Podle (4.13) plat´ı

Z K1 =

dx 1 x = arctg + c, x ∈ R. +9 3 3

x2

Odtud, z (4.46) a z (4.47) dostáváme x 1 x 1 1 x 1 18x 3x x K3 = + + arctg + c = + + arctg + c. 36(x2 + 9)2 12 18(x2 + 9) 18 3 3 648 (x2 + 9)2 x2 + 9 3 ´ Ulohy 1. Vypoˇctˇete Z x dx a) ; (x + 1)(2x + 1) Z (x5 + x4 − 8) dx ; e) x3 − 4x Z (x2 − 3x + 2) dx i) ; x(x2 + 2x + 1) Z (2x2 − 5) dx ; m) x4 − 5x2 + 6 Z dx ; q) x3 + 2x − 3

Z x dx b) ; 2 2x − 3x − 2 Z dx f) ; 3 6x − 7x2 − 3x 2 Z x+2 dx j) ; x−1 x Z x dx n) ; x4 − 3x2 + 2 Z dx r) ; 1 + x4

Z

Z (2x2 + 41x − 91) dx (x3 − 1) dx ; d) ; (x − 1)(x + 3)(x − 4) 4x3 − x Z Z x2 dx dx g) ; h) ; 2 2 4 (x + 2) (x + 4) x − x2 Z Z x2 dx (x3 + 1) dx k) ; l) 3 2 x + 5x + 8x + 4 x3 − x2 Z Z (x2 − 2x + 3) dx (3x2 + 1) dx o) ; p) 3 2 (x − 1)(x − 4x + 3x) (x2 − 1)3 Z Z 9x2 − 14x + 1 x3 − 2x2 + 4 s) dx; t) dx. x3 − 2x2 + x − 2 x3 (x − 2)2

c)


100

(x − 1)4 (x − 4)5 √ |x + 1| 1 2 + c; √ a) ln + c; b) ln[(x − 2) 2x + 1] + c; c) ln  5 (x + 3)7 2x + 1   x2 (x − 2)5  7 9 x3 x2 1 + c;  d) x + ln |x| − ln |2x − 1| − ln |2x + 1| + c; e) + + 4x + ln  4 16 16 3 2 (x + 2)3    f) 3 ln |3x + 1| + 2 ln |2x − 3| − 1 ln |x| + c; g) 2 ln x + 4 − 5x + 12 + c;  x + 2 x2 + 6x + 8 11 33 3   2   h) 1 + 1 ln x − 1 + c; i) ln x + 6 + c; j) 4 ln |x| − 3 ln |x − 1| − 9 + c;  x 2 x+1 x + 1 x + 1 x−1   √ x − √3 2  1 1 x − 2  k) 4 + ln |x + 1| + c; l) x + 1 + ln (x − 1) + c; m) √ √ + √ ln √ + c, ln  x+2 x |x|  2 2 x + 2 2 3 x + 3  s p   2 x  n) ln x − 2 + c; o) 1 + ln |(x − 1)(x − 3)| + c; p) c − ;  x2 − 1 2 x−1 |x| (x − 1)2   √ √ √  1 (x − 1)2 3 2x + 1 1 x2 + x 2 + 1 2 x 2  √ ln − √ arctg √ + c; r) √ ln + arctg + c;  q) 10 x2 + x + 3 5 11 4 1 − x2  11 4 2 x2 − x 2 + 1   9 18 1 x 1 1 1 2 − s) ln |x − 2| + ln |x2 + 1| + arctg x + c; t) ln 1+ − + c. 5 5 5 4 x − 2 x 2x 2(x − 2) 

2. Vypoˇctˇete

      

                                  

Z

Z Z dx dx 3 dt 1. ; 2. ; 3. ; 4x2 + 4x + 2 3x2 − 2x + 2 2t2 − 2t + 1 Z Z Z dt x+1 x2 − x − 5 4. ; 5, dx; 6. dx. 2 2 3 3t + 6t + 12 x +3 x − x2 + 4x − 4 √ √ 1. (1/2) arctg(2x + 1) + c, x ∈ R; 2. (1/ 5) arctg((3x − 1)/ 5) + c, x ∈ R; t+1 1 3. 3 arctg(2t − 1) + c, t ∈ R; 4. √ arctg √ + c, t ∈ R; 3 3 3 1 1 x (x2 + 4) 1 x 5. ln(x2 + 3) + √ arctg √ + c, x ∈ R; 6. ln + arctg + c, x 6= 1. 2 |x − 1| 2 2 3 3

      

3. ZPomoc´ı rekurentn´ıch formul´ı vypoˇctˇete následuj´ıc´ı integrály. x 5x 5x 5 x dx ; + + + arctg + c; a) 2 4 24(x2 + 4)3 384(x2 + 4)2 1024(x2 + 4) 2048 2 Z (x + 4) dx x 3x 3 x b) . + + arctg + c. . (x2 + 16)3 64(x2 + 16)2 2048(x2 + 16) 8192 4

4.6

Pˇ reveden´ı integrandu na racion´ aln´ı funkci

Integrand obsahuje goniometrick´ e funkce. Budeme se zab´ yvat integrály typu R R(sin x, cos x) dx.

(4.48)

Ukáˇzeme, ˇze kaˇzd´ y integrál, jehoˇz integrand je racionáln´ı funkce dvou promˇenn´ ych sin x a cos x lze vhodnou substituc´ı pˇrevést na integrál, jehoˇz integrand je racionáln´ı funkce jedné promˇenné. K tomu nám poslouˇz´ı známé vztahy pro goniometrické funkce x x x x x x 2 tg cos2 − sin2 1 − tg2 2 sin cos 2 2 = 2 , cos x = 2 2 = 2 , x 6= (2k + 1)π ; (4.49) sin x = x x x x x x sin2 + cos2 tg2 + 1 cos2 + cos2 tg2 + 1 2 2 2 2 2 2 q π π 1 tg x 1 = 1 + tg2 x, cos x = p , sin x = p ,x∈ − , . (4.50) cos x 2 2 1 + tg2 x 1 + tg2 x Nyn´ı m˚ uˇzeme v kaˇzdém intervalu neobsahuj´ıc´ım body x = (2k + 1)π, k ∈ Z, zvolit substituci x 2 t = tg , x = 2 arctg t, dx = dt , 2 1 + t2

(4.51)

ˇ Í INTEGRANDU NA RACIONALN ´ Í FUNKCI 4.6. PREVEDEN

101

která podle (4.49) pˇrevád´ı funkce cos x a sin x na racionáln´ı funkce sin x →

2t 1 − t2 , cos x → , t ∈ R. 2 1+t 1 + t2

(4.52)

Dosazen´ım do (4.48) dostáváme

Z R

2t 1 − t2 , 1 + t2 1 + t2

2 dt. 1 + t2

(4.53)

Po u ´pravách zlomk˚ u dostáváme racionáln´ı funkci v promˇenné t. Takto z´ıskané integrandy vˇsak b´ yvaj´ı sloˇzité (jmenovatele jsou ˇcasto polynomy vysok´ ych stupˇ n˚ u), a proto univerzáln´ı substituci (4.51) v praxi pouˇz´ıváme jen tehdy, nelze-li pouˇz´ıt nˇekterou ze substituc´ı, které uvedeme dále. Z 1 − sin x Pˇ r´ıklad Vypoˇctˇete dx, x 6= (2k + 1)π. 1 + cos x ˇ sen´ı: Reˇ 2t x 2t Z Z Z 2 1− t = tg , sin x = 2 1 − sin x t − 2t + 1 1 + t2 2 dt = 2 1 + t = dx = dt = 2 1 + t2 2 1 − t2 1 + cos x 1 + t2 1 − t dt, cos x = dx = 1+ 1 + t2 1 + t2 1 + t2 Z Z 2t x 1 + t2 2 2 x dt − dt = t − ln(1 + t ) + c = tg − ln 1 + tg + c, x 6= (2k + 1)π. = 1 + t2 1 + t2 2 2 R Integr´ aly typu R(sin2 x, cos2 x, sin x cos x) dx, jejichˇz integrand obsahuje pouze sudé mocniny goniometrick´ ych funkc´ı sin x, cos x a souˇciny sin x cos x, lze pˇrevést substituc´ı t = tg x opˇet na integr´ al z racionáln´ı lomené funkce v promˇenné t. Je totiˇz 1 dt , 1 + t2 cos2 x 1 1 cos2 x = = = , 1 + t2 1 + tg2 x cos2 x + sin2 x sin2 x t2 tg2 x sin2 x = = = , 2 2 1 + t2 1 + tg x cos2 x + sin x tg x t sin x cos x = = . sin x cos x = 2 2 2 1 + t2 1 + tg x cos x + sin x x = arctg t,

dx =

Pˇ r´ıklady Máme vypoˇc´ıtat integrály R 1. tg4 x dx. ˇ sen´ı: Reˇ R 4 tg x dx = t = tg x, dx = Z =

(t2 − 1 +

(4.54)

Z 4 1 t −1+1 dt = dt = 2 1+t 1 + t2

1 1 1 ) dt = t3 − t + arctg t + c = tg3 x − tg x + x + c. 1 + t2 3 3

Z

dx . sin x − 4 sin x cos x + 5 cos2 x ˇ sen´ı: Pro x 6= π/2 + kπ, k celé, plat´ı Reˇ

2.

2

Z

dx = 2 sin x − 4 sin x cos x + 5 cos2 x Z =

dz = z 2 − 4z + 5

Z

Z

tg x = z 1 1 1 dx = dx = dz tg2 x − 4 tg x + 5 cos2 x cos2 x

dz = arctg(z − 2) + c = arctg(tg x − 2) + c. (z − 2)2 + 1

=


102

R Integr´ aly typu R(sin2 x, cos x) sin x dx pˇrevád´ıme substituc´ı t = cos x, dt = − sin x dx na integrál z racionáln´ı lomené funkce v promˇenné t. R Pˇ r´ıklad Máme vypoˇc´ıtat integrál sin3 x dx. R R R ˇ sen´ı: sin3 x dx = (1 − cos2 x) sin x dx = − (1 − t2 ) dt = t3 /3 − t + c = (cos3 x)/3 − cos x + c. Reˇ R Pozn´ a Obdobnˇe lze poˇc´ıtat integrály typu R(sin x, cos2 x) cos x dx substituc´ı t = sin x a integrály R mka typu sinm x cosn x dx, kde m, n ∈ N, je-li alespoˇ n jedno z ˇc´ısel m, n liché. Jsou-li obˇe ˇc´ısla sudá, vyuˇz´ıváme vztahy sin2 x = (1 − cos 2x)/2; cos2 x = (1 + cos 2x)/2, (4.55) pˇr´ıpadnˇe u vyˇsˇs´ıch mocnin i v´ıcekrát po sobˇe. Pˇ r´ıklady Máme vypoˇc´ıtat následuj´ıc´ı integrály: R 1. sin2 x dx. R R ˇ sen´ı: sin2 x dx = (1 − cos 2x)/2 dx = x/2 − (sin 2x)/4 + c. Reˇ R 2. cos4 x dx. R R R R ˇ sen´ı: Podle (4.54) je cos4 x dx = (cos2 x)2 dx = (1/4) (1 + cos 2x)2 dx = (1/4) (1 + 2 cos 2x + Reˇ R R cos2 2x) dx = x/4 + (sin 2x)/4 + (1/4) (cos2 2x) dx = x/4 + (sin 2x)/4 + (1/8) (1 + cos 4x) dx = 3x/8 + (sin 2x)/4 + (sin 4x)/32 + c. Z sin3 x 3. dx. cos2 x + 1 ˇ sen´ı: Pouˇzijeme substituci cos x = z. Reˇ Z

sin2 x sin x dx = − 1 + cos2 x

Z

1 − z2 dz = z − 2 arctg z + c = cos x − 2 arctg(cos x) + c. 1 + z2

Z

dx . sin x ˇ sen´ı: Rozˇs´ıˇr´ıme integrand funkc´ı sin x. Pomoc´ı substituce t = cos x standardn´ım postupem dostaneme Reˇ Z Z Z dx sin x sin x 1 1 − cos x = dx = dx = ln + c. sin x 1 − cos2 x 2 1 + cos x sin2 x 4.

R R R Integr´ aly typu sin ax cos bx dx, sin ax sin bx dx, cos ax cos bx dx, a 6= b, poˇc´ıtáme tak, ˇze souˇcin v integrandu pˇrevedeme na souˇcet pomoc´ı vztah˚ u sin α cos β = (sin(α + β) + sin(α − β))/2, sin α sin β = (cos(α − β) − cos(α + β))/2, cos α cos β = (cos(α + β) + cos(α − β))/2.

(4.56)

R Pˇ r´ıklad Vypoˇctˇete sin 5x cos x dx. R R ˇ sen´ı: sin 5x cos x dx = (1/2) (sin 6x + sin 4x) dx = −(1/12) cos 6x − (1/8) cos 4x + c. Reˇ ´ Ulohy Vypoˇctˇete následuj´ıc´ı integrály. Z sin2 x cos3 x dx; dx; 2. 1. 2 cos6 x 4 sin x − 1 Z Z sin x − cos x dx 5. dx; 6. ; sin x + cos x 2 + 3 cos2 x Z Z dx dx 9. ; 10. ; 4 cos3 x sin x cos4 x R R 13. sin x · sin 3x dx; 14. sin 2x · cos 3x dx; Z

Z

Z dx dx 3. ; 2 ; 4. 2 2 + cos x 7 cos x + 2 sin x Z Z dx dx 7. ; 8. ; 5 − 3 cos x sin x cos3 x Z Z dx dx 11. ; 12. ; sin x + cos x 5 + 4 sin x R R 15. cos x · cos 3x dx; 16. sin 2x · cos 5x dx.

ˇ Í INTEGRANDU NA RACIONALN ´ Í FUNKCI 4.6. PREVEDEN                       

103

p 2 sin x − 1 3 1 + c; 2. 1 + 1 tg2 x tg3 x + c; 3. √1 arctg( 2/7 tg x) + c; sin x + ln 4 16 2 sin x + 1 3 5 14 p 2 1 x 1 4. √ arctg √ tg + c; 5. − ln | sin x + cos x| + c; 6. √ arctg 2/5 tg x + c; 2 3 3 10 1 x 1 sin x 1 1 + sin x 7. arctg 2 tg + c; 8. + ln | tg x| + c; 9. + ln + c; 2 2 2 cos2 x 2 cos2 x 4 1 − sin x tg(x/2) − 1 + √2 1 1 1 3 3 √ + c; 10. tg x + 3 tg x − 3 cotg x − cotg x + c; 11. √ ln 3 3 2 tg(x/2) − 1 − 2 1 x 1 1 1 1 2 12. arctg 5 tg + 4 + c; 13. − sin 4x + sin 2x + c; 14. − cos 5x + cos x + c; 3 3 2 8 4 10 2 1 1 1 1 15. sin 4x + sin 2x + c; 16. − cos 7x + cos 3x + c. 8 4 14 6 1. −

                      

R

1 1 dt na R(eαx ) dx, α ∈ R, α 6= 0, pˇrevád´ıme substituc´ı eαx = t, x = ln t, dx = α αt Z 1 dt integrál z racionáln´ı lomené funkce R(t) . α t Pˇ r´ıklady Máme vypoˇc´ıtat následuj´ıc´ı integrály. Z dx 1. . (1 + ex )2 x Z Z t dx dt ˇ sen´ı: + 1 + c = ln e + 1 + c. Reˇ = = ln x 2 2 x (1 + e ) t(1 + t) 1+t 1+t 1 + e 1 + ex Z x e dx 2. . 1 + e2x Z Z ex dx dt ˇ Reˇsen´ı: = = arctg t + c = arctg ex + c. 1 + e2x 1 + t2 Integr´ aly typu

´ Ulohy Vypoˇctˇete následuj´ıc´ı integrály Z Z Z Z Z dx dx dx dx e3x + ex √ ; 4. 1. ; 2. ; 3. ; 5. dx. x 2x x x −x 4x x 2−e −e e −1 e +e e − e2x + 1 e +1   1 x 1 1. − ln(ex + 2) − ln |ex − 1| + c; 2. ln |ex − 1| − x + c;   2 √6 3√ x x −x x x 3. ln( e + 1 − 1) − ln( e + 1 + 1) + c; 4. arctg e + c; 5. arctg(e − e ) + c. Integr´ aly typu

Z R(ln x)

dx . x

(4.57)

R dx pˇrevád´ı integrál (4.57) na integrál z racionáln´ı lomené funkce R(t) dt. x Pˇ r´ıklad Z ln x dx Máme vypoˇc´ıtat integrál , x > 0, x 6= e−1 . 1 + ln x x ˇ sen´ı: Reˇ Z Z ln x dx ln x = t t = dt = t − ln |t + 1| + c = ln x − ln |1 + ln x| + c. dx = dt = 1 + ln x x 1+t x Substituce ln x = t, dt =


104

Integrand obsahuje odmocniny pod´ılu line´ arn´ıch funkc´ı Budeme se zab´ yvat integrály typu ! r Z ax + b n R x, dx, n ∈ N, a, b, c, e ∈ R, ae − bc 6= 0, cx + e

(4.58)

r ax + b n . Vol´ıme substituci tj. integr´ aly, jejichˇz integrand je racionáln´ı funkce dvou promˇenn´ ych x a cx + e tn =

ax + b , cx + e

x=

etn − b , a − ctn

dx =

(ae − bc)ntn−1 dt. (a − ctn )2

(4.59)

Je-li n sudé, je nutno pˇredpokládat (ax + b)/(cx + e) ≥ 0, nebot’ tn ≥ 0. Podle vˇety o substituci plat´ı ! r n Z Z et − b (ae − bc)ntn−1 n ax + b R x, dx = R , t dt. cx + e a − ctn (a − ctn )2 Integrál na pravé stranˇe je integrál z racionáln´ı funkce v promˇenné t. Pˇ r´ıklady Vypoˇcteme následuj´ıc´ı integrály. Z r 3 2x + 1 dx 1. . x + 1 x2 ˇ sen´ı: Pouˇzijeme substituci (4.59). Reˇ Z r 3 2x + 1 dx I= = x + 1 x2 =

3 3 3t2 t = 2x + 1 , x = t − 1 , dx = dt = 3 3 2 x+1 2−t (2 − t ) R t3 R 2−t3 2 3t2 t t3 −1 (2−t3 )2 dt = 3 (t3 −1)2 dt.

Tento integrál racionáln´ı funkce jiˇz um´ıme vypoˇc´ıtat (proved’te sami v´ ypoˇcet!) a dostaneme t 2t + 1 1 1 1 + ln |t − 1| − ln(t2 + t + 1) − √ arctg √ + c, 1 − t3 3 6 3 3 r 2x + 1 kde za t mus´ıme dosadit t = 3 . x+1 p √ Z 1− x p 2. √ dx. 1+ x hp √ i2 p r √ √ 1 − x 1− x 1− x 1 x ˇ Reˇsen´ı: Plat´ı p . Je tedy =√ − √ =p √ p √ =√ 1 − x 1−x 1−x 1+ x 1+ x 1− x √ √ Z p Z Z Z r 1− x 1− x 1 x p √ √ I = dx = dx − dx = I1 − I2 . √ dx = 1−x 1−x 1−x 1+ x I=

Z I1

=

1 √ dx = 1−x

Z r I2

=

Z

√ (1 − x)−1/2 dx = −2(1 − x)1/2 + c = −2 1 − x + c;

r t2 x = t, x = x 1−x 1 + t2 dx = 2t 1−x dx = dt (1 + t2 )2

Z 2t2 = dt. (1 + t2 )2

2 Tento p integrál jiˇz um´ıme spoˇc´ıtat. Dostaneme I2 = arctg t − t/(1 + t ) + c, kde za t mus´ıme dosadit t = x/(1 − x). Je tedy r p √ x I = I1 − I2 = −2 1 − x − arctg − x(1 − x) + c. 1−x

ˇ Í INTEGRANDU NA RACIONALN ´ Í FUNKCI 4.6. PREVEDEN √ Z √ x+1− x−1 √ √ dx. x+1+ x−1 ˇ sen´ı: Reˇ √ Z √ x+1− x−1 √ √ dx x+1+ x−1

105

3.

Z =

√ √ Z p 1 ( x + 1 − x − 1)2 dx = (2x − 2 (x + 1)(x − 1)) dx = 2 2

Z =

(x −

p

x2 (x + 1)(x − 1)) dx = − 2

Z r

x+1 (x − 1) dx = x−1

x+1 t2 + 1 2 −4t = ,x= 2 , x−1= 2 , dx = 2 dt = t2 = 2 x−1 t −1 t −1 (t − 1) =

x2 +4 2

Z t

2 t x2 dt = +8 t2 − 1 (t2 − 1)2 2

Z

t2 dt, (t2 − 1)3

coˇz je integr´ al z racionáln´ı funkce, kter´ y jiˇz dovedeme spoˇc´ıtat. ´ Ulohy Vypoˇctˇete následuj´ıc´ı integrály. Z √ 2x + 1 1. I = dx. x2 Z x dx √ √ 2. I = . x+1+ 3x+1

√ 2x + 1 2x + 1 − 1 I=− + ln √ + c. x 2x + 1 + 1 9 √ t t8 t7 t6 t5 t4 Návod. 6 x + 1 = t. I = 6 − + − + − + c. 9 8 7 6 5 4

√

Integrand obsahuje odmocniny kvadratick´ ych trojˇ clen˚ u. Budeme se zab´ yvat integrály typu √ R R(x, ax2 + bx + c) dx, a, b, c ∈ R, a 6= 0.

(4.60)

Aby u ´loha mˇela smysl, mus´ı b´ yt ax2 + bx + c ≥ 0.

(4.61)

Pˇripomeˇ nme, ˇze nerovnost (4.61) m˚ uˇze b´ yt splnˇena na celé reálné ose R, a to v pˇr´ıpadˇe, ˇze kvadratická rovnice ax2 + bx + c = 0 nemá r˚ uzné reálné koˇreny a a > 0, na sjednocen´ı (−∞, x1 ) ∪ (x2 , ∞) v pˇr´ıpadˇe, ˇze má dva reálné koˇreny x1 < x2 a souˇcasnˇe je a > 0, na intervalu (x1 , x2 ), má-li dva reálné koˇreny x1 < x2 a souˇcasnˇe je a < 0, a koneˇcnˇe nen´ı splnˇena nikde, je-li a < 0 a rovnice nemá reálné koˇreny. 1. Eulerova substituce V pˇr´ıpadˇe a > 0 m˚ uˇzeme integrál (4.60) pˇrevést na integrál z racionáln´ı funkce pomoc´ı tzv. 1. Eulerovy substituce p √ ax2 + bx + c = t − x a. (4.62) √ ˇ Umocn´ıme obˇe strany rovnosti a dostaneme ax2 +bx+c = t2 −2tx a+ax2 . Cleny ax2 se ruˇs´ı a dostáváme lineárn´ı rovnici pro x. Je tedy √ √ t2 − c t2 a + bt + c a √ , dx = 2 √ x= dt. (4.63) b + 2t a (b + 2t a)2 Po dosazen´ı do (4.60) dostáváme integrál z racionáln´ı funkce v promˇenné t. Z dx √ . Pˇ r´ıklad Máme vypoˇc´ıtat integrál 2 2x + 6x + 7 ˇ sen´ı: Jelikoˇz je diskriminant D = 62 − 4 · 2 · 7 = −20 < 0, je integrand spojit´ Reˇ y na R. Je a = 2 > 0, takˇze lze pouˇz´ıt 1. Eulerovu substituci. √ √ Z p 2 2 √ t 2 + 6t + 7 2 dx t − 7 √ √ , dx = 2 √ = 2x2 + 6x + 7 = t − x 2, x = dt = 2 2 6 + 2t 2 (6 + 2t 2) 2x + 6x + 7


106 Z 2

=

√ √ Z √ 1 t2 2 + 6t + 7 2 dt 1 √ √ = √ ln |3 + t 2| + c = dt = 2 √ t −7 (6 + 2t 2)2 3+t 2 2 √ t− 2 6 + 2t 2 √ p 1 = √ ln |3 + 2x + 2 2x2 + 6x + 7| + c, x ∈ R. 2

2. Eulerova substituce V pˇr´ıpadˇe, ˇze je c > 0, lze pouˇz´ıt tzv. 2. Eulerovu substituci p √ ax2 + bx + c = xt + c. (4.64) √ Opˇet umocn´ıme obˇe strany rovnice na druhou a obdrˇz´ıme ax2 + bx + c = x2 t2 + 2xt c + c. Nyn´ı se zruˇs´ı c a m˚ uˇzeme krátit obˇe strany x. Dostaneme lineárn´ı rovnici pro x z n´ıˇz vypoˇcteme √ √ √ 2t c − b t2 c − bt + a c x= , dx = 2 dt. (4.65) a − t2 (a − t2 )2 Po dosazen´ı do integrálu (4.60) dostáváme integrál z racionáln´ı funkce. Z dx √ . Pˇ r´ıklad Máme vypoˇc´ıtat integrál x + x2 − x + 1 ˇ sen´ı: Diskriminant je opˇet záporn´ Reˇ y, takˇze poˇc´ıtáme na celé mnoˇzinˇe R. Je c = 1 > 0, lze tedy pouˇz´ıt 2. Eulerovu substituci. √ x2 − x + 1 = xt − 1 Z Z dx t2 − t + 1 2 √ 1 − 2t t −t+1 = dt. = 2 , dx = −2 dt t(1 − t)(1 + t)2 x + x2 − x + 1 x = 1 − t2 (1 − t2 )2 3. Eulerova substituce Je-li D = b2 − 4ac > 0, pak lze trojˇclen pod odmocninou rozloˇzit ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ), kde x1 6= x2 jsou koˇreny polynomu ax2 + bx + c. Integrál (4.60) m˚ uˇzeme nyn´ı pˇrevést na integr´ al z racionáln´ı funkce pomoc´ı tzv. 3. Eulerovy substituce p ax2 + bx + c = t(x − x1 ). (4.66) Odtud a(x − x1 )(x − x2 ) = t2 (x − x1 )2 a po krácen´ı dvojˇclenem x − x1 dostáváme rovnici a(x − x2 ) = t2 (x − x1 ), z n´ıˇz vyjádˇr´ıme x pomoc´ı t x=

ax2 − x1 t2 , a − t2

dx = 2a

(x2 − x1 )t dt. (a − t2 )2

(4.67)

Po dosazen´ı do integrálu (4.60) dostaneme integrál z racionáln´ı funkce v promˇenné t. Z dx √ Pˇ r´ıklad Máme vypoˇc´ıtat integrál . (x2 + 4) 4 − x2 ˇ sen´ı: Integrál poˇc´ıtáme pro 4 − x2 > 0, tj. pro |x| < 2. Reˇ Z

p dx 8t t2 − 1 2 √ , dx = dt = = 4 − x = (2 − x)t, x = 2 2 2 2 2 2 1+t (1 + t ) (x + 4) 4 − x Z Z 1 1 8t 1 + t2 2 = dt = dt. (1 + t2 )2 4 1 + t4 (t − 1)2 t2 − 1 4 + 4 2 − 2 t (1 + t2 )2 1 + t2

Dostali jsme integrál z racionáln´ı funkce, kter´ y jiˇz dovedeme spoˇc´ıtat.

√ R Pozn´ amka Eulerov´ ymi substitucemi lze za uveden´ ych podm´ınek pˇrevést R(x, ax2 + bx + c) dx na integrál z racionáln´ı funkce. Vidˇeli jsme, ˇze jak pˇrevod integrandu na racionáln´ı funkci, tak i jej´ı integrace m˚ uˇze pˇredstavovat dosti zdlouhav´ y a pracn´ y proces. Ukáˇzeme si jeˇstˇe dalˇs´ı moˇznosti, jak lze odstranit odmocniny z integrand˚ u v nˇekter´ ych speciáln´ıch pˇr´ıpadech. √ R Integr´ aly typu R(x, x2 + α2 ) dx pˇrevád´ıme substituc´ı x = α sinh t, dx = α cosh t dt na integrál z racionáln´ı funkce

ˇ Í INTEGRANDU NA RACIONALN ´ Í FUNKCI 4.6. PREVEDEN Z

107

Z q p x = α sinh t, 2 2 = R(α sinh t, α2 (1 + sinh2 t)α cosh t dt = R(x, x + α ) dx = dx = α cosh t dt Z = R(α sinh t, α cosh t)α cosh t dt.

Tento integrál m˚ uˇzeme poˇc´ıtat podobnˇe, jako jsme poˇc´ıtali integrály z goniometrick´ ych funkc´ı, nebo m˚ uˇzeme pouˇz´ıt definici hyperbolick´ ych funkc´ı a pˇrevést jej na integrál z integrandu obsahuj´ıc´ıho pouze exponenciáln´ı funkce. R√ Pˇ r´ıklad Máme vypoˇc´ıtat integrál x2 + 1 dx. R√ Rp R R ˇ sen´ı: Substituce x = sinh t dává Reˇ x2 + 1 dx = sinh2 t + 1 cosh t dt = cosh2 t dt = (1/4) (et + R e−t )2 dt = (1/4) (e2t +2+e−2t ) dt = e2t /8+t/2−e−2t /8+c, kde za t je nutno jeˇstˇe dosadit t = argsinh x. √ R Integr´ aly typu R(x, x2 − α2 ) dx pˇrevád´ıme substituc´ı x = α/ cos t na integrály z racionáln´ı lomené funkce v sinech a kosinech ! r Z Z p α α α sin t 1 α sin t , dx = dt = R ,α −1 · dt = R(x, x2 − α2 ) dx = x = cos t cos2 t cos t cos2 t cos2 t

Z =

R

α | sin t| ,α cos t | cos t|

R α sin t dt = R1 (sin t, cos t) dt, cos2 t

coˇz je integr´ al z racionáln´ı funkce lomené R1 v sinech a kosinech. √ R Integr´ aly typu R(x, α2 − x2 ) dx pˇrevád´ıme substituc´ı x = α sin t na integrály z racionáln´ı funkce v sinech a kosinech p √ R R R(x, α2 − x2 ) dx = |x = α sin t, dx = α cos t dt| = R(α sin t, α 1 − sin2 t)α cos t dt = R R = R(α sin t, α| cos t|)α cos t dt = R3 (sin t, cos t) dt. ´ Ulohy

Z

dx na integrál, jehoˇz integrand x2 +x + 1 Z t2 − t + 1 dt. je racionáln´ı funkce. Napˇr. − 2 (t − 2)(1 − 2t) (ii) Pomoc´ı vhodné goniometrické nebo hyperbolické substituce vypoˇctˇete následuj´ıc´ı integrály. Z Z Z dx dx dx √ √ √ 1. ; 2. ; 3. . 2 2 2 3 − 2x 1 + 4x − 5x x + 3x − 1 " r ! √ # 2 5 5x − 2 1 3 p 2 + c; 2. arcsin + c; 3. ln x + + x + 3x − 1 . 1. √ arcsin x 3 5 3 2 2

(i) Pomoc´ı vhodné Eulerovy substituce pˇreved’te integrál

x+

√

108


Kapitola 5

Riemann˚ uv urˇ cit´ y integr´ al 5.1

Zaveden´ı Riemannova integr´ alu

Kl´ıˇcov´ a slova: Dˇelen´ı intervalu; doln´ı a horn´ı Riemann˚ uv souˇcet; doln´ı a horn´ı Riemann˚ uv integrál; Riemann˚ uv integrál; urˇcit´ y integrál; integrovatelná funkce; stˇredn´ı hodnota funkce na intervalu; integrál jako funkce horn´ı meze; Newtonova-Leibnizova formule; základn´ı vˇeta integráln´ıho poˇctu Riemann˚ uv1 integr´ al na intervalu Je dán interval I = ha, bi ⊂ R. Rozdˇelme jej body xi , i = 0, 1, . . . , m , tak, ˇze a = x0 < x1 < x2 < . . . < xm = b. Oznaˇcme Dxi = hxi−1 , xi i, i = 1, 2, . . . , m. (5.1) Pak plat´ı ha, bi = Dx1 ∪ Dx2 ∪ · · · ∪ Dxm .

(5.2)

Mnoˇzinu interval˚ u Ii = Dxi , i = 1, 2, . . . , m, takov´ ych, ˇze jejich sjednocen´ı je cel´ y interval I = ha, bi a kaˇzdé dva r˚ uzné intervaly Ik , Ir pro k 6= r jsou bud’ disjunktn´ı, nebo maj´ı spoleˇcn´ y jeden krajn´ı bod, ˜ naz´ yváme dˇelen´ım intervalu I. Oznaˇcme D mnoˇzinu vˇsech dˇelen´ı intervalu I. Necht’ d ∈ D. Dˇelen´ı d, které vznikne z dˇelen´ı d tak, ˇze alespoˇ n jeden z jeho interval˚ u Ii = hxi−1 , xi i nahrad´ıme dvojic´ı interval˚ u Ii0 = hxi−1 , x0i i, Ii00 = hx0i , xi i, kde xi−1 < x0i < xi , naz´ yváme zjemnˇen´ım dˇelen´ı d. Ilustraci zjemnˇen´ı daného dˇelen´ı vid´ıme na obr. 5.1 a 5.2. Necht’ je dána funkce f , definovaná a omezená na intervalu I. Zvolme jedno dˇelen´ı d ∈ D a oznaˇcme m = inf{f (x) | x ∈ I} ,

mi = inf{f (x) | x ∈ Ii } ,

M = sup{f (x) | x ∈ I} ,

Mi = sup{f (x) | x ∈ Ii } .

ˇ ıslo Necht’ 4xi je délka intervalu Dxi . C´ P s(f, d) = mi 4xi ,

resp.

i

S(f, d) =

P i

Mi 4xi

(5.3)

(5.4)

naz´ yváme doln´ım, resp. horn´ım Riemannovým souˇctem funkce f na intervalu I. Geometricky jsou tato ˇc´ısla ilustrována ploˇsn´ ymi obsahy obrazc˚ u vyˇsrafovan´ ych na obr. 5.1, resp. 5.2. Je-li d˜ zjemnˇen´ım dˇelen´ı d, je zˇrejmé, ˇze ˜ ≤ S(f, d) ˜ ≤ S(f, d) ≤ M (b − a) . m(b − a) ≤ s(f, d) ≤ s(f, d) Plat´ı následuj´ıc´ı tvrzen´ı: Pro kaˇzdé dvˇe dˇelen´ı d1 , d2 ∈ D plat´ı s(f, d1 ) ≤ S(f, d2 ). D˚ ukaz: Oznaˇcme d dˇelen´ı, jehoˇz dˇel´ıc´ı body jsou vˇsechny dˇel´ıc´ı body obou dˇelen´ı d1 a d2 . Protoˇze dˇelen´ı d je zjemnˇen´ı dˇelen´ı d1 i d2 , plat´ı nerovnost s(f, d1 ) ≤ s(f, d) ≤ S(f, d) ≤ S(f, d2 ). Mnoˇzina ˇc´ısel s(f, d) pro d ∈ D je omezená shora ˇc´ıslem M (b − a) a mnoˇzina ˇc´ısel S(f, d) je omezená zdola ˇc´ıslem m(b − a). Proto existuj´ı reálná ˇc´ısla S(f ) = inf{S(f, d) | d ∈ D}, resp. s(f ) = sup{s(f, d) | d ∈ D} .

(5.5)

1 Riemann, Georg F. B. (1826-1866), nˇ emeck´ y matematik, profesor na universitˇ e v G¨ ottingen, formuloval souˇ ctovou definici integr´ alu, podstatnˇ e pˇrispˇ el k vytvoˇren´ı z´ aklad˚ u geometrie a k teorii funkc´ı komplexn´ı promˇ enn´ e

109

˚ URCIT ˇ Y ´ INTEGRAL ´ KAPITOLA 5. RIEMANNUV

110 y

y

f

f

x a = x0

x1

x2

···

xm−1

x

xm = b

a = x0

x1

a) pro dané dˇelen´ı

x2

···

xm−1

Obrázek 5.1: Doln´ı Riemann˚ uv souˇcet

y

y

f

f

x a = x0

xm = b

b) pro zjemnˇené dˇelen´ı

x1

x2

···

xm−1

x

xm = b

a = x0

x1

a) pro dané dˇelen´ı

x2

···

xm−1

xm = b

b) pro zjemnˇené dˇelen´ı

Obrázek 5.2: Horn´ı Riemann˚ uv souˇcet Tato ˇc´ısla naz´ yváme horn´ım, resp. doln´ım Riemannovým integr´ alem funkce f na intervalu I. Je-li s(f ) = S(f ), pak ˇc´ıslo R Rb s(f ) = S(f ) = f (x) dx = f (x) dx (5.6) I

a

naz´ yváme Riemannovým integr´ alem funkce f na intervalu I. Jestliˇze existuje Riemann˚ uv integrál funkce f na intervalu I, ˇr´ıkáme, ˇze funkce f je integrovateln´ a na intervalu I. Vedle názvu Riemann˚ uv integrál se bˇeˇznˇe pouˇz´ıvá také název urˇcitý integr´ al funkce f na intervalu I. Mnoˇzinu vˇsech funkc´ı integrovateln´ ych na intervalu I = ha, bi budeme znaˇcit symbolem Rha, bi. Skuteˇcnost, ˇze funkce f je integrovatelná na intervalu I = ha, bi budeme zapisovat f ∈ Rha, bi. V´ yˇse uvedené pojmy maj´ı pro nezápornou funkci f (x) názornou interpretaci. Pro dané dˇelen´ı d ∈ D aproximujeme obrazec omezen´ y grafem funkce y = f (x), osou x a pˇr´ımkami x = a a x = b obrazci sloˇzen´ ymi z vepsan´ ych, resp. opsan´ ych, obdéln´ık˚ u, jejichˇz jedna strana leˇz´ı na ose x. Doln´ı, resp. horn´ı, Riemann˚ uv souˇcet reprezentuje obsah tohoto vepsaného, resp. opsaného obrazce. Proto je pro libovolné dˇelen´ı vˇzdy menˇs´ı nebo roven, resp. vˇetˇs´ı nebo roven, obsahu daného obrazce. Jestliˇze zjemˇ nujeme dˇelen´ı tak, ˇze ∆ = sup ∆xi → 0, dostaneme pro obsah vepsaného, resp. opsaného obrazce doln´ı, resp. horn´ı Riemann˚ uv integrál. Aby bylo rozumné hovoˇrit o obsahu uvaˇzovaného obrazce, nemˇelo by záleˇzet na tom, zda jej budeme aproximovat zdola nebo shora. To ale nastává pouze tehdy, kdyˇz se doln´ı Riemann˚ uv integrál rovná horn´ımu Riemannovu integrálu. V takovém pˇr´ıpadˇe je obsah obrazce roven Riemannovu Rb integrálu a f (x) dx. To je ilustrováno na obr. 5.1, 5.2 a 5.3 a). Nutn´ a a postaˇ cuj´ıc´ı podm´ınka existence Riemannova integr´ alu Rb Riemann˚ uv integr´ al f (x) dx existuje pr´ avˇe tehdy, kdyˇz je splnˇena n´ asleduj´ıc´ı (Cauchy–Bolzanova) poda

m´ınka: Ke kaˇzdému ε > 0 existuje dˇelen´ı d ∈ D takové, ˇze S(f, d) − s(f, d) < ε.

´ 5.1. ZAVEDENÍ RIEMANNOVA INTEGRALU

111

D˚ ukaz: Podle definice suprema a infima existuj´ı pro kaˇzdé ε > 0 taková dˇelen´ı d1 , d2 ∈ D, ˇze s(f, d1 ) > s(f ) − ε/2 a S(f, d2 ) < S(f ) + ε/2. Necht’ d je zjemnˇen´ı dˇelen´ı d1 a d2 . Pak plat´ı nerovnosti s(f ) ≥ s(f, d) ≥ s(f, d1 ) > s(f ) − ε/2

a

S(f ) ≤ S(f, d) ≤ S(f, d1 ) < S(f ) + ε/2 .

Tedy ke kaˇzdému ε > 0 existuje dˇelen´ı d ∈ D takové, ˇze pro nˇe plat´ı nerovnosti S(f ) ≤ S(f, d) < S(f )+ε/2 a s(f ) − ε/2 < s(f, d) ≤ s(f ). Jestliˇze existuje Riemann˚ uv integrál funkce f (x), plat´ı s(f ) = S(f ). Seˇcten´ım nerovnost´ı S(f, d) < S(f ) + ε/2 a −s(f, d) < −s(f ) + ε/2 = −S(f ) + ε/2 zjist´ıme, ˇze pro toto dˇelen´ı je S(f, d) − s(f, d) < ε. Naopak jestliˇze funkce f (x) nemá Riemann˚ uv integrál, je S(f ) − s(f ) > 0. Protoˇze pro kaˇzdé dˇelen´ı d ∈ D plat´ı nerovnosti S(f ) ≤ S(d, f ) a s(f ) ≥ s(f, d), je S(f ) − s(f ) ≤ S(f, d) − s(f, d). Tedy pro ε = (S(f ) − s(f ))/2 a pro kaˇzdé dˇelen´ı d ∈ D plat´ı nerovnost S(f, d) − s(f, d) > ε. Vlastnosti Riemannova integr´ alu 1. Kaˇzd´ a funkce spojit´ a na intervalu ha, bi je na tomto intervalu integrovateln´ a. D˚ ukaz: V d˚ ukazu vyuˇzijeme tvrzen´ı, ˇze kaˇzdá spojitá funkce f (x) je na uzavˇreném a omezeném intervalu stejnomˇernˇe spojitá. To znamená, ˇze ke kaˇzdému ε > 0 existuje δ takové, ˇze pro vˇsechna x, y ∈ ha, bi, pro která je |x − y| < δ, je |f (x) − f (y)| < ε.2 Necht’ je dáno ε > 0. Pak existuje δ > 0 takové, ˇze pro vˇsechna x, y ∈ ha, bi, pro která je |x − y| < δ, je |f (x) − f (y)| < ε/(b − a). Vezmeme dˇelen´ı d intervalu ha, bi s dˇel´ıc´ımi body xi takov´ ymi, aby vzdálenost mezi jednotliv´ ymi dˇel´ıc´ımi body ∆i = xi+1 −xi byla menˇs´ı neˇz δ. Protoˇze je funkce f (x) spojitá na kaˇzdém omezeném a uzavˇreném intervalu hxi , xi+1 i, existuj´ı podle Weierstrassovy vˇety (2.1.3.1) body xMi , xmi ∈ hxi , xi+1 i takové, ˇze Mi = f (xMi ) a mi = f (xmi ), kde Mi = max{f (x) | x ∈ hxi , xi+1 i} a mi = min{f (x) | x ∈ hxi , xi+1 i}. Pak ale na kaˇzdém dˇel´ıc´ım intervalu plat´ı nerovnost Mi − mi = f (xMi ) − f (xmi ) < ε/(b − a). Tedy plat´ı S(f, d) − s(f, d) =

n X

n

(Mi − mi ) · ∆i <

i=0

ε X ε (xi+1 − xi ) = · (b − a) = ε . b − a i=0 b−a

2. Kaˇzd´ a funkce monotonn´ı na intervalu ha, bi je na tomto intervalu integrovateln´ a. D˚ ukaz: Bez u ´jmy na obecnosti m˚ uˇzeme pˇredpokládat, ˇze funkce je neklesaj´ıc´ı. Zvolme libovolnˇe ε > 0 a necht’ n ∈ N je takové, ˇze (b−a)(f (b)−f (a))/n < ε. Zvolme dˇelen´ı d tak, aby kaˇzd´ y jeho interval mˇel délku (b − a)/n. Z monotónnosti funkce f plyne, ˇ z e pro ˇ c ´ ısla m a M v (5.3) plat´ ı m = f (xi−1 ), Mi = f (xi ), i i i Pn P n i = 1, 2, . . . , n, a tedy S(f, d)−s(f, d) = i=1 (Mi −mi )(xi −xi−1 ) = ((b−a)/n) i=1 (f (xi )−f (xi−1 )) = ((b − a)/n)(f (b) − f (a)) < ε. T´ım je tvrzen´ı dokázáno. 3. Funkce f ∈ Rha, bi pr´ avˇe tehdy, kdyˇz pro kaˇzdé c ∈ (a, b) je f ∈ Rha, ci a f ∈ Rhc, bi a plat´ı rovnost Rb a

f (x) dx =

Rc a

f (x) dx +

Rb

f (x) dx.

(5.7)

c

Rc Rb D˚ ukaz: Necht’ existuj´ı integrály I1 = a f (x) dx a I2 = c f (x) dx. Pak ke kaˇzdému ε > 0 existuje dˇelen´ı d1 intervalu ha, ci a d2 intervalu hc, bi takové, ˇze S(f, d1 )−ε/2 < I1 < s(f, d1 )+ε/2 a S(f, d2 )−ε/2 < I2 < s(f, d2 )+ε/2. Jestliˇze vezmeme dˇelen´ı d intervalu ha, bi, které obsahuje vˇsechny dˇel´ıc´ı body dˇelˇen´ı d1 a d2 , plat´ı nerovnost S(f, d)−ε < I1 +I2 < s(f, d)+ε. Odsud dostaneme nerovnost S(f, d)−s(f, d) < 2ε. Tedy Rb Rb f ∈ Rha, bi a pˇrechodem k infimu, resp. supremu dostaneme vztah a f (x) dx−ε ≤ I1 +I2 ≤ a f (x) dx+ε. Protoˇze ε > 0 bylo libovolné, plyne odtud rovnost (5.7). Rb Naopak, necht’ existuje integrál I = a f (x) dx. Pak ke kaˇzdému ε > 0 existuje dˇelen´ı d intervalu ha, bi takové, ˇze S(f, d)−s(f, d) < ε. Bez u ´jmy na obecnosti lze pˇredpokládat, ˇze bod c ∈ (a, b) je dˇel´ıc´ım bodem dˇelen´ı d. Oznaˇcme d1 dˇelen´ı intervalu ha, bi, jehoˇz dˇel´ıc´ı body jsou vˇsechny dˇel´ıc´ı body dˇelen´ı d, které leˇz´ı v intervalu ha, ci a d2 podobnˇe definované dˇelen´ı intervalu hc, bi. Pro toto dˇelen´ı plat´ı rovnosti S(f, d) = S(f, d1 ) + S(f, d2 ) a s(f, d) = s(f, d1 ) + s(f, d2 ). Tedy plat´ı také nerovnost S(f, d) − s(f, d) = S(f, d1 ) − s(f, d1 ) + S(f, d2 ) − s(f, d2 ) < ε. Protoˇze S(f, d2 ) − s(f, d2 ) ≥ 0, plyne odtud S(f, d1 ) − s(f, d1 ) < ε a 2 Uvedeme pouze n´ aznak d˚ ukazu tohoto tvrzen´ı. Pˇredpokl´ adejme, ˇ ze je funkce f (x) spojit´ a na intervalu ha, bi, ale nen´ı na tomto intervalu stejnomˇ ernˇ e spojit´ a. Pak existuje ε > 0 takov´ e, ˇ ze pro kaˇ zd´ e δ > 0 existuj´ı body x, y ∈ ha, bi, pro kter´ e je |x − y| < δ a pˇritom |f (x) − f (y)| ≥ ε. K tomuto ε > 0 a ke kaˇ zd´ emu n ∈ N existuj´ı body xn , yn ∈ ha, bi, pro kter´ e je |xn − yn | < 1/n a |f (xn ) − f (yn )| ≥ ε. Protoˇ ze (xn ) je posloupnost bod˚ u z omezen´ eho a uzavˇren´ eho intervalu ha, bi, lze uk´ azat, napˇr´ıklad p˚ ulen´ım intervalu, ˇ ze z t´ eto posloupnosti lze vybrat podposloupnost (xkn ), kter´ a konverguje k bodu x0 ∈ ha, bi. A protoˇ ze je |x0 − xkn | < 1/kn < 1/n a |f (x0 ) − f (xkn )| ≥ ε, nen´ı funkce f (x) spojit´ a v bodˇ e x0 ∈ ha, bi, coˇ z je spor.


112

Rc Rb analogicky také S(f, d2 ) − s(f, d2 ) < ε. To dokazuje existenci integrál˚ u I1 = a f (x) dx a I2 = c f (x) dx. Z prvn´ı ˇcásti d˚ ukazu pak plyne rovnost (5.7). Rb ˇ Pozn´ amka Integrál a f (x) dx jsme definovali za pˇredpokladu, ˇze a < b. Casto se vˇsak ukazuje jako uˇziteˇcné definovat jej i pro a ≥ b. Z konstrukce integrálu je vidˇet, ˇze pro a > b je vhodné definovat Rb

Ra f (x) dx = − f (x) dx,

a

(5.8)

b

jakmile integrál na pravé stranˇe existuje. Dále je pˇrirozené definovat Ra

f (x) dx = 0

(5.9)

a

pro kaˇzdou funkci f . Snadno se ukáˇze, ˇze i pro takto rozˇs´ıˇrenou definici integrálu z˚ ustává v platnosti rovnost (5.7), tj., ˇze rovnost Rb Rc Rb (5.10) f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx a

a

c

plat´ı pro jakkoli uspoˇrádané body a , b , c z intervalu, na nˇemˇz je funkce f integrovatelná. 4. Necht’ f ∈ Rha, bi a necht’ g je funkce, kter´ a se na intervalu ha, bi od funkce f liˇs´ı pouze v koneˇcném Rb Rb poˇctu bod˚ u. Pak také g ∈ Rha, bi a plat´ı f (x) dx = g(x) dx. a

a

D˚ ukaz: Je zˇrejmé, ˇze tvrzen´ı staˇc´ı dokázat jen pro pˇr´ıpad, kdy se funkce g(x) liˇs´ı od funkce f (x) pouze v Rb Rc Rb jednom bodˇe. Protoˇze pro kaˇzdé c ∈ (a, b) plat´ı a f (x) dx = a f (x) dx + c f (x) dx, lze pˇredpokládat, ˇze bod c je krajn´ım bodem intervalu ha, bi. Necht’ se tedy funkce g(x) liˇs´ı od funkce f (x) pouze v bodˇe Rb x = b. Oznaˇcme I = a f (x) dx. Protoˇze je f ∈ Rha, bi, existuje dˇelen´ı d intervalu ha, bi takové, ˇze S(f, d) < I + ε a s(f, d) > I − ε. Bez u ´jmy na obecnosti lze pˇredpokládat, ˇze pro toto dˇelen´ı d je délka posledn´ıho dˇel´ıc´ıho intervalu ∆n = b − xn−1 < ε. Pro horn´ı a doln´ı Riemannovy souˇcty funkc´ı f a g plat´ı vztahy S(g, d) − S(f, d) = (Mg − Mf )∆n a s(g, d) − s(f, d) = (mg − mf )∆n , kde Mg , resp. Mf je supremum a mg , resp. mf infimum funkce g(x), resp. f (x), na intervalu hxn−1 , bi. Pak ale je S(g, d) − s(g, d) = S(f, d) − s(f, d) + (Mg − mg − Mf + mf )∆n . Protoˇze je |S(g, d) − s(g, d)| < Rb Rb (1 + |Mg | + |mg | + |Mf | + |mf |)ε, je g ∈ Rha, bi. Rovnost a f (x) dx = a g(x) dx pak plyne snadno ze vztahu S(g, d) − I = S(f, d) − I + (Mg − Mf )∆n . Pozn´ amka Je-li funkce f po ˇcástech spojitá na intervalu ha, bi, pak je na tomto intervalu zˇrejmˇe integrovatelná. Staˇc´ı totiˇz interval ha, bi rozloˇzit na koneˇcn´ y poˇcet interval˚ u, na nichˇz je funkce f spojitá a omezená, a tedy integrovatelná. Zcela jiná situace nastane, jakmile pˇripust´ıme, aby funkce f mˇela na intervalu ha, bi nekoneˇcnˇe mnoho bod˚ u nespojitosti. Vezmˇeme si napˇr´ıklad tzv. Dirichletovu funkci3 na intervalu h0, 1i, tj. funkci, která racionáln´ım ˇc´ısl˚ um pˇriˇrazuje funkˇcn´ı hodnotu 1 a iracionáln´ım ˇc´ısl˚ um hodnotu 0. Zˇrejmˇe pro kaˇzd´ y podinterval hxi−1 , xi i ⊂ h0, 1i je mi = inf{f (x) | x ∈ hxi−1 , xi i} = 0, Mi = sup{f (x) | x ∈ hxi−1 , xi i} = 1. Odtud pomoc´ı rovnost´ı (5.4) jiˇz snadno plyne, ˇze doln´ı Riemann˚ uv integrál Dirichletovy funkce pˇres interval h0, 1i je 0 a horn´ı je 1. To znamená, ˇze Dirichletova funkce nen´ı na intervalu h0, 1i integrovatelná. Dalˇs´ı dvˇe tvrzen´ı uvedeme bez d˚ ukaz˚ u. Ty si ˇctenáˇr m˚ uˇze udˇelat sám. Vypl´ yvaj´ı totiˇz témˇeˇr bezprostˇrednˇe z konstrukce integrálu. Rb Rb 5. Necht’ f, g ∈ Rha, bi a necht’ f (x) ≤ g(x) pro vˇsechna x ∈ ha, bi. Potom plat´ı f (x) dx ≤ g(x) dx. a

a

6. Necht’ f ∈ Rha, bi a necht’ k ≤ f (x) ≤ K pro vˇsechna x ∈ ha, bi, kde k, K ∈ R. Potom plat´ı k(b − a) ≤

Rb

f (x) dx ≤ K(b − a).

(5.11)

a

7. Necht’ f1 , f2 ∈ Rha, bi a c1 , c2 jsou libovolné re´ alné konstanty. Potom také c1 f1 + c2 f2 ∈ Rha, bi a plat´ı Rb a

(c1 f1 (x) + c2 f2 (x)) dx = c1

Rb a

f1 (x) dx + c2

Rb

f2 (x) dx .

(5.12)

a

3 Dirichlet, Peter G.L. (1805–1859), Gauss˚ uv ˇ z´ ak a Riemann˚ uv uˇ citel na univerzitˇ e v G¨ ottingen, pracoval v teorii ˇ c´ısel, teorii funkc´ı, jako prvn´ı zformuloval a dok´ azal krit´ erium konvergence Fourierov´ ych ˇrad.


113 y

y

f

f f (ξ)

x a

x a

b

ξ

a) geometrick´ y v´ yznam integrálu

b

b) k vˇetˇe o stˇredn´ı hodnotˇe

Obrázek 5.3: Rb Rb D˚ ukaz: Nejprve ukáˇzeme, ˇze pro kaˇzdé c ∈ R a f ∈ Rha, bi je a cf (x) dx = c a f (x) dx. Jestliˇze c = 0, Rb je tvrzen´ı zˇrejmé. Pˇredpokládejme, ˇze c > 0 a oznaˇcme I = a f (x) dx. Ke kaˇzdému ε > 0 existuje dˇelen´ı d intervalu ha, bi takové, ˇze S(f, d) − ε/c < I < s(f, d) + ε/c. Protoˇze sup{cf (x) | x ∈ Ii } = c sup{f (x) | x ∈ Ii } = cMi a inf{cf (x) | x ∈ Ii }} = c inf{f (x) | x ∈ Ii } = cmi , je S(cf, d) − ε = c(S(f, d) − ε/c) < Rb Rb cI < s(cf, d) + ε. Z toho ale jiˇz snadno plyne, ˇze funkce cf ∈ Rha, bi a rovnost a cf (x) dx = c a f (x) dx. Pro c < 0 je d˚ ukaz podobn´ y, pouze se zamˇen´ı suprema a infima. Rb Rb Nyn´ı ukáˇzeme, ˇze pro kaˇzdé dvˇe funkce f1 , f2 ∈ Rha, bi plat´ı rovnost a (f1 (x)+f2 (x)) dx = a f1 (x) dx+ Rb Rb Rb f (x) dx. Oznaˇcme I1 = a f1 (x) dx a I2 = a f2 (x) dx. Protoˇze f1 , f2 ∈ Rha, bi, existuj´ı ke kaˇzdému a 2 ε > 0 dˇelen´ı d1 a d2 intervalu ha, bi takov´ a, ˇze S(fk , dk ) − ε/2 < Ik < s(fk , dk ) + ε/2, k = 1, 2. Vezmˇeme jejich spoleˇcné zjemnˇen´ı d. Pak jsou ale také pro k = 1, 2 splnˇeny nerovnosti S(fk , d) − ε/2 < Ik < s(fk , d) + ε/2. Ze zˇrejm´ ych nerovnost´ı inf f (x) + inf g(x) ≤ inf(f (x) + g(x)) ≤ sup(f (x) + g(x)) ≤ sup f (x) + sup g(x) plyne vztah S(f1 + f2 , d) − ε < I1 + I2 < s(f1 + f2 , d) + ε. Odsud se jiˇz snadno ukáˇze, ˇze f1 + f2 ∈ Rha, bi Rb a rovnost a (f1 (x) + f2 (x)) dx = I1 + I2 . Z tˇechto tvrzen´ı jiˇz snadno plyne (5.12). Pozn´ amka Tvrzen´ı 7. ˇr´ıká, ˇze Riemann˚ uv integrál je lineárn´ı operace. Indukc´ı se snadno ukáˇze, ˇze jsou-li fi ∈ Rha, bi a ci reálné konstanty, i = 1, 2, . . . , n, pak je n n Rb P Rb P ci fi (x) dx = ci fi (x) dx . (5.13) i=1

a

i=1

a

Necht’ je funkce f (x) definována na intervalu ha, bi. Definujme dvˇe nezáporné funkce f+ (x) = max(f (x), 0) a f− (x) = max(−f (x), 0). Funkce f+ (x), resp. f− (x), se naz´ yvaj´ı kladn´ a, resp. z´ aporn´ a, ˇc´ ast funkce f (x). Snadno nahlédneme, ˇze plat´ı rovnosti f (x) = f+ (x) − f− (x) a |f (x)| = f+ (x) + f− (x). 8. Funkce f ∈ Rha, bi pr´ avˇe tehdy, kdyˇz f+ ∈ Rha, bi a f− ∈ Rha, bi. V takové pˇr´ıpadˇe je i |f | ∈ Rha, bi a plat´ı rovnosti Rb a

f (x) dx =

Rb a

f+ (x) dx −

Rb

f− (x) dx

a

a

Rb

|f (x)| dx =

a

Rb a

f+ (x) dx +

Rb

f− (x) dx .

(5.14)

a

D˚ ukaz: Z tvrzen´ı 7. je zˇrejmé, ˇze kdyˇz jsou funkce f+ , f− ∈ Rha, bi, jsou také funkce f (x) = f+ (x)−f− (x) a |f (x)| = f+ (x) + f− (x) z Rha, bi a plat´ı rovnost (5.14). Naopak, kdyˇz f ∈ Rha, bi, existuje ke kaˇzdému ε > 0 dˇelen´ı d intervalu ha, bi takové, ˇze S(f, d) − s(f, d) < ε. Ale jak lze snadno nahlédnout, plat´ı na kaˇzdém dˇel´ıc´ım intervalu Di = hxi−1 , xi i nerovnosti Mi± − mi± ≤ Mi − mi , kde Mi± , resp. mi± , jsou suprema, resp. infima, funkc´ı f± (x) na Di . Proto jsou pro takové dˇelen´ı d splnˇeny nerovnosti S(f± , d) − s(f± , d) < ε. Tedy funkce f± (x) jsou integrovatelné. Vztahy (5.14) plynou z linearity integrálu. 9. Necht’ f ∈ Rha, bi. Pak plat´ı nerovnost |

Rb a

f (x) dx| ≤

Rb a

|f (x)| dx.

(5.15)


114

D˚ ukaz: Protoˇze podle tvrzen´ı 8. je |f (x)| ∈ Rha, bi, staˇc´ı pouˇz´ıt tvrzen´ı 5. a nerovnosti −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|. 10. Necht’ f , g ∈ Rha, bi. Pak jsou také funkce f 2 a f g ∈ Rha, bi. D˚ ukaz: Nejprve ukáˇzeme, ˇze je integrovatelná funkce f 2 (x). Protoˇze f 2 (x) = |f (x)|2 a |f (x)| ∈ Rha, bi, staˇc´ı dokázat tvrzen´ı pro nezápornou funkci f (x). Protoˇze je funkce f (x) integrovatelná na intervalu ha, bi, je na tomto intervalu omezená. Existuje tedy konstanta K taková, ˇze pro kaˇzdé x ∈ ha, bi je f (x) ≤ K. Dále ke kaˇzdému ε > 0 existuje dˇelen´ı d intervalu ha, bi takové, ˇze S(f, d) − s(f, d) < ε/(2K). Protoˇze pˇredpokládáme, ˇze funkce f (x) je nezáporná, plat´ı na kaˇzdém dˇel´ıc´ım intervalu Dxi rovnosti sup{f 2 (x) | x ∈ Dxi } = Mi2 , resp. inf{f 2 (x) | x ∈ Dxi } = m2i , a tedy pro dˇelen´ı d plat´ı nerovnost n n P P S(f 2 , d) − s(f 2 , d) = (Mi2 − m2i )∆xi = (Mi + mi )(Mi − mi )∆xi ≤ 2K · (S(f, d) − s(f, d)) < ε. i=1

i=1

Integrovatelnost funkce f (x)g(x) pak dokáˇzeme, kdyˇz pouˇzijeme rovnost f (x)g(x) = [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ]/4 a linearitu integrálu. Integr´ al jako funkce horn´ı meze Necht’ jeRfunkce f integrovatelná na intervalu ha, bi, kde a < b. Pak pro kaˇzd´ y bod x ∈ ha, bi existuje x integrál a f (t) dt. Protoˇze hodnota tohoto integrálu je urˇcena jednoznaˇcnˇe, m˚ uˇzeme definovat funkci F : ha, bi → R pˇredpisem Rx F (x) = f (t) dt , x ∈ ha, bi. (5.16) a

Integrál v rovnosti (5.16) je tedy funkc´ı horn´ı meze. Analogicky je moˇzné definovat integrál jako funkci doln´ı meze Rb G(x) = f (t) dt , x ∈ ha, bi. (5.17) x

Pro body x, x + h ∈ ha, bi je F (x + h) =

x+h R a

f (t) dt =

Rx

f (t) dt +

a

x+h R

f (t) dt = F (x) +

x

x+h R

f (t) dt.

(5.18)

x

Funkce F (x) z (5.16) m´ a n´ asleduj´ıc´ı vlastnosti: (i) je spojit´ a v intervalu ha, bi ; (ii) je-li funkce f spojit´ a v bodˇe x0 ∈ (a, b), pak je F 0 (x0 ) = f (x0 ). Je-li x0 = a, resp. x0 = b, pak je 0 F (a+) = f (a+), resp. F 0 (b−) = f (b−); (iii) m´ a-li funkce f v bodˇe x0 ∈ (a, b) nespojitost 1. druhu, pak je F 0 (x0 +) = f (x0 +), F 0 (x0 −) = f (x0 −). D˚ ukaz: Ad (i): Funkce f je omezená v intervalu ha, bi. Je-li |f (x)| ≤ K pro x ∈ ha, bi, pak podle (5.18) R x+h R x+h je |F (x + h) − F (x)| = | x f (t) dt| ≤ | x K dt| = K|h|. Jelikoˇz je lim K|h| = 0, je lim (F (x + h) − h→0

h→0

F (x)) = 0, coˇz znamená, ˇze lim F (x + h) = F (x). Tedy funkce F je spojitá v bodˇe x. Jelikoˇz je x ∈ ha, bi h→0

libovoln´ y bod intervalu, je f spojitá v celém intervalu. Ad (ii): Necht’ je funkce f spojitá v bodˇe x0 a necht’ je dáno ε > 0. Potom existuje takové okol´ı bodu x , ˇze pro vˇsechna x z tohoto okol´ı je f (x0 ) − ε < f (x) < f (x0 ) + ε. Pak podle (5.11) je (f (x0 ) − ε)h < R 0x0 +h f (x) dx < (f (x0 ) + ε)h. Odtud x0 x +h 1 0R F (x0 + h) − F (x0 ) − f (x ) = f (x) dx − f (x ) 0 0 < ε. h x0 h Jelikoˇz ε bylo libovolné, plyne odtud F 0 (x0 ) = f (x0 ). Ad (iii) Jelikoˇz funkce f má v bodˇe x0 koneˇcné limity zleva i zprava, staˇc´ı patˇriˇcnˇe modifikovat d˚ ukaz pˇredchoz´ıho tvrzen´ı. Pozn´ amka 1 Je-li funkce f : (a, b) → R spojitá v intervalu (a, b), pak podle právˇe dokázaného tvrzen´ı je pro kaˇzdé x0 ∈ (a, b) funkce Rx F (x) = F (x0 ) + f (t) dt, x ∈ (a, b), (5.19) x0

primitivn´ı funkc´ı k funkci f , a to takovou, ˇze v bodˇe x0 nab´ yvá dané hodnoty F (x0 ). Pozn´ amka 2 Z pˇredchoz´ı poznámky a z vˇety o derivaci sloˇzené funkce plyne následuj´ıc´ı tvrzen´ı.


115

Necht’ funkce f je spojit´ a v intervalu (a, b), necht’ funkce ϕ, ψ jsou spojité a maj´ı spojitou derivaci v intervalu (c, d) a necht’ tento interval zobrazuj´ı na interval (a, b) . Pak pro vˇsechna x ∈ (c, d) plat´ı R d ϕ(x) f (t) dt = f (ϕ(x))ϕ0 (x) − f (ψ(x))ψ 0 (x) . dx ψ(x) Pˇ r´ıklady 1. Máme naj´ıt F (x) =

Rx 0

( f (t) dt, kde f (x) =

sin x, x ∈ h0, πi, 0,

x∈ / h0, π).

(5.20)

.

ˇ sen´ı: Protoˇze funkce F (x) mus´ı b´ Reˇ yt spojitá, primitivn´ı funkce k funkci f1 (x) = 0 je konstanta, k funkci f2 (x) = sin x je primitivn´ı funkce C − cos x a F (0) = 0, dostaneme na jednotliv´ ych intervalech  Rx x ∈ (−∞, 0),   R0 0 dt = 0, x F (x) = sin t dt = 1 − cos x, x ∈ (0, π), 0  Rx  F (π) + π 0 dt = 2, x ∈ (π, ∞). Rx 2. Máme naj´ıt oblast konvexnosti a konk´ avnosti funkce F (x) = 0 sin2 t dt, x ∈ (0, 2π). ˇ sen´ı: Je vidˇet, ˇze funkce F (x) má spojité derivace vˇsech ˇrád˚ Reˇ u na celé mnoˇzinˇe R, takˇze k ˇreˇsen´ı naˇs´ı u ´lohy m˚ uˇzeme pouˇz´ıt znaménka druhé derivace. Plat´ı F 0 (x) = sin2 x, F 00 (x) = 2 sin x cos x = sin 2x, x ∈ (0, 2π). Nulové body xk funkce sin 2x mus´ı splˇ novat rovnost 2xk = kπ, k ∈ Z, a tedy xk = kπ/2, k ∈ Z. Z tˇechto nulov´ ych bod˚ u v intervalu (0, 2π) leˇz´ı x1 = π/2, x2 = π a x3 = 3π/2. Druhá derivace F 00 (x) je kladná v intervalech (0, π/2) a (π, 3π/2), je záporná v intervalech (π/2, π) a (3π/2, 2π). Je tedy funkce F (x) konvexn´ı v intervalech (0, π/2) a (π, 3π/2), konkávn´ı v intervalech (π/2, π) a (3π/2, 2π). Vˇ eta o stˇ redn´ı hodnotˇ e Necht’ f, g ∈ Rha, bi, necht’ pro nˇejaké konstanty m, M ∈ R a pro kaˇzdé x ∈ ha, bi plat´ı m ≤ f (x) ≤ M a 0 ≤ g(x). Potom plat´ı Rb Rb Rb m g(x) dx ≤ f (x)g(x) dx ≤ M g(x) dx. (5.21) a

a

a

Jinými slovy, existuje ˇc´ıslo µ ∈ hm, M i tak, ˇze Rb

Rb f (x)g(x) dx = µ g(x) dx.

a

(5.22)

a

D˚ ukaz: Nerovnost m ≤ f (x) ≤ M vynásob´ıme g(x) a zintegrujeme. Vztah (5.21) pak plyne z tvrzen´ı 5. Ponˇekud silnˇejˇs´ı tvrzen´ı vˇety o stˇredn´ı hodnotˇe z integráln´ıho poˇctu dostáváme za pˇredpokladu, ˇze funkce f je spojitá na intervalu ha, bi. Pak totiˇz existuje ˇc´ıslo ξ ∈ ha, bi tak, ˇze plat´ı Rb

f (x) dx = f (ξ)(b − a).

(5.23)

a

D˚ ukaz: Integrovatelnost funkce f plyne z jej´ı Rspojitosti. Rovnost (5.23) plyne z Lagrangeovy vˇety o x pˇr´ır˚ ustku funkce, aplikované na funkci F (x) = a f (t) dt, x ∈ ha, bi. Pozn´ amka Je-li funkce f na intervalu ha, bi nezáporná, má posledn´ı tvrzen´ı názornou geometrickou Rb interpretaci. Integrál a f (x) dx udává ploˇsn´ y obsah kˇrivoˇcarého lichobˇeˇzn´ıka, urˇceného grafem funkce ˇ ıslo f (ξ)(b − a) udává ploˇsn´ f na intervalu ha, bi. C´ y obsah obdéln´ıka o základnˇe velikosti b − a a v´ yˇsce velikosti f (ξ). Naˇse tvrzen´ı tedy ˇr´ıká, ˇze existuje ˇc´ıslo ξ ∈ (a, b) tak, ˇze obsah zm´ınˇeného kˇrivoˇcarého ˇ ıslo lichobˇeˇzn´ıka se rovná obsahu obdéln´ıka o délkách stran b − a a f (ξ), jak ukazuje obr. 5.3.b). C´ f (ξ) =

1 Rb f (x) dx b−a a

se naz´ yvá stˇredn´ı hodnota funkce f na intervalu ha, bi.

(5.24)


116

5.2

Newtonova-Leibnizova formule

Z´ akladn´ı vˇ eta integr´ aln´ıho poˇ ctu Necht’ funkce f je integrovateln´ a v intervalu ha, bi, necht’ F je funkce primitivn´ı k funkci f v nˇejakém intervalu obsahuj´ıc´ım interval ha, bi. Pak plat´ı Rb

f (x) dx = F (b) − F (a).

(5.25)

a

D˚ ukaz: Necht’ d je libovolné dˇelen´ı (5.1) intervalu ha, bi. Ke kaˇzdému intervalu hxi−1 , xi i tohoto dˇelen´ı existuje podle Lagrangeovy vˇety bod ξi ∈ (xi−1 , xi i tak, ˇze plat´ı F (xi ) − F (xi−1 ) = F 0 (ξi )(xi − xi−1 ). Protoˇze F 0 (ξi ) = f (ξi ), dostáváme F (xi ) − F (xi−1 ) = f (ξi )(xi − xi−1 ).

(5.26)

Je-li d dˇelen´ı a = x0 < x1 < . . . < xm−1 < xm = b, pak seˇcten´ım rovnost´ı (5.26) pro i = 1, 2, . . . , m dostaneme F (b) − F (a) = F (xn ) − F (x0 ) =

m P i=1

m P F (xi ) − F (xi−i ) = f (ξi )(xi − xi−1 ).

(5.27)

i=1

Protoˇze pro kaˇzdé i = 1, . . . , m je mi ≤ f (ξi ) ≤ Mi , plyne odtud pro kaˇzdé dˇelen´ı d nerovnost s(f, d) ≤ F (b) − F (a) ≤ S(f, d) .

(5.28)

Necht’ je ε > 0. Pak existuje dˇelen´ı d intervalu ha, bi takové, ˇze s(f, d) + ε > s(f ) a S(f, d) − ε < S(f ). Pro toto dˇelen´ı plat´ı nerovnost s(f ) − ε < s(f, d) ≤ F (b) − F (a) ≤ S(f, d) < S(f ) + ε.R Protoˇze podle Rb b pˇredpokladu existuje a f (x) dx = s(f ) = S(f ), plyne odtud nerovnost F (b) − F (a) − a f (x) dx < ε. Jelikoˇz bylo ε > 0 libovolné, plyne odtud vztah (5.25). Pozn´ amky Vztah (5.25) je znám pod názvem Newtonova-Leibnizova formule a obvykle se zapisuje pomoc´ı hranaté závorky ve tvaru Rb a

f (x) dx = F (b) − F (a) = [F (x)]ba .

(5.29)

Tuto formuli budeme znaˇcit krátce (NLF). Z definice hranaté závorky v (NLF) plyne [F (x) ± G(x)]ba = [F (x)]ba ± [G(x)]ba a [cF (x)]ba = c[F (x)]ba pro kaˇzdé dvˇe funkce F, G a libovolné ˇc´ıslo c. NewtonovaLeibnizova formule je velice uˇziteˇcná pˇri v´ ypoˇctu urˇcit´ ych integrál˚ u. Dává nám totiˇz moˇznost pˇri konkrétn´ıch v´ ypoˇctech urˇcitého (Riemannova) integrálu vyuˇz´ıt vˇsechny znalosti a metody poˇcetn´ı techniky neurˇcitého integrálu. Najdeme-li funkci F primitivn´ı k funkci f v intervalu ha, bi, redukuje se v´ ypoˇcet Rb integrálu a f (x) dx pomoc´ı formule (5.29) na pouhé dosazován´ı. Pˇri pouˇz´ıván´ı vzorce (5.25) nebo (5.29) nezáleˇz´ı na tom, kterou z funkc´ı primitivn´ıch v intervalu ha, bi k funkci f pouˇzijeme. Jsou-li F , G dvˇe primitivn´ı funkce k funkci f v intervalu ha, bi, existuje konstanta C tak, ˇze G(x) = F (x)+C pro vˇsechna x ∈ ha, bi, a tedy G(b)−G(a) = (F (b)+C)−(F (a)+C) = F (b)−F (a). Rb Pˇredpoklad existence integrálu a f je pro pouˇzit´ı (NLF) podstatn´ y. Existuj´ı totiˇz funkce, které nejsou integrovatelné, a pˇresto maj´ı primitivn´ı funkci. Napˇr´ıklad funkce  1    x sin , x ∈ (0, πi, x F (x) =    0, x=0 1 1 1 − cos v (0, πi, a pˇresto integrál x x x neexistuje, protoˇze integrand nen´ı v okol´ı nuly omezen´ y.

Z

π

je primitivn´ı funkce k funkci f (x) = sin

0

1 1 1 sin − cos dx x x x

5.2. NEWTONOVA-LEIBNIZOVA FORMULE

117

Pˇ r´ıklady Máme vypoˇc´ıtat následuj´ıc´ı integrály. R1 1. x dx. 0

ˇ sen´ı: Funkce x2 /2 je primitivn´ı funkc´ı k integrandu v R, a podle (NLF) je tedy Reˇ (1/2)[x2 ]10 = (1/2)(1 − 0) = 1/2. R1 2. (2x + 1) dx. 0

ˇ sen´ı: Funkce x2 + x je primitivn´ı funkc´ı k integrandu v R, a tedy Reˇ (1 + 1) − (0 + 0) = 2. Rπ 3. sin x dx. 0

ˇ sen´ı: Primitivn´ı funkc´ı k integrandu v R je − cos x, takˇze Reˇ 4.

R2

Rπ 0

R1 0

0

x dx = [x2 /2]10 =

(2x + 1) dx = [x2 + x]10 =

sin x dx = [− cos x]π0 = 1 − (−1) = 2.

ln x dx.

1

ˇ sen´ı: Funkce x ln x − x je primitivn´ı funkc´ı k integrandu v (0, ∞), a tedy Reˇ (2 ln 2 − 2) − (ln 1 − 1) = ln 4 − 1. R1 dx . 5. 2 0 1+x ˇ sen´ı: Funkce arctg x je primitivn´ı funkc´ı k integrandu v R, a tedy Reˇ e/3 R

√

R1 0

arctg 0 = π/4. 6.

R1

R2

dx 1+x2

1

ln x dx = [x ln x − x]21 =

= [arctg x]10 = arctg 1 −

x + 1 − 2/(3x) dx.

1

R p ˇ sen´ı: Integrand je v intervalu h1, e/3i spojit´ Reˇ y, takˇze integrál existuje a je ( (x + 1) − 2/(3x)) dx = R e/3 p (2/3)(x + 1)3/2 − (2/3) ln x v (0, ∞), a tedy i v h1, e/3i. Podle (NLF) dostáváme 1 ( (x + 1) − e/3 2/(3x)) dx = (2/3)[(x + 1)3/2 − ln x]1 = (2/3)[(e/3 + 1)3/2 − ln(e/3) − 23/2 + ln 1] = (2/3) · (e/3 + √ 1)3/2 − 1 + ln 3 − 2 2 . 7.

R1

4x sin(2x2 ) dx.

0

R R ˇ sen´ı: Neurˇcit´ Reˇ y integrál existuje v R a je 4x sin(2x2 ) dx = |2x2 = t, 4x dx = dt| = sin t dt = R1 − cos t = − cos(2x2 ), x ∈ R. Pomoc´ı (NLF) vypoˇcteme 0 4x sin(2x2 ) dx = [− cos(2x2 )]10 = 1 − cos 2. 8.

R2

x2 e−3x dx.

−1

ˇ sen´ı: Integrál zˇrejmˇe existuje. Dvakrát opakovan´ Reˇ ym pouˇzit´ım metody per partes pro neurˇ y integrál R R 2 cit´ dostaneme x2 e−3x dx = −e−3x (9x2 + 6x + 2)/27, x ∈ R. Pomoc´ı (NLF) vypoˇcteme −1 x2 e−3x dx = [−e−3x (9x2 + 6x + 2)/27]2−1 = 5e3 − 50e−6 /27. 9.

π/2 R

4| sin 4x| dx.

0

ˇ sen´ı: Integrál zˇrejmˇe existuje. Pˇredpis f (x) = 4| sin 4x| pro x ∈ h0, π/2i nahrad´ıme pˇredpisem Reˇ ( f (x) =

4 sin 4x, x ∈ h0, π/4i, −4 sin 4x, x ∈ hπ/4, π/2i.

.

R π/2 R π/4 Protoˇze je integrál aditivn´ı vzhledem k integraˇcn´ımu oboru, je 0 4 sin 4x dx = 0 4 sin 4x dx − R π/2 π/4 π/2 (−4 sin 4x) dx = −[cos 4x]0 + [cos 4x]π/4 = −(−1 − 1) + (1 + 1) = 4. π/4


118 π/2 R

10.

0

1 dx. cos2 2x

ˇ sen´ı: Integrál neexistuje, protoˇze integrand nen´ı omezen´ Reˇ y v h0, π/2i. Totiˇz lim cos−2 2x = ∞. x→π/4

´ Ulohy Vypoˇctˇete následuj´ıc´ı integrály. Rπ R π/2 R3 √ (3x2 + 2 x) dx; 2. 0 sin2 x dx; 4. −1 ex+1 dx; 3. −π/2 cos x dx; Z 1/2 Z 0 Z 1 Z 1 dx dx dx dx √ √ 5. ; 6. ; ; 7. ; 8. 2 2 2 x+1 1−x −1/2 −π/4 cos x −1 1 + x 0 R1 Rπ R2 √ R π/4 9. 0 e−3x dx; 10. 0 (x − cos x) dx; 11. 0 (x x − 2) dx; 12. 0 tg x dx. 1.

R2 0

"

5.3

√ 1. 8(1 + 2/3); 2. π/2; 3. 2; 4. e4 − 1; 5. π/3; 6. 1; √ √ 8. 2( 2 − 1); 9. (1 − e−3 )/3; 10. π 2 /2; 11. 8 2/5 − 4;

7. π/2; √ 12. ln 2.

#

Integrov´ an´ı metodou per partes

Pˇri v´ ypoˇctu Riemannov´ ych urˇcit´ ych integrál˚ u v pˇredchoz´ıch pˇr´ıkladech jsme k v´ ypoˇctu primitivn´ı funkce pouˇz´ıvali metodu integrace per partes tak, jak jsme ji zavedli a pouˇz´ıvali pro v´ ypoˇcet neurˇcit´ ych integrál˚ u. Nyn´ı ukáˇzeme, ˇze tuto metodu lze pouˇz´ıt nejen jako pomocn´ y nástroj k v´ ypoˇctu primitivn´ı funkce, ale ˇze ji lze modifikovat pro v´ ypoˇcet urˇcitého integrálu tak, ˇze se cel´ y postup v´ ypoˇctu ponˇekud zjednoduˇs´ı. Tato modifikace je provedena v následuj´ıc´ı vˇetˇe. Vˇ eta o integraci per partes Necht’ funkce u, v maj´ı spojité derivace v intervalu ha, bi. Potom plat´ı Rb

u0 (x)v(x) dx = u(b)v(b) − u(a)v(a) −

a

Rb

u(x)v 0 (x) dx.

(5.30)

a

D˚ ukaz: Integrandy obou integrál˚ u v (5.30) jsou spojité, takˇze integrály existuj´ı. Pro kaˇzdé x ∈ ha, bi plat´ı (u(x)v(x))0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) a F (x) = u(x)v(x) je primitivn´ı funkce k u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) Rb v intervalu ha, bi. Pak podle (NLF) plat´ı a u0 (x)v(x)+u(x)v 0 (x) dx = [u(x)v(x)]ba = u(b)v(b)−u(a)v(a). Jelikoˇz integrál souˇctu je souˇcet integrál˚ u, je naˇse tvrzen´ı dokázáno. Vzorec (5.30) se ˇcasto zapisuje ve tvaru Rb a

u0 v = [uv]ba −

Rb

uv 0 ,

(5.31)

a

kde [ ] je Newton-Leibnizova závorka, se kterou jsme se seznámili v pˇredchoz´ı ˇcásti skripta. Dokaˇzte sami, ˇze vzorec (5.30), resp. (5.31) lze pouˇz´ıt i v pˇr´ıpadˇe, kdy a > b. Je samozˇrejmé, ˇze metodu per partes budeme pouˇz´ıvat ve stejn´ ych situac´ıch, v jak´ ych jsme ji pouˇz´ıvali pˇri v´ ypoˇctu neurˇcit´ ych integrál˚ u. Pˇ r´ıklady Metodou per partes máme vypoˇc´ıtat následuj´ıc´ı integrály: Rπ 1. x sin x dx. 0

ˇ sen´ı: Vˇsechny funkce v integrandu maj´ı spojité derivace v R, takˇze m˚ Reˇ uˇzeme pouˇz´ıt metodu per partes. Zπ

0 u = sin x, v=x x sin x dx = u = − cos x, v 0 = 1

0

2.

Rπ 0

ex cos x dx a

Zπ π = [−x cos x]0 + cos x dx = π + sin x π = π . 0 0

Rπ 0

ex sin x dx.

´ Í METODOU PER PARTES 5.3. INTEGROVAN

119

ˇ sen´ı: Vˇsechny funkce v integrandu maj´ı spojité derivace v R, takˇze m˚ Reˇ uˇzeme pouˇz´ıt metodu per partes. Zπ

0 u = ex , v = cos x e cos x dx = u = ex , v 0 = − sin x

Zπ = [ex cos x]π0 + ex sin x dx =

x

0

0

0 u = ex , v = sin x = u = ex , v 0 = cos x

Zπ π x π = (−e − 1) + [e sin x]0 − ex cos x dx, 0

Dostali jsme vztah, z nˇehoˇz m˚ uˇzeme snadno spoˇc´ıtat oba hledané integrály. Rπ

ex cos x dx = −(eπ + 1)/2,

0

3.

2π R

Rπ

ex sin x dx = (eπ + 1)/2.

0

8x2 sin x cos x dx.

0

ˇ sen´ı: Vˇsechny funkce v integrandu maj´ı spojité derivace v R, takˇze m˚ Reˇ uˇzeme pouˇz´ıt metodu per partes. Z2π

Z2π 8x2 sin x cos x dx =

0

0 u = 4 sin 2x, u = −2 cos 2x 4x2 sin 2x dx = v = x2 , v 0 = 2x

=

0

Z2π 2

= [−2x

cos 2x]2π 0

+

0 u = 4 cos 2x, u = 2 sin 2x 4x cos 2x dx = v = x, v0 = 1

=

0 2π

= −8π 2 + [2x sin 2x]0 − 4. I3 =

π/2 R

2π R 0

2 2 sin 2x dx = −8π 2 + 0 + [cos 2x]2π 0 = −8π .

sin3 x dx.

0

ˇ sen´ı: Integrál zˇrejmˇe existuje. Rovnˇeˇz jsou splnˇeny pˇredpoklady metody per partes. Reˇ 0 π/2 u = sin x, u = − cos x R 2 = I3 = sin x sin x dx = 2 0 v = sin x, v = 2 sin x cos x 0 π/2

= [− sin2 x cos x]0 kde I1 =

π/2 R

+2

π/2 R

sin x cos2 x dx = 0 + 2

0

π/2 R

sin x(1 − sin2 x) dx = 2(I1 − I3 ),

0

sin x dx = 1. Pro I3 jsme dostali rovnici I3 = 2(I1 − I3 ). Odtud I3 = (2/3)I1 = 2/3.

0

Pozn´ amka Podobn´ y postup, jako jsme pouˇzili pˇri ˇreˇsen´ı pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu, m˚ uˇzeme pouˇz´ıt k v´ ypoˇctu π/2 π/2 R R integrál˚ u Ik = sink x dx, nebo Jk = cosk x dx pro libovolné pˇrirozené k ≥ 2. 0

Ik =

π/2 R 0

0 k

sin x dx =

π/2 R

sin x sin

0

k−1

0 u = sin x, x dx = v = sink−1 x, π/2

= [− cos x sink−1 x]0 = (k − 1)

π/2 R

+ (k − 1)

π/2 R

u = − cos x = v 0 = (k − 1) sink−2 x cos x

sink−2 x cos2 x dx =

0

sink−2 x(1 − sin2 x) dx = (k − 1)(Ik−2 − Ik ).

0

Pro integr´ al Ik dostáváme rovnici Ik = (k − 1)(Ik−2 − Ik ) a odtud Ik =

k−1 Ik−2 . k

(5.32)


120

ˇ Formule (5.32) je rekurentn´ı formule pro v´ ypoˇcet integrálu Ik . Cten´ aˇr si m˚ uˇze ovˇeˇrit, ˇze stejná formule R π/2 R π/2 plat´ı i pro v´ ypoˇcet integrál˚ u Jk . Jelikoˇz v´ıme, ˇze plat´ı I0 = J0 = 0 dx = π/2 , I1 = 0 sin x dx = R π/2 J1 = 0 cos x dx = 1, dostáváme z formule 5.32 následuj´ıc´ı vztahy. π/2 R

sink x dx =

π/2 R

0

cosk x dx =

0

π/2 R

sink x dx =

π/2 R

(k − 1) · (k − 3) · . . . · 3 · 1 π k · (k − 2) · . . . · 4 · 2 2

cosk x dx =

0

0

pro k sudé,

(k − 1) · (k − 3) · . . . · 4 · 2 k · (k − 2) · . . . · 3 · 1

(5.33)

pro k liché.

(5.34)

Je zvykem znaˇcit symbolem n!! souˇcin n · (n − 2) · (n − 4) · . . . · 4 · 2 pro n pˇrirozené sudé a souˇcin n · (n − 2) · (n − 4) · . . . · 3 · 1 pro n pˇrirozené liché. Vztahy (5.33) a (5.34) lze pak psát struˇcnˇeji π/2 R

sink x dx =

π/2 R

0

cosk x dx =

0

π/2 R

sink x dx =

π/2 R

0

(k − 1)!! π k!! 2

cosk x dx =

0

pro k sudé,

(k − 1)!! k!!

(5.35)

pro k liché.

(5.36)

Je-li k sudé pˇrirozené ˇc´ıslo, pak funkce sink x a cosk x jsou sudé a periodické s periodou π. Odtud a z (5.35) plyne R0

sink x dx =

π/2 R 0

−π/2

R0

sink x dx =

cosk x dx =

π/2 R

cosk x dx =

0

−π/2

D´ıky periodicitˇe s periodou π lze potom snadno vypoˇc´ıtat integrály libovoln´ a celá ˇc´ısla m, n. Speciálnˇe pro m < n plat´ı nπ/2 R

sink x dx =

mπ/2

Tak napˇr. podle (5.38) je

Rπ −3π/2

nπ/2 R

cosk x dx = (n − m)

mπ/2

sin4 x dx = 5 ·

R nπ/2 mπ/2

(k − 1)!! π · . k!! 2

sink x dx a

R nπ/2 mπ/2

(5.37) cosk x dx pro

(k − 1)!! π · . k!! 2

(5.38)

3·1 π 15 · = π. 4·2 2 16

´ Ulohy Metodu per partes vypoˇctˇete tyto integr´ aly: R1 Rπ R e−1 R π/2 1. 0 xe−x dx; 2. 0 x3 sin x dx; 3. 0 ln(x + 1) dx; 4. 0 e2x cos x dx; Re R2 Rπ R1 5. 1 ln3 x dx; 6. 1 x ln x dx; 7. −π x sin x dx; 8. 0 x3 e−x dx; −2 R1 R3 Rπ R1 9. 0 x arctg x dx; 10. 0 ln(x + 3) dx; 11. 0 x2 cos x dx; 12. 0 1 + x2 dx. 1. 1 − 2/e; 2. π 3 − 6π; 3. 1; 4. (eπ − 2)/5; 5. 6 − 2e; 6. 2 ln 2 − 3/4; 7. 2π; 8. 6 − 16/e; 9. π/4 − 1/2; 10. 3(ln 12 − 1); 11. − 2π; 12. 1/4 + π/8.

5.4

Integrov´ an´ı substituˇ cn´ı metodou

Vˇ eta o integrov´ an´ı substituˇ cn´ı metodou Necht’ funkce ϕ je spojitˇe diferencovateln´ a v intervalu hα, βi a necht’ ϕ(hα, βi) = ha, bi. Necht’ funkce f je spojit´ a v intervalu ha, bi. Potom plat´ı ϕ(β) R ϕ(α)

f (x) dx =

Rβ

f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt.

(5.39)

α

D˚ ukaz: Je-li F (x) primitivn´ı funkce k funkci f (x) na intervalu ha, bi, pak podle prvn´ı vˇety o substituci pro neurˇcit´ y integrál je F (ϕ(t)) primitivn´ı funkc´ı k funkci f (ϕ(t))ϕ0 (t) na intervalu hα, βi. Je tedy R ϕ(β) Rβ β f (x) dx = F (ϕ(β)) − F (ϕ(α)) = [F (ϕ(t))]α = α f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt. ϕ(α)

´ Í SUBSTITUCN ˇ Í METODOU 5.4. INTEGROVAN

121

Pozn´ amka Uvˇedomme si, ˇze na rozd´ıl od postupu pˇri substituci v neurˇcitém integrálu mus´ıme nyn´ı transformovat i integraˇcn´ı meze. Tuto transformaci budeme zapisovat bˇehem v´ ypoˇctu mezi dvˇe svislé ˇcáry souˇcasnˇe s popisem substituce a budeme pouˇz´ıvat symboliku α → ϕ(α); β → ϕ(β). Pˇ r´ıklady Máme vypoˇc´ıtat následuj´ıc´ı integrály. R2 1. 2t sin(t2 + 1) dt. −1

2 t + 1 = x, 2t dt = dx R5 = sin x dx = [− cos x]52 = (cos 2 − cos 5). 2t sin(t + 1) dt = −1 → 2, 2 →5 −1 2 Funkce f (x) = sin x je spojitá v R a funkce ϕ(t) = t2 +1 je spojitˇe diferencovatelná v R. Tedy pˇredpoklady vˇety o substituci jsou splnˇeny a z´ıskan´ y v´ ysledek je správn´ y. R1 √ 2. t 1 + t2 dt. ˇ sen´ı: Reˇ

0

ˇ sen´ı: Reˇ Z1 3. 0

R2

2

dx = 2t dt = 1→2

x = 1 + t2 , R1 √ t 1 + t2 dt = 0 → 1, 0

R2 √ 1

√ x dx = (1/3)[x3/2 ]21 = (2 2 − 1)/3.

dt . et + e−t

x = et , dt = 0 → 1, t −t 0 e +e arctg e − π/4 . R1 √ 4. 4 1 − x2 dx. Z

ˇ sen´ı: Reˇ

1

Z e Z e dx dx dx = et dt = x dt = = [arctg x]e1 = = 2 1→e 1 1+x 1 (x + 1/x)x

−1

x = cos t, dx = − sin t dt R1 √ 2 4 1 − x dx = −1 → π, 1 → 0 −1 π Rπ R 4 sin2 t dt = 2(1 − cos 2t) dt = [2t − sin 2t]π0 = 2π. ˇ sen´ı: Reˇ

0

5.

1 2

R0 √ Rπ = 4 1 − cos2 t(− sin t) dt = 4| sin t| sin t dt = π

0

0

3π/4 R 0

1 dt. cos2 t

ˇ sen´ı: Aniˇz ovˇeˇr´ıme pˇredpoklady, poˇc´ıtejme zcela mechanicky Reˇ 3π/4 Z

0

1 dt = cos2 t

1 x = tg t, (tg t) dt = 0 → 0, cos2 t

3π/4 Z

0

0

1 dt cos2 t 3π/4 → −1 dx =

Z−1 dx = [x]−1 = 0 = −1. 0

Na prvn´ı pohled vid´ıme, ˇze jsme dostali nesmysl, protoˇze integrál z nezáporné funkce nem˚ uˇze b´ yt záporn´ y! Museli jsme se tedy dopustit nˇejaké chyby. Skuteˇcnˇe, funkce ϕ(t) = tg t nen´ı spojitá v intervalu h0, 3/4πi, vad´ı zde bod π/2. Pˇredpoklady vˇety o substituci tedy nejsou splnˇeny. Proto nen´ı pouˇzit´ y postup korektn´ı a nalezen´ y v´ ysledek nemus´ı b´ yt správn´ y. Ve skuteˇcnosti tento integrál neexistuje. Pˇresvˇedˇcili jsme se, ˇze mechanické pouˇzit´ı vzorce (5.39) bez ovˇeˇren´ı pˇredpoklad˚ u vˇety o substituci m˚ uˇze vést k závaˇzn´ ym chybám. ´ Ulohy Substituˇcn´ı metodou vypoˇctˇete následuj´ıc´ı integrály: 1.

π/2 R

π/2 R

2.

cos2 x dx;

R4 √ 6. x x2 + 9 dx;

0

5.

π/2 R

R9 √ 3 2

3.

−1 R √

7.

10.

0

4 − x2 dx;

R1 √ x 1 + x2 dx; 0

Re

ex − 1 dx;

0

R1 √

4.

1

0

x − 1 dx;

1 − x2 dx;

ln R 2√

0

0

9.

sin3 x dx;

sin x cos2 x dx;

11.

R1 0

8. (ln x)/x dx; 1

arcsin x dx;

12.

√

R3 0

arctg x dx;


122 3

Z1 √ 13. 0

Ze

x dx; 1+x

14. 1

dx √ ; 15. x 1 + ln x

Zπ/2 0

dx ; 16. 2 cos x + 3

Zπ 0

sin x dx; 1 + cos2 x

√

Zπ/2 dx x dx √ ; √ dx; 20. 17. 19. . 1 + sin x 1+ x 1+ x 0 0 0 0   √ 1. 1/3; 2. 2/3; 3. − π/2; 4. (2 2 − 1)/3; 5. π/4; 6. 98/3; 7. 2 − π/2; 8. 1/2; √ √    9. 45/4; 10. π/3 + 3/2; 11. π/2 − 1; 12. π 3/3 − ln 2; 13. 2 − π/2; 14. 2;  √ √ 15. (2/ 5) arctg(1/ 5); 16. π/2; 17. 2 − ln 2; 18. 2(2 − ln 3); 19. 2 ln 2 − 1; 20. 1. Z4

5.5

dx √ ; 18. 1 + 2x + 1

Z4

Z1

Integr´ al sud´ e, lich´ e nebo periodick´ e funkce

Z´ akladn´ı vztahy Je-li funkce f sudá a integrovatelná v intervalu h−b, bi, pak plat´ı Rb

f (x) dx = 2

Rb

f (x) dx.

(5.40)

0

−b

Je-li funkce f lichá a integrovatelná v intervalu h−b, bi, plat´ı Rb

f (x) dx = 0.

(5.41)

−b

Necht’ funkce f je periodická s periodou T , necht’ a, a0 jsou reálná ˇc´ısla. Existuje-li jeden z integrál˚ u v (5.42), existuje i druh´ y z nich a plat´ı a+T R

f (x) dx =

a

a0R+T

f (x) dx.

(5.42)

a0

Volnˇe m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze integrál pˇres integraˇcn´ı obor délky periody je stejn´ y bez ohledu na to, kde je integraˇcn´ı obor um´ıstˇen. Pˇ r´ıklady Máme vypoˇc´ıtat následuj´ıc´ı integrály. R1 p 1. I = x12 3 cos2 x2 tg3 x dx. −1

ˇ sen´ı: Integrand je lichá funkce a integraˇcn´ı obor je soumˇern´ Reˇ y podle poˇcátku, takˇze podle (5.41) je I = 0. Rπ 2. I = sin |x| dx. −π

ˇ sen´ı: Integrand je sudá funkce, integraˇcn´ı obor je soumˇern´ Reˇ y podle poˇcátku, takˇze podle (5.40) je Rπ Rπ I = 2 0 sin |x| dx = 2 0 sin x dx = 2[− cos x]π0 = 4. π/4 R

3. I =

(3 cos2 2x + tg x) dx.

−π/4

ˇ sen´ı: Prvn´ı sˇc´ıtanec v integrandu je sud´ Reˇ y, druh´ y je lich´ y, integraˇcn´ı obor je soumˇern´ y, takˇze I = R π/4 R π/4 R π/4 R π/4 2 2 2 3 cos 2x dx + tg x dx = 3 cos 2x dx = 6 cos 2x dx = 3π/4. −π/4 −π/4 −π/4 0 4.

7π/6 R

cos2 3x dx.

−π/6

ˇ sen´ı: Protoˇze funkce cos2 t je periodická s periodou π, je integrand periodická funkce s periodou Reˇ T = π/3. Délka integraˇcn´ıho intervalu je 7π/6 + π/6 = 4π/3 = 4T . Protoˇze funkce f (x) = cos2 3x je spojitá v intervalu h0, π/3i, je v tomto intervalu integrovatelná, a integrál tedy existuje. 7π/6 R −π/6

cos2 3x dx = 4

π/3 R 0

cos2 3x dx = 2

π/3 R 0

π/3

(1 + cos 6x) dx = 2[x + (sin 6x)/6]0

= 2π/3 .

ˇ Í RIEMANNOVA INTEGRALU ´ 5.6. POUZIT V GEOMETRII A VE FYZICE 5.

46π/3 R

123

ecos(x/2) sin x dx.

−2π/3

ˇ sen´ı: Integrand m˚ Reˇ uˇzeme psát ve tvaru ecos(x/2) sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2)ecos(x/2) . Protoˇze funkce sin(x/2) i cos(x/2) jsou periodické s periodou T = 4π, je integrand periodick´ y se stejnou periodou. Délka R a+4π integraˇcn´ıho intervalu je 46π/3 + 2π/3 = 16π = 4T . Podle (5.42) nyn´ı staˇc´ı urˇcit a f (x) dx pro libovolné a ∈ (−∞, ∞). Zvol´ıme-li a = −2π, je 46π/3 R

2π R

ecos(x/2) sin x dx = 4

ecos(x/2) sin x dx = 0,

−2π

−2π/3

jelikoˇz integrand je lichá funkce. ´ Ulohy Následuj´ıc´ı u ´lohy slouˇz´ı k opakován´ı látky z celé oblasti poˇcetn´ı techniky urˇcitého integrálu. 1.

R1

x2 e−x dx;

Re

ln2 x dx;

6.

1

3.

R1 √

9. 0

x √ dx; 9 + x2

Z0 √

13. −1

Z3 17. 0



x dx; 1 + x2

4x + 2 dx; x2 + 9

R1

x arctg x dx;

1 − x2 dx;

7.

R1 p

(1 − x2 )3 dx;

10. 1

Z1 14. 0 2 Ze

18. 1

11. 0

Z3

x dx; (1 + x2 )3

15. 2

ln2 x + 8 dx; 19. x ln2 x + 4x

8.

R2 p

(4 − x2 )3 dx;

0

Z3

x √ dx; 1 + x2

x2 cos x dx;

−π

0

Z2

R0

4.

0

0

Z4

12.

2−x dx; (1 − x)3

16.

Zln 2 0

Zπ/4

x dx; x2 + 16

0

sin x dx; cos3 x

Z0 √ −4 sinh 2

e3x + 8ex dx; 20. e2x + 4

Z2 √ 0

1 dx; x2 + 16 dx p

x+1+

(x + 1)3

2. 4 − π 2 ; 3. π/4 − 1/2; 4. − 2π; 5. e − 2; 6. π/4; 7. 3π/16; √ √ √ 9. 2; 10. 5 − 2; 11. ln(5/4); 12. 1/2; 13. 1 − 2; 14. 3/16;

1. 2 − 5/e;

  8. 3π; 15. 1/8;

5.6

x2 sin x dx;

−π

0

5.

R0

2.

16. 2;

17. ln 4 + π/6;

18. 2 + π/2;

19. 1 + π/2 − 2 arctg(1/2);

.

  

20. π/6.

Pouˇ zit´ı Riemannova integr´ alu v geometrii a ve fyzice

Bez odvozován´ı uvedeme ˇradu vzorc˚ u pouˇz´ıvan´ ych v geometrii, fyzice a technice. U vˇsech vzorc˚ u pˇredpokládáme, ˇze derivace funkc´ı, které se ve vzorc´ıch vyskytuj´ı, nejenˇze existuj´ı, ale ˇze jsou spojité na celém integraˇcn´ım oboru. V´ ypoˇ cet obsahu ˇ c´ asti roviny 1. Obsah S ˇca´sti roviny ohraniˇcené grafy funkc´ı y = f (x) a y = g(x), spojit´ ych na intervalu ha, bi a splˇ nuj´ıc´ıch nerovnost f (x) ≥ g(x) pro vˇsechna x ∈ ha, bi a pˇr´ısluˇsn´ ymi u ´seˇckami na pˇr´ımkách x = a, x = b je dán vztahem Rb S = (f (x) − g(x)) dx. (5.43) a

Speciálnˇe pro g(x) = 0 plat´ı S=

Rb

f (x) dx.

(5.44)

a

2. Obsah S ˇcásti roviny ohraniˇcené grafem funkce dané parametricky rovnicemi x = ϕ(t) a y = ψ(t) spojit´ ych na intervalu hα, βi a splˇ nuj´ıc´ıch podm´ınky ϕ(t) ˙ > 0 a ψ(t) ≥ 0 pro vˇsechna t ∈ hα, βi a pˇr´ısluˇsn´ ymi u ´seˇckami na ose x a na pˇr´ımkách x = ϕ(α), x = ϕ(β) je dán vztahem S=

Rβ α

ψ(t)ϕ(t) ˙ dt.

(5.45)


124

3. Obsah S ˇca´sti roviny ohraniˇcené grafem spojité a nezáporné funkce dané v polárn´ıch souˇradnic´ıch rovnic´ı % = f (ϕ) a pr˚ uvodiˇci pro ϕ1 a ϕ2 s délkami %1 = f (ϕ1 ) a %2 = f (ϕ2 ), kde 0 ≤ ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 ≤ 2π je dán vztahem ϕ R2 S = 12 %2 dϕ. (5.46) ϕ1

Vztah (5.46) se naz´ yvá Leibniz˚ uv vzorec pro rovinnou výseˇc. V´ ypoˇ cet d´ elky kˇ rivky 1. Délka s rovinné kˇrivky dané jako graf funkce y = f (x), x ∈ ha, bi, s krajn´ımi body (a, f (a)), (b, f (b)) je dána vztahem Rb p s= 1 + (f 0 (x))2 dx . (5.47) a

2. Délka s rovinné kˇrivky, která je popsaná parametricky rovnicemi x = ϕ(t) , y = ψ(t) , t ∈ hα, βi, s krajn´ımi body (ϕ(α), ψ(α)), (ϕ(β), ψ(β)), je dána vztahem Rβ q s= ϕ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) dt . (5.48) α

3. Délka s prostorové kˇrivky zadané parametrick´ ymi rovnicemi x = ϕ(t) , y = ψ(t) , z = χ(t) , t ∈ hα, βi, s krajn´ımi body (ϕ(α), ψ(α), χ(α)), (ϕ(β), ψ(β), χ(β)), je dána vztahem Rβ q s= ϕ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) + χ˙ 2 (t) dt . (5.49) α

V´ ypoˇ cet obsahu pl´ aˇ stˇ e rotaˇ cn´ıho tˇ elesa 1. Obsah Q pláˇstˇe rotaˇcn´ıho tˇelesa, které vznikne rotac´ı kˇrivky, vytvoˇrené jako graf spojité nezáporné funkce y = f (x) , x ∈ ha, bi, kolem osy x je dán vztahem Q = 2π

Rb

p f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx .

(5.50)

a

2. Obsah Q pláˇstˇe rotaˇcn´ıho tˇelesa, které vznikne rotac´ı rovinné kˇrivky, která je popsaná parametricky rovnicemi x = ϕ(t) , y = ψ(t) , t ∈ hα, βi, splˇ nuj´ıc´ıch podm´ınky ϕ(t) ˙ > 0 a ψ(t) ≥ 0 pro vˇsechna t ∈ hα, βi s krajn´ımi body ϕ(α), ψ(α) , ϕ(β), ψ(β) kolem osy x je dán vztahem Q = 2π

Rβ

q ψ(t) ϕ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) dt .

(5.51)

α

V´ ypoˇ cet objemu rotaˇ cn´ıho tˇ elesa 1. Objem V rotaˇcn´ıho tˇelesa, které vznikne rotac´ı kˇrivky, vytvoˇrené jako graf spojité nezáporné funkce y = f (x) , x ∈ ha, bi, kolem osy x je dán vztahem Rb V = π (f (x))2 dx.

(5.52)

a

2. Objem V rotaˇcn´ıho tˇelesa, které vznikne rotac´ı rovinné kˇrivky, která je popsaná parametricky rovnicemi x = ϕ(t) , y = ψ(t) , t ∈ hα, βi, splˇ nuj´ıc´ıch podm´ınky ϕ(t) ˙ > 0 a ψ(t) ≥ 0 pro vˇsechna t ∈ hα, βi s krajn´ımi body ϕ(α), ψ(α) , ϕ(β), ψ(β) kolem osy x je dán vztahem V =π

Rβ

ψ 2 (t)ϕ(t) ˙ dt.

(5.53)

α

V´ ypoˇ cet statick´ ych moment˚ u 1. Statick´ y moment Sx , resp. Sy oblouku homogenn´ı rovinné kˇrivky vzhledem k ose x, resp. y pro kˇrivku zadanou jako graf spojité funkce y = f (x), x ∈ ha, bi je dán vztahem Sx =

Rb a

p f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx ,

resp. Sy =

Rb p x 1 + (f 0 (x))2 dx . a

(5.54)

ˇ Í RIEMANNOVA INTEGRALU ´ 5.6. POUZIT V GEOMETRII A VE FYZICE

125

2. Statick´ y moment Sx , resp. Sy oblouku homogenn´ı rovinné kˇrivky vzhledem k ose x, resp. y pro kˇrivku popsanou parametricky rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ hα, βi, s krajn´ımi body ϕ(α), ψ(α) , ϕ(β), ψ(β) , je dán vztahem Sx =

Rβ

q ψ(t) ϕ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) dt ,

resp.

Sy =

α

Rβ

q ϕ(t) ϕ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) dt .

(5.55)

α

3. Statick´ y moment Sxy , resp. Sxz , resp. Syz oblouku homogenn´ı prostorové kˇrivky vzhledem k rovinˇe xy, resp. xz, resp. yz pro kˇrivku popsanou parametricky rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t ∈ hα, βi, s krajn´ımi body ϕ(α), ψ(α), χ(α) , ϕ(β), ψ(β), χ(β) , je dán vztahem Sxy =

Rβ

χ(t)g(t) dt,

resp.

α

kde g(t) =

Rβ

Sxz =

ψ(t)g(t) dt,

resp. Syz =

α

Rβ

ϕ(t)g(t) dt,

(5.56)

α

q ϕ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) + χ˙ 2 (t).

4. Statick´ y moment Sx , resp. Sy homogenn´ıho rovinného obrazce ohraniˇceného grafem spojité nezáporné funkce y = f (x) , x ∈ ha, bi a pˇr´ısluˇsn´ ymi u ´seˇckami na ose x a na pˇr´ımkách x = a, x = b, vzhledem k ose x, resp. y je dán vztahem Sx =

1 Rb (f (x))2 dx, 2a

resp.

Sy =

Rb

xf (x) dx.

(5.57)

a

5. Statick´ y moment Sx , resp. Sy homogenn´ıho rovinného obrazce ohraniˇceného grafy spojit´ ych funkc´ı y = f (x) a y = g(x) takov´ ych, ˇze f (x) ≥ g(x) pro vˇsechna x ∈ ha, bi a pˇr´ısluˇsn´ ymi u ´seˇckami na ose x a na pˇr´ımkách x = a, x = b, vzhledem k ose x, resp. y je dán vztahem Sx =

1 Rb (f (x))2 − (g(x))2 dx, 2a

resp.

Sy =

Rb

x f (x) − g(x) dx.

(5.58)

a

6. Statick´ y moment Syz homogenn´ı rotaˇcn´ı plochy vytvoˇrené pˇri rotaci grafu spojité nezáporné funkce y = f (x), x ∈ ha, bi, kolem osy x vzhledem k rovinˇe yz je dán vztahem Syz = 2π

Rb

p xf (x) 1 + (f 0 (x))2 dx .

(5.59)

a

V tomto pˇr´ıpadˇe je Sxy = Sxz = 0. 7. Statick´ y moment Syz homogenn´ıho rotaˇcn´ıho tˇelesa, jehoˇz pláˇst’ se vytvoˇr´ı pˇri rotaci grafu spojité nezáporné funkce y = f (x), x ∈ ha, bi, kolem osy x a které má podstavy v rovinách x = a, x = b, vzhledem k rovinˇe yz, je dán vztahem Syz = π

Rb

x(f (x))2 dx,

(5.60)

a

V´ ypoˇ cet souˇ radnic tˇ eˇ ziˇ stˇ e

Sy , kde s 1. Souˇradnice xT , resp. yT tˇeˇziˇstˇe oblouku homogenn´ı rovinné kˇrivky je dána vztahem xT = s je délka uvaˇzovaného oblouku a Sx , Sy jsou pˇr´ısluˇsné statické momenty. 2. Souˇradnice xT , resp. yT , resp. zT tˇeˇziˇstˇe oblouku homogenn´ı prostorové kˇrivky je dána vztahem Syz Sxz Sxy xT = , resp. yT = , resp. zT = , kde s je délka uvaˇzovaného oblouku a Sxy , Sxz , Syz jsou s s s pˇr´ısluˇsné statické momenty. Sy 3. Souˇradnice xT , resp. yT tˇeˇziˇstˇe homogenn´ıho rovinného obrazce je dána vztahem xT = , resp. S Sx , kde S je obsah uvaˇzovaného rovinného obrazce a Sx , Sy jsou pˇr´ısluˇsné statické momenty. yT = S 4. Souˇradnice xT tˇeˇziˇstˇe homogenn´ıho rotaˇcn´ıho tˇelesa, jehoˇz pláˇst’ se vytvoˇr´ı pˇri rotaci grafu spojité nezáporné funkce y = f (x) , x ∈ ha, bi, kolem osy x a které má podstavy v rovinách x = a, x = b, je dána


126

Syz vztahem xT = , kde V je objem uvaˇzovaného tˇelesa a Syz je pˇr´ısluˇsn´ y statick´ y moment. V tomto V pˇr´ıpadˇe je yT = zT = 0. V´ ypoˇ cet moment˚ u setrvaˇ cnosti 1. Momenty setrvaˇcnosti Ix , resp. Iy , resp. Iz oblouku homogenn´ı rovinné kˇrivky vzhledem k ose x, resp. y, resp. k poˇcátku pro kˇrivku zadanou jako graf spojité nezáporné funkce y = f (x) , x ∈ ha, bi, jsou dány vztahy Rb Ix = (f (x))2 g(t) dt,

resp. Iy =

a

Rb

x2 g(t) dt,

Rb resp. Iz = (x2 + (f (x))2 )g(t) dt,

a

(5.61)

a

p kde g(t) = 1 + (f 0 (x))2 . 2. Momenty setrvaˇcnosti Ix , resp. Iy , resp. Iz oblouku homogenn´ı rovinné kˇrivky vzhledem k ose x, resp. y, resp. k poˇcátku pro kˇrivku popsanou parametrick´ ymi rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ hα, βi, s krajn´ımi body ϕ(α), ψ(α) , ϕ(β), ψ(β) , je dán vztahem Ix =

Rβ

2 ψ(t) g(t) dt,

resp.

Iy =

α

Rβ

2 ϕ(t) g(t) dt,

resp. Iz =

α

(ϕ(t))2 + (ψ(t))2 g(t) dt,

Rβ

(5.62)

α

q kde g(t) =

ϕ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t).

3. Momenty setrvaˇcnosti Ix , resp. Iy , resp. Iz oblouku homogenn´ı prostorové kˇrivky vzhledem k ose x, resp. y, resp. z pro kˇrivku popsanou parametricky rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t ∈ hα, βi, s krajn´ımi body ϕ(α), ψ(α), χ(α) , ϕ(β), ψ(β), χ(β) , jsou dány vztahy Ix =

Rβ

Rβ Rβ (ψ(t))2 +(χ(t))2 g(t) dt, Iy = (ϕ(t))2 +(χ(t))2 g(t) dt, Iz = (ϕ(t))2 +(ψ(t))2 g(t) dt, (5.63)

α

α

α

q kde g(t) = ϕ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) + χ˙ 2 (t). 4. Momenty setrvaˇcnosti Ix , resp. Iy , resp. Iz homogenn´ıho rovinného obrazce ohraniˇceného grafem spojité nezáporné funkce y = f (x), x ∈ ha, bi a pˇr´ısluˇsn´ ymi u ´seˇckami na ose x a na pˇr´ımkách x = a, x = b, vzhledem k ose x, resp. y, resp. poˇcátku jsou dány vztahy Ix =

3 1 Rb f (x) dx, 3a

resp. Iy =

Rb

x2 f (x) dx,

a

resp. Iz =

Rb 1 a

3

3 f (x) + x2 f (x) dx.

(5.64)

5. Momenty setrvaˇcnosti Ix , resp. Iy , resp. Iz homogenn´ıho rovinného obrazce ohraniˇceného grafy spojit´ ych funkc´ı y = f (x) a y = g(x) takov´ ych, ˇze f (x) ≥ g(x) pro vˇsechna x ∈ ha, bi a pˇr´ısluˇsn´ ymi u ´seˇckami na ose x a na pˇr´ımkách x = a, x = b, vzhledem k ose x, resp. y, resp. poˇcátku jsou dány vztahy Ix =

3 3 1 Rb f (x) − g(x) dx, 3a

resp. Iy =

Rb

x2 f (x) − g(x) dx,

resp. Iz = Ix + Iy .

(5.65)

a

6. Moment setrvaˇcnosti Ix homogenn´ı rotaˇcn´ı plochy vytvoˇrené pˇri rotaci grafu spojité nezáporné funkce y = f (x), x ∈ ha, bi, kolem osy x vzhledem k ose x je dán vztahem Ix = 2π

Rb

2 3 q 1 + f 0 (x) dx . f (x)

(5.66)

a

7. Moment setrvaˇcnosti Ix homogenn´ıho rotaˇcn´ıho tˇelesa, jehoˇz pláˇst’ se vytvoˇr´ı pˇri rotaci grafu spojité nezáporné funkce y = f (x), x ∈ ha, bi, kolem osy x a které má podstavy v rovinách x = a, x = b, vzhledem k ose x, je dán vztahem 4 π Rb Ix = (5.67) f (x) dx. 2a

Kapitola 6

Nevlastn´ı Riemann˚ uv integr´ al 6.1

Integr´ al nevlastn´ı vlivem integrandu

Kl´ıˇcov´ a slova: Nevlastn´ı Riemann˚ uv integrál funkce f ; integrál nevlastn´ı vlivem integrandu; singulárn´ı bod integrandu; konvergentn´ı a divergentn´ı nevlastn´ı integrál; Newtonova-Leibnizova formule pro nevlastn´ı integrály; srovnávac´ı kritérium konvergence; minorantn´ı a majorantn´ı funkce; minorantn´ı a majorantn´ı integrál; absolutnˇe konvergentn´ı nevlastn´ı integrál Motivace nevlastn´ıho integr´ alu S Riemannov´ ym integrálem, kter´ y jsme definovali pouze na omezeném integraˇcn´ım oboru pro omezen´ y inˇ tegrand v aplikac´ıch nevystaˇc´ıme. Rada fyzikáln´ıch, technick´ ych i ˇcistˇe matematick´ ych problém˚ u vyˇzaduje integrál, jehoˇz integrand nebo integraˇcn´ı obor jsou neomezené. Jeden ze zp˚ usob˚ u, jak lze integrál zobecnit, ukazuje následuj´ıc´ı pˇr´ıklad. Funkce f (x) = √1x je spojitá a kladná v intervalu (0, 1i. Protoˇze lim √1 = ∞, nen´ı tato funkce omezená v (0, 1i, a nem˚ uˇzeme tedy hovoˇrit o Riemannovˇe integrálu x→0+ x R1 I = 0 f (x) dx ve smyslu definice z pˇredchoz´ı kapitoly. y

y

4

4

3

3

2

2

1 f (x) = √ x

1

1 f (x) = √ x

1 x

0

1

2

3

x

4

0

a)

α 1

2

3

4

b)

Obrázek 6.1: ilustrace definice nevlastn´ıho integrálu Pˇredpokládáme-li, ˇze je moˇzné pojem Riemannova integrálu zobecnit tak, aby integrál I mˇel smysl, je rozumné oˇcekávat, ˇze v geometrické interpretaci bude udávat obsah obrazce na obr. 6.1 a), ohraniˇceného grafem funkce f (x) = √1x , u ´seˇckou h0, 1i na ose x, kladnou poloosou osy y a u ´seˇckou na pˇr´ımce x = 1. R1 Pro kaˇzdé α ∈ (0, 1) je funkce f v intervalu hα, 1i spojitá, a tedy omezená, takˇze integrál Iα = α f (x) dx konverguje a lze jej interpretovat jako obsah obrazce ohraniˇceného opˇet grafem funkce f (x) = √1x , ale nyn´ı u ´seˇckou hα, 1i na ose x a pˇr´ısluˇsn´ ymi u ´seˇckami na pˇr´ımkách x = α a x = 1, jak ukazuje obr. 6.1 b). Z vlastnost´ı obsah˚ u pak plyne, ˇze jakmile integrál I má smysl, plat´ı I = lim Iα . α→0+

127

˚ INTEGRAL ´ KAPITOLA 6. NEVLASTNÍ RIEMANNUV

128

Nevlastn´ı integr´ al z funkce neomezen´ e v okol´ı jedn´ e integraˇ cn´ı meze Necht’ funkce f je definovaná v omezeném intervalu (a, b), necht’ je omezená v kaˇzdém intervalu (α, b), ˇ kde α ∈ (a, b) a necht’ nen´ı omezená v ˇzádném okol´ı bodu a. (Cten´ aˇr si zde m˚ uˇze pˇredstavovat právˇe 1 zm´ınˇenou funkci f (x) = √x na intervalu (a, b) = (0, 1), jak je naˇcrtnuta na obr. (6.1) b).) Necht’ pro kaˇzdé Rb α ∈ (a, b) existuje Riemann˚ uv integrál Iα = f (x) dx. Jestliˇze existuje vlastn´ı limita lim Iα , pak toto α→a+

α

ˇc´ıslo naz´ yváme nevlastn´ım Riemannovým integr´ alem funkce f od a do b, a ˇr´ıkáme, ˇze nevlastn´ı integrál je konvergentn´ı. V pˇr´ıpadˇe, ˇze je v´ yˇse uvedená limita nevlastn´ı nebo neexistuje, ˇr´ıkáme, ˇze integrál diverguje. Rb Nevlastn´ı Riemann˚ uv integr´ al funkce f (x) od a do b znaˇc´ıme opˇet a f (x) dx. Tedy podle definice je Rb

f (x) dx = lim

a

Rb

α→a+ α

f (x) dx.

(6.1)

O integrálu (6.1) ˇr´ıkáme, ˇze je nevlastn´ı vlivem integrandu. Bod a, v jehoˇz kaˇzdém okol´ı je integrand neomezen´ y, se naz´ yvá singul´ arn´ım bodem integrandu nebo nevlastn´ıho integrálu. Rovnost (6.1) plat´ı i tehdy, kdyˇz integrál vlevo existuje jako vlastn´ı Riemann˚ uv integrál. Proto m˚ uˇzeme bez obav pouˇz´ıvat pro nevlastn´ı integrály totéˇz oznaˇcen´ı jako pro integrály vlastn´ı. Nevlastn´ı integrál pro funkce, jejichˇz jedin´ ym singulárn´ım bodem je bod b, tj. horn´ı integraˇcn´ı mez, definujeme analogicky Rb Rβ f (x) dx = lim f (x) dx. (6.2) a

β→b− a

Rb Jsou-li oba krajn´ı body a, b integraˇcn´ıho oboru jedin´ ymi singulárn´ımi body integrálu a f (x) dx, pak Rc Rb rozdˇel´ıme integraˇcn´ı obor nˇejak´ ym bodem c ∈ (a, b) a vyˇsetˇrujeme integrály a f (x) dx a c f (x) dx. Rb Podobnˇe, je-li nˇekter´ y bod c ∈ (a, b) singulárn´ım bodem integrálu a f (x) dx, uvaˇzujeme kaˇzd´ y z integrál˚ u Rc Rb ’ f (x) dx a f (x) dx zvl´ a ˇ s t . a c Pˇ r´ıklady Máme vypoˇc´ıtat následuj´ıc´ı nevlastn´ı integrály: R1 dx 1. I = √ . x 0 ˇ Reˇsen´ı: Bod 0 je singulárn´ım bodem integrálu. Funkce x−1/2 je spojitá, a tedy i omezená v kaˇzdém intervalu hα, 1i, kde α ∈ (0, 1). Integrál I proto nemá dalˇs´ı singulárn´ı body a existuj´ı vlastn´ı integrály Iα = Je tedy I = lim Iα = 2 lim (1 − α→0+

2. I =

Rb dx , 0 x

α→0+

√

√ 1 R1 1 √ √ dx = 2 x α = 2(1 − α). x α

α) = 2(1 − 0) = 2.

b ∈ (0, ∞).

ˇ sen´ı: Integrand má jedin´ Reˇ y singulárn´ı bod, a to doln´ı mez 0. Pro α ∈ (0, b) plat´ı Iα =

Rb dx b = [ln x]α = ln b − ln α, α x

takˇze I = lim Iα = ln b − lim (ln α) = ∞. Tento integrál je tedy divergentn´ı. α→0+

α→0+

R1 1 3. Máme vyˇsetˇrit konvergenci a divergenci integrálu Ip = 0 p dx, p ∈ (−∞, ∞) , v závislosti na reálném x parametru p. ˇ sen´ı: Reˇ (i) Je-li p ≤ 0, je integrand funkce spojitá v intervalu h0, 1i, integrál Ip je vlastn´ı Riemann˚ uv integrál a plat´ı R1 1 1 1 1−p 1 = x (1 − 0) = , p ∈ (−∞, 0i. Ip = x−p dx = 0 1 − p 1 − p 1 − p 0

´ NEVLASTNÍ VLIVEM INTEGRANDU 6.1. INTEGRAL

129

(ii) Je-li p ∈ (0, 1), je bod 0 jedin´ ym singulárn´ım bodem integrandu. Plat´ı Ip,α =

R1

x−p dx =

α

1 1−p 1 1 x = (1 − α1−p ), α 1−p 1−p

1 1 (1 − α1−p ) = . 1−p 1−p (iii) Je-li p = 1, pak, jak jsme ukázali ve druhém pˇr´ıkladu, integrál Ip = I1 diverguje. (iv) Je-li p ∈ (1, ∞), je opˇet 0 singulárn´ım bodem a plat´ı

a tedy I = lim Ip,α = lim α→0+

α→0+

Ip,α =

R1

x−p dx =

α

1 1−p 1 1 x = (1 − α1−p ). α 1−p 1−p

Odtud I = lim Ip,α = lim (1 − α1−p )/(1 − p) = ∞, protoˇze 1 − p < 0. α→0+

α→0+

Souhrnnˇe m˚ uˇzeme zapsat

 1     1−p R1 1 1 dx = p  0 x  1 − p  

jako vlastn´ı, pro

p ∈ (−∞, 0i,

jako nevlastn´ı, pro

p ∈ (0, 1),

diverguje pro

p ∈ h1, ∞).

(6.3)

Newtonova-Leibnizova formule pro nevlastn´ı integr´ aly Rb Pˇredpokládejme, ˇze integrál (6.1) má jedin´ y singulárn´ı bod a, ˇze existuj´ı vlastn´ı integrály α f (x) dx pro α ∈ (a, b) a ˇze funkce f má primitivn´ı funkci F v intervalu (a, bi. Konverguje-li integrál (6.1), pak plat´ı Rb

f (x) dx = F (b) − lim F (x) = F (b) − F (a+). x→a+

a

(6.4)

Analogické tvrzen´ı plat´ı pro integrály, jejichˇz jedin´ ym singulárn´ım bodem je bod b. Pˇ r´ıklady Máme vypoˇc´ıtat následuj´ıc´ı integrály: R1 1. I = |x|−1/4 dx. −1

ˇ sen´ı: Zˇrejmˇe je lim |x|−1/4 = ∞ a funkce f (x) = |x|−1/4 je spojitá v intervalu h−1, 0) ∪ (0, 1i, je Reˇ x→0 R1 R0 bod 0 jedin´ ym singulárn´ım bodem integrandu. Uvaˇzujme integrály I1 = 0 f (x) dx , a I2 = −1 f (x) dx. Integrand je sudá funkce, takˇze integrál I1 konverguje právˇe tehdy, kdyˇz konverguje integrál I2 , a konverguj´ı-li, plat´ı I1 = I2 . Pro x ∈ (0, 1i je |x|−1/4 = x−1/4 a zˇrejmˇe F (x) = 4x3/4 /3 je primitivn´ı funkce k funkci f v intervalu (0, 1i. Potom I1 =

R1 0

|x|−1/4 dx =

4

3/4 1 3x 0

=

4 3

= I2 ,

a tedy I = I1 + I2 = 8/3. 2. I =

π/2 R

cos x

0

sin2/3 x

dx.

R π/2 ˇ sen´ı: Integrand f je spojit´ Reˇ y v intervalu (0, π/2), takˇze existuje vlastn´ı integrál α f (x) dx pro kaˇzdé α ∈ (0, π/2i a existuje primitivn´ı funkce F (x) v (0, π/2i Z Z √ z cos x dz = sin x 3 = dx = F (x) = = 3z 1/3 + c = 3 sin x + c v (0, π/2i. 2/3 2/3 dz = cos x dx z sin x √ π/2 Zˇrejmˇe F (α+) = 0, a tedy integrál I konverguje a je I = 3[ 3 sin x]0 = 3(1 − 0) = 3. R0 3. I = ln(−x) dx, a < 0. a


130

R ˇ sen´ı: Funkce ln(−x) je spojitá v (−∞, 0), a tedy existuj´ı vlastn´ı integrály β ln(−x) dx pro β ∈ (a, 0). Reˇ a Existuje také primitivn´ı funkce F v intervalu (−∞, 0) 0 u = 1, R R u=x = x ln(−x) − dx = x[ln(−x) − 1] + c. F (x) = 1 · ln(−x) dx = 0 v = ln(−x), v = 1/x ln(−x) − 1 x−1 = lim = lim (−x) = 0. x→0− x→0− x→0− −x−2 x→0− x−1 0 Integrál I tedy konverguje a plat´ı I = [x(ln(−x) − 1)]a = 0 − a(ln(−a) − 1) = a(1 − ln(−a)). F (0−) = lim x[ln(−x) − 1] = lim

´ Ulohy Vypoˇctˇete následuj´ıc´ı nevlastn´ı integrály. R1 R1 R4 1 1 1 1 √ √ dx ; 2. dx ; 3. dx ; 4. dx ; 2 2 2 1 − x 4−x 1−x 16 − x2 0 −1 −1 0 R0 R0 e1/x R2 1 R0 e1/x x √ dx ; 6. dx ; 7. 5. dx ; 8. dx . 2 3 1 − x2 1 x ln x −1 −1 x −1 x 1. π/2; 2. π; 3. ∞; 4. π/2; 5. ∞; 6. − 1; 7. 1/e; 8. − 2/e. 1.

R2

√

Srovn´ avac´ı krit´ erium konvergence integr´ alu Necht’ funkce f, g jsou definov´ any v intervalu (a, b) a necht’ 0 ≤ f (x) ≤ g(x) pro kaˇzdé x ∈ (a, b). Necht’ Rb Rb existuj´ı vlastn´ı integr´ aly α f (x) dx, α g(x) dx pro kaˇzdé α ∈ (a, b). Potom plat´ı n´ asleduj´ıc´ı dvˇe tvrzen´ı. Rb Rb 1. Konverguje-li integr´ al a g(x) dx, konverguje také integr´ al a f (x) dx. Rb Rb 2. Diverguje-li integr´ al a f (x) dx, diverguje také integr´ al a g(x) dx. Rb Rb D˚ ukaz: Oznaˇcme Iαf = α f (x) dx, Iαg = α g(x) dx pro vˇsechna α ∈ (a, b). Je-li α1 < α2 , je Iαf 1 − Iαf 2 = R α2 f (x) dx ≥ 0, protoˇze f (x) ≥ 0 pro x ∈ hα1 , α2 i. Je tedy Iαf nerostouc´ı funkce promˇenné α ∈ (a, b). α1 Stejnou vlastnost má Iαg . Mus´ı tedy platit bud’ lim Iαf = ∞, nebo lim Iαf = A ∈ h0, ∞). Podobnˇe pro Iαg . Jelikoˇz je f (x) ≤ g(x), plat´ı Rb

α→a+

α→a+

Iαf ≤ Iαg pro vˇsechna α ∈ (a, b).

(6.5)

g(x) dx konvergentn´ı, existuje A ∈ h0, ∞) tak, ˇze lim Iαg = A a z vˇet o limitách funkc´ı a z (6.5) α→a+ Rb f plyne, ˇze rovnˇeˇz lim Iα = a f (x) dx mus´ı konvergovat. α→a+ Rb yt také lim Iαg = ∞. Je-li a f (x) dx divergentn´ı, je lim Iαf = ∞ a podle (6.5) mus´ı b´ α→a+ α→a+ Rb Funkce f , resp. integrál a f (x) dx ve srovnávac´ım kritériu se naz´ yvá minorantn´ı funkce, resp. minorantn´ı Rb integr´ al. Funkce g, resp. integrál a g(x) dx se naz´ yvá majorantn´ı funkce, resp. majorantn´ı integr´ al. Chceme-li u ´spˇeˇsnˇe pouˇz´ıvat srovnávac´ı kritérium, mus´ıme m´ıt v zásobˇe ˇradu majorantn´ıch a minorantn´ıch ˇ funkc´ı. Casto poslouˇz´ı funkce typu f (x) = xp , jej´ıˇz integrály jsme vyˇsetˇrovali v 6.3. Je-li

a

Pˇ r´ıklady Vyˇsetˇreme konvergenci následuj´ıc´ıch integrál˚ u: 2 π/2 R sin x √ 1. I = dx. x−1 1 2 ˇ sen´ı: Integrand f (x) = √sin x je kladná spojitá funkce v intervalu (1, π/2i. Jedin´ Reˇ ym singulárn´ım x−1 bodem integrálu I je bod x = 1. Zˇrejmˇe je

1 sin2 x ≤√ = g(x) pro x ∈ (1, π/2i, f (x) = √ x−1 x−1 a tedy funkce g je majorantn´ı funkce k funkci f . Vyˇsetˇr´ıme konvergenci majorantn´ıho integrálu J = p R π/2 R π/2 √ −1/2 −1/2 1/2 π/2 π/2 − 1 − 1 − 1) < ∞. (x − 1) dx. Plat´ ı J = (x − 1) dx = 2[(x − 1) ] = 2( 1 1 1 Protoˇze konverguje integrál J, konverguje podle srovnávac´ıho kritéria i integrál I.

´ 6.2. INTEGRALY NEVLASTNÍ VLIVEM MEZÍ 2. I =

0,1 R

131

cotg x dx.

0

ˇ sen´ı: Poloˇzme f (x) = cotg x pro x ∈ (0, 1/10i. Funkce f je kladná, 0 je zˇrejmˇe jedin´ Reˇ y singulárn´ı bod integrandu I. Jelikoˇz v intervalu (0, 1/10) je funkce cos x klesaj´ıc´ı a sin x < x, je f (x) =

cos x cos 0, 1 ≥ = g(x). sin x x

Funkce g je tedy minorantn´ı funkce k funkci f . Protoˇze integrál (cos 0, 1) podle srovn´ avac´ıho kritéria divergentn´ı i integrál I.

R 0,1 0

x−1 dx je divergentn´ı, je

Absolutnˇ e konvergentn´ı integr´ aly Rb ˇ Rekneme, ˇze nevlastn´ı integrál a f (x) dx je absolutnˇe konvergentn´ı právˇe tehdy, kdyˇz je konvergentn´ı Rb integrál a |f (x)| dx. Následuj´ıc´ım tvrzen´ı je pˇr´ım´ ym d˚ usledkem srovnávac´ıho kritéria. Rb Necht’ funkce f je definovan´ a v intervalu (a, bi, necht’ existuje integr´ al α f (x) dx pro kaˇzdé α ∈ (a, b). Rb Rb Necht’ konverguje integr´ al a |f (x)| dx. Potom konverguje i integr´ al a f (x) dx. Pˇ r´ıklad Vyˇsetˇreme konvergenci integrálu I =

R1 1 1 √ dx. cos 5 5x x 0

ˇ sen´ı: Funkce f (x) = √1 cos 1 je spojitá v intervalu (0, 1i, a bod 0 je tedy jedin´ Reˇ ym singulárn´ım 5 5x x R √ 1 bodem integrálu I. Plat´ı |f (x)| ≤ 1/ 5 x pro x ∈ (0, 1i. Protoˇze integrál 0 x−1/5 dx je konvergentn´ı, je konvergentn´ı také integrál I. ´ Ulohy 1. Vypoˇctˇete tyto nevlastn´ı integrály: a)

R2 1

dx √ ; b) 4 x−1

Z4 2

dx √ ; c) 2 −x + 6x − 8

Zπ/2

dx ; d) sin x

−π/2

Z1 √ 0

a) 4/3; b) π; c) diverguje; d) − (π/2) ln 2.

ln x dx. 1 − x2

2. Rozhodnˇete o konvergenci ˇci divergenci následuj´ıc´ıch nevlastn´ıch integrál˚ u: a)

π/2 R

ln sin x dx; b)

0

0

6.2

R1

dx √ ; c) x e −1

Z1 0

dx ; d) ex − cos x

Z1 −1

x2 dx p dx. 3 (1 − x2 )5

a) konverguje; b) konverguje; c) diverguje; d) diverguje.

Integr´ aly nevlastn´ı vlivem mez´ı

Kl´ıˇcov´ a slova: Integrál nevlastn´ı vlivem meze; konvergentn´ı a divergentn´ı nevlastn´ı integrál; singulárn´ı body integr´ alu; absolutnˇe konvergentn´ı integrály; Newtonova-Leibnizova formule pro integrály nevlastn´ı vlivem meze; srovnávac´ı kritérium; minorantn´ı a majorantn´ı funkce; minorantn´ı a majorantn´ı integrál; Cauchyova hlavn´ı hodnota Motivace integr´ alu nevlastn´ıho vlivem meze Zobecn´ıme Riemann˚ uv integrál tak, aby bylo moˇzné integrovat i pˇres neomezené intervaly. Uvaˇzujme y, takˇze funkci f (x) = x12 . Je spojitá a kladná v intervalu h1, ∞), avˇsak tento interval je neomezen´ nem˚ uˇzeme funkci f pˇres nˇej integrovat podle ˇzádné z dosud uveden´ y ch definic. R∞ Je-li moˇzné pojem integrálu zobecnit tak, aby mˇel integrál I = 1 f (x) dx smysl, je rozumné oˇcek´ avat, ˇze v geometrické interpretaci bude I obsah obrazce na obr. 6.2 a). Pro kaˇzdé β ∈ (1, ∞) je funkce f Rβ spojitá v intervalu h1, βi, tedy existuje integrál Iβ = 1 f (x) dx a lze jej interpretovat jako obsah obrazce na obr. 6.2 b). Z vlastnost´ı obsah˚ u plyne, ˇze mus´ı platit I = lim Iβ . β→∞


132

y

y

2

2

1

1 x

x 1

2

3

1

4

2

3 β

4

b)

a)

Obrázek 6.2: ilustrace definice nevlastn´ıho integrálu

Integr´ aly nevlastn´ı vlivem jedn´ e meze Necht’ a ∈ R a necht’ funkce f je definovaná v intervalu (a, ∞). Necht’ pro kaˇzdé β > a existuje vlastn´ı Rβ integrál Iβ = a f a necht’ existuje vlastn´ı limita I = lim Iβ . Pak tuto limitu I naz´ yváme nevlastn´ım β→∞ R∞ Riemannovým integr´ alem funkce f od a do ∞ a znaˇc´ıme jej a f (x) dx. Je tedy R∞

f (x) dx = lim

Rβ

β→∞ a

a

f (x) dx.

(6.6)

ˇ ıkáme pak také, ˇze nevlastn´ı Riemann˚ R´ uv integr´ al funkce f od a do ∞ konverguje. Ra Analogicky se definuje nevlastn´ı Riemann˚ uv integr´ al funkce f od −∞ do a a znaˇc´ı se −∞ f (x) dx. Je tedy Ra Ra f (x) dx = lim f (x) dx. (6.7) Integrály

R∞

f (x) dx se naz´ yvaj´ı integr´ aly nevlastn´ı vlivem meze. Je-li limita v (6.6), resp. R∞ Rb v (6.7) nevlastn´ı nebo neexistuje-li v˚ ubec, ˇr´ıkáme, ˇze integrál a f (x) dx, nebo −∞ f (x) dx diverguje. R∞ Rb Singulárn´ım bodem integrálu a f (x) dx, resp. −∞ f (x) dx je bod ∞, resp. bod −∞. a

f (x) dx,

α→−∞ α

−∞

Ra

−∞

Pˇ r´ıklady Máme vypoˇc´ıtat následuj´ıc´ı integrály: R∞ 1. I = x−2 dx. 1

ˇ sen´ı: Iβ = Reˇ 2. I =

R∞

Rβ 1

x−2 dx = −[x−1 ]β1 = 1 − 1/β pro β > 1. Zˇrejmˇe je I = lim Iβ = 1. β→∞

cos x dx.

π

ˇ sen´ı: Iβ = Reˇ

Rβ π

cos x dx = [sin x]βπ = sin β pro β > π. Protoˇze neexistuje lim Iβ , integrál I neexistuje. β→∞

Newtonova-Leibnizova formule pro integr´ aly nevlastn´ı vlivem meze Rβ ’ Necht existuje vlastn´ı integr´ al a f (x) dx pro kaˇzdé β > a a necht’ F je funkce primitivn´ı k funkci f R∞ v intervalu ha, ∞). Konverguje-li integr´ al a f (x) dx, plat´ı R∞ a

f (x) dx = lim F (β) − F (a) = [F (x)]∞ a . β→∞

(6.8)

Lomená závorka v (6.8) je Newtonova-Leibnizova závorka. Ra Analogické tvrzen´ı plat´ı pro integrál −∞ f (x) dx. Pˇ r´ıklad Máme vyˇsetˇrit konvergenci a divergenci integrálu Jp = parametru p (srovnej s (6.3)).

R∞ 1 dx, p ∈ (−∞, ∞) , v závislosti na reálném p 1 x

´ 6.2. INTEGRALY NEVLASTNÍ VLIVEM MEZÍ

133

ˇ sen´ı: Pro kaˇzdé p ∈ R je integrand spojit´ Reˇ y v intervalu h1, ∞), a proto je bod ∞ jedin´ y singulárn´ı bod integrál˚ u Jp . R Pro p = 1 je (1/x) dx = ln x = F (x) v h1, ∞). Podle (6.5) plat´ı J1 = [ln x]∞ ze 1 = ∞ − 1 = ∞, takˇ integrál J1 diverguje. β Rβ Pro p 6= 1 a β > 1 je Jp,β = x−p dx = x1−p /(1 − p) 1 . Pro Jp = lim Jp,β dostáváme (srovnej s (6.3)) β→∞

1

  diverguje k ∞ R∞ 1 1 dx = p  1 x p−1

pro p ∈ (−∞, 1i, pro p ∈ (1, ∞).

(6.9)

Integr´ aly s integraˇ cn´ım oborem (−∞, ∞) Necht’ funkce f má vlastn´ı Riemann˚ uv integrál pˇres libovoln´ y omezen´ y interval (α, β) a necht’ c ∈ R. ˇ ıkáme, ˇze nevlastn´ı Riemann˚ R´ uv integr´ a l I funkce f od −∞ do ∞ konverguje právˇe tehdy, kdyˇz konverguj´ı Rc R∞ R∞ integrály −∞ f (x) dx a c f (x) dx. Integrál I znaˇc´ıme −∞ f (x) dx a definujeme R∞

f (x) dx =

−∞

Rc

f (x) dx +

−∞

Lze ukázat, ˇze konvergence ani hodnota integrálu

R∞

f (x) dx.

(6.10)

c

R∞ −∞

f (x) dx nezávis´ı na volbˇe bodu c ∈ R.

Newtonova-Leibnizova formule pro integr´ aly s definiˇ cn´ım oborem (−∞, ∞) Necht’ funkce f m´ a vlastn´ı integr´ al pˇres kaˇzdýR omezený interval. Necht’ funkce F je primitivn´ı k funkci f ∞ v intervalu (−∞, ∞). Konverguje-li integr´ al −∞ f (x) dx, pak plat´ı R∞ −∞

f (x) dx = lim F (x) − lim F (x) = [F (x)]∞ −∞ . x→∞

x→−∞

(6.11)

´ Ulohy Vypoˇctˇete následuj´ıc´ı integrály: R∞ R∞ x x dx; 2. dx; 2 x (1 + x)3 e 0 0 R1 R∞ arctg x dx; 5. sin x dx; 6. x2 −∞ 1

1.

R∞ 2 − x R∞ −7/3 dx; 4. x dx; 3 2 (1 − x) 0,1 R∞ 3 −x2 R∞ −|x| 7. x e dx; 8. e cos x dx.

3.

−∞

−∞

√ √ 1. 1/2; 2. 1/2; 3. 1/2; 4. (15/2) 3 10; 5. diverguje; 6. π/4 + ln 2; 7. 0; 8. 1.

Absolutnˇ e konvergentn´ı integr´ aly Rβ ’ Necht funkce f je definovaná v intervalu (a, ∞) a necht’ existuje vlastn´ı Riemann˚ uv integrál a f (x) dx pro R∞ R∞ kaˇzdé β ∈ (a, ∞). Necht’ konverguje integrál a |f (x)| dx. Potom konverguje také integrál a f (x) dx. R∞ R∞ ˇ ıkáme, ˇze inAvˇsak z konvergence integrálu a f (x) dx neplyne konvergence integrálu a |f (x)| dx. R´ R∞ R∞ tegrál a f (x) dx konverguje absolutnˇe právˇe tehdy, kdyˇz konverguje integrál a |f (x)| dx. Nutn´ a podm´ınka konvergence Rb Necht’ existuje vlastn´ı integr´ al a f (x) dx pro kaˇzdé b > a a necht’ existuje vlastn´ı nebo nevlastn´ı limita R∞ lim f (x) 6= 0. Pak integr´ al a f (x) dx diverguje.

x→∞

Srovn´ avac´ı krit´ erium Necht’ jsou funkce f, g definov´ any v intervalu (a, ∞), necht’ 0 ≤ f (x) ≤ g(x) pro kaˇzdé x ∈ (a, ∞). Necht’ Rβ Rβ existuj´ı vlastn´ı integr´ aly a f (x) dx, a g(x) dx pro kaˇzdé β ∈ (a, ∞). Potom plat´ı n´ asleduj´ıc´ı dvˇe tvrzen´ı. 1. Konverguje-li integr´ al 2. Diverguje-li integr´ al

R∞ a

R∞ a

g(x) dx, konverguje i integr´ al

f (x) dx, diverguje i integr´ al

R∞

R∞ a

a

f (x) dx.

g(x) dx.


134

Cauchyova hlavn´ı hodnota Necht’ funkce f je definovaná v mnoˇzinˇe M = (a, c) ∪ (c, b), necht’ je omezená v mnoˇzinˇe M \ U(c) pro libovolné okol´ı U(c) bodu c a necht’ je neomezená v kaˇzdém okol´ı U(c). R c−δ Jestliˇze pro kaˇzdé δ > 0 takové, ˇze a < c − δ, c + δ < b existuj´ı vlastn´ı Riemannovy integrály a f (x) dx Rb a c+δ f (x) dx a existuje-li vlastn´ı limita lim

c−δ R

δ→0+

f (x) dx +

a

!

Rb

f (x) dx ,

(6.12)

c+δ

pak ˇr´ıkáme, ˇze existuje Cauchyova hlavn´ı hodnota integr´ alu funkce f od a do b. Cauchyova hlavn´ı hodnota Rb integrálu a f (x) dx se znaˇc´ı obvykle symbolem Rb v.p. f (x) dx.

(6.13)

a

(P´ısmena v.p. jsou zkratkou francouzského valeur principale – hlavn´ı hodnota.) Rb Konverguje-li vlastn´ı nebo nevlastn´ı integrál a f (x) dx, existuje zˇrejmˇe také Cauchyova hlavn´ı hodnota Rb Rb a plat´ı a f (x) dx = v.p. a f (x) dx. M˚ uˇze se vˇsak stát, ˇze nevlastn´ı integrál nekonverguje, ale existuje Cauchyova hlavn´ı hodnota. Pˇ r´ıklad R1 Rozhodnˇeme, zda existuje Cauchyova hlavn´ı hodnota v.p. −1 x−3 dx, a pokud existuje, vypoˇctˇeme ji. ˇ sen´ı: Integrand je zˇrejmˇe funkce spojitá v kaˇzdém z interval˚ Reˇ u h−1, δi, hδ, 1i, kde δ ∈ (0, 1). Integrand je neomezená funkce v kaˇzdém intervalu (−δ, δ). Bod 0 je tedy jedin´ ym singulárn´ım bodem. Protoˇze je R −δ −3 R 1 −3 R1 integrand lichá funkce, plat´ı pro δ ∈ (0, 1) rovnost −1 x dx = − δ x dx, a tedy v.p. −1 x−3 dx = R R1 −δ −3 lim x dx + δ x−3 dx = lim 0 = 0. −1 δ→0+ δ→0+ R1 R1 Z (6.9) v´ıme, ˇze nevlastn´ı integrál 0 x−3 dx diverguje, a tedy vyˇsetˇrovan´ y integrál −1 x−3 dx jako nevlastn´ı integrál nekonverguje. ˇ Necht’ existuje vlastn´ı Riemann˚ uv integrál funkce f pˇres kaˇzd´ y omezen´ y interval. Rekneme, ˇze existuje Cauchyova hlavn´ı hodnota integr´ alu funkce f od −∞ do ∞ právˇe tehdy, kdyˇz existuje vlastn´ı limita lim

RA

A→∞ −A

f (x) dx = v.p.

R∞

f (x) dx.

(6.14)

−∞

Je-li funkce f Rlichá a konverguje-li integr´ R ∞al funkce f na kaˇzdém intervalu h−A, Ai, pak existuje také hlavn´ı ∞ hodnota v.p. −∞ f (x) dx a plat´ı v.p. −∞ f (x) dx = 0. R∞ Je-li funkce f sudá, pak existuje hlavn´ı hodnota v.p. −∞ f (x) dx právˇe tehdy, kdyˇz konverguje (nevlastn´ı) R∞ R∞ R∞ R∞ integrál 0 f (x) dx a plat´ı v.p. −∞ f (x) dx = 2 0 f (x) dx = −∞ f (x) dx. Pˇ r´ıklady 1. Máme vypoˇc´ıtat v.p.

R∞

dx . 2 + x2

−∞

R ˇ sen´ı: Vlastn´ı integrál A f (x) dx konverguje pro kaˇzdé A > 0. Integrand je sudá funkce, takˇze hledaná Reˇ −A R∞ hlavn´ı hodnota existuje právˇe tehdy, kdyˇz konverguje nevlastn´ı integrál 0 1/(2 + x2 ) dx. Je tedy ∞ i π √2 √ √ hπ R∞ dx R∞ dx x =2 = 2 arctg √ = 2 −0 = . v.p. 2 2 2 2 2 0 −∞ 2 + x 0 2+x 2. Máme vypoˇc´ıtat v.p.

R∞

sin at dt, a > 0.

−∞ RA Vlastn´ı integrál −A

ˇ sen´ı: Reˇ f (x) dx konverguje pro kaˇzdé A > 0. Integrand je lichá funkce, takˇze hledaná hlavn´ı hodnota je rovna nule. R∞ ˇ Cten´ aˇr m˚ uˇze ukázat, ˇze nevlastn´ı integrál −∞ sin at dt neexistuje.

Kapitola 7

Diferenci´ aln´ı rovnice 7.1

Diferenci´ aln´ı rovnice 1. ˇ r´ adu

Kl´ıˇcov´ a slova: Diferenciáln´ı rovnice 1. ˇrádu, ˇreˇsen´ı rovnice, poˇcáteˇcn´ı okamˇzik, poˇcáteˇcn´ı hodnota, poˇc´ ateˇcn´ı podm´ınka, Cauchyova u ´loha, poˇcáteˇcn´ı u ´loha, ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy, lokálnˇe jednoznaˇcná ˇreˇsitelnost Cauchyovy u ´lohy, Cauchyho-Peanova vˇeta, maximáln´ı ˇreˇsen´ı, rovnice se separovan´ ymi promˇenn´ ymi, konstantn´ı ˇreˇsen´ı, metoda separace promˇenn´ ych Diferenci´ aln´ı rovnice 1. ˇ r´ adu a jej´ı ˇ reˇ sen´ı Budeme se zab´ yvat diferenciáln´ı rovnic´ı 1.ˇrádu x˙ = f (t, x),

(7.1)

ˇ sen´ım rovnice (7.1) budeme rozumˇet reálnou kde f (t, x) je daná reálná funkce dvou promˇenn´ ych. Reˇ funkci u(t), definovanou na nˇejakém intervalu J , která na tomto intervalu splˇ nuje identitu u(t) ˙ = f (t, u(t)),

t ∈ J.

(7.2)

V podm´ınce (7.2) je obsaˇzen i pˇredpoklad, ˇze funkce u(t) má v kaˇzdém bodˇe intervalu J derivaci u(t). ˙ Obsahuje-li interval J nˇekter´ y ze sv´ ych krajn´ıch bod˚ u, pak derivac´ı v takovém bodˇe rozum´ıme pˇr´ısluˇsnou jednostrannou derivaci. Pˇ r´ıklad 2 Máme ukázat, ˇze pro kaˇzdé c ∈ R je funkce u(t) = cet pro t ∈ R ˇreˇsen´ım diferenciáln´ı rovnice x˙ = 2tx.

(7.3)

2 ˇ sen´ı: Podle (7.2) máme ukázat, ˇze kdyˇz za x˙ dosad´ıme u(t) Reˇ ˙ = c2tet a do pravé strany za x dosad´ıme 2 u(t) = cet , dostaneme identitu. Pˇr´ısluˇsné dosazen´ı pˇrenecháváme ˇctenáˇri.

Rovnice (7.1) má obecnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Praxe nás vˇsak zpravidla stav´ı do situace, kdy máme naj´ıt jedno konkrétn´ı ˇreˇsen´ı, které v zadaném poˇca ´teˇcn´ım okamˇziku τ nab´ yvá zadanou poˇc´ ateˇcn´ı hodnotu ξ (viz obr. 7.1 a) ). ´ Tuto podm´ınku zapisujeme ve tvaru x(τ ) = ξ a naz´ yváme ji poˇc´ ateˇcn´ı podm´ınkou. Ulohu naj´ıt ˇreˇsen´ı rovnice (7.1) splˇ nuj´ıc´ı poˇcáteˇcn´ı podm´ınku x(τ ) = ξ zapisujeme ve tvaru x˙ = f (t, x) ,

x(τ ) = ξ,

(7.4)

ˇ sen´ım Cauchyovy a ˇr´ıkáme j´ı Cauchyova (nebo také poˇc´ ateˇcn´ı) u ´loha pro diferenci´ aln´ı rovnici 1. ˇr´ adu. Reˇ u ´lohy (7.4) rozum´ıme kaˇzdé ˇreˇsen´ı rovnice (7.1), které splˇ nuje podm´ınku u(τ ) = ξ. Abychom zd˚ uraznili, ˇze ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy závis´ı i na poˇcáteˇcn´ıch podm´ınkách τ a ξ, budeme pro nˇe pouˇz´ıvat vedle struˇcného zápisu u(t) i ponˇekud podrobnˇejˇs´ı zápis u(t; τ, ξ), a to zejména v situac´ıch, kdy máme rozliˇsovat mezi nˇekolika ˇreˇsen´ımi téˇze rovnice pro nˇekolik r˚ uzn´ ych poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek. Uvˇedomme si, ˇze uveden´ y zápis pˇripom´ıná funkci tˇr´ı promˇenn´ ych t, τ a ξ. Jako ˇreˇsen´ı konkrétn´ı Cauchyovy u ´lohy pˇri pevnˇe dan´ ych poˇcáteˇcn´ıch u ´daj´ıch τ a ξ je to vˇsak stále funkce jen jediné promˇenné, a to ˇcasu 135

´ Í ROVNICE KAPITOLA 7. DIFERENCIALN

136 x

x v(t; τ, ξ) ξ+b

ξ

(τ, ξ) ◦

@ @ (τ, ξ) u(t; τ, ξ) @◦ @ ϕ = arctg M @ @

ξ ξ−b

t

t τ

τ −a

a) ilustrace Cauchyovy u ´lohy

τ −α

τ

τ +α

τ +a

b) ilustrace Cauchy–Peanovy vˇety Obrázek 7.1:

t. Na druhé stranˇe se vˇsak ˇcasto v praxi vyˇsetˇruje i závislost ˇreˇsen´ı na zmˇenách hodnot τ a ξ. (Obvykle se uvaˇzuj´ı malé zmˇeny, pˇredstavuj´ıc´ı náhodné poruchy.) Pouˇz´ıvan´ a terminologie ”poˇcáteˇcn´ı okamˇzik” a ”poˇcáteˇcn´ı hodnota” je ponˇekud zavádˇej´ıc´ı. Je-li totiˇz funkce u(t), t ∈ J , ˇreˇsen´ım u ´lohy (7.1), pak sice mus´ı b´ yt τ ∈ J , ale nen´ı nutné, aby okamˇzik τ byl poˇcáteˇcn´ım bodem intervalu J . V naˇsich u ´vahách se dokonce budeme setkávat témˇeˇr v´ yhradnˇe se situac´ı, kdy ˇreˇsen´ı u ´lohy (7.4) je definováno v nˇejakém okol´ı bodu τ . Lok´ alnˇ e jednoznaˇ cn´ aˇ reˇ sitelnost Cauchyovy u ´ lohy Budeme ˇr´ıkat, ˇze Cauchyova u ´loha (7.4) je lok´ alnˇe jednoznaˇcnˇe ˇreˇsiteln´ a právˇe tehdy, kdyˇz ke kaˇzd´ ym dvˇema ˇreˇsen´ım u1 (t; τ, ξ) , t ∈ J1 , u2 (t; τ, ξ) , t ∈ J2 , u ´lohy (7.4) existuje takov´ y nedegenerovan´ y interval J ⊂ R obsahuj´ıc´ı bod τ , ˇze plat´ı u1 (t; τ, ξ) = u2 (t; τ, ξ) pro vˇsechna t ∈ J1 ∩ J2 ∩ J .

(7.5)

Pozn´ amka Z definice ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy plyne, ˇze kdyˇz funkce u(t; τ, ξ) je ˇreˇsen´ım u ´lohy (7.4) definovan´ ym na nˇejakém intervalu I, pak i kaˇzdé jeho z´ uˇzen´ı na jak´ ykoli nedegenerovan´ y interval J ⊂ I obsahuj´ıc´ı poˇcáteˇcn´ı okamˇzik τ je rovnˇeˇz ˇreˇsen´ım této u ´lohy. To znamená, ˇze jakmile má Cauchyova u ´loha (7.4) alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı, má jich nekoneˇcnˇe mnoho. Avˇsak v pˇr´ıpadˇe lokálnˇe jednoznaˇcnˇe ˇreˇsitelné Cauchyovy u ´lohy jsou vˇsechna tato ˇreˇsen´ı - alespoˇ n na nˇejakém dostateˇcnˇe malém okol´ı bodu τ - definovaná stejn´ ym pˇredpisem a liˇs´ı se pouze definiˇcn´ımi obory. Nyn´ı uvedeme vˇetu, která udává postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky existence ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy a jej´ı lokálnˇe jednoznaˇcné ˇreˇsitelnosti. Cauchy–Peanova1 vˇ eta Necht’ τ , ξ, a > 0, b > 0 jsou taková reálná ˇc´ısla, ˇze funkce f (t, x) je spojitá na obdéln´ıku (viz obr. 7.1 b) ) O = {(t, x) ∈ R2 | (τ − a ≤ t ≤ τ + a) ∧ (ξ − b ≤ x ≤ ξ + b)}. Oznaˇcme M = max{f (t, x) | (t, x) ∈ O} , α = min{a, b/M }. Pak existuje ˇreˇsen´ı u(t; τ, ξ) Cauchyovy u ´lohy (7.4), které je definované a spojitˇe diferencovatelné na intervalu hτ − α, τ + αi. ∂f (t, x) Má-li nav´ıc funkce f (t, x) na obdéln´ıku O omezenou parciáln´ı derivaci , pak je Cauchyova u ´loha ∂x (7.4) lokálnˇe jednoznaˇcnˇe ˇreˇsitelná. Pozn´ amka Vˇetu m˚ uˇzeme ponˇekud volnˇeji formulovat takto. Je-li funkce f (t, x) spojitá v nˇejakém okol´ı bodu (τ, ξ), pak existuje ˇreˇsen´ı u ´lohy (7.4) definované na nˇejakém okol´ı bodu τ . Má-li funkce f (t, x) nav´ıc v okol´ı bodu (τ, ξ) omezenou parciáln´ı derivaci podle promˇenné x, je Cauchyova u ´loha (7.4) lokálnˇe jednoznaˇcnˇe ˇreˇsitelná. Maxim´ aln´ı ˇ reˇ sen´ı Cauchy–Peanova vˇeta o existenci ˇreˇsen´ı zaruˇcuje existenci ˇreˇsen´ı v nˇejakém okol´ı poˇcáteˇcn´ıho okamˇziku τ . Existuje-li limita ˇreˇsen´ı v krajn´ım bodˇe tohoto intervalu, m˚ uˇzeme ji zvolit za novou poˇcáteˇcn´ı hodnotu 1 Peano Giuseppe (1858-1932), italsk´ y matematik, profesor na universitˇ e a vojensk´ e akademii v Turinˇ e, zformuloval axiomy vektorov´ eho prostoru, axiomaticky definoval pˇrirozen´ aˇ c´ısla, sestrojil spojit´ e zobrazen´ı jednorozmˇ ern´ eho intervalu na ˇ ctverec

´ Í ROVNICE 1. R ˇ ADU ´ 7.1. DIFERENCIALN

137

ˇ sen´ı, jehoˇz definiˇcn´ı interval uˇz nelze dále rozˇs´ıˇrit, naz´ a ˇreˇsen´ı tak prodlouˇzit na vˇetˇs´ı interval. Reˇ yváme maxim´ aln´ım ˇreˇsen´ım dané rovnice nebo dané Cauchyovy u ´lohy. Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi Budeme se zab´ yvat rovnicemi tvaru x˙ = h(t)g(x) ,

(7.6)

kde h(t) je funkce spojitá na nˇejakém intervalu I a g(x) je funkce spojitá na nˇejaké otevˇrené mnoˇzinˇe v R. Tyto rovnice se naz´ yvaj´ı rovnicemi se separovanými promˇennými. Název odráˇz´ı skuteˇcnost, ˇze pravá ˇ sen´ım strana takové rovnice je souˇcinem dvou funkc´ı, z nichˇz kaˇzdá závis´ı jen na jedné promˇenné. Reˇ rovnice (7.6) je reálná funkce u(t), definovaná na nˇejakém podintervalu J intervalu I, která má na J derivaci a plat´ı u(t) ˙ = h(t)g(u(t)) pro vˇsechna t ∈ J . (7.7) Metodu, jak hledat ˇreˇsen´ı rovnice se separovan´ ymi promˇenn´ ymi, pop´ıˇseme rovnou pro pˇr´ısluˇsnou Cauchyovu u ´lohu x(t) ˙ = h(t)g(x) , x(τ ) = ξ . (7.8) Pˇredpokládáme, ˇze funkce h je spojitá na intervalu I a ˇze funkce g je spojitá na intervalu K. Pak podle Cauchy-Peanovy vˇety ke kaˇzdé volbˇe τ ∈ I a ξ ∈ K existuje okol´ı J poˇcáteˇcn´ıho okamˇziku τ tak, ˇze u ´loha (7.8) má na tomto intervalu J ˇreˇsen´ı. Dá se ukázat (viz napˇr. 2 vˇeta 6.2), ˇze kdyˇz je nav´ıc funkce g na intervalu K nenulová je tato u ´loha lokálnˇe jednoznaˇcnˇe ˇreˇsitelná. Jestliˇze funkce g nab´ yvá v bodˇe ξ hodnotu nula, pak pro kaˇzd´ y poˇcáteˇcn´ı okamˇzik τ ∈ I je konstantn´ı funkce u(t; τ, ξ) = ξ , t ∈ I , (7.9) ˇreˇsen´ım Cauchyovy u ´lohy (7.8). Takov´ ym ˇreˇsen´ım ˇr´ıkáme konstantn´ı ˇreˇsen´ı. Pˇredpokládejme nyn´ı, ˇze poˇcáteˇcn´ı hodnota ξ nen´ı nulov´ ym bodem funkce g. Necht’ u(t) ≡ u(t; τ, ξ) je pˇr´ısluˇsné ˇreˇsen´ı u ´lohy (7.8) definované na nˇejakém intervalu J ⊂ I. Vzhledem k podm´ınce g(ξ) 6= 0 a pˇredpokladu spojitosti funkce g(x) m˚ uˇzeme pˇredpokládat, ˇze interval J byl zvolen tak, aby platilo g(u(t)) 6= 0 pro vˇsechna t ∈ J . M˚ uˇzeme tedy v rovnosti (7.7) dˇelit obˇe strany ˇclenem g(u(t)), takˇze u(t) ˙ = h(t) pro vˇsechna t ∈ J . g(u(t))

(7.10)

Integrujeme-li obˇe strany od τ do t, dostaneme Rt τ

Rt u(s) ˙ ds = h(s) ds , g(u(s)) τ

t∈J.

V integrálu na levé stranˇe provedeme substituci x = u(s), dx = u(s) ˙ ds, τ → u(τ ) = ξ, t → u(t) a dostaneme formuli u(t) Rt R dx = h(s) ds pro vˇsechna t ∈ J . (7.11) τ ξ g(x) Vztahem (7.11) je ˇreˇsen´ı u(t) ≡ u(t; τ, ξ) zadáno implicitnˇe. Z tohoto vztahu je nutné funkci u(t) vyjádˇrit pokud moˇzno v explicitn´ım tvaru. Právˇe popsaná metoda ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy (7.8) se obvykle naz´ yvá metoda separace promˇenných. O funkc´ıch h a g v rovnici (7.6) jsme pˇredpokládali, ˇze jsou spojité na nˇejakém intervalu. Zpravidla jsou vˇsak tyto funkce spojité na sjednocen´ı koneˇcnˇe nebo nekoneˇcnˇe mnoha po dvou disjunktn´ıch intervalech. V takovém pˇr´ıpadˇe pˇri ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy (7.8) vol´ıme za interval J maximáln´ı interval obsahuj´ıc´ı bod τ , na nˇemˇz je funkce h spojitá a za interval K maximáln´ı interval obsahuj´ıc´ı bod ξ, na nˇemˇz je funkce g spojitá a nenulová. Pˇr´ıpady, kdy funkce h v poˇcáteˇcn´ım okamˇziku τ , resp. funkce g v poˇcáteˇcn´ı hodnotˇe ξ nen´ı spojitá, se mus´ı zkoumat zvláˇst’. My se v naˇsem textu tˇemito pˇr´ıpady vˇetˇsinou nebudeme zab´ yvat. Pˇri ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy (7.8) metodou separace promˇenn´ ych postupujeme v tˇechto kroc´ıch: 1. Urˇc´ıme maximáln´ı interval I obsahuj´ıc´ı poˇcáteˇcn´ı okamˇzik τ , na nˇemˇz je funkce h(t) spojitá. 2. Je-li g(ξ) = 0, je funkce u(t; τ, ξ) = ξ, t ∈ I, hledan´ ym ˇreˇsen´ım. Jestliˇze existuje koneˇcná g 0 (ξ), je konstantn´ı ˇreˇsen´ı lokálnˇe jednoznaˇcné. 2 Nagy,

J.: Element´ arn´ı metody ˇreˇsen´ı obyˇ cejn´ ych diferenci´ aln´ıch rovnic, SNTL Praha, 1978


138

3. Je-li g(ξ) 6= 0, urˇc´ıme maximáln´ı interval K obsahuj´ıc´ı poˇcáteˇcn´ı hodnotu ξ, na nˇemˇz je funkce g(x) spojitá a nenulová. 4. Pomoc´ı formule (7.11) nalezneme – je-li to moˇzné – hledané ˇreˇsen´ı. Pokud nejsou hraniˇcn´ı body intervalu K nulové body funkce g nebo pokud je g 0 v tˇechto bodech koneˇcná, mus´ı graf ˇreˇsen´ı nutnˇe cel´ y leˇzet uvnitˇr obdéln´ıka I × K. Pˇ r´ıklady 1. Hledejme maximáln´ı ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy t x˙ = − , x

x(τ ) = ξ ,

(τ, ξ) ∈ R × R,

ξ 6= 0.

(7.12)

ˇ sen´ı: Funkce h(t) = −t je spojitá pro vˇsechna t ∈ R, takˇze na ose t máme jedin´ Reˇ y interval I1 = R. Funkce g(x) = 1/x je spojitá na intervalech K1 = (−∞, 0), K2 = (0, +∞) a vˇsude nenulová, takˇze u ´loha (7.12) nemá pro ˇzádné ξ konstantn´ı ˇreˇsen´ı. Podm´ınky pro hledán´ı maximáln´ıho ˇreˇsen´ı jsou tedy splnˇeny v oblastech G1 = (−∞, +∞) × (0, +∞) a G2 = (−∞, +∞) × (−∞, 0) . R u(t) Rt Rovnost (7.11) má pro naˇsi u ´lohu tvar ξ x dx = − τ s ds , coˇz je ekvivalentn´ı s rovnost´ı u2 (t) + t2 = ξ 2 + τ 2 . Odtud pro hledaná maximáln´ı ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy (7.12) plyne p

ξ 2 + τ 2 − t2 , p u(t; τ, ξ) = − ξ 2 + τ 2 − t2 ,

u(t; τ, ξ) =

− −

p

p

p

p

ξ2 + τ 2 < t < ξ2 + τ 2 < t <

ξ2 + τ 2

pro ξ > 0 ,

ξ2 + τ 2

pro ξ < 0 .

Grafy ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy (7.12) jsou p˚ ulkruˇznice se stˇredem v poˇcátku roviny (t, x) a polomˇerem p ξ 2 + τ 2 , leˇz´ıc´ı v horn´ı, resp. doln´ı polorovinˇe pro ξ > 0, resp. ξ < 0. Dvˇe taková ˇreˇsen´ı jsou naˇcrtnuta na obr. 7.2 a). x G1

ξ1

x G1

(τ1 , ξ1 )

1

u(t) =

u(t; τ1 , ξ1 )

1 2

G2 (τ2 , ξ2 )

τ1

ξ2

G4

G3

t τ2

G2

u(t) =

1 −1 2t + 1

t 1

G5

u(t; τ2 , ξ2 )

1 t+1

−1

G6

b) ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 2

a) ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 1

Obrázek 7.2: ilustrace metody separace promˇenn´ ych. 2. Hledejme maximáln´ı ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy x˙ =

x2 − x , t

x(τ ) = ξ ,

(7.13)

pro a) (τ, ξ) = (1, 1/2); b) (τ, ξ) = (−1, −1). ˇ sen´ı: Je h(t) = 1/t, g(x) = x2 − x. Funkce h je spojitá na intervalech I1 = (−∞, 0), I2 = (0, +∞), Reˇ funkce g je spojitá na celé ˇc´ıselné ose R a má dva nulové body ξ1 = 0 a ξ2 = 1. Vid´ıme, ˇze ˇz´ adné

´ Í ROVNICE 1. R ˇ ADU ´ 7.1. DIFERENCIALN

139

z hledan´ ych ˇreˇsen´ı u(t; 1, 1/2) a u(t; −1, −1) nen´ı konstantn´ı. Derivace g 0 (x) = 2x − 1 je koneˇcná v R, takˇze podm´ınky pro existenci jediného ˇreˇsen´ı jsou splnˇeny v oblastech G1 = (−∞, 0) × (1, +∞) , G4 = (0, +∞) × (0, 1) ,

G2 = (0, +∞) × (1, +∞) , G5 = (−∞, 0) × (−∞, 0) ,

G3 = (−∞, 0) × (0, 1) , G6 = (0, +∞) × (−∞, 0) .

Protoˇze pro zadané poˇcáteˇcn´ı podm´ınky plat´ı (1, 1/2) ∈ G4 a (−1, −1) ∈ G5 , bude graf hledaného maximáln´ıho ˇreˇsen´ı u ´lohy (7.13) v pˇr´ıpadˇe a), resp. b) leˇzet cel´ y v oblasti G4 , resp. G5 . V obou pˇr´ıpadech budeme ˇreˇsen´ı hledat ze vztahu u(t) R Rt ds dx = , 2 τ s ξ x −x kter´ y je ekvivalentn´ı se vztahem

u(t) − 1 ξ t u(t) ξ − 1 = τ .

(7.14)

V pˇr´ıpadˇe a), tj. v oblasti G4 je t > 0, τ = 1, ξ = 1/2, 0 < u(t) < 1, takˇze vztah (7.14) m˚ uˇzeme upravit na tvar (1 − u(t))/u(t) = t . Odtud dostáváme hledané maximáln´ı ˇreˇsen´ı u ´lohy (7.13) v pˇr´ıpadˇe a) jako funkci 1 1 u t; 1, = , t ∈ (0, +∞) . 2 t+1 ˇ ast grafu takového ˇreˇsen´ı je naˇcrtnuta na obrázku 7.2 b). C´ V pˇr´ıpadˇe b), tj. v oblasti G5 je t < 0, τ = −1, ξ = −1, u(t) < 0, takˇze vztah (7.14) m˚ uˇzeme upravit na tvar (1−u(t))/(2u(t)) = t . Odtud dostáv´ ame hledané maximáln´ı ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy (7.13) v pˇr´ıpadˇe b). Je to funkce 1 u(t; −1, −1) = , t ∈ (−∞, −1/2) . 2t + 1 ˇ ast grafu takového ˇreˇsen´ı je rovnˇeˇz naˇcrtnuta na obrázku 7.2 b). C´ 3. Máme naj´ıt vˇsechna maximáln´ı ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy x˙ = 3x2/3 , x(τ ) = ξ > 0 .

(7.15)

ˇ sen´ı: Rovnice v (7.15) je rovnice se separovan´ Reˇ ymi promˇenn´ ymi, kde funkce h(t) = 1 a g(x) = 3x2/3 jsou spojité v R. Funkce g(x) má jedin´ y nulov´ y bod x = 0, a tedy pro ξ = 0 dostáváme konstantn´ı ˇreˇsen´ı u(t; τ, 0) = 0 pro t z jakéhokoli otevˇreného intervalu J obsahuj´ıc´ıho poˇcáteˇcn´ı okamˇzik τ . Pro ξ 6= 0 dostáváme pomoc´ı vztahu u(t) R −2/3 Rt x dx = 3 ds (7.16) ξ

√ 3

τ

3

ˇreˇsen´ı u(t; τ, ξ) = (t − τ + ξ) pro t z jakéhokoli otevˇreného intervalu J obsahuj´ıc´ıho poˇcáteˇcn´ı okamˇzik τ . Speciálnˇe pro libovolná τ, α ∈ R je u(t; τ, (τ − α)3 ) = (t − α)3 . Zvolme nyn´ı libovolnˇe a, b ∈ R , a < b, a vezmˇeme tˇri ˇreˇsen´ı u1 (t) = u(t; τ, (τ − a)3 ) = (t − a)3 pro t ∈ (−∞, a), u2 = u(t; τ, 0) = 0 pro t ∈ ha, bi ˇ a u3 (t) = u(t; τ, (τ − b)3 ) = (t − b)3 pro t ∈ (b, ∞). Cten´ aˇr si snadno ovˇeˇr´ı, ˇze funkce u(t), definovaná tˇemito tˇremi pˇredpisy na celé reálné ose, je maximáln´ım ˇreˇsen´ım Cauchyovy u ´lohy (7.15) pro ξ = (τ − b)3 . Ukázali jsme, ˇze u ´loha (7.15) má nekoneˇcnˇe mnoho maximáln´ıch ˇreˇsen´ı a ˇze jsou to vˇsechny funkce tvaru  √ √ 3 3 3 ∞) ,   (t + ξ − τ ) pro t ∈ (τ − ξ, √ 3 0 pro t ∈ ha, τ − ξi , u(t; τ, ξ) =   (t − a)3 pro t ∈ (−∞, a) , √ kde a je libovolné reálné ˇc´ıslo takové, ˇze a < b = τ − 3 ξ. Jedno takové maximáln´ı ˇreˇsen´ı je naˇcrtnuto na obr. 7.3 a). Vid´ıme, ˇze aˇckoli kaˇzdá Cauchyova u ´loha (7.15) pro ξ 6= 0 je lokálnˇe jednoznaˇcnˇe ˇreˇsitelná, má nekoneˇcnˇe mnoho navzájem podstatnˇe r˚ uzn´ ych maximáln´ıch ˇreˇsen´ı. Je to zp˚ usobeno t´ım, ˇze pro ˇzádnou poˇcáteˇcn´ı podm´ınku (τ, 0) nejsou splnˇeny podm´ınky Cauchy-Peanovy vˇety, konkrétnˇe derivace g 0 (x) = x−2/3 nen´ı omezená v okol´ı bodu x = 0. V následuj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe ukáˇzeme jeˇstˇe jin´ y pˇr´ıklad nejednoznaˇcné ˇreˇsitelnosti Cauchyovy u ´lohy.


140 x u3 (t) = (t − b)3

x

u2 (t) = 0 a

@ @ @ @ @◦ @ @ @ @ @

t b

u1 (t) = (t − a)3

a) k pˇr´ıkladu 3

t

b) k pˇr´ıkladu 4

Obrázek 7.3: grafy ˇreˇsen´ı z pˇr´ıklad˚ u3a4

4. Máme naj´ıt ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy x˙ =

x , x(τ ) = ξ, t

τ 6= 0.

(7.17)

ˇ sen´ı: Rovnice v (7.17) je rovnice se separovan´ Reˇ ymi promˇenn´ ymi. Funkce h(t) = 1/t je spojitá v intervalech (−∞, 0) a (0, ∞). Funkce g(x) = x je spojitá v R a má jedin´ y nulov´ y bod x = 0, takˇze pro ξ = 0 dostáváme konstantn´ı ˇreˇsen´ı u(t; τ, 0) = 0 pro t z jakéhokoli otevˇreného intervalu J obsahuj´ıc´ıho poˇcáteˇcn´ı okamˇzik τ a leˇz´ıc´ıho bud’ na poloose t < 0 v pˇr´ıpadˇe τ < 0, nebo t > 0 v pˇr´ıpadˇe τ > 0. Pro ξ 6= 0 dostáváme pomoc´ı vztahu u(t) R ξ

1 x

dx =

Rt τ

1 s

ds

(7.18)

ξ ˇreˇsen´ı u(t; τ, ξ) = t pro t z jakéhokoli otevˇreného intervalu J obsahuj´ıc´ıho poˇcáteˇcn´ı okamˇzik τ a leˇz´ıc´ıho τ bud’ na poloose t < 0 v pˇr´ıpadˇe τ < 0, nebo t > 0 v pˇr´ıpadˇe τ > 0. Grafy nˇekolika takov´ ych ˇreˇsen´ı jsou naˇcrtnuty na obr. 7.3 b). Vyˇsetˇrujme nyn´ı u ´lohu tx˙ = x ,

x(τ ) = ξ ,

(7.19)

zdánlivˇe ekvivalentn´ı s u ´lohou (7.18). Za ˇreˇsen´ı u ´lohy (7.19) budeme nyn´ı povaˇzovat kaˇzdou funkci u(t), která vyhovuje rovnosti tu(t) ˙ = u(t) a podm´ınce u(τ ) = ξ pro t z jakéhokoli otevˇreného intervalu J obsahuj´ıc´ıho poˇcáteˇcn´ı okamˇzik τ . Snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze takov´ ym ˇreˇsen´ım u ´lohy (7.19) je funkce u(t; τ, ξ) = ξ t pro t z jakéhokoli otevˇreného intervalu J obsahuj´ıc´ıho poˇcáteˇcn´ı okamˇzik τ , a tedy i pro t ∈ R. Grafy τ takov´ ych ˇreˇsen´ı uˇz tedy nejsou polopˇr´ımky, ale pˇr´ımky procházej´ıc´ı poˇcátkem. Nav´ıc tato u ´loha má ˇreˇsen´ı i pro τ = ξ = 0, a jak vid´ıme, má dokonce nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, které se od sebe navzájem podstatnˇe liˇs´ı, pˇrestoˇze funkce g(x) = x má derivaci g 0 (x) = 1 omezenou v R. ´ Ulohy Naleznˇete ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ıch Cauchyov´ ych u ´loh: √ 1. x˙ = 6t2 x, x(1) = 1, t > 0; 2. x˙ = −x2 , x(1) = 1; 4. tx˙ + x = x ln x, x(1) = 1; 7. x˙ − x2 = 0, x(0) = 0; 1 , x(1) = π/2; 10. x˙ = √ 1 − t2 2tx 13. x˙ = 2 , x(−5) = 0; t −4 1 + 3x 16. x˙ = − , x(1) = 2; t

3. x˙ − x2 = 1, x(5π/4) = 1;

5. (1 + et )xx˙ = et , x(0) = 1; 6. (1 + et )xx˙ = et , x(0) = −1; 8. x˙ − x2 = 0, x(1) = 1; 9. x˙ = x cos t, x(0) = 1 1 −t , x(0) = 0; 11. x˙ = √ , x(0) = 0; 12. x˙ = x+1 1 − t2 2tx 2tx 14. x˙ = 2 , x(0) = 1; 15. x˙ = 2 , x(3) = 1; t −4 t −4 2 2 1−t 2tx 17. x˙ = , x(1) = 2; 18. x˙ = − 2 , x(0) = 1. tx t −1

´ Í DIFERENCIALN ´ Í ROVNICE 1. R ˇ ADU ´ 7.2. LINEARN               

141

 2. u(t; 1, 1) = 1/t, t > 0; 3. u(t; 5π/4, 1) = tg t, t ∈ (π/2, 3π/2); p √   4. u(t; 1, 1) = e1−t , t ∈ R; 5. u(t; 0, 1) = 1 + 2 ln((1 + et )/2), t ≥ ln 2/ e − 1 ;  p √  t 6. u(t; 0, −1) = − 1 + 2 ln((1 + e )/2), t ≥ ln 2/ e − 1 ; 7. u(t; 0, 0) = 0, t ∈ R;   1  sin t 8. u(t; 1, 1) = , t < 2; 9. u(t; 0, 1) = e , t ∈ R; 10. neexistuje; 11. u(t; 0, 0) = arcsin t, |t| < 1;   2−t √   12. u(t; 0, 0) = −1 + 1 − t2 , |t| < 1; 13. u(t; −5, 0) = 0, t < −2; 14. u(t; 0, 1) = 1 − t2 /4 , |t| < 2;   2 3 3 15. u(t; 3, 1) = t /5 − 4/5 , t > 2; 16. u(t; 1, 2) = (7 − t )/(3t ) , t > 0;  p √ 17. u(t; 1, 2) = 5 + ln t2 − t2 , t > 0, 5 + ln t2 > t2 ; 18. u(t; 0, 1) = 1/(1 + ln(1 − t2 )), |t| < 1 − 1/e. 1. u(t; 1, 1) = t6 , t > 0;

7.2

Line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice 1. ˇ r´ adu

Kl´ıˇcová slova: Homogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice 1. ˇrádu, triviáln´ı ˇreˇsen´ı, obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı homogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice 1. ˇrádu, Cauchyova u ´loha pro homogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnici 1. ˇrádu, ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy, nehomogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice 1. ˇrádu, partikulárn´ı ˇreˇsen´ı, obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı, variace konstanty, odhad ˇreˇsen´ı, kvázipolynom, rovnice s kvázipolynomiáln´ı pravou stranou, princip superpozice

7.2.1

Homogenn´ı line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice 1. ˇ r´ adu

Speciáln´ım pˇr´ıpadem diferenciáln´ıch rovnic se separovan´ ymi promˇenn´ ymi je homogenn´ı line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnic´ı 1. ˇra ´du, tj. rovnice x˙ = h(t)x , (7.20) ˇ sen´ım rovnice kde h(t) je nˇejaká reálná funkce reálné promˇenné spojitá na nˇejakém intervalu J ⊂ R. Reˇ (7.20) na intervalu I ⊂ J je reálná funkce u(t), která má v kaˇzdém bodˇe intervalu I derivaci a splˇ nuje identitu u(t) ˙ = h(t)u(t) pro vˇsechna t ∈ I . (7.21) Jelikoˇz je zde g(x) = x, dostáváme z rovnosti g(x) = x = 0 konstantn´ı ˇreˇsen´ı u(t) = 0. Toto ˇreˇsen´ı naz´ yváme trivi´ aln´ı. Tedy kaˇzdá homogenn´ı lineárn´ı rovnice (7.20) má triviáln´ı ˇreˇsen´ı. Pro x 6= 0 m˚ uˇzeme hledat netriviáln´ı ˇreˇsen´ı u(t) stejnˇe, jako jsme to dˇelali u rovnic se separovan´ ymi promˇenn´ ymi. Rovnost (7.21) pˇrep´ıˇseme na tvar u(t) ˙ = h(t) , t ∈ I . u(t) Na obou stranách pˇrejdeme k primitivn´ım funkc´ım. Pˇritom integraˇcn´ı konstantu z praktick´ ych d˚ uvod˚ u, které ˇctenáˇr brzo objev´ı, budeme Rzapisovat ve tvaru ln |c|, kde c je libovolné nenulové reálné ˇc´ıslo. Dostaneme tak rovnost ln |u(t)| = h(t) dt + ln |c| . Pˇrechodem k funkci inverzn´ı k logaritmické funkci dostáváme R |u(t)| = |c|e h(t) dt , t ∈ I . (7.22) Vid´ıme, ˇze toto netriviáln´ı ˇreˇsen´ı je nenulové na celém svém definiˇcn´ım oboru. Je tedy bud’ vˇsude kladné, nebo vˇsude záporné. To nám umoˇzn ˇuje vypoˇrádat se s absolutn´ımi hodnotami ve vztahu (7.22) jednoduˇse tak, ˇze je vynecháme a dostaneme hledané netriviáln´ı ˇreˇsen´ı rovnice (7.20) R u(t) = ce h(t) dt , t ∈ I . (7.23) Jelikoˇz funkce h(t) je podle pˇredpokladu spojitá na celém intervalu J , je i integrál na pravé stranˇe (7.23) definován pro vˇsechna t ∈ J . To znamená, ˇze funkce (7.23) je ˇreˇsen´ım rovnice (7.20) na celém intervalu J , na nˇemˇz je koeficient h(t) spojit´ y. Vztah (7.23) m˚ uˇzeme rozˇs´ıˇrit i na pˇr´ıpad triviáln´ıho ˇreˇsen´ı t´ım, ˇze dovol´ıme, aby konstanta c smˇela nab´ yvat i hodnotu 0. V následuj´ıc´ım odstavci uvid´ıme, ˇze kaˇzdé ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice (7.20) lze dostat z pˇredpisu (7.23) vhodnou volbou konstanty c. Proto pro pˇredpis (7.23) pouˇz´ıváme název obecný tvar ˇreˇsen´ı rovnice (7.20) a zapisujeme jej pomoc´ı symbolu u(t; c) R u(t; c) = ce h(t) dt , t ∈ J . (7.24)


142

Cauchyova u ´ loha pro homogenn´ı line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnici 1. ˇ r´ adu V obecném tvaru ˇreˇsen´ı rovnice (7.20) se vyskytuje jeden voln´ y parametr c, takˇze u(t; c) je vlastnˇe ˇ jednoparametrick´ y systém ˇreˇsen´ı rovnice (7.20). Casto vˇsak stoj´ıme pˇred u ´lohou naj´ıt ˇreˇsen´ı, které v daném okamˇziku τ nab´ yvá danou hodnotu ξ, tj. máme ˇreˇsit Cauchyovu u ´lohu x˙ = h(t)x ,

x(τ ) = ξ.

(7.25)

ˇ sen´ı u(t; τ, ξ) Cauchyovy u Reˇ ´lohy (7.25) najdeme tak, ˇze do obecného tvaru ˇreˇsen´ı u(t; c) dosad´ıme za t, resp. x poˇcáteˇcn´ı hodnoty τ , resp. ξ z podm´ınky (7.25). Dostaneme tak vztah u(τ, c) = ξ , z nˇehoˇz m˚ uˇzeme vˇzdy jednoznaˇcnˇe urˇcit hodnotu konstanty c. ˇ sen´ı u(t; τ, ξ) Cauchyovy u Reˇ ´lohy (7.25) m˚ uˇzeme hledat také tak, ˇze v postupu, j´ımˇz jsme hledali obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı u(t; c), pouˇzijeme m´ısto neurˇcitého integrálu urˇcit´ y integrál v mez´ıch od τ do t. M´ısto vztahu (7.23) pak dostaneme pˇr´ımo R t

u(t; τ, ξ) = ξe Pˇ r´ıklady 1. Máme naj´ıt obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı rovnice

h(s) ds

τ

,

t∈J.

(7.26)

x˙ + t2 x = 0

(7.27)

a ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsné Cauchyovy u ´lohy pro poˇcáteˇcn´ı podm´ınku x(3) = 5. 2 ˇ Reˇsen´ı: Funkce h(t) = −t je spojitá na celé reálné ose R. Rovnice má triviáln´ı ˇreˇsen´ı u(t) = 0 definované pro vˇsechna t ∈ R. Budeme hledat netriviáln´ı ˇreˇsen´ı u(t) 6= 0. Vyjdeme ze vztahu (7.21), kter´ y pro naˇsi 2 2 rovnici má tvar u(t) ˙ = −t u(t) , t ∈ R . Uprav´ ıme jej na tvar u(t)/u(t) ˙ = −t a obˇ e strany zintegrujeme. R R Dostaneme (u(t)/u(t)) ˙ dt = − t2 dt , neboli ln |u(t)| = −t3 /3 + ln |c| . Zde opˇet vyjadˇrujeme integraˇcn´ı konstantu pomoc´ı logaritmu. Zˇrejmá u ´prava dává ln |u(t)/c| = −t3 /3 . Odtud pˇrechodem k inverzn´ı funkci na obou stranách rovnosti dostáváme obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı 3

u(t; c) = ce−t

/3

,

t ∈ R.

(7.28)

Nyn´ı budeme hledat ˇreˇsen´ı dané Cauchyovy u ´lohy. Do pˇredpisu (7.28) dosad´ıme t = 3 a u(3; c) = 5. 3 Dostaneme rovnost u(3; c) = 5 = ce−3 /3 = ce−9 . Odtud c = 5e9 . Dosad´ıme do (7.28) a dostaneme hledané ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy 3 u(t; 3, 5) = 5e9−t /3 , t ∈ R . (7.29) 2. Máme naj´ıt obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı rovnice x˙ = √

x 1 − t2

(7.30)

a ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsné Cauchyovy u ´lohy pro poˇcáteˇcn´ı podm´ınku x(0) = −7. 1 ˇ sen´ı: Funkce h(t) = √ Reˇ je spojitá na intervalu J = (−1, 1). Na tomto intervalu má triviáln´ı 1 − t2 ˇreˇsen´ı u(t) = 0. Pro netriviáln´ı ˇreˇsen´ı u(t) 6= 0 dostáváme rovnost Z Z u(t) ˙ dt √ dt = , t ∈ (−1, 1), u(t) 1 − t2 a po integraci ln |u(t)| = arcsin t + ln |c|, t ∈ (−1, 1). Odtud jiˇz dostáváme standardnˇe obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı rovnice (7.30) u(t; c) = cearcsin t , t ∈ (−1, 1) . (7.31) Nyn´ı budeme hledat ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy. Do pˇredpisu (7.31) pro obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı dosad´ıme t = 0 a u(0; c) = −7. Dostaneme rovnost u(0; c) = −7 = cearcsin 0 = c. Dosad´ıme do (7.31) a dostaneme hledané ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy u(t; 0, −7) = −7earcsin t , t ∈ (−1, 1) . (7.32) ´ Ulohy (i) Najdˇete obecn´ y tvar u(t; c) ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ıch homogenn´ıch lineárn´ıch rovnic. 1. x˙ = −2tx;

2. x˙ = x sin t;

3. x˙ =

x ; 1−t

4. x˙ =

3tx ; +1

t2

´ Í DIFERENCIALN ´ Í ROVNICE 1. R ˇ ADU ´ 7.2. LINEARN "

2

143

1. u(t; c) = ce−t , t ∈ R;

2. u(t; c) = ce− cos t , t ∈ R;

3. u(t; c) = c/(1 − t) , t < 1 nebo t > 1;

4. u(t; c) = c(t2 + 1)

3/2

#

, t ∈ R.

(ii) Najdˇete ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ıch Cauchyov´ ych u ´loh. x 3tx , x(−1) = 6 ; 4. x˙ = 2 , x(0) = −1 . 1−t t +1   2 1. u(t; 0, 1) = e−t , t ∈ R; 2. u(t; π/2, 3) = 3e− cos t , t ∈ R;   12 3. u(t; −1, 6) = , t ∈ (−∞, 1); 4. u(t; 0, −1) = −(t2 + 1)3/2 , t ∈ R. 1−t

1. x˙ = −2tx , x(0) = 1 ; 2. x˙ = x sin t , x(π/2) = 3 ; 3. x˙ =

7.2.2

Nehomogenn´ı line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice 1. ˇ r´ adu

Obecn´ y tvar ˇ reˇ sen´ı nehomogenn´ı rovnice Nyn´ı se budeme zab´ yvat nehomogenn´ı line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnic´ı 1. ˇr´ adu x˙ = h(t)x + q(t) ,

t∈J.

(7.33)

Opˇet budeme naˇse u ´vahy provádˇet na nˇejakém intervalu J , na nˇemˇz jsou funkce h(t) a q(t) spojité. ˇ sen´ım rovnice (7.33) na intervalu J je reálná funkce v(t), která je definovaná na intervalu J , má Reˇ derivaci v kaˇzdém bodˇe intervalu J a splˇ nuje identitu v(t) ˙ = h(t)v(t) + q(t)

pro vˇsechna t ∈ J .

(7.34)

Kdyˇz hledáme ˇreˇsen´ı rovnice (7.33), vycház´ıme ze znalosti obecného tvaru ˇreˇsen´ı u(t; c) pˇr´ısluˇsné homogenn´ı rovnice x˙ = h(t)x , t ∈ J , (7.35) které, jak v´ıme z (7.23), má tvar

R u(t; c) = ce

h(t) dt

,

t∈J.

(7.36)

Necht’ w(t) je nˇejaké jedno ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice (7.33), které budeme naz´ yvat partikul´ arn´ım ˇreˇsen´ım, a necht’ v(t) je libovolné ˇreˇsen´ı rovnice (7.33). Snadno se ovˇeˇr´ı, ˇze rozd´ıl v(t) − w(t) je ˇreˇsen´ım pˇr´ısluˇsné homogenn´ı rovnice (7.35), a tedy v(t) − w(t) = u(t; c) pro nˇejakou volbu konstanty c. To znamená, ˇze kaˇzdé ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice lze psát ve tvaru v(t; c) = u(t; c) + w(t) ,

t∈J,

(7.37)

kde u(t; c) je obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsné homogenn´ı rovnice a w(t) je nˇejaké jedno známé ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice. Jednoparametrick´ y systém funkc´ı v(t; c) budeme naz´ yvat obecným tvarem ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice (7.33). Metoda variace konstanty Partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı w(t) rovnice (7.33) budeme hledat ve tvaru (7.36), avˇsak m´ısto konstanty c budeme psát prozat´ım neznámou funkci c(t). Tento postup se naz´ yvá variace konstanty. Vycház´ıme tedy z rovnosti R w(t) = c(t)e h(t) dt . (7.38) Derivován´ım obou stran dostaneme R w(t) ˙ = c(t)e ˙

h(t) dt

R + c(t)h(t)e

h(t) dt

.

Funkce w(t) a w(t) ˙ dosad´ıme do vztahu (7.33) za x a x. ˙ Z´ıskáme tak podm´ınku pro funkci c(t) R R R h(t) dt c(t)e ˙ + c(t)h(t)e h(t) dt = h(t)c(t)e h(t) dt + q(t) , kterou m˚ uˇzeme zapsat ve tvaru c(t) ˙ = q(t)e−

R

h(t) dt

.

(7.39)


144

Pravá strana této rovnosti je spojitá funkce na intervalu J , a tedy k n´ı existuje primitivn´ı funkce. Kteroukoli z tˇechto primitivn´ıch funkc´ı m˚ uˇzeme nyn´ı zvolit za hledanou funkci c(t), dosadit ji do (7.38) a dostaneme partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t). Postup ukáˇzeme nyn´ı na pˇr´ıkladech. Pˇ r´ıklady 1. Hledejme obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı rovnice x˙ = −

x + 3t . t

(7.40)

ˇ sen´ı: Zde je h(t) = −1/t, t ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞) a q(t) = 3t, t ∈ R. Reˇ ˇ sen´ı budeme hledat na intervalu Reˇ J = (−∞, 0). Postup pro volbu J = (0, ∞) je stejn´ y. Nejdˇr´ıve nalezneme standardn´ım postupem podle (7.23) obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsné homogenn´ı rovnice R c u(t; c) = ce− (1/t) dt = . t Obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice hledáme podle (7.37) jako souˇcet v(t; c) = u(t; c) + w(t) =

c + w(t) , t

(7.41)

kde partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) budeme hledat podle (7.38) ve tvaru w(t) =

c(t) . t

(7.42)

Funkci w(t) a jej´ı derivaci w(t) ˙ =

c(t) ˙ c(t) − 2 t t

dosad´ıme do rovnice Dostaneme tak podm´ınku c(t) ˙ = 3t2 . Odtud integrac´ı dostáváme hledanou R 2 (7.40). 3 funkci c(t) = 3t dt = t . Dosad´ıme ji do (7.42) a takto nalezené partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) dosad´ıme do (7.41). Dostaneme hledan´ y obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı rovnice (7.40) v(t; c) =

c + t2 , t

t ∈ (−∞, 0) .

(7.43)

2. Máme naj´ıt obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı rovnice x˙ = x cotg t + et sin t .

(7.44)

ˇ sen´ı: Jedná se o nehomogenn´ı lineárn´ı rovnici, kde funkce h(t) = cotg t a q(t) = et sin t jsou spojité na Reˇ ˇ sen´ı budeme tedy hledat na libovolném z tˇechto interval˚ kaˇzdém intervalu Jk = (kπ, (k +1)π), k ∈ Z. Reˇ u. Nejdˇr´ıve nalezneme podle (7.23) obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice R R cos t u(t; c) = ce cotg t dt = ce sin t dt = celn | sin t| = c sin t , t ∈ Jk . V posledn´ım kroku jsme vyuˇzili skuteˇcnosti, ˇze funkce sin t nemˇen´ı na intervalu Jk znaménko, a ˇze tedy toto znaménko m˚ uˇzeme vloˇzit do konstanty c a znak absolutn´ı hodnoty pak m˚ uˇzeme vynechat. Obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice bude podle (7.37) v(t; c) = c sin t + w(t) ,

(7.45)

kde partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) hledáme ve tvaru w(t) = c(t) sin t .

(7.46)

Jestliˇze dosad´ıme do rovnice (7.44) za x funkci w(t) a za x˙ jej´ı derivaci w(t) ˙ = c(t) ˙ sin t + c(t) cos t , R po jednoduché u ´pravˇe dostaneme c(t) ˙ sin t = et sin t , a tedy c(t) = et dt = et . Nyn´ı dosad´ıme c(t) do (7.46) a pˇr´ısluˇsné partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) dosad´ıme do (7.45). Dostaneme obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice (7.44) v(t; c) = c sin t + et sin t , t ∈ Jk = (kπ, (k + 1)π) , k ∈ Z. (7.47)

´ Í DIFERENCIALN ´ Í ROVNICE 1. R ˇ ADU ´ 7.2. LINEARN

145

´ Ulohy Naleznˇete obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ıch rovnic: 3 2 1. x˙ = − x + 3 ; t t

1 2 ; 3. x˙ = −2tx + 2te−t ; 4. x˙ = x cotg t + 2t sin t; cos t 2x t − 1 4tx 1 t 5. x˙ − x = e ; 6. x˙ = t(x + 1); 7. x˙ = + ; 8. x˙ = − 2 + ; t t t + 1 t2 + 1 x x 3 1 9. x˙ + = −t2 ; 10. x˙ + = ; 11. x˙ + x = t ; 12. x˙ + t2 x = t2 . t+1 t t e (1 − t) 

2. x˙ = x tg t +



<

Zde symbol ” t > a ” zastupuje podm´ınku ” t < a nebo t > a ”. < c t 2 c 1. v(t; c) = 3 + 2 , t > 0; 2. v(t; c) = + , t ∈ ((2k − 1)π/2, (2k + 1)π/2); t t cos t cos t 2 2 3. v(t; c) = ce−t + t2 e−t , t ∈ R; 4. v(t; c) = c sin t + t2 sin t , t ∈ (kπ, (k + 1)π) , k ∈ Z;

        <  5. v(t; c) = cet + tet , t ∈ R; 6. v(t; c) = cet2 /2 − 1 , t ∈ R; 7. v(t; c) = ct2 − t + 1/2 , t > 0;   3 < c t + 3t c 3t + 4   8. v(t; c) = 2 + , t ∈ R; 9. v(t; c) = − t3 , t > −1;  (t + 1)2 3(t2 + 1)2 t+1 12(t + 1)  < < 3 c 10. v(t; c) = + 3 , t > 0; 11. v(t; c) = ce−t − e−t ln |1 − t| , t > 1; 12. v(t; c) = ce−t /3 + 1 , t ∈ R. t

              

Cauchyova u ´ loha pro nehomogenn´ı rovnici Budeme se nyn´ı zab´ yvat Cauchyovou u ´lohou pro nehomogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnici x˙ = h(t)x + q(t) ,

x(τ ) = ξ.

(7.48)

ˇ sen´ım Cauchyovy u Reˇ ´lohy (7.48) budeme i nyn´ı – podobnˇe jako u homogenn´ıch rovnic – rozumˇet jakékoli ˇreˇsen´ı v(t) pˇr´ısluˇsné rovnice, které splˇ nuje poˇcáteˇcn´ı podm´ınku v(τ ) = ξ. Také zde budeme vedle struˇcného zápisu v(t) pouˇz´ıvat i podrobnˇejˇs´ı zápis v(t; τ, ξ). Známe-li obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı v(t; c) nehomogenn´ı rovnice v u ´loze (7.48), pak ˇreˇsen´ı v(t; τ, ξ) Cauchyovy u ´lohy (7.48) najdeme stejnˇe jako u homogenn´ıch rovnic pomoc´ı poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek. Pˇ r´ıklady 1. Hledejme ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy 1 x˙ = − x + 3t , t

x(1) = 3 .

(7.49)

ˇ sen´ı: Ze (7.43) v´ıme, ˇze v(t; c) = c/t + t2 , t ∈ J . Jelikoˇz je τ = 1 > 0, mus´ıme volit J = (0, ∞). Z Reˇ rovnosti ξ = v(τ, c) pro τ = 1 a ξ = 3 dostaneme podm´ınku 3 = v(1, c) = c/1 + 1, a tedy c = 2. Hledan´ ym ˇreˇsen´ım v(t; 1, 3) je funkce 2 v(t; 1, 3) = + t2 , t ∈ (0, ∞) . (7.50) t 2. Hledejme ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy x˙ = x cotg t + et sin t ,

x(τ ) = ξ ,

pro (τ, ξ) ∈ (π, 2π) × R. ˇ sen´ı: Ze (7.47) známe obecn´ Reˇ y tvar ˇreˇsen´ı rovnice (7.51) v(t; c) = c sin t + et sin t ,

t ∈ (kπ, (k + 1)π) , k ∈ Z,

takˇze mus´ı platit v(τ, c) = c sin τ + eτ sin τ = ξ . Odtud c=

ξ ξ − eτ sin τ = − eτ . sin τ sin τ

(7.51)


146

ˇ sen´ım Cauchyovy u Reˇ ´lohy (7.51) je tedy funkce ξ τ t v(t; τ, ξ) = − e + e sin t , sin τ

t ∈ (π, 2π) .

Definiˇcn´ım oborem naˇseho ˇreˇsen´ı je interval (π, 2π), protoˇze je τ ∈ (π, 2π) a funkce h(t) i q(t) jsou v tomto intervalu spojité. ´ Ulohy Naleznˇete ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ıch Cauchyov´ ych u ´loh: 3 2 4t 1 1 x+ 2 , x(0) = 0; 3. x˙ = x tg t + , x(0) = 1; 1. x˙ = − x + 3 , x(2) = 3; 2. x˙ = − 2 t t t +1 t +1 cos t 2 4. x˙ = −2tx + 2te−t , x(τ ) = ξ; 5. x˙ = x cotg t + 2t sin t, x(τ ) = ξ; 6. x˙ = (1 − x) cos t, x(τ ) = ξ; x 2x 2x 7. x˙ = , x(0) = 1; 8. x˙ = + (1 + t)3 , x(0) = −3; 9. x˙ = + (1 + t)3 , x(−2) = 1; 2−t 1+t 1+t 10. x˙ = (1 − x) tg t, x(0) = 4; 11. x˙ = (1 − x) tg t, x(−π) = 1; 12. x˙ = x sin t + sin t cos t, x(τ ) = ξ; x 2tx 2t2 2t + , x(τ ) = ξ; 15. x˙ = x + t2 + 1, x(τ ) = ξ. 13. x˙ = − + t, x(τ ) = ξ; 14. x˙ = − 2 t 1+t 1 + t2 1 + t2 

2 t3 + 3t 1+t 20  1.v(t; 2, 3) = t3 + t2 , t > 0; 2.v(t; 0, 0) = 3(t2 + 1)2 , t ∈ R; 3.v(t; 0, 1) = cos t , t ∈ (−π/2, π/2);   2 2  4.v(t; τ, ξ) = (ξeτ + t2 − τ 2 )e−t , t ∈ R; 5.v(t; τ, ξ) = (ξ/ sin τ + t2 − τ 2 ) sin t , t ∈ (kπ, (k + 1)π);   6. u(t; τ, ξ) = (ξ − 1)esin τ −sin t + 1 , t ∈ R; 7. u(t; 0, 1) = 2/(2 − t) , t < 2;    8. v(t; 0, −3) = (1 + t)2 (t2 + 2t − 6)/2, t > −1; 9. v(t; −2, 1) = (1 + t)2 (t2 + 2t + 2)/2, t < −1;   10. v(t; 0, 4) = 3 cos t + 1, t ∈ (−π/2, π/2); 11. v(t; −π, 1) = 1, t ∈ (−3π/2, −π/2);   <   12. v(t; τ, ξ) = (ξ + cos τ − 1)ecos τ −cos t − cos t + 1, t ∈ R; 13. v(t; τ, ξ) = (3τ ξ + t3 − τ 3 )/(3t), t > 0;   1 + τ2 2 t3 − τ 3 ξ 14. v(t; τ, ξ) = ξ + , t ∈ R; 15. v(t; τ, ξ) = − τ + t (1 + t2 ), t ∈ R. 1 + t2 3 1 + t2 1 + τ2

                 

Metoda odhadu tvaru partikul´ arn´ıho ˇ reˇ sen´ı Budeme hledat partikulárn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice x˙ + ax = Pr (t)eσt cos ωt + Qs (t)eσt sin ωt ,

(7.52)

kde a ∈ R, Pr (t), resp. Qs (t) je polynom s reáln´ ymi koeficienty stupnˇe r, resp. s, ˇc´ısla σ, ω jsou reálná, ω 6= 0. Takové pravé strany, vytvoˇrené jako souˇcty souˇcin˚ u funkc´ı tk , eσt , sin ωt a cos ωt naz´ yváme kv´ azipolynomy a mluv´ıme pak o diferenciáln´ı rovnici s kv´ azipolynomi´ aln´ı pravou stranou. Partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) rovnice (7.52) budeme hledat ve tvaru w(t) = eσt (R1 (t) cos ωt + R2 (t) sin ωt) ,

(7.53)

kde R1 (t), R2 (t) jsou polynomy s reáln´ ymi koeficienty, jejichˇz stupeˇ n je roven vˇetˇs´ımu ze stupˇ n˚ u r, s polynom˚ u Pr (t), Qs (t). V pˇr´ıpadˇe, kdy je ω = 0, tj. v pˇr´ıpadˇe rovnice x˙ + ax = Qr (t)eσt ,

(7.54)

kde Qr (t) je polynom stupnˇe r, hledáme partikulárn´ı ˇreˇsen´ı ve tvaru w(t) = tk R(t)eσt ,

t ∈ R,

(7.55)

kde R(t) je polynom stupnˇe r, jehoˇz koeficienty m˚ uˇzeme naj´ıt napˇr. metodou neurˇcit´ ych koeficient˚ ua exponent k u promˇenné t je 1 v pˇr´ıpadˇe, ˇze σ = −a, jinak je nula. Pˇri ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice, jej´ıˇz pravá strana q(t) je souˇctem kvázipolynom˚ u qj (t) , j = 1, 2, . . . , s, vyuˇz´ıváme tzv. princip superpozice, tj. následuj´ıc´ı tvrzen´ı: Jsou-li funkce wj (t) pro j = 1, 2, . . . , s ˇreˇsen´ımi rovnice x˙ + ax = qj (t) ,

j = 1, 2, . . . , s ,

(7.56)

´ Í DIFERENCIALN ´ Í ROVNICE 1. R ˇ ADU ´ 7.2. LINEARN

147

pak funkce w(t) = w1 (t) + w2 (t) + · · · + ws (t) je ˇreˇsen´ım rovnice x˙ + ax = q1 (t) + q2 (t) + · · · + qs (t) .

(7.57)

Podle tohoto tvrzen´ı staˇc´ı naj´ıt pro kaˇzdé j = 1, 2, . . . , s ˇreˇsen´ı wj (t) rovnice x˙ + ax = qj (t) a souˇcet ˇ w1 (t) + w2 (t) + · · · + wm (t) takto nalezen´ ych ˇreˇsen´ı je ˇreˇsen´ım rovnice (7.57). Casto vˇsak postupujeme pˇri v´ ypoˇctu tak, ˇze i ˇreˇsen´ı rovnice (7.57) hledáme najednou ve tvaru souˇctu odhad˚ u pro jednotlivé sˇc´ıtance qj (t). Nyn´ı si pouˇzit´ı této metody ukáˇzeme na pˇr´ıkladech. Pˇ r´ıklady 1. Máme naj´ıt partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) rovnice x˙ − 2x = −9te−t .

(7.58)

ˇ sen´ı: Jde o rovnici s kvázipolynomiáln´ı pravou stranou, kde a = −2, Qr (t) = −9t, σ = −1, ω = 0, Reˇ r = 1. Jelikoˇz je σ = −1 6= −a = 2, hledáme partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) podle (7.55) ve tvaru w(t) = (at + b)e−t .

(7.59)

Vypoˇcteme derivaci w(t) ˙ = (a − at − b)e−t a dosad´ıme do rovnice (7.58). Dostaneme rovnost (a − at − b)e−t − 2(at + b)e−t = −9te−t . Odtud porovnán´ım koeficient˚ u u stejn´ ych funkc´ı dostaneme a = 3, b = 1. Dosad´ıme do (7.59) a dostaneme partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) = (3t + 1)e−t , t ∈ R . 2. Máme naj´ıt partikulárn´ı ˇreˇsen´ı rovnice x˙ − 2x = 8te2t .

(7.60)

ˇ sen´ı: Jelikoˇz pro koeficient σ = 2 v exponentu pravé strany plat´ı σ = 2 = −a = 2, hledáme partikulárn´ı Reˇ ˇreˇsen´ı w(t) podle (7.55) ve tvaru w(t) = t(at + b)e2t = (at2 + bt)e2t .

(7.61)

Vypoˇcteme derivaci w(t) ˙ = (2at + b + 2at2 + 2bt)e2t a dosad´ıme do rovnice (7.60). Dostaneme rovnost (2at + b + 2at2 + 2bt)e2t − 2(at2 + bt)e2t = 8te2t . Odtud porovnán´ım koeficient˚ u u stejn´ ych funkc´ı dostaneme a = 4, b = 0. Dosad´ıme do (7.61) a dostaneme partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) = 4t2 e2t , t ∈ R . 3. Máme naj´ıt partikulárn´ı ˇreˇsen´ı rovnice x˙ − 3x = 4et + 5e3t + 9t .

(7.62)

ˇ sen´ı: Hledáme partikulárn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice, jej´ıˇz pravá strana je souˇcet tˇr´ı kvázipolynom˚ Reˇ u q1 (t) = 4et , q2 (t) = 5e3t a q3 (t) = 9t. Pro exponenty exponenciáln´ıch funkc´ı v jednotliv´ ych sˇc´ıtanc´ıch na pravé stranˇe plat´ı σ1 = 1 6= −a = 3 , σ2 = 3 = −a = 3 a σ3 = 0 6= −a = 3 , takˇze odhad partikulárn´ıho ˇreˇsen´ı w(t) hledáme jako souˇcet odhad˚ u jednotliv´ ych sˇc´ıtanc˚ u podle (7.55) ve tvaru w(t) = aet + bte3t + (ct + d) .

(7.63)

Vypoˇcteme derivaci funkce w(t) a dosad´ıme do rovnice (7.62). Dostaneme rovnost aet + (b + 3bt)e3t + c − 3aet − 3bte3t − 3ct − 3d = 4et + 5e3t + 9t .

(7.64)

Jelikoˇz funkce et , e3t , t, 1 jsou lineárnˇe nezávislé, mus´ı b´ yt koeficienty v lineárn´ıch kombinac´ıch na obou stranách rovnosti (7.64) stejné. Porovnán´ım tˇechto koeficient˚ u dostaneme a = −2 , b = 5 , c = −3 , d = −1 . Dosad´ıme do (7.63) a dostaneme hledané partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) = −2et + 5te3t − 3t − 1 ,

t ∈ R.


148 4. Máme naj´ıt partikulárn´ı ˇreˇsen´ı rovnice

x˙ + x = 2 sin t .

(7.65)

ˇ sen´ı: Máme naj´ıt partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) nehomogenn´ı rovnice s kvázipolynomiáln´ı pravou stranou Reˇ typu (7.52). Hledáme je podle (7.53) ve tvaru w(t) = a cos t + b sin t .

(7.66)

Po dosazen´ı w(t) ˙ a w(t) do rovnice (7.65) za x˙ a x dostaneme rovnost −a sin t + b cos t + a cos t + b sin t = 2 sin t

pro vˇsechna t ∈ R .

Protoˇze funkce sin t a cos t jsou lineárnˇe nezávislé, mus´ı platit −a + b = 2, a + b = 0. Odtud a = −1 = −b, takˇze w(t) = sin t − cos t , t ∈ R. 5. Máme naj´ıt partikulárn´ı ˇreˇsen´ı rovnice x˙ + x = (4t + 2) cos t + 6 sin t + 8et cos 2t .

(7.67)

ˇ sen´ı: Reˇ ˇ sen´ı rovnice (7.67) m˚ Reˇ uˇzeme hledat bud’ pomoc´ı principu superpozice tak, ˇze hledáme ˇreˇsen´ı rovnice pro kaˇzd´ y ze sˇc´ıtanc˚ u a takto nalezená ˇreˇsen´ı pak seˇcteme, nebo je hledáme najednou jako pro rovnici (7.52) podle pˇredpisu (7.53) ve tvaru w(t) = (at + b) cos t + (ct + d) sin t + et (g cos 2t + h sin 2t) . Dosad´ıme-li hodnoty w(t) a w(t) ˙ do rovnice (7.67) za x a x, ˙ dostaneme po jednoduché u ´pravˇe rovnost (a + b + d + (a + c)t) cos t + (−b + c + d + (c − a)t) sin t + 2et ((g + h) cos 2t + (h − g) sin 2t) = = (4t + 2) cos t + 6 sin t + 8et cos 2t. Funkce cos t, sin t, et cos 2t a et sin 2t jsou lineárnˇe nezávislé, takˇze koeficienty u stejn´ ych funkc´ı na obou stranách mus´ı b´ yt sobˇe rovny. Odtud plyne a = 2, b = −2, c = d = g = h = 2. Hledan´ ym partikulárn´ım ˇreˇsen´ım w(t) rovnice (7.67) je tedy funkce w(t) = 2(t − 1) cos t + 2(t + 1) sin t + 2et (cos 2t + sin 2t) ,

t ∈ R.

´ Ulohy (i) Uved’te, v jakém tvaru budete hledat partikulárn´ı ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ıch rovnic: 1. x˙ + 6x = 3t3 + 8t; 2. x˙ + 2x = te2t + e−t ; 3. x˙ + x = 1 − 2t + te−t ; 4. x˙ + 3x = e−t cos t + 5 sin 3t; 5. x˙ + 10x = e−3t + 2e−3t cos t; 6. x˙ + 2x = e−t cos 2t + te−2t sin t. 

 1. w(t) = at3 + bt2 + ct + d ; 2. w(t) = (at + b)e2t + ce−t ; 3. w(t) = (at + b) + t(ct + d)e−t ;    4. w(t) = e−t (a cos t + b sin t) + c cos 3t + d sin 3t; 5. w(t) = e−3t (a + b cos t + c sin t);  6. w(t) = e−t (a cos 2t + b sin 2t) + e−2t (ct + d) sin t + (f t + g) cos t . (ii) Máme naj´ıt obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ıch rovnic: 1. x˙ + 2x = 2t2 − 3;

2. x˙ + x = 2t + 4;

3. x˙ + 2x = 3te−t ;

4. x˙ + x = 4te−t ;

5. x˙ − 2x = 3t + 2;

6. x˙ + x = (t2 − 1)e2t ;

7. x˙ + 3x = (2t − 1)e−3t ; 8. x˙ + x = 6 sin 2t; 10. x˙ + 3x = 2 cos 2t; 11. x˙ + x = 3 sin 4t; 13. x˙ + x = 2 cos t cos 2t; 16. x˙ + 4x = 2e−t sin 3t;

9. x˙ + 2x = 3 sin 2t − 4 cos 2t; 12. x˙ + 4x = 3 cos2 t;

14. x˙ + 3x = sin 2t cos 3t; 15. x˙ + 2x = 4 sin2 t; 17. x˙ + 2x = 4e−t cos 2t; 18. x˙ + 3x = e−t (2 sin t − cos t).

´ Í DIFERENCIALN ´ Í ROVNICE N–TEHO ´ ˇ ADU ´ 7.3. LINEARN R                      

7.3

149

U vˇsech ˇreˇsen´ı je definiˇcn´ım oborem a oborem hodnot parametru c celá mnoˇzina R. 1. v(t; c) = ce−2t + t2 − t − 1; 2. v(t; c) = ce−t + 2t + 2; 3. v(t; c) = ce−2t + 3(t − 1)e−t ; 4. v(t; c) = ce−t + 2t2 e−t ;



      5. v(t; c) = ce2t − (6t + 7)/4; 6. v(t; c) = ce−t + e2t (t2 /3 − 2t/9 − 7/27);   −3t 2 −t 7. v(t; c) = ce (c + t − t); 8. v(t; c) = ce + (6 sin 2t − 12 cos 2t)/5;   −2t −3t  9. v(t; c) = ce − (sin 2t + 7 cos 2t)/4; 10. v(t; c) = ce + (6 cos 2t + 4 sin 2t)/13;  −t −4t 11. v(t; c) = ce + (3 sin 4t − 12 cos 4t)/17; 12. v(t; c) = ce + 3/8 + (3 sin 2t + 6 cos 2t)/20;     13. v(t; c) = ce−t + (cos t + sin t)/2 + (cos 3t + 3 sin 3t)/10;   −3t 14. v(t; c) = ce + (cos t − 3 sin t)/20 + (3 sin 5t − 5 cos 5t)/68;    15. v(t; c) = ce−2t + 1 − (cos 2t + sin 2t)/2; 16. v(t; c) = ce−4t − e−t (cos 3t − sin 3t)/3; −2t −t −3t −t 17. v(t; c) = ce + 4e (cos 2t + 2 sin 2t)/5; 18. v(t; c) = ce + e (3 sin t − 4 cos t)/5.

Line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice n–t´ eho ˇ r´ adu

Kl´ıˇcov´ a slova: Lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice n–tého ˇrádu, rovnice s konstantn´ımi koeficienty, pravá strana rovnice, homogenn´ı rovnice, nehomogenn´ı rovnice, ˇreˇsen´ı rovnice, poˇcáteˇcn´ı okamˇzik, poˇcáteˇcn´ı hodnota, poˇcáteˇcn´ı podm´ınky, Cauchyova u ´loha, poˇcáteˇcn´ı u ´loha, ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy, vektorov´ y prostor ˇreˇsen´ı, báze ˇreˇsen´ı, fundamentáln´ı systém ˇreˇsen´ı, obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı, standardn´ı poˇcáteˇcn´ı podm´ınky, standardn´ı báze, standardn´ı fundamentáln´ı systém, charakteristická rovnice, charakteristick´ y polynom, charakteristická hodnota, obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice, partikulárn´ı ˇreˇsen´ı, kvázipolynomiáln´ı pravá strana, metoda odhadu, metoda variace konstant Cauchyova u ´ loha pro line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnici n–t´ eho ˇ r´ adu Budeme se zab´ yvat line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnic´ı n–tého ˇr´ adu x(n) + an−1 (t)x(n−1) + · · · + a1 (t)x˙ + a0 (t)x = b(t) ,

(7.68)

kde funkce an−1 (t), · · · , a1 (t), a0 (t) a b(t) jsou spojité na nˇejakém intervalu I. Jsou-li vˇsechny koeficienty ak (t), k = 0, 1, . . . , n − 1, konstanty, mluv´ıme o lineárn´ı diferenciáln´ı rovnic´ı n–tého ˇrádu s konstantn´ımi koeficienty. Je-li funkce b(t) v rovnici (7.68) – tzv. prav´ a strana rovnice – identicky nulová na intervalu I, pak ˇr´ıkáme, ˇze rovnice (7.68) je homogenn´ı. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe mluv´ıme o nehomogenn´ı rovnici. ˇ sen´ım rovnice (7.68) rozum´ıme reálnou funkci u(t), definovanou a maj´ıc´ı n-tou derivaci na intervalu I Reˇ a splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku u(n) (t) + an−1 (t)u(n−1) (t) + · · · + a1 (t)u(t) ˙ + a0 (t)u(t) = b(t) ,

t∈I.

(7.69)

Jsou-li nav´ıc dána reálná ˇc´ısla τ ∈ I (tzv. poˇc´ ateˇcn´ı okamˇzik) a ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ∈ R (tzv. poˇc´ ateˇcn´ı hodnoty), naz´ yváme u ´lohu naj´ıt ˇreˇsen´ı u(t) diferenciáln´ı rovnice (7.68), které splˇ nuje podm´ınky u(τ ) = ξ1 , u(τ ˙ ) = ξ2 , . . . , u(n−1) (τ ) = ξn , Cauchyovou (nebo také poˇc´ ateˇcn´ı) u ´lohou pro rovnici (7.68) a zapisujeme ji ve tvaru x(n) + an−1 (t)x(n−1) + · · · + a1 (t)x˙ + a0 (t)x = b(t) , x(τ ) = ξ1 , x(τ ˙ ) = ξ2 , . . . , x(n−1) (τ ) = ξn .

(7.70)

ˇ sen´ım Cauchyovy u Reˇ ´lohy (7.70) naz´ yv´ ame kaˇzdé ˇreˇsen´ı u(t) rovnice (7.68), které splˇ nuje poˇc´ ateˇcn´ı podm´ınky u(τ ) = ξ1 , u(τ ˙ ) = ξ2 , . . . , u(n−1) (τ ) = ξn . (7.71) Dá se ukázat, ˇze u ´loha (7.70) má pro kaˇzdou volbu poˇcáteˇcn´ıho okamˇziku τ ∈ I a poˇcáteˇcn´ıch hodnot ξ1 , ξ2 , . . . , ξn právˇe jedno ˇreˇsen´ı a ˇze toto ˇreˇsen´ı je definováno na celém intervalu I. Budeme pro nˇe pouˇz´ıvat oznaˇcen´ı u(t; τ, (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn )), nebo, oznaˇc´ıme-li ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ), struˇcnˇe u(t; τ, ξ). Pˇ r´ıklady 1. Rovnice x ¨ + 5x˙ + 4x = 0 má koeficienty a1 (t) = 5, a0 (t) = 4. Jsou to konstantn´ı funkce, a tedy spojité pro vˇsechna t ∈ R. Proto kaˇzdé jej´ı ˇreˇsen´ı je definováno pro vˇsechna t ∈ R. Snadno se ovˇeˇr´ı, ˇze pro kaˇzdou volbu reáln´ ych ˇc´ısel c1 a c2 je funkce u(t) = c1 e−4t + c2 e−t , t ∈ R , ˇreˇsen´ım této rovnice. ˇ sen´ım Cauchyovy u 2. Reˇ ´lohy x ¨ + x˙ − 2x = 0 , x(0) = 2 , x(0) ˙ = 11 je funkce u(t; 0, (2, 11)) = 5et − 3e−2t , t ∈ R.


150

7.3.1

Homogenn´ı line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice n–t´ eho ˇ r´ adu

Vektorov´ y prostor ˇ reˇ sen´ı Budeme se podrobnˇeji zab´ yvat vlastnostmi ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice x ¨ + a1 (t)x˙ + a0 (t)x = 0 .

(7.72)

Ukáˇzeme, ˇze mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı rovnice (7.72) tvoˇr´ı vektorov´ y prostor. K tomu staˇc´ı ukázat, ˇze pro kaˇzdá dvˇe ˇreˇsen´ı u1 (t), u2 (t), t ∈ I, a pro kaˇzdé dvˇe reálné konstanty c1 , c2 je také lineárn´ı kombinace u(t) = c1 u1 (t) + c2 u2 (t) , t ∈ I , ˇreˇsen´ım rovnice (7.72). To je vˇsak snadné. Podle pˇredpokladu plat´ı u ¨1 (t) + a1 (t)u˙ 1 (t) + a0 (t)u ¨2 (t) + ¨(t) + a1 (t)u(t) ˙ + a0 (t)u(t) = 1 (t) = 0 , u a1 (t)u˙ 2 (t) + a0 (t)u2 (t) = 0 , takˇ ze u c1 u ¨ (t)+c u ¨ (t)+a (t) c u ˙ (t)+c u ˙ (t) +a (t) c u (t)+c u (t) = c u ¨ (t)+a (t) u ˙ (t)+a 1 2 2 1 1 1 2 2 0 1 1 2 2 1 1 1 1 0 (t)u1 (t) + c2 u ¨2 (t) + a1 (t)u˙ 2 (t) + a0 (t)u2 (t) = 0 . B´ aze prostoru ˇ reˇ sen´ı Budeme vyˇsetˇrovat Cauchyovu u ´lohu pro homogenn´ı rovnici druhého ˇrádu x ¨ + a1 (t)x˙ + a0 (t)x = 0 ,

x(τ ) = ξ1 , x(τ ˙ ) = ξ2 .

(7.73)

Necht’ u1 (t), u2 (t) jsou ˇreˇsen´ı této u ´lohy splˇ nuj´ıc´ı tzv. standardn´ı poˇc´ ateˇcn´ı podm´ınky u1 (τ ) = 1 , u˙ 1 (τ ) = 0 ;

u2 (τ ) = 0 , u˙ 2 (τ ) = 1 ,

(7.74)

tj. u1 (t) = u(t; τ, (1, 0)) ,

u2 (t) = u(t; τ, (0, 1)) ,

t∈I.

(7.75)

Pak lze kaˇzdé ˇreˇsen´ı u(t; τ, ξ) u ´lohy (7.73) psát ve tvaru u(t; τ, (ξ1 , ξ2 )) = ξ1 u(t; τ, (1, 0)) + ξ2 u(t; τ, (0, 1)) ,

t∈I.

(7.76)

Skuteˇcnˇe, u(t; τ, (ξ1 , ξ2 )) je ˇreˇsen´ım u ´lohy (7.73) a splˇ nuje poˇcáteˇcn´ı podm´ınky u(τ ; τ, (ξ1 , ξ2 )) = ξ1 u1 (τ ) + ξ2 u2 (τ ) = ξ1 ,

u(τ ˙ ; τ, (ξ1 , ξ2 )) = ξ1 u˙ 1 (τ ) + ξ2 u˙ 2 (τ ) = ξ2 .

Z rovnosti (7.76) plyne, ˇze mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice (7.72) tvoˇr´ı dvourozmˇern´ y vektorov´ y prostor. Z lineárn´ı algebry v´ıme, ˇze kaˇzdá dvˇe lineárnˇe nezávislá ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice (7.72) tvoˇr´ı tzv. b´ azi vektorového prostoru ˇreˇsen´ı. M´ısto názvu báze pouˇz´ıváme také název fundament´ aln´ı systém ˇreˇsen´ı rovnice (7.72). Necht’ u1 (t), u2 (t) je libovolná báze ˇreˇsen´ı rovnice (7.72). Pak lze kaˇzdé ˇreˇsen´ı u(t) rovnice (7.73) psát jako lineárn´ı kombinaci u(t; c1 , c2 ) = c1 u1 (t) + c2 u2 (t) , t ∈ I . (7.77) Tuto lineárn´ı kombinaci naz´ yváme obecným tvarem ˇreˇsen´ı rovnice (7.72). Hledáme-li ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy (7.73) pro konkrétnˇe zadané poˇcáteˇcn´ı podm´ınky, mus´ıme urˇcit hodnoty koeficient˚ u c1 , c2 v (7.77) pomoc´ı poˇcáteˇcn´ıch u ´daj˚ u τ , ξ1 a ξ2 . Postupujeme pˇri tom takto. Dosad´ıme poˇcáteˇcn´ı okamˇzik τ do rovnosti (7.77) a do rovnosti, kterou z rovnosti (7.77) dostaneme derivován´ım obou jejich stran. Vyuˇzijeme-li podm´ınek u(τ ; c1 , c2 ) = ξ1 , u(τ ˙ ; c1 , c2 ) = ξ2 , dostaneme soustavu u(τ ; c1 , c2 ) = c1 u1 (τ ) + c2 u2 (τ ) = u(τ ˙ ; c1 , c2 ) = c1 u˙ 1 (τ ) + c2 u˙ 2 (τ ) =

ξ1 , ξ2

(7.78)

dvou lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic, jej´ıˇz matice je vˇzdy regulárn´ı. M˚ uˇzeme tedy ze soustavy (7.78) jednoznaˇcnˇe urˇcit koeficienty c1 , c2 a dosadit je do (7.77), abychom dostali hledané ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy (7.73). Zvol´ıme-li za bázi prostoru ˇreˇsen´ı rovnice (7.72) funkce (7.75), pak právˇe popsan´ y postup hledán´ı hodnot parametr˚ u c1 , c2 pomoc´ı soustavy (7.78) odpadá, protoˇze, jak vid´ıme z rovnosti (7.76), je c1 = ξ1 , c2 = ξ2 . ˇ sen´ı (7.75) pˇredstavuj´ı tzv. standardn´ı b´ Reˇ azi, nebo také standardn´ı fundament´ aln´ı systém ˇreˇsen´ı rovnice (7.72). Vztah (7.76) ukazuje, ˇze standardn´ı báze má mezi vˇsemi bázemi v´ yjimeˇcné postaven´ı. Vˇsechny pojmy a tvrzen´ı tohoto odstavce se velice pˇrirozenˇe daj´ı pˇrenést na rovnice obecnˇe n–tého ˇr´ adu. Pˇr´ısluˇsné modifikace formulac´ı pˇrenecháváme ˇctenáˇri.

´ Í DIFERENCIALN ´ Í ROVNICE N–TEHO ´ ˇ ADU ´ 7.3. LINEARN R

151

Pˇ r´ıklad Máme naj´ıt ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy x ¨ + 9x = 0 , x(0) = 5, x(0) ˙ = −6 , standardn´ı bázi prostoru ˇreˇsen´ı a vyjádˇrit ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy pomoc´ı standardn´ı báze, známe-li dvˇe lineárnˇe nezávislá ˇreˇsen´ı u1 (t) = cos 3t, u2 (t) = sin 3t, t ∈ R, pˇr´ısluˇsné rovnice. ˇ sen´ı: Cten´ ˇ Reˇ aˇr si m˚ uˇze sám ovˇeˇrit dosazen´ım, ˇze obˇe funkce ui (t) jsou ˇreˇsen´ımi. Nyn´ı ukáˇzeme, ˇze funkce cos 3t a sin 3t jsou lineárnˇe nezávislé. Skuteˇcnˇe, má-li platit rovnost c1 cos 3t + c2 sin 3t = 0 pro vˇsechna t ∈ R, pak napˇr´ıklad pro t = 0 mus´ı b´ yt c1 = 0 a pro t = π/6 mus´ı b´ yt c2 = 0. Tvoˇr´ı tedy funkce cos 3t a sin 3t bázi ˇreˇsen´ı a jejich lineárn´ı kombinace u(t, c1 , c2 ) = c1 cos 3t + c2 sin 3t ,

t ∈ R,

je obecn´ ym tvarem ˇreˇsen´ı. Hledejme ˇreˇsen´ı zadané Cauchyovy u ´lohy. Koeficienty c1 a c2 spoˇc´ıtáme ze soustavy u(0) = c1 cos 0 + c2 sin 0 = 5 , u(0) ˙ = c1 (−3 sin 0) + c2 3 cos 0 = −6 , takˇze c1 = 5, c2 = −2 a hledan´ ym ˇreˇsen´ım je funkce u(t; 0, (5, −6)) = 5 cos 3t − 2 sin 3t ,

t ∈ R.

Nyn´ı hledejme standardn´ı bázi. Sestav´ıme soustavy rovnic u(0) = c1 cos 0

+

c2 sin 0

=

1,

u(0) ˙ = c1 (−3 sin 0)

+

c2 3 cos 0

=

0,

u(0) = c1 cos 0

+

c2 sin 0

=

0,

u(0) ˙ = c1 (−3 sin 0)

+

c2 3 cos 0

=

1.

Z prvn´ı soustavy dostáváme c1 = 1, c2 = 0, z druhé soustavy dostáváme c1 = 0, c2 = 1/3. Hledanou standardn´ı bázi tedy tvoˇr´ı funkce u(t; 0, (1, 0)) = cos 3t ,

u(t; 0, (0, 1)) =

1 sin 3t , 3

t ∈ R.

Vid´ıme, ˇze skuteˇcnˇe plat´ı u(t; 0, (5, −6)) = 5u(t; 0, (1, 0)) − 6u(t; 0, (0, 1)) = 5 cos 3t − 2 sin 3t, t ∈ R. Line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice n–t´ eho ˇ r´ adu s konstantn´ımi koeficienty Nyn´ı se budeme zab´ yvat homogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnic´ı n−tého ˇrádu s konstantn´ımi koeficienty x(n) + an−1 x(n−1) + · · · + a1 x˙ + a0 x = 0 ,

(7.79)

kde vˇsechny koeficienty an−1 , · · · , a1 , a0 jsou reálné konstanty. Podle definiˇcn´ıho vztahu (7.69) je funkce u(t) ˇreˇsen´ım rovnice (7.79) na intervalu I právˇe tehdy, kdyˇz splˇ nuje rovnost u(n) (t) + an−1 u(n−1) (t) + · · · + a1 u(t) ˙ + a0 u(t) = 0

pro vˇsechna t ∈ I .

(7.80)

Z této rovnosti vid´ıme, ˇze funkce u(t) a jej´ı derivace jsou lineárnˇe závislé. Takovou vlastnost má exponenciáln´ı funkce. Pokus´ıme se proto hledat ˇreˇsen´ı rovnice (7.79) ve tvaru exponenciáln´ı funkce u(t) = eλt ,

t ∈ R.

(7.81)

Do vztahu (7.80) dosad´ıme derivace funkce (7.81) a dostaneme rovnost λn eλt + an−1 λn−1 eλt + · · · + a1 λeλt + a0 eλt = 0 . Po zkrácen´ı nenulov´ ym faktorem eλt dostaneme algebraickou rovnici n–tého stupnˇe λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 = 0 .

(7.82)

Vid´ıme, ˇze funkce (7.81) vyhovuje podm´ınce (7.80) právˇe tehdy, kdyˇz ˇc´ıslo λ je koˇrenem algebraické rovnice (7.82). Rovnice (7.82) se naz´ yvá charakteristick´ a rovnice, polynom na levé stranˇe rovnice (7.82) se naz´ yvá charakteristický polynom a koˇreny charakteristického polynomu se naz´ yvaj´ı charakteristické hodnoty rovnice (7.79).


152

Z algebry v´ıme, ˇze algebraická rovnice n–tého stupnˇe s reáln´ ymi koeficienty má n koˇren˚ u, které mohou b´ yt jak reálné tak i komplexn´ı, jednoduché nebo v´ıcenásobné. Pˇritom plat´ı, ˇze kdyˇz komplexn´ı ˇc´ıslo λ = σ + i ω je k–násobn´ ym koˇrenem, pak také ˇc´ıslo komplexnˇe sdruˇzené λ = σ − i ω je k–násobn´ ym koˇrenem. Nyn´ı pop´ıˇseme tvar ˇreˇsen´ı rovnice (7.79) pro jednotlivé typy charakteristick´ ych hodnot. Je-li charakteristická hodnota λ reálné ˇc´ıslo, pak funkce (7.81) je ˇreˇsen´ım rovnice (7.79). Je-li charakteristická hodnota λ = σ + i ω komplexn´ı, pak funkce z(t) = eλt = e(σ+i ω)t = eσt cos ωt + i eσt sin ωt ,

t ∈ R,

(7.83)

vyhovuje sice podm´ınce (7.80), ale nen´ı ˇreˇsen´ım rovnice (7.79), jelikoˇz je to komplexn´ı funkce. Protoˇze λ = σ−i ω je také koˇrenem charakteristické rovnice, vyhovujefunkce z(t) = eσt(cos ωt−i sin ωt) podm´ınce (7.80). Tedy také jejich ı kombinace u(t) = < z(t) = z(t) + z(t) /2 = eσt cos ωt a v(t) = lineárn´σt = z(t) = z(t) − z(t) /(2i ) = e sin ωt vyhovuj´ı této podm´ınce. Proto funkce u(t) = eσt cos ωt ,

v(t) = eσt sin ωt ,

t ∈ R,

(7.84)

pˇredstavuj´ı dvˇe ˇreˇsen´ı rovnice (7.79) pˇr´ısluˇsej´ıc´ı dvˇema komplexnˇe sdruˇzen´ ym charakteristick´ ym hodnotám λ = σ + i ω, λ = σ − i ω. Nav´ıc jsou funkce (7.84) lineárnˇe nezávislé. Skuteˇcnˇe, má-li platit rovnost c1 eσt cos ωt + c2 eσt sin ωt = 0 pro vˇsechna t ∈ R , pak po dosazen´ı t = 0 dostaneme c1 = 0 a po dosazen´ı t = π/2ω dostaneme c2 = 0, ˇc´ımˇz je lineárn´ı nezávislost ˇreˇsen´ı (7.84) dokázána. Zb´ yvá naj´ıt ˇreˇsen´ı pro pˇr´ıpad v´ıcenásobn´ ych charakteristick´ ych hodnot. Je-li λ reálná k–násobná charakteristická hodnota, pak j´ı pˇr´ısluˇs´ı k lineárnˇe nezávisl´ ych ˇreˇsen´ı u1 (t) = eλt , u2 (t) = teλt , . . . , uk (t) = tk−1 eλt ,

t ∈ R.

(7.85)

Pro d˚ ukaz tohoto tvrzen´ı viz napˇr.3 vˇeta 10.15. Je-li charakteristická hodnota λ = σ + i ω k–násobná, pak funkce (7.85) splˇ nuj´ı podm´ınku (7.80) i v tomto pˇr´ıpadˇe, a tedy funkce u1 (t) = eσt cos ωt ,

v1 (t) = eσt sin ωt ,

u2 (t) = teσt cos ωt , ··· uk (t) = tk−1 eσt cos ωt ,

v2 (t) = teσt sin ωt ,

(7.86)

vk (t) = tk−1 eσt sin ωt ,

t ∈ R,

pˇredstavuj´ı 2k lineárnˇe nezávisl´ ych ˇreˇsen´ı rovnice (7.79). D˚ ukaz tohoto tvrzen´ı lze naj´ıt napˇr. ve v´ yˇse citované knize, lemma 10.19. Pˇ r´ıklady 1. Hledejme ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy x ¨ + x˙ − 2x = 0 ,

x(0) = 2 , x(0) ˙ = 11 .

(7.87)

ˇ sen´ı: Charakteristická rovnice λ2 + λ − 2 = 0 má dva r˚ Reˇ uzné reálné koˇreny λ1 = 1, λ2 = −2. Tˇemto dvˇema r˚ uzn´ ym reáln´ ym charakteristick´ ym hodnotám pˇr´ısluˇs´ı podle (7.81) dvˇe lineárnˇe nezávislá ˇreˇsen´ı rovnice (7.87), a to u1 (t) = et , u2 (t) = e−2t , t ∈ R . Obecn´ ym tvarem ˇreˇsen´ı rovnice (7.87) je dvouparametrick´ y systém funkc´ı u(t, c1 , c2 ) = c1 et + c2 e−2t ,

t, c1 , c2 ∈ R .

(7.88)

Abychom naˇsli ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy (7.87), mus´ıme naj´ıt hodnoty koeficient˚ u c1 , c2 . Ty najdeme podle (7.78) jako ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic u(0, c1 , c2 ) = c1 e0 u(0, ˙ c1 , c2 ) = c1 e0 3 Nagy,

+ −

c2 e−2·0 2c2 e−2·0

= =

2, 11 ,

J.: Element´ arn´ı metody ˇreˇsen´ı obyˇ cejn´ ych diferenci´ aln´ıch rovnic, SNTL Praha, 1978


153

takˇze c1 = 5, c2 = −3. Nalezené konstanty dosad´ıme do (7.88) a dostaneme hledané ˇreˇsen´ı u(t; 0, (2, 11)) = 5et − 3e−2t ,

t ∈ R.

2. Hledejme ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy x ¨ − 4x˙ + 4x = 0 ,

x(τ ) = −1 , x(τ ˙ ) = 0.

(7.89)

ˇ sen´ı: Charakteristická rovnice λ2 − 4λ + 4 = 0 má jeden dvojnásobn´ Reˇ y reáln´ y koˇren λ1 = λ2 = 2. Jemu pˇr´ısluˇs´ı podle (7.85) dvˇe lineárnˇe nezávislá ˇreˇsen´ı rovnice (7.89), a to u1 (t) = e2t , u2 (t) = te2t , t ∈ R . Obecn´ ym tvarem ˇreˇsen´ı rovnice (7.89) je dvouparametrick´ y systém funkc´ı u(t, c1 , c2 ) = c1 e2t + c2 te2t , t, c1 , c2 ∈ R . Dosad´ıme poˇcáteˇcn´ı u ´daje do funkce u(t, c1 , c2 ) a do jej´ı derivace a dostaneme soustavu lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic u(0, c1 , c2 ) = c1 e2τ u(0, ˙ c1 , c2 ) = 2c1 e2τ

+ c2 τ e2τ + c2 (1 + 2τ )e2τ

= −1 , = 0,

takˇze c1 = −(1+2τ )e−2τ , c2 = 2e−2τ . Nalezené konstanty dosad´ıme do obecného tvaru ˇreˇsen´ı a dostaneme hledané ˇreˇsen´ı u(t; τ, (−1, 0)) = (2t − 2τ − 1)e2(t−τ ) , t ∈ R . 3. Hledejme ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy x ¨ − 2x˙ + 2x = 0 ,

x(0) = ξ1 , x(0) ˙ = ξ2 .

(7.90)

ˇ sen´ı: Charakteristická rovnice λ2 − 2λ + 2 = 0 má dva komplexnˇe sdruˇzené koˇreny λ1 = 1 + i , Reˇ λ2 = 1 − i . Jim pˇr´ısluˇs´ı podle (7.84) dvˇe lineárnˇe nezávislá ˇreˇsen´ı u1 (t) = et cos t , u2 (t) = et sin t , t ∈ R . Obecn´ ym tvarem ˇreˇsen´ı rovnice (7.90) je dvouparametrick´ y systém funkc´ı u(t, c1 , c2 ) = et (c1 cos t + c2 sin t) , t, c1 , c2 ∈ R , z nˇehoˇz pomoc´ı poˇcáteˇcn´ıch u ´daj˚ u dostaneme soustavu lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic c1 = ξ1 , c1 + c2 = ξ2 , takˇze c1 = ξ1 , c2 = ξ2 − ξ1 . Nalezené konstanty dosad´ıme do obecného tvaru ˇreˇsen´ı a dostaneme hledané ˇreˇsen´ı u(t; 0, (ξ1 , ξ2 )) = (ξ1 cos t + (ξ2 − ξ1 ) sin t)et ,

t ∈ R.

´ Ulohy Máme naj´ıt ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ıch Cauchyov´ ych u ´loh. 1. x ¨ + x˙ − 2x = 0 , x(0) = 0 , x(0) ˙ = 3;

2. x ¨ + 8x˙ + 15x = 0 , x(0) = −2 , x(0) ˙ = 2;

3. x ¨ − 5x˙ + 6x = 0 , x(0) = 1 , x(0) ˙ = 3;

4. x ¨ + 8x˙ + 16x = 0 , x(0) = 4 , x(0) ˙ = 0;

5. x ¨ − 6x˙ + 9x = 0 , x(0) = 0 , x(0) ˙ = 13;

6. x ¨ + x = 0 , x(0) = 3 , x(0) ˙ = 4;

7. x ¨ + 4x = 0 , x(0) = 1 , x(0) ˙ = −4; 8. x ¨ + 6x˙ + 13x = 0 , x(0) = 0 , x(0) ˙ = 2.   t −2t −5t −3t 1. u(t; 0, (0, 3)) = e − e ; 2. u(t; 0, (−2, 2)) = 2e − 4e ;    3. u(t; 0, (1, 3)) = e3t ; 4. u(t; 0, (4, 0)) = (4 + 16t)e−4t ;     5. u(t; 0, (0, 13)) = 13te3t ; 6. u(t; 0, (3, 4)) = 3 cos t + 4 sin t ;    7. u(t; 0, (1, −4)) = cos 2t − 2 sin 2t ; 8. u(t; 0, (0, 2)) = e−3t sin 2t .

7.3.2

Nehomogenn´ı line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice

Struktura prostoru ˇ reˇ sen´ı ´ Uvahy budeme provádˇet pro rovnice 2. ˇrádu. Necht’ u1 (t) a u2 (t) je libovoln´ y fundamentáln´ı systém ˇreˇsen´ı homogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice 2. ˇrádu x ¨ + a1 (t)x˙ + a0 (t)x = 0.

(7.91)

Pak kromˇe jiného plat´ı rovnosti u ¨1 (t) + a1 (t)u˙ 1 (t) + a0 (t)u1 (t) = 0 ,

u ¨2 (t) + a1 (t)u˙ 2 (t) + a0 (t)u2 (t) = 0 .

(7.92)


154

Z rovnosti (7.77) v´ıme, ˇze kaˇzdé ˇreˇsen´ı této rovnice má tvar u(t; c1 , c2 ) = c1 u1 (t) + c2 u2 (t), kde c1 a c2 jsou vhodné reálné konstanty. S podobnou situac´ı se setkáváme i u nehomogenn´ı rovnice x ¨ + a1 (t)x˙ + a0 (t)x = b(t) ,

t∈I.

(7.93)

Je-li w(t) jedno libovolné ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice (7.93), pak kaˇzdé jej´ı ˇreˇsen´ı v(t) lze psát ve tvaru v(t; c1 , c2 ) = c1 u1 (t) + c2 u2 (t) + w(t) ,

t∈I,

(7.94)

kde c1 a c2 jsou reálné konstanty. D˚ ukaz tohoto tvrzen´ı je obdobn´ y jako u kaˇzdé lineárn´ı rovnice. Dosazen´ım do rovnice (7.93) se snadno pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze (7.94) je ˇreˇsen´ım. Dále necht’ je vb(t) libovolné ˇreˇsen´ı rovnice (7.93). Pak rozd´ıl vb(t)−w(t) je ˇreˇsen´ım homogenn´ı rovnice, a tedy existuj´ı konstanty c1 , c2 ∈ R takové, ˇze vb(t)−w(t) = c1 u1 (t)+c2 u2 (t) . Nyn´ı staˇc´ı psát vb(t) = v(t; c1 , c2 ). Funkci (7.94) naz´ yváme obecným tvarem ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice (7.93). Ukaˇzme, ˇze pro jakkoli zvolené poˇcáteˇcn´ı u ´daje τ , ξ1 , ξ2 lze urˇcit hodnoty koeficient˚ u c1 a c2 tak, ˇze pˇr´ısluˇsná funkce v(t) bude ˇreˇsen´ım Cauchyovy u ´lohy x ¨ + a1 (t)x˙ + a0 (t)x = b(t) ,

x(τ ) = ξ1 , x(τ ˙ ) = ξ2 .

(7.95)

Podobnˇe jako jsme postupovali u homogenn´ı rovnice, i nyn´ı vytvoˇr´ıme pomoc´ı poˇcáteˇcn´ıch u ´daj˚ u τ , ξ1 , ξ2 a rovnosti (7.94) soustavu dvou lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic v(τ ; c1 , c2 ) = c1 u1 (τ ) + c2 u2 (τ ) + w(τ ) = ξ1 , v(τ ˙ ; c1 , c2 ) = c1 u˙ 1 (τ ) + c2 u˙ 2 (τ ) + w(τ ˙ ) = ξ2 , jej´ıˇz matice je regulárn´ı. Z této soustavy m˚ uˇzeme nyn´ı jednoznaˇcnˇe vyjádˇrit hledané hodnoty koeficient˚ u c1 a c2 a dosadit je do (7.94). Vˇsechny pojmy a tvrzen´ı tohoto odstavce se velice pˇrirozenˇe daj´ı pˇrenést na lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice obecnˇe n–tého ˇrádu. Pˇr´ısluˇsné modifikace formulac´ı pˇrenecháváme ˇctenáˇri. Metoda variace konstant Pop´ıˇseme metodu variace konstant, která umoˇzn ˇuje naj´ıt v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech partikulárn´ı ˇreˇsen´ı. Tento algoritmus budeme popisovat pro rovnici 2. ˇrádu x ¨ + a1 (t)x˙ + a0 (t)x = b(t) ,

(7.96)

kde pˇredpokládáme, ˇze oba koeficienty ak (t) i pravá strana b(t) jsou definované a spojité na nˇejakém intervalu I. Vycház´ıme z pˇredpokladu, ˇze známe dvˇe lineárnˇe nezávislá ˇreˇsen´ı u1 (t) a u2 (t) pˇr´ısluˇsné homogenn´ı rovnice, tj. funkce, pro které kromˇe jiného plat´ı u ¨k (t) + a1 (t)u˙ k (t) + a0 (t)uk (t) = 0 pro vˇsechna t ∈ I , k = 1, 2 .

(7.97)

Partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı w(t) rovnice (7.97) budeme hledat ve tvaru w(t) = c1 (t)u1 (t) + c2 (t)u2 (t) ,

t∈I,

(7.98)

kde c1 (t) a c2 (t) jsou funkce, které máme naj´ıt. Pro tyto dvˇe neznámé máme zat´ım jedinou podm´ınku, a to, aby funkce w(t) z (7.98) vyhovovala rovnici (7.97). Dalˇs´ı podm´ınku budeme volit tak, aby derivace funkce w(t) mˇela pomˇernˇe jednoduch´ y tvar. V dalˇs´ı u ´vaze, která popisuje vlastn´ı algoritmus v´ ypoˇctu, vynecháváme oznaˇcen´ı promˇenné t. V derivaci v˙ = c1 u˙ 1 + c2 u˙ 2 + c˙1 u1 + c˙2 u2 poloˇz´ıme c˙1 u1 + c˙2 u2 = 0 vˇsude v I, spoˇcteme druhou derivaci v¨ = c1 u ¨1 + c2 u ¨2 + c˙1 u˙ 1 + c˙2 u˙ 2

(7.99)


155

a dosad´ıme v, v, ˙ v¨ do (7.96) za x, x, ˙ x ¨. Po jednoduché u ´pravˇe dostaneme c1 (¨ u1 + c2 (¨ u2

+ a1 u˙ 1 + a1 u˙ 2 + c˙1 u˙ 1

+ + +

a0 u 1 ) + a0 u 2 ) + c˙2 u˙ 2 = b(t).

Souˇcty v prvn´ıch dvou ˇrádc´ıch jsou vzhledem k pˇredpokladu (7.97) nulové, takˇze plat´ı c˙1 u˙ 1 + c˙2 u˙ 2 = b(t)

(7.100)

vˇsude v I. Podm´ınky (7.99) a (7.100) pˇredstavuj´ı soustavu dvou rovnic c˙1 u1

+ c˙2 u2

=

0,

c˙1 u˙ 1

+ c˙2 u˙ 2

=

b(t)

(7.101)

pro derivace hledan´ ych funkc´ı. Determinant matice této soustavy je nenulov´ y, takˇze ze soustavy (7.101) m˚ uˇzeme jednoznaˇcnˇe urˇcit funkce c˙1 (t) a c˙2 (t). Odtud integrac´ı dostaneme hledané koeficienty funkce w(t) z (7.98). Pˇ r´ıklady 1. Máme naj´ıt partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) rovnice x ¨ − 2x˙ + x =

et . 1 + t2

(7.102)

ˇ sen´ı: Rovnice má jeden dvojnásobn´ Reˇ y reáln´ y koˇren λ1 = λ2 = 1, takˇze fundamentáln´ı systém ˇreˇsen´ı tvoˇr´ı funkce u1 (t) = et , u2 (t) = tet , t ∈ R . Obecn´ ym tvarem ˇreˇsen´ı rovnice (7.102) je dvouparametrick´ y systém funkc´ı v(t, c1 , c2 ) = c1 et + c2 tet + w(t) , t, c1 , c2 ∈ R . Partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) hledáme ve tvaru w(t) = c1 (t)et + c2 (t)tet ,

t ∈ R,

(7.103)

kde funkce c1 (t), c2 (t) budeme hledat metodou variace konstant. Jejich derivace najdeme jako ˇreˇsen´ı soustavy (7.101), a tedy v naˇsem pˇr´ıpadˇe jako ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic c˙1 (t)et

+

c˙2 (t)tet

= 0,

c˙1 (t)et

+

c˙2 (t)(1 + t)et

=

Jsou to funkce c˙1 (t) = −

t , 1 + t2

c˙2 (t) =

et . 1 + t2 1 . 1 + t2

√ Odtud po integraci c1 (t) = − ln 1 + t2 , c2 (t) = arctg t. Hledan´ ym partikulárn´ım ˇreˇsen´ım u ´lohy (7.102) je funkce p w(t) = − ln 1 + t2 + t arctg t et , t ∈ R . 2. Máme naj´ıt partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) rovnice x ¨+x=

1 , cos3 t

t ∈ (−π/2, π/2).

(7.104)

ˇ sen´ı: Rovnice má dvˇe komplexnˇe sdruˇzené charakteristické hodnoty λ1 = λ2 = i a jim pˇr´ısluˇs´ı podle Reˇ (7.84) dvˇe lineárnˇe nezávislá ˇreˇsen´ı u1 (t) = cos t, u2 (t) = sin t, t ∈ R. Obecn´ ym tvarem ˇreˇsen´ı rovnice (7.104) je dvouparametrick´ y systém funkc´ı v(t, c1 , c2 ) = c1 cos t + c2 sin t + w(t) ,

t, c1 , c2 ∈ R .

Partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı w(t) budeme hledat ve tvaru w(t) = c1 (t) cos t + c2 (t) sin t ,

t ∈ (−π/2, π/2),

(7.105)


156

kde funkce c1 (t), c2 (t) nalezneme metodou variace konstant. Jejich derivace jsou ˇreˇsen´ımi soustavy (7.101), a tedy v naˇsem pˇr´ıpadˇe ˇreˇsen´ımi soustavy lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic c˙1 (t) cos t

+ c˙2 (t) sin t

= 0,

−c˙1 (t) sin t

+ c˙2 (t) cos t

=

Odtud c˙1 (t) = − a po integraci c1 (t) = −

1 . cos3 t

sin t 1 , c˙2 (t) = cos3 t cos2 t

1 , 2 cos2 t

c2 (t) = tg t .

Hledan´ ym partikulárn´ım ˇreˇsen´ım u ´lohy (7.104) je funkce w(t) = −

1 sin2 t 1 cos t + tg t sin t = − + , 2 cos2 t 2 cos t cos t

t ∈ (−π/2, π/2).

´ Ulohy Máme naj´ıt obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı v(t; c1 , c2 ) následuj´ıc´ıch rovnic: √ et ; 3. x ¨ + 2x˙ + x = 3e−t t + 1; t 1 1 5. x ¨+x= ; 6. x ¨ + 3x˙ + 2x = t . sin t e +1

1. x ¨ + x = cotg t; 2. x ¨ − 2x˙ + x = 4. x ¨ + x = sin2 t; 

 1. c1 cos t + c2 sin t + sin t ln | tg(t/2)|, t ∈ (kπ, (k + 1)π); 2. (c1 + c2 t + t ln |t|)et , t 6= 0;  3. (c1 + c2 t + 4(t + 1)5/2 /5)e−t ; 4. c1 cos t + c2 sin t + (1 + cos2 t)/3;  5. (c1 + ln | sin t|) sin t + (c2 − t) cos t , t ∈ (kπ, (k + 1)π); 6. c1 e−t + c2 e−2t + (e−t + e−2t ) ln(et + 1). Metoda odhadu tvaru partikul´ arn´ıho ˇ reˇ sen´ı Budeme hledat partikulárn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice 2. ˇrádu s kvázipolynomiáln´ı pravou stranou x ¨ + a1 x˙ + a0 x = Pr (t)eσt cos ωt + Qs (t)eσt sin ωt , (7.106) kde funkce na pravé stranˇe maj´ı stejn´ y v´ yznam jako u rovnice (7.52). Partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) rovnice (7.106) budeme hledat ve tvaru podobném tvaru (7.53), a to ve tvaru w(t) = tk eσt (R1 (t) cos ωt + R2 (t) sin ωt) ,

(7.107)

kde R1 (t), R2 (t) jsou polynomy s reáln´ ymi koeficienty, jejichˇz stupeˇ n je roven vˇetˇs´ımu ze stupˇ n˚ u r, s polynom˚ u Pr (t), Qs (t). V pˇr´ıpadˇe, kdy je komplexn´ı ˇc´ıslo σ + i ω charakteristickou hodnotou, klademe k = 1, jinak klademe k = 0. Je-li σ = 0, tj. v pˇr´ıpadˇe rovnice x ¨ + a1 x˙ + a0 x = Qr (t)eσt ,

(7.108)

kde Qr (t) je polynom stupnˇe r, hledáme partikulárn´ı ˇreˇsen´ı ve stejném tvaru jako (7.55), tj. ve tvaru w(t) = tk R(t)eσt ,

t ∈ R,

(7.109)

kde R(t) je polynom stupnˇe r a exponent k u promˇenné t je roven násobnosti ˇc´ısla σ jako charakteristické hodnoty, tj. klademe k = 2, je-li σ dvojnásobnou charakteristickou hodnotou, k = 1 v pˇr´ıpadˇe, ˇze σ je jednoduchá charakteristická hodnota a koneˇcnˇe k = 0, jestliˇze se ˇc´ıslo σ nevyskytuje mezi charakteristick´ ymi hodnotami. Postup nyn´ı ukáˇzeme na pˇr´ıkladech. Pˇ r´ıklady 1. Máme naj´ıt obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı rovnice x ¨ + 2x˙ + x = 6te−t .

(7.110)


157

ˇ sen´ı: Máme naj´ıt obecn´ Reˇ y tvar ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice s kvázipolynomiáln´ı pravou stranou typu (7.108). Charakteristická rovnice λ2 + 2λ + 1 = 0 má dvojnásobn´ y koˇren λ = −1, a tedy fundamentáln´ı systém je tvoˇren funkcemi e−t , te−t . Jelikoˇz koeficient σ = −1 v exponentu pravé strany je dvojnásobnou charakteristickou hodnotou rovnice, hledáme partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) podle (7.109) ve tvaru w(t) = t2 (at + b)e−t = (at3 + bt2 )e−t .

(7.111)

Vypoˇcteme prvn´ı a druhou derivaci w(t) ˙ = (2bt + 3at2 − bt2 − at3 )e−t , w(t) ¨ = (2b + 6at − 4bt − 6at2 + bt2 + at3 )e−t a dosad´ıme do rovnice (7.110). Po jednoduché u ´pravˇe dostaneme rovnost (2b + 6at)e−t = 6te−t . Odtud, porovn´ an´ım koeficient˚ u u stejn´ ych funkc´ı, dostaneme rovnice 6a = 6, 2b = 0. Je tedy a = 1, b = 0. Dosad´ıme do (7.111) a dostaneme partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) = t3 e−t , t ∈ R. Obecn´ ym tvarem ˇreˇsen´ı rovnice (7.110) je tedy dvouparametrick´ y systém funkc´ı v(t; c1 , c2 ) = c1 e−t + c2 te−t + t3 e−t ,

t, c1 , c2 ∈ R .

2. Máme naj´ıt obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı rovnice x ¨ − x˙ = et + 4e2t + 2t .

(7.112)

ˇ sen´ı: Hledáme obecn´ Reˇ y tvar ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice, jej´ıˇz pravá strana je souˇcet kvázipolynom˚ u. Charakteristická rovnice λ2 − λ = 0 má koˇreny λ1 = 0, λ2 = 1, a tedy fundamentáln´ı systém je tvoˇren funkcemi 1 a et . Exponenty σ1 = 1 u prvn´ıho sˇc´ıtance et a σ3 = 0 u tˇret´ıho sˇc´ıtance 2t = 2te0 t jsou jednoduch´ ymi charakteristick´ ymi hodnotami, exponent σ = 2 u druhého sˇc´ıtance 4e2t nen´ı charakteristickou hodnotou. Vyuˇzijeme princip superpozice a partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) hledáme podle (7.109) ve tvaru w(t) = taet + be2t + t(ct + d) .

(7.113)

Vypoˇcteme prvn´ı a druhou derivaci funkce w(t) a dosad´ıme do rovnice (7.112). Po jednoduché u ´pravˇe dostaneme rovnost (a − 1)et + (2b − 4)e2t − (2c + 2)t − d + 2c = 0 . (7.114) Jelikoˇz funkce et , e2t , t, 1 jsou lineárnˇe nezávislé, mus´ı b´ yt koeficienty v lineárn´ı kombinaci (7.114) vesmˇes nulové. Je tedy a = 1, b = 2, c = −1, d = −2. Dosad´ıme do (7.113) a dostaneme partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) = tet + 2e2t − t2 − 2t , t ∈ R . Obecn´ ym tvarem ˇreˇsen´ı rovnice (7.112) je tedy dvouparametrick´ y systém funkc´ı v(t; c1 , c2 ) = c1 + c2 et + tet + 2e2t − t2 − 2t , t, c1 , c2 ∈ R . 3. Máme naj´ıt obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı rovnice x ¨ + x = 4 sin t .

(7.115)

ˇ sen´ı: Máme naj´ıt obecn´ Reˇ y tvar ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice s kvázipolynomiáln´ı pravou stranou typu (7.106). Charakteristická rovnice λ2 + 1 = 0 má dva komplexnˇe sdruˇzené koˇreny λ1 = i , λ2 = −i , a tedy fundament´ aln´ı systém je tvoˇren funkcemi cos t, sin t. Jelikoˇz koeficient σ + i ω = 0 + i 1 = i v exponentu pravé strany je koˇrenem charakteristické rovnice, hledáme partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) podle (7.107) ve tvaru w(t) = t(a cos t + b sin t) = at cos t + bt sin t . Po dosazen´ı w(t) ¨ a w(t) do rovnice (7.115) za x ¨ a x a po jednoduché u ´pravˇe dostaneme rovnost (4 + 2a) sin t − 2b cos t = 0 pro vˇsechna t ∈ R . Jelikoˇz funkce sin t a cos t jsou lineárnˇe nezávislé, mus´ı platit 4 + 2a = 0, −2b = 0, takˇze dostáváme w(t) = −2t cos t. Obecn´ ym tvarem ˇreˇsen´ı rovnice (7.115) je tedy dvouparametrick´ y systém funkc´ı v(t; c1 , c2 ) = c1 cos t + c2 sin t − 2t cos t ,

t, c1 , c2 ∈ R .

4. Máme naj´ıt obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı rovnice x ¨ + x = (4t + 2) cos t + 6 sin t − 20et cos 2t .

(7.116)


158

ˇ sen´ı: Reˇ ˇ sen´ı w(t) rovnice (7.116) m˚ Reˇ uˇzeme hledat bud’ pomoc´ı principu superpozice tak, ˇze hledáme ˇreˇsen´ı pro kaˇzdého sˇc´ıtance na pravé stranˇe zvláˇst’, nebo je hledáme jako pro rovnici (7.106) podle vzorce (7.107) ve tvaru w(t) = t(at + b) cos t + t(ct + d) sin t + et (g cos 2t + h sin 2t) . Dosad´ıme-li hodnoty w(t) a w(t) ¨ do rovnice (7.116) za x a x ¨, dostaneme po jednoduché u ´pravˇe rovnost 4(c−1)t cos t+2(a+d−1) cos t−4at sin t+(2c−2b−6) sin t+et (4h−2g +20) cos 2t−(4g +2h) sin 2t = 0 pro vˇsechna t ∈ R . Funkce t cos t, cos t, t sin t, sin t, et cos 2t, et sin 2t jsou lineárnˇe nezávislé, takˇze koeficienty lineárn´ı kombinace mus´ı b´ yt rovny nule. Odtud plyne a = 0, b = −2, c = d = 1, g = 2, h = −4. Je tedy w(t) = (t2 + t) sin t − 2t cos t + 2et (cos 2t − 2 sin 2t), t ∈ R. Hledan´ y obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı je pak v(t; c1 , c2 ) = c1 cos t + c2 sin t + (t2 + t) sin t − 2t cos t + 2et (cos 2t − 2 sin 2t) ,

t, c1 , c2 ∈ R .

´ Ulohy (i) Uved’te, v jakém tvaru budete hledat partikulárn´ı ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ıch rovnic: 1. x ¨ − 5x˙ + 6x = 3t3 + 8t; 3. x ¨ + 4x˙ + 3x = e−t cos t + 5 sin 3t; "

2. x ¨ − 3x˙ + 2x = te2t + e−t ; 4. x ¨ + 6x˙ + 10x = e−3t + 2e−3t cos t.

1. at3 + bt2 + ct + d; 2. t(at + b)e2t + ce−t ; 3. ae−t cos t + be−t sin t + c cos 3t + d sin 3t; 4. ae−3t + bte−3t cos t + cte−3t sin t.

#

(ii) Máme naj´ıt obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ıch rovnic: 1. x ¨ − 3x˙ + 2x = 2t3 − 30; 2. x ¨ − 4x˙ + 4x = 3e2t + e−t + 1; 3. x ¨ + x = 2t3 − t + 2 − 2e−t ; 4. x ¨ + x = 6 sin 2t; 5. x ¨ + 4x = sin 2t; 6. x ¨ − x = 2 sin t − 4 cos t; 2 7. x ¨ − x = cos t; 8. x ¨ + x = cos t + cos 2t; 9. x ¨ + x = 2 sin t + 4t cos t.       

U vˇsech ˇreˇsen´ı je t , c1 , c2 ∈ R. 1. c1 et + c2 e2t + (4t3 + 18t2 + 42t − 15)/4; 2. (c1 + c2 t + 3t2 /2)e2t + e−t /9 + 1/4; 3. c1 cos t + c2 sin t + 2t3 − 13t + 2 − e−t ; 4 c1 cos t + c2 sin t − 2 sin 2t; 5 c1 cos 2t + c2 sin 2t − (t/4) cos 2t; 6. c1 et + c2 e−t + 2 cos t − sin t; 7. c1 et + c2 e−t − (cos 2t + 5)/10; 8. c1 cos t + c2 sin t + (3t sin t − 2 cos 2t)/6; 9. c1 cos t + c2 sin t + t2 sin t.

(iii) Naleznˇete ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ıch Cauchyov´ ych u ´loh: 1. x ¨ − x˙ = 2(1 − t) , x(0) = 1 , x(0) ˙ = 1; 2. x ¨ + x˙ = 2t − 3 , x(0) = 0 , x(0) ˙ = 1; 3. x ¨ + 6x˙ + 9x = (2t + 1)et , x(0) = 5 , x(0) ˙ = 1/8; 4. x ¨ − 2x˙ = (t2 + t − 3)et , x(0) = x(0) ˙ = 2; 2t 3 −t 5. x ¨ − 4x = 4e , x(0) = x(0) ˙ = 0; 6. x ¨ + x = t + 6t + e , x(0) = x(0) ˙ = 0; 7. x ¨ + x = 6 sin 2t , x(0) = 0 , x(0) ˙ = −4;

8. x ¨ + 4x = 2 cos 2t , x(0) = 0 , x(0) ˙ = 4;

9. x ¨ + 9x = 5 cos 3t , x(0) = 2 , x(0) ˙ = −1; 11. x ¨ + x = sin 2t , x(0) = 0 , x(0) ˙ = 0;

10. x ¨ + 4x = sin 2t , x(0) = 0 , x(0) ˙ = 0; 12. x ¨ + x = cos t + sin 2t , x(0) = 0 , x(0) ˙ = 0.



U vˇsech ˇreˇsen´ı je t ∈ R.  1. u(t; 0, (1, 1)) = et + t2 ; 2. u(t; 0, (0, 1)) = 6(1 − e−t ) + t2 − 5t;   3. u(t; 0, (5, 1/8)) = e−3t (5 + 15t) + (t/8)et ; 4. u(t; 0, (2, 2)) = e2t − (t2 + t − 1)et ;    5. u(t; 0, (0, 0)) = te2t − (sinh 2t)/2; 6. u(t; 0, (0, 0)) = t3 + (sin t − cos t + e−t )/2;   7. u(t; 0, (0, −4)) = −2 sin 2t; 8. u(t; 0, (0, 4)) = (t + 4) sin 2t /2;    9. u(t; 0, (2, −1)) = 2 cos 3t + (5t − 2) sin 3t /6; 10. u(t; 0, (0, 0)) = (sin 2t − 2t cos 2t)/8; 11. u(t; 0, (0, 0)) = (2 sin t − sin 2t)/3; 12. u(t; 0, (0, 0)) = ((3t + 4) sin t − 2 sin 2t)/6.

           

      

´ ÍCH DIFERENCIALN ´ ÍCH ROVNIC 1. R ˇ ADU ´ 7.4. SOUSTAVA LINEARN

7.4

159

Soustava line´ arn´ıch diferenci´ aln´ıch rovnic 1. ˇ r´ adu

Kl´ıˇcov´ a slova: Soustava lineárn´ıch diferenciáln´ıch rovnic 1. ˇrádu, homogenn´ı soustava, nehomogenn´ı soustava, ˇreˇsen´ı soustavy, báze ˇreˇsen´ı, fundamentáln´ı systém ˇreˇsen´ı, obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı, Cauchyova u ´loha pro soustavu diferenciáln´ıch rovnic, ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy, charakteristick´ y polynom, charakteristická rovnice, charakteristická hodnota, charakteristick´ y vektor, zobecnˇen´ y charakteristick´ y vektor, charakteristická matice, metoda variace konstant, eliminaˇcn´ı metoda Budeme se zab´ yvat soustavou dvou line´ arn´ıch diferenci´ aln´ıch rovnic 1. ˇr´ adu x˙ 1 = a11 x1 + a12 x2 + b1 (t), x˙ 2 = a21 x1 + a22 x2 + b2 (t),

(7.117)

kde koeficienty ars jsou reálná ˇc´ısla a funkce br (t) pro r = 1, 2 jsou reálné funkce spojité na nˇejakém intervalu I ⊂ R. Oznaˇc´ıme-li a11 , a12 b1 (t) x˙ 1 x1 A= , b(t) = , x˙ = , x= , (7.118) a21 , a22 b2 (t) x˙ 2 x2 m˚ uˇzeme soustavu (7.117) psát v maticovém tvaru x˙ = Ax + b(t).

(7.119) ˇ sen´ım soustavy (7.117) naz´ Reˇ yváme reálnou vektorovou funkci u(t) = u1 (t), u2 (t) , definovanou na intervalu I, která splˇ nuje rovnost ˙ u(t) = A(t)u(t) + b(t) pro vˇsechna t ∈ I.

(7.120)

Oznaˇc´ıme-li ξ = (ξ1 , ξ2 ) vektor hodnot ˇreˇsen´ı u(t) v okamˇziku t = τ , pak u ´lohu naj´ıt ˇreˇsen´ı u(t) soustavy (7.117), které splˇ nuje podm´ınku u(τ ) = ξ, naz´ yváme Cauchyovou u ´lohou pro soustavu (7.117) a zapisujeme ji x˙ = A(t)x + b(t) , x(τ ) = ξ . (7.121) ˇ sen´ım Cauchyovy u Reˇ ´lohy (7.121) naz´ yváme kaˇzdé ˇreˇsen´ı u(t) soustavy (7.117), které splˇ nuje podm´ınku ˇ sen´ı Cauchyovy u u(τ ) = ξ. Reˇ ´lohy (7.121) závis´ı na poˇcáteˇcn´ıch u ´daj´ıch τ a ξ, a proto pro zápis ˇreˇsen´ı pouˇz´ıváme symbol u(t; τ, ξ), nebo v pˇr´ıpadˇe, kdy τ = 0, pouze u(t; ξ).

7.4.1

Homogenn´ı soustava

Je-li b1 (t) = b2 (t) = 0 pro vˇsechna t, mluv´ıme o homogenn´ı soustavˇe x˙ 1 = a11 x1 + a12 x2 , x˙ 2 = a21 x1 + a22 x2 .

(7.122)

Soustavu (7.122) m˚ uˇzeme psát v maticovém tvaru x˙ = Ax.

(7.123)

Podobnˇe jako u rovnic druhého ˇrádu, i zde se dá snadno ukázat, ˇze mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy (7.123) tvoˇr´ı dvourozmˇern´ y vektorov´ y prostor. Jeho b´ azi tvoˇr´ı jakákoli uspoˇrádaná dvojice lineárnˇe nezávisl´ ych ˇreˇsen´ı u1 (t) , u2 (t) , t ∈ R . (7.124) Vedle názvu b´ aze ˇreˇsen´ı soustavy (7.122) se bˇeˇznˇe pouˇz´ıvá i název fundament´ aln´ı systém ˇreˇsen´ı soustavy (7.122). Kaˇzdé ˇreˇsen´ı u(t) soustavy (7.122) m˚ uˇzeme vyjádˇrit jako lineárn´ı kombinaci ˇreˇsen´ı (7.124) u(t) = c1 u1 (t) + c2 u2 (t) ,

t, c1 , c2 ∈ R .

(7.125)

Lineárn´ı kombinace (7.125) ˇreˇsen´ı (7.124) se naz´ yvá obecným tvarem ˇreˇsen´ı soustavy (7.122). Závislost ˇreˇsen´ı na koeficientech c1 , c2 vyjadˇrujeme jako obvykle zápisem u(t, c1 , c2 ).


160

Vektorovou funkci, která vyhovuje soustavˇe (7.123), budeme hledat ve tvaru u(t) = ceλt ,

t ∈ R,

(7.126)

kde c je konstantn´ı aritmetick´ y reáln´ y vektor a λ je ˇc´ıslo. Abychom urˇcili c a λ, dosad´ıme z (7.126) do ˙ (7.123) a dostaneme u(t) = λceλt = Aceλt a odtud po zˇrejmé u ´pravˇe Ac − λc = o. Vyuˇzijeme-li vztahu λc = λEc, kde E je jednotková matice, m˚ uˇzeme posledn´ı rovnost upravit na tvar (A − λE)c = o , tedy

(a11 − λ)c1 a21 c1

+ a12 c2 + (a22 − λ)c2

= 0, = 0.

(7.127)

Vid´ıme, ˇze hledan´ y vektor c je ˇreˇsen´ım homogenn´ı soustavy lineárn´ıch algebraick´ ych rovnice (7.127). Z algebry v´ıme, ˇze homogenn´ı soustava lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic má netriviáln´ı ˇreˇsen´ı pouze tehdy, kdyˇz plat´ı a11 − λ, a12 det(A − λE) = det = λ2 − (a11 + a22 )λ + a11 a22 − a12 a21 = 0. (7.128) a21 , a22 − λ Kvadratická rovnice (7.128) se naz´ yvá charakteristick´ a rovnice matice A. Jej´ı koˇreny se naz´ yvaj´ı charakteristické hodnoty matice A. Je-li λ charakteristická hodnota matice A, pak matice (7.128) je singulárn´ı, a tedy soustava (7.127) má netriviáln´ı ˇreˇsen´ı c. Vektor c se naz´ yvá charakteristický vektor matice A, pˇr´ısluˇsej´ıc´ı charakteristické hodnotˇe λ. Matice A − λE se naz´ yvá charakteristick´ a matice a soustava lineárn´ıch algebraick´ ych rovnic (7.127) se naz´ yvá charakteristick´ a soustava matice A. Nyn´ı pop´ıˇseme konstrukci báze ˇreˇsen´ı soustavy (7.123), obecného tvaru ˇreˇsen´ı této soustavy a také ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsné Cauchyovy u ´lohy x˙ 1 = a11 x1 + a12 x2 , x1 (0) = ξ1 , (7.129) x˙ 2 = a21 x1 + a22 x2 , x2 (0) = ξ2 . Pˇri v´ ypoˇctu charakteristick´ ych hodnot a jim pˇr´ısluˇsej´ıc´ıch charakteristick´ ych vektor˚ u mohou nastat ˇctyˇri r˚ uzné situace. Na tyto ˇctyˇri pˇr´ıpady nyn´ı rozdˇel´ıme i postup hledán´ı lineárnˇe nezávisl´ ych ˇreˇsen´ı soustavy x˙ = Ax. Jako prvn´ı vyˇsetˇr´ıme pˇr´ıpad dvou reáln´ ych r˚ uzn´ ych charakteristick´ ych hodnot. Pak budeme vyˇsetˇrovat pˇr´ıpad dvojnásobné reálné charakteristické hodnoty. V pˇr´ıpadˇe a12 = a21 = 0 se soustava rozpadne na dvˇe nezávislé rovnice. Proto budeme vyˇsetˇrovat pouze pˇr´ıpad, kdy je alespoˇ n jeden z koeficient˚ u a12 , a21 nenulov´ y. Nakonec vyˇsetˇr´ıme pˇr´ıpad komplexnˇe sdruˇzen´ ych charakteristick´ ych hodnot. Pˇ r´ıpad re´ aln´ ych r˚ uzn´ ych charakteristick´ ych hodnot Pˇredpokládejme, ˇze charakteristická rovnice λ2 − (a11 + a22 )λ + a11 a22 − a12 a21 = 0

(7.130)

má dva r˚ uzné reálné koˇreny λ1 , λ2 . Dosad´ıme-li kteroukoli z tˇechto charakteristick´ ych hodnot za parametr λ do soustavy (a11 − λ)c1 + a12 c2 = 0, (7.131) a21 c1 + (a22 − λ)c2 = 0, zjist´ıme, ˇze rovnice v této soustavˇe jsou pak závislé. Zredukuje se tedy soustava (7.131) na jednu rovnici pro dvˇe neznámé r1 , r2 , napˇr. (a11 − λi )r1 + a12 r2 = 0, (7.132) kde λi pro i = 1, 2 je pˇr´ısluˇsná charakteristická hodnota. Rovnice (7.132) má pro charakteristickou hodnotu λ1 , resp. λ2 jednoparametrick´ y systém ˇreˇsen´ı. Kaˇzdé takové nenulové ˇreˇsen´ı je charakteristick´ ym vektorem, pˇr´ısluˇsej´ıc´ım dané charakteristické hodnotˇe. Dostáváme tak dva jednoparametrické systémy charakteristick´ ych vektor˚ u. Oznaˇcme r, resp. s libovoln´ y charakteristick´ y vektor pˇr´ısluˇsej´ıc´ı charakteristické hodnotˇe λ1 , resp. λ2 . Dá se snadno ukázat, ˇze vektory r a s jsou lineárnˇe nezávislé a ˇze vektorové funkce u1 (t) = reλ1 t , u2 (t) = seλ2 t , t ∈ R, (7.133) jsou dvˇe ˇreˇsen´ı soustavy (7.122). Jejich lineárn´ı nezávislost plyne z lineárn´ı nezávislosti vektor˚ u r a s.


161

Pˇ r´ıklad Hledejme ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy x˙ 1 = x˙ 2 = −6x1

−

x2 , 5x2 ,

x1 (0) = x2 (0) =

2, −3.

(7.134)

ˇ sen´ı: Charakteristická rovnice soustavy (7.134), tj. rovnice Reˇ −λ, 1 det = λ2 + 5λ + 6 = 0 −6, −5 − λ má dva reálné r˚ uzné koˇreny λ1 = −3, λ2 = −2, takˇze tato ˇc´ısla jsou charakteristick´ ymi hodnotami soustavy (7.134). Charakteristick´ y vektor r = (r1 , r2 ), resp. s = (s1 , s2 ) pˇr´ısluˇsej´ıc´ı charakteristické hodnotˇe λ1 = −3, resp. λ2 = −2 nalezneme jako ˇreˇsen´ı soustavy (7.127) s a11 = 0, a12 = 1, a21 = −6, a22 = −5 a λ = −3, resp. λ = −2, tj. jako ˇreˇsen´ı soustavy 3r1 −6r1

+ −

r2 2r2

= 0, = 0,

resp.

2s1 −6s1

+ −

s2 3s2

= 0, = 0.

V obou tˇechto soustavách jsou rovnice navzájem závislé, takˇze obˇe soustavy pˇredstavuj´ı vlastnˇe soustavy o jedné rovnici pro dvˇe neznámé, napˇr. 3r1 + r2 = 0 , resp. 2s1 + s2 = 0 . Kaˇzdá z tˇechto rovnic má jednoparametrick´ y systém ˇreˇsen´ı, napˇr. (r1 , −3r1 ) , resp. (s1 , −2s1 ) . To znamená, ˇze kaˇzd´ y vektor (b, −3b), resp. (c, −2c) pro kaˇzdé nenulové reálné ˇc´ıslo b, resp. c je charakteristick´ ym vektorem soustavy (7.134) pˇr´ısluˇsej´ıc´ım charakteristické hodnotˇe −3, resp. −2. Napˇr. pro b = c = 1 dostáváme dva lineárnˇe nezávislé charakteristické vektory r = (1, −3), s = (1, −2), takˇze vektorové funkce u1 (t) = (1, −3)e−3t = (e−3t , −3e−3t ) , u2 (t) = (1, −2)e−2t = (e−2t , −2e−2t ), t ∈ R , jsou lineárnˇe nezávislá ˇreˇsen´ı. Obecn´ ym tvarem ˇreˇsen´ı soustavy (7.134) je tedy napˇr. dvouparametrick´ y systém ˇreˇsen´ı u(t; c1 , c2 ) = c1 u1 (t) + c2 u2 (t) = (c1 e−3t + c2 e−2t , −3c1 e−3t − 2c2 e−2t ),

t, c1 , c2 ∈ R.

ˇ sen´ı u(t; (2, −3)) dané Cauchyovy u Reˇ ´lohy budeme hledat ve tvaru u(t) ≡ u(t; (2, −3)) = (c1 e−3t + c2 e−2t , −3c1 e−3t − 2c2 e−2t ),

t ∈ R,

(7.135)

pro vhodné hodnoty koeficient˚ u c1 a c2 . Dosad´ıme t = 0, u(0) = (2, −3) a dostáváme rovnost u(0) = (2, −3) = (c1 + c2 , −3c1 − 2c2 ), která pˇredstavuje soustavu dvou algebraick´ ych rovnic c1 + c2 = 2, −3c1 − 2c2 = −3 pro neznámé c1 a c2 . Tato soustava má právˇe jedno ˇreˇsen´ı c1 = −1, c2 = 3. Nalezené hodnoty dosad´ıme do (7.135) a dostaneme hledané ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy (7.134) u(t; (2, −3)) = (−e−3t + 3e−2t , 3e−3t − 6e−2t ),

t ∈ R.

Pˇ r´ıpad dvojn´ asobn´ e charakteristick´ e hodnoty Pˇredpokládejme, ˇze charakteristická rovnice (7.130) má jeden dvojnásobn´ y koˇren λ0 a ˇze soustava (7.122) nen´ı degenerovaná, tj. alespoˇ n jeden z koeficient˚ u a12 , a21 je nenulov´ y. Pro hodnotu λ0 dostaneme jednoparametrick´ y systém charakteristick´ ych vektor˚ u r = (r1 , r2 ), takˇze funkce u1 (t) = reλ0 t ,

t ∈ R,

(7.136)

je ˇreˇsen´ım soustavy (7.122). Abychom naˇsli druhé lineárnˇe nezávislé ˇreˇsen´ı soustavy (7.122), budeme nejdˇr´ıve hledat tzv. zobecnˇený charakteristický vektor s = (s1 , s2 ) jako ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy (a11 − λ0 )s1 a21 s1

+ +

a12 s2 (a22 − λ0 )s2

= r1 , = r2 .

(7.137)

Plat´ı, ˇze kaˇzdé dva vektory r, s, kde r je charakteristick´ y vektor a s je zobecnˇen´ y charakteristick´ y vektor pˇr´ısluˇsej´ıc´ı téˇze charakteristické hodnotˇe λ0 , jsou lineárnˇe nezávislé a ˇze vektorové funkce u1 (t) = reλ0 t , u2 (t) = (s + rt)eλ0 t ,

t ∈ R,

(7.138)

jsou ˇreˇsen´ımi soustavy (7.122). Jejich lineárn´ı nezávislost plyne z lineárn´ı nezávislosti vektor˚ u r a s.


162 Pˇ r´ıklad Hledejme ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy x˙ 1 = 2x1 x˙ 2 = −x1

+ +

x2 , 4x2 ,

x1 (0) = 1, x2 (0) = 0.

(7.139)

ˇ sen´ı: Charakteristická rovnice λ2 − 6λ + 9 = 0 má jeden dvojnásobn´ Reˇ y koˇren λ = 3. Jemu pˇr´ısluˇs´ı jednoparametrick´ y systém charakteristick´ ych vektor˚ u (b, b) pro libovolné nenulové reálné ˇc´ıslo b. Napˇr. pro b = 1 dostaneme charakteristick´ y vektor r = (1, 1). Zobecnˇen´ y charakteristick´ y vektor s = (s1 , s2 ) hledáme jako ˇreˇsen´ı soustavy (7.137) pro a11 = 2, a12 = 1, a21 = −1, a22 = 4, λ0 = 3, r1 = r2 = 1, tj. soustavy −s1 + s2 = 1 , −s1 + s2 = 1 , která se redukuje na jednu rovnici −s1 + s2 = 1 pro neznámé s1 , s2 . Jej´ım ˇreˇsen´ım je kaˇzdá uspoˇrádaná dvojice (c, c + 1), kde c je libovolné reálné ˇc´ıslo. Zvol´ıme-li napˇr. c = 0, dostaneme r = (1, 1), s = (0, 1) a hledaná dvˇe lineárnˇe nezávislá ˇreˇsen´ı soustavy (7.139) jsou vektorové funkce u1 (t) = (e3t , e3t ), u2 (t) = (te3t , (1 + t)e3t ),

t ∈ R.

Obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı soustavy (7.139) je napˇr. dvouparametrick´ y systém ˇreˇsen´ı u(t; c1 , c2 ) = ((c1 + c2 t)e3t , (c1 + c2 + c2 t)e3t ),

t, c1 , c2 ∈ R.

Pro t = 0, u(0) = (1, 0) dostáváme rovnost (1, 0) = (c1 , c1 + c2 ), ze které plyne c1 = −c2 = 1, a tedy u(t; (1, 0)) = ((1 − t)e3t , −te3t ),

t ∈ R.

Pˇ r´ıpad komplexnˇ e sdruˇ zen´ ych charakteristick´ ych hodnot Pˇredpokládejme, ˇze soustava (7.122) má dvˇe komplexnˇe sdruˇzené charakteristické hodnoty λ1 = σ + i ω ˇ s´ıme-li soustavu (7.137) pro λ = σ + i ω, dostaneme jako ˇreˇsen´ı komplexn´ı vektor a λ2 = λ1 = σ − i ω. Reˇ r = g + i h, nebo ve sloˇzkách (r1 , r2 ) = (g1 , g2 ) + i (h1 , h2 ) = (g1 + i h1 , g2 + i h2 ), kde g1 , g2 , h1 , h2 jsou reálná ˇc´ısla. Podobnˇe pro λ = σ − i ω dostaneme ˇreˇsen´ı r = g − i h. Kaˇzdé nenulové ˇreˇsen´ı g +i h, resp. g −i h je komplexn´ım charakteristick´ ym vektorem odpov´ıdaj´ıc´ı matice A pˇr´ısluˇsej´ıc´ım komplexn´ı charakteristické hodnotˇe σ + i ω, resp. σ − i ω. Soustavˇe (7.122) vyhovuj´ı tedy komplexn´ı vektorové funkce z(t) = (g + i h)e(σ+i ω)t = (g + i h)eσt (cos ωt + i sin ωt) = = (g cos ωt − h sin ωt)eσt + i (g sin ωt + h cos ωt)eσt , t ∈ R, z(t) = (g cos ωt − h sin ωt)eσt − i (g sin ωt + h cos ωt)eσt , t ∈ R. ˇ aˇr si vˇsak Tyto funkce nejsou reálné, a tedy je nem˚ uˇzeme povaˇzovat za ˇreˇsen´ı soustavy (7.122). Cten´ snadno ovˇeˇr´ı, ˇze kdyˇz komplexn´ı funkce z(t) = v(t) + i w(t) vyhovuje soustavˇe (7.122), vyhovuje ji i jej´ı reálná ˇcást v(t) a imaginárn´ı ˇcást w(t). Dostáváme tak i v tomto pˇr´ıpadˇe dvˇe lineárnˇe nezávislá ˇreˇsen´ı soustavy (7.122) u1 (t) =
+

x2 , 2x2 ,

x1 (0) = x2 (0) =

0, −1.

(7.141)

ˇ sen´ı: Charakteristická rovnice λ2 − 2λ + 2 = 0 má dva komplexnˇe sdruˇzené koˇreny λ = σ + i ω = 1 + i , Reˇ λ = σ − i ω = 1 − i . Komplexn´ı charakteristické hodnotˇe λ = 1 + i pˇr´ısluˇs´ı komplexn´ı charakteristick´ y


163

vektor r = g + i h, kter´ y nalezneme ˇreˇsen´ım soustavy (7.127) pro a11 = 0, a12 = 1, a21 = −2, a22 = 2, λ = 1 + i , tj. soustavy (−1 − i )r1 + r2 = 0, −2r1 + (1 − i )r2 = 0. Levá strana druhé rovnice je (1 − i )-násobkem levé strany prvn´ı rovnice, takˇze opˇet dostáváme pouze jednu rovnici, napˇr. (−1 − i )r1 + r2 = 0 pro dvˇe komplexn´ı neznámé r1 , r2 . Této rovnici vyhovuje kaˇzd´ y vektor (b, (1 + i )b), kde b je libovolné nenulové ˇc´ıslo. Zvol´ıme-li napˇr. b = 1, dostaneme komplexn´ı charakteristick´ y vektor r = (r1 , r2 ) = (1, 1 + i ) = (1, 1) + i (0, 1) = g + i h. Snadno se ovˇeˇr´ı, ˇze komplexnˇe sdruˇzené charakteristické hodnotˇe λ = 1 − i pˇr´ısluˇs´ı jednoparametrick´ y systém komplexn´ıch charakteristick´ ych vektor˚ u (b, (1 − i )b), kde b je libovolné nenulové reálné ˇc´ıslo. Pro b = 1 dostáváme komplexn´ı charakteristick´ y vektor s = r = (r1 , r2 ) = (1, 1) − i (0, 1) = g − i h. Vˇsimnˇeme si jeˇstˇe, ˇze vektory g a h, které pˇredstavuj´ı reálnou a imaginárn´ı ˇcást komplexn´ıho charakteristického vektoru r, jsou lineárnˇe nezávislé. Odtud plyne, ˇze vektorové funkce u1 (t) = (g cos ωt − h sin ωt)eσt = ((1, 1) cos t − (0, 1) sin t)et = (cos t, cos t − sin t)et , u2 (t) = (g sin ωt + h cos ωt)eσt = ((1, 1) sin t + (0, 1) cos t)et = (sin t, sin t + cos t)et ,

t ∈ R, t ∈ R,

pˇredstavuj´ı dvˇe lineárnˇe nezávislá ˇreˇsen´ı soustavy (7.141). Obecn´ ym tvarem ˇreˇsen´ı soustavy (7.141) je napˇr. dvouparametrick´ y systém ˇreˇsen´ı u(t; c1 , c2 ) = ((c1 cos t + c2 sin t)et , ((c1 + c2 ) cos t − (c1 − c2 ) sin t)et ),

t, c1 , c2 ∈ R.

Dosad´ıme-li t = 0, u(0) = (0, −1), dostaneme rovnost (0, −1) = (c1 , c1 +c2 ). Odtud plyne c1 = 0, c2 = −1. Hledané ˇreˇsen´ı u ´lohy (7.141) je tedy vektorová funkce u(t; (0, −1)) = (− sin t, − cos t − sin t)et ,

t ∈ R.

´ Ulohy 1. Naleznˇete fundamentáln´ı systém ˇreˇsen´ı soustavy x˙ = Ax, kde A je matice 0, 1 1, 1 0, 3 1, 1 a) , b) , c) , d) . 12, −1 −2, 3 −3, 0 −1, 1 a) u1 (t) = (1, 3)e3t , u2 (t) = (1, −4)e−4t ; b) u1 (t) = (cos t, cos t − sin t)e2t , u2 (t) = (sin t, sin t + cos t)e2t ; c) u1 (t) = (cos 3t, − sin 3t), u2 (t) = (sin 3t, cos 3t); d) u1 (t) = (cos t, − sin t)et , u2 (t) = (sin t, cos t)et . 2. Naleznˇete obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı soustavy x˙ = Ax, kde A je matice 2, 1 2, −1 −3, 9 −7, 9 −1, 2 a) , b) , c) , d) , e) . 1, 2 3, −2 −1, 3 −1, −1 −2, 3 a) (c1 et + c2 e3t , −c1 et + c2 e3t ), b) (c1 et + c2 e−t , c1 et + 3c2 e−t ), c) (3c1 + 2c2 + 3c2t, c1 + c2 + c2 t), d) (3c1 + 2c2 + 3c2 t)e−4t , (c1 + c2 + c2 t)e−4t , e) (c1 + 2c2 t)et , (c1 + c2 + 2c2 t)et . 3. Naleznˇete ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ıch Cauchyov´ ych u ´loh. a)

x˙ 1 x˙ 2

= =

x1 4x1

− −

3x2 , 6x2 ,

x1 (0) = x2 (0) =

1; b) 0;

x˙ 1 x˙ 2

= =

c)

x˙ 1 x˙ 2

= =

7x1 3x1

− 18x2 , − 8x2 ,

x1 (0) = x2 (0) =

−1; d) 1;

x˙ 1 x˙ 2

= =

e)

x˙ 1 x˙ 2 x˙ 1 x˙ 2 x˙ 1 x˙ 2

= = = = = =

2x1

+

x1 (0) x2 (0) x1 (0) x2 (0) x1 (0) x2 (0)

−1; 2; 1; 1; −1; 3;

x˙ 1 x˙ 2 x˙ 1 x˙ 2 x˙ 1 x˙ 2

= = = = = =

g) i)

x1 2x1 x1 −x1

+ + + +

x2 , 2x2 , 2x2 ; x2 , x2 , x2 ,

= = = = = =

f) h) j)

−5x1 −3x1

−x1 −9x1 2x1 3x1

2x2 , + 7x2 ,

x1 (0) = x2 (0) =

−3; 6;

, − 3x2 ,

x1 (0) = x2 (0) =

5; −3;

x2 , − 2x2 , x2 , , − 3x2 ; + 2x2 ,

x1 (0) x2 (0) x1 (0) x2 (0) x1 (0) x2 (0)

3; 4; 2; −3; 2; −1.

= = = = = =


164

         

7.4.2

a) u(t; (1, 0)) = (4e−2t − 3e−3t , 4e−2t − 4e−3t ) , b) u(t; (−3, 6)) = (6e5t − 9e2t , 15e5t − 9e2t ), c) u(t; (−1, 1)) = (8e−2t − 9et , 4e−2t − 3et ), d) u(t; (5, −3)) = (5e−3t , −3e−3t ), e) u(t; (−1, 2)) = ((2t − 1)e2t , 2e2t ), f) u(t; (3, 4)) = ((3 + 7t)e−t , (4 − 7t)e−t ), g) u(t; (1, 1)) = (e3t , e3t ) h) u(t; (2, −3)) = (2 cos 3t − sin 3t, −6 sin 3t − 3 cos 3t), i) u(t; (−1, 3)) = ((3 sin t − cos t)et , (sin t + 3 cos t)et ), j) u(t; (2, −1)) = (2 cos 3t + sin 3t)e2t , (2 sin 3t − cos 3t)e2t .

         

Nehomogenn´ı soustava

Nyn´ı se budeme zab´ yvat ˇreˇsen´ımi nehomogenn´ı soustavy x˙ = Ax + b(t),

(7.142)

kde b(t) je vektorová funkce, spojitá na nˇejakém intervalu I, pˇriˇcemˇz funkce b(t) nen´ı identicky nulová na intervalu I. Podobnˇe jako u rovnic 2. ˇrádu i zde lze ukázat, ˇze kdyˇz vektorové funkce v(t) a w(t) jsou ˇreˇsen´ımi nehomogenn´ı soustavy (7.142), pak jejich rozd´ıl v(t) − w(t) je ˇreˇsen´ım homogenn´ı soustavy. Odtud plyne, ˇze kdyˇz u1 (t), u2 (t) je fundamentáln´ı systém ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy, pak rozd´ıl v(t) − w(t) mus´ı b´ yt jejich lineárn´ı kombinac´ı v(t) − w(t) = c1 u1 (t) + c2 u2 (t), a tedy v(t) = w(t) + c1 u1 (t) + c2 u2 (t),

t ∈ I.

(7.143)

Znamená to, ˇze kdyˇz známe fundamentáln´ı systém ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy a jedno partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) nehomogenn´ı soustavy (7.142), pak libovolné ˇreˇsen´ı v(t) nehomogenn´ı soustavy lze vyjádˇrit jako souˇcet partikulárn´ıho ˇreˇsen´ı w(t) nehomogenn´ı soustavy (7.142) a vhodného ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsné homogenn´ı soustavy. ˇ sen´ı homogenn´ı soustavy uˇz naj´ıt um´ıme. Zb´ Reˇ yvá ukázat, jak lze naj´ıt nˇejaké partikulárn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy (7.142). Eliminaˇ cn´ı metoda Nyn´ı pop´ıˇseme tzv. eliminaˇcn´ı metodu, udávaj´ıc´ı algoritmus, jak lze pˇrevést nehomogenn´ı soustavu x˙ 1 = a11 x1 + a12 x2 + b1 (t), x˙ 2 = a21 x1 + a22 x2 + b2 (t),

(7.144)

t∈I,

na jednu nehomogenn´ı rovnici 2. ˇrádu. Kdyby byly oba koeficienty a21 i a12 nulové, rozpadla by se soustava (7.144) na dvˇe samostatné rovnice o jedné neznámé. M˚ uˇzeme tedy pˇredpokládat, ˇze napˇr. a12 6= 0. Pak z prvn´ı rovnice m˚ uˇzeme vyjádˇrit x2 pomoc´ı x1 a x˙ 1 1 x2 = (x˙ 1 − a11 x1 − b1 (t)). (7.145) a12 Dosad´ıme-li z (7.145) do druhé rovnice za x2 , dostaneme x˙ 2 = a21 x1 +

a22 (x˙ 1 − a11 x1 − b1 (t)) + b2 (t), a12

(7.146)

a tedy i x˙ 2 jsme vyjádˇrili pomoc´ı x1 a x˙ 1 . Zderivujeme-li obˇe strany prvn´ı rovnice v (7.144), dostaneme x ¨1 = a11 x˙ 1 + a12 x˙ 2 + b˙ 1 (t) = a11 x˙ 1 + a12 a21 x1 + a22 (x˙ 1 − a11 x1 − b1 (t)) + b˙ 1 (t) + a12 b2 (t) = = (a11 + a22 )x˙ 1 − (a11 a22 − a12 a21 )x1 − a22 b1 (t) + a12 b2 (t) + b˙ 1 (t), nebo

x ¨1 − (a11 + a22 )x˙ 1 + (a11 a22 − a12 a21 )x1 = −a22 b1 (t) + a12 b2 (t) + b˙ 1 (t),

(7.147)

coˇz je lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice 2. ˇrádu pro neznámou x1 , jej´ıˇz ˇreˇsen´ı jiˇz um´ıme naj´ıt. Je-li v1 (t, c1 , c2 ) obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı rovnice (7.147), pak vektorová funkce 1 v˙ 1 (t; c1 , c2 ) − a11 v1 (t; c1 , c2 ) − b1 (t) , v(t; c1 , c2 ) = v1 (t, c1 , c2 ), a12

t ∈ I,

(7.148)


165

jej´ıˇz druhou sloˇzku jsme dostali pomoc´ı vztahu (7.145), je obecn´ ym tvarem ˇreˇsen´ı soustavy (7.144). Pˇ r´ıklad Máme naj´ıt ˇreˇsen´ı Cauchyovy u ´lohy x˙ 1 = 4x1 + x2 − e2t , x˙ 2 = −2x1 + x2 ,

x1 (0) = 1, x2 (0) = −2.

(7.149)

ˇ sen´ı: Jelikoˇz je a12 = 1 6= 0, m˚ Reˇ uˇzeme z prvn´ı rovnice vyjádˇrit x2 pomoc´ı x1 a x˙ 1 x2 = x˙ 1 − 4x1 + e2t .

(7.150)

Dosad´ıme-li z (7.150) do druhé rovnice za x2 , dostaneme x˙ 2 = −2x1 + x˙ 1 − 4x1 + e2t ,

(7.151)

a tedy i x˙ 2 jsme vyjádˇrili pomoc´ı x1 a x˙ 1 . Zderivujeme nyn´ı obˇe strany prvn´ı rovnice v soustavˇe (7.149) a dosad´ıme. Dostaneme x ¨1 = 4x˙ 1 + x˙ 2 − 2e2t = 4x˙ 1 − 2x1 + x˙ 1 − 4x1 + e2t − 2e2t = 5x˙ 1 − 6x1 − e2t , nebo

x ¨1 − 5x˙ 1 + 6x1 = −e2t .

(7.152)

To je lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice 2. ˇrádu pro neznámou x1 , jej´ıˇz ˇreˇsen´ı jsme se uˇcili hledat ve 2. kapitole. Nalezneme-li obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı v1 (t, c1 , c2 ) rovnice (7.152), pak vektorová funkce v(t; c1 , c2 ) = (v1 (t, c1 , c2 ), v˙ 1 (t; c1 , c2 ) − 4v1 (t; c1 , c2 ) + e2t ),

t ∈ R,

(7.153)

kde druhou sloˇzku jsme dostali pomoc´ı vztahu (7.150), bude obecn´ ym tvarem ˇreˇsen´ı soustavy (7.149). Hledejme nyn´ı obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı v1 (t, c1 , c2 ) nehomogenn´ı rovnice (7.152) s kvázipolynomiáln´ı pravou stranou. Nejdˇr´ıve najdeme fundamentáln´ı systém ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsné homogenn´ı rovnice. Charakteristická rovnice λ2 − 5λ + 6 = 0 má dva r˚ uzné reálné koˇreny λ1 = 2 a λ2 = 3, a tedy fundamentáln´ı systém je tvoˇren funkcemi e2t , e3t . Obecn´ ym tvarem ˇreˇsen´ı je tedy dvouparametrick´ y systém funkc´ı v1 (t; c1 , c2 ) = c1 e2t + c2 e3t + w(t),

t ∈ R,

kde partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) budeme hledat metodou odhadu. Jelikoˇz koeficient σ = 2 v exponentu pravé strany je jednoduch´ ym koˇrenem charakteristické rovnice, hledáme partikulárn´ı ˇreˇsen´ı w(t) ve tvaru w(t) = tae2t .

(7.154)

Vypoˇcteme prvn´ı a druhou derivaci w(t) ˙ = a(1+2t)e2t , w(t) ¨ = 4a(1+t)e2t a dosad´ıme do rovnice (7.152). Po jednoduché u ´pravˇe dostaneme a = 1, takˇzew(t) = te2t , t ∈ R. Obecn´ ym tvarem ˇreˇsen´ı rovnice (7.152) je tedy dvouparametrick´ y systém funkc´ı v1 (t; c1 , c2 ) = (c1 + t)e2t + c2 e3t ,

t, c1 , c2 ∈ R .

Obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı soustavy (7.149) nalezneme tak, ˇze dosad´ıme do (7.153). Dostaneme v(t; c1 , c2 )

= (v1 (t, c1 , c2 ), v˙ 1 (t; c1 , c2 ) − 4v1 (t; c1 , c2 ) + e2t ) = = ((c1 + t)e2t + c2 e3t , 2(1 − c1 − t)e2t − c2 e3t ), t ∈ R.

(7.155)

Z poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek plyne v(0; c1 , c2 ) = (c1 + c2 , 2 − 2c1 − c2 ) = (1, −2). Odtud c1 = 3, c2 = −2. Tyto hodnoty dosad´ıme do (7.155) a máme hledané ˇreˇsen´ı v(t; (1, −2)) = ((3 + t)e2t − 2e3t , −2(1 + t)e2t + 2e3t ),

t ∈ R.


166

´ Ulohy 1. Naleznˇete obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ıch soustav lineárn´ıch diferenciáln´ıch rovnic: a) c) e) g) i)             

x˙ 1 x˙ 2 x˙ 1 x˙ 2 x˙ 1 x˙ 2 x˙ 1 x˙ 2 x˙ 1 x˙ 2

= 3x1 = x1 = −x1 = −6x1 = −x1 = −2x1 = 2x1 = x1 = 2x1 = −x1

+ 2x2 + 2x2 ; + x2 + 4x2 + 2x2 + 3x2 ; − x2 , − +

+

4e5t ,

b)

− − +

2e−t , 4e−t ; 1,

d)

+

2et ;

f) h)

x2 , 2x2 −

j) 5et sin t;

x˙ 1 x˙ 2 x˙ 1 x˙ 2 x˙ 1 x˙ 2 x˙ 1 x˙ 2 x˙ 1 x˙ 2

= = = = = = = = = =

3x1 x1 2x1 x1 4x1 −2x1 2x1 3x1 2x1

− − + + + + − −

4x2 2x2 x2 2x2 x2 x2 x2 2x2 x2 + x2 .

+ e−2t , − 3e−2t ; − 4, + 3t − 6; + e2t , − 2e2t − sin t, − cos t; − 5 cos t,

a) (c1 et + 2c2 e4t + 3e5t , −c1 et + c2 e4t + e5t ), b) (c1 e−t + 4c2 e2t + 3e−2t , c1 e−t + c2 e2t + 4e−2t ), c) (c1 et + c2 e2t + e−t , 2c1 et + 3c2 e2t + 2e−t ), d) (c1 et + c2 e3t + t + 2, −c1 et + c2 e3t − 2t + 1), e) ((c1 + 2c2 t)et − 3, (c1 + c2 + 2c2 t)et − 2), f) ((c1 + t)e2t + c2 e3t , −2(c1 + t)e2t − c2 e3t ), g) ((c1 + c2 t − t2 )et , (c1 − c2 + c2 t + 2t − t2 )et ), h) (c1 et + c2 e−t + sin t, c1 et + 3c2 e−t + sin t − cos t), i) ((c1 + 2 cos t − sin t)et + c2 e3t , (c1 + 3 cos t + sin t)et − c2 e3t ), j) ((c1 e2t + c2 e−t − cos t − 2 sin t, 2c1 e2t − c2 e−t + 3 cos t + sin t).

            

2. Metodou eliminace ˇreˇste následuj´ıc´ı Cauchyovy u ´lohy: a)

x˙ 1 = x2 − 5 cos t, x1 (0) = 2, b) x˙ 1 = x2 − 2et , x1 (0) = x˙ 2 = 2x1 + x2 , x2 (0) = 6; x˙ 2 = x1 + t2 , x2 (0) = " # a) v(t; (6, 2)) = (e−t + 2e2t − cos t − 2 sin t, −e−t + 4e2t + 3 cos t + sin t) , b) v(t; (−2, 1)) = (−t2 − 2 − tet , −2t + (1 − t)et ).

−2, 1.

Kapitola 8

ˇ Rady 8.1

ˇ ıseln´ C´ aˇ rada a jej´ı vlastnosti

Kl´ıˇcov´ a slova: Posloupnost ˇcásteˇcn´ ych souˇct˚ u ˇrady, souˇcet ˇrady, konvergentn´ı ˇrada, divergentn´ı ˇrada, osciluj´ıc´ı ˇrada, sˇc´ıtac´ı indexy, nutná podm´ınka konvergence ˇrady, souˇcet ˇrad, rozd´ıl ˇrad, násobek ˇrady Konvergence ˇ c´ıseln´ eˇ rady eto posloupnosti pˇriˇrad´ıme posloupnost (sn )∞ Je dána posloupnost reáln´ ych ˇc´ısel (an )∞ n=1 , kde n=1 . T´ s1 s2 ··· sn

= =

a1 , a1 + a2 ,

=

a1 + a2 + · · · + an · · · .

(8.1)

Takto vytvoˇrenou posloupnost naz´ yváme posloupnost´ı ˇc´ asteˇcných souˇct˚ u ˇrady a1 + a2 + · · · + an + · · · =

∞ P n=1

an .

(8.2)

ˇ ıslo sn naz´ C´ yváme n-tým ˇc´ asteˇcným souˇctem ˇrady (8.2). Existuje-li limita lim sn = s ∈ R∗ , pak ˇr´ıkáme, n→∞ ∞ P ∗ ˇze ˇrada (8.2) m´ a souˇcet s ∈ R a p´ıˇseme a1 + a2 + · · · + an + · · · = s , nebo an = s . Je-li s koneˇcné n=1

ˇc´ıslo, pak ˇr´ıkáme, ˇze ˇrada (8.2) konverguje. Jestliˇze s nen´ı koneˇcné ˇc´ıslo, nebo lim sn neexistuje, ˇr´ık´ ame, n→∞

ˇze ˇrada (8.2) diverguje. Jestliˇze sn → +∞, resp. sn → −∞, ˇr´ıkáme, ˇze ˇrada diverguje k +∞, resp. −∞. Nemá-li ˇrada (8.2) souˇcet, tj. lim sn neexistuje, pak ˇr´ıkáme, ˇze ˇrada osciluje. Je zˇrejmé, ˇze konvergence n→∞ ˇrady se nezmˇen´ı, zmˇen´ıme-li koneˇcn´ y poˇcet jejich ˇclen˚ u. ∞ P ˇ Indexy n = 1, 2, · · · v ˇradˇe an se naz´ yvaj´ı sˇc´ıtac´ı indexy a ˇc´ıslo an n–tý ˇclen ˇrady. Rady mohou n=1

zaˇc´ınat libovoln´ ym celoˇc´ıseln´ ym sˇc´ıtac´ım indexem. U vˇsech takov´ ych ˇrad se ˇcásteˇcné souˇcty tvoˇr´ı stejn´ ym zp˚ usobem: n-t´ y ˇcásteˇcn´ y souˇcet je tvoˇren souˇctem prvn´ıch n ˇclen˚ u této ˇrady. Nutn´ a podm´ınka konvergence ˇ rady ∞ P Konverguje-li ˇrada an , pak lim an = 0. n=1

n→∞

D˚ ukaz: lim an = lim (sn − sn−1 ) = lim sn − lim sn−1 = 0. n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

Je nutné si uvˇedomit, ˇze kdyˇz lim an = 0, nemus´ı jeˇstˇe ˇrada n→∞

∞ P n=1

an konvergovat.

Pˇ r´ıklady 1. Vyˇsetˇrujme konvergenci ˇrady ∞ X

1 . n(n + 1) n=1 167

(8.3)

ˇ KAPITOLA 8. RADY

168

1 1 1 = − , dostáváme pro n-t´ y ˇcásteˇcn´ y souˇcet sn k(k + 1) k k+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sn = + + ··· + =1− + + ··· + = 1− − − . 1·2 2·3 n+1 2 2 3 n n+1 n+1

ˇ sen´ı: Pouˇzijeme-li rovnost Reˇ

Odtud lim sn = 1, takˇze ˇrada konverguje a má souˇcet 1. n→∞

2. Vyˇsetˇrujme konvergenci tzv. geometrické ˇrady a + aq + aq 2 + · · · + aq n−1 + · · · =

∞ P

∞ P

aq n−1 =

n=1

aq n ,

(8.4)

n=0

kde a, q ∈ R a q se naz´ yvá kvocient geometrické ˇrady (8.4). ˇ sen´ı: Pro a = 0 má ˇrada souˇcet rovn´ Reˇ y 0 pˇri kaˇzdém q. Pˇredpokládejme tedy, ˇze a 6= 0. Pro q = 1 je sn = na, takˇze v tomto pˇr´ıpadˇe pro a > 0 má ˇrada souˇcet +∞, pro a < 0 má ˇrada souˇcet −∞. Pˇredpokládejme tedy, ˇze q 6= 1. Z rovnosti (1 − q)(1 + q + · · · + q n−1 ) = 1 − q n pro ˇcásteˇcné souˇcty 1 − qn sn ˇrady (8.4) dostáváme sn = a(1 + q + · · · + q n−1 ) = a . 1−q a a Je-li |q| < 1, pak lim q n = 0, a tedy lim sn = , takˇze ˇrada (8.4) konverguje a má souˇcet . n→∞ n→∞ 1−q 1−q n (1 − q ) Pro q > 1 je lim q n = +∞, a tedy lim = +∞. Tud´ıˇz pro a > 0, q > 1 má ˇrada (8.4) souˇcet n→∞ n→∞ (1 − q) +∞, pro a < 0, q > 1 má ˇrada (8.4) souˇcet −∞. Je-li q ≤ −1, pak lim q n neexistuje. V tomto pˇr´ıpadˇe ˇrada (8.4) nemá pro a 6= 0 souˇcet (osciluje). n→∞

V´ ysledek provedené u ´vahy m˚ uˇzeme shrnout takto: Je-li a 6= 0, pak geometrick´ a ˇrada (8.4) konverguje pr´ avˇe tehdy, kdyˇz |q| < 1. 3. Vyˇsetˇrujme konvergenci ˇrady ∞ X 1 √ . n n=1

(8.5)

ˇ sen´ı: Zˇrejmˇe Reˇ

√ 1 1 1 sn = 1 + √ + · · · + √ > n √ = n → +∞ n n 2 ˇ takˇze lim sn = +∞. Rada diverguje k +∞.

pro

n → ∞,

n→∞

4. Vyˇsetˇrujme konvergenci ˇrady ∞ P

(−1)n+1 n = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − · · ·

.

(8.6)

n=1

ˇ sen´ı: Zde s1 = 1, s2 = −1, s3 = 2, s4 = −2, s5 = 3, s6 = −3, · · ·. Zˇrejmˇe lim sn neexistuje, takˇze ˇrada Reˇ n→∞

(8.6) nemá souˇcet (osciluje).

Aritmetick´ e operace s ˇ radami ∞ ∞ ∞ P P P Souˇctem, resp. rozd´ılem ˇrad an , bn , resp. n´ asobkem ˇrady an ˇc´ıslem c ∈ R rozum´ıme ˇradu n=1

∞ P

n=1

(an + bn ),

n=1

∞ P

resp.

n=1

n=1

(an − bn ),

∞ P

resp.

can .

(8.7)

can = cs,

(8.8)

n=1

Pro operace s ˇradami plat´ı následuj´ıc´ı tvrzen´ı: ∞ ∞ P P Necht’ an = s, bn = t, c ∈ R. Potom n=1

n=1

∞ P

(an + bn ) = s + t,

n=1

m´ a-li prav´ a strana pˇr´ısluˇsné rovnosti smysl.

∞ P n=1

(an − bn ) = s − t,

∞ P n=1

ˇ ´ ´ ˇ 8.2. RADY S NEZAPORN YMI CLENY

169

D˚ ukaz: Je-li sn , resp. tn n-t´ y ˇcásteˇcn´ y souˇcet ˇrady souˇcet ˇrady

∞ P

∞ P n=1

an , resp.

(an + bn ), csn je n-t´ y ˇcásteˇcn´ y souˇcet ˇrady

n=1

∞ P n=1

∞ P n=1

bn , pak sn + tn je n-t´ y ˇcásteˇcn´ y

can . Jelikoˇz plat´ı sn → s, tn → t, plat´ı i

sn + tn → s + t a csn → cs, jakmile s + t a cs maj´ı smysl. ∞ P Pozn´ amka Je-li an ˇrada s nezáporn´ ymi ˇcleny, pak pˇr´ısluˇsná posloupnost ˇcásteˇcn´ ych souˇct˚ u je neklen=1

saj´ıc´ı, a má tedy vˇzdy limitu, at’ uˇz koneˇcnou ˇci nekoneˇcnou. Koneˇcnou limitu má právˇe tehdy, kdyˇz je ˇ omezená. Rada s nezáporn´ ymi ˇcleny má tedy vˇzdy souˇcet. Pˇritom je konvergentn´ı právˇe tehdy, kdyˇz jej´ı posloupnost ˇca´steˇcn´ ych souˇct˚ u je omezená. Zˇrejmˇe souˇcet takové ˇrady je vˇzdy nezáporné ˇc´ıslo. U ˇrad s libovoln´ ymi ˇcleny je situace podstatnˇe komplikovanˇejˇs´ı. Proto se nyn´ı pˇri vyˇsetˇrován´ı kritéri´ı konvergence omez´ıme nejdˇr´ıve na ˇrady s nezáporn´ ymi ˇcleny.

8.2

ˇ Rady s nez´ aporn´ ymi ˇ cleny

Kl´ıˇcov´ a slova: Srovnávac´ı kritérium konvergence, konvergentn´ı majoranta, divergentn´ı minoranta, pod´ılové kritérium, limitn´ı pod´ılové kritérium, odmocninové kritérium, limitn´ı odmocninové kritérium, integráln´ı kritérium, harmonická ˇrada Srovn´ avac´ı krit´ erium konvergence ˇ rad Necht’ existuje n0 ∈ N tak, ˇze pro kaˇzdé n ≥ n0 je 0 ≤ an ≤ bn . Potom plat´ı: (i) Konverguje-li ˇrada

∞ P n=1

(ii) Diverguje-li ˇrada

∞ P n=1

bn , konverguje téˇz ˇrada

an , diverguje téˇz ˇrada

V pˇr´ıpadˇe (i) mluv´ıme o ˇradˇe ∞ P n=1

∞ P n=1

∞ P n=1

∞ P n=1

an .

bn .

bn jako o konvergentn´ı majorantˇe ˇrady

an jako o divergentn´ı minorantˇe ˇrady

Je-li 0 ≤ an ≤ bn pro vˇsechna n ∈ N, Pˇ r´ıklady 1. Máme vyˇsetˇrit konvergenci ˇrady

∞ P n=1

∞ P n=1

∞ P n=1

an , v pˇr´ıpadˇe (ii) o ˇradˇe

bn .

an = s,

∞ P n=1

bn = t, pak zˇrejmˇe 0 ≤ s ≤ t.

∞ X

1 . (n + 1)2 n=1

∞ P 1 1 1 ˇ < . Rada 2 (n + 1) n(n + 1) n=1 n(n + 1) konverguje, jak jsme vidˇeli v (8.3), takˇze podle srovnávac´ıho kritéria konverguje téˇz vyˇsetˇrovaná ˇrada. ∞ X 1 √ 2. Máme vyˇsetˇrit konvergenci ˇrady . 3 n n=1

ˇ sen´ı: Pro kaˇzdé n ∈ N je (n + 1)2 > n(n + 1), a tedy Reˇ

∞ X √ 1 ˇ 1 1 3 ˇ sen´ı: Protoˇze √ √ diverguje, jak jsme vidˇeli v . Rada Reˇ n ≤ n pro kaˇzdé n ∈ N, je √ ≤ √ 3 n n n n=1 (8.5), a tedy podle srovnávac´ıho kritéria diverguje téˇz naˇse vyˇsetˇrovaná ˇrada.

Pod´ılov´ e (d’Alembertovo1 ) krit´ erium Necht’ an > 0 pro vˇsechna n. Pak plat´ı (i) Existuje-li ˇc´ıslo q ∈ (0, 1) a index n0 tak, ˇze pro kaˇzdé n ≥ n0 je konverguje. (ii) Jestliˇze pro kaˇzdé n ≥ n0 je

∞ P an+1 ≤ q , pak ˇrada an an n=1

∞ P an+1 ≥ 1 , pak ˇrada an diverguje. an n=1

1 d’Alembert, Jean Le Rond (1717-1783), francouzsk´ y matematik, zakladatel teorie parci´ aln´ıch diferenci´ aln´ıch rovnic (spolu s Danielem Bernoullim)

ˇ KAPITOLA 8. RADY

170 D˚ ukaz:

Ad (i) Jelikoˇz sm´ıme zmˇenit koneˇcn´ y poˇcet ˇclen˚ u ˇrady, aniˇz se zmˇen´ı konvergence ˇci divergence ˇrady, an+1 m˚ uˇzeme pˇredpokládat, ˇze nerovnost ≤ q plat´ı pro vˇsechna n ∈ N. Pak a2 ≤ a1 q, a3 ≤ a2 q ≤ an ∞ P a1 q 2 · · ·, obecnˇe an ≤ a1 q n−1 . Protoˇze geometrická ˇrada a1 q n−1 pro q ∈ (0, 1) konverguje, konverguje podle srovnávac´ıho kritéria také ˇrada

∞ P n=1

n=1

an .

an+1 Ad (ii) Jestliˇze ≥ 1 pro n ≥ n0 , pak an ≥ an0 . Nen´ı tedy splnˇena podm´ınka lim an = 0, a proto n→∞ an ∞ P ˇrada an diverguje. n=1

Limitn´ı pod´ılov´ e (d’Alembertovo) krit´ erium ∞ ∞ P P an+1 Necht’ existuje lim = A . Je-li A < 1, ˇrada an konverguje. Je-li A > 1, ˇrada an diverguje. n→∞ an n=1 n=1 D˚ ukaz: Limitn´ı pod´ılové kritérium je bezprostˇredn´ım d˚ usledkem pˇredchoz´ıho pod´ılového kritéria. Pˇ r´ıklady

∞ X an , kde a > 0. 1. Máme vyˇsetˇrit konvergenci ˇrady n! n=1

ˇ sen´ı: Pouˇzijeme limitn´ı pod´ılové kritérium. Reˇ an+1 an+1 n! a = = → 0 < 1, n an (n + 1)!a n+1 takˇze podle limitn´ıho pod´ılového kritéria ˇrada konverguje pro kaˇzdé a > 0. ∞ X nn 2. Máme vyˇsetˇrit konvergenci ˇrady . n! n=1 ˇ sen´ı: Reˇ

an+1 (n + 1)n+1 n! = = an (n + 1)!nn

n 1 1+ → e > 1, n

takˇze ˇrada diverguje. Odmocninov´ e (Cauchyovo) krit´ erium ∞ P Necht’ an je ˇrada s nez´ apornými ˇcleny. n=1

(i) Existuje-li ˇc´ıslo q ∈ (0, 1) a index n0 tak, ˇze pro kaˇzdé n ≥ n0 je

√ n

an ≤ q, pak ˇrada

konverguje. (ii) Jestliˇze pro nekoneˇcnˇe mnoho index˚ u n je

√ n

an ≥ 1, pak ˇrada

∞ P n=1

∞ P n=1

an

an diverguje.

D˚ ukaz: √ Ad (i) Jestliˇze n an ≤ q pro n ≥ n0 , pak an ≤ q n pro n ≥ n0 . Nyn´ı staˇc´ı pouˇz´ıt srovnávac´ı kritérium, kde poloˇz´ıme bn = q n . √ (ii) Jestliˇze n an ≥ 1 pro nekoneˇcnˇe mnoho n, pak také an ≥ 1 pro nekoneˇcnˇe mnoho n, a tedy neplat´ı lim an = 0. Proto ˇrada diverguje. n→∞

Limitn´ı odmocninov´ e (Cauchyovo) krit´ erium ∞ ∞ P P √ n Necht’ existuje lim an = A . Je-li A < 1, ˇrada an konverguje. Je-li A > 1, ˇrada an diverguje. n→∞

n=1

n=1

D˚ ukaz: Limitn´ı odmocninové kritérium je pˇr´ım´ ym d˚ usledkem pˇredchoz´ıho odmocninového kritéria.

ˇ ´ ´ ˇ 8.2. RADY S NEZAPORN YMI CLENY

171

∞ P Pozn´ amka U pod´ılového, resp. odmocninového kritéria nestaˇc´ı pro konvergenci ˇrady an splnˇen´ı n=1 √ √ an+1 nerovnosti < 1, resp. n an < 1. Je-li napˇr. an = 1/ n, jsou tyto nerovnosti splnˇeny, pˇresto vˇsak an ∞ P √ ˇrada 1/ n diverguje, jak ukazuje (8.5). n=1 √ an+1 Jestliˇze lim = 1, resp. lim n an = 1, nelze podle pod´ılového, resp. odmocninového kritéria n→∞ an n→∞ rozhodnout o konvergenci ˇrady.

Pˇ r´ıklady 1. Vyˇsetˇreme konvergenci ˇrady

∞ X

1 . [ln(n + 1)]n n=1

n ˇ sen´ı: Protoˇze lim √ Reˇ an = lim

1 = 0 < 1, daná ˇrada podle limitn´ıho odmocninového kritéria n→∞ ln(n + 1)

n→∞

konverguje.

n ∞ X 1 1+ . n n=1 n 1 n ˇ sen´ı: Protoˇze lim √ Reˇ an = lim 1 + = e > 1, daná ˇrada podle limitn´ıho odmocninového kritéria n→∞ n→∞ n diverguje. 2

2. Vyˇsetˇreme konvergenci ˇrady

Integr´ aln´ı krit´ erium Necht’ f (x) je nerostouc´ı kladn´ a funkce na intervalu h1, +∞) takov´ a, ˇze pro kaˇzdé n ∈ N je an = f (n). ∞ P Potom ˇrada an konverguje pr´ avˇe tehdy, kdyˇz existuje koneˇcn´ a limita n=1

lim

Rn

n→∞ 1

f (x) dx =

+∞ R

f (x) dx.

(8.9)

1

D˚ ukaz: Jelikoˇz f je nerostouc´ı, plat´ı pro kaˇzdé k ∈ N a pro kaˇzdé x ∈ hk, k + 1i nerovnosti ak+1 = f (k + 1) =

k+1 R

f (k + 1) dx ≤

k

a odtud sn − a 1 =

n−1 P

k+1 R

f (x) dx ≤

k

ak+1 ≤

k=1

n−1 R P k+1

f (k) dx = f (k) = ak

k

f (x) dx =

k=1 k

k+1 R

Rn 1

f (x) dx ≤

n−1 P

ak = sn−1 .

k=1

Z nerovnosti vpravo plyne, ˇze kdyˇz existuje koneˇcná limita lim sn−1 , pak také existuje koneˇcná limita n→∞ Rn lim f (x) dx. Z nerovnosti vlevo plyne tvrzen´ı v opaˇcném smˇeru. n→∞ 1

Pˇ r´ıklad Máme vyˇsetˇrit konvergenci tzv. harmonické ˇrady ∞ X 1 , s n n=1

s > 0.

(8.10)

ˇ sen´ı: Zvolme f (x) = 1 . Funkce f je kladná a klesaj´ıc´ı na intervalu h1, ∞) a f (n) = 1 . Pro s 6= 1 je Reˇ xs ns Zn F (n) =

Zn f (x) dx =

1

1

1 1 dx = (n1−s − 1). xs 1−s

1 , takˇze daná ˇrada pro s > 1 konverguje. n→∞ s−1 Pro s < 1 je lim F (n) = +∞, takˇze ˇrada diverguje. Pro s > 1 je lim F (n) = n→∞

ˇ KAPITOLA 8. RADY

172 Je-li s = 1, je lim F (n) = lim ln n = +∞, takˇze ˇrada opˇet diverguje. n→∞

n→∞

´ Ulohy 1. Pomoc´ı srovnávac´ıho kritéria vyˇsetˇrete konvergenci ˇrad: ∞ X

∞ X

∞ X

2n b) ; n 3 +1 n=1

1 a) ; n + 3n 2 n=0

3n c) ; n 2 +1 n=1

[a) konverguje;

∞ X

d)

1 . n (n + 1) 2 n=1

b) konverguje;

c) diverguje;

d) konverguje.]

2. Pomoc´ı limitn´ıho pod´ılového kritéria vyˇsetˇrete konvergenci ˇrad. a)

∞ X n ; 2n n=1

∞ X (n + 1)! ; 10n n=1

b)

[a) konverguje;

c)

∞ X 1 ; n3n n=1

b) diverguje;

d)

∞ X

1 ; (2n − 1)! n=1

c) konverguje;

e)

∞ X n4 . n! n=1

d) konverguje;

e) konverguje.]

3. Pomoc´ı limitn´ıho odmocninového kritéria vyˇsetˇrete konvergenci ˇrad. a)

n n ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X X X n 2n + 5 n 2n − 1 n+1 n n ; e) . ; b) ; d) ; f) n a ; c) 2 2n nn 3n + 2 (3 + 1/n)n 2n + 1 n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 [a) konverguje;

b) diverguje;

c) konverguje;

d) konverguje;

e) konverguje;

f) diverguje.]

4. Pomoc´ı integráln´ıho kritéria vyˇsetˇrete konvergenci ˇrad. a)

∞ X

1 ; n(ln n)3 n=2

b)

∞ X

1 ; n ln n n=2

c)

∞ X

1 . n(n + 1) n=2

[a) konverguje;

b) diverguje;

c) konverguje.]

5. Pomoc´ı srovnávac´ıho kritéria vyˇsetˇrete konvergenci ˇrad. a)

∞ X

1 ; ln(n + 1) n=1

b)

∞ X

1

p

n=1

n(n + 1)

;

c)

[a) diverguje;

8.3

∞ X

1 ; n + 1/2 n=1 b) diverguje;

d)

∞ X

1 . (n − 1/2)2 n=1

c) diverguje;

d) konverguje.]

ˇ Rady s libovoln´ ymi ˇ cleny

Kl´ıˇcov´ a slova: Absolutn´ı a neabsolutn´ı konvergence ˇrady; kritéria absolutn´ı konvergence ˇrady; alternuj´ıc´ı ˇrady; Leibnizovo kritérium Nyn´ı se budeme zab´ yvat ˇradami, jejichˇz ˇcleny mohou b´ yt téˇz záporné. Jelikoˇz vyˇsetˇrován´ı ˇrad s nekladn´ ymi ˇcleny m˚ uˇzeme pˇrevést na vyˇsetˇrován´ı ˇrad s nezáporn´ ymi ˇcleny (staˇc´ı ˇradu vynásobit −1), budou nás nyn´ı zaj´ımat ˇrady, v nichˇz se vyskytuj´ı jak kladné, tak záporné ˇcleny. Pro libovolné ˇc´ıslo a ∈ R definujeme a, je-li a > 0, −a, je-li a < 0, + − a = max{ a, 0} = a = max{−a, 0} = 0, je-li a ≤ 0, 0, je-li a ≥ 0. Je zˇrejmˇe vˇzdy a+ ≥ 0, K dané ˇradˇe

∞ P n=1

a− ≥ 0,

a = a+ − a− ,

|a| = a+ + a− .

an utvoˇrme ˇrady ∞ X n=1

a+ n,

∞ X n=1

a− n,

∞ X n=1

|an |.

(8.11)

ˇ ´ ˇ 8.3. RADY S LIBOVOLNYMI CLENY

173

Vˇsechny ˇrady v (8.11) jsou ˇrady s nezáporn´ ymi ˇcleny, a tedy maj´ı vˇzdy souˇcet, bud’ koneˇcné nezáporné ∞ ∞ P P + + − ˇc´ıslo, nebo +∞. Oznaˇcme s = an , s = a− n jedno z ˇc´ısel s+ , s− koneˇcné, pak n . Je-li alespoˇ n=1

n=1

∞ X

an =

n=1

∞ X

− + − (a+ n − an ) = s − s .

(8.12)

n=1

Vid´ıme, ˇze kdyˇz jsou obˇe ˇc´ısla s+ a s− koneˇcná, pak ˇrada (8.12) konverguje, a jelikoˇz je ∞ X

|an | =

n=1

∞ X

− + − (a+ n + an ) = s + s ,

(8.13)

n=1

konverguje také ˇrada (8.13). M˚ uˇze se ovˇsem stát, ˇze ˇrada (8.12) konverguje, i kdyˇz obˇe ˇrady ∞ P n=1

∞ P n=1

a+ n i

a− ı. n diverguj´

Absolutn´ı a neabsolutn´ı konvergence ∞ ∞ P P Z rovnosti (8.13) je vidˇet, ˇze ˇrada |an | konverguje právˇe tehdy, kdyˇz konverguj´ı obˇe ˇrady a+ n i ∞ P n=1

a− n,

takˇze kdyˇz konverguje ˇrada

Konverguje-li ˇrada

∞ P n=1

n=1 ∞ P

n=1

|an |, konverguje i ˇrada

|an |, pak ˇr´ıkáme, ˇze ˇrada

je absolutnˇe konvergentn´ı. Konverguje-li ˇrada ∞ P n=1

∞ P

∞ P n=1

n=1

∞ P n=1

n=1

an .

an (která podle pˇredeˇslého tvrzen´ı téˇz konverguje)

an , avˇsak ˇrada

∞ P n=1

|an | diverguje, pak ˇr´ıkáme, ˇze ˇrada

an je neabsolutnˇe konvergentn´ı. Z pˇredchoz´ıch u ´vah vypl´ yvá, ˇze je-li ˇrada

gentn´ı, pak obˇe ˇrady

∞ P n=1

a+ n i

∞ P n=1

∞ P n=1

an neabsolutnˇe konver-

a− e diverguj´ı. n nutnˇ

Pˇri zjiˇst’ován´ı absolutn´ı konvergence ˇrady staˇc´ı ovˇeˇrit konvergenci ˇrady

∞ P n=1

|an |, coˇz je ˇrada s nezáporn´ ymi

ˇcleny. M˚ uˇzeme tedy aplikovat dosud odvozená kritéria pro ˇrady s nezáporn´ ymi ˇcleny na ˇradu

∞ P n=1

|an |.

Pˇr´ımo ze srovnávac´ıho kritéria plyne následuj´ıc´ı majorantn´ı kritérium absolutn´ı konvergence ˇrad: ∞ ∞ P P Necht’ existuje n0 ∈ N tak, ˇze pro n ≥ n0 je |an | ≤ bn , a necht’ ˇrada bn konverguje. Pak ˇrada an n=1

n=1

absolutnˇe konverguje. Podobnˇe m˚ uˇzeme pouˇz´ıt pod´ılová a odmocninová kritéria na ˇradu s absolutn´ımi ˇcleny, a dostaneme pˇr´ısluˇsné tvrzen´ı o absolutn´ı konvergence ˇrady s libovoln´ ymi ˇcleny. Alternuj´ıc´ı ˇ rady Mezi ˇradami, které maj´ı jak kladné, tak záporné ˇcleny, hraj´ı zvláˇstn´ı roli ˇrady, jejichˇz ˇcleny stˇr´ıdaj´ı znaménka. Jsou to tzv. alternuj´ıc´ı ˇrady a1 − a2 + a3 − · · · =

∞ X

(−1)n−1 an ,

(8.14)

n=1

kde an ≥ 0, n = 1, 2, · · · , n. Pro alternuj´ıc´ı ˇrady plat´ı následuj´ıc´ı Leibnizovo krit´ erium Necht’ (an )∞ ı posloupnost, an ≥ 0 pro n = 1, 2, · · · a necht’ n=1 je nerostouc´ lim an = 0. Potom ˇrada (8.14) konverguje. n→∞

Pˇ r´ıklady 1. Necht’ α ∈ R. Vyˇsetˇrujeme konvergenci ˇrady

∞ X sin nα . n2 n=1

∞ X 1 ˇ sen´ı: Protoˇze sin nα ≤ 1 pro vˇsechna n ∈ N a ˇrada Reˇ konverguje, konverguje daná ˇrada n2 2 n2 n n=1 absolutnˇe.

ˇ KAPITOLA 8. RADY

174 2. Necht’ a ∈ R. Vyˇsetˇrujme konvergenci ˇrady

∞ P

nan .

n=1

ˇ sen´ı: Je-li a = 0, pak ˇrada zˇrejmˇe konverguje (absolutnˇe). Necht’ a 6= 0. Pouˇzijme limitn´ı pod´ılové Reˇ kritérium. Je n+1 an+1 = lim (n + 1)a = |a| lim n + 1 = |a|. lim n→∞ n→∞ an n→∞ nan n Je-li |a| < 1, daná ˇrada absolutnˇe konverguje; je-li |a| > 1, daná ˇrada diverguje. Pro |a| = 1 je tˇreba vyˇsetˇrit ˇradu zvláˇst’. Je-li a = 1, daná ˇrada zˇrejmˇe diverguje k +∞ (jde o ˇradu 1 + 2 + 3 + · · ·); je-li a = −1, daná ˇrada osciluje (jde o ˇradu −1 + 2 − 3 + · · ·). ∞ X (−1)n+1 3. Vyˇsetˇrujme konvergenci ˇrady . ns n=1 ˇ sen´ı: Rada ˇ Reˇ konverguje pro kaˇzdé s > 0. Pro s > 1 konverguje absolutnˇe, jak jsme ukázali v (8.10). Pro s ∈ (0, 1i konverguje podle Leibnizova kritéria, avˇsak neabsolutnˇe. Speciálnˇe pro s = 1 ˇrada ∞ X (−1)n+1 1 1 1 = 1 − + − + ··· n 2 3 4 n=1

(8.15)

konverguje k ln 2. Jelikoˇz ˇrada absolutn´ıch hodnot je divergentn´ı harmonická ˇrada, je ˇrada (8.15) neabsolutnˇe konvergentn´ı. ´ Ulohy 1. Uˇzit´ım definice rozhodnˇete o konvergenci, pˇr´ıp. urˇcete souˇcet tˇechto ˇrad. a)

∞ X

1 ; (2n − 1)(2n + 1) n=1

b)

∞ X √ √ ( n + 1 − n ); n=1

c)

∞ X √ √ √ ( n + 2 − 2 n + 1 + n ). n=1

1 1 − 1/(2n + 1) , s = 1/2; a) Návod: rozloˇzte sˇc´ıtance √ na parci´ a ln´ ı zlomky; s = n 2 √ √ √ b) diverguje; c) sn = 1 − 2 − n + 1 + n + 2, s = 1 − 2.

2. Uˇzit´ım vhodného kritéria konvergence rozhodnˇete, zda konverguj´ı ˇci diverguj´ı dané ˇrady. ∞ r ∞ ∞ ∞ X X X X p n+2 ln n 102n n a) 0, 001; c) ; b) ; d) ; 2n + 1 2n3 − 1 (2n − 1)! n=1 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X 2 ln n n cos2 nπ/3 na , a ∈ R; f) ne−n ; g) ; h) . e) 2 n! n 2n n=1 n=1 n=1 n=1

a) diverguje; b) diverguje; c) Návod: vyˇzijte nerovnost ln n < n, konverguje; d) konverguje; e) konverguje; f) konverguje; g) konverguje; h) konverguje.

3. Rozhodnˇete, zda jsou absolutnˇe ˇci neabsolutnˇe konvergentn´ı, pˇr´ıp. divergentn´ı tyto ˇrady.

√ ∞ ∞ ∞ X X X (−1)n+1 (−1)n+1 (−1)n+1 n √ ; b) ; a) ; c) n 2n − 1 n + 30 n n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ X X X (−1)n (−1)n+1 23n (−1)n+1 n3 d) ; e) ; f) . 32n (n2 + 1)3/2 n ln2 n n=1 n=1 n=1 a) konverguje neabsolutnˇe; b) diverguje; c) konverguje neabsolutnˇe; d) konverguje absolutnˇe; e) konverguje absolutnˇe; f) diverguje.

Kapitola 9

Rejstˇ r´ık

175

176

ˇ ÍK KAPITOLA 9. REJSTR

Rejstˇ r´ık

ˇ Clen, posloupnosti, n–t´ y 33 —, ˇrady, n–t´ y 169

Aditivita integrálu vzhledem k integraˇcn´ımu oboru 80 Algebraické operace, v R∗ 7 Amplituda komplexn´ıho ˇc´ısla 11 —, hlavn´ı 11 Aproximace funkce, lineárn´ı 54 —, Taylorov´ ym polynomem 62 Argument, komplexn´ıho ˇc´ısla 11 Aritmetické operace, s ˇradami 170 Asymptota grafu funkce, svislá (vertikáln´ı) 72 —, ˇsikm´ a 72 —, vodorovná (horizontáln´ı) 72

Dˇelen´ı intervalu 109 Derivace funkce 48 —, aritmetické operace 49 —, inverzn´ı 49 —, na intervalu 48 —, —, druhá 54 —, —, n–tá 54 —, –, n–tého ˇrádu 54 –, —, otevˇreném 48 —, —, uzavˇreném 48 —, sloˇzené 49 —, v bodˇe 48 —, —, jednostranná 48 —, —, zleva 48 —, —, zprava 48 —, vlastnosti 48, 49 —, zadané parametricky 63 Derivace, elementárn´ıch funkc´ı 49, 50 —, logaritmická 51 —, obecné mocniny 51 —, pod´ılu funkc´ı 49 —, souˇctu funkc´ı 49 —, souˇcinu funkc´ı 49 Diference, aritmetické posloupnosti 34 Diferenciál funkce, prvn´ı 55 —, n–tého ˇrádu 55 Divergence, posloupnosti 35 —, ˇrady 169

Báze vektorového prostoru ˇreˇsen´ı, homogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice n–tého ˇrádu 152 —, —, standardn´ı 152 —, soustavy dvou homogenn´ıch lineárn´ıch diferenciáln´ıch rovnic prvn´ıho ˇrádu 161 —, —, pˇr´ıpad dvou r˚ uzn´ ych charakteristick´ ych hodnot 162 —, —, pˇr´ıpad dvojnásobné charakteristické hodnoty 163 —, —, pˇr´ıpad komplexnˇe sdruˇzen´ ych charakteristick´ ych hodnot 164 Bod, inflexn´ı 70 —, mnoˇziny, vnitˇrn´ı 9 —, —, vnˇejˇs´ı 9 —, —, hraniˇcn´ı 9 —, —, hromadn´ y 9 —, —, izolovan´ y 9 —, nulov´ y, polynomu 90 —, singulárn´ı integrandu 128 —, stacionárn´ı 66 Body, nespojitosti funkce 45 —, nulové, funkce sin x 20 —, —, funkce cos x 20 —, —, funkce tg x 21 —, —, funkce cotg x 21 —, —, kvadratické funkce 16 Cauchyova hlavn´ı hodnota integrálu 134, 135 ˇ ast komplexn´ıho ˇc´ısla, reálná 10 C´ —, imaginárn´ı 10 ˇ Cinitel polynomu, koˇrenov´ y 90 —, —, kvadratick´ y 91 ˇ ıslo, celé 5 C´ —, Eulerovo, e 19, 38 —, iracionáln´ı 5 —, komplexnˇe sdruˇzené 10 —, komplexn´ı 10 —, pˇrirozené 5 —, racionáln´ı 5 —, reálné 5 —, ryze imaginárn´ı 10

Extrém funkce, globáln´ı 68 —, lokáln´ı 66 —, —, neostr´ y 66 —, —, ostr´ y 66 —, —, vyˇsetˇrován´ı pomoc´ı derivace 66 Formule, Newtonova–Leibnizova 116 —, —, pro nevlastn´ı integrály 129, 133 R —, rekurentn´ ı, pro v´ ypoˇcet integrál˚ u cosn x dx R a sinn x dx 84 R dx 96 —, —, pro v´ ypoˇcet integrál˚ u (x2 +a 2 )n R π/2 n —, —, pro v´ ypoˇcet integrál˚ u 0 sin x dx a R π/2 n cos x dx 119 0 Fundamentáln´ı systém ˇreˇsen´ı, homogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice n–tého ˇrádu 152 —, —, standardn´ı 152 —, soustavy dvou homogenn´ıch lineárn´ıch diferenciáln´ıch rovnic prvn´ıho ˇrádu 161 Funkce, argument kosinus hyperbolick´ y, f (x) = argcosh x 25, 26 —, argument kotangens hyperbolick´ y, f (x) = argcotgh x 26 —, argument sinus hyperbolick´ y, f (x) = argsinh x 25

177 —, argument tangens hyperbolick´ y, f (x) = argtgh x 26 —, arkuskosinus, f (x) = arccos x 23 —, arkuskotangens, f (x) = arccotg x 23 —, arkussinus, f (x) = arcsin x 23 —, arkustangens, f (x) = arctg x 23 —, cyklometrické 23 —, element´ arn´ı 16 —, —, spojitost 32 —, exponenciáln´ı f (x) = eax 18 —, exponenciáln´ı, se základem a, f (x) = ax 19 —, goniometrické 20 —, hyperbolické 24 —, hyperbolometrické 25 —, integrovatelná 110 —, inverzn´ı 14 —, klesaj´ıc´ı, v intervalu 14 —, konkávn´ı, v bodˇe 70 —, —, v intervalu 70 —, konstantn´ı 16 —, konvexn´ı, v bodˇe 70 —, —, v intervalu 70 —, kosinus, f (x) = cos x 20 —, kosinus hyperbolick´ y, f (x) = cosh x 25 —, kotangens, f (x) = cotg x 21 —, kotangens hyperbolick´ y, f (x) = cotgh x 25 —, kvadratická 16 —, lichá 15 —, lineárn´ı 16 —, lineárn´ı lomená 18 —, logaritmická f (x) = ln x 19 —, logaritmická se základem a, f (x) = loga x 19 —, lomená 91 —, —, neryze 91 —, —, ryze 91 —, majorantn´ı 130 —, minorantn´ı 130 —, mocninná, s racionáln´ım exponentem 16 —, monotonn´ı, derivace 65 —, —, v intervalu 15 —, n-tá mocnina 16 —, neklesaj´ıc´ı, v intervalu 14 —, neomezená, na mnoˇzinˇe 15 —, nerostouc´ı, v intervalu 14 —, omezená 15 —, —, shora 15 —, —, zdola 15 —, periodická 15 —, primitivn´ı 79 —, prostá 14 —, racionáln´ı 91 —, reálná, jedné reálné promˇenné 14 —, rostouc´ı, v intervalu 14 —, ryze monotonn´ı, v intervalu 15 —, sinus, f (x) = sin x 20 —, sinus hyperbolick´ y, f (x) = sinh x 24 —, sloˇzená 14

—, —, derivace 49 —, —, spojitost 30 —, —, vektorová 16 —, spojitá, charakterizace pomoc´ı posloupnost´ı 37 —, —, na intervalu, vlastnosti 31, 32 —, —, na mnoˇzinˇe 30 —, —, v bodˇe 29 —, —, —, formulace pomoc´ı absolutn´ıch hodnot a kvantifikátor˚ u 29, 30 —, —, —, zleva 30 —, —, —, zprava 30 —, sudá 15 —, tangens, f (x) = tg x 21 —, tangens hyperbolick´ y, f (x) = tgh x 25 —, vektorová, jedné reálné promˇenné 16 —, —, spojitost 30 —, vnˇejˇs´ı, sloˇzené funkce 14 —, vnitˇrn´ı, sloˇzené funkce 14 Graf funkce 14 —, inverzn´ı 14 —, liché 15 —, sudé 15 Hodnota, absolutn´ı 16 —, —, reálného ˇc´ısla 5 —, —, komplexn´ıho ˇc´ısla 11 —, argumentu komplexn´ıho ˇc´ısla, hlavn´ı 11 —, funkˇcn´ı, funkce f v bodˇe x 14 —, charakteristická 153 —, —, matice A 162 Hranice mnoˇziny 10 Index sˇc´ıtac´ı 169 Infimum mnoˇziny 6 —, v R∗ 8 Integraˇcn´ı promˇenná 79 Integraˇcn´ı znak 79 Integrál, divergentn´ı 128, 132 —, jako funkce doln´ı meze 114 —, jako funkce horn´ı meze 114 —, konvergentn´ı 128, 132 —, —, absolutnˇe 131, 134 —, majorantn´ı 130 —, minorantn´ı 130 —, neurˇcit´ y 79 —, Riemann˚ uv 110 —, —, doln´ı 110 —, —, horn´ı 110 —, —, nevlastn´ı, vlivem integrandu 128 —, —, —, vlivem mez´ı 132 —, urˇcit´ y 110 R Integr´ a ly typu, R(sin x, cos x) dx 100 R —, R R(sin2 x, cos2 x, sin x cos x) dx 101 —, R R(sin2 x, cos x) sin x dx 102 —, R(sin x, cos2 x) cos x dx 102

178 R R —, R sin ax · cos bx dx, sin ax · sin bx dx a R cos ax · cos bx dx 102 —, R eαx dx 103 R —, R(ln x) dx x 103 p R n —, R x, (ax + b)/cx + e) dx 103, 104 √ R —, R x, ax2 + bx + c dx 105 √ R —, R x, x2 + α2 dx 106 √ R —, R x, x2 − α2 dx 107 √ R —, R x, α2 − x2 dx 107 Integrand 79 Interval v R, —, omezen´ y 7 —, otevˇren´ y 7 —, polootevˇren´ y 7 —, polouzavˇren´ y 7 —, uzavˇren´ y 7 Intervaly, neomezené 8 —, v R∗ 8

ˇ ÍK KAPITOLA 9. REJSTR —, —, nevlastn´ı 40 —, —, v bodˇe x0 ∈ R 39 —, —, v nevlastn´ım bodˇe 40 —, —, vektorové 41 —, —, vlastn´ı, v bodˇe x0 ∈ R, charakterizace pomoc´ı absolutn´ıch hodnot a kvantifikátor˚ u 40 —, —, vlastnosti 42 —, —, zleva, v bodˇe x0 ∈ R 40 —, —, zprava, v bodˇe x0 ∈ R 40 —, posloupnosti, vlastn´ı 35 —, —, nevlastn´ı 35 Linearita, neurˇcitého integrálu 80 —, Riemannova integrálu 113 Logaritmus, dekadick´ y, f (x) = log x 19 —, pˇrirozen´ y 19 Lokálnˇe jednoznaˇcná ˇreˇsitelnost Cauchyovy u ´lohy prvn´ıho ˇrádu 138

Matice, charakteristická, soustavy dvou lineárn´ıch diferenciáln´ıch rovnic prvn´ıho ˇrádu 162 Jedniˇcka, goniometrická 20 Maximum, funkce, neostré, globáln´ı 68 Jednotka, imaginárn´ı 10 —, —, —, lokáln´ı 66 —, komplexn´ı 11 —, —, ostré, globáln´ı 68 Jednoznaˇcnost limity, funkce 40 —, —, —, lokáln´ı 66 —, posloupnosti 36 —, mnoˇziny 6 Metoda, bisekce 32 Kladná ˇcást funkce 113 —, dosazovac´ı (substituˇcn´ı) 93 Klasifikace, bod˚ u vzhledem k mnoˇzinˇe 9 —, eliminaˇcn´ı 166 —, mnoˇzin v R 10 —, neurˇcit´ ych koeficient˚ u 93 Koeficienty, polynomu 90 —, Newtonova 62, 63 —, rozkladu 92 —, odhadu tvaru partikulárn´ıho ˇreˇsen´ı, pro nehoKompozice funkc´ı 14 mogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnici druhého Konstanta, integraˇcn´ı 80 ˇrádu 158 Konvergence, integrálu 128, 132 —, —, pro nehomogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı —, posloupnosti 35 rovnici prvn´ıho ˇrádu 148 —, ˇrady 169 —, separace promˇenn´ ych 139 —, —, absolutn´ı 175 —, srovnávac´ı 93 —, —, neabsolutn´ı 175 —, teˇcen 62, 63 Konvergentn´ı posloupnost, omezenost 36 —, variace konstant, pro nehomogenn´ı lineárn´ı diKoˇren polynomu 90 ferenciáln´ı rovnici druhého ˇrádu 156 Kritérium absolutn´ı konvergence, ˇrady 175 —, —, pro nehomogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı Kritérium konvergence, nevlastn´ıho integrálu, rovnici prvn´ıho ˇrádu 145 srovnávac´ı 130, 134 —, zakr´ yvac´ı 93 —, ˇrady, integráln´ı 173 Mez mnoˇziny, doln´ı 6 —, —, odmocninové (Cauchyovo) 172 —, horn´ı 6 —, —, —, limitn´ı 172 Minimum, funkce, neostré, globáln´ı 68 —, —, pod´ılové (d’Alembertovo) 171 —, —, —, lokáln´ı 66 —, —, —, limitn´ı 172 —, —, ostré, globáln´ı 68 —, —, srovnávac´ı, pro ˇrady s nezáporn´ ymi ˇcleny —, —, —, lokáln´ı 66 171 —, mnoˇziny 6 —, —, Leibnizovo 175 Mnoˇzina, cel´ ych ˇc´ısel, Z 5 Kvázipolynom 148, 158 —, kompaktn´ı 10 Kvocient, geometrické posloupnosti 34 —, komplexn´ıch ˇc´ısel C 10 —, geometrické ˇrady 170 —, omezená 6, 10 —, —, shora 6 Limita, funkce, Heineho charakterizace 40 —, —, zdola 6 —, —, jednostranná, v bodˇe x0 ∈ R 40 —, otevˇrená 10

179 —, pˇrirozen´ ych ˇc´ısel, N 5 —, reáln´ ych ˇc´ısel, R 5 —, uzavˇrená 10 Mocnina, n-tá 16 —, obecná, se základem a 19 Modul, komplexn´ıho ˇc´ısla 11 Násobek, ˇrady ˇc´ıslem 170 —, vektorové funkce, reáln´ ym ˇc´ıslem 16 Násobnost koˇrene polynomu 90 Nekoneˇcno, m´ınus, −∞ 7 —, plus, +∞ 7 Nerovnosti v limitn´ım pˇrechodu 36 Nespojitost funkce, druhého druhu 45 —, odstranitelná 45 —, prvn´ıho druhu 45 Normála grafu funkce 47 Obecn´ y tvar ˇreˇsen´ı, homogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice, druhého ˇrádu 152 —, —, prvn´ıho ˇrádu 143 —, nehomogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice druhého ˇrádu 156 —, —, prvn´ıho ˇrádu 145 —, soustavy dvou homogenn´ıch lineárn´ıch diferenciáln´ıch rovnic prvn´ıho ˇrádu 161 Obor, definiˇcn´ı, funkce f 14 —, —, vektorové funkce 16 —, hodnot, funkce f 14 Obraz mnoˇziny 14 Odmocnina, komplexn´ıho ˇc´ısla, n–tá 12 —, m–t´ a 17 Odmocˇ nován´ı komplexn´ıch ˇc´ısel 12 Okol´ı, bodu x0 ∈ R 8 —, —, levé 8 —, —, pravé 8 —, —, prstencové 8 —, —, —, levé 8 —, —, —, pravé 8 —, bodu +∞ 9 —, —, prstencové 9 —, bodu −∞ 9 —, —, prstencové 9 Omezenost konvergentn´ı posloupnosti 36 Operace, poˇcetn´ı, s komplexn´ımi ˇc´ısly 12 —, se spojit´ ymi funkcemi 30 Osa, imaginárn´ı 10 —, reálná, R 7, 10 —, —, rozˇs´ıˇrená, R∗ 7 Perioda funkce 15 —, primitivn´ı 15 Poˇcáteˇcn´ı, hodnota, pro diferenciáln´ı rovnici prvn´ıho ˇrádu 137 —, hodnoty, pro diferenciáln´ı rovnici n–tého ˇrádu 151 —, okamˇzik 137, 151

—, podm´ınky, pro diferenciáln´ı rovnici prvn´ıho ˇrádu 137 Pod´ıl, komplexn´ıch ˇc´ısel 12 Podm´ınka, existence lokáln´ıho extrému funkce, postaˇcuj´ıc´ı 66 —, existence Riemannova integrálu 110 —, konvergence, nevlastn´ıho integrálu, nutná 134 —, —, ˇrady, nutná 169 Podm´ınky, pro konvexnost a konkávnost funkce 70 Polynom, charakteristick´ y 153 —, stupnˇe n 90 —, Taylor˚ uv, n–tého stupnˇe 62 —, v normáln´ım tvaru 90 Posloupnost 33 —, aritmetická 34 —, ˇcásteˇcn´ ych souˇct˚ u ˇrady 169 —, divergentn´ı 35 —, geometrická 34, 35 —, klesaj´ıc´ı 33 —, konvergentn´ı 35 —, monotonn´ı 33 —, —, konvergence 37 —, neklesaj´ıc´ı 33 —, nerostouc´ı 33 —, omezená 33 —, —, shora 33 —, —, zdola 33 —, osciluj´ıc´ı 33 —, reáln´ ych ˇc´ısel 33 —, rostouc´ı 33 —, ryze monotonn´ı 33 —, vybraná 33 —, —, konvergence 37 Pravá strana lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice 151 Pravidlo, l’Hospitalovo 58, 59 —, Leibnizovo 54 Princip superpozice 148 Prostor ˇreˇsen´ı, vektorov´ y, homogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice n–tého ˇrádu 152 Pr˚ ubˇeh funkce, vyˇsetˇrován´ı 73.74 Rovina, Gaussova, komplexn´ıch ˇc´ısel 10 Rovnice, diferenciáln´ı, prvn´ıho ˇrádu 137 —, —, —, lineárn´ı, homogenn´ı 143 —, —, —, —, nehomogenn´ı 145 —, —, se separovan´ ymi promˇenn´ ymi 139 —, —, s kvázipolynomiáln´ı pravou stranou 148 —, —, n–tého ˇrádu, lineárn´ı 151 —, —, —, —, homogenn´ı 151 —, —, —, —, nehomogenn´ı 151 —, —, —, —, s konstantn´ımi koeficienty 151, 153 —, charakteristická 153 —, —, matice A 162 Rovnost, komplexn´ıch ˇc´ısel 10 —, polynom˚ u 90 Rozd´ıl, komplexn´ıch ˇc´ısel 12

180 —, ˇrad 170 —, vektorov´ ych funkc´ı 16 Rozklad, polynomu, na reálné koˇrenové ˇcinitele 91 —, —, v souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u 90 —, racionáln´ı funkce v souˇcet parciáln´ıch zlomk˚ u 92 Rychlost pohybu hmotného bodu 47 ˇ Rada, alternuj´ıc´ı 175 —, divergentn´ı 169 —, geometrická 170 —, konvergentn´ı 169 —, osciluj´ıc´ı 169 ˇ Rady, s nezáporn´ ymi ˇcleny 171 ˇ sen´ı, Cauchyovy u Reˇ ´lohy, pro diferenciáln´ı rovnici prvn´ıho ˇrádu 137 —, —, pro lineárn´ı diferenciáln´ı rovnici n–tého ˇrádu 151 —, —, pro lineárn´ı soustavu dvou diferenciáln´ıch rovnic prvn´ıho ˇrádu 161 —, —, lineárn´ı, homogenn´ı, prvn´ıho ˇrádu, triviáln´ı 143 —, —, —, n–tého ˇrádu 151 —, diferenciáln´ı rovnice, prvn´ıho ˇrádu 137 —, —, —, maximáln´ı 138, 139 —, —, se separovan´ ymi promˇenn´ ymi, konstantn´ı 139 —, —, nehomogenn´ı lineárn´ı, prvn´ıho ˇrádu, partikulárn´ı 145 —, soustavy dvou lineárn´ıch diferenciáln´ıch rovnic prvn´ıho ˇrádu 161 Skok funkce, v bodˇe x0 45 Skoro vˇsechny ˇcleny posloupnosti 35 Souˇcet, ˇcásteˇcn´ y 169 —, dvou ˇrad 170 —, komplexn´ıch ˇc´ısel 12 —, prvn´ıch n ˇclen˚ u, aritmetické posloupnosti 34 —, —, geometrické posloupnosti 34 —, Riemann˚ uv, doln´ı 109 —, —, horn´ı 109 —, ˇrady 169 —, —, geometrické 170 —, vektorov´ ych funkc´ı 16 Souˇcin, komplexn´ıch ˇc´ısel 12 —, skalárn´ı, vektorov´ ych funkc´ı 16 Souˇcinitel, neurˇcit´ y 93 Soustava dvou lineárn´ıch diferenciáln´ıch rovnic prvn´ıho ˇrádu 161 —, homogenn´ı 161 —, nehomogenn´ı 166 Soustava charakteristická, matice A 162 Spojitost funkce a derivace 48 Spojitost funkce, vztah s limitou funkce 41 Struktura prostoru ˇreˇsen´ı, nehomogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice 155

ˇ ÍK KAPITOLA 9. REJSTR —, nehomogenn´ı soustavy lineárn´ıch diferenciáln´ıch rovnic prvn´ıho ˇrádu 166 Stˇredn´ı hodnota funkce na intervalu 115 Substituce, Eulerova 105, 106 Supremum mnoˇziny 6 —, v R∗ 8 Teˇcna grafu funkce 47 Tvar komplexn´ıho ˇc´ısla, algebraick´ y 11 —, exponenciáln´ı 11 —, goniometrick´ y 11 —, kartézsk´ y 11 —, polárn´ı 11 Tvar ˇreˇsen´ı, obecn´ y, homogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice n–tého ˇrádu 152 ´ Uloha, Cauchyova, pro diferenciáln´ı rovnici, prvn´ıho ˇrádu 137 —, —, pro diferenciáln´ı rovnici, n–tého ˇrádu 151 —, —, pro homogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnici, prvn´ıho ˇrádu 144 —, —, pro nehomogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnici prvn´ıho ˇrádu 147 —, —, pro soustavu dvou lineárn´ı diferenciáln´ıch rovnic prvn´ıho ˇrádu 161 —, poˇcáteˇcn´ı, pro diferenciáln´ı rovnici, n–tého ˇrádu 151 —, —, pro diferenciáln´ı rovnici prvn´ıho ˇrádu 137 Umocˇ nován´ı komplexn´ıch ˇc´ısel 12 Vektor, charakteristick´ y, matice A 162 Vˇeta, Bolzanova 31 —, Cauchyova 57 —, Cauchyova–Peanova 138 —, Darbouxova 31 —, Lagrangeova, o pˇr´ır˚ ustku funkce 56 —, Moivreova 11 —, o limitˇe, sloˇzené funkce 42 —, o limitn´ım pˇrechodu v aritmetick´ ych operac´ıch, pro funkce 42 —, —, pro posloupnosti 36 —, o integrován´ı per partes, pro neurˇcit´ y integrál 82 —, —, pro urˇcit´ y integrál 118 —, o integrován´ı substituˇcn´ı metodou, druhá 87 —, —, prvn´ı 85 —, o rozkladu racionáln´ı funkce na souˇcet parciáln´ıch zlomk˚ u 92 —, o sevˇren´ı, pro funkce 42 —, —, pro posloupnosti 36 —, o stˇredn´ı hodnotˇe, integráln´ıho poˇctu 115 —, o substituci, pro urˇcit´ y integrál 120 —, o supremu a infimu 6 —, Rolleova 56 —, Taylorova 62 —, Weierstrassova 31 —, základn´ı, algebry 90

181 Vˇety, o limitách, funkce 42, 43 —, —, posloupnosti 36 —, o stˇredn´ı hodnotˇe, diferenciáln´ıho poˇctu 56 Vlastnosti Riemannova integrálu 111, 114 Vnitˇrek mnoˇziny 10 V´ ypoˇcet, délky kˇrivky 124 —, integrál˚ u racionáln´ıch funkc´ı 96 —, moment˚ u setrvaˇcnosti 126 —, objemu rotaˇcn´ıho tˇelesa 124 —, obsahu ˇcásti roviny 123 —, obsahu pláˇstˇe rotaˇcn´ıho tˇelesa 124 —, souˇradnic tˇeˇziˇstˇe 125 —, statick´ ych moment˚ u 124 Vzdálenost ˇc´ısel, euklidovská 5 Vzorec, Taylor˚ uv 62 Vzorce, pro derivaci, základn´ı 49, 50 —, pro integraci, základn´ı 80, 81 —, souˇctové, pro goniometrické funkce 20, 21 Vztah Euler˚ uv , 1121 Vztahy, mezi goniometrick´ ymi funkcemi 21, 22 —, mezi hyperbolick´ ymi funkcemi 25 Zápis komplexn´ıch ˇc´ısel 11 Záporná ˇcást funkce 113 Závorka Newtonova–Leibnizova 118 Zbytek v Taylorovˇe vzorci, Lagrange˚ uv tvar 62 Zjemnˇen´ı dˇelen´ı 109 Zlomek parciáln´ı 92

1.2 Množina komplexních čísel... 10

Recommend Documents