Trivium z optiky
83
11. Geometrická optika V této a v následující kapitole se budeme zabývat studiem světla v situacích, kdy je možno zanedbat jeho vlnový charakter. V tomto ohledu se obě kapitoly podstatně liší od všeho, o čem jsme hovořili v kapitolách předcházejících. Zanedbáváme-li vlnové vlastnosti světla (tedy především ohyb), hovoříme obvykle o přiblížení geometrické optiky nebo prostě o geometrické optice. V následujících dvou kapitolách se proto budeme zabývat geometrickou optikou. Soustředíme se při tom především na optická zobrazení, přičemž v této kapitole probereme některé zcela obecné axiomy a pojmy a odvodíme obecné výsledky týkající se optického zobrazování. Jejich použití v konkrétních případech jednoduchých i složitějších zobrazovacích soustav probereme v kapitole následující.
11.1 Axiomy geometrické optiky. 11.2 Zobrazovací soustavy. 11.3 Zobrazovací rovnice. 11.3.1 11.3.2 11.3.3 11.3.4 11.3.5 11.3.6
Obecný tvar zobrazovacích rovnic. Newtonovy zobrazovací rovnice pro centrované soustavy. Příčné zvětšení, hlavní roviny a hlavní body. Grafické řešení zobrazovacích rovnic pro centrované soustavy. Čočkové zobrazovací rovnice pro centrované soustavy. Úhlové zvětšení, uzlové body.
11.4 Klasifikace zobrazovacích soustav. 11.5 Skládání zobrazovacích soustav.
11.1 Axiomy geometrické optiky. V rámci geometrické optiky se obvykle omezujeme na izotropní a homogenní prostředí. Jedinými přípustnými nehomogenitami jsou rozhraní, na nichž se optické vlastnosti po částech homogenních prostředí (index lomu) mění skokem. Základní axiomy proto formulujeme právě pro takové systémy: ¾ ¾ ¾ ¾
světlo se šíří homogenním a izotropním prostředím přímočaře, při průchodu rozhraním se láme podle Snellova zákona lomu,1 při odrazu od rozhraní se odráží podle zákona odrazu, světlo se šíří prostředím nezávisle na tom, zda tímto prostředím prochází i jiné světlo,2
Ústředním pojmem geometrické optiky je světelný paprsek. Formulace předcházejících axiomů pomocí tohoto pojmu je nasnadě a přenecháváme ji čtenáři. Připojme k nim ještě jeden, už poslední, o záměnnosti směru chodu paprsků ¾ je-li paprsek probíhán jedním směrem, může být probíhán i směrem opačným.
V kapitole 7 jsme podrobně probrali odraz a lom světla od rovinných rozhraní. Uvedli jsme si též, že výsledky v této kapitole uvedené platí i pro obecná rozhraní, není-li jejich křivost velká. Za rovinu rozhraní v tomto případě považujeme rovinu k němu tečnou. 2 Toto tvrzení je důsledkem linearity Maxwellových rovnic a rovnic materiálových. Neplatí mimo rámec lineární optiky, tedy v silných elektromagnetických polích, kdy materiálové rovnice přestávají být lineární. 1
84
Geometrická optika
Fermatův princip Uvedené axiomy jsou důsledkem jediného, v rámci geometrické optiky zcela obecně platného principu, tzv. principu Fermatova : 3 Světlo se šíří z jednoho bodu prostoru do bodu jiného po takové dráze (paprsku), aby čas nutný k uražení této dráhy byl minimální. Fermatův princip platí pro obecná, nejen homogenní prostředí. Máme-li co do činění s nehomogenním prostředím, G jehož index lomu je funkcí polohy, n = n( r ) , závisí na poloze i rychlost světla v takovém prostředí, G G 4 c ′( r ) = c / n( r ) , a Fermatův princip lze přeformulovat následujícím způsobem: 5
G G Reálný světelný paprsek procházející body A a B obecně nehomogenního prostředí o indexu lomu n( r ) je dán křivkou ϕ tyto body G spojující, pro kterou nabývá křivkový integrál prvního druhu ∫G n( r )dϕ své minimální hodnoty.6 ϕ
Uvedený křivkový integrál se obvykle nazývá optickou dráhou paprsku a Fermatův princip je možno též vyslovit tak, že optická dráha odpovídající reálnému paprsku je minimální. Matematicky vede Fermatův princip k velmi obtížné úloze nalezení minima funkce, jejíž nezávislou proměnnou je prostorová křivka. Takové funkce se obvykle nazývají funkcionály a hledání extrémů funkcionálů je obsahem matematické disciplíny zvané variační počet. 7
11.2 Zobrazovací soustavy. Pod zobrazovací soustavou rozumíme jakoukoliv soustavu odrazivých a lámavých ploch, která mění chod světelných paprsků. Paprsky přicházející od zdroje, či od více zdrojů, které obvykle umisťujeme vlevo od soustavy, budeme nazývat paprsky (do soustavy) vstupujícími a paprsky, jejichž chod je zobrazovací soustavou pozměněn, paprsky (ze soustavy) vystupujícími. Protože obvykle předpokládáme, že je zobrazovací soustava obklopena homogenním a izotropním prostředím, budou tyto paprsky vždy přímé a můžeme si je představit jako polopřímky končící či začínající na některé z lámavých či odrazivých ploch soustavy. Pro praktické účely je vhodná pouze taková zobrazovací soustava, která zobrazuje bod na bod a přímku na přímku. Přesněji, ¾ pokud do soustavy vstupuje svazek paprsků vycházejících z jednoho bodu 8, budou se vystupující paprsky protínat rovněž v jediném bodě, a to nezávisle na barvě použitého světla; 9 ¾ leží-li body, z nichž vycházejí paprsky do soustavy vstupující, na jedné přímce, leží i průsečíky paprsků ze soustavy vystupujících na jedné (obecně však jiné !) přímce, opět nezávislé na barvě použitého světla. 10
Dá se dále ukázat, že samotný Fermatův princip je zase přiblížením plynoucím z Maxwellových rovnic. c je rychlost světla ve vakuu. 5 Poučení o křivkách a křivkových integrálech nalezne čtenář například v . R. KALUS A D. HRIVŇÁK, Breviář vyšší matematiky, 1. vydání, Ostravská univerzita, 2001, kap. 5. 3 4
6 1
c'
dϕ = cn dϕ je čas, který světlo potřebuje na uražení infinitezimální dráhy dϕ . Čas potřebný k uražení dráhy od-
povídající celému úseku mezi body A a B je zřejmě dán křivkovým integrálem ∫ϕG nc dϕ . Konstantu c ovšem můžeme z integrálu vytknout, a protože je kladná bude ∫ϕG nc dϕ nabývat svého minima, právě když je minimální i ∫ϕG n dϕ . 7 Základní poučení o variačním počtu může čtenář najít např. v K. REKTORYS A KOL., Přehled užité matematiky, SNTL 1981 nebo další vydání, kap. 23 . 8 tzv. homocentrický svazek paprsků 9 Tj. pro všechny vlnové délky získáme jeden a tentýž průsečík vystupujících paprsků. 10 Z druhé podmínky vyplývá bezprostředně, že se rovina vždy zobrazí na rovinu. Promyslete!
Trivium z optiky
85
Soustavu splňující první z uvedených předpokladů nazýváme obvykle stigmatickou, soustavu splňující oba předpoklady současně pak ideální zobrazovací soustavou. V dalším, aniž to však budeme zdůrazňovat, budeme pracovat výlučně s ideálními zobrazovacími soustavami. Body, z nichž vycházejí paprsky do soustavy vstupující, se obvykle označují jako vzory (nebo též předměty ), body, v nichž se protínají paprsky vystupující, pak jako obrazy. Reálné zobrazovací soustavy splňují oba uvedené předpoklady vždy jen přibližně – obrazový bod není přesně matematickým bodem, ale velmi malou oblastí prostoru, obraz přímky je obvykle slabě zakřiven. Zobrazení může též záviset na barvě použitého světla a při použití bílého světla může dokonce vznikat více vzájemně posunutých obrazů různých barev. Říkáme, že reálné zobrazovací soustavy trpí tzv. zobrazovacími vadami. Ty se ovšem vždy snažíme důmyslnými konstrukcemi co nejvíce potlačit a reálnou zobrazovací soustavu tak co nejvíce přiblížit soustavě ideální. Paprsky vystupující z ideální zobrazovací soustavy jsou polopřímky a jako takové se nemusí nutně, byť by byly různoběžné, protínat ve společném bodě. V něm se mohou protnout teprve po doplnění na přímky. Uvedené skutečnosti využíváme k rozdělení obrazů vytvářených danou zobrazovací soustavou do dvou velkých skupin. Protínají-li se různoběžné vystupující paprsky ve společném bodě jako polopřímky, tedy před doplněním na přímky, hovoříme o tomto bodě jako o skutečném (reálném) obraze. Pokud se různoběžné vystupující paprsky jako polopřímky neprotínají a protnou se až po doplnění na přímky, hovoříme o obraze zdánlivém (virtuálním). Skutečný obraz je možno zachytit na stínítko (fotografickou desku, film, filmový pás), neskutečný nikoliv. Neskutečný obraz můžeme ale vnímat zrakem poté, co jej oko přemění na skutečný obraz promítaný na sítnici.
11.3 Zobrazovací rovnice. 11.3.1 Obecný tvar zobrazovacích rovnic. Vzory a obrazy optického zobrazení jsou množiny bodů v trojrozměrném prostoru, každý z těchto bodů je možno jednoznačně zadat uspořádanou trojicí čísel – souřadnicemi v pevně zvolených souřadnicových soustavách S a S´. V případě souřadnicové soustavy S, pomocí které zadáváme polohy zobrazovaných předmětů, hovoříme obvykle jako o soustavě předmětové, soustavu S´, spojenou s obrazy, pak zpravidla nazýváme souřadnicovou soustavou obrazovou. Obě soustavy mohou být obecně různé, ba dokonce se ukazuje, že právě tato volba je matematicky výhodná. Souřadnice předmětů budeme v dalším označovat písmeny x, y a z, u obrazů připojíme čárky, x´, y´ a z´. Ideální zobrazovací soustavu pak můžeme reprezentovat vhodným matematickým zobrazením \ 3 → \ 3 , které libovolné uspořádané trojici souřadnic (x,y,z) přiřadí právě jednu uspořádanou trojici souřadnic (x´,y´,z´).11 V notaci obvyklé ve fyzice můžeme pro toto zobrazení psát x ′ = x ′( x , y , z ) , y ′ = y ′( x , y , z ) , z ′ = z ′( x , y , z ) . Ne každé zobrazení je ale pro reprezentaci ideální zobrazovací soustavy vhodné. Jsou to jen ta, která navíc zobrazují přímku na přímku či rovinu na rovinu. Matematikové pro ně užívají sou-
Předpoklad, že zadané trojici předmětových souřadnic (x,y,z) odpovídá právě jedna trojice souřadnic obrazových (x´,y´,z´), automaticky zajišťuje splnění prvního požadavku kladeného na ideální zobrazovací soustavu – bod se zobrazuje na bod.
11
86
Geometrická optika
hrnné označení kolineace a dá se ukázat 12, že se jedná o prosté lineární lomené funkce, a1x + b1 y + c 1z + d 1 , ax + by + cz + d a x + b2 y + c 2z + d 2 y′ = 2 , ax + by + cz + d a x + b 3 y + c 3z + d 3 z′ = 3 . ax + by + cz + d x′ =
Konstanty ak, bk, ck, dk, a, b, c a d jednoznačně zadávají konkrétní zobrazovací soustavu. Uvedené rovnice uvádějící do vzájemného vztahu polohy předmětů a jejich obrazů nazýváme v optice rovnicemi zobrazovacími.
11.3.2 Newtonovy zobrazovací rovnice pro centrované soustavy. V následujících odstavcích budeme pracovat výhradně s osově symetrickými zobrazovacími soustavami.13 Pro takové soustavy používáme zpravidla označení centrovaná zobrazovací soustava a pro jejich osu symetrie pak označení optická osa. Osovou symetrii centrované zobrazovací soustavy můžeme využít ke speciální volbě předmětové a obrazové souřadnicové soustavy. Bez újmy na obecnosti můžeme totiž osu symetrie zobrazovací soustavy ztotožnit se souřadnicovými osami x a x´, které navíc zvolíme tak, aby byly navzájem totožné (x ≡ x´) a stejně orientované. V souladu s obecně přijímanou konvencí volíme orientaci optické osy soustavy, a tedy i os x a x´, zleva doprava a předpokládáme, že se stejným směrem šíří světelné paprsky. Pozor ale, počátky souřadnicových soustav S a S´ již totožné být nemusí! Též souřadnicové osy y, y´ a z, z´ můžeme, a to opět bez újmy na obecnosti, zvolit tak, aby byly rovnoběžné a souhlasně orientované, tj. y & y´ a z & z´. Podle obvyklé konvence se orientace os y a y´ (někdy ale os z a z´) volí zdola nahoru. Je jasné, že uvedená speciální volba souřadnicových soustav S a S´ nutně omezí i přípustné tvary kolineací reprezentujících optické zobrazení studovanou zobrazovací soustavou. Podívejme se nejdříve na omezení, která dostaneme pro první zobrazovací rovnici, tj. pro rovnici pro x´. Především je jasné, že pro osově symetrické soustavy s osu symetrie totožnou s x-ovými souřadnicovými osami nemůže x´ záviset na y a z. 14 Musí tedy být b1 = c1 = b = c = 0, neboli x′ =
a 1x + d 1 . ax + d
Tento vztah můžeme ještě dále zjednodušit vhodnou volbou počátků souřadnicových soustav S a S´, opět ovšem bez újmy na obecnosti. Vycházíme z toho, že se body ležící v rovině ax + d = 0 (kolmé k souřadnicové ose x) zobrazí do nekonečna 15 a tedy že tato rovina má mezi všemi ostatními rovinami do jisté míry význačné postavení. V optice ji nazýváme předmětovou Ne úplně triviální důkaz je možno najít v doporučené studijní literatuře. Zobrazovací soustavu nazveme osově symetrickou, pokud se její (zobrazovací) vlastnosti nemění při libovolném pootočení kolem jisté přímky. Tuto přímku pak nazveme osu symetrie soustavy. 14 Pootočením centrované zobrazovací soustavy kolem osy symetrie (tj. kolem os x = x´) se nemůže změnit x-ová souřadnice předmětového ani obrazového bodu. Souřadnice y a z se ale určitě, nejsou-li nulové, změní. x´ tedy na nich nemůže záviset. 15 Směr chodu paprsků předpokládáme zleva doprava (viz výše). 12 13
Trivium z optiky
87
ohniskovou rovinou a ztotožňujeme ji se souřadnicovou rovinou yz. Do jejího průsečíku s osou x pokládáme tedy počátek předmětové souřadnicové soustavy, který má vzhledem ke své výlučnosti rovněž vlastní jméno i označení – nazýváme ho předmětovým ohniskem zobrazovací soustavy označujeme písmenem F.16 S takto vhodně zvoleným počátkem předmětové souřadnicové soustavy se tvar první zobrazovací rovnice dále zjednoduší na 17 x ′ = A1 +
D1 . x
Na druhé straně se body z „levého nekonečna“ ( x → −∞ ) zobrazují do roviny x´ = A1. Tuto rovinu nazveme obrazovou ohniskovou rovinou (označení ϕ´), její průsečík s osou x´ obrazovým ohniskem (označení F´) a právě do tohoto průsečíku umístíme počátek obrazové souřadnicové soustavy. V zobrazovací rovnici pro x´ proto dále vymizí i parametr A1 a rovnice získá vskutku jednoduchý konečný tvar 18 D x′ = 1 . x Druhá a třetí zobrazovací rovnice jsou díky osové symetrii studované zobrazovací soustavy rovnocenné. Navíc je možno vždy zajistit pomocí vhodné rotace souřadnicových soustav S a S´ kolem osy symetrie, aby zobrazovaný bod i jeho obraz ležely v souřadnicové rovině xy 19 a stačí se tedy zabývat jen druhou zobrazovací rovnicí.20 Ta bude v takovém případě nabývat tvaru 21 y′ =
a 2 x + b2 y + d 2 . ax
Protože se ale body ležící na optické ose zobrazovací soustavy (souřadnicové ose x) musí nutně, zobrazit zase jen na body ležící na optické ose 22, musí pro y = 0 být i y´ = 0. Toho lze ale dosáhnout pro libovolnou hodnotu x jen tak, že položíme a2 = d2 = 0. Druhá zobrazovací rovnice musí mít tudíž konečný tvar b y y y ′ = 2 ≡ B2 . ax x Zobrazovací rovnice pro x´ a y´ ve tvaru odvozeném v tomto odstavci se obvykle nazývají Newtonovými zobrazovacími rovnicemi. Předmětovou ohniskovou rovinu budeme označovat symbolem ϕ. Parametr d musí být nutně nulový a konstanta a tím pádem nenulová. První zobrazovací rovnice nabývá proto a x +d a d D tvaru x ′ = 1 ax 1 = a1 + ax1 ≡ A1 + x1 .
16 17
18 Připomeňme ale ještě jednou, že jsme všech zjednodušení zobrazovací rovnice pro x´ dosáhli jen a pouze speciální volbou předmětové a obrazové souřadnicové soustavy. Podle principu ekvivalence všech inerciálních soustav pro popis fyzikálních jevů jsme proto neučinili žádný předpoklad omezující fyzikální obecnost našich úvah. 19 Leží-li zobrazovaný bod v souřadnicové rovině xy, je jistě rozumné předpokládat, že v ní bude ležet i jeho obraz. Eventuální vychýlení obrazu vpravo či vlevo od této roviny jsou rovnocenná, a tudíž v konečném důsledku nulová. Samotný předpoklad osové symetrie centrované soustavy ale k důkazu uvedeného tvrzení nestačí. Potřebovali bychom jej např. doplnit předpokladem invariance zobrazovacích vlastností soustavy při zrcadlení vzhledem k libovolné rovině procházející její osou symetrie. 20 Mohli bychom ovšem soustavy S a S´ pootočit tak, že by zobrazovaný bod ležel v rovině xz. Pak bychom se zabývali rovnicí třetí. Konečná volba je, v důsledku osové symetrie zobrazovací soustavy, ponechána zcela na naší libovůli. 21 Víme už, že b = c = d = 0, nyní je navíc i z = 0. 22 Žádný směr kolmý k optické ose nemůže být, vzhledem k osové symetrii zobrazovací soustavy, v obrazovém prostoru preferován.
88
Geometrická optika
11.3.2 Příčné zvětšení, hlavní roviny a hlavní body. Poměr y´/y udává, kolikrát je obraz bodu dále od optické osy než zobrazovaný bod sám. Nazýváme jej proto příčným zvětšením příslušného optického zobrazení, přičemž pod příčným rozumíme příčný (kolmý) vzhledem k optické ose 23. Obecný zobrazovaný předmět si můžeme v zjednodušené formě představit jako orientovanou úsečku kolmou k optické ose, s počátkem na této ose a s koncovým bodem mimo ni. Obraz této úsečky bude rovněž úsečka.24 Její počáteční bod se bude nacházet na optické ose a samotná úsečka bude k této ose, podobně jako její vzor, kolmá.25 Bude-li absolutní hodnota poměru y´/y větší než jedna, |y´/y|>1, řekneme, že obraz předmětu je zvětšený, v opačném případě, |y´/y|<1, hovoříme o obraze zmenšeném. Vzhledem ke speciální orientaci souřadnicových os y a y´ (jsou rovnoběžné a souhlasně orientované) znamená kladné znaménko poměru y´/y souhlasnou orientaci předmětu a obrazu, znaménko záporné orientaci opačnou. V prvním případě hovoříme o přímém obraze, ve druhém o obraze obráceném. Množina všech bodů zobrazujících se s příčným zvětšením +1 je rovina kolmá k optické ose zobrazovací soustavy, její obraz je rovněž rovina, přičemž i kolmost k optické ose zůstává zachována.25 I tyto dvě nové roviny mají svým způsobem výjimečné postavení (podobně jako roviny ohniskové), a tudíž i speciální pojmenování a označení. První z nich se nazývá předmětová hlavní rovina, druhá obrazová hlavní rovina a používáme pro ně označení h a h´. Pro jejich průsečíky s optickou osu (s osami x a x´) se obvykle používá pojmenování předmětový a obrazový hlavní bod a označení H a H´. Podobně jako roviny ohniskové jsou i hlavní roviny určeny pro danou zobrazovací soustavu jednoznačně. Bez velkých obtíží je možno dokázat (viz výklad níže), že ohniskové a hlavní roviny centrovanou zobrazovací soustavu zadávají jednoznačně.26 Centrovaná zobrazovací soustava je tedy jednoznačně určena svou optickou osou a oběma ohniskovými a hlavními rovinami. Stačí dokonce zadat ohniska a hlavní body soustavy, protože dobře víme že hlavní i ohniskové roviny jsou kolmé k optické ose.
Vzdálenost mezi předmětovým ohniskem a předmětovým hlavním bodem studované zobrazoji vací soustavy nazýváme předmětovou ohniskovou vzdáleností této soustavy a označujeme JJJG symbolem f. Opatřujeme ji navíc znaménkem – kladným, pokud orientovaná úsečka HF míří ve směru souřadnicové osy x (zleva doprava), a záporným, pokud tato úsečka míří proti směru oriZobrazovací rovnici, která udává poměr y´/y, budeme v dalším nazývat rovnicí pro příčné zvětšení. Uvědomme si též, že pro různé předměty obdržíme zpravidla odlišná příčná zvětšení. Příčné zvětšení není univerzální vlastností studované zobrazovací soustavy. 24 Viz druhý požadavek kladený na ideální zobrazovací soustavy. 25 Dokažte pomocí zobrazovacích rovnic. 26 x-ové souřadnice poloh předmětu a obrazu vztažené vzhledem k hlavním rovinám označujeme obvykle symboly a a a´. Blíže viz. odstavec 11.3.5. 23
Trivium z optiky
89
entace souřadnicové osy x.27 Vzdálenost obrazového ohniska JJJJG a obrazového hlavního bodu, opatřená znaménkem podle vzájemné orientace úsečky H′F′ a souřadnicové osy x´, budeme nazývat obrazovou ohniskovou vzdáleností. Obvykle k jejímu označení používáme symbol f ´. Zadáme-li ohniska a ohniskové vzdálenosti, můžeme najít okamžitě i hlavní body zadané centrované soustavy, zadáme-li její hlavní body a ohniskové vzdálenosti, snadno nalezneme ohniska. Libovolná centrovaná zobrazovací soustava je tedy jednoznačně určena nejen svými hlavními body a ohnisky, ale i ohnisky a ohniskovými vzdálenostmi či hlavními body a ohniskovými vzdálenostmi. Pomocí ohniskových vzdáleností je možno Newtonovy rovnice upravit do obvyklého tvaru 28 f x′ x ′x = f f′ , y ′ = − y = − y . x f′
11.3.4 Grafické řešení zobrazovacích rovnic pro centrované soustavy. Obraz zadaného bodu nalezneme pro zadanou centrovanou zobrazovací soustavu řešením zobrazovacích rovnic. Přesněji dosazením jeho souřadnic x a y do zobrazovacích rovnic pro x´ a y´ a výpočtem souřadnic jeho obrazu. Poměrně elegantně je ale možno najít obraz zadaného bodu i graficky. Stačí si uvědomit platnost následujících tvrzení ¾ leží-li zadaný bod na nějakém paprsku vstupujícím do zobrazovací soustavy, bude jeho obraz ležet na sdruženém vystupujícím paprsku, tj. na takovém paprsku, který ze vstupujícího paprsku vznikne průchodem zmíněnou zobrazovací soustavou, ¾ prochází-li vstupující paprsek předmětovým ohniskem zobrazovací soustavy, je s ním sdružený vystupující paprsek rovnoběžný s její optickou osu, 29 ¾ je-li vstupující paprsek rovnoběžný s optickou osou zobrazovací soustavy, prochází s ním sdružený vystupující paprsek jejím obrazovým ohniskem. 30
Zvláště snadno se zobrazují body ležící mimo optickou osu – např. bod P2 na obrázku. Takovými body vedeme dva význačné vstupující paprsky – jeden rovnoběžný s optickou osu a 27 Předmětová ohnisková vzdálenost tedy není nic jiného než opačná hodnota x-ové souřadnice předmětového hlavního bodu v Newtonově předmětové souřadnicové soustavě. Připomínáme též, že x-ové souřadnicové osy jsou orientovány podle naší konvence zleva doprava. 28 Důkaz uvádíme v následujícím odstavci věnovaném grafickému řešení zobrazovací rovnice. V tuto chvíli nezbývá než požádat čtenáře o trpělivost. 29 Předmětové ohnisko se podle definice zobrazí do nekonečna, všechny paprsky jím procházející se proto musí změnit na výstupu ze soustavy na paprsky rovnoběžné. Kdyby tomu tak nebylo, musely by se nutně protnout v nějakém bodě v „konečnu“. Vystupující paprsky by musely být různoběžné a všechny by se musely protnout v jednom bodě. Podle požadavků kladených na ideální zobrazovací soustavu se bod (a ohnisko je bod) zobrazuje na bod. 30 Vyplývá z předcházejícího tvrzení a ze záměnnosti směru chodu paprsků.
90
Geometrická optika
druhý procházející předmětovým ohniskem zobrazovací soustavy. První paprsek protíná předmětovou hlavní rovinu v bodě A, podle definice se tento bod zobrazí do obrazové hlavní roviny s příčným zvětšením +1, tedy na bod A´ v obrázku. Paprsek sdružený s prvním paprskem prochází tímto bodem a navíc též obrazovým ohniskem F´. Můžeme jej tedy zakreslit jako spojnici těchto dvou bodů. Podobnou konstrukci můžeme provést i pro druhý paprsek, který prochází předmětovým ohniskem. Tento paprsek protíná předmětovou hlavní rovinu v bodě B, k němu sdružený paprsek je podle definice předmětového ohniska rovnoběžný s optickou osou zobrazovací soustavy a prochází bodem B´, který je obrazem bodu B konstruovaným podobně jako A´ pro paprsek první. V průsečíku obou takto získaných vystupujících paprsků se pak zřejmě nachází obraz bodu P2, v obrázku jej značíme P2´. Zobrazujeme-li graficky body ležící na optické ose soustavy, např. bod P1 v obrázku, vztyčíme v nich nejdříve kolmici k této ose a na ni vyznačíme libovolný pomocný bod P2 ležící mimo osu. Ten zobrazíme pomocí výše uvedeného postupu na bod P2´. Z tohoto bodu spustíme kolmici k optické ose soustavy a pata této kolmice je již hledaný obraz bodu P1, v obrázku bod P1´.31 Výše uvedených grafických konstrukcí můžeme užít i k odvození obvykle užívaného tvaru Newtonových zobrazovacích rovnic, který jsme uvedli v závěru odstavce 11.3.3. Je například zřejmé, že trojúhelníky A´H´F´ a P2´P1´F´ jsou podobné. Platí tedy |A ′H′|:|P2′ P1′ | = |H′F′|:|F′P1′ |. Podle definic můžeme dále psát (pozor na znaménka!)
|A ′H′| = | y | = y , |P2′ P1′ | = | y ′| = − y ′, |H′F′| = | f ′| = f ′, |F′P1′ | = | x ′| = x ′ , neboli po dosazení
y ′ = − y x ′ / f ′.
Zcela obdobně bychom získali i druhý tvar zobrazovací rovnice pro příčné zvětšení pomocí trojúhelníků BHF a P2P1F y′ = − y f / x. A nakonec porovnáním obou právě odvozených vzorců − y x ′ / f ′ = − y f / x i poslední ze zobrazovacích rovnic x ′x = f ′ f .
11.3.5 Čočkové zobrazovací rovnice pro centrované soustavy. Volba počátků předmětové a obrazové souřadnicové soustavy S a S´ je ponechána zcela na naší libovůli a nemůže nijak ovlivnit fyziku problému. Kromě možnosti, kterou jsme se zabývali výše – počátky souřadnic klademe do ohnisek studované zobrazovací soustavy, se často používá i volba jiná. Počátek předmětové souřadnicové soustavy S ztotožníme tentokrát s předmětovým hlavním bodem a počátek soustavy obrazové S´ s obrazovým hlavním bodem zobrazovací soustavy. Orientaci souřadnicových os přitom zachováváme. Tato volba je výhodná zejména pro čočky (ale i pro kulová zrcadla), proto jí odpovídající zobrazovací rovnice nazýváme obvykle rovnicemi čočkovými (čočkově zrcadlovými ). Je jasné, že zobrazovací rovnice pro y-ové souřadnice bodů předmětu a obrazu se po posunu počátků souřadnicových soustav podél optické osy (tj. podél osy x či x´) nemění. Čočkovou rovnici pro příčné zvětšení můžeme tedy i nadále psát ve tvaru y′ = − y
f x′ =−y x f′
Kolmice k optické ose se musí zobrazit opět na kolmici k optické ose (dokažte pomocí zobrazovacích rovnic!). Proto je pata kolmice spuštěné z bodu P2´ totožná s obrazem bodu P1.
31
Trivium z optiky
91
a v dalším nemusíme mezi Newtonovou rovnicí pro příčné zvětšení a odpovídající rovnicí čočkovou rozlišovat. Změny dozná pouze rovnice pro x-ové souřadnice zobrazovaného bodu a jeho obrazu, které budeme pro odlišení od Newtonovy volby značit a a a´.32 Jejich vztah s dříve zavedenými souřadnicemi x a x´ je zřejmý z obrázku a=x+ f
, a′ = x ′ + f ′ .
Vyjádřením x a x´ z těchto vztahů a dosazením do první Newtonovy zobrazovací rovnice, x ′x = f ′ f , získáme po nenáročných úpravách odpovídající zobrazovací rovnici čočkovou
f f′ + = 1. a a′
11.3.6 Úhlové zvětšení, uzlové body. Označme symbolem α úhel, který svírá vstupující paprsek procházející bodem P ležícím na optické ose s kladným směrem této osy (souřadnicové osy x). 33 Obdobně označme symbolem α´ úhel, který svírá s kladným směrem optické osy (souřadnicové osy x´) paprsek sdružený. Pak poměr tangent obou úhlů, tg α′ / tg α , nazveme úhlovým zvětšením příslušným zvolenému vstupujícímu paprsku.
Podobně jako v případě zvětšení příčného není úhlové zvětšení obecnou charakteristikou zobrazovací soustavy. Různým paprskům mohou odpovídat různá úhlová zvětšení. Na druhé straně je však možno ukázat, že pro všechny paprsky procházející zadaným bodem optické osy je úhlové zvětšení stejné. Označíme-li symboly x a x´ x-ové souřadnice průsečíků vstupujícího a s ním sdruženého vystupujícího paprsku, můžeme pro úhlové zvětšení psát A tg α′ x f = = . tg α f ′ x ′ Úhlové zvětšení závisí tedy pouze na tom, ve kterém místě paprsek protíná optickou osu zobrazovací soustavy (souřadnicové osy x = x´), nikoliv však na úhlu, který tento paprsek s optickou osou svírá. Částečná nezávislost úhlového zvětšení na paprsku umožňuje definovat na optické ose zadané zobrazovací soustavy další dva význačné body – ten, pro nějž je úhlové zvětšení rovno jedné, budeme jej označovat jako U a používat pro něj název předmětový uzlový bod, a jeho obraz 32 x-ové souřadnice předmětu a obrazu v souřadnicových soustavách s počátky v hlavních bodech dané zobrazovací soustavy se obvykle nazývají předmětová vzdálenost a obrazová vzdálenost. Nejedná se však o vzdálenosti v obvyklém slova smyslu, neboť mohou být kladné i záporné. 33 Úhly měříme od optické osy k paprsku.
92
Geometrická optika
U´ (obrazový uzlový bod). Pro jejich polohu můžeme z rovnice pro úhlové zvětšení okamžitě psát x U = f ′ , x U′ ′ = f nebo též, vezmeme-li v úvahu definiční vztahy pro předmětovou a obrazovou vzdálenost a a a´, a U = a U′ ′ = f ′ + f .
11.4 Klasifikace zobrazovacích soustav. Ve spojitosti s centrovanými zobrazovacími soustavami se často setkáváme s těmito pojmy: dioptrická (čočková ), katoptrická (zrcadlová ), spojná (kolektivní ), rozptylná (dispansivní ) či teleskopická zobrazovací soustava. Uveďme si na tomto místě jejich definice a pro názornost i konkrétní příklady. Pod dioptrickou zobrazovací soustavou rozumíme takovou soustavu, která nemění orientaci chodu světelných paprsků. Vstupují-li tedy světelné paprsky do takové soustavy např. zleva, je orientace chodu s nimi sdružených vystupujících paprsků rovněž zleva doprava. Zobrazovací soustava, která mění orientaci chodu světelných paprsků (např. zleva doprava na vstupu na zprava doleva na výstupu), se nazývá katoptrická. Příkladem dioptrické soustavy může být kulová lámavá plocha, čočka, soustava čoček, ale i soustava sudého počtu zrcadel či kombinace čoček a sudého počtu zrcadel. Katoptrická soustava musí naopak obsahovat vždy lichý počet zrcadel. O lámavých plochách, čočkách a zrcadlech více v následující kapitole.
Spojná zobrazovací soustava mění vždy vstupující svazek paprsků rovnoběžných s optickou osou na svazek sbíhavý, rozptylná na svazek rozbíhavý. V obou případech se vystupující sbíha-
vé či rozbíhavé paprsky protínají v obrazovém ohnisku zobrazovací soustavy, rozbíhavé ovšem po doplnění na přímky.
Příkladem spojné zobrazovací soustavy je spojná čočka či duté kulové zrcadlo. Rozptylnými soustavami jsou například rozptylná čočka a vypuklé kulové zrcadlo. Více o nich v následující kapitole.
Teleskopická soustava má předmětové i obrazové ohnisko v nekonečnu. Přesněji jsou její ohniskové vzdálenosti v absolutní hodnotě nekonečné. Pomocí zobrazovací rovnice snadno zjistíme, že teleskopická soustava zobrazuje nekonečně vzdálené body ( x → −∞ při postupu paprsků zleva doprava) opět na body nekonečně vzdálené ( x → ±∞ ).
Nejjednodušším příkladem teleskopické zobrazovací soustavy je rovinné zrcadlo, nejužitečnějším dalekohled. O obou více v následující kapitole.
11.5 Skládání zobrazovacích soustav. Kolineace můžeme jakožto zobrazení \ 3 → \ 3 skládat. Snadno nahlédneme, že jsou-li dvě zobrazení kolineacemi (tj. zobrazují-li přímku na přímku a pochopitelně bod na bod), je jejich složení rovněž kolineací. Podobně můžeme skládat i ideální zobrazovací soustavy, jejímiž matematickými reprezentacemi kolineace jsou, přičemž je jasné, že
složením dvou ideálních zobrazovacích soustav získáme opět ideální zobrazovací soustavu. Při skládání zobrazovacích soustav (kolineací) se nemusíme, podobně jako v případě obecných matematických zobrazení, nezbytně omezovat jen na jejich dvojice. Bez obtíží můžeme naše závěry rozšířit i na libovolný konečný počet zobrazovacích soustav. Speciálním případem skládání ideálních zobrazovacích soustav je skládání soustav centrovaných, jejichž optické osy navíc splývají. Právě tímto speciálním případem se budeme zabývat v tomto odstavci poněkud podrobněji. Výsledky zde odvozené totiž využijeme s velkým užitkem v kapitole následující.
Trivium z optiky
93
Výchozím bodem všech našich úvah je obrázek. Na něm je zakreslena dvojice centrovaných zobrazovacích soustav, jejichž složením získáme soustavu výslednou. Ve shodě s dříve uvedeným předpokládáme, že optické osy obou dílčích soustav jsou totožné. S nimi bude tedy totožná i optická osa soustavy výsledné. Značení v obrázku je standardní, pouze pomocí indexů 1 a 2 odlišujeme symboly příslušné k dílčím zobrazovacím soustavám. Pro složenou soustavu používáme pak označení bez indexů. Kromě nám již známých symbolů můžeme ale v obrázku vidět i symboly nové: e, e´ a ∆. První dva označují souřadnice předmětového a obrazového ohniska složené soustavy v předmětové souřadnicové soustavě první či v obrazové souřadnicové soustavě druhé dílčí zobrazovací soustavy. Tedy polohy výsledných ohnisek a ohniskových rovin. Třetí z nově zavedených symbolů charakterizuje vzájemnou polohu obou skládaných soustav. Tento parametr udává tedy konkrétní geometrické uspořádání skládaných soustav a obvykle se nazývá optický interval.
Chceme-li složenou zobrazovací soustavu zadat jednoznačně a umět pro ni napsat zobrazovací rovnice, musíme najít např. její ohniska (tedy parametry e a e´) a její ohniskové vzdálenosti f a f´. Vše jako funkce ohniskových vzdáleností dílčích soustav a jejich optického intervalu ∆ – veličin, které zadávají jednoznačně dílčí zobrazovací soustavy a jejich vzájemný vztah. Získání kýžených formulí je jen otázkou nenáročného algebraického cvičení B e=
f 1 f 1′ ∆
, e′ = −
f 2 f 2′ ∆
, f =
f1 f 2 ∆
a f′=−
f 1′ f 2′ ∆
.
Těmito vzorci je již složená soustava určena jednoznačně. Pomocí nich můžeme snadno najít i její hlavní a uzlové body a nakonec napsat ve standardním tvaru i zobrazovací rovnice.
Matematické doplňky A
K důkazu si na vstupujícím paprsku zvolíme pomocný bod P1 ležící mimo optickou osu. Jeho souřadnice v Newtonově notaci označme x1 a y1. Podobně označme x1´ a y1´ souřadnice jeho obrazu a x a x´ x-ové souřadnice bodu P a jeho obrazu P´ (y-ové souřadnice jsou nulové, P i P´ leží na optické ose soustavy). Z obrázku je zřejmé, že platí | y1 | − y1 y1 | y1′ | y1′ y1′ , tg α′ = − . =− = tg α = = = | x 1 − x | −x 1 + x x 1 − x | x 1′ − x ′| −x 1′ + x ′ x 1′ − x ′ Pozor na znaménka souřadnic jednotlivých bodů a jejich obrazů i na znaménka tangent obou úhlů! Podstatné je rovněž to, že situace zakreslená na obrázku věrně odráží zobrazení všech bodů konkrétní zobrazovací soustavou zadanou konkrétním uspořádáním hlavních a ohniskových rovin. Trpělivý čtenář si jistě sám ověří, že ke stejným závěrům, byť pomocí odlišných postupných vztahů, bychom dospěli i pro jiná uspořádání definující jiné zobrazovací soustavy. Nyní ale zpět k výpočtu úhlového zvětšení
94
Geometrická optika
tg α′ y1′ x 1 − x f x1 − x 1 x −x x x −x x , = ⋅ =− ⋅ =− ⋅ 1 =− ⋅ 1 = tg α y1 x 1′ − x ′ x1 f ′ f / x1 − f ′ f / x f ′ 1 − x1 / x f ′ x − x1 f ′
kde jsme využili výsledků plynoucích ze zobrazovacích rovnic: y1′ = − y1 f / x 1 , x 1′ = f ′ f / x 1 a x ′ = f ′ f / x . Můžeme tedy uzavřít konstatováním, že úhlové zvětšení závisí pro daný paprsek jen a pouze na vlastnostech zobrazovací soustavy (zde ohnisková vzdálenost f ´) a na poloze průsečíku tohoto paprsku s optickou osou soustavy. Vezmeme-li navíc v úvahu zobrazovací rovnici x´x = f´f, můžeme též psát tg α′ / tg α = x / f ′ = f / x ′.
B Začněme nalezením obrazového ohniska složené soustavy. Podle definice je to takový bod, v němž se po průchodu soustavou protnou vystupující paprsky, pokud byly na vstupu do soustavy rovnoběžné s její optickou osou. Jinými slovy je obrazové ohnisko obrazem levého nekonečna. Tento nevlastní bod optické osy se nejdříve zobrazí prostřednictvím první zobrazovací soustavy do jejího obrazového ohniska F1´. Píšeme-li tedy x 1 → −∞ , platí x 1' = 0 . Obraz levého nekonečna se dále stává vzorem pro zobrazení druhou zobrazovací soustavou, přičemž s ohledem na znaménka jednotlivých veličin (viz obrázek) platí x 2 = − ∆ . Ze zobrazovací rovnice pro druhou zobrazovací soustavu pak máme okamžitě x 2' = f 2 f 2'/x 2 = − f 2 f 2'/∆ . Ovšem x 2' není ničím jiným než hledaným parametrem e´. Obdobným postupem nalezneme i předmětové ohnisko složené soustavy, tj. parametr e, uvědomíme-li si, že se podle definice jedná o takový bod, pro který se paprsky z něj vycházející přemění na výstupu na svazek paprsků rovnoběžných s optickou osu. Tento bod se proto musí nutně zobrazit pomocí první zobrazovací soustavy do předmětového ohniska soustavy druhé. Platí tedy x 1 = e a x 1' = ∆ a po dosazení do zobrazovací rovnice pro první zobrazovací soustavu i e ≡ x 1 = f 1 f 1'/x 1' = f 1 f 1'/∆ . K získání ohniskových vzdáleností složené soustavy musíme zjistit, jak se pomocí ní zobrazí body ležící mimo optickou osu. Má-li takový bod v předmětové souřadnicové soustavě první zobrazovací soustavy souřadnice x1 a y1, bude mít jeho obraz získaný pomocí této zobrazovací soustavy v odpovídající obrazové souřadnicové soustavě souřadnice x 1' = f 1 f 1'/x 1 a y1' = − f 1 y1/x 1 . Tento obraz je dále předmětem pro zobrazení druhou zobrazovací soustavou s x 2 = x 1' − ∆ a y 2 = y1' . Jeho obraz má proto souřadnice x 2' =
f f 'x f 2 f 2' f f' f 2 f 2' = 2 2 = = 2 2 1 , x2 x 1' − ∆ f 1 f 1'/x 1 − ∆ f 1 f 1' − x 1 ∆
y 2' = − f 2
y2 y1' − f 1 y1 / x 1 f 1 f 2 y1 . = − f2 = − f2 = x2 x 1' − ∆ f 1 f 1'/x 1 − ∆ f 1 f 1' − x 1 ∆
Uvědomíme-li si dále, že pro veličiny vztahující se k výsledné (složené) zobrazovací soustavě platí x = x 1 − e , x' = x 2' − e' , y = y1 a y' = y 2' , získáme přímým dosazením do rovnice pro y 2' y' ≡ y 2' =
f1 f 2 y f1 f 2 y f f y = =− 1 2 f 1 f 1' − ( x + e )∆ f 1 f 1' − ( x + f 1 f 1'/∆ )∆ ∆ x
a porovnáním s obecnou rovnicí y' = − f y/x i konečný vztah pro předmětovou ohniskovou vzdálenost složené soustavy f = f 1 f 2 / ∆ . K odvození vzorce pro obrazovou ohniskovou vzdálenost f ´ musíme nejdříve rovnici pro y 2' invertovat y1 =
f 1 f 1' − x 1 ∆ y 2' , f1 f 2
dosadit do ní za x1 z rovnice pro x2´ x1 =
f 1 f 1'x 2' f 1 f 1' ( x' + e' ) f 1 f 1' ( x' − f 2 f 2'/∆ ) f f ' ( x' − f 2 f 2'/∆ ) = = = 1 1 f 2 f 2' + x 2' ∆ f 2 f 2' + ( x' + e' )∆ f 2 f 2' + ( x' − f 2 f 2'/∆ )∆ x' ∆
a upravit. Po úpravách se výsledek značně zjednoduší f ' f ' y ' f ' f ' y' y ≡ y1 = 1 2 2 = 1 2 . ∆ x' ∆ x' Nakonec již prostým porovnáním s obecnou rovnicí y = − f 'y'/x' odečteme bez obtíží i výsledný vzorec pro obrazovou ohniskovou vzdálenost složené soustavy f ' = − f 1' f 2'/∆ .
